3. Limity posloupností
|
|
- Roman Blažek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu s obecými pravidly teorie moži) hodotu tohoto zobrazeí v čísle začit a). Je však zvykemazývattotočíslo -týčleposlouposti,začitje a,proposloupost samuužívatapř.symbol {a } =,vobecějšímpřípadě {a } =N,aazývatji posloupostočleech a.nehrozí-lizáměasjedobodovoumožiou,lzepro tutoposloupostužítistručějšíozačeí {a }. Je-liprokaždé Nobecěji:prokaždé N,kde N Z)dávýrokV),říkáme,ževýrok V)platíproskorovšecha Nobecěji:proskorovšecha N),existuje-likoečámožia K Nobecěji: K NN))tak,ževýrok V)platíprokaždé N Kobecěji:prokaždé NN) K).Nehrozí-li edorozuměí,říkáme,že V)platíproskorovšecha ;místo skorovšecha píšemevětšiou s.v.. Pozameejmeještě,ževýrok V)platípros.v. jeekvivaletísvýrokem existuje 0 tak,že V)platíprovšecha > 0. Zatímco čley posloupostí reálých čísel jsou koečé, limity takových posloupostí budou moci být rovy i ±. Pro pohodlí čteáře zopakujeme základí defiice vztahujícísekčíslůmzr = R {,+ },tedykreálýmčíslům ): 0) Uspořádáí: je ejmeší, + ejvětší reálé číslo, takže erovosti < a <+ platíprokaždé a Rajeovšemi <+ ;sg+ ):=+, sg ):=, + ):=, ):=+, ± :=+. )Součet: a+b:=+, je-libuď a=+ ab >,ebo b=+ aa > ; a+b:=, je-libuď a= ab <+,ebo b= aa <+ ; součet a+bemásmysl,právěkdyžjejedozčísel a, brovo+,druhé. 2)Rozdíl a bjedefiovájakosoučet a+ b),má-litetosoučetsmyslpodle bodu);rozdíl a bemásmysl,právěkdyžjsou a,bekoečáčíslatéhožzaméka. 3) Souči { + ab:= }, je-lisga sgb= { } + abuď a=±,ebo b=± ; souči abemásmysl,právěkdyžjejedozčísel a, brovo ±,zatímcodruhé zichje0. )ČíslazRsepodrobějiazývajíkoečá,čísla ± jsouekoečá.slovoevlastízdeai pročísla,aiprolimityeužíváme,protožemůžebuditdojem,žetoejsou ploprává čísla resp. limity. Kromě toho považujeme za zbytečé mít pro jede pojem dva růzé ázvy. 24
2 4) Podíl a +, je-li a=±,0 b ±, sga sgb=+ b :=, je-li a=±,0 b ±, sga sgb= 0, je-li a R, b=± ; podíl a/bemásmysl,právěkdyžjebuď b=0,ebo a = b =+. 5)Mociyčísel ± sedefiujítakto: { } ±) + ), je-li ± ) N := ; 0, je-li N výrazy± ) 0, a ± kde a R )emajísmysl;připomeňmevšak,že0 0 :=. Píšeme lim a = a eboapř. a apro ) ačíslo a R azývámelimitaposlouposti {a },jsou-lisplěytytodvěpodmíky: ) ) prokaždé a < a je a > a pros.v., prokaždé a > a je a < a pros.v.. Je-lia R,říkáme,žeposloupost{a }kovergujeebožečíslaa kovergují) kčíslu a;je-li a=±,říkáme,že a k adivergují.kovergetíposloupostje posloupost mající koečou limitu; divergetí jsou všechy ostatí poslouposti, tedy poslouposti s limitou ± a poslouposti, které limitu emají. Říkáme,žeposloupost {a }jeomezeá,existuje-li K R + tak,žeerovost a Kplatíprovšecha.Říkáme,žeposloupost{a }jeomezeáshoraresp. zdola,existuje-li K Rtak,žeje a Kresp. a Kprovšecha. Platí apř. tato tvrzeí:.posloupost {a }jeomezeá,právěkdyžjeomezeáshoraizdola. 2.Je-lilim a <+ resp.lim a > ),jeposloupost {a }omezeá shoraresp. zdola). Každá kovergetí posloupost je omezeá. Pozámka 3.. Na rozdíl od literatury, v íž se koečé a ekoečé limity zavádějí zpravidla třemi růzými defiicemi, jsou zde všechy možosti shruty do jedédefiice.je-li a R,jekojukce ) )ekvivaletísvýrokem,že k ) prokaždé ε R + platíerovost a a < εpros.v.; je-li a=+ resp. a= ),jepodmíka )resp. ))prázdá,protožeelze splitjejípremisu,apodmíku )resp. ))lzeapsatvekvivaletímtvaru ) prokaždé K Rplatíerovost a > Kresp. a < K)pros.v.. 25
3 Čteářsemůžesámpřesvědčit,žesespodmíkami )a )pracujeaspoň takdobřejakospodmíkami k )a ). V této kapitole se budeme zabývat je limitami, které lze vypočítat elemetárími úpravami, záme-li limity ěkterých jedoduchých výrazů, jako apř. { } 0 prokaždé x,) 2) lim x =, + prokaždé x,+ ) 3) lim x= prokaždé x R+. Je ovšem uté zát i základí věty o limitách posloupostí: Věta3.olimitěabsolutíhodoty).Je-li a a R,je a a.je-li a 0,je a 0. Věta3.2olimitěsoučturozdílu),součiuapodílu).Zrelací a a R, b b R plye,že a ±b a±b 4) a b ab a /b a/b, má-lipříslušápravástraasmysl. Dodatek.Nechť a >0resp. a <0)pros.v.;pak a 0 /a + resp./a ). Věta3.3..Je-li a 0aje-li {b }omezeáposloupost,je a b 0. 2.Je-li {a }omezeáposloupostaje-li b +,je a /b 0. Vmohýchpřípadech,vichžsekvýpočtulimityžádázprávěuvedeýchvět přímoehodí,můževéstkcílitatovětaolimitímpřechoduverovostech: Věta3.4.Prokaždétřiposlouposti {a } =, {b } =, {c } = platí:. a b pro s.v., a + b + ; 2. a b pro s.v., b a ; 3. a b pro s.v., a a, b b a b; 4. a b c pro s.v., a b, c b b b. Pozámka 3.2. Jak se čteář sado přesvědčí, je implikace α 5) α R, a,+ ) lim a =0 přímým důsledkem tohoto užitečého tvrzeí: Věta3.5.Prokaždouposloupostčísel a 0platí: 6) lim a + a < lim a =0. 26
4 Ilustrujme yí a ěkolika příkladech, jak lze počítat limity posloupostí elemetárími úpravami: Příklad 3.. Abychom dokázali rovost lim si = 3, stačí všechy sčítace v čitateli i ve jmeovateli dělit. Nové sčítace budou pak mítpořadělimity,0, 0,0čitatel)a0,3jmeovatel)astačíaplikovatV.3.2. Pozameejme, že v podobých případech vytýkáme z čitatele i ze jmeovatele ejvyšší mociy, čímžpo případé úpravě) získáme výraz tvaru α a+, kde0 lim b + a R, 0 lim b R, avěmžtečkyzameajísoučtyvýrazů,zichžkaždýmáulovoulimitu.na taktoupraveývýrazlzepakaplikovatv.3.2.číslo αjerozdílexpoetůmoci vytkutých v čitateli a ve jmeovateli; výsledá limita závisí podstatým způsobem atom,zdalije α <0,ebo α=0,ebo α >0. Příklad3.2.Užitímidetitya 2 b 2 )=a b)a+b)platéprokaždádvě komplexí čísla a, b) vypočteme apř. limitu ) 2 lim + = lim =0. ++ Aplikací obecějšího vzorce 7) a b =a b) a k b k platéhoprokaždé N)arozdíl k=0 8) = ) ) 2 dostaeme zlomek s čitatelem 9) 2 ++) 3 3 +) 2 = ) ) = = 5 3+ ), kdetečkyzameajívýraz,kterýmápro limitu0,asejmeovatelem 0) ) ) 2 3 +) ) 0 = ) ) 0 ) ; vzávorkáchvposledímřádkujepřitom6sčítaců,zichžkaždýmálimitu. 27
5 Z9)a0)ihedplye,že lim ) = 3 6 = 2. Jak jsme již řekli, mohou tam, kde selhávají rovosti, pomoci erovosti a apř. V.3.4;ilustrujmetoopětpříkladem: Příklad 3.3. Abychom vypočetli limitu b:= lim 2 + 5, uvážíme,želim 5 /2 )=0sr.s5)),zčehožplye,žeerovost 5 <2, atedyirelace =2 2 platíprovšechadostatečěvelká. 2 )Protoželim 2=sr.s3)),je b=2 podle4.částiv.3.4. Příklad 3.4. Abychom vypočítali limitu ) lim α kde α R,užijemevzorec k 2, k= k 2 = 6 +)2+) k= zecv.2.3,zěhožjepatré,žepro α=3jelimitarova/3.podlevětyolimitě součiujeprotolimita)rova0provšecha α >3a+ provšecha α <3. Příklad 3.5. Dokažme, že 2) lim =. Protožeje prokaždé N,je =+h provhodéčíslo h 0. Provšecha >jepřitompodlebiomickévěty = ) = +h ) = k=0 k) h k 2 )h2 ; ztohoihedplye,že h 2 2/ ),takže0 h 2/ ) 0.Podle V.3.4jetedyih 0;podleV.3.2proto =+h. 2 )Tj. odurčitéhoidexupočíaje. Čteářmůžeověřit,žeerovost 5 < 2 platípro všecha > 22, zatímco 22 5 /2 22. =.23 >. Proášvýpočet jsouovšemtyto podrobosti zbytečé. 28
6 Cvičeí Vypočtětelimitypro těchtovýrazů: ) 2 +3) 2 ++4) ) 3 3) ) 3 ++2) 2 ++3) + 4 +) ) 7 a α +a 2 α2 + +a p αp b β +b 2 β2 + +b q βq, kde p N, q N, a 0 b a α > > α p, β > > β q ) 2 +) ) ) ) ) ) α ), kde α R 29
7 3.6. α α k= k= k k= k2 +k 3 k2 +k ), kde α R 3 ), kde α R ) k+ k+2 2 k+ k= k= +k α 3 2), kde α α + ), kde α !!!) k 2 k= k=0 +x 2k) x <) Zapředpokladu,že k N,dokažtetatotvrzeí: ) a a R a k a k 2) a ± a k ±)k + ) 30
8 3.33. ) a 0 pros.v., a a R a 0, k a k a 2) a + k a ) a a R, k jeliché k a k a 2) a, k jeliché k a Připomeňme yí ěkteré dobře zámé pojmy: Je-li X R, říkáme, že fukce f: X Rje eklesající rostoucí erostoucí klesající kostatí v X, jestliže x X, y X, x < y fx) fy) fx) < fy) fx) fy). fx) > fy) fx)=fy) Říkáme,žefukce f: X Rjemootóíresp.ryzemootóí),je-libuď eklesající, ebo erostoucíresp. buď rostoucí, ebo klesající). Místo fukce f jeeklesajícírostoucí,erostoucí,klesající)vx setéžříká,že fv Xeklesá roste,eroste,klesá). Je-li X = Neboobecěji X = NN),kde N Z),jefukce f : X R posloupostí. I když se tedy právě vysloveé defiice vztahují i a poslouposti, připomeeme jejich běžějšíekvivaletí) podobu tímto jedoduchým tvrzeím: Posloupost eklesající a a + rostoucí a < a + {a } =je erostoucí, právěkdyž N a a +. klesající a > a + kostatí a = a + Dodejmeještě,žeposloupost {a }seazývástacioárí,existuje-li mtak,že a = a m prokaždé > m. Má-lisedokázatjeexistecelimity,hodísečastotatoobecávěta: Věta 3.6o existeci limity mootóí poslouposti). Každá mootóí posloupost mákoečou ebo ekoečou) limitu. Koečou limitu má právě každá omezeá mootóí posloupost. Podroběji:Je-liposloupost {a }eklesajícíerostoucí),je lim a =sup{a ; N} lim a =if{a ; N}). 3
9 3) Příklad 3.6. Ukažme, že prví z posloupostí roste, druhá klesá. { + ) } {+, ) + } = = Nechť a je -týčleprvíposlouposti;jedoduchýmvýpočtemaužitímberoulliho erovostiviz Cv. 2. 0) dostaeme vztahy = +2 + a + a = + ) +: + + +) 2 ) +2 + ) = +2 +2) ) + +) 2 ) +) 2 = >, kterédokazují,žeposloupost {a }jerostoucí. Nechťb je-týčledruhézposloupostí3);podobýmpostupemjakoahoře získámeprokaždé >relace = + b + = b + 2 ) : + ) += 2 ) ) 2 = >, ) + zichžjepatré,žeposloupost {b }jeklesající. Zezřejméerovosti a < b platé prokaždé Nihed plye,žeobě posloupostijsouomezeé;podlev.3.6 majítedyjistékoečélimity aresp. b. Protožeje b = a +)/aprotože+)/ pro,je a=b. Společá limita 4) e:= lim + ) posloupostí3) se azývá Eulerovo číslo; je základem tzv. přirozeých logaritmů. Cvičeí PomocívětV.3.6 av.3.4 dokažteexistecikoečýchlimittěchtodvouposloupostí: k= k k=, kde α >2. kα Buď a 0 := 2aa := 2+a, je-li N; dokažte,že a 2. 32
10 3.38. Proveďte do všech podrobostí důkaz tohoto tvrzeí: Věta3.7.Prokaždouposloupost {a } = platí: 5) lim a = a R lim a k = a. Návod:Je-lidáo a < a,zvolímepomocé b a,a)aajdeme p Ntak,že je a > b prokaždé > p.protožea +...+a p )/ 0a p)b / b pro,existuje q > ptak,žeprovšecha > qje k= a +...+a = a +...+a p + a p++...+a > a +...+a p + p b > a. Podoběpostupujemevpřípadě,žejedáo a > a.) PomocíV.3.7ukažte,že lim k= k k=. *** Je-li { k } k= rostoucí posloupost přirozeýchčísel, říkáme, že {a k } k= je posloupostvybraázposlouposti {a } =.Zdefiicelimityihedplye,že 6) a a a k a. Číslo a R azývámehromadýmbodemposlouposti {a } =,existuje-li posloupost {a k } k= vybraáz{a } = tak,že a k apro k ).Možiu všechhromadýchbodůposlouposti {a } =začímelsa. 3 ) Platí tato tři důležitá tvrzeí: Věta 3.8.Bolzao Weierstrassova.) Každá posloupost má aspoň jede hromadýbodv R.Každáomezeáposloupostmáaspoňjedehromadýbodv R. Věta3.9.lim a = a R,právěkdyžjeLsa = {a}. Věta3.0.Prokaždouposloupost {a } = existujemilsa imaxlsa. ČíslamiLsa amaxlsa seazývajílimesiferioralimessuperiorposlouposti {a } = azačíseapř.takto: lim if a :=milsa, limsupa :=maxlsa ; symbol podzakylimifalimsupsečastovyechává. 3 )Ozačeíjepřevzatozobecétopologie,kdezameátopologickýlimessuperior;latiský limes je a rozdíl od české limity rodu mužského. 33
11 Sadoahlédeme,žeposloupost{a } = málimitu,právěkdyžjemilsa = maxlsa ;limitajepakrovaspolečéhodotělimifa alimsupa. Obráceě:Ktomu,abyposloupost{a } =emělalimitu,jeutéastačí,aby mělaaspoňdvarůzéhromadébody,tj.abybylolimifa <limsupa. Cvičeí Prokaždouzásledujícíchposloupostí {a } = ajdětemožiulsa ačísla limifa,limsupa ) 3.4. ) ) ) ) ) + + ) ) cos 2 π) si 4 π) ) cosπ si π k, kde k N Dále: Dokažte,žeposlouposti {si} =, {cos} =emajílimitu. Návod pro prví posloupost. Ozačíme-li I k := 6 π+2kπ,5 6 π+2kπ, J k:= 5 6 π+2kπ, 6 π+2kπ, jesix 2 všudevi kasix 2 všudevj kprokaždé k Z.Protožedélka každéhozitervalů I k, J k je 2 3 π >2,existujídvěrostoucíposloupostipřirozeých čísel m k I k, k J k tak,žesim k 2 asi k 2prokaždé k N.Ztoho sado plye, že posloupost si emá limitu.) 34
12 Řešeí a /b pro α = β ;sga /b ) + )pro α > β ;0pro α < β pro α= 4 3 ;+ pro α > 4 3 ;0pro α < pro α= 2 ;+ pro α > 2 ;0pro α < pro α=;+ pro α >;0pro α < pro α >;0pro α < pro α >2;0pro α < / x). ProtožemožiaLsa jevevšechpříkladech koečá,jistěeíuté uvádětjejímiimumlimifa amaximumlimsupa ;omezujemeseprotojea vyjmeováí hromadých bodů ± ± ± , ± ,, , ± ±e ±sijπ/k), 0 j < k. Pozámka3.3.Cvičeí3.24sα=a3.25sα=2evyřešímejedoduchými algebraickýmiúpravami;kvýsledkůmlg3/2). = resp.)všaklzedojít metodami,kterévyložímevkapitole6sr.spo.6.4apříkladem6.8). Cvičeí 3.5. Dokažte,že a Lsa,právěkdyžkaždéokolíbodu aobsahujeekoečě mohočleůposlouposti {a },tj.právěkdyžprokaždé Ua)existujeekoečě mohoidexů,proěžje a Ua). Dokažtedále,ževdůsledkutohoplatíitototvrzeí: 7) b k Lsa provšecha k N, b k b b Lsa Existují poslouposti, jejichž čley jsouprávě) všecha racioálí čísla; jedouzichjeapř.tatoposloupost {a } =:,0,, 4 2, 3 2, 2 2, 2,0 2, 2,2 2,3 2,4 2, 9 3, 8 3,...,0 3,...,9 3, 6 4, 5 4,...,6 4, 25 5,
13 Protožeprokaždéčíslo q Qexistujeekoečěmohoidexů tak,že q=a, jezřejmě Q Lsa.Dokažtevšak,žeLsa = R,tj.žekaždéčíslo r R je hromadým bodem této poslouposti Srovejteprvky dvakrátekoečé matice po jejích vedlejších diagoálách do poslouposti,+ 2,2,+ 3,2+ 2,3,+ 4,2+ 3,3+ 2,4,... a dokažte, že hromadými body této poslouposti jsou právě všecha přirozeá čísla abod Najděteposloupost {a },proižjelsa = Z {,+ } Rozhoděte,zdaliexistujeposloupost {a },proižjelsa rovo N resp. {/; N}resp. Q.Odpověďje e avšechytřiotázky viz7).) 36
Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Více1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7
Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele:
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
VíceDiferenciální počet I
Difereciálí počet I Kapitola II. Poslouposti I: Vojtěch Jarík (author): Difereciálí počet I. (Czech). Praha: Academia, 1974. pp. 73--103. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/401985 Terms of use: Vojtěch
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VícePříkladykecvičenízMMA ZS2013/14
PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceDerivace součinu a podílu
5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost
VíceKomplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1
Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceDIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.
DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých
Více