Interakce laserového pulsu s plazmatem v souvislosti s inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou Laser-Plasma Interaction in the Shock Ignition Context

Transkript

1 České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyzikální elektroniky Interakce laserového pulsu s plazmatem v souvislosti s inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou Laser-Plasma Interaction in the Shock Ignition Context BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Autor práce: Petr Valenta Vedoucí práce: Ing. Ondřej Klimo, Ph.D. Konzultanti: Prof. Ing. Jiří Limpouch, CSc. Ing. Milan Holec Dr. Stefan Weber Akademický rok: 2013/2014

2

3 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ Katedra fyzikální elektroniky ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Student: Obor: Zaměření: Petr V a l e n t a Inženýrská informatika Informatická fyzika Školní rok: 2013/2014 Název práce: Vedoucí práce: Konzultant: Interakce laserového pulsu s plazmatem v souvislosti se inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou Laser-Plasma Interaction in the Shock Ignition Context Ing. Ondřej Klimo, PhD. Prof. Jiří Limpouch, CSc. Dr. Stefan Weber Ing. Milan Holec Cíl práce: Cílem této práce je studium interakce laserového záření s plazmatem pro podmínky současných experimentů (zejména těch na laseru PALS) studujících možnosti zapálení inerciální termojaderné fúze silnou rázovou vlnou tzv. Shock ignition. Bude se jednat zejména o porovnání interakce z hlediska absorpce a absorpčních procesů, rozptylu a spektra rozptýleného záření a vzniku rychlých elektronů pro různé frekvence (především základní a třetí harmonickou laseru PALS) případně i intenzity dopadajícího laserového pulsu. Studium bude probíhat pomocí částicových simulací a jako jejich vstup budou použity výsledky hydrodynamických výpočtů poskytnutých Ing. Holcem.

4 Pokyny pro vypracování: 1. Prostudujte teorii interakce laserového záření s plazmatem. Zaměřte se na srážkovou absorpci a na parametrické nestability (zejména stimulovaný Ramanův a Brillouinův rozptyl). 2. Prostudujte poskytnutý Particle-in-Cell (PIC) kód LPIC a implementujte okrajovou podmínku pro efektivní absorpci horkých elektronů a otestujte na modelových příkladech. 3. Dále použijte PIC kód k simulaci interakce laserového záření s plazmatem. Profily hustoty, teploty a rychlosti expanze plazmatu získáte z hydrodynamických simulací Ing. Holce. Tyto profily aproximujte a použijte v PIC simulacích. Studujte absorpci a rozptyl záření, spektrum rozptýleného záření a vznik rychlých elektronů v závislosti na parametrech laserového svazku. Výsledky porovnejte a zasaďte do kontextu současného výzkumu zapálení inerciální fúze pomocí silné rázové vlny. Literatura: 1) W. L. Kruer, The Physics of Laser Plasma Interactions, Addison-Wesley Publishing, Redwood City, ) S. Atzeni, J. Meyer-ter-Vehn, The Physics of Inertial Fusion: Beam Plasma Interaction, Hydrodynamics, Hot dense Matter, Clarendon Press, Oxford, ) S. Eliezer, The Interaction of High-Power Lasers with Plasmas, Series in Plasma Physics, Taylor & Francis, ) R. Lichters, R. E. W. Pfund and J. Meyer-ter Vehn, LPIC++ a parallel onedimensional relativistic electromagnetic particle-in-cell-code for simulating laserplasma interactions, Max-Planck Institute fur Quantenoptik, Garching, Tech. Rep. 225, (1997). 5) M. Mašek, Eulerova Vlasovova metoda pro laserové plazma, disertační práce na MFF UK, Praha Datum zadání: říjen 2013 Datum odevzdání: 7.červenec Vedoucí katedry.. Děkan

5 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu. Nemám závažný důvod proti použití tohoto školního díla ve smyslu 60 Zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon).... V Praze dne... Petr Valenta

6

7 Název práce: Autor: Druh práce: Obor: Zaměření: Vedoucí práce: Konzultanti: Abstrakt: Klíčová slova: Interakce laserového pulsu s plazmatem v souvislosti s inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou Petr Valenta Bakalářská práce Inženýrská informatika Informatická fyzika Ing. Ondřej Klimo, Ph.D. Katedra fyzikální elektroniky, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, České vysoké učení technické v Praze Prof. Ing. Jiří Limpouch, CSc. Katedra fyzikální elektroniky, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, České vysoké učení technické v Praze Ing. Milan Holec Katedra fyzikální elektroniky, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, České vysoké učení technické v Praze Dr. Stefan Weber Fyzikální ústav Akademie věd České republiky, v. v. i. Práce představuje výsledky PIC simulací interakce laserového impulsu s plazmatem v souvislosti s inerciální fúzí zapálenou rázovou vlnou. Byly provedeny simulace svazku laseru PALS na základní vlnové délce 1,315 µm s intenzitou W/cm 2 a na vlnové délce 0,438 µm odpovídající třetí harmonické základní frekvence s intenzitou W/cm 2. Oba impulsy trvaly 100 ps. K simulacím byl využit výpočetní kód LPIC++. Počáteční profily hustoty a teploty byly zvoleny z hydrodynamických výpočtů. Celková reflektivita pro první harmonickou činila 43 %, většina energie byla absorbována hustotními kavitami a parametrickými nestabilitami, v důsledku čehož docházelo k produkci vysokého množství rychlých elektronů. Celková reflektivita pro třetí harmonickou byla 59 %, dominantním mechanismem absorpce byly coulombické srážky mezi elektrony a ionty. Energie rychlých elektronů byla v případě simulace první harmonické 170 kev, pro třetí harmonickou byla 25 kev. V případě třetí harmonické by míra předehřátí palivového terče těmito elektrony pravděpodobně nebyla příliš významná, v případě první harmonické by značná část rychlých elektronů prošla komprimovanou slupkou palivového terče, což je pro zapálení inerciální fúze rázovou vlnou nevhodné. Laser, plazma, inerciální fúze, Particle-in-Cell

8 Title: Author: Type of work: Branch of study: Specialization: Supervisor: Consultants: Abstract: Keywords: Laser-Plasma Interaction in the Shock Ignition Context Petr Valenta Bachelor thesis Engineering informatics Computational physics Ing. Ondřej Klimo, Ph.D. Department of Physical Electronics, Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering, Czech Technical University in Prague Prof. Ing. Jiří Limpouch, CSc. Department of Physical Electronics, Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering, Czech Technical University in Prague Ing. Milan Holec Department of Physical Electronics, Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering, Czech Technical University in Prague Dr. Stefan Weber Institute of Physics, Academy of Sciences of the Czech Republic, v. v. i. The thesis presents the results of PIC simulations of laser-plasma interaction in the context of shock ignition. We have made simulations of laser system PALS at the fundamental wavelength µm with intensity W/cm 2 and at the wavelength 0.438µm corresponding to the third harmonic of the fundamental frequency with intensity W/cm 2. Pulse duration was 100 ps for both simulations. We have used a parallel code LPIC++. The initial density and temperature profiles were obtained from the hydrodynamic simulations. The total reflectivity for the first harmonic was 43 %, where most of the energy has been absorbed by density cavities and parametric instabilities, which leads to the production of high quantities of hot electrons. The total reflectivity of the third harmonic was almost 59 %, the dominant mechanism of absorption was Coulombic collisions. Energy of hot electrons for the simulation of first harmonic was 170 kev, for the third harmonic was 25 kev. The energy of these electrons in case of third harmonic is not sufficient to preheat the fuel significantly. In case of first harmonic, high quantities of hot electrons would probably passed into the hot-spot, which may be inappropriate for shock ignition. Laser, plasma, inertial fusion, Particle-in-Cell

9 Obsah Úvod 11 1 Inerciální fúze Princip jaderné syntézy Lawsonovo kritérium Přímé a nepřímé zapálení Nové metody Dosavadní výsledky Laser-plazma interakce Základní parametry plazmatu Způsoby popisu plazmatu Šíření elektromagnetických vln v plazmatu Srážková absorpce Landauův útlum Ponderomotorická síla Parametrické nestability Stimulovaný Ramanův rozptyl Stimulovaný Brillouinův rozptyl Numerické simulace Metoda Particle-In-Cell Integrátor polí Váhování částic a polí Integrátor částic Stabilita metody Výpočetní kód LPIC Výsledky Okrajová podmínka Simulace

10 Závěr 61 Literatura 63 Přílohy 69 A Vstupní soubory 69 A.1 Simulace první harmonické A.2 Simulace třetí harmonické B Obsah CD 71

11 Úvod Potřeba nových zdrojů energie pro budoucnost nikoliv vzdálenou odstartovala v padesátých letech minulého století intenzivní bádání směřující k ovládnutí jaderného slučování. Snaha experimentátorů, kteří se pokoušeli realizovat potřebné podmínky ke sloučení jaderného paliva, byla v té době převážně orientována na plazma držené ve vhodně konfigurovaném magnetickém poli [16]. Rychlý úspěch, který byl vědeckou komunitou očekáván, se však nedostavil. Tento fakt také přispěl k tomu, že se v šedesátých letech zrodila myšlenka využít k zapálení termojaderné fúze tehdy zcela nový zdroj intenzivního koherentního záření, laser. Okamžitě ale bylo také vzneseno varování, že může docházet k celé řadě jevů, které mohou dosažení termojaderné fúze tímto způsobem vážně zkomplikovat. Posléze se tak skutečně stalo. Jedním z nejvíce nepříznivých jevů z hlediska inerciálně držené fúze je generace rychlých elektronů, které vznikají v plazmatické koroně, v níž dochází k přeměně energie laserového záření na kinetickou energii plazmatu. Tyto elektrony dosáhnou centrální oblasti komprimovaného terče ještě před příchodem rázové vlny a značně jej předehřejí. Stlačení terče na požadované hodnoty termojaderného slučovaní je potom mnohem obtížnější. Proto je interakce laserového impulsu s plazmatem v této souvislosti intenzivně zkoumána, současně se hledají nové metody jak deponovat co největší množství energie do terče při minimální produkci rychlých elektronů. Tato práce je zaměřena právě na interakci laserového záření s plazmatem pro podmínky současných experimentů Badatelského centra PALS v Praze, které studují možnosti zapálení inerciálně držené fúze pomocí jedné z nejmodernějších metod, využitím silné rázové vlny. Jedná se zejména o porovnání interakce z hlediska absorpce, absorpčních procesů, rozptylu a spektra rozptýleného záření a samozřejmě také z hlediska vzniku rychlých elektronů pro základní frekvenci a třetí harmonickou jódového fotodisociačního laserového systému PALS. Práce je členěna následovně. První kapitola přináší stručný náhled na problematiku jaderné fúze, včetně podmínek jejího dosažení pro oba hlavní přístupy k udržení plazmatu. Větší část je samozřejmě věnována inerciálnímu udržení. Tato kapitola mírně zabrousí i do historie výzkumu jaderné fúze, ale nevynechá ani nejaktuálnější výsledky. V druhé kapitole jsou shrnuty nejzákladnější poznatky z oblasti fyziky plazmatu a interakcí laserového impulsu s plazmatem. Jedná se o srážkovou absorpci, Landauův útlum, 11

12 Úvod ponderomotorickou sílu a zejména pak o dvojici parametrických nestabilit stimulovaný Ramanův a Brillouinův rozptyl. Třetí kapitola je věnována numerickým simulacím, jakožto základnímu nástroji ke studiu nejen interakcí laserového impulsu s plazmatem. Dále bude důkladně popsána jedna z nejpopulárnějších metod ve fyzice plazmatu Particle-in-Cell. Na závěr tato kapitola přináší stručný popis výpočetního kódu LPIC++, který byl použit k simulacím v rámci této práce. V poslední kapitole budou představeny výsledky a přínosy této práce. Jedná se o implementaci okrajové podmínky ve výpočetním kódu LPIC++ a otestování její funkčnosti na modelových příkladech. Dále pak o již zmíněné simulace a jejich porovnání z hlediska využitelnosti ve výzkumu inerciálně držené fúze. Ač většina odborných publikací z oboru fyziky plazmatu užívá cgs elektrostatické jednotky, pro celou tuto práci jsme zvolili soustavu jednotek SI (pokud nebude uvedeno jinak). 12

13 Kapitola 1 Inerciální fúze I přes nejrůznější úsporná opatření se energetická spotřeba lidstva neustále zvyšuje. Zásoby fosilních paliv, ropy a zemního plynu se pomalu ztenčují a obnovitelné zdroje poptávku po energii pokrýt nedokážou. Tento energetický deficit by se v budoucnu mohl stát velkou překážkou v trvale udržitelném rozvoji lidské společnosti [30]. Proto je nezbytné najít alternativní zdroj energie. Nejlépe takový, který dokáže definitivně vyřešit již zmíněné problémy a jeho využití bude navíc ekologicky šetrné. V současné době se zdá, že jediným kandidátem je energie ukrytá v atomovém jádře. Tu lze získávat dvěma způsoby. První spočívá v štěpení těžších jader na lehčí. Štěpná reakce však s sebou nese jistá bezpečnostní rizika. Její produkty jsou navíc silně radioaktivní a kvůli tomu vznikají vážné problémy s jejich dlouhodobým skladováním. Druhou, široké veřejnosti méně známou cestou je proces zcela opačný, tedy slučování neboli fúze. Tato kapitola přináší stručný náhled na problematiku jaderné fúze, speciálně pak přibližuje jeden z hlavních přístupů k jejímu dosažení inerciálně drženou termojadernou fúzi. 1.1 Princip jaderné syntézy Jaderná fúze je reakce, při které se sloučí jádra lehčích prvků, a vytvoří tak jádro nové, těžší. Pokud je hmotnost produktu menší než součet hmotností reaktantů, nutně se množství energie odpovídající tomuto hmotnostnímu schodku uvolní. Aby se však atomová jádra mohla sloučit, musí se k sobě vzájemně přiblížit na vzdálenosti srovnatelné s jejich rozměry, teprve pak se uplatní silná interakce zodpovědná za soudržnost nukleonů. Nicméně tomu brání odpudivé coulombické síly mezi souhlasně nabitými protony. Otázkou tedy je, jak tuto potenciálovou bariéru překonat. Můžeme například s výhodou využít kinetickou energii chaotického tepelného pohybu částic. Tento přístup, jenž vede ke sloučení atomových jader, se nazývá termojaderná fúze. 13

14 Kapitola 1. Inerciální fúze Reakce, která by měla být využitelná k produkci energie na Zemi, musí mít vysoký účinný průřez při relativně nízké požadované energii. Měla by být také přátelská k životnímu prostředí. Zároveň je nutné, aby prokázala ekonomickou konkurenceschopnost, tedy aby byla schopna snadno pokrýt energetické náklady vynaložené k jejímu zapálení. Zapálením je označován moment, kdy vlastní ohřev pomocí fúzních produktů vyrovná energetické ztráty. V tomto směru se jeví jako nejvýhodnější reakce izotopů vodíku deuteria a tritia 2 H + 3 H n (14,06 MeV) + 4 He (3,52 MeV). (1) Deuterium lze poměrně snadno získat extrakcí z mořské vody, je tudíž okamžitě k dispozici. Naopak tritium je nestabilní a na Zemi se vyskytuje jen v malém množství, proto musí být v rámci palivového cyklu nějakým způsobem vyráběno. Jednou z možností je využít neutrony z fúzních reakcí k ozařování lithia. Přírodní lithium je hojně zastoupeno v zemské kůře [28]. Oba druhy paliva jsou tedy snadno dostupné, rovnoměrně geograficky rozložené a v podstatě nevyčerpatelné. Produktem jejich reakce je neutron a jádro helia, které není radioaktivní. Tyto atributy předurčují jaderné fúzi stát se globálním zdrojem energie. 1.2 Lawsonovo kritérium První pokusy, jak uskutečnit fúzní reakci v pozemských podmínkách, směřují do poloviny třicátých let minulého století. Jednoduchá myšlenka spočívala v urychlení svazku iontů deuteria a jejich následné srážce s terčem z pevného tritia. Záhy se však zjistilo, že tento přístup kýžené ovoce nepřináší. Většina energie se totiž ztrácí v pružných coulombických srážkách, jejichž účinný průřez je o několik řádů vyšší než fúzní. Terč se sice ohřívá, dokonce dochází k fúzním reakcím, mnohem více energie se ale spotřebuje k urychlení částic [41]. Po odtajnění výzkumu fúze na obou stranách železné opony publikoval J. D. Lawson kritérium pro kladnou energetickou bilanci termojaderné reakce. Z něho jasně vyplývá, že součin hustoty a doby udržení dané reakce musí být větší než hodnota funkce závisející pouze na teplotě. Nutno podotknout, že tato funkce má pro každý druh reaktantů specifický průběh, nicméně minima nabývá vždy pro teploty značně vysoké. To je zřejmé, neboť je potřeba, aby částice získaly dostatečnou kinetickou energii k překonání již zmiňované coulombické bariéry, a vzrostla tak četnost fúzních reakcí. I přesto, že je potřebná teplota systému snížena existencí kvantově mechanického tunelového jevu, je při ní většina látek ve stavu plně nebo alespoň částečně ionizovaného plazmatu. Materiály s pevnou strukturou se však při kontaktu s ním začnou tavit. Stěžejní je tedy otázka, jak toto plazma udržet. Vezmeme-li v úvahu fakt, že plazma je směs volných elektricky nabitých částic, nabízí se využít vhodnou konfiguraci magnetického pole. Výsledné trajektorie pohybu částic jsou 14

15 1.3. Přímé a nepřímé zapálení pak určeny šroubovicemi podél magnetických siločár. Nicméně velikost intenzity magnetického pole je omezena strukturální pevností látky, lze tedy udržet pouze plazma s velmi nízkou hustotou. Z Lawsonova kritéria potom okamžitě plyne, že fúzní reakce musí probíhat relativně dlouho. Druhou možností, jak udržet horké plazma, je využít setrvačnosti hmoty neboli inerce. Díky ní lze zapálení termojaderné reakce provést dříve, než se objem plazmatu vlastním tlakem rozptýlí do prostoru. Setrvačnost udrží hmotu pohromadě po dobu závislou na rychlosti zvukové vlny, nejedná se tedy o žádný externí druh udržení. Doba udržení reakce je již z principu velmi krátká, a tudíž je potřeba dosáhnout extrémně vysokých hustot paliva [17]. 1.3 Přímé a nepřímé zapálení Uvolnění jaderné energie za pomoci inerciálního udržení bylo demonstrováno krátce po druhé světové válce explozí vodíkové bomby. V takovémto rozsahu jsou však devastační účinky uvolněné energie neoddiskutovatelné. Pro smysluplné průmyslové využití je žádoucí ji získávat kontrolovaně, v maximální míře odpovídající pouze několika miligramům směsi deuteria a tritia. V kryogenním stavu se pak takovéto množství paliva s rezervou vejde do sféry o průměru jednoho milimetru [30]. Do takto malé oblasti však nebylo možné deponovat dostatečné množství energie pro zapálení termojaderné fúze, a proto se dále o inerciálním udržení neuvažovalo. Vše se změnilo až na počátku šedesátých let, kdy T. H. Maiman zkonstruoval první fungující laser, emitující záření ve viditelné části spektra. Koncept zapálení termojaderné fúze pomocí laseru vychází ze zákona zachování hybnosti. Intenzivní laserové svazky jsou fokusovány na kulovou slupku obsahující směs jaderného paliva, tzv. peletu. Její vnější povrch se okamžitě odpaří v plazma a vysokou rychlostí začne expandovat do okolního vakua. Tento proces se nazývá ablace. Laserem generované plazma pak předá impuls neodpařené části slupky k silné implozi. Palivo je tedy komprimováno ablačním tlakem, nikoli tlakem laserového záření, jak by se na první pohled mohlo zdát. Pokud se peleta ozáří rovnoměrně ze všech stran, lze dosáhnout požadované komprese paliva a následně zapálení fúzní reakce. Při použití tohoto uspořádání mluvíme o přímo zapalované fúzi. Přímé zapálení s sebou však nese celou sérii problémů. V první řadě je to velmi vysoká náchylnost terče k hydrodynamickým nestabilitám, tedy deformacím. Ty vznikají jednak vlivem nesymetrického ozařování v důsledku konečného počtu oddělených, přirozeně koherentních svazků, dále pak také nehomogenitou a nedokonalou hladkostí povrchu terče. Dalším nezanedbatelným problémem je rychlé předehřívání termojaderného paliva. To je způsobeno generací populace tzv. rychlých elektronů v místech, kde laserové záření interaguje s ven proudícím řídkým plazmatem neboli koronou. Tyto horké elektrony pronikají do dosud nestlačeného paliva, a narušují tak adiabatičnost komprese [34]. 15

16 Kapitola 1. Inerciální fúze Později byl pro eliminaci nerovnoměrností v ozáření navržen prostředek, který využívá radiační transport v pouzdru obepínajícím fúzní palivo. Zhruba řečeno, laserové svazky se namíří na vnitřní stěnu dutiny vyrobené z materiálu s vysokým nukleonovým číslem, pro níž se vžil německý název hohlraum. Povrch této dutiny se okamžitě odpaří a přemění na husté plazma, které transformuje laserové záření na krátkovlnné měkké rentgenové záření. To komprimuje palivo a zároveň velmi dobře stírá nerovnoměrnosti v původním rozložení energie. Tento princip je velmi podobný konfiguraci vodíkové bomby a nazývá se nepřímé zapálení [28]. Evidentní nevýhodou nepřímo zapalované fúze je nižší účinnost konverze energie vnějšího zdroje na kinetickou energii implodující slupky. Jen malá část rentgenového záření je využita ke kompresi paliva, zbytek uniká vstupními otvory nebo se ztrácí radiační difúzí do stěn dutiny. To však nejsou jediné energetické ztráty. Plazma v okolí vstupních otvorů hohlraumu je řídké a téměř homogenní, což jsou vlastnosti, které vytváří ideální podmínky pro vznik parametrických nestabilit, zejména pak zpětného Ramanova a Brillouinova rozptylu [27], [34]. Potíže těchto nestabilit budou přiblíženy v závěru druhé kapitoly této práce. 1.4 Nové metody Za více než padesát let výzkumu a vývoje v oblasti laserové techniky byl zaznamenán nesmírný pokrok. Charakteristiky moderních laserů se rapidně zlepšily, impulsy se i nadále zkracují a jejich intenzita narůstá do extrémních hodnot. Díky tomu otevírá tento zdroj koherentního záření cestu k řadě průlomových aplikací v nejrůznějších oblastech lidského bádání. Jak již bylo uvedeno, je to také jeden z mála dostupných nástrojů ke studiu inerciální fúze. Není tedy náhodou, že se v poslední době stále častěji objevují nové, důmyslnější metody jejího zapálení. Z předchozího vyplývá, že palivový terč je potřeba stlačit a zahřát na zápalnou teplotu. Nicméně čím více se terč zahřívá, tím roste jeho vnitřní tlak, který činí kompresi obtížnější [32]. Bylo by tedy vhodné oba procesy od sebe oddělit. Dále se ukázalo, že není potřeba zahřát na zápalnou teplotu celý objem palivového terče, což by bylo energeticky neúnosně náročné. Krátce před okamžikem stagnace, tedy v poslední fázi komprese, dochází totiž přirozeným způsobem uprostřed terče ke vzniku malé, silně zahřáté oblasti, označované jako hot spot. Pokud se slupka terče dostatečně urychlí, vznikne uvnitř při implozi vysoký tlak. Jeho vlivem se hot spot zahřeje natolik, že dojde k zapálení termojaderné reakce. Fúzní produkty pak nesou dostatečně velké množství energie k ohřevu okolního paliva pružnými coulombickými srážkami [1]. V souladu s těmito poznatky byla v nedávné době navržena metoda rychlého zapálení (Fast ignition), která efektivně využívá vliv rychlých elektronů. Palivový terč je komprimován stejně jako při konvenčním způsobu zapálení nanosekundovými laserovými impulsy, 16

17 1.5. Dosavadní výsledky přičemž nyní není nutností dosáhnout přesné symetrie a rovnoměrnosti. Nejde nám totiž o zapálení termojaderné reakce z centrálního hot spotu, stačí pouze dosáhnout jisté úrovně komprese. Hot spot se posléze vytvoří uměle na povrchu stlačeného terče pomocí elektronového svazku, který lze urychlit aplikací pikosekundového laserového impulsu [18], [34]. Tento přístup má však také své slabé stránky. Stále není objasněno, jak docílit toho, aby svazek rychlých elektronů prošel skrz plazmatickou koronu, aniž by ztratil významnou část své energie a aby její většinu deponoval v relativně malé oblasti, kde by mělo dojít k zapálení fúzní reakce [1]. Uvažuje se buď o zavedení třetího intenzivního laserového svazku, který by vytvořil kanál v nadkritickém plazmatu, nebo o umístění zlatého kuželu do blízkosti palivového terče, pomocí něhož lze plazmatickou koronu odstínit. Mezi nejmodernější metody ovšem patří koncept neizobarického zapálení inerciální fúze silnou rázovou vlnou (Shock ignition), který spočívá v jiném časovém tvarování laserových impulsů. Téměř adiabatickou kompresi palivového terče lze zajistit nanosekundovými impulsy o nižší hustotě výkonu. V okamžiku stagnace na ně navazuje časově velmi krátký, relativně intenzivní impuls, který vyvolá silnou sféricky konvergentní rázovou vlnu. Ta se během průchodu do středu terče při správném načasování sráží s vracejícími se primárními vlnami, určenými ke kompresi palivové směsi. Jejich vzájemná interakce prudce zesílí rázovou vlnu, a ta následně způsobí zapálení fúzní reakce v centru hot spotu [34], [2]. Je dokázáno, že tato metoda umožňuje zapálit palivo při třikrát nižší požadované energii vnějšího zdroje než při konvenčním izobarickém způsobu, což samozřejmě implikuje také vyšší zisky [37]. Dalším pozitivem je zmírnění Rayleigh-Taylorovy a dalších hydrodynamických nestabilit. Na druhou stranu, aplikací intenzivního laserového impulsu na již stlačený terč se nevyhneme nelineární interakci záření s plazmatickou koronou, která vyvolává převážně třísvazkové parametrické nestability [20], [21]. Ty způsobují odraz a rozptyl laserového záření a některé vedou ke vzniku rychlých elektronů. Tyto jevy lze z hlediska fúze považovat za škodlivé nebo alespoň nebezpečné, protože mohou omezovat efektivní absorpci laserového záření a stlačitelnost terče. Studium těchto nestabilit je proto klíčové ke zvládnutí zapálení inerciálně držené fúze. 1.5 Dosavadní výsledky Na podzim roku 2013 se údajně podařilo vědcům z americké Lawrence Livermore National Laboratory dosáhnout významného milníku, poprvé získali pomocí inerciálně držené termojaderné fúze více energie, než do ní vložili na vstupu. Tyto zprávy byly potvrzeny a publikovány v únoru následujícího roku. V experimentu bylo využito 192 svazků laserového zařízení National Ignition Facility o celkové energii 1,8 MJ [14]. 17

18 Kapitola 1. Inerciální fúze Fúzní zisk je ovšem měřen v poměru k energii, které byla absorbována palivovým terčem, přičemž současná elektrická účinnost laserových systémů dosahuje pouze jednotek procent. Je to tedy energetická bilance z hlediska fyzikálního mechanismu na té nejnižší úrovni. Pro skutečnou produkci elektrické energie v hypotetické fúzní elektrárně bude potřeba, aby hodnota tohoto zisku byla ještě zhruba o dva řády vyšší [5]. Ač se tedy o žádnou senzaci nejedná, jsou i tyto výsledky významným průlomem v celém termojaderném výzkumu. Pro další kroky k cíli je ale zásadní kvalitnější informovanost politických představitelů široké laické veřejnosti. Výstavba velkých laserových zařízení je značně nákladná a nebýt jejich významného vojenského využití, pravděpodobně by nebyla zafinancována. Nicméně velké laserové systémy jsou široce využitelné také v řadě společensky významných mezioborových aplikací, mohou sloužit například pro vývoj protonových zdrojů určených k léčbě nádorových onemocnění [3]. I kdyby se tedy nakonec nedokázalo využít energii z inerciální fúze, jsou takto vynaložené prostředky účelné a smysluplné. 18

19 Kapitola 2 Laser-plazma interakce Dopadne-li intenzivní laserový svazek na terč, prakticky okamžitě dochází vlivem silného elektromagnetického pole ke vzniku vysoce ionizovaného plazmatu při jeho povrchu. Během tohoto procesu se vytváří plazmatická korona expandující směrem od terče rychlostí přibližně rovnou rychlosti zvuku. Při fúzních experimentech je nesmírně důležité deponovat co nejvíce energie laseru do palivového terče. Míra přenosu této energie ovšem velmi závisí na procesech probíhajících při průchodu laserového svazku plazmatickou koronou. A právě této problematice je věnována následující kapitola. 2.1 Základní parametry plazmatu Plazma je kvazineutrální směs elektricky nabitých a neutrálních částic vykazující kolektivní chování [6]. Tato definice si vyžaduje vysvětlení některých pojmů. Kvazineutralitou rozumíme fakt, že ačkoliv v mikroskopických měřítkách tvoří nabité částice lokální elektrická pole, v makroskopickém měřítku se plazma jeví jako neutrální. To znamená, že celkové množství kladného a záporného náboje je v rovnováze. Matematicky lze tuto skutečnost vyjádřit jako q s n s 0, (2) s kde q s a n s je náboj resp. hustota částic druhu s. Suma probíhá přes každý druh částic vyskytující se v plazmatu. Pojmem kolektivní chování označujeme vzájemné působení nabitých částic zprostředkované makroskopickým elektromagnetickým polem. Coulombická interakce ovlivňuje částice na relativně velké vzdálenosti, plazma tak získává bohatý repertoár možných pohybů. Kolektivní chování je podstatné, nicméně nemusí vždy dominovat. 19

20 Kapitola 2. Laser-plazma interakce Jedním z nejdůležitějších parametrů, který nám umožňuje přesněji předpovídat chování plazmatu, je stupeň jeho ionizace. Ten lze snadno zjistit pro plyn v termodynamické rovnováze ze Sahovy rovnice, která je nejčastěji udávána v následující podobě, n k+1 n e n k 2, T 3 2 exp ( ε k+1 ε k k B T ). (3) Zde n k je hustota k-násobně ionizovaných atomů, n e je hustota elektronů, T je teplota plynu, ε k je ionizační energie k-té energetické hladiny atomu a k B Boltzmannova konstanta. Z rovnice jasně vyplývá, že existence plně ionizovaného plazmatu je podmíněna přítomností velmi vysoké teploty (vzhledem k ionizační energii). Charakteristickým rysem chování plazmatu je jeho schopnost odstínit elektrické potenciály. Proto se zavádí další důležitý parametr nazývaný Debyeova stínící délka, λ D = ε0 k B T e e 2 n e. (4) Konstanta ε 0 značí permitivitu vakua, e je velikost elementárního náboje a T e teplota elektronů. Často se stává, že mají různé druhy částic v plazmatu rozdílné teploty, i přesto však mohou být ve své vlastní tepelné rovnováze [6]. Debyeova délka vyjadřuje vzdálenost, na které potenciál pole poklesne na 1/e své původní hodnoty (zde symbol e označuje Eulerovo číslo). Je tedy jasné, že podmínka kvazineutrality může být splněna pouze tehdy, je-li charakteristický rozměr plazmatu L λ D. V opačném případě nemůžeme ionizovaný plyn nazvat plazmatem. V souvislosti s Debyeovou stínící délkou je definován velmi důležitý tzv. plazmatický parametr N D. Ten vyjadřuje počet elektronů vyskytujících se ve sféře o poloměru Debyeovy délky, platí tedy N D = 4 3 πn eλ 3 D. (5) Zdůrazněme, že mechanismus Debyeova stínění je platný pouze tehdy, je-li N D 1. V takovém případě hovoříme o ideálním plazmatu, pro jehož složky se používá stavová rovnice ideálního plynu. Při posunutí elektronů proti homogennímu iontovému pozadí, například pomocí intenzivního laserového impulsu, vzniká mimořádně silné elektrické pole, kterým hmotnější ionty táhnou elektrony zpět do původní polohy pro obnovení kvazineutrality plazmatu. Výsledkem je tlumené harmonicky oscilující elektrické pole nabitých částic kmitajících s tzv. elektronovou plazmovou frekvencí ω pe, kde m e je hmotnost elektronu. 20 ω pe = e2 n e ε 0 m e, (6)

21 2.2. Způsoby popisu plazmatu Podobně bychom mohli zavést i iontovou plazmovou frekvenci ω pi, ale vzhledem k tomu, že ionty jsou několikanásobně hmotnější než elektrony, nestíhají na vysokofrekvenční oscilující pole reagovat. Bereme je tedy většinou jako nehybné neutralizující pozadí. Pokud je ovšem frekvence vnějšího zdroje nebo módů indukovaných v plazmatu blízká této frekvenci, nemůžeme si tento zjednodušující předpoklad dovolit. Příkladem může být stimulovaný Brillouinův rozptyl, jehož odvození lze najít v samotném závěru této kapitoly. Vraťme se na okamžik k definici plazmatu. K oddálení nábojů dochází jen na určitou krátkou dobu. Kvazineutralitu má tedy smysl uvažovat jen v případě, že je charakteristický čas děje τ 1/ω pe. Má-li dále dominovat kolektivní působení nad binarním, musí být elektronová plazmová frekvence ω pe větší než frekvence coulombických srážek elektronů s ionty. Srážky mezi nabitými částicemi v plazmatu charakterizuje srážková frekvence ν c, která je definována jako převrácená hodnota střední doby, za níž částice ztratí původní orientaci rychlosti. Relativně přesný výpočet srážkové frekvence elektronů s ionty lze získat ze vztahu [26] ν ei = Ze4 n e ln Λ, 4πε 2 0m 2 3 ev Λ = λ D b 0. (7) Veličina Z značí stupeň ionizace plazmatu, v je vzájemná rychlost srážejících se částic a ln Λ je tzv. Coulombův logaritmus. Jde o poměr Debyeovy a Landauovy délky. Landauova délka b 0 je srážkový parametr odpovídající rozptylu na úhel 90. Typická hodnota Coulombova logaritmu v ideálním plazmatu je V přítomnosti homogenního magnetického pole se nabité částice v plazmatu pohybují po kružnicích nebo šroubovicích s poloměrem r L a frekvencí ω c, r L = v ω c, ω c = q B m. (8) Zde B je vektor magnetické indukce a v je kladná konstanta označující rychlost v rovině kolmé na B. Symbolem. se rozumí euklidovská norma vektoru. Hodnotu r L pak nazýváme Larmorův poloměr a ω c označujeme jako cyklotronovou frekvenci. 2.2 Způsoby popisu plazmatu Existují tři základní přístupy k popisu plazmatu. Každý z nich má své výhody a omezení vyplývající ze zjednodušených předpokladů vhodných pouze pro určité jevy a časová měřítka [33]. Nejvytříbenější přístup k popisu plazmatu podává kinetická teorie. Ta bere v úvahu mikroskopický pohyb všech částic vyskytujících se v plazmatu. Matematicky toho lze dosáhnout úplnou časovou derivací jejich hustoty ve fázovém prostoru. S využitím faktu, 21

22 Kapitola 2. Laser-plazma interakce že se hustota podél trajektorií částic ve fázovém prostoru nemění, dostaneme tzv. Klimontovičovu rovnici [29]. Její tvar zde neuvádíme, protože se v praxi příliš nepoužívá. Obvykle nás totiž nezajímají přesné trajektorie jednotlivých částic a spokojíme se pouze s jistými středními hodnotami, které podávají informaci o jejich průměrném chování jakožto celku. Statistické rozdělení jednotlivých druhů částic přináší do kinetické teorie distribuční funkce f s ( x, v, t), kde veličiny x, v a t označují po řadě polohu, rychlost a čas. Středováním Klimontovičovy rovnice tak dostaneme základní rovnici, kterou musí splňovat distribuční funkce f s, rovnici Boltzmannovu, f s t + v f s + F m s f s v = ( ) fs. (9) t c Zde F je síla působící na částice a člen na pravé straně vyjadřuje změnu f s za jednotku času v důsledku srážek. V případě horkého plazmatu můžeme tento člen zanedbat, a je-li navíc síla F výhradně elektromagnetická, získáme tak nejméně přesnou, avšak nejčastěji používanou rovnici kinetické teorie plazmatu, f s t + v f s + q ( ) s E + v f s B m s v = 0. (10) Zde E ( x, t) a B ( x, t) je makroskopické elektrické resp. magnetické pole. Rovnice (10) se nazývá Vlasovova. V případě, kdy je nutné brát v úvahu binární interakce, je možné do této rovnice zahrnout některý ze srážkových členů. Rovnice kinetické teorie jsou propojeny se sadou Maxwellových rovnic pro elektromagnetické pole E = B t, (11) B = µ 0 J + 1 c 2 E t, (12) E = ρ ε 0, (13) B = 0 (14) (kde µ 0 je permeabilita vakua a c rychlost světla ve vakuu) hustotou náboje ρ ( x, t) a proudovou hustotou J ( x, t), ρ = s q s f s d v, J = q s f s v d v. (15) Společně s Maxwellovými rovnicemi tvoří rovnice kinetické teorie zcela přesný, ovšem velmi komplikovaný systém, který většinou nemá analytické řešení. 22 s

23 2.2. Způsoby popisu plazmatu Druhým způsobem je hydrodynamický popis plazmatu. Jedná se o model užívající mechaniku tekutin. Spočívá tedy ve studiu pohybu elementů tekutiny nebo více prolínajících se tekutin, které ovšem obsahují elektrické náboje. Hlavní výhodou tohoto přístupu je jeho jednoduchost. V tekutinové teorii jsou závisle proměnné veličiny funkcemi pouze tří prostorových souřadnic a času. Rozdělení rychlostí považujeme za maxwellovské v každém bodě prostoru. Rovnice pro hydrodynamický popis plazmatu lze získat středováním Vlasovovy rovnice (10) přes tři první momenty rychlosti, n s t + (n s u s ) = 0, (16) [ ] us m s n s t + ( u ( s ) u s = q s n s E + us B ) p s, (17) ( 1 t 2 n sm s u 2 s + 3 ) ( 1 2 p s + 2 n sm s u s u 2 s p s u s + Q ) s = q s n s u s E (18) První moment Vlasovovy rovnice dává rovnici kontinuity, která vyjadřuje zákon zachování počtu částic každého druhu, přičemž u s ( x, t) označuje rychlost tekutiny. Druhá rovnice vyjadřuje zákon zachování hybnosti, kde p s ( x, t) je skalární tlak, který se v obecném případě nahrazuje tenzorem napětí. Třetí rovnice vyjadřuje zákon zachování energie, kde Q s = χ(t ) T je tepelný tok a χ(t ) koeficient tepelné vodivosti. Je-li tento tok zanedbatelný, uzavírá se systém fluidních rovnic termodynamickou stavovou rovnicí p s = C (m s n s ) κs, (19) kde κ s je poměr specifických tepel C p /C V a C libovolná konstanta. V opačném případě je nutné použít stavovou rovnici, v níž vystupuje teplota jako proměnná. Fluidní rovnice jsou provázány s Maxwellovými rovnicemi hustotou náboje ρ a proudovou hustotou J následovně, ρ = s q s n s, J = q s n s u s. (20) Dohromady podávají tyto rovnice kompletní, ale dosti hrubý popis plazmatu. Pomocí hydrodynamického modelu lze však vysvětlit většinu jevů pozorovaných v reálných experimentech. Pokud je ovšem narušena lokální termodynamická rovnováha, tento přístup není vhodný. Selhávají-li oba předchozí přístupy, je nutné použít částicový popis plazmatu. Jak už název napovídá, stav a vývoj systému je určen sledováním trajektorií jednotlivých částic. Jejich pohyb musí probíhat v souladu s Newtonovými pohybovými rovnicemi s s 23

24 Kapitola 2. Laser-plazma interakce Lorentzovou silou, d x dt = v, d v dt = q s m s ( E + v B ). (21) Z toho plyne, že využití této metody pro větší systémy závisí na přístupu k vysokovýkonným počítačovým klastrům. 2.3 Šíření elektromagnetických vln v plazmatu Nyní se zaměříme na to, jakým způsobem se šíří elektromagnetické vlny (tedy i laserový impuls) v plazmatu. Omezíme se na případ šíření elektromagnetické vlny v homogenním plazmatu (n e = konst.) bez přítomnosti srážek a vnějšího magnetického pole ( B = 0 ). Budeme uvažovat, že je tato vlna vysokofrekvenční, a tedy můžeme ionty považovat za nehybné neutralizující pozadí. Hlavním cílem bude nalézt disperzní vztah této vlny a provést jeho analýzu. Využijeme k tomu hydrodynamický popis plazmatu. Aplikací operátoru rotace na rovnici (11) získáme ( E ) = B t. (22) Zkombinujeme-li tuto s rovnicí (12) a využijeme-li identitu [13] dostaneme vlnovou rovnici pro elektrické pole, ( X ) = ( X ) X, (23) E 2 E ε 0 µ 0 t = µ J 2 0 t. (24) Nyní provedeme linearizaci pohybové rovnice (17) pro elektrony. Tím se rozumí, že závisle proměnné veličiny rozdělíme na část rovnovážnou (označenou indexem 0) a poruchovou (označenou indexem 1), přičemž budeme uvažovat malou amplitudu oscilací, a tudíž můžeme členy obsahující vyšší řády amplitudových faktorů zanedbat, n e = n e0 + n e1, u e = u e0 + u e1, E = E0 + E 1 (25) Předpokládali jsme, že než dojde k vychýlení elektronů, je plazma homogenní a neutrální. Platí tedy n e0 = u e0 = E n e0 0 = 0, = u e0 = E 0 = 0 (26) t t t 24

25 2.3. Šíření elektromagnetických vln v plazmatu a pohybová rovnice (17) pro elektrony bude mít v přiblížení prvního řádu následující tvar, u e1 t = e m e E1. (27) Oscilující veličiny budeme brát ve tvaru rovinných harmonických (monochromatických) vln, protože nás zajímají pouze vlastní módy (obecné řešení bychom dostali superpozicí těchto vln), u e1 e i( k x ωt), ne1 e i( k x ωt), E1 e i( k x ωt), (28) kde k je vlnový vektor (udává směr šíření vlny) a ω je úhlová frekvence vlny. Dosazením řešení pohybové rovnice (27) do druhého ze vztahů (20) pak snadno vyjádříme vysokofrekvenční proud, kde i je imaginární jednotka. J = en e0 u e1 = i e2 n e0 m e ω E 1, (29) Po provedení Fourierovy transformace vlnové rovnice (24) a využitím rovnosti ε 0 µ 0 = 1/c 2 dostaneme k 2 E1 + ω2 E c 2 1 = ω2 pe E c 2 1. (30) Odsud už snadno získáme hledanou disperzní relaci pro příčné elektromagnetické vlny ( k E 1 = 0) v plazmatu, ω 2 = ωpe 2 + c 2 k 2. (31) Vztah (31) nyní podrobíme důkladné analýze. Bude-li frekvence elektromagnetické vlny ω větší než elektronová plazmová frekvence ω pe, vlnový vektor k bude reálný. Elektromagnetická vlna se tedy bude šířit plazmatem. Naopak bude-li ω < ω pe, pak k je ryze imaginární a vlna bude exponenciálně tlumena. Charakteristická vzdálenost tlumení se nazývá skinová hloubka a je definována jako δ = 1 k. (32) Dosáhne-li frekvence elektromagnetické vlny mezní frekvence, tedy ω = ω pe, pak dochází k úplnému odrazu vlny. Tento mezní případ nastává na tzv. kritické hustotě plazmatu n c = ε 0m e ω 2 e 2. (33) 25

26 Kapitola 2. Laser-plazma interakce Na závěr definujeme fázovou rychlost v f a grupovou rychlost v g šíření vlny, v f = ω k k k, v g = ( ω, ω, ω ). (34) k x k y k z Fázová rychlost vlny v f vyjadřuje rychlost přesunu vlnoploch a v plazmatu je vyšší než rychlost světla ve vakuu c. Grupová rychlost vln v g je mechanickou rychlostí částic k nim přidružených. Vyjadřuje tedy rychlost přenosu energie, a tudíž nemůže být vyšší než c. 2.4 Srážková absorpce Jedním z nejdůležitějších mechanismů absorpce laserové energie v plazmatu jsou srážkové procesy dané coulombickou interakcí volných částic, nazývané také jako inverzní brzdné záření. Je tedy patrné, že jde o jev, kdy v důsledku srážek nabitých částic mezi sebou dojde k pohlcení fotonu. Pokud se elektron srazí s iontem, změní se jeho uspořádaná oscilační rychlost na tepelnou. Elektromagnetická vlna pak musí elektronu chybějící energii oscilace v poli dodat. Tímto způsobem dojde k absorpci energie vlny a její přeměně na kinetickou energii plazmatu [22]. Rigorózní odvození srážkové absorpce energie elektromagnetické vlny pomocí kinetické teorie lze nalézt v [36]. Zde se omezíme na jednoduchý hydrodynamický model homogenního plazmatu bez vnějšího magnetického pole (podobný postup lze nalézt v [7]). Ionty budeme opět považovat za nehybné. Linearizovaná pohybová rovnice pro elektrony se zahrnutím srážek je u e1 t = e E 1 m e ν ei u e1, (35) Bereme v úvahu pouze srážky elektronů s ionty. Srážky elektronů s elektrony zanedbáme, neboť k absorpci nepřispívají. Řešení budeme hledat opět ve tvaru rovinných harmonických vln. Z pohybové rovnice (35) dostaneme výraz pro proudovou hustotu, ω 2 pe J = en e0 u e1 = i ε 0E1. (36) ω + iν ei Řešíme-li nyní vlnovou rovnici (24) pro příčné elektromagnetické vlny, obdržíme disperzní vztah k 2 = ω2 c ω ωpe 2 2 c 2 (ω + iν ei ). (37) 26

27 2.4. Srážková absorpce Za předpokladu, že platí ν ei ω pe (typické pro plazmatickou koronu) rozvineme disperzní vztah do Taylorovy řady. Ponecháme-li členy do prvního řádu, dostáváme k 2 ω2 c 2 ( 1 ω2 pe ω 2 + i ν ei ωpe 2 ). (38) ω 3 Stejným způsobem vztah odmocníme (za předpokladu, že navíc ω 2 ω 2 pe ν ei ω 2 pe/ω), k ± ω c ( 1 ω2 pe ω 2 ) 1 2 [ 1 + i ( νei 2ω ) ( ωpe 2 ) ω 2 ] 1. (39) 1 ωpe/ω 2 2 Vidíme, že vlivem srážek bude elektromagnetická vlna tlumena. Míru útlumu intenzity vlny κ ib pak definujeme jako dvojnásobek imaginární části k, κ ib = 2 Im(k) = ( νei Je užitečné tento vztah převést do jednotek kritické hustoty (33), κ ib = ν ei(n c ) c c ) ( ωpe 2 ) 1 ω 2 1 ωpe/ω. (40) 2 2 ( ) ne 2 ( n c 1 n e n c ) 1 2, (41) kde ν ei (n c ) je srážková frekvence vyhodnocená na kritické hustotě. Ze vztahu (41) je okamžitě vidět, že významná část absorpce energie elektromagnetické vlny mechanismem inverzního brzdného záření nastává v blízkosti kritické hustoty n c plazmatu. Úbytek intenzity I laserového impulsu procházejícího plazmatem ve směru osy x probíhá v souladu se vztahem di dx = κ ibi. (42) Koeficient absorpce α abs laserové energie v plazmatu o charakteristické délce L dostaneme jako α abs = 1 I out I in = 1 exp L 0 κ ib dx, (43) kde I out /I in je poměr intenzit vystupujícího a vstupujícího laserového impulsu. Pro nehomogenní plazma je řešení (42) poněkud komplikovanější. Na závěr tedy uvádíme koeficienty absorpce pro lineární a exponenciální profil hustoty plazmatu [7], α abs = 1 exp ( ) ν ei (n c )L c ( pro n e = n c 1 x ), (44) L 27

28 Kapitola 2. Laser-plazma interakce α abs = 1 exp ( 8 3 ) ν ei (n c )L c pro ( n e = n c exp x ). (45) L 2.5 Landauův útlum Jak již bylo uvedeno, elektromagnetická vlna šířící se plazmatem rozkmitává elektrony na elektronové plazmové frekvenci ω pe. Vezmeme-li v úvahu tepelné děje, zjistíme, že se tyto oscilace mohou šířit. Vznikají tak podélné elektronové plazmové vlny (bývají také často nazývány po svém objeviteli jako Langmuirovy vlny). Elektrony s rychlostí blízkou fázové rychlosti v f této vlny postupují společně s vlnou, a tak si s ní mohou účinně vyměňovat energii. Pokud je jejich rychlost nepatrně nižší než fázová, získávají energii na úkor vlny. Naopak, pokud je jejich rychlost nepatrně vyšší, energii ztrácí a předávají ji vlně. Vezmeme-li v úvahu maxwellovské rozdělení, bude v plazmatu vždy statisticky více elektronů s nižší rychlostí, díky tomu převládá proces útlumu vlny (projevuje se i bez přítomnosti srážek), jehož přímým důsledkem je produkce rychlých elektronů. Tento jev teoreticky popsal L. D. Landau v roce 1946, později byl ověřen také experimentálně. Landauův útlum není možné odvodit z hydrodynamického modelu, musíme vycházet z kinetické teorie. Cílem bude získat disperzní vztah elektronových plazmových vln. Jak již bylo uvedeno, Landauův útlum se projevuje i bez přítomnosti srážek, vyjdeme tedy z Vlasovovy rovnice (12). Nechť dále mají ionty v prostoru pevné homogenní rozložení a interakce elektronů s plazmovou vlnou zprostředkovává pouze pole elektrické. Ze sady Maxwellových rovnic nám tedy postačí pouze rovnice pro divergenci elektrického pole (13). Tyto rovnice linearizujeme, přičemž oscilující veličiny budeme brát jako harmonické rovinné vlny šířící se ve směru osy x. Snadno získáme disperzní relaci pro elektronové plazmové vlny, k 2 = ω 2 pe + d ˆf dv x 1 (v x v f ) dv x, (46) kde ˆf(v x ) symbolizuje jednorozměrnou rozdělovací funkci, již zintegrovanou přes obě zbývající složky rychlosti. Pro další pokračování je nutné vypočíst integrál komplexní proměnné (46) se singularitou v bodě v x = v f. Landau jako první ukázal, že správná integrační cesta musí vést pod pólem. Z komplexní analýzy dostaneme disperzní vztah ve tvaru 28 ω 2 ωpe ω2 pe ω 2 v2 tek 2 + iπ ω2 peω 2 k 2 d ˆf kde v dv x te 2 = k BT e. (47) vx=vf m e

29 2.6. Ponderomotorická síla Veličina v 2 te označuje kvadrát tepelné rychlosti elektronů. Druhý člen v rovnosti (47) je tedy způsoben tepelnými procesy. Vystačíme si s takovou přesností, kdy tento člen budeme moci zanedbat a disperzní vztah odmocníme pomocí Taylorova rozvoje, ω ω pe 1 + i π 2 ω 2 pe k 2 d ˆf dv x vx=v f Je-li ˆf(v x ) jednorozměrné maxwellovské rozdělení, bude. (48) d ˆf ( ) 2 v x = exp v2 x. (49) dv x π vte 3 2vte 2 Dekrement Landauova útlumu γ L potom získáme jako imaginární část ω (kde můžeme velmi dobře aproximovat v f ω pe /k), ( ) π ω pe γ L = Im (ω) 2 (kλ D ) 3 exp 1 2 (kλ D ) 2. (50) Imaginární část ω je záporná, není tedy pochyb o tom, že se jedná o útlum. Je zřejmé, že je-li kλ D 1, pak je tento útlum nepatrný a nehraje téměř žádnou roli. Pokud je ovšem vlnová délka elektronové plazmové vlny srovnatelná s Debyeovou délkou, Landauův útlum se stává velmi silným a dochází k deformaci rozdělovací funkce. Koncept bezesrážkového tlumení, jenž Landau zavedl do moderní fyziky, je v dnešní době stále živé téma. Landauův útlum hraje rozhodující roli v podstatě ve všech odvětvích fyziky plazmatu. A nejen tam, podrobným zkoumáním tohoto jevu bylo ukázáno, že ho lze využít k analýze problémů v hydrodynamice, astrofyzice nebo fyzice vysokých hustot energií [6]. Vysvětlení projevů Landauova útlumu není jednoduché, jeho výklad v různých specifických podmínkách činí stále velké obtíže. Nové a nové studie tohoto jevu se pravidelně objevují i dnes, téměř sedmdesát let po jeho objevu. Přetrvávající zájem o tento v mnoha ohledech paradoxní jev slibuje nové objevy, a to jak v teorii, tak v aplikacích [35]. 2.6 Ponderomotorická síla Laserové svazky působí na prostředí silou, která se interpretuje jako tlak záření. V plazmatu má tato síla v důsledku oscilačního pohybu nabitých částic ještě další složku, která může dosahovat velmi vysokých hodnot. Ta vytlačuje nabité částice z oblastí intenzivního pole do míst s nižší intenzitou. Sílu, která na ně tímto mechanismem působí, nazýváme ponderomotorickou silou. 29

30 Kapitola 2. Laser-plazma interakce Tuto nelineární sílu nyní odvodíme studiem pohybu elektronu v elektromagnetickém poli v plazmatu (podobný postup lze najít v [7]). Budeme uvažovat pouze nerelativistický případ. Vezměme elektrické pole vlny ve tvaru E ( x, t) = E 1 ( x) cos ωt. (51) Integrací Faradayova zákona (11) snadno obdržíme magnetické pole, B ( x, t) = 1 ω E 1 ( x) sin ωt. (52) Pohybová rovnice (21) má v přiblížení prvního řádu tvar m e d v 1 dt = e E 1 ( x 0 ) cos ωt, d x 1 dt = v 1, (53) kde jsme mohli zanedbat člen v B (pro nerelativistické elektrony je malý) a E ( x, t) vzít v počáteční poloze x 0. Řešením rovnic (53) dostaneme v 1 = em e ω E 1 ( x 0 ) sin ωt, x 1 = em e ω 2 E 1 ( x 0 ) cos ωt. (54) Nyní vyjádříme stejnou pohybovou rovnici se členy druhého řádu, m e d v 2 dt = e [ ( x 1 ) E 1 ( x 0 ) cos ωt + v 1 B 1 ( x 0 ) sin ωt ], (55) kde druhý řád E ( x, t) jsme získali jeho rozvojem do Taylorovy řady v blízkosti počáteční polohy x 0. Po dosazení (52) a (54) do (55) dostaneme e2 d v 2 m e dt = [( E1 ( x m e ω 2 0 ) ) E1 ( x 0 ) cos 2 ωt + E 1 ( x 0 ) ( E 1 ( x 0 ) ) sin 2 ωt ]. (56) Vystředováním (56) přes jednu periodu elektromagnetické vlny (poznamenejme, že cos 2 = sin 2 = 1/2) a využitím identity [13] ( X ) X + X ( X ) = 1 2 X2 (57) získáme efektivní nelineární sílu působící na jeden elektron, d v2 m e = e2 dt 4m e ω 2 E2 1. (58) Abychom získali sílu působící na jednotku objemu, musíme výraz (58) přenásobit elek- 30

31 2.7. Parametrické nestability tronovou hustotou n e. Dostaneme tzv. ponderomotorickou sílu, kterou můžeme vyjádřit pomocí ω pe (přičemž E 2 1 = 2 E 2 ), F p = n ee 2 4m e ω 2 E2 1 = ω2 pe ω ε 0 E 2. (59) 2 2 Ponderomotorická síla působí stejným mechanismem i na ionty, ale jelikož je jejich hmotnost mnohem vyšší, není její okamžitý projev tak patrný. Přímým důsledkem této nízkofrekvenční síly je samofokusace laserových svazků v plazmatu. Laserový impuls vyvolá ponderomotorickou sílu v radiálním směru, která vytlačuje plazma ven ze svazku, a to pak působí jako konvexní čočka [6]. Ponderomotorická síla se také významně podílí na vzniku parametrických nestabilit při vlnových interakcích. 2.7 Parametrické nestability K parametrickým nestabilitám dochází při nelineární interakci vln v plazmatu. Obvykle se jedná o stimulovaný rozpad původní tzv. čerpající elektromagnetické vlny na elektronové nebo iontové vlny a jinou elektromagnetickou vlnu. Útlum dceřiných vln potom způsobuje ohřev plazmatu. V některých případech se tvoří dvouteplotní rychlostní rozdělení elektronů, v důsledku čehož se narušuje lokální termodynamická rovnováha plazmatu. K parametrickým nestabilitám dochází v případě, kdy amplituda čerpající vlny převyšuje tzv. prahovou hodnotu. V opačném případě jejich vznik potlačuje srážkový nebo Landauův útlum. Rezonanční podmínky jsou pro interakci tří vln vyjádřeny dvěma následujícími vztahy, ω 0 = ω 1 + ω 2, k0 = k 1 + k 2, (60) kde indexem 0 jsou označeny parametry náležející čerpající vlně, a indexy 1, 2 parametry dceřinných vln. S využitím disperzních vztahů jednotlivých druhů vln v plazmatu můžeme rozlišit několik situací, které mohou nastat v závislosti na frekvenci ω 0 čerpající vlny: 1. Je-li ω 0 ω pe, může dojít k rozpadu čerpající vlny na elektronovou plazmovou vlnu a iontovou akustickou vlnu. Tento jev nastává v okolí kritické hustoty n c plazmatu. 2. Je-li ω 0 > ω pe, může dojít k rozpadu čerpající vlny na iontovou akustickou vlnu a jinou elektromagnetickou vlnu šířící se stejným nebo opačným směrem. Tento jev nastává na celé oblasti podkritického plazmatu a nazývá se stimulovaný Brillouinův rozptyl. 3. Je-li ω 0 = 2ω pe, může dojít k rozpadu čerpající vlny na dvě elektronové plazmové vlny. Tento jev nastává na n c /4 a nazývá se dvouplazmonový rozpad. 31