Kvantové počítání. Pavel Cejnar. Program: 1) Historie 2) Principy 3) Příklady 4) Realizace. ÚČJF MFF UK Praha mff.cuni.cz.

Transkript

1 Kvantové počítání Pavel Cejnar ÚČJF MFF UK Praha mff.cuni.cz Program: ) istorie ) Principy 3) Příklady 4) Realizace Nick Park Nové Strašecí, leden 6

2 Kvantové počítání ) istorie ) Principy 3) Příklady 4) Realizace Nick Park

3 Prehistorie Rolf Landauer (97-999) 96-7s: Analýzy fyzikálních omezení klasických počítačů Vratné počítače (počítání založené na reverzibilních procesech) 959: Feynman pronesl řeč There s Plenty of Room at the Bottom 96: První úvahy o fyzikálních mezích miniaturizace výpočetních procesů 96: Landauer ukázal, že každý ireverzibilní krok výpočtu produkuje entropii-teplo 969: První návrh spinového počítače (kvantové vlastnosti chápány spíš jako omezení) 973: Benett předkládá koncept univerzálního reverzibilního počítače 98: Fredkin & Toffoli demonstrují výpočetní reverzibilitu na billiard ball computer Edward Fredkin Q min =(ln)kt

4 Počátek Richard Phillips Feynman (98-988) 96-7s: Analýzy fyzikálních omezení klasických počítačů 98-8: První úvahy o prospěšnosti QM pro teorii počítání Richard Feynman, Jurij Manin,

5 Expanze Richard Phillips Feynman (98-988) 96-7s: Analýzy fyzikálních omezení klasických počítačů 98-8: První úvahy o prospěšnosti QM pro teorii počítání Richard Feynman, Jurij Manin, 985: Kvantový Turingův stroj 989: Elementární kvantové operace David Deutsch 994: Kvantový faktorizační algoritmus Peter Shor N P P { P, P N N P, P x RSA šifrování: Nejprve si bude Alice muset vyrobit pár veřejného a soukromého klíče: Zvolí dvě různá velká náhodná prvočísla p a q. Spočítá jejich součin n = pq. Spočítá hodnotu Eulerovy funkce φ(n) = (p )(q ). Zvolí celé číslo e menší než φ(n), které je s φ(n) nesoudělné. Nalezne číslo d tak, aby platilo de (mod φ(n)), kde symbol značí kongruenci zbytkových tříd. Jestli e je prvočíslo, tak d = (+r*φ(n))/e, kde r = [(e-)φ(n)^(e-)]. Veřejným klíčem je dvojice (n, e), přičemž n se označuje jako modul, e jako šifrovací či veřejný exponent. Soukromým klíčem je dvojice (n, d), kde d se označuje jako dešifrovací či soukromý exponent. V praxi se klíče uchovávají v mírně upravené formě, která umožňuje rychlejší zpracování. Veřejný klíč poté Alice uveřejní, respektive zcela otevřeně pošle Bobovi. Soukromý klíč naopak uchová v tajnosti. (Wikipedie)

6 Kvantové počítání ) istorie ) Principy 3) Příklady 4) Realizace Nick Park

7 Tři zdroje kvantového počítání Erwin Schrödinger (887 96) John von Neumann (93-957) ) Kvantová neurčitost Stavy kvantových systémů reprezentovány vektory superpozice A B Vektory mají nenulový překryv => stavy nejsou dokonale rozlišitelné * pravděpodobnost vzájemné záměny obou stavů A B B / P P * A

8 Tři zdroje kvantového počítání Erwin Schrödinger (887 96) John von Neumann (93-957) ) Kvantová neurčitost Stavy kvantových systémů reprezentovány vektory superpozice A B Vektory mají nenulový překryv => stavy nejsou dokonale rozlišitelné ) Vlastnosti kvantových měření Výsledky měření mají pravděpodobnostní charakter. Měření mění stav systému A B B / P P * A

9 Tři zdroje kvantového počítání Erwin Schrödinger (887 96) John von Neumann (93-957) ) Kvantová neurčitost Stavy kvantových systémů reprezentovány vektory superpozice A B Vektory mají nenulový překryv => stavy nejsou dokonale rozlišitelné ) Vlastnosti kvantových měření Výsledky měření mají pravděpodobnostní charakter. Měření mění stav systému 3 7

10 Tři zdroje kvantového počítání Erwin Schrödinger (887 96) John von Neumann (93-957) ) Kvantová neurčitost Stavy kvantových systémů reprezentovány vektory superpozice A B Vektory mají nenulový překryv => stavy nejsou dokonale rozlišitelné ) Vlastnosti kvantových měření Výsledky měření mají pravděpodobnostní charakter. Měření mění stav systému Charles Addams, the New Yorker 94

11 Tři zdroje kvantového počítání Erwin Schrödinger (887 96) John von Neumann (93-957) 3) Kvantová provázanost Stavy složených systémů jsou reprezentovány vektory v součinovém prostoru Např. A A B A B B B A Cejnar Doležal Cejnar Doležal Provázaný stav => podsystémy nemají své vlastní stavové vektory, nedají se popsat odděleně, nýbrž vykazují (bez ohledu na vzdálenost) silné kvantové korelace

12 Kvantový bit = qubit, Qbit, qbit, kvabit cos e i sin Možné fyzikální realizace Projekce spinu elektronu, protonu, lichého jádra (s=½) Lineární/kruhové polarizační stavy fotonu Dva vybrané energetické stavy atomu Proudové stavy supravodivého prstence.

13 Kvantový registr Obecný stav n-tice qbitů = superpozice všech číselných hodnot n n Příprava homogenní superpozice: čas t n

14 měření Kvantový výpočet Krokovaná kvantová evoluce stavu počítače a následné měření Uˆ ˆ ˆ ˆ NU Uˆ ( N) n N U U () ( N) ( N) ( N) n ( N) Příprava homogenní superpozice a sekvence - & -qbitových operací: čas t.opakování výpočtu a statistické vyhodnocení výstupů U U U 3 U 5 klasický výstup n U 4

15 Co na to Dilbert? Vysvětlení: Podle Everettovy mnohosvětové interpretace QM jsou jednotlivé členy kvantové superpozice realizovány v různých světech vesmírech. Paralelní vesmíry jsou ve vzájemném kontaktu po dobu udržení koherence kvantové superpozice. Vyšší efektivita kvantové počítání je důsledkem paralelismu výpočtů probíhajících v takových provázaných vesmírech

16 Kvantové počítání ) istorie ) Principy 3) Příklady 4) Realizace Nick Park

17 Testování funkcí např. test konstantnosti Not f měř => f const => f = const Jediným voláním funkce jsme schopni zjistit její globální vlastnost! -bitová funkce x = f (x) = const = const Výpočet hodnoty diskrétní funkce x x n m x x n m x x x x n n f ( x) f ( x) m m

18 Další algoritmy Prohledávání databází Shorův faktorizační algoritmus Úlohy optimalizace? Rozpoznávání obrazců?? Umělá inteligence??? Simulace fyzikálních a chemických (biologických) systémů Mnohočásticový problém (jaderná fyzika, chemie ) Počet bázových stavů systému (dimenze stavového prostoru) roste exponenciálně s počtem částic. Např. D spinová mřížka: dimenze prostoru = N N dim 6 N 33 dim 5 N 4 4 dim N 55 dim N 66 dim N 77 dim Možné aplikace při navrhování nových materiálů, chemicky/biologicky aktivních molekul Asparu-Guzik, Kassal (8)

19 Adiabatické kvantové počítání t = pomalá (adiabatická) změna parametrů t = T in jednoduše připravitelný (při T ) stav spinového systému Př.: Problém splnitelnosti Najít hodnoty N bitů splňující m klauzulí typu: x i j k i, j, k{,,... N} Problémy splnitelnosti obecně patří do třídy nepolynomiálních (NP-úplných) problémů! x x i i,,... N x {,} stav splňující zadanou soustavu klauzulí (, ) Farhi, Goldstone, Gutmann, Lapa, Lundgren, Preda, Science 9, 47 () Aharonov, van Dam, Kempe, Landau, Lloyd, Regev, SIAM J.Comput. 37, 66 (7) out

20 Kvantové počítání ) istorie ) Principy 3) Příklady 4) Realizace Nick Park

21 Technologie a) Uvězněné ochlazené ionty b) Kvantová elektrodynamika v dutině c) Jaderná magnetická rezonance d) Spinotronika v křemíku e) Proudy v supravodivých smyčkách a) Uvězněné ionizované atomy (de)excitované laserem μm 3 6 c) NMR v kapalné fázi (manipulace se spiny pomocí pulsů mag. pole s využitím spin-spinových interakcí) b) Interakce atomů a záření v dutinovém rezonátoru Molekula se 7 Q-bity tvořenými jádry 3 C, 9 F (pracuje se se statistickým souborem těchto jader) V roce proveden kvantový výpočet faktorizace 5 53 V roce pomocí NMR implementace adiabatického kvantového výpočtu dosaženo: 43 3 d) Manipulace se spiny elektronů (jader) v polovodičové mříži

22 Technologie e) Makroskopické proudy v supravodivých smyčkách SQUID: Superconducting Quantum Interference Device? Interakce mezi SQUIDy qbitové operace D-Wave Systems Johnson et al., Nature 473, 94 ()

23 Překážky DEKOERENCE!!!.

24 Překážky (a) koherentní superpozice amplitudy Pokud uskutečnění libovolné z alternativ nelze principiálně zjistit (např. měřením na jiném objektu) => interference DEKOERENCE!!! pravděpodobnosti (b) statistická směs p p Pokud uskutečnění některé z alternativ lze potenciálně zjistit (např. měřením na jiném objektu) => interference Konec kvantového chování!!! Objekt, např.atom, který monitoruje dráhu elektronu uvnitř přístroje (z jeho kvantového stavu se dá jednoznačně zjistit, kterou ze štěrbin elektron prošel)

25 Překážky (a) koherentní superpozice amplitudy Pokud uskutečnění libovolné z alternativ nelze principiálně zjistit (např. měřením na jiném objektu) => interference DEKOERENCE!!! pravděpodobnosti (b) statistická směs p p Pokud uskutečnění některé z alternativ lze potenciálně zjistit (např. měřením na jiném objektu) => interference Opravné procedury využívající redundanci Ne však prosté namnožení qbitu tomu brání kvantový no-cloning teorém: Možnost opravy obecné chyby, pokud vznikla pouze na jednom (libovolném) qbitu: qbit 5 qbitů Je v principu nemožné sestrojit zařízení, které by vytvářelo nebo více replik obecného (neznámého) kvantového stavu (bylo by to v rozporu s vlastnostmi kvantové dynamiky).

26 MFF UK Praha, laboratoře Trója, rok 346 SIFT APPENS.?