M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

Transkript

1 M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Analytická geometrie Analytická geometrie Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky. Základní pojmy Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému. Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm. Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[; 3]. Vzdálenost dvou bodů v rovině Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně: Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec: Příklad 1: Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[; 11]. KL = ( - 5) + ( 11-7) = 5 Příklad : Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby AB = Ö5. Má platit: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 3

3 (- ) + ( x - 3) = (x - 3) = 5 Dostaneme dvě řešení x 1 = 4, x = Střed úsečky v rovině Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně: Souřadnice středu S[x S; y S] pak zapíšeme: Příklad 3: Jsou dány body A[; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB. x S y S (- 5) + = = - (- 3) + 4 = = Závěr: S[-3/; 1/] 3 1 ± Vektory Vektory Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový. Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně. Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD,... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 3

4 Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u. Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD. Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o. Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD. Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou. Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné. Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. (1) Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. () Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a 1; a ], B[b 1; b ], C[c 1; c ], D[d 1; d ]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec A + D S = a jednak vzorec B + C S = Je tedy A + D B + C = (3) A + D = B + C, čili D - C = B - A (4) Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice: d 1 - c 1 = b 1 - a 1 d - c = b - a (5) Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty () je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru. Závěr: Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A. Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a 1; a ], B[b 1; b ], C[c 1; c ], D[d 1; d ]. Pak platí u 1 = b 1 - a 1 = d 1 - c 1 u = b - a = d - c (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u 1, u nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A. Závěr: Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a 1; a ], B[b 1; b ] a vektoru u = (u 1; u ) platí rovnice u 1 = b 1 - a 1 u = b - a :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 3

5 které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A. Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; ]. u 1 = -4 - (-3) = = -1 u = - 4 = - u = (-1; -) Příklad : Umístěte vektor u = (; -7) do bodu A[-4; 1]. Hledáme bod B[x ; y ] takový, aby bylo u = AB. x = -4 + = - y = 1 + (-7) = -6 Bod B má souřadnice [-; -6]. Velikost vektoru Definice: Velikostí vektoru u = (u 1; u ) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění. Věta: Velikost vektoru u = (u 1; u ) vypočteme podle vzorce u = u 1 + u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklad 1: Určete velikost vektoru u = (3; ). u = Ö(3 + ) = Ö13 Vektor u má velikost Ö13. Příklad : Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-; 3], B[-; -1]. u 1 = - + = 0 u = -1-3 = -4 u =Ö(0 + (-4) ) = Ö16 = 4 Vektor u má velikost 4. Příklad 3: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 3

6 Vektor a = (a 1; a ) je jednotkový. Zjistěte a, je-li a 1 = 0,5. 0,5 + a = 1 a = 3/4 (a ) 1 = Ö3/ (a ) = -Ö3/ Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a 1 = (0,5; Ö3/) a a = (0,5; -Ö3/). Součin čísla a vektoru Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna k násobku velikosti vektoru původního. Věta 1: Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u 1; u ). Vektor k.u má souřadnice (k.u 1; k.u ). Věta : Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k. u. Příklad 1: Je dán vektor a = (-; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/. b 1 = (3/). (-) = -3 b = (3/). 3 = 9/ Vektor b má souřadnice (-3; 9/). Příklad : Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; -4]. Vektor OS = (1/). OA, proto s 1 = (1/). 3 = 3/ s = (1/). (-4) = - Střed úsečky OA má souřadnice [3/; -]. Sčítání vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1; v ), pak vektor u + v má souřadnice (u 1 + v 1; u + v ). Věta : Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní. Věta 3: Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní. Věta 4: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1;v ), pak vektor u - v má souřadnice (u 1 - v 1; u - v ) :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 3

7 Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-; 1), b = (-; -). c 1 = - + (-) = - - = -4 c = 1 + (-) = 1 - = -1 Vektor c má souřadnice (-4; -1). Příklad : Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (1; ), b = (0; 1), c = (; 1). d 1 = = 3 d = = 4 Vektor d má souřadnice (3; 4). Příklad 3: Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a. Vektor -a má souřadnice (4; -3). Příklad 4: Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-; -4). z 1 = -3 - (-) = -1 z = 5 - (-4) = 9 Vektor z má souřadnice (-1; 9). Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice. Lineární kombinace vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1; v ), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v. Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r. Lineární závislost a nezávislost vektorů Věta 1: Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo. Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku. Věta : :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 3

8 Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé. Věta 3: Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový. Věta 4: Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku. Věta 5: Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla. Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny. Věta 6: Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny. Příklad 1: Zjistěte, zda jsou vektory u = (; -1), v = (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v. = -1k -1 = 6k k 1 = - k = - Vzhledem k tomu, že k 1 = k, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné). Příklad : Zjistěte, zda jsou vektory u = (1; 1; 14), v = (1; 3; 0), w = (; 1; ) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla. 1 = k + l 1 = 3k + l 14 = l Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -. Platí u = -v + 7w. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé. Příklad 3: Určete a tak, aby vektory a = (; a ; 5), b = (1; ; 1), c = (5; ; ) byly lineárně závislé. Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c = k + 5l a = k + l 5 = k + l Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -1. Dosadíme-li l = -1 do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -1, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a = :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 3

9 Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a = 1; potom je a = 7b - c. Příklad 4: Zjistěte, zda vektory u = (1; 3; 5), v = (1; 3; -), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 1 = k - 3l 3 = 3k - 9l 5 = -k + 6l Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. 1 = m - 3n 3 = 3m - 9n - = 5m + 6n Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -1/3. Platí tedy v = 0.u - (1/3).w, tj. v = (-1/3).w. Vektory u, v, w jsou lineárně závislé. Příklad 5: Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; 1), v = (; 1; 1), w = (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 0 = k + l 0 = k + l 1 = k + l Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. = n 1 = n 1 = m + n Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u. 1 = q 1 = q 1 = p + q Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé. Úhel dvou vektorů Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací: 1. Vektory jsou rovnoběžné souhlasně rovnoběžné nesouhlasně rovnoběžné :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 3

10 . Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel) Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180. Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů: Nechť vektory u = (u 1; u ), v = (v 1; v ) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v. Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran: AB = u, AC = v, BC = u - v Podle kosinové věty pak platí: u - v = u + v -. u. v. cos j Po dosazení dostaneme: (u 1 - v 1) + (u - v ) = u 1 + u + v 1 + v -. u. v. cos j Po odstranění závorek a sloučení dostaneme -u 1v 1 - u v = -. u. v. cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát: u 1v1 + uv cos f = u. v Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů. Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u 1v 1 + u v + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte úhel vektorů u = (-1; ) a v = (1; 3) u = 1+ 4 = 5 v = 1+ 9 = 10 (- ) cos f = = f = 45 Oba vektory spolu svírají úhel :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 3

11 Příklad : Vypočtěte úhel vektorů a = (-; 1; ), b = (-; -; 1) a b = = (- ) = 3 (- ) + (- ) + 1 = 3 (- )(. - ) + 1. (- ) cos f = = = 0, f = Úhel obou vektorů je Skalární součin dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor! Platí: u. v. cos f = u 1v 1 + u v Neboli u. v = u. v. cos f Závěr: u. v = u 1v 1 + u v Pozn.: V prostoru by platilo: u. v = u 1v 1 + u v + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte skalární součin a. b, je-li a =, b = 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 10. a. b =. 1. cos 10 =. (-0,5). = -1 Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1. Příklad : Vypočtěte skalární součin vektorů a = (; -3), b = (3; ) a úhel vektorů a, b. a. b =. 3 + (-3). = 6-6 = 0 Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule. Podle vzorce cos f = a. b a. b Protože ale a. b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90. Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 10 z 3

12 Příklad 3: Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a. a. a. a = a. a. cos 0 a. a = a Kolmost vektorů Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b a. b = a. b. cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90. Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé. Příklad 1: Ověřte, že vektory a = (3; ; 1), b = (; -3; 0) jsou navzájem kolmé. Platí, že vektory jsou na sebe kolmé, jestliže platí: u 1v 1 + u v + u 3v 3 = 0 Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme (-3) = 0 Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé. Příklad : Určete souřadnici n vektoru n tak, aby vektory n = (3; n ; ) a v = (1; -; 4) byly navzájem kolmé. Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit: n. (-) +. 4 = 0 Odtud dostaneme: n = 5,5 Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n = 5,5. ± Vektory - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 11 z 3

13 řešení:. řešení:,, řešení:. řešení: ,, , :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 3

14 Ano ± Parametrické vyjádření přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou rovnoběžné :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 13 z 3

15 Pro vektory u a X - A tedy platí: X - A = t. u neboli X = A + t. u Pokud zavedeme souřadnice: bod X[x; y], bod A[x 1; y 1] a vektor u = (u 1; u ), lze tuto rovnici rozepsat: x = x 1 + t. u 1 y = y 1 + t. u (1) Poslední dvě uvedené rovnice nazýváme parametrickým vyjádřením přímky v rovině. Příklad 1: Napište parametrické vyjádření přímky p dané bodem A[1; 1] a vektorem v = (-; 3), který je s ní rovnoběžný. Podle vztahů (1) lze rovnou psát: x = 1 - t y = 1 + 3t Příklad : Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A[5; ] a B[9; 4]. Vypočteme souřadnice směrového vektoru: u 1 = 9-5 = 4 u = 4 - = Nyní opět použijeme vztahy (1) a získáme výsledek: x = 5 + 4t y = + t Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 7 + 3t, y = - 4t. Určete body této přímky pro t = 0, 1,, -, (1/) Dosazením do vztahů (1) dostaneme: pro t = 0: x = 7, y =... bod má tedy souřadnice [7; ] pro t = 1: x = 10, y = -... bod má tedy souřadnice [10; -] pro t = -: x = 1, y = bod má tedy souřadnice [1; 10] pro t = 1/: x = 8,5, y = 0... bod má tedy souřadnice [8,5; 0] Příklad 4: Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází bodem A[; 5] a je rovnoběžná s přímkou BC, kde B[3;7], C[-4;9] :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 14 z 3

16 Vektor u = BC rovnoběžný s přímkou p má souřadnice: u 1 = -4-3 = -7 u = 9-7 = Přímka p je určena bodem A a vektorem u; podle vztahu (1) můžeme psát parametrické vyjádření přímky p takto: x = - 7t y = 5 + t Příklad 5: Rozhodněte, zda body M[5; 3], N[-31/; 0] leží na přímce p dané bodem A[-5; 7] a vektorem u = (3; ). Parametrické rovnice přímky p jsou: x = t y = 7 + t () Bod M[5; 3] bude ležet na přímce p právě tehdy, bude-li existovat reálné číslo t takové, že bude platit: 5 = t 3 = 7 + t Z první rovnice je t = 10/3, z druhé t = -. Tedy neexistuje takové číslo t, které by splňovalo obě rovnice. Bod M na přímce p neleží. Dosadíme-li do rovnic () souřadnice bodu N, dostaneme: -31/ = t 0 = 7 + t Z obou rovnic dostáváme t = -3,5. Existuje tedy číslo t = -3,5, které vyhovuje oběma rovnicím. Bod N na přímce p leží. ± Parametrická rovnice přímky - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 15 z 3

17 ± Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka p a vektor n = (a; b), který je k přímce p kolmý. Je-li bod A[x 0; y 0] libovolným bodem přímky p a bod X[x; y] libovolným bodem roviny, potom bod X leží na přímce p právě tehdy, když vektor AX je kolmý k vektoru n. AX. n = 0 (1) Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule. n = (a; b)... souřadnice vektoru n AX = (x - x 0; y - y 0)... souřadnice vektoru AX Skalární součin (1) můžeme rozepsat po složkách: (x - x 0). a + (y - y 0). b = 0 Po roznásobení závorek a úpravě dostaneme: ax + by - ax 0 - by 0 = 0 Poslední dva členy jsou konstanta a označíme ji jako c. Pak dostaneme: ax + by + c = 0 a to je hledaná obecná rovnice přímky Pozn.: Obecnou rovnici přímky můžeme odvodit i tak, že z parametrických rovnic přímky vyloučíme parametr. Pamatuj! Normálový vektor přímky ax + by + c = 0 má vždy souřadnice n = (a; b) a směrový vektor této přímky má vždy souřadnice s = (-b; a), (případně k němu opačný pak s = (b; -a)). Příklad 1: Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[; 1] a je kolmá k vektoru n = (; 7) :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 16 z 3

18 ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = ; b = 7. Dostaneme: x + 7y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: c = 0 Odtud c = -11 Hledaná rovnice přímky je tedy x + 7y - 11 = 0 Příklad : Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[5; 3] a je rovnoběžná s osou x. Přímka rovnoběžná s osou x je kolmá k vektoru n = (0; 1). Nyní už je postup analogický k předcházejícímu příkladu: ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = 0; b = 1. Dostaneme: 0x + 1y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: c = 0 Odtud c = -3 Hledaná rovnice přímky je tedy y - 3 = 0 Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 3 + 5t, y = - t. Napište její obecnou rovnici. Obě rovnice vezmeme jako soustavu a vyloučíme z ní parametr t: Např. první rovnici vynásobíme dvěma a druhou pěti. Dostaneme: x = t 5y = 10-10t Obě rovnice sečteme: x + 5y = 16 Hledaná obecná rovnice přímky je pak x + 5y - 16 = 0 Příklad 4: Napište obecnou rovnici přímky, je-li přímka dána body A[3; 7], B[-; 1]. Směrový vektor hledané přímky je u = B - A = (-5; -6). Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0 a víme, že směrový vektor má souřadnice (-b; a). Porovnáním zjistíme, že a = -6; b = 5. Dosadíme do obecné rovnice přímky: -6x + 5y + c = 0 Kterýkoliv z bodů A, B leží na přímce, proto dosadíme např. souřadnice bodu A: c = 0 Dostaneme c = -17 Odtud: -6x + 5y - 17 = 0 a po úpravě: 6x - 5y + 17 = :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 17 z 3

19 Hledaná obecná rovnice přímky je pak 6x - 5y + 17 = 0 ± Obecná rovnice přímky - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 18 z 3

20 :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 19 z 3

21 ; S = 6, ± Směrnicový tvar rovnice přímky Směrnicový tvar rovnice přímky Do směrnicového tvaru můžeme převést jakoukoliv obecnou rovnici přímky, která není rovnoběžná s osou y, tedy pokud b ¹ 0. Převedení provedeme velmi jednoduše tak, že z obecné rovnice přímky vyjádříme y. Vzniklou rovnici dále upravíme do jejího obvyklejšího tvaru: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 0 z 3

22 Příklad 1: Převeďte rovnici x + 3y - 1 = 0 přímky p na směrnicový tvar. Po úpravě rovnice x + 3y - 1 = 0 dostaneme: 3y = -x + 1 y = - x Příklad : Napište směrnicový tvar rovnice přímky, jejíž směrový úhel je 60 a která prochází bodem B[0; ]. Směrový úhel je j = 60. Směrnice přímky je k = tg 60 = Ö3. Bod B leží na ose y, proto q =. Přímka má tedy rovnici y = Ö3. x +. Příklad 3: Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[-; 3] a má směrový úhel p/4. Směrnice je k = tg 45 = 1. Platí tedy: y = x + q Konstantu q vypočítáme dosazením souřadnic bodu A[-; 3] do rovnice y = x + q. 3 = - + q q = 5 Přímka má rovnici y = x + 5. Pozn.: Pokud máme zadány dva body, jimiž přímka prochází, určíme její směrnici podle vzorce Příklad 4: k = y x - y - x :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 3

23 Určete směrnici přímky AB, je-li dáno: A[; -3], B[-4; 1]. Dosazením do výše uvedené rovnice platí: 1- (- 3) 4 k = = - = Směrnice přímky AB je -/3. Příklad 5: Určete směrnicovou rovnici přímky AB, je-li dáno: A[; -3], B[-4; 1]. Směrnice je k = -/3 (viz řešení minulého příkladu), proto je: y = - x + q 3 Konstantu q vypočítáme např. dosazením souřadnic bodu A[; -3] do této rovnice: -3 = (-/3). + q q = -5/3 Rovnice přímky pak je y = (-/3). x - (5/3). ± Směrnicová rovnice přímky - řešení úloh :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 3

24 ± Vzájemná poloha dvou přímek Vzájemná poloha dvou přímek v rovině V rovině mohou být přímky buď rovnoběžné nebo různoběžné. Přímky jsou v rovině rovnoběžné, jestliže vektory k nim kolmé (tj. vektory normálové) jsou navzájem rovnoběžné. Rovnoběžné přímky mohou být buď rovnoběžné různé nebo mohou splývat. A. Přímky jsou v rovině rovnoběžné různé - normálové vektory jsou navzájem rovnoběžné a obecné rovnice přímek nejsou svým násobkem B. Přímky jsou v rovině rovnoběžné splývající - normálové vektory jsou navzájem rovnoběžné a obecné rovnice přímek jsou svým násobkem C. Přímky jsou v rovině různoběžné - normálové vektory nejsou rovnoběžné; souřadnice společného bodu (průsečíku) musí vyhovovat oběma rovnicím přímek a získají se řešením soustavy těchto dvou rovnic o dvou neznámých. Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 3

25 Příklad 1: Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích 3x + y - 6 = 0, 6x + 4y - 1 = 0. Přímky dané zadanými rovnicemi jsou totožné, protože druhá rovnice je dvojnásobkem rovnice první. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích x - 7y + 1 = 0, x - 3,5y + 9 = 0. Dané přímky jsou rovnoběžné různé, protože vektory (; -7) a (1; -3,5) jsou rovnoběžné ( = 1.k, -7 = -3,5.k; tedy k = a přitom 1 ¹.9). Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích 3x - 4y + = 0, 6x - 8y + 5 = 0. Zadané přímky jsou dvě různé rovnoběžky, protože je: 3 = k.6-4 = k.(-8) k = 1/ k = 1/ Přitom ¹ k.5 pro k = 1/. Příklad 4: Napište rovnici přímky procházející bodem A[-1/4; /3] a rovnoběžné s přímkou o rovnici x - 3y + 7 = 0 Pro hledanou přímku napíšeme obecnou rovnici: x - 3y + c = 0 Konstantu c zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice:.(-1/4) - 3.(/3) + c = 0 c = 5/ Získanou rovnici hledané přímky x - 3y + (5/) = 0 můžeme vynásobit dvěma. Rovnice 4x - 6y + 5 = 0 je tedy rovnicí přímky, která prochází bodem A a je rovnoběžná s danou přímkou. Příklad 5: Zjistěte průsečík přímek p: x - y - 3 = 0, q: 3x + y - = 0. Řešíme soustavu rovnic: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 3

26 x - y - 3 = 0 3x + y - = Sečtením rovnic vyloučíme proměnnou y a dostaneme x = 1. Dosadíme-li x = 1 např. do první rovnice soustavy, dostaneme y = -1. Přímky jsou tedy rovnoběžky se společným bodem P[1; -1]. Příklad 6: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a, b; a: x = 1 + 3t, y = + 4t; b: x = + 6s, y = 4 + 8s. Přímka a prochází bodem A[1; ] a je rovnoběžná s vektorem a = (3; 4). Přímka b prochází bodem B[; 4] a je rovnoběžná s vektorem b = (6; 8). Vektory a, b jsou rovnoběžné, protože b = a. Proto jsou přímky a, b buď různé rovnoběžky nebo splývají. Kdyby přímky splývaly, pak by např. bod A[1; ], který leží na přímce a, ležel i na přímce b. Dosadíme souřadnice bodu A do parametrického vyjádření přímky b: 1 = + 6s = 4 + 8s Z první rovnice vyjde s = -1/6, ze druhé rovnice s = -1/4. Bod A neleží na přímce b, a proto jsou přímky a, b rovnoběžné různé. Odchylka dvou přímek. Kolmost dvou přímek. Odchylka a dvou přímek je velikost nulového, ostrého nebo pravého úhlu, který spolu přímky svírají. Odchylka a (0 a 90 ) dvou přímek s normálovými, resp. směrovými, vektory u, v se vypočítá pomocí jejich skalárního součinu a platí pro ni vztah: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 3

27 (1) Je-li skalární součin normálových, resp. směrových, vektorů roven nule, jsou tyto přímky na sebe kolmé. Platí totiž: a to je možné jen v případě, že a = 0 nebo a = 70. Příklad 7: Vypočtěte odchylku přímek p: x - 3y + 6 = 0, q: x + y - 8 = 0. Normálové vektory k daným přímkám jsou u = (1; -3), v =(1; ). Dosadíme do vzorce (1): (- 3) 5 5 cos a = = = = a = 45 Odchylka daných přímek je 45. Příklad 8: Určete odchylku přímek p: x = + t, y = 1 - t; q: x = -1 + s, y = -s Směrové vektory přímek p, q jsou: u = (1; -), v = (1; -1). Dosadíme do vzorce (1): 1.1+ (-).(-1) cos a = = 0, a = 18 6 Odchylka přímek p, q je asi Příklad 9: Napište rovnici přímky, která prochází bodem A[4; 3] a má od přímky p: x - y + 7 = 0 odchylku 45. Normálový vektor přímky p je vektor u = (1; -1). Normálový vektor hledané přímky označíme v = (v 1; v ). Dosadíme do vzorce (1): :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 3

28 cos 45 = o = v - v 1 1 v v - v + v v 1 + v Po úpravách dostaneme: 1 + v = v1 v v - ( v ) 1 + v = 1 v 1. v = 0 v - v Protože normálový vektor je nenulový, má rovnice řešení buď pro v 1 = 0, v ¹ 0, nebo v 1 ¹ 0, v = 0. Jako výsledek tedy dostáváme dva normálové vektory v = (0; v ), v ¹ 0, v = (v 1; 0), v 1 ¹ 0. Zvolíme např. v prvním případě v = 1 a ve druhém případě v 1 = 1. v = (0; 1) v = (1; 0) Řešením budou dvě přímky o rovnicích: y + c 1 = 0 x + c = 0 Konstantu c 1, resp. c, vypočítáme dosazením souřadnic bodu A do těchto rovnic; dostaneme: y - 3 = 0 x - 4 = 0 Odchylku 45 od přímky p mají přímky r: y - 3 = 0 a s: x - 4 = 0 Příklad 10: Napište rovnici přímky p procházející bodem A[1; 4] a kolmé k přímce q dané rovnicí 3x - y - 1 = 0. Normálový vektor přímky q je vektor u = (3; -), normálový vektor kolmice p je např. vektor v = (; 3). Rovnice přímky p je: x + 3y + c = 0 Po dosazení souřadnic bodu A do této rovnice dostaneme c = -14. Přímka p má tedy rovnici x + 3y - 14 = 0. ± Vzájemná poloha přímek - procvičovací příklady :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 3

29 :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 3

30 ± Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost v bodu M od přímky p je rovna vzdálenosti bodu M od paty kolmice k vedené z bodu M k přímce p. Vzdálenost bodu M[x 0; y 0] od přímky dané obecnou rovnicí ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 3

31 Příklad 1: Určete vzdálenost v bodu A[-1; 1] od přímky q: 3x - 4y + 5 = 0. Dosadíme do výše uvedeného vzorce: 3. (-1) v = = ( ) 5 Vzdálenost bodu A od přímky q je /5. Příklad : Na přímce p: 4x - 1y - = 0 najděte bod, který má od přímky q: 5x + 1y + 5 = 0 vzdálenost 3. Hledaný bod označíme M[x 1; y 1]. Protože bod M leží na přímce p, můžeme psát: 4x 1-1y 1 - = 0 Z toho je y1 = x 1 (1) Bod M má od přímky q vzdálenost 3, a proto platí: 5x1 + 1y = = 5x 1 + 1y = 3x Za předpokladu, že 3x > 0, tj. x 1 > -1/3, dostaneme 13 = 3x x 1 = 4 Po dosazení do rovnice (1) y 1 = 7/6 Za předpokladu, že 3x < 0, tj. x 1 < -1/3, dostaneme 13 = -3x 1-1 x 1 = -14/3 Po dosazení do rovnice (1) y 1 = -31/ :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 30 z 3

32 Úloze tedy vyhovují dva body M[4; 7/6], N[-14/3; -31/18]. ± Vzdálenost bodu od přímky - procvičovací příklady , , :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 31 z 3

33 , :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 3

34 Obsah Analytická geometrie 1 Vektory Vektory - řešení úloh 11 Parametrické vyjádření přímky v rovině 13 Parametrická rovnice přímky - řešení úloh 15 Obecná rovnice přímky 16 Obecná rovnice přímky - řešení úloh 18 Směrnicový tvar rovnice přímky 0 Směrnicová rovnice přímky - řešení úloh Vzájemná poloha dvou přímek 3 Vzájemná poloha přímek - procvičovací příklady 7 Vzdálenost bodu od přímky 9 Vzdálenost bodu od přímky - procvičovací příklady :57:37 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (