Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Vojtěch Kudrnáč. Nekonečné součiny. Katedra matematické analýzy

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vojtěch Kudrnáč Nekonečné součiny Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. Studijní program: Matematika Studijní obor: obecná matematika Praha 2012

2 Poděkování: Chtěl bych na tomto místě poděkovat vedoucímu své bakalářské práce doc. RNDr. Mirku Rokytovi, CSc. za trpělivost a ochotu, s jakou se mi věnoval, a za mnohé cenné rady, postřehy a náměty.

3 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V dne

4 Název práce: Nekonečné součiny Autor: Vojtěch Kudrnáč Katedra / Ústav: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Tato práce poskytuje stručný náhled do základů teorie konvergence nekonečných součinů reálných, případně komplexních posloupností. Dále se zabývá především možnostmi rozvinutí některých vybraných funkcí do tvaru nekonečného součinu a důsledky a využitím znalosti těchto zápisů. Účelem práce není dokázat obecně existenci nekonečného součinu pro funkce s určitými vlastnostmi, ale spíše odvodit konkrétní vzorce a dokázat jejich platnost. Z elementárních funkcí je věnována pozornost funkcím odvozeným z exponenciály, obzvláště pak funkci sinus, z neelementárních pak funkcím gama a zeta. Text by měl být srozumitelný i pro člověka, který se s nekonečnými součiny dosud nesetkal. Klíčová slova: Nekonečný součin, konvergence, součinové vztahy pro některé funkce Title: Infinite products Author: Vojtěch Kudrnáč Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: This paper offers a brief insight into the basic theory of convergence of the infinite products of real or complex sequences. Then it focuses mainly on the possibilities of developing some selected functions into the form of infinite product and on the corollaries and utilizations of being familiar with these. Purpose of the paper is not to prove the existence of infinite products for functions with certain characteristics in general, but rather to derive specific formulas and prove their validity. The attention is paid to those elementary functions which are derived from the exponential function, especially the sinus function, the nonelementary functions mentioned are the gamma and the zeta function. The text should be understandable even for a person, who has never came upon infinite products before. Keywords: Infinite product, convergence, infinite products for some functions

5 Obsah Předmluva 1 1. Teoretický úvod Vymezení základních pojmů Konvergence nekonečných součinů 2 2. Nekonečné součiny vybraných elementárních funkcí Sinus a Vietova formule Eulerův nekonečný součin pro sinus a kosinus 9 3. Nekonečné součiny vybraných neelementárních funkcí Funkce gama Funkce zeta 21 Doslov 24 Seznam použité literatury 25 Seznam použitých zkratek 26

6 Předmluva Nekonečné součiny jsou poněkud opomíjenou částí matematické analýzy, přesto poskytují cennou a někdy výhodnější alternativu nekonečných řad při zápisu některých elementárních i neelementárních funkcí. Mezi nekonečnými součiny a nekonečnými řadami lze odvodit jisté vztahy, ať už se týkají obecné konvergence nebo konkrétních vzorců, a právě tyto vztahy mohou mít někdy překvapivá využití. Pro zamyšlení postačí už možnost dvojího zápisu polynomu ve formě konečného součtu mocnin s jejich koeficienty nebo ve formě konečného součinu kořenových činitelů. Zde má jistě součinový tvar opodstatnění, není tedy marné zkoumat, jak by mohl vypadat zápis vybrané funkce ve tvaru (nekonečného) součinu a jaká využití může mít například porovnáme-li ho s řadou. Nekonečnými součiny funkcí se mimo jiné zabýval švýcarský matematik Leonhard Euler ( ). Mnoho z objektů, které zde budou zmíněny, je po něm také na důkaz toho pojmenováno. V první kapitole této práce se seznámíme s pojmem nekonečného součinu a uvedeme několik kritérií jejich konvergence. V následujících kapitolách se pak budeme zabývat nekonečnými součiny vybraných funkcí, jejich odvozením a důsledky. Jmenovitě jsou to ve druhé kapitole sinus a kosinus, ve třetí pak funkce gama a zeta. 1

7 1. Teoretický úvod 1.1. Vymezení základních pojmů Pro účely této práce se budeme pohybovat v tělese komplexních čísel (případně v podtělese reálných čísel ) se standardní metrikou vycházející z absolutní hodnoty, kde funkce a vrací hodnotu reálné, respektive imaginární části komplexního čísla. Definice 1.1. Říkáme, že nekonečná posloupnost komplexních čísel má limitu, jestliže ke každému existuje, takové, že pro každé platí Značíme Definice 1.2. Nechť je nekonečná posloupnost komplexních čísel. Výraz posloupnosti. nazveme -tým částečným součinem Nekonečným součinem posloupnosti rozumíme limitu posloupnosti částečných součinů, pokud tato existuje v. Tedy. Říkáme, že nekonečný součin konverguje, jestliže limita posloupnosti částečných součinů v komplexních číslech existuje a je konečná a nenulová. V opačném případě říkáme, že nekonečný součin diverguje Konvergence nekonečných součinů Věta 1.1. Nechť je posloupnost komplexních čísel taková, že její nekonečný součin konverguje, pak limita této posloupnosti existuje a je rovna 1. 2

8 Důkaz z věty o limitě podílu. Pokud se nyní omezíme na posloupnosti pouze reálných čísel, lze dokázat zajímavé vztahy mezi konvergencemi nekonečných řad a nekonečných součinů. a Věta 1.2. Nechť. Potom nekonečný součin konverguje, právě když konverguje řada *. Důkaz Předpokládejme nejprve, že nekonečný součin konverguje. Pak díky spojitosti logaritmu na kladných číslech máme je kladné reálné číslo, tedy suma na levé straně rovnosti konverguje. V důkazu opačné implikace využijeme spojitosti exponenciály. Za předpokladu, že konverguje, bude i exponenciála tohoto výrazu konečné kladné reálné číslo, tedy b Věta 1.3. Nechť. Pak nekonečný součin konverguje, právě když konverguje suma Důkaz Pro každé je.. * zde značí přirozený logaritmus na kladných reálných číslech. 3

9 tedy pro získáváme limitně z čehož díky vlastnostem exponenciály plyne, že konverguje, právě když konverguje. Tyto věty umožňují zjišťovat konvergenci nekonečných součinů reálných posloupností pomocí kritérií konvergence nekonečných řad. Příklad 1.1. Vyšetřeme konvergenci nekonečného součinu kde je kladná reálná konstanta. Nekonečný součin přepíšeme do tvaru, Pro nekonečný součin diverguje. V opačném případě dle větyb1.3. konverguje nekonečný součin nekonečná řada, právě když konverguje (1.1) To je nekonečná řada posloupnosti kladných členů a jejím limitním srovnáním s řadou zjistíme, že řada (1.1) diverguje. Tedy i zadaný nekonečný součin diverguje pro libovolné. Příklad 1.2. Vyšetřeme konvergenci nekonečného součinu, kde. Z větya1.2. víme, že tento nekonečný součin konverguje, právě když konverguje nekonečná řada Symbol označuje dolní celou část reálného čísla,. Obdobně značí horní celou část, tedy. 4

10 Tato řada je konvergentní pro každé, vidíme tedy, že nekonečný součin konverguje, také pro každé c Následující tvrzení budou platit již pro všechna komplexní čísla. Lemma 1.4. Nechť, a, pak Důkaz Důkaz provedeme indukcí. Pro tvrzení zřejmě platí. Přepokládejme nyní, že máme pevné, pro které platí Dokážeme, že implikace platí i po dosazení namísto. Budeme tedy předpokládat, že. Pak Tím je tvrzení dokázáno 5

11 d Věta 1.5. Nechť a, pak nekonečný součin konverguje nebo diverguje k nule. Je-li navíc, pak nekonečný součin konverguje (je nenulový). Důkaz Zvolíme takové, že. Definujeme následující posloupnost Z lemmatuc1.4. plyne, že Posloupnost (1.2). je konvergentní, tedy je cauchyovská. Mějme. Existuje, že pro každé je. Celkově s využitím lemmatuc1.4. získáváme Posloupnost (1.2) je cauchyovská, a tedy i konvergentní, neboť s metrikou vycházející z absolutní hodnoty je úplný metrický prostor. Odtud je zřejmě konvergentní i posloupnost. Zbývá ještě ukázat, že pokud je, pak je limita této posloupnosti nenulová, tedy nekonečný součin konverguje. Z lemmatuc1.4. dále plyne Tedy, tím pádem a odtud již dostáváme tvrzení. 6

12 2. Nekonečné součiny vybraných elementárních funkcí 2.1. Sinus a Vietova formule Nejprve se zaměříme na odvození nekonečného součinu, který vyjadřuje komplexní funkci, respektive. Tuto funkci lze v bodě spojitě dodefinovat hodnotou 1, můžeme ji tedy nadále chápat jako takto dodefinovanou a tím i spojitou funkci na, respektive holomorfní na. vztahu Jednu z možností zápisu funkce lze odvodit opakovaným použitím Následně vyjádříme obdobně na pravé straně rovnosti, čímž získáme Vidíme, že takto bychom mohli induktivně pokračovat dál. Po -tém rozepsání sinu bychom tedy dostali přepsat takto Toto si zafixujeme. Za předpokladu, že, můžeme ještě celou rovnost Pravou stranu si označíme. Výraz na levé straně je konečným součinem spojitých funkcí, je to tedy spojitá funkce na. Také vidíme, že Dále je pro každé. 7

13 existuje. pro každé s využitím l'hospitalova pravidla, neboť výsledná limita Vidíme tedy, že při dodefinování na množině příslušnou limitou je na celém, a je tedy i spojitá na celém. Pro pevné výraz pro, tedy pro. Posloupnost spojitých komplexních funkcí tedy bodově konverguje k funkci. Nekonečný součin pro pevné je pak z definice roven Tím tedy získáváme přepis funkce do tvaru nekonečného součinu (2.1) Z tohoto vyjádření funkce lze odvodit formuli pro výpočet čísla. Nebo přesněji. Nazývá se Vietova formule. Do dokázaného vztahu (2.1) dosadíme a získáme (2.2) Ze známých vzorců ; odvodíme, že S využitím tohoto vztahu můžeme pak -tý člen posloupnosti ve výše popsaném nekonečném součinu (2.2) induktivně rozepsat takto 8

14 Neboli po dosazení do (2.2) což už je tvar Vietovy formule Eulerův nekonečný součin pro sinus a kosinus Odvodíme ještě další užitečný rozpis funkce do takzvaného Eulerova nekonečného součinu, nejprve ale dokážeme následující tvrzení e Lemma 2.1. Mějme pevné a buďte konvergentní posloupnosti komplexních čísel takové, že platí (i), (ii) pro každé má polynom nenulové komplexní kořeny a pro každé je, pak jsou kořeny polynomu Důkaz Zafixujeme.. Pro každé můžeme výraz přepsat jako Platí tedy Odtud a z limitních vět máme 9

15 čímž je tvrzení dokázáno. Nyní se vrátíme k Eulerovu nekonečnému součinu pro sinus, jeho tvar je následující (2.3) Podle větyd1.5. a faktu, že pro libovolné pevné je vidíme, že nekonečný součin na pravé straně má konečnou hodnotu pro každé a nenulový je, právě když, což platí stejně i pro levou stranu. zapsat jako Víme, že komplexní funkce exponenciála se v bodě dá limitně dále známe následující vztah mezi exponenciálou a funkcí sinus Odtud vidíme (s využitím vět o vlastnostech limity) možnost zápisu funkce sinus v limitním tvaru Následně můžeme oba výrazy v závorce přepsat pomocí binomického rozkladu na konečnou sumu 10

16 11 (2.4) Výraz v limitě je tedy konečný polynom, si zafixujeme a budeme tento polynom faktorizovat, abychom získali zápis ve formě konečného součinu. Označíme Je to polynom stupně, lze ho tedy zapsat ve tvaru (2.5) kde jsou komplexní kořeny polynomu a je komplexní konstanta. Platí, jinými slovy pokud je kořenem, pak je také kořenem. Z (2.5) vidíme, že není kořenem, budeme tedy hledat zápis ve tvaru (2.6) kde jsou nenulové komplexní kořeny polynomu a je komplexní konstanta. Dosazením do (2.5) a (2.6) dostáváme Pro je, dále budeme tedy předpokládat, že.

17 Omezíme-li se na, získáváme Na reálné polopřímce platí (2.7) Imaginární část -té mocniny komplexního čísla je nulová, právě když hlavní hodnota argumentu této mocniny je nebo. To je ekvivalentní tomu, že -násobek hlavní hodnoty argumentu je nějaký celočíselný násobek. Tedy kde je prvkem odpovídající podmnožiny. (2.8) Jelikož reálná i imaginární část je kladná, musí platit, neboli (2.9) Dále víme, že libovolné lze zapsat v goniometrickém tvaru kde je hlavní hodnota argumentu. Odtud lze snadno odvodit, že Hlavní hodnota argumentu, tedy komplexní funkce, značíme, kde je hlavní hodnota přirozeného logaritmu komplexního čísla. 12

18 (2.10) Celkově tedy z (2.7), (2.8), (2.9) a (2.10)pro kladná získáváme Tím jsme nalezli kořenů polynomu ve tvaru Jejich opačné hodnoty jsou také kořeny, celkem jsme tedy nalezli různých kořenů, což je právě stupeň polynomu, a žádné další kořeny proto nejsou. Polynom (2.6) můžeme konečně přepsat do tvaru součinu velká ) tvar (2.11) Tato rovnost je zřejmě platná i pro. Vezmeme pevné. -tý činitel součinu v (2.11) má (pro dostatečně (2.12) Z konvergence v plyne, že v, výraz (2.12) tedy pro jdoucí do nekonečna konverguje ke konečnému výrazu pro libovolné pevné. Z (2.4) a Taylorova vzorce pro sinus máme 13

19 Výraz ke konečnému výrazu (2.13) konverguje pro jdoucí do nekonečna právě, z toho a z (2.13), (2.11) a (2.5) tedy platí což se faktorizací polynomu vyjádřeného sumou v limitě díky lemmatue2.1. rovná Celkově tedy pro sinus dostáváme (2.14) což je ekvivalentní s uvedenou rovností (2.3). Nyní poukážeme na jednu zajímavou možnost využití této rovnosti. Pro funkci sinus máme v bodě rozklad pomocí Taylorovy řady (2.15) který srovnáme s nekonečným součinem (2.14). Odsud tedy získáváme rovnost (2.16) Budeme porovnávat hodnoty koeficientů u příslušných mocnin. Zaměříme se nejprve na koeficient u. Má-li rovnost platit pro všechna 14

20 komplexní čísla, musí se tyto koeficienty rovnat na obou stranách. V Taylorově řadě (2.15) má třetí mocnina koeficient. Koeficient u ve výrazu pro pevné lépe uvidíme po roznásobení tohoto výrazu. Koeficient u je tedy roven Limitou pro získáme příslušný koeficient původní levé strany rovnosti (2.16). Srovnáním s pravou stranou (2.16) je pak Neboli po přepsání do známějšího tvaru (2.17) Podobně můžeme postupovat také s koeficienty u dalších mocnin a získat tak vyčíslení poměrně komplikovaně vypadajících sum. Například u je v Taylorově řadě (2.15) koeficient opět roznásobíme. Vidíme, že příslušný koeficient je zde. Výraz 15

21 Srovnáním limity tohoto výrazu pro jdoucí do nekonečna s koeficientem v Taylorově řadě (2.15) získáme rovnost tedy Odtud Celkově tedy z (2.16) dostáváme (2.18) Srovnání bychom samozřejmě mohli provádět i pro další mocniny. Obdobně jako nekonečný součin (2.14) pro funkci sinus můžeme odvodit například i vzorec nekonečného součinu pro komplexní funkci kosinus. Vyjdeme opět ze zápisu kosinu pomocí exponenciály (2.19) Polynom v limitě pro pevné označíme 16

22 (2.20) Je to polynom stupně a zřejmě pro něj platí, že pokud je kořenem, pak je také kořenem. Pro je to polynom stupně, který je konstantně roven jedné, dále tedy budeme předpokládat, že. Opět se omezíme pouze na kladná reálná, pro která platí (2.21) Tedy je kořenem polynomu, právě když hlavní hodnota argumentu je nebo. To je ekvivalentní tomu, že -násobek hlavní hodnoty argumentu je roven (2.22) kde je prvek odpovídající podmnožiny. Jelikož hlavní hodnota argumentu je z otevřeného intervalu, musí být i z tohoto intervalu. Dostáváme tedy Na kladných máme dle (2.21), (2.22) a (2.23) (2.23) Nalezli jsme různých kořenů polynomu ve tvaru Jejich opačné hodnoty jsou také kořeny, čímž dostáváme kořenů, nalezli jsme tedy všechny. Žádný kořen není nula, polynom tak můžeme přepsat do tvaru 17

23 (2.25) máme (2.24) kde je komplexní konstanta. Dosazením do (2.20) dostáváme (2.25) Zafixujeme. Pro samotný kosinus pak ze (2.19), (2.20), (2.24) a Odtud pak obdobně jako u sinu srovnáním (2.19) a Taylorovy řady pro kosinus získáváme dle (2.20), (2.24) a (2.25) což se dle lemmatue2.1. rovná Odtud již máme zápis funkce kosinus ve tvaru nekonečného součinu 18

24 Podobně bychom ještě mohli odvodit nekonečné součiny funkcí sinus hyperbolický a kosinus hyperbolický, také se ale můžeme spokojit s dosazením a, tedy pro sinus hyperbolický a pro kosinus hyperbolický 19

25 3. Nekonečné součiny vybraných neelementárních funkcí 3.1. Funkce gama Odvodíme vzorec pro zápis reálné gama funkce ve tvaru nekonečného součinu. Definice gama funkce, ze které budeme vycházet, je následující Definice 3.1. Buď. Pak definujeme (3.1) Okamžitě vidíme, že pro. a pro platí. Jinými slovy je Věta 3.1. Limita je konečné reálné číslo. Značíme ji a nazýváme ji Eulerova nebo též Eulerova-Mascheroniho konstanta. Její hodnota je zhruba γ [8]. Důkaz zde provádět nebudeme, lze jej nalézt například v knize Gamma: Exploring Euler's Constant (Princeton University Press, 2003) autorů J. Havil, F. Dyson. Funkci gama přepíšeme do limitního tvaru (3.2) V integrálu ve (3.2) substituujeme a máme integrál Využitím pravidla per partes přepíšeme tento integrál do tvaru 20

26 Toto pravidlo můžeme induktivně použít celkem -krát a získáme Pro funkci gama tak máme další definici ekvivalentní s (3.1) Toto ještě dále upravíme (3.3) (3.4) Limita (3.4) má pro kladná konečnou hodnotu, která je rovna právě. Také víme, že konverguje pro kladná k nenulovému číslu, můžeme tedy napsat 3.2. Funkce zeta Podíváme se ještě na takzvanou funkci zeta (reálnou) definovanou předpisem (3.5) 21

27 Už jsme pomocí nekonečného součinu (2.14) pro sinus ve (2.17) a (2.18) zjistili, že a, nyní odvodíme zápis ve tvaru nekonečného součinu pro tuto funkci samotnou. Buď posloupnost všech prvočísel seřazených podle velikosti tak, že. Každé přirozené číslo pak jde zapsat jako součin (3.6) kde je posloupnost prvků, která má konečně mnoho nenulových členů. Zobrazení, které číslu přiřadí posloupnost tak, že platí rovnost (3.6), je vzájemně jednoznačné. Můžeme napsat (3.7) Nekonečný součet můžeme chápat jako integrál přes aritmetickou míru. Výraz je pro každé kladný a menší nebo roven, dle Lebesgueovy věty tedy můžeme zaměnit pořadí sumy a limity ve (3.7). Tím získáme Řada je pro a pro libovolné absolutně konvergentní, můžeme tedy libovolně změnit pořadí členů řady, aniž bychom tím změnili její součet. Hodnotu zafixujeme a vzájemně jednoznačným zobrazením členy seřadíme tak, aby platilo Přeznačíme a nekonečný součet napíšeme ve tvaru limity. Máme 22

28 (3.8) Z posloupnosti vybereme podposloupnost, následujícím způsobem. Pro bude dále tedy je součet všech členů u kterých se objevují mocniny prvočísel do řádu včetně. Tento konečný součet, tedy -tý člen podposloupnosti pak můžeme přepsat (3.9) Celkově ze (3.8) a (3.9) získáváme Pro a je, a tedy je. Konečně tak máme zápis ve tvaru nekonečného součinu Tento zápis funkce zeta mnohem názorněji ilustruje zajímavý vztah mezi některými vlastnostmi této funkce a rozložením prvočísel. 23

29 Doslov Odvodili jsme nekonečné součiny několika význačných funkcí, které nabízejí mimo jiné další možnosti zápisu těchto funkcí a nové přístupy při práci s nimi. Téma samozřejmě nebylo zdaleka vyčerpáno a je více než pravděpodobné, že další práce s nekonečnými součiny může vést k mnoha zajímavým identitám a vztahům. 24

30 Seznam použité literatury [1] RUDIN, Walter. Analýza v reálném a komplexním oboru.praha: Academia, [2] JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: Academia, [3] ROSENBERG, Jiří. Nekonečné součiny. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, [4] MAOR, Eli. A Remarkable Formula[online] Dostupné z: press.princeton.edu/books/maor/chapter_11.pdf [5] TROW, Paul. A Famous Infinite Series.[online] Dostupné z: [6] ULLRICH, David C. Euler s Formula for sin(z).[online] Dostupné z: [7] MELNIKOV, Yuri A. Infinite Products and Elementary Functions.[online] Dostupné z: c2.pdf?SGWID= p [8] CANTRELL, Cy. Elementary properties of the gamma fiction[online] Dostupné z: [9] DEVLIN, Keith. How Euler discovered the zeta fiction[online] Dostupné z: [10] PAYNE, Stanley. Infinite Sums, Infinite Products, and (2k). [online] Dostupné z: [11] YOUCIS, Alex. Infinite Product Representation of the Gamma Function [online] Dostupné z: 25

31 Seznam použitých zkratek Množina přirozených čísel Množina celých čísel Množina reálných čísel Množina komplexních čísel Reálná část komplexního čísla Imaginární část komplexního čísla Dolní celá část reálného čísla Horní celá část reálného čísla Přirozený logaritmus kladného reálného čísla Hlavní hodnota přirozeného logaritmu komplexního čísla Hlavní hodnota argumentu komplexního čísla Eulerova-Mascheroniho konstanta 26