TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Transkript

1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakula echaronky, nforaky a ezoborových sudí DISERTAČNÍ PRÁCE MODELOVÁNÍ DYNAMICKÉ SPOLEHLIVOSTI UŽITÍM MARKOVSKÉ ANALÝZY Vypracoval: Ing. Josef Chudoba Školel: Školel specalsa: Ing. Pavel Fuchs, CSc. Ing. Davd Valš, Ph.D. Techncká unverza v Lberc, Sudenská, 46 7 Lberec Tel.: hp://

2 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Anoace Dserační práce na éa Modelování dynacké spolehlvos uží arkovské analýzy á za hlavní cíl rozšíř arkovskou analýzu ve spolehlvos o prosředek, kerý uožňuje zjs a popsa časovou a výkonovou dynaku složých syséů předevší se síťovou srukurou. Základní předpoklade arkovské analýzy jsou konsanní nenzy poruch a oprav ez savy. V prác je uveden prosředek na časovou dynaku, kerý uožňuje řeš úlohy s nekonsanní nenzou poruch a oprav ez savy. Dále je schopen řeš odely syséů s prevenvní údržbou. Maeacký základe řešení je sesavení obyčejných dferencálních rovnc s nekonsanní paraery a následné řešení eodou Runge-Kua pro koponeny, keré jsou sejně spolehlvé jako saré. Nebo pro koponeny syséu, keré jsou sejně spolehlvé jako nové, řeš úlohu poocí eody Mone Carlo. Výkonovou dynaku lze popsa u syséů s násobný poče shodných jednoek, u kerých je výsledná spolehlvos závslá na objeu výroby, kobnací jednoek v provozu a ypu zálohování akvní nebo pasvní. Poznaky z éo dserační práce lze použí například př odelování spolehlvos elekrcké, slnční a železnční síě. Pro aplkační řešení projeku bylo použo odelování kopresorové sance a přlehlých lní ranzního plynovodu RWE Transgas. Vypočíání okažé nepohoovos syséu se zjšťuje pravděpodobnos, že daná síť nebude schopna uspokoj požadavky zákazníka. To znaená u plynárenské společnos nedodání plynu v odpovídající kvalě nebo u osaních uvedených příkladů např. přeížení síě. Tuo probleaku dosud neřeší dosupné sofwarové násroje používané ve spolehlvos. Tao práce by ěla výrazně přspě k efekvníu sanovení pravděpodobnos vznku krckých a nežádoucích výpadků př odelování složých syséů. Vyhodnocení a porovnání výsledků několka scénářů odelů spolehlvos se uožní sníž pravděpodobnos vznku havarjních suací, například účnnější údržbou syséu nebo počenější zálohování koponen. Účnný snížení pravděpodobnos vznku havarjní suace se následně ušeří fnanční náklady plynoucí z frekvence výpadku a celkové doby př nedodávání plynu. Klíčová slova: Dynacká spolehlvos, arkovská analýza, výkonová analýza, údržba, Webullovo rozdělení, kopresorová sance, RWE Transgas Srana: z 98

3 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Absrac Ths dsseraon hess on he opc of Modellng of dynacal dependably by usng sochasc processes has he an a of expandng he Markov analyss n dependably by addng an nsruen, whch allows learnng and descrbng e and perforance dynacs of coplcaed syses, especally nework srucure. The base hypohess of he Markov analyss s ha falure and repar raes beween wo posures are consan. The nsruen for e dynacs can solve asks whose falure and repar raes are no consan and also solve repars n predeerned anenance. Maheacal solvng of hs proble s based on a consrucon of dfferenal equaons wh non-consan paraeers and her soluon. The Runge-Kua ehod s used for coponens, whch are as good as old. The Mone Carlo ehod s usually used for coponens of a syse, whch are as good as new. Perforance dynacs can be descrbed as syses wh ulple couns of he sae es. Resulan dependably of hese es depends on he producon volue and he cobnaon of es, whch are n use, or n acve and passve redundancy. An exaple can be enoned as odellng of dependably of an elecrcal nework and syses for ralways and roads. Praccal solvng of hs projec was shown on he odellng of a copressor saon and adjacen lnes of he gas ppelne RWE Transgas. Afer nsananeous unavalably, a soluon s possble o deerne he probably ha hs gas ppelne syse s no able o provde gas dsrbuon o cusoers n requred aouns. Ths could ean ha he provder can provde gas dsrbuon n he requred quales or anoher exaple can be ha gas ppelne becoes overloaded ec. Convenonal sofware engnes n dependably ddn solve hese probles a ha e. Ths dsseraon hess ay help on a large scale by an effcen evaluaon of probably of he creaon on caasrophc falures by he odellng of coplcaed syses. Thanks o he revaluaon of odelled causes of dependably s possble o decrease he probably of caalepc falure. Ths can be acheved, for exaple, by ore effcen anenance, or ulple coponen redundancy. If he probably of caalepc falure s effecvely decreased, would brng a reducon of cos resulng fro he frequency of gas dsrbuon falure and also he oal e of falure. Key words: Dynac relably, Markov analyss, perforance analyss, anenance, Webull dsrbuon, copressor saon, RWE Transgas Srana: 3 z 98

4 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Poděkování: Tao dserační práce byla zrealzována díky fnanční podpoře sáního rozpoču České republky prosředncví projeků: AV ČR číslo ET s názve Modelování a kvanfkace spolehlvos dynackých syséů, MŠMT Výzkuná cenra PP-DP0 číslo M0554 s názve Výzkuné cenru Pokročlé sanační echnologe a procesy Prohlašuj, že jse uo předkládanou dserační prác vypracoval saosaně a uvedl jse veškeré praeny, kerých jse použl. Dau: Podps: Chěl bych na oo ísě upříně poděkova vše, keří radou, poocí, konzulací č podporou poohl př vorbě dserační práce a bez jejchž přspění by ao práce nkdy nevznkla. Srana: 4 z 98

5 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obsah: Anoace. Úvod... Cíle dserační práce 4 3. Teorecké poznaky.6 3. Sochascké procesy 7 3. Základní eody spolehlvos vhodné k zjšění pohoovos Markovská analýza ve spolehlvos Sascká rozdělení popsující dobu do poruchy koponeny Sofwarové prosředky spolehlvos využelné v arkovské analýze Markovská analýza a neexponencální rozdělení doby do přechodu Modelování opravovaných a neopravovaných objeků 4 4. Objek po obnově sejně spolehlvý jako sarý Objek po obnově sejně spolehlvý jako nový Příklad Zaěnelnos odelů - sysé je sejně spolehlvý jako nový/sarý Modelování údržbových zásahů Modelování údržby poocí arkovské analýzy Prevenvní údržba pro sysé sejně spolehlvý jako sarý Prevenvní údržba pro sysé sejně spolehlvý jako nový Příklad Výkonové konfgurace syséu70 6. Přechod z RBD odelu k přechodovéu dagrau Sesavení ace pravděpodobnosí přechodů pro sysé s více výkonový režy Příklad Další ožné aplkace Modelování způsoblos syséu Modelování zsků a zrá Analýza spolehlvos kopresorové sance ranzního plynovodu86 9. Oevřené probléy dserační práce Závěr..88. Leraura.9 Srana: 5 z 98

6 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Sezna obrázků Obr. : Vanová křvka 3 Obr. : Závslos nenzy/proudu poruch na čase pro objeky sejně spolehlvé jako sarý a sejně spolehlvé jako nový..4 Obr. 3: Přechodový dagra řešeného příkladu..49 Obr. 4: Porovnání nepohoovosí poocí sofwaru Isograph vlevo a poocí MATLABu vpravo..49 Obr. 5: Přechodový dagra řešeného syséu..55 Obr. 6: Graf nepohoovos syséu, doba sulace 000 h, sysé sejně spolehlvý jako nový vlevo, sysé sejně spolehlvý jako sarý vpravo..56 Obr. 7: Graf nepohoovos syséu, doba sulace h, sysé sejně spolehlvý jako nový vlevo, sysé sejně spolehlvý jako sarý vpravo..56 Obr. 8: Rozdělení ypů údržby..58 Obr. 9: Graf nepohoovos syséu s prevenvní údržbou, sysé sejně spolehlvý jako sarý69 Obr. 0: Graf nepohoovos syséu s prevenvní údržbou, sysé sejně spolehlvý jako nový.69 Obr. : RBD dagra a přechodový dagra sérového odelu pro dvě sérové koponeny s rozdílnou nenzou oprav.7 Obr. : Přechodový dagra pro sérové koponeny s obdobnou nenzou oprav.7 Obr. 3: RBD a přechodový dagra pro paralelně akvně zálohované koponeny..73 Obr. 4: RBD a přechodový dagra pro dvě paralelně zálohované koponeny a poruchou se společnou příčnou.74 Obr. 5: RBD dagra pro paralelně pohoovosně zálohované koponeny..74 Obr. 6: Přechodový dagra pro paralelně pohoovosně zálohované koponeny..75 Obr. 7: Markovský přechodový dagra pro dvě koponeny v pohoovosní záloze75 Obr. 8: Přechodový dagra pro z n akvně zálohované koponeny 76 Obr. 9: RBD dagra pro z n pohoovosně zálohované koponeny..77 Obr. 0: Přechodový dagra pro koponeny zálohované z n s pohoovosní zálohou..77 Obr. : Srukura ace pravděpodobnosí přechodů pro dvě výkonové konfgurace..79 Obr. : RBD dagra řešeného příkladu8 Obr. 3: Přechodové dagray řešeného příkladu.8 Obr. 4: Funkce okažé nepohoovos řešeného příkladu provozovaného ve dvou odlšných výkonových režech.8 Srana: 6 z 98

7 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Sezna abulek Tabulka : Chyba př výpoču sřední nenzy přechodu 47 Tabulka : Vzorce pro generování doby do přechodu..53 Sezna příloh Příloha : Sofwarové prosředky spolehlvos - arkovská analýza Příloha : Sofware pro odelování syséu sejně spolehlvého jako sarý Příloha 3: Sofware pro odelování syséu sejně spolehlvého jako nový Příloha 4: Analýza spolehlvos kopresorové sance ranzního plynovodu Sezna zkraek AV ČR Akadee věd České republky ETA analýza srou událosí FMEA analýza způsobu a důsledků poruch FTA analýza srou poruchových savů LBD logcký blokový dagra LCC analýza nákladů žvoního cyklu MA arkovská analýza PN analýza Perho síí RBD blokový dagra bezporuchovos RCM údržba zaěřená na bezporuchovos TUL Techncká unverza v Lberc Srana: 7 z 98

8 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Použé značení a zjšění paraerů A součnel asypocké pohoovos A funkce okažé pohoovos A p A, součnel sřední pohoovos A, A τ dτ A n, nální pohoovos v nervalu, α, paraery Webullova rozdělení ΩU A n A C funkce okažé způsoblos C C p n, N C způsoblos -ého savu C, součnel sřední způsoblos C, C τ dτ C, T 3 celková způsoblos CT, C τ dτ Cos Cos j Cosu j zsk za jednoku času ve savu zsk za každý přechod ze savu do savu j zsk za každý prevenvní údržbový zásah ze savu do savu j Cos 0, součnel sředního zsku Cos 0, Cosτ dτ Cos, T celkový zsk v nervalu <, > Časo A 0, A τ dτ 0 3 C 0, C τ dτ T C 0, C τ dτ 0 0 Srana: 8 z 98

9 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Cos T N N N p Cos p pj Cosj,, p uj,, j, j j j D T rozpyl E T sřední hodnoa F dsrbuční funkce Cosu j h ace nenz přechodů h h h hn h h h N h h h N N NN h nenza přechodu h j nenza přechodu ze savu do savu j, prvek ace h h j, sřední nenza přechodu h, h τ dτ, j, k označení savů λ okažá nenza poruch λ, 4 sřední nenza poruch λ, λ τ dτ l MTBF MTTF MTTR délka kroku sřední doba provozu ez porucha sřední doba do poruchy sřední doba do obnovy µ okažá nenza oprav µ, sřední nenza oprav µ, µ τ dτ n N ν poče sledovaných koponen poče savů popsující sysé poče realzací p pravděpodobnos savu, prvek pravděpodobnosního vekoru p 4 λ 0, Srana: 9 z 98

10 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby p j, pravděpodobnos přechodu ze savu do savu j v nervalu <, prvek ace pravděpodobnos přechodů P, p pravděpodobnosní vekor P, ace pravděpodobnos přechodů p p p M pn P, p, p, pn, p p p N,,, p p p N N NN,,, R pravděpodobnos bezporuchového provozu r poče poruch čas časový okažk poruchy r T * T časový okažk r -é poruchy celková doba zkoušky celková kuulovaná doba provozu TDT kuulovaná doba nepouželného savu oal down e TDT U τ dτ TUT kuulovaná doba použelného savu oal up e U součnel asypocké nepohoovos 0 TUT A τ dτ U funkce okažé nepohoovos U p U, 5 součnel sřední nepohoovos U, U τ dτ Ω D 0 5 U 0, Srana: 0 z 98

11 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby U ax, axální nepohoovos v nervalu, U, ace údržby U, u, u, un, U ax, axu,, u u u N,,, u u u N N NN,,, u j, pravděpodobnos prevenvní údržby ze savu do savu j v nervalu <,, prvek ace údržby U, X náhodná velčna z paraer proudu poruch E z l 0 [ r r ] z, sřední paraer proudu poruch z, z τ dτ Ω U nožna provozních a čásečně poruchových savů Ω Ω D, A nožna poruchových savů a nožna absorpčních savů Srana: z 98

12 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby. Úvod Fry, keré vyrábějí nebo chějí vyrábě nové echnologcké celky, usí podle plané legslavy zajs, aby jejch výrobky byly bezpečné. V rác udržení s dobrého jéna na rhu a aké z důvodů ekonockých usí zajs, aby jejch výrobky splňovaly určé přede dané paraery spolehlvos a í páde pohoovos, bezporuchovos, udržovaelnos a zajšěnos údržby. V poslední době lze sledova rend, př keré je zřejý sále se zvyšující záje o vyváření složějších odelů spolehlvos. Zaíco dříve se používal pro pops funkce syséu obvykle dvousavový odel, dnes se jž časo pracuje s odely vícesavový. Dříve se pravděpodobnos vznku poruchy koponeny do času popsovala poocí λ exponencálního rozdělení - F e, př keré se předpokládá, že koponena s dobou používání nedegraduje. Dnes se jž využívá př popsu pravděpodobnos vznku poruchy koponeny do času jných rozdělení. Vel časo například Webullovo α rozdělení - F e, poocí kerého lze popsa degradac koponeny v čase. Nado je vhodné uvés, že echnologcké syséy ají sále sofskovanější polku údržby. Př sjednávání obchodních konraků je jž zcela běžné, že jsou ve slouvách uváděny paraery ýkající se spolehlvos syséů. Jako příklad sále složějších syséů a řešených analýz spolehlvos jsou uvedeny dva ypy zakázek od dvou různých fre pro TUL, keré auor vyhodnocoval. V první případě bylo pořeba zjs, na základě da o poruchách, zda je vhodné koponeny po poruše sále opravova nebo bude doporučena jejch výěna [0] a [04]. Ve druhé případě se zkoualo, zda výrobní zařízení každé v řádové hodnoě so síc euro budou schopny vyvoř dvakrá víc výrobků než se předpokládalo v návrhu, přčež žádné z obdobných provozovaných zařízení nevyroblo an polovnu předpokládaného poču výrobků [05]. V obou předkládaných případech je zjšění výsledků dáno předevší eorecký základy spolehlvos, vyvořený odele spolehlvos, znalosí sasky a saozřejě nuných nerdscplnárních konzulací odborníků. Jak jž bylo výše naznačeno, je nuné sále prohlubova základní eody spolehlvos ak, aby byly schopny popsa z pohledu spolehlvos, bezpečnos, ekonoky a aké spokojenos odběraele a dodavaele sále složější syséy. V názvu dseračního éau je uveden erín dynacká spolehlvos. Teno erín je v poslední době hojně využíván a je časo chápán ve více význaech. Zaí neexsuje usálená defnce ohoo erínu. V [] na sraně 47 je uvedena následující defnce: Dynacká spolehlvos zahrnuje sudu sochasckých procesů, keré popsují dynaku syséu, kdy důraz je kladen zejéna na poruchy charakerzované vysoupení nějaké procesní proěnné z bezpečné doény. Lze popsa více ypů dynackých úloh, keré jsou ve svěě řešeny. Terín dynacká spolehlvos se objevuje časo například v následujících úlohách: Paraery spolehlvos jsou závslé nejeno na době provozu, ale navíc na dalších fyzkálních velčnách, keré se sledují a nabývají spojých hodno v určé nervalu a navíc je lze pouze obížně zdskrén. Doba do poruchy koponeny je popsána poocí specálních rozdělení. Dynacká spolehlvos se v oo případě zabývá použelnosí nových odelů a zjšění opálních paraerů specálních rozdělení. Srana: z 98

13 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Řešení spolehlvos syséů poocí eody síí. Sysé se popsuje poocí více než dvou savů, kde doba do poruchy není popsána poocí exponencálního rozdělení. Odlšuje se od druhého bodu í, že se předpokládá nunos popsa sysé více než dvěa savy. Zjšťování spolehlvos syséu v závslos na jeho výkonnos. V rác dserační práce se auor bude zabýva poslední dvěa body z výše uvedeného seznau. Dserační práce s klade za cíl přpoj do jž užívané arkovské analýzy ve spolehlvos prosředek, kerý bude popsova časovou degradac koponen, a dále poocí kerého bude ožné popsa prevenvní údržbu syséu. Nado bude řeš jeho výkonovou dynaku, kdy spolehlvos syséu je závslá na jeho produkované výkonu. Teno odel je složější, ale zároveň poskyuje přesnější výsledky pro současnéu savu í, že obvykle usí bý popsán poocí nehoogenních arkovských procesů. Přínosy dserační práce lze využí pro sanovení spolehlvos přepravních lní například elekrckého vedení, slnční a železnční síě nebo ransních plynovodů. Dynacká spolehlvos se u přepravních lní projevuje í, že výsledná pohoovos syséu je závslá na objeu přepravy. V rác dserační práce bude řešen aplkační příklad, kerý bude popsán odel spolehlvos kopresorové sance a přlehlých lní ranzního plynovodu RWE Transgas, a.s. Cíle auora je v aplkační příkladě použí všech odelovacích prosředků spolehlvos uvedených v dserační prác a í přspě ke snížení axální nepohoovos syséu v čase U ax, a pravděpodobnos vznku závažných nežádoucích událosí. Srana: 3 z 98

14 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby. Cíle dserační práce Hlavní cíle dserační práce je vyvoř odel spolehlvos, kerý uožní rozšíř odelování pohoovos vícesavových syséů, u kerých se nepředpokládá asypocká usálená pohoovos A. Maeacký základe pro výpoče funkce okažé pohoovos A nepohoovos U vícesavových syséů je v éo prác eore sochasckých procesů. Spolehlvosní základe je eoda arkovské analýzy. Vyvořený odel uožní na základě znalos opologe přechodového dagrau rozšíř sávající vícesavový arkovský odel o pops doby do poruchy koponen poocí neexponencálního rozdělení se zaěření předevší na Webullovo - kapola 4 a dále o pops prevenvní údržby - kapola 5. Tí bude ožné sanov, na základě vsupních da, hodnou funkce okažé pohoovos A syséu v čase. Obě kapoly jsou časově dynackou složkou pohoovos syséu. V současné době je Webullovo rozdělení obvykle využíváno pro pops doby do poruchy dvousavových syséů a zřídkakdy vícesavových syséů. Tí, že nenzy přechodů ez savy nejsou u Webullova rozdělení konsanní, nelze úlohu řeš poocí arkovských hoogenních procesů. Za předpokladu, že jsou koponeny po obnově sejně spolehlvé jako saré as good as old, se úloha řeší poocí sousavy dferencálních rovnc s nekonsanní paraery. V druhé případě, kdy koponeny ají po obnově vlasnos, že jsou sejně spolehlvé jako nové as good as new, je nuné využí eod řešení poocí sochasckých procesů - například eody Mone Carlo. Oba dva přísupy jsou naolk odlšné, že první řešící úlohu poocí sousavy dferencálních rovnc je uveden v kapole 4., druhý poocí eody Mone Carlo je uveden v kapole 4.3. Kapola 5 se zabývá odelování syséů s prevenvní údržbou. Obnova koponeny po poruše se v přechodové dagrau odeluje poocí přechodu ze savu do savu j. Přechod je ohodnocen nenzou opravy h j. Na syséech se však velce časo provádí prevenvní údržba, kdy se koponeny v defnované čase vyění, nebo se zkonroluje jejch provozuschopnos. Tío ype údržby přejde v přede dané čase odel syséu s určou sanovenou pravděpodobnosí ze savu do savu j. Teno yp údržby způsobí nespojos funkce okažé pohoovos A syséu. Na sysé po prevenvní údržbě lze pohlíže jako na nový sysé s jný pravděpodobnos jednolvých savů, ale se shodnou opologí odelu přechodového dagrau. Pro pops prevenvní údržby je zavedena ace údržby U, <, kerá sanovuje pravděpodobnos přechodů ez jednolvý savy v časové nervalu <,. K aeackéu řešení úloh bude využo arkovských řeězců. Další řešenou probleakou je odelování výkonových konfgurací syséu - kapola 6. Výkonovou dynaku lze sledova u syséů, kde se přpojují resp. odpojují subsyséy nebo pracují na nžší výkon na základě okažého nožsví objeu výroby. Pro yo syséy je ožné sesav věší nožsví odelů spolehlvos, keré jsou závslé na požadované objeu výkonu. Pro každý výkonový scénář se vyvoří přechodový dagra, kerý se neusí odlšova v opolog od osaních, ale kerý se odlšuje předevší v nenzách přechodů ez savy a v defnc, zda je daný sav provozní, čásečně poruchový, nebo poruchový. Celková pohoovos syséu je poo funkcí objeu výroby a způsobe zálohování jednolvých subsyséů. Další rozšíření odelu bude další aplkace, kerá uožní zjs způsoblos syséu - kapola 7.. Dále odel uožní ohodno savy a přechody ez savy porucha, Srana: 4 z 98

15 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby obnova nebo údržba koponeny zske nebo zráou - kapola 7.. Tí lze, kro funkce okažé pohoovos A, urč funkc okažé způsoblos C. Dále poocí ohodnocení přechodů a savů lze sanov funkc celkového zsku v zadané časové nervalu Cos, T. Tao velčna ůže bý jední ze vsupů pro eodu nákladů žvoního cyklu LCC analýza nákladů žvoního cyklu. Defnování určých předpokládaných scénářů popsujících chování syséu v čase lze zjs celkový vlv vložených fnančních prosředků na pohoovos a způsoblos syséu. Teno prosředek je vhodný předevší pro průyslovou aplkační čnnos. Zaí se auor nesekal v lerauře se spojení neexponencálního rozdělení doby do poruchy vícesavových syséů, prevenvní údržbou a popse výkonových konfgurací, keré jsou řešeny poocí arkovské analýzy, kroě prací napsané auore [89], [9], [9], [93], [00] a []. V aplkační příkladě, kerý je součásí dserační práce, je vyvořen a vyhodnocen odel spolehlvos reálné kopresorové sance a přlehlých rasových lní ranzního plynovodu RWE Transgas, a.s. - příloha 4. Přepravní síť plynu, obdobně jako jné přepravní síě, v případě poruchy, výpadku, napadení úočníke, předsavuje ohrožení pro velkou čás populace. Následky v případě poruchy ohou bý význané z pohledu zdraví, ekonoky a žvoního prosředí. Kopresorová sance ranzního plynovodu byla vybrána, proože se jedná o zařízení, keré je zálohované, koponeny jsou složě udržovány a s čase z pohledu spolehlvos degradují. Celý sysé je navíc schopen přepravova rozdílné objey plynu. Poče urbokopresorů a vsupních/výsupních porubních lní v provozu je funkcí právě přepravovaného objeu plynu. V dnešní době je v České republce, ale v celé Evropské un fnancováno noho projeků, keré se zabývají probleakou spolehlvos, bezpečnosí ranzních síí, ochranou syséu před napadení, probleakou žvoního prosředí a krzového řízení. Z ohoo pohledu je řešené éa akuální. Tao dserační práce vznkla díky fnanční podpoře projeku AV ČR číslo ET s názve Modelování a kvanfkace spolehlvos dynackých syséů a projeku MŠMT Výzkuná cenra PP-DP0 číslo M0554 s názve Výzkuné cenru Pokročlé sanační echnologe a procesy. Srana: 5 z 98

16 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3. Teorecké poznaky V kapole 3 jsou uvedeny obecné poznaky, keré jsou využy př vorbě dserační práce. V kapole 3. jsou předsaveny základy sochasckých procesů. V kapole je defnován rozdíl ez sochascký a arkovský řeězc/procesy s uvedení základní arkovské vlasnos. Markovské řeězce/procesy jsou následně rozděleny na hoogenní a nehoogenní. Téo eore je využo pro sanovení ukazaelů spolehlvos syséu s využí eody arkovské analýzy. Mose ez eorí sochasckých procesů a ukazael spolehlvos je výpoče pravděpodobnos savů v čase p a následné sanovení funkce okažé nepohoovos syséu U p. Ω D V kapole 3. jsou rozvedeny základní charakersky eod spolehlvos, keré leraura uvádí jako vhodné pro zjšění funkce okažé nepohoovos syséu U. Meoda arkovské analýzy je vzhlede k rozsahu využí v dserační prác popsána v kapole 3.3. Ta jsou uvedeny základní způsoby nuerckého řešení dferencálních rovnc eodou Runge-Kua a eodou Mone Carlo. V kapole 3.4 jsou uvedeny způsoby zjšění bodových odhadů paraerů rozdělení pro dvousavový sysé, kde doba do poruchy je popsána buď exponencální, nebo Webullový rozdělení. Způsoby zjšění bodových odhadů paraerů pro jná rozdělení jsou pouze naznačena. Webullovo rozdělení se v prax využívá pro pops období časných poruch a období degradace. V dserační prác je spojena arkovská analýza spolehlvos popsující vícesavové syséy a využí Webullova rozdělení doby do přechodu. V kapole 3.5 jsou uvedeny základní charakersky sofwarových prosředků, keré se zabývají arkovskou analýzou spolehlvos. Srana: 6 z 98

17 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3. Sochascké procesy [], [3], [4], [5], [6] Sochascký proces - se nazývá každá funkce X, jejíž hodnoa př dané hodnoě arguenu nabývajícího hodno z určého defnčního oboru J je náhodnou velčnou. Obsahuje-l defnční obor J jen konečně nebo spočeně noho hodno, luví se o sochascké procesu s dskréní arguene. V opačné případě o sochascké procesu se spojý arguene. Paraere se pro pořebu dserační práce, pokud není uvedeno jnak, rozuí čas. Sochascký proces lze chápa jako funkc dvou proěnných a o jednak arguenu času, jednak eleenárního jevu E, pařícího do úplného prosoru Ω eleenárních jevů. Tedy X Φ E,, kde E Ω a J. Jako příklad náhodné velčny ve spolehlvos lze uvés poruchu/obnovu koponeny. Průsek sochasckého procesu - Pro každou pevnou hodnou 0 J závsí Φ E0, jen na eleenární jevu E, akže jde o náhodnou velčnu. Ta se nazývá průseke sochasckého procesu X v bodě 0 a označuje se X 0. Realzace sochasckého procesu - Př pevné eleenární jevu E E0 závsí Φ E0, jen na proěnné, proo předsavuje nenáhodnou funkc arguenu. To jes Φ E 0, x. Každá aková funkce x se nazývá realzací daného sochasckého procesu X. Realzac x je ožno považova za výsledek provedeného pozorování jednoho a éhož sochasckého procesu. Rozložení sochasckého procesu - Pro určení rozložení sochasckého procesu se veze v úvahu ν realzací x, x,, xν sochasckého procesu X. Zvolí se, pro keré přechází sochascký proces v náhodnou velčnu X, zvanou průsek sochasckého procesu X v bodě. Z uvažovaného poču ν realzací se vybere právě ν, jejchž hodnoy pro jsou nejvýše rovny zvolenéu číslu x, keré se nazvou hladnou x. Podle ν zákona velkých čísel plaí P X x l. Tedy P X x značí pravděpodobnos, ν ν že hodnoa náhodné velčny X nebude věší než x. Tao pravděpodobnos je funkcí dvou arguenů a x. Je edy F x, P X x. Funkce F se nazývá jednorozěrná dsrbuční funkce sochasckého procesu X. Sřední hodnoa sochasckého procesu X 0 - se nazývá náhodná funkce x, kerá se pro každou hodnou času z defnčního oboru J rovná sřední hodnoě odpovídajícího průseku sochasckého procesu X v bodě. Tedy x E X. Sochascký proces ůže í následující základní podoby: s dskréní savy a spojý arguene, Srana: 7 z 98

18 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby s dskréní savy a dskréní arguene, se spojý savy a spojý arguene, se spojý savy a dskréní arguene. Dserační práce využívá pouze sochascké procesy s dskréní savy, kerých ůže bý konečný, případně nejvýše spočený poče savů. 3.. Markovské řeězce Markovské řeězce - Řeknee, že posloupnos realzací pokusu nebo příslušná posloupnos náhodných velčn X n pro n,,.. voří arkovský řeězec, plaí-l pro každý ndex,3,.. a pro všechny ožné hodnoy j,,, r ěcho náhodných velčn vzah: j X ] P[ X j X,, X r] j P [ X p 3. Hodnoy j,,.. a edy aké jevy E,, E se nazývají savy uvažovaného syséu. Podíněná pravděpodobnos p j se nazývá pravděpodobnosí přechodu daného syséu po -é realzac pokusu ze savu do savu j. Příslušná ace se nazývá ace přechodu po krocích,,3, a značí se P. Pro, j N plaí: p p p N p p pn P 3. pn pn pnn Hoogenní arkovský řeězec - Řekne se, že posloupnos { X n } náhodných velčn X n voří hoogenní arkovský řeězec, jeslže podíněná pravděpodobnos na hodnoě, j. jeslže pro všechny hodnoy, j, plaí: j j p p 3.3a p j nezávsí Pro hoogenní arkovský řeězec plaí, že ace pravděpodobnosí přechodů P je vořena prvky pravděpodobnosí přechodů ez savy p pro, j N. p p pn p p pn P 3.3b pn pn pnn Nechť { X } je hoogenní arkovský řeězec a nechť přechodu za kroků ze savu do savu j. Pak plaí že P j p j je pravděpodobnos P 3.4. Srana: 8 z 98

19 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Sochascká ace - ace pravděpodobnosí přechodů P, jejíž prvky p j, j N jsou nezáporné a souče prvků v každé řádku se rovná jedné, se nazývá sochascká. Nebo-l, j N plaí, že 0 p a p j N j j Mace pravděpodobnosí přechodů P, kerá je využívána v dserační prác, je sochascká ace. Kro pravděpodobnosí přechodu p j je řeba zná aké počáeční sav, v něž se sysé nachází na začáku procesu. Teno sav ůže bý náhodný, a poo je řeba zná příslušnou pravděpodobnos náhodné velčny X 0. Nebo ůže bý pevně určen, poo příslušný sav lze vyjádř pravděpodobnosí P X 0 k. Tyo počáeční pravděpodobnos jsou prvky pravděpodobnosního vekoru p 0. Chapan-Kologorova rovnce - Nechť X n je hoogenní arkovský řeězec a nechť je pravděpodobnos přechodu za kroků ze savu do savu j. Nechť je dále kde,, jsou celá čísla. Pak plaí vzah: pk pkj 3.5 pj k p j, Pravděpodobnos savů hoogenních arkovských řeězců po krocích p lze zjs na základě znalos prvků pravděpodobnosního vekoru p z počáečního pravděpodobnosního vekoru p 0 a ace pravděpodobnos přechodů P poocí vzahu 3.6: p p P Nehoogenní arkovský řeězec - Řekne se, že posloupnos { X n } náhodných velčn X n voří nehoogenní arkovský řeězec, jeslže podíněná pravděpodobnos p j závsí na hodnoě. Pravděpodobnos savů nehoogenních arkovských řeězců po krocích lze zjs na základě znalos prvků pravděpodobnosního vekoru p z počáečního pravděpodobnosního vekoru p 0 a ace pravděpodobnos přechodů P poocí vzahu 3.7: p p0 P0 P P Markovské procesy Markovský proces - Sochascký proces X se nazve arkovský procese, právě když pro n,,.. a pro lbovolné hodnoy 0,,,, n, pro něž plaí nerovnos 0 < < < n, plaí pro všechny reálná čísla x a y vzah: P[ X n < y X n x] P[ X n < y X n x, X n xn,, X 0 x0], 3.8 kde x 0, x,, x n jsou lbovolná reálná čísla. Srana: 9 z 98

20 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Zjednodušeně jsou arkovské procesy akové sochascké procesy, u nchž v každé okažku τ podíněné rozložení pravděpodobnos v budoucí okažku > τ závsí jen na hodnoě velčny X τ a nezávsí na hodnoách nabyých v okažcích < τ. U obecného sochasckého procesu závsí příslušná funkce podíněného rozložení sochasckého procesu X τ na hodnoách nabyých v okažcích < τ. Podíněná dsrbuční funkce - Nechť X je arkovský proces. Podíněnou dsrbuční funkc ve varu F, y, x P X < y X 3.9 x vyjadřující pravděpodobnos, že v okažku bude X < y za předpokladu, že v předchozí okažku < náhodná velčna X nabyla hodnoy x. Tao podíněná dsrbuční funkce se nazývá funkce přechodu. Hoogenní arkovský proces - Závsí-l funkce přechodu F, y, jen na délce x nervalu, nkol na okažcích a, pak se příslušný arkovský proces nazývá hoogenní vzhlede k času. Dsrbuční funkce se pak značí F, x, y. Dskréní arkovský proces - se nazývá dskréní proces X, jeslže pro n,,, pro lbovolné okažky 0,,,, n, přčež 0 < < < n, a pro lbovolná celá čísla, j, 0,,, n plaí vzah: P X n j X n, X n n,, X 0 0 P X n j X n. 3.0a Funkce ve varu: p j, P X j X 3.0b, defnovanou pro lbovolné okažky, < a pro lbovolná celá čísla, j, se nazývá pravděpodobnos přechodu ze savu do savu j. Je-l dskréní arkovský proces hoogenní, závsí pravděpodobnos přechodu ze savu do savu j, j. p j,, pouze na rozdílu a lze napsa: p j, pj Chapan-Kologorovy rovnce lze zobecn pro dskréní arkovský proces, za předpokladu, že, jsou lbovolné okažky a dále τ,, na rovnc: p j, pk, τ pkj τ,. 3.a k Pro dskréní arkovský proces hoogenní jsou Chapan-Kologorovy rovnce ve varu: Srana: 0 z 98

21 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby p j τ pk pkj τ 3.b k Inenza přechodu arkovského procesu - Nechť X je dskréní arkovský proces, kerý á nejvýše spočeně noho savů 0,,,, a nechť pro 0 < τ < značí p j τ, funkc pro pravděpodobnos přechodu ze savu do savu j. Funkce h a h j jsou defnované vzahe: l 0 j pj, hj 0 3.a l 0 j p jj, h 0 3.b a jsou nazvány nenzou přechodu ez savy. Inenzy přechodu ez savy h a h j j jsou prvky ace nenz přechodů j h. Plaí, že h 0 j Chapan-Kologorovy dferencální rovnce - Nechť p j τ, jsou pravděpodobnos přechodů v arkovské procesu X s nejvýše konečný poče savů 0,,,. Nechť funkce h a h j j ohoo procesu exsují a jsou spojé. Poo funkce p j τ, splňuje následující sousavu dferencálních rovnc: pj τ, pk τ, hkj, 3.3a k př počáečních podínkách p τ, τ, p τ, τ 0 j. j Za předpokladu, že uvažovaný arkovský proces X je hoogenní, jsou funkce nenzy přechodu nezávslé na času a lze je zapsa ve varu h a h j j. Parcální dferencální rovnce přejdou v obyčejné dferencální rovnce ve varu: dpj pk τ, hkj 3.3b. d k Př počáečních podínkách p 0, p 0 0 j. j Z nenz přechodu arkovského procesu lze zjs ac pravděpodobnos přechodů P, za předpokladu 0 podle vzorce: Srana: z 98

22 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Srana: z 98 N N NN N N N N N N h h h h h h h h h,,, , h I P 3.4. Pravděpodobnos savů arkovských procesů v čase lze sanov na základě znalos počáečních podínek 0 p a ace nenz přechodů h popsujících sysé poocí vzahu: h p p d d pro hoogenní arkovský proces, 3.5a, d d h p p pro nehoogenní arkovský proces 3.5b.

23 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3. Základní eody spolehlvos vhodné k zjšění pohoovos 3.. Základní defnce V dserační prác bude použo erínů, keré jsou defnovány v norách ČSN zabývajících se spolehlvosí. Předevší se jedná o exy [67], [68], [74] a [75]. Jední z dílčích cílů auora dserační práce je aplkova eorecké poznaky do prakckého příkladu odelování kopresorové sance ranzního plynovodu. Teno příklad je uveden v příloze 4. Nory ČSN jsou časo používány jako dorozuívací jazyk v prax, proo budou v exu uvedeny odkazy, o jnou lerauru, na ně. V názvu dserační práce je uveden erín spolehlvos, kerou lze defnova: Spolehlvos c. [67] def je souhrnný erín používaný pro pops pohoovos a čnelů, keré j ovlvňují: bezporuchovos, udržovaelnos a zajšěnos údržby. Pohoovos c. [67] def je schopnos objeku bý ve savu schopné pln požadovanou funkc v daných podínkách, v dané časové okažku nebo v dané časové nervalu, za předpokladu, že jsou zajšěny požadované vnější prosředky. Bezporuchovos c. [67] def je schopnos objeku pln požadovanou funkc v daných podínkách a v dané časové nervalu. Udržovaelnos c. [67] def je schopnos objeku v daných podínkách používání serva ve savu nebo vrá se do savu, v něž ůže pln požadovanou funkc, jeslže se údržba provádí v daných podínkách a používají se sanovené posupy a prosředky. Zajšěnos údržby c. [67] def schopnos organzace poskyující údržbářské služby zajšťova podle požadavků v daných podínkách prosředky pořebné pro údržbu podle dané koncepce údržby. 3.. Základní kvanavní ukazaele spolehlvos Meody analýzy spolehlvos se používají k sanovení ukazaelů bezporuchovos, pohoovos, udržovaelnos a bezpečnos syséu. Analýzy spolehlvos se provádějí ve všech eapách žvoa objeku. Aplkují se na různých úrovních a supních rozčlenění syséu pro vyhodnocení a sanovení ukazaelů spolehlvos syséu nebo nvesčního celku. Používají se éž pro porovnání výsledků analýzy se specfkovaný požadavky. Analycké eody uožňují vyhodno kvalavní a kvanavní ukazaele spolehlvos a čnelů, keré j ovlvňují. Lze odhadnou hodnoy ukazaelů, keré jsou defnovány v [67]: ukazaele pohoovos v kapole, ukazaele bezporuchovos v kapole, ukazaele udržovaelnos a zajšěnos údržby v kapole 3. Způsoby výpoču a eody zjšění jednolvých ukazaelů lze naléz například v [7], [8], [9], [0], [], [], [3], [0] a [07] a jsou aké uvedeny na sraně 8 dserační práce Základní kvanavní analýzy spolehlvos Pro zjšění a ověření funkce okažé pohoovos A syséu se dnes v prax nejčasěj využívá následujících základních eod spolehlvos. Jejch sezna je uveden například v [], [3], [73]. Odkazy na ypy sofwaru užívaného ve spolehlvos lze nají v [4]. Srana: 3 z 98

24 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Mez základní kvanavní analýzy spolehlvos lze zařad například: předpověď nenzy poruch, [5], [6], [7], [8], [9], [79], [4] pravdvosní abulka - analýza funkční srukury, [70] RBD - analýza blokového dagrau bezporuchovos, [0], [69], [70] FTA - analýza srou poruchových savů, [], [7], [7] ETA - analýza srou událosí, [], [3] MA - arkovská analýza, 6 PN - analýza Perho síí, Žádná jednolvá eoda analýzy spolehlvos není dosaečně vyčerpávající a pružná, aby se vypořádala s ožný složos odelu požadovaný k vyhodnocení význačných rysů prakckých syséů. Aby bylo zajšěno řádné zpracování složých nebo ulfunkčních syséů, ůže bý nezbyné uváž použí několka vzájeně se doplňujících eod analýzy. 6 Základy eody jsou vysvěleny v kapole 3.3, kde jsou uvedeny odkazy na lerauru Srana: 4 z 98

25 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3.3 Markovská analýza ve spolehlvos [4], [5], [6], [7], [8], [9], [74] a [75] Tao kapola popsuje eodu arkovské analýzy, což je jedna z eod analýz spolehlvos, jejchž sezna je uveden v kapole Proože ao eoda je využívána v celé dserační prác, je jí věnována celá kapola. Meoda využívá aeackých poznaků z kapoly Podsaa eody Markovské odely ve spolehlvos předsavují eodu, kerá uožňuje řeš dynackou závslos charakersk poruchy č obnovy jednolvých součásek a přzpůsob je savů přechodového dagrau syséu. Markovský odely lze zachy vlvy jak poruch koponen závslých na pořadí, ak zěny nenz přechodů vyplývající z naáhání č jných fakorů. Z ohoo důvodu je arkovská analýza vhodná eoda pro hodnocení spolehlvos funkčně složých konsrukcí syséu a složých sraegí oprav a údržby. Markovská eoda je založena na eor arkovských procesů kapola 3., kde arguen je obvykle čas. Pro výpoče ukazaelů spolehlvos jsou obvykle využívány hoogenní arkovské procesy, keré vyžadují, aby byly nenzy přechodů ez savy konsanní. K reprezenac chování syséu poocí arkovské analýzy je nuné sanov všechny ožné savy syséu, znázorněné grafcky v přechodové dagrau. Každéu savu je určeno, zda se jedná o provoz, čásečně poruchový sav nebo poruchový sav. Přechody ez savy v přechodové dagrau jsou ohodnoceny nenza poruch/oprav. Následně se pro zjšění výsledné hodnoy paraerů pohoovos nebo bezporuchovos převede přechodový dagra poocí vzorců uvedených v kapole 3. vzorec 3.4 na aeacký odel. Vyhodnocují se pravděpodobnos, kdy sysé je v čase v jednolvých savech přechodového dagrau. Typcký výsupy arkovského odelu jsou pravděpodobnos, s jaký se sysé nachází v dané čase a v dané savu. Příklade zpracovaného výsledku pravděpodobnosí savů je ukazael funkce okažé pohoovos A, kdy se sčíají pravděpodobnos savů reprezenující provoz a čásečnou poruchovos v čase: N A p. 3.6, Ω U Z použí éo eodky plynou následující výhody. Meoda poskyuje pružný pravděpodobnosní odel pro analýzu chování syséu. Je ožné j přzpůsob pro složé redundanní konfgurace, pro složou koncepc údržby, složé odely ošeření poruchových savů, degradované režy provozu a poruchy se společnou příčnou. Meoda poskyuje pravděpodobnosní řešení pro oduly, keré se ají vlož do jných odelů, jako jsou blokové dagray bezporuchovos - RBD a sroy poruchových savů - FTA. Meoda uožňuje přesné odelování posloupnosí událosí se specfcký ype nebo pořadí výskyu. Meoda však á jsá oezení. Zvyšující se poče koponen syséu exponencálně rose poče savů, což vede ke zvýšení pracnos analýzy. Pro užvaele ůže bý obížné odel sesav a ověř jeho správnos. Srana: 5 z 98

26 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3.3. Sesavení arkovského přechodového dagrau a ace nenz Markovská analýza využívá přechodový dagra ez savy, kerý je grafckou reprezenací vlasnosí spolehlvos syséu. Teno dagra odeluje spolehlvosní hledska chování syséu v čase. Na sysé se pohlíží jako na určý poče jednoek, z nchž každá ůže exsova pouze v jedno ze dvou savů: provozní nebo poruchové. Sysé jako celek však ůže exsova v noha různých savech, z nchž každý je určen danou kobnací nefunkčních a funkčních jednoek. Defnují se yo základní savy syséu: provozní, čásečně poruchový sav, poruchový sav. V někeré lerauře jsou rozdělovány savy na funkční, degradované a nefunkční. Poče savů reprezenujících provoz funkční sav, čásečně poruchových degradovaných a poruchových nefunkčních, ůže bý v syséu věší než jeden. Hlavní důvod spočívá v o, že poče sledů poruch, keré vedou k poruše celého syséu je obecně aké více. Pokud u někeré jednoky syséu dojde k poruše, nebo na někeré jednoce dojde k obnově, přechází sysé v přechodové dagrau z jednoho savu do následujícího savu. Teno druh odelu se obecně nazývá odel s dskréní savy a spojý arguene. Na počáku analýzy usí bý defnovány savy, keré jsou předěe záju analýzy spolu s nenza přechodu z jednoho savu do jného nenzy poruch/oprav. Př odelování je nuné spln podínku, že naodelovaný sysé je bez paě - vzorec 3.8. Tao podínka znaená, že budoucí chování syséu závsí pouze na příoné savu, a ne na nulos. Tao podínka je splněna, jeslže: nenzy přechodů ez savy jsou časově konsanní - hoogenní arkovský proces, nenzy přechodů ez savy nejsou časově konsanní. Plaí však, že nenzy přechodů v čase n jsou spjay k pevnéu časovéu okažku n n > n a nkolv k časový okažků předcházející n,,0 0 < < < n 3 < n < n - nehoogenní arkovský proces podínka vzorce 3.8. Kvalavní analýza vyžaduje určení všech ožných savů syséu, znázorněných v podobě přechodového dagrau. Kvanavní analýza využívá nenzy poruch/oprav a vzahy ez savy znázorněný přechodový dagrae, keré uožňují sesav žádanou ac nenz přechodů h. Mace je základe pro aeacký odel, popsaný v rovnc 3.5a, k zjšění ukazaelů pohoovos rovnce 3.6 nebo bezporuchovos syséu. Obecně, pro arkovské procesy se spojý čase, prvek h j čvercové ace h předsavuje nenzu přechodu nenzu poruch/oprav ze savu do savu j. Přechody ez savy lze nerpreova jako poruchu resp. obnovu koponen syséu. Jeslže číselné označení savů se zvěšuje se zvěšující se degradací syséu, poo prvky nad dagonálou předsavují nenzy poruch, pod dagonálou jsou nenzy oprav. Hodnoy nedagonálních prvků ace nenz přechodů h jsou znáy z přípravných analýz přechody ez savy a jsou vždy nezáporné. Jednolvé nenzy přechodů v ac h lze nerpreova: nenulový nedagonální prvek ace h označuje nenzu přechodu ze savu do savu j, nulový nedagonální prvek ace h označuje neožnos okažého přechodu ze savu do savu j, Srana: 6 z 98

27 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby nulový dagonální prvek označuje absorpční sav, zn. pravděpodobnos servání v dané savu je jednoková. Dagonální prvky ace nenz přechodů h se dopočíávají ak rovnce 3., že souče prvků v každé řádku je 0, zn. že dagonální prvky jsou vždy nekladné. Obdobně jako pro arkovské procesy lze defnova pro arkovské řeězce pravděpodobnos přechodů p j, keré určují pravděpodobnos přechodu ez savy a j. Pravděpodobnos přechodů p j ez savy a j se zapsují do ace pravděpodobnos přechodů P. Vz vzorec 3.3b Vyhodnocení arkovského přechodového dagrau Poocí ace nenz přechodů h lze řeš sousavu dferencálních rovnc dp p h 7, kerá je použelná pro arkovské hoogenní procesy. Rovnce d dp 3.5b - p h - je určena pro arkovské nehoogenní procesy. d Rovnce 3.5 předsavuje sousavu lneárních dferencálních rovnc prvního řádu. V počáečních podínkách vekor p 0 se věšnou předpokládá, že pravděpodobnos plně funkčního savu je, všechny osaní savy jsou rovny 0. Pro pravděpodobnosní vekor p, p 0, p. plaí, že {, K, N} Pro každý prvek, j {, K, N} ace nenz přechodů h je dáno, že h j 0 j a h jj 0. Dále pro plaí souče h 0. j Řešení sousavy dferencálních rovnc se získá vekor průběhu pravděpodobnosí savů v čase. Výsledná funkce okažé pohoovos syséu A se získá souče pravděpodobnosí savů přes všechny provozní a čásečně poruchové savy j N A p. Funkce okažé pohoovos A se usálí na asypocké hodnoě pohoovos A ehdy, když ace pravděpodobnosí/nenz přechodů á konsanní prvky po celou dobu sulace a celá ace je regulární. Dferencální rovnce se obvykle řeší poocí nuerckých eod, ez kerý lze vyzdvhnou eody Runge-Kua a eodu Mone Carlo. Sofwarové prosředky obvykle využívají eody Runge-Kua. Obížnos řešení úlohy spočívá v řešení sousavy dferencálních rovnc. Splněna aké, Ω U d d 7 [ p L p ] [ p L p ] h M h L O L h M h Srana: 7 z 98

28 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby usí bý podínka základní arkovská vlasnos rovnce 3.8, že je sysé bez paě. To například znaená, že nenzy přechodů ez jednolvý savy jsou v čase konsanní. Konsanní nenza přechodu ez savy je splněna, když je doba do přechodu popsána exponencální rozdělení Řešení obyčejných dferencálních rovnc eodou Runge-Kua [5], [30], [3], [3] Obyčejné dferencální rovnce s počáeční podínka lze řeš několka eoda, keré lze rozlš na jednokrokové a k-krokové eody. U jednokrokových eod výpoče řešení dferencální rovnce probíhá ak, že po provedení jednoho kroku se vlasně řeší nový problé s počáeční podínkou zadanou v o bodě, jehož řešení je znáo z předešlého kroku. Jednokroková eoda á své výhody, proože se jednoduše prograuje a dále není složý přechod k jné délce negračního kroku běhe výpoču. Na druhou sranu á eoda své nevýhody. Nejzávažnější je pravděpodobně a, že lze velce obížně odhadnou lokální chybu. U k-krokové eody se pro řešení dferencální rovnce v bodě y k využívají funkční hodnoy k předcházejících bodů y, y,, y k. V dserační prác je pro výpoče funkce okažé nepohoovos U syséu použa jednokroková eoda. Nejjednodušší jednokroková eoda je Eulerova eoda. V éo eodě se rozdělí nerval, na dílků délky l. Dělící body jsou l,,,. Přblžná hodnoa řešení daná pravděpodobnosní vekore p je vypočena z rekurence dané vzorce 3.7 dp p p l,,,. 3.7 d Počáeční podínka je předpokládána ve varu p 0. V dserační prác jsou výpočy provedeny poocí Eulerovy eody, proože př odelování prevenvní údržby jsou pravděpodobnos jednolvých savů nespojé funkce. Dále se v dserační prác časo využívají přechody ez arkovský procesy a dskréní arkovský procesy například př odelování prevenvní údržby č přechody ez výkonový konfgurace syséu - vz kapoly 5 a 6. Výpoče poocí Eulerovy eody je snadněj nerpreovaelný než př použí eody Runge-Kua např. čvrého řádu Meoda Mone Carlo [8], [9], [33], [34] a [35] Meoda Mone Carlo je založena na nohonásobné opakování sulačních realzací. Každá sulační realzace se sesává z generování náhodného pokusu, kerý popsuje chování syséu v čase. Ve výsledku se sleduje rozložení sochasckého procesu. Každá realzace saruje z přede daného savu, kerý je dán počáeční podínka sulace. Posléze se poocí vygenerování náhodných čísel z příslušné předepsané dsrbuční funkce určí doba do přechodu ze savu do jednoho z dalších savů, ka uožňuje přejí syséu přechodový dagra. Too se opakuje pro všechny ožné přechody ze savu. Časový okažk přechodu a sav do kerého sysé přejde ze savu, Srana: 8 z 98

29 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby je dán nalzací časových okažků přes všechny ožné přechody ze savu. První kroke analýzy je vorba vsupních souborů a řídícího prograu na základě generování událos podle požadované dsrbuční funkce. Tao funkce ůže bý sanovena posupe nezávslý na výpočení prograu nebo je někdy součásí koplexnějších odelových násrojů. Další kroke je aplkování ako získaných paraerů na celkový syséový odel včeně uvažovaných podprograů. Teno cyklus se opakuje ak dlouho, až je vyplněno kréru axálního poču událosí, evenuelně kréru přesnos sasckého výběru, keré je průběžně konrolováno řídící prograe. Poslední kroke pravděpodobnosní analýzy je sascké vyhodnocení výsledků. K řešení analýz poocí eody Mone Carlo lze využí aeackého sofwaru například MATLAB - hp:// nebo Golds - hp:// Srana: 9 z 98

30 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3.4 Sascká rozdělení popsující dobu do poruchy koponeny Doba do poruchy koponen se nejčasěj popsuje poocí exponencálního rozdělení. Jeho výhodou opro jný rozdělení je, že doba do poruchy se neění v závslos na době používání koponeny, nebol nenza poruch koponen je konsanní. Teno předpoklad plaí u koponen, keré nejsou naáhány například slou, oene nebo elekrcky [5], [6], [9]. Další příklady jsou uvedeny v kapole V případě, že je shroážděno dosaek da o době do poruchy a exsují sascky zjšěné předpoklady, že daa o době do poruchy nejsou z exponencálního rozdělení, používá se v echncké prax nejčasěj Webullovo rozdělení. Poocí Webullova rozdělení se popsuje doba do poruchy naáhaných koponen. Mez příklady z jednolvých odvěví lze zařad: srojní koponeny - ložska, auoobly, savební prvky - osy, elekroagnecké koponeny - relé. Tao kapola se zabývá způsoby zjšění bodových odhadů paraerů Webullova rozdělení, keré se používá pro pops doby do poruchy koponeny. Vzorce pro výpoče paraerů jsou uváděny v příslušných kapolách pro: censorovaná necensorovaná daa, koponeny, keré jsou po poruše obnoveny výěnou/opravou. Poznaků uvedených v éo kapole bude využo v dserační prác př odelování doby do přechodu v přechodové dagrau s využí neexponencálního rozdělení. Sanovení relevanních bodových odhadů nenz přechodů je důležý základe pro odely spolehlvos a následné echncké využí Vanová křvka [], [8], [], [3], [39] Vanová křvka je zdealzovaná křvka, u keré se na vodorovné ose vynáší doba provozu koponeny a na svslou osu její okažá nenza poruch λ. Podle charakeru zěny okažé nenzy poruch koponeny lze křvku rozděl do ří období. V první období se okažá nenza poruch λ koponeny snžuje. Too období se nazývá období časných poruch. Příčny zvýšené nenzy poruch na počáku provozu jsou poruchy v důsledku výrobních poruch, nesprávné onáže, skryých poruch, chyb př návrhu a př výrobě apod. Dobu do poruchy koponeny lze popsa v oo období poocí Webullova rozdělení. V druhé období je okažá nenza poruch λ koponeny přblžně konsanní. Too období se nazývá období norálního žvoa. Dochází k běžnéu využí koponeny, k poruchá dochází náhodně. Nedochází k opořebení, keré by zěnlo funkční vlasnos koponeny. Dobu do poruchy koponeny lze popsa v oo období poocí exponencálního rozdělení. V závěrečné řeí období se okažá nenza poruch λ koponeny výrazně zvyšuje. Too období se nazývá období degradace. V koponeně dochází k opořebení. Procesy sárnuí a opořebení ění funkční vlasnos koponeny. Dobu do poruchy koponeny lze popsa v oo období poocí Webullova rozdělení. Srana: 30 z 98

31 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby U noha koponen se nevyskyuje časo nelze prokáza první období, kdy se okažá nenza poruch snžuje období časných poruch. Je o například u koponen, keré jsou: zaběhnuy u výrobce, vnřně zálohovány, jsou vysoce spolehlvé a není ak dosaek da o poruchách, ze kerých lze snžování okažé nenzy poruch prokáza. Pro sascké prokázání období časných poruch koponeny je obvykle řeba získa velké nožsví da o poruchách. U noha koponen se nevyskyuje řeí období, kdy se okažá nenza poruch zvyšuje j. období degradace. Je o předevší u ěch, keré jsou vyřazeny dříve než se začnou projevova degradační vlvy. Dále je o u koponen, keré nejsou naáhány. Jako příklad lze uvés věšnu elekronckých koponen. Grafcky je zobrazen zdealzovaný var vanové křvky na obr.. Typcká vanová křvka objeku nenza poruch λ [hod] doba provozu [hod] Obr. : Vanová křvka 3.4. Obnovované koponeny opravou / výěnou Pro zjšťování paraerů rozdělení př sledování doby do poruchy je nuné rozlšova následující případy: Koponena se po poruše skuečně opravuje opravovaný objek. Doba do poruchy je popsána poocí paraeru proudu poruch z. Koponena se po poruše neopravuje neopravovaný objek. Doba do poruchy je popsána poocí nenzy poruch λ. Srana: 3 z 98

32 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Proože rozdíl v erínech okažá nenza poruch a paraer proudu poruch se ne vždy důsledně rozlšuje, jsou zde uvedeny jejch defnce. V dserační prác bude erín okažá nenza poruch využ pro neopravované koponeny, nebo pro opravované koponeny keré jsou použy pouze do první poruchy. Terín paraer proudu poruch bude použ pro opravované koponeny. Terín nenza přechodu ez savy a j zkráceně nenza přechodu s označení h j předsavuje prvek ace nenz přechodů h. Teno erín slučuje, pro pořebu dserační práce, eríny okažá nenza poruch λ a okažé nenzy oprav µ j pro neopravované objeky nebo opravované koponeny používané do první poruchy. A dále slučuje eríny paraer proud poruch z a okažé nenzy oprav µ j pro opravované objeky. Okažá nenza poruch c. [67] def λ - la poěru podíněné pravděpodobnos, exsuje-l, že časový okažk T vznku poruchy objeku leží v dané časové nervalu, k délce časového nervalu, jeslže se blíží nule, za podínky, že na začáku časového nervalu je objek v použelné savu Paraer proudu poruch c. [67] def z - la poěru, exsuje-l, sředního poču poruch opravovaného objeku v časové nervalu,, k délce ohoo nervalu, jeslže se délka časového nervalu blíží nule [ r r ] E z l 0 V kapolách 3.4.4, 3.4.5, jsou uvedeny způsoby zjšění paraerů exponencálního a Webullova rozdělení, jeslže je/není po poruše koponena opravována. O koponeně, kerá se po poruše skuečně opravuje, lze usuzova, že á vel podobné paraery rozdělení doby do poruchy jako shodná koponena, u keré nedošlo k poruše. V anglcky psané lerauře se ao vlasnos nazývá eríne as good as old. V česky psané lerauře neexsuje jednoný překlad. V éo prác bude použo erínu sejně spolehlvý jako sarý. O koponeně, kerá se po poruše neopravuje, lze usuzova, že á vel podobné paraery rozdělení doby do poruchy jako shodná koponena, kerá je zcela nová. V anglcky psané lerauře se ao vlasnos nazývá eríne as good as new. V éo prác bude použo erínu sejně spolehlvý jako nový Způsob získání neznáých paraerů předpokládaných rozdělení [], [30] Bodové odhady neznáých paraerů rozdělení z da popsujících dobu do poruchy lze získa: počení eodou - axální věrohodnosí, oenů, grafcky - pravděpodobnosní papír. j Srana: 3 z 98

33 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Meoda axální věrohodnos - Meoda axální věrohodnos je založena na axalzac věrohodnosní funkce. Věrohodnosní funkce je sdružená husoa pravděpodobnos daného náhodného výběru a je brána jako funkce neznáých paraerů. Nechť X, X,, X n je náhodný výběr popsující dobu do poruchy z rozdělení s dsrbuční funkcí F x; Θ. Tvar dsrbuční funkce je zná a Θ je/jsou neznáé paraer/paraery. Problé úlohy spočívá v nalezení akové sasky, kerá bude funkcí X, X,, X n a bude použa jako odhad Θ. Nechť f x; Θ je husoa pravděpodobnos vyšeřované funkce Θ, nazvee j věrohodnosní funkcí založenou na x x, x,, xn a označenou jako L x; Θ. Věrohodnosní funkc obdržíe poocí vzorce 3.9. L x, x,, x ; Θ f x ; Θ f x ; 3.9 n n n Θ Pro jednodušší získání axa věrohodnosní funkce lze využí oho, že se logarování axu funkce nezění. ln L x, x,, xn; Θ ln[ f x; Θ fn xn; Θ] Maxu éo funkce se získá dervování podle neznáých paraerů Θ. První dervace se položí rovna 0 a druhá dervace usí bý záporná. Aplkační příklad je uveden v poznáce 8. Vzorec 3.9 je uveden pro necensorovaná daa. Pro daa censorovaná čase je věrohodnosní funkce ve varu 3.0a: n! L x 3.0a r nr, x,, xn; Θ f x; Θ R T n r! Pro daa censorovaná poruchou je věrohodnosní funkce ve varu 3.0b: n! L x 3.0b r nr, x,, xn; Θ f x; Θ R xr n r! 8 Náhodný výběr X X, X,, X je z exponencálního rozdělení. Husoa pravděpodobnos je f n λ e λ. Poo věrohodnosní funkce je funkce se obdrží n ln L ; Θ n ln λ λ d ln L ; λ n n paraeru λ. 0 dλ λ Z rovnce pro první dervac je bodový odhad paraeru n L Θ n λ ; λ e. Logarování věrohodnosní. Lokální exré se určí dervování podle neznáého ln L ; λ n λ dλ. Druhá dervace je rovna < 0. n ˆλ. n d Srana: 33 z 98

34 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Meoda oenů Další způsobe, jak lze získa neznáé paraery určého rozdělení, je eoda oenů. Tao eoda spočívá v o, že se porovnávají výběrové oeny získaných da s odpovídající výběrový oeny eoreckého rozdělení. Pro získání Θ neznáých paraerů je nuné řeš Θ rovnc. Nuný je předpoklad, že až do Θ -ho oenu jsou řešení rovnce konečné a dále, že sousava rovnc je regulární. Meoda pravděpodobnosního papíru Další eodou - grafckou - jak získa neznáé paraery předpokládaného rozdělení, je eoda pravděpodobnosního papíru. Jeslže vynesené okažky poruch na vodorovnou osu pravděpodobnosního papíru a příslušné pravděpodobnos poruchy vynesené na svslou osu voří příku, poo lze učn závěr, že daa jsou z příslušného rozdělení. Nejčasější ypy pravděpodobnosních papírů jsou: exponencální, Webullův, norální, log-norální. Pravděpodobnosní papíry jsou uvedeny např. v [40], [4], kde lze naléz návod jak vyčís paraery příslušných rozdělení Exponencální rozdělení Poocí exponencálního rozdělení se popsuje doba do poruchy koponeny v druhé období - norálního žvoa. Základní charakersky exponencálního rozdělení jsou uvedeny ve vzorcích 3. R e λ F λ e λ h 3. Paraer λ se získá poocí eody axální věrohodnos poocí vzorců 3. r λ, 3.a, * T * kde T je kuulovaná doba provozu. Kuulovaná doba se sanoví: * všechny doby do poruchy koponen jsou znáé T n r * censorování I. ypu - čase T * censorování II. ypu - porucha T r 3.b, n r T 3.c, n r 3.d, r kde - časový okažk, př keré došlo k poruše koponeny, T - celková doba zkoušky, r - čas, př keré nasala r -á porucha a zkouška byla zároveň ukončena. Konfdenční eze bodového odhadu paraeru λ lze urč poocí [4], [77]. Srana: 34 z 98

35 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby V prax je nuné předpoklad použelnos popsu pravděpodobnos bezporuchového provozu poocí exponencálního rozdělení ověř. Sascké esy jsou podrobně uvedeny například v [4] a [76]. Vzorec 3.a lze uprav pro opravované koponeny za předpokladu, že sřední doba provozu ez porucha je konsanní - kapola 3.4.6, na: r z 3.e * T Webullovo rozdělení pro neopravované objeky Pro pops doby do poruchy koponeny v období časných poruch a degradace je vhodné použí Webullovo rozdělení. Dále se Webullový rozdělení obvykle popsují koponeny s dobou do poruchy, keré jsou naáhány. Webullovo rozdělení se předevší používá v případech, kdy bylo sascky prokázáno, že pro pops doby do poruchy nelze využí exponencálního rozdělení. Základní charakersky Webullova rozdělení jsou uvedeny ve vzorcích 3.3. α α e R e F h α α, > Ze vzorců 3.3 je zřejé: paraer, poo Webullovo rozdělení přechází na exponencální rozdělení, paraer >, poo koponena degraduje a á zvýšené nožsví poruch na konc fyzckého žvoa, paraer 0 < <, poo á koponena zvýšené nožsví poruch v počáečních fázích provozu. Před zjšťování bodových odhadů paraerů je nuné zjs, zda daa o poruchách pocházejí z Webullova rozdělení. Vhodné esy jsou uvedeny například v [45], [80]. Paraery Webullova rozdělení lze získa poocí eod, keré jsou popsány v odsavc Poocí eody oenů pouze pro necensorovaná daa se paraery rozdělení získají řešení rovnc 3.4. E T α Γ D T α Γ Γ, 3.4 kde E T je sřední hodnoa, D T je rozpyl a Γ x je gaa funkce. Zjšěná sřední hodnoa a rozpyl z da o poruchách koponen se zadají do uvedených rovnc a vypočou se bodové odhady neznáých paraerů αˆ a ˆ Webullova rozdělení. Meodou nejvěší věrohodnos se získají bodové odhady paraerů Webullova rozdělení poocí rovnc 3.5a, 3.5b, 3.5c. Lerární odkazy jsou uvedeny v [], [43] a [80]. Srana: 35 z 98

36 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Srana: 36 z 98 všechny doby do poruchy koponen jsou znáé α n n 0 ln ln n n n n 3.5a, censorování I. ypu - čase α r T r n r 0 ln ln ln r r r r T r n T T r n 3.5b, censorování II. ypu - porucha α r r n r r 0 ln ln ln r r r r r r r r n r n 3.5c, kde jsou okažky, kdy došlo k poruše; n poče koponen; T celková doba zkoušky; α, bodové odhady Webullova rozdělení. Sanovení, zda vsupní daa pro neopravované objeky splňují exponencální nebo Webullovo rozdělení, a následné zjšění bodových odhadů paraerů bylo auore použo například v [90], [0] a [04] Webullovo rozdělení pro opravované objeky Př esování konsannos proudu poruch lze využí esy, keré jsou uvedeny v [76] 9. V ěcho esech se zjšťuje, zda časový prodlužování zkoušky, doba ez porucha rose, je konsanní, nebo klesá Sofwarové prosředky věšny fre, jako je např. Iesof č Relasof, uožňují zjs paraery Webullova rozdělení pouze pro neopravované objeky. Pro esování vhodnos rozdělení je nuný předpoklad, že je nuné í alespoň daa o 6 poruchách. Nechť X je esovací velčna, dále doba do -é poruchy je a kuulovaná doba zkoušky je * T. Poo, jeslže r T > *, se esovací velčna zjsí: * * r T T r X r 3.6a. 9 Vzorce jsou značně obsáhlé, proo je uveden pouze odkaz.

37 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Jeslže * T r, poo r r r X r r 3.6b. Tesovací velčna X á norované norální rozdělení. Zjšění, zda vsupní daa pro opravované objeky splňují exponencální nebo Webullovo rozdělení, je použo například v prác [05] Nevýhody Webullova rozdělení Nevýhoda Webullova rozdělení s paraere > spočívá v o, že nenza poruch v čase 0 je nulová. Degradace noha syséů se projevuje až př delší čase provozování. Z ohoo důvodu je vhodné popsa nenzu poruch koponen poocí superpozce Webullova a exponencálního rozdělení ve varu: h λ. 3.7 α Tí je zajšěno, že v čase 0 je nenza poruch rovna h λ. Nevýhoda ako zvolené nenzy poruch spočívá v obížné zjšění paraerů λ, α a, ncéně nenza poruch v oo varu lépe charakerzuje chování vanové křvky. [46], [47] Druhý problé Webullova rozdělení vyplývá z hodno jeho paraerů, keré jsou získávány ze všech da o poruchách - edy z ěch, kde se degradace zcela neprojevovala. Tí se získají hodnoy paraerů, keré nejlépe odpovídají daů o poruchách od začáku sledování až do okažku výpoču paraerů. Př opěovné sledování da o poruchách a jejch následné analýze je sále sejně dlouhý čas, př keré k degradac nedocházelo. Ale zároveň je delší čas, př keré k degradac jž docházelo. To á za následek, že se zkráí sřední doba do poruchy koponen a zvyšuje se hodnoa paraeru. [48] Ve [49] a [50] je popsáno odfkované Webullovo rozdělení, poocí kerého lze popsa všechny ř čás vanové křvky. Jeho charakersky jsou uvedeny ve vzorc 3.8. V lerauře [97] bylo ověřeno, že oo rozdělení je použelné pro pops doby do poruchy, jeslže exsuje dosaečný poče vsupních da. V prác [97] je analyzováno da o poruchách se zjšění, že rozdělení velce dobře popsuje všechny ř čás vanové křvky. Nevýhoda ohoo rozdělení je v o, že jednolvé bodové odhady paraerů nelze na rozdíl od vzorce 3.7 jednoduše nerpreova. R e a b e λ F e a b e λ h b λ a b λ e 3.8 a > 0; b, λ 0 Srana: 37 z 98

38 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Použí dalších neexponencálních rozdělení Nejčasěj používaná neexponencální rozdělení doby do poruchy jsou Webullovo rozdělení, Gaa rozdělení a jeho specální případ Erlangova rozdělení, norální rozdělení a log-norální rozdělení. Použí Webullova rozdělení je popsáno v předcházejících kapolách. Gaa rozdělení se využívá pro pops doby do poruchy syséů, keré jsou vořeny shodný zálohovaný koponena. Dále se předpokládá, že doba do poruchy každé koponeny je popsána exponencální rozdělení. Pravděpodobnos bezporuchového provozu je: τ α τ e dτ 3.9. α R Γ α Specální případe gaa rozdělení je Erlangovo rozdělení, keré vznkne pro celé. Erlangovo rozdělení popsuje dobu do -é poruchy koponeny, kerá á exponencální rozdělení doby do poruchy. Dále doba do obnovy je nulová nebo popsaná exponencální rozdělení. Pravděpodobnos bezporuchového provozu je: λ j λ R e j 0 j! Norální rozdělení se časo používá pro pops doby do obnovy koponeny a dále pro koponeny, keré slně degradují. Pravděpodobnos bezporuchového provozu je: τ µ σ R e dτ 3.3. σ π Srana: 38 z 98

39 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 3.5 Sofwarové prosředky spolehlvos využelné v arkovské analýze V [4] je uveden příspěvek, kerý se zabývá počíačovou podporou ve spolehlvos. V oo článku je uveden soups jednolvých sofwarových produků různých výrobců. V příloze je uvedena sručná charakerska spolehlvosního sofwaru popsující arkovskou analýzu. Jedná se o produky následujících fre: Ie Sofware, [53] Relex Sofware, [54] IsographDrec, [55] SoHaR, [56] Logan, [57] Ke každéu prograu, kerý je uveden v seznau, byla prosudována ral verze. Srana: 39 z 98

40 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 4. Markovská analýza a neexponencální rozdělení doby do přechodu V současné době se odeluje arkovskou analýzou ve spolehlvos doba do poruchy/obnovy předevší poocí exponencálního rozdělení. Hlavní důvode je o, že nenza přechodu ez savy je konsanní. V éo kapole bude vysvělen způsob jak odelova poocí arkovských echnk neexponencální rozdělení doby do přechodu. Tao kapola shrnuje poznaky, keré jsou uvedeny v kapole 3. Na jedné sraně používá aeacký apará uvedený v kapole 3.. Na druhé sraně, z pohledu spolehlvos, využívá arkovskou analýzu vz kapola 3.3 a dále pro pops neexponencálních rozdělení a sanovení jejch paraerů kapolu 3.4. Př analýze spolehlvos uží arkovských echnk se využívá základního předpokladu, kerý je uveden ve vzorc 3.8. Teno předpoklad je ve věšně odborných knh popsán ak, že navržený odel usí bý bez paě. Předpoklad je splněn, jeslže doba do přechodu je popsána poocí exponencálního rozdělení, poo jsou nenzy přechodů h j konsanní a je ožné využí pro řešení analýzy posupu uvedeného v kapole 3.3. V dserační prác se auor zabývá případy, kdy oo není splněno. Jeslže nelze využí pro pops doby do přechodu exponencálního rozdělení, hledají se složější odely, keré popsují dynaku nenzy přechodu - např. Webullovo rozdělení. Způsoby zjšění paraerů Webullova rozdělení pro dvousavový opravovaný a neopravovaný sysé jsou uvedeny v kapole a Časo se využívá př popsu doby do obnovy koponen norální rozdělení. Způsob zjšění paraerů norálního rozdělení je uveden například v [6], [7], [8] a [9]. Předpoklad uvedený ve vzorc 3.8 a pops doby do přechodu poocí neexponencálního rozdělení jsou dva navzáje s odporující předpoklady. Pro analýzu spolehlvos syséu je nuné buď: použí zjednodušené předpoklady, keré zaručují arkovskou vlasnos, nebo použí pro výpoče nehoogenní arkovské procesy. V následujících kapolách bude uveden způsob, jak lze odelova úlohy spolehlvos poocí arkovské analýzy spolehlvos, když nenzy přechodů nejsou konsanní. V kapole 4. je uveden rozdíl v odelování a následné řešení opravovaných a neopravovaných objeků. V kapole 4. je vysvělen způsob odelování, kerý neporušuje arkovskou vlasnos a je založen na dskréních arkovských procesech. Tao eoda je vhodná pro odelování opravovaných objeků. V kapole 4.3 je uveden způsob odelování založený na eodě Mone Carlo. Tao eoda je vhodná pro odelování neopravovaných objeků. Př odelování poocí eody arkovské analýzy se v kapole 4 využívají arkovské nehoogenní procesy, nebo sochascké procesy. Přesože není u ěcho procesů zajšěna základní arkovská vlasnos, že sysé je bez paě - vzorec 3.8, bude ao eoda spolehlvos nadále nazývána arkovskou analýzou. Hlavní důvod je en, že pojenování éo analýzy spolehlvos je vžé. Další důvod je en, že auor dserační práce se necíí povolán navrhnou nový erín. Srana: 40 z 98

41 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 4. Modelování opravovaných a neopravovaných objeků Markovská analýza jejíž prncp je uveden v kapole 3.3 předpokládá, že všechny bodové odhady nenz přechodů ez savy jsou konsanní. Teno předpoklad, zajšťující, že sysé je zv. bez paě, je uveden ve vzorc 3.8. U řady echnckých syséů však vyvsává oázka jak odelova sysé, kerý obsahuje více než savy a zároveň jednolvé koponeny nesplňují podínku, že nenzy přechodů ez savy jsou konsanní. Tao probleaka byla pro dvousavové syséy nasíněna v kapole a V éo kapole je uveden prosředek, kerý uožní propoj na jedné sraně arkovskou analýzu a na druhé sraně nekonsanní nenzy přechodů ez savy. V kapole je uveden způsob zjšění bodového odhadu paraeru exponencálního rozdělení. Tío rozdělení lze popsa dobu do poruchy koponeny, kerá r nedegraduje koponena je v období norálního žvoa. Dle vzorce λ 3.a se * T r vypoče bodový odhad nenzy poruch pro neopravované koponeny. Dle vzorce z * T 3.e se získá bodový odhad proudu poruch pro opravované objeky. Způsob výpoču bodového odhadu paraeru exponencálního rozdělení - λ není edy závslý na o, zda je objek opravovaný nebo neopravovaný. V kapolách a jsou uvedeny způsoby zjšění paraerů Webullova rozdělení pro neopravovaný a opravovaný objek. Pro každý yp objeků jsou způsoby výpoču bodových odhadů paraerů α, odlšné. V kapole 4.. a 4.. jsou defnovány a popsány dva základní eríny: sysé sejně spolehlvý jako sarý as good as old, sysé sejně spolehlvý jako nový as good as new. V první případě, kdy objek je po poruše opravován, lze předpokláda, že paraer proudu poruch po obnově koponeny je shodný jako před poruchou. Defnuje se erín, že koponena je as good as old. Usálený překlad do češny pro eno výraz neexsuje, proo je využ v éo prác erín sejně spolehlvý jako sarý. Teno erín se ýká předevší opravovaných objeků. Ve druhé případě, kdy objek je po poruše nahrazen za nový, lze předpokláda, že nenza poruch po obnově je shodná jako u nové koponeny. Defnuje se erín, že koponena je as good as new. Usálený překlad do češny pro eno výraz neexsuje, proo je využ v éo prác erín sejně spolehlvý jako nový. 4.. Sysé sejně spolehlvý jako sarý U koponeny, kerá je sejně spolehlvá jako sará, je po obnově paraer proudu poruch z nenza přechodu h j shodný, jako kdyby k poruše nedošlo. Exsuje í vzažný bod - počáek 0, ke keréu je vzažen veškerý čas nenz přechodů h j ez savy. Teno odel je vhodný pro syséy, kde je koponena po poruše opravena. Úloha sanovení pohoovos syséu se řeší poocí obyčejných dferencálních rovnc s nekonsanní koefceny. U úlohy je splněna základní arkovská podínka 3.8, že sysé je bez paě, proo lze úlohy řeš nuercky, například eodou Runge-Kua. Tao úloha je řešena v kapole 4.. Srana: 4 z 98

42 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Okažé hodnoy proudu poruch z nenzy přechodu ez savy h j opravované koponeny jsou zobrazeny na obr.. Auor vyzkoušel v řadě prací [86], [89], [9], [9], [93], [96] a [00], že je pro řešení arkovské analýzy ve spolehlvos pro sysé sejně spolehlvý jako sarý dosačující Eulerova eoda. Její nevýhoda spočívá v o, že z důvodu nuercké sably usí bý enší časový krok než u složějších a z pohledu doby výpoču výhodnějších eod Runge- Kua. Tí je prodloužena doba výpoču. Eulerova eoda á však u výhodu, že lze snadněj a nuvněj odelova prevenvní údržbu vz kapola 5, než je ou př výpoču eodou Runge-Kua. 4.. Sysé sejně spolehlvý jako nový U objeku, kerý je sejně spolehlvý jako nový, je po poruše koponena nahrazena novou. Inenza poruch λ nové koponeny v okažku výěny γ je shodná jako nenza poruch koponeny saré v čase 0. Časový posun γ je vzažen k časovéu okažku obnovy. Teno okažk γ není přesně zná. Tí vznkají velké poíže př řešení úlohy, proože sysé je s paěí a nelze použí pro řešení pops obyčejný dferencální rovnce. řádu. Úloha se řeší poocí eody Mone Carlo. Tao úloha je řešena v kapole 4.3. Na obr. je uvedena závslos okažé nenzy poruch λ pro objek po poruše sejně spolehlvý jako nový a proudu poruch z pro objek po poruše sejně spolehlvý jako sarý. Způsoby řešení syséů, keré jsou buď sejně spolehlvý jako sarý, nebo sejně spolehlvý jako nový se navzáje zcela vylučují. Z ohoo důvodu jsou v dserační prác v jednolvých kapolách uvedeny odděleně oba způsoby. Sejně ak zdrojové exy v sofwaru MATLAB, keré jsou uvedeny v příloze a příloze 3, jsou odlšné pro obě eody. Obr. : Závslos nenzy/proudu poruch na čase pro objeky sejně spolehlvé jako sarý a sejně spolehlvé jako nový Exsují jné odely, kde výsledná nenza přechodu koponeny h j je oezená okažou nenzou poruch λ a paraere proudu poruch z. Teno odel Srana: 4 z 98

43 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby nenz/proudu poruch není popsán v dserační prác. Řešení akového odelu by bylo ožné eodou Mone Carlo. Nová nenza přechodu koponeny po obnově by byla vypočena poocí vzorců, keré by zadal auor analýzy. Př řešení akovéo úlohy je pro účnnou analýzu spolehlvos nuné velké nožsví vsupních da o poruchách. Srana: 43 z 98

44 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Srana: 44 z Objek po obnově sejně spolehlvý jako sarý Jak jž bylo popsáno v úvodní kapole 4. bude v oo odsavc popsán odel, kdy objek je po obnově sejně spolehlvý jako sarý. Úloha se řeší poocí sousavy obyčejných dferencálních rovnc - kapola 4 Teno odel je vhodný pro opravované syséy. V prosředí MATLAB byl vyvořen sofware, kerý řeší uo úlohu. Zdrojový ex je uveden a popsán v příloze Pops syséu poocí arkovských řeězců Ideou př řešení odelu je nahrazení paraeru proudu poruch z nebo obecně okažých nenz přechodů ez savy h j sřední nenzou přechodů ez savy, j h podle vzorce 4.. Následně ze znalosí sředních nenz přechodů ez savy, j h lze zjs ac pravděpodobnosí přechodu P dle vzorce 4.. Prvky éo ace předsavují dskréní arkovský nehoogenní proces.,,, N j d h h j j, 4. N N NN N N N N N N h h h h h h h h h,,,,,,,,,,,, ,, h I P 4. Z důvodu nuercké sably usí bý ace, P sochascká, j. prvky ace,,,,,,,,,, NN N N N N p p p p p p p p p P pro N j,,, oezeny hodnoou, 0 j p. Dále usí bý splněno, N j j p. Doporučuje se z důvodu přesnos řešení, není však nuné, aby hodnoy prvků, j p byly buď 0 Sofwarový prosředek zároveň řeší přínosy uvedené v dalších kapolách. Proo je uveden až na konc eorecké čás. Je ožno uvés nenzu poruch, za přjuí předpokladu, že neopravovaný objek á po nahražení shodnou nenzu poruch jako před poruchou.

45 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby p, 0, nebo j p j,. j,,. ze savu do savu j v časové nervalu p předsavuje pravděpodobnos přechodu Ze znalos ace pravděpodobnos přechodů P, se určí hodnoa pravděpodobnosního vekoru p poocí vzorce 4.3. p p P, 4.3 Nechť je doba do přechodu popsána Webullový rozdělení s paraery α a, kde α, > 0. Poo je nenza přechodu h j dána podle vzorce 3. vzorce 4. je sřední nenza přechodu na nervalu, : h j α. Dle h j, α 4.4a V odsavc je uvedeno rozdělení s nenzou přechodu h λ. Too α rozdělení odsraňuje nevýhodu, kdy př > je h 0 0. Sřední nenza poruch je na nervalu, : h j, λ 4.4b α Proože je zjšťování sřední hodnoy na dané nervalu, pro celou ac a v každé časové nervalu složé, je snaha výpoče zjednoduš. Pro výpoče je jednodušší a rychlejší použí hodnou okažé nenzy poruch ve sředu nervalu, 0. l. 5 Relavní chybu η, vznknuvší zěnou sřední hodnoy nenzy přechodu v nervalu, na hodnou nenzy přechodu v bodě h, lze vyjádř vzorce 4.5: h, h η 4.5a h Pro nenzu přechodu danou Webullový rozdělení s nenzou přechodu uvedenou ve vzorc 4.4a a 4.4b je relavní chyba závslá na velkos paraerů, keré vsupují do vzorce α,, λ, a h. Dosazení rovnce 4.4b do rovnce 4.5a a následnou úpravou, se zjsí, že není závslá na nenzě poruch λ. To znaená, že íso vzorce 4.4b lze dosad sřední hodnou ve varu hj,, j. vzorce α 4.4a. Pro relavní chybu η se obdrží následující vzorec: Srana: 45 z 98

46 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Srana: 46 z 98 α α α η l l 4.5b Jeslže je: >, poo je výraz vzorec 4.5, h h h kladný konvexní funkce, <, poo je výraz, h h h záporný konkávní funkce. Relavní chybu lze vyjádř poocí oálního dferencálu za použí parcálních dervací. Ty jsou uvedeny v rovncích 4.6. V případě, že <, je nuné vzorce 4.6 násob koefcene -. 0 α η 4.6a ln ln ln ln ln η l l l l l l l 4.6b η l l l l l h 4.6c η l l l l 4.6d

47 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Z důvodu obížnos odhalení vlvu jednolvých parcálních dervací bude uveden příklad. V ně se sleduje rozdíl ve výsledcích sřední nenzy přechodů pro Webullovo rozdělení, keré se nejčasěj používá pro pops nekonsanních nenz poruch h j. Cíle je sanov relavní chybu η. Jako referenční odel pro porovnání výsledných sředních nenz jsou použy následující paraery α 0000,, 5, 00 h a 0 h. Je sledována chyba výpoču, jeslže se paraery jednolvě ění na: α 5000, α 0000, 0, 7,,,,8, 0 h, 000 h a délka kroku 5 h, 0 h. Výsledky sably jsou uvedeny v abulce. V prvních čyřech sloupcích abulky jsou uvedeny paraery Webullova rozdělení. V páé sloupc je uvedena sřední nenza poruch vypočená poocí vzorce 4.. V další sloupc je uvedena okažá nenza poruch zjšěná ve sředu nervalu. V poslední sedé sloupc je zjšěna relavní chyba nenz př výpoču. Relavní chyba zjšěná z přede zadaných hodno je, α [h] Tabulka : Chyba př výpoču sřední nenzy přechodu [h] h, [h - ] h 0000, , , , , , ,53.0-5, , , ,37.0-6, , , , , , , , , , , , , ,50 0 4, , , , , , , , ,59.0-5,59.0-5, , , , , [h - ] h, h h Z abulky lze zjs, že rozdíl v nenzách je prakcky na jeden krok zanedbaelný. Relavní chyba je význaně závslá pouze na délce nervalu, což je způsobeno použou nuerckou eodou. Snížení lze dosáhnou buď zenšení kroku, nebo použí eody Runge-Kua. Srana: 47 z 98

48 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 4.. Výpoče v MATLABu Poocí sofwaru MATLAB je naprograován prosředek, kerý uožňuje o jné odelova neexponencální dobu do přechodu. Předpoklade je, že př analýze je pevně zakoven čas k počáku sulace. Př výpoču je využo zěny z ace nenz přechodu h na ac pravděpodobnos přechodu P,. Tao zěna je popsána v kapole 4 Zdrojový ex a pops je uveden pro sysé, kerý je sejně spolehlvý jako sarý v příloze. Ukazaele pohoovos, keré sofware sanovuje a ýkají se popsu koponen s neexponencální dobou do přechodu, jsou následující: funkce okažé pohoovos A, součnel sřední pohoovos A 0,, kuulovaná doba nepouželného savu TDT, kuulovaná doba použelného savu TUT, funkce okažé nepohoovos U, součnel sřední nepohoovos U 0, Řešený příklad Příklad, kerý je zde uveden, bude analyzován poocí prosředku uvedeného v příloze. Pro porovnání výsledků bude shodný příklad vyvořen a analyzován v sofwarové prosředku IsographDrec, kerý uožňuje odelova syséy s neexponencální dobou do přechodu. Zadání příkladu: Nechť exsuje sysé, kerý je popsán poocí sed savů, keré jsou označeny až 7. Sav je sav provozu, savy až 6 jsou čásečně poruchové a sav 7 je poruchový. Nechť nenza přechodu ez dvěa po sobě označený savy vychází,5,5 z Webullova rozdělení a je h 0,00. Po poruše je sysé opravován, edy je, sejně spolehlvý jako sarý a nenza přechodu z každého savu do savu je h 0, 0 h -. Přechodový dagra je zobrazen na obr. 3. Úkole je zjs ukazaele pohoovos. Vyjádření výsledků analýzy ze sofwaru Isograph vlevo a MATLAB vpravo jsou následující: funkce okažé pohoovos A , 998 A , 9977, součnel sřední pohoovos A 0,0000 0, 999, kuulovaná doba nepouželného savu TDT , 54 TDT , 53h, kuulovaná doba použelného savu TUT 9990 h TUT 999, 5 h, funkce okažé nepohoovos U , 007 U , 003, součnel sřední nepohoovos U 0,0000 0, Graf nepohoovos syséu získaného z Isographu a MATLABu na obr. 4. Oba grafy výsledné hodnoy se shodují. jsou uvedeny Způsob výpoču jednolvých paraerů jsou uvedeny v kapole použé značení. Srana: 48 z 98

49 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obr. 3: Přechodový dagra řešeného příkladu Obr. 4: Porovnání nepohoovosí poocí sofwaru Isograph vlevo a poocí MATLABu vpravo Srana: 49 z 98

50 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 4.3 Objek po obnově sejně spolehlvý jako nový Koponena, kerá je po poruše nahrazena je sejně spolehlvá jako nová, á nenzu poruch vzaženu k počáku provozu koponeny. Tí, že čas obnovy není zná, zrácí se základní arkovská vlasnos vzorec 3.8, že sysé je bez paě. Analyzovaný sysé nelze řeš poocí dferencálních rovnc s nekonsanní koefceny, keré jsou uvedeny ve vzorc 3.5. Úloha se řeší například poocí eody Mone Carlo kapola Její prncp je založen na nohonásobné opakování sejného náhodného pokusu a na sledování jeho náhodného procházení v čase. Na analyzovaný sysé se vyvoří přechodový dagra. Teno přechodový dagra je svojí opologí shodný s přechodový dagrae syséu, kerý splňuje arkovskou vlasnos koponena po obnově je sejně spolehlvá jako sará. Odlšná jsou však pravdla nenz přechodů ez jednolvý savy. Každéu přechodu se defnují podínky pro zěny do dalších savů. Tyo podínky ohou bý vzaženy buď k počáečníu času sulace obdobně jako v kapole 4., nebo k jnéu časovéu okažku nejčasěj k obnově koponeny. Určí se, kdy dojde k jednolvý přechodů v syséu a jaká je nová konfgurace dosažená ío přechode. Každý přechod, kerý je popsán v přechodové dagrau á ve zdrojové exu prograu vlasní proceduru. Jednolvé ypy vkládaných procedur jsou odlšné podle ypu přechodu a budou uvedeny v příslušných kapolách 4.3., 5.3 a 6.. Jeslže se do přechodového dagrau přdá/odebere někerý přechod ze savu do savu j, vloží/odsraní se v zdrojové exu řešícího prograu příslušná procedura. V každé realzac eody Mone Carlo dochází k náhodnéu procházení jednolvý savy přechodového dagrau syséu. Nechť je sysé v čase ve savu. Pro všechny ožné přechody vycházející ze savu se vypoče doba do přechodu podle pravdel daných přechode. Výsledný sav j z nožny savů vycházejících ze savu je dán přechode, reprezenující nální okažk přechodu, z nožny přechodů vycházejících ze savu. Fyzcký čas, kdy dojde k přechodu ze savu, je dán souče nální doby do přechodu ze savu a čase, kdy došlo k přechodu do savu Generování doby přechodu ez savy Čas do přechodu ze savu do dalšího savu se zjsí poocí vygenerovaného náhodného čísla, keré reprezenuje pravděpodobnos v dsrbuční funkc. Dsrbuční funkce je funkcí paraerů sasckého rozdělení a času F f paraery,. Řeší se nverzní úloha, kdy jsou znáy paraery rozdělení, a náhodný čísle je vygenerována F. Není zná čas do přechodu. Tedy f F, paraery. V abulce jsou uvedeny vzorce pro někerá nejčasěj používaná sascká rozdělení pro generování časů do přechodu. Do zdrojového exu se přdá procedura pro generování časů do přechodu. Každá procedura předsavuje jeden přechod ze savu do savu j. Procedura á následující základní srukuru nen; f < ; saej; end Srana: 50 z 98

51 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Tao procedura volá funkc, kerá je v oo případě nazvána nen. Pokud je funkce nazvána jný názve, bude použo jného názvu v příkazu. Pro generování doby do přechodu se využje jedné z následujících ožnosí: náhodný generáor z daného rozdělení pleenovaný v sofwaru MATLAB, aeacké vzorce, pokud není pro dané sascké rozdělení v MATLABu generáor pleenován a nelze použí aeacké vzorce pro obížné vyjádření f F, paraery, lze využí nuerckého výpoču. Použí jednolvých rozdělení je ve sručnos popsáno v kapole V první případě, kdy se využívá pro zjšění poencálního času přechodu ze savu do savu j poocí funkce se určí pouze okažk ožného přechodu ze savu do savu j náhodného generáoru z MATLABu, se využje následující funkce: funcon 3nen defnování jéna funkce nen a výsupní proěnné 3 3exprnd0000; zjšění, za jakou dobu by došlo k přechodu generáor z exponencálního rozdělení end V druhé případě, kdy se využívá pro zjšění poencálního času přechodu ze savu do savu j aeackého vzorce se využje v MATLABu naprograovaná následující funkce: funcon 3nen defnování jéna funkce nen a výsupní proěnné 3 3-logrand/0.00; zjšění, za jakou dobu by došlo k přechodu 3 end Ve řeí případě, kdy se využívá pro zjšění poencálního času přechodu ze savu do savu j nuerckého výpoču, se využje v MATLABu naprograovaná následující funkce: funcon 3nen defnování jéna funkce nen a výsupní proěnné 3 nahcslorand; defnování náhodného čísla funkce0; hodnoa dsrbuční funkce 30; čas, př keré by došlo k přechodu whle nahcslo>funkce cyklus whle - zjšění prvního odhadu ožného přechodu cyklus je ukončen př první nesplnění podínky funkce-exp *3; zadání dsrbuční funkce 3300; přdání času k okažku ožného přechodu end konec cyklu whle 33-00; funkce0; whle nahcslo>funkce odpoče času po první nesplnění podínky vynulování dsrbuční funkce pro další cyklus shodný cyklus whle jako nahoře přesné zjšění okažku ožného přechodu 3 V MATLABu funkce logx vypočíá přrozený logarus čísla x Srana: 5 z 98

52 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby end funkce-exp *3; 33; end 33-; odpoče času po první nesplnění podínky Př odelování poocí výše uvedených příkladů je nuné zajs, aby doba do ožného přechodu 3 nebyla záporná. Teno předpoklad se ýká předevší norálního rozdělení. Funkce s podínkou, že doba do přechodu nebude záporná je uvedena níže. funcon 3nen defnování jéna funkce nen a výsupní proěnné 3 3norrnd0000,000; zjšění za jakou dobu by došlo k přechodu f 3<0 ošeření zápornos doby do přechodu 30; end end V abulce je uveden sezna nejčasějších rozdělení popsující dobu do poruchy a vzorce, poocí kerých lze daný přechod ez savy řeš. Srana: 5 z 98

53 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Rozdělení exponencální Webullovo Norální Log-norální Erlangovo Gaa F Tabulka : Vzorce pro generování doby do přechodu h f Pr, par Funkce v MATLABu. způsob. způsob 3. způsob řešení řešení řešení Nuercky h Nuercky lnpr e λ λ exprndλ α e α α lnpr wblrndα, σ π σ π 0 0 e e τ µ σ dτ lnτ µ σ τ λ dτ e e e µ σ τ µ σ e dτ ln µ σ lnτ µ σ τ dτ j λ e! j j 0 j! j 0 j! λ τ α Γ τ e dτ α α 0 e f τ dτ g τ dτ 0 0 e λ α τ α α e e τ dτ λ Nuercky Nuercky j lnpr λ Nuercky j norrndµ,σ lognrndµ,σ Garndα, Z Garndα, f g Nuercky λ α Nuercky Výpoče v MATLABu Poocí sofwaru MATLAB je naprograován prosředek, kerý uožňuje odelova sysé, kde objeky jsou po poruše sejně spolehlvé jako nové. Zdrojový ex a pops je uveden v příloze 3. Ukazaele spolehlvos, keré sofware zjšťuje a ýkají se popsu koponen s neexponencální dobou do přechodu, jsou následující: funkce okažé pohoovos A, součnel sřední pohoovos A 0,, Srana: 53 z 98

54 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby kuulovaná doba nepouželného savu TDT, kuulovaná doba použelného savu TUT, funkce okažé nepohoovos U, součnel sřední nepohoovos U 0, Srana: 54 z 98

55 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 4.4 Příklad Příklad, kerý je zde uveden, bude analyzován pro objeky sejně spolehlvé jako nové určen pro neopravované objeky. Teno prosředek je uveden v kapole 4.3., sofware popsán zdrojový ex popsán v příloze 3. Pro porovnání výsledků bude shodný příklad analyzován poocí sofwaru, kerý analyzuje objeky sejně spolehlvé jako saré opravované objeky a byl uveden v kapole 4 Měje sysé, kerý je vořen čyř dencký koponena. Koponeny jsou v pohoovosní záloze. Inenza poruch každé koponeny je ve varu h λ. α Paraery rozdělení jsou: λ 0, 000, α 0000,, 5. Koponeny ají nenzu oprav µ 0,0. Koponeny jsou provozovány shodnou dobu. Cíle příkladu je porovna nepohoovos syséu U, jeslže koponeny jsou po poruše buď sejně spolehlvé jako saré nebo sejně spolehlvé jako nové. Přechodový dagra je zobrazen na obr. 5. λ µ µ λ 3 µ λ 4 Obr. 5: Přechodový dagra řešeného syséu Doba sulace byla zvolena 000 a h. Výsledke jsou grafy sřední nepohoovos syséu U. Př analýze eodou Mone Carlo, řešení pro objeky sejně spolehlvé jako nové, bylo použo 0 6 sulačních realzací. Př analýze eodou Runge- Kua, pro objeky sejně spolehlvé jako saré, byl použ časový krok 0, h. Výsledky jsou uvedeny na: obr. 6 - doba sulace 000 h, sysé sejně spolehlvý jako nový, obr. 6 - doba sulace 000 h, sysé sejně spolehlvý jako sarý, obr. 7 - doba sulace h, sysé sejně spolehlvý jako nový, obr. 7 - doba sulace h, sysé sejně spolehlvý jako sarý. Z grafů jsou zřejé následující výsledky pro oba ypy syséů: 6 sysé sejně spolehlvý jako sarý, doba sulace 000 h U 000,55 0, 6 sysé sejně spolehlvý jako nový, doba sulace 000 h U 000 0,85 0 sysé sejně spolehlvý jako sarý, doba sulace h U , 0 sysé sejně spolehlvý jako nový, doba sulace h U 0000, Srana: 55 z 98

56 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obr. 6: Graf nepohoovos syséu, doba sulace 000 h, sysé sejně spolehlvý jako nový vlevo, sysé sejně spolehlvý jako sarý vpravo Obr. 7: Graf nepohoovos syséu, doba sulace h, sysé sejně spolehlvý jako nový vlevo, sysé sejně spolehlvý jako sarý vpravo Srana: 56 z 98

57 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 4.5 Zaěnelnos odelů - sysé je sejně spolehlvý jako nový/sarý V kapole 4. byl popsán odel, kerý popsuje koponeny, keré jsou po obnově sejně spolehlvé jako saré. Teno odel je vhodný pro opravované objeky. V kapole 4.3 byl popsán odel popsující koponeny, kerou jsou sejně spolehlvé jako nové. Teno odel je vhodný pro neopravované objeky. Oba yo odely, keré jsou svoj povahou zcela odlšné, lze za splnění určých podínek zaěňova, proože ohou í éěř shodné výsledky. Zaěnelnos obou eod je ožná, jeslže: sřední doba do první poruchy syséu je výrazně delší než doba analýzy syséu vysoce spolehlvé syséy, nenzy přechodů ez savy h j jsou konsanní funkce. Jeslže je nenza přechodu klesající funkce například Webullovo rozdělení s paraere <, poo hodnoa funkce okažé nepohoovos U je věší pro sysé sejně spolehlvý jako nový než pro sysé sejně spolehlvý jako sarý. Jeslže je nenza přechodu rosoucí funkce například Webullovo rozdělení s paraere >, poo hodnoa funkce okažé nepohoovos U je věší pro sysé sejně spolehlvý jako sarý než pro sysé sejně spolehlvý jako nový. Srana: 57 z 98

58 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 5. Modelování údržbových zásahů V éo kapole bude do arkovské analýzy ve spolehlvos vložen prosředek, kerý uožňuje odelova syséy s prevenvní údržbou. Markovská analýza popsaná v kapole předpokládá, že jednolvé přechody se odehrávají ve spojé čase - porucha nebo obnova koponeny. Pro řešení se sesavla sousava dferencálních rovnc, kerá se následně řešla. Výsledke analýzy byla spojá funkce okažé pohoovos A. Př prevenvní údržbě dochází k přechodů ez savy podle přede daných pravdel daných koncepcí údržby. Dochází k nespojose funkce okažé pohoovos A. Ternologe a rozdělení ypů údržby jsou noravně popsány v [67] a [68]. Základní rozdělení údržby je uvedeno na obr. 8, kerý je převza z [68] - sr. 8. Porucha Doba ez porucha Porucha Před zjšění poruchového savu Údržba Po zjšění poruchového savu Prevenvní údržba Údržba po poruše Údržba podle savu Údržba s přede sanovený nervaly Plánovaná, nepřeržá nebo na požádání Plánovaná Odložená Okažá Obr. 8: Rozdělení ypů údržby Údržba c. [67] def kobnace všech echnckých a adnsravních čnnosí, včeně čnnosí dozoru, zaěřených na udržení ve savu nebo navrácení objeku do savu, v něž ůže pln požadovanou funkc. Prevenvní údržba c. [68] def údržba prováděná v přede sanovených nervalech nebo podle předepsaných krérí a zaěřená na snížení pravděpodobnos poruchy nebo degradace fungování objeku. Údržba po poruše c. [68] def údržba prováděná po zjšění poruchového savu a zaěřená na uvedení objeku do savu, ve keré ůže vykonáva požadovanou funkc. Údržba podle savu c. [68] def prevenvní údržba, kerá se skládá z onorování výkonnos a/nebo paraerů a z následných opaření. Údržba s přede sanovený nervaly c. [68] def prevenvní údržba prováděná 4 Pops analýzy uvedený v kapole 3.3 byl rozšířen v kapole 4 Srana: 58 z 98

59 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby v souladu se sanovený časový nervaly nebo sanovený poče jednoek používání, avšak bez předchozího zjšťování savu objeku. Srana: 59 z 98

60 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 5. Modelování údržby poocí arkovské analýzy Složé syséy ají obvykle koplexní polku údržby, kerá se skládá z noha dílčích úkolů. Základní ypy údržby v daných časech jsou dány plány echncké údržby. Jednolvé kroky echncké údržby lze charakerzova podle různých cílů a přísupů k zajšění udržovaelnos objeku. V současné době jsou využívány předevší následující ypy []:. údržba po poruše,. údržba po prohlídce, 3. sysé sandardní prevenvní údržby, 4. prevenvní perodcké opravy, 5. údržba posupnou výěnou skupn, 6. údržba dferencovanou proporconální péčí, 7. údržba podle skuečného savu, 8. údržba za použí opalzace celkových nákladů, 9. údržba podle posouzení důsledků poruch. V následující exu bude k jednolvý ypů údržeb vz sezna výše popsán způsob odelování poocí arkovské analýzy. Zvlášní důraz je kladen na o, zda použí odel pro sysé sejně spolehlvý jako sarý kapola 5., nebo pro sysé sejně spolehlvý jako nový kapola5.3.. Údržba po poruše Př éo údržbě se přpouší rzko poruchy í, že objek se obnoví až po její vznku. Nepředpokládá se prevenvní údržba. Modelování údržby po poruše je popsáno poocí arkovských procesů v kapole 3.3. Z údajů o poruchovos a z přechodového dagrau se zjsí nenzy přechodů reprezenující poruchy a obnovy zařízení. Vyvoří se ace nenz přechodů h, určí se počáeční podínky p 0 a řeší se sousava dferencálních rovnc 3.5a. Základní arkovská vlasnos předpokládá, že ace nenz přechodů h není závslá na čase. To znaená, že doba do poruchy/obnovy splňuje exponencální rozdělení. V kapole 4 je uveden prosředek, kerý uožňuje odelova neexponencální rozdělení doby do přechodu, zn. nenza přechodu je závslá na čase. Následně se řeší sousava dferencálních rovnc 3.5b. Pro řešení dferencálních rovnc 3.5 je ypcké, že pravděpodobnos všech savů jsou př údržbě po poruše spojé funkce. Zěny pravděpodobnosí jednolvých savů ohou nasa v každé časové okažku. Osaní ypy údržbových zásahů, keré jsou uvedeny v seznau, nelze v současné době poocí arkovské analýzy dosaečně podrobně řeš. V přechodové dagrau dojde vlve prevenvní údržby v přede dané čase k přechodu ze savu do savu j s danou pravděpodobnosí podle přede daných pravdel. K přechodu ez savy dojde v dskréní čase a není í splněn předpoklad, že zěna pravděpodobnosí savů je spojá. Z ohoo důvodu nelze použí pro sanovení funkce okažé nepohoovos syséu U rovnc 3.5. Proo jsou v dserační prác vyvořeny prosředky - vz kapola 5. a 5.3, keré uožňují odelova prevenvní údržbu. Oba prosředky se lší v o, zda je sysé po obnově sejně spolehlvý jako sarý - kapola 5., nebo sejně spolehlvý jako Srana: 60 z 98

61 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby nový - kapola 5.3. V současné době je v eor spolehlvos odelována prevenvní údržba předevší pro dvousavové syséy. V dserační prác bude eno yp údržby pro vícesavové syséy vysvělen poocí eody arkovské analýzy. V příloze a 3 jsou uvedeny zdrojové exy naprograované v MATLABu, keré uožňují analyzova syséy a kerý je sejně spolehlvý jako sarý a sejně spolehlvý jako nový. Tyo progray uožňují odelova aké syséy s prevenvní údržbou a dále syséy, keré ají nekonsanní nenzy přechodů ez savy.. Údržba po prohlídce - jsou předepsány nervaly prohlídek objeku, př kerých se zjsí skuečný echncký sav a podle výsledku se provede oprava syséu. Mohou nasa oba dva odelové případy, zn. kdy objek je po obnově sejně spolehlvý jako sarý jako nový. 3. Sysé sandardní prevenvní údržby - je založen na znalos norované žvonos jednolvých dílů, keré jsou opravovány v předepsané rozsahu a lhůách zásadně prevenvní způsobe bez ohledu na jejch akuální skuečný echncký sav. K odelování sandardní prevenvní údržby lze použí odel, kdy koponena je po obnově sejně spolehlvá jako nová, proože koponeny jsou nahrazovány v přede daných časech bez ohledu na jejch akuální skuečný echncký sav. 4. Prevenvní perodcká oprava - je založena na organzačně echnckých opařeních obsluhy a dozoru nad objeke, kerý poskyuje prosředky k prevenvní a perodcké údržbě podle daného plánu. Př odelování ohoo ypu údržby lze použí podle druhu úlohy oba základní odely, j. kdy sysé je sejně spolehlvý jako nový kdy sysé je sejně spolehlvý jako sarý. 5. Posupná výěna skupn Údržba, př keré jsou posupně vyěňovány skupny koponen, je používána u objeků, jejchž charaker, konsrukční a echnologcké provedení dovoluje snadnou onáž a deonáž celých skupn a podskupn. Teno yp údržby je ožné řeš předevší poocí odelu, kdy je sysé sejně spolehlvý jako nový. 6. Dferencovaná proporconální péče - rozlšuje péč o objek podle důležos jeho funkce jako základního výrobního prosředku. Přpouší určý poče poruch a oprav s í, že jsou posouzeny důsledky ěcho poruch. Tou je podřízena dferencovaná péče o objek. Teno údržbový zásah lze odelova poocí obou ypů prosředků, j. kdy sysé je sejně spolehlvý jako sarý sejně spolehlvý jako nový. Př odelování poocí arkovské analýzy je nuné brá v poaz, že savy výsledného přechodového dagrau popsují nejeno kobnac poruch jednolvých koponen, ale zároveň jejch důležos k udržení provozuschopnos, bezpečnos a ekonočnos. Z ohoo důvodu je vyvoření přechodového dagrau u ohoo ypu údržby složější a je nuné sledova více vazeb než u jných ypů údržeb. 7. Údržba podle skuečného echnckého savu - údržbové úkony se provádí na základě objekvně zjšěného skuečného savu v okažku, kdy hodnoa konrolované velčny charakerzující echncký sav dosáhne ezní hodnoy. Teno údržbový zásah lze odelova poocí obou ypů prosředků, j. kdy sysé je sejně spolehlvý jako sarý sejně spolehlvý jako nový. Srana: 6 z 98

62 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Př odelování přechodového dagrau je nuné rozlš dva ypy poruch - bezpečné a nebezpečné. Mohou nasa následující čyř případy: hodnoa konrolované velčny charakerzující echncký sav je vyšší než ezní hodnoy a nedojde následně k poruše - bezpečná porucha konrolované velčny, hodnoa konrolované velčny charakerzující echncký sav je vyšší než ezní hodnoy a dojde následně k poruše - nebezpečná porucha, hodnoa konrolované velčny charakerzující echncký sav je nžší než ezní hodnoy a nedojde k poruše - provoz, hodnoa konrolované velčny charakerzující echncký sav je nžší než ezní hodnoy a dojde k poruše - nebezpečná porucha. 8. Opalzací celkových nákladů na pořízení a údržbu objeku - údržba je založena na sledování jednokových nákladů na pořízení a udržení objeku v provozu. Náklady jsou objekvní ukazaele echnckého savu, proože negrují vlasnos spolehlvos jako jsou bezporuchovos, pohoovos, opravelnos, dagnoskovaelnos a složku nákladů na údržbu a opravu. Př vorbě přechodového dagrau se bere ohled na ocenění zske nebo zráou jednolvých savů. Dále se oceňují přechody ez savy, keré jsou reprezenovány poruchou, obnovou nebo údržbou syséu. Teno yp údržby je jž blízký spolehlvosně-ekonocký eodá jako jsou například eoda nákladů žvoního cyklu LCC č údržba zaěřená na bezporuchovos RCM Př odelování ohoo ypu se využívá obou ypů odelů, j. kdy sysé je sejně spolehlvý jako sarý, nebo sejně spolehlvý jako nový. 9. Podle posouzení důsledků poruch - eno yp údržby se zaěřuje na účelnos a hospodárnos se zdůraznění požadavků na spolehlvos a bezpečnou funkc syséu. Opě eno yp údržbového zásahu lze odelova poocí obou ypů odelů, j. kdy sysé je sejně spolehlvý jako nový, nebo kdy je sysé sejně spolehlvý jako sarý. Proože v seznau u řady údržbových zásahů je uvedeno, že je ožné úlohu řeš oběa základní ypy odelů, je nuné popsa pravdla, kdy je vhodnější použí odel syséu sejně spolehlvého jako sarý, nebo sejně spolehlvého jako nový. V první případě, kdy je použ odel syséu, kerý je po obnově sejně spolehlvý jako sarý, jsou porouchané koponeny opraveny. Teno odel lze využí, jeslže poče opravovaných koponen je výrazně věší než poče vyěňovaných koponen. Zdrojový ex ohoo odelu je uveden a popsán v příloze. V druhé případě, kdy je použ odel syséu, kerý je po obnově sejně spolehlvý jako nový, jsou porouchané koponeny vyěněny za nové. Teno odel lze využí, jeslže poče vyěňovaných koponen je výrazně věší než poče opravovaných koponen. Zdrojový ex ohoo odelu je uveden a popsán v příloze 3. Dserační práce nebere v úvahu případ, kdy sysé je ez ěo dvěa případy. To znaená v případech kdy je význaný poče koponen, keré jsou opravovány nahrazovány za nové. Poo je výsledná nenza přechodu po obnově koponeny oezena hodnoa nenz přechodu syséu sejně spolehlvého jako nový a sejně spolehlvého jako sarý. Srana: 6 z 98

63 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 5. Prevenvní údržba pro sysé sejně spolehlvý jako sarý 5.. Modelování Sysé, kerý je po poruše opraven je sejně spolehlvý jako sarý á nenzu poruch vzaženu k počáku analýzy. Tí je zachována arkovská vlasnos, že sysé je bez paě. Analyzovaný sysé se nahradí sousavou dferencálních rovnc, keré se řeší například eodou Runge-Kua. Pro pops pravděpodobnos savů p, př údržbě po poruše, je využo ace pravděpodobnosí přechodů P, 5. Přechod ez ací nenz poruch h a ací pravděpodobnosí přechodů P, je dán vzorce P, I h, <, 0. Hodnoy pravděpodobnosního vekoru v čase se zjsí poocí rovnc 3.7. Jeslže se v syséu provádí prevenvní údržba, nelze přechodový dagra syséu popsa poocí nenzy poruch/oprav. Je nuné přpoj prosředek, kerý zajsí časově nespojý pops pravděpodobnos savů - ac údržby U, : u, u, un, u, u, un, U,. un, un, unn, Prvek u j, ace údržby U, předsavuje pravděpodobnos prevenvní údržby v nervale <,, kdy konfgurace syséu odpovídající savu přejde údržbou do savu j. V přechodové dagrau se prvky u j zadávají společně s nenza přechodu λ j a µ j. V zásadě lze vyez dva základní případy prevenvní údržby [60], [6]: údržbový zásahe jsou v dané časové nervalu pokryy všechny koponeny a pravděpodobnos, že údržba je provedena správně, je, údržbový zásahe nejsou v dané časové nervalu pokryy všechny koponeny nebo pravděpodobnos, že údržba je provedena správně, je enší než. V přechodové dagrau reprezenuje každý sav konfgurac provozních a poruchových koponen. Každá koponena á určeny polkou údržby časy, kdy dojde k prevenvní údržbě. Tí dojde v čase údržbový zásahe k přechodu ze savu do savu j. Sav j je reprezenován sejnou konfgurací provozních a poruchových koponen až na y, keré byly právě obnoveny. p, L p j, 5 P, M O M, prvek p j, předsavuje pravděpodobnos přechodu ze p, L pj, savu do savu j v časové nervalu <., Srana: 63 z 98

64 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Mohou nasa následující varany podob ace U, : V každé řádku ace U, je prvek na dagonále roven. V syséu není provedena v dané časové nervalu žádná prevenvní údržba. V někeré řádku ace U, je prvek na dagonále nulový. Údržbový zásahe je v dané časové nervalu pokrya příslušná konfgurace koponen a pravděpodobnos, že údržba je provedena správně, je. V někeré řádku ace U, je prvek na dagonále v nervalu 0 a. Údržbový zásahe je v dané časové nervalu pokrya příslušná konfgurace koponen a pravděpodobnos, že údržba je provedena správně, je enší než. V někeré řádku ace U, je prvek na dagonále roven jedné. Údržbový zásahe není v dané nervalu pokrya příslušná konfgurace koponen. Pro ac U, plaí uj,,, j u j, 0. j Macově lze popsa provedenou prevenvní údržbu syséu v čase : p u p U. 6 Mac přechodů ez savy kobnovanou s ací údržby lze zapsa do jedné rovnce 5. p p P, U, V rovnc 5. se předpokládá, že údržbový zákrok je proveden na konc časového nervalu kroku. V případě, že údržbový zákrok je proveden na začáku časového nervalu o délce, přejde rovnce 5. na var 5.: p p U, P, Je edy nuný předpoklad, z důvodů přesnos, že ace P, á na dagonále prvky, keré jsou blízké hodnoě. Teno předpoklad je věšnou splněn, proože časový krok, kerý je násobena ace nenz přechodů h, je z důvodu sably alý. 5.. Určení hodno prvků ace údržby Zdrojový ex je naprograován v MATLABu. Př výpoču se předpokládá, že časové okažky prevenvní údržby jsou perodcké. Zadává se peroda a pravděpodobnos reprezenující íru pokryí údržbový zásahe. Př běhu prograu se sleduje, zda v dané časové kroku dojde k prevenvní údržbě. Nechť sysé je složen z koponen k,, k kn různého ypu. Každý sav, k, k, k,, N, přechodového dagrau je dán kobnací poču koponen n v provozu a koponen v poruše. Nechť je na ěcho koponenách prováděna prevenvní údržba s různou perodou. Poo lze popsa pro každou koponenu/skupnu koponen ac údržby U, U,, Un. Každá z ace U, U,, Un á shodné vlasnos jako ace údržby U, j. sochascké ace. Pravděpodobnosní vekor v čase po provedené údržbě se vypoče: 6 p u je pravděpodobnosní vekor po provedené údržbě v čase. Srana: 64 z 98

65 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby p u p U U U 5.3. n Nechť sav,,, N, přechodového dagrau je dán kobnací koponen k, k,, k l,, k n ve savu provozu a v poruše. Nechť se sesavuje ace údržby l -é koponeny - j. ace U l,. Nechť sav obsahuje r porouchaných koponen s označení l. Nechť jsou prevenvní údržbou pokryy všechny porouchané koponeny s pravděpodobnosí p. Nechť sysé přejde v čase opravou jedné koponeny ze savu do savu j a následně opravou dalších koponen do dalších savů. Poo -ý řádek ace U l je vořen nenulový prvky, keré jsou na pozcích, j,, za předpokladu, že 0 < p <. Jeslže p, poo jsou nenulové prvky v -é řádku na pozcích j,. Hodnoa ěcho prvků je dána bnocký rozdělení s paraery B r, p. Z důvodu sably úlohy nesí bý žádný z prvků ace P záporný. Jeslže je někerý prvek ace P záporný, doporučuje se zenš časový krok analýzy. Př analýze je nuné sledova, zda někerý prvek vekoru p není věší než nebo enší než 0. Dále se sleduje, zda ε < p < ε, kde ε je přede defnovaná chyba výpoču. Ω Chybu výpoču př opakované násobení ace P, lze odhadnou provedení shodné analýzy př delší časové kroku než. Jeslže oba výsledky funkce okažé pohoovos A jsou, až na povolenou chybu řešení, obdobné, lze učn závěr, že výsledek analýzy je přesný. Pokud je rozdíl řešení funkce okažé pohoovos význaný, doporučuje se zenš časový krok analýzy. Srana: 65 z 98

66 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 5.3 Prevenvní údržba pro sysé sejně spolehlvý jako nový Sysé, kerý je po poruše nahrazen je sejně spolehlvý jako nový á nenzu poruch vzaženu k počáku provozu koponeny. Tí se zrácí základní arkovská vlasnos, že sysé je bez paě. Analyzovaný sysé se řeší například eodou Mone Carlo, jejíž prncp je uveden v kapole V kapole 4.3. je uveden způsob výpoču funkce okažé nepohoovos U poocí eody Mone Carlo pro syséy, keré ají dobu do přechodu popsanou poocí Webullova rozdělení. Přechody ez savy se vkládají poocí procedur a funkcí do zdrojového exu prograu. Základní ypy procedur a funkcí pro pops doby dob přechodu jsou uvedeny ve sejné kapole. Analyzovaný sysé á přechodový dagra se shodnou opologí jako sysé, kerý je sejně spolehlvý jako sarý. Jeslže se v syséu provádí prevenvní údržba, nelze přechodový dagra syséu popsa poocí nenzy přechodu. Je nuné přpoj další yp procedur, kerá zajsí časově nespojý pops pravděpodobnos savů. U syséu, kerý je sejně spolehlvý jako sarý se přechody způsobené prevenvní údržbou uskuečňují poocí ace údržby U,. V kapole 5. jsou vyezeny dva základní případy. Buď jsou údržbový zásahe v dané časové nervalu <, pokryy všechny koponeny a pravděpodobnos, že údržba je proveden správně, je. Poo je prvek ace údržby u j,. Nebo nejsou údržbový zásahe v dané časové nervalu <, pokryy všechny koponeny nebo pravděpodobnos, že údržba je provedena správně je enší než. Poo je prvek ace údržby u j,. 0 < U syséu, kerý je sejně spolehlvý jako nový se přechody způsobené prevenvní údržbou uskuečňují poocí vložených procedur a funkcí. Do hlavního prograu se k příslušnéu savu přdá následující procedura: xrand; fx<0.8 prvek ace údržby u j, obvykle je odlšná hodnoa perodaudrzby; volání procedury perodaudrzby f < zjšění, zda dojde k přechodu ; sae; sav j end end fx>0.8&x<0.99 prvek ace údržby u j perodaudrzby; volání procedury perodaudrzby f < zjšění zda dojde k přechodu ; sae; sav k end end Proože př odelování syséu, kerý je sejně spolehlvý jako nový se vkládají procedury do hlavního prograu, je nuné prvky ace údržby u j, vkláda poocí Srana: 66 z 98

67 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby procedur. V ukázce procedury, kerá je uvedena výše, se nejdříve generuje náhodné číslo. Dále jsou do procedury vloženy podínky například fx>0.8&x<0.99, keré určují do jakého nového savu sysé přejde. Nechť sav,,, N, přechodového dagrau je dán kobnací koponen k, k,, k l,, k n ve savu provozu a v poruše. Nechť se sesavuje procedura l -é koponeny, kerá popsuje její prevenvní údržbu. Nechť sav obsahuje r porouchaných objeků s označení l. Nechť jsou prevenvní údržbou pokryy všechny porouchané koponeny s pravděpodobnosí p. Nechť sysé přejde v čase obnovou jedné koponeny ze savu do savu j a následně obnovou dalších koponen do dalších savů. Poo procedura, popsující prevenvní údržbu, přechází s určenou pravděpodobnosí do nových savů, j,, za předpokladu, že 0 < p <. Jeslže p, poo procedura přejde s jsoou do savu j. Hodnoa pravděpodobnosí ěcho prvků je dána bnocký rozdělení s paraery B r, p. Procedura, kerá byla uvedena výše, volá funkc perodaudrzby, kerá á následující srukuru: funcon [3] perodaudrzby 3fx/0000*0000-; zadání perody údržby h Srana: 67 z 98

68 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 5.4 Příklad V éo kapole je uveden vysvělující příklad dvousavového syséu. Způsob řešení je obdobný jako u aplkačního příkladu, kerý je v příloze 4. Aplkační příklad se zabývá odelování spolehlvos kopresorové sance ranzního plynovodu RWE Transgas. Sysé je vořen dvěa savy: sav 0 - koponena je v provozní savu, sav - koponena je v poruchové savu. Inenza poruch ez save 0 a je ve varu h λ, kde jednolvé α paraery jsou λ 0 6 h - 6, α 0 a. 5. Inenza oprav ez save a 0 je µ 0,00 h -. Mace nenz přechodů je h λ λ α α. Řešení µ µ sousavy dferencálních rovnc 3.5b lze sanov funkc okažé pohoovos A. Každých h se všechny koponeny oesují. V případě, že jsou v provozní savu jsou ponechány na sejné pozc. V druhé případě, kdy je zjšěno, že koponena je v poruchové savu, je vyěněna. Pravděpodobnos, že porouchaná koponena je ese rozpoznána a vyěněna, je 0,95. Dále pravděpodobnos, že neporouchaná koponena je ese rozpoznána jako porouchaná, je nulová. Délka časového kroku je sanovena na h. Mace pravděpodobnosí přechodů ez 0,5 0,5 6,5 6,5 savy je poocí vzorce 0 0 6,5 6,5 P, I h 0 0, 3 0 0,999 kde. Hodnoy paraerů ace údržby U, lze rozděl pro dva případy. Za prvé pro nervaly, keré neobsahují časový okažk k 0000 h, kde k je celé kladné číslo. 0 V oo případě je ace údržby U,. V druhé případě, pokud obsahují 0 časový okažk k 0000, kde k je celé číslo. Příslušná ace údržby je 0 U,. Přechodový dagra syséu je: 0,95 0,05 0 µ 0 λ 0 u 0. Pro sanovení funkce okažé nepohoovos syséu U je využ odel v sofwarové prosředku MATLAB. Na obr. 9 sysé sejně spolehlvý jako sarý a obr. 0 sysé sejně spolehlvý jako nový je uveden graf U a U, syséu, kerý je analyzován v éo kapole. Srana: 68 z 98

69 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obr. 9: Graf nepohoovos syséu s prevenvní údržbou, sysé sejně spolehlvý jako sarý Obr. 0: Graf nepohoovos syséu s prevenvní údržbou, sysé sejně spolehlvý jako nový Z grafu funkce okažé nepohoovos U lze zjs: hodnoy funkce okažé nepohoovos U, hodnoy součnele sřední nepohoovos U,, hodnou axální nepohoovos syséu U,. ax Časo je vhodné př analýzách syséu sledova součnel sřední nepohoovos. Teno paraer lze sníž například prodloužení sřední doby do poruchy koponen, zkrácení sřední doby do obnovy, úpravou polky údržby. Grafy nepohoovosí lze využí pro analyzování vlvu perody prevenvní údržby na celkovou nepohoovos syséu. Graf funkce okažé nepohoovos ůže bý aké vsupe pro další analýzy, například pro ekonockou analýzu nákladů žvoního cyklu. Ekonocké odelování je uvedeno v kapole 7. Srana: 69 z 98

70 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 6. Výkonové konfgurace syséu Mnoho zálohovaných zařízení ůže, podle požadavků, pracova nejeno na axální provozní výkon, ale na odlšný výkon. Ke každé koponeně je ožné přřad nforac, jaký podíl z axálního ožného výkonu syséu je schopna saa realzova. Zěnou výkonu syséu se následně ůže zěn aké funkce okažé pohoovos A sledovaného syséu. Z oho důvodu je nuné popsa sysé odděleně pro plný výkon a snížený výkon, přčež ožných scénářů sníženého výkonu výkonové konfgurace syséu je obvykle více. Lze předpokláda, že sysé, kerý vyrábí nžší výkon, bude í vyšší pohoovos. Jako příklad syséu s více výkonový konfgurace lze uvés výrobní sysé vořený lnka. U ohoo syséu se podle požadavků na obje výroby ohou jednolvé lnky posupně uvádě z nevyužého savu do provozu a naopak. Další příklade ohou bý ranzní sousavy, např. slnční a železnční doprava, ranspor plynu nebo ropy, kdy je spolehlvos syséu závslá na objeu přepravy. Úloha na zjšění paraerů spolehlvos syséu, př přepravě plynu ranzní plynovode je uvedena v kapole 8 a příloze 4. Pro pops výkonových konfgurací syséu je nuné, aby spolehlvos syséu byla závslá na jeho výkonu. Proože se jedná ypcky o zálohovaný sysé, jsou př axální provozní výkonu obvykle všechny koponeny v provozu. Př nžší výkonu syséu jsou v provozu buď všechny koponeny, keré však pracují na nžší výkon, poo jsou zálohovány v akvní záloze [67] - defnce Nebo jsou v provozu pouze někeré koponeny a osaní jsou v nevyužé savu přpraveny na provoz v případě poruchy, poo je sysé v pohoovosní záloze [67] - defnce Pro každou výkonovou konfgurac analyzovaného syséu lze vyvoř blokový dagra bezporuchovos syséu RBD dagra. RBD dagray jsou v éo dserační prác využívány z oho důvodu, že lze u nch relavně snadný způsobe zobraz různé ypy zálohování a í páde různé výkonové konfgurace syséu. Jeslže sysé pracuje na enší výkon, poo ůže bý jný RBD odel syséu. Zěny RBD dagraů závsí předevší na ypu zálohování koponen, zda jsou v akvní nebo v pohoovosní záloze. Výkonové konfgurace popsující sysé ohou í vlve různého zálohování koponen odlšné hodnoy nenz poruch λ / proudu poruch z. Následně pro každou výkonovou konfgurac a získaného RBD dagrau se sesaví přechodový dagra syséu. Přechody ez savy se ohodnoí nenzou poruch λ proude poruch z a nenzou oprav µ vzaženou k počáku sulace nebo k okažku obnovy. Případně je ožné ohodno přechody pravděpodobnos přechodů ez savy p j,. Model se následně řeší v závslos na o, zda je sysé sejně spolehlvý jako sarý sousavou dferencálních rovnc, nebo sejně spolehlvý jako nový procedura a funkce popsující přechody ez savy. Daný odel se následně řeší nuercky. 7 Jako příklad lze uvés slnční síě a elekroncké koponeny v syséu. 8 Jako příklad lze uvés výrobní lnky, kdy v případě nžšího objeu výroby lze jednu lnku vypnou. Srana: 70 z 98

71 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 6. Přechod z RBD odelu k přechodovéu dagrau V éo kapole jsou zobrazeny základní, nejjednodušší arkovské dagray pro paralelní a z n zálohování koponen. Každý yp zálohování lze dále rozděl na zálohy akvní a pohoovosní [67] def , K řešení je využo článků [58] a [59]. Články se zabývají odelování spolehlvos elekrcké síě poocí nehoogenních arkovských procesů. Základe je vyvoření přechodového dagrau pro každou výkonovou konfgurac. Každá výkonová konfgurace je propojena s osaní, í lze odelova přechody z jedné do osaních výkonových konfgurací. RBD dagray lze převés na přechodové dagray. Obráceně o neplaí. Všechny RBD dagray hodnoceného syséu, kerý jsou popsány různé výkonové konfgurace, se převedou na přechodové dagray. Inenzy přechodů nejsou ez ekvvalenní savy různých výkonových konfgurací shodné, proo jsou v éo kapole uvedeny základní způsoby zálohování s uvedení násobících koefcenů nenz přechodů. Obdobně supeň degradace provozní, čásečně poruchový, poruchový sav příslušných savů různých výkonových konfgurací není shodný. Mez základní ypy zálohování paří: sérové, paralelní - akvní záloha, paralelní - pohoovosní záloha, z n - akvní záloha, z n - pohoovosní záloha. V přechodových dagraech na obr.,, 3, 4, 6, 8 a 0 se předpokládá, že všechny koponeny ají shodnou nenzu poruch λ a nenzu oprav µ. Provoz č čásečně poruchové savy jsou označeny bílou barvou, poruchové savy červeně. Pokud není uvedeno jnak, sav 0 na následujících přechodových dagraech předsavuje 0 porouchaných z celkového nožsví koponen, sav předsavuje jednu porouchanou koponenu ad. Dále budou popsány základní přechodové dagray pro výše uvedené základní ypy zálohování. Sérové zálohování Blokový dagra bezporuchovos RBD sérového odelu vořeného dvěa koponena lze zobraz podle obr. vlevo. Porucha koponeny převede odel syséu z provozního savu 0 do poruchového savu s nenzou poruch λ. V poruchové savu ůže dojí pouze k obnově a přechodu do provozního savu 0 s nenzou oprav µ. Obdobně pro pops poruchy koponeny. Př poruše převede odel syséu z provozního savu 0 do poruchového savu - nenza λ. Zpě do savu 0 se sysé dosane obnovou - nenza µ. Obdobně lze rozšíř pro n koponen. Provozní sav sérového syséu předpokládá, že všechny koponeny jsou v provozu. Jeslže na někeré koponeně vznkne porucha, je v poruchové savu celý sysé. Přechodový dagra je zobrazen na obr. vpravo. Srana: 7 z 98

72 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obr. : RBD dagra a přechodový dagra sérového odelu pro dvě sérové koponeny s rozdílnou nenzou oprav Jeslže n koponen á shodnou nebo podobnou nenzu oprav, za předpokladu λ <<,.., n, lze savy až n spoj do jedného savu. Získá se přechodový µ dagra syséu, kerý je uveden na obr.. Výsledná nenza poruch se získá λ Inenza oprav se sanoví ze vzorce µ. λ µ n λ λ. 0 µ λ Obr. : Přechodový dagra pro sérové koponeny s obdobnou nenzou oprav Paralelní zálohování akvní V následujících odsavcích je uveden způsob odelování koponen, keré jsou paralelně a akvně zálohované. Akvní záloha znaená, že jsou všechny provozuschopné koponeny v provozu. Sysé je vořen n shodný koponena. Koponeny ají nenzu poruch λ a nenzu oprav µ. Jednolvé ypy savů nasanou: provozní sav - všechny koponeny jsou v provozní savu, čásečně poruchový sav - někeré, nkolv však všechny, koponeny jsou v provozuneschopné savu, poruchový sav - všechny koponeny jsou v provozuneschopné savu. Blokový dagra bezporuchovos je zobrazen na obr. 3. Porucha jedné koponeny převede sysé v přechodové dagrau z provozního savu 0 do čásečně poruchového savu. Ve savu ůže dojí k poruše druhé koponeny a í k přechodu do čásečně poruchového savu nebo k obnově a přechodu do provozního savu 0. Poruchou všech koponen přejde přechodový odel do poruchového savu n. Přechodový dagra je zobrazen na obr. 3. Srana: 7 z 98

73 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 0 nλ µ µ n-λ µ λ n Obr. 3: RBD a přechodový dagra pro paralelně akvně zálohované koponeny V následujících několka řádcích je uveden způsob jak odelova poruchu se společnou příčnou. Na obr. 4 je zobrazen přechodový dagra syséu, kerý je vořen dvěa shodný koponena a je paralelně akvně zálohován. Na koponeně se vyskyují dva ódy poruch. První je porucha koponeny, kerá á nenzu poruch λ. Druhá je porucha, kerá ohrozí chod obou koponen například napájení, v oo případě je nenza poruch λ. Porucha, kerá ohrozí provoz jedné koponeny, způsobí zěnu z provozního savu 0 do čásečně poruchového savu s nenzou poruch λ, proože jsou v provozu shodné koponeny. Inenza poruch ze savu do savu je λ, proože se ůže poroucha pouze zbývající jedna koponena. Př poruše se společnou příčnou vyřadí porucha více zálohovaných koponen z provozu. Inenza vznklé poruchy se společnou příčnou je λ. Inenza poruch se společnou příčnou není závslá na poču provozovaných koponen, ale pouze na nenzě jevu, kerý vyřadí z provozu všechny koponeny. V uvedené příkladě, vořené dvěa koponena, je nuné k nenzě přechodu ze savu do savu přčís nenzu poruch se společnou příčnou λ. Celková nenza přechodu ze savu do savu je λ λ. Inenza opravy jakékolv poruchy je µ. Srana: 73 z 98

74 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obr. 4: RBD a přechodový dagra pro dvě paralelně zálohované koponeny a poruchou se společnou příčnou Paralelní zálohování pohoovosní V éo podkapole je popsána vorba přechodového dagrau pro paralelní pohoovosní zálohu. Př akvní záloze jsou v provozu všechny koponeny. Př pohoovosní záloze jsou v provozu pouze y koponeny, keré jsou nuné pro výrobu. Náhradní koponeny se použjí až po poruše provozované koponeny. Sysé je vořen n shodný koponena. Koponeny ají nenzu poruch λ a nenzu oprav µ. Jednolvé ypy savů nasanou: provozní sav - jedna koponena je v provozu, osaní jsou v provozuschopné savu, čásečně poruchový sav - někeré, nkolv však všechny, koponeny jsou v poruchové savu, poruchový sav - všechny koponeny jsou v poruchové savu. Blokový dagra bezporuchovos je zobrazen na obr. 5. Obr. 5: RBD dagra pro paralelně pohoovosně zálohované koponeny Porucha jedné koponeny převede sysé v přechodové dagrau z provozního savu 0 do čásečně poruchového savu. Ve savu ůže dojí k poruše druhé koponeny a í k přechodu do čásečně poruchového savu nebo k obnově a přechodu do provozního Srana: 74 z 98

75 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby savu 0. Poruchou všech koponen přejde přechodový odel do poruchového savu n. Přechod ze savu 0 do savu á okažou nenzu poruch λ, proože v provozu je pouze jedna koponena, osaní jsou v pohoovosní záloze. Přechod ze savu do savu á okažou nenzu poruch aké λ, proože v provozu je jedna koponena, jedna koponena je v poruchové savu a osaní jsou v pohoovosní záloze. Předpokládá se, že jednolvé koponeny jsou přblžně sejně využívány pro provoz. Přechodový dagra syséu je uveden na obr λ µ µ λ µ λ n Obr. 6: Přechodový dagra pro paralelně pohoovosně zálohované koponeny Př odelování paralelního pohoovosního zálohování je nuné předpokláda, že všechny koponeny jsou přblžně sejně využívány. Pokud ou ak není, je nuné odelova sysé poocí odlšného přechodového dagrau. Nechť paralelní sysé je vořen dvěa koponena A a B. Koponena A je v provozu, koponena B je v nevyužé savu - pohoovosní záloze - sav 0. Poruchou koponeny A přejde sysé v dagrau do savu. Po poruše koponeny A ohou nasa dva případy. Buď bude koponena B převedena z nevyužého savu do provozu sysé je v provozu - sav. Nebo koponena B nebude v provozu a dojde k poruše celého syséu - sav 4. Po poruše koponeny B odel syséu přejde do savu 3. Ze savu 3 ůže odel syséu přejí buď do savu 0, nebo do savu 4. Blíže vz obr. 7. Obr. 7: Markovský přechodový dagra pro dvě koponeny v pohoovosní záloze Sloučení savů 0 a do jednoho provozního savu, a obdobně savů a 3 do čásečně provozuschopného savu, se získá přechodový dagra, kerý je uveden na obr. 8. Přechodové nenzy poruch ez provozní a čásečně poruchový save zůsanou shodné, proože v provozu je v dané čase pouze jedná koponena, druhá je o provoz a její nenza poruch je v dané okažku nulová. Srana: 75 z 98

76 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby z n zálohování akvní Př z n akvní zálohování je sysé vořen n shodný koponena, keré ají nenzu poruch λ a nenzu oprav µ. Jednolvé ypy savů nasanou: provozní sav - všechny koponeny jsou v provozní savu, čásečně poruchový sav - někeré koponeny jsou v poruchové savu a zároveň je více než koponen v provozní savu, poruchový sav - éně než koponen je v provozní savu. Blokový a přechodový dagra je zobrazen na obr. 8. Porucha jedné koponeny převede sysé v přechodové dagrau z provozního savu 0 do čásečně poruchového savu. Ve savu ůže dojí k poruše druhé koponeny a í k přechodu do opě čásečně poruchového savu nebo k obnově a přechodu do provozního savu 0. Jeslže je v provozu éně než koponen, sysé přechází do poruchového savu. 0 nλ µ µ n-λ λ n- µ -λ λ n Obr. 8: Přechodový dagra pro z n akvně zálohované koponeny z n zálohování pohoovosní Př z n pohoovosní zálohování je sysé vořen n shodný koponena, kde je v provozu právě koponen. Koponeny ají nenzu poruch λ a nenzu oprav µ. Jednolvé ypy savů nasanou: provozní sav - koponen je v provozu, osaní jsou v nevyužé savu, čásečně poruchový sav - někeré koponeny jsou v poruchové savu a zároveň je koponen v provozní savu, poruchový sav - éně než koponen je v provozní savu. Blokový dagra bezporuchovos je zobrazen na obr. 9. Srana: 76 z 98

77 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Obr. 9: RBD dagra pro z n pohoovosně zálohované koponeny Inenza přechodu ze savu 0 do savu je λ, proože v každé čase je právě koponen v provozu, osaní jsou v nevyužé savu. Obdobně nenza poruch ze savu do savu je λ, proože je opě koponen v provozu. Inenza poruch z provozuneschopného savu n do savu n je pouze λ, proože poče koponen v provozu je. Přechodový dagra je zobrazen na obr λ µ µ λ λ n- µ -λ λ n Obr. 0: Přechodový dagra pro koponeny zálohované z n s pohoovosní zálohou Srana: 77 z 98

78 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 6. Sesavení ace pravděpodobnosí přechodů pro sysé s více výkonový režy Funkce okažé pohoovos výkonové konfgurace syséu, kerá je popsaná přechodový dagrae ající N savů, lze vyřeš poocí: sousavy N obyčejných dferencálních rovnc prvního řádu, pro sysé sejně spolehlvý jako sarý, eody Mone Carlo, pro sysé sejně spolehlvý jako nový. Obecně analyzovaný sysé je charakerzován několka výkonový konfgurace, keré ají shodnou opolog přechodového dagrau, ale keré se odlšují hodnoa okažých nenz přechodů a defncí zda jednolvé savy jsou provozní, čásečně poruchové nebo poruchové. Z okažých nenz přechodů se vyvoří pro každou výkonovou konfgurac: ace pravděpodobnos přechodů P, - sysé sejně spolehlvý jako sarý, procedury vložené do zdrojového exu výpočového prograu - sysé sejně spolehlvý jako nový. Sysé sejně spolehlvý jako sarý Model syséu ůže přecháze poruchou, obnovou č údržbou koponen v rác jedné výkonové konfgurace ez savy podle pravdel přechodového dagrau. Přechody jsou dány ací pravděpodobnos přechodů P,. Dále odel syséu ůže přecháze ez odpovídající savy různých výkonových konfgurací podle přede daných pravdel. Z ohoo důvodu je nuné, aby jednolvé výkonové konfgurace ěly shodnou opolog přechodového dagrau. Přechody ez konfgurace ohou bý buď časově spojé, zn. že ohou nasa kdykolv v čase. Teno sysé lze popsa poocí ace nenz přechodů h a následně poocí vzorce 4. převés sousavu na ac pravděpodobnosí přechodů P,. Nebo ohou nasa pouze v určých dskréních časech a pak je nuné popsa sysé poocí ace pravděpodobnos přechodů P,. Sysé s v různý výkonový scénář se řeší ací pravděpodobnos přechodů, kerá á v bloků kole dagonály. Každý scénář s příslušnou výkonovou konfgurací reprezenuje jeden blok. Každý výkonový scénář reprezenovaný bloke je čvercový a á olk řádků a sloupců, jako je poče savů přechodového dagrau každé výkonové konfgurace. Dále jsou v ac přechody ez různý výkonový konfgurace odpovídajících savů. Tyo pravděpodobnos přechodů jsou opologcky rovnoběžné s dagonálou ace pravděpodobnos přechodů P,. Na obr. je ukázána srukura pravděpodobnosí ace přechodu s nenulový prvky. Sysé á pě savů a vyskyuje se ve dvou výkonových konfguracích. Červeně jsou vyznačeny prvky j ace pravděpodobnos přechodů, keré ohou nabýva nenulových hodno. Osaní bílé prvky jsou vždy nulové. Srana: 78 z 98

79 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Přechod ez první a druhou výkonovou konfgurací pro sav 3 Inenza přechodu ez save ř a čyř druhé výkonové konfgurace Obr. : Srukura ace pravděpodobnosí přechodů pro dvě výkonové konfgurace Sysé sejně spolehlvý jako nový Model syséu, kerý je sejně spolehlvý jako nový, ůže přecháze v rác jedné výkonové konfgurace ez savy podle přechodového dagrau. Přechody jsou dány pravdly, keré jsou vkládány ve forě procedur do zdrojového exu prograu příloha 3. Dále ůže přecháze ez různý výkonový konfgurace. V oo případě odel syséu přechází ez odpovídající savy různých výkonových konfgurací. Z ohoo důvodu je nuné, aby jednolvé výkonové konfgurace ěl shodnou opolog přechodového dagrau. Přechody ez konfgurace ohou bý buď časově spojé, nebo ohou nasa pouze v určých dskréních časech. V první případě, kdy dochází k časově spojý přechodů, se přechod ez odpovídající savy různých výkonových konfgurací odeluje obdobně jako nenzy přechodů. Do hlavního prograu je vložena procedura: vykonkonfg; f < ; saej; end kerá volá funkc: funcon 3vykonkonfg defnování jéna funkce vykonkonfg a výsupní proěnné 3 3exprnd0000; zjšění, za jakou dobu by došlo k přechodu ez konfgurace end V druhé případě, kdy dochází k přechodu pouze v určých dskréních časech, se přechody ez odpovídající savy různých výkonových konfgurací odelují obdobně jako prevenvní údržba. Do hlavního prograu je vložena procedura: xrand; fx<0.8 vykonkonfg; f < ; generování náhodného čísla, určující do jaké výkonové konfgurace sysé přejde zěna do jedné výkonové konfgurace volání procedury vykonkonfg zjšění, zda dojde k přechodu Srana: 79 z 98

80 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby sae; end end fx>0.8&x<0.99 vykonkonfg; f < ; sae; end end sav j zěna do jné výkonové konfgurace volání procedury vykonkonfg zjšění, zda dojde k přechodu sav k Procedura volá funkc perodaudrzby, kerá á následující srukuru: funcon [3] vykonkonfg 3fx/0000*0000-; zjšění doby přechodu, peroda zěny h Srana: 80 z 98

81 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby 6.3 Příklad Podnk á 3 výrobní lnky. Na ranní a odpolední sěně jsou v provozu dvě lnky a na noční sěně je v provozu pouze jedna. Př poruše jakékolv provozované lnky je k dspozc v pohoovosní záloze okažě další lnka. Pravděpodobnos, že př najeí lnky vznkne porucha, je nulová. Obdobně pravděpodobnos výpadku více než jedné lnky je nulová. Inenza poruch výrobní lnky je sanovena na λ 0 6 h - a nenza oprav je 0,00 µ h -. Na obr. jsou zobrazeny dva RBD dagray. Vlevo je dagra ranní a odpolední sěny, kdy jsou v provozu výrobní lnky. Vpravo je dagra noční sěny, kdy je v provozu pouze výrobní lnka. ze 3 ze Obr. : RBD dagra řešeného příkladu Poocí posupu uvedeného v éo kapole se získá přechodový dagra, kerý je na obr. 3. Pro ranní a odpolední sěnu dojde k poruše, když jsou dvě nebo ř lnky v poruše. Př noční sěně dojde k poruše př výpadku všech ří lnek současně. 0 λ µ µ λ µ λ 3 0 λ µ µ λ µ λ 3 Obr. 3: Přechodové dagray řešeného příkladu Na obr. 4 je zobrazen graf nepohoovos syséu, kerý je popsán výše. Nespojos funkce je způsobena přechody ez nepohoovosí jednolvých konfgurací. Z výsledků lze vypočía součnel sřední pohoovos, kerý reálně popsuje skuečnou nepohoovos syséu. Srana: 8 z 98

82 Techncká unverza v Lberc Dserační práce Ing. Josefa Chudoby Deal dolní čás grafu Obr. 4: Funkce okažé nepohoovos řešeného příkladu provozovaného ve dvou odlšných výkonových režech Srana: 8 z 98