Building and Environment, svazek 16, č. 3, strany , /0

Transkript

1 Building and Environment, svazek 16, č. 3, strany , /0 Vytisknuto ve Velké Británii 1981 Pergamon Press Ltd. Pohyb vody v porézních stavebních materiálech IV. Počáteční povrchová absorpce a sorptivita CHRISTOPHER HALL* Je diskutován test počáteční povrchové absorpce (ISA) ve vztahu k teorii absorpce vody porézními materiály. Absorpce vody z konečných zdrojů je analyzována v podmínkách modelu s ostrou frontou smáčení. Je ukázáno, že smáčená oblast vytvořená čárovým zdrojem je poloelipsa a že oblast vytvořená kruhovým zdrojem je zploštělá polokoule. Obecně není rychlost absorpce přímo úměrná t -1/2. Experimentální data u cihly jsou přiložena. 1. ÚVOD V NEDÁVNÉ DOBĚ jsme diskutovali [1] využití sorptivity při charakterizování absorpce vody u stavebních materiálů. Zde komentujeme vztah mezi sorptivitou a počáteční povrchovou absorpcí, jak ji definoval Levitt [2]. Test počáteční povrchové absorpce (ISA) je založený na metodě měření permeability nízkým tlakem používané Glanvillem [ 3]; metoda byla vyvinuta Levittem [2] a nyní se uznává jako test podle britské normy pro vyzrálý beton [4]. Na obrázku 1 srovnáváme geometrické tvary u testu, který jsme popisovali pro měření sorptivity a testovací postup BS ISA. Test sorptivity kapilárním vzlínáním přibližuje případ jednorozměrné absorpce do polonekonečného média; tj. tok je normálný k infiltrační ploše smáčenou oblastí a ekvipotenciály jsou roviny paralelní k infiltrační ploše. Pro homogenní pevnou látku, kde kapilární síly jsou mnohem větší než gravitační síly, (podmínka je splněná u jemně porézních materiálů v první fázi kapilárního vzlínání) kumulativní objem absorbované vody na jednotku plochy u infiltračního povrchu označeného i, roste podle t 1/2, druhé odmocniny uplynulého času; tj. i = St 1/2. Sorptivita S je dobře definována v teorii tečení v nenasyceném prostředí [1] a lze ji vztáhnout k difuzivitě vody v materiálu. Rychlost infiltrace u 0 (která se rovná rychlosti absorpce di/dt) je nepřímo úměrná t 1/2. Naproti tomu test ISA přibližuje případ absorpce z konečného zdroje do polonekonečné pevné látky. Je to v zásadě proces trojrozměrné absorpce, ale protože se používá spíše obdélníkový než kruhový zdroj, nedosahuje se kruhové symetrie. Proto jsou ekvipotenciální povrchy geometricky komplikované a jejich tvar se mění s časem. Podobně křivky infiltrace (které jsou všude normálné k ekvipotenciálním povrchům) jsou rovněž geometricky komplikované. V každém případě nelze kvůli značné nelinearitě infiltrace v nenasyceném prostředí stavebních materiálů [5] očekávat jednoduchý analytický vztah mezi kumulativní absorpcí (nebo rychlostí absorpce) u takové geometrie a základních hydraulických parametrů, potenciálu Ψ (θ), konduktivity K(θ) nebo difuzivity D(θ). V další části uvádíme analýzu absorpce vody z konečných zdrojů, která reprodukuje hlavní vlastnosti testu ISA. 2. ABSORPCE VODY Z KONEČNÝCH ZROJŮ Obr. 1. (a) Absorpční test vodní sorptivity. (b) Test ISA. *Department of Building, UMIST, PO Box 88, Manchester M60 IQD, U.K. 2.1 Model ostré fronty smáčení U kapilární absorpce vody do porézních anorganických stavebních materiálů jako jsou cihly, kameny, malta a omítka, se obecně zdá, že se řídí podle Darcyho rovnice tečení v nenasyceném prostředí [5,6]. Pro jednorozměrný tok do zpočátku suchého materiálu (obsah vody θ = θ o ) ze smáčeného povrchu (θ=θ 1 ) se rychlost absorpce snižuje podle t -1/2 a absorbovaná voda se distribuuje podél postupujícího profilu obsahu vody θ (x) (viz obr. 2). Tvar tohoto profilu zůstává konstantní; při rostoucím t se profil rozšiřuje podle faktoru t 1/2. Dále podle omezených dostupných dat profilu [6] to vypadá, že se tvar mezi jednotlivými materiály příliš neliší. 201

2 Christopher Hall Obr. 2. Profil obsahu vodu u jednorozměrné absorpce vody při x = 0 u polonekonečné pevné látky (počáteční obsah vody θ 0 ). θ 1 je obsah vody na hraničním povrchu. Je zde strmě se zvedající čelní hrana, takže sedm desetin celkových změn v obsahu vody (θ 1 - θ 0 ) nastává v první jedné desetině délky profilu. Z toho vyplývá, že model procesu absorpce vody, který se jeví jako ostrá (tj. obdélníková) fronta smáčení, může být užitečnou aproximací. Ve skutečnosti se takováto analýza (známá jako Greenova a Amorova analýza nebo teorie delta funkce) používá dlouho ve spojení s tokem podzemních vod [7,8]. Použitím takového modelu se vyhneme matematickým obtížím vyplývajícím ze snahy aplikovat Darcyho rovnici tečení v nenasyceném prostředí (nelineární difuzní rovnice) na něco s nejjednodušší geometrií. U stejnorodých zemin ukázal Philip [8], že pro výpočet integrálních vlastností (kumulativní absorpce a rychlost absorpce) je model ostré fronty smáčení přiměřeně přesný. Dříve jsme používali tento model pro návrh časové stupnice kapilárního vzlínání u stavebních materiálů [5]. Hlavní výhoda formulace ostré fronty smáčení je v tom, že povrch fronty smáčení vyhovuje Laplaceově rovnici a lze usilovat o explicitní řešení pro poněkud komplikovanější geometrii. Matematicky jsou základy modelu následující. Tečení uvnitř smáčené oblasti je tečení v nasyceném* prostředí a předpokládá se, že se řídí podle Darcyho zákona, takže rychlost u =-K Φ, kde K je hydraulická konduktivita v nasyceném prostředí a Φ = Ψ, kapilární nebo matricový potenciál, měřítko sání. Jelikož obsah vody se rovná θ 1 v celé smáčené oblasti R, u = 0 a tudíž 2 Ψ = 0. Laplaceovu rovnici můžeme řešit podle příslušných podmínek na hranici R. Nyní předpokládáme, že kapilární potenciál má konstantní hodnotu Ψ 1 u infiltračního povrchu (Ψ = 0 pro saturaci); a konstantní hodnotu Ψ o < Ψ 1 u povrchu fronty smáčení, která je volným okrajem. Řešení Ψ jako funkce prostorových souřadnic * Předpokládá se, že volumetrický obsah vody smáčené oblasti má konstantní hodnotu θ 1, kde θ = θ 1 je koncentrace hraničních podmínek u infiltračního povrchu. K je hydraulická konduktivita při θ 1. V praxi může být θ 1 o něco menší než ƒ, poréznost objemové frakce získaná vakuovou saturací kvůli uzavírání vzduchu při kapilární absorpci. V tomto materiálu je třeba interpretovat ƒ jako střední obsah vody ve smáčené oblasti. udává tvar fronty smáčení a křivky infiltrace lze získat jako harmonicky sdruženou funkci Ψ v oblasti R. V některých případech lze i(t) získat pomocí zjednodušení. I s tímto zjednodušením zůstává analýza toku z obdélníkového zdroje do polonekonečného porézního pevného materiálu matematicky neuchopitelná, protože tok není osově symetrický. Smáčená oblast je zpočátku obdélníková, ale nakonec se stává přibližně polokulová. Místo toho uvažujeme dva jednodušší případy: dvourozměrnou absorpci z konečného čárového zdroje (a odtud pruhový zdroj) a trojrozměrnou absorpci z kruhu (obr. 3). 2.2 Dvourozměrný konečný zdroj Řešení dvourozměrného případu lze získat z jednorozměrného případu pomocí metody konformní transformace (obr. 4). Podrobnosti jsou uvedené v příloze. Fronta smáčení v elipse s místy u koncových oblastí zdroje. S pokračující absorpcí se elipsy progresivně stávají méně excentrické a přibližují se půlkružnici. Křivky infiltrace jsou konfokálně hyperbolické. Z hlediska redukovaných proměnných I, T a U definovaných v příloze je kumulativní absorpce dána a střední rychlost absorpce Obrázek 5 ukazuje tyto funkce zakreslené v logaritmických osách. U krátkých časů I = (πt/2) 1/2, takže i = (π/2 2) St 1/2 = 1,11 St 1/2. Toto se liší jen o malý číselný faktor od standardního výsledku i = St 1/2 pro jednorozměrný případ. Obdobně u o = 0,56 St -1/2. U velmi dlouhých časů se fronta smáčení stává přibližně kruhovou. Obr. 3. (a) Dvourozměrný případ: absorpce vody z čárového (nebo pruhového) zdroje. (b) Osově symetrický trojrozměrný případ: absorpce vody z kruhového zdroje. 202

3 Pohyb vody v porézních stavebních materiálech IV Philip [8] ukazuje, že U = 4/(π ln T) pro absorpci z poloválcového zdroje, takže celková rychlost absorpce ze zdroje o poloměru L/2 je 2L/ln t. Je proto stejná jako celková infiltrace z pruhového zdroje o jednotkové délce a šířce L z rovnice (4). V praktických testech jsou dostupné rozsahy T a I striktně omezené na cca dva řády velikosti u T (a t) a odpovídající rozpětí u I (a i). U testů s velikostí zdroje L cca 100 mm u materiálů majících S 1 mm/min 1/2 a f 0,3, T = 0,004 t. Tudíž pro praktické účely T leží v rozmezí 0,004-0,4 a I v rozmezí 0,07-0,8. Máme-li toto na paměti, jsou hodnoty veličin n i (t)= (d log i/d log t) a n u (t) = (d log u o /d log t) zajímavé. Máme následující vztah (nakreslený na obr. 6): a Obr. 4. Absorpce vody s ostrou frontou smáčení (viz příloha). (a) Jednorozměrný případ. (b) Tvorba mapy (a) do dvourozměrného případu podle transformace w = ½ L sin (πz/l). U krátkých časů n i = 0,5 a n u = -0,5. Při rostoucím T roste n i a klesá In u I; ale n i - n u = 1 jen když T. Turner a Parlange [9] poskytli analýzu laterálního šíření na periférii polonekonečného zdroje s použitím Darcyho rovnice tečení v nenasyceném prostředí; za předpokladu stabilního stavu byli schopni nalézt přibližné řešení použitím Kirchhoffovy transformace k získání Laplaceovy rovnice. Ukázali, že ekvipotenciální čáry (a tudíž fronta smáčení) na okraji zdroje byly parabolické. Výsledek je přibližně platný jen pro penetrační vzdálenosti, které jsou mnohem menší než rozměry zdroje. Tento výsledek je konzistentní s naším tvrzením, že fronta smáčení je poloelipsa, protože poloelipsa se redukuje na parabolu u konců hlavní osy (tj. blízko okraje zdroje). Obr. 5. I(T) a U(T) pro absorpci vody z konečného čárového (a pruhového) zdroje. Rovnice (1) se zjednodušuje na Obr. 6. n i (T) a n u (T) pro absorpci vody z konečného čárového (a pruhového) zdroje. a rovnice (2) na 203

4 2.3 Trojrozměrný případ Základní tvar toku v trojrozměrném případě kruhového zdroje lze znázornit otáčením obr. 4b okolo osy G'O' procházející středem zdroje. Tak leží fronta smáčení na povrchu zploštělé koule. Nemáme výrazy pro i(t) a u o (t) ale zřetelně u krátkých časů i St 1/2. U velmi dlouhých časů se rychlost absorpce přibližuje stabilní záporné hodnotě a I se stává přímo úměrné T. Philip [8] obrátil pozornost na existenci takového stabilního stavu v souvislosti s absorpcí z polokulové dutiny, pro kterou získává výsledek U = (2/π)[1- (1 + 3I) -1/3 ] -1. U limity T se musí stát absorpce z kruhového zdroje od tohoto neodlišitelná. V obou případech se smáčená oblast stává polokoulí za předpokladu, že distribuce není zkreslené gravitací. Christopher Hall 3. EXPERIMENTÁLNÍ DATA U CIHLY K experimentálnímu otestování těchto závěrů byla podrobně studována absorpce vody u jednoho z typů obyčejných cihel. Byla použita tři různá uspořádání testu pro studování kapilární absorpce vody (A) do celé cihly celou lícní plochou (test sorptivity, obr. 1a); (B) do paralelně postavené cihly neutěsněnou pravoúhlou oblastí ve středu hrany na lícní straně (viz obr. 3a) a (C) do celé cihly kruhovou oblastí ve středu jinak utěsněné spodní lícní strany (viz obr. 3b). Povrchy cihly byly v případě potřeby utěsněny vysoce viskózním asfaltovým tmelem. Všechny testy proběhly při pokojové teplotě cca 17 C, ale bez záměrného řízení teploty. Testy A a C byly provedeny na stejném vzorku cihly. Zjištěná sorptivita lícní strany v testu A činila 1,42 mm min -1/2. Střední hodnota sorptivity paralelně s lícní stranou (měřeno po rozčtvrcení vzorku po testu C) činila 1,09 mm min -1/2. Pro test B byl použit jiný vzorek cihly. Přímým měřením byla zjištěna sorptivita lícní strany 1,21 mm min -1/2 ; sorptivita kolmo k delší úzké straně činila 1,12 mm min -1/2. Obrázek 7 ukazuje i, kumulativní absorpci na jednotku plochy infiltračního povrchu v závislosti na uplynulém čase t. Obrázek 8 ukazuje log i versus log t. Obr. 7. Kumulativní absorpce i(t) naměřená v testech A, B a C. U testu A měřila lícní strana 102,5 x 217 mm. U testu B byla voda absorbována obdélníkovou oblastí 20 x 12 mm a u testu C kruhovou oblastí o průměru 51 mm. log(t/min) 4. DISKUZE 4.1 Nové výsledky Výsledky jsou v obecné shodě s analýzou. Jak teorie, tak experiment především ukazují, že zákon t 1/2 kumulativní absorpce vody platí jen pro trojrozměrný případ (A); u testů B a C, které zahrnují konečný zdroj a laterální šíření fronty smáčení, se kumulativní absorpce zvětšuje rychleji než t 1/2 a závislost t 1/2 je pozorována pouze u limity t 0 (viz obr. 7 a 8). U testu A i stále roste podle t 1/2. Obr. 8. Absorpce vody i(t): graf se dvěma logaritmickými osami. 204

5 Pohyb vody v porézních stavebních materiálech IV 205 Je to patrné z obr. 8, který ukazuje, že n i má hodnotu 0.5. V testu B, jak je vidět na obr. 8, má n i hodnotu větší než 0,5 v celém zkušebním rozsahu t a dosahuje hodnoty cca 0,8 u nejdelších časů ( min). Obrázek 9 ukazuje vypočítanou křivku absorpce vody ve srovnání s experimentálními daty. Tato křivka je spočítaná z rovnice (1) nastavením f = 0,2 (jak bylo nezávisle stanoveno) a shodou křivky s daty v jednom bodě. To fixuje S s hodnotou 1,0 mm min -1/2. Tato hodnota by se měla porovnat se střední hodnotou přímo měřené sorptivity ve dvou směrech (paralelně a kolmo k infiltračnímu povrchu), která činí 1,1 mm min -1/2. I se pohybuje cca od 0,5 do cca 20 a odpovídající rozmezí u n i spočítané z rovnice (5) je 0,55-0,78. To se uspokojivě shoduje s grafem z experimentálních dat na obr. 8. U testu C je patrné z obr. 8, že n i má počáteční hodnotu blízkou 0,5 s progresivním růstem přibližně k 1.0. Tak je u dlouhých časů i proporcionální k t a rychlost absorpce se stává konstantní. Je to přímé experimentální potvrzení existence stabilního stavu u trojrozměrné absorpce vody (viz část 2.3 nahoře). V tomto zvláštním případě experimentální výsledky ukazují, že po cca 3 h rychlost absorpce dosahuje konstantní hodnoty přibližně 0,21 mm min -1. L = 51 mm (průměr zdroje) a při S = 1,4 mm min -1/2 a ƒ = 0,2 dostaneme U = 2u o Lƒ/πS 2 = 0,70. Tento experimentální výsledek by se měl porovnat s předpovídanou hodnotou 2/π = 0,64 (viz část 2.3 nahoře). Levitt [2] uvedl, že rychlosti absorpce pozorované při testech ISA byly často takové, že n u - 0,5. Levitt pojednává o maltových směsích, u kterých n u může být -0,3 a uvádí data u betonů, kde n u - 0,4. Tento efekt byl připsán progresivním změnám ve struktuře pórů v materiálu při pronikání vody. Takovéto vysvětlení se nyní zdá být prakticky nadbytečným. U takto krátkých testů nedochází k žádným změnám struktury pórů v cihle a jak naznačuje obr. 6, u In u I stanovené v testu ISA se očekává hodnota menší než 0,5 a její pomalý pokles v čase. Pro dvourozměrný případ, když T = 1, n u = -0,29. Samozřejmě vratné nebo nevratné změny ve struktuře pórů mohou doprovázet absorpci vody u některých materiálů (např. dřeva), ale zjevné porušení zákona t 1/2 v testech ISA není samo o sobě důkazem takových změn. U testu B bylo pronikání fronty smáčení jasně viditelné na řezu; postup fronty smáčení je zobrazen na obr. 10. Fronta smáčení těsně sleduje předpovídaný eliptický tvar. 4.2 Omezení modelu ostré fronty smáčení Obecně model dobře vyhovuje pro pozorované chování i(t) a u(t) ve dvourozměrném případě a pro tvar smáčené oblasti. V trojrozměrném případu nemáme kvantitativní teorii, ale můžeme odhadnout rychlost absorpce při krátkých a dlouhých časech. Model také odpovídá za zákon absorpce vody t 1/2 v jednorozměrném případě včetně za určitých okolností pohybu rozhraními [nepublikované výsledky z této laboratoře]. Model používá pouze tři materiálové parametry K, Ψ o a ƒ. Skutečně při absenci působení hydrostatického tlaku a zanedbání gravitace se K a Ψ o vždy objevují jako produkt KΨ o ; proto se používají pouze dvě nezávislé veličiny. KΨ o lze identifikovat pomocí ½S 2 /ƒ (viz příloha); S a ƒ lze v obou případech stanovit experimentálně. Model ostré fronty smáčení předpokládá, že K a ƒ mají konstantní hodnoty v celé smáčené oblasti a že Ψ o je na hranici fronty smáčení konstantní. Zdá se pravděpodobné, že ƒ (zde používané ve smyslu zpracovatelné poréznosti, což je střední obsah vody ve smáčené oblasti) je vždy menší než vakuově nasycené póry. Rovněž jsme předpokládali, že materiály jsou izotropní a homogenní nezávisle na směru tečení. To není ve skutečnosti Obr. 9. Test B: hodnoty absorpce vody (otevřené kroužky) porovnané s křivkou vypočítanou z rovnice (1) s hodnotami S = 1 mm min -1/2, ƒ = 0,2 a L = 20 mm. Obr. 10. Test B: poloha viditelné fronty smáčení během absorpce vody ze zdroje o šířce 20 mm. Čísla znamenají uplynulý čas v minutách. 205

6 Christopher Hall pravidlem u cihel, ale zdá se, že můžeme použít střední hodnotu S bez vážnější chyby. Model ostré fronty smáčení je očividně užitečný při kalkulaci kumulativní absorpce, rychlosti absorpce a tvaru smáčené oblasti. Jeho hlavním omezením je to, že neposkytuje žádné informace o distribuci obsahu vody ve smáčené oblasti, která je ve skutečnosti spíše nestejnorodá než homogenní. 4.3 Test ISA Dva výsledky analýzy uvedené v tomto materiálu jsou relevantní k testu ISA. Jsou to (a) že rychlost absorpce na jednotku plochy zdroje není nezávislá na rozměrech zdroje; a (b) že rychlost absorpce obecně neklesá podle t 1/2. Kromě toho jsme dříve ukázali [1], že rychlost absorpce se mění s teplotou, protože veličina (σ/η) 1/2, kde σ je povrchové napětí a η viskozita absorbované kapaliny. Test ISA, tak jak se dnes používá [4], je obecně dobře definován. Nicméně ve světle uvedených výsledků by se test zdokonalil standardizováním rozměrů zdroje (přednostně použitím kruhového zdroje k zajištění osové symetrie). Dále u testů v praxi může teplota značně kolísat a může být zdrojem chyb při porovnávání. Je snadnou záležitostí normalizovat hodnoty absorpce použitím opravného součinitele (σ/η) 1/2. Při analýze dat je žádoucí stanovit skutečnou počáteční rychlost absorpce, neboť sklon i vůči t 1/2 měří sorptivitu (nebo její ekvivalent, koeficient absorpce vody definovaný podle CIB). Pokud je materiálem odebraný vzorek, pak se zdá testovací postup typu sorptivity lepší. Pokud se test provádí in situ, je laterální šíření smáčené oblasti nevyhnutelné. Jediným snadným způsobem extrahování přibližné hodnoty S ze současného testu ISA je použít hodnoty i(t) omezené na srovnatelně krátké časy (zřejmě T ne větší než cca 0,8) a malé hodnoty i (pravděpodobně I <= 0,4; například i = ½ IfL<= 4 mm pro ƒ = 0,2 a L= 100 mm). Takto získaná S měří pouze hydraulické charakteristiky povrchové vrstvy a bude mít pravděpodobně malou přesnost. Jistě pomůže, bude-li L co největší. Poděkování Autoři děkují Radě pro vědecký výzkum za podporu a Dr. W. D. Heftovi za přínosnou diskuzi. LITERATURA I. R.J. Gummerson, C. Hall and W. D. Heft, Water movement in porous building materials-- II. Hydraulic suction and sorptivity of brick and other masonry materials. Build. Envir. 15, (1980). 2. M. Levitt, The ISAT a non-destructive test for the durability of concrete. Br. J. non-destr. Test. pp (1971). 3. W.H. Gianville, The permeability of Portland cement concrete. Building Research Technical Paper No. 3 (1931). 4. Methods of testing hardened concrete for other than strength. British Standard, 1881, Part 5 (1970). 5. R.J. Gummerson, C. Hall and W. D. Heft, Capillary water transport in masonry structures; building construction applications of Darcy's law. Constr. Papers 1, (1980). 6. R. J. Gummerson, C. Hall, W. D. Heft, R. Hawkes, G. N. Holland and W. S. Moore, Unsaturated water flow within porous materials observed by NMR imaging. Nature, Lend. 281, 56-7 (1979). 7. E. C. Childs, An Introduction to the Physical Basis of Soil Water Phenomena. Wiley- Interscience, New York (1969). 8. J.R. Philip, Theory of infiltration. Adv. Hydroscience 5, (1969). 9. N.C. Turner and J.-Y. Parlange. Lateral movement at the periphery of a one-dimensional flow of water. Soil Sci. 118, 70-7 (1974). 10. R.V. Churchill, Complex Variables and Applications, 2nd edition. McGraw-Hill, New York (1960). PŘÍLOHA Teorie ostré fronty smáčení Obrázek 4a reprezentuje jednorozměrný případ. Voda vstupuje povrchem AB, který se udržuje s konstantním obsahem vody θ 1. Můžeme považovat θ 1 za nasycený stav a tudíž Ψ 1 = 0. Hranice ADE a BCF jsou nepropustné, takže na těchto čarách dψ/dx = 0. V čase t leží fronta smáčení (Φ = Ψ 0 ) na čáře y = k. Volumetrický obsah vody smáčené oblasti je nazýván ƒ (nominálně poréznost objemové frakce). Celkový objem absorbované vody je il = ƒlk, kde i je kumulatnivní absorpce na jednotku zdrojové plochy; proto i = fk. Rychlost infiltrace podle Darcyho zákona je ale u o = di/dt, takže i = (2ƒKΨ o ) 1/2 t 1/2. Můžeme identifikovat faktor (2ƒKΨ o ) 1/2 jako sorptivitu S. Ekvipotenciální čáry jsou Φ = (Ψ 0 /k) y = konstanta. Rychlostní potenciál je definován jako ζ =KΦ = KΨ 0 y/k a funkce proudění η = KΦ = KΨ 0 x/k. Tudíž F = ζ + it je komplexní potenciál toku. Hranice x = ±L/2 odpovídají proudnicím a celkový tok mezi nimi je η(l/2)-η(-l/2)= KΨ 0 L/k) = u o L. Vztahujeme tuto analýzu na dvourozměrný případ absorpce konečným zdrojem (obr. 4b) transformací w = (L/2)sin(ηz/L), která charakterizuje obdélník ABCD v rovině z na poloelipsu A'B'C'G'D' v rovině w s ohnisky A', B' [10]. Hraniční podmínky jsou nezměněné. Tj. Φ = 0 u A'B', dφ/d v = 0 ve zbytku křivky v = 0. Φ = Ψ 0 u C'G'D'. Odtud nyní w = u + iv = (L/2) sin (πz/l) = (L/2) {sin πx/l)cosh (πy/l) + i cos (πx/l) sinh πy/l)} ekvipotenciální čára 206

7 Φ = Ψ 0 definující mapy fronty smáčení u poloelipsy Pohyb vody v porézních stavebních materiálech a Proudnice η = konstanta jsou konfokální hyperboly. Hraniční proudnice x = ±L/2 v rovině z se stávají hraničními proudnicemi podél A'D' a B'C' v rovině w. Celkový tok mezi odpovídajícími proudnicemi je nezměněný a v rovině w η(l/2)-η(-l/2)= u o L = (KΨL/k), kde u o je nyní střední rychlost toku napříč A'B'. Menší poloosa b elipsy je dána b =(L/2) sinh (πk/l), takže K =(L/π) sinh -1 (2b/L). Proto u o = πkψ 0 J(L sinh -1 (2b/L)) a b = (L/2) sinh ( πk Ψ 0 / u o L ). Plocha poloelipsy (osy 2a, 2b) je πab/2 a proto kumulativní absorbovaný objem na jednotku zdrojové oblasti dostaneme nyní máme vztah mezi i a u o (nebo I a U). Protože u o = di/dt, můžeme získat i(t) a u o (t) integrací a substitucí použitím ƒ dt = ƒ (ƒ'(u o )lu o ) du o (kde ƒ'(u o ) = di/du o ) za podmínky, že i = u o -1 = 0 při t = 0. Definováním T = 2πK Ψ 0 t/ ƒl = πs 2 t/ƒ 2 L 2 nakonec dostaneme a Pokud definujeme redukované proměnné I, U následovně 207