Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Transkript

1 Úvod do gavitace

2 Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu

3 Úvod do gavitace Setkáváme se s pvní dalekodosahovou silou, se silou gavitační. Jejím postřednictvím na sebe hmotné body působí, aniž by byly v přímém vzájemném kontaktu funkce vakua. Na základě gavitačního působení funguje nebeská mechanika. Gavitační zákon je zobecněním dlouhodobých astonomických pozoování. měření Tycho Baheho ( ) byla shnuta Johannesem Kepleem ( ) do tří zákonů.

4 Kepleovy zákony 1. Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, blízkých kužnicím. Slunce je v jejich společném ohnisku. S 1 S 2 2. Při pohybu učité planety je její plošná ychlost konstantní. w = 3. Při sovnání dah dvou ůzných planet : v 2 T T 2 2 = a 1 a 2 3 a v

5 Newtonův gavitační zákon Kepleovy zákony byly shnuty do gavitačního zákona Issacem Newtonem : Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, kteá působí ve směu jejich spojnice, je přímo úměná součinu jejich hmotností a nepřímo úměná duhé mocnině jejich vzdálenosti: Po jednoduchost umístíme m 1 do počátku a poloha m 2 bude učena polohovým vektoem. Potom sílové působení na bod m 2 v důsledku existence bodu m 1 je F 12, platí i opačně zákon akce a eakce. z y m 1 F 12 x m 2 F = κ m 1m 2 2 0

6 Newtonův gavitační zákon - poznámky Gavitačně na sebe působí libovolné hmotnosti. = Nm 2 kg -2 je univezální gavitační konstanta - znamená, že se vždy jedná o přitažlivou sílu Při vzájemném působení více hmotných bodů platí pincip supepozice silové působení mezi dvěma hmotnými body nezávisí na ozložení jiných hmotností v jejich okolí, dokonce ani na hmotnosti mezi nimi.

7 Newtonův gavitační zákon - poznámky Plošná ychlost je definována: w = v 2 je zřejmé, že moment hybnosti : b = 2mw y v m 2 z m 1 F 12 x S 1 S 2 Zachování plošné ychlosti je tedy ekvivalentní zachování momentu hybnosti

8 Newtonův gavitační zákon - poznámky Gavitační pole si představujeme jako infomaci, kteou o sobě šíří hmotné body do svého okolí nese údaje o jejich velikosti a poloze šíří se ychlostí světla - ve vakuu na tuto infomaci eagují jiné zdoje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla

9 Gavitace polní popis Intenzita pole E Gavitační pole je pole vektoové. Mohli bychom ho plně chaakteizovat, v každém bodě třemi složkami síly F, kteá působí na nějakou m testovací hmotnost m. Výhodnější je tuto sílu podělit testovací hmotností, čímž získáme intenzitu E, kteá na ní již nezávisí a je tedy jednoznačnou vlastností pole.

10 Intenzita gavitačního pole E E 1 = F 12 m 2 = κ m Intenzitu chápeme jako sílu, kteá by v daném bodě působila na jednotkovou hmotnost. Je to vlastnost pole a není vázána na testovací těleso Sovnej s gavitačním zychlením g

11 Intenzita gavitační pole v blízkosti Země Gavitační pole v těsné blízkosti Země lze chaakteizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gavitačním zychlením. E 1 = κ M 2 0 = a g 0 Po koekcích gavitačního zychlení a g = 9.83 ms -2 na ůzné vlivy, zvláště otaci Země, dostáváme měřitelné tíhové zychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms -2.

12 Pohyb satelitů I Obecně se tělesa otáčejí kolem společného těžiště. Je-li satelit podstatně lehčí než centální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centálního tělesa. Uvažujme po jednoduchost kuhovou dáhu. V pvním přiblížení je dostředivá síla je ealizována gavitační a platí : F OD = F G mv 2 = κmm 2

13 Pohyb satelitů II Ze vztahu můžeme například vyjádřit ychlost oběhu : v = κm Jsou-li hmotnosti těles sovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich skutečného těžiště. Čili se pohybuje i centální těleso. Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit větší planety u vzdálených hvězd.

14 Konzevativní pole Gavitační pole se řadí mezi takzvaná pole konzevativní. Celková páce potřebná na přenesení hmotnosti po libovolné uzavřené dáze je nulová. Páce potřebná na přenesení hmotnosti m z bodu A do bodu B nezávisí na cestě, ale jenom na nějaké skalání vlastnosti v těchto bodech = potenciálu φ. W(A->B) = m (B) - m (A)

15 Páce v gavitačním poli potenciální enegie Spočítejme páci, kteou musíme dodat po přemístění hmotnosti m z A do B v gavitačním poli jiné hmotnosti M. Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a páci musíme dodat při zvětšení, potože působíme poti přitažlivé síle. W = m A d je vždy ovnoběžné s F! B κm 2 d = κmm 1 1 = E B P A Vykonaná páce se ovná změně potenciální enegie

16 Páce v gavitačním poli potenciální enegie W = m B κm 2 d = κmm 1 B 1 A = E P A Potenciální enegii / páci musíme vztáhnout na učitou pozici A nejčastěji k povchu Země, popř. k nekonečnu, potom E P = κmm + c Potenciální enegii v blízkosti povchu Země, E P h = mgh

17 Potenciál gavitačního pole φ Potenciál = potenciální enegie vztažená na hmotnost m φ = E B P κm m = d = κm 1 2 A B 1 A Také potenciál musíme vztáhnout na učitou pozici A (povch Země),nejčastěji ale k A =, potom φ = κm = W = E P m v daném místě Absolutní potenciál v daném místě = potenciální enegie v daném místě 1 kg vztažená vůči místu v nekonečnu

18 Potenciální enegie gavitačního pole Je třeba chápat ozdíl mezi potenciálem, což je vlastnost pole a potenciální enegií, což je vlastnost učitého hmotného tělesa v tomto poli. Výhody popisu pole pomocí potenciálu : Skalání Pincip supepozice vede na aitmetické sčítání

19 Pohodlnější je popisovat gavitační pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu, popř. sílu : dx x ( d dy y Vztah potenciálu a intenzity B W 1 ) F d m m A ( )) E d dz z E d B A E d gad d E d d ( ) E gad E( ) d Intenzita gavitačního pole je ovna gadientu potenciálu (záponě). Tento vztah spojuje skalání pole φ s vektoovým polem E

20 Gadient Gadient skalání funkce je vekto, kteý má 1. smě největšího ůstu funkce v daném bodě 2. velikost danou příůstkem funkce v jednotkové vzdálenosti od daného bodu v tomto směu : d d d gad( ( )) ( ; ; ) dx dy dz Gadient je tojozměnou obdobou difeenciálu : ( dl ) ( ) dl.gad( ( Význam gadientu vyplývá z faktu, že skalání součin bude maximální, když jsou jeho činitelé dl a gad( ( )) paalelní. ))

21 Poč shořela Columbie? Zákon zachování enegie W E E E k p Je-li páce dodaná do systému nulová zachovává se součet kinetické a potenciální enegie. Celková enegie satelitu : E mv 2 2 mm konst. Když satelit vstupuje do atmosféy a je bžděn atmosféou nebo svými motoy, klesá jeho výška, ale oste ychlost. Musí tedy, v učité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bžděno padáky, vydžet obovské teploty.