METODA HLAVNÍCH KOMPONENT V LABORATORNÍ PRAXI

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "METODA HLAVNÍCH KOMPONENT V LABORATORNÍ PRAXI"

Transkript

1 MEODA HLANÍH KOMPONEN LABORAORNÍ PRAXI JIŘÍ MILIKÝ, Kateda tetlních ateálů, echncká unvesta v Lbec, Hálkova Lbeec, e- Motto: ednoduchost e síla MILAN MELOUN, Kateda analytcké chee, Unvesta Padubce, Padubce Abstakt: Jsou popsány základy ealzace etody hlavních koponent (dále PA) vycházeící z ůzných hledsek. Je poednáno o ožnostech ntepetace tansfoovaných os (hlavních koponent). Na příkladech sulovaných dat s ůznou koelační stuktuou sou deonstovány vlvy koelační stuktuy dat na výsledky PA..Úvod Jednou ze základních úloh laboatoní pae e ěření vybaných paaetů (znaků) a ntepetace výsledků. Jen zřídka dode k stuac, kdy se ěří pouze eden paaet esp. vlastnost. Obyčeně sou ěřeny také souvseící paaety esp. sou k dspozc další nfoace (o technolog, stuktuře, složení, vzokování, podínkách ěření atd.), kteé způsobuí, že výchozí data sou víceozěná. Požadavke e pak zkouání stuktu v datech, hledání vazeb a zednodušení (kopese dat). Obyčeně e třeba :. Nalézt kobnace původních poěnných, kteé lépe vysthuí data než původní poěnné a obasnt ech význa. Nalézt stuktuy a souvslost v datech, kteé chaaktezuí ednotlvé znaky a ech ožné vazby 3. Identfkovat nevýznané kobnace složek (snížení dense pobléu a elnace šuů) a vybočuící data (ndkace esp., elnace atypckých výsledků) aké celá řada dalších úloh z oblast analytcké chee vede na zpacování víceozěných výběů. Podobné pobléy se vyskytuí také v ných oboech, kde se zkouá chování systéů ovlvněných sultánně řadou souvseících faktoů esp. př konstukc odelů předpovídaících vlastnost výobků z vlastností suovn atd. še e koplkováno tí, že se vychází z epeentálních dat, kteá aí v těchto případech standadně někteé specfcké zvláštnost: (a) ozsahy zpacovávaných dat nesou obyčeně velké (ako statstcky postačuící se obyčeně uvažue 00 dat na každý znak), (b) v datech se vyskytuí výazné statstcké vazby a stuktuy, kteé e třeba dentfkovat a popsat, (c) ozdělení dat en zřídka odpovídá noálníu běžně předpokládanéu ve standadní statstcké analýze, (d) v datech se vyskytuí vybočuící ěření a ůzné heteogenty,

2 (e) statstcké odely se často tvoří na základě předběžných nfoací z dat (datově oentované přístupy), (f) paaety statstckých odelů aí nohdy defnovaný fyzkální význa, a usí poto vyhovovat velkostí, znaénke nebo vzáený poěe, (g) estue stá neučtost př výběu odelu, popsuícího chování dat. Z hledska použtí statstckých etod e poto žádoucí ít ožnost zkouat gafcky statstcké zvláštnost dat, zednodušovat datové stuktuy s ohlede na nalzac ztáty nfoace a ntepetovat vhodně získané výsledky. Jž saotné znázonění dat vyžadue použtí ůzných poekcí, kteé však vzhlede k ultkolneatě a dens pobléu neusí dobře ndkovat např. tzv. vybočuící hodnoty (body), echž přítonost ůže ít katastofcké důsledky s ohlede na ntepetac výsledků a paktcké závěy. Standadně se po půzkuovou analýzu víceozěných dat používá etoda hlavních koponent (PA), kteá e dnes běžnou součástí paktcky všech pogaových systéů po víceozěná data. o vede ke stavu, že e utnně využívána tak, ak e napogaována, což ůže často způsobt potíže ta, kde e vhodné volt altenatvní cesty. této pác e poednáno o základních yšlenkách PA a ožnostech ntepetace tansfoovaných os (hlavních koponent). Na příkladech sulovaných dat s ůznou koelační stuktuou sou deonstovány vlvy koelační stuktuy dat na výsledky PA.. Metoda PA Metoda hlavních koponent (PA) e edna z nestaších a nevíce používaných etod víceozěné analýzy. Popvé byla zavedena Peasone ž v oce 90 a nezávsle Hotellnge v oce 933. íle analýzy hlavních koponent e předevší zednodušení popsu skupny vzáeně lneáně závslých, tedy koelovaných znaků. analýze hlavních koponent nesou znaky děleny na závsle a nezávsle poěnné ako v eges. echnku lze popsat ako etodu lneání tansfoace původních znaků na nové, nekoelované poěnné, nazvané hlavní koponenty. Každá hlavní koponenta představue lneání kobnací původních znaků. Základní chaaktestkou každé hlavní koponenty e eí ía vaablty t. ozptyl. Hlavní koponenty sou seřazeny dle důležtost t. dle klesaícího ozptylu, od nevětšího k neenšíu. ětšna nfoace o vaabltě původních dat e přto soustředěna do pvní koponenty a neéně nfoace e obsaženo v poslední koponentě. Platí pavdlo, že á-l něaký původní znak alý č dokonce nulový ozptyl, není schopen přspívat k ozlšení ez obekty. Standadní využtí PA e edukce počtu znaků bez velké ztáty nfoace, a to užtí pouze pvních několka hlavních koponent. oto snížení denze úlohy se netýká počtu původních znaků. Je tedy výhodné předevší po ožnost zobazení víceozěných dat. Předpokládá se, že nevyužté hlavní koponenty obsahuí alé nožství nfoace, potože ech ozptyl e přílš alý. ato etoda e ataktvní předevší z důvodu, že hlavní koponenty sou nekoelované. Naísto vyšetřování velkého počtu původních znaků s koplení vntřní vazba analyzue užvatel pouze alý počet nekoelovaných hlavních koponent. Dále lze vybané hlavní koponenty využít také k testu víceozěné noalty. Analýza hlavních koponent e ovněž součástí půzkuové analýzy dat. Snížení ozěnost e často využíváno př konstukc kopleních ukazatelů ako lneáních kobnací původních znaků. Např. pvní hlavní koponenta e vlastně vhodný ukazatele akost pokud původní znaky chaaktezuí eí složky. yužtí pvní hlavní koponenty ako kopleního ukazatele e běžné v oblast ekonoe, socologe a edcny.

3 Pvní dvě espektve pvní tř hlavní koponenty se využívaí předevší ako technky zobazení víceozěných dat v poekc do ovny nebo do postou. ýhodou e, že tato poekce zachovává vzdálenost a úhly ez ednotlvý obekty. řadě případů sou hlavní koponenty pouze ednou z fází kopleněší analýzy. Např. egese s využtí hlavních koponent uožňue odstanění pobléů s ultkolneatou a přebytečný počte vysvětluících poěnných. (Pozo, také hlavní koponenty, kteý odpovídá alý ozptyl ohou být v kontetu egese důležté). Oblíbené e také použtí hlavních koponent v oblast řízení akost. 3. Podstata analýzy hlavních koponent Základní cíle PA e tansfoace původních znaků,,...,, do enšího počtu latentních poěnných y. yto latentní poěnné aí vhodněší vlastnost: e ch výazně éně, vysthuí téěř celou poěnlvost původních znaků sou vzáeně nekoelované. Latentní poěnné sou nazvány hlavní koponenta. Jde o lneání kobnace původních poěnných: pvní hlavní koponenta y popsue nevětší část poěnlvost čl ozptylu původních dat, duhá hlavní koponenta y zase nevětší část ozptylu neobsaženého v y atd. Mateatcky řečeno, pvní hlavní koponenta e takovou lneání kobnací vstupních znaků, kteá á nevětší ozptyl ez vše ostatní lneání kobnace. Má tva y kde sloupcový vekto původních znaků obsahue původní znaky v odchylkách od středních hodnot čl centované hodnoty ( - µ, - µ,..., - µ,). Je zřeé, že ozptyl D ( y ) D ( E ( ) e závslý na velkost vektou koefcentů. Sybol označue kovaanční atc. Je tedy třeba zavést vhodné oezení na velkost. Standadní e použtí noalzace. Po vekto koefcentů (,..., ) pak platí, že poěnlvost vyádřená ozptyle D( y ) e aální. Duhá hlavní koponenta aalzue ozptyl y D( y ) ) E [( ) ( ) ] za těchto oezuících podínek a 0 Duhá oezuící podínka zašťue kolost obou hlavních koponent. Po obecně -tou hlavní koponentu y platí, že nalzue ozptyl D( y ) za celke -tce oezuících podínek a 0 po všechna <. Lze snadno zstt, že podínky 0 zašťuí kolost hlavních koponent. Po nalezení vhodných vektoů,,...,, e třeba řešt sé aalzačních úloh s oezení na paaety ve tvau ovnost.

4 Řešení s využtí etody Lagangeových ultplkátoů vede ke zštění, že vekto e vlastní vekto kovaanční atce, kteéu odpovídá -té nevětší vlastní číslo λ. yužívá se tedy znáého ozkladu Λ () kde e ( ) atce, obsahuící ako sloupce vektoy a Λ e ( ) dagonální atce, obsahuící na dagonále vlastní čísla λ < λ <... λ kovaanční atce. Matce e otogonální, t. E, kde E e ednotková atce. Z ovnce () e zřeé, že ozptyl D(y ) λ e oven -téu vlastníu číslu. elkový ozptyl všech hlavních koponent e pak oven t λ kde t (.) označue stopu atce. Podíl vaablty, obasněný -tou hlavní koponentou y e pak λ P Kovaance ez -tou hlavní koponentou a vektoe znaků sou ovny cov (, y ) cov (, ) E ( ) λ Platí tedy, že kovaance ez -tý znake a -tou hlavní koponentou y e cov (, y ) λ, kde e -tý pvek vektou. Po odpovídaící koelační koefcent (, y ) platí, že (, y λ λ ) σ λ λ Je zřeé, že pokud se ísto centovaných znaků použí standadzované znaky nazývané také noované č noalzované znaky a označované - µ - - µ µ N,,...,, σ σ σ vyde koelační koefcent oven * cov ( N, y λ * ) ( N, y ) v kde * a λ * odpovídaí ozkladu koelační atce R. Použtí standadzovaných znaků (t. náhada kovaanční atce atcí koelační R) zednodušue ntepetac a odstaňue závslost na ednotkách ěření. 4. Hlavní koponenty po dvoozěná data Uvažue dvoc znaků a, kteý odpovídaí kovaanční atce a koelační atce R, defnované vztahy σ R σ Stanove PA po případ koelační atce. Podínka k učení vlastních čísel e - l det (R - l E ) det 0 - l Platí tedy ( - l) - 0. Po oznásobení ezultue kvadatcká ovnce l - * l kteá á řešení ve tvau σ

5 [ ( - [ ( - )] λ l l λ 0.5 Po ednotlvé vlastní vektoy e pak třeba řešt ovnce ( R - λ E ) 0,, ak po ezultue soustava dvou hoogenních ovnc ( - λ )+ 0 + ( - λ ) 0 Noalzační podínka znaená dělení vektou eho délkou d +. Po řešení výše uvedené soustavy ovnc e ožné zvolt a z pvní ovnce učt ( λ -) / Délka tohoto vektou e +( λ - ) d +( λ - ) /, takže noalzovaný vlastní vekto * á tva -/ + ( λ -) * λ - + ( λ -) Podobně př řešení soustavy hoogenních ovnc po duhou hlavní koponentu vydou složky nenoalzovaného vektou sou /( - - ) - a. Délka tohoto vektou e ovna +(- - ) d (- - ) Noalzovaný vekto * á pak ednoduchý tva - +(- - ) - * -/ +(- - ) (- - ) Pvní hlavní koponenta e ovna y ( z+ z ) a duhá hlavní koponenta e ovna y ( z - z ), kde ( - E( )) / D( z a ( - E( )) / D( ) z )

6 Je zřeé, že př použtí noalzovaných poěnných, znaků ve dvouozěné případě nezávsí hlavní koponenty na koelac v původních datech. aké e zřeé, že dochází k pootočení souřadného systéu o úhel cos α / t. o 45 o. Je patné, že pvky vlastních vektoů představuí sěové kosíny nového souřadncového systéu hlavních koponent vzhlede k souřadncovéu systéu původních znaků. Po ozlšení ez tansfoovaný znaky a tansfoovaný obekty se používá označení hlavní koponenty po tansfoované znaky a skóy hlavních koponent (koponentní skóy) po tansfoovaná data (obekty). Koponentní skóy obektů se také často označuí hlavní osy. 5. Redukce počtu hlavních koponent Potože platí, že součet ozptylů všech hlavních koponent e oven součtu ozptylů vstupních původních znaků, ůžee z podílu ozptylů ednotlvých hlavních koponent vůč celkovéu ozptylu původních znaků, poěnných usuzovat na část poěnlvost, vysvětlenou dotyčnou hlavní koponentou. Jestlže součet pvních (nevyšších) P,,..., k, podílů poěnlvost (vyádřených vlastní čísly) e dostatečně blízký edné, espektve vyádřeno v pocentech 00 % (obvykle však stačí 80 % - 90 %), postačí bát v úvahu pávě těchto pvních k hlavních koponent po dostatečné vysvětlení vaablty původních znaků. Indeový gaf úpatí vlastních čísel e vlastně sloupcový daga vlastních čísel λ < λ <... λ v závslost na ndeu. Zobazue elatvní velkost ednotlvých vlastních čísel. ýznané koponenty sou odděleny zřetelný zloový íste a hodnota ndeu tohoto zlou udává počet význaných koponent. Rozdíl ez souřadnce obektů v původních znacích a v hlavních koponentách čl ztáta nfoace poekcí do enšího počtu ozěů se nazývá íou těsností položení odelu PA nebo také chybou odelu PA. Na ob. e tato stuace scheatcky znázoněna spolu s použtý označení Ob. Pncp etody hlavních koponent I př velké počtu původních znaků ůže být k vel alé, běžně až 5. olba počtu užtých koponent k vede k odelu hlavních koponent PA. ysvětlení užtých hlavních koponent, ech poenování a vysvětlení vztahu původních znaků,,...,, k hlavní koponentá y,,..., k, tvoří donantní součást analýzy odelu hlavních koponent PA. Z ob. e zřeé, že zdoová centovaná atce X se ozkládá na atc koponentních skóů ozěu (n k) a atc koponentních zátěží k ozěu (k ). zhlede k tou, že k ekonstukc se obecně používá pouze k z hlavních koponent, poeví se ztáta nfoace vznke chybové atce O ozěu (n ). Platí tedy vztah X +O Xˆ k +O

7 což e vlastně záps blneáního egesního odelu, kde se odhaduí ak skóy, tak vlastní vektoy k. Potože platí, že Xˆ k X k k stačí odhadnout en atc hlavních koponent. Pedkce Xˆ atce X se dá také vyádřt ako lneání kobnace sloupců t atce koponentních skóů [t,..., t k ]. ekto t ozěu (n H ) á tva t X Složky vektou t sou koponentní skóy, odpovídaící -téu znaku. Poto t X, kde X (,..., ) á složky odpovídaící -téu řádku atce X. Lze ukázat (vz vlastnost SD), že atce t ozěu (n ) aí hodnost. Matce Xˆ e tedy součet k atc a atce ezduí Oˆ X - Xˆ X Xˆ - k k t t X (E - Po učení atce k lze foálně použít přístup nuecké apoace a nalzovat vzdálenost dst(x - k ) (ve zvolené syslu) ez oběa atce. Jednodušší e využtí vztahů odvozených výše po lneání odel f() a vekto znaků, kdy se nalzue ktéu neenších čtveců odchylek n S( µ, yi, k) ( - µ - k yi ) ( - µ - k yi) Je tedy zřeé, že etoda hlavních koponent s edukovaný počte koponent e také případ specálního egesního odelu, nebo apoace kovaanční atce vážený součte atc hodnost. 6. Intepetace tansfoovaných os Po hlubší pochopení souvslostí ez hlavní koponenta a původní znaky vyádříe atc X c (,..., ) ako -tc sloupcových vektoů, kteé tvoří body v ozěné postou znaků. Podobně atce skóů hlavních koponent (t,..., t ) tvoří body v esp. k ozěné postou hlavních koponent. Je zřeé, že skóy sou vzáeně otogonální, t. t t 0 po # a vlastní vektoy (zátěže) sou otonoální t. 0 po # a. Po -tý vekto t nového znaku t. hlavní koponenty platí, že t kde e vekto hodnot původního znaku (sloupec atce X ). Podobně lze povést nvezní lneání tansfoac a vyádřt ako lneání kobnac kde sou pvky atce, esp. k pokud se uvažue en k koponent. postou znaků e t vektoe získaný ako vážený součet vektoů s vaha. Délka tohoto vektou e součte poekcí vektoů do sěu, odpovídaící hlavní koponenty y. Je zřeé, že délka vektou t e ovna d( t ) t t v X t X v λ k k )

8 Poekce t P vektou na t e vyádřena ako t P t b, kde b e fakto úěnost. Platí tedy, že t t t ( - b t ) 0 esp. b t t λ Snadno lze učt, že platí ovnost t t k tk λ k potože t t k 0 po â k (vektoy t sou otogonální). Pak e zřeé, že b. ekto poekce t P t á délku p t P tp λ λ Délka vektou d(t ) e pak součte poekcí p vážených vaha dle d( t ) p λ ato ovnce ukazue, že příspěvek každého původního znaku k délce vektou t e úěný čtvec. Potože délka tohoto vektou λ e úěná sěodatné odchylce příslušné hlavní koponenty, e asné, že vaablta, obasněná -tou hlavní koponentou e složena z příspěvků původních znaků a význanost těchto příspěvků e dána hodnota. Malá hodnota znaená, že -tý původní znak přspívá álo k vaabltě -té hlavní koponenty a e v toto kontetu nevýznaný. Pokud e celý řádek atce složen z alých hodnot, ukazue to na nevýznanost -tého znaku po konstukc hlavních koponent. Pvky lze ntepetovat poěně zaíavě. ýhodné e konstuovat příspěvkový gaf, ako skupn sloupců. Každá skupna odpovídá edné koponentě a každý sloupec ednou znaku. Sloupcové dagay aí výšky odpovídaící * λ. ýšky sloupců pvní skupny (po pvní hlavní koponentu) e noována tak, aby ech součet byl oven 00 %. (podělení součte ech velkostí S). aké po další hlavní koponenty se využívá dělení S takže z výšky sloupců vychází ech elatvní význa. Příspěvkový gaf uožňue posouzení vlvu původních znaků na vaabltu ednotlvých hlavních koponent. Mnalzace kolých vzdáleností ez a -tou hlavní koponentou zašťue aalzac ozptylu této hlavní koponenty. o uožňue ntepetovat PA ako etodu hledání sěových kosínů vzáeně otogonálních příek tak, aby byl součet délek poekcí na tyto příky aální. Po posouzení vztahů ez původní znaky a hlavní koponenta se také využívá koelačních koefcentů ez a t, což odpovídá kosínu ech vzáeného úhlu α. Platí, že t λ p cos α ( )t t σ σ kde σ e sěodatná odchylka příslušeící -téu znaku. Je patné, že př použtí noovaných poěnných (což e náhada atce S atcí koelační R) sou koelační koefcenty p ovny přío dílčí poekcí. čí sou větší, tí sou větší poekce. o znaená, že e blíže t a přspívá výazně k ozptylu -té hlavní koponenty. Malé naopak ndkuí alou význanost s ohlede na vaabltu hlavních koponent. 7. ansfoace dat ansfoace dat ůže ít řadu příčn a důsledků. Obyčeně souvsí se specfkou ednotlvých poěnných a ech ozdělení. Specální případe tansfoace e lneání tansfoace nazývaná standadzace.

9 Jak ž bylo ukázáno, vychází standadní PA z sloupcově centovaných dat (kovaanční atce X X ). Je však ožné použít také noovaná data vedoucí ke koelační atc R. Rozdíly v těchto dvou standadzacích sou způsobeny ůzný vaha ednotlvých původních poěnných př tvobě atc skaláních součnů. Př použtí kovaanční atce sou sloupce atce X t. původní poěnné "váženy" s ohlede na ech délku, t. úěně sěodatné odchylce v původních ednotkách. Př použtí koelační atce sou sloupce atce X noovány tak, aby ěly ednotkovou délku (nulový půě a ednotkový ozptyl). áhy všech poěnných sou tedy stené, potože délka všech poěnných e ednotková. Běžně se uvádí, že po případ poěnných v ůzných ednotkách e vhodněší použtí koelační atce. Bo a Slde [3] ozebíaí podobně ůzné vaanty centování a noování. Obecně platí, že centování odstaní absolutní člen v odelech a tí sníží počet odhadovaných paaetů a vede k oezení nueckých potíží. Přto nedochází ke zěně stuktuy konfguace (en se posune se do počátku souřadnc). Noování se používá k odstanění závslost na ednotkách a heteoskedastctě u původních poěnných. Noování ovlvní ktéu odhadu paaetů (vážené neenší čtvece). Na duhou stanu e noování zcela nevhodné po poěnné, kteé sou na úovní šuu (podíl sgnál/šu e vel nízký). Zde dochází k nevítanéu zvýaznění význanost. pác [6] se dopoučue použtí vah /s (s e sěodatná odchylka dané poěnné) po poěnné s výaznou převahou sgnálu. Pokud e sgnál a šu na stené úovn sou dopoučeny váhy /(4s) a ta, kde e šuová složka převládaící se dopoučue vypuštění poěnné esp. váha /(0s). U poěnných, kde někteé hodnoty leží pod ezí detekce d se učue podíl sgnál/šu (S/N) ze vztahu I( d) * S / N d * N d kde I(.) e ndkátoová funkce a N d e počet hodnot pod ltou detekce d.pokud e S/N< e poěnná paktcky šu. Po 0, <S/N< e poěnná álo odlšná od šuu. Paktcky toznaená, že přblžné konstantní hodnoty poěnné ve všech vzocích ndkuí eí nevhodnost. řadě případů sou výchozí data vyádřená ako podíly z celku (např. elatvní zastoupení ůzných sloučenn a pvků). celé řadě oblastí (např. stopové analýze) e běžné používat logatckou tansfoac dat. ato tansfoace á obecně někteé výhody:. Oezue působení eténích hodnot. Snžue poztvní zeškení dat běžné u řady výsledků ěření 3. Stablzue nestený ozptyl poěnných (heteoskedastctu) o znaená, že logatcky tansfoovaná data ž není třeba dále noovat (postačue sloupcové centování). Po případ, že ozdělení dat e vel vzdálené od noalty, nebo sou v datech skupny vybočuících bodů dopoučue se použít pořadové tansfoace (hodnoty se nahadí ech pořadí). Pak lze ísto koelačních koefcentů na báz oentů použít Speaanovy pořadové koelační koefcenty. Na základě poovnání těchto tansfoací se standadzací esp. kobnace tansfoace a standadzace došel Bate [5] k závěu, že logatcká tansfoace a pořadová tansfoace sou výhodné zeéna ta, kde se vyskytuí vybočuící hodnoty. Žádná tansfoace nevyšla ako optální po všechny případy. cheoetcké lteatuře se vyskytuí eště další specální tansfoace vhodné po specální účely [4].

10 8. PA po sulovaná data Po lustac vlvu koelace v původních poěnných na výsledky PA byla použta sulovaná data pocházeící z tří ozěného noálního ozdělení se specálně defnovaný koelační stuktua. Bez úy na obecnost se předpokládal nulový vekto středních hodnot a koelační atce odpovídaící kovaanční atc s pvky 3 3 Bylo geneováno n 500 dat. Na ob. e kobnovaný gaf po pvní dvě koponenty a ozptylový gaf po nekoelovaná data. 3 3 Ob.. Kobnovaný gaf (všechny koelace nulové) Na ob 3. e kobnovaný gaf po pvní dvě koponenty a ozptylový gaf po všechny páové koelace ovné 0,5 Ob. 3. Kobnovaný gaf (všechny koelace 0,5) Na ob 4. e kobnovaný gaf po pvní dvě koponenty a ozptylový gaf po všechny páové koelace ovné 0,9

11 Ob. 4. Kobnovaný gaf (všechny koelace 0,9) yto gafy ukazuí ak se ění polohy původních souřadnc a hlavních koponent. řadě případů se stává, že stuktua páových koelací nesouvsí s e vztahy ez poěnný. (falešné koelace). Uvažue stuac, kdy e ez vysoká koelace H H a estue 3 po kteou vyde a H. ícenásobný koelační 3 H koefcent e R H a po pacální koelační koefcenty platí R a (,3),3() 0 H R,(3). Je tedy patné, že poěnná 3 nepřspívá k obasnění vaablty a e + H z tohoto pohledu paaztní. Př sulac bylo zvoleno H 0,9. Na ob 5a e gaf úpatí, a na ob 5b gaf příspěvků. 3 Na ob. 6 e znázoněn kobnovaný gaf a) b) Ob 5. a) gaf úpatí, b) příspěvkový gaf

12 Ob. 6. Kobnovaný gaf tabulce sou uvedeny koelační koefcenty po koelace ez hlavní koponenta a původní poěnný. abulka Koelace ez souřadncový systéy koponenta koponenta 3 koponenta X X X Je patné, že příspěvkový gaf ukazue, že pouze edna hlavní koponenta postačue po vyádření těchto dat. e duhé koponentě se poítá nevíce. Poěnná 3 paaztní vzhlede k nebyla obevena potože není paaztní vzhlede k. Jako příklad toho, že nízké páové koelační koefcenty ohou vést k vysoký pacální koelační koefcentů uvažue stuac, kdy e ez nízká koelace H H 0.0 a estue 3 po kteou vyde 0 3 a 3 H. ícenásobný koelační koefcent e R a po pacální koelační koefcenty platí R (,3),3() a R,(3) Je tedy patné, že všechny poěnné sou význané. Př sulac bylo zvoleno H 0,0. Na ob 7a e gaf úpatí a na ob 7b gaf příspěvků. a) b) Ob 7. a) gaf úpatí, b) příspěvkový gaf

13 Na ob. 8 e znázoněn kobnovaný gaf Ob. 8. Kobnovaný gaf tabulce sou uvedeny koelační koefcenty po koelace ez hlavní koponenta a původní poěnný. abulka Koelace ez souřadncový systéy koponenta koponenta 3 koponenta X X X Je patné, že příspěvkový gaf ukazue, že pvní dvě hlavní koponenty postačuí po vyádření těchto dat. e duhé koponentě se poítá pouze. Poěnné a 3 se poevuí pouze v pvní hlavní koponentě. Z těchto výsledků e patné, že PA není schopna nahadt analýzu koelačních stuktu. Na duhou stanu e ožné povádět kopes dat a vytvářet nové nekoelované poěnné. 9. Závě Je patné, že etoda PA á celou řadu specfckých zvláštností. řadě případů e třeba ve zdánlvě ednoduchých stuacích používat poěně specální postupy. Foální apaát PA bez hlubšího ozbou zde ůže vést ke zkeslený nfoací. Poděkování: ato páce vznkla s podpoou výzkuného centa etl LN00B Lteatua [] Meloun M., Mltký J.: Zpacování epeentálních dat, East Publshng Paha 998 [] Anold A., ollns A., J.: Appl. Statst. 4,38, (993) [3] Bo R., Slde A, K.: J. heoetcs 7,6 (003) [4] Johnson G.W., Ehlch R.: Envonental Foensc 3,59 (00) [5] Bate M.,J.: Appl. Statst.. 44, 53 (995) [6] Paateo P., Hopke P. K.: Analytca hca Acta -3 (003) v tsku [7] Solnsk A., Walczak B., Ena J.,.: heosphee 49, 33, (00)

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT

ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textilních ateriálů, Technická universita v Liberci, Hálkova 6 461 17 Liberec, e- ail: jiri.iliky@vslib.cz Motto: Všechno není jinak MILAN MELOUN, Katedra

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS IX. Zdoje magnetických polí Obsah 9 ZDROJE MAGNETICKÝCH POLÍ 9.1 IOTŮV-SAVARTŮV ZÁKON 9.1.1 MAGNETICKÉ POLE POHYUJÍCÍHO SE ODOVÉHO NÁOJE 8 9. SÍLY MEZI DVĚMA PARALELNÍMI VODIČI

Více

DEFINICE TLAKŮ A JEJICH VZÁJEMNÝ VZTAH PŘI KONSTRUOVÁNÍ A ZKOUŠENÍ HLAVNÍ DĚL, MINOMETŮ A MUNICE

DEFINICE TLAKŮ A JEJICH VZÁJEMNÝ VZTAH PŘI KONSTRUOVÁNÍ A ZKOUŠENÍ HLAVNÍ DĚL, MINOMETŮ A MUNICE ČOS 050. vydání Oprava ČESKÝ OBRANNÝ STANDARD ČOS DEFINICE TLAKŮ A JEJICH VZÁJEMNÝ VZTAH PŘI KONSTRUOVÁNÍ A ZKOUŠENÍ HLAVNÍ DĚL, MINOMETŮ A MUNICE Praha ČOS 050. vydání Oprava (VOLNÁ STRANA) ČOS 050 Oprava

Více

RENTABILITA INVESTIC A POKRAČUJÍCÍ HODNOTA PŘI OCEŇOVÁNÍ PODNIKU

RENTABILITA INVESTIC A POKRAČUJÍCÍ HODNOTA PŘI OCEŇOVÁNÍ PODNIKU Pof. ng. Mloš Mařík, CSc. ng. Pavla Maříková, CSc. RENTABLTA NVESTC A PORAČUJÍCÍ HODNOTA PŘ OCEŇOVÁNÍ PODNU Článek byl zpacován jako součás výzkumného záměu MSM 638439903 Rozvoj fnanční a účení eoe a její

Více

EFEKTIVNÍ TERMOMECHANICKÉ VLASTNOSTI ZDIVA

EFEKTIVNÍ TERMOMECHANICKÉ VLASTNOSTI ZDIVA EFEKTIVNÍ TERMOMECHANICKÉ VLASTNOSTI ZDIVA Vypracoval: Vedoucí diplomové práce: Prof. Ing. Jiří Šejnoha, DrSc. Datum: 20. 12. 2005 PODĚKOVÁNÍ Na tomto místě bych rád poděkoval všem, kteří se zasloužili

Více

Podmínky a normy v pneumatické technice

Podmínky a normy v pneumatické technice Podmínky a normy v pneumatcké technce Na co je třeba dbát př použtí výrobků Festo? Předpokladem použtí dle svého účelu je dodržení uvedených mezních hodnot pro techncké údaje a dodržování pokynů a je tedy

Více

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21 Obsah 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace................................... 1. Moment síly k bodu a ose.............................. 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav........................ 1 TĚŽIŠTĚ

Více

PENZIJNÍ SYSTÉMY OBECNĚ I V KONTEXTU ČESKÉ EKONOMIKY (SOUČASNÝ STAV A POTŘEBA REFOREM)

PENZIJNÍ SYSTÉMY OBECNĚ I V KONTEXTU ČESKÉ EKONOMIKY (SOUČASNÝ STAV A POTŘEBA REFOREM) Vladimír Bezděk PENZIJNÍ SYSTÉMY OBECNĚ I V KONTEXTU ČESKÉ EKONOMIKY (SOUČASNÝ STAV A POTŘEBA REFOREM) II. DÍL VP č. 25 Praha 2000 65 66 Obsah II. DÍL 4 Penzijní systémy v České republice a jeho výhledy...69

Více

Numerické metody pro nalezení

Numerické metody pro nalezení Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová Poděkování V úvodu bych ráda

Více

Energetický systém v ustáleném stavu

Energetický systém v ustáleném stavu Energetický systém v ustáleném stavu Jedním z charakteristických rysů energetického systému je potřeba spojitě přizpůsobovat jeho provozní podmínky tak, aby v každém okamžiku reagoval na stále se měnící

Více

ÚLOHA A APLIKAČNÍ MOŽNOSTI METODY FMEA PŘI ZABEZPEČOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI

ÚLOHA A APLIKAČNÍ MOŽNOSTI METODY FMEA PŘI ZABEZPEČOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novotného lávka 5, 6 6 Praha ÚLOHA A APLIKAČNÍ MOŽNOSTI METODY FMEA PŘI ZABEZPEČOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI MATERIÁLY Z 5. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST Praha, listopad 00

Více

VLIV PERIODICKY MODULOVANÉHO NÁSTŘIKU NA ZÁDRŽ KAPALINY A TLAKOVOU ZTRÁTU ZKRÁPĚNÉHO REAKTORU. VRATISLAV TUKAČ a JIŘÍ HANIKA. Experimentální část

VLIV PERIODICKY MODULOVANÉHO NÁSTŘIKU NA ZÁDRŽ KAPALINY A TLAKOVOU ZTRÁTU ZKRÁPĚNÉHO REAKTORU. VRATISLAV TUKAČ a JIŘÍ HANIKA. Experimentální část VLIV PERIODICKY MODULOVANÉHO NÁSTŘIKU NA ZÁDRŽ KAPALINY A TLAKOVOU ZTRÁTU ZKRÁPĚNÉHO REAKTORU VRATISLAV TUKAČ a JIŘÍ HANIKA Ústav oganické technologie, Vysoká škola chemickotechnologická Paha, Technická

Více

VYŠŠÍ ODBORNÉ ŠKOLY NA ROZCESTÍ

VYŠŠÍ ODBORNÉ ŠKOLY NA ROZCESTÍ S T U D I E B Y L A S P O L U F I N A N C O V Á N A E V R O P S K Ý M S O C I Á L N Í M F O N D E M A S T Á T N Í M R O Z P O Č T E M Č E S K É R E P U B L I K Y VYŠŠÍ ODBORNÉ ŠKOLY NA ROZCESTÍ Analýza

Více

Indikátory kvality dynamiky vývoje na všech úrovních ekonomiky.

Indikátory kvality dynamiky vývoje na všech úrovních ekonomiky. Indikátory kvality dynamiky vývoje na všech úrovních ekonomiky. Lubomír Cyhelský, Jiří Mihola, Petr Wawrosz libomir.cyhelsky@tul.cz jiri.mihola@quick.cz, petr.wawrosz@centrum.cz Vysoká škola finanční a

Více

Analýza celoživotního dopadu. veřejného důchodového pojištění. v České republice

Analýza celoživotního dopadu. veřejného důchodového pojištění. v České republice Analýza celoživotního dopadu veřejného důchodového pojištění v České republice Závěrečná výzkumná zpráva grantového projektu č. 402/07/0823 financovaného GA ČR Stanislav Klazar Barbora Slintáková Katedra

Více

Očekávané dopady změn sazeb DPH na rozpočty krajů 1

Očekávané dopady změn sazeb DPH na rozpočty krajů 1 Shrnutí Studie pro potřeby ERAK Očekávané dopady změn sazeb na rozpočty krajů 1 20.4. 2012 LIBOR DUŠEK, PETR JANSKÝ Předložená studie byla vypracována pro potřeby Ekonomické rady Asociace krajů, na základě

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Měření zpoždění mezi signály EEG Ondřej Drbal Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Roman katedra Teorie obvodů rok obhajoby 24 Čmejla, CSc. Zadání diplomové

Více

1 Nástroje používané v mikroekonomii

1 Nástroje používané v mikroekonomii 1 Nástroje používané v mikroekonomii 1.1 Předmět zkoumání Ekonomie se podle tradiční definice zabývá zkoumáním alokace vzácných zdrojů mezi různá alternativní užití tak, aby byly uspokojeny lidské potřeby.

Více

Materiál od ing. Pinkasové

Materiál od ing. Pinkasové Obchodní logistika a provoz Materiál od ing. Pinkasové I. Pojetí logistiky a jeho vývoj Definice logistiky podle Evropské logistické asociace: " Organizace, plánování, řízení a výkon toků zboží vývojem

Více

Řízení vztahů se zákazníky a tvorba hodnoty a přidané hodnoty produktu

Řízení vztahů se zákazníky a tvorba hodnoty a přidané hodnoty produktu Bankovní institut vysoká škola Praha Katedra managementu firem a institucí Řízení vztahů se zákazníky a tvorba hodnoty a přidané hodnoty produktu Bakalářská práce Autor: Petr Pavlas Bankovní management

Více

1. Bezpečnost 3 1.1 Varování 3 1.2 Bezpečnostní pokyny 5 1.3 Uzemnění a ochrana před poruchou uzemnění 5 1.4 Před spuštěním motoru 6 2.

1. Bezpečnost 3 1.1 Varování 3 1.2 Bezpečnostní pokyny 5 1.3 Uzemnění a ochrana před poruchou uzemnění 5 1.4 Před spuštěním motoru 6 2. 1. Bezpečnost 3 1.1 Varování 3 1.2 Bezpečnostní pokyny 5 1.3 Uzemnění a ochrana před poruchou uzemnění 5 1.4 Před spuštěním motoru 6 2. Potvrzení dodávky 7 2.1 Kód označení typu 7 2.2 Uskladnění 7 2.3

Více

1 Přednáška Konstrukční materiály

1 Přednáška Konstrukční materiály 1 Přednáška Konstrukční materiály Stručný obsah přednášky: Základní skupiny konstrukčních materiálů. Vazby v pevných látkách. Vlastnosti materiálů. Krystalová stavba kovů. Millerovy indexy Motivace k přednášce

Více

Řízení projektů zavádění IS do organizací TUTORIAL

Řízení projektů zavádění IS do organizací TUTORIAL Řízení projektů zavádění IS do organizací TUTORIAL Zdenko STANÍČEK 1, Josef HAJKR 2 1 etrium Corporation, a.s. U Vodárny 2,616 00 Brno zdenko.stanicek@etriumgroup.com a Katedra programových a komunikačních

Více

Dendrometrie Garant předmětu : Doc.Ing.Josef Sequens, Csc.

Dendrometrie Garant předmětu : Doc.Ing.Josef Sequens, Csc. Dendrometrie Garant předmětu : Doc.Ing.Josef Sequens, Csc. POUŽITÁ LITERATURA : Korf, V.: Dendrometrie, Praha 1953 Assman, E.: Waldertragslehre, Mnichov 1961 Prodan, M.: Holzmeslehre, Franfurkt 1965 Korf,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA

FAKULTA STAVEBNÍ GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE MATICOVÉ ROZKLADY PRO KALMANŮV FILTR Vedoucí práce: doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Katedra

Více

Základní pojmy termodynamiky

Základní pojmy termodynamiky Kapitola 1 Základní pojmy termodynamiky 1.1 Úvod Moderní přírodní vědy a fyzika jsou postaveny na experimentu a pozorování. Poznávání zákonitostí neživé přírody je založeno na indukční vědecké metodě Francise

Více

Zdroj 5 kv / 4 ma řízený procesorem

Zdroj 5 kv / 4 ma řízený procesorem Bakalářská práce České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra mikroelektroniky Zdroj 5 kv / 4 ma řízený procesorem Ladislav Havlát 4 Vedoucí práce: Ing. Lubor Jirásek, CSc. České

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mapování a kartografie DIPLOMOVÁ PRÁCE. Filip Antoš

České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mapování a kartografie DIPLOMOVÁ PRÁCE. Filip Antoš České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební Katedra mapování a kartografie DIPLOMOVÁ PRÁCE Filip Antoš Problematika skenování historických map a jejich následné prezentace na internetu Problematics

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Mirko Navara Centrum strojového vnímání katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/mvt http://cmp.felk.cvut.cz/

Více

EXTRAPOLACE INTENZITNÍCH KŘIVEK PRO ÚČELY MODELOVÁNÍ SRÁŽKOODTOKOVÉHO PROCESU

EXTRAPOLACE INTENZITNÍCH KŘIVEK PRO ÚČELY MODELOVÁNÍ SRÁŽKOODTOKOVÉHO PROCESU EXTRAPOLACE INTENZITNÍCH KŘIVEK PRO ÚČELY MODELOVÁNÍ SRÁŽKOODTOKOVÉHO PROCESU P. Ježík Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav vodního hospodářství krajiny, Žižkova 17, 602 00 Brno Abstrakt

Více