Elementární křivky a plochy

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Elementární křivky a plochy"

Transkript

1 Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin (resp. jejich podmnožin). V této části rozšíříme množinu studovaných objektů i na nelineární křivky a plochy. Objekty a množiny objektů. Kromě popisu geometrických objektů pomocí souřadnic máme k dispozici ještě další možnosti. Můžeme použít systém rovnic f j (x 1, x 2,..., x n ) = 0, kde j = 1, 2,..., k nebo parametrické vyjádření dané předpisem x i = x i (t 1, t 2,..., t m ), kde i = 1, 2,..., n. Poznamenejme jen, že studovaný objekt je považován za souhrn dílčích objektů (nejčastěji bodů nemusí však tomu být vždy, např. svazek nadrovin je souhrn nadrovin apod.); parametry t i R potom 1

2 Geometrie II představují vnitřní souřadnice těchto dílčích objektů vztažené k lokální soustavě souřadnic celkového objektu. Např. rovina ϱ E 3 je jednoznačně určena svými homogenními souřadnicemi ñ = (n 0, n 1, n 2, n 3 ), dále ji můžeme chápat jako množinu bodů, jejichž souřadnice x i vyhovují rovnici f(x) = n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 0 = 0, popř. lze použít parametrické vyjádření x = x(t 1, t 2 ) = a + t 1 u + t 2 v, kde n = u v, přičemž (t 1, t 2 ) jsou vnitřní souřadnice bodů roviny ϱ vztažené k lokálnímu souřadnému systému S A; u, v. Počet navzájem nezávislých souřadnic dílčích objektů, které jsou nutné k jednoznačnému určení jistého dílčího objektu, udává dimenzi celkového objektu, který je souhrnem uvedených dílčích objektů. Přitom n+1 homogenních souřadnic udává stejnou dimenzi jako n nehomogonenních souřadnic, tj. dimenzi n. Jedna rovnice f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 s n proměnnými souřadnicemi x i dílčích objektů popisuje (n 1)-dimenzionální objekt. Každá další nezávislá rovnice snižuje dimenzi vždy o 1. Aplikujme výše uvedené poznatky na konkrétní příklady. Prostor E 3 má tedy jakožto množina rovin dimenzi 3 (každá rovina má 4 homogenní souřadnice). Rovina ϱ jakožto souhrn bodů má dimenzi 2 (každý bod roviny je jednoznačně určen 2 parametry u, v lokální souřadnice). Lineární rovnice v proměnných x 1, x 2, x 3 (souřadnice bodů v E 3 ) popisuje rovinu jako dvojdimenzionální bodovou množinu; rovnice v proměnných n 0, n 1, n 2, n 3 (homogenní souřadnice roviny v E 3 ) popisuje dvoudimenzionální množinu rovin, která je částí prostoru E 3 jakožto souhrnu všech rovin. Svazek nadrovin má dimenzi 1, neboť každá nadrovina svazku je popsána dvěma homogenními souřadnicemi t 0, t 1. A.2 Křivky a jejich tečny Ačkoliv je pojem křivky dosti názorný, z hlediska matematického je poměrně složitě definovatelný. Zjednodušeně řečeno, křivkou nebo její 2

3 A.2. Křivky a jejich tečny částí budeme rozumět jednodimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru E n. DEFINICE A.2.1: Křivkou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru E n, jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem x = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), kde x i (t) jsou reálné funkce reálné proměnné t definované na nějakém intervalu I R, které mají spojité derivace podle t alespoň prvního řádu. Přísluší-li několika hodnotám parametru t jediný bod, pak takovýto bod nazýváme několikanásobný. Jestliže chápeme parametr t jako čas, potom křivka k : x = x(t) představuje dráhu. Uvažujme nyní dva různé body křivky X 0 : x(t 0 ) a X : x(t) = x(t 0 + h). Přímka spojující tyto dva body je sečnou křivky k se směrovým vektorem 1 h (x(t 0 + h) x(t 0 )). Přímku, která je limitním případem sečny X 0 X pro X X 0, nazýváme tečna křivky v bodě X 0. Její směrový vektor pak nabývá tvaru ẋ 0 = d dt x(t x(t 0 + h) x(t 0 ) x(t) x(t 0 ) 0) = lim = lim = h 0 h t t0 t t 0 = lim t t0 x 1(t) x 1(t 0) t t 0 x 2(t) x 2(t 0) t t 0 x 3(t) x 3(t 0) t t 0 = dx 1(t 0) dt dx 2(t 0) dt dx 3(t 0) dt. Bod x 0 = x(t 0 ) křivky k se nazývá regulární, jestliže existuje derivace ẋ 0 = d dt x(t 0) 0; v regulárním bodě x 0 křivky k je možné jednoznačně sestrojit tečnu této křivky, jejíž parametrická rovnice je y(λ) = x 0 + λẋ 0. 3

4 Geometrie II Body křivky, které nejsou regulární označujeme jako singulární. Křivka, která je tvořena výhradně regulárními body, se nazývá hladká. Jestliže opět interpretujeme parametr t jako čas a tím pádem x(t) jako dráhu, potom vektor ẋ(t) představuje rychlost. Rovinné křivky. V eukleidovské rovině E 2 můžeme body křivky (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření k : x = x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)), kde t J R, popř. můžeme použít implicitní rovnici nebo explicitní rovnici k : f(x 1, x 2 ) = 0 k : x 2 = g(x 1 ). Zvláštním typem rovinných křivek jsou křivky, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně: k : a ij x i 1x j 2 = a 00 + a 10 x 1 + a 01 x 2 + a 11 x 1 x = 0, i,j=0 kde n = max(i + j). Tyto křivky nazýváme algebraické křivky n-tého stupně; algebraické křivky stupně n = 2, 3, 4... se nazývají kuželosečky, kubiky, kvartiky... Není-li f polynomem, křivka k : f(x 1, x 2 ) = 0 se nazývá transcendentní. A.3 Plochy a jejich tečné roviny Obdobně jako v případě křivky nám pro první vymezení poslouží pojem dimenze. Plochou nebo její částí budeme rozumět dvoudimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru E n. 4

5 A.3. Plochy a jejich tečné roviny DEFINICE A.3.1: Plochou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru E n, jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem x = (x 1 (u, v), x 2 (u, v),..., x n (u, v)), kde x i (u, v) jsou reálné funkce dvou reálných proměnných u, v definované na dvojrozměrné oblasti B R 2, které mají spojité parciální derivace alespoň prvního řádu. Parametry u, v představují vnitřní křivočaré souřadnice bodů plochy P tzv. Gaussovy souřadnicemi. Jestliže v parametrickém vyjádření x = x(u, v) plochy P položíme u = u 0 = konst., resp. v = v 0 = konst., dostáváme jednoparametrické rovnice x = x(u 0, v), resp. x = x(u, v 0 ), které v obou případech popisují křivky ležící na ploše P. Pro u = u 0 = konst. dostáváme tzv. v-křivky, pro v = v 0 = konst. dostáváme tzv. u-křivky plochy P (tzv. parametrické křivky). Souhrn u- a v křivek vytváří na ploše tzv. souřadnicovou síť. Pro pevně zvolený bod X 0 = x(u 0, v 0 ) na ploše P představuje x u = u x(u 0, v 0 ) směrový vektor tečny u-křivky v bodě X 0 ; x u = v x(u 0, v 0 ) směrový vektor tečny v-křivky v bodě X 0. Odchylka ϕ tečen parametrických křivek v bodě X udává odchylku parametrických křivek v bodě X a platí cos ϕ = x u x v x u x v. Je-li ve všech bodech plochy ϕ = π 2, potom hovoříme o tzv. ortogonální síti. Jestliže pro bod X = x(u 0, v 0 ) P platí n(u 0, v 0 ) = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) o, nazýváme jej regulární bod plochy P s parametrizací x = x(u, v). V opačném případě hovoříme o singulárním bodu. 5

6 Geometrie II Rovnice u = ϕ(t), v = ψ(t) (t I) definují parametricky na ploše P křivku k : x = (x 1 [ϕ(t), ψ(t)], x 2 [ϕ(t), ψ(t)],..., x n [ϕ(t), ψ(t)]) za předpokladu, že funkce ϕ(t), ψ(t) mají na intervalu I spojité derivace alespoň prvního řádu a t I leží (ϕ(t), ψ(t)) v množině B. Každá křivka k P se nazývá křivka plochy, každá tečna každé křivky plochy P se nazývá tečna plochy P. Rovina τ se nazývá tečná rovina plochy P v bodě X 0, jestliže každá přímka roviny τ procházející bodem X 0 je tečnou plochy P. Bod X 0 se nazývá bod dotyku. Kolmice v bodě dotyku k tečné rovině plochy P se nazývá normála plochy v bodě X 0. Směrový vektor normály plochy P v bodě X = x 0 = x(u 0, v 0 ) je n = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) a parametrická rovnice této normály má tvar y(λ) = x 0 + λn. Plochy v prostoru. V eukleidovském prostoru E 3 můžeme body plochy (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření P : x = x(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)), kde (u, v) B R 2, popř. můžeme použít implicitní rovnici nebo explicitní rovnici P : f(x 1, x 2, x 3 ) = 0 P : x 3 = g(x 1, x 2 ). Je-li plocha P popsána explicitní rovnicí x 3 = g(x 1, x 2 ) kde (x 1, x 2 ) B R 2, potom snadno určíme parametrické vyjádření této plochy ve tvaru P : x = x(u, v) = (u, v, g(u, v)), kde (u, v) B R 2. 6

7 A.4. Válcová a kuželová plocha V tomto případě hovoříme o tzv. Eulerově parametrizaci. Zvláštním typem ploch v prostoru E 3 jsou plochy, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně: P : a ijk x i 1x j 2 xk 3 = 0, i,j,k=0 kde n = max(i + j + k). Tyto plochy nazýváme algebraické plochy n-tého stupně; algebraické plochy stupně n = 2 se nazývají kvadriky. Není-li f polynomem, plocha P : f(x 1, x 2, x 3 ) = 0 se nazývá transcendentní. Poznamenejme ještě, že v eukleidovském prostoru E 3 lze tečnou rovinu plochy P v bodě x 0 = x(u 0, v 0 ) popsat pomocí obecné rovnice n(x x 0 ) = 0, kde n = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) je normálový vektor v bodě x 0. Křivky v prostoru. V eukleidovském prostoru E 3 můžeme body křivky samozřejmě popsat parametricky (viz předcházející kapitolu). Další možností je určit křivku prostřednictvím dvou nezávislých rovnic k : f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0, f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0. Obě rovnice f 1 = 0, f 2 = 0 popisují dvě plochy P 1, P 2 a tudíž je křivka k = P 1 P 2 jejich průsečnou křivkou. Algebraická plocha n-tého stupně je proťata rovinou, která není její součástí v algebraické křivce n-tého stupně. A.4 Válcová a kuželová plocha Válcová a hranolová plocha. Nechť je dána křivka k : y = y(u), u I a přímka s se směrovým vektorem s. Válcovou plochou rozumíme množinu všech přímek daného směru s (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají danou křivku k (tzv. řídicí křivku). Parametrické vyjádření válcové plochy má tvar x = y(u) + vs, (u, v) I R. 7

8 Geometrie II Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme o hranolové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu hranolové plochy. Kuželová a jehlanová plocha. Nechť je dána křivka k : y = y(u), u I, která se nazývá řídicí křivka a bod S k, jenž nazýváme vrchol. Kuželovou plochou rozumíme množinu všech přímek procházejících bodem S (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají řídicí křivku k. Parametrické vyjádření kuželové plochy je x(u, v) = s + v(y(u) s), (u, v) I R. Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme o jehlanové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu jehlanové plochy. Tečná rovina válcové a kuželové plochy. Uvažujme na válcové, popř. kuželové ploše bod A = x(u 0, v 0 ) jakožto průsečík površky s a tvořicí křivky k : y = y(u) evidentně je v případě válcové plochy v 0 = 0 a v případě kuželové plochy v 0 = 1. Normálový vektor plochy v bodě A můžeme vypočítat { ẏ s (válcová plocha) n = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) = ẏ (y s) (kuželová plocha), kde ẏ je směrový vektor tečny tvořicí křivky v bodě A a s, resp. (y s) je směrový vektor površky válcové, resp. kuželové plochy. Odtud je vidět, že tečnou rovinu τ A v bodě A = k s lze určit pomocí površky s a tečny t k řídicí křivky k v bodě A. Nechť B = x(u 0, v 1 ), v 1 v 0, je libovolný bod na površce s různý od bodu A = x(u 0, v 0 ) = s k. 1 Vypočteme normálový vektor plochy v bodě B { ẏ s (válcová plocha) n 1 = x u (u 0, v 1 ) x v (u 0, v 1 ) = v 1 ẏ (y s) (kuželová plocha). 1 V případě kuželové plochy uvažujeme rovněž B S. 8

9 A.5. Plochy vznikající pohybem křivek Je vidět, že n n 1, a proto tečná rovina v bodě B je totožná s tečnou rovinou τ A. A.5 Plochy vznikající pohybem křivek Parametrické vyjádření plochy často získáme ze znalosti principu, jakým byla tato plocha vytvořena. Příkladem mohou být plochy vznikající pohybem křivek, které nejsou dráhou pohybu (plochy v tomto případě chápeme jako jednoparametrické soustavy křivek). Tvořicí křivku k : y = y(u), u I R podrobíme jistému pohybu popsanému rovnicí x = Ay + b, A T A = E. Skutečnost, že pohyb závisí na parametru v, vyjádříme zápisem b = b(v), A = A(v), A(v) T A(v) = E, v J R. Každý bod tvořící křivky k opisuje tedy určitou trajektorii (podle předpokladu různou od křivky k), jejichž souhrnem je plocha s parametrickým vyjádřením x(u, v) = A(v)y(u) + b(v), (u, v) I J R 2 (A.1) Podle druhu pohybu rozeznáváme např. plochy translační (posunutí), rotační (otočení) nebo šroubové (šroubový pohyb). Plochy je možné třídit rovněž i podle tvořící křivky např. přímkové plochy. Rotační plochy. Rotační plocha vzniká rotací tvořicí křivky k kolem přímky o, kterou nazýváme osa rotační plochy. Je-li speciálně o = x 3, potom má rotace vyjádření x = cos v sin v 0 sin v cos v y, kde v J = 0, 2π). (A.2) Z rovnice (A.1) dostáváme pro k : y = y(u) = ( y 1 (u), y 2 (u), y 3 (u) ) T, u I parametrické vyjádření rotační plochy cos v sin v 0 x(u, v) = sin v cos v 0 ( y 1 (u), y 2 (u), y 3 (u) ) T =

10 Geometrie II = y 1 (u) cos v y 2 (u) sin v y 1 (u) sin v + y 2 (u) cos v y 3 (u), (u, v) I J. (A.3) Rotací libovolného bodu A tvořicí křivky k kolem osy o vzniká tzv. rovnoběžková kružnice (rovnoběžka) se středem [0, 0, y 3 (u i )] a poloměrem r(u i ) = y 2 1 (u i) + y 2 2 (u i). Řez rotační plochy rovinou, která prochází osou rotační plochy, se nazývá meridián. Rotační plocha se při otočení kolem své osy reprodukuje (zobrazuje sama na sebe), a proto můžeme každý meridián chápat rovněž jako tvořicí křivku. Je-li jakožto tvořicí křivka dán např. meridián ležící v souřadné rovině x 2 = 0 s vyjádřením m = m(u) = ( m 1 (u), 0, m 3 (u) ) T, u I, potom z (A.3) dostáváme parametrické vyjádření x(u, v) = m 1(u) cos v m 1 (u) sin v, (u, v) I J. (A.4) m 3 (u) Snadno se přesvědčíme, že v tomto případě je parametrická síť ortogonální (pro všechny body plochy platí ẋ u ẋ v = 0). 10

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

Další plochy technické praxe

Další plochy technické praxe Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Elementární plochy-základní pojmy

Elementární plochy-základní pojmy -základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Klasické třídy ploch

Klasické třídy ploch Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Kuželosečky. Kapitola Elipsa

Kuželosečky. Kapitola Elipsa Kapitola 4 Kuželosečky 4.1 Elipsa DEFINICE 4.1.1. Množinu všech bodů v rovině E, které mají od dvou různých pevně zvolených bodů F 1, F konstantní součet vzdáleností a, nazýváme elipsa; tj. k e = {X E

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Funkce dvou proměnných

Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

1 Připomenutí vybraných pojmů

1 Připomenutí vybraných pojmů 1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text - díl II František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 7. února 2006 verze 2.0 Obsah 7 Obalové

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky 7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární

Více

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Diferenciáln. lní geometrie ploch Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více