M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK"

Transkript

1 M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Analytická geometrie Analytická geometrie Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky. Základní pojmy Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému. Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm. Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[; 3]. Vzdálenost dvou bodů v rovině Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně: Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec: Příklad 1: Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[; 11]. KL = ( - 5) + ( 11-7) = 5 Příklad : Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby AB = Ö5. Má platit: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 3

3 (- ) + ( x - 3) = (x - 3) = 5 Dostaneme dvě řešení x 1 = 4, x = Střed úsečky v rovině Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně: Souřadnice středu S[x S; y S] pak zapíšeme: Příklad 3: Jsou dány body A[; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB. x S y S (- 5) + = = - (- 3) + 4 = = Závěr: S[-3/; 1/] 3 1 ± Vektory Vektory Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový. Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně. Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD,... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 3

4 Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u. Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD. Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o. Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD. Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou. Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné. Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. (1) Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. () Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a 1; a ], B[b 1; b ], C[c 1; c ], D[d 1; d ]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec A + D S = a jednak vzorec B + C S = Je tedy A + D B + C = (3) A + D = B + C, čili D - C = B - A (4) Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice: d 1 - c 1 = b 1 - a 1 d - c = b - a (5) Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty () je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru. Závěr: Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A. Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a 1; a ], B[b 1; b ], C[c 1; c ], D[d 1; d ]. Pak platí u 1 = b 1 - a 1 = d 1 - c 1 u = b - a = d - c (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u 1, u nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A. Závěr: Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a 1; a ], B[b 1; b ] a vektoru u = (u 1; u ) platí rovnice u 1 = b 1 - a 1 u = b - a :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 3

5 které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A. Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; ]. u 1 = -4 - (-3) = = -1 u = - 4 = - u = (-1; -) Příklad : Umístěte vektor u = (; -7) do bodu A[-4; 1]. Hledáme bod B[x ; y ] takový, aby bylo u = AB. x = -4 + = - y = 1 + (-7) = -6 Bod B má souřadnice [-; -6]. Velikost vektoru Definice: Velikostí vektoru u = (u 1; u ) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění. Věta: Velikost vektoru u = (u 1; u ) vypočteme podle vzorce u = u 1 + u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklad 1: Určete velikost vektoru u = (3; ). u = Ö(3 + ) = Ö13 Vektor u má velikost Ö13. Příklad : Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-; 3], B[-; -1]. u 1 = - + = 0 u = -1-3 = -4 u =Ö(0 + (-4) ) = Ö16 = 4 Vektor u má velikost 4. Příklad 3: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 3

6 Vektor a = (a 1; a ) je jednotkový. Zjistěte a, je-li a 1 = 0,5. 0,5 + a = 1 a = 3/4 (a ) 1 = Ö3/ (a ) = -Ö3/ Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a 1 = (0,5; Ö3/) a a = (0,5; -Ö3/). Součin čísla a vektoru Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna k násobku velikosti vektoru původního. Věta 1: Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u 1; u ). Vektor k.u má souřadnice (k.u 1; k.u ). Věta : Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k. u. Příklad 1: Je dán vektor a = (-; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/. b 1 = (3/). (-) = -3 b = (3/). 3 = 9/ Vektor b má souřadnice (-3; 9/). Příklad : Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; -4]. Vektor OS = (1/). OA, proto s 1 = (1/). 3 = 3/ s = (1/). (-4) = - Střed úsečky OA má souřadnice [3/; -]. Sčítání vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1; v ), pak vektor u + v má souřadnice (u 1 + v 1; u + v ). Věta : Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní. Věta 3: Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní. Věta 4: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1;v ), pak vektor u - v má souřadnice (u 1 - v 1; u - v ) :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 3

7 Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-; 1), b = (-; -). c 1 = - + (-) = - - = -4 c = 1 + (-) = 1 - = -1 Vektor c má souřadnice (-4; -1). Příklad : Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (1; ), b = (0; 1), c = (; 1). d 1 = = 3 d = = 4 Vektor d má souřadnice (3; 4). Příklad 3: Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a. Vektor -a má souřadnice (4; -3). Příklad 4: Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-; -4). z 1 = -3 - (-) = -1 z = 5 - (-4) = 9 Vektor z má souřadnice (-1; 9). Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice. Lineární kombinace vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1; v ), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v. Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r. Lineární závislost a nezávislost vektorů Věta 1: Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo. Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku. Věta : :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 3

8 Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé. Věta 3: Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový. Věta 4: Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku. Věta 5: Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla. Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny. Věta 6: Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny. Příklad 1: Zjistěte, zda jsou vektory u = (; -1), v = (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v. = -1k -1 = 6k k 1 = - k = - Vzhledem k tomu, že k 1 = k, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné). Příklad : Zjistěte, zda jsou vektory u = (1; 1; 14), v = (1; 3; 0), w = (; 1; ) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla. 1 = k + l 1 = 3k + l 14 = l Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -. Platí u = -v + 7w. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé. Příklad 3: Určete a tak, aby vektory a = (; a ; 5), b = (1; ; 1), c = (5; ; ) byly lineárně závislé. Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c = k + 5l a = k + l 5 = k + l Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -1. Dosadíme-li l = -1 do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -1, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a = :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 3

9 Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a = 1; potom je a = 7b - c. Příklad 4: Zjistěte, zda vektory u = (1; 3; 5), v = (1; 3; -), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 1 = k - 3l 3 = 3k - 9l 5 = -k + 6l Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. 1 = m - 3n 3 = 3m - 9n - = 5m + 6n Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -1/3. Platí tedy v = 0.u - (1/3).w, tj. v = (-1/3).w. Vektory u, v, w jsou lineárně závislé. Příklad 5: Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; 1), v = (; 1; 1), w = (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 0 = k + l 0 = k + l 1 = k + l Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. = n 1 = n 1 = m + n Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u. 1 = q 1 = q 1 = p + q Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé. Úhel dvou vektorů Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací: 1. Vektory jsou rovnoběžné souhlasně rovnoběžné nesouhlasně rovnoběžné :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 3

10 . Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel) Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180. Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů: Nechť vektory u = (u 1; u ), v = (v 1; v ) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v. Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran: AB = u, AC = v, BC = u - v Podle kosinové věty pak platí: u - v = u + v -. u. v. cos j Po dosazení dostaneme: (u 1 - v 1) + (u - v ) = u 1 + u + v 1 + v -. u. v. cos j Po odstranění závorek a sloučení dostaneme -u 1v 1 - u v = -. u. v. cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát: u 1v1 + uv cos f = u. v Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů. Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u 1v 1 + u v + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte úhel vektorů u = (-1; ) a v = (1; 3) u = 1+ 4 = 5 v = 1+ 9 = 10 (- ) cos f = = f = 45 Oba vektory spolu svírají úhel :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 3

11 Příklad : Vypočtěte úhel vektorů a = (-; 1; ), b = (-; -; 1) a b = = (- ) = 3 (- ) + (- ) + 1 = 3 (- )(. - ) + 1. (- ) cos f = = = 0, f = Úhel obou vektorů je Skalární součin dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor! Platí: u. v. cos f = u 1v 1 + u v Neboli u. v = u. v. cos f Závěr: u. v = u 1v 1 + u v Pozn.: V prostoru by platilo: u. v = u 1v 1 + u v + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte skalární součin a. b, je-li a =, b = 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 10. a. b =. 1. cos 10 =. (-0,5). = -1 Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1. Příklad : Vypočtěte skalární součin vektorů a = (; -3), b = (3; ) a úhel vektorů a, b. a. b =. 3 + (-3). = 6-6 = 0 Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule. Podle vzorce cos f = a. b a. b Protože ale a. b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90. Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 10 z 3

12 Příklad 3: Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a. a. a. a = a. a. cos 0 a. a = a Kolmost vektorů Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b a. b = a. b. cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90. Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé. Příklad 1: Ověřte, že vektory a = (3; ; 1), b = (; -3; 0) jsou navzájem kolmé. Platí, že vektory jsou na sebe kolmé, jestliže platí: u 1v 1 + u v + u 3v 3 = 0 Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme (-3) = 0 Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé. Příklad : Určete souřadnici n vektoru n tak, aby vektory n = (3; n ; ) a v = (1; -; 4) byly navzájem kolmé. Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit: n. (-) +. 4 = 0 Odtud dostaneme: n = 5,5 Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n = 5,5. ± Vektory - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 11 z 3

13 řešení:. řešení:,, řešení:. řešení: ,, , :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 3

14 Ano ± Parametrické vyjádření přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou rovnoběžné :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 13 z 3

15 Pro vektory u a X - A tedy platí: X - A = t. u neboli X = A + t. u Pokud zavedeme souřadnice: bod X[x; y], bod A[x 1; y 1] a vektor u = (u 1; u ), lze tuto rovnici rozepsat: x = x 1 + t. u 1 y = y 1 + t. u (1) Poslední dvě uvedené rovnice nazýváme parametrickým vyjádřením přímky v rovině. Příklad 1: Napište parametrické vyjádření přímky p dané bodem A[1; 1] a vektorem v = (-; 3), který je s ní rovnoběžný. Podle vztahů (1) lze rovnou psát: x = 1 - t y = 1 + 3t Příklad : Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A[5; ] a B[9; 4]. Vypočteme souřadnice směrového vektoru: u 1 = 9-5 = 4 u = 4 - = Nyní opět použijeme vztahy (1) a získáme výsledek: x = 5 + 4t y = + t Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 7 + 3t, y = - 4t. Určete body této přímky pro t = 0, 1,, -, (1/) Dosazením do vztahů (1) dostaneme: pro t = 0: x = 7, y =... bod má tedy souřadnice [7; ] pro t = 1: x = 10, y = -... bod má tedy souřadnice [10; -] pro t = -: x = 1, y = bod má tedy souřadnice [1; 10] pro t = 1/: x = 8,5, y = 0... bod má tedy souřadnice [8,5; 0] Příklad 4: Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází bodem A[; 5] a je rovnoběžná s přímkou BC, kde B[3;7], C[-4;9] :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 14 z 3

16 Vektor u = BC rovnoběžný s přímkou p má souřadnice: u 1 = -4-3 = -7 u = 9-7 = Přímka p je určena bodem A a vektorem u; podle vztahu (1) můžeme psát parametrické vyjádření přímky p takto: x = - 7t y = 5 + t Příklad 5: Rozhodněte, zda body M[5; 3], N[-31/; 0] leží na přímce p dané bodem A[-5; 7] a vektorem u = (3; ). Parametrické rovnice přímky p jsou: x = t y = 7 + t () Bod M[5; 3] bude ležet na přímce p právě tehdy, bude-li existovat reálné číslo t takové, že bude platit: 5 = t 3 = 7 + t Z první rovnice je t = 10/3, z druhé t = -. Tedy neexistuje takové číslo t, které by splňovalo obě rovnice. Bod M na přímce p neleží. Dosadíme-li do rovnic () souřadnice bodu N, dostaneme: -31/ = t 0 = 7 + t Z obou rovnic dostáváme t = -3,5. Existuje tedy číslo t = -3,5, které vyhovuje oběma rovnicím. Bod N na přímce p leží. ± Parametrická rovnice přímky - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 15 z 3

17 ± Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka p a vektor n = (a; b), který je k přímce p kolmý. Je-li bod A[x 0; y 0] libovolným bodem přímky p a bod X[x; y] libovolným bodem roviny, potom bod X leží na přímce p právě tehdy, když vektor AX je kolmý k vektoru n. AX. n = 0 (1) Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule. n = (a; b)... souřadnice vektoru n AX = (x - x 0; y - y 0)... souřadnice vektoru AX Skalární součin (1) můžeme rozepsat po složkách: (x - x 0). a + (y - y 0). b = 0 Po roznásobení závorek a úpravě dostaneme: ax + by - ax 0 - by 0 = 0 Poslední dva členy jsou konstanta a označíme ji jako c. Pak dostaneme: ax + by + c = 0 a to je hledaná obecná rovnice přímky Pozn.: Obecnou rovnici přímky můžeme odvodit i tak, že z parametrických rovnic přímky vyloučíme parametr. Pamatuj! Normálový vektor přímky ax + by + c = 0 má vždy souřadnice n = (a; b) a směrový vektor této přímky má vždy souřadnice s = (-b; a), (případně k němu opačný pak s = (b; -a)). Příklad 1: Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[; 1] a je kolmá k vektoru n = (; 7) :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 16 z 3

18 ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = ; b = 7. Dostaneme: x + 7y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: c = 0 Odtud c = -11 Hledaná rovnice přímky je tedy x + 7y - 11 = 0 Příklad : Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[5; 3] a je rovnoběžná s osou x. Přímka rovnoběžná s osou x je kolmá k vektoru n = (0; 1). Nyní už je postup analogický k předcházejícímu příkladu: ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = 0; b = 1. Dostaneme: 0x + 1y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: c = 0 Odtud c = -3 Hledaná rovnice přímky je tedy y - 3 = 0 Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 3 + 5t, y = - t. Napište její obecnou rovnici. Obě rovnice vezmeme jako soustavu a vyloučíme z ní parametr t: Např. první rovnici vynásobíme dvěma a druhou pěti. Dostaneme: x = t 5y = 10-10t Obě rovnice sečteme: x + 5y = 16 Hledaná obecná rovnice přímky je pak x + 5y - 16 = 0 Příklad 4: Napište obecnou rovnici přímky, je-li přímka dána body A[3; 7], B[-; 1]. Směrový vektor hledané přímky je u = B - A = (-5; -6). Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0 a víme, že směrový vektor má souřadnice (-b; a). Porovnáním zjistíme, že a = -6; b = 5. Dosadíme do obecné rovnice přímky: -6x + 5y + c = 0 Kterýkoliv z bodů A, B leží na přímce, proto dosadíme např. souřadnice bodu A: c = 0 Dostaneme c = -17 Odtud: -6x + 5y - 17 = 0 a po úpravě: 6x - 5y + 17 = :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 17 z 3

19 Hledaná obecná rovnice přímky je pak 6x - 5y + 17 = 0 ± Obecná rovnice přímky - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 18 z 3

20 :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 19 z 3

21 ; S = 6, ± Směrnicový tvar rovnice přímky Směrnicový tvar rovnice přímky Do směrnicového tvaru můžeme převést jakoukoliv obecnou rovnici přímky, která není rovnoběžná s osou y, tedy pokud b ¹ 0. Převedení provedeme velmi jednoduše tak, že z obecné rovnice přímky vyjádříme y. Vzniklou rovnici dále upravíme do jejího obvyklejšího tvaru: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 0 z 3

22 Příklad 1: Převeďte rovnici x + 3y - 1 = 0 přímky p na směrnicový tvar. Po úpravě rovnice x + 3y - 1 = 0 dostaneme: 3y = -x + 1 y = - x Příklad : Napište směrnicový tvar rovnice přímky, jejíž směrový úhel je 60 a která prochází bodem B[0; ]. Směrový úhel je j = 60. Směrnice přímky je k = tg 60 = Ö3. Bod B leží na ose y, proto q =. Přímka má tedy rovnici y = Ö3. x +. Příklad 3: Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[-; 3] a má směrový úhel p/4. Směrnice je k = tg 45 = 1. Platí tedy: y = x + q Konstantu q vypočítáme dosazením souřadnic bodu A[-; 3] do rovnice y = x + q. 3 = - + q q = 5 Přímka má rovnici y = x + 5. Pozn.: Pokud máme zadány dva body, jimiž přímka prochází, určíme její směrnici podle vzorce Příklad 4: k = y x - y - x :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 3

23 Určete směrnici přímky AB, je-li dáno: A[; -3], B[-4; 1]. Dosazením do výše uvedené rovnice platí: 1- (- 3) 4 k = = - = Směrnice přímky AB je -/3. Příklad 5: Určete směrnicovou rovnici přímky AB, je-li dáno: A[; -3], B[-4; 1]. Směrnice je k = -/3 (viz řešení minulého příkladu), proto je: y = - x + q 3 Konstantu q vypočítáme např. dosazením souřadnic bodu A[; -3] do této rovnice: -3 = (-/3). + q q = -5/3 Rovnice přímky pak je y = (-/3). x - (5/3). ± Směrnicová rovnice přímky - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 3

24 ± Vzájemná poloha dvou přímek Vzájemná poloha dvou přímek v rovině V rovině mohou být přímky buď rovnoběžné nebo různoběžné. Přímky jsou v rovině rovnoběžné, jestliže vektory k nim kolmé (tj. vektory normálové) jsou navzájem rovnoběžné. Rovnoběžné přímky mohou být buď rovnoběžné různé nebo mohou splývat. A. Přímky jsou v rovině rovnoběžné různé - normálové vektory jsou navzájem rovnoběžné a obecné rovnice přímek nejsou svým násobkem B. Přímky jsou v rovině rovnoběžné splývající - normálové vektory jsou navzájem rovnoběžné a obecné rovnice přímek jsou svým násobkem C. Přímky jsou v rovině různoběžné - normálové vektory nejsou rovnoběžné; souřadnice společného bodu (průsečíku) musí vyhovovat oběma rovnicím přímek a získají se řešením soustavy těchto dvou rovnic o dvou neznámých. Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 3

25 Příklad 1: Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích 3x + y - 6 = 0, 6x + 4y - 1 = 0. Přímky dané zadanými rovnicemi jsou totožné, protože druhá rovnice je dvojnásobkem rovnice první. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích x - 7y + 1 = 0, x - 3,5y + 9 = 0. Dané přímky jsou rovnoběžné různé, protože vektory (; -7) a (1; -3,5) jsou rovnoběžné ( = 1.k, -7 = -3,5.k; tedy k = a přitom 1 ¹.9). Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích 3x - 4y + = 0, 6x - 8y + 5 = 0. Zadané přímky jsou dvě různé rovnoběžky, protože je: 3 = k.6-4 = k.(-8) k = 1/ k = 1/ Přitom ¹ k.5 pro k = 1/. Příklad 4: Napište rovnici přímky procházející bodem A[-1/4; /3] a rovnoběžné s přímkou o rovnici x - 3y + 7 = 0 Pro hledanou přímku napíšeme obecnou rovnici: x - 3y + c = 0 Konstantu c zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice:.(-1/4) - 3.(/3) + c = 0 c = 5/ Získanou rovnici hledané přímky x - 3y + (5/) = 0 můžeme vynásobit dvěma. Rovnice 4x - 6y + 5 = 0 je tedy rovnicí přímky, která prochází bodem A a je rovnoběžná s danou přímkou. Příklad 5: Zjistěte průsečík přímek p: x - y - 3 = 0, q: 3x + y - = 0. Řešíme soustavu rovnic: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 3

26 x - y - 3 = 0 3x + y - = Sečtením rovnic vyloučíme proměnnou y a dostaneme x = 1. Dosadíme-li x = 1 např. do první rovnice soustavy, dostaneme y = -1. Přímky jsou tedy rovnoběžky se společným bodem P[1; -1]. Příklad 6: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a, b; a: x = 1 + 3t, y = + 4t; b: x = + 6s, y = 4 + 8s. Přímka a prochází bodem A[1; ] a je rovnoběžná s vektorem a = (3; 4). Přímka b prochází bodem B[; 4] a je rovnoběžná s vektorem b = (6; 8). Vektory a, b jsou rovnoběžné, protože b = a. Proto jsou přímky a, b buď různé rovnoběžky nebo splývají. Kdyby přímky splývaly, pak by např. bod A[1; ], který leží na přímce a, ležel i na přímce b. Dosadíme souřadnice bodu A do parametrického vyjádření přímky b: 1 = + 6s = 4 + 8s Z první rovnice vyjde s = -1/6, ze druhé rovnice s = -1/4. Bod A neleží na přímce b, a proto jsou přímky a, b rovnoběžné různé. Odchylka dvou přímek. Kolmost dvou přímek. Odchylka a dvou přímek je velikost nulového, ostrého nebo pravého úhlu, který spolu přímky svírají. Odchylka a (0 a 90 ) dvou přímek s normálovými, resp. směrovými, vektory u, v se vypočítá pomocí jejich skalárního součinu a platí pro ni vztah: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 3

27 (1) Je-li skalární součin normálových, resp. směrových, vektorů roven nule, jsou tyto přímky na sebe kolmé. Platí totiž: a to je možné jen v případě, že a = 0 nebo a = 70. Příklad 7: Vypočtěte odchylku přímek p: x - 3y + 6 = 0, q: x + y - 8 = 0. Normálové vektory k daným přímkám jsou u = (1; -3), v =(1; ). Dosadíme do vzorce (1): (- 3) 5 5 cos a = = = = a = 45 Odchylka daných přímek je 45. Příklad 8: Určete odchylku přímek p: x = + t, y = 1 - t; q: x = -1 + s, y = -s Směrové vektory přímek p, q jsou: u = (1; -), v = (1; -1). Dosadíme do vzorce (1): 1.1+ (-).(-1) cos a = = 0, a = 18 6 Odchylka přímek p, q je asi Příklad 9: Napište rovnici přímky, která prochází bodem A[4; 3] a má od přímky p: x - y + 7 = 0 odchylku 45. Normálový vektor přímky p je vektor u = (1; -1). Normálový vektor hledané přímky označíme v = (v 1; v ). Dosadíme do vzorce (1): :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 3

28 cos 45 = o = v - v 1 1 v v - v + v v 1 + v Po úpravách dostaneme: 1 + v = v1 v v - ( v ) 1 + v = 1 v 1. v = 0 v - v Protože normálový vektor je nenulový, má rovnice řešení buď pro v 1 = 0, v ¹ 0, nebo v 1 ¹ 0, v = 0. Jako výsledek tedy dostáváme dva normálové vektory v = (0; v ), v ¹ 0, v = (v 1; 0), v 1 ¹ 0. Zvolíme např. v prvním případě v = 1 a ve druhém případě v 1 = 1. v = (0; 1) v = (1; 0) Řešením budou dvě přímky o rovnicích: y + c 1 = 0 x + c = 0 Konstantu c 1, resp. c, vypočítáme dosazením souřadnic bodu A do těchto rovnic; dostaneme: y - 3 = 0 x - 4 = 0 Odchylku 45 od přímky p mají přímky r: y - 3 = 0 a s: x - 4 = 0 Příklad 10: Napište rovnici přímky p procházející bodem A[1; 4] a kolmé k přímce q dané rovnicí 3x - y - 1 = 0. Normálový vektor přímky q je vektor u = (3; -), normálový vektor kolmice p je např. vektor v = (; 3). Rovnice přímky p je: x + 3y + c = 0 Po dosazení souřadnic bodu A do této rovnice dostaneme c = -14. Přímka p má tedy rovnici x + 3y - 14 = 0. ± Vzájemná poloha přímek - procvičovací příklady :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 3

29 :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 3

30 ± Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost v bodu M od přímky p je rovna vzdálenosti bodu M od paty kolmice k vedené z bodu M k přímce p. Vzdálenost bodu M[x 0; y 0] od přímky dané obecnou rovnicí ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 3

31 Příklad 1: Určete vzdálenost v bodu A[-1; 1] od přímky q: 3x - 4y + 5 = 0. Dosadíme do výše uvedeného vzorce: 3. (-1) v = = ( ) 5 Vzdálenost bodu A od přímky q je /5. Příklad : Na přímce p: 4x - 1y - = 0 najděte bod, který má od přímky q: 5x + 1y + 5 = 0 vzdálenost 3. Hledaný bod označíme M[x 1; y 1]. Protože bod M leží na přímce p, můžeme psát: 4x 1-1y 1 - = 0 Z toho je y1 = x 1 (1) Bod M má od přímky q vzdálenost 3, a proto platí: 5x1 + 1y = = 5x 1 + 1y = 3x Za předpokladu, že 3x > 0, tj. x 1 > -1/3, dostaneme 13 = 3x x 1 = 4 Po dosazení do rovnice (1) y 1 = 7/6 Za předpokladu, že 3x < 0, tj. x 1 < -1/3, dostaneme 13 = -3x 1-1 x 1 = -14/3 Po dosazení do rovnice (1) y 1 = -31/ :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 30 z 3

32 Úloze tedy vyhovují dva body M[4; 7/6], N[-14/3; -31/18]. ± Vzdálenost bodu od přímky - procvičovací příklady , , :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 31 z 3

33 , :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 3

34 Obsah Analytická geometrie 1 Vektory Vektory - řešení úloh 11 Parametrické vyjádření přímky v rovině 13 Parametrická rovnice přímky - řešení úloh 15 Obecná rovnice přímky 16 Obecná rovnice přímky - řešení úloh 18 Směrnicový tvar rovnice přímky 0 Směrnicová rovnice přímky - řešení úloh Vzájemná poloha dvou přímek 3 Vzájemná poloha přímek - procvičovací příklady 7 Vzdálenost bodu od přímky 9 Vzdálenost bodu od přímky - procvičovací příklady :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

M - Kvadratická funkce

M - Kvadratická funkce M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky 8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více