PRUŽNOST A PEVNOST I

Transkript

1 PRUŽNOST A PEVNOST I Učební text Prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc. Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Fakulta strojního inženýrsví VUT v Brně Brno, 2011 Tato publikace vznikla jako součást projektu CZ.1.07/2.2.00/ Zavedení problémově orientovaného vzdělávání do studijních plánů strojního inženýrství, který je spolufinancován evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Obsah 1 DEFINICE, LITERATURA, NÁVAZNOSTI 1 2 ZÁKLADNÍ POJMY Deformace tělesa Napjatost tělesa Zatížení tělesa Mezní stavy tělesa Deformačně pevnostní spolehlivost OBECNÉ VLASTNOSTI A OBECNÉ VĚTY LINEÁRNĚ PRUŽNÉHO TĚLESA 23 4 ZÁKLADNÍ MATERÁLOVÉ CHARAKTE- RISTIKY, TAHOVÁ A TLAKOVÁ ZKOUŠKA 35 5 PRUT V PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Prutové předpoklady Klasifikace prutů Hledisko geometrické Hledisko vazeb Určování napjatosti a deformace v příčném průřezu Algoritmus určování VVU, integrální a diferenciální vztahy mezi vnějším zatížením a složkami VVU Pruty vázané NAMÁHÁNÍ NA TAH A TLAK Základní vztahy Napjatost v šikmém řezu, rozbor tahové napjatosti Vliv změny příčného průřezu podél střednice Vliv proměnlivosti normálové síly N(x) podél střednice Vliv zakřivení střednice Algoritmus určování napjatosti a deformace při tahovém (tlakovém) namáhání Soustavy těles NAMÁHÁNÍ NA OHYB Základní vztahy pro napětí a deformaci v řezu Poloha neutrální osy průřezu Nebezpečné místo průřezu, pevnostní kontrola Energie napjatosti Deformace prutu Vliv odchylek od případu prostého ohybu na napjatost a deformaci Změna průřezu podél střednice Vliv příčného silového zatížení prutu Vliv zakřivení střednice Namáhání na ohyb, praktické aplikace Pruty přímé - demonstrační příklady Pruty lomené - rámy Pruty zakřivené a pruty smíšené - demonstrační příklady

3 8 NAMÁHÁNÍ NA KRUT Základní vztahy pro napětí a deformaci v řezu Pevnostní kontrola Energie napjatosti Vliv odchylek od případu prostého krutu na napjatost Válcová pružina s malým stoupáním Namáhání na krut, demonstrační příklady MEZNÍ STAV VZPĚRNÉ STABILITY PRUTŮ Vliv odchylek od ideálního případu Vliv zakřivení střednice a excentrického působení vnějšího zatížení F Vliv proměnlivosti průřezu a modulu pružnosti E podél střednice Vliv uložení prutu Vliv reálného materiálu Pevnostní kontrola přímého stlačovaného prutu Demonstrační příklad NAPJATOST V BODĚ TĚLESA Základní vztahy pro napětí v obecném řezu Hlavní roviny, hlavní napětí a hlavní směry Hlavní souřadnicový systém, vztahy pro obecné napětí a jeho složky Znázornění napjatosti v Mohrově rovině, Mohrovy kružnice Zvláštní případy napjatosti Rovinná napjatost Prutová napjatost a prostý smyk Klasifikace napjatosti MEZNÍ STAVY MATERIÁLU Mezní stav pružnosti Podmínka plasticity maximálního smykového napětí τ max Podmínka plasticity oktaedrického smykového napětí τ okt Mezní stav křehké pevnosti PODMÍNKY BEZPEČNOSTI, PROSTÁ BEZPEČNOST, REDUKOVANÉ NAPĚTÍ KOMBINOVANÁ NAMÁHÁNÍ Kombinované namáhání na tah a ohyb Kombinované namáhání na ohyb a smyk Kombinované namáhání na ohyb a krut Příloha A: PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY 257 Příloha B: ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1

4 PRUŽNOST A PEVNOST I 1 DEFINICE, LITERATURA, NÁVAZNOSTI Pružnost a pevnost (PP) se zabývá určováním deformace, napjatosti a porušováním celistvosti tělesa v závislosti na vnějším zatížení. Součástí PP je rovněž formulace tzv. mezních stavů a stanovení bezpečnosti a spolehlivosti. Doporučená literatura: Janíček, Ondráček, Vrbka, Burša: Mechanika těles, Pružnost a pevnost I, CERM, 2004 Burša, Horníková, Janíček: Pružnost a pevnost, CERM 2003, rovněž interaktivní učební text VUT FSI 2002 Janíček, Florian: Úlohy z pružnosti a pevnosti I, VUT Hoschl: Pružnost a pevnost ve strojnictví, SNTL Praha, ALFA Bratislava, 1977 Gere, Timošenko. Mechanics of materials, Chapman and Hall, London, Glasgow,

5 NÁVAZNOSTI PPI navazuje na a) statiku (podmínky statické rovnováhy, statická analýza atd.). PP je jeden z předmětů Mechaniky těles - statika, PP, kinematika, dynamika) b) matematiku (matematická formulace úloh PP a jejich řešení - integrální a diferenciální počet, diferenciální rovnice atd.) c) materiálové inženýrství (materiálové charakteristiky) d) fyziku (atomová struktura látek, teorie dislokací, krystalická struktura atd.) e) úvod do strojírenství (konstruování) (představa o základních strojních dílech a jejich funkci) f) teorie systémů, teorie modelování, teorie experimentu (tvorba vhodných výpočtových modelů úloh atd.) 2

6 2 ZÁKLADNÍ POJMY 2.1 Deformace tělesa Při deformaci tělesa se mění poloha bodů tělesa vzhledem ke vztažnému souřadnicovému systému (i vzdálenosti bodů) a tvar tělesa i jeho částí. Deformace tělesa je matematicky popsána dvěma způsoby a) posuvy u(u, v, w) ve všech bodech A Ω b) deformací všech elementů tělesa ad a) 3

7 ad b) Prvkem (elementem) tělesa rozumíme každou jeho oddělitelnou část. Konečný prvek - všechny rozměry prvku jsou konečné Elementární prvek - alespoň jeden rozměr je infinitesimálně malý (jedno-, dvoj-, trojnásobně elementární prvek). Deformace tělesa je určena deformací každého trojnásobně elementárního prvku (elementu) tělesa. Deformací je zde přitom míněna změna rozměrů a tvaru elementu. 4

8 Matematické vyjádření deformace elementu tělesa Relativní změna rozměrů a tvaru elementu 5

9 Změna rozměrů elementu je popsána délk. přetvořeními ε x, ε y a ε z ε x = dx dx dx ε y = dy dy dy ε z = dz dz dz (2.1) Změna tvaru elementu je popsána úhlovými přetvořeními (zkosy), které geometricky představují změnu pravého úhlu γ xy = α + β γ yz = γ + δ γ zx = ε + ψ (2.2) Pozn: uvedené vztahy (1) platí pro malá přetvoření ε < 0,05. Deformace v obecném bodě A tělesa je popsána deformací elementárního prvku, který tento bod obsahuje. Deformace je určena tzv. tenzorem přetvoření T ε. T ε = γ ε xy γ xz x 2 2 γ xy γ 2 ε zy y 2 γ xz γ zy 2 2 ε z (2.3) který je symetrickým tenzorem druhého řádu, který obsahuje 6 nezávislých prvků. Deformace tělesa je homogenní, pokud je ve všech bodech A tělesa Ω stejná, tj. tenzor přetvoření T ε je ve všech bodech A stejný. Deformaci považujeme za nehomogenní, je-li v různých bodech A tělesa různá. Deformace může být i po částech nehomogenní. 6

10 2.2 Napjatost tělesa Definice: Napjatostí v bodě tělesa A rozumíme množinu obecných napětí f a jeho složek σ, τ, které působí ve všech řezech ω, které bodem A procházejí. Základním krokem ke stanovení obecných napětí f a jeho složek σ a τ je uvolnění prvku tělesa Ω 1 řezem ω a zavedení účinků vzájemného působení, tzv. plošných sil. Elementární sílu vzájemného působení v místě A označíme d F A d F A = f A ds (2.4) kde f A je tzv. obecné napětí. f A = d F A ds (2.5) 7

11 d F A = d F n + d F t (2.6) df A ds = d F n ds + d F t ds f A = f n + f t = σ e n + τ e t (2.7) σ - normálové napětí [Nm 2 = Pa] [Nmm 2 = MPa] τ - smykové napětí [Nm 2 = Pa] [Nmm 2 = MPa] Vztahy mezi obecným napětím a jeho složkami f = σ 2 + τ 2 σ = f 2 τ 2 τ = f 2 σ 2 (2.8) Znaménková konvence pro složky napětí σ > 0 σ > 0 napětí má směr vnější normály (tahové) napětí má směr vnitřní normály (tlakové) Znaménková konvence pro τ má smluvní charakter ve vazbě na použitý souřadnicový systém. Naší snahou je nyní určit f A ve všech bodech A řezu σ. 8

12 Provedeme statický rozbor silové soustavy působící na prvek tělesa Ω 1, sestávající z podsoustavy vnějších sil π 1 a soustavy vnitřních sil π v. Počet neznámých parametrů µ = Počet použitelných podmínek statické rovnováhy v = 6 Stupeň statické neurčitosti s = µ ν = Úloha stanovení obecných napětí f A v řezu σ je obecně úlohou nekonečněkrát staticky neurčitou a není ji tedy možné řešit v rámci statiky. V rámci obecné Pružnosti a pevnosti se problém řeší dvěma přístupy: a) diferenciálním přístupem pomocí vztahů obecné pružnosti, které se sestávají z diferenciálních podmínek rovnováhy pro uvolněný trojnásobně elementární prvek, geometrických podmínek, konstitutivních vztahů (Hookeova zákona) a okrajových podmínek. Analyticky v uzavřeném tvaru je tato úloha řešitelná pouze v jednoduchých případech. Numerické řešení např. metodou sítí je často nestabilní. b) integrálním přístupem pomocí variačních principů (Lagrangeův variační přístup) resp. pomocí principu virtuálních prací. Numerické řešení úlohy zejména pomocí Metody konečných prvků (MKP). V rámci prosté Pružnosti a pevnosti se úloha zjednodušuje zavedením určitých předpokladů o průběhu deformace resp. napětí v charakteristických řezech, které vyplývají z praktických zkušeností, hovoříme o pracovních předpokladech. 9

13 Základní otázkou však zůstává, v jakém stavu je nutné uvolňovat prvek tělesa. Korektně bychom měli uvolňovat v zatíženém, tj. ve zdeformovaném stavu, ale deformaci dopředu neznáme. Navíc tento postup vede obecně k nelineární závislosti mezi napjatostí a deformací (PP druhého řádu). Ve většině případů se naštěstí ukazuje, že napjatost ( f A, resp. vnitřní silové účinky) nezávisí podstatně na deformaci tělesa a můžeme tedy prvek tělesa uvolňovat v nezdeformovaném stavu. Pro lineárně pružné těleso potom jde o lineární závislost mezi vnitřními silovými účinky a deformací tělesa (PP prvého řádu). PP I. řádu PP II. řádu M y (x) = F x M y (x) = F x Hodnotu x dopředu neznáme, je to výsledek řešení (iterační proces). 10

14 VĚTY O NAPĚTÍ A NAPJATOSTI Problematikou určováním napjatosti a deformace v tělesech v závislosti na vnějším zatížení se budeme zabývat v průběhu celého předmětu PPI. Již na začátku je ale zapotřebí znát jisté závislosti, které si uvedeme formou vět. a) Obecné napětí f A závisí na tvaru tělesa Ω, zatížení π, poloze bodu A, řezu ω a materiálových charakteristikách b) Obecné napětí f A v řezech ω i je stejné, pokud tyto řezy mají stejnou normálu e n c) Obecné napětí f A je lineární kombinací jednotkového vektoru normály e n v tomto bodě 11

15 f A = T σ e n resp. v maticovém tvaru {f A } = [T σ ]{α n } kde [T σ ] je tzv. tenzor napětí definovaný následovně σ x τ xy τ xz [T σ ] = τ xy σ y τ zy τ xz τ zy σ z Jde o symetrický tenzor druhého řádu obsahující 6 nezávislých prvků. d) Nahradíme-li silovou soustavu π silovou soustavou staticky ekvivalentní π e, pak obecné napětí f A v bodech A je pro obě silové soustavy obecně různé. 12

16 Z definice napjatosti v bodě tělesa A a vztahu ad c) plyne, že napjatost v bodě tělesa je určena tenzorem napětí [T σ ] v tomto bodě. Napjatost tělesa je potom dána napjatostí ve všech bodech tělesa. Napjatost v tělese je homogenní, pokud je ve všech bodech A tělesa stejná, tzn. že ve všech bodech A tělesa je tenzor napětí [T σ ] stejný. Napjatost v tělese je nehomogenní, je-li v různých bodech různá. Napjatost může být i po částech nehomogenní. 13

17 SAINT-VENANTŮV PRINCIP Z praktických zkušeností vyplývá, že staticky ekvivalentní náhradou π e silové soustavy π je ovlivněna napjatost pouze v bezprostředním okolí náhrady. Tuto skutečnost poprvé intuitivně formuloval Saint-Venant. Nahradíme-li silové působení π v okolí bodu P na povrchu Γ jiným, staticky ekvivalentním zatížením π e, pak napjatost v tělese bude pro obě zatížení prakticky stejná s výjimkou bezprostředního okolí bodu P. Γ p1 Γ p2 Γ p3 p 1 ds = p 2 ds = p 3 ds = Γ pi p i ds = F 14

18 Saint-Venantův princip umožňuje a) zavedení veličiny osamělé síly F v Pružnosti a pevnosti b) vytvářet výpočtové modely styku těles (redukce počtu neznámých) c) rozdělit řešení napjatosti a deformace vázaného tělesa na řešení rovnováhy tělesa jako celku a pak napjatosti a deformace uvolněného tělesa POZOR: Saint-Venantův princip je možné použít pouze tehdy, je-li oblast špatně stanovené napjatosti Ω i mimo kritickou oblast Ω k, která rozhoduje o bezpečnosti. Nelze např. použít u kontaktních úloh. 15

19 2.3 Zatížení tělesa Zatížení tělesa je způsobeno interakcí tělesa s okolím nebo vnitřními procesy, které v tělesa probíhají. Výsledkem je vznik napjatosti a deformace s možností vzniku porušení celistvosti tělesa. Do zatěžovacího působení patří: silové zatěžování (osamělé síly F i [N], liniové síly q j [Nm 1 ], plošné síly p k [Nm 2 ], objemové síly o l [Nm 3 ] deformační zatěžování (předepsaný posuv u v jistém místě na povrchu tělesa - realizace např. dotažením matice o jistý počet otáček, nasazením objímky na hřídel atd.) objemové zatěžování (nehomogenní teplota, změna objemu průběhu fázových změn (austenit - martenzit) atd.). Zatížení od nehomogenní teploty se obvykle nazývá teplotní zatížení 16

20 Charakteristické působení - působení, které samo nevede ke vzniku napjatosti, ale které může ovlivnit vznik mezních stavů - teplota, korozivní prostředí atd. Zavádíme následující pojmy: zatěžovací stav - Z(t) výchozí stav - Z(0). Většinou předpokládáme, že napjatost je v tomto stavu nulová. historie zatěžování - Z(t) pro t < 0, t > vlastní napjatost - napjatost v tělese bez vnějšího zatížení Z(t) = 0. Tato napjatost je způsobena celou historií zatěžování (kalení, tváření za studena, montážní operace, vznik lokální plastické deformace v průběhu zatěžování atd. 17

21 2.4 Mezní stavy tělesa Mezním stavem (MS) rozumíme stav, kdy se mění charakteristická vlastnost tělesa. 1. Mezní stavy související s deformací tělesa a) Mezní stav deformace je takový MS, po jehož překročení ztrácí součástka svoji funkční způsobilost. b) Mezní stav pružnosti. S tělesem provedeme zátěžný cyklus, spočívající v zatížení a následném odtížení. Po překročení MS pružnosti zůstávají v tělese trvalé (plastické) deformace. 18

22 c) Mezní stav deformační stability. Geometrická konfigurace stabilní do tohoto stavu se stává labilní a stabilní se stává jiná geometrická konfigurace (při stejném způsobu namáhání). 2. Mezní stavy související s porušováním celistvosti tělesa Mezní stav porušení - vznikají první trhlinky zjistitelné dostupnými prostředky. Mezní stav trhlin - porušení funkčně přípustné se mění na funkčně nepřípustné. Mezní stav stability trhlin - trhlina přestává být stabilní a šíří se bez příjmu energie z vnějšku (bez vnějšího zatížení). Mezní stav lomu - těleso se rozpadá na dvě či více částí. 19

23 2.5 Deformačně pevnostní spolehlivost Základním požadavkem na každou konstrukci je, aby plnila svoji funkci a) v realizovaném stavu (po montáži) b) za běžných a některých mimořádných podmínek c) po požadovanou dobu Schopnost konstrukce za těchto podmínek pracovat se nazývá spolehlivost, která se kvantitativně vyjadřuje charakteristikami spolehlivosti a to různým způsobem a) slovně (spolehlivost dostatečná, malá, vyhovující, přiměřená) b) jednoduchou relací ve tvaru α α M (α D ) σ σ K (σ D ) σ red σ K (σ D ) Kde α je veličina charakterizující spolehlivost ve vyšetřovaném stavu a α M je mezní hodnota této veličiny. α < α M (α D ) vyhovující α α M (α D ) nevyhovující 20

24 c) koeficientem bezpečnosti, zkráceně bezpečností k M vůči aktuálnímu meznímu stavu k M = α M α k M < 1(k D ) k k = σ k σ ; σ k σ red vyhovuje k M 1(k D ) nevyhovuje Pozn: Z důvodu výpočtových nepřesností (ve stanovení zatížení, materiálových parametrech, okrajových podmínkách, vlastním výpočtu atd.) je v relacích místo hodnoty 1 hodnota větší než 1, plynoucí z praktických zkušeností). d) životnost - doba, resp. počet zatěžovacích cyklů do vzniku mezního stavu relace t < t f N < N f vyhovuje t t f N N f nevyhovuje kde - t,n je doba, resp. počet cyklů, které jsou požadovány z důvodu správné funkce konstrukce t f,n f je doba, resp. počet cyklů do vzniku mezního stavu (většinou lomu) 21

25 TYPY ÚLOH V PRUŽNOSTI A PEVNOSTI 1. Úlohy pomocné. Určují se veličiny, které nejsou pružnostně pevnostními charakteristikami, ale jsou důležité pro výpočet napjatosti a deformace pomocí příslušných vztahů. průřezové charakteristiky prutů výsledné vnitřní silové účinky u prutů 2. Úlohy o kontrole. Úloha je zadána úplně (známe geometrii tělesa, materiálové charakteristiky, silové působení, vazby k rámu). Úkolem je většinou stanovit bezpečnost vůči aktuálnímu meznímu stavu. 3. Úlohy o určování parametrů. Úloha je zadána neúplně. Úkolem je určit nezadané parametry (často rozměry), aby spolehlivě nenastal mezní stav. 4. Úlohy o optimalizaci. Úloha je zadána neúplně. Úkolem je stanovit nezadané parametry tak, aby spolehlivě nenastal aktuální mezní stav a současně byla splněna optimalizační podmínka (např. minimální hmotnost). 5. Úlohy o odvozování a dokazování. Požaduje se odvození jistých vztahů, závislostí, vět o silovém působen, napjatosti a deformaci. Jde o úlohy teoretického charakteru. 22

26 3 OBECNÉ VLASTNOSTI A OBECNÉ VĚTY LI- NEÁRNĚ PRUŽNÉHO TĚLESA Charakteristickou vlastností lineárně pružného tělesa je lineární závislost mezi zatížením, napětími, deformacemi a posuvy. V případě pružného tělesa je tato závislost nelineární, ale po odtížení se dostáváme do původního stavu. U pružného tělesa (a samozřejmě i v lineárně pružném případě) závisí napjatost a deformace pouze na zatížení, které na těleso v daném okamžiku působí a není tedy závislé na historii zatěžování. Pro pružné těleso platí zákon zachování energie v následujícím tvaru: Při zatěžování tělesa v pružném stavu je přírůstek energie napjatosti dw roven přírůstku deformační práce da všech sil, působících na těleso. dw = da (3.9) 23

27 Při zatěžování z nezatíženého stavu bez vnitřní napjatosti platí příslušná rovnost pro celkové hodnoty W = A (3.10) V dalším se omezíme na lineárně pružné těleso. K tomu je zapotřebí, aby bylo splněno několik podmínek a) materiál tělesa je lineárně pružný. Konstitutivní vztahy popisující vazbu mezi napětími a deformacemi jsou popsány tzv. Hookeovým zákonem. V případě isotropického materiálového modelu je mechanické chování materiálu určeno dvěma nezávislými materiálovými konstantami, jmenovitě modulem pružnosti E a Poissonovým číslem µ b) deformační posuvy u jsou malé a neovlivňují napjatost a deformaci c) složky tenzoru přetvoření T ε jsou malé (ε < 0, 05) d) okrajové podmínky jsou lineární 24

28 Deformační práce osamělé síly F A = ufa 0 F du F = F F A = c u F = c u FA ufa = 0 c u F du F = = c u2 F A 2 = F {}} A { c u FA 2 u FA = F A u FA 2 Věta o superposici napjatosti a deformace = 1 2 F A u FA }{{} složka posuvu (3.11) Napjatost a deformace tělesa, způsobená silovou soustavou Π je rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silovými účinky, přičemž nezávisí na pořadí zatěžování. 25

29 Věta o vzájemnosti prací Současné zatěžování silami F 1 a F 2 0 F 1 F 2 Postupné zatěžování I 0 F 1 F 1 F 2 A I = 1 2 F 1u 11 + F 1 u F 2u 22 (3.12) Postupné zatěžování II 0 F 2 F 1 F 2 A II = 1 2 F 2u F 1u 11 + F 2 u 21 (3.13) 26

30 V souladu s předchozí větou o superposici platí A I = A II A z porovnání vztahů (4) a (5) dostáváme F 1 u 12 = F 2 u 21 (3.14) Což je možné vyjádřit slovně: Práce síly F 1 na posuvu u 12 způsobeném v místě 1 silou F 2 je rovna práci síly F 2 na posuvu u 21 způsobeném v místě 2 silou F 1 (Bettyho věta). Věta o vzájemnosti posuvů Působí-li v místech 1 a 2 jednotkové síly e 1 a e 2, potom pro složky posuvů platí: η 12 = η 21 (3.15) 27

31 Deformační práce silové dvojice A = 2 i=0 1 2 F iu i = 1 2 F u F u = = 1 2 F rϕ F rϕ = 1 2 F }{{ 2r } ϕ = 1 Mϕ (3.16) 2 F d 28

32 Věta o deformační práci silové soustavy A = 1 2 n i i=1 F i u i n n n=1 γ n q n u ds n k k=1 Γ pk p k u ds Ω ou dv n j j=1 M j ϕ j n l l=1 γ l m l ϕ l ds (3.17) 29

33 Castiglianova věta Naším cílem je stanovit složku posuvu u k, působiště síly F k, která působí na povrchu lineárně pružného tělesa Stav I - zatížení tělesa silovou soustavou π F k Stav II - zatížení tělesa silovou soustavou π F k df k resp. π df k F k A I = A π F ku k A II = A π df k du k + 1 }{{} 2 F ku k + df k u k 0 30

34 Přírůstek práce vnějších sil da = A II A I = df k u k (3.18) Z čistě matematického pohledu je práce A silové soustavy π složenou funkcí zatížení A(π) = A(F i, M j ) Totální diferenciál (přírůstek) je potom roven da = n i i=1 A F k df i + n j j=1 V našem případě, kdy působí pouze df k platí A M j dm j (3.19) da = A F k df k (3.20) Z porovnání (10) a (12) s přihlédnutím k (2) dostáváme tzv. Castiglianovu větu pro posuv ve směru působící síly ve tvaru u k = A F k = W F k (3.21) Znaménková konvence - je-li u k > 0, potom se posuv realizuje ve směru působící síly. 31

35 Analogickým postupem je možné odvodit Castiglianovo větu pro natočení ϕ l v místě působení silové dvojice ϕ l = A M l = W M l (3.22) Znaménková konvence - je-li ϕ l > 0, potom se natočení realizuje ve směru působení silové dvojice M l. Pozn: Pokud chceme stanovit posunutí resp. natočení v místech, kde nepůsobí žádná osamělá síla resp. silová dvojice, zavádíme do těchto míst veličiny doplňkové F d resp. M d. Potom pro posuv resp. úhel natočení dostáváme u d = W F d ; ϕ d = W M d (3.23) Celý postup provádíme s obecnými hodnotami F d resp. F d, jejichž hodnoty před závěrečnou matematickou operací položíme rovny 0. 32

36 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PRUŽNĚ PLASTICKÉHO MATERIÁLU A TĚLESA Jestliže po zatížení a následném odtížení zůstanou v tělese trvalé deformace, potom bylo těleso (materiál) pod zatížením ve stavu elastickoplastickém Určování napjatosti a deformace a napjatosti a deformace je v tomto případě značně obtížnější než u lineárně pružného tělesa. Touto problematikou se zabývá speciální část mechaniky těles, s názvem plasticita. Základní vlastnosti pružně-plastického tělesa je moné shrnout následovně: a) závislost mezi zatížením a deformačními posuvy resp. mezi napětím a deformací je v pružně-plastickém stavu nelineární. Jením z důsledků je i to, že napjatost a deformace závisejí na celé historii zatěžování b) neplatí princip superposice c) plastická deformace nastává po překročení jisté mezní hodnoty napětí - meze kluzu σ k 33

37 d) odlehčíme-li těleso z pružně plastického stavu při nehomogenní napjatosti, potom vzniknou v těles zbytková napětí (vlastní napjatost). Nejjednodušším materiálovým výpočtovým modelem je tzv. ideální pružně-plastický materiál 34

38 4 ZÁKLADNÍ MATERÁLOVÉ CHARAKTE- RISTIKY, TAHOVÁ A TLAKOVÁ ZKOUŠKA Pro řešení úlohy pružnosti a pevnosti jak v rámci obecné tak i prosté PP je nezbytné znát konstitutivní vztahy materiálu, které představují závislost mezi napjatostí a deformací. Ty lze stanovit pouze experimentálně na základě vhodně uspořádaných zkoušek. Získané deformační charakteristiky se převedou na hledanou napjatostně-deformační závislost tedy na hledané konstitutivní vztahy. Základním experimentem v rámci PPI je tahová a tlaková zkouška 35

39 Tahový diagram pro ocel Charakteristické body na tahovém diagramu L - mez lineárního chování materiálu E - mez pružného chování materiálu H - horní mez kluzu D - dolní mez kluzu P - mez únosnosti (smluvní mez pevnosti) F - počátek lomu T - konec lomu Smluvní napětí σ x = F S 0 (4.24) Poměrné deformace (poměrná přetvoření) ε x = l l 0 ε y = a a 0 ε z = b b 0 (4.25) 36

40 Poissonovo číslo (součinitel příčné kontrakce) Poissonovo číslo pro ocel µ = ε y ε x = ε z ε x (4.26) Pro pružnostně-pevnostní výpočet tahový diagram zjednodušujeme, vytváříme tzv. výpočtový model materiálu. kde σ kt je tzv. modelová mez kluzu. 37

41 Výpočtový model tahového diagramu vykazuje tři charakteristické oblasti I Oblast pružných deformací (na inženýrské rozlišovací úrovni oblast lineárně pružných deformací), kde platí jednoduchá lineární závislost (Hookeův zákon) σ x = Eε x (σ = Eε) (4.27) E - modul pružnosti v tahu, ocel E = (1, 9 2, 1) 10 5 MPa µ - Poissonovo číslo, ocel µ = 0,3 ε y = ε z = µε x (4.28) Chování izotrop. mat. je popsáno nezávislými konstantami E a µ Poměrné objemové přetvoření e (do 5%) e = V V 0 V 0 = l 0 + l 0 ε x {}}{ l a 0 + a 0 ε y b 0 ε {}}{{}}{ z a b 0 + b l 0 a 0 b 0 = l 0 a 0 b 0 = l 0(1 + ε x )a 0 (1 µε x )b 0 (1 µε x ) l 0 a 0 b 0 l 0 a 0 b 0 = = (1 + ε x )(1 µε x )(1 µε x ) 1 = = ε x µε x µε x µε 2 x µε 2 x }{{} malé, zanedbáme ε x (1 2µ) (4.29) 38

42 Z předchozího vztahu vyplývá následující omezení pro hodnotu µ µ 0, 5 (4.30) Tato relace je důsledkem podmínky, že při tahovém namáhání musí dojít ke zvětšení objemu, tedy e 0. V případě krajní hodnoty µ = 0,5 hovoříme o tzv. nestlačitelném materiálu. Uvedený tvar tahového diagramu odpovídá materiálu ve stavu tvárném. Tahový diagram materiálu ve stavu křehkém má jiný charakteristický tvar: Zavádí se tu součinitel κ κ = σ Rt σ Rd Litina 0, 25 0, 3 (4.31) σ Rt - křehká mez pevnosti v tahu σ Rd - křehká mez pevnosti v tlaku Tahový diagram má v tomto případě přibližně lineární charakter. 39

43 II Oblast rovnoměrných pružně-plastických deformací Ve sledované oblasti se vzorek zužuje po celé délce rovnoměrně. Monotonní zatěžování se děje po tahové křivce, odtěžování probíhá po přímce se stejným sklonem jako v oblasti I Napětí při odtěžování je dáno vztahem σ = σ E(ε ε) (4.32) Deformace v této oblasti závisí na historii zatěžování III Oblast nerovnoměrných pružně-plastických deformací Dochází k lokální koncentraci plastické deformace a vzniká zúžení - krček. V rámci prosté PP nedokážeme určit napjatost a deformaci. 40

44 Vlivy na tahový diagram 1) Vlivy metalurgické (chemické složení materiálu) C σ Kt ε f Cr σ Kt 2) Vliv teploty T σ Kt ε f 3) Rychlost zatěžování ε = d dt ε = d dt l l 0 l 0. = v l 0 = rychlost čela tyče původní délka tyče 41

45 Vliv na transitní teplotu křehkosti T B S růstem rychlosti přetvoření ε roste náchylnost ke křehkému lomu, jelikož transitní teplota T B se zvyšuje. Tahový diagram při pomalém (statickém) a rychlém (dynamickém) zatěžování 42

46 4) Vliv velikosti tělesa Tahový diagram σ(ε) je materiálovou charakteristikou, která není podstatně závislá na velikosti zkušebních tyčí, pokud je zajištěna homogenita chemického složení, struktury, napjatosti, defektů, atd. U některých mechanických charakteristik je závislost na velikosti vzorku menší (modul pružnosti E, Poissonovo číslo µ), u jiných větší (mez kluzu σ K, křehká mez pevnosti σ R, mez únavy σ u, tranzitní teplota křehkosti T B ). Pro ilustraci je v následujícím grafu uvedena závislost meze kluzu na velikosti zkušebního tělesa 43

47 5 PRUT V PRUŽNOSTI A PEVNOSTI 5.1 Prutové předpoklady Prut je nejjednodušším výpočtovým modelem reálného tělesa z hlediska vyšetřování deformace a napjatosti. Musí splňovat jisté geometrické, deformační a napjatostní předpoklady, které souhrnně nazýváme prutovými předpoklady. a) Předpoklady geometrické Prut je geometricky určen střednicí γ a příčným průřezem ψ(s) v každém místě střednice s - střednice γ je spojnice těžišt průřezů ψ ; střednice γ je spojitá křivka - průřez ψ je jedno- či vícenásobně souvislá oblast vymezená rovnicí hranice - délka střednice l je minimálně stejně veliká jako největší rozměr h max příčného průřezu, většinou l h max. 44

48 b) Předpoklady zatěžovací a vazbové - zatížení působí na střednici - vazby omezují posuv a natočení střednice Uvažujeme vazby bodové (kloubová podpora pevná, posuvná) a vetknutí. c) Předpoklady deformační - střednice γ zůstává po zatížení spojitou křivkou - příčné průřezy ψ zůstávají i po deformaci rovinnými a kolmými ke zdeformované střednici 45

49 d) Předpoklady napjatostní - napjatost u prutu je určena normálním napětím σ a smykovým napětím τ v příčném průřezu 46

50 5.2 Klasifikace prutů Hledisko geometrické a) Dle křivosti střednice - pruty přímé - pruty křivé - rovinné, prostorové b) Dle uzavřenosti střednice - pruty otevřené - pruty uzavřené Def. Prut považujeme za n-krát uzavřený, můžeme-li ho rozdělit na dvě části řezem, obsahujícím n+1 bodů střednice c) Dle poměru rozměru příčného průřezu a poloměru křivosti střednice - pruty slabě zakřivené h R = pruty silně zakřivené h R >

51 c) Dle proměnlivosti průřezu - pruty konstantního průřezu - prismatické - pruty proměnlivého průřezu - spojitá změna, skoková změna (vrub) c) Dle proměnlivosti průřezu - pruty nešroubové (hlavní centrální osy kvadratických momentů průřezů se nenatáčejí - pruty šroubové Hledisko vazeb - pruty volné - pruty vázané a) staticky určité - stykové výslednice je možné stanovit na základě statických podmínek rovnováhy b) staticky neurčité - stykové výslednice se stanoví na základě statických podmínek rovnováhy a příslušného počtu deformačních podmínek 48

52 5.3 Určování napjatosti a deformace v příčném průřezu Úlohu řešíme ve dvou krocích. Nejprve stanovíme v řezu výsledné vnitřní (silové) účinky (VVU) a následně napjatost a deformaci. VVU se stanoví na základě statických podmínek rovnováhy prvku prutu, uvolněného příčným řezem. Síly fyzicky působí na povrchu, modelově na střednici. Statický rozbor pro volný otevřený prut: V V U = { F Vx, F Vy, F Vz, M Vx, M Vy, M Vz } µ = 6 ν = 6 s = µ ν = 0 Stanovení složek VVU je v tomto případě úlohou staticky určitou, což platí i v rovinném případě. 49

53 Statický rozbor pro uzavřený prut: µ = 3 6 = 18 ν = 6 s = 18 6 = 12 obecně s = 6 n kde n je stupeň uzavřenosti prutu Stanovení složek VVU je v případě uzavřeného prostorového prutu úloha 6 n krát, u rovinného prutu potom 3 n krát staticky neurčitá. Výslednou vnitřní sílu F V a výsledný vnitřní moment MV je možné rozdělit v souladu s lokálním souřadnicovým systémem (SS). Složky síly a momentu potom představují charakteristický způsob namáhání s jasným fyzikálním významem. N - normálná síla T - posouvající síla M - ohybový moment M - kroutící moment V V U = {N, T y, T z, M y, M z, M x } = {N, T, M o, M k } 50

54 Def: Jestliže v průřezu působí pouze jedna složka VVU, potom jde o tzv. jednoduché namáhání prutů. Příklady: Jednoduchý tah V V U = {N +, 0, 0, 0} Jednoduchý tlak V V U = {N, 0, 0, 0} Jednoduchý ohyb V V U = { 0, 0, M o, 0} Jednoduchý krut V V U = { 0, 0, 0, M k } Působí-li v řezu prutu více složek hovoříme o tzv. kombinovaném namáhání prutů. Typickým případem je kombinované namáhání na ohyb a krut s následujícím vektorem VVU Kombinované namáhání na ohyb a krut V V U = {0, 0, M o, M k } 51

55 5.3.1 Algoritmus určování VVU, integrální a diferenciální vztahy mezi vnějším zatížením a složkami VVU Integrální vztahy: Řešíme podmínky statické rovnováhy prvku prutu uvolněného příčným rovinným řezem v místě S R. F = 0 i F i + S R 0 F v = i MR = 0 q(s) ds + F v = 0 (5.1) F i S R 0 q(s) ds ( RAi F i ) + + j M j + S R 0 S R 0 ( RA q(s) ) ds + m(s) ds = 0 (5.2) M v = ( RAi F i ) S R 0 ( RA q(s) ) ds j M j S R 0 m(s) ds Vztahy (1) a (2) představují integrální relace mezi vnějšími a vnitřními silovými účinky. Lze je vyjádřit následovně Výsledná vnitřní síla F v je v rovnováze (resp. je rovna s opačným znaménkem) se součtem všech vnějších sil, působících na uvolněný prvek. Výsledný vnitřní moment M v je v rovnováze (resp. je roven s opačným znaménkem) se součtem momentů všech vnějších sil a momentů silových dvojic, působících na uvolněný prvek. 52

56 Analýzou vztahů (5.1) a (5.2) dospějeme k následujícím poznatkům Skok v průběhu vnitřní síly F v je tam, kde působí vnější osamělá síla. Skok v průběhu vnitřního momentu M v je tam, kde působí vnější silové dvojice. Zlom v průběhu vnitřní síly F v je tam, kde se skokově mění vnější liniová síla q. Zlom v průběhu vnitřního momentu M v je tam, kde působí osamělá síla F i. 53

57 Diferenciální vztahy (Schwedlerovy věty): Dvěma příčnými rovinnými řezy uvolníme elementární prvek prutu, v řezech zavedeme příslušné složky VVU a formulujeme podmínky statické rovnováhy pro rovinnou silovou soustavu. Znaménková konvence pro složky VVU: Normálová síla N v řezu je kladná, je-li tahová. Posouvající síla T v řezu je kladná, jestliže otáčí elementem v řezu ve směru hodinových ručiček. Ohybový moment M je kladný, pokud namáhá spodní vlákna prutu tahově a horní tlakově. Fx = 0 N + dn N + q x dx = 0 q x (x) = dn(x) dx (5.3) Fz = 0 T + dt T + q z dx = 0 dt (x) q z (x) = dx (5.4) MR = 0 M y M y dm y + T dx T (x) = dm y dx (5.5) (3) (2) q z (x) = d2 M y dx 2 (5.6).=0 {}}{ q z dx dx 2 = 0 Předchozí vztahy se nazývají Schwedlerovy věty. 54

58 Ze vztahu (5.5) vyplyne podmínka pro lokální extrém ohybového momentu M y (x) dm y (x) dx = 0 (5.5) = T (x) 55

59 5.4 Pruty vázané Prut uvolníme v místech vazeb, které nahradíme stykovými výslednicemi (reakcemi). Dále stanovíme celkový počet neznámých parametrů stykových výslednic Provedeme statický rozbor silové soustavy ν = 3 s = µ ν ν = 6 a) Prut je staticky určitý (nepohyblivý) (s = 0) 2D 3D Stykové výslednice stanovíme na základě podmínek statické rovnováhy a dále při stanovování napjatosti a deformace postupujeme jako u prutu volného. µ = 3 ; ν = 3 s = µ ν = 3 3 = 0 Fx = 0 ; Fy = 0 ; MA = 0 = F Ax, F Az, F B 56

60 a) Prut je staticky neurčitý (nepohyblivý) (s > 0) Stykové výslednice se určí pomocí podmínek statické rovnováhy a s deformačních podmínek Algoritmus řešení: 1. provedeme úplné uvolnění prutu z vazeb, které nahradíme staticky ekvivalentními silovými výslednicemi Provedeme statický rozbor a napíšeme podmínky statické rovnováhy µ = 5 ; ν = 3 ; s = µ ν = 5 3 = 2 Fx = 0 ; Fz = 0 ; MA = 0 Ze statického rozboru vyplývá, že jsou nutné 2 def. podmínky. 57

61 2. Provedeme částečné uvolnění prutu z vazeb na úroveň úlohy staticky neurčité (a nepohyblivé). Deformační podmínky formulujeme pro uvolněné vazby. Existuje více možností. a) u B = 0 u B = W F Bx = 0 W B = 0 W B = W F Bz = 0 W = W ( F 1, M 1, F Bx, F Bz ) a) u B = 0 u B = W F Bx = 0 ϕ A = 0 ϕ A = W M A = 0 W = W ( F 1, M 1, F Bx, M A ) 3. Deformační podmínky se řeší pomocí poznatků Pružnosti a pevnosti I, zejména použitím Castiglianovy věty. Z matematického pohledu představují tyto vztahy podmínky pro lokální extrém energie napjatosti W (F 1, M 1, F Bx, F Bz ) jako složené funkce stykových výslednic příslušejících uvolněným vazbám. Dostáváme soustavu lineárních rovnic, ze kterých se stanoví tyto stykové výslednice. Ostatní stykové výslednice určíme z podmínek statické rovnováhy. 58

62 6 NAMÁHÁNÍ NA TAH A TLAK 6.1 Základní vztahy Základní vztahy pro napětí, deformaci a energii napjatosti odvodíme pro idealizovaný modelový případ prostého tahu. Def: Prostým tahem (tlakem) nazýváme namáhání přímého prizmatického prutu, je-li splněno a) platí obecné prutové předpoklady b) příčné průřezy se vzájemně oddalují nebo přibližují, přičemž zůstávají rovinnými a kolmými ke střednici. Střednice zůstává přímková c) jedinou nenulovou složkou VVU je normálová síla N Fx = 0 N(x) = F (6.33) ε x (x) = A B AB AB = (dx + u + du u) dx dx = du dx (6.34) ε x (x) f(y, z)! 59

63 S ohledem na předpoklad b) platí, že poměrné přetvoření ε x v řezu x je konstantní a nezávisí na souřadnicích y a z. Pro zbylá dvě přetvoření ε y, ε z dostáváme v souladu s poznatky z tahové zkoušky ε y = ε z = µε x (6.3) µ- Poissonovo číslo Vzhledem k tomu, že v průběhu zatěžování nedochází ke změně pravých úhlů u elementů v řezu (viz obr.), jsou příslušné zkosy nulové, tedy γ xy = γ yz = γ zx = 0 (6.4) (pro 3D) Deformace u prostého tahu (tlaku) je prostorová - 3D. Hookeův zákon pro prostý tah a prostý smyk σ x = Eε x (6.5) τ = Gγ (6.6) Kde G je modul pružnosti ve smyku, definovaný vztahem G = E 2(1 + µ) (6.7) Vzhledem k tomu, že ε x je po průřezu konstantní a zkosy jsou dle (4) nulové, platí v souladu s Hookeovým zákonem (5) a (6) pro složky napětí následující relace σ x = σ ; σ y = σ z = 0 ; τ xy = τ yz = τ zx = 0 (6.8) Napjatost při prostém tahu (tlaku)je jednoosá - 1D. 60

64 Vzhledem ke konstantnímu průběhu poměrného přetvoření ε x v řezu a k platnosti Hookeova zákona (5) je průběh napětí σ x v řezu rovněž konstantní. Z podmínky statické ekvivalence a s ohledem na konstantní průběh napětí σ x po průřezu dostáváme N(x) = σ x ds = σ x S Posunutí u v místě x ψ σ(x) = N(x) S(x) = F S (6.9) u(x) = x 0 du = x 0 ε x dx = x 0 σ(x ) E dx = = x 0 N(x ) dx ES(x) = Nx ES (6.10) Celkové prodloužení prutu l u(l) = l = Nl ES = F l ES 61

65 Energie napjatosti Energie napjatosti elementárního prvku dω dw = da = 1 2 Nu N(u + du) = 1 2 N du = 1 2 Nε x dx = = 1 2 N σ x E dx = N 2 dx 2ES (6.11) Energie napjatosti celého prutu W = γ dw = l o N 2 (x) dx 2ES(x) = N 2 l 2ES = F 2 l 2ES (6.12) Měrná energie napjatosti při prostém tahu (tlaku) λ = dw dv = N 2 dx 2ESS dx = σ2 2E = σε 2 (6.13) 62

66 6.2 Napjatost v šikmém řezu, rozbor tahové napjatosti Šikmým řezem ρ s plochou S ρ uvolníme z tělesa Ω prvek Ω 1. Z poznatků analytické geometrie vyplývá S ρ = S cos ϕ (6.14) Pro obecné napětí f ρ v šikmém řezu ρ a jeho složky σ ρ a τ ρ dostáváme f ρ = F S ρ = F cos ϕ S = σ cos ϕ (6.15) σ ρ = f ρ cos ϕ = σ cos 2 ϕ = σ (1 + cos 2ϕ) (6.16) 2 τ ρ = f ρ sin ϕ = σ cos ϕ sin ϕ = σ 2 kde σ je normálové napětí v příčném řezu sin 2ϕ) (6.17) 63

67 Maximální hodnoty složek napětí (6.16), (6.17) = σ ρ,max = σ cos 2ϕ = 1 ϕ = 0, π, 2π τ ρ,max = σ 2 sin 2ϕ = 1 ϕ = π 4 = 45 Maximální normálové napětí σ ρ,max je v příčném řezu (ϕ = 0) Maximální smykové napětí τ ρ,max je v řezu s úhlem normály ϕ = 45 Složky napětí v kolmém řezu ρ : Normála tohoto řezu je pod úhlem β = ϕ + π 2 σ ρ = σ 2 (1 + cos 2β) = σ [1 + cos(2ϕ + π)] = 2 = σ 2 (1 cos 2ϕ) σ ρ τ ρ = σ 2 sin 2β = σ 2 sin(2ϕ + π) = = σ 2 sin 2ϕ = τ ρ Předchozí vztahy je možné vyjádřit slovně formou tzv. věty o sdruženosti smykových napětí: Smyková napětí ve dvou vzájemně kolmých rovinách, kolmá k společné průsečnici jsou stejně veliká a míří bud do společné průsečnice nebo od ní. Tato věta platí obecně i v případě prostorové napjatosti. 64

68 Grafické znázornění tahové napjatosti v Mohrově rovině (σ ρ, τ ρ ) Algebraickou úpravou vztahů (6.16) a (6.17) dostáváme σ σ 2 = σ 2 cos 2ϕ /2 τ ρ = σ 2 sin 2ϕ /2 Umocněním a sečtením obou rovnic dostáváme následující rovnici ( σ σ 2 ) 2 + τ 2 ρ = ( σ 2 ) 2 (6.18) která představuje v Mohrově rovině se souřadnicovými osami σ ρ a τ ρ rovnici kružnice se středem v místě σ = σ 2 a s poloměrem σ 2. Uvedená kružnice má název Mohrova kružnice. 65

69 Mohrova kružnice je geometrické místo bodů, odpovídajících složkám napětí σ ρ a τ ρ ve všech řezech ρ, které procházejí bodem A. Napjatost při prostém tahu je tedy geometricky určena Mohrovou kružnicí. Úhlu natočení ϕ mezi řezy ρ odpovídá dvojnásobný úhel mezi odpovídajícími body na Mohrově kružnici a to ve stejném smyslu. Případ prostého tahu (tlaku) je ideálním modelovým případem, který prakticky neexistuje. Probereme si nyní vliv nejčastějších odchylek od tohoto případu. 66

70 6.2.1 Vliv změny příčného průřezu podél střednice a) změna spojitá Podmínka silové rovnováhy pro elementární prvek dω 1 v axiálním směru (σ +.=0 {}}{ dσ )ds τπd(x) dx = 0 τ = σ πd(x) ds dx (6.19) V dalším předpokládáme τ σ a příslušné smykové napětí zanedbáváme. 67

71 b) změna skoková (konstrukční vrub) V místě vrubu vzniká prostorová napjatost a dochází zde ke koncentraci napětí. Vliv vrubu na napjatost vyjadřujeme smluvně součinitelem koncentrace napětí α. σ max = τσ n = τ N S (6.20) Tahová napjatost je porušena pouze v bezprostředním okolí vrubu. Vliv vrubu na napjatost je zapotřebí uvažovat, celková deformace prutu je však většinou ovlivněna nepodstatně, zanedbatelně. k k = σ k σ max 68

72 6.2.2 Vliv proměnlivosti normálové síly N(x) podél střednice a) skoková změna N(x) Skoková změna normálové síly N(x) je způsobena osamělými silami, které působí v ose prutu. Vzhledem k tomu, že vnější síla může působit pouze na povrchu tělesa, dochází v tomto případě k porušení tahové napjatosti (1-D) a napjatost je prostorová (3-D),která bude záviset na konstrukčním provedení přenosu vnějšího zatížení na prut. V rámci předmětu PPI se nebudeme touto záležitostí blíže zabývat a budeme předpokládat, že tento vliv není podstatný. b) spojitá změna N(x), způsobená objemovým zatížením (gravitační pole, pole odstředivých sil). Pokud vektor objemového zatížení má směr střednice prutu a toto je rovnoměrně rozloženo po průřezu, potom zůstává tahová napjatost zachována, ale stává se nehomogenní. 69

73 Příklad: Stanovte průběh napětí v laně a jeho protažení působením gravitačního pole. Elementární gravitační sílu d F g můžeme vyjádřit jako objemovou sílu následovně d F g = o dv = ρ g dv = ρ gs dx Normálová síla N v místě x R je rovna l l N(x R ) = df g = ρgs dx = ρgs(l x R ) (6.21) x R x R Normálové napětí σ(x R ) v místě x R je rovno σ(x R ) = N(x R) S = ρg(l x R ) (6.22) Pro posuv u v místě x R dostáváme u(x R ) = x R 0 du = x R 0 ε x dx = x R 0 σ x E dx = 2 ρg E x R 0 (l x) dx = = ρg E ( ) lx R x2 R 2 (6.23) 70

74 A posun u l na konci prutu, který je roven protažení prutu, je roven u(x R = l) = l 3 = ρg l2 2 E V = ρg {}}{ Sl ES l 2 = F gl 2ES (6.24) Z rovnice (6.24) plyne, že celkové protažení prizmatického prutu l v gravitačním poli lze stanovit tak, jakoby celková tíha prutu F g působila v těžišti a natahovala pouze polovinu délky prutu. Průběh napětí σ(x R ) a průběh posuvů u(x R ) podél střednice dle rovnic (6.22) a (6.23) je možné vyjádřit graficky následovně k k = σ k σ max k D (> 1) 71

75 Příklad: Stanovte průběh napětí v rotující prizmatické tyči a její protažení působením pole odstředivých sil. Elementární odstředivá síla df o je rovna df o = dm rω 2 = S dx ρxω 2 = ρω 2 Sx dx (6.25) Pro normálovou sílu N v místě x R dostáváme N(x R ) = l x R df o = ρω 2 S l x R x dx = 1 2 ρω2 S ( ) l 2 x 2 R (6.26) Normálové napětí σ v místě x R je dáno vztahem σ(x R ) = N(x R) S = 1 ( ) 2 ρω2 l 2 x 2 R (6.27) 72

76 A pro posuv u v místě x R prutu platí u(x R ) = x R 0 du = x R 0 ε x dx = = ρω2 2E x R 0 σ x E dx = 1 2E ρω2 ( ) l 2 x R x3 R 3 x R 0 ( ) l 2 x 2 R dx (6.28) Maximální normálové napětí v prutu je rovno σ max = σ(x R = 0) = 1 2 ρω2 l Posunutí u(l) na konci prutu je rovno u(x R = l) = ρω2 3E l3 Průběh napětí σ(x) a posunutí u(x) podél střednice rotujícího prutu jsou graficky znázorněny v souladu s (6.26) a (6.27) následovně 73

77 6.2.3 Vliv zakřivení střednice Obecně zakřivení střednice vede k porušení rovnoměrné tahové napjatosti. My se zaměříme na pruty slabě zakřivené (h R), kde je předpoklad rovnoměrné tahové napjatosti splněn s dostatečnou přesností. Budeme řešit případ tenkého rotujícího kroužku, zatíženého odstředivou silou za rotace Elementární odstředivá síla d F o je rovna df o = dm Rω 2 = ρ dv {}}{ bhrdϕ Rω 2 Podmínka silové rovnováhy v radiálním vypadá následovně Fr = 0 ; N = df o dϕ df o 2N.= dϕ 2 {}}{ sin dϕ 2 = 0 A pro normálovou sílu N dostáváme po dosazení za df o N = df o dϕ = ρω2 R 2 bh (6.29) Vztah pro normálové napětí vypadá následovně σ = N S = ρω2 R 2 (6.30) 74

78 Poměrné přetvoření ε x v obvodovém směru ε x = 2π(R + u R) 2πR 2πR = u R R (6.31) Aplikací Hokeova zákona obdržíme ε x = σ x E = ρω2 R 2 E (6.32) Porovnáním (6.31) a (6.32) dostáváme pro radiální posuv střednice u R u R = 1 E ρω2 R 3 (6.33) Případ nasazení tenkého kroužku na hřídel s přesahem. Aplikací vztahu (6.31) dostáváme pro poměrné přetvoření ε x = u R R. = R (6.34) a napětí je využitím Hookeova zákona rovno σ x = Eε x. = E R (6.35) k k = σ k σ max k D (> 1) 75

79 6.3 Algoritmus určování napjatosti a deformace při tahovém (tlakovém) namáhání Při určování napjatost a deformace používáme vztahů odvozených pro prostý tah (tlak) s uvažováním vlivu odchylek a) volný prut Prut rozdělíme na úseky, ve kterých je průběh N(x), resp. σ x popsán jedním matematickým vztahem. Hranicemi úseků jsou místa působení osamělých sil F i, resp. skokové změny průřezu. V každém úseku provedeme uvolnění prvku rovinným řezem, v kterém zavedeme normálovou sílu a aplikujeme silovou podmínku statické rovnováhy ve směru osy prutu. N(x 1 ) = F 1 σ(x 1 ) = N(x 1) S(x 1 ) = 4F 1 πd 2 (x 1 ) N(x 3 ) = F 1 + F 2 F 3 σ(x 3 ) = N(x 3) S(x 3 ) = F 1 + F 2 F 3 S 3 N(x 7 ) = F 6 F 5 σ(x 7 ) = N(x 7) S(x 7 ) = F 6 F 5 S 7 76

80 Posuv v místě řezu x 3 se počítá jako součet protažení všech úseků prutu od místa uložení až po příslušný řez u(x 3 ) = l i = c 0 σ(x 1 ) E dx 1 + N(x 2)b ES 2 + N(x 3)(x 3 a b) ES 3 Osový průběh normálové síly N(x) a napětí σ(x) jsou uvedeny na následujících obrázcích Bezpečnost prutu vůči mezi kluzu je rovna k k = σ k σ max = σ k σ(x 6 ) k D (> 1) 77

81 b) prut vázaný staticky určitý. Stykovou výslednici stanovíme ze silové podmínky statické rovnováhy ve směru osy prutu a dále řešíme jako prut volný. staticky neurčitý. Jako příklad uvedeme prizmatický prut oboustranně vetknutý, zatížený osamělou silou F. Postup řešení: 1) Úplné uvolnění, statický rozbor a podmínka silové rovnováhy µ = 2 ; ν = 1 ; s = µ ν = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínka silové rovnováhy F x F A + F B F = 0 (6.36) 78

82 2) Částečné uvolnění na úroveň staticky určité úlohy Deformační podmínka u A = 0 (6.37) Řešeno superposicí: l F = l FA F b ES = F A(a + b) ES Řešeno Castiglianovou větou: F A = F b a + b = F b l N(x 1 ) = F A ; N(x 2 ) = F A + F u A = W F A = F A [ N 2 (x 1 )a 2ES + N 2 ] (x 2 )b 2ES = = N(x 1)a ES N(x 1 ) + N(x 2)b F A ES N(x 2 ) F A = = F Aa ES ( 1) + ( F A + F ) b ( 1) ES = 0 = F A = F b a + b 79

83 6.4 Soustavy těles Omezíme se pouze na soustavy, které se skládají pouze z prutů namáhaných na tah (tlak) a dále z tuhých neprutových těles. Půjde o následující případy: a) prutové soustavy, kde pruty jsou spojeny rotačními kinematickými dvojicemi, přičemž každý prut je zároveň vázán k rámu b) soustavy prutů a neprutových tuhých těles, přičemž každý z členů je vázán k rámu c) prutové soustavy, u kterých je vzájemná nepohyblivost prutů způsobena vnitřními vazbami a které jsou jako celek uchyceny k rámu Demonstrační příklady: Ad a) Stanovte síly v prutech a proved te pevnostní kontrolu F = 10 4 N; S = 50 mm 2 ; l = 1 m; α = 30 ; σ k = 350 MPa; k D = 2 Úplné uvolnění 80

84 Statická analýza: µ = 3 ; ν = 2 ; s = µ ν = 1 úloha je jedenkrát staticky neurčitá Podmínky statické rovnováhy Fx : F A + F B cos α + F C cos 2α = 0 (6.38) Fz : F B sin α + F C sin 2α + F = 0 (6.39) Částečné uvolnění na úroveň úlohy staticky neurčité Deformační podmínka a její řešení pomocí Castiglianovy věty u C = 0 (6.40) u C = W F C = F C 3 1 N 2 i l i 2E i S i = 3 1 N i l i E i S i N i F C (6.41) Stanovení normálových sil N N 3 = F C N 2 = F B (2) = 1 sin α (F C sin 2α + F ) = 2F C cos α F sin α 81

85 N 2 = F B (1) = F B cos α F C cos 2α = 2F C cos 2 α + F cot α F C cos 2α }{{} cos 2 α sin 2 α = F C (cos } 2 α {{ + sin 2 α} ) + F cot α = F C + F cot α =1 = Po dosazení za N i do deformační podmínky (4) dostáváme následující rovnici s jedinou neznámou, kterou je uvolněná styková výslednice F C (F C + F cot α)l 1 + ES ( ) 2FC cos α F sin α + F C ES 2ES l cos 2α 1 = 0 / ES l F C + F cot α + 4F C cos α + 2F sin α + F C 2 cos 2α = 0 = u C F C = 2F F cot α sin α cos α cos 2α = F ( ) cot α + 2 sin α cos α cos 2α = 1, 049 F A zpětným dosazením získáme síly v prutech N N 1 = F C + F cot α = 0, 683 F N 2 = 2F C cos α F sin α = 0, 183 F N 3 = F C = 1, 049 F 82

86 a příslušná napětí σ 1 = N 1 S 1 = 0, = 136, 6 MPa σ 2 = N 2 S 2 = 0, = 36, 6 MPa σ 3 = N 3 S 3 = 1, = 104, 9 MPa Následuje pevnostní kontrola vůči mezi kluzu k k = σ max = max { σ i } = 136, 6 MPa σ k = 350 σ max 136, 6 = 2, 56 > k D = 2 Pozor! U prutů tlakově namáhaných je zapotřebí provést kontrolu na vzpěr! 83

87 Ad b) Stanovte síly v prutech a proved te pevnostní kontrolu Statická analýza pro soustavu těles úplně uvolněnou z vnějších vazeb µ = 5 ; ν = 3 ; s = µ ν = 5 3 = 2 Soustava těles je dvakrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy Fx : F Ax = 0 (6.42) Fz : F Az + F B + F C + F D F = 0 (6.43) MA : F B a + F C 2a + F D 3a F 2a = 0 (6.44) 84

88 Částečné uvolnění na úroveň úlohy staticky neurčité Deformační podmínky a jejich řešení pomocí Castiglianovy věty u C = W F C = u C = W F D = N i l i E i S i N i F C (6.45) N i l i E i S i N i F D (6.46) Stanovení normálových sil N a jejich dosazení do deformačních podmínek (6.45) a (6.46) N 1 = F B (3) = 2F C 3F D + 2F N 2 = F C N 3 = F D 85

89 Dosazení N do deformačních podmínek (6.45) a (6.46) ( 2F C 3F D + 2F ) a ( 2) ES + F C 2a 1 ES + F D 2a 0 2ES = 0 / ES ( 2F C 3F D + 2F ) a ( 3) ES + F C 2a 0 ES + F D 2a 1 2ES = 0 / ES F C, F D N 1, N 2, N 3 σ 1, σ 2, σ 3 σ max k k = σ k σ max k D Jiné deformační podmínky, využívající tuhost neprutového tělesa (obr.1) l 1 a = l 2 2a F Ba ESa = F C 2a ES 2a F C = F B l 1 a = l 3 3a F Ba ESa = F D 2a 2ES 3a F D = 3F B F C, F D (6.44) F B a + F B 2a + 3F B 3a F 2a = 0 F B = 2F 12 = F 6 = F C / 1 a F D = 3F B = F 2 (6.43) F Az = F (F B + F C + F D ) = F 6 86

90 Ad c) Stanovte síly v prutech a stykové výslednice u příhradové konstrukce dle obrázku 1) Hledisko vnějších vazeb Uvolnění z vnějších vazeb na úroveň úlohy vnějškově staticky určité a vnější statická analýza µ e = 5 ; ν e = 3 sµ e ν e = 5 3 = 2 Úloha je dvakrát vnějškově staticky neurčitá (dvě přebytečné vnější vazby) Podmínky vnější statické rovnováhy FAx : F Ax + F 1 = 0 F Ax = F 1 (6.47) FAz : F Az + F B + F C + F D 2F = 0 (6.48) MA : F B a + 2F C a + 3F D a F 1 a F 2 2a = 0 (6.49) 87

91 Částečné uvolnění na úroveň vnějškově staticky určité úlohy a formulace vnějškových deformačních podmínek u C = W F C = u C = W F D = N i l i E i S i N i F C = 0 (6.50) N i l i E i S i N i F D = 0 (6.51) 2) Hledisko vnitřních vazeb Klasifikace z hlediska vnitřní statické určitosti (vychází se z podmínek statické rovnováhy v uvolněných styčnících) µ i = p = 10 ; ν i = 2k 3 = = 9 (p je počet prutů a k počet styčníků-kloubů) s i = µ i ν i = 10 9 = 1 Úloha je jedenkrát vnitřně staticky neurčitá (existuje jedna přebytečná vnitřní vazba). 88

92 Uvolnění na úroveň úlohy vnitřně staticky neurčité (přerušení jedné nadbytečné vnější vazby) Formulace deformační podmínky plynoucí z podmínky spojitosti deformací v místě myšleného řezu u 9 = u 9 = u 9 (6.52) u 9 = W N 9 ; u 9 = W N 9 ; N 9 = N 9 = N 9 u 9 = u 9 ; u 9 = u 9 (6) u 9 = u 9 W N 9 = W N 9 W N 9 = 0 (6.53) Předchozí podmínku spojitosti opět řešíme pomocí Castiglianovy věty W N 9 = N 9 i N 2 i l i 2E i S i = 10 1 N i l i E i S i N i N 9 (6.54) K tomu, abychom mohli řešit deformační podmínky (6.50), (6.51) a (6.52) je nutné v dalším kroku stanovit normálové síly v prutech N i na základě podmínek statické rovnováhy v uvolněných styčnících, přičemž musí být splněna následující podmínka W = W (F 1, F 2, F C, F D, N 9 ) ; N i = N i (F 1, F 2, F C, F D, N 9 ) 89

93 Při stanovení normálových sil N i obvykle využíváme postupnou styčníkovou metodou, přičemž vycházíme ze styčníků, ve kterých jsou dva neznámé parametry např. ze styčníku D. Fx : N 3 N = 0 Fz : F D + N = 0 N 4 = 2 F D ; N 3 = F D Fx : N 5 + N N = 0 N 5 = N N = = 2 2 N 9 F D Fz : F N 9 + N 10 + N = 0 N 10 = F N 9 N = F N 9 + F D Po dosazení N i do deformačních podmínek (6.50), (6.51) a (6.54) dostaneme 3 lineární rovnice, ze kterých stanovíme 2 vnější uvolněné stykové výslednice F C a F D a vnitřní uvolněnou vazbu N 9. Jejich zpětným dosazením do vztahů pro N i dostaneme všechny normálové síly N i. Následuje určení normálových napětí a pevnostní kontrola. σ i = N i S i ; σ max = max { σ i } k k = σ k σ max k D 90

94 7 NAMÁHÁNÍ NA OHYB 7.1 Základní vztahy pro napětí a deformaci v řezu Potřebné vztahy pro napjatost a deformaci odvodíme pro idealizovaný případ prostého ohybu. Def.: Prostým ohybem rozumíme namáhání přímého prismatického prutu, je-li splněno a) platí obecné prutové předpoklady b) příčné průřezy zůstávají v průběhu zatěžování rovinnými a otáčejí se kolem osy. Ležící v této rovině a následovně se deformují. Příčné průřezy zůstávají kolmé ke zdeformované (prohnuté) střednici c) jedinou složkou VVU je ohybový moment, který je konstantní po celé délce prutu V prvním kroku stanovíme ohybový moment M na základě podmínky rovnováhy uvolněného prvku prutu. Momentové podmínky My : M y (x) = M 1y ; Mz : M z (x) = M 1z (7.55) 91

95 V dalším kroku stanovíme průběh přetvoření ε x a napětí σ x v příčném řezu na základě příslušné pracovní podmínky ad b) u A = u(y, z) = a 1 + b 1 y + c 1 z (7.56) ε x (y, z) = u A h = a + by + cz (7.57) Průběh poměrných přetvoření ε x (y, z) po průřezu je popsán rovnicí roviny. S ohledem na tahový (tlakový) charakter napjatosti platí pro zbývající dvě přetvoření následující vztahy ε y (y, z) = ε z (y, z) = µε x (y, z) (7.58) Z podmínky kolmosti příčného průřezu na zdeformovanou střednici vyplývá nulovost zkosů γ xy = γ yz = γ zx = 0 (7.59) 92

96 V případě prostého ohybu jde o prostorovou (3D) deformaci. S ohledem na zatěžování je jedinou složkou normálových napětí napětí σ x, tedy σ x 0 ; σ y = σ z = 0 (7.60) Z Hookeova zákona pro prostý smyk vyplývají s ohledem na nulové zkosy (5) i nulová smyková napětí τ xy = Gγ xy = 0 ; τ yz = 0 ; τ zx = γ zx = 0 (7.61) 93

97 V případě prostého ohybu jde o jednoosou (1D) napjatost. Průběh normálového napětí σ x v řezu plyne z Hookeova zákona σ x (yz) = Eε x (3) = E(a + by + cz) (7.62) Zatím neznámé koeficienty a,b a c v předchozím vztahu se určí na základě podmínek statické ekvivalence mezi složkami VVU a elementárními silami z normálového napětí σ x. 94

98 Silová podmínka statické ekvivalence ve směru osy x vypadá následovně S U {}}{ z U y {}}{{ }}{ N = σ x ds = E a ds + b y ds + c z ds (7.63) ψ ψ Pokud osy y a z procházejí těžištěm průřezu, potom platí U y = 0, U z = 0. Vztah (9) je potom splněn pouze pokud ψ a = 0 σ x (yz) = E(by + cz) (7.64) Dále předpokládáme, že osy y a z jsou hlavními centrálními osami kvadratických momentů, což vede k nulovému deviačnímu momentu, tedy J yz = 0. Následují momentové podmínky statické ekvivalence. M y = ψ σz ds (8) = E b J yz =0 {}}{ ψ ψ J y {}}{ yz ds + c z 2 ds ψ c = M y EJ y (7.65) 95

99 M z = ψ σy ds (8) = E b J {}} z { ψ J yz =0 {}}{ y 2 ds + c yz ds ψ b = M z EJ z (7.66) Po dosazení (7.10), (7.11) a (7.12) do (7.8) a (7.4) obdržíme pro průběh napětí a přetvoření σ x (y, z) = M y J y z M z J z y (7.67) ε x (yz) = M y EJ y z M z EJ z y (7.68) Def: Pokud nositelka ohybového momentu M o leží v některé z hlavních centrálních os kvadratických momentů (osách symetrie) pak se ohyb nazývá základním ohybem. Ze vztahů (7.13) a (7.14) vyplývá, že prostý ohyb je superposicí dvou základních ohybů, což v dalším budeme využívat. 96

100 7.2 Poloha neutrální osy průřezu Def.: Neutrální osou rozumíme geometrické místo bodů příčného průřezu, kde je normálové napětí a poměrné přetvoření nulové. Využitím vztahu (7.13) dostáváme σ x (y n, z n ) = 0 = M y J y z n M z J z y n tan α = z n y n = M z M y J y J z = tan ϕ J y J z (7.69) Z relace (7.15) plyne, že v obecném případě není poloha neutrální osy totožná s nositelkou ohybového momentu M o. Shoda nastává pouze ve dvou případech, jak plyne z analýzy rovnice (7.16) a) J y = J z (průřezy typu kruh, čtverec, pravidelné mnohoúhelníky) b) tan ϕ = 0, ( M o leží ve směru hlavní osy KM y nebo z) Neutrální osa dělí průřez na část namáhanou na tah a část namáhanou na tah, což je velice důležité u materiálů s rozdílnou mezí kluzu resp. pevnosti v tahu a tlaku jako jsou např. litina a beton. V rámci celého prutu vytváří neutrální osy ve všech průřezech neutrální plochu. 97

101 7.3 Nebezpečné místo průřezu, pevnostní kontrola Z rovnice (7.13) vyplývá, že nebezpečné místo bude na vnějším povrchu, tedy tam, kde souřadnice y a z jsou největší. Rovnice obrysové čáry z = f(y) Podmínka extrému σ x (y, f(y)) = M y J y f(y) M z J z y dσ dy = M y J y f (y ) M z J z = 0 f (y ) = M z M y J y J z 15 = tan α (7.70) Nebezpečné místo s maximálním napětím je tedy tam, kde má tečna obrysu směr rovnoběžný s neutrální osou. 98

102 Maximální tahové napětí σ t max a maximální tlakové napětí σ d max potom plynou z rovnice (7.13) σ t max = M y J y z M z J z y σ t max = M y J y z M z J z y Pevnostní kontrola: Materiál ve stavu tvárném (mez kluzu v tahu a tlaku je stejná - σ k ) σ max = max { σ t max, σ d max } Koeficient bezpečnosti (bezpečnost): k k (x) = σ k σ max(x) k D Materiál ve stavu křehkém (meze pevnosti v tahu σ Rt a v tlaku σ Rd jsou různé) - koeficienty bezpečnosti: k t R = σ Rt σ t max ; k d R = σ Rd σ d max k R k D 99

103 V případě, že nositelka ohybového momentu M o leží na neutrální ose je možné použít pro výpočet maximálního napětí jednoduššího vztahu σ t max = σ t o = M o J o a t ex = M o J o a t ex = M o W t o σ d max = σ d o = M o J o kde W o je modul průřezu v ohybu. a t ex = M o J o a d ex = M o W d o V případě symetrického průřezu (čtverec, kruh, pravidelné mnohoúhelníky) platí W t o = W d o = W o U materiálů ve stavu tvárném při výpočtu bezpečnosti nerozlišujeme tahové a tlakové napětí. Maximální ohybové napětí v řezu označíme σ o (x) = M o(x) W o (x) (7.71) W o = J o a ax (7.72) 100

104 V dalším se omezíme na základní ohyb kolem osy y Pro průběh napětí σ x (z) v řezu x dostáváme dle (13) vztah σ m (z) = M y J y z Maximální napětí v řezu σ o je rovno σ o (x) = M o z d ex = M y J J y o zex d = M y(x) W y (x) (7.73) Kde modul průřezu je určen vztahem W y = J y z d ex (7.74) 101

105 Moduly vybraných průřezů J y = J z = πd4 64 W y = J y d 2 = πd3 32 J y = J z = πd4 64 πd4 64 W y = J y D 2 = πd 4 64 πd4 64 D 2 = π 32D ( D 4 d 4) J y = 1 12 bh3 W y = J y h 2 = bh2 6 J y = 1 12 BH bh3 W y = J y H 2 = 1 6H ( BH 3 bh 3) Pozor! U složených průřezů je nutné konstatovat W y W y O W y o!! 102

106 7.4 Energie napjatosti Nejprve stanovíme energii napjatosti v elementu prutu tloušt ky dx při namáhání prostým ohybem. dw = = ψ σ 2 x 2E σ 2 x 2E dv = ds dx = = 1 2E ψ ( My J y z J ) 2 z y ds dx = M z = 1 2E [ M 2 y J 2 y z 2 ds 2M ym z J y J z zy ds + M 2 z J 2 z y 2 ds ] dx = Pro celý prut platí W = γ = M 2 y dx 2EJ y My 2 (x) dx + 2EJ y + M 2 z dx 2EJ z (7.75) γ M 2 z (x) 2EJ z dx (7.76) Energie napjatosti od ohybového momentu M o při prostém ohybu je rovna součtu energií napjatosti od složek M y a M z jako základních ohybů. 103

107 7.5 Deformace prutu Deformace způsobená ohybovým momentem M o je ve smyslu platnosti principu superposice rovna geometrickému součtu deformací (posuvů) od základních ohybů M y a M z. Příslušné odvození provedeme pro základní ohyb M y kolem osy y a platnost analogicky rozšíříme pro prostý ohyb Diferenciální rovnice průhybové čáry Předpokládáme základní ohyb kolem osy y. Pro poměrné přetvoření ε x z definice dostáváme ε x (z) = BB AB. = z dϕ R dϕ = z R (7.77) Pro tutéž veličinu platí na základě (7.14) ε x (z) = M y EJ y z (7.78) 104

108 Porovnání obou výrazů obdržíme vztah pro křivost 1 R = M y EJ y (7.79) Křivost je přitom vázána na rovnici průhybové čáry w(x) vztahem známým z analytické geometrie, který se pro malé průhyby (w (x) 0) patřičně zjednoduší 1 R = w (x) (1 + w 2 ) 3 2. = w (x) (7.80) Po dosazení (7.26) do (7.25) dostáváme následující relaci EJ y w (x) = M y (x) (7.81) která se nazývá diferenciální rovnicí průhybové čáry. Znaménko na pravé straně předchozí rovnice závisí na použitém souřadnicovém systému, v našem případě pravotočivého souřadnicového systému s osou z směřující dolů je tam znaménko -. Analogicky pro základní ohyb kolem osy z dostáváme EJ z v (x) = M z (x) (7.82) 105

109 Integrací diferenciálních rovnic druhého řádu (27) a (28) získáme průhybové čáry w(x) a v(x) pro základní ohyby kolem osy y a z a pro vektor posuvu u(x) v místě x potom platí Pokud působí na prut silová soustava nebo jde o prut po úsecích nehomogenní, potom musíme zvlášt formulovat diferenciální rovnici průhybové čáry pro každý úsek, ve kterém je ohybový moment (jako matematická funkce) popsán jedním matematickým výrazem. Integrační konstanty se potom určují na základě okrajových podmínek pro celý prut a podmínek spojitosti posuvů a natočení na hranicích příslušných úseků. EJ y w (x 1 ) = M y (x 1 ) w(x 1 ) =... + C 1 x 1 + C 2 EJ y w (x 2 ) = M y (x 2 ) w(x 2 ) =... + C 3 x 2 + C 4 EJ y w (x 3 ) = M y (x 3 ) w(x 3 ) =... + C 5 x 3 + C 6 OKRAJOVÉ PODMÍNKY x 1 = 0 w(x 1 ) = 0 ; x 3 = 0 w(x 3 ) = 0 PODMÍNKY SPOJITOSTI x 1 = x 2 w (x 1 ) = w (x 2 ) w(x 1 ) = w(x 2 ) x 2 = x 3 w (x 2 ) = w (x 3 ) w(x 2 ) = w(x 3 ) 106

110 Demonstrační příklad: Stanovte rovnici průhybové čáry u prutu dle obrázku. F A = F B = ql 2 EJ y w (x) = M y (x) = ql 2 x + qx2 2 EJ y w (x) = ql 4 x2 + qx3 6 + C 1 EJ y w (x) = ql 12 x3 + qx C 1x + C 2 M y (x) = F A x qx2 2 Integrační konstanty stanovíme z okrajových podmínek x = 0 ; w(0) = 0 C 2 = 0 x = l ; w(l) = 0 0 = ql ql C 1l C 1 = ql3 24 w(x) = 1 EJ y w (x) = 1 EJ y ( qlx3 ) 12 + qx ql3 24 x ) ( qlx2 4 + qx3 6 + ql

111 MB : F Az 2a + F a = 0 F Az = F Deformace prutu pomocí Castiglianovy věty Postup ukážeme na demonstračním příkladu. Úkolem je stanovit svislý průhyb w F v místě působení síly F u nosníku dle obrázku. Vycházíme z obecné Castiglianovy věty, kam dosadíme vztah pro deformační energii při prostém ohybu. Při matematické úpravě vztahu posuneme parciální derivaci za integrační znaménko a výraz pro M derivujeme jako složenou funkci. w F = W F = F γ M 2 y (x) dx 2EJ y = γ M y (x) EJ y M y F dx (7.83) V dalším je nutné stanovit M jako funkci vnějšího zatížení. U tělesa vázaného je zapotřebí určit stykové výslednice. V případě úlohy staticky neurčité je nezbytné nejprve statickou neurčitost odstranit. Statický rozbor, podmínky statické rovnováhy pro úplné uvolnění z vazeb: µ = 3 ; ν = 3 ; s = µ ν = 3 3 = 0 Fx : F Ax = 0 Fz : F Az + F B F = 0 108

112 Stanovení M y ve dvou úsecích MR : M y (x 1 ) F Az x 1 = 0 M y (x 1 ) = F Az x 1 = F 2 x 1 MR : M y (x 2 ) + F x 2 = 0 M y (x 2 ) = F x 2 Výpočet svislého posunutí w F γ M y (x) EJ y = 1 EJ y M y F dx = 2a 0 γ M y (x 1 ) EJ y (x 1 ) ( F ) ( 2 x 1 x ) 1 dx M y F dx 1 + a 0 γ M y (x 2 ) EJ y (x 2 ) ( F x 2 )( x 2 ) dx 2 = M y F dx 2 = 7F a3 6EJ y Pozn: Pokud máme stanovit posunutí ve směru kde nepůsobí osamělá síla zavádíme do tohoto místa sílu doplňkovou F d, stykové výslednice i ohybový moment M y se počítají s uvažováním této veličiny. Před finální integrací se její velikost položí rovna nule, tedy F d = 0. úhel natočení v působení silové dvojice M ϕ M = W M = M γ M 2 y (x) dx 2EJ y (x) = γ M y (x) EJ y M y M dx 109

113 7.6 Vliv odchylek od případu prostého ohybu na napjatost a deformaci Změna průřezu podél střednice a) spojitá změna průřezu Fx ; σ ds 2 τb dx = 0 τ = 1 2b σ ds dx (7.84) V příčném průřezu vzniká smykové napětí τ, což je porušením tahové napjatosti při prostém ohybu.v dalším předpokládáme, že jeho velikost je malá a smykové napětí potom můžeme zanedbat. Ohybové napětí v krajním vláknu se potom počítá dle vztahu odvozeného pro prostý (základní) ohyb σ 0 (x) = M y(x) W y (x) (7.85) 110

114 b) skoková změna průřezu V místě vrubu vzniká prostorová napjatost a dochází zde ke koncentraci napětí. Vliv vrubu na napjatost vyjadřujeme smluvně pomocí součinitele koncentrace napětí α. Ohybové (nominální) napětí σ 0 se počítá podle vztahu odvozeného pro základní ohyb σ 0 (x) = M y(x) W y (x) = 32M y(x) πd 3 Maximální (smluvní) napětí σ max je rovno σ max (x) = ασ 0 (x) (7.86) a bezpečnost vůči mezi kluzu potom k k (x) = σ k σ max (x) (7.87) Pozn: Modul průřezu W y se počítá vždy pro menší průřez v místě vrubu. Vliv vrubu na napjatost a bezpečnost je nutné vždy uvažovat. 111

115 7.6.2 Vliv příčného silového zatížení prutu Pro jednoduchost uvažujeme prut zatížený třemi osamělými silami působícími kolmo k podélné ose prutu Z podmínky rovnováhy uvolněného prvku prutu Σ 1 vyplývá, že v řezu x působí posouvající síla T, která způsobí smykové napětí τ. Naším cílem je stanovit jeho průběh po průřezu. V dalším se omezíme na průřezy, které mají jednu osu symetrie, v které působí posouvající síla T. 112

116 Jelikož vnější povrch prutu není zatížen je hodnota smykového napětí τ n rovna nule. Potom podle věty o sdruženosti smykových napětí je i kolmé napětí τ n působící v řezu nulové. Z těchto důvodů má smykové napětí τ na obrysu směr tečny profilu. Předpoklady plynoucí z praktických poznatků: - svislé složky smykových napětí τ xz v místech průřezu se stejnou souřadnicí z jsou stejné - nositelky smykových napětí ve všech místech se stejnou souřadnicí z se protínají v pólu P na ose symetrie Pro smykové napětí τ(y, z) tedy platí τ yz (y, z) = τ xz(z) cos ϕ (7.88) 113

117 Podmínka silové rovnováhy pro elementární prvek Fx : N N τ yz b(z) dx = 0 γ 1 M y + dm y J y dm y J y z ds γ 1 γ 1 M y J y z ds τ yz b(z) dx = 0 z ds τ yz b(z) dx = 0 }{{} U γ 1 y (z) τ xz (z) = dm y dx U γ 1 y (z) b(z)j y = T U γ1 y (z) b(z)j y (7.89) Předchozí vztah se v literatuře často nazývá Žuravského vzorec. Z hlediska pevnostní kontroly je důležitá maximální hodnota smykového napětí τ max, která se stanoví z podmínky extrému dτ dz = 0. Je možné odvodit, že u průřezů, u kterých je tečna v místě průsečíku obrysu s neutrální osou y rovnoběžná s osou symetrie je maximální smykové napětí v tomto průsečíku. 114

118 Demonstrační příklad: Stanovte průběh smykového napětí u obdélníkového průřezu ( ) U γ 1 h y (z) = b 2 z 1 ( ) h z = b 2 ( h 2 4 z2 ) τ xz (z) = τ = T U γ 1 y (z) bj y = Průběh napětí je parabolický. J y = 1 12 bh3 T b 2 ( h 2 4 z2 ) b 1 12 bh3 = 6T bh 3 ( h 2 4 z2 ) Maximální smykové napětí je v místech na neutrální ose τ max = τ(z = 0) = 3 2 T bh = 3 2 T S = 3 2 τ Maximální napětí τ max je 1,5 krát větší než průměrné nominální napětí v průřezu. 115

119 U běžných štíhlých prutů je velikost smykového napětí ve srovnání s ohybovým napětím zanedbatelná. Mimoto bývá maximální smykové napětí na neutrálné ose, kde je ohybové napětí nulové. Smykové napětí nesmíme zanedbat u nosníků extrémně krátkých, kde je veliká posouvající síla T a malý ohybový moment M y. Zde je nutné úlohu počítat jako kombinované namáhání (jde o rovinnou napjatost). Dále musíme smykové napětí uvážit u štíhlých válcovaných profilů v místech přechodu pásnice do stojiny, kde je skokové navýšení smykového napětí z důvodu signifikantní redukce tloušt ky a kde navíc působí i značné ohybové napětí σ. I zde jde o kombinované namáhání a rovinnou napjatost. τ 1 = T U y(z 1 ) b 1 J y ; τ 2 = T U y(z 2 ) b 2 J y Na hranici pásnice a stojiny skok b 1 b 2 σ red = σ 2 + 4τ 2 116

120 Energie napjatosti od posouvající síly T Vyjdeme z měrné energie smykové napjatosti λ τ = τ 2 2G (38) Energie napjatosti v elementárním prvku dw = τ 2 2G dv = = 1 2G ψ ψ τ 2 2G ( Uy (z) cos ϕ b(z)j y ( 1 T Uy (z) ds dv = 2G cos ϕ b(z)j y ψ ) 2 S ds S T 2 T 2 dx dx = β y 2GS Pro tvarový součinitel příčného průřezu β y platí β y = ψ ( Uy (z) cos ϕ b(z)j y Energie napjatosti celého prutu je určena vztahem W = ψ β y T 2 dx 2GS ) 2 ds dx = (7.90) ) 2 S ds (7.91) (7.92) 117

121 Smykové napětí u tenkostěnných symetrických profilů Element tenkostěnného profilu je zatížen posouvajícími silami a ohybovými momenty působícími v příčných řezech Smykové napětí má směr tečny průřezu. Vzhledem k malé tloušt ce h předpokládáme, že τ je v daném místě střednice po tloušt ce konstantní. Podmínka silové rovnováhy Fx : N + τh dx N = 0 ψ 1 σ ds + τh dx ψ 1 (σ + dσ) ds = 0 ψ 1 M y z J y ds + τh dx ψ 1 (M y + dm y ) J y z ds = 0 τh dx = dm y J y ψ 1 z ds τ(z) = 118 dm y dx U γ 1 y = T U y γ1 (7.93) hj y hj y

122 Smykové napětí u tenkostěnných nesymetrických profilů Zaměříme svoji pozornost na tenkostěnný válcovaný profil, který je zatížený osamělou silou F působící v hlavní centrální ose kvadratických momentů z, která není osou symetrie průřezu 119

123 V místě x vyjmeme element dω o délce dx, který zatížíme příslušnými složkami VVU, konkrétně posouvající silou T (x) a ohybovým momentem M y (x), resp. T (x) a M y (x) + dm y (x) Posouvající síla T (x) vyvolá v pásnici a ve stojině smyková napětí τ xz, jejichž průběh je popsán již odvozeným Žuravského vztahem (37). Pásnice: τ xz (z) = T U γ 1 y bj y = T ( h 2 z) ( b 1 h z) = T (h2 4z 2 )b (7.94) bj y 8bJ y 120

124 Stojina: τ xz (z) = T [( h 2 h 1 2 ) b 1 2 ( ) ( ) ( ) ] h 2 + h h1 2 z b h z 2 = b 1 J y = T [(h2 h 2 1)b + (h 2 1 4z 2 )b 1 8b 1 J y (7.95) Výsledná svislá síla ve stojině F S je rovna F S = h 1 2 τ xz (z)b 1 dz = = T 8b 1 J y [ h 1 2 (h 2 h 2 1)bh 1 + h 3 1b 1 4b 1 3 ( (h1 2 ) 3 ( h ) )] = = T 8J y [ (h 2 h 2 1)bh ] 3 b 1h 3 1 (7.96) Je možné snadno dokázat, že výraz v závorce je možné následovně zjednodušit (h 2 h 2 1)bh b 1h 3 1. = 8J y (7.97) Po zpětném dosazení do (46) dostáváme pro sílu ve stojině F s velice jednoduchý vztah (48) F S = T (7.98) který říká, že stojina v podstatě přenáší celou posouvající sílu T (x). 121

125 V pásnici vzniká rovněž smykové napětí τ xy, které vyplývá z podmínky silové rovnováhy elementu dω 1 ve směru osy x. Analogicky zde použijeme vztah (43), který byl odvozen pro symetrický tenkostěnný profil τ xy (ξ) = T U γ 1 y = tj y T ξt 1 2 ( ) h 2 + h 1 2 = tj y = T (h + h 1) 4J y ξ (7.99) Výsledná vodorovná síla v pásnici je dána následujícím integrálem F p = b 0 = T 4J y (h + h 1 ) τ xy (ξ) ds = b 0 ( h 2 h 1 2 τ xy t dξ = ) b 2 b 0 T (h + h 1 ) 4J y tξ dξ = 2 = T 16J y (h 2 h 2 1) b 2 (7.100) Stejně veliká síla F p, ale opačného směru působí i v horní pásnici. Silovými výslednicemi vnitřních smykových napětí u nesymetrických průřezů je svislá síla F s působící ve stojině a silová dvojice sil F p, které působí v pásnicích. Ze statiky je známo, že takovou silovou soustavu je možné nahradit jedinou osamělou silou, která působí v bodě průřezu S, který nazýváme tzv. středem smyku. Jeho poloha se určí z momentové podmínky rovnováhy vzhledem k bodu B na stojině MB : T e = F S e = F p 1 2 (h + h 1) 122

126 e = 1 T T 16J y (h 2 h 2 1) b (h + h 1) = = (h2 h 2 1)(h + h 1 ) b 2 32J y Def.: Středem smyku rozumíme místo příčného průřezu nesymetrického prutu, kde jedinou výslednicí vnitřních elementárních smykových sil ze smykového napětí je osamělá síla velikosti posouvající síly T (x). Pokud je nosník zatížen vnějšími silami tak, že posouvající síla neprochází středem smyku, potom navíc dochází ke kroucení průřezu. 123

127 7.6.3 Vliv zakřivení střednice Zaměříme se na případ prismatického prutu, který splňuje následující pracovní předpoklady: platí obecné prutové předpoklady, střednice prutu je rovinná křivka, průřez má jednu osu symetrie, která leží v rovině střednice, jedinou složkou VVU je ohybový moment M y, příčný průřez se natáčí jako rovina kolem neutrální osy, která není totožná s hlavní osou centrálních kvadratických momentů průřezu. Poměrné přetvoření ε n vlákna v místě z je podle definice rovno ε n (z). = BB AB = z dϕ ρ dϕ = z dϕ (r z) dϕ (7.101) S ohledem na tahovou jednoosou napjatost dostáváme pro příčná přetvoření ε y,ε z a normálové napětí σ n následující relace ε y (z) = ε z (z) = µε n (z) (7.102) 124

128 σ n (z) = Eε n (z) = Ez dϕ ρ dϕ = Ez dϕ (r z) dϕ (7.103) Z předchozího vztahu plyne, že průběh normálové napětí u křivého prutu σ n je hyperbolický v porovnání s přímkovým průběhem při prostém základním ohybu. Zatím neznámý poloměr křivosti neutrálního vlákna r a úhel natočení řezu dϕ stanovíme na základě podmínek statické ekvivalence v řezu. Silová podmínka statické ekvivalence ve směru normály řezu Fn σ n (z) ds = N = 0 (7.104) ψ Po dosazení vztahu (7.49) pro průběh napětí do rovnice (54) obdržíme E dϕ z dϕ ρ ds = 0 ψ Předchozí rovnice je splněna, platí-li z ds = 0 (7.105) ρ ψ Matematickou úpravou získáme vztah pro poloměr křivosti r neutrálního vlákna ψ z ρ ds = ψ r ρ ρ ds = r r = S ψ ds ρ ψ S { }}{ 1 ρ ds ds = ψ (7.106) 125

129 Momentová podmínka statické ekvivalence: My : σ n (z)z ds = M y (7.107) ψ Opět využijeme vztahu (7.49) pro průběh napětí, který dosadíme do (7.53) E dϕ dϕ ψ z 2 ρ ds = M y (7.108) E dϕ dϕ r ψ z ρ ds ψ z ds } {{ } r 0 ( Se) = M y E dϕ dϕ = M y Se (53) (7.109) Po zpětném dosazení (7.55) do vztahu (7.49) dostaneme finální relaci pro stanovení průběhu normálového napětí v příčném průřezu σ n (z) = M yz Seρ = M yz Se(r z) (7.110) Formální úpravou vztahu (7.55) dostaneme relaci pro úhel natočení dϕ dϕ = M y dϕ ESe = M y ds ESeR (7.111) 126

130 Průběh napětí σ n v průřezu stanovený dle (7.56) je znázorněn na následujícím obrázku σ 1 = M yh 1 SeR 1 σ 2 = M y( h 2 ) SeR 2 σ 1 σ 2 = h 1 R 2 h 2 R 1 σ max = max {σ 1, σ 2 } k k = σ k k D σ max Extrémní tahová a tlaková napětí jsou v místech 1 a 2 na povrchu prutu. Pevnostní kontrola u materiálu ve stavu křehkém se provádí zvlášt v tahové a zvlášt v tlakové oblasti k Rt = σ Rt σ 1 k Rd = σ Rd σ 2 (7.112) A stanoví se minimální bezpečnost v řezu k R (ϕ) = min {k Rt, k Rd } (7.113) U materiálu ve stavu tvárném se vychází z maximální absolutní hodnoty ohybového napětí v řezu σ max = max {σ 1, σ 2 } (7.114) 127

131 A bezpečnost v řezu je rovna k k (ϕ) = σ k σ max (7.115) V obou případech se určí minimální bezpečnost k min v řezech podél střednice, která musí být větší než bezpečnost doporučená k d. k min = min {k k (ϕ), resp. k R (ϕ)} k D (7.116) Vznik radiálního napětí Dvěma symetrickými řezy uvolníme element dω a z něho válcovým řezem subelement dω 1 Z levé a pravé strany působí na subelement dω 1 normálová síla N jako výslednice ohybových napětí σ(z ) působících na podprůřez ψ 1. N = σ(z ) ds = M yz (7.117) Se(r z ) ψ 128

132 Následně formulujeme podmínku silové rovnováhy v radiálním směru Fr : 2N sin dϕ σ r ρ dϕ b(z) = 0 }{{ 2}.= dϕ 2 σ r = 1 ρb(z) N = 1 σ(z ) ds (7.118) ρb(z) ψ V důsledku zakřivení střednice vzniká u prutu radiální normálové napětí σ r, což je porušením předpokladu o prutové napjatosti. Ze vztahu (7.64) vyplývá, že velikost radiálního napětí σ r klesá s růstem poloměru křivosti vlákna ρ. Dále předpokládáme, že poloměr křivosti R a tedy i obecné poloměry ρ jsou dostatečně veliké, abychom mohli radiální napětí σ r vůči ohybovému napětí zanedbat (σ r σ). 129

133 Energie napjatosti u zakřiveného prutu. Energii napjatosti dw v elementu prutu dω stanovíme na základě elementární práce da vnějších sil působících na element, tj. příslušných složek VVU, v našem případě normálové síly N a ohybového momentu M y. Předpokládáme, že levý řez jest zároveň rovinou symetrie prutu, což znamená, že se neposouvá ani nenatáčí. Práci tedy vykonávají pouze N a M y, které působí v levém řezu. Element dω nejprve zatížíme M y a následně N dw = da = 1 2 M dϕ M N ds N M dϕ M = 1 2 M 2 dϕ ESe + N 2 ds ES M ds R = M 2 ds 2ESRe + N 2 ds 2ES MN ds ESR (7.119) 130

134 Pro energii napjatosti celého zakřiveného prutu dostáváme potom následující vztah W = γ My 2 (s) ds 2ESRe + γ N 2 (s) ds 2ES γ M y (s)n(s) ds ESR (7.120) Prut slabě zakřivený U prutu slabě zakřiveného je maximální příčný rozměr h značně menší než poloměr křivosti střednice R (h R), obvykle h R < 1 5. Při odvození vyjdeme z rovnice (58) Pro tenký prut platí E dϕ dϕ γ z 2 ρ ds = M y(s) ρ. = R (7.121) Dosazením do předchozího vztahu dostáváme po algebraické úpravě relaci E dϕ dϕ = M y J y (7.122) Pomocí které upravíme vztah pro normálové napětí (53) σ(z) = M y(s) J y z (7.123) Průběh normálového napětí po průřezu je potom prakticky lineární a tedy stejný jako u prostého základního ohybu. Neutrální osa splývá s hlavní centrální osou kvadratických momentů y. 131

135 Chyba v maximálním ohybovém napětí σ o, kterou se u kruhového průřezu u prutu s h R = 1 5 dopouštíme je 8,2%, viz následující obr. Z analogie se základním ohybem plyne i příslušná ohybová energie. U slabě zakřivených prutů je přírůstek úhlu natočení dϕ N od normálové síly N zanedbatelný a třetí člen v rovnici (69) tedy odpadá. Energie napjatosti u slabě zakřiveného prutu je s uvážením vztahu (72) a vlivu posouvající síly T rovna W = γ M 2 y (s) ds 2EJ y + γ N 2 (s) ds 2ES + β γ T 2 (s) ds 2GS (7.124) Pomocí Castiglianovy věty je potom možné vypočítat posuv u F ve směru osamělé síly F resp. úhel natočení ϕ M způsobený silovou dvojicí M u F = ds+ ds + β ds (7.125) ϕ M = γ γ M y (s) EJ y M y F M y (s) M y EJ y M γ ds + γ N y (s) ES N y F γ N y (s) N y ES M ds + β γ T (s) GS T (s) GS T F T M ds (7.126) V případě, že chceme vypočítat posunutí, resp. úhel natočení v místech, kde není osamělá síla resp. silová dvojice, zavedeme tam veličiny doplňkové F d resp. M d, které na konci výpočtu položíme rovny nule. 132

136 7.7 Namáhání na ohyb, praktické aplikace Naším cílem je napjatostní, deformační a pevnostní analýza prutů s dominantním namáháním na ohyb. Omezíme se přitom na rovinné případy, kdy střednice prutu leží v rovině nákresu x, z. V téže rovině leží osa symetrie průřezu i vnější síly. Charakteristickou složkou vektoru VVU v obecném místě s je ohybový moment M y (s). Přičemž s může být souřadnice x resp. z u prutů přímých či v přímých úsecích obecných prutů, u křivých prutů pak křivočará souřadnice s, případně polární úhel ϕ. Případ volných prutů je v praxi výjimečný a tak se zaměříme na pruty vázané, kde musíme nejprve kroku stanovit stykové výslednice. Vycházíme přitom z obecného algoritmu uvedeného v kap Z důvodu zachování spojitosti výkladu si zde stručně připomeneme jeho základní kroky. Prut uvolníme z vazeb, které nahradíme staticky ekvivalentními stykovými výslednicemi (reakcemi). Provedeme statický rozbor úlohy. U prutů staticky určitých stanovíme stykové výslednice z podmínek statické rovnováhy. Dále postupujeme jako u prutů volných. Složky VVU stanovíme na základě podmínek statické rovnováhy uvolněných prvků prutu. V případě otevřených prutů jde o úlohu staticky určitou. U prutů staticky neurčitých k podmínkám statické rovnováhy formulujeme stykové deformační podmínky pro částečně uvolněný prut, uvolněný na úroveň úlohy formálně staticky určité. Deformační podmínky v uvolněných vazbách pak řešíme některou z metod pro stanovení deformace prutu, zejména však pomocí Castiglianovy věty. Obdržíme soustavu lineárních rovnic, ze které vypočteme stykové výslednice v částečně uvolněných vazbách. Zbývající stykové výslednice, pokud jsou zapotřebí, stanovíme z podmínek statické rovnováhy celého prutu. Složky VVU a následně napět ovou, deformační a pevnostní analýzu potom provádíme jako u prutů volných. 133

137 Typy vazbových deformačních podmínek: a) homogenní deformační podmínka b) nehomogenní deformační podmínka w B = 0 w B = W F B Vazbová deformační podmínka: w B = w B = W F B Pozn: Znaménko mínus před Castiglianovou větou je tu z toho důvodu, že posuv se děje proti smyslu působení stykové síly F B. 134

138 Vazbová deformační podmínka: w B = w B = W F B c) silově závislá vazbová deformační podmínka Vazbová deformační podmínka: w B = cf B w B = W F B V dalším se postupně zaměříme na následující kategorie prutů: 1) Pruty přímé 2) Pruty lomené (rámy) 3) Pruty zakřivené 4) Pruty smíšené 135

139 7.7.1 Pruty přímé - demonstrační příklady Př.1: Navrhněte příčné rozměry obdélníkového průřezu a stanovte svislý průhyb a úhel natočení v místě C u prutu dle obrázku: F = 10 4 N, a = 1 m, b h = 0, 5 u obdélníkového průřezu, mez kluzu σ k = 350 MPa, bezp. k k = 2, modul pružnosti v tahu E = 2, MPa Pozn: Vzhledem k tomu, že máme také stanovit úhel natočení v místě D, kde nepůsobí silová dvojice, zavedeme do tohoto místa již na počátku výpočtu veličinu doplňkovou M d. Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 3 ν = 3 s = µ ν = 3 3 = 0 Úloha je staticky určitá. Podmínky silové rovnováhy a stykové výslednice: Fx : F Ax = 0 Fz MA : F Az F B + F = 0 F Az = 1 2 F M d 2a : F B 2a F 3a M d = F + M d 2a 136

140 Průběhy ohybových momentů v úsecích I a II M y (x 1 ) = F A x 1 = 1 2 F x 1 M d 2a x 1 M y (x 2 ) = F x 2 M d Grafické znázornění průběhu ohybových momentů M y (x) Maximální ohybový moment: M max = max { M y (x) } = F a = 10 4 Nm Pevnostní návrh příčného průřezu: σ 0,max = M max W y = σ k k k W y = 1 6 bh3 = 1 12 h3 12M max h 3 = σ k k k h = 3 12Mmax k k 12 = σ k 350 = 88, 2 mm Kvadratický moment průřezu: b = 0, 5h = 44, 1 mm J y = 1 12 bh3 = , 1 88, 22 = 2, mm 4 137

141 Stanovení svislého průhybu v místě C pomocí Castiglianovy věty: = 1 EJ y 2a 0 w C = W F = M y (x 1 ) M y(x 1 ) F γ M y (x) EJ y dx 1 + a 0 M y F dx = M y (x 2 ) M y(x 2 ) F dx 2 = = 1 EJ y 2a 0 + a 0 ( 1 2 F x 1 M ) ( d 2a x 1 1 ) 2 x 1 dx 1 + ( F x 2 M d )( x 2 ) dx 2 = = 1 EJ y ( [F ] x 3 2a [ F x ] a 0 ) = F a3 EJ y ( ) 3 = = F a3 EJ y = = 18, 9 mm 2, ,

142 Stanovení úhlu natočení v místě C pomocí Castiglianovy věty: = 1 EJ y 2a 0 ϕ C = W M d = M y (x 1 ) M y(x 1 ) a dx 1 + M d 0 M y (x 2 ) M y(x 2 ) dx 2 = M d = 1 EJ y + 2a 0 a 0 ( 1 2 F x 1 M ) ( d 2a x 1 x ) 1 dx 1 + 2a ( F x 2 M d ) ( 1) dx 2 = = 1 EJ y ( [F ] x 3 2a a 0 [ F x ] a 0 ) = F a2 EJ y ( ) 2 = = 7 6 F a 2 EJ y = = 0, 132 rad 2, ,

143 Př.2: Proved te pevnostní kontrolu prismatického prutu znázorněného na obrázku. q = 10 4 Nm 1, a = 1 m, mez kluzu σ k = 400 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2 Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 4 ν = 3 s = µ ν = 4 3 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Fx : F Ax = 0 Fz : F Az + F B 2qa = 0 MA : F B 3a 2qa 2 + M A = 0 140

144 Částečně uvolněný prut Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu w B = W F B = 0 Průběhy ohybových momentů M y a posouvajících sil T v úsecích I a II M y (x 1 ) = F B x 1 M y (x 2 ) = F B x 2 q (x 2 a) 2 2 T (x 1 ) = F B T (x 2 ) = F B + q(x 2 a) Pozn: Energie napjatosti W a tedy při ohybovém namáhání i ohybový moment M y musí být matematicky vyjádřeny jako funkce vnějšího zatížení (zde q) a stykové výslednice v uvolněné vazbě (zde F B ). Pokud tomu tak není, je zapotřebí vztahy pro M y do náležitého stavu přivést využitím podmínek statické rovnováhy. Řešení deformační podmínky pomocí Castigliánovy věty w B = W F B = 0 1 EJ y a 0 M y (x 1 ) M y(x 1 ) F B dx 1 + 2a 0 M y (x 2 ) M y(x 2 ) dx 2 = 0 F B 141

145 a 0 (F B x 1 )x 1 dx 1 + 2a 0 [F B x 2 q (x 2 a) 2 ] x 2 dx 2 = 0 2 Tato rovnice obsahuje jedinou neznámou, kterou je F B. Po vyjádření integrálů v předchozí rovnici a algebraické úpravě dostáváme pro F B F B = qa = 0, N Průběh ohybových momentů M y (x) a posouvajících sil T (x) je dán dříve uvedenými vztahy po dosazení F B, což znázorníme graficky 142

146 Z průběhu je zřejmé, že maximální ohybový moment M y,max může být bud v místě x 2,ex lokálního extrému, kde je posouvající síla T nulová nebo v místě vetknutí x 2 = 3a. Tyto hodnoty je nutné vypočítat T (x 2,ex ) = F B + q(x 2,ex a) = 0 x 2,ex = F B q + a = 10qa 27q + a = a = 1, 3704 m M y (x 2,ex ) = F B x 2,ex q 2 (x 2,ex a) 2 = = 0, , (1, )2 = 0, Nm M y (x 2 = 3a) = F B 3a q 2 (3a a)2 = = 0, (3 1)2 = 0, Nm 143

147 Pevnostní kontrola: Kvadratický moment průřezu: J y = 1 12 BH bh3 = 1 12 ( ) = 3, mm 4 Modul průřezu: W y = J y H 2 = 3, = 5, mm 3 Maximální ohybové napětí σ o,max σ o,max = M y,max W y = 0, , = 172, 3 MPa Bezpečnost k k = σ k σ o,max = , 3 = 2, 32 > k D Prut pevnostně vyhovuje. 144

148 Př.3: Proved te pevnostní kontrolu prismatického prutu znázorněného na obrázku. M = 8000 Nm, a = 1 m, mez kluzu σ k = 400 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2 Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 4 ν = 3 s = µ ν = 4 3 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Fx : F Ax = 0 Fz : F Az + F B + F C = 0 MB : F Az 2a + M F C a = 0 F Az = F C 2 M 2a 145

149 Částečně uvolněný prut Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu w B = W F C = 0 Průběhy ohybových momentů M y podél prutu M y (x 1 ) = F C x 1 M y (x 2 ) = F Az x 2 = F C 2 x 2 M 2a x 2 M y (x 3 ) = F Az x 3 + M = F C 2 x 3 M 2a x 3 + M Pozn: V souladu se zatížením a realizovaným částečným uvolněním bylo nutné vyjádřit ohybový moment ve tvaru M y (M, F C ). K tomu byla využita momentová podmínka statické rovnováhy. Řešení deformační podmínky pomocí Castigliánovy věty w C = W = 1 a M y (x 1 ) M y dx 1 + F C EJ y F C 0 + a 0 M y (x 2 ) M y F C dx 2 + 2a 0 M y (x 3 ) M y dx 3 = 0 F C 146

150 a 0 (F C x 1 ) x 1 dx a 0 a 0 ( FC 2 x 2 M ) 2a x x2 2 2 dx 2+ ( FC 2 x 3 M ) 2a x x3 3 + M 2 dx 3 = 0 Tato rovnice obsahuje jedinou neznámou, kterou je F C. Po vyjádření integrálů v předchozí rovnici a algebraické úpravě dostáváme pro F C F C = M 12a = = 666, 7 N Průběh ohybových momentů M y (x) je dán dříve uvedenými vztahy, do kterých dosadíme F B. Znázorněno graficky Z průběhu je zřejmé, že maximální ohybový moment M y,max je v místě x 2 = a. Jeho hodnota je rovna M y,max = 4333 Nm 147

151 Pevnostní kontrola: Kvadratický moment průřezu: J y = , = 1, mm 4 Modul průřezu: W y = J y h 2 = 1, = 2, mm 3 Maximální ohybové napětí σ o,max σ o,max = M y,max W y = , = 151, 2 MPa Bezpečnost k k = σ k = 400 σ o,max 151, 2 = 2, 65 > k D = 2 Prut pevnostně vyhovuje. 148

152 7.7.2 Pruty lomené - rámy U prutů lomených je střednice spojitou, ale nehladkou křivkou. V místech zlomu vzniká složitá prostorová napjatost, která není řešitelná využitím teorie prostého ohybu. Abychom mohli úlohu řešit jako celek (s výjimkou zlomů) pomocí přístupu prosté pružnosti, musí být oblast porušení prutové napjatosti zanedbatelná v porovnání s celkovými rozměry rámu. Abychom mohli řešit rám použitím vztahů odvozených pro prut, musí být splněno: a) Počet zlomů nesmí být velký b) Vztahů pro napjatost, odvozených pro prostý ohyb, lze použít až v dostatečné vzdálenosti od zlomu c) Musíme znát silově-deformační charakteristiku zlomů, tj. závislost úhlu ve zlomu na místním ohybovém momentu - α(m) Dva krajní případy - tuhý zlom α = konst. (nezávisí na M) - kloub M = 0 149

153 Určování napjatosti, pevnostní kontrola Nejprve z podmínek statické rovnováhy uvolněného prvku rámu stanovíme průběh složek VVU - M y (s), T (s) a N(s). U pravoúhlého rámu může být polohová souřadnice s řezu bud x nebo z, podle toho, v jaké části rámu se nacházíme, viz obr. Znaménková konvence pro složky VVU je analogická jako u prutu přímého, pokud je to možné. Lomený prut obcházíme stále po jedné straně, většinou vnitřní. Ohybový mement M y (s) je v tomto případě kladný, jestliže natahuje spodní vlákna a stlačuje horní vlákna, posouvající síla T (s) je kladná, otáčí-li elementem v řezu ve smyslu hodinových ručiček a normálová síla N(s) je kladná, působí-li tahově - viz obr. Jinak zavedeme znaménkovou konvenci smluvně. Dále předpokládáme, že nebezpečným namáháním je namáhání ohybové, charakterizované ohybovým momentem M y (s). Průběh ohybového napětí σ o (s) podél střednice je dán vztahem σ o (s) = M y(s) W y (s) Stanovíme maximální ohybové napětí σ o,max (s) σ o,max = max{σ o (s)} 150

154 U rámů prizmatických je maximální ohybové napětí σ o,max v místě působení maximálního ohybového momentu M y,max, tedy σ o,max = M y,max W y Provedeme pevnostní kontrolu k k = σ k σ o,max > k D 151

155 Demonstrační příklady: Př.1: Navrhněte příčné rozměry obdélníkového průřezu u rovinného rámu a stanovte svislý posuv v místě B q = 10 4 Nm 1, a = 1 m, b h = 0, 5 u obdélníkového průřezu, mez kluzu σ k = 350 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2, modul pružnosti v tahu E = 2, MPa Pozn: Vzhledem k tomu, že máme stanovit také svislý posuv v místě B, kde nepůsobí osamělá síla, zavedeme do tohoto místa již na počátku výpočtu sílu doplňkovou F d. Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 3 ν = 3 s = µ ν = 3 3 = 0 Úloha je staticky určitá. 152

156 Podmínky silové rovnováhy a stykové výslednice: Fx : F Ax = 0 Fz : F Az qa F d = 0 F Az = qa + F d MA : M A + qa2 2 + F da = 0 M A = qa2 2 F da Průběhy ohybových momentů v úsecích I a II M y (x) = qx2 2 F dx M y (z) = qa2 2 F da Grafické znázornění průběhu ohybových momentů M y (s) Maximální ohybový moment: M y,max = qa2 2 = 5000 Nm Pevnostní návrh příčného průřezu: σ o,max = M y,max W y = σ k k D W y = 1 6 bh3 = 1 12 h3 153

157 12M y,max h 3 = σ k k D h = 3 12My,max k D = σ k 350 = 70, 0 mm Kvadratický moment průřezu J y : b = 0, 5h = 35 mm J y = 1 12 bh3 = = 1, mm 4 Stanovení svislého posuvu v místě B pomocí Castiglianovy věty: w B = W F d = 1 EJ y = 1 EJ y a 0 a 0 M y (x) M y F d dx + ) ( qx2 2 F dx ( x) dx + = 1 EJ y a 0 qx 3 2 dx + 2a 0 2a 0 qa 3 2 dz 2a 0 M y (z) M y dz = F d ) ( qa2 2 F da = 7qa4 8EJ y ( a) dz = w B = = 41, 7 mm 8 2, ,

158 Př.2: Proved te pevnostní kontrolu rovinného rámu znázorněného na obrázku. M = 5000 Nm, a = 1 m, mez kluzu σ k = 400 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2 Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 4 ν = 3 s = µ ν = 4 3 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Fx : F Ax = 0 Fz : F Az + F B = 0 MB : F B a M M A = 0 155

159 Částečně uvolněný prut Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu w B = W F B = 0 Průběh ohybových momentů M y podél prutu M y (x 1 ) = F B x M y (z 1 ) = F B a M y (z 2 ) = F B a M Pozn: V souladu se zatížením a realizovaným částečným uvolněním bylo nutné vyjádřit ohybový moment ve tvaru M y (M, F B ). Za tímto účelem jsme uvolňovali prvky rámu od místa B. Řešení deformační podmínky pomocí Castigliánovy věty w B = W = 1 a M y (x) M y dx+ F B EJ y F B 0 + a 0 M y (z 1 ) M y F B dz 1 + 2a 0 M y (z 2 ) M y dz 2 = 0 F B 156

160 a F B x x dx + a F B a a dz 1 + 2a (F B a M) a dz 2 = Tato rovnice obsahuje jedinou neznámou, kterou je F B. Po vyjádření integrálů v předchozí rovnici a algebraické úpravě dostáváme pro F B F B = 3 7 M a = = 2143 N Průběh ohybových momentů M y (x) je dán dříve uvedenými vztahy, do kterých dosadíme F B. Znázorněno graficky Z průběhu je zřejmé, že maximální ohybový moment M y,max je v místě působení silové dvojice M. Jeho hodnota je rovna M y,max = 4 7 M = = 2857 Nm 157

161 Pevnostní kontrola: Kvadratický moment průřezu: J y = = 2, mm 4 z T = U y S = = 33, 52 mm J y = J y z TS = 2, , = 0, mm 4 Modul průřezu: W y = J y z ex = 0, , 52 = 1, mm 3 Maximální ohybové napětí σ o,max σ o,max = M y,max W y = , = 196, 7 MPa Bezpečnost k k = σ k σ o,max = , 7 = 2, 03 > k D = 2 Prut pevnostně vyhovuje. 158

162 Př.3: Proved te pevnostní kontrolu rovinného rámu znázorněného na obrázku. q = 10 4 Nm 1, a = 1 m, mez kluzu σ k = 400 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2 Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 4 ν = 3 s = µ ν = 4 3 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Fx : F Ax + F Bx = 0 Fz : F Az + F Bz 2qa = 0 159

163 MA : 2qa 2 F Bx a F Bz 3a = 0 Částečně uvolněný prut F Bz = 2 3 qa F Bx 3 F Az = 2 qa F Bz = 4 3 qa + F Bx 3 Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu w B = W F Bx = 0 Průběhy ohybových momentů M y (x) a posouvajících sil T podél prutu M y (x 1 ) = F Bz x 1 = 2 3 qax 1 F Bx 3 x 1 T (x 1 ) = F Bz = 2 3 qa + F Bx 3 M y (z) = F Bz a + F Bz z = 2 3 qa2 F Bx 3 a + F Bxz T (z) = F Bx 160

164 M y (x 2 ) = F Az x 2 qx2 2 2 = 4 3 qax 2 + F Bx 3 x 2 qx2 2 2 T (x 2 ) = F Az qx 2 = 4 3 qa + F Bx 3 qx 2 Pozn: V souladu se zatížením a realizovaným částečným uvolněním bylo nutné vyjádřit ohybový moment ve tvaru M y (q, F Bx ). K tomu byla využita momentová a silová podmínka statické rovnováhy. Řešení deformační podmínky pomocí Castigliánovy věty u B = W = 1 M y (s) M y ds = 0 F Bx EJ y F Bx γ a 0 M y (x 1 ) M a y dx 1 + F Bx + a 0 + a 0 0 M y (z) M y F Bx dz + 2a ( 2 3 qax 1 F ) (x1 ) Bx 3 x 1 dx [ 2 3 qa2 F ( Bx 3 a + F Bx z a ) ] ( z a ) 3 3 2a 0 ( 4 3 qax 2 + F ) (x2 ) Bx 3 x 2 qx M y (x 2 ) M y F Bx dx 2 = 0 dx 2 = 0 dz + Tato rovnice obsahuje jedinou neznámou, kterou je F Bx. 161

165 Po vyjádření integrálů v předchozí rovnici a algebraické úpravě dostáváme pro F B F Bx = 5 4 qa = 1, N Průběh ohybových momentů M y (x) je dán dříve uvedenými vztahy, do kterých dosadíme F Bx, což znázorníme graficky Z průběhu je zřejmé, že maximální ohybový moment M y,max může být bud v místě x 1 = a anebo v místě lokálního extrému x 2,ex. Maximální moment zjistíme porovnáním obou hodnot. M y (x 1 = a) = 2 3 qa2 F Bx 3 a = 1, Nm T (x 2,ex ) = 0 = 4 3 qa + F Bx 3 qx 2,ex = 0 x 2,ex = 1 q ( 4 3 qa 5 ) 12 qa = a = 0, 9167 m M y (x 2,ex ) = 4 3 qax 2,ex + F Bx 3 x 2,ex qx2 2,ex 2 = 0, Nm M y (x 2 = 3a) = M y (x 1 = a) = 1, Nm 162

166 Pevnostní kontrola: Kvadratický moment průřezu: J y = = 3, mm 4 Modul průřezu: W y = J y z ex = 3, = 6, mm 3 Maximální ohybové napětí σ o,max σ o,max = M y,max W y = 1, , = 180, 4 MPa Bezpečnost k k = σ k = 400 σ o,max 180, 4 = 2, 21 > k D Prut pevnostně vyhovuje. 163

167 7.7.3 Pruty zakřivené a pruty smíšené - demonstrační příklady Omezíme se na pruty slabě zakřivené (str ) a pruty smíšené, sestávající z částí, které můžeme považovat za pruty slabě zakřivené a dále z přímých úseků. Teorie k těmto příkladům je uvedena v příslušných kapitolách. Př.1: Navrhněte průměr d kruhového průřezu a stanovte úhel natočení ϕ C a svislý průhyb u C v místě C u prutu dle obrázku: M = 10 3 Nm, R = 0, 5 m, mez kluzu σ k = 350 MPa, bezpečnost k k = 2, modul pružnosti v tahu E = 2, MPa Pozn: Vzhledem k tomu, že máme stanovit také svislý posuv v místě C, kde nepůsobí žádné osamělá síla, zavedeme do tohoto místa již na počátku výpočtu veličinu doplňkovou F d. Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 3 ν = 3 s = µ ν = 3 3 = 0 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. 164

168 Fx : F Ax = 0 Fz : F Az + F B F d = 0 F Az = M 2R + F d 2 MA : M + F d R F B 2R = 0 F B = M 2R + F d 2 Průběhy ohybových momentů v úsecích I a II ( M M y (ϕ 1 ) = F B (R R cos ϕ 1 ) = 2R + F ) d (R R cos ϕ) 2 M y (ϕ 2 ) = F Az (R R cos ϕ 2 ) = ( M 2R + F ) d (R R cos ϕ) 2 Grafické znázornění průběhu ohybových momentů M y (x) Maximální ohybový moment: M y,max = M 2 = 500 Nm 165

169 Pevnostní návrh příčného průřezu: σ 0,max = M y,max W y = σ k k k W y = πd M y,max h 3 = σ k k k h = 3 32My,max k k = π σ k π 350 Kvadratický moment průřezu: J y = πd4 64 = 4, mm 4 = 30, 8. = 31 mm Stanovení úhlu natočení ϕ C v místě C pomocí Castiglianovy věty: = 1 EJ y π 2 0 ϕ C = W M = M y (ϕ 1 ) M π 2 y M R dϕ M y (ϕ 2 ) M y M R dϕ 2 = = 1 EJ y π 2 0 ( M 2R + F ) d (R R cos ϕ 1 ) 2 ( ) 1 (R R cos ϕ 1 ) R dϕ 1 + 2R + π 2 0 ( M 2R + F ) ( d (R R cos ϕ 2 ) 1 ) 2 2R (R R cos ϕ 2 ) R dϕ 2 = 166

170 = MR 2EJ y ( ) 3 4 π 2 = , , = 4, rad = 0, 268 ( ) 3 4 π 2 = Stanovení svislého posuvu u C v místě C pomocí Castiglianovy věty u C = W F d = 1 EJ y π 2 0 M y (ϕ 1 ) M π 2 y R dϕ 1 + F d 0 M y (ϕ 2 ) M y R dϕ 2 = F d 1 EJ y π 2 0 ( M 2R + F ) d (R R cos ϕ 1 ) (R R cos ϕ 1) R dϕ π 2 0 ( M 2R + F ) d 2 (R R cos ϕ 2 ) 1 2 (R R cos ϕ 2) R dϕ 2 = 0 167

171 Př.2: Proved te pevnostní kontrolu prismatického prutu znázorněného na obrázku. q = 500 Nm 1, R = 1 m, h = 15 mm, mez kluzu σ k = 400 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2, 5 Poměrná tloušt ka v zakřivené části h 15 R je rovna 500 = 0, 03, což je hodnota značně menší než mezní poměr h R = 1 5 = 0, 2. Prut v této oblasti tedy můžeme považovat za slabě zakřivený. Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 4 ν = 3 s = µ ν = 4 3 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Fx : F Ax = 0 Fz : F Az + F B 2qR = 0 MA : M A 4qR 2 + 3F B R = 0 168

172 Částečně uvolněný prut Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu w B = W F B = 0 Průběhy ohybových momentů M y (s) a posouvajících sil T (s) podél prutu M y (x) = F B x qx2 2 T (x) = F B + qx M y (ϕ) = F B (2R + R sin ϕ) 2qR(R + R sin ϕ) T (ϕ) = F B cos ϕ + 2qR cos ϕ N(ϕ) = F B sin ϕ 2qR sin ϕ Pozn: V souladu se zatížením a realizovaným částečným uvolněním bylo nutné vyjádřit ohybový moment ve tvaru M y (M, F B ). Toho bylo dosaženo tak, že prvky prutu byly uvolňovány z pravé strany, od místa B, kde působí F B. 169

173 Řešení deformační podmínky pomocí Castigliánovy věty w B = W F B = 1 EJ y 2R 0 M y (x) M y F B dx + π 2 0 M y (ϕ) M y R dϕ = 0 F B 2R 0 (F B x qx2 2 ) x dx+ + π 2 [F B (2R + R sin ϕ) 2qR(R + R sin ϕ)] (2R + R sin ϕ)r dϕ = 0 0 Tato rovnice obsahuje jedinou neznámou, kterou je F B. Po vyjádření integrálů v předchozí rovnici a algebraické úpravě dostáváme pro F B F B = qr π = 1, 1543 qr = 288, 6 N π Průběh ohybových momentů M y (x) je dán dříve uvedenými vztahy do kterých dosadíme F B. Znázorněno graficky 170

174 Z průběhu je zřejmé, že maximální ohybový moment M y,max může být bud v místě vetknutí ϕ = π 2, nebo v místě lokálního extrému x ex v přímé části prutu. Příslušné hodnoty je zapotřebí vypočítat a následně porovnat. M y (ϕ = π 2 ) = 3F BR 4qR 2 = 288, 6 1, , 5 2 = 67, 1 Nm T (x ex ) = 0 = F B + qx ex = 0 x ex = F B q = 288, = 0, 5772 m M y (x ex ) = F B x ex qx2 ex 2 = 288, 6 0, , = 83, 3 Nm Pevnostní kontrola: Modul průřezu: W y = h3 6 = = 562, 5 mm3 Maximální ohybové napětí σ o,max σ o,max = M y,max W y = 83, , 5 = 148, 1 MPa Bezpečnost k k = σ k σ o,max = , 1 = 2, 70 > k D = 2, 5 Prut pevnostně vyhovuje. 171

175 8 NAMÁHÁNÍ NA KRUT 8.1 Základní vztahy pro napětí a deformaci v řezu Potřebné vztahy pro napjatost a deformaci odvodíme pro idealizovaný případ prostého krutu. Def.: Prostým krutem rozumíme namáhání přímého prismatického prutu kruhového nebo mezidruhového průřezu, je-li splněno a) platí obecné prutové předpoklady b) příčné průřezy zůstávají v průběhu zatěžování rovinnými a otáčejí se kolem střednice, která zůstává přímá c) jedinou složkou VVU je kroutící moment M k (x), který je konstantní po celé délce prutu V prvním kroku stanovíme kroutící moment M k (x) na základě podmínky rovnováhy uvolněného prvku prutu. Momentová podmínka Mx : M k (x) = M 1 (8.127) 172

176 V dalším kroku stanovíme průběh přetvoření (zkosu) γ a napětí τ v příčném řezu na základě příslušné pracovní podmínky ad b) ds = γ dx = r d ϕ γ = r d ϕ dx Nyní aplikujeme Hookeův zákon pro prostý smyk = rϑ (8.128) τ(r) = Gγ(r) = G d ϕ dx r (8.129) Průběhy zkosu γ(r) a smykového napětí τ(r) v průřezu jsou tedy lineárně závislé na souřadnici r. Průběh napětí je uveden na následujícím obrázku 173

177 Z praktických důvodů je vhodné vyjádřit zkos γ(r) a smykové napětí τ(r) v závislosti na namáhání, tj. kroutícím momentu M k (x). Za tímto účelem využijeme podmínku momentové ekvivalence M k (x) = ψ τ(r) r ds = G d ϕ dx ψ r 2 ds M k (x) = G d ϕ dx J p = G ϑ(x)j p (8.130) ze které stanovíme veličinu d ϕ, která představuje vzájemný úhel natočení krajních řezů elementu prutu délky dx (zkroucení elementu), ϑ je poměrný úhel zkroucení d ϕ = M k(x) GJ p dx (8.131) Natočení ϕ(x) průřezu v místě x vzhledem k levému okraji prutu je rovno M k (x) ϕ = d ϕ = dx (8.132) GJ p γ a pro natočení (zkroucení) celého prismatického prutu zatíženého silovými dvojicemi M na obou koncích prutu ϕ(l) obdržíme γ ϕ(l) = Ml GJ p dx (8.133) Po dosazení rovnice (8.4) do (8.3) a algebraické úpravě dostáváme vztah pro průběh smykového napětí τ(r) v obvyklé podobě τ(r) = M k J p r (8.134) 174

178 Pro maximální smykové napětí τ v krajním vlákně r = R platí τ = τ(r) = M k J p R = M k W k (8.135) kde veličina W k se nazývá modul průřezu v krutu, který je definován následovně W k = J p R (8.136) Pro kruhový a mezikruhový průřez dostáváme W k = J p D 2 = πd 4 32 D 2 = πd3 16 W k = J p D 2 = πd 4 32 πd4 32 D 2 = π 16D (D4 d 4 ) 175

179 8.2 Pevnostní kontrola Stanovíme maximální smykové napětí τ max v prutu τ max = max {τ(x)} (8.137) U prismatických prutů je možné provést přímo kontrolu v nebezpečném průřezu s maximálním kroutícím momentem M k,max τ max = M k,max W k (8.138) Bezpečnost vůči smykové mezi kluzu τ k je potom rovna k k = kde k D je dovolená, resp. doporučená, bezpečnost. τ k τ max k D (8.139) V případě, že v materiálovém listě nenalezneme mez kluzu ve smyku τ k, lze ji stanovit na základě podmínky mezního stavu pružnosti (podmínek plasticity) maximálního smykového napětí (podmínka Trescova) resp. podmínky oktaedrického smykového napětí (podmínka HMH), viz kapitola o napjatosti τ k = 0, 5 σ k τ k = 0, 577 σ k - podmínka Trescova - podmínka HMH 176

180 8.3 Energie napjatosti Potřebné vztahy odvodíme na základě práce vnitřních sil da na elementu dω délky dx, viz obrázek dw = da = 1 2 M k ϕ M k( ϕ + d ϕ) dw = 1 2 M k ϕ 5 = M 2 k dx 2GJ p (8.140) Energie napjatosti celého prutu je potom rovna dw = γ dw = γ Mk 2 (x) dx (8.141) 2GJ p Energie napjatosti W prismatického prutu zatíženého na koncích silovými dvojicemi M je dán následujícím vztahem W = M 2 l 2GJ p (8.142) Úhel natočení v místě působení silové dvojice M je možné stanovit také pomocí Castiglianovy věty ϕ M = W M = M k (x) M k dx (8.143) 2GJ p M γ 177

181 8.4 Vliv odchylek od případu prostého krutu na napjatost Zde se omezíme pouze na vliv změny průřezu prutu podél střednice, která může být spojitá nebo skoková (konstrukční vrub). Vliv spojité změny průřezu: Z momentové podmínky rovnováhy subelementu dω 1 vyplývá, že na válcové ploše musí působit smykové napětí τ, což je porušení prutové napjatosti, kdy napětí mohou působit pouze v příčném řezu. V dalším předpokládáme, že toto napětí je podstatně menší než smykové napětí v krajním vlákně (τ τ) a můžeme je tedy zanedbat. 178

182 Vliv skokové změny průřezu (vrubu): V místě vrubu vzniká obecná prostorová napjatost a dochází zde rovněž ke koncentraci napětí. V rámci prosté PP se tento problém řeší smluvním způsobem, zavedením tzv. součinitele koncentrace napětí α τ, kterým se násobí nominální napětí τ nom stanovené pomocí teorie prosté pružnosti pro prut a to pro menší průřez ve vrubu τ max = α τ τ nom = α τ M k W k = α τ 16M 1 d 3 (8.144) Bezpečnost v místě vrubu je potom rovna k k = τ k τ max k D (8.145) Na rozdíl od spojité změny průřezu je vliv skokové změny průřezu na napjatost podstatný a většinou ho není možné zanedbat. Deformace prutu, v našem případě úhel natočení ϕ, nebývá vruby příliš ovlivněna, protože jde o veličinu integrální, na které se podílejí především přímé úseky prutu, kde teorie prosté PP platí s dostatečnou přesností. 179

183 8.5 Válcová pružina s malým stoupáním Jedním z typických strojních dílů, kde je možné aplikovat vztahy odvozené pro idealizovaný případ prostého krutu je válcová pružina s malým stoupáním ϕ, viz obr. Ke stanovení posunutí δ volného konce pružiny zatíženého silou F je přitom možné velice efektivně použít energetického přístupu, kdy energie napjatosti W je rovna práci vnější síly F. Naším cílem nyní bude pevnostní kontrola pružiny a stanovení tzv. zapružení δ. Pevnostní kontrola M k = F R cos ϕ. = F R τ = M k = 16M k W k πd 3 Energie napjatosti W k k = τ k τ max k D W = M 2 k l 2GJ p = M 2 k 2πRn 2G πd4 32 = 32M 2 k Rn Gd 4 = 32F 2 R 3 n Gd 4 W = A = 1 2 F δ Posuv zatíženého konce pružiny (zapružení): δ = 64F R3 n Gd 4 180

184 8.6 Namáhání na krut, demonstrační příklady Př.1: Navrhněte příčné rozměry prutu mezikruhového průřezu a stanovte úhel natočení ϕ B v místě B M 1 = 1000 Nm, M 2 = 1000 Nm, M 3 = 600 Nm, a = 0, 5 m, d D = 0, 8 u mezikruhového průřezu, mez kluzu ve smyku τ k = 200 MPa, bezpečnost k k = 2, modul pružnosti ve smyku G = 0, MPa Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 3 ν = 3 s = µ ν = 3 3 = 0 Úloha je staticky určitá. Podmínka silové rovnováhy a styková výslednice: M : MA + M 1 + M 2 M 3 = 0 M A = M 1 + M 2 M 3 = = 1400 Nm 181

185 Průběhy kroutících momentů M k (x) v úsecích I, II a III stanovíme z momentových podmínek statické rovnováhy každého uvolněného prvku. Vektor M k (x) v příčném řezu v místě x přitom považujeme za kladný, má-li směr vnější normály řezu. M k (x 1 ) = M 3 = 600 Nm M k (x 2 ) = M 3 + M 2 = 400 Nm M k (x 3 ) = M 3 + M 2 + M 1 = 1400 Nm Grafické znázornění průběhu kroutících momentů M k (x) Maximální kroutící moment: M k,max = 1400 Nm 182

186 Pevnostní návrh příčného průřezu: τ max = M k,max W k = M k,max π 16D (D4 d 4 ) = 16M k,max πd 3 (1 α 4 ) = τ k k D 16M D = 3 k,max k D = π(1 α 4 )τ k π(1 0, 8 4 ) 200 = 49, 4 =. 50 mm d = αd = 0, 8 50 = 40 mm Polární moment průřezu J p : J p = π 32 (D4 d 4 ) = π 32 ( ) = 3, mm 4 Stanovení úhlu natočení ϕ B v místě B pomocí zkroucení jednotlivých úseků ϕ B = M k,i l i GJ p,i = = 1 GJ p [M k (x 1 ) 0, 5a + M k (x 2 ) a + M k (x 3 ) a] = = , , ( 600 0, , , 5) = = 0, rad = 1,

187 Stanovení úhlu natočení ϕ B v místě B pomocí Castiglianovy věty + ϕ B = W M 3 = 1 GJ p 1,5a 0,5a M k (x 2 ) M k M 3 dx 2 + = 1 GJ p 0,5a 0 0,5a 0 2,5a 1,5a M k (x 1 ) M k M 3 dx 1 + M k (x 3 ) M k dx 3 = M 3 ( M 3 ) ( 1) dx ,5a ( M 3 + M 2 ) ( 1) dx ,5a 1,5a 0,5a ( M 3 + M 2 + M 1 ) ( 1) dx 3 = = 1 GJ p [M 3 0, 5a + (M 3 M 2 ) a + (M 3 M 2 M 1 ) a] = = 0, 0258 rad = 1,

188 Př.2: Proved te pevnostní kontrolu prismatického prutu znázorněného na obrázku. M = 1000 Nm, a = 0, 5 m, D = 40 mm, d = 30 mm, mez kluzu τ k = 200 MPa, dovolená bezpečnost k D = 2 Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 2 ν = 1 s = µ ν = 2 1 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínka statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Částečně uvolněný prut M A + M B M = 0 185

189 Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu ϕ B = W M B = 0 Průběh kroutících momentů M k (x) podél prutu M k (x 1 ) = M B M k (x 2 ) = M B M M k (x 2 ) = M B M Pozn: V souladu se zatížením a realizovaným částečným uvolněním bylo nutné vyjádřit ohybový moment ve tvaru M y (M, M B ). Za tím účelem byly uvolňovány prvky prutu z pravé strany, kde působí M B. Řešení deformační podmínky pomocí Castigliánovy věty ϕ B = W M B = a 0 M k (x 1 ) GJ p1 M k M B dx a a M k (x 2 ) GJ p2 M 3a k dx 2 + M B 2a M k (x 3 ) GJ p3 M k M B dx 3 = 0 a 0 M 2a B 1 dx 1 + GJ p1 a M B M 3a 1 dx 2 + GJ p2 2a M B M GJ p3 1 dx 3 = 0 M B a GJ p1 + (M B M)a GJ p2 + (M B M)a GJ p3 = 0 / GJ p 1 (= J p2 ) a 186

190 M B = M B + M B M + M B J p1 J p3 M J p 1 J p3 = 0 Z této rovnice již lze stanovit jedinou neznámou, kterou je moment ve vetknutí M B ) M + 1 ( ) Jp1 M J p3 + 1 J p1 J p3 + 2 = ( πd 4 32 πd4 32 πd 4 32 D 4 d 4 D = 627 Nm Průběh ohybových momentů M y (x) je dán dříve uvedenými vztahy do kterých dosadíme za M B. Znázorněno graficky Z průběhu je zřejmé, že maximální ohybový moment M k,max je v úseku I a má hodnotu M B. Z hlediska namáhání jde zároveň o nebezpečný úsek, protože je zde minimální modul průřezu W k, což suma sumárum vede k maximálnímu smykovému napětí τ max. 187

191 Pevnostní kontrola: Modul průřezu W k,1 = J p D 2 = π 16D (D4 d 4 ) = π ( ) = 8590 mm 3 Maximální smykové napětí τ max τ max = M k,max W k = = 73, 0 MPa Bezpečnost k k = Prut pevnostně vyhovuje. τ k = 200 τ max 73 = 2, 74 > k D = 2 Pozn: Deformační podmínku je možné v našem příkladu řešit také na základě principu superposice použitím vztahu odvozeného pro zkroucení prismatického prutu. Natočení prutu v místě B ϕ M pouze od silové dvojice M se musí rovnat v absolutní hodnotě natočení ϕ MB pouze od stykové výslednice M B tak, aby výsledné natočení v uložení bylo nulové ϕ M = ϕ MB Ma + Ma = M B a GJ p3 GJ p2 GJ p3 + M B a GJ p2 + M B a GJ p1 (J p1 = J p2 ) ( ) Jp1 M B + 2 J p3 ( ) Jp1 = M + 1 J p3 M B = ( ) Jp1 M J p3 + 1 J p1 J p

192 9 MEZNÍ STAV VZPĚRNÉ STABILITY PRUTŮ Definice: Mezním stavem vzpěrné stability rozumíme stav, kdy se změní charakter podstatné deformace a to ze stlačování na ohyb. Pro pochopení problematiky nejprve uvedeme výsledky experimentu se stlačovaným přímým prutem obdélníkového průřezu. Postupně zvětšujeme zatížení F a měříme průhyb uprostřed prutu w ( ) l 2 Prut se začíná významněji prohýbat při dosažení kritického zatížení F s, což odpovídá dosažení mezního stavu stability prutu. Ohyb se přitom děje kolem osy y, která je minimální hlavní centrální osou kvadratického momentu průřezu. M y (x) EJ y = 1 R = w (x) (1 + w (x) 2 ) 3 2 (9.146) M y (x) = F w(x) (9.147) 189

193 Dosazením (1) do (2) obdržíme F w(x) EJ y = 1 R = w (x) (1 + w (x) 2 ) 3 2 (9.148) Jde o diferenciální rovnici 2. řádu s obecným řešením ve tvaru w(x) = w(f, x, C 1, C 2 ) (9.149) kterou poprvé vyřešil Lagrange pro následující okrajové podmínky x = 0 w(0) = 0 x = l d. = l w(l) = 0 Lagrangeovo řešení je znázorněno v následujícím obrázku který vykazuje dvě rozdílné oblasti a) F < F v - prut je stlačován b) F > F v - existují dvě řešení: 1) prut je stlačován, jde o případ labilní rovnováhy 2) prut je ohýbán, jde o případ stabilní rovnováhy 190

194 Místo na grafu F = F v se nazývá bodem rozdvojení rovnováhy. Do tohoto stavu stabilní stlačování se stává labilním a stabilním se stává ohyb. Z porovnání s úvodním obrázkem plyne, že teoreticky stanovený bod rozdvojení rovnováhy odpovídá meznímu stavu stability ideálního přímého prutu, tedy F s = F v. V praxi nedovolujeme ohýbání stlačovaného prutu, který musí být dostatečně bezpečný vůči MS stability. Při výpočtu se potom stačí omezit pouze na stanovení F v, a to v oblasti, kde jsou w a w zanedbatelné. Touto cestou se poprvé vydal Euler, jehož řešení si tu uvedeme 191

195 Eulerovo řešení pro ideální přímý prut Předpoklady řešení: střednice prutu je přímka, síla F působí přesně v ose, průřez je prizmatický a nešroubový, prut je dostatečně štíhlý, materiál prutu je homogenní, isotopický a nekonečně pevný. Předpokládáme prut obdélníkového průřezu, osy y a z jsou hlavními centrálními osami kvadratických momentů průřezu. Ohyb se děje kolem osy minimálního KM, v našem případě tedy kolem osy y Při odvození se vychází z diferenciální rovnice průhybové čáry, která má v souladu s (9.1) a s přihlédnutím ke znaménkové konvenci následující tvar EJ y w (x) = M y (x) (9.150) Ohybový moment M y (x) stanovíme z momentové podmínky pro prvek prutu, uvolněný ve zdeformovaném stavu M y (x) = F w (9.151) 192

196 Dosadíme (9.6) do (9.5) a zavedeme parametr p definičním vztahem (9.8) EJ y w (x) = F w w (x) + F EJ y w = 0 (9.152) Po dosazení (8) do (7) obdržíme p 2 = F EJ y (9.153) w (x) + p 2 w(x) = 0 (9.154) Jde o homogenní diferenciální rovnici 2. řádu s následujícím obecným řešením (viz matematika) w(x) = C 1 sin px + C 2 cos px (9.155) Aplikací okrajové podmínky prutu na spodním okraji x = 0, w(0) = 0 do rovnice (9.10) dostaneme pro integrační konstantu C 2 = 0 a jejím zpětným dosazením do (9.10) potom rovnici průhybové čáry prutu, kterou je sinusovka w(x) = C 1 sin px (9.156) Na tuto rovnici nyní aplikujeme okrajovou podmínku platnou na horním okraji x = l, w(l) = 0, což vede k rovnici (9.12) 0 = C 1 sin pl (9.157) 193

197 Tato podmínka je splněna, platí-li a) C 1 = 0, přičemž p a tedy i zatížení F dle (8) může být libovolné, což odpovídá labilnímu stlačování b) sin pl = 0 pl = kπ (13) kde k = 0, 1,..., n V dalším se soustředíme na případ b) popsaný (9.13), který odpovídá ohýbanému prutu. Z množiny možných řešení vybereme to, které vede k minimálnímu zatížení F, tedy je nejnebezpečnější. V tomto případě k = 1 a na základě (9.13) dostáváme pl = π (9.14) Dosazením (9.8) do (9.14) a algebraickou úpravou dostáváme finální vztah (9.15) pro velikost kritické síly F v F v l = π F v = π2 EJ y (9.15) EJ y l 2 Podmínku (9.14) dále vložíme to rovnice průhybové čáry (9.12) a obdržíme w(x) = C 1 sin π l x (9.16) Průhyb uprostřed prutu je roven w ( π l ) = C1 sin π 2 = C 1 (9.17) kde C 1 je jakákoliv konstanta. Průhyb zde je tedy neurčitý a je znázorněn na předchozím obrázku svislou čarou, která graficky představuje Eulerovo řešení. 194

198 9.1 Vliv odchylek od ideálního případu Vliv zakřivení střednice a excentrického působení vnějšího zatížení F Předpokládáme střednici před zatížením ve tvaru sinusovky w 0 (x) = δ sin π l x (9.18) Ohybový moment M y (x) je roven M y (x) = F [e + w 0 (x) + w(x)] (9.19) a po dosazení do diferenciální rovnice průhybové čáry (9.5) dostáváme EJ y w (x) + F w(x) = F e F w 0 (x) (9.20) Řešení diferenciální rovnice (9.20) je uvedeno ve skriptech. Z jejího rozboru vyplývá, že bod rozdvojení rovnováhy v tomto případě neexistuje. Při zatížení F = F v však dochází k podstatnému zvětšení průhybu w. 195

199 9.1.2 Vliv proměnlivosti průřezu a modulu pružnosti E podél střednice Bod rozdvojení rovnováhy a tedy i mezní stav vzpěrní stability existuje. Velikost kritické síly F v závisí na průběhu funkce EJ y = f(x) - viz skripta Vliv uložení prutu Abychom posoudili vliv uložení na velikost kritické síly F v řešme úlohu s tužší vazbou, viz obrázek Ohybový moment M y (x) M y (x) = M B + F w(x) (9.21) Dosadíme do (9.8) a po úpravě dostaneme diferenciální rovnici průhybové čáry (9.23) w (x) + F EJ y w(x) = M B EJ y (9.22) 196

200 Obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice (9.23) má tvar w(x) = C 1 sin px + C 2 cos px + A (9.23) kde A je partikulární integrál, který musí vyhovovat (9.23) F A = M B A = M B EJ y EJ y F (9.24) Zpětným dosazením do (9.24) obdržíme w(x) = C 1 sin px + C 2 cos px + M B F (9.25) Pro aplikaci jedné okrajové podmínky potřebujeme rovněž derivaci průhybové čáry (9.26) w (x) = C 1 p cos px C 2 p sin px (9.26) Pro stanovení integračních konstant nyní formulujeme okrajové podmínky úlohy: x = 0 w(0) = 0 (26) 0 = C 2 + M B F C 2 = M B F x = 0 w (0) = 0 (27) 0 = C 1 p C 1 = 0 x = l w(l) = 0 (26) 0 = C 1 sin pl + C 2 cos pl + M B F M B F cos pl + M B F = 0 M B (1 cos pl) = 0 F 197

201 Předchozí rovnice je splněna, platí-li cos pl = 1 pl = k 2π k = 1,..., n (9.27) Z množiny řešení pro různá k vybíráme to, které vede k minimální kritické síle F v, tj. pro k = 1. Po dosazení za p dle (9.8) obdržíme relaci pro kritickou sílu F v F v l = 2π F v = 4π2 EJ y (9.28) EJ y l 2 Ukazuje se, že vliv uložení na velikost kritické síly F v je podstatný. Podle druhu uložení rozeznáváme čtyři případy Eulerova vzpěru, uvedené na následujícím obrázku Vztah pro kritickou sílu F v je možné zobecnit zavedením součinitele uložení α následovně F v = α2 EJ y l 2 (9.29) Tuhost uložení u případů na obrázku roste zleva doprava. Poměr kritických síl pro oba krajní případy je 16 : 1, což je závislost podstatná. 198

202 9.1.4 Vliv reálného materiálu Při odvozování vztahů jsme doposud předpokládali, že materiál prutu je nekonečně pevný a lineárně pružný. U skutečného materiálu může meznímu stavu vzpěrné stability předcházet mezní stav pružnosti, případně mezní stav křehké pevnosti. Při pevnostní kontrole nás zajímá první aktuální mezní stav, který nastane při nejmenším vnějším zatížení. Podívejme se nyní z tohoto pohledu na tlakové namáhání prutu z reálného materiálu a to bud ve stavu tvárném, charakterizovaném mezí kluzu v tlaku σ kd σ k nebo ve stavu křehkém, charakterizovaném mezí pevnosti v tlaku σ Rd. Nejprve se zaměříme na materiál ve stavu tvárném. Meznímu stavu vzpěrné stability prutu odpovídá následující tlakové napětí σ v = F v S 30 = α2 EJ y Sl 2 = α2 Ei 2 ys Sl 2 = α2 E ( ) 2 = l i y α 2 E λ 2 (9.30) kde veličina λ je tzv. štíhlost prutu definovaná následovně λ = l i y (9.31) Relace (9.32) představuje tzv. Eulerovu hyperbolu, kterou je možné znázornit graficky 199

203 Hodnotě napětí σ v = σ k odpovídá mezní štíhlost λ k σ v = σ k (31) α2 E λ 2 = σ k λ k = která rozděluje předchozí obrázek na dvě oblasti 1) λ < λ k prut je tlustý a aktuálním mezním stavem je mezní stav pružnosti 2) λ λ k prut je štíhlý a aktuálním mezním stavem je mezní stav vzpěrné stability Materiál ve stavu křehkém, grafické znázornění α 2 E σ k (9.32) Hodnotě napětí σ v = σ Rd odpovídá mezní štíhlost λ Rd σ v = σ Rd (33) α2 E λ 2 R = σ Rd λ k = která rozděluje předchozí obrázek na dvě oblasti 1) λ < λ Rd prut je tlustý a aktuálním mezním stavem je mezní stav křehké pevnosti 2) λ λ Rd prut je štíhlý a aktuálním mezním stavem je mezní stav vzpěrné stability α 2 E σ Rd (9.34) 200

204 9.2 Pevnostní kontrola přímého stlačovaného prutu Předpokládáme, že materiál prutu je ve stavu tvárném, charakterizovaném mezí kluzu σ k 1) Na základě geometrických charakteristik prutu stanovíme poloměr setrvačnosti průřezu prutu i y a štíhlost prutu λ i y = Jy S λ = l i y 2) Podle typu uložení stanovíme součinitel α a vypočteme mezní štíhlost λ k λ k = α 2 E σ k 3) V závislosti na příslušné relaci vypočteme bezpečnost bud vzhledem k meznímu stavu vzpěrné stability nebo vůči meznímu stavu pružnosti a) λ λ k F v = α2 EJ y l 2 k v = F v F k D b) λ < λ k σ = F S k k = σ k σ Pozn: Vzhledem k vysoké nebezpečnosti mezního stavu vzpěrné stability jsou dovolené resp. doporučené bezpečnosti značně vysoké, např. k D = 4 resp. 5. U materiálu ve stavu křehkém se postupuje analogicky. 201

205 9.3 Demonstrační příklad Př.1: Proved te pevnostní kontrolu přímého prutu osově zatíženého tlakovou silou F. Materiál prutu je ve stavu tvárném. F = 2000 N, l = 3 m, E = 2, MPa, mez kluzu σ k = 350 MPa, k D = 4 Minimální hlavní centrální kvadratický moment J min. Z obrázku průřezu je zřejmé, že jde o kvadratický moment J y J y = = 1, mm 4 Poloměr kvadratického momentu i y a štíhlost prutu λ i y = Jy S = 1, = 12, 55 mm λ = l i y = , 55 = 239, 0 Podle způsobu uložení jde o 1. případ Eulerova vzpěru se součinitelem uložení - α = π 2 202

206 Kritická štíhlost prutu λ k λ k = α 2 E σ k = λ k = (π 2) 2 E σ k = λ k = π2 2, = 38, 5 Vzhledem k tomu, že skutečná štíhlost prutu λ = 239, 0 je větší než kritická štíhlost λ k = 38, 5, aktuálním mezním stavem je mezní stav vzpěrné stability. Kritická síla F v = ( π 2 ) 2 EJy l 2 = π2 2, , ( ) 2 = N Bezpečnost k v = F v F = = 5, 21 > k D = 4 Prut pevnostně vyhovuje. 203

207 10 NAPJATOST V BODĚ TĚLESA Definice: Napjatostí v bodě tělesa rozumíme množinu obecných napětí f ρ, působících ve všech ρ, procházejícím tímto bodem. V úvodní kapitole PPI jsme bez důkazu uvedli, že napjatost je určena tenzorem napětí T σ. Nyní se budeme napjatostí zabývat podrobněji. Příslušné vztahy si odvodíme a předchozí výrok dokážeme Základní vztahy pro napětí v obecném řezu Základním krokem ke stanovení obecného napětí f ρ je uvolnění elementárního čtyřstěnu v okolí obecného bodu A rovinnými řezy, obsahujícími obecnou rovinu ρ a následná formulace podmínek statické rovnováhy 204

208 Poloha obecného řezu ρ je určena jednotkovým vektorem normály e ρ jehož složkami jsou směrové kosiny α x, α y a α z kde e ρ = α x i + α y j + α z k (10.35) Zapsáno maticově α x = cos α x α y = cos α y α z = cos α z {α} = α x α y α z T (10.36) Pro směrové kosiny platí známý vztah α 2 x + α 2 y + α 2 z = 1 (10.37) 205

209 Vektor obecného napětí f ρ je vyjádřen následovně Zapsáno maticově Podmínky statické rovnováhy f ρ = f ρ,x α x + f ρ,y α y + f ρ,z α z (10.38) {f ρ } = f ρ,x f ρ,y f ρ,z T (10.39) Fx : f ρ,x ds = σ x ds x + τ yx ds y + τ zx ds z / 1 ds Po úpravě s uvážením dsx ds = α x atd. obdržíme f ρ,x = σ x α x + τ yx α y + τ zx α z Analogicky f ρ,y = τ xy α x + σ y α y + τ zy α z (10.6) f ρ,z = τ xz α x + τ yz α y + σ z α z Zapsáno maticově f ρ,x f ρ,y f ρ,z = σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy τ xz τ yz σ z α x α y α z (10.7) A symbolicky {f ρ } = [T σ ] {α} (10.8) 206

210 Kde veličina T σ je tzv. tenzor napětí, který je z důvodu platnosti věty o sdruženosti smykových napětí (τ xy = τ yx atd.) vyjádřen symetrickou maticí, obsahující 6 nezávislých prvků. Z matematického pohledu jde o symetrický tenzor druhého řádu. Obecné napětí fρ má složku normálovou σ ρ a smykovou τ ρ, které získáme jako průměty do příslušných směrů pomocí skalárních součinů σ ρ = e ρ fρ = {α} T {f ρ } = {α} T [T σ ]{α} (10.9) τ ρ = e η fρ = {β} T {f ρ } = {β} T [T σ ]{α} (10.10) Smykové napětí můžeme vypočítat rovněž pomocí Pythagorovy věty τ ρ = f 2 ρ σ 2 ρ = f 2 ρ,x + f 2 ρ,y + f 2 ρ,z σ 2 ρ (10.11) Z předchozích vztahů (10.8), (10.9) a (10.10) resp. (10.11) vyplývá, že obecné napětí f ρ a jeho složky σ ρ a τ ρ v libovolném řezu ρ jsou určeny tenzorem napětí T σ. V souladu s úvodní definicí nám tedy tenzor napětí T σ popisuje napjatost v okolí obecného bodu A tělesa. Napjatost považujeme za homogenní, jestliže tenzory napětí T σ ve všech bodech tělesa jsou stejné. Pokud jsou tenzory v bodech tělesa různé, jedná se o nehomogenní napjatost. 207

211 10.2 Hlavní roviny, hlavní napětí a hlavní směry Definice: Hlavní rovina je taková rovina, kde nepůsobí smykové napětí. Příslušné normálové napětí se nazývá hlavním napětím a odpovídající směr hlavním směrem. Předpokládejme nyní, že rovina ρ i je rovinou hlavní, ve které působí hlavní napětí σ i, viz obr. Obecné napětí f ρ,i je potom rovno normálovému, tj. hlavnímu napětí σ i a má směr normály e ρ,i hlavní roviny ρ i f ρ,i = σ i e ρ,i {f ρ,i } = σ i {α i } (10.12) a pro jeho složky platí f ρ,x = σ i α x,i ; f ρ,y = σ i α y,i ; f ρ,z = σ i α z,i (10.13) 208

212 Po dosazení (10.13) do (10.6) a formální algebraické úpravě obdržíme soustavu rovnic (10.14), ke které připojíme známý vztah pro směrové kosiny f ρ,x = (σ x σ i ) α x,i + τ yx α y,i + τ zx α z,i = 0 f ρ,y = τ xy α x,i + (σ y σ i ) α y,i + τ zy α z,i = 0 (10.14) f ρ,z = τ xz α x,i + τ yz α y,i + (σ z σ i ) α z,i = 0 α 2 x,i + α 2 y,i + α 2 z,i = 1 (10.15) Relace (10.14) představují soustavu homogenních lineárních rovnic pro stanovení směrových kosinů hlavní roviny ρ i s hlavním napětím σ i. Aby řešení nebylo triviální, tj. α x,i = α y,i = α z,i = 0, což je v rozporu s (10.15), musí být determinant soustavy (10.14) nulový, což znamená, že tyto tři rovnice jsou lineárně závislé σ x σ i τ yx τ zx τ xy σ y σ i τ zy = 0 (10.16) τ xz τ yz σ z σ i Vyčíslením determinantu obdržíme tzv. charakteristickou rovnici (10.17) σ 3 i 1 σ 2 i + 2 σ i 3 = 0 (10.17) kde 1, 2 a 3 jsou tzv. invarianty tenzoru napětí T σ, jejichž hodnota se nemění při ortogonální transformaci souřadnicového systému 1 = σ x + σ y + σ z 209

213 2 = σ x τ xy τ xy σ y + σ y τ yz τ yz σ z + σ x τ zx τ zx σ z (10.18) 3 = σ x τ xy τ xz τ xy σ y τ yz τ xz τ yz σ z Hlavní napětí σ i jsou potom kořeny kubické charakteristické rovnice (10.17). Je možné dokázat, že v tomto případě jsou všechny tři kořeny σ I, σ II a σ III reálná čísla. Dále zavedeme nové číselné indexy 1, 2 a 3, tak, aby platila relace σ 1 σ 2 σ 3 (10.19) Veličina σ 1 se nazývá maximální hlavní napětí, σ 2 je střední hlavní napětí a σ 3 je minimální hlavní napětí. Poloha příslušných hlavních směrů se stanoví pomocí vybraných dvou rovnic ze soustavy (10.14) a z rovnice (10.15). Pro hlavní směr 1, příslušející hlavnímu napětí σ 1, dostáváme soustavu rovnic (σ x σ 1 ) α x,1 + τ yx α y,1 + τ zx α z,1 = 0 τ xy α x,1 + (σ y σ 1 ) α y,1 + τ zy α z,1 = 0 (10.20) α 2 x,1 + α 2 y,1 + α 2 z,1 = 1 Ze které vypočteme směrové kosiny α x,1, α y,1, α z,1 směru 1 210

214 Analogicky postupujeme při stanovení směrových kosinů α x,2, α y,2, α z,2 směru 2 a směrových kosinů α x,3, α y,3, α z,3 směru 3. Pokusme se nyní stanovit vzájemnou polohu směrů hlavních směrů 1, 2 a 3. Pro tento účel využijeme rovnic (10.12) a (10.8) {f ρ,i } = σ i {α i } = [T σ ] {α i } (10.21) Rovnici (10.21) nyní aplikujme na hlavní napětí σ 1 a potom na σ 2 σ 1 {α 1 } = [T σ ] {α 1 } / {α2 } T σ 1 {α 2 } T {α 1 } = {α 2 } T [T σ ] {α 1 } (10.22) σ 2 {α 2 } = [T σ ] {α 2 } / {α1 } T σ 2 {α 1 } T {α 2 } = {α 1 } T [T σ ] {α 2 } (10.23) Když odečteme rovnici (10.23) od rovnice (10.22) obdržíme po úpravě (σ 1 σ 2 ) {α 2 } T {α 1 } = 0 Analog. (σ 2 σ 3 ) {α 3 } T {α 2 } = 0 (10.24) (σ 3 σ 1 ) {α 1 } T {α 3 } = 0 211

215 Z předchozích vztahů plyne, že pokud velikost dvou hlavních napětí je stejná, musí být vzájemná poloha odpovídajících hlavních směrů kolmá. V případě rovnosti hlavních napětí může být vzájemný úhel odpovídajících hlavních směrů jakýkoliv a tedy může být i kolmý. Z této analýzy vyplývá, že v bodě tělesa A lze vždy vést tři navzájem kolmé hlavní směry 1, 2 a 3 ve kterých působí hlavní napětí σ 1, σ 2 a σ 3. Napjatost v bodě tělesa můžeme tedy vyjádřit pomocí hlavních napětí σ 1, σ 2 a σ 3 působících v třech vzájemně kolmých hlavních směrech, jejichž poloha je určena třemi nezávislými směrovými kosiny. Tato skutečnost souvisí s existencí tří podmínek pro součet čtverců směrových kosinů a tří podmínek ortogonality pro použitý hlavní pravoúhlý souřadnicový systém. Odvozené vztahy nám nyní dovolují přejít z obecného souřadnicového systému x, y a z k hlavnímu souřadnicovému systému 1, 2 a 3, ve kterém má tenzor napětí T σ pouze tři nenulové členy v podobě hlavních napětí σ 1, σ 2 a σ 3, ležících na hlavní diagonále. Tato skutečnost vede ke značnému zjednodušení matematických formulací, což využijeme v dalších kapitolách. 212

216 10.3 Hlavní souřadnicový systém, vztahy pro obecné napětí a jeho složky Naším cílem je nyní stanovit obecné napětí f ρ a jeho složky σ ρ a τ ρ v obecném řezu ρ, jehož poloha je určena směrovými kosiny α 1, α 2 a α 1, viz obr. V hlavním souřadnicovém systému platí formálně stejné vztahy, které byly odvozeny pro obecný souřadnicový systém. Při určení obecného napětí f ρ vyjdeme z rovnice (10.8) {f ρ } = [T σ ] {α} Vyjádřeno maticově f ρ,1 f ρ,2 f ρ,3 = σ σ σ 3 α 1 α 2 α 3 (10.25) Složky obecného napětí jsou potom rovny f ρ,1 = σ 1 α 1 f ρ,2 = σ 2 α 2 f ρ,3 = σ 3 α 3 (10.26) 213

217 Pro velikost obecného napětí f ρ dostáváme vztah f ρ = σ1 2α2 1 + σ2 2 α2 2 + σ2 3 α2 3 (10.27) Normálové napětí je dáno průmětem obecného napětí f ρ do normály roviny, což realizujeme pomocí skalárního součinu σ 1 α 1 σ ρ = {α} T {f ρ } = α 1 α 2 α 3 σ 2 α 2 σ 3 α 3 σ ρ = σ 1 α σ 2 α σ 3 α 2 3 (10.28) Smykové napětí τ ρ v obecné rovině ρ potom vypočteme pomocí Pythagorovy věty τ ρ = fρ 2 σρ 2 = = (σ 1 σ 2 ) 2 α 2 1 α2 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 α 2 2 α2 3 + (σ 3 σ 1 ) 2 α 2 3 α2 1 (10.29) V teorii plasticity hraje významnou roli tzv. oktaedrická rovina, jejíž normála svírá se souřadnicovými osami stejný úhel. Příslušné smykové napětí τ o dostaneme dosazením odpovídajících směrových kosinů α 1 = α 2 = α 3 = α 0 = 1 3 do předchozí rovnice τ o = 1 3 (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 (10.30) 214

218 10.4 Znázornění napjatosti v Mohrově rovině, Mohrovy kružnice Jedním z atributů symetrických tenzorů druhého řádu, jakým je tenzor napětí T σ, je možnost grafického znázornění příslušného stavu (napjatosti), v našem případě v Mohrově rovině σ ρ, τ ρ. Za účelem odvození potřebných vztahů řešme nyní následující inversní úlohu: Napjatost je dána hlavními napětími σ 1 σ 2 σ 3. Dále jsou dána dvě čísla, která představují normálové napětí σ ρ a smykové napětí τ ρ v obecném řezu ρ. Máme zjistit, zda taková rovina reálně existuje a v kladném případě stanovit její polohu. Úlohu řešíme v hlavním souřadnicovém systému 1,2 a 3. Pro matematickou formulaci úlohy využijeme rovnice (10.27) a (10.28), doplněné o známý vztah pro součet čtverců směrových kosinů σ 2 1α σ 2 2α σ 2 3α 2 3 = σ 2 ρτ 2 ρ σ 1 α σ 2 α σ 3 α 2 3 = σ ρ (10.31) α α α 2 3 = 1 215

219 Jde o soustavu 3 lineárních rovnic pro stanovení čtverců směrových kosinů α1, 2 α2 2 a α3, 2 které lze vyjádřit např. Cramerovým pravidlem σρ 2 + τρ 2 σ2 2 σ 2 3 σ ρ σ 2 σ 3 α1 2 = D = D S σ1 2 σ2 2 σ 2 3 σ 1 σ 2 σ Po provedené algebraické úpravě obdržíme α1 2 = D 1 = τ ρ 2 + (σ ρ σ 2 )(σ ρ σ 3 ) D S (σ 1 σ 2 )(σ 1 σ 3 ) Analog. α2 2 = D 2 = τ ρ 2 + (σ ρ σ 1 )(σ ρ σ 3 ) D S (σ 2 σ 1 )(σ 2 σ 3 ) (10.32) α3 2 = D 3 = τ ρ 2 + (σ ρ σ 1 )(σ ρ σ 2 ) D S (σ 3 σ 1 )(σ 3 σ 2 ) Pro čtverce směrových kosinů platí následující vztahy: 0 α α α (10.33) Předpokládáme-li relaci σ 1 σ 2 σ 3, potom pro splnění levých nerovností v předchozím vztahu (33) musí v souladu s (32) platit τ 2 ρ + (σ ρ σ 2 )(σ ρ σ 3 ) 0 τ 2 ρ + (σ ρ σ 1 )(σ ρ σ 3 ) 0 τ 2 ρ + (σ ρ σ 1 )(σ ρ σ 2 ) 0 (10.34) 216

220 První ze vztahů (10.34) lze formálně upravit následovně σ 2 ρ σ ρ (σ 2 + σ 3 ) + τ 2 ρ + σ 2 σ 3 0 Analog. ( σ ρ σ 2 + σ 3 2 ( ( σ ρ σ 2 + σ 3 2 σ ρ σ 1 + σ 3 2 ( σ ρ σ 1 + σ 2 2 ) 2 ( + τ 2 σ2 + σ ) 2 3 ρ + σ2 σ ) 2 ( ) 2 + τ 2 σ2 σ 3 ρ 2 ) 2 ( ) 2 +τ 2 σ1 σ 3 ρ (10.35) 2 ) 2 ( ) 2 + τ 2 σ1 σ 2 ρ 2 Rovnice (10.35) vymezují v Mohrově rovině σ ρ, τ ρ oblast mezi tzv. Mohrovými kružnicemi. Pravé strany nerovností (10.34), které jsme zde neuplatnili, nemají na tuto skutečnost žádný další vliv (viz skripta). 217

221 Oblast mezi Mohrovými kružnicemi, včetně nich znázorňuje složky napětí σ ρ, τ ρ ve všech ρ, které můžeme bodem tělesa vést, graficky tedy vyjadřuje napjatost v bodě tělesa. Z obrázku názorně vyplývají vztahy pro maximální normálové napětí σ ρ,max a τ ρ,max σ ρ,max = σ 1 τ max = σ 1 σ 3 2 (10.36) V rovině maximálního smykového napětí působí rovněž normálové napětí σ ρ,τmax σ ρ,τmax = σ 1 + σ 3 2 (10.37) Polohu roviny maximálního smykového napětí lze vypočítat dosazením τ ρ,max a σ ρ,τmax do rovnic (10.35) 2 α 1 = ± 2 2 α 2 = 0 α 3 = ± 2 Vektor normály roviny maximálního smykového napětí τ ρ,max je symetrálou hlavních směrů 1 a 3, viz obr. 218

222 10.5 Zvláštní případy napjatosti Rovinná napjatost Při rovinné napjatosti je jedno z hlavních napětí rovno nule. V našem případě necht σ III = 0. Do hlavního směru III vložíme obecnou souřadnicovou osu z. Hledejme nyní obecné napětí f ρ a jeho složky σ ρ a τ ρ v řezu ρ, rovnoběžném s osou z, jehož normála e ρ svírá s osou x úhel ϕ, viz obrázek. Smykové napětí τ ρ v řezu ρ přitom považujeme za kladné, otáčí-li elementem v řezu ve směru hodinových ručiček. Jelikož směr z je směrem hlavním, platí pro složky napětí v příslušné hlavní rovině σ z = σ II = 0 τ zx = τ zy = 0 (10.38) a tenzor napětí T σ má v tomto případě tvar σ x τ xy 0 T σ = τ xy σ y (10.39) 219

223 Obecné napětí f ρ a jeho složky vypočteme aplikací obecného vztahu (10.8) - {f ρ } = [T σ ] {α}, který musí platit i pro rovinnou napjatost f ρ,x σ x τ xy 0 cos ϕ f ρ,y = τ xy σ y 0 sin ϕ (10.40) f ρ,z Složky obecného napětí jsou rovny f ρ,x = σ x cos ϕ + τ xy sin ϕ f ρ,y = τ xy cos ϕ + σ y sin ϕ (10.41) f ρ,z = 0 A velikost obecného napětí f ρ stanovíme pomocí Pythagorovy věty f ρ = fρ,x 2 + fρ,y 2 = = (σ x cos ϕ + τ xy sin ϕ) 2 + (τ xy cos ϕ + σ y sin ϕ) 2 (10.42) Normálové napětí σ ρ získáme jako průmět obecného napětí f ρ do směru normály řezu e ρ pomocí skalárního součinu σ ρ = {α} T {f ρ } = cos ϕ sin ϕ σ x cos ϕ + τ xy sin ϕ τ xy cos ϕ + σ y sin ϕ = = σ x cos 2 ϕ + 2τ xy sin ϕ cos ϕ + σ y sin 2 ϕ = = σ x + σ y 2 + σ x σ y 2 cos 2ϕ + τ xy sin 2ϕ (10.43) 220

224 Smykové napětí τ ρ představuje průmět obecného napětí f ρ do tečného směru η definovaného směrovými kosiny {β}: {β} = cos(90 ϕ) cos(180 ϕ) T = sin ϕ cos ϕ T τ ρ = sin ϕ cos ϕ σ x cos ϕ + τ xy sin ϕ τ xy cos ϕ + σ y sin ϕ = σ x sin ϕ cos ϕ + τ xy sin 2 ϕ τ xy cos 2 ϕ σ y cos ϕ sin ϕ = = σ x σ y 2 sin 2ϕ τ xy cos 2ϕ (10.44) Poloha hlavního směru I se určí z definice příslušné hlavní roviny τ ρ = 0 = σ x σ y 2 sin 2ϕ I τ xy cos 2ϕ I tan 2ϕ I = 2τ xy σ x σ y ϕ I = 1 2 arctan 2τ xy σ x σ y (10.45) Odpovídající hlavní napětí σ I potom odpovídá normálovému napětí v této hlavní rovině σ I = σ ρ (ϕ = ϕ I ) = σ x + σ y 2 + σ x σ y 2 cos 2ϕ I τ xy sin 2ϕ I (10.46) Hlavní směr II je k hlavnímu směru I kolmý, tedy ϕ II příslušné hlavní napětí ϕ II je rovno = ϕ I + π 2 a σ II = σ ρ (ϕ = ϕ II ) = σ x + σ y 2 + σ x σ y 2 cos 2ϕ II τ xy sin 2ϕ II (10.47) Rovnice (10.46) a (10.47) představují v Mohrově rovině rovnici kružnice. Úhlu ϕ mezi dvěma směry resp. mezi dvěma řezy ρ a ρ odpovídá dvojnásobný směrový úhel 2ρ na Mohrově kružnici. 221

225 Příslušnou Mohrovu kružnici můžeme nakreslit bud pomocí vypočtených nenulových hlavních napětí σ I a σ II, nebo graficky, pomocí složek napětí ve dvou vzájemně kolmých řezech x a y Po stanovení obou nenulových hlavních napětí σ I a σ II zavedeme nové označení pomocí arabských číslic 1, 2 a 3 tak, aby byla splněna pro nás již známá relace σ 1 σ 2 σ 3. V příkladu uvedeném na předchozím obrázku dostáváme pro nenulová hlavní napětí σ 1 a σ 2 následující vztah σ 1,2 = σ x + σ y 2 (σx + σ ) 2 y ± + τ 2 2 xy (10.48) 222

226 Prutová napjatost a prostý smyk Jde o specifické případy rovinné napjatosti. U prutové napjatosti je element zatížen následovně σ 1,3 = σ x 2 ± (σx ) 2 + τ 2 2 xy = σ (σ ) 2 2 ± + τ 2 (10.49) 2 U prostého smyku je jediným nenulovým napětím smykové napětí τ xy = τ. Zatížení elementu a odpovídající Mohrova kružnice vypadají následovně Pro nenulová hlavní napětí σ 1 a σ 3 platí σ 1,3 = ±τ xy = ±τ (10.50) Hlavní směry 1,2 přitom svírají se základními osami x,y úhel

227 10.6 Klasifikace napjatosti Typ napjatosti závisí na hodnotách hlavních napětí. Při našich úvahách stále předpokládáme platnost relace σ 1 σ 2 σ 3. a) Trojosá (prostorová) napjatost. Všechna tři hlavní napětí jsou nenulová - obecná Všechna hlavní napětí jsou vzájemně různá, tedy σ 1 σ 2 σ 3 - polorovnoměrná Dvě hlavní napětí jsou stejná - rovnoměrná Všechna hlavní napětí jsou stejná σ 1 = σ 2 = σ 3 224

228 b) Dvojosá (rovinná) napjatost. Jedno hlavní napětí je nulové, σ i = 0 - obecná Obě nenulová hlavní napětí jsou vzájemně různá - rovnoměrná Obě nenulová hlavní napětí jsou stejná - prutová Napjatost je určena složkami napětí σ a τ na jedné stěně elementu 225

229 - smyková Na element působí pouze smykové napětí τ c) Jednoosá (přímková) napjatost. Dvě hlavní napětí jsou nulová - tahová Nenulové hlavní napětí je tahové - tlaková Nenulové hlavní napětí je tlakové 226

230 11 MEZNÍ STAVY MATERIÁLU Omezíme se na podmínku mezního stavu pružnosti pro materiál ve stavu tvárném a podmínku mezního stavu křehké pevnosti pro materiál ve stavu křehkém Mezní stav pružnosti Jde o takový mezní stav (MS), po jehož překročení vznikají v bodě tělesa první plastické deformace. Příslušná podmínka se v literatuře nazývá podmínka plasticity. Při její formulaci vyjdeme ze základního poznatku teorie dislokací, dle kterého k plastické deformaci dochází, jestliže smykové napětí v určité (vhodné) krystalografické skluzové rovině dosáhne kritické hodnoty τ krit. Přeneseme-li tuto myšlenku do prostředí mechaniky lze tvrdit, že o vzniku plastických deformací rozhoduje smykové napětí v jisté charakteristické rovině Podmínka plasticity maximálního smykového napětí τ max V tomto případě je onou charakteristickou rovinou rovina maximálního smykového napětí τ max. Jde přitom o prvotní podmínku plasticity při monotonním zatěžování z nezatíženého stavu. Příslušnou podmínku lze slovně vyjádřit následovně: Mezního stavu pružnosti je dosaženo, jestliže maximální smykové napětí τ max dosáhne mezní hodnoty τ Mk, která je materiálovou charakteristikou. Nezávisí tedy na stavu napjatosti a lze ji proto stanovit na základě tahové zkoušky. 227

231 Vyjádřeno matematicky s následnou aplikací známého vztahu (10.36) pro maximální smykové napětí τ max = (σ 1 σ 3 ) 2 τ max = τ Mk = (σ 1 σ 3 ) 2 (11.51) Tento vztah nyní v souladu s předchozím postulátem aplikujeme na zkoušku tahem σ 1 = σ k σ 2 = σ 3 = 0 (11.52) Po dosazení (11.2) do (11.1) obdržíme relaci pro mezní napětí τ Mk τ Mk = σ k 2 (11.53) které dosadíme do (10.1), čímž získáme po jednoduché algebraické úpravě finální podmínku plasticity τ max v bodě tělesa. Přitom předpokládáme platnost relace σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 3 = σ k (11.54) V literatuře je tato podmínka někdy označována jako Trescova dle původního autora. Jejím zajímavým rysem je skutečnost, že nezávisí na velikosti středního hlavního napětí σ

232 Předchozí podmínku je možné graficky vyjádřit v Haighově prostoru hlavních napětí σ 1, σ 2 a σ 3. Při grafickém znázornění není splněna podmínka σ 1 σ 2 σ 3. V závislosti na poloze příslušného bodu v Haighově prostoru je možné formulovat šest následujících podmínek σ 1 σ 2 σ k σ 2 σ 1 σ k σ 2 σ 3 σ k σ 3 σ 2 σ k (11.55) σ 3 σ 1 σ k σ 1 σ 3 σ k z nichž každá představuje rovinu a spolu vytvářejí povrch šestibokého hranolu s osou v symetrále prostoru σ 1 = σ 2 = σ 3, viz obrázek Pro rovinnou napjatost (σ 3 = 0) obdržíme mezní křivku ve tvaru šestiúhelníka, který vznikne jako průsečnice mezní plochy (hranolu) se souřadnicovou plochou σ 1, σ

233 Podmínku plasticity τ max lze rovněž graficky vyjádřit v Mohrově rovině σ ρ, τ ρ formou mezní přímky ve vzdálenosti σ k 2, jak plyne z rovnice (11.4) vydělené dvěma σ 1 σ 3 2 = σ k 2 (11.56) Maximální Mohrovy kružnice se při dosažení MS pružnosti této mezní přímky dotýkají. V případě prutové napjatosti má s ohledem na vztah (10.49) pro hlavní (σ napětí σ 1,3 = σ 2 ± 2 2) + τ 2 podmínka plasticity τ max následující tvar (σ ) 2 σ 1 σ 3 = 2 + τ 2 = σ τ 2 = σ k (11.57) U smykové napjatosti vypadá podmínka plasticity následovně kde veličina τ k se nazývá mez kluzu ve smyku. τ = τ k (11.58) S ohledem na relaci (10.50) pro hlavní napětí - σ 1,3 = ±τ dostáváme následující relaci pro mez kluzu ve smyku dle podmínky plasticity τ max σ 1 σ 3 = τ ( τ) = 2τ = 2τ k = σ k τ k = σ k 2 (11.59) 230

234 Podmínka plasticity oktaedrického smykového napětí τ okt V tomto případě je onou charakteristickou rovinou rovina oktaedrická se smykovým napětí τ o. Jde opět o prvotní podmínku plasticity při monotonním zatěžování z nezatíženého stavu. Příslušnou podmínku lze slovně vyjádřit následovně: Mezního stavu pružnosti je dosaženo, jestliže oktaedrické smykové napětí τ o dosáhne mezní hodnoty τ Ok, která je materiálovou charakteristikou. Nezávisí tedy na stavu napjatosti a lze ji proto stanovit na základě tahové zkoušky. Vyjádřeno matematicky s následnou aplikací vztahu (10.30) pro oktaedrické smykové napětí τ o = 1 3 (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 τ o = 1 3 (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 = τ Ok (11.60) Tento vztah nyní v souladu s předchozím postulátem aplikujeme na zkoušku tahem σ 1 = σ k σ 2 = σ 3 = 0 (11.61) Po dosazení (11.11) do (11.10) obdržíme relaci pro mezní napětí τ Ok 2 3 σ k = τ Ok (11.62) které dosadíme do (11.10), čímž získáme po jednoduché algebraické úpravě finální podmínku plasticity τ okt v bodě tělesa. 2 2 (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 = σ k (11.63) 231

235 V literatuře je tato podmínka někdy označována podle autorů jako podmínka HMH (Hencky, Mises, Huber), případně jako podmínka Misesova. Předchozí podmínku (11.13) je možné opět graficky vyjádřit v Haighově prostoru hlavních napětí σ 1, σ 2 a σ 3. Vztah (11.13) po umocnění představuje rovnici válcové plochy s osou v symetrále Haighova prostoru σ 1 = σ 2 = σ 3, viz obrázek Válcová mezní plocha plasticity dle podmínky τ okt je opsána mezní ploše ve tvaru šestibokého hranolu, příslušející předchozí podmínce plasticity τ max. Pro rovinou napjatost (σ 3 = 0) obdržíme mezní křivku ve tvaru elipsy, která vznikne jako průsečnice mezní plochy (válce) se souřadnicovou plochou σ 1, σ 2. Tato křivka je opět opsána mezní křivce ve tvaru šestiúhelníka, příslušející podmínce plasticity τ max. 232

236 Za účelem grafického vyjádření podmínky plasticity τ okt v Mohrově rovině zavádíme tzv. Lodeho parametr µ ω, vyjadřující velikost středního hlavního napětí σ 2 následovně σ 2 = σ 1 + σ µ σ σ 1 σ 3 2 (11.64) Vyjádříme-li σ 2 v podmínce (11.13) pomocí Lodeho parametru dle (11.14), dospějeme po algebraické úpravě k formálně jednoduššímu tvaru podmínky plasticity τ okt σ 1 σ 3 = 2σ k 3 + µ 2 ω (11.65) pomocí kterého, po vydělení dvěma můžeme parametrickou formou graficky znázornit podmínku plasticity τ okt v Mohrově rovině σ 1 σ 3 2 = σ k 3 + µ 2 ω (11.66) Z porovnání vztahů (11.4) a (11.15) vyplývá, že největší rozdíl mezi podmínkami plasticity τ okt a τ max je v případě µ ω = 0 ( σ 2 = σ 1+σ 3 ) 2, kdy na pravé straně rovnice (15) vystupuje 1, 155 σ k, což představuje rozdíl mezi oběma podmínkami 15,5%. V případě µ σ = 1 jsou obě podmínky plasticity shodné. 233

237 V případě prutové napjatosti s ohledem na vztah (10.49) pro hlavní napětí σ 1,3 = σ 2 ± (σ 2 ) 2 + τ 2 a s uvážením σ 2 = 0 po dosazení do (11.13) má podmínka plasticity τ okt následující tvar σ2 + 3τ 2 = σ k (11.67) U smykové napjatosti vypadá podmínka plasticity následovně τ = τ k (11.68) kde veličina τ k se nazývá mez kluzu ve smyku. Po dosazení (11.18) do (11.17), s uvážením σ = 0 dostáváme po jednoduché formální úpravě následující relaci pro mez kluzu ve smyku τ k dle podmínky plasticity τ okt τ k = σ k 3 (11.69) 234

238 11.2 Mezní stav křehké pevnosti Jde o takový mezní stav (MS), po jehož dosažení je celistvost tělesa porušena křehkým lomem. Při matematické formulaci podmínky MS křehké pevnosti vyjdeme z poznatků lomové mechaniky. Křehký lom vzniká iniciací a rychlým šířením trhliny, vytvářející lomovou plochu. O vzniku a šíření trhliny rozhoduje normálové napětí napětí σ ρ a smykové napětí τ ρ v charakteristické rovině ρ před čelem trhliny. Zatímco normálové napětí σ ρ vede k otevírání trhliny, smykové napětí τ ρ přispívá ke vzniku plastické zóny před čelem trhliny. V rámci mechaniky kontinua je možné podmínku MS křehké pevnosti postulovat následovně: O vzniku mezního stavu křehké pevnosti rozhoduje normálové napětí σ ρ a smykové napětí τ ρ v charakteristické rovině ρ. Podmínku takového MS stavu je potom možné matematicky vyjádřit následovně Aσ ρ + Bτ ρ + C = 0 (11.70) Zde vystupující veličiny A, B a C jsou materiálovými charakteristikami. Dále se zaměříme na podmínku MS křehké pevnosti MOS, která je kombinací podmínky maximálního hlavního napětí a Mohrovy podmínky. 235

239 Podmínka MS křehké pevnosti maximálního smykového napětí: V tomto případě je charakteristickou rovinou ρ rovina maximálního hlavního napětí σ 1. Složky napětí σ ρ a τ ρ v hlavní v této rovině jsou rovny σ ρ = σ 1 τ ρ = 0 (11.71) což dosadíme do obecného vztahu (11.20) a dostáváme Aσ 1 + C = 0 σ 1 = C A (11.72) Konstanty v tomto vztahu stanovíme z podmínky při tahové zkoušce σ 1 = σ Rt σ 2 = σ 3 = 0 (22) C A = σ Rt (11.73) a po dosazení do (11.22) obdržíme podmínku MS křehké pevnosti maximálního hlavního napětí ve finálním tvaru σ 1 = σ Rt (11.74) 236

240 Mohrova podmínka MS křehké pevnosti Charakteristickou rovinou ρ je v tomto případě rovina maximálního smykového napětí ρ τmax se složkami napětí σ ρ a τ ρ dle (10.36) σ ρ = σ 1 + σ 3 2 τ ρ = σ 1 σ 3 2 (11.75) Po dosazení do rovnice (11.20) a formální algebraické úpravě dostáváme A σ 1 + σ 3 + B σ / 1 σ 3 + C = A σ 1 + σ B A σ 1 σ C A = 0 (11.76) Dvě neznámé konstanty B A a C A stanovíme aplikací předchozí rovnice na případ tahové a tlakové zkoušky. Tahová zkouška: σ 1 = σ Rt σ 2 = σ 3 = 0 (26) σ Rt 2 + B A σ Rt 2 + C A = 0 (11.77) Tlaková zkouška: σ 1 = σ Rt σ 2 = σ 3 = 0 (26) σ Rd 2 + B A σ Rd 2 + C A = 0 (11.78) 237

241 Z rovnic (11.27) a (11.28) vypočteme dvě neznámé materiálové konstanty B A a C A, které dosadíme do rovnice (11.26). Po formální algebraické úpravě obdržíme konečný tvar Mohrovy podmínky MS křehké pevnosti σ 1 κσ 3 = σ Rt (11.79) kde materiálový parametr κ (kappa) je definován jako podíl mezí pevnosti v tahu a tlaku následovně κ = σ Rt σ Rd (11.80) Kombinovaná podmínka mezního stavu křehké pevnosti MOS má potom tvar max{σ 1 κσ 3, σ 1 } = σ Rt (11.81) Při grafickém znázornění podmínky MS křehké pevnosti MOS v Haighově prostoru uplatníme zvlášt Mohrovu podmínku a zvlášt podmínku maximálních hlavních napětí s tím, že při grafickém znázornění není automaticky splněna relace σ 1 σ 2 σ 3, vždy záleží na poloze adekvátního bodu v Haighově prostoru. 238

242 Pro Mohrovu podmínku pak dostáváme v souladu s (11.29) následujících šest relací σ 1 κσ 2 σ Rt σ 2 κσ 1 σ Rt σ 2 κσ 3 σ Rt σ 3 κσ 2 σ Rt (11.82) σ 3 κσ 1 σ Rt σ 1 κσ 3 σ Rt z nichž každá představuje v Haighově prostoru rovinu, které společně vytvářejí povrch šestibokého jehlanu s osou na symetrále prostoru σ 1 = σ 2 = σ 3. Podmínka maximálních hlavních napětí pak vede ke třem vztahům σ 1 σ R t σ 2 σ R t σ 3 σ R t (11.83) z nichž každý představuje rovnici roviny a ty spolu tvoří trojboký jehlan s osou na symetrále prostoru σ 1 = σ 2 = σ 3. Výsledná mezní plocha MS křehké pevnosti MOS je potom dána průnikem mezních ploch Mohrovy podmínky a podmínky maximálních hlavních napětí, viz obrázek 239

243 Grafické znázornění podmínky MS křehké pevnosti MOS sestává z tečny k Mohrovým kružnicím, odpovídajícím křehkým pevnostem v tahu a tlaku, stanoveným tahovou resp. tlakovou zkouškou (Mohrova podmínka) a z přímky kolmé k ose σ ρ (podmínka maximálních hlavních napětí) - odvození viz skripta PPII. 240

244 12 PODMÍNKY BEZPEČNOSTI, PROSTÁ BEZPEČ- NOST, REDUKOVANÉ NAPĚTÍ Necht je napjatost v obecném bodě A tělesa při provozním stavu P určena hlavními napětími σ 1 σ 2 σ 3. Naším cílem je stanovit bezpečnost vůči aktuálnímu meznímu stavu (MS pružnosti resp. mezní stav křehké pevnosti). Problém je možné řešit na základě geometrických představ v Haighově prostoru (viz obr.) a to pomocí vzdálenosti příslušného bodu P od mezní plochy. Odvození provedeme pro podmínku mezního stavu pružnosti oktaedrického smykového napětí?okt, geometricky popsanou plochou plasticity ve tvaru válce. Pro exaktní řešení potřebujeme znát průběhy hlavních napětí v závislosti na zatěžování - σ 1 (Z), σ 2 (Z) a σ 3 (Z), což představuje v Haighově prostoru tzv. zatěžovací dráhu. Její průsečík M 1 s plochou plasticity určuje hlavní napětí σ 1M, σ 2M a σ 3M, odpovídající meznímu stavu pružnosti. V případě, že zatěžovací dráhu neznáme, můžeme předpokládat tzv. prosté zatěžování s přímkovou dráhou, vedoucí k průsečíku M 2, případně nejkratší přímkovou přetěžovací dráhu kolmou k mezní ploše. Podle toho jakou zatěžovací dráhu zvolíme, dostaneme bezpečnost obecnou, prostou či minimální. 241

245 Bezpečnost (koeficient bezpečnosti) v provozním stavu P lze vyjádřit takto k k = OM i OP = OP + P M i OP. = 1 + P M i OP = = 1 + (σ1m σ 1 ) 2 + (σ 2M σ 2 ) 2 + (σ 3M σ 3 ) 2 σ σ σ2 3 (12.84) V běžných pružnostně-pevnostních výpočtech určujeme prostou bezpečnost pro přímkovou zatěžovací dráhu, kde hlavní napětí rostou proporciálně. Pro bezpečnost potom platí k k = σ 1M σ 1 = σ 2M σ 2 = σ 3M σ 3 (12.85) Po dosazení (12.2) do podmínky plasticity oktaedrického smykového napětí τ okt (11.13) obdržíme 2 2 k k = (σ1m σ 2M ) 2 + (σ 2M σ 3M ) 2 + (σ 3M σ 1M ) 2 = σ k k k (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 = σ k σ k (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) = σ k (12.86) 2 σ red kde veličina σ red je redukované napětí, definované následovně σ red = 2 2 (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 (12.87) 242

246 V případě aplikace podmínky plasticity maximálního smykového napětí τ max dostáváme v souladu se (4) pro redukované napětí σ red následující vztah σ red = σ 1 σ 3 (12.88) Z relací (12.4) a (12.5) je zřejmé, že redukovaná napětí jsou dána formálně stejnými vztahy jako jsou příslušné podmínky plasticity, pouze místo hlavních napětí σ 1M, σ 2M a σ 3M v mezním stavu M tu figurují napětí σ 1, σ 2 a σ 3 ve stavu provozním P. V souladu se vztahem (12.3) je možné vyslovit následující definici redukovaného napětí σ red : Redukované napětí σ red je hodnota napětí fiktivní tahové napjatosti, přiřazené napjatosti prostorové tak, že prostá bezpečnost je vzhledem k mezi kluzu σ k stejná pro prostorovou i pro fiktivní tahovou napjatost. Tuto skutečnost je možné graficky znázornit následovně Pozor, tuto náhradu je možné uplatnit pouze pro stanovení prosté bezpečnosti, nikoliv pro jiné výpočty, např. deformace tělesa. 243

247 U prutové napjatosti je redukované napětí dle podmínky plasticity τ okt dáno v souladu s (11.17) následovně σ red = σ 2 + 3τ 2 (12.89) a při aplikaci podmínky plasticity τ max dle (11.7) platí σ red = σ 2 + 4τ 2 (12.90) Stejným postupem stanovíme redukované napětí dle podmínky křehké pevnosti MOS σ red = max{(σ 1 κσ 3 ); σ 1 } (12.91) a pro prostou bezpečnost k R vůči MS křehké pevnosti dostáváme k R = σ Rt σ red (12.92) 244

248 13 KOMBINOVANÁ NAMÁHÁNÍ 13.1 Kombinované namáhání na tah a ohyb Výslednými vnitřními silovými účinky jsou normálová síla N a ohybový moment M o. V našem případě se omezíme na prostý základní ohyb kolem osy y. Vektor VVU má potom následující tvar V V U = {N, 0, M y, 0} (13.93) Podmínky v příčném řezu v místě x vypadají následovně Vzhledem k platnosti principu superposice v oblasti lineární pružnosti je výsledné normálové napětí σ(y, z) dáno součtem napětí od ohybu a od tahu σ(y, z) = σ t (y, z) + σ o (y, z) = N S + M y J y z (13.94) 245

249 Z průběhů obou napětí po průřezu uvedených na předchozím obrázku je zřejmé, že nebezpečné místo je na spodním okraji průřezu, kde jsou maximální ohybové napětí σ o a tahové napětí σ t se stejným znaménkem σ max (x) = N S + M y W y (13.95) Ve sledovaném případě jde o jednoosou napjatost a bezpečnost v řezu je dána vztahem k k (x) = σ k σ max (x) (13.96) a pro bezpečnost celého prutu platí k k = min{k k (x)} k D (13.97) 246

250 13.2 Kombinované namáhání na ohyb a smyk Výslednými vnitřními silovými účinky v řezu v místě x jsou posouvající síla T a ohybový moment M o. V našem případě se opět omezíme na prostý základní ohyb kolem osy y. Vektor VVU má potom následující tvar V V U = {0, T, M y, 0} (13.98) Podmínky v příčném řezu v místě x vypadají následovně Ohybový moment M y způsobí ohybové napětí σ(z) a posouvající síla T vede ke vzniku smykových napětí τ(z), jejichž průběhy jsou podle (7.13) a (7.35) vyjádřeny následovně σ(z) = M y z (13.7) τ(z) = T U y ψ1 (z) (13.8) J y b(z)j y a jsou graficky znázorněny na obrázku. 247

251 Ve sledovaném případě jde o prutovou rovinnou napjatost. Pokud vyjdeme z podmínky plasticity τ max použijeme dle (12.7) pro redukované napětí σ red následující vztah σ red = σ 2 + 4τ 2 (13.9) Průběhy složek napětí σ(z) a τ(z) navozují, že nebezpečnými místy mohou být bod A s maximálním ohybovým napětím, bod B s maximálním smykovým napětím nebo bod C na přechodu stojiny do pásnice, kde jsou obě napětí vysoká. V těchto bodech vypočteme velikost σ red a jejich porovnáním určíme maximální redukované napětí σ red,max v řezu x. σ red,a = σ A σ red,b = 2τ B (13.10) σ red,c = σ 2 C + 4τ 2 C σ red,max = max{σ red,i } (13.11) Prostá bezpečnost v řezu x vůči mezi kluzu je potom rovna k k (x) = A pro bezpečnost celého prutu dostáváme σ k σ red,max (13.12) k k = min{k k (x)} k D (13.13) 248

252 13.3 Kombinované namáhání na ohyb a krut Výslednými vnitřními silovými účinky v řezu v místě x jsou ohybový moment M o a kroutící moment M k. Vektor VVU má potom následující tvar V V U = {0, 0, M o, M k } (13.14) Podmínky v příčném řezu v místě x u prutu kruhového průřezu vypadají následovně Ohybový moment M o způsobí ohybové napětí σ(z) a kroutící moment M k vede ke vzniku smykových napětí τ(r), jejichž průběhy jsou podle (7.13) a (8.8) σ(z) = M o J o z (13.15) τ(r) = M k J p r (13.16) Nebezpečnými místy průřezu jsou bodu A resp. B na obrysu průřezu, kde jsou hodnoty obou napětí maximální, viz obrázek. Jejich hodnoty jsou následující σ(a) = σ(z = R) = M o(x) W o (13.17) 249

253 τ(a) = τ(r = R) = M k(x) W k (13.18) V daném případě jde o prutovou rovinnou napjatost. Pokud vyjdeme z podmínky plasticity τ max použijeme dle (12.7) pro redukované napětí σ red následující vztah σ red (x) = σ 2 A + 4τ 2 A = M 2 o (x) W 2 o + 4 M 2 k (x) W 2 k = M red(x) W o (13.19) Při formální úpravě předchozího vztahu byla použita relace mezi moduly kruhového průřezu, dle které platí W k = 2W o. Předchozí rovnicí byl zaveden tzv. redukovaný moment M red, jehož hodnota je při použití podmínky plasticity τ max M red = Mo 2 + Mk 2 (13.20) a při aplikaci podmínky plasticity τ okt dostáváme M red = Mo 2 + 0, 75Mk 2 (13.21) Prostá bezpečnost vůči mezi kluzu v řezu x je rovna k k (x) = σ k σ red (x) (13.22) A bezpečnost celého prutu potom vypadá následovně k k = min{k k (x)} k D (13.23) 250

254 U prizmatických prutů můžeme postupovat efektivněji. Nebezpečným řezem je tu místo maximálního redukovaného momentu M red,max, který vede k maximálnímu redukovanému napětí σ red,max Bezpečnost prutu je potom rovna σ red,max = M red,max W o (13.24) k k = σ k σ red,max k D (13.25) 251

255 Demonstrační příklad: Navrhněte průměr prutu zatíženého a uloženého dle obrázku F = 10 3 N, a = 1 m, E = 2, MPa, µ = 0, 3, σ k = 400 MPa, bezpečnost k k = 2, d =? Statický rozbor pro úplně uvolněné těleso: µ = 7 ν = 6 s = µ ν = 7 6 = 1 Úloha je jedenkrát staticky neurčitá. Podmínky statické rovnováhy pro úplně uvolněný prut Fx : F Ax = 0 Fy : F Ay = 0 Fz : F Az + F B F = 0 252

256 Mx : M Ax + F B a = 0 My : M Ay + F B 2a F 2a = 0 Mz : M Az = 0 Částečně uvolněný prut Deformační podmínka pro uvolněnou vazbu w B = W = M 2 o (s)ds + F B F B 2EJ o γ γ M 2 k (s)ds 2GJ o = γ M o (s) EJ o M o ds + F B γ M k (s) GJ p M k F B ds = 0 253

257 Průběh ohybových momentů M o (s) a kroutících momentů M k (s) podél střednice prutu Mx : F B y M o (y) = 0 My : M k (y) = 0 M o (y) = F B y Mx : M k (x) + F B a = 0 M k (x) = F B a My : M o (x) F B x + F x = 0 M o (x) = F B x F x Řešení deformační podmínky pomocí Castiglianovy věty 1 EJ o a 0 2a F B y y dy + (F B x F x) x dx + 0 2(1 + µ) E 2J o 2a 0 ( F B a)( a) dx = 0 / EJ o 254

258 F B a F B a 3 3 8F a3 3 + (1 + µ)2f B a 3 = 0 / 1 a 3 F B = 8F 3(5 + 2µ) = 8F 3( , 3) = 0, 476 F = 476 N Pozn. Při řešení bylo použito známého vztahu pro modul pružnosti ve smyku G = E 2(1+µ) a vazby mezi polárním a osovým kvadratickým momentem u kruhového průřezu J p = 2J o. Průběhy ohybových momentů M o (s) a kroutících momentů M k (s) podél střednice prutu vyplývají z dříve uvedených vztahů, do kterých dosadíme vypočtené F B 255

259 Pevnostní návrh: Z průběhů M o (s) a M k (s) je zřejmé, že nebezpečným místem je bod A ve vetknutí. Maximální redukovaný moment M max,red dle podmínky plasticity τ max je roven M max,red = MoA 2 + M ka 2 = = 1151 Nm Neznámý průměr d se potom stanoví pomocí podmínky bezpečnosti a vztahu (19) pro redukované napětí σ red,max = σ k k k = M red,max W o = 16M red,max πd 3 d = 3 16Mred,max k k = πσ k π 400 =. = 30, 8 mm. = 31 mm 256

260 Příloha A: PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY Ve vztazích pro výpočet napětí a přetvoření u prutů dle teorií prosté pružnosti vystupují veličiny, které průřez při daném způsobu namáhání charakterizují. Nazývají se průřezové charakteristiky a budeme se jimi nyní zabývat souhrnně. Příčný průřez je určen rovnicí obrysové křivky u jednonásobně souvislé oblasti (viz případy a) a b)) resp. rovnicemi obrysových křivek u případu vícenásobně souvislé oblasti v lokálním souřadném systému, případ c). Potřebné vztahy odvodíme pro příčný průřez představující jednonásobně souvislou oblast, viz obrázek 257

261 1 DEFINICE PRŮŘEZOVÝCH CHARAKTERISTIK Plocha příčného průřezu S je určena vztahem S = ds = dy dx [mm 2 ] (1) ψ ψ Plocha S je veličinou s kladnou číselnou hodnotou, která nezávisí na zvoleném souřadnicovém systému. Lineární momenty průřezu U y a U z k osám y a z jsou definovány následovně U y = z ds U z = y ds [m 3 ] (2) ψ ψ Lineární momenty průřezu U y a U z jsou veličinami s kladnou nebo zápornou číselnou hodnotou, která závisí na poloze souřadnicového systému. Pomocí lineárních momentů se určují souřadnice těžiště průřezu y ds z ds y T = U z S = ψ S z T = U y S = ψ S (3) 258

262 Kvadratické momenty průřezu a) Osové kvadratické momenty J y a J z k osám y a z J y = z 2 ds J z = y 2 ds [m 4 ] (4) ψ ψ Jde o veličiny s kladnou číselnou hodnotou. b) Deviační kvadratický moment J yz k osám y a z J yz = yz ds [m 4 ] (5) ψ Jeho hodnota může být kladná, záporná nebo nulová, tedy jakékoliv reálné číslo. c) Polární kvadratický moment J p k pólu P J p = r 2 ds [m 4 ] (6) ψ K osovým kvadratickým momentům se váží tzv. poloměry osových kvadratických momentů i y a i z, definované následovně i y = Jy S i z = Jz S [m] (7) 259

263 2 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI KVADRATICKÝCH MOMENTŮ Při jejich odvození se vychází z vlastností dvojných integrálů v definičních vztazích Kvadratické momenty celého průřezu ψ k daným osám (pólu) jsou rovny součtu kvadratických momentů částí průřezu (podprůřezů) ψ 1 ke stejným osám (pólu) - viz definiční obrázek. ψ i S i J y = ψ ψ = ψ 1 ψ 2... ψ i... ψ n = i z 2 ds = i z 2 ds = i ψ i ψ i z 2 ds = S = i n Jy i (8) 1 Osové kvadratické momenty dvou symetrických průřezů k ose symetrie i k ose k ní kolmé jsou stejné. Deviační momenty k těmto osám jsou rovněž stejné, ale mají opačná znaménka. Ke každému elementu dψ 1 lze přiřadit symetrický element dψ 2 tak, že platí: z 1 = z 2 y 1 = y 2 z1 2 = z2 2, y1 2 = y2 2 ; y 1 z 1 = y 2 z 2 1 J z = y1 2 ds = y ds = J z J y = z1 2 ds = z ds = J y ψ 1 ψ 2 ψ ψ 2

264 J yz = y 1 z 1 ds = 1 2 y 2 z 2 ds = J yz ψ 1 ψ 2 Sestává-li průřez ψ ze dvou symetrických částí ψ 1 a ψ 2 (ψ = ψ 1 ψ 2 ), potom dle předchozích relací platí J z = J z + J z = 2 J z = 2 J z J y = J y + J y = 2 J y = 2 J y 1 2 J yz = J yz + J yz = 0 Předchozí vztahy je možné vyjádřit formou následujících dvou vět Osové kvadratické momenty symetrického průřezu k ose symetrie a k ose k ní kolmé jsou rovny dvojnásobku hodnot symetrických částí ke stejným osám. Deviační moment symetrického průřezu k souřadnicovým osám, z nichž alespoň jedna je osou symetrie, je nulový. Polární kvadratický moment k počátku pravoúhlého souřadnicového systému je roven součtu osových momentů k osám, které počátkem procházejí. Důkaz této poslední věty vyplývá z úvodního definičního obrázku J p = r 2 ds = (y 2 + z 2 ) ds = J z + J y (9) ψ ψ 261

265 3 KVADRATICKÉ MOMENTY PRŮŘEZU K POSUNUTÝM OSÁM Předpokládáme, že známe kvadratické momenty k osám y a z a chceme stanovit kvadratické momenty tohoto průřezu k posunutým osám y a z, viz obrázek. Transformace souřadnic vypadá následovně y = y a z = z b Při stanovení kvadratických momentů J y a J z vycházíme z definic J y = z 2 ds = (z b) 2 ds = z 2 ds 2b z ds b 2 ds ψ ψ ψ ψ ψ J y = J y 2bU y + b 2 S (10) J z = y 2 ds = (y a) 2 ds = y 2 ds 2a y ds a 2 ds ψ ψ ψ ψ ψ J z = J z 2aU z + a 2 S (11) 262

266 Pro polární kvadratický moment J p platí J p = J y + J z = J y + J z 2bU y 2aU z + (a 2 + b 2 )S (12) Deviační moment J y z je dle definice roven J y z = y z ds = (y a)(z b) ds = = ψ yz ds a ψ z ds b y ds + ab ds ψ ψ ψ ψ J y z = J yz au y bu z + abs (13) Jsou-li osy y a z centrálními osami, tedy procházejí-li těžištěm průřezu, potom platí U y = U z = 0. Předchozí vztahy se potom zjednoduší a obdržíme relace v literatuře označované jako Steinerovy věty J y = J y + b 2 S J z = J z + a 2 S J p = J p + (a 2 + b 2 )S J y z = J yz + abs (15) Na základě analýzy předchozích vztahů je možné vyslovit následující větu: Osový kvadratický moment je nejmenší k té z rovnoběžných os, která prochází těžištěm. 263

267 Pro lineární kvadratické momenty průřezu dostáváme v posunutém souřadnicovém systému v souladu s definicemi následující relace U y = z ds = (z b) ds = z ds b ds ψ ψ ψ ψ U y = U y bs (14) U z = y ds = (y a) ds = y ds a ds ψ ψ ψ ψ U z = U z as (15) Jsou-li osy y a z centrálními osami (U y = U z = 0), potom platí U y = bs U z = as (16) 264

268 4 KVADRATICKÉ MOMENTY PRŮŘEZU K NATOČENÝM OSÁM Předpokládáme, že známe kvadratické momenty k souřadnicovým osám y a z. Naším cílem je stanovit kvadratické momenty průřezu k osám y a z, natočeným v kladném smyslu o úhel ϕ, viz obrázek Transformace souřadnic y = y cos ϕ + z sin ϕ z = z cos ϕ y sin ϕ Pro osové kvadratické momenty a deviační moment k natočeným osám y a z dostáváme v souladu s příslušnými definicemi po matematické úpravě následující relace 265

269 J y = z 2 ds = (z cos ϕ y sin ϕ) 2 ds = ψ ψ 266

270 = cos 2 ϕ z 2 ds 2 sin ϕ cos ϕ zy ds + sin 2 ϕ y 2 ds ψ ψ ψ J y = J y cos 2 ϕ J yz sin 2ϕ + J z sin 2 ϕ (17) J z = y 2 ds = (y cos ϕ + z sin ϕ) 2 ds = = cos 2 ϕ ψ ψ y 2 ds 2 sin ϕ cos ϕ yz ds + sin 2 ϕ z 2 ds ψ ψ ψ J z = J y sin 2 ϕ J yz sin 2ϕ + J z cos 2 ϕ (18) J y z = y z ds = (y cos ϕ + z sin ϕ)(z cos ϕ y sin ϕ) ds = ψ ψ = cos 2 ϕ yz ds + sin ϕ cos ϕ z 2 ds ψ sin ϕ cos ϕ ψ ψ y 2 ds cos 2 ϕ ψ yz ds = = J yz cos 2 ϕ + J y sin ϕ cos ϕ J z cos ϕ sin ϕ J yz sin 2 ϕ J y z = J y J z 2 sin 2ϕ + J yz cos 2ϕ (19) 267

271 Kvadratické momenty J y, J z a J yz mají všechny atributy souřadnic tenzoru T J T J = J y J yz (20) J zy jehož složky v novém, natočeném souřadnicovém systému jsou lineárními kombinacemi souřadnic v původním souřadnicovém systému, viz vztahy (19) - (21). Mezi tyto atributy patří existence hlavního souřadnicového systému I, II, ke kterému je deviační moment J I II roven nule. Příslušné souřadnicové osy I a II se nazývají hlavními osami KM a příslušné osové momenty J I a J II pak hlavními kvadratickými momenty. Úhel ϕ I, určující polohu hlavního souřadnicového systému I, II se stanoví z definice J z J I,II = 0 = J y J z 2 tan 2ϕ I = 2J yz J y J z sin 2ϕ I + J yz cos 2ϕ I ϕ I = 1 ( ) 2 arctan 2Jyz J y J z (21) Dosazením úhlu ϕ I do vztahů (19) a (20) dostáváme příslušné hlavní kvadratické momenty J I a J II, které jsou extrémními hodnotami možných osových KM J y /1/. Dále zavedeme nové označení. Větší z obou momentů J I a J II se nazývá maximální hlavní osový KM průřezu a označuje se J 1 a menší se nazývá minimální hlavní osový KM s označením J 2. Příslušné hlavní osy KM jsou 1 a 2. Pokud hlavní souřadnicový systém 1, 2 prochází navíc těžištěm průřezu, nazývá se hlavním centrálním souřadnicovým systémem KM. Souřadnicové osy 1 a 2 jsou hlavními centrálními souřadnicovými osami a odpovídající KM se nazývají hlavními centrálními KM. 268

272 Poloha hlavních centrálních os 1 a 2, popsaná úhlem ϕ I a velikosti hlavních centrálních KM průřezu se určí pomocí vztahů (23), resp. (19) a (20), kde J y, J z a J yz jsou kvadratické momenty průřezu k libovolným osám y, z, procházejícím těžištěm průřezu. Dalším významným atributem kvadratických momentů k natočeným osám je možnost jejich grafického znázornění v Mohrově rovině, tvořené vodorovnou osou osových KM a svislou osou deviačních KM. Za účelem příslušného odvození nejprve formálně upravíme transformační vztahy (19) a (20) využitím známých goniometrických vztahů - sin 2 α = 1 cos 2α 2, cos 2 α = 1+cos 2α 2. Po úpravě dostáváme J y = J y + J z 2 J z = J y + J z 2 + J y J z 2 + J y J z 2 cos 2ϕ J yz sin 2ϕ (22) cos 2ϕ + J yz sin 2ϕ (23) V rovnici (24) převedeme první pravý člen na levou stranu, vzniklý výraz umocníme a sečteme ho s umocněným vztahem (21) pro deviační KM ( J y J ) 2 y + J z + Jyz 2 = 2 = ( Jy J z 2 2 ( Jy J z cos 2ϕ J yz sin 2ϕ) + 2 ) 2 sin 2ϕ + J yz cos 2ϕ 269

273 Po úpravě pravé strany dostáváme finální relaci (26) ( J y J ) 2 y + J z + Jyz 2 = 2 ( Jy J z 2 ) 2 + J 2 yz (24) která v Mohrově rovině představuje rovnici kružnici kružnice se středem v místě J y J z 2 a s poloměrem r (Jy J z r = 2 ) 2 + J 2 yz (25) Grafické znázornění odpovídá poměrům na předchozím obrázku Z analýzy transformačních vztahů (21), (24) a (25) vyplývá, že úhlu natočení ϕ mezi dvěma souřadnicovými systémy odpovídá dvojnásobný úhel 2ϕ mezi odpovídajícími body na Mohrově kružnici ve stejném smyslu. 270