Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Transkript

1 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení? Stačí nakreslit sílu libovolnou sílu, která má se silou stejný počáteční bod Síla bude spojovat konečné bod sil a Možných řešení je nekonečně mnoho Obrázek není zcela správný Síla b měla mít stejné působiště jako síl a :

2 Pokud chceme, ab řešení blo jednoznačné, musíme dopředu určit směr sil, na které chceme sílu rozložit Př : Rozlož sílu do vznačených směrů Nakreslíme z konečného bodu síl rovnoběžk s vznačenými směr a tím dokreslíme rovnoběžník

3 Př 3: Rozlož síl na obrázcích do vznačených směrů: Postupujeme zcela stejně jako v předchozích případech: 3

4 Pedagogická poznámka: Levý obrázek je u slabších studentů nutné kontrolovat Není to tak jednoznačné, jak to vpadá Rovnoběžk sice nakreslí dobře, ale vtahují občas špatně Nejčastěji se vektor rozkládají do navzájem kolmých směrů Souvisí to s tím, že kartézská soustava souřadnic má dvě navzájem kolmé os a rozklad do těchto směrů lze pomocí goniometrických funkcí poměrně snadno provést i číselně Př 4: Síla o velikosti 30 N svírá s vodorovnou rovinou úhel 30 Urči vodorovnou a svislou složku této síl Nakreslíme si obrázek: Hledané složk vektoru tvoří odvěsn pravoúhlého trojúhelníku: sinα = = sinα = 30 sin 30 N = 5 N cosα = = cosα = 30 cos 30 N 6 N Př 5: Střela bla vstřelena rchlostí 0 m/s pod úhlem 50 s vodorovnou rovinou Urči vodorovnou a svislou složku vektoru rchlosti Obrázek b bl praktick stejný jako v předchozím příkladě v sinα = v = v sinα = 0 sin 50 m/s = 5, /s v v cosα = v = v cosα = 0 cos 50 m/s =,9 m/s v 4

5 Př 6: Síla má dvě složk = 8 N a = 4 N s osou Urči velikost síl a úhel, který svírá α Z obrázku je vidět: = + = + = = 8,94 N Pro úhel α : 4 tgα = α = tg = tg = 6,57 8 Př 7: Síla o velikosti 50 N svírá s osou úhel α = 35 Urči velikost jejích složek a Z obrázku je vidět: sinα = = sinα = 50 sin 35 = 8,69 N cosα = = cosα = 50 cos 35 = 40,96 N Pedagogická poznámka: U předchozích příklad jste zcela odkázáni na matematiku Já tad vužil toho, že ve stejné třídě učím i matematiku, kde goniometrické funkce proberu na začátku roku i s vužitím ve fzice a látku prohlásím za červené rámečk (to, co si musí studenti pamatovat pořád) Pro mě překvapivě ani po šesti měsících s tím studenti neměli problém 5

6 C Je dobré si všimnout, že složk, vektoru jsou zároveň souřadnicemi bodu C (koncového bodu vektoru ) Platí to tak vžd? Pouze, kdž vektor začíná v počátku souřadnic Podobně to platí i v prostoru Zde má vektor samozřejmě tři složk,, z Vektor tak můžeme zapsat pomocí jeho složek podobně jako se zapisují souřadnice bodů, = ; = 6;5 (Vjádření vektoru v v zadání jenom se používají kulaté závork ( ) ( ) pomocí jeho velikosti a úhlu je vlastně vjádřením poloh bodu C v poláních souřadnicích) Př 8: Rozlož vektor na obrázku na jejich složk: 4m c b m a m m Určíme vlastně souřadnice koncových bodů jednotlivých vektorů (stejně jako v předminulé hodině): a = 4;3;0 ( ) b = ( ;3;3) = ( ; ;4) c 6

7 Př 9: Najdi složk vektoru e z e m m m Problém: Vektor nemá počátek v počátku soustav souřadnic přesuneme si ho do počátku a pak normálně odečteme souřadnice přesunutého vektoru z e m e = ( ;3; ) m m Př 0: Urči velikost vektoru e Použijeme Pthagorovu větu: e = = 7 Proč rozkládáme vektor na složk? -ové složk všech vektorù jsou spolu rovnoběžné snadno je můžeme sčítat jako čísla Př : Urči vektor: a) k = a + b b) l = a + c c) m = c b a) k = a + b = ( 4;3;0 ) + ( ;3;3) = ( 4 + ;3 + 3; 0 + 3) = ( 6; 6;3) b) l = a + c = ( 4;3; 0) + ( ; ; 4) = ( 4 + ;3 ;0 + 4) = ( 6;; 4) c) m = c b = ( ; ; 4) ( ;3;3) = ( ; 3; 4 3) = ( 0; 5;) 7

8 Př : Síl a o velikostech = 0 N a = 5 N spolu svírají úhel 65 Urči velikost jejich výslednice a úhel, který tato síla svírá se silou Nejdříve musíme určit složk obou vektorů musíme zvolit soustavu souřadnic, naštěstí můžeme libovolně zvolíme souřadnice tak, ab osa měla stejný směr jako síla 60 Určíme složk vektorů: = 0 N = 0 N sinα = = sinα = 5 sin 60 N 3 N cosα = = cosα = 5 cos 60 N 7,5 N 60 Určíme složk vektoru = + = + = 0 + 7,5 N = 7,5 N = + = 0 + 3N = 3 N Velikost vektoru : Úhel, který síla svírá s osou : = + = 7,5 + 3 N =,8 N 3 tgα = α = tg = tg = ,5 8

9 Součtem sil a má velikost,8 N a se silou svírá úhel α = Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je nutné kontrolovat po krocích (zvolení soustav, rozklad vektorů, sečtení složek, velikost a úhel výsledného vektoru) a je na něj potřeba minimálně 7 minut Shrnutí: Vektor je možné rozkládat na složk v libovolných směrech Složk ve směru souřadných os jsou u vektorů analogií souřadnic bodu 9