Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce"

Transkript

1 Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce Metody výpočtu primitivních funkcí Rcionální funkce Ircionální funkce Goniometrické funkce Hyperbolické funkce Eponenciální funkce Integrce některých dlších funkcí II. RIEMANNŮV INTEGRÁL 99 Definice vlstnosti R-integrálu R-integrál jko funkce horní meze Metody výpočtu R-integrálu III. NEVLASTNÍ RIEMANNŮV INTEGRÁL 7 Nevlstní R-integrál n neomezeném intervlu Nevlstní R-integrál z neomezené funkce Nevlstní R-integrál z neomezené funkce n neomezeném intervlu... 4 IV. APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU 47 ObshmnožinvR Délk křivky v R Objem rotčního těles Obsh rotční plochy DODATEK 9 Vybrné vzthy mezi funkcemi Shodné trnsformce krtézských souřdnic v rovině Polární souřdnice VÝSLEDKY LITERATURA

2

3 I Primitivní funkce I.. Definice vlstnosti primitivní funkce I... Eistence jednoznčnost primitivní funkce Definice. Nechť funkce f() F () jsou definovány n intervlu I. Jestliže pro kždé Ipltí F () =f(), () nzývá se funkce F () primitivní funkce k funkci f() nintervlui. (V krjních bodech intervlu I, které do I ptří, jde o příslušné jednostrnné derivce.) Poznámk. Z rovnice () plyne, že funkce F () jespojitáni. Vět (nutná podmínk eistence). Nechť k funkci f() eistuje n I primitivní funkce, pk f() je drbouovská n I. Poznámk. Připomeňme, že funkce f se nzývá drbouovská n intervlu I D( f), jestliže pro kždé dv body, z I s vlstností f( ) <f( )kždé číslo y R, proněžf( ) <y <f( ), eistuje v intervlu o krjních bodech, bod tkový, že f( )=y. Vět (postčující podmínk eistence). Nechť funkce f() je spojitá n I, pk k funkci f() eistuje n I primitivní funkce. Vět. Nechť F () je primitivní funkce k f() n I, pk pro libovolné c R je F ()+c primitivní funkce k f() n I. Vět. Nechť F () G() jsou primitivní funkce k f() n I, pk eistuje c R tk, že F () G() =c pro kždé I. Důsledek. Nechť F () je primitivní funkce k f() n I, pk {F () +c; c R} je množin všech primitivních funkcí k f() n I. Oznčení. Množin všech primitivních funkcí k funkci f() nintervlui se znčí symbolem f(), () vzhledem k předchozím tvrzením můžeme psát f() = F ()+c, () kde F () je nějká primitivní funkce k f() ni c R je libovolná konstnt. 7

4 Symbol f() se čte integrál z funkce f() postup hledání primitivní funkce se nzývá integrování. I... Vlstnosti primitivní funkce Vět. Nechť funkce f() má primitivní funkci n I, pk ( f() ) = f() n I. Nechť funkce f() má derivci n I, pk f () = f()+c, c R, n I. Vět. Nechť funkce f() g() mjí primitivní funkce n I k R. Pk funkce f()+g() kf() mjí primitivní funkce n I pltí (f()+g() ) = f() + g(), (4) kf() = k f(). Poznámk. Nechť F je tříd elementárních funkcí, tj. množin všech funkcí, které vzniknou konečným počtem lgebrických opercí skládáním ze zákldních elementárních funkcí *), pk pltí: Je-li funkce f() F, pk její derivce f () F,le její primitivní funkce F () = f() nemusí ptřit do F. Npř. funkce e, sin,, ln e,sin, sin pod. mjí primitivní funkci n svém definičním oboru, protože jsou spojité, le tyto primitivní funkce nejsou elementární funkce. I... Vzorce Ze známých vzorců pro derivce funkcí plynou následující vzorce, které pltí n kždém intervlu, který ptří do definičního oboru integrovné funkce. I. II. α = α+ α + + c, =ln + c α R, α *) Z zákldní elementární funkce povžujeme mocninnou funkci, eponenciální funkci, logritmickou funkci, goniometrické funkce funkce k nim inverzní, hyperbolické funkce funkce k nim inverzní. 8

5 III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV. XVI. e = e + c = ln + c, sin = cos + c cos =sin + c R, >, sin = cotg + c cos =tg + c = rctg + c = rccotg + c + =rcsin + c = rccos + c ± =ln + ± + c = ln + + c sinh =cosh + c cosh =sinh + c sinh = cotgh + c cosh =tgh + c I..4. Řešené příkldy. ( e ) =. ( ) = 4 e = e + c 6 +4 = c 9

6 cos = tg = +cos sin cos = = + cos cos =tg + c 5 = 75 = 75 ln 75 + c = cos = + sin cos = + c Použitím vzorců njděte primitivní funkce: 6. ( ) 7. (5 ) 4 ( ) 8. ( ) ( + ) ( + sin +cos).. ( ) ( ).. 4. sin, π cotg ( sinh + b cosh ) tgh cotgh

7 7. Dokžte, že je-li f() = F ()+c, pk f( + b) = F ( + b)+c,. Použitím vzorců příkldu 7 njděte primitivní funkce: ( ) e + 4. e +. (e 4. + e ) (sin 5 sin 5α) sin ( + π 4 ) +cos cos +sin (sinh( +)+cosh( ) ) Návod: += =( ) + 7 [( ) 4 = ] 7 + = cosh sin cos sinh cosh

8 54. sin 4 6. (sinh )sinh 55. cos 4 6. (cosh )cosh (sin )cos Návod: = sin +cos (sinh )cosh (sin )sin( + α) (sin )sin ( + ) 59. (sin )sin e 6. ( cos ) cos 69. m(, ) 6. (sin( π 6 )) cos( + π 4 ) 7. [] sin π, 7. Vypočtěte 7. Vypočtěte 7. Vypočtěte f(), kdef() = { pro pro > pro < f(), kdef() = + pro< pro <<+ f () 74. Njděte f(), je-li f ( )=,> 75. Njděte f(), je-li f (sin )=cos { pro < 76. Njděte f(), je-li f (ln ) = pro <<+ f() =.

9 I.. Metody výpočtu primitivních funkcí I... Substituce Vět (. vět o substituci). Nechť funkce ϕ() je definován n intervlu I, ϕ(i ) I, nechť eistuje ϕ () n I. Nechť funkce f(t) je definován n intervlu I. Má-li funkce f(t) primitivní funkci n I, pk funkce f(ϕ())ϕ () má primitivní funkci n I.Je-liF(t) primitivní funkce k funkci f(t) n intervlu I,jeF(ϕ()) primitivní funkce k funkci f(ϕ())ϕ () n intervlu I. Poznámk.. větu o substituci zpisujeme ve tvru f(ϕ())ϕ () = f(t) dt, (5) kde t = ϕ(), dt = ϕ (), I, t I. Vět (. vět o substituci). Nechť funkce ϕ(t) je definován n intervlu I, ϕ(i ) = I, nechť eistuje ϕ (t) n I. Nechť funkce f() je definován n intervlu I. Funkce f() má primitivní funkci n I, právě když má funkce f(ϕ(t))ϕ (t) primitivní funkci n I.. Je-li F () primitivní funkce k funkci f() n I,jeF(ϕ(t)) primitivní funkce k funkci f(ϕ(t))ϕ (t) n I.. Je-li Φ(t) primitivní funkce k funkci f(ϕ(t))ϕ (t) n I,jeΦ(ϕ ()) primitivní funkce k funkci f() n I. Poznámk. První část. věty o substituci je vlstně. vět o substituci s omezeným předpokldem ϕ. Druhou část. věty o substituci zpisujeme ve tvru f() = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, (6) kde = ϕ(t), = ϕ (t) dt, t I, I. I... Per prtes Vět (metod per prtes). Nechť funkce u(),v() mjí derivce u (),v () n intervlu I. Eistuje-li n I primitivní funkce k jedné z funkcí u ()v(), u()v (), eistuje i ke druhé z nich. Je-li F () primitivní funkce k u()v () n intervlu I, je u()v() F () primitivní funkce k u ()v() n intervlu I. Poznámk. Metodu per prtes zpisujeme ve tvru u()v () = u()v() u ()v(). (7)

10 Poznámk. Pro volbu funkcí u() v () ve vzorci (7) neeistuje žádné prvidlo. Ze zkušenosti zjistíme, že ve většině přípdů volíme jko u() funkce ln, rcsin, rccos, rctg, rccotg, n jkov () funkce e,sin,cos, n,. V přípdě, že integrál u ()v() je složitější než původní, je vhodné zkusit volit u() v () obráceně nebo jiným způsobem tehdy, když u()v () je součin spoň tří funkcí. Metodu per prtes tedy používáme tk, že volíme funkce u() v () počítáme u () v(), přitom v() je libovolná primitivní funkce k v (), zprvidl volíme integrční konstntu rovnu nule. Poznámk. Při hledání primitivních funkcí používáme tké kombinci substituční metody metody per prtes dále smozřejmě vzthy (4) vzorce I... Většinou eistuje více způsobů nlezení primitivní funkce k dné funkci, npř. různé substituce i metod per prtes primitivní funkci lze nlézt metodou per prtes nebo Eulerovými substitucemi (I.4..) nebo Ostrogrdského metodou (I.4..) nebo goniometrickými substitucemi (I.4..6). Nlezené primitivní funkce se přitom mohou lišit pouze o konstntu. I... Řešené příkldy 77. Použitím. věty o substituci njděte primitivní funkce: ) + Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() =+, pk dt =. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=(, ) =I. + = tdt= 4 t4 + c = 4 ( + ) 4 + c. b) ( + ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() =,pk dt =. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=(, ) I. ( + ) = dt +t =rctgt + c =rctg + c. c) + Primitivní funkci hledáme n intervlech (, )(, + ), volíme t = ϕ() = = +,pkdt =. + Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů (, ) (, ) t (, + ) =Df,tedy 4

11 ) I =(, ), ϕ(i )=(, + ) Df. ) I =(, + ), ϕ(i )=(, + ) Df. + = + = dt = t = ln t t + + c = ln c. d) ( ) Primitivní funkci hledáme n intervlech (, )(, + ), volíme t = ϕ() = =, pkdt =. Funkce f(t) = ( t) je definován n (, ) (, + ) =Df,tedy t ) I =(, ), ϕ(i )=(, + ) Df. ) I =(, + ), ϕ(i )=(, ) Df. = ( t) ( ) = dt = t dt dt dt t + t 99 t = 98 99t 99 49t t + c = 97 99( ) 99 49( ) + + c ( ) 97 = 78. Použitím. věty o substituci njděte primitivní funkce: e ) +e Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() =+e, pk dt = e. Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů (, ) (, + ) =Df, t tedy I =(, + ), ϕ(i )=(, + ) Df. e dt +e = t =ln t + c =ln(+e )+c. ln b) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() = ln, pk dt =. I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=(, + ) =I. ln = t dt = t + c = ln 5 + c

12 c) sin cos Primitivní funkci hledáme n intervlech ( π +kπ, π +kπ), k Z, volíme t = ϕ() =cos, pkdt = sin. I k = ( π +kπ, π +kπ), k Z, ϕ(i k )=(, pro kždé k Z, I = =(, + ), ϕ(i k ) I. sin cos = dt t = t + c = cos + c. d) sin Primitivní funkci hledáme n intervlech (kπ, (k + )π), k Z. ) Volíme t = ϕ() =cos, pkdt = sin. Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů t (, ) (, ) (, + ) =Df ϕ((kπ, (k +)π)) = (, ) pro kždé k Z, tedyϕ((kπ, (k +)π)) Df sin sin = sin = sin cos = dt t = = ln t t + + c = ln cos cos + + c. ) Volíme t = ϕ() =tg,pkdt =. cos Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů t (, ) (, + ) = Df ϕ((kπ, (k +)π)) = (, + ) prok Z sudé, ϕ((kπ, (k +)π)) = (, ) pro k Z liché, tedy ϕ((kπ, (k +)π)) Df. sin = (sin )cos = =ln t + c =ln tg + c. (tg ) cos 79. Použitím. věty o substituci njděte primitivní funkce: ) +e = dt t = Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), položíme t = +e (t >), vypočítáme volíme = ϕ(t) =ln(t ), pk = tdt t. 6

13 I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). = +e t t t dt = dt t = t =ln t + + c =ln +e +e + + c. b) Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, ), volíme = ϕ(t) = =sint, pk =costdt. ) I =(, ), I =( π, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n( π, ), ) I =(, ), I =(, π ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, π ). = cos tdt (sin t)cost = dt sin t = = cotg t + c = cos t sin sin t = t + c = + c. sin t (Poznámk: Primitivní funkci lze též vyjádřit ve tvru cotg rcsin + c.) c) + Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), položíme t = (t >), vypočítáme volíme = ϕ(t) =t,pk =tdt. I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). + = t t + +t dt = dt dt = dt 4 +t +t = =t 4ln(+t)+c = 4ln(+ )+c. 8. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) ln [ u =ln u ln = ] v = ln = = v = = ln + c = (ln ) + c b) sin [ u = u sin ] = v = cos + cos = =sin v = cos = cos +sin + c 7

14 8. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) e [ u = e u ] [ = u = u v = e v = e = e e ] = v = e v = e = e e + e = e e +e + c = e ( +)+c b) rccos [ u = rccos rccos u = rccos ] v = = v = [ rccos u = rccos u = rccos + = ] v = v = = = rccos rccos = = rccos rccos + c 8. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) + + I = + = + = = + + [ u = u ] = + v = v = + = + = ln( + + )+ + + = = ln( + + )+ + I. Máme tedy I = ln( + + )+ + odsud dostáváme + = ln( + + )+ + + c b) e cos b,,b [ u =cosb u I = e cos b ] = b sin b v = e v = = e = e cos b + b [ u =sinb u e sin b ] = b cos b v = e v = = e 8

15 = e cos b + b e sin b b e cos b. Tedy I = e cos b + b e sin b b I Dále řešíme tuto rovnici dostáváme e cos b = e ( cos b + b sin b)+c + b 8. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály: ) I n = sin n, n N, n > [ u =sin I n = sin n n u =(n )(sin n ] )cos v = =sin v = cos = (sin n )cos +(n ) (sin n )cos = = (sin n )cos +(n ) (sin n )( sin ) = = (sin n )cos +(n ) (sin n ) (n ) sin n. Máme tedy I n = (sin n )cos +(n )I n (n )I n. Dále řešíme tuto rovnici dostneme rekurentní vzorec I n = n (sinn )cos + n n I n b),,n N, n> ( + ) n Integrál uprvíme I n = + ( + ) = n Druhý integrál řešíme per prtes [ u = u ( + ) = n v = = ( n)( + ) + n (n ) ( + ) n v = ( + ) n ( n)( + ) n ( + ) n. Po doszení pk dostneme rekurentní vzorec I n = n + (n )( + ) n (n ) I n 9 ] = ( + ) n.

16 I..4. Pro n =je Příkldy + = rctg. 84. Nechť funkce ϕ() má spojitou derivci n intervlu I. Dokžte, že pltí ( + ) ( ) (8 + 7) 4 ( 5 +) e (ϕ()) α+ + c (ϕ()) α ϕ α+ je-li α R, α () = ln ϕ() + c je-li α = Substituční metodou njděte primitivní funkce: ( + ) e (sin ) Návod: volte t = 4 + α + α+, + + ( ) α R ( + ) (sin ) ( )

17 ( + ) + ( ) ( 5 ) e ( ln )lnln ln +ln ( ln + ) ln( + + ) + (sin 5 )cos sin +cos tg cotg (cos 5 ) sin sin cos. 5 ( 5 ) 8. sin +cos.. e + e e 4 e sin +cos sin cos sin cos 4. e 4 +e 4. cos cos

18 cos +cos sinh cosh sin cos sin + b cos sin sin cos (sin ) 4 cotg (cosh ) tgh sin +cos +cos sin cos tg cotg cos sinh cosh sin cos sin cos cos sin sin cos +cos 6. cos 4 Návod: = sin +cos sin cos 6 cos ln ln tg sin e tg +cotg cos cos e sin (rcsin ) rccos 4 ln rccos rccos rctg + rctg rctg e cosh +

19 Metodou per prtes njděte primitivní funkce: 7. α ln, α R, α 75. ( ) ln ln ln ln ln e e sin sin sin cos sinh cosh ( ) ln ln rccos rctg rcsin rccos rcsin ln( + + ) ln + ln + ln + ln( ) cos ln sin sin rctg.. 4. ln( + + ) + ln + (sin )lntg 9. rcsin 5. 5 e 9. rctg 6. rcsin

20 7. rctg. sin ln 8. ln ( + + ). e sin b ( + ) ( + ) e e sin rctg rccotg e e, +, e rccos e sin ( ) cos e (e cos ) e sin e sin e ( +) e ( +) ln( + ) + ( + b) +b ( + )( + b) 8. sin ln. ( ) e 9. cos ln. f (). Nechť f() je ryze monotónní spojitá funkce n intervlu I f () jejejí inverzní funkce n intervlu f(i). Dokžte, že je-li f() = F ()+c, pk f () = f () F ( f () ) + c. Uvžujte přípdy: ) f() = n (n>); b) f() =e ;c)f() =rcsin; d) f() = rgtgh. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály I n (n N): 4

21 4. I n = n e, 9. I n = cos n, n> 5. I n = ln n 4. I n = sinh n, n> 6. I n = α ln n, α 4. I n = cosh n, n> 7. I n = 8. I n = n, n> + sin n, n> 4. I n = 4. I n = sin n, n> cosh n, n> Njděte primitivní funkce: e 48. cos ln sin ln sin 5 cosh 7 5. Dokžte následující vzorce I. + = rctg + c, II. III. IV. = ln + + c, ± = ± ln ± + c =rcsin + c, > V. VI. ± =ln + ± + c, > ± = ± ± + c, > 5

22 VII. VIII. = + rcsin + c, > ± = ± ± ln + ± + c, > Uprvením kvdrtického trojčlenu n tvr y ±,resp. y,kdey je lineární funkce proměnné, použitím příkldu 5 njděte primitivní funkce: b, b Dokžte, že je-li pk pltí y = y = + b + c,, cos α sin 8sincos +5cos sin cos sin 4 +cos 4 y ln + y + c pro > y rcsin b 4c + c pro < b, b

23 7. cos +sin +cos (sinh )cosh sinh 4 +cosh I.. Rcionální funkce I... Rozkld n prciální zlomky Definice. Rcionální funkcí se nzývá funkce f() tvru f() = P () Q(), (8) kde P () Q() jsou polynomy s reálnými koeficienty. Vět. Nechť n N {} Q() je polynom s reálnými koeficienty stupně n, tj. Q() = n n + n n + + +, kde i R, i =,...,n, n. Pk pltí Q() = n ( α ) k ( α ) k...( α i ) k i ( + p + q ) l ( + p + q ) l...( + p j + q j ) l j, (9) kde α,α,...,α i jsou reálné různé kořeny polynomu Q k,k,...,k i jejich násobnosti kvdrtické členy ( +p +q ), ( +p +q ),...,( +p j +q j ) jsou reálné, nvzájem různé mjí kompleně sdružené kořeny (komplení kořeny polynomu Q), jejichž násobnosti jsou l,l,...,l j. Poznámk. Vzth (9) se nzývá rozkld polynomu Q n součin kořenových činitelů. V rozkldu (9) může být i =neboj =, pk rozkld neobshuje lineární nebo kvdrtické členy. Pltí ovšem k + k + + k i +l +l + +l j = n. 7

24 Vět (o rozkldu rcionální funkce n prciální zlomky). Nechť P () je reálný polynom stupně m Q() je reálný polynom stupně n (9) je rozkld polynomu Q() n součin kořenových činitelů. Pk eistuje polynom R() stupně m n (je-li m<n je R() ) n reálných čísel tk, že pro kždé R, pro které Q(),pltí A,A,...,A k, A,A,...,A k,..., A i,a i,...,a iki, B,C,B,C,...,B l,c l, B,C,B,C,...,B l,c l,..., B j,c j,b j,c j,...,b jlj,c jlj () P () Q() = R()+ + A A + α ( α ) + + A k ( α ) + k + A A + α ( α ) + + A k ( α ) + k... + A i A i + α i ( α i ) + + A iki + ( α i ) k i + B + C + p + q + B + C ( + p + q ) + + B l + C l ( + p + q ) l + + B + C + B + C + p + q ( + p + q ) + + B l + C l ( + p + q ) + l... + B j + C j + B j + C j + p j + q j ( + p j + q j ) + + B jl j + C jlj ( + p j + q j ) l j. () Poznámk. Hledání primitivní funkce k rcionální funkci (8) se tedy skládá ze dvou částí. Nejprve nlezneme rozkld () pk nlezneme primitivní funkce k prciálním zlomkům. Nlézt rozkld () znmená nlézt n konstnt (). 8

25 Je-li m n, vydělíme polynomy P () :Q() dostneme P () Q() = R()+P () Q(), kde stupeň P () jemenšínežstupeňq(). Zbytek, tj. rcionální funkci P () Q(),pk rozkládáme n prciální zlomky. Je-li m<n, je R() rcionální funkci rozkládáme přímo n prciální zlomky. P () Q() = P () Q() Důležité! Rozkládt n prciální zlomky můžeme jen rcionální funkci P () Q(),kde stupeň P () je menší než stupeň Q(). Nechť tedy rcionální funkce P () Q(), kde stupeň P () <n, je součtem prciálních zlomků z rovnosti (), tj. zkráceně P () Q() = A + + B jl j + C jlj α ( + p j + q j ), () l j potom při hledání konstnt () postupujeme následujícím způsobem: Sečteme zlomky n prvé strně rovnosti () porovnáme polynomy v čitteli rcionálních funkcí n obou strnách rovnosti (). Dostneme tk rovnost dvou polynomů, kterou můžeme k nlezení konstnt () využít dvěm způsoby: *) ) Dv polynomy se sobě rovnjí, mjí-li u stejných mocnin proměnné stejné koeficienty. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné dostneme soustvu n lineárních rovnic o n neznámých konstntách. ) Dv polynomy (funkce) se sobě rovnjí, rovnjí-li se funkční hodnoty v kždém bodě. Doszováním různých vhodně zvolených čísel, nejlépe kořenů polynomu Q, dostneme tké soustvu n lineárních rovnic o n neznámých konstntách, která má v přípdě doszování kořenů polynomu Q jednodušší tvr. Tto metod je výhodná zejmén v přípdě, kdy má polynom Q jednoduché kořeny. Obě metody lze vzájemně kombinovt, npř. postupným doszením i reálných různých kořenů získáme přímo i konstnt dlších n i konstnt získáme ze soustvy n i rovnic, které dostneme buď porovnáním koeficientů u vybrných n i mocnin proměnné (npř. nejvyšších nebo nejnižšších) nebo doszením dlších n i různých čísel. *) Poznámk. Má-li polynom Q pouze násobné reálné kořeny, můžeme k nlezení konstnt () použít metodu derivování. Postupným doszováním všech různých j-násobných kořenů (j = =,,...,k,kdek N je největší násobnost) do (j ). derivce rovnosti dvou polynomů v čitteli rovnosti () získáme všechny konstnty (), viz [4]. 9

26 I... Integrce prciálních zlomků. druhu A ln α + c A pro k = ( α) = k A ( k)( α) + c k pro k>. druhu Nechť B, pk uprvíme B + C ( + p + q) k = B = B B + C ( + p + q) k + C B ( + p + q) k = B ( + p ( + p + q) + C Bp ) k + p + C p B ( + p + q) = k ( + p + q) k. První integrál njdeme podle. věty o substituci, kde t = ϕ() = + p + q. + p ln( + p + q)+c pro k = ( + p + q) = k ( k)( + p + q) + c k pro k> Druhý integrál je vlstně tké prciální zlomek. druhu pro přípd B =. Uprvíme kvdrtický trojčlen ( ) + p ) ( ( ) + p + q = + (q p + p = +), 4 kde oznčíme = q p, což lze vzkledem k tomu, že 4 + p + q nemá reálné kořeny. Dále substitucí t = ϕ() = +p dostváme ( + p + q) = k ( ) ) k +p k = dt k (t +). k + Pro k =je dt t + = rctg t, prok>oznčme dt I k = (t +) k metodou per prtes odvodíme rekurentní vzorec (viz př. 8b) I k = t k + (k )(t +) k (k ) I k. ()

27 Uprvíme-li kvdrtický trojčlen n tvr + p + q = ( + p ) +, kde = q p,oznčíme-li 4 I k = ( ) ( + p k ) + dostneme rekurentní vzorec ve tvru (viz př. 8b) I k = + p (k ) ( ( + p ) + ) k + k (k ) I k (4) pro k>, ( + p ) + = rctg + p. Poznámk. Z popsné metody integrce prciálních zlomků vyplývá, že primitivní funkcí ke kždé rcionální funkci je elementární funkce. Poznámk. Uvedená metod integrce rcionální funkce je obecná. S její pomocí lze nlézt primitivní funkci ke kždé rcionální funkci z podmínky, že jsou známy nebo mohou být vypočítány všechny kořeny polynomu ve jmenovteli. V některých přípdech vidíme, že není nezbytně nutné použít tuto obecnou metodu, le použití jiného způsobu (lgebrické úprvy integrovné funkce n jiný tvr, substituční metod, metod per prtes) vede rychleji k cíli. (viz př ). I... Ostrogrdského metod V přípdě násobných kořenů polynomu Q() je rozkld rcionální funkce P () n Q() prciální zlomky spojen s náročným výpočtem konstnt () dále pk integrce prciálních zlomků zvláště v přípdě násobných kompleních kořenů vede n opkovné používání rekurentního vzorce () resp. (4), tedy ke zdlouhvým výpočtům. Tyto problémy řeší lgebrická metod výpočtu rcionální části primitivní funkce k rcionální funkci, která se nzývá Ostrogrdského metod. Jk víme z integrce prciálních zlomků, má-li polynom Q() násobné kořeny, reálné nebo komplení, je primitivní funkce vždy součtem rcionální funkce funkcí ln rctg (přípdně jen jedné z nich).

28 Vět. Nechť P () Q() jsou reálné polynomy, stupeň P<stupeň Q, polynom Q() má násobné kořeny. Pk eistují dv polynomy P () P () tk, že pltí P () Q() = P () Q () + P (), (5) Q () kde Q () Q () =Q() polynom Q () má jen jednoduché kořeny, stupeň P stupeň Q, stupeňp stupeň Q. Poznámk. Vzth (5) se nzývá Ostrogrdského vzorec, P () Q se nzývá rcionální () část P () trnscendentní část primitivní funkce P (). Q () Q() Poznámk. Metod spočívá v nlezení polynomů P ()P () integrci trnscendentní části P () metodou rozkldu n prciální zlomky. Polynomy P Q () () P () vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty. Derivováním rovnosti (5) dostneme P () Q() = P ()Q () P ()Q () + P () Q () Q () poúprvě P () Q() = P ()Q Q () P () () Q Q () ()+P ()Q (). (6) Q ()Q () Porovnání polynomů v čitteli zlomků n obou strnách rovnosti (6) vede k rovnosti dvou polynomů npř. porovnáním koeficientů u mocnin proměnné, je-li stupeň Q = n, dostneme soustvu n lineárních rovnic pro n neznámých koeficientů polynomů P () P (). Tto soustv rovnic je většinou jednodušší než soustv rovnic pro koeficienty při rozkldu funkce P () Q() že rcionální část P () Q () n prciální zlomky. Dále je výhodné, získáme pouze lgebrickou cestou bez použití integrce. I..4. Řešené příkldy 8. Njděte primitivní funkci Rozkldem n prciální zlomky odkud ( +)( +)( ) ( +)( +)( ) = A + + B + + C = A( +)( ) + B( +)( ) + C( +)( +).

29 Doszením = : = 4A A = 4 = : =5B B = 5 =: =C C = ( +)( +)( ) = = = 4 ln + 5 ln + + ln + c Njděte primitivní funkci Vydělením rozkldem jmenovtele dostneme 4 +5 = = ( )( + +) Rozkldem n prciální zlomky 6 + ( )( + +) = A + B + C + + odkud 6 + =A( + +)+(B + C)( ). Doszením =: 5=5A A = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : 6 = A + B B =4 : =A C C =. Je tedy 4 +5 = + = +ln = ( +) + = = +ln +ln( + +)+rctg( +)+c.

30 Njděte primitivní funkci ( +)( +) Rozkldem n prciální zlomky odkud ( +)( +) = A + B + + C + D =(A + B)( +)+(C + D)( +) porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : = A + C : = A + B + D : 5 = A B +C : = B +D dostneme A =,B =,C =,D =. Uprvíme += ( ) + 4 = 4 ( ) + vypočteme ( +)( +) = = rctg = rctg +ln( +)+ + = ) + = ( rctg + c. 84. Njděte primitivní funkci Úprvou jmenovtele = ( + ) = ( +)( ) = ( +) ( ) rozkldem n prciální zlomky dostneme = A + B + 4 C + + D ( +) + E.

31 Máme 4 +=A( +) ( ) + B( +) ( ) + + C ( ) + D ( ) + E ( +), odkud doszením =: = B B = = : = D D = =: =4E E = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 4 : : = A + C + E = A B dostneme A =,B =, C =, D =, E =. Je tedy = 85. Vypočtěte =ln ( ) ( +) = + Rozkldem n prciální zlomky dostneme Máme ( +) + = ln ln + c. 4 8 ( ) ( +) = A + B ( ) + C + D + + E + F ( +). 4 8 = A( )( +) + B( +) + +(C + D)( ) ( +)+(E + F )( ), odkud doszením =: 4 =4B = i : 4 8i =(Ei + F )(i ) =E if 5

32 porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 5 : 4 : : = A + C = A + B C + D = A + B + D + F dostneme A =,B =, C =, D =, E =, F =4. Je tedy = 4 8 ( ) ( +) = + ( ) + 4 ( +) = =ln + ln( +) rctg ( +). Podle rekurentního vzorce () je ( +) = ( +) + rctg. Máme tedy 4 8 ) =ln( ( ) ( +) + + rctg c. 86. Ostrogrdského metodou vypočtěte (příkld 85) 4 8 ( ) ( +) Protože Q() =( ) ( +) je Q () =( )( +),Q () =( )( +)P () =A + B + C, P () = + b + c. Tedy 4 8 ( ) ( +) = A + B + C ( )( +) + + b + c ( )( +). Derivováním 4 8 ( ) ( +) = = (A + B)( )( +) ( +)(A + B + C) ( ) ( +) + + b + c ( )( +) 6

33 po úprvě 4 8 =(A + B)( + ) (A + B+ C)( +)+ +( + b + c)( + ). Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 5 : 4 : : : : : = = A + b = B + c b 4 = A + B C + b c 8 = A +C + c b = B C c dostneme A =,B =, C =, =,b =,c =. Rozložíme n prciální zlomky + ( )( +) = D + E + F +, tedy +=D( +)+(E + F )( ), odkud doszením =: 4=D D = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : = D + E E = : = D F F =. Je tedy 4 8 ( ) ( +) = ( )( +) + = + = ( )( +) +ln ln( +)+rctg + c = = ) +ln( + rctg + c. ( )( +) + 7

34 87. Njděte rcionální část primitivní funkce ( +) Použijeme Ostrogrdského metodu. Protože Q() =( +),jeq () =( + +), Q () = +P () =A + B + C + D, P () = + b. Tedy ( +) = A + B + C + D + ( +) + b +. Derivováním ( +) = = (A +B+ C)( +) ( + )()(A + B + C+ D) ( +) b + po úprvě =(A +B + C)( +) 4(A + B + C + D)+( + b)( +). Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 5 : = 4 : = A + b : = B : = A C +b : = 4D : = C + b dostneme A = 8, B =,C = 5 8, D =, =,b = 8. Rcionální část primitivní funkce je 8 +5 ( +). I..5. Příkldy Rozkldem n prciální zlomky njděte primitivní funkce: ( )( +) ( +)( +) ( )( +5) 8

35 ( )( +)( 4) 4 +4 ( )( + )( 5) 5 ( )( + ) + ( +) ( ) ( ) ( )( 4) ( +)( +) ( +) ( +)( +) ( )( +) ( 4 +4)( 4 +5) ( ) ( + +) ( + )( + + )

36 4. ( +)( +) ( + )( + )( + ) Při jké podmínce je primitivní funkce rcionální funkce? + b + c ( ) Ostrogrdského metodou njděte primitivní funkce: ( ) ( +) ( 4 +) ( +) ( +) ( + +) ( )( + +) ( 4 ) 4 +4 ( +) ( + ) ( ) ( + +) ( +) ( + +) Njděte rcionální část primitivní funkce: ( +) ( 4 + +) ( + +) 47. (4 5 ) ( 5 + +) 4

37 48. Při jké podmínce je primitivní funkce α +β + γ ( + b + c),b 4c, rcionální funkce? Použitím vhodných postupů (lgebrických úprv, substituce, rozkldu n prciální zlomky pod.) njděte primitivní funkce: ( ) ( ) 4 ( ) ( + 5 +) n n + n ( n +) ( +) ( +) 7 ( + 7 ) 4 ( 4 5)( 5 5 +) ( + )

38 I.4. Ircionální funkce Při hledání primitivních funkcí některých funkcí (trnscendentních) lze integrovné funkce vhodnou substitucí (nebo více substitucemi) převést n integrci rcionálních funkcí. V této části uvedeme nejvíce používné substituce pro některé význmné třídy ircionálních funkcí. Úmluv. Oznčme R(,..., n ) rcionální funkci n proměnných, tj. podíl dvou polynomů s reálnými koeficienty n proměnných, kde z proměnné doszujeme funkce, npř = R (,, ) +. ( ( + b ) s,..., ( + b ) ) sn I.4.. R, c + d c + d Předpokldy: n N, s,...,s n Q,,b,c R, d bc. I.4... Substituce Položíme t s = + b c + d, kde s je společný jmenovtel zlomků s,...,s n (jsou z Q), vypočítáme, volíme substituci = ϕ(t) = b dts ct s podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. I.4... Řešené příkldy 7. Njděte primitivní funkci +, > Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ), položíme t = + vypočítáme volíme = ϕ(t) = t + t,pk = 4t (t ) dt. 4

39 ) I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ), ) I =(, + ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, ). + = t 4t (t ) dt =4 t (t ) dt. Rozkldem n prciální zlomky tkže t (t ) = A t + B (t ) + C t + + D (t +), t = A(t +) (t ) + B(t +) + C(t ) (t +)+D(t ). Doszením t = : =4D D = 4 t =: =4B B = 4 porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t : t : = A + C = A + B + C + D dostneme A =, C =. Můžeme tedy dopočítt náš integrál 4 4 = + =4 ( dt t + dt (t ) t = ln t + t t + c = ln t (t ) dt = dt t ) dt = (t +) + + =ln + +( + ) + + k, + c = kde k = c ln. 4

40 7. Njděte primitivní funkci ( + ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ) =I, protože s =, s =, 6 s = je s = 6, volíme = ϕ(t) =t6, =6t 5 dt. I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ) ( + = ) =6 7. Njděte primitivní funkci t 6 + t 4 + t t 5 + t + t 6 ( + t ) t5 dt =6 dt =6 +t = t4 +6rctgt + c = ( + )( ) 5 t dt +6 +6rctg 6 + c. dt +t = Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ), (, ), (, + ). Uprvíme ( + )( ) = 5 +( ), položíme t = +, vypočítáme volíme = ϕ(t) = t +t, pk = ( + t ) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ) I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ), ) I =(, + ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ). t ( + )( ) = 5 +( ) = = (t +) t 6t 6 (t +) dt = 4 dt t = 8 t + c = (+ ) + c. 8 44

41 I.4... Příkldy Vypočítejte: ( + ) ( + + ) ( + 4 ) , > ( ), > ( +) + ( ) > 9. ( + )( + b), >, b>, b 4 ( )(b ), >, b > 9. 9., >, b>, b, n N n ( ) n+ ( b) n Dokžte, že primitivní funkce ) R (, ( n ) p ( b) q, kde R(, y) je rcionální funkce proměnných y = n ( ) p ( b) q, p, q Z,, b R, je elementární funkce, jestliže p+q n Z. 45

42 I.4.. ( ) R, + b + c Předpokldy:, b, c R,,b 4c. I.4... Eulerovy substituce. Eulerov substituce: Je-li >, položíme + b + c = ± + t, vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = t c b t podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t.. Eulerov substituce: Je-li c>, položíme + b + c = t ± c, z předpokldu vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = ± ct b t podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t. Jestliže bod ptří do definičniho oboru integrovné funkce, pk pro > pro<volíme integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce byl spojitá n celém definičním oboru integrovné funkce.. Eulerov substituce: Má-li polynom + b + c reálné kořeny (různé), pk + b + c = ( α )( α ) + b + c = α α = α α, α α čímž se dostneme k přípdu funkce, který je řešen v sekci I.4. (str. 4). Poznámk. Znménko u v. Eulerově substituci u c ve. Eulerově substituci volíme většinou s přihlédnutím k tvru funkce R(, + b + c), le v podsttě lze volit libovolně. Poznámk. Z uvedených substitucí je zřejmé, že bychom vystčili s.. Eulerovou substitucí, protože pro < musí mít polynom + b + c reálné kořeny, by 46

43 integrovná funkce neměl definiční obor roven prázdné množině. Nejsou-li kořeny polynomu +b+c celočíselné, vede čsto. Eulerov substituce ke složitým lgebrickým úprvám integrovné funkce proměnné t, proto, pokud to jde, používáme v těchto přípdech. Eulerovu substituci. Jestliže polynom + b + c splňuje podmínky dvou nebo všech tří Eulerových substitucí, lze použít kteroukoliv z těchto substitucí (s přihlédnutím k předešlé poznámce). I.4... R () + b + c Eulerovými substitucemi lze převést integrci kždé funkce R(, + b + c) n integrci rcionální funkce P (t) proměnné t. V některých přípdech le může být Q(t) polynom Q(t) dosti vysokého stupně nebo nelze lgebrickými metodmi nlézt jeho kořeny, tkže nedokážeme polynom Q(t) rozložit n součin kořenových činitelů, tedy nenlezneme rozkld (). V tkových přípdech lze použít při integrci jiné metody nebo substituce. Kždou rcionální funkci R(, + b + c) lze lgebrickými úprvmi vyjádřit ve tvru součtu R () + b + c + R (), kde R () R () jsou rcionální funkce. Jestliže nyní nlezneme rozkld () rcionální funkce R () n součet polynomu P k () prciálních zlomků, dostneme se k integrálům následujících tří typů: I. III. III. P k () + b + c ( α) k + b + c A + B ( + p + q) k + b + c, p 4q <. I.4... P k () + b + c Primitivní funkci tohoto typu nlezneme tzv. metodou Ostrogrdského; podobně jko při integrci rcionálních funkcí nlezneme část výsledku lgebrickými opercemi. 47

44 Vět. Nechť P k () je reálný polynom stupně k. Pk eistuje polynom Q(), stupeň Q() k, konstnt λ tk, že pltí P k () + b + c = Q() + b + c + λ + b + c. (7) Poznámk. Metod spočívá v nlezení polynomu Q() konstntyλ dálevn- lezení primitivní funkce k funkci. Polynom Q() vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty derivováním rovnosti (7) +b+c dostáváme P k () + b + c = Q () + b + b + c + Q() + b + c + λ + b + c, odkud po vynásobení výrzem + b + c dostneme rovnost dvou polynomů P k () =Q ()( + b + c)+ Q()( + b)+λ. (8) Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné n obou strnách rovnosti (8) dostneme soustvu k + lineárních rovnic pro k neznámých koeficientů polynomu Q() konstntu λ. Primitivní funkci + b + c nlezneme úprvou kvdrtického trojčlenu + b + c podlevzorcůx.xi.uvedených v sekci I.. Vzorce (str. 9). I ( α) k + b + c Primitivní funkci tohoto typu převedeme substitucí n typ I. Položíme t = α, vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = + α podle. věty o substituci t přejdeme k integrálu sgn t t k dt (α + bα + c)t +(α + b)t +, který je řešen v sekci I.4.. (str. 47). 48

45 I (A + B) ( + p + q) k + b + c, p 4q <, k N. Je-li + p + q = + b + c, pk uprvíme (A + B) ( + p + q) k+ = A ( + p) ( + p + q) k+ ( + B Ap První integrál nlezneme podle. věty o substituci. Substitucí t = ϕ() = + p + q, ) ( + p + q) k+ druhý integrál nejprve uprvíme ( + p + q) k+ = dt (t + γ ) k+, kde t = + p γ = q p. Dále položíme 4 u = vypočítáme t volíme substituci (Abelovu) t = ϕ(u) = t t + γ, konečně podle. věty o substituci dostáváme dt (t + γ ) k+ γu u = ( u ) k du. γ k. Je-li + p + q + b + c, pk hledáme substituci = ϕ(t) tkovou, by v obou kvdrtických trojčlenech vymizely lineární členy. V přípdě p = b jde o substituci = t p. V přípdě p b položíme = αt + β t +, kde α, β R. Dosdíme z do obou kvdrtických trojčlenů zjistíme, že čísl α, β jsou řešením soustvy rovnic αβ + p(α + β)+q = αβ + b(α + β)+c =, 49

46 tedy α + β = q c p b, bq pc αβ = p b, což znmená, že α, β jsou kořeny kvdrtické rovnice (p b)z +(q c)z +(bq pc) =. Substituce = t p αt+β,resp. =, převádí hledný integrál n integrál tvru t+ P (t) dt (t + λ) k st + r, kde P (t) je polynom stupně k λ>. Pro k> rozložíme rcionální funkci P (t) (t + λ) k n prciální zlomky dostneme součet integrálů typu tdt (t + λ) l st + r, dt (t + λ) l, l =,,...,k. st + r První integrál nlezneme podle. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = st + r druhý integrál podle. věty o substituci Abelovou substitucí: položíme v = st st + r, vypočítáme t volíme substituci (Abelovu) r v t = ϕ(v) = s, s v které převádí hledný integrál n integrál tvru s l (s v ) l ((r sλ)v + λs ) l dv. I Goniometrické hyperbolické substituce Primitivní funkci R(, + b + c) lze vždy lgebrickými úprvmi kvdrtického trojčlenu odpovídjící lineární substitucí uprvit n jeden z následujících typů R(t, α t ) dt, R(t, t α ) dt, R(t, α + t ) dt. 5

47 Substitucemi v přípdech α t : t = α sin u, t = α cos u, t = α tgh u, t α : t = α,t= ± α cosh u, t = α cotgh u, cos u t + α : t = α sinh u, t = α tg u, t = α cotg u, podle. věty o substituci přejdeme k primitivní funkci R (sin u, cos u) du, resp. R (sinh u, cosh u) du, kterou nlezneme buď použitím vzorců nebo dlšími substitucemi (viz I.5, I.6). I Řešené příkldy 94. Vypočtěte Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ). Použijeme. Eulerovu substituci. Položíme + += + t, vypočítáme volíme pk = ϕ(t) = t +t, = t + t + ( + t) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, ), ) I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). I = = t + t + t ( + t) dt. Rozkldem n prciální zlomky t + t + t( + t) = A t + B +t + C ( + t), tkže t + t +=A( + t) + Bt( + t)+ct. 5

48 Doszením Je tedy I = 95. Vypočtěte t =: =A t = : = C C = 4 t =: =9A +B + C B = dt t dt +t =ln t ln +t + dt ( + t) = +t + c = =ln( + + +) ln( ) c. + Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ) = I.Použijeme. Eulerovu substituci: položíme = t pro vypočítáme volíme = ϕ(t) = t t +, pk +t t = dt. (t +) ) <: I =( ( + ), ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n (, ), ) >: I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). I = + = +t t t t t dt = t (t t + +) t(t )(t +) dt. Rozkldem n prciální zlomky tkže t t t(t )(t +) = A t + B t + Ct + D t +, t t =A(t )(t +)+Bt(t +)+(Ct + D)t(t ). 5

49 Doszením t =: = A A = t =: =B B = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t : = A + B + C C = t : = A + D D =. Je tedy dt I = t + dt t dt t + =ln t t +rctgt + c = + + =ln rctg + c. + Závěr: Protože lim ln + = + lim rctg + = π, lim rctg + = π +, volíme pro >pro< integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce F () = + byl spojitá n intervlu ( ( + ), + ). Oznčme pk F () =ln rctg, F () π + c pro ( ( + ), ) F () = c pro = F ()+π + c pro (, + ) 96. Vypočtěte Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ), (, )(, + ), přičemž jsou kořeny polynomu + +. Použijeme. Eulerovu substituci. Uprvíme + + += ( +)( +)= + +, 5

50 položíme vypočítáme volíme pk t = + +, = ϕ(t) = t t, = t (t ) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ) I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ). ) I =(, + ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ). ) > + = + ( +) + + t t ( t t +)t = t t +( t +)t t Rozkldem n prciální zlomky tkže t +t (t +) (t )(t ) = A t + + +( +) + + t (t ) dt = = t(t +) (t +) (t )(t ) dt. B (t +) + C (t +) + D t + E t t +t = A(t +) (t )(t ) + B(t +)(t )(t ) + + C(t )(t ) + D(t +) (t ) + E(t +) (t ). Doszením t = : C = 6 t =: D = 8 t =: E = 8 7 porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t 4 : = A + D + E A = 7 6 t : = A +B +C D E B =

51 Je tedy = 7 8 dt t ( +) + + +( +) + + dt (t +) + = dt (t +) + 4 = 5 8 t + 6 (t +) 7 8 ln t dt t 6 7 dt t = ln t 6 ln t + c, 7 kde t = + +, resp. t = b) < + = ( +) +( +) + + ( +) + + = t(t ) (t ) (t +)(t +) dt, substitucí t = y převedeme n tvr, který je řešen v části ), kde + y = +, resp. y = + +, + tzn., že pro > i pro < dostáváme stejný výsledek. 97. Vypočtěte Použijeme Ostrogrdského metodu (7); protože stupeň P k () =,jestupeň Q(), tedy Q() = + b + c, pk derivcí získáme =( +b+c) λ , = =( + b) ( b + c) λ , dále násobíme výrzem dostneme rovnost dvou polynomů =( + b)(4 +4 +)+( + b + c)(4 +)+λ, 55

52 porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : = 8 +4 = : 6 = 8 +4b +4b + b = = : 9 = 4 +4b +4c +b c = 8 : = b +c + λ λ = 4, ( +) + = ln( ). Výsledkem tedy je = 98. Vypočtěte = ( + 8) ln( ) + c. ( +) + 5 Primitivní funkci hledáme n intervlech (, 6) ( + 6, + ). Položíme t = +, vypočítáme volíme = ϕ(t) = t, = t dt. ) I =(, 6), I = (, 6 ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n (, 6 ), ) I =( + 6, + ), I = ( ), + 6, ϕ(i )=I, ϕ (t) < n ( ), + 6. = uprvíme t ( t ) +( t ) 5 ( +) + 5 = ( t ) 5t +t = 5 (5t +t + 6) = 6 5 dt = t dt t 5t ; ( (5t + 6 ) ). 56

53 ) t (, 6 ) t dt = t 5t b) t ( ), + 6 = = 5 tdt = t 5t t dt 5 t 5t 5 6 t 5t 5 5 t + t 5t dt = dt ( 5t+ 6 ) = rcsin 5t c = = ( +) rcsin c = 6 = rcsin +7 + c = 6( +) = + 5 = 5 5( +) t dt = t 5t t 5t rcsin +7 6( +) + c, 5 5 tdt t 5t = rcsin 5t c = = + 5 5( +) rcsin +7 6( +) + c, Výsledkem pro (, 6) ( + 6, + ) je 99. Vypočtěte ( +) + 5 = ( +) 5 5 rcsin +7 + c. 6 + ( + +) + ) ( + 5, + ) ;pro- Primitivní funkci hledáme n intervlech (, 5 tože koeficienty u jsou v obou kvdrtických trojčlenech stejné, volíme substituci = ϕ(t) =t, pk = dt. 57

54 ) I = (, ) 5, I = (, ) 5, ϕ(i )=I, ϕ (t) > n (, ) 5, ) I = ( + 5, + ), I = ( 5, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n ( 5, + ). = ( + +) + = dt ( (t ) +(t )+) (t ) +(t ) = ( t + 4 dt ) t 5 4 dále použijeme Abelovu substituci. Položíme vypočítáme t volíme v = t = ϕ(v) = t t v v, pk dt = 5 4 (v ) v dv. ) I = (, ) 5, I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (v) < n(, ), ) I = ( 5, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (v) < n(, + ). = 4 ( t + 4 dt ) = t 5 4 dv 8v = ln 6 ( 5 v + ) 5 4 v 4 4 v 5 4 dv (v ) v = + 8v + c = t 5 ln + 8t 4 8v 6 t 5 8t + c = 4 = ( + ln ) 5 + 8( + ) 4 6 ( + ) 5 8( + ) + c = 4 = + + ( +) ln 6 + ( +) + c. 58

55 4. Vypočtěte ( +) +5 Primitivní funkci hledáme n intervlu (, ), protože koeficienty u v kvdrtických trojčlenech jsou různé, položíme = αt + β t + dosdíme ( ) αt + β += += (α +)t +(αβ +4)t + β + t + (t +) +5= ( ) αt + β t + ( ) αt + β +5= t + = (α α +5)t +(4αβ α β + )t +β β +5 (t +). Protože chceme, by v kvdrtických trojčlenech vymizely lineární členy, musí pltit αβ +4=, 4αβ α β +=, tedy α + β =, αβ =, čísl α, β jsou kořeny kvdrtické rovnice z z =. Řešením této rovnice jsou čísl, volíme-li tedy npř. α =, β =, pk = ϕ(t) = t t + = (t +) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ) I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ). = (t +) t + (t +6) 9t +9 ( +) +5 = dt (t +) = ) t (, ), tedy (, ) t + dt (t +) t + = tdt (t +) t t + (t +) t + dt. dt (t +) t +.

56 Integrál (t +) t + nlezneme podle. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = t +,pk du = tdt t t + dt, I =(, ), I = R, ϕ(i )=(, + ) I, ϕ (t) < n(, ), tdt (t +) t + = du u + = rctg u + c = = rctg t ++c = rctg +5 + c ( +) = = rctg + c = rctg + c. + + Integrál dt (t +) t + nlezneme Abelovou substitucí: položíme v = t t +, vypočítáme t volíme t = ϕ(v) = v v, pk I =(, ), I = (, dt (t +) t + = dv dt = ( v ) v. ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n (, ( v + ) v v dv ( v ) v = ), dv v = = ln +v + c = v ln t ++t t + t + c = = ln +5 + (+) c = ( +5) ln c = (+) + 6 ( +5) + +

57 = ln ( +5)+ ( +5) + + c = = ln ( +5)+ ( +5) + + c. Výsledkem pro (, ) je rctg ln ( +5)+ ( +5) + + c b) t (, ), tedy (, + ) t + dt (t +) t + = tdt (t +) t + = rctg +5 + dt (t +) t + = 6 ln ( +5)+ ( +5) + + c 4. Závěr: Protože lim rctg +5 = π + +, lim rctg +5 = π +, lim ln ( +5)+ 8 + ( +5) + =ln, 8 zvolíme n intervlech (, ) (, + ) integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce F () = ( +) +5 byl spojitá n intervlu (, ). Oznčme pro F () = rctg ln ( +5)+ ( +5) +, pk { F ()+c pro < F () =, F ()+ π + c pro > F ( ) = π ln + c. 8 6

58 4. Vypočtěte ( ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, ), volíme substituci = ϕ(t) =sint, pk =costdt. I =(, ), I = ( π, ) π, ϕ(i )=I, ϕ (t) > n ( π, ) π. ( ) = =tgt + c = sin t cos t + c = cos tdt ( sin t) = sin t sin t + c = dt cos t = + c. 4. Vypočtěte Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ). ) (, ), volíme substituci = ϕ(t) = cosht, pk = sinhtdt. I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ), = cosh t sinhtdt= cosh tdt= cosh t = (cosh t +)dt = sinh t t + c = sinh t cosh t t + c = = (cosh t) cosh t t + c = ( rgcosh ) + c = = ln ( + ) + c = = +ln ln ( ) + c = = +ln + +ln +c = = +ln ( ( + ) ) ln + ln +c = = +ln ( ( + ) ) + c. 6

59 b) (, ), volíme substituci = ϕ(t) = cosht, pk = sinhtdt. I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ), = cosh t sinhtdt= cosh tdt= cosh t = =(cosht) cosh t +t + c = + rgcosh + c = = +ln( + +ln ( + ) ln +c = ) + c = +ln ( + ) +c. Výsledkem pro (, ) (, + ) je = +ln + + c. 4. Vypočtěte +, > Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme substituci = = ϕ(t) = tg t, pk = dt. cos t I =(, + ), I = ( π, ) π, ϕ(i )=I, ϕ (t) > n ( π, ) π, + = dt sin t + cos t cos t = dt cos t = ln +sint + c sin t (viz příkld 78 d)). Dále uprvujeme ln +sint sin t + c +sint =ln cos t + c =ln cos t +tgt + c = sin =ln t +cos t +tgt cos t + c =ln tg + + tg t + c = =ln ++ + c =ln ( + ) + + c ln = =ln ( + + ) + c. 6

60 I Příkldy Vypočítejte: 44. ( + ( + ) ) ( + + ) + +, ( +) ( +) ( +) + + ( +) + ( +) ( + ) ( +) ,

61 ( ) ( +) ( +4 +7) 45. ( + ) 45. ( + +) ( +) ( +) ( ) ( ) ( +) ( ) + + ( +) 5 + ( ) ( +) ( + +) ( +) ( + +) + +4 ( +) ( +) + + ( +) + + ( + +) + ( + +) + (4 + ) +, ( ) ( + ) ( + ) +,, 447. ( +) , 448. ( + ) , > 65

62 465. +, > 47. ( ) 466. ( )(b ),,b > Návod: =(b )sin t ( )(b ),, b > ( + )( + b),,b > Návod: + =(b )sinh t ( +) + + ( +) ( ) ( + )( + b),, b > I.4.. m ( + b n ) p Předpokldy:, b R, m,n,p Q. Poznámk. Jsou-li, b, n, p, nzývá se primitivní funkce tohoto tvru binomický integrál. Primitivní funkce tohoto typu ptří do množiny elementárních funkcí pouze ve třech přípdech: p je celé číslo, m + je celé číslo, n m + + p je celé číslo, n I.4... Substituce p je celé číslo. Jde o přípd funkce, který je řešen v sekci I.4.. Volíme substituci = ϕ(t) =t s, kde s N je společný jmenovtel zlomků m n, podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. 66

63 m+ n m+ n je celé číslo. Položíme + b n = t s, kde s N je jmenovtel zlomku p, vypočítáme volíme substituci ts = ϕ(t) = n b podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. + p je celé číslo. Z předpokldu položíme n + b = t s, kde s N je jmenovtel zlomku p, vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = n t s b podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. Ptří-li bod do definičního oboru integrovné funkce, pk pro >pro< volíme integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce byl spojitá n celém definičním oboru integrovné funkce. I.4... Řešené příkldy 478. Vypočtěte ( + ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ). Protože p je celé číslo, volíme = ϕ(t) =t 6,pk =6t 5 dt. I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). Je tedy kde t = 6. ( + ) = t ( + t ) 6t5 dt =6 ( ) =6 t 4 t + 4t + dt = ( + t ) t 8 ( + t ) dt = ( ) =6 t 4 t + 4t +4 ( + t ) + dt = (t +) = 6 5 t5 4t +8t + t rctg t + c, t + 67

64 479. Vypočtěte 5 Primitivní funkci hledáme n intervlu (, ). Protože m =5,n =, m+ n = = je celé číslo, položíme t =, vypočítáme = t pro> volíme ϕ(t) = t pro< volíme ϕ(t) = t. Funkce ϕ(t) je definován n intervlu,, le protože není prostá, ϕ () =, vybereme si jeden z intervlů (, ) nebo (, ), n kterém je ϕ (t) eistujetedy ϕ () tím jsou splněny předpokldy. věty o substituci. ) >: Volíme substituci = ϕ(t) = t,pk = t t dt. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ( 5 t = t ) 5 tdt t = ( t ) dt = t+ t 5 t5 +c, kde t =. b) <: Volíme substituci = ϕ(t) = t,pk = t t dt. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, ), ( 5 = t t ) 5 tdt t = ( t ) dt = t+ t 5 t5 +c, kde t =. Závěr: Protože lim =,dostávámepro (, ) 48. Vypočtěte 5 = + ( ) ( ) 5 + c. 5 + Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ). Protože m = =,n =,p =, m+ + p = je celé číslo, položíme t =+,, n vypočítáme volíme = ϕ(t) = t, pk t = (t ) 4 dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), 68

65 ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ). ) I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ). I = = + Rozkldem n prciální zlomky t t = t t A t + t ( t ) 4 dt = Bt + C t + t + t = A(t + t +)+(Bt + C)(t ) porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t Uprvíme kvdrtický trojčlen t : A + B = t : A B + C = t : A C = A =,B=, C =. t + t += 4 (4t +4t ++)= 4 t t dt. ( (t + ) + ) pokrčujeme dále ve výpočtu integrálu I = dt t + = dt t + 6 t t + t + dt = t + t + t + dt = ln t + 6 ln(t + t +) dt t + t + = dt ( ) = t+ + = 6 ln t + t + t + rctg + c (t ) = ( ) = + 6 ln ( + ) ( = + ) + 6 ln + + ( ) rctg c = rctg c.

66 Závěr: Protože lim rctg lim ln = π, lim rctg + + ( + ) ( ) =, = π, zvolíme n intervlech (, ) (, + ) integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce F () = + byl spojitá n intervlu (, + ). Oznčme pro ( F () = + ) + 6 ln + + ( ) rctg + +, pk F ()+c pro < F () = F ()+, π + c pro > π F () = + c. I.4... Příkldy Vypočítejte: 48. ( 6 ) ( + ) ( + 4 ) ( +)

67 ( + ) ( + ) V jkém přípdě je primitivní funkce +m, m Q, elementární funkcí? I.5. Goniometrické funkce I.5.. R(sin, cos ) I.5... Substituce I. Univerzální substituce. Z předpokldu ( π, π) položíme vypočítáme volíme substituci tg = t, = ϕ(t) = rctg t podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin cos pomocí funkce tg sin = sin cos sin +cos cos = cos sin sin +cos 7 = tg tg + = t t +, = tg t tg = + t +.

68 Poznámk. Pro ( π +kπ, π +kπ), k Z, plynezrovnicetg = t = ϕ k (t) = rctg t +kπ. Protože pro kždé k Z pltí ϕ k (t) = t +, ϕ k (( π +kπ, π +kπ)) = (, + ), i vyjádření funkcí sin cos pomocí funkce tg je stejné n kždém intervlu ( π+kπ, π+kπ), dostneme pro ( π+kπ, π+kπ) substitucí =rctgt+ + kπ stejnou rcionální funkci proměnné t pro kždé k Z. Formálně tedy stčí nlézt primitivní funkci n intervlu ( π, π) substitucí = ϕ(t) = rctg t, pkn intervlech ( π + kπ, π + kπ) zvolit integrční konstnty dodefinovt integrcí získnou funkci v bodech π + kπ tk, by primitivní funkce byl spojitá n celém definičním oboru integrovné funkce. Univerzální substituci je možné použít při integrci funkce R(sin, cos ) v kždém přípdě, někdy se le dostneme k rcionální funkci proměnné t, která obshuje polynomy dosti vysokých stupňů obtížně se hledá rozkld polynomu ve jmenovteli n kořenové činitele (pokud ho lze vůbec njít). Proto při speciálním tvru funkce R(sin, cos ) používáme následující substituce: II. ) R( sin, cos ) =R(sin, cos ). Z předpokldu ( π, ) π položíme vypočítáme volíme substituci tg = t, = ϕ(t) =rctgt podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin cos pomocí funkce tg sin = sin cos cos cos = cos = = sin cos sin +cos cos sin +cos cos = = tg tg + = t t +, tg + = t +. Poznámk. U substituce tg = t nstává nlogická situce jko u univerzální substituce tg = t. Pro ( π + kπ, π + kπ), k Z, plyne z rovnice tg = t = ϕ k (t) =rctgt + kπ 7

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8 ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příklady. pro vysoké školy

JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příklady. pro vysoké školy JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příkldy pro vysoké školy Bohemicus mthemticus doctor Pvel Novotný 0 Vzor citce: NOVOTNÝ, P. Jednoduchý integrál příkldy : pro vysoké školy. Bučovice : Nkldtelství Mrtin Stříž, 0. 6

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková,

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe. Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více