příklad Steganografie Matematické základy šifrování šifrování pomocí křížů Hebrejské šifry

Transkript

1

2 příklad Steganografie Matematické základy šifrování modulární aritmetika modulární inverze prvočísla faktorizace diskrétní logaritmus eliptické křivky generátory náhodných čísel šifrování pomocí křížů Hebrejské šifry

3 Girolamo Cardano (Gerolamo, Geronimo) latinsky Hieronymus Cardanus ( ) milánský matematik, fyzik, filosof, astronom a astrolog ukrytí jedné zprávy do jiné zprávy šablona» obdélníková nebo čtvercová mřížka s vystřiženými poli původní doporučení o.t. opakovat 3x» odstranění problémů s nečitelností š.t. snadno luštitelná» velmi rychle se přestalo používat

4 š.t.: = ESERCIEA RODFLNAY ERGNMOAV UOANNTSV INCAAMAI RRIZUDZA PTUNKOSR HUAIOSJB E S E R C I E A R O D F L N A Y E R G N M O A V U O A N N T S V I N C A A M A I R R I Z U D Z A P T U N K O S R H U A I O S J B o.t.: CARDANOVAMRIZKAJ EELEGANTNIZPUSOB SIFROVANIAUTORHI ERONYMUSCARDANUS text: Cardanova mřížka je elegantní způsob šifrování. Autor: Hieronymus Cardanus

5 šifrovací algoritmus používá matematické funkce modulární aritmetika Malá Fermatova věta prvočíselná faktorizace diskrétní logaritmus eliptické křivky logické operátory XOR modulární + a * záměna pozic transpozice substituce

6 převedení znaků textu na čísla PC znak = číselná hodnota binární zápis interní uložení ve znakové sadě kódová tabulka, kódová schránka» Morseova abeceda ASCII (1B, 7bitů,128 znaků) další: bratrů Kamenických, PC Latin 2, ISO , Windows 1250 Unicode (1 4B, 21bitů, znaků, 129 abeced) sjednocená mezinárodní znaková sada» ver (10/1991) ver. 8.0 (06/2015) kódování: UTF 7, UTF 8, UTF 16LE/BE (UCS 2), UTF 32LE/BE (UCS 4)» endianita (LE, BE) představují substituci (A = 65, a = 97, á = 160)

7 modulární aritmetika jako aritmetika N 1,2,3, redukován počet použitých čísel (n) 0,1,2,, 1 n = modul komutativní zákon asociativní zákon distributivní zákon

8 modulární aritmetika přirozená čísla N 1,2,3, operace + * (nelze a/) celá čísla Z, 1,0,1, operace + *(nelze /) množina čísel modulo n 0,1,2,, 1 operace + */ relace kongruence redukce dvě čísla mají stejný zbytek po dělení daným číslem

9 modulární aritmetika relace kongruence 0,1,2,, 1 platí: a je kongruentní modulo n s b nebo a je kongruentní s b modulo n, po dělení n dávají stejný zbytek je dělitelný n např /6 3 zbytek 2 8/6 1 zbytek /6 2 zbytek 0 dále např. 164, 69, 86 44,

10 modulární aritmetika relace kongruence pravidla pro počítání: P1: P2:, P3:,, P4:,,, P5:,,, např. 20 8, např. 5?? »

11 modulární aritmetika modul n = 10 sečtěte a odečtěte posloupnosti: a modul n = 26 sečtěte a odečtěte posloupnosti: a modul n = 2 sečtěte a odečtěte posloupnosti: a

12 modulární aritmetika písmen modul n = 26 sečtěte a odečtěte posloupnosti: POSTEL a PEŘINA A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

13 modulární inverze předpoklad: operace je některá z operací + * číslo k je identický prvek pro operaci 0 pro + 1 pro * číslo m je inverzní prvek k číslu n pro operaci ( n) pro + (1/n) pro * v modulární aritmetice inverze složitější

14 modulární inverze v modulární aritmetice operace + * jednoduché řešení výpočet provedeme v běžné aritmetice výsledek upravíme relací kongruence operace / složitější řešení hledáme číslo m k číslu x tak, aby platilo: 1 jiný zápis: existence řešení:, 1 jediné řešení, obecně pro n = prvočíslo, 1 nemá řešení

15 n = 5 (prvočíslo) identický prvek k =??? inverzní prvek m =???

16 n = 6 (není prvočíslo) identický prvek k =??? inverzní prvek m =???

17 n = 5 (prvočíslo) * identický prvek k =??? inverzní prvek m =???

18 n = 6 (není prvočíslo) * identický prvek k =??? inverzní prvek m =???

19 prvočísla dělitelnost a dělí b nebo a je dělitelem b pro každé číslo a platí: je beze zbytku dělitelné dvěma děliteli (číslo 1 a číslo a) označíme je triviální dělitelé prvočíslo: je takové přirozené číslo p, které nemá kromě dvou různých triviálních dělitelů žádné jiné dělitele» číslo 1 tedy není prvočíslo složené číslo: je celé číslo různé od 1, které není prvočíslem» tj. kromě dvou různých triviálních dělitelů má ještě další dělitele

20 prvočísla vlastnosti: pro každé prvočíslo p platí: / / každé přirozené číslo >1 je prvočíslo nebo je rozložitelné na součin prvočísel každé přirozené číslo se dá jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel (v kanonickém tvaru):,,, = prvočísla,,, = přirozená čísla pokud p je prvočíslo a ;0, pak / ke každému celému kladnému číslu ; 0můžeme nalézt takové prvočíslo ; 2

21 Eratostenovo síto zjištění prvočísel pro malá N

22 Euklidův algoritmus zjištění NSD(a,b) / / / počet dělení nepřesáhne 5 ti násobek počtu cifer menšího z čísel definice: d je NSD(a,b) 1. / / 2. / / / např. NSD(56,126)= tvrzení: dvě čísla a,b jsou nesoudělná NSD(a,b)=1 definice: m je NSN(a,b) 1. / / 2. / / / např. NSN(16,20)= platí:.,,

23 rozšířený Euklidův algoritmus algoritmus pro nalezení koeficientů Bézoutovy rovnosti, kde, jsou Bézoutovy koeficienty lze využít pro nalezení inverzního prvku pro množinu 0,1,2,, 1, pro p = prvočíslo je, 1 pro všechna x a tedy 1» a platí: 0 tj. 1» kde je inverzním prvkem k prvku x

24 rozšířený Euklidův algoritmus příklad: 3?? tj. hledáme, tak, aby 29, » EA: ,3 3,2» EA: » » tj a tedy:» 1, 10» 1 29, » » kde

25 rozšířený Euklidův algoritmus příklad: 3?? násobky zbytky koeficienty

26 rozšířený Euklidův algoritmus příklad: 3?? násobky zbytky koeficienty = =9*0+1, 0=9*1+(-9)

27 rozšířený Euklidův algoritmus příklad: 3?? násobky zbytky koeficienty = =9*0+1, 0=9*1+(-9) 3= =1*1+(-1), 1=1*(-9)+10 3,

28 rozšířený Euklidův algoritmus příklad: 5?? násobky zbytky koeficienty

29 Eulerova funkce počet přirozených čísel < n, která jsou nesoudělná s n φ 1 kde NSD(a,n)=1» φ 1 1 pro bezpečnost algoritmů důležitý odhad počtu prvočísel < n pokud p je prvočíslo φ 1 pokud p je složené číslo φ 1 n (n)

30 Eulerova funkce Eulerův vztah: n počet prvočísel < n , , ,

31 Malá Fermatova věta ; důsledek: 1 např pokud, 1 využívá se pro hledání složených čísel n je složené číslo pokud 1,2,, 1 ; 1 využívá se pro hledání inverze a p a např. 3??

32 moderní kryptografie utajení, autentizace, autorizace, integrita šifrovací algoritmy, digitální podpisy, kryptografické protokoly, časové značky, obtížnost řešení matematických úloh prvočíselná faktorizace velkých čísel (IF)» RSA, Rabin Williams diskrétní logaritmus (DL)» DSA, Diffie Hellman eliptický diskrétní logaritmus (EC)» ECDSA, eliptické kryptosystémy

33 faktorizace rozklad čísla na součin menších čísel (faktorů) prvočíselná faktorizace faktor = prvočíslo rozklad na součin prvočísel pro každé číslo dána jednoznačně časově velmi náročná bezpečnost asymetrických algoritmů (RSA, )

34 diskrétní logaritmus nalézt v celých číslech Z neznámý exponent x z rovnice: znalost q, x, n snadno spočtu Y znalost Y, n obtížné zjistit x nejsou známy algoritmy s rozumnou výpočetní složitostí řešení je považováno za příliš složité využívá spousta kryptosystémů (El Gamal, DSS, ) výpočetní složitost srovnatelná nebo i vyšší než u faktorizace

35 eliptické křivky eliptický diskrétní logaritmus používají výpočty nad dvěma tělesy prvočíselné těleso» výpočty mod p binární těleso» výpočty mod 2 m výpočty bodů eliptické křivky» nevlastní bod v nekonečnu nejsou známy algoritmy se subexponenciální výpočetní složitostí řešení je považováno za příliš složité u speciálních typů eliptických křivek je algoritmus znám» MOV útok pro supersingulární eliptické křivky se stopou 1

36 generování náhodných čísel dobrý generátor důležitý využití: náhodný výběr klíče z celého prostoru klíčů generátor náhodných čísel (RNG) náhodná čísla bílý šum v elektronických obvodech kosmické záření počet produktů rozpadu radioaktivního vzorku / časová jednotka generátor pseudonáhodných čísel (PRNG) klasické (program) nevýhoda = zacyklení po určité době» čím delší doba, tím kvalitnější

37 generování náhodných čísel generátor nelze odhad vygenerované hodnoty na základě předchozích statisticky rovnoměrné rozložení generovaných čísel kongruenční generátory třída modulo, rekurzivní výpočet Fibonacciho aditivní generátor Lehmerův multiplikativní generátor Kongruenční smíšený generátor nejrozšířenější LCG (lineární kongr. gen.) kvadratický generátor kubický generátor posuvný registr se zpětnou vazbou a spousta dalších (Blum Blum Shub, Mersenne twister, )

38 substituční šifry šifrování pomocí křížů šifra prasečích chlívků velký polský kříž malý kříž Hebrejské šifry ATBAŠ ALBAM ATBAH

39 monoalfabetická substituční šifra jednoduchá záměna O.A. za Š.A. svobodní zednáři počátek 18. století uchovávání tajných záznamů v té době již snadno luštitelná dnes pobavení pro školáky a táborníky šifrování pomocí křížů A D G B E H C F I J M P K N Q L O R T S V U X W Z Y

40 text = Jen se zeptej ječmene, snad si na to vzpomene. o.t. = JEN SE ZEPTEJ JECMENE SNAD SI NA TO VZPOMENE š.t. = D G A E H B C F I S T U V W X Y Z M P J N Q K L O R

41 text = Kuře bloudí mezi poli, pípá, pípá, nožky bolí. o.t. = KURE BLOUDI MEZI POLI PIPA PIPA NOZKY BOLI A B C D E F G H CH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z š.t. =

42 text = Pověz milý ječmínku, jak mám najít maminku? o.t. = POVEZ MILY JECMINKU JAK MAM NAJIT MAMINKU š.t. = D G A E H B C F CH L O I M P J K N Q U X R V Y S T W Z

43 hebrejci prokazatelně používali monoalfabetické substituční šifry jednoduchá záměna O.A. za Š.A. Š.A. = O.A. odlišný předpis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

44 postup: znak o.t. vzdálenost od počátku abecedy znak š.t. stejná vzdálenost od konce abecedy A B C D E F G H I J K L M Z Y X W V U T S R Q P O N N O P Q R S T U V W X Y Z M L K J I H G F E D C B A

45 text = Ječmen syčí mezi vousy: Ptej se pšenic, vzpomenou si! o.t. = JECMEN SYCI MEZI VOUSY PTEJ SE PSENIC VZPOMENOU SI A B C D E F G H I J K L M Z Y X W V U T S R Q P O N N O P Q R S T U V W X Y Z M L K J I H G F E D C B A š.t. = QVXNV MHBXR NVARE LFHBK GVQHV KHVMR XEAKL NVMLF HR

46 postup: abecedu rozdělíme na dvě poloviny znak o.t. vzdálenost od počátku jedné poloviny abecedy znak š.t. stejná vzdálenost od počátku druhé poloviny abecedy A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

47 text = Kuře pípá u pšenic, nevědí však také nic: o.t. = KURE PIPA U PSENIC NEVEDI VSAK TAKE NIC A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M š.t. = XHERC VCNHC FRAVP ARIRQ VIFNX GNXRA VP

48 postup: abecedu rozdělíme na dvě skupiny po 9 znacích znak o.t. vzdálenost od počátku skupiny znak š.t. stejná vzdálenost od konce skupiny A B C D E F G H I I H G F N D C B A J K L M N O P Q R R Q P O E M L K J S T U V W X Y Z Z Y X W V U T S

49 text = "Milé kuře, je nám líto, ptej se žita, poví ti to!" o.t. = MILE KURE JE NAM LITO PTEJ SE ZITA POVI TI TO A B C D E F G H I I H G F N D C B A J K L M N O P Q R R Q P O E M L K J S T U V W X Y Z Z Y X W V U T S š.t. = OAPNQ XJNRN EIOPA YMLYN RZNSA YILMW AYAYM

50