ČÁST MODÁLNÍ ZKOUŠKY APLIKOVANÝ MECHANIK JAKO SOUČÁST TÝMU KONSTRUKTÉRŮ A VÝVOJÁŘŮ: Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní

Transkript

1 Vysoá šola báňsá Technicá univezita Ostava Faulta stojní APLIKOVANÝ MECHANIK JAKO SOUČÁST TÝMU KONSTRUKTÉRŮ A VÝVOJÁŘŮ: ČÁST MODÁLNÍ ZKOUŠKY Studijní opoa Alena Bilošová Ostava Tyto studijní mateiály vznily za finanční podpoy Evopsého sociálního fondu (ESF) a ozpočtu Česé epubliy v ámci řešení pojetu OP VK CZ..7/.3./9.47 Vzdělávání lidsých zdojů po ozvoj týmů ve vývoji a výzumu.

2 Název: Apliovaný mechani jao součást týmu onstutéů a vývojářů: část Modální zoušy Auto: Mg. Ing. Alena Bilošová, Ph.D. Vydání: pvní, Počet stan: 9 Nálad: < > Studijní mateiály po studijní obo Apliovaná mechania Faulty stojní Jazyová oetua: nebyla povedena.

3 3 Tyto studijní mateiály vznily za finanční podpoy Evopsého sociálního fondu a ozpočtu Česé epubliy v ámci řešení pojetu Opeačního pogamu Vzdělávání po onuenceschopnost. Název: Vzdělávání lidsých zdojů po ozvoj týmů ve vývoji a výzumu Číslo: CZ..7/.3./9.47 Realizace: Vysoá šola báňsá Technicá univezita Ostava Alena Bilošová Vysoá šola báňsá Technicá univezita Ostava ISBN <(bude zajištěno homadně)>

4 4 POKYNY KE STUDIU Apliovaný mechani jao součást týmu onstutéů a vývojářů: část Modální zoušy Po předmět Expeimentální modální analýza, teý je zařazen ve. semestu navazujícího studia obou Apliovaná mechania jste obdželi siptum, teé vás seznámí s teoií a paxí modálních zouše. Toto siptum navazuje na siptum vydané v ámci stejného pojetu v oce a teé bylo oncipováno jao návody po týmová cvičení. Teoeticé otázy, teé byly v předchozím textu pouze nastíněny, jsou zde pobány omplexně. Peevizity Po studium této opoy se předpoládá znalost na úovni absolventa baalářsého pogamu Stojíenství, obou Apliovaná mechania. Cílem učební opoy Cílem je seznámení s teoií a paxí modálních zouše, což je oblast poměně ozsáhlá a náočná ja na teoeticé zázemí, ta na paticé dovednosti. Předpoládá se, že student je z předchozího studia dostatečně připaven měření vibačních signálů a jejich zpacování. Po postudování opoy bude student schopen posoudit, dy řešení technicého poblému vyžaduje povedení modální zoušy a bude schopen tuto zoušu připavit, povést, vyhodnotit a její výsledy použít po ladění teoeticých, zejména onečnopvových modelů. Zísá omplexní náhled na řešení mnoha poblémů, se teými se ve své budoucí technicé paxi může setat. Po oho je předmět učen Modul je zařazen do magistesého studia obou Apliovaná mechania studijního pogamu Stojní inženýství, ale může jej studovat i zájemce z teéhooliv jiného obou, poud splňuje požadované peevizity. Siptum se dělí na části, apitoly, teé odpovídají logicému dělení studované láty, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpoládaná doba e studiu apitoly se může výazně lišit, poto jsou velé apitoly děleny dále na číslované podapitoly a těm odpovídá níže popsaná stutua.

5 5 Při studiu aždé apitoly dopoučujeme následující postup: Čas e studiu: xx hodin Na úvod apitoly je uveden čas potřebný postudování láty. Čas je oientační a může vám sloužit jao hubé vodíto po ozvžení studia celého předmětu či apitoly. Něomu se čas může zdát příliš dlouhý, něomu naopa. Jsou studenti, teří se s touto poblematiou ještě nidy nesetali a naopa taoví, teří již v tomto obou mají bohaté zušenosti. Cíl: Po postudování tohoto odstavce budete umět Popsat Definovat Vyřešit Ihned potom jsou uvedeny cíle, teých máte dosáhnout po postudování této apitoly onétní dovednosti, znalosti. Výlad Následuje vlastní výlad studované láty, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše dopovázeno obázy, tabulami, řešenými přílady, odazy na animace. Shnutí pojmů Na závě apitoly jsou zopaovány hlavní pojmy, teé si v ní máte osvojit. Poud něteému z nich ještě neozumíte, vaťte se nim ještě jednou. Otázy Po ověření, že jste dobře a úplně látu apitoly zvládli, máte dispozici něoli teoeticých otáze. Úspěšné a příjemné studium s tímto učebním textem Vám přeje autoa. Alena Bilošová

6 6 OBSAH PŘEDMLUVA... 9 SEZNAM SYMBOLŮ... SEZNAM ZKRATEK... ÚVOD Apliace modálních zouše Stučně o teoii modálních zouše Různé typy fevenčních odezvových funcí Stučně o měřících metodách Stučně o analýze... 9 DVOUKANÁLOVÁ ANALÝZA.... Autospetum.... Křížové (vzájemné) spetum (coss spectum)....3 Koheence Desiptoy systému Fevenční odezvová funce (FRF - Fequency Response Function) Impulsní odezvová funce (IRF - Impulse Response Function) Vliv šumu na FRF Digitální zpacování signálu Chyba typu aliasing Chyba úniem (leaage) Fevenční lupa (zoom) Půměování TEORETICKÉ ZÁKLADY MODÁLNÍ ANALÝZY Systém s jedním stupněm volnosti (SDOF) Netlumený systém s volnosti Systém s volnosti s visózním tlumením Volné mitání Vynucené mitání Učení ezonančního naladění Učování tlumení z gafů fevenční odezvové funce... 5

7 Systém s volnosti s hysteézním (stutuním) tlumením Vynucené mitání Učování tlumení z gafů fevenční odezvové funce Různé fomy FRF po systém s volnosti Geometicé vlastnosti Nyquistova gafu Pohyblivost systému s visózním tlumením Receptance systému s hysteézním tlumením Odvození ezidua Systém s více stupni volnosti (MDOF) Netlumený systém s více stupni volnosti Volné mitání Otogonální vlastnosti vlastních vetoů Nomování vlastních tvaů Odezvová analýza systému s více stupni volnosti Chaateistiy a znázonění FRF dat s více stupni volnosti Tlumený systém s více stupni volnosti Popocionální visózní tlumení Popocionální hysteézní tlumení Hysteézní tlumení - obecný případ MDOF systém s obecným hysteézním tlumením - odezvová analýza Systémy s více stupni volnosti - shnutí po ůzné typy tlumení Buzení obecným silovým vetoem Buzení vetoem soufázových sil MODÁLNÍ ZKOUŠKA Přípava Přípava měřené stutuy Volné uložení Pevné uložení Uložení in situ Přípava expeimentálního modelu Měření a měřící metody Záladní sestava měření Mechanismus buzení Snímače měření budící síly a odezvy... 98

8 Analyzáto Měření Měření v efeenčním bodě Identifiace modálních paametů Metody apoximace systémem s volnosti Metoda špiča-amplituda (sbíání špiče) Metoda apoximace užnicí (cicle-fit) Metody apoximace systémem s více stupni volnosti Modální model Pezentace zísaného modálního modelu Kontola zísaného modálního modelu Sovnání expeimentálně zísaného a výpočtového modálního modelu Sovnání vlastních fevencí Gaficé sovnání vlastních tvaů Numeicé sovnání vlastních tvaů PROVOZNÍ MODÁLNÍ ANALÝZA Metody identifiace Pezentace výstupů... 4 POUŽITÁ LITERATURA... 9

9 Předmluva 9 PŘEDMLUVA Milí studenti, tato studijní opoa má za cíl vám přiblížit teoii a paxi modálních zouše. Ja už její název napovídá, jde o integální část toho, co byste se za dobu svého studia měli naučit, abyste mohli být platným členem týmu odboníů řešícího složité technicé poblémy. S poblematiou modálních zouše se seznamujete v předmětu nazvaném Expeimentální modální analýza, teý by se ale přesněji měl jmenovat Modální zoušy. Modální zoušy povádíme s cílem zísat expeimentálně tedy měřením modální paamety měřené stutuy. Celá zouša zahnuje přípavu měřené stutuy, vlastní měření a zpacování naměřených hodnot pomocí vhodných metod. Tato poslední fáze, jejíž výsledem jsou zísané modální paamety, je expeimentální modální analýzou v pavém slova smyslu. Je analogií modální analýze pováděné výpočtově, např. pomocí onečnopvových pogamů vede jinou cestou e stejným výsledům. Poblematia modálních zouše je značně obsáhlá a jejímu doonalému zvládnutí je potřeba integovat znalosti z ůzných oblastí: měření vibací, zpacování signálů, matematicé zpacování naměřených dat, mitání systémů s více stupni volnosti s ůznými modely tlumení atp. Tato sipta si neladou za cíl pojednat podobně o všech aspetech modálních zouše, ale pouze seznámit vás s touto poblematiou natoli, abyste byli schopni samostatně modální zoušy povádět s vědomím poblémů, teé se při měření a zpacování naměřených dat mohou vysytnout. Mým hlavním cílem je vytvořit ve vás povědomí o tom, co to modální zouša je, čemu je dobá, a dy byste měli o jejím povedení ve své inženýsé paxi uvažovat. Pozouji, že důvěa mnohých výsledům zísaným pomocí metody onečných pvů je nědy příliš vysoá a že si nejen studenti, ale ani zušení inženýři mnohdy neuvědomují, že i výsledy zísané pomocí velmi sofistiovaných onečnopvových pogamů se mohou od eality značně lišit - zpavidla v důsledu toho, že při použití těchto pogamů něco zanedbali nebo příliš zjednodušili. Poto je ověření a případné odladění onečnopvového modelu pomocí dat zísaných expeimentálně nanejvýš žádoucí a v něteých oboech (např. v onstuci letadel) doonce nezbytné. Záladním pamenem po napsání této studijní opoy byla niha pof. Davida Ewinse "Modal Analysis theoy, pactice and application". Pof. Ewins působí na Impeial College of Science, Technology and Medicine v Londýně a je možné ho považovat za vůdčí osobnost v oblasti modální analýzy v Evopě. Četné pasáže těchto sipt jsou v podstatě přeladem vybaných apitol z jeho nihy. Dále byly použity mateiály fimy Büel & Kjæ, teá dodává vešeou měřící techniu po povádění modálních zouše a posytuje záazníům ovněž teoeticou podpou vydáváním četných publiací a pořádáním šolení. Přeji vám, aby čas, teý věnujete studiu těchto sipt, po vás nebyl časem ztaceným, ale aby zísané poznaty přispěly vaší snaze stát se ompetentním a znalým stojním inženýem.

10 Seznam symbolů SEZNAM SYMBOLŮ * omplexní doplně [ ] T tansponovaná matice a(t) časový záznam v análu A A(f) oamžité spetum análu A A(ω) inetance (aceleance) [g - ] b onstanta visózního tlumení [g s - ] b(t) časový záznam v análu B B(f) oamžité spetum análu B [B] matice visózního tlumení [g s - ] F b tlumící síla [g m s - ] {F} veto omplexních amplitud budících sil [g m s - ] {f(t)} veto budících sil [g m s - ] f vlastní fevence tlumeného mitání [Hz] f f s G AA (f) G BB (f) G AB (f) G BA (f) h(t) vlastní fevence netlumeného mitání [Hz] vzoovací fevence [Hz] autospetum análu A analyzátou (jednostanné) autospetum análu B analyzátou (jednostanné) řížové spetum z análu A do análu B analyzátou (jednostanné) řížové spetum z análu B do análu A analyzátou (jednostanné) impulsní odezvová funce [H] matice hysteézního tlumení [g s - ] H(ω) fevenční odezvová funce (eceptance, pohyblivost nebo inetance) H(s) přenosová funce H (f) odhad fevenční odezvové funce H (f) odhad fevenční odezvové funce i imaginání jednota [I] jednotová matice (diagonální) tuhost [g s - ] [K] matice tuhosti [g s - ] m hmotnost [g] [M] matice hmotnosti [g] N počet stupňů volnosti

11 Seznam symbolů p pól [s - ] {p} veto modálních souřadnic R eziduum [g - ] S AA (f) S BB (f) S AB (f) S BA (f) t T autospetum análu A analyzátou (oboustanné) autospetum análu B analyzátou (oboustanné) řížové spetum z análu A do análu B analyzátou (oboustanné) řížové spetum z análu B do análu A analyzátou (oboustanné) čas [s] peioda [s] T(f) přenositelnost, tansmissibilita [-] {X} { ( t) } veto omplexních amplitud výchyle [m] x veto výchyle [m] { x& ( t) }, { ( t) } { x& & ( t) }, { ( t) } v veto ychlostí [m s - ] a veto zychlení [m s - ] Y(ω) pohyblivost [g - s ] α(ω) eceptance [g - s ] δ onstanta doznívání [s - ] Φ j j-tý pve -tého vlastního vetou [-] {Φ} -tý vlastní veto [-] [Φ] modální matice (nomalizovaná na jednotovou hmotnost) [-] γ ztátový oeficient hysteézního tlumení [-] η činitel naladění [-] λ vlastní číslo -tého módu [s - ] τ časová onstanta exponenciálního váhového ona [s] υ logaitmicý deement [-] ω budící uhová fevence [s - ] Ω vlastní uhová fevence tlumeného mitání [s - ] Ω vlastní uhová fevence netlumeného mitání [s - ] [Ψ] modální matice (nenomovaná) [-] ζ poměný útlum [-] ( f ) γ funce oheence [-]

12 Seznam zate SEZNAM ZKRATEK COP DFT DOF FDD oheentní výstupní výon (Coheence Output Powe) disétní Fouoeova tansfomace (Discete Fouie Tansfom) stupeň volnosti (Degee of Feedom) deompozice ve fevenční oblasti (Fequency Domain Decomposition) FRF fevenční odezvová funce (Fequency Response Function ) FFT IRF MAC MDOF MIMO MSF ODS OMA PSD SDOF SISO SIMO SSI SVD ychlá Fouieova tansfomace (Fast Fouie Tansfom) impulsní odezvová funce (Impulse Response Function) itéium modální věohodnosti (Modal Assuance Citeion) systém s více stupni volnosti (Multi Degee of Feedom System) systém s více vstupy a více výstupy (Multiple Input Multiple Output) fato modálního měříta (Modal Scale Facto) povozní tva mitu (Opeational Deflection Shape) povozní modální analýza (Opeational Modal Analysis) výonová spetální hustota (Powe Spectal Density) systém s jedním stupněm volnosti (Single Degee of Feedom System) systém s vstupem a výstupem (Single Input Single Output) systém s vstupem a více výstupy (Single Input Multiple Output) identifiace v podpostou (Stochastic Subspace Identification) ozlad do singuláních hodnot (Singula Value Decomposition)

13 Úvod 3 ÚVOD V úvodu se stučně dozvíte, co to je modální zouša a ja poznaty, teé se tepve máte dozvědět, souvisejí s tím, co už víte. V předmětu Vibační diagnostia jste se dozvěděli mnohé z oblasti vibací. Na tyto znalosti navážeme, potože i modální zoušy jsou založeny na měření vibací. Z dalších předmětů máte více nebo méně ucelené znalosti o dynamicých chaateistiách systémů (stojů, onstucí) a poblematiu vibací jste zvládli v předmětu Technicé mitání. O modální analýze jste zase slyšeli v ámci metody onečných pvů. Tyto všechny dosavadní poznaty využijeme a dále je ozšíříme s cílem popojit dovednosti v oblasti výpočtové a expeimentální mechaniy. Taé se v úvodu dozvíte, poč modální zoušy povádíme a čemu se dají expeimentální výsledy využít. Čas e studiu: 3 hodiny Cíl: Po postudování této apitoly budete umět Popsat ozdíl mezi analýzou signálů a analýzou systémů Definovat pojem modální zouša Definovat fevenční odezvovou funci Popsat účel modální zoušy Výlad Dříve než přistoupíme oblasti samotného modálního zoušení, je vhodné seznámit se s ůznými přístupy měření vibací. Z metodicého i paticého hledisa je vhodné ozlišovat dva ůzné expeimentální přístupy zabývající se vibacemi: ) Učení povahy a úovně vibačních odezev - analýza signálů ) Zísání nebo ověření teoeticých modelů a předpoladů - analýza systémů Těmto dvěma přístupům odpovídají i dva typy měření: ad ) Měří se vibační odezvy za povozních podmíne stoje nebo zoumané stutuy. Touto oblastí se zabývá vibační diagnostia. ad ) Stutua nebo součást je ozmitána známými budícími účiny, často mimo své pacovní postředí. Tento poces je podstatou modálních zouše. Je zřejmé, že při řízených podmínách jsme schopni zísat přesnější a detailnější infomace o měřeném systému než při pouhém měření odezev. V následujícím textu se budeme podobně zabývat duhým přístupem. Povedením tzv. modální zoušy jsme schopni zísat modální paamety systému a na tomto záladě řešit mnohé poblémy vyvolané stutuálními vibacemi. Poblémy stutuních vibací představují významné izio a omezení při návhu šioého ozsahu stojíensých podutů. Mohou být příčinou poušení stutuální integity (např. ulomení tubínové lopaty), nebo

14 Úvod 4 mohou snižovat výon stojního zařízení. Nadměné vibace vždy způsobují minimálně nadměnou hlučnost a nepohodlí při povozu. Modální zouša : "Pocesy apliované na testované součásti nebo stutuy s cílem zísat matematicý popis jejich dynamicého chování.". Apliace modálních zouše Důvodů po povedení modální zoušy může být něoli. Zde budou seřazeny podle náoů na přesnost a podle míy vztahu s teoeticou analýzou: a) Zjištění modálních paametů (vlastních fevencí, vlastních tvaů, příp. modálního tlumení) bez návaznosti na teoeticý model. Ta lze např. zjistit, zda nadměné mitání za povozu je způsobeno ezonancí a ja vypadá vybuzený vlastní tva. b) Zjištění modálních paametů s cílem sovnat expeimentálně zísaná data s odpovídajícími daty zísanými pomocí MKP nebo jiné teoeticé metody. Cílem je zde ověření teoeticého modelu před dalšími výpočty, např. odezev na ůzná zatížení. Po toto potřebujeme: - přesné učení vlastních fevencí - učení vlastních tvaů s taovou přesností, aby mohlo být povedeno jejich sovnání s vypočtenými vlastními tvay - přiřazení odpovídajících si vlastních tvaů. c) bod b) + Opava teoeticého modelu ta, aby lépe odpovídal naměřeným hodnotám - obvyle se to dělá metodou pousu a omylu, např. mínou změnou mateiálových paametů nebo zahnutím modálního tlumení do teoeticého modelu. d) Koelace expeimentálních a teoeticých výsledů - dvě množiny dat jsou číselně poovnávány s cílem přesně identifiovat příčiny nesouladu mezi vypočtenými a naměřenými vlastnostmi. To vyžaduje daleo přesnější měření vlastních tvaů, než dyž je chceme pouze zobazit pomocí animace (ja je tomu v bodech a) až c)). e) Použití modálních zouše zísání matematicého modelu součásti, teá může být zařazena do složitější stutuy. Tento přístup se často používá po teoeticou analýzu složitých stutu. Vyžaduje to zísat přesné hodnoty vlastních fevencí, modálního tlumení a vlastních tvaů. Musí být zahnuty všechny módy, není možné model "připasovat" na něoli jednotlivých vlastních fevencí. Nezahnuté módy ovlivňují dynamicé chování celé stutuy ve sledovaném fevenčním ozsahu. Tato apliace je náočnější než všechny předchozí. f) Vytvoření modelu, teý může být použit po předpovídání vlivu stutuních modifiací původní testované stutuy. Jde o menší změny než v případě substutu, poto zde jsou o něco nižší požadavy na přesnost než v předchozím případě. Přesto u

15 Úvod 5 obou těchto případů nastávají ompliace s obvyle neměřenými otačními stupni volnosti. g) Použití modelu zísaného pomocí modální zoušy učení budících sil. Je možné sovnat odezvy, způsobené budícími silami s matematicým popisem přenosových funcí stutuy a pomocí toho odhadnout budící síly. Úspěšné zvládnutí modálních zouše vyžaduje spojení těchto tří znalostí a dovedností: - teoeticý zálad - přesné měření vibací - ealisticé a detailní zpacování dat V této úvodní apitole uvedeme pouze zálad těchto tří požadavů, teé budou v dalším textu podobně ozpacovány.. Stučně o teoii modálních zouše Zoumaný systém je možné popsat pomocí tří ůzných typů modelů, z nichž aždý je dán systémovými maticemi. fyziální model - [M[... matice hmotnosti - [K]... matice tuhosti - [B] nebo [H]... matice visózního nebo hysteézního tlumení Matice mají ozmě N N (N počet stupňů volnosti počet pohybových ovnic). modální model - [λ ]... spetální matice, diagonální, na diagonále jsou vlastní čísla - [Φ]... modální matice, sloupce tvoří vlastní vetoy odezvový model - [H(ω)]... matice FRF (fevenčních odezvových funcí, např. pohyblivostí Y(ω)) nebo IRF (impulsních odezvových funcí), symeticá

16 Úvod 6 Při teoeticé vibační analýze systémů postupujeme od fyziálního modelu odezvovému v těchto ocích:. sestavení pohybových ovnic fyziální model. analýza volného mitání modální model 3. analýza vynuceného mitání při hamonicém buzení odezvový model Při expeimentální vibační analýze systémů postupujeme opačně v těchto ocích:. změření vhodné množiny fevenčních odezvových funcí odezvový model. analýza naměřených dat modální model 3. další výpočty fyziální model (tento poslední o už se obvyle nepovádí) Fevenční odezvovou funci (FRF - Fequency Response Function), teá je záladem odezvového modelu, je možno vyjádřit jao: výstup pohyb H ( ω ) vstup síla odezva buzení Rozeznáváme 3 záladní typy fevenčních odezvových funcí podle toho, zda je odezvovým paametem výchyla, ychlost nebo zychlení - viz tab... Pve α j (ω) představuje hamonicou odezvu v místě x j způsobenou osamělou hamonicou silou působící v jiném místě f. Přesná definice jednoho pvu matice fevenčních odezvových funcí (po matici eceptance [α(ω)]): α j x j ( ω) F Φ Φ N j λ ω (.) de λ - vlastní číslo -tého módu (vlastní fevence + modální tlumení) Φ j - j-tý pve -tého vetou vlastních tvaů {Φ}, tj. elativní výchyla v j-tém bodě při mitání na -tém tvau N - počet módů Pozn.: Při expeimentálním postupu je obvyle počet zjištěných módů N menší než počet stupňů volnosti, což je dáno omezeným fevenčním ozsahem, ve teém měříme. Model, teý při expeimentálním postupu zísáme, je tzv. neúplný model, na ozdíl od úplného modelu zísaného výpočtovým postupem, u teého můžeme teoeticy zísat toli módů vibací, oli je stupňů volnosti. Výaz (.) je záladem modálních zouše - uazuje přímé spojení mezi modálními vlastnostmi systému a jeho odezvovými chaateistiami. Z čistě teoeticého pohledu posytuje efetivní postřede výpočtu odezev, zatímco z paticého hledisa umožňuje učit modální vlastnosti z pohyblivostí zísaných přímým měřením.

17 Úvod 7 Poud použijeme znalosti teoeticého vztahu mezi funcemi eceptance a modálními paamety, je možné uázat, že "vhodná" množina měřených eceptancí musí obsahovat α (ω). V paxi to znamená, že pouze jeden řáde nebo jeden sloupec matice pohyblivosti [ ] buď budíme stutuu v jednom bodě a měříme odezvy ve všech bodech nebo měříme odezvu v jednom bodě a stutuu budíme ve všech bodech. Pvní možnost se používá při buzení budičem, duhá při buzení ázovým ladívem nebo jiným bezontatním budícím zařízením. buzení budičem měří se jeden sloupec matice FRF buzení ázovým ladívem měří se jeden řáde matice FRF.3 Různé typy fevenčních odezvových funcí Poud se odazujeme na FRF bez specifiace odezvového paametu, značí se obvyle jao H(ω). Poud chceme odezvový paamet specifiovat, značí se jednotlivé FRF ůzně (viz tab..). Tab. - Různé typy fevenčních odezvových funcí podle odezvového paametu Odezvový paamet displacement výchyla X velocity ychlost V acceleation zychlení A Fevenční odezvová funce Standatní Invezní F eceptance admittance dynamic compliance dynamic flexibility α(ω) eceptance admitance dynamicá poddajnost dynamicá pužnost mobility Y(ω) pohyblivost inetance acceleance A(ω) inetance aceleance F dynamic stiffness dynamicá tuhost mechanical impedance mechanicý odpo appaent mass zdánlivá hmotnost Časový půběh výchyly je v omplexním tvau vyjádřen jao: x(t) iωt Xe (.)

18 Úvod 8 Potom je možné jednoduše deivací zísat vztahy po ychlost a zychlení: v(t) iωt x(t) & iωxe (.3) t Xe i ω & (.4) a(t) x(t) & ω Fevenční odezvová funce eceptance s odezvovým paameten výchylou je definována: X α ( ω) (.5) F A opět deivací zísáme další typy FRF: V X Y( ω ) iω iωα( ω)... pohyblivost (.6) F F A A( ω ) ω α( ω)... inetance (.7) F.4 Stučně o měřících metodách Po zajištění vysoé vality naměřených dat je třeba zvážit: Způsoby uložení a) mechanicé aspety uložení a spávného vybuzení stutuy b) spávné snímání naměřených veličin - vstupní síly a pohybové odezvy c) zpacování signálu vhodné použitému typu zoušy Způsob uložení měřené stutuy je dán především účelem, po teý modální zoušu povádíme, případně omezeními pamenícími z povozních podmíne. V zásadě ozlišujeme 3 způsoby uložení: - volné (na velmi měých pužinách) - Jde o nejjednodušší způsob uložení a přednostně jej použijeme vždy, dyž budeme chtít povádět oelaci expeimentálního a výpočtového modelu. - vetnuté - pevné uchycení v učitých bodech - Je složitější, potože doonalého znehybnění nelze nidy paticy dosáhnout. Rozdíly mezi expeimentálním a výpočtovým modelem pa mohou pamenit z velé části z nestejných oajových podmíne. Nicméně, nědy je nutné tento způsob použít (např. při zjišťování modálních paametů tubínových lopate). - in situ - na místě (v povozních podmínách) - Použijeme zejména tehdy, dyž potřebujeme modální paamety při eálných podmínách a nebudeme povádět oelaci s teoeticým modelem.

19 Úvod 9 Způsoby buzení Způsob buzení měřené stutuy je opět dán především účelem, po teý modální zoušu povádíme, požadavy na přesnost a fevenčním ozsahem, ve teém zjišťujeme modální paamety. Způsoby jsou v zásadě dva a u aždého z nich je ještě možné další třídění podle typu signálu: - buzení dynamicým budičem vibací hamonicým signálem náhodným signálem jinými typy signálu (viz ap ) - impulsní buzení ázovým ladívem náhlým uvolněním z defomované pozice Snímače Snímače použité po snímání síly i odezvy musí co nejméně ovlivňovat stutuu a jejich účinnost musí být adevátní ozsahu měření a výchylám. Dnes se nejčastěji snímá odezva ve fomě zychlení a používají se piezoeleticé snímače síly i zychlení. Blíže viz ap Stučně o analýze Analýza naměřených dat je poces, dy naměřené fevenční odezvové funce jsou analyzovány ta, aby byl nalezen teoeticý model, teý nejvěněji odpovídá dynamicému chování sutečné testované stutuy. Této části modální zoušy se říá expeimentální modální analýza, i dyž často je tento pojem nepřesně používán po celou modální zoušu. Poces analýzy dat se dělí do dvou stadií:. Učení vhodného typu modelu (visózní nebo hysteézní tlumení). Tato volba je často v paxi omezena softwaem, teý po modální analýzu používáme. Většina softwaových balíů pacuje s jedním z typu tlumení a nedává uživateli na výbě. Učení vhodných paametů vybaného modelu (apoximace řive, cuve-fitting). Touto poblematiou se podobně zabývá ap. 4.3.

20 Úvod Shnutí pojmů modální zouša modální model fyziální model odezvový model modální paamety fevenční odezvová funce eceptance pohyblivost inetance Otázy. Co je to modální zouša?. Poč povádíme modální zoušy (jmenujte alespoň 3 apliace)? 3. Jaými třemi typy modelů můžeme popsat dynamicý systém? 4. Co jsou to modální paamety? 5. Jaá funce je záladem modálních zouše? 6. Ja je v pincipu definována fevenční odezvová funce? 7. Jaými vztahy jsou spojeny funce eceptance, inetance a pohyblivosti? 8. Jaé znáte způsoby uložení měřené stutuy při modální zoušce?

21 Dvouanálová analýza DVOUKANÁLOVÁ ANALÝZA V této apitole se seznámíte s něteými pojmy, se teými se při povádění modálních zouše setáte a teé patří do oblasti zpacování signálů. Čas e studiu: 8 hodin Cíl: Po postudování této apitoly budete umět Popsat desiptoy systému - fevenční a impulzní odezvovou funci Definovat pojmy autospetum, řížové spetum a oheence Poznáte vliv šumu na naměřené funce Poznáte úsalí digitálního zpacování signálu Výlad Zatímco u úloh spadajících do vibační diagnostiy, tedy u analýzy signálů, využíváme pincipiálně jednoanálová měření a analýzu (i dyž současně zpacovávaných análů může být více), u úloh spadajících do analýzy systémů jde v pincipu o dvouanálovou analýzu. Záladní schéma dvouanálového FFT analyzátou je na ob... Při simultánní analýze signálů v alespoň dvou análech už nejsou v popředí zájmu signály samotné, ale vlastnosti fyziálního systému zodpovědné za ozdíly mezi nimi. Metody mohou být teoeticy ozšířeny na libovolné množství análů, ale v podstatě jsou analyzovány vždy dva současně. Dále si ozebeeme jednotlivé funce, teé se při analýze systémů vysytují.. Autospetum Autospetum je funcí, se teou běžně pacuje i analýza signálů. Oamžité (Fouieovo) autospetum je definováno jao: * S ( f ) E[ A( f ) A ( f )] E [ a t *a t ] [ R ( τ) ] (.) Im +φ A φ A AA ( ) ( ) A A S AA Re A S ( f ) ( ) ( ) e i φa A f A f iφ ( f ) ( f ) A( f ) e * A aa (.) (.3) i [ e ] E A ( f ) * ( f ) E A( f ) A ( f ) AA [ ] (.4)

22 Dvouanálová analýza anál A čas a (t) Fouieovo spetum A (f) autospetum G AA (f) vzájemné spetum G AB (f) fevenční odezva H (f) autooelace R aa (τ) impulsní odezva h(τ) vzájemná oelace R ab (τ) oheence oheentní výstupní výon γ (f) γ (f) G BB (f) anál B čas b (t) Fouieovo spetum B (f) autospetum G BB (f) - autooelace R bb (τ) nahávání, vzoování Fouieova tansfomace půměování zpacování Ob.. - Schéma dvouanálové analýzy Stěžejní novou funcí je vzájemné (řížové) spetum, vypočtené z oamžitých spete v obou análech. Všechny ostatní funce v diagamu jsou pomocí postpocessingu vypočteny na záladě dvou autospete a vzájemného speta.. Křížové (vzájemné) spetum (coss spectum) Na záladě omplexních oamžitých spete A(f) a B(f) je vzájemné spetum S AB (z A do B) definováno jao: * S ( f ) E[ A ( f ) B( f )] E [ a t * b t ] [ R ( τ) ] (.5) A(f) A*(f) B(f) φ A Im φ B φ B - φ A AB ( ) ( ) B(f) Re S AB ( f ) ( ) ( ) e i φa A f A f (.6) ( f ) ( ) ( ) e i φb B f B f (.7) i φb ( f ) φa ( f ) ( f ) E A( f ) B( f ) e ab ( ) [ ] (.8) Amplituda vzájemného speta je dána součinem amplitud, fáze je dána ozdílem fází (z A do B). Vzájemné spetum S BA (z B do A) tedy bude mít stejnou amplitudu, ale opačnou fázi. Fáze vzájemného speta je současně fází systému. Autospeta i vzájemné spetum mohou být definovány jao oboustanné (označení S AA, S BB, S AB, S BA ) nebo jednostanné (označení G AA, G BB, G AB, G BA ). Jednostanné spetum se zísá z oboustanného tato:

23 Dvouanálová analýza 3 S AB (f) G AB (f) po f < G AB (f) S AB (f) po f (.9) S AB (f) po f > f Vzájemné spetum nemá velý význam samo o sobě, ale používá se výpočtu dalších funcí. Amplituda G AB udává, do jaé míy spolu dva signály oelují jao funce fevence, fázový úhel G AB je míou fázového posunu mezi dvěma signály jao funce fevence. Výhodou vzájemného speta je, že je v něm půměováním eduován vliv šumu. Je to poto, že fázový úhel speta šumu nabývá náhodných hodnot, taže součet něolia těchto náhodných spete se blíží nule (viz ob..). Je vidět, že měřené autospetum se ovná součtu sutečného autospeta a autospeta šumu, zatímco měřené vzájemné spetum se ovná sutečnému vzájemnému spetu. U(f) sutečný vstup H(f) sutečný výstup V(f) M(f) A(f) N(f) šum na vstupu měřený vstup šum na výstupu B(f) měřený výstup AA autospetum análu A: * * [( U + M) ( U + M) ] Ε ( U U) * * * [ ] + Ε[ ( U M) ] + Ε[ ( M U) ] + Ε[ ( M M) ] SUU SMM S Ε + BB autospetum análu B: * * [( V + N) ( V + N) ] Ε ( V V) * * * [ ] + Ε[ ( V N) ] + Ε[ ( N V) ] + Ε[ ( N N) ] SVV SNN S Ε + AB vzájemné spetum: * * [( U + M) ( V + N) ] Ε ( U V) * * * [ ] + Ε[ ( U N) ] + Ε[ ( M V) ] + Ε[ ( M N) ] SUV S Ε Im U * i M i U i * M i Re Ob.. - Odpůměování šumu ve vzájemném spetu

24 Dvouanálová analýza 4.3 Koheence Funce oheence udává míu lineání závislosti mezi dvěma signály jao funci fevence. Učuje se pomocí dvou autospete a vzájemného speta ze vztahu: AB ( f ) ( f ) G ( f ) G γ ( f ) (.) G AA BB Koheence může být na aždé fevenci chápána jao oeficient oelace (umocněný na duhou), teý vyjadřuje stupeň lineání závislosti mezi dvěma poměnnými, de hodnoty autospete odpovídají vaiancím těchto dvou poměnných a hodnota vzájemného speta odpovídá ovaianci. Hodnota oheence se pohybuje od, znamenající neexistenci závislosti mezi vstupem A a výstupem B, po znamenající doonalou lineání závislost (blíže viz ob..3). ( f ) γ (.) Na obázu.3 vyjadřuje: a) doonale lineání vztah mezi vstupem A a výstupem B b) dostatečně lineání vztah s míným ozptylem v důsledu šumu c) nelineání vztah d) žádný vztah B B a γ AB b γ < AB A A B B c γ < AB d γ AB A A Ob..3 - Analogie oheence s oeficientem oelace Funce oheence posytuje užitečnou infomaci pouze tehdy, poud speta G AA (f), G BB (f) a G AB (f) jsou odhady, tj. speta půměovaná z více záznamů. Po jeden vzoe (bez půměování) platí: G AB ( f ) A( f ) B( f ) G ( f ) G ( f ) ( f ) AA BB γ (.) Koheence je v tomto případě vždy ovna. Poud jsou jednotlivé vzoy G AB ovlivněny šumem a je pováděno půměování, způsobí odchyly ve fázových úhlech to, že

25 Dvouanálová analýza 5 výsledná veliost G AB bude menší než by byla bez přítomnosti šumu (viz ob..4). Podobný vliv má i přítomnost nelineait. Poud jsou signály náhodné nebo obsahují učitou míu šumu, zísá se spolehlivější odhad spete pomocí půměování. Obecně může být výslede zatížen dvěma typy chyb: - systematicé (bias) chyby - náhodné chyby náhodná chyba systematicá chyba sutečná hodnota Systematicá chyba se u lineáních systémů ve vzájemném spetu neobjevuje, poud je analýza pováděna s dostatečným ozlišením (viz ap..6.). se šumem bez šumu Σ G ABi < Σ G ABi γ < Σ G ABi Σ G ABi γ Im Im G AB4 G AB G AB Σ G ABi G AB3 G AB4 Σ G ABi G AB G AB G AB3 G AB4 Re G AB G AB3 Σ G ABi G AB Σ G ABi G AB G AB G AB3 G AB4 Re Ob..4 - Vliv šumu na oheenci Nejdůležitější apliací funce oheence je ontola platnosti dalších funcí a učení, zda jsou ovlivněny šumem nebo výsytem nelineait. Nízá oheence automaticy neznamená, že by měření bylo neplatné, ale nědy je znamením, že je třeba povést mnoho půměů, abychom dostali platný výslede. Důvody po sníženou oheenci mohou být tyto: - obtížná měření: šum na měřeném výstupním signálu šum na měřeném vstupním signálu jiné vstupy, teé nejsou ve vztahu s měřeným vstupním signálem nelineaity v systému - špatná měření: chyba úniem systémy poměnné v čase ozptyl ( chvění ) stupně volnosti (při buzení ladívem, dyž neudeříme vždy do stejného místa) Koheence se taé používá zísání něteých odvozených funcí, teé mají ůzné uplatnění. Jednou z nich je Coheent Output Powe (oheentní výstup): ( f ) COP γ G (.3) BB

26 Dvouanálová analýza 6 COP udává, ja velá část měřeného výstupního autospeta je zcela oheentní se vstupním signálem epezentovaným autospetem G AA (f). COP lze použít, poud je nízá oheence způsobena znečištěním výstupního signálu šumem. V případě znečištění vstupního signálu šumem nebo při výsytu nelineait nemá význam. Další funcí odvozenou z oheence je Signal-to-Noise Ratio (odstup signálu od šumu): S/ N γ (.4) γ Zde je šum v měřeném výstupu považován za jediný fato ovlivňující oheenci. Potom oheentní výstup (úměný γ ) udává míu signálu obsaženého ve výstupu a neoheentní výstup (úměný -γ ) udává míu šumu ve výstupu..4 Desiptoy systému Poud signály A a B epezentují vstup a výstup fyziálního systému, používá se popisu vztahu mezi těmito dvěma signály ve fevenční oblasti fevenční odezvová funce H(f), v časové oblasti impulsní odezvová funce h(τ) (viz ob..5). Jsou to tzv. desiptoy systému a jsou nezávislé na zúčastněných signálech. buzení a(t) odezva b(t) měřený systém h(τ) H(f) čas fevence a(t) h(τ) b(t) A(f) H(f) B(f) Konvoluce: Násobení: b (t) h ( τ) a( t τ) dτ h( t) * a( t) B Ob..5 - Desiptoy systému ( f ) H( f ) A( f )

27 Dvouanálová analýza 7.4. Fevenční odezvová funce (FRF - Fequency Response Function) Hlavním důvodem, poč se FRF používají, je jednoduchost, s jaou lze pomocí nich popsat odezvu eálného systému. Podobné odvození FRF po systém s jedním stupněm volnosti (viz ob..6) bude povedeno v apitole 3.. Zde pouze uvedeme, že po ideální fyziální systém, jehož vlastnosti mohou být popsány systémem lineáních difeenciálních ovnic.řádu, vede použití Laplaceovy tansfomace převedení těchto difeenciálních ovnic na algebaicé ovnice v Laplaceově poměnné s. Řešení těchto ovnic může být popsáno ve fomě přenosových funcí H ij (s), teé vyjadřují pomě odezvy v místě i na vstup v místě j. Typicá přenosová funce po systém s n stupni volnosti může být vyjádřena jao: de: n * R ( ) ij R ij H ij s + (.5) * s p s p p póly - globální vlastnost po všechny přenosové funce systému R ij ezidua - jsou specificá po aždou přenosovou funci Každý člen v sumě představuje odezvu systému s jedním stupněm volnosti s pólem p -δ + iω (.6) Reálná část představuje tlumení -tého módu a imaginání část vlastní uhovou fevenci tlumeného mitání. Ideální fyziální systém: F(t) - hmota m je hmotný bod - pohyb pouze v jednom směu (x) - tlumič b a pužina jsou nehmotné - pužina a tlumič b jsou lineání - m, a b onstantní v čase m b x(t), v(t), a(t) Ob..6 - Ideální systém s volnosti eálná složa Re (H(s)) δ iω amplituda (H(s)) δ iω R s p * R s p ( ) + * H s imaginání složa Im (H(s)) iω fáze iω p -δ + iω p* -δ - iω δ δ R imω Ob..7 - Přenosová funce

28 Dvouanálová analýza 8 Přenosová funce je postoová a po systém s jedním stupněm volnosti je zobazena na ob..7. Dosadíme-li iω za s (tedy povedeme vyhodnocení podél imaginání osy), dostaneme fevenční odezvovou funci H ij (iω), což je vlastně řez přenosovou funcí podél imaginání osy. Stejně jao přenosová funce, i FRF se dá považovat za součet slože, z nichž aždá odpovídá odezvě systému s jedním stupněm volnosti. Globální vlastnosti δ a Ω mohou být v zásadě zísány z libovolné z naměřených H ij, zatímco ezidua R ij definují vlastní tva Φ a jsou specificá po aždou H ij. FRF po systém s volnosti dle ob..6 je zobazena na ob..8. Různé fomy zobazení budou podobně pobány v ap a Systém s volnosti (nebo mód systému s více stupni volnosti) je popsán 3 paamety: - netlumená vlastní fevence - poměný útlum - eziduum Ω (.7) m b δ ζ (.8) m Ω R (.9) imω R iω p * R iω p ( ω ) + * H i Η(iω) m b p -δ + iω Η(iω) -9-8 Ω / m ω ω Ob..8 FRF systému s volnosti.4. Impulsní odezvová funce (IRF - Impulse Response Function) Impulsní odezva systému je výstupní signál systému jao odezva na Diacův impuls (jednotový impuls, delta funce) na vstupu. Je to invezní Fouieova tansfomace fevenční odezvové funce, a tato se tay zísává v FFT analyzátou: h(t) - {H(f)} (.) Impulsní odezva systému s jedním stupněm volnosti je jednostanná tlumená sinusova (viz ob..9) daná vztahem: h(t) R e δt sin ( Ωt) (.)

29 Dvouanálová analýza 9 h(t) R R e -δt t Ob..9 - IRF systému s volnosti Stejně jao FRF je možno považovat za součet odezev n systémů s jedním stupněm volnosti, je i impulsní odezva systému s více stupni volnosti součtem impulsních odezev n systémů s jedním stupněm volnosti. Sečtením všech n módů dostaneme obecnější vztah: n δ t h ij (t) R ij e sin( Ω t) (.) Půměná onstanta doznívání této impulsní odezvy může být použita učení půměných tlumících vlastností systému. Poud zobazíme amplitudu impulsní odezvy v logaitmicých souřadnicích, je obálou funce příma, jejíž slon udává tlumení systému. Vyjdeme z definice logaitmicého deementu: x( t) ( t + T) υ ln δt (.3) x Amplituda polesne e-át za dobu τ (τ je tzv. časová onstanta systému): ln e δ τ δ τ δ /τ T π Ω Převod e na db: log e 8.7 db h(t) [db] R 8,7 db τ t Ob.. - Učování tlumení z impulsní odezvové funce

30 Dvouanálová analýza 3 Poud je na svislé ose amplituda impulsní odezvové funce v decibelech, můžeme odečíst dobu τ, za teou amplituda polesne o 8.7 db a z ní učit onstantu doznívání δ (viz ob..). Tento postup je shodný ja po učení onstanty doznívání systému s volnosti, ta po učení půměné onstanty doznívání systému s více stupni volnosti..5 Vliv šumu na FRF Fevenční odezvovou funci můžeme taé definovat jao směnici přímy, chaateizující závislost výstupu na vstupu u lineáního systému. Poud systém není lineání, dostaneme při použití Fouieovy tansfomace lineání apoximaci nelineáního systému. Stejně ta vliv náhodného šumu je lineání apoximací eliminován (viz ob..). běžný stav - systém se šumem nelineání systém B(f) H(f) - nejlepší lineání apoximace B(f) H(f) - nejlepší lineání apoximace Ob.. - Lineaizace Fevenční odezvová funce je definována jao pomě výstupu e vstupu. Při použití dvouanálového analyzátou máme dispozici 3 altenativní odhady FRF, teé jsou definovány pomocí autospete a vzájemného speta. Jsou to: ( f ) ( f ) G AB H ( f ) (.4) G AA ( f ) ( f ) G BB H ( f ) (.5) G BA ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) G BB G AB H 3 ( f ) H( f ) H ( f ) (.6) G G AA Funci oheence potom můžeme nadefinovat jao: AB AB ( f ) ( f ) G ( f ) ( f ) ( f ) G H γ ( f ) (.7) G H AA A(f) BB A(f) Kteý z těchto tří odhadů je lepší použít, záleží na tom, zda se vysytuje šum na vstupu nebo na výstupu. Při měření FRF pomocí ázového buzení bývá vstupní signál čistý, bez šumu, zatímco výstupní je modifiován odezvou systému a zejména v antiezonancích bývá znehodnocen šumem. Naopa při měření FRF pomocí budiče vibací bývá zvláště u málo tlumených stutu šumem znehodnocen vstupní signál v oolí ezonancí. Stutua totiž

31 Dvouanálová analýza 3 funguje v oolí ezonancí jao zat a vstupní silové spetum má nízé hodnoty, i dyž signál vstupující do budiče je bílý šum. Výstupní signál je elativně čistý. Poud potřebujeme co nejpřesnější hodnoty amplitud FRF, je nejlepším řešením vzít ezonanční špičy z funce H a zbyte z funce H. a(t) G AA G AA h( τ ) H(f) n(t) v(t) b(t) H (f ) ( ) ( ) V f A f G AB G AV G AB G AV H H G G H G G BB VV NN NN BA G VA G BA G VA G VV AA G AA + G G H + BB VV NN BB G VV G NN NN H 3 H G AA G AA G VV G + H VV G G + G γ po G NN G BB H G NN + G G + γ γ po G NN Ob.. - Vliv šumu na výstupu m(t) u(t) a(t) h( τ ) H(f) b(t) H (f ) ( ) ( ) B f U f G G + G AA UU MM G AB G UV H G G AB AA G UU G UB + G MM H + G MM / G UU G BB G BB G BA G BU H H G G BA BU G BB G BB H 3 G G BB AA G UU G BB + G MM H + G MM / G UU H γ po G MM G AA H G MM + G UU γ γ po G MM Ob..3 - Vliv šumu na vstupu

32 Dvouanálová analýza 3 Vliv šumu na výstupu je podobně ozebán na ob.., vliv šumu na vstupu na ob..3 a vliv šumu na vstupu i výstupu, což je běžný případ, na ob..4. u(t) h( τ ) v(t) H(f) m(t) a(t) n(t) b(t) H (f ) ( ) ( ) V f U f ε IN G G MM UU ε OUT G G NN VV H G G AB AA H + ε IN γ H H ( + ε ) ( + ε ) IN OUT H G BB H H H H G BA + ε OUT H 3 G G BB AA H + ε + ε OUT IN Ob..4 - Vliv šumu na vstupu i výstupu.6 Digitální zpacování signálu Záladní funcí spetálního analyzátou je povedení Fouieovy tansfomace signálů, teé jsou dodány na vstup. Je vhodné připomenout vztah mezi dvěma nejvýznamnějšími vezemi záladní Fouieovy tansfomace, mezi časovou a fevenční doménou. Ve své nejjednodušší fomě to vyjadřuje, že funce x(t), peiodicá v čase T, může být vyjádřena jao neonečná posloupnost: a πnt πnt x (t) + a n cos + bn sin (.8) n T T de a n a b n mohou být vypočteny ze znalosti x(t) pomocí vztahů (.9) a (.3): T πnt a n x(t) cos dt T T (.9) T πnt bn x(t) sin dt T T (.3) V situaci, dy je x(t) disetizována a tvá onečný čas, taže je definována pouze na množině N jednotlivých časových oamžiů t (,N), můžeme napsat onečnou Fouieovu řadu: x N / a n πnt T πnt T ( x( t )) + a cos + b sin ;, N n n (.3)

33 Dvouanálová analýza 33 Koeficienty a n a b n jsou Fouieovy neboli spetální oeficienty funce x(t) a často jsou zobazovány ve tvau amplitudy c n a fáze φ n : ( X ) a b c + a n n n n n n a n φ b actg (.3) Toto je tva Fouieovy tansfomace, teý se nás při paticých apliacích teoie používané v oblasti modálních zouše týá a v důsledu disetizace vstupních signálů (ze snímačů síly a z aceleometů) je nazývána disétní Fouieova tansfomace (DFT - Discete Fouie Tansfom). Vstupní signál je tedy A/D převodníem digitalizován a zaznamenán jao množina N disétních hodnot s pavidelnými časovými ozestupy v intevalu T, během něhož je měření povedeno. Potom je za předpoladu, že je vzoe v čase T peiodicý, vypočtena onečná Fouieova řada (tansfomace) podle vztahu (.3), jao odhad požadované Fouieovy tansfomace. Platí zde záladní vztah mezi délou vzou T, počtem disétních hodnot N, vzoovací (neboli digitalizační) fevencí f s a ozsahem a ozlišením fevenčního speta. Rozsah speta je -f max, de f max je Nyquistova fevence a ozlišení ča ve spetu je f, de: f max f s N (.33) T f f S (.34) N T Jeliož po daný typ analyzátou je veliost tansfomace (N) obvyle pevně dána, a je to obvyle, i dyž ne vždy, mocnina, tj. 5, 4 atd., je poytý fevenční ozsah a ozlišení spetálních ča dáno jedině délou tvání aždého vzou. Záladní ovnice, teá se po učení spetálního složení řeší, je odvozena z ovnice: x x x M x 3 N cos cos cos cos ( π / T) ( 4π / T) ( 6π / T) M K a K a K b K M ( Nπ / T) K M neboli { x } [ C] { } (.35) a n K učení neznámých spetálních neboli Fouieových oeficientů obsažených v { a n } tedy použijeme: { a } [ C] { } (.36) n x V 6.letech.století byl vyvinut optimalizovaný algoitmus řešení ovnice (.36), teému se říá ychlá Fouieova tansfomace (FFT - Fast Fouie Tansfom). Tento algoitmus vyžaduje, aby N bylo celočíselnou mocninou. Obvyle se používají hodnoty mezi 56 a 496.

34 Dvouanálová analýza 34 Digitální Fouieova analýza má mnoho ysů, teé, poud nejsou spávně ošetřeny, mohou vést chybným výsledům. Všeobecně vzato jsou důsledem disetizace a nutnosti omezit délu časového signálu. V následujících apitolách budeme disutovat specificé ysy aliasingu, chyby úniem, vlivu oen, fevenční lupy a půměování..6. Chyba typu aliasing S digitální spetální analýzou je spojen poblém zvaný "aliasing", teý plyne z disetizace původně spojitého časového signálu. Poud je vzoovací fevence ve vztahu fevenčnímu obsahu signálu příliš malá, může být přítomnost vysoých fevencí v původním signálu při tomto disetizačním pocesu špatně intepetována. Ve sutečnosti se tyto vysoé fevence objeví jao nízé fevence, nebo spíše budou od sutečných nízofevenčních slože neozeznatelné. Na ob..5 je vidět, že digitalizace signálu s nízou fevencí (nahoře) dává přesně stejnou množinu disétních hodnot jao výslede téhož pocesu apliovaného na signál s vyšší fevencí (dole). nízofevenční signál vysoofevenční signál Ob..5 - Zobazení vysoé fevence jao nízé Je-li vzoovací fevence f s, pa signál fevence f a signál fevence (f s -f) jsou po disetizaci neozlišitelné, a tato sutečnost způsobuje zeslení speta naměřeného pomocí DFT, i dyž je výpočet poveden přesně. V popisu DFT bylo uvedeno, že nejvyšší fevence, teá může být ve spetu (tansfomaci) obsažena, je f s /, a zísané spetum by se mělo na této fevenci zastavit, bez ohledu na počet disétních hodnot. Signál, teý má sutečný fevenční obsah zobazený na ob..6 nahoře, se v DFT objeví jao zeslený tva zobazený na ob..6 dole. Zeslení směem honímu onci platného fevenčního ozsahu může být vysvětleno fatem, že část signálu, teá má fevenční složy nad f s / se objeví zcadlena v ozsahu -f s /. Tyto vysoofevenční složy se tedy tváří, jaoby byly (alias) nízofevenční a vytvoří se sutečnými nízofevenčními složami neozlišitelnou směs.

35 Dvouanálová analýza 35 sutečné spetum signálu f s spetum zísané z DFT zcadlení vysoofevenčních slože f s / f s Ob..6 - Pincip chyby typu "aliasing" Řešením tohoto poblému je použití anti-aliasingových filtů, teé podobí původní časový signál nízopásmovému filtu s ostou sestupnou hanou s chaateistiou uázanou na ob..7. Výsledem toho je, že se do analyzátou dostane pozměněný časový půběh. Potože použité filty samozřejmě nejsou úplně doonalé a mají onečný slon sestupné hany, je nutné odstanit spetální měření ve fevenčním ozsahu blízém Nyquistově fevenci f s /. Typicy se odstaňuje fevenční ozsah od,8 f s / až f s /. Z tohoto důvodu není výsledem 48 bodové tansfomace úplné 4 čáové spetum, teé by se zobazilo na obazovce analyzátou: typicy se zobazuje pouze pvních 8 ča, potože ty vyšší jsou náchylné e znečištění v důsledu nedoonalého anti-aliasingového pocesu. nefiltované spetum anti-aliasingový filt filtované spetum f s / f s Ob..7 - Pincip anti-aliasingového filtu Závě je tedy taový, že již před vstupem časového signálu do A/D převodníu musí být zařazen anti-alisingový filt, a poto tyto filty tvoří nedílnou součást aždého analyzátou.

36 Dvouanálová analýza Chyba úniem (leaage) Chyba úniem je poblém, teý je přímým důsledem nutnosti použít časový vzoe onečné dély spolu s předpoladem peiodicity. Tento poblém je nejlépe uázán na dvou příladech zobazených na ob..8 nahoře, de jsou dva sinusové signály s fevencemi, teé se tochu liší, a teé jsou podobeny témuž pocesu analýzy. V případě vlevo je signál v časovém oně T doonale peiodicý a výsledné spetum je postě jediná čáa - na fevenci sinové vlny. V případě vpavo není předpolad peiodicity splněn, taže dochází nespojitosti na onci vzou. Výsledem je spetum, ve teém není indiována pouze ta jedna fevence, teou má původní časový signál, a doonce tato fevence není v typicých spetálních čaách ani sutečně epezentativní. Enegie "unine" do mnoha spetálních ča blízých sutečné fevenci a spetum je ozpostřeno přes něoli ča. Tyto dva přílady představují nejlepší a nejhoší případ. Poblém je závažnější při nižších fevencích signálů. Chyba úniem představuje v mnoha apliacích digitálního zpacování signálu včetně měření FRF vážný poblém. Způsobů, ja chybě úniem předejít nebo ji alespoň minimalizovat, je něoli: - Změna dély tvání měřeného vzou ta, aby vyhověla záladní peiodicitě signálu, např. změnou doby měření T ta, aby pojala přesný počet cylů měřeného signálu. I dyž tento způsob řešení může zcela odstanit chybu úniem, lze jej povést pouze tehdy, dyž analyzovaný signál opavdu je peiodicý - což většinou není pavda - a dyž peiodu signálu lze učit - což je často obtížné a může to být pvním cílem analýzy. Navíc při použití FFT analyzátoů nelze měnit dobu měření T zcela libovolně, ale jen v učitých ocích v návaznosti na fevenční ozsah měření (viz vztah.33). - Podloužení doby měření T, taže ozdíl mezi spetálními čaami - fevenční ozlišení - je jemnější (viz vztah.34). Tím se vliv chyby úniem neodstaní, ale jeho závažnost se sníží. - Přidání nul na onec měřeného vzou ("vycpání nulami"), čímž se částečně dosáhne předchozího efetu, ale bez požadavu na více dat. - Modifiace zísaného vzou signálu ta, aby se vliv chyby úniem snížil. Tomuto pocesu se říá "uzavření do oen" nebo oenní tansfomace a jeho používání je při zpacování signálů i modálních zoušách časté. Oenní tansfomace znamená položení předepsaného pofilu w(t) na časový signál dříve, než se povede Fouieova tansfomace. Analyzovaný signál je potom součinem původního signálu a pofilu ona (viz ob..9). Vliv často používaného Hanningova ona na Fouieovu tansfomaci signálu je uázán na ob..8 dole. Další typy oen, teé se při modálních zoušách často používají (přechodové a exponenciální ono), jsou disutovány v apitole 4... Dalším známým typem ona je tzv. ono s plochým vchem, teé se používá při alibaci snímačů. Na ob..9 je uázáno, ja se pojeví omezení časového signálu ve fevenčním spetu. U digitálního signálu je fevenční ozlišení speta ovno převácené hodnotě dély časového záznamu. Znamená to, že čím chceme mít lepší fevenční ozlišení (při stejném fevenčním ozsahu), tím delší musí být doba měření. A obáceně: čím delší je doba měření,

37 Dvouanálová analýza 37 tím více času má přechodový signál na to, aby polesl nule, a tím menší je chyba úniem (a současně lepší fevenční ozlišení). Chybu úniem lze tedy eliminovat podloužením doby měření. a(t) peiodicý signál b(t) nepeiodicý signál T čas T čas obdélníové ono (žádné vážení) A(f) B(f) fevence fevence Hanningovo ono πt cos T A(f) B(f) fevence fevence Ob..8 - Vliv peiodicity signálu a vliv váhových oen na chybu úniem Podobně jao ve spetu se chyba úniem pojevuje i ve fevenční odezvové funci - tam se této chybě říá chyba ozlišení (esolution bias eo). Vlivem této chyby může být naměřená hodnota amplitudy FRF v ezonancích nižší a v antiezonancích vyšší než je sutečná hodnota (viz ob..). Tato chyba se vysytne, poud je fevenční ozlišení měření f mnohem hubší, než fevenční ozlišení systému f s, tedy než taové fevenční ozlišení, teé by funci přesně postihlo. Odpovídá to ořezání časového signálu, tedy tomu, že doba měření T je mnohem atší, než je sutečná doba odezvy systému T s : T << T s f >> f s Podloužení doby měření je možné u FFT analyzátoů buď ta, že zvětšíme počet fevenčních ča, se teými Fouieova tansfomace počítá (viz ap..6), čímž se zlepší fevenční ozlišení bez změny fevenčního ozsahu měření. Poud nechceme zvětšovat počet fevenčních ča analyzátou nebo pacujeme s typem analyzátou, teý to neumožňuje, existuje další možnost, ja fevenční ozlišení zjemnit, a tou je zmenšení fevenčního ozsahu měření. Při měření v záladním pásmu (od Hz do f max ) to znamená omezit fevenční ozsah shoa. Poud leží ezonance, teé nás zajímají, ve vyšších

38 Dvouanálová analýza 38 fevencích, je nutné zvolit jiný postup. Tím je použití fevenční lupy. Rozsah měření je potom f min až f max (blíže viz ap..6.3). a(t) spojitý signál A(f) w(t) a(t) w(t) a(t) čas * W(f) čas A(f)*W(f) čas digitální signál - naměřená data DFT A(f) fevence fevence fevence čas časové omezení úni f T fevence Ob..9 - Vztah mezi časovým omezením signálu a chybou úniem ve spetu chyba ozlišení naměřené hodnoty f f f sutečná FRF Ob.. - Chyba úniem ve FRF - chyba ozlišení Vztah mezi sutečnou FRF a jejími altenativními odhady H a H při výsytu chyby úniem uazuje obáze.. Amplituda sutečné FRF je v ezonancích vždy vyšší a v antiezonancích vždy nižší než oba odhady, nicméně blíže e sutečnosti je v ezonancích H a v antiezonancích H.

39 Dvouanálová analýza 39 H sutečná FRF ezonance: H > H > H H antiezonance: H < H < H Ob.. - Chyba úniem v altenativních odhadech FRF.6.3 Fevenční lupa (zoom) Běžným řešením potřeby jemnějšího fevenčního ozlišení je "zaostření na detail" fevenčního ozsahu, teý nás zajímá a soustředění všech spetálních ča do úzého pásma mezi f min a f max (namísto mezi a f max jao dosud). Existují ůzné způsoby ja tohoto výsledu dosáhnout, ale asi nejlépe je fyziálně pochopitelný ten, teý používá poces fevenčního posunu spolu s řízeným aliasingovým zařízením. Předpoládejme, že signál x(t), teý budeme analyzovat, má spetum X(ω), teé je zobazeno na ob.. nahoře, a že se zajímáme o detailní (zoom) analýzu v oolí duhé a třetí špičy - mezi f a f. Když na signál apliujeme pásmový filt (ob.. dole) a povedeme DFT mezi a (f -f ), pa v důsledu aliasingového jevu popsaného v apitole.7 se fevenční složy mezi f a f objeví aliasovány v analyzovaném pásmu až f -f, s výhodou jemnějšího ozlišení. X(ω) f f f f Ob.. - Fevenční lupa ealizovaná pásmovým filtem Toto není jediná cesta, ja dosáhnout měření s fevenční lupou, ale slouží ilustaci pincipu. Ostatní metody jsou založeny na účinném posunutí fevenčního počátu speta

40 Dvouanálová analýza 4 pomocí vynásobení původního časového signálu funcí cos(ω t) a odfiltováním vyšší ze dvou tato zísaných slože. Předpoládejme napřílad, že analyzovaný signál je: x ( t) A sin( ωt) Jeho vynásobením cos(ω t) dostaneme: A ( t) A sin( ωt) cos( ωt) ( sin( ω ω) t + sin( ω + ω ) t) (.37) x a dyž potom odfiltujeme duhou složu, zůstane nám původní signál posunutý ve fevenčním ozsahu dolů o ω. Modifiovaný signál je potom analyzován v ozsahu až (ω -ω ), čímž zísáme měření původního signálu s fevenční lupou mezi ω a ω. U této metody jsou časové vzoy násobeny fatoem zvětšení lupy (, 4 atd.), doba měření je tedy násobem původní doby měření a vzoování se povádí pomaleji (taé, 4 atd.), což je dáno novým platným fevenčním ozsahem. Když používáme fevenční lupu měření FRF v úzém fevenčním pásmu, je důležité zajistit, aby vně fevenčního pásma, teé nás zajímá, bylo co nejméně vibační enegie. To znamená, že dyoliv je to možné, mělo by být buzení dodávané do stutuy omezeno na pásmo, ve teém bude povedena analýza. Tento poblém je blíže disutován v apitole Půměování V této apitole pojednáme o dalším ysu digitální spetální analýzy, teý se týá zvláštních požadavů na zpacování náhodných signálů (dosud jsme se zabývali deteministicými daty). Když analyzujeme náhodné vibační signály, nestačí jen vypočíst Fouieovu tansfomaci - přesně vzato, tato ani po náhodný poces neexistuje - a místo toho musíme zísat odhady spetálních hustot a oelačních funcí, teé se používají chaateistice tohoto typu signálu. I dyž jsou tyto vlastnosti vypočteny z Fouieovy tansfomace, je třeba vzít v úvahu další oolnosti týající se přesnosti a statisticé spolehlivosti a věnovat jim pozonost. Obecně lze říci, že je nutné povést poces půměování, teý zahne něoli jednotlivých časových záznamů neboli vzoů, než dostaneme výslede, teý může být s důvěou použit. Dvě hlavní oolnosti, teé učují počet požadovaných půměů jsou statisticá spolehlivost a odstanění náhodného šumu ze signálů. Existuje něoli možností, teé je možné si vybat při nastavování analyzátou do módu půměování. Analyzátoy běžně nabízejí tyto módy půměování: - džení špičy - používá se spíše ve vibační diagnostice při použití snímačů výchyly - exponenciální - pozdější vzoy mají větší váhu než dřívější vzoy - lineání - všechny vzoy mají stejnou váhu Při modálních zoušách se používá lineání půměování, a to buď bez přeytí nebo s přeytím. Chceme-li půměovat m vzoů, aždý o délce tvání T, znamená to při půměování bez přeytí celovou dobu měření m T (viz ob..3 nahoře). Výpočetní

41 Dvouanálová analýza 4 apacity modeních analyzátoů vša doáží DFT spočítat v extémně átém čase a to má za následe, že nová tansfomace může být vypočtena dříve, než se sejme nový ompletní vzoe dat. V tomto případě je nědy pohodlné povést duhou tansfomaci co nejdříve a použít přitom posledních N datových bodů, i dyž něteé z nich už mohly být použity v předchozí tansfomaci. Tento postup je znázoněn na ob..3 dole. Je jasné, že tato povedených půměů nemůže mít stejné statisticé vlastnosti jao zcela nezávislých vzoů. Nicméně, tento postup je účinnější, než dyž se aždý datový bod použije pouze jednou, což toto zpacování navíc poazuje tím, že vytváří hladší speta, než bychom dostali v případě, že by byl aždý datový vzoe použit pouze jednou. Je to dáno tím, že při použití Hanningova ona jsou vzoy na svém počátu a onci potlačeny nule a při půměování bez přeytí by byly části signálu nevyužity. půměování bez přeytí půměování s přeytím čas zpacování Ob..3 - Typy půměování

42 Dvouanálová analýza 4 Shnutí pojmů autospetum vzájemné spetum oheence dvouanálová analýza desiptoy systému - FRF, IRF přenosová funce šum Fouieova tansfomace Fouieovy oeficienty aliasing chyba úniem Hanningovo ono fevenční ozlišení fevenční lupa půměování Otázy. Ja je definováno autospetum?. Ja je definováno vzájemné spetum? 3. Jaý je ozdíl mezi jednostanným a oboustanným spetem? 4. Ve teém spetu se odpůměuje šum? 5. Ja je definována oheence? 6. Jaé jsou desiptoy systému v časové a fevenční oblasti? 7. Jaý je vztah mezi přenosovou funcí a fevenční odezvovou funcí? 8. Co je to spetum a ja ho zísáme? 9. Popište podstatu chyby typu aliasing. Ja jí lze předcházet?. Popište podstatu chyby úniem. Ja jí lze předcházet?. Co je to fevenční lupa?. Poč se povádí půměování? 3. Jaé typy půměování znáte?

43 Teoeticé zálady modální analýzy 43 3 TEORETICKÉ ZÁKLADY MODÁLNÍ ANALÝZY V této apitole se podobně seznámíte s teoeticými zálady modální analýzy. Odvodíme si fevenční odezvové funce po systém s jedním i více stupni volnosti. Budeme postupovat od jednoduššího příladu netlumeného systému přes složitější případ systému s popocionálním tlumením až po nejsložitější případ s obecným tlumením, přičemž budeme uvažovat dva modely tlumení - visózní a hysteézní. Poznáte modální paamety - vlastní fevence, modální tlumení a vlastní tvay, dozvíte se o otogonálních vlastnostech vlastních vetoů i o jejich nomování. Čas e studiu: hodin Cíl: Po postudování této apitoly budete umět Popsat systém s jedním i s více stupni volnosti Definovat ůzné modely tlumení Odvodit fevenční odezvové funce jednotlivých systémů Zobazit fevenční odezvové funce Nomovat vlastní tvay Výlad Složitá stutua může být považována za množství hmot, spojených pužinami a tlumícími pvy. Tlumící síly ve sutečné stutuře nemohou být ani zdalea odhadnuty s přesností sovnatelnou s pužnými a setvačnými silami a přesná matematicá simulace tlumících vlivů je nemožná. Přesto, aby bylo možné vzít disipativní (neonzevativní) síly ve stutuře v úvahu, je třeba přijmout nějaé předpolady o povaze tlumení ve stutuře ta, abychom dostali v paxi co nejlepší odhad tlumících sil. Mělo by to vést na jednoduchý matematicý tva, zvláště vhodný po lineání pohybové ovnice - tlumící síly jsou při hamonicém buzení ovněž hamonicé. Dva vhodné modely tlumení jsou: - visózní tlumení - tlumící účine úměný ychlosti b v γ - hysteézní tlumení - oeficient tlumiče nepřímo úměný fevenci F b v ω F b 3. Systém s jedním stupněm volnosti (SDOF) I dyž je pouze velmi málo paticých stutu, teé mohou být ealisticy modelovány systémem s jedním stupněm volnosti, vlastnosti taovéhoto systému jsou velmi důležité, potože vlastnosti složitějšího systému s více stupni volnosti (MDOF - Multi Degee

44 Teoeticé zálady modální analýzy 44 of Feedom) mohou být vždy vyjádřeny jao lineání supepozice mnoha SDOF (Single Degee of Feedom) chaateisti. V záladním modelu SDOF systému je f(t) obecná časově poměnná síla a x(t) je výchyla jao odezvová veličina. Fyziální model se sládá z hmotnosti m a pužiny a (v případě tlumeného systému) buď z visózního tlumiče b nebo z hysteézního tlumiče h. V této apitole popíšeme tři typy modelu systému: - netlumený - s visózním tlumením - s hysteézním (stutuním) tlumením m f(t) b x(t), v(t), a(t) 3.. Netlumený systém s volnosti Ob Systém s º volnosti (SDOF) Fyziální model netlumeného systému se sládá z hmoty m a pužiny. Po modální model předpoládáme vlastnosti systému bez vnější síly, tj. f(t) a po tento případ platí pohybová ovnice: ma + x (3.) po dosazení za a & x m & x + x (3.) Předpoládané řešení této ovnice je: x(t) iωt Xe (3.3) Po dosazení do pohybové ovnice vede požadavu, aby ω m (3.4) Modální model se tedy sládá z jediného řešení (módu vibací) s vlastní fevencí danou vztahem Ω (3.5) m Po fevenční odezvovou analýzu uvažujeme buzení ve tvau f (t) iωt Fe (3.6) a předpoládáme řešení ve tvau x(t) iωt Xe (3.7) de X a F jsou omplexní, aby mohly zahnout ja amplitudu, ta fázi. Nyní má pohybová ovnice tva

45 Teoeticé zálady modální analýzy 45 ( i t iωt ω m)xe ω Fe (3.8) ze teého dostaneme požadovaný odezvový model ve fomě fevenční odezvové funce eceptance: X F α( ω) (3.9) ω m Tato funce, stejně jao ostatní fomy FRF, je nezávislá na buzení. 3.. Systém s volnosti s visózním tlumením 3... Volné mitání Když přidáme visózní tlumič b, změní se pohybová ovnice volného mitání na tva m a + b v + x (3.) m x& + b x& + x (3.) Předpoládáme řešení v obecnějším tvau (s je omplexní, ne imaginání jao u netlumeného systému): st st x ( t) Xe Potom deivace: x &( t) Xse st ( t) Xs e & x Po dosazení do pohybové ovnice dostaneme chaateisticou ovnici: ms + bs + (3.) Řešení chaateisticé ovnice: s s s, b ± b 4m (3.3) m, b b ± (3.4) m m m, δ ± i Ω δ δ ± iω ζ (3.5) s, δ ± iω (3.6) Kde: Ω vlastní netlumená fevence m b δ onstanta doznívání (3.7) m δ b b ζ... poměný útlum (3.8) Ω m b

46 Teoeticé zálady modální analýzy 46 Ω Ω δ Ω ζ... vlastní tlumená fevence (3.9) Kořeny chaateisticé ovnice závisí na hodnotě poměného útlumu ζ. Po tzv. ladné tlumení (ζ ) mohou nastat 3 případy, a tedy i 3 ůzné duhy pohybu (viz ob.3.): - ζ netlumené mitání s a s jsou imaginání čísla - ζ < tlumené mitání s a s jsou omplexně sdužená čísla (viz ob. 3.3) - ζ apeiodicý pohyb s a s jsou eálná čísla (po ζ: s s -δ) Poud je eálná část ořenu chaateisticé ovnice ladná (tzn. ζ < ), jde o tzv. záponé tlumení a dochází samobuzenému mitání (viz ob. 3.3 vpavo). Ob Poloha pólů v závislosti na hodnotě poměného útlumu e ( δ + iω )t ůzné hodnoty fevence +iω e ( +δ + iω )t i e + Ω t e ( +δ + iω )t e ( +δ + iω )t e ( δ + iω )t e ( δ + iω )t i e + Ω t e ( +δ + iω )t e ( +δ + iω )t e δ t t e δ t e e + δ t e + δ t δ ůzné hodnoty tlumení Ob Odezva systému v závislosti na hodnotě vlastní fevence a tlumení

47 Teoeticé zálady modální analýzy 47 iω p -δ + iω Ω... netlumená vlastní fevence Ω... tlumená vlastní fevence ϑ δ δ... onstanta doznívání p* -δ - iω δ ζ cos ϑ... poměný útlum Ω Ob Komplexně sdužené ořeny chaateisticé ovnice v Laplaceově ovině 3... Vynucené mitání Je-li pohyb způsoben působením hamonicé síly, má pohybová ovnice systému s visózním tlumením tva: ( t) + bx& ( t) + x( t) f (t) m & x (3.) iωt de f ( t) Fe x x& & x hamonicá budící síla iωt ( t) Xe předpoládané řešení a jeho deivace: iωt ( t) iωxe t ( t) Xe i ω ω Po vydělení ovnice (3.) hmotností a dosazení vztahů (3.5) a (3.7) a předpoládaného řešení do pohybové ovnice dostaneme: F ω X + iω ζω X + Ω X Ω (3.) Odtud je omplexní amplituda výchyly: X Ω F X st Ω ω + iζωω F staticá výchyla F ω X η ω ω Ω + iζ Ω Ω činitel naladění

48 Teoeticé zálady modální analýzy 48 X X st (3.) η + iζη X X... veliost omplexní amplitudy (3.3) st ( η ) + ( ζη) Nyní povedeme odvození ustáleného řešení pohybové ovnice: F X omplexní amplituda výchyly η + iζη x(t) + iζη F iωt iωt Xe e časový půběh výchyly η Je vidět, že výchyla je přímo úměná působící síle, přičemž onstanta úměnosti je: H( η) (3.4) η + iζη což je tzv. fevenční odezvová funce eceptance (v bezozměném tvau). Jeliož je výchyla omplexní číslo, můžeme ji ozdělit na eálnou a imaginání složu (tím, že vynásobíme čitatel i jmenovatel omplexním doplňem jmenovatele: x ( t) η ζη iωt i e (3.5) ( η ) + ( ζη) ( η ) + ( ζη) Je vidět, že výchyla má jednu složu Re ( x) η iωt e (3.6) ( η ) + ( ζη) teá je ve fázi s budící silou a duhou složu ( ) Im x ζη ( η ) + ( ζη) F F iωt e (3.7) teá se o 9 opožďuje za budící silou. Na obázu (3.5) znázoňují vetoy OA a OB eálnou a imaginání složu výchyly. Veto OC představuje amplitudu výchyly danou výazem Re ( x) Im ( x) x ( t) +, tedy: iωt e (3.8) ( η ) + ( ζη) F F Výchyla se opožďuje za budící silou o úhel θ, daný vztahem: ζη θ actg (3.9) η

49 Teoeticé zálady modální analýzy 49 Ustálené řešení pohybové ovnice lze tedy psát ve tvau: ( ) F i( ωt θ) x t e (3.3) ( ) ( ) η + ζη Výaz v hanatých závoách je absolutní hodnota omplexní fevenční odezvy. Říá se mu taé fato zesílení a má význam bezozměného poměu mezi amplitudou výchyly X a staticou výchylou F/. H η (3.3) ( ) ( η ) + ( ζη) Im(x) O θ Re ( x) Fe iωt A Re(x) η ( η ) + ( ζη) F e iωt ( ) Im x ζη ( η ) + ( ξη) F e iωt x ( t) ( η ) + ( ξη) F e iωt B Ob Vztah mezi omplexní výchylou a budící silou C

50 Teoeticé zálady modální analýzy 5 Im (H(η)) ζ Re (H(η)) η η ( η) η + iζη H Ob. 3.6 Postoový gaf fevenční odezvové funce Fevenční odezvová funce dle vztahu (3.4) je omplexní a současně je to funce fevence (esp. činitele naladění). Znamená to, že ji nelze zobazit v jednom dvouozměném gafu. Její postoové znázonění je na ob Čevená řiva platí po tlumený systém, zelená po netlumený systém (v tomto případě leží celá řiva v ovině dané osami η a Re(H(η)). Pojece této postoové řivy do jednotlivých ovin je uvedena na ob. 3.7 vlevo a představuje dva z možných způsobů zobazení FRF - současné zobazení závislosti eálné a imaginání složy FRF na fevenci, esp. na činiteli naladění (vlevo nahoře), nebo tzv. Nyquistův diagam, teý je zaeslen v ovině [Re(H(η));Im(H(η))] - vlevo dole. V Nyquistově gafu je infomace o fevenci syta - gaf je vyeslen od počáteční po oncovou fevenci ve směu hodinových učiče, přičemž největší část užnice znázoňuje oblast olem ezonance (podobněji viz ap ). Různé bavy řive jsou po ůzné úovně tlumení - od zelené po netlumený systém po fialovou s iticým tlumením (ζ).

51 Teoeticé zálady modální analýzy Re (H(η)) 6 6 (H(η)) ReH( η, ξ ) ReH( η, ξ ) ReH( η, ξ3 ) eálná složa magh( η, ξ ) magh( η, ξ ) η magh( η, ξ3 ) amplituda ReH( η, ξ4 ) ReH( η, ξ5 ) magh( η, ξ4 ) magh( η, ξ5 ) 3 ImH( η, ξ ) ImH( η, ξ ) ImH( η, ξ3 ) ImH( η, ξ4 ) ImH( η, ξ5 ) η Im (H(η)) imaginání složa η (H(η)) η Bodeho gaf η η fáze η Re (H(η)) ImH( η, ξ ) ImH( η, ξ3 ) ImH( η, ξ4 ) ImH( η, ξ5 ) 3 4 Nyquistův gaf Im (H(η)) ReH( η, ξ ), ReH( η, ξ3 ), ReH( η, ξ4 ), ReH( η, ξ5 ) Ob Různé způsoby zobazení FRF - systém s visózním tlumením Velmi častým způsobem zobazení FRF je tzv. Bodeho gaf, což je současné znázonění amplitudy FRF a její fáze, obojí v závislosti na fevenci (činiteli naladění) - viz ob. 3.7 vpavo.

52 Teoeticé zálady modální analýzy Učení ezonančního naladění Rezonanci můžeme definovat jao stav, dy amplituda FRF je maximální. Z gafu závislosti amplitudy FRF na činiteli naladění je vidět, že ezonanční vchol je po netlumený systém při η a se vzůstajícím tlumením v systému se posouvá směem doleva. Po učení ezonančního činitele naladění stačí deivovat vztah (3.3) podle činitele naladění a tuto deivaci položit ovnu nule. H ( η ) ( η) dh dη ( η ) + ( ζη) η es ζ (3.3) Potom ezonanční budící fevence je: ω es Ω ζ (3.33) Amplituda FRF v ezonanci a výchyla v ezonanci jsou: H( ω es ) (3.34) ζ ζ X es X st (3.35) ζ ζ Po malé tlumení (ζ <.5) jsou řivy téměř symeticé podle svislé osy pocházející η. Špičová hodnota H(ω) je v bezpostřední blízosti η dána vztahem H( ω es ) & Q Q fato vality (3.36) ζ Učování tlumení z gafů fevenční odezvové funce a) Učení tlumení z gafu závislosti eálné složy H(η) na η Následujícím postupem odvodíme, po jaé naladění η a η a jim odpovídající budící fevence ω a ω se vysytují loální extémy ve funční závislosti eálné složy FRF na fevenci. Tyto hodnoty fevencí se dají z gafu jednoduše odečíst a pomocí nich lze vyjádřit poměný útlum ζ. ( η) η + iζη H H ( η ) η ζη + ( ) ( ) ( ) ( ) i η + ζη η + ζη

53 Teoeticé zálady modální analýzy 53 ReH ( η ) d ReH dη ( η) η ( η ) + ( ζη)... η ζ η + ζ ω Ω ζ (3.37) ω Ω + ζ (3.38) ω ω + ζ ζ Re (H(ω)) ω ω ω ω ω ω + ζ ζ ( ζ) + ζ ω ω ζ ζ ω ω Ω Ob Učování tlumení z Re (H(ω)) ω ω ω ζ (3.39) ω + ω b) Učení tlumení pomocí bodů s polovičním výonem Body s polovičním výonem (half-powe points) jsou body na gafu amplitudy funce H(ω), ve teých amplituda polesne na hodnotu H es, tedy na špičové hodnoty. Ve výonovém (powe) spetu by to byla / špičové hodnoty - odtud název half-powe points. Je-li gaf H(ω) zobazen v logaitmicých souřadnicích, jsou tyto body tam, de špičová amplituda polesne o 3dB: H H es halfpowe halfpowe log H es log H log 3

54 Teoeticé zálady modální analýzy 54 H es H halfpowe 3dB Označíme-li tyto body P a P a jim příslušné fevence ω a ω, pa ozdíl ve fevencích ω -ω se nazývá 3dB pásmo systému. Po malé tlumení platí: ω 3dB ω ω ζ Ω de ω 3dB je 3dB pásmo. Dále dostaneme: ω ω Ω ζ (3.4) Nyní doážeme, že fevence ω a ω jsou po malé tlumení ovny fevencím, teé jsme zísali v předešlém odstavci při hledání extémů v gafu eálné složy FRF. Budeme předpoládat, že tomu ta je a do vztahu (3.4) dosadíme vztahy (3.37) a (3.38): ω ω Ω ζ Ω + ζ Ω ζ Ω ζ ( + ζ) ( ζ) + ζ 4 + ζ ζ log (H(ω)) P P 3 db 4ζ 4ζ δ 4ζ ζ Po malé tlumení (ζ <,5) platí tedy : & Ob Učování tlumení z 3dB pásma Po učování tlumení u málo tlumených systémů lze tedy s výhodou použít i při odečítání z gafu eálné složy FRF zjednodušený vztah (3.4). Aby byl tento vztah platný, musí taé platit: ω ω δ (3.4) Jeliož gaf amplitudy FRF je v oolí ezonance symeticý, platí dále: ω Ω δ (3.4) ω Ω + δ (3.43) ω Ω ω ω 3..3 Systém s volnosti s hysteézním (stutuním) tlumením Vynucené mitání Sledování chování sutečných stutu naznačilo, že model s visózním tlumičem, poud se použije na systémy s více stupni volnosti, neodpovídá zcela sutečnosti. Reálné stutuy vyazují fevenční závislost, teá není standadním visózním tlumičem popsána. Je zapotřebí tlumič, jehož tlumící účine je nepřímo úměný fevenci, tj.:

55 Teoeticé zálady modální analýzy 55 de h γ b (3.44) ω ω γ je ztátový fato stutuního tlumení Pozn.: V liteatuře se ztátový fato stutuního tlumení označuje znaem η, zde ale použijeme zna γ, aby nedošlo záměně s činitelem naladění. Tento hysteézní model umožňuje jednodušší analýzu systémů s více stupni volnosti, ale naopa je obtížné přesné řešení volného mitání. Poto povedeme pouze řešení vynuceného mitání. Pohybová ovnice systému má tva: h m & x ( t) + x& ( t) + x( t) f ( t) (3.45) ω iωt de f ( t) Fe x x& & x hamonicá budící síla iωt ( t) Xe předpoládané řešení a jeho deivace: iωt ( t) iωxe t ( t) Xe i ω ω Po dosazení vztahu (3.44) a předpoládaného řešení do pohybové ovnice (3.45) dostaneme: γ mω X + iω X + X F (3.46) ω ( mω + iγ + ) X F Po vydělení tuhostí a dosazení vztahu (3.5): ω Ω + iγ X F Potom omplexní amplituda výchyly: F X η + iγ (3.47) X η + iγ st X st X X veliost omplexní amplitudy (3.48) ( η ) + γ

56 Teoeticé zálady modální analýzy Re (H(η)) 6 6 (H(η)) ReH( η, γ) ReH( η, γ) ReH( η, γ3) eálná složa magh( η, γ) magh( η, γ) η magh( η, γ3) amplituda ReH( η, γ4) ReH( η, γ5) magh( η, γ4) magh( η, γ5) 3 ImH( η, γ) ImH( η, γ) ImH( η, γ3) ImH( η, γ4) ImH( η, γ5) Im (H(η)) η η imaginání složa η Re (H(η)) η (Hη)) Bodeho gaf fáze η 3 η ImH( η, γ3) ImH( η, γ4) ImH( η, γ5) 3 ImH( η, γ) 4 Nyquistův gaf Im (H(η)) 3 ReH( η, γ3), ReH( η, γ4), ReH( η, γ5), ReH( η, γ) 3 Ob Různé způsoby zobazení FRF - systém s hysteézním tlumením

57 Teoeticé zálady modální analýzy 57 Další postup je analogicý postupu z apitoly 3... po systém s visózním tlumením. x x x F časový půběh výchyly (3.49) η + iγ iωt iωt ( t) Xe e ( t) ( t) η ( η ) + γ ( η ) ( η ) F γ + γ F i e iωt iωt e (3.5) + γ γ θ actg fázové zpoždění výchyly za budící silou (3.5) η ( ω θ) ( ) F i t x t e (3.5) ( ) η + γ Výaz v hanatých závoách je opět absolutní hodnota fevenční odezvy, tedy fato zesílení a má opět význam bezozměného poměu mezi amplitudou výchyly X a staticou výchylou F/. H η (3.53) ( ) ( η ) + γ Na ob.3. jsou opět uvedeny ůzné způsoby zobazení FRF se stejnou míou tlumení, jao tomu bylo na ob.3.7. U systému s hysteézním tlumením se ezonanční vchol v gafu amplitudy FRF s naůstajícím tlumením neposouvá doleva, ale zůstává stále na naladění η. Naopa při vzůstajícím tlumení gaf nezačíná na hodnotě amplitudy odpovídající staticé výchylce, ale na hodnotě menší. Podobné ozdíly jsou patné při všech způsobech zobazení Učování tlumení z gafů fevenční odezvové funce Stejným postupem jao v apitole učíme tlumení z gafu závislosti eálné složy H(η) na činiteli naladění η. ( η) η + iγ H Re (H(ω)) H ( η) ReH ( η ) η ( η ) + γ ( η ) η ( η ) + γ γ + γ i ω Ω ω ω

58 Teoeticé zálady modální analýzy 58 Učení ω a ω : d Re H dη ( η) η γ η + γ ω Ω γ (3.54) ω Ω + γ (3.55) Stejným postupem jao u systému s visózním tlumením dostaneme: ω ω γ (3.56) ω ω + Po malé tlumení platí přibližně: ζ γ (3.57) 3..4 Různé fomy FRF po systém s volnosti Po všechny tři typy systémů - netlumený, s visózním a hysteézním tlumením - jsme odvodili fevenční odezvovou funci ve fomě eceptance, tedy s odezvovým paametem výchylou. Při modálních zoušách vša většinou měříme odezvu aceleometem, taže se setáváme častěji s FRF ve fomě inetance, tedy s odezvovým paametem zychlením. V apitole.3 byly pobány vztahy mezi jednotlivými fomami FRF a fat, že ve fevenční oblasti dostaneme fomy FRF odvozené z eceptance pouhým násobením iω, viz vztahy.6 a.7. Na gafech závislosti amplitudy FRF na fevenci se dá poznat, o teou fomu FRF jde, pouze při zobazení v logaitmicých souřadnicích (viz ob.3.8). V ostatních gafech je patný vždy posun o 9, taže např. Nyquistův gaf je u FRF pohyblivosti v pavé poloovině a u FRF inetance v honí poloovině atp. Všechny detaily v tomto textu nebudeme ozebíat.

59 Teoeticé zálady modální analýzy eceptance 4 α(f) [g - s - ] magα( f)... log g. s. magα( f) α(f) [db] f f [Hz].. f f [Hz] pohyblivost Y(f) [g - s - ] magy( f).5. log g. s. magy( f) Y(f) [db] f f [Hz] 8 inetance f f [Hz] A(f) [g - ] maga( f) A(f) [db]. log( g. maga( f) ) f [Hz]. f f f [Hz] Ob Různé způsoby FRF podle odezvového paametu 3..5 Geometicé vlastnosti Nyquistova gafu Velmi výhodným způsobem zobazení fevenční odezvové funce po účel zísání modálních paametů je Nyquistův gaf, potože podobně vyesluje oblast olem ezonance za současného potlačení mimoezonančních oblastí. Nyquistův diagam vypadá po všechny typy FRF přibližně jao užnice. Přesnou užnici vša vyeslí jen ve dvou případech: - pohyblivost systému s visózním tlumením - eceptance systému s hysteézním tlumením

60 Teoeticé zálady modální analýzy 6 To je třeba vzít v úvahu při extaci modálních paametů z naměřených dat (u metody apoximace užnicí, cicle-fit) Pohyblivost systému s visózním tlumením Pohyblivost systému s visózním tlumením má tva: Y( ω ) iωα( ω) iω ω m + iωb ω b + iω( ω m) ( ω m) + ( ωb) Vyjádříme zvlášť eálnou a imaginání složu a zavedeme substituci U a V: Re( Y) ω b ( ω m) + ( ωb) ω( ω m) ( ω m) + ( ωb) Im( Y) U Re( Y) V (Im(Y)) b Pa lze odvodit, že: U + V (( ω m) + ( ωb) ) 4b (( ω m) + ( ωb) ) b Z toho je zřejmé, že gaf Re(Y(ω)) vs. Im(Y(ω)) po ω ; ) vytvoří užnici o poloměu se středem v bodě b ; b (viz ob. 3. vlevo). Im Im Re Re b γ pohyblivost, visózní tlumení eceptance, hysteézní tlumení Ob Geometicé vlastnosti Nyguistova gafu Receptance systému s hysteézním tlumením Stejným způsobem jao v předchozím odstavci je možné odvodit ovnici užnice po eceptanci systému s hysteézním tlumením: α ( ω) ω m + iγ ( ω m) iγ ( ω m) + ( γ)

61 Teoeticé zálady modální analýzy 6 Vyjádříme opět zvlášť eálnou a imaginání složu a zavedeme substituci U a V: Re( ω m ( ω m) + ( γ) γ ( ω m) α ) Im( Y) U Re(α) V Im( α) + γ Lze odvodit, že: + γ U + V γ Z toho je zřejmé, že gaf Re(α(ω)) vs. Im(α(ω)) po ω ; ) vytvoří užnici o poloměu se středem v bodě γ ; (viz ob. 3. vpavo). γ 3..6 Odvození ezidua V apitole.4. byl uveden výaz, teý definuje eziduum. Nyní uvedeme postup, teý tomuto výazu vede. Vyjdeme z výazu po přenosovou funci (ovnice.5): X( s) ( s) F( s) ms H + bs + / m ( s p)( s p*) * R R + s p s p * Vyjádříme R a s jao omplexní čísla a póly dle ovnice.6 a dosadíme do (.5): R A + Bi s a + bi p -δ + iω R* A - Bi p* -δ - iω Dostaneme: / m ( s p)( s p*) * R R + s p s p * Povedeme další úpavy: m m R * ( s p *) + R ( s p) ( A + Bi) [ a + bi ( δ iω) ] + ( A Bi) [ a + bi ( δ + Ω) ] i m Aa + Abi + Aδ BΩ Poovnáme eálné části a imaginání části: Re: m Aa + Aδ BΩ Im: Ab

62 Teoeticé zálady modální analýzy 6 Z tato zísané soustavy dvou ovnic vyjádříme neznámé A a B: A ; B mω Dosadíme zpět do (R A + Bi) a dostaneme: R i nebo mω Veliost ezidua pa je: R mω * R ; R i mωi mω 3. Systém s více stupni volnosti (MDOF) Sutečné stutuy mají mnoho stupňů volnosti a po jejich analýzu je zapotřebí mnoho ovnic. Poto je po popis systému s více stupni volnosti ideální maticový zápis, teý umožňuje množství ovnic zapsat jedinou maticovou ovnicí. 3.. Netlumený systém s více stupni volnosti Po netlumený MDOF systém s N stupni volnosti má vlastní pohybová ovnice v maticové fomě tva: [ M ]{ x(t) & } + [ K]{ x(t) } { f (t)} & (3.58) de [ M ] a [ K ] jsou matice hmotnosti a tuhosti řádu NxN a { x (t)} a { (t)} časově poměnných výchyle a sil řádu N. f jsou vetoy 3... Volné mitání Abychom učili modální vlastnosti systému, budeme nejdříve uvažovat řešení volného mitání tím, že položíme { f (t)} { } V tomto případě můžeme předpoládat řešení ve tvau { } { } i ω x(t) X e t { } { } e i ω & x ω X t de { X } je veto N časově nezávislých amplitud. To předpoládá, že celý systém je schopen mitat na jediné fevenci ω. Dosazením homogenního řešení do pohybové ovnice dostaneme: ([ K] ω [ M] ){ X} { } (3.59)

63 Teoeticé zálady modální analýzy 63 Jediné netiviální řešení je: det Zavedeme Potom: [ K] ω [ M] (3.6) ω λ (3.6) [ K] λ[ M] det chaateisticá ovnice systému Chaateisticá ovnice může být ozepsána do tvau: N d N λ N N + d λ d (3.6) Řešením této chaateisticé ovnice je možné zjistit N hodnot λ i, což jsou tzv. vlastní čísla, a netlumené vlastní fevence se z nich zísají jao: i λ i Ω (3.63) Dosazením teéoliv z nich zpět do ovnice (3.59) zísáme odpovídající množinu elativních Ψ, ta zvaný vlastní tva odpovídající příslušné vlastní fevenci. hodnot { X }, tj. { } Úplné řešení může být vyjádřeno dvěmi maticemi NxN: [ ] Ω... spetální matice (matice vlastních čísel) - diagonální Ψ... matice vlastních tvaů (modální matice), má tva [{ Ψ } { Ψ}... { Ψ} { Ψ} ]... N de Ω je -té vlastní číslo, neboli vadát vlastní fevence, a { } Ψ je -tý vlastní veto, teý popisuje příslušný vlastní tva. Existují ůzné postupy, teé z fyziálního modelu popsaného maticemi [ M ] a [ K ] Ω a [ Ψ ]. vytvoří modální model epezentovaný maticemi [ ] Spetální matice je jedinečná, ale matice vlastních tvaů není. Zatímco vlastní fevence jsou neměnné hodnoty, vlastní tvay podléhají neučitelnému měřítovému fatou, teý neovlivní tva módu vibací, pouze jeho amplitudu. Vlastní tva je tedy definován jao pomě mezi amplitudami mitání v jednotlivých bodech stutuy, poud je stutua buzena na své vlastní fevenci. Tedy, veto vlastních tvaů znázoňuje přesně stejný mód vibací jao Tím, co učuje, v jaém jsou vlastní vetoy měřítu, neboli ja jsou nomalizovány, jsou z velé části numeicé postupy, teé následují za řešením vlastních čísel atd.

64 64 Teoeticé zálady modální analýzy Sutečné amplitudy mitání závisejí na počátečních podmínách a na působištích a amplitudách budících sil. Postup při učování vlastních čísel a vlastních vetoů přiblížíme na příladě netlumeného systému se dvěma stupni volnosti (viz ob. 3.3).. Ob Systém se volnosti Pohybové ovnice tohoto systému mají tva: ( ) f x x x m + + & & (3.64) ( ) 3 f x x x m + + & & (3.65) což lze maticově zapsat: f f x x x x m m && && (3.66) Zvolíme hodnoty: m 5 g m g N/m 3 4 N/m Dosazením do ovnice (3.66) po volné mitání (tj. f a f ) dostaneme: + x x 6 4 x x 5 && && λ X X X X λ λ λ λ ( )( ) ( )( ) λ λ 7 5 λ + λ λ,4 s - Ω 4, s - λ s - Ω s - m m 3 f (t) f (t) x (t) x (t)

65 Teoeticé zálady modální analýzy 65 Zpětným dosazením dostaneme: 4 5,4 X Po Ω : 6,4 X X X X + X... Stačí dosadit do jedné z těchto ovnic. X X Vlastní tva po Ω je tedy { Ψ} 4 5 X Po Ω : 6 X X X X X Vlastní tva po Ω je tedy { Ψ} Celé řešení je tedy dáno maticemi:,4 [ Ω ] / [ Ψ] / Vlastní tvay jsou zobazeny na obázu 3.4. Je vidět, že hmoty se pohybují navzájem buď ve fázi nebo v potifázi. Jeliož dosahují maximálních výchyle současně, jsou uzlové body (body, teé jsou nehybné) jasně definovány. x Ω,4 s x x Ω s uzlový bod x Ob Znázonění vlastních tvaů systému se volnosti

66 Teoeticé zálady modální analýzy Otogonální vlastnosti vlastních vetoů Řešením ovnice ([ K ] λ[ M] ){ X} { } jsme tedy dostali N vlastních čísel a jim odpovídajících vlastních vetoů. Po jednotlivý -tý mód platí: [ K]{ } λ [ M]{ Ψ} Ψ (3.67) Po vynásobení jiným (s-tým) tansponovaným vlastním vetoem: T T { } s [ K]{ Ψ} λ { Ψ} s [ M]{ Ψ} Ψ (3.68) Podobně po jiný mód s platí (po vynásobení tansponovaným -tým vlastním vetoem) : T T { } [ K]{ Ψ} s λs{ Ψ} [ M]{ Ψ} s Ψ (3.69) Potože [M] a [K] jsou symeticé matice, platí: T T { } [ K]{ Ψ} s { Ψ} s [ K]{ Ψ} Ψ a T T { Ψ } [ M]{ Ψ} s { Ψ} s [ M]{ Ψ} Potom po odečtení ovnic (3.68) a (3.69) dostaneme: T ( λ λs ){ Ψ} s [ M]{ } Ψ (3.7) Je zřejmé, že po λ λ s (dvě ůzné vlastní fevence) platí T { } [ M]{ Ψ} Ψ a tedy i (3.7) s T { } [ K]{ Ψ} Ψ (3.7) s Rovnice (3.7) a (3.7) definují otogonální vlastnosti vlastních tvaů vzhledem maticím hmotnosti a tuhosti. V případě, že λ λ s, platí: Taže: T T { Ψ } [ K]{ Ψ} s λ { Ψ} [ M]{ Ψ} s T { } [ K ]{ Ψ} s K Ψ... zobecněná (modální) tuhost módu (3.73) T { } [ M ]{ Ψ} s M Ψ... zobecněná (modální) hmotnost módu (3.74) K λ Ω (3.75) M V maticovém tvau: T { } [ K ]{ Ψ} [ K ] Ψ (3.76) T { } [ M ]{ Ψ} [ M ] Ψ (3.77)

67 Teoeticé zálady modální analýzy 67 [ Ω ] [ M ] [ ] K (3.78) Vlastní tvay vypočtené v předchozím příladě použijeme učení zobecněných hmotností a tuhostí obou módů: 5 / M / M M M 5g 7,5g Potom K K Ω Ω M M,4 5 7,5 6 N / m 7,5 N / m Nomování vlastních tvaů Jeliož matice vlastních tvaů je v libovolném měřítu, nejsou hodnoty M a K jednoznačné a není adno se odazovat na učitou zobecněnou hmotnost a tuhost jednotlivého módu. Tento poblém se odstaní tzv. nomováním vlastních tvaů. Něteé z možných způsobů nomování jsou: - nomování podle matice hmot (na jednotovou hmotnost) - největší pve v aždém vlastním vetou je oven - veliost vlastního vetou je ovna Nomování na jednotovou hmotnost Jde o nejběžnější způsob nomování. Vlastní vetoy nomované na jednotovou hmotnost se značí Φ a mají tu zvláštní vlastnost, že T [ ] [ M] [ Φ] [ I] Φ (3.79) T [ ] [ K] [ Φ] [ Ω ] Φ (3.8) Vztah mezi vlastním tvaem { Φ } po -tý mód, nomovaným na jednotovou hmotnost, a jeho obecnější fomou { Ψ } je jednoduchý: neboli Φ (3.8) M { } { Ψ} [ ] [ Ψ] [ M ] Φ (3.8)

68 Teoeticé zálady modální analýzy 68 Nomovaný tva odvodíme ta, že pvy vlastních vetoů nomovaných na jednotovou hmotnost označíme u i a dosadíme do vztahu (3.77): T { Ψ } [ m ] { Ψ} { Ψ} M X X T { Φ } [ ] { Φ} m 5 u u { u u } u u { 5u u } 5u + u u 5 u /5 { Φ} Totéž lze zísat dosazením modální hmotnosti do vztahu (3.8): /5 /5 { Φ} { Ψ} M 5 /5 /5 { Φ} { Ψ} M 5 / /5 / Odezvová analýza systému s více stupni volnosti Budeme předpoládat, že stutua je buzena sinusovým buzením množinou sil majících stejnou fevenci, ale ůzné amplitudy a fáze. Pa : { } { } i ω f (t) F e t a ta jao předtím budeme předpoládat řešení ve tvau: { } { } i ω x(t) X e t de {f} a {x} jsou vetoy řádu N časově nezávislých omplexních amplitud. Pohybová ovnice netlumeného systému pa bude mít tva: ([ ] [ ]) { } i t { } e i ω K ω M X e ω F t (3.83) nebo, po vyjádření neznámých odezev: ( ) { F} { X} [ K] ω [ M] (3.84)

69 Teoeticé zálady modální analýzy 69 což může být zapsáno jao { X} [ α( ω) ] { F} (3.85) de α( ω) je matice eceptance systému řádu N N a vytváří jeho odezvový model. Obecný pve této FRF matice, α j (ω), je definován následovně: X j α j ( ω) ; Fm ; m... N ; m F a jao taový představuje vztah po jednotlivou eceptanci velmi podobnou té, jež byla dříve definována po systém s volnosti. Je zřejmé, že hodnoty pvů matice α( ω) po libovolnou fevenci, teá nás zajímá, můžeme učit jednoduše dosazením příslušných hodnot do ( ) [ ( ω) ] [ K] ω [ M] α (3.86) To vša vyžaduje invetovat systémovou matici po aždou fevenci, což má něoli nevýhod, zejména: - po systémy s mnoha stupni volnosti se stává pacným - je neefetivní, poud nás zajímá jen něoli málo FRF - neposytuje žádnou představu o fomě ůzných vlastností FRF Z těchto i z jiných důvodů se používá jiný způsob odvození jednotlivých FRF paametů, teý využívá modálních vlastností systému. Vyjdeme z invetovaného vztahu (3.86): ([ ] [ ]) [ ) K ω M α( ω ] Vynásobením obou stan zleva Φ T a zpava Φ dostaneme odud T ( ) [ Φ] [ Φ] [ α( ω) ] [ Φ] T [( Ω ω )] [ Φ] [ α( ω ] [ Φ] T [ Φ] [ K ] ω [ M] ) [ α( ω) ] [ Φ] [( Ω ω )] [ Φ] T (3.87) Z této ovnice je zřejmé, že matice eceptance α( ω) je symeticá, což představuje pincip ecipocity, teý se týá mnoha stutuálních chaateisti. Jeho použití v této situaci je následující : X X j α j α j (3.88) F Fj Předchozí ovnice nám dovoluje vypočíst teýoliv pve FRF α následujícího vztahu : j( ω) použitím

70 Teoeticé zálady modální analýzy 7 α j N ( Φ ) ( Φ ) N j ( Ψj ) ( Ψ ) ( ω) (3.89) ) Ω ω m ( Ω ω neboli α j ( ω) A N j Ω ω A... modální onstanta, eziduum (3.9) j Na příladu uážeme, že stejnou funci α lze zísat oběma způsoby (přímou invezí a ze vztahu 3.89). Pohybové ovnice netlumeného vynuceného mitání systému dle ob.3.3 jsou: což dává: ( + ω m ) X + ( ) X F ( ) X + ( + 3 ω m ) X F X F F α ( ω) ω 4 m m ω ( m + m + m + m ) + ( + + ) ω m 3 3 číselně (po m 5 g, m g, N/m, 3 4 N/m): X F F α 6 ω 7ω + 5ω ( ω) 4 Nyní použijeme součtový modální vzoec spolu s výsledy zísanými dříve a dostaneme : α ( ω) Ω ( Φ ) ( Φ ) ω + Ω ω číselně (po Ω.4 s -, Ω s -, Φ / 5, Φ / 5 ): α což je tentýž výaz. /5.4 ω /5 ω 6 ω 7ω + 5ω ( ω) Chaateistiy a znázonění FRF dat s více stupni volnosti Ta jao u systému s jedním stupněm volnosti jsou zde tři hlavní altenativy s použitím výchyly, ychlosti nebo zychlení jao odezvy, čímž dostaneme buď eceptanci, pohyblivost nebo inetanci (aceleanci). Tyto tři fomy FRF jsou v přesně stejném vzájemném vztahu, ja bylo popsáno dříve, taže můžeme psát : [ ( ω) ] iω[ α( ω) ] Y (3.9) [ ( ω) ] iω[ Y( ω) ] ω [ α( ω) ] A (3.9)

71 Teoeticé zálady modální analýzy 7 Podle místa a směu buzení a odezvy ozlišujeme 4 typy FRF: - bodová - souřadnice odezvy a buzení jsou totožné (např. bod č.) přímá - smě buzení a odezvy jsou totožné (např. X) řížová (vzájemná) - směy buzení a odezvy jsou ůzné (např. buzení ve směu X, odezva ve směu Z) - přenosová - souřadnice odezvy a buzení jsou ůzné přímá (např. buzení v X, odezva ve 4X) řížová (vzájemná) (např. buzení v X, odezva ve 4Z) Bude vhodné podisutovat fomy, teých FRF data nabývají při zobazení v ůzných gaficých fomátech. Tyto znalosti jsou nutné při posuzování platnosti a intepetaci naměřených dat. Začneme s nejjednodušším případem netlumeného systému, po teý je vztah po N ( Φ j) ( Φ ) eceptanci dán ovnicí (3.89): α j ( ω) Ω ω Když použijeme typ log-log gafu, můžeme naeslit jednotlivé členy řady jao oddělené řivy. Výsledná FRF řiva je součet všech jednotlivých řive. Odvodit přesný tva výsledné řivy vša není ta úplně jednoduché, potože část infomace (fáze) není zobazena. Ve sutečnosti má v něteých úsecích aždé řivy eceptance ladné znaméno a v jiných záponé, ale na logaitmicé řivce to nelze nija ozeznat, potože zobazuje pouze modul. Když vša děláme součet jednotlivých slože, abychom učili úplný výaz po eceptanci, jsou znaména jednotlivých členů značně důležitá. Pobeeme něteé z důležitých ysů a použijeme jednoduchý přílad se dvěma stupni volnosti, teý jsme použili už v předchozí apitole a po teý modální matice je: [ Φ] / 5 / 5 / 5 / 5 a vlastní fevence jsou Ω., 4 s Ω. s Vytvoříme dva FRF gafy: bodovou eceptanci α a přenosovou eceptanci α (jde o přímé eceptance). Výazy po eceptanci jsou : α α / 5 Ω ω ( ω) + / 5 Ω ω / 5 Ω ω ( ω) / 5 Ω ω / 5 / 5 Ω ω / 5 Ω ω z čehož je vidět, že ozdíl mezi bodovou a přenosovou eceptancí je ve znaménu modální onstanty v čitateli duhého módu. Jeliož gafy zobazují pouze modul, jsou tomuto

72 Teoeticé zálady modální analýzy 7 ozdílu zdánlivě necitlivé. Když vša uvážíme, co se stane, dyž ty dva členy sečteme, abychom dostali sutečnou FRF systému s více stupni volnosti, zjistíme sutečnosti, teé ilustuje ob Na tomto obázu je zobazena eceptance, ale následující omentář platí stejně po všechny fomy FRF (eceptanci, pohyblivost i inetanci). log α b( ω) b_( ω) b_( ω).. 3. log α ω log ω b( ω) b_( ω) b_( ω).. Bodová eceptance Ob Amplituda bodové a přenosové eceptance Na fevencích nižších než je pvní vlastní fevence mají oba členy stejné znaméno a poto se sčítají, čímž způsobí, že celová FRF řiva je vyšší než jednotlivé omponenty, ale při použití logaitmicé stupnice je příspěve duhého módu na těchto nízých fevencích elativně nevýznamný. Výsledná FRF řiva je tudíž pouze míně nad řivou po pvní člen. Podobný důvod a výslede se hodí na duhý onec nad duhou vlastní fevencí, de je výsledná řiva jen těsně nad řivou po samotný duhý vlastní tva. Avša v oblasti mezi dvěma ezonancemi máme situaci, de zmíněné dvě složy mají opačná znaména, taže se odečítají a v bodě, ve teém se říží, je jejich součet nulový, potože tam mají stejnou amplitudu, ale opačná znaména. Na tomto logaitmicém typu gafu to vede vytvoření antiezonanční chaateistiy, teá je podobná ezonanci. Bezpostředním vlivem teéoliv z ezonancí je to, že příspěve toho členu, jehož vlastní fevence je blízo, je o toli větší než příspěve duhého členu, že výslede je v podstatě stejný jao ten jeden člen. Fyziálně, odezva MDOF systému pávě na jedné z jeho vlastních fevencí je úplně ovládnuta tímto módem a ostatní módy mají velmi malý vliv (u netlumených nebo velmi málo tlumených systémů). Přenosová eceptance 3. ω log ω Při postupu přes fevenční ozsah můžeme použít podobná zdůvodnění, s tím jediným ozdílem, že znaména zmíněných dvou členů jsou v tomto případě opačná. Při

73 Teoeticé zálady modální analýzy 73 velmi malých a při velmi velých fevencích leží tedy výsledná řiva FRF těsně pod řivou nejbližší jednotlivé složy, zatímco v oblasti mezi ezonancemi mají nyní obě přítomné složy stejná znaména a nezaznamenáme tedy jev, dy se složy vyuší, což vede antiezonancím v bodové eceptanci. Výsledná řiva má na fevenci, de se obě složy potínají, amplitudu přesně dvojnásobnou než aždá ze slože. Pincipy zde uvedené mohou být ozšířeny na jaýoliv počet stupňů volnosti. Záladní pavidlo je to, že dyž dva následné módy mají stejná znaména modální onstanty, bude na nějaé fevenci mezi vlastními fevencemi těchto dvou módů antiezonance. Poud mají opačná znaména, nebude tam antiezonance, ale pouze minimum. (Nejdůležitějším ysem antiezonance je asi sutečnost, že je s ní spojena změna fáze, a současně velmi nízá amplituda.) Je taé zajímavé si všimnout, čím je učeno, zda jednotlivá FRF bude mít ladné nebo záponé modální onstanty, a tedy zda bude vyazovat antiezonance nebo ne. Pochopení tohoto poblému je možné zvážením původu modální onstanty: je to součin dvou pvů vlastních vetoů, jednoho v místě odezvy a duhého v místě buzení. Poud uvažujeme bodovou eceptanci, ta musí být modální onstanta po aždý mód ladná, potože je to mocnina čísla. To znamená, že po bodovou FRF musí být za aždou ezonancí bez výjimy antiezonance. Situace po přenosové eceptance je méně ategoicá, potože modální onstanta bude nědy ladná a nědy záponá. Očeáváme tedy, že přenosová měření budou vyazovat směs antiezonancí a minim. Avša tato směs může být do jisté míy předvídatelná, potože obecně je možno uázat, že čím více jsou posuzované body vzdáleny, tím je pavděpodobnější, že se u jim odpovídajících pvů vlastních vetoů změní znaméno, ja budeme postupovat přes módy. Můžeme tedy očeávat, že přenosová eceptance mezi dvěma místy na stutuře hodně vzdálenými bude vyazovat méně antiezonancí než pohyblivost po dva body elativně blízo sebe. Přílad této sutečnosti je uveden na obázu 3.6 po systém se 4 stupni volnosti, teý zobazuje úplnou množinu pohyblivostí po buzení v jednom ajním bodě. Naonec je nutno poznamenat, že poud se buď souřadnice buzení nebo odezvy yje s uzlem jednoho z módů (tj. Φ j Φ ), ta se tento mód neobjeví jao ezonance na gafu FRF. V tomto případě je A j, taže jediná odezva, teá bude zaznamenána na ω Ω nebo blízo ní bude vlivem mimoezonančního příspěvu všech ostatních módů. Tva gafu FRF tlumeného systému je dost podobný gafu po netlumený případ. Rezonance a antiezonance jsou ztupeny zahnutím tlumení, a fázové úhly (nejsou zobazeny) už nejsou přesně nebo 8, nicméně obecný vzhled gafu je přiozeným ozšířením případu systému bez tlumení. To platí, poud jsou módy elativně dobře odděleny. Tato podmína není splněna, poud ozlišení mezi sousedními vlastními fevencemi (vyjádřené jao pocento jejich střední hodnoty) je stejného řádu jao modální tlumící fatoy nebo menší, a v tomto případě se ozlišení jednotlivých módů stává složitým. Na obázu 3.7 je gaf eceptance systému s dvěma stupni volnosti (stejný jao v předchozím případě na ob. 3.5) s přidaným tlumením.

74 Teoeticé zálady modální analýzy 74 f(t) m m m 3 m 4 x (t) x (t) x 3 (t) x 4 (t) a( ω ) a_( ω ) a_( ω ) a_3( ω ) a_4( ω ) a( ω ) a_( ω ) a_( ω ) a_3( ω ) a_4( ω ) e e a3( ω ) a3_( ω ) a3_( ω ) a3_3( ω ) a3_4( ω ) log Y log Y Y. ω. 3 4 Y 3 a4( ω ) Y 4 a4_( ω ). a4_( ω ). a4_3( ω ) 3 a4_4( ω ) 4 Ob Gafy pohyblivosti systému se 4 volnosti.. ω e ω log ω log ω log Y log Y4 Y. ω log ω log ω Stejně jao u případu s jedním stupněm volnosti bude zajímavé se i u systému s více stupni volnosti podívat na to, jaého tvau nabývá Nyquistův gaf. Na ob.3.8 je zobazen Nyquistův gaf po systém se volnosti. Vlevo je gaf bodové eceptance, vpavo přenosové eceptance. Plnou čaou je zobazena eceptance popocionálně tlumeného systému, čáovanou čaou eceptance nepopocionálně tlumeného systému (v tomto případě jsou modální užnice pootočeny). Podobně se nepopocionálním tlumením budeme zabývat v apitole

75 Teoeticé zálady modální analýzy 75 log α b( ω) b_( ω) b_( ω).. 3. log α ω log ω b( ω) b_( ω) b_( ω).. 3. ω log ω Ob Amplituda bodové a přenosové eceptance (tlumený systém) Im α Im α Re α Re α Ob Nyquistovy gafy bodové a přenosové eceptance 3..3 Tlumený systém s více stupni volnosti Popocionální visózní tlumení Zvláštní typ tlumení, poměně jednoduchý na analýzu, je tzv. popocionální tlumení. Výhoda při použití modelu s popocionálním tlumením při analýze stutu je ta, že módy taovéto stutuy jsou téměř identicé s módy modelu bez tlumení. Přesněji, vlastní tvay jsou identicé a vlastní fevence jsou taé velmi podobné vlastním fevencím netlumeného systému. Modální vlastnosti popocionálně tlumeného systému je možné odvodit pomocí úplné analýzy netlumené veze a následným povedením oecí na přítomnost tlumení.

76 Teoeticé zálady modální analýzy 76 Poněvadž se tento postup často používá při teoeticé analýze stutu, je třeba připomenout, že je platný pouze v případě tohoto zvláštního typu ozložení tlumení, což u eálných stutu vyšetřovaných modálními zoušami nemusí vždy platit. Poud se vátíme obecné pohybové ovnici MDOF systému a přidáme matici visózního tlumení [B], dostaneme : [ M ]{ x& } + [ B]{ x& } + [ K]{ x} { f} & (3.93) Pobeeme nejdříve případ, dy matice tlumení je přímo úměná matici tuhosti: [ B] β[ K] (3.94) Je zřejmé, že poud vynásobíme matici tlumení zleva a zpava maticí vlastních vetoů netlumeného systému Ψ úplně stejným způsobem jao jsme to udělali dříve po matice hmotnosti a tuhosti, dostaneme : T [ ] [ B ][ Ψ] β[ ] [ b ] Ψ (3.95) de pvy b na diagonále epezentují zobecněné tlumení jednotlivých módů systému. Sutečnost, že tato matice je ovněž diagonální znamená, že vlastní tvay netlumeného systému jsou záoveň i vlastními tvay tlumeného systému, což je zvláštní ys tohoto typu tlumení. Toto lze snadno doázat. Za {x} dosadíme tzv. modální souřadnice {p}, po teé platí { x} [ Ψ] { p} (3.96) Pohybovou ovnici vynásobíme zleva [ Ψ] T a dostaneme : [ m ] { p& } + [ b ] { p& } + [ ] { p} { } & (3.97) odud -tá jednotlivá ovnice je : m & p + b p& + p (3.98) což je ovnice systému s jedním stupněm volnosti nebo ovnice jednoho módu systému. Tento mód má omplexní vlastní číslo p s mitavou částí: Ω Ω Ω ζ b ζ (3.99) βω m m a útlumovou částí: β δ ζ Ω Ω (3.) Tyto chaateistiy vedou analýze vynuceného mitání, u teé jednoduché ozšíření oů povedených při analýze vynuceného mitání netlumeného systému vede definici obecné fevenční odezvové funce eceptance jao: nebo [ ( )] [ ] ω K + iωb ω M α (3.)

77 Teoeticé zálady modální analýzy 77 α j Ψ Ψ Φ Φ ( ω) (3.) N N j Ω ω + iωω ζ j ( ω m ) + i( ωb ) teá má tva velmi podobný eceptanci po netlumený systém, až na to, že nyní je ve jmenovateli omplexní, což je důslede zahnutí tlumení. Obecné fomy popocionálního tlumení Z výše uvedeného je patné, že jiná ozložení tlumení přinesou přibližně stejný typ výsledu a jsou společně zahnuta pod označením popocionální tlumení. Zvláště poud je matice tlumení přímo úměná matici hmotnosti, vyplývá z toho, že dostaneme přesně stejný typ výsledů. Obvylá definice popocionálního tlumení je taová, že matice tlumení [B] má tva : [ B] β[ K] + γ[ M] (3.3) V tomto případě bude mít tlumený systém tato vlastní čísla a vlastní vetoy : Ω ; Ω ζ βω γ ζ + (3.4) Ω tlumené a Ψ Ψ netlumené Obvyle se uáže, že ozložení tlumení výše uvedeného typu jsou zřejmá z paticého pohledu: sutečné tlumící mechanismy jsou obvyle podobné jao u tuhostních pvů (po vnitřní mateiálové neboli hysteézní tlumení) nebo u hmotnostních pvů (po visózní tlumení). K tomu, aby měl tlumený systém stejné vlastní tvay jao jeho netlumený potějše, existuje obecnější definice požadovaných podmíne : ([ M] [ K] ) [ M] [ B] ( ) ([ M] [ B] ) ([ M] [ K] ) (3.5) i dyž přímá fyziální intepetace tohoto tvau je obtížnější Popocionální hysteézní tlumení Stejným způsobem jao v předchozí apitole můžeme postupovat i u MDOF systému s popocionálním hysteézním (stutuním) tlumením a dostaneme v podstatě stejné výsledy. Pohybové ovnice systému jsou vyjádřeny jao [ M ]{ x& } + [ K + ih]{ x} { f} & (3.6) a matice hysteézního tlumení [H] je popocionální: [ H] β [ K] + γ [ M] (3.7) Vlastní tvay tlumeného systému jsou v tomto případě opět totožné s vlastními tvay netlumeného systému a vlastní čísla nabývají omplexní tva :

78 Teoeticé zálady modální analýzy 78 ( + iη ) λ Ω Ω + m Ω γ η β (3.8) Pozn.: η je ztátový fato hysteézního tlumení. V apitole jsme tento ztátový fato značili písmenem γ (a v celé apitole 3.. jsme písmenem η značili činitel naladění). V dalším textu už bude ztátový fato značen písmenem η v souladu s běžně dostupnou liteatuou. Obecný vztah po FRF má tva : α j ( ω) Ψ Ψ N N j ω m + iη Ω ω + iηω j ( ) Φ Φ (3.9) Hysteézní tlumení - obecný případ Ja už bylo uvedeno, případ popocionálního tlumení je zvláštní případ, teý se nehodí vždy. Je opávněný v teoeticé analýze, potože je ealisticý, a tay z nedostatu jiného přesnějšího modelu. Poud vša máme být schopni intepetovat a spávně analyzovat data pozoovaná na sutečných stutuách, je důležité, abychom uvážili ten nejobecnější případ. Obecná pohybová ovnice MDOF sytému s hysteézním tlumením a hamonicým buzením je: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } i ω M x& + K x + i H x F e t & (3.) Nyní uvažujme nejdříve případ bez buzení a předpoládejme řešení ve tvau : { } { } i λ x X e t (3.) Dosazením do pohybové ovnice vede toto homogenní řešení na omplexní poblém vlastních čísel, jehož řešení je ve fomě dvou matic (ta jao dříve po netlumený případ), obsahujících vlastní čísla a vlastní vetoy. V tomto případě jsou vša obě matice omplexní, což znamená, že aždá vlastní fevence a aždý vlastní tva je popsán pomocí omplexních čísel. -té vlastní číslo budeme psát jao ( + iη ) λ Ω (3.) de Ω je vlastní fevence a η je ztátový fato po tento mód. Vlastní fevence Ω není nutně ovna vlastní fevenci netlumeného systému Ω, ta jao tomu bylo u popocionálního tlumení, i dyž si tyto dvě hodnoty budou obecně v paxi velmi blízé. Komplexní vlastní tvay znamenají, že amplituda aždé souřadnice má ja veliost, ta fázi. To je pouze malý ozdíl opoti netlumenému případu, potože i tady máme v aždém bodě amplitudu a fázový úhel, teý je ale buď nebo 8, což obojí může být zcela popsáno pomocí eálných čísel ( - ladná amplituda, 8 - záponá amplituda).

79 Teoeticé zálady modální analýzy 79 Řešení vlastních čísel tlumeného systému se vyznačuje stejným typem otogonálních vlastností jao byly ty, jež byly uvedeny v apitole 3... po netlumený systém. Mohou být definovány ovnicemi : T [ ] [ M ][ Ψ] [ m ] Ψ (3.3) T [ ] [ K + ih][ Ψ] [ ] Ψ (3.4) Zobecněné hmotnostní a tuhostní paamety (nyní omplexní) opět závisejí na nomování amplitud vetoů vlastních tvaů, ale vždy vyhovují vztahu : m λ (3.5) a můžeme zde opět definovat množinu vlastních vetoů nomovaných na jednotovou hmotnost jao { Φ} m { Ψ} (3.6) MDOF systém s obecným hysteézním tlumením - odezvová analýza Pohybová ovnice vynuceného mitání po zvláštní případ hamonicého buzení a odezvy má tva [ ]{ } i t { } e i ω K ih ω M X e ω F t + (3.7) Opět je možné přímé řešení tohoto poblému ta, že použijeme pohybové ovnice a přímou invezí dostaneme : [ ]{ F} { X} [ K + ih ω M] { F} α( ω) (3.8) ale je to po numeicou apliaci opět velmi neefetivní a poto opět použijeme ten postup, že vynásobíme obě stany ovnice vlastními vetoy. Po úpavách dostaneme: [ ] [ Φ] T [ α( ω) ] [ Φ] ( λ ω ) (3.9) a z této úplné maticové ovnice můžeme dostat teýoliv FRF pve α j (ω) a vyjádřit jej explicitně ve tvau součtu paciálních zlomů α j ( ω) Φ Φ N j Ω ω + iηω (3.) což lze napsat i ůznými jinými způsoby, např. α j ( ω) Ψ Ψ N j m ( Ω ω + iηω ) nebo α j ( ω) A N j Ω ω + iηω (3.) V těchto vztazích je nyní čitatel i jmenovatel omplexní, což je důslede omplexity vlastních vetoů. Pávě v tomto ohledu se případ s obecným tlumením liší od případu s popocionálním tlumením.

80 Teoeticé zálady modální analýzy Systémy s více stupni volnosti - shnutí po ůzné typy tlumení Analýzu systému s obecným visózním tlumením v tomto textu vynecháme, potože je o poznání složitější než analýza systému s obecným hysteézním tlumením a ozsah tohoto textu je omezen. Uvedeme si zde pouze výsledy. V tabulce 3. jsou shnuty definice FRF a "vlastních fevencí" po všechny typy tlumení. Záladní definice vlastní fevence je odvozena od vlastních čísel netlumeného systému, teé dávají fevence, na teých může systém mitat volně. Tyto fevence se označují symbolem Ω a objevují se ja ve vztazích po volné mitání x( t) N X e Ω i t ta ve vztazích po vynucené mitání, FRF : (3.) N α( ω) A ω Ω (3.3) U tlumených systémů je situace ompliovanější a vede na dva altenativní chaateisticé fevenční paamety, teé jsme definovali - oba se nazývají "vlastní" fevence - jeden po volné mitání (Ω ) a jeden po vynucené mitání (Ω '). Tabula 3. - Vztahy po FRF a "vlastní" fevence po všechny typy tlumení VLASTNÍ FR. SYSTÉM ROVNICE PRO FRF C D volná vynucená Ω Ω netlumený popoc. hysteézní popoc. α j α j ( ω) ( ω) visózní α j ( ω) obecný hysteézní α j ( ω) obecný visózní α j ( ω) Φ Φ N j Ω ω Φ Φ N j Ω ω + iηω Φ Φ N j Ω ω + iωω ζ Φ N j Ω ω + iηω R + i Φ ω Ω N j j Ω ω + iωω ζ S eálné onst. eálné onst. eálné onst. omplex. onst. omplex. (ω) Ω Ω eálné onst. eálné (ω) eálné onst. eálné (ω) Ω ζ Ω Ω Ω Ω Ω Ω ζ Ω "Vlastní fevence" Ω vytváří mitavou část chaateistiy volného mitání, teá je omplexní a jao taová má i exponenciálně lesající část. Máme tedy : N x (t) δ Ω X e t e i t (3.4)

81 Teoeticé zálady modální analýzy 8 de Ω se může a nemusí ovnat Ω, což záleží na typu a ozložení tlumení. "Vlastní fevence" Ω ' vychází z obecného tvau výazu po fevenční odezvovou funci, teá jao ombinace všech pobaných případů může být zapsána ve tvau : C α( ω) (3.5) id N Ω ω + C zde může být eálné nebo omplexní a D je eálné; obě mohou být buď onstantní nebo fevenčně závislé a Ω ' je obecně ůzné od Ω i Ω. V tabulce 3. je souhn všech ůzných případů, o teých bylo pojednáno Buzení obecným silovým vetoem Předpoládejme opět systém s více stupni volnosti se stutuním tlumením. Připomeňme, že jeho pohybová ovnice má v případě hamonicého buzení tva (3.7): [ ]{ } i t { } e i ω K + ih ω M X e ω F t Je-li systém buzen současně ve více bodech (a ne jen v jediném, což je případ jednotlivých FRF výazů), je řešení této pohybové ovnice dáno vztahem (3.8): [ ]{ F} { X} [ K + ih ω M] { F} α( ω) Zřetelnější tva tohoto řešení lze odvodit jao : { } T { Φ} { F}{ Φ} N Ω ω + iηω X (3.6) Tato ovnice dovoluje výpočet jedné nebo více individuálních odezev na buzení současně něolia hamonicými silami. Všechny budící síly musí mít stejnou fevenci, ale mohou se lišit amplitudou a fází. Pozn.: Výsledný veto odezev se nědy nazývá vynucený mód vibací, nebo častěji povozní tva mitu (ODS - Opeational Deflection Shape). Poud je budící fevence blízá něteé z vlastních fevencí systému, blíží se povozní tva mitu příslušnému vlastnímu tvau, potože jeden člen řady (3.6) je dominantní. Přesto vša v důsledu příspěvů ostatních módů nebude identicý Buzení vetoem soufázových sil Jiný zvláštní případ nastane, dyž buzení je tvořeno vetoem monofázových sil. V tomto případě mohou mít budící síly ůzné amplitudy, ale stejnou fevenci i fázi. Zusíme zjistit, zda existují nějaé podmíny, při nichž by bylo možné dostat podobně monofázové odezvy (celý systém by měl odezvu se shodným fázovým úhlem). Předpoládejme tedy vetoy sil a odezev ve tvau :

82 Teoeticé zálady modální analýzy 8 { } { } i ω f F e t (3.7) i { } { } ( ω t X e ϕ) x (3.8) de {F} a {X} jsou vetoy vyjádřené eálnými čísly, a dosaďme je do pohybové ovnice. Dostaneme: [ ]{ } i ω t i ϕ K ih M X e e { F} e i ω ω t iϕ [ K + ih ω M]{ X} e { F} [ K ih ω M]{ X} ( cosϕ i sin ϕ) { F} + (3.9) + (3.3) Po ozdělení na eálnou a imaginání část: [ K ω M] cosϕ + [ H] [ K ω M] sin ϕ + [ H] ( sin ϕ){ X} { F} ( cosϕ){ X} { } (3.3) (3.3) Duhá z tohoto páu ovnic může být považována za poblém vlastních čísel s "ořeny" ϕ s a odpovídajícími "vetoy" { κ } s. Tyto mohou být zpětně dosazeny do (3.3), abychom stanovili tva (monofázového) vetou sil nezbytného vyvolání (monofázového) vetou odezev popsaného { κ } s. Ta zjistíme, že existuje množina N monofázových vetoů sil, z nichž aždý způsobí monofázovou odezvovou chaateistiu, poud je apliován na systém jao buzení. Použité ovnice jsou funcemi fevence, a poto aždé řešení zísané tímto způsobem odpovídá pouze jediné specificé fevenci ω s. Zajímavá situace nastane, poud chaateisticý fázový posun ϕ mezi všemi silami a všemi odezvami má být přesně 9. Rovnice (3.3) se v tomto případě zeduuje na tva : [ K ω M]{ X} { } (3.33) což je ovnice, jejíž řešením dostaneme vlastní fevence a vlastní tvay netlumeného systému. Došli jsme tedy důležitému výsledu, že je vždy možné najít množinu monofázových sil, teé způsobí množinu monofázových odezev, a navíc, poud jsou tyto dvě množiny monofázových paametů poti sobě posunuty přesně o fázový úhel 9, potom fevence, na teé bude systém mitat, je identicá s jednou z jeho vlastních netlumených fevencí a tva výchyle je odpovídající netlumený vlastní tva. Tento velmi důležitý výslede je záladem mnoha měřících postupů s více budiči používaných zejména v letecém půmyslu izolování netlumených módů stutu, teé se potom dají snadno sovnat s teoeticými předpolady. Je též pozouhodné, že je to jedna z mála metod přímému zísání netlumených módů, potože téměř všechny ostatní metody zísávají sutečné tlumené módy testovaného systému. Fyziální podstata této techniy je jednoduchá: veto sil je vybán ta, aby přesně vyvážil všechny tlumící síly, ať už jsou jaéoli, taže se tento pincip hodí stejně dobře na všechny typy tlumení. V liteatuře se s touto metodou modální zoušy můžeme setat pod názvem metoda přizpůsobeného buzení.

83 Teoeticé zálady modální analýzy 83 Shnutí pojmů SDOF, MDOF netlumený a tlumený systém pohybová ovnice, chaateisticá ovnice pól eziduum vlastní číslo visózní tlumení hysteézní (stutuní) tlumení 3dB pásmo, body s polovičním výonem Nyquistův gaf popocionální a nepopocionální tlumení ezonanční naladění odezvová analýza otogonalita vlastních tvaů nomování vlastních tvaů bodová a přenosová FRF ezonance a antiezonance Otázy. Naeslete schéma systému s º volnosti a napište jeho pohybovou ovnici.. Zaeslete ořeny chaateisticé ovnice (póly) v Laplaceově ovině. 3. Ja lze zobazit naměřenou FRF? 4. Naeslete, popište a vysvětlete Bodeho gaf (amplitudo-fázovou chaateistiu). 5. Ja lze učit tlumení systému z naměřené FRF? 6. Co je to Nyquistův gaf? 7. Ja se od sebe liší gaf amplitudy bodové a přenosové FRF systému s více stupni volnosti?? 8. Jaé znáte modely tlumení? 9. Jaý je ozdíl mezi popocionálním a nepopocionálním tlumením? Ja se pojeví tyto typy tlumení ve vlastních tvaech?. Ja je definován jeden pve matice FRF? (napište vztah po netlumený systém, systém s visózním tlumením a systém s hysteézním tlumením). Co je podstatou metody přizpůsobeného buzení?

84 Modální zouša 84 4 MODÁLNÍ ZKOUŠKA V této apitole se dozvíte, ja paticy modální zoušu povést. Celý postup zahnuje tři až čtyři hlavní fáze - přípavu měřené stutuy a vytvoření modelu po měření, vlastní měření, zísání modálních paametů z naměřených dat a případně ověření spávnosti zísaného modálního modelu, sovnání s výpočtovým modelem atp. Čas e studiu: hodin Cíl: Po postudování této apitoly budete umět Připavit modální zoušu, vybat vhodný typ uložení stutuy, způsob buzení, snímače, vytvořit expeimentální model Naměřit všechny potřebné fevenční odezvové funce a ověřit jejich spávnost Vybat vhodnou metodu zpacování naměřených dat Pezentovat expeimentálně zísaný modální model Výlad Je zřejmé, že volba ůzných postupů v jednotlivých fázích modální zoušy do značné míy závisí na tom, za jaým účelem modální zoušu povádíme (viz apitola.). V této apitole si popíšeme jednotlivé možnosti ta, abyste zísali přehled o jednotlivých možnostech a mohli se valifiovaně ozhodovat. 4. Přípava 4.. Přípava měřené stutuy O způsobech uložení stutuy při měření už jsme se stučně zmínili v apitole.4. Zde o jednotlivých možnostech pojednáme podobněji Volné uložení Volné uložení je teoeticy taové uložení, dy měřené těleso nemá žádné vazby s oolím, je volně umístěno v postou a při teoeticé analýze tato uložené těleso vyazuje 6 módů tuhého tělesa - tj. 3 posuvy ve směu souřadných os a 3 otace olem souřadných os. Všech 6 těchto módů má vlastní fevenci nulovou. Paticy ealizujeme volné uložení tělesa buď tím, že jej uložíme na velmi měou podložu (např. na molitan) nebo jej zavěsíme pomocí měých pužin. Je zřejmé, že v tomto případě vlastní fevence módů tuhého tělesa nebudou nulové, ale obecně půjde o velmi nízé hodnoty. Tato ealizované uložení považujeme za volné, poud nejvyšší vlastní fevence

85 Modální zouša 85 módů tuhého tělesa je menší než % hodnoty nejnižší defomační vlastní fevence. Ta např. poud u nosníu má jeho pvní ohybový mód fevenci 5 Hz, měly by všechny módy tuhého tělesa být menší než 5 Hz. Při splnění tohoto požadavu je ovlivnění defomačních vlastních fevencí uložením zanedbatelné. Spíše než vlastní fevence vša může uložení ovlivnit tlumení jednotlivých módů. Poud tedy povádíme měření s cílem zjistit přesné hodnoty tlumení, je možné vliv uložení minimalizovat ta, že měé závěsy umístíme do uzlových bodů. Ty jsou vša po aždý mód jiné, taže po zísání co nejpřesnějších hodnot tlumení bychom museli měřit aždý mód zvlášť s jiným umístěním závěsů. Volné uložení je jedna nejjednodušší a jedna nejvhodnější, poud chceme sovnávat modální model zísaný měřením s modálním modelem zísaným výpočtem. Použijeme jej tedy vždy, poud to oolnosti dovolí Pevné uložení Pevné (vetnuté) uložení je teoeticy taové uložení, dy něteé body na tělese (stupně volnosti) jsou zcela znehybněny připojením zemi. Toho v paxi v podstatě nelze dosáhnout, taže paticy považujeme za pevné uložení taové, dy odezva "znehybněných" stupňů volnosti je menší než % odezvy všech ostatních stupňů volnosti. Tento typ uložení dělá poblémy při sovnávání modálního modelu zísaného měřením s modálním modelem zísaným výpočtem, potože ozdíly v obou modelech mohou být způsobeny pávě nestejnými oajovými podmínami. Nědy se vša tomuto typu uložení nemůžeme vyhnout, poud jde o stutuu, jejíž modální vlastnosti při volném uložení nemají význam (např. u tubínových lopate). Další potíž u tohoto typu uložení je s opaovatelností měření. Přes vešeou snahu (utahování spojení stutuy s měřící záladnou momentovým líčem apod.) se nedaří dosáhnout % opaovatelnosti měření, poud povedeme demontáž a opětovnou montáž měřené stutuy měřící záladně. Zušenost uazuje, že vlastní fevence jednotlivých módů se po taovém zásahu mohou změnit v ozsahu až ±5% Uložení in situ Tento typ uložení je nejjednodušší na přípavu - žádná není, měření se povádí za sutečných povozních podmíne. Tento typ uložení volíme buď tehdy, dyž nám nic jiného nezbývá (např. při měření velmi těžé stutuy, většího stoje apod.) nebo tehdy, dyž nás pávě zajímají modální vlastnosti při povozních podmínách. Je zřejmé, že v tomto případě je sovnávání expeimentálního modelu s výpočtovým modelem ještě ompliovanější než při pevném uložení. 4.. Přípava expeimentálního modelu Modelem v této apitole budeme nazývat geometicý model měřené stutuy s nadefinovanými body a stupni volnosti, ve teých budeme povádět měření, tedy nioli matematicý model (fyziální, modální nebo odezvový). Na stutuře si zvolíme síť bodů, ve

86 Modální zouša 86 teých budeme povádět měření, a v aždém bodě taé ozhodneme, ve teých směech budeme měřit, tedy nadefinujeme stupně volnosti. Běžně se měří posuvné stupně volnosti (směy X, Y, Z), výjimečně otační stupně volnosti, neboť ty vyžadují speciální snímače a postupy. Hustota sítě měřících bodů do značné míy záleží na fevenčním ozsahu měření, esp. na počtu módů, teé chceme vyšetřit - platí, že čím vyšší mód, tím je jeho vlastní tva složitější a tím více bodů je potřeba jeho ealisticému vyeslení. Volíme tedy ta hustou síť, abychom spolehlivě ozlišili všechny zjištěné módy, ale ne zbytečně hustou, aby počet měřených bodů (stupňů volnosti) neúměně nenaůstal a aby se zbytečně nepodlužovala doba měření. Z Z Ob Měřená stutua a její geometicý model s vyznačením efeenčního bodu X Y Síť bodů zaeslíme na měřenou stutuu a stejný model vytvoříme v softwau po modální analýzu. Přílad je uveden na ob. 4.. Musíme taé zvolit efeenční stupeň volnosti, tj. místo a smě, ve teém je při měření s použitím ázového ladíva tvale umístěn snímač odezvy (obvyle aceleomet) a při měření s použitím budiče je v něm připojen e stutuře budič. Požadavy na umístění efeenčního bodu jsou do jisté míy potichůdné: Měl by být zvolen ta, aby v něm byla dostatečně velá odezva při všech módech, aby byl pomě odezvy a šumu co nejlepší. Měl by být zvolen ta, aby připevněním aceleometu nebo budiče byla stutua co nejméně ovlivněna. Je zřejmé, že tyto dva požadavy jsou v ozpou, potože největší vliv na stutuu bude mít umístění aceleometu nebo budiče v místě, de má stutua největší odezvu. V paxi je tedy nutné volit ozumný ompomis mezi těmito dvěma požadavy. Navíc, poud je hmotnost aceleometu vzhledem hmotnosti stutuy zanedbatelná, ovlivnění stutuy je ovněž zanedbatelné. S pvním požadavem souvisí i to, že si musíme dát pozo, aby efeenční bod nebyl současně uzlovým bodem něteého módu z těch, teé nás zajímají. V tomto případě by odezva tohoto módu byla nulová a nebyli bychom schopni jej identifiovat. Jednou z možností, ja se této situaci vyhnout, je znát předem přibližně vlastní tvay, např. z výpočtového modelu. Duhou možností, poud vlastní tvay neznáme a nedoážeme je odhadnout, je vyzoušet před započetím celé modální zoušy více ůzných umístění

87 Modální zouša 87 efeenčního bodu a sledovat, zda je počet ezonancí v naměřené FRF stálý. Poud by v něteém místě něteá z ezonancí zmizela, znamená to, že v tomto místě je uzlový bod příslušného vlastního tvau a tento bod nemůže sloužit jao efeenční. 4. Měření a měřící metody V této apitole pobeeme měřící metody, teé se po modální zoušy používají. Už v úvodní apitole jsme zmínili, že existují dva typy měření vibací: Ty, u teých se měří jen jeden paamet (obvyle úoveň odezvy) Ty, u teých se měří ja vstup, ta i odezva na výstupu Připomeneme-li si záladní vztah: ODEZVA VLASTNOSTI VSTUP vidíme, že co se děje s vibacemi testovaného objetu můžeme úplně definovat pouze tehdy, dyž byly naměřeny dva ze tří členů této ovnice. Měříme-li pouze odezvu, nejsme schopni říci, zda zvlášť vysoá úoveň odezvy je způsobena silným buzením nebo ezonancí stutuy. Modální zouša se vztahuje e duhému typu měření, dy se měří současně buzení i odezva, taže je možné použít záladní ovnici odvození vlastností systému přímo z naměřených dat. V ámci této ategoie existuje více ůzných přístupů, teé mohou být použity, ale tento text je zvláště zaměřen na metodu buzení v jediném bodě (i dyž v půběhu modální zoušy může tento bod svou polohu na stutuře měnit). Při této metodě měříme jeden sloupec nebo jeden řáde matice fevenčních odezvových funcí. Dvě v pincipu stejné, nicméně přece jen modifiace této metody buzení v jediném bodě jsou: SISO (Single Input Single Output) - jeden vstup (buzení), jeden výstup (odezva) SIMO (Single Input Multiple Output) - jeden vstup, více výstupů - počet výstupů závisí v podstatě na tom, oli análů analyzátoů máme dispozici a oli odezev současně jsme schopni sejmout. Pincip následného zpacování dat je ale stejný jao u SISO metody, pacujeme s lasicou FRF dle vztahu (.). Dalším typem měření je tzv. MIMO (Multiple Input Multiple Output) měření, při teém se povádí buzení současně ve více bodech. Tento typ měření je nezbytný u modálních zouše v těchto případech: U velých stutu, teé nelze celé vybudit jediným budičem. U složitých stutu, teé vyazují tzv. loální módy, při teých mitá jen část stutu a teé ovněž není možné všechny vybudit jedním budičem. U tzv. symeticých stutu, teé vyazují tzv. vícenásobné módy (dva nebo více módů na stejné fevenci). Aby bylo možné tyto módy izolovat, je nutné mít toli efeenčních bodů, olia násobné jsou módy. MIMO metoda je běžným standadem v letecém a automobilovém půmyslu, nicméně má míně odlišné teoeticé pozadí, než je pobíáno v tomto textu, taže se jí zde nebudeme podobněji zabývat.

88 Modální zouša Záladní sestava měření V sestavě expeimentu používané po měření FRF ozlišujeme čtyři hlavní jednoty: mechanismus buzení soustava snímačů měření budící síly a odezvy analyzáto zísání požadovaných dat výpočetní systém e zpacování zísaných dat snímač zychlení měřená stutua snímač síly ázové ladívo analyzáto Ob Sestava měření při použití ázového ladíva Na ob. 4. je zobazeno typicé uspořádání měřícího systému při buzení ázovým ladívem. V tomto případě je aceleomet tvale umístěn v efeenčním bodě a stutuu postupně budíme ladívem ve všech bodech. Tím zísáme jeden řáde matice FRF. Na ob. 4.3 je typicé uspořádání měřícího systému při buzení pomocí dynamicého budiče vibací. V tomto případě je snímač síly tvale umístěn v efeenčním bodě a odezvu postupně (nebo najednou, podle počtu dostupných análů analyzátou) snímáme ve všech bodech na stutuře. Tím zísáme jeden sloupec matice FRF. snímač zychlení měřená stutua analyzáto snímač síly budič výonový zesilovač Ob Sestava měření při použití dynamicého budiče vibací

89 Modální zouša Mechanismus buzení Způsoby, jaými docílíme ozmitání měřené stutuy, můžeme ozdělit do dvou hlavních supin:. ázové buzení pomocí ázového (modálního) ladíva - nejběžnější způsob uvolněním z defomované pozice - např. přetětím lana údeem padající hmotou yvadlovým ázovadlem. buzení pomocí připojeného budiče vibací eletomagneticým budičem - nejběžnější způsob eletohydaulicým budičem mechanicým budičem - excenticy uložené otující hmoty Existují ještě další netadiční způsoby buzení, teé se používají u velých stutu, např. u mostů nebo opných plošin: pomocí tysových motoů přiozené buzení větem, mořsými vlnami, silničním povozem Poslední dvě metody se uplatní v tzv. povozní modální analýze (viz ap. 5) a vedou zísání nenomovaných vlastních tvaů Rázové buzení pomocí modálního ladíva Použití modálního (ázového) ladíva je nejjednodušším a nejychlejším způsobem, ja vybudit mitání stutuy. Nevyžaduje žádné přípavné páce a poto je velmi vhodné po použití v povozních podmínách. ázovadlo ázové ladívo uojeť hlava snímač síly hot Ob Detaily ázového ladíva

90 Modální zouša 9 Kladívo se sládá z hlavy, snímače síly, hotu a uojeti. Můžeme taé použít tzv. ázovadlo, což je v podstatě ladívo bez uojeti (viz ob. 4.4). K výbavě ladíva standadně patří sada hotů ůzných tuhostí a hlav ůzných hmotností, pomocí nichž lze ovlivnit fevenční ozsah měření a veliost vyvinuté síly. Snímač síly zjišťuje veliost síly pocítěné ladívem, o teé se předpoládá, že je stejně velá a opačného směu než síla působící na stutuu. Veliost údeu je v zásadě učena hmotností hlavy ladíva a ychlostí, teou se pohybuje, dyž udeří do stutuy. Opeáto ovlivňuje spíše ychlost než samotnou úoveň síly, a ta vhodnou cestou, ja nastavit řád úovně síly, je změna hmotnosti hlavy ladíva. Rozsah fevencí, teý je účinně vybuzen ázovým ladívem, je řízen tuhostí dotýajících se povchů a hmotností hlavy ladíva: na fevenci dané vztahem ontatní tuhost hmotnost ladíva je ezonance systému, nad teou je obtížné dodat enegii do zoušené stutuy. Když hot ladíva udeří do testované stutuy, vyvolá to silový impuls, teý má v podstatě tva poloviční sinusovy, ja je uázáno na ob. 4.5 vlevo. Impuls tohoto typu má fevenční obsah ve tvau uázaném na ob. 4.5 vpavo, teý je až do učité fevence (f c ) v podstatě plochý a nad ní je slabší. Po vybuzení vibací ve fevenčním ozsahu nad fevencí f c je tedy poměně neefetivní, taže potřebujeme něja tento paamet ovlivňovat. Je možné doázat, že existuje přímý vztah mezi pvní mezní fevencí f c a délou tvání impulsu T c a že tomu, abychom zvýšili fevenční ozsah, je zapotřebí zátit délu pulsu. Ta má zase vztah tuhosti (ne tvdosti) zúčastněných povchů a hmotnosti hlavy ladíva. Čím jsou mateiály tužší, tím atší je déla tvání pulsu a tím vyšší je fevenční ozsah vybuzený údeem. Podobně, čím menší je hmotnost ázovadla, tím vyšší je účinný fevenční ozsah. Za tím účelem, aby bylo možné egulovat použitelný fevenční ozsah, se používá na ladívo sada ůzných hotů a hlav. Obecně lze říci, že se má použít nejměčí možný hot, aby vešeá vstupní enegie byla dodána ve fevenčním pásmu, teé nás zajímá. Použití tužšího hotu než je nutné vede tomu, že dodaná enegie způsobí vibace vně fevenčního pásma, teé nás zajímá, na úo těch, teé jsou uvnitř tohoto pásma. a(t) G AA (f) T c t f c f Ob Silový impuls a jeho spetum Nevýhodou při použití ladíva je to, že egulace pásma buzení je omezena a většinou není možné použít fevenční lupu (zoom). Činitel výmitu (cest fato) je vysoý a v důsledu vysoé špičové hodnoty působící síly je nebezpečí loálního pošození stutuy a vybuzení jejího nelineáního chování.

91 Modální zouša 9 Další elativní nevýhodou je nutnost použít speciální váhové funce na vstupní i výstupní signál. Na vstupní signál se používá přechodové ono, teé slouží potlačení šumu v době, dy silový impuls nepůsobí, ale pobíhá měření. Aby bylo spávně zvoleno posunutí a déla ona, je dobé expandovat svislou osu ta, aby byla vidět úoveň šumu. U výstupního signálu často zlepší analýzu exponenciální vážení, a to tím, že zmenší chybu úniem způsobenou ořezáním signálu. Aby bylo optimálně nastaveno ono, je třeba se dívat na amplitudu váženého signálu. Déla exponenciálního ona (časová onstanta) má být vybána ta, aby signál byl na onci záznamu zeslaben na úoveň šumu, nebo alespoň o 4 db. Začáte ona by měl být stejný jao u ona po vstupní signál, poud není v systému dopavní zpoždění. Nastavení oen viz ob.4.6. Přechodové vážení vstupního signálu Exponenciální vážení výstupního signálu Ob Váhová ona při ázovém buzení Použitím exponenciálního vážení přidáváme do systému eletonicé tlumení. Za těchto oolností bude tlumení systému zjištěné měřením nadsazené a chceme-li zísat jeho přesnou hodnotu, musíme povést oeci na vliv exponenciálního ona (viz ob. 4.7). Koece onstanty doznívání: δ δ m δ w δ... spávná hodnota δ m... naměřená hodnota δ w... vliv exp. ona τ w b(t) oenní funce původní signál t Koece poměného útlumu: δ δ m δ w ζ ζ m ζ Ω Ω w posunutí déla τ w déla záznamu T vážený signál Ob Koece vlivu exponenciálního ona na tlumení Něteé nevýhody při použití ázového ladíva lze odstanit použitím tzv. náhodného ázového buzení. Jde o více údeů po sobě jdoucích v půběhu záznamu (viz ob 4.8). V tomto případě se používá na vstupní i výstupní signál Hanningovo ono, abychom na začátu a na onci doby měření signál potlačili nule a tím omezili chybu úniem. Jeliož ona na vstupní

92 Modální zouša 9 a výstupní signál jsou stejná, jejich vliv se ve FRF vyuší a není nutné povádět oeci vlivu ona při učování tlumení. Náhodné ázové buzení vnese do stutuy v půběhu jednoho časového záznamu více enegie než jednotlivý úde a činitel výmitu je nižší. Přitom zůstávají zachovány výhody ázového buzení, tedy snadná použitelnost v povozních podmínách. Tento způsob buzení je vhodné použít, povádíme-li měření v nízém fevenčním pásmu nebo s použitím fevenční lupy. V tomto případě je doba měření elativně dlouhá a při použití pouze jednoho údeu by běžně tlumená stutua mitala mnohem atší dobu, než by byla doba měření. Apliací více údeů toto odstaníme, ale stále zůstává nebezpečí, že většina enegie dodané stutuře bude vně fevenčního pásma, teé měříme, potože egulace fevenčního pásma buzení je při použití ázového buzení vždy omezená (jen tuhostí hotu ladíva a hmotností jeho hlavy). zaznamenáno analyzováno t t T m t t Ob Signály při náhodném ázovém buzení 4... Buzení pomocí připojeného budiče vibací Asi nejběžnějším typem budiče je eletomagneticý (neboli eletodynamicý) vibáto, ve teém je přiváděný vstupní signál převáděn na střídavé magneticé pole, ve teém je umístěna cíva, teá je připojena poháněcí části zařízení a e stutuře. V tomto případě jsou fevence a amplituda buzení řízeny nezávisle na sobě, čímž je dána větší pužnost ovládání - což je zvlášť užitečné, potože nědy potřebujeme při půchodu přes ezonance měnit úoveň buzení. Je vša třeba poznamenat, že eleticý odpo těchto zařízení se s amplitudou pohybu pohyblivé cívy mění a není tedy možné odvodit budící sílu z měření napětí přiváděného do budiče ani z měření poudu pocházejícího budičem, potože tím neměříme sílu působící na samotnou stutuu, ale na cele tvořený stutuou a pohonem budiče. I dyž se může zdát, že ozdíl mezi touto silou (geneovanou v budiči) a silou, teá působí na stutuu bude asi malý, je třeba si uvědomit, že pávě v blízosti ezonance je vytvoření velé odezvy zapotřebí velmi malá síla a obvyle se stane to, že aniž bychom změnili nastavení na výonovém zesilovači nebo na geneátou signálu, dojde na fevencích blízých vlastním fevencím stutuy e znatelnému zmenšení úovně síly. To má mimo jiné za následe, že měření síly na fevencích blízých ezonancím je náchylné na znečištění šumem.

93 Modální zouša 93 Sílu působící na stutuu tedy měříme co nejblíže jejímu povchu snímačem síly, stejně jao u ázového buzení. Obecně lze říci, že čím větší je budič, tím větší sílu může po vybuzení stutuy vyvinout, současně se vša snižuje užitečný fevenční ozsah. Účinné buzení je možné pouze do té doby, doud pohyblivé části budiče zůstávají tuhou hmotou. Poté, co fevence vibací dosáhne a přejde přes pvní vlastní fevenci cívy a stolu pohonu budiče, dojde závažnému zeslabení síly, teá je dostupná po pohon zoušeného objetu a přestože i nad touto iticou fevencí je nějaé buzení možné, představuje to přiozený limit užitečného pacovního ozsahu zařízení. Tato fevence je přiozeně po větší budiče nižší. Ve speciálních případech je vhodné použít eletohydaulicý budič. Je to tehdy, poud zoušíme stutuy nebo mateiály, jejichž nomální vibační postředí je spojeno s větším staticým zatížením, teé může docela dobře změnit jejich dynamicé vlastnosti nebo doonce jejich geometii. Eletohydaulicý budič je schopen současně s dynamicým vibačním zatížením apliovat i staticé zatížení, což je v těchto případech nezbytné. Jinou výhodou, teou mohou eletohydaulicé budiče posytnout, je to, že umožňují dát elativně dlouhý úde, a tím dovolují vybuzení stutu na velých amplitudách - možnost, teá není dostupná se sovnatelně velými eletomagneticými budiči. Na duhé staně mají eletohydaulicé budiče slon mít omezený pacovní fevenční ozsah a jen ty velmi specializované dovolují měření v ozsahu nad Hz, zatímco eletomagneticé budiče mohou pacovat až v oblasti 3-5 Hz, v závislosti na jejich veliosti. Jsou taé složitější a dažší, i dyž ompatnější a lehčí ve sovnání s eletomagneticými zařízeními. Posledním typem budiče, o teém je vhodné se zmínit, je mechanicý budič, teý je ealizován pomocí excenticy uložených otujících hmot (nevývažů). Je schopen geneovat předepsanou sílu na ůzných fevencích, i dyž řízení jeho použití je elativně málo pužné. Veliost síly je dána nevývažem a dá se změnit pouze jeho úpavou - což není nic, co by se dalo udělat v půběhu mitání. Tento typ mechanismu buzení je taé elativně neúčinný na nízých fevencích, potože veliost budící síly je závislá na duhé mocnině otáče. Poud vša amplituda vibací způsobená budičem není příliš velá vzhledem obitě nevývažů, je amplituda a fáze budící síly poměně přesně známa a nevyžaduje další měření, ta jao u ostatních typů budičů. Tento typ budiče se používá po měření velých stutu, např. mostů nebo záladových dese tubogeneátoů. Připojení budiče e stutuře U eletomagneticého i eletohydaulicého budiče je nezbytné připojit poháněcí záladnu budiče e stutuře, obvyle s vestavěním snímače síly. Přitom se musíme vyhnout zavedení nechtěného buzení nebo neuvážených modifiací stutuy. Z toho to pvní je asi nejdůležitější, potože je nejméně vidět. Vátíme se definici jednotlivé FRF jao poměu mezi hamonicou odezvou v místě j způsobenou jedinou hamonicou silou působící v místě. Tato definice platí s výhadou, že tato jediná síla musí být jediným buzením stutuy a o splnění této podmíny musíme při modální zoušce usilovat. I dyž se může zdát, že budič je schopen působit silou pouze v jednom směu - je to v podstatě jednosměné zařízení - je zde u většiny paticých stutu, jejichž pohyb je obecně složitý a vícesměný, poblém. Tento

94 Modální zouša 94 poblém spočívá v tom, že dyž zatlačíme v jednom směu - řeněme ve směu osy x - odpovídá stutua nejen v tomtéž směu, ale i v jiných, jao např. ve směu os y a z a taé ve třech otačních směech. Taový pohyb je zcela v pořádu a je předpoládán, ale je možné, že poud je budič e stutuře připojen nespávně, vznine tím duhotná foma buzení. Pohyblivá část budiče je obvyle velmi pohyblivá ve směu osy svého pohonu, ale zcela opačně je tomu v jiných směech (tzn. je velmi tuhá). Poud tedy stutua chce odpovídat řeněme v příčném směu stejně jao ve směu působení budiče, potom tuhost budiče způsobí vzni odpoových sil a momentů, teé se na stutuře pojeví ve fomě duhotného buzení. Snímače odezvy o tomto nic nevědí a snímají celovou odezvu, teá je způsobena nejen budící silou (teá je známa), ale i duhotnými neznámými silami. budící tyča snímač síly budič měřená stutua Ob Připojení budiče měřené stutuře - budící tyča Řešením je připojení budiče e stutuře přes budící tyču nebo podobné spojení, teé má tu vlastnost, že je tuhé v jednom směu (ve směu zamýšleného buzení) a současně je elativně pužné v ostatních pěti směech. Vhodná budící tyča, teá je vyobena z pužinového dátu dély cca 5 cm, je uázána na ob Je třeba dát pozo, aby nedošlo přeompenzování: poud je budící tyča příliš dlouhá nebo příliš pužná, začíná zavádět do měření své vlastní ezonance a může být velmi obtížné je z pavých dat odstanit. měřená stutua aceleomet v efeenčním bodě snímač síly budič budící tyča Ob Umístění snímače síly při měření pomocí budiče

95 Modální zouša 95 Z hledisa přesného měření budící síly je nutné, aby snímač síly byl co nejblíže měřené stutuře. Spávné uspořádání nutné tomu, aby naměřené fevenční odezvové funce byly co nejspolehlivější, je uvedeno na ob. 4.. Dále je třeba zvážit, ja má být budič uložen nebo připojen ve vztahu e zoušené stutuře z hledisa eačních sil od budiče. Obecně je možno říci, že buď budič nebo měřená stutua musí být uloženy volně. Na obázu 4. jsou uázány tři vhodné způsoby a jeden nevhodný. Na obázu 4. vlevo (a též na ob. 4.) je budič uložen pevně a působí na něj eace od vnějšího uložení. To se často používá u malých stutu, teé mohou být při měření uloženy volně (na měém závěsu). Nesmí ale docházet ezonanci uložení budiče. Na dvou obázcích upostřed je budič zavěšen a pojevují se eace od jeho setvačnosti. To samozřejmě omezuje vyvinutou sílu, ale je možné budiči připojit přídavné hmoty. Měřená stutua může být ovněž zavěšena volně, ale může být i pevně uložená. Přílad na ob. 4. vpavo není po modální zoušu vhodný, potože eační síly v uložení budiče zavádějí přídavné buzení do stutuy, teé ale není snímačem síly měřeno. nejlepší uspořádání vhodné uspořádání nevhodné uspořádání stutua volně budič volně stutua uložena volně budič uložen pevně Ob Připojení budiče měřené stutuře z hledisa eačních sil Typy budících signálů stutua pevně budič volně Při ealizaci buzení pomocí připojeného budiče vibací máme šioé možnosti při výběu budících signálů. Typy signálů můžeme ozdělit na (viz ob. 4.3): hamonicé (sinusový signál) - spetum obsahuje pouze jednu fevenci sinusové vlny šioopásmové - spetum obsahuje pásmo fevencí. Dále se dělí na: o impulsní (přechodový) jeden impuls (nebo áz) peiodicý impuls náhodné ázové buzení o náhodné o pseudonáhodné o ozmítaný sinus stutua pevně budič pevně

96 Modální zouša 96 Impulsní buzení většinou apliujeme ve fomě ázového nebo náhodného ázového buzení s použitím ázového ladíva, ale je možné tento typ buzení apliovat i pomocí připojeného budiče vibací. V tomto případě by šlo nejspíše o buzení impulsní nebo peiodicé impulsní. Všechny uvedené typy signálů jsou obvyle dostupné v geneátou signálů, teý je součástí analyzátou. Signál z geneátou pa přes výonový zesilovač vstupuje do eletomagneticého budiče vibací a je přenášen do stutuy. Pozn.: Signál ozmítaného sinu lze vyvodit taé pomocí mechanicého budiče vibací, o náhodný signál jde např. i při buzení silničním povozem nebo mořsými vlnami. Ob Paticá ealizace uložení stutuy volně a budiče pevně a(t) sinusový a(t) impuls t t t a(t) ozmítaný sinus a(t) peiodicý impuls t T t t a(t) náhodný a(t) áz a(t) pseudonáhodný t a(t) náhodné ázy t T T T T t t Ob Záladní typy budících signálů

97 Modální zouša 97 Sinusový signál Jednoduchý sinusový signál onstantní fevence se v modální analýze uplatní stěží. Poud už taový signál používáme, ta v podobě oovaného sinu v tzv. FRA analyzátoech (FRA - Fequency Response Analyze), teé na ozdíl od běžně používaných FFT analyzátoů nepovádějí Fouieovu tansfomaci signálu, ale přímo měří ustálenou odezvu systému na ustálené hamonicé buzení. Fevence buzení se oově mění a zaznamenává se podíl odezvy a buzení. Tato postupně se vyeslí celá FRF v požadovaném fevenčním pásmu. Tento poces je velmi pomalý, ale je to v podstatě jediná možnost, poud chceme podobně zoumat nelineaity ve stutuách. Je zřejmé, že fevenční pásmo může být zvoleno libovolně, taže obvyle se tento postup používá v souvislosti s fevenční lupou e zoumání oblastí v oolí ezonancí. Náhodný signál Náhodný signál je chaateizován výonovou spetální hustotou G AA (f) a hustotou pavděpodobnosti amplitudy p(a), teá má Gaussovo nomální ozložení (viz ob.4.4). Může být pásmově omezen podle toho, jaý fevenční ozsah nás zajímá. Stejně dobře jej lze použít po měření v záladním pásmu i po měření s fevenční lupou (viz ob.4.4). Signál není v čase záznamu peiodicý, je tedy nutné (na vstupní i výstupní signál) použít Hanningovo ono, abychom omezili chybu úniem. Změny amplitudy a fáze budícího signálu jsou náhodné, což znamená, že půměováním se odstaní vliv případných nelineait v systému a zísáme ideální lineaizovaný odhad FRF. Jeliož jde o náhodný signál, je půměování samozřejmě nezbytné. Činitel výmitu a pomě signálu šumu jsou u tohoto typu signálu docela dobé. a(t) p(a) záladní pásmo G AA (f) G AA (f) t zoom fevenční ozsah Pseudonáhodný signál Ob Náhodný signál - časový půběh a spetum Pseudonáhodný signál je vlastně us náhodného signálu opaujícího se s peiodou T. Tato peioda je ovna délce záznamu. V důsledu toho nedochází chybě úniem, potože signál je v době záznamu peiodicý, taže použití váhových oen není nutné (obdélníové ono žádné ono). Čáy speta se shodují s čaami analyzátou a případné nelineaity v f fevenční ozsah f

98 Modální zouša 98 systému se neodpůměují. Tento typ signálu se tedy hodí pouze na doonale lineání systémy. Stejně jao u náhodného signálu, je možné i pseudonáhodný signál použít ja na měření v záladním pásmu, ta na měření s fevenční lupou. Zvláštním typem pseudonáhodného signálu je tzv. cvot (v anglicé liteatuře chip). Jde o ychle ozmítaný sinus, dy se půchod od minimální fevence maximální opauje aždou peiodu T, a tato peioda je ovna délce záznamu. Dá se použít e studiu nelineait Snímače měření budící síly a odezvy Podobné pojednání o jednotlivých typech snímačů není předmětem tohoto textu. Po připomenutí nahlédněte do sipt z Vibační diagnostiy. Zde pouze připomeneme, že aždý snímač měří to, co se děje s ním samotným. Spávným uchycením snímače musíme zajistit, aby to bylo totéž, co se děje se stutuou a co chceme měřit. Dále je třeba si uvědomit, že aždý snímač má nějaou vlastní ezonanční fevenci, teá závisí především na veliosti snímače, a teá je dále více nebo méně ovlivněna připevněním snímače měřené stutuře. Účinné fevenční pásmo, ve teém můžeme snímač použít, je cca do /3 hodnoty této fevence. Možné způsoby připevnění, seřazené podle toho, naoli snižují vlastní fevenci snímače (od nejlepších nejhoším), jsou: šoub speciální lepidlo oboustanně lepící pása včelí vos (jen do 4 C) magnet Včelí vos je v modální analýze velmi často používán upevnění aceleometů, potože je to metoda nenáočná a ychlá a nija podstatně použitelný fevenční ozsah snímače nesnižuje. Naopa uchycení snímačů magnetem není příliš vhodné a spíše je použijeme u povozních měření, ale pouze do cca Hz. Poud měříme stutuu s neovným povchem, je možné použít podložu s natáčecí záladnou. Snímač síly je buď součástí ázového ladíva a v tom případě jeho připevnění neřešíme, nebo při buzení budičem musíme snímač síly měřené stutuře připevnit, což se dělá nejčastěji šoubem. Poud nechceme nebo nemůžeme do měřené stutuy vtat závit po šoub, je možné použít váleče, teý má z jedné stany hladou plochu, teou speciálním lepidlem přilepíme měřené stutuře, a z duhé stany díu po závit, do teé zašoubujeme snímač (viz ob. 4.9). Dalším aspetem, teý v souvislosti se snímači musíme vzít v úvahu, je hmotnost snímače vzhledem hmotnosti měřené stutuy, aby nedošlo nadměnému ovlivnění dynamicých vlastností stutuy snímačem. Už jsme se o tom zmínili v apitole 4.. v souvislosti s volbou efeenčního bodu, de jsme disutovali vliv umístění snímače na dynamicé vlastnosti stutuy. Hmotnost snímače haje oli zvláště u lehých stutu. Obecně platí, že by měla být menší než % hmotnosti stutuy. Z pincipu onstuce aceleometů je zřejmé, že čím menší je snímač, tím menší je jeho citlivost, ale vyšší

99 Modální zouša 99 užitečný měřící ozsah. Poblém s hmotností snímače by mohl nastat u lehých stutu, u nichž bychom potřebovali měřit v nízém fevenčním pásmu. Mohlo by se stát, že snímač, teý by byl dostatečně lehý na to, aby stutuu neovlivnil, by neměl dostatečnou citlivost. V tomto případě pa je možné použít bezdotyový laseový snímač vibací Analyzáto Analyzáto typu FRA FRA Fequency Response Analyze. O tomto typu analyzátou už jsme se zmínili v apitole 4... v souvislosti s buzením oovaným sinusovým signálem. Tento typ analyzátou nepovádí Fouieovu tansfomaci časových signálů. Pincip jeho páce je následující: Řídící signál je sinusový. Měřený vstupní i výstupní signál se podobí digitální filtaci, při teé se z nich odstaní ty složy, teé mají jinou fevenci než řídící signál. Vyřazování nesynchonních slože se zlepšuje filtováním v delším časovém úseu, což se udává pomocí počtu cylů řídícího signálu, během něhož se povádějí výpočty. Tím dosáhneme přesného měření složy signálu ze snímačů na požadované fevenci. FRF na požadované fevenci se zísá jao přímý podíl amplitud vstupního a výstupního signálu. Tato se postupně měří celé požadované fevenční pásmo. Jde o velmi přesné a velmi časově náočné měření. Běžně se tento typ analyzátou po modální zoušy nepoužívá. FFT analyzáto (fevenční, spetální analyzáto) Pincip páce tohoto typu analyzátou už byl popsán v apitole - Dvouanálová analýza. Povádí ychlou Fouieovu tansfomaci (FFT) naměřeného signálu. Zopaujeme zde záladní pincipy jeho páce: měří současně všechny fevenční složy přítomné ve složitém časově poměnném signálu výstupem je spetum obsahující onečné množství slože, popisujících elativní amplitudy celého ozsahu fevencí přítomných v signálu vypočítává další funce, přičemž všechny výpočty jsou založeny na disétní Fouieově tansfomaci před vstupem signálu do A/D převodníu musí být vždy zařazen anti-aliasingový filt 4.. Měření Po přípavě měřené stutuy a přípavě geometicého modelu začneme s vlastním měřením. Připomeneme, že při buzení připojeným budičem vibací je budič a snímač síly umístěn v efeenčním bodě a snímač odezvy se postupně stěhuje do všech bodů stutuy (viz ob.4.5). Poud snímaných stupňů volnosti není více, než análů analyzátou, teý máme dispozici, můžeme sejmout odezvu ve všech požadovaných stupních volnosti současně. Tímto způsobem zísáme jeden sloupec matice FRF.

100 Modální zouša [ H] H... H Hn... Ob Měření při buzení budičem Při buzení ladívem je v efeenčním bodě umístěn obvyle snímač zychlení a ladívem postupně budíme stutuu ve všech bodech. Tím zísáme jeden řáde matice FRF (viz ob. 4.6). Není to vša stitním pavidlem. Poud je měřená stutua složitější a něteé její body, ve teých chceme měřit, jsou hůře dostupné, může být snazší do nich umístit aceleomet než v nich povést úde. V tom případě může být i při buzení ladívem stutua buzena ve stále stejném bodě (efeenčním) a snímač odezvy se může stěhovat. Stejně ta, poud e snímání odezvy chceme použít tojosý snímač, nemůžeme jej použít jao efeenční, potože efeenční je pouze jeden stupeň volnosti. I v tomto případě bychom budili stutuu ve stále stejném bodě (efeenčním) a snímač odezvy bychom přemísťovali. [ H] H H...H n Ob Měření při buzení ázovým ladívem Předtím, než začneme vlastní měření, je vhodné povést něteé ontoly, abychom si byli jisti, že naměřená data budou spávná. U buzení ladívem je snadné povést ontolu ecipocity. Teoeticy platí, že H ij (f)h ji (f). Změříme-li tedy FRF při buzení v místě i a odezvě v místě j a poté místa buzení a odezvy přehodíme, měli bychom naměřit tutéž FRF. Nejdůležitější ontolou, teou bychom nidy neměli opomenout, je ontola spávnosti měření v efeenčním bodě.

101 Modální zouša 4... Měření v efeenčním bodě V apitole 4.. bylo ozebáno, jaé jsou požadavy na tzv. efeenční bod a jaým způsobem se volí. Měření je vhodné začít pávě měřením v efeenčním bodě a zontolovat spávnost tohoto měření, než budeme poačovat v měření všech ostatních bodů na stutuře. Mějme stále na paměti, že z nevalitních dat nemůžeme žádnými dalšími postupy zísat věohodný modální model a z tohoto pohledu se péče věnovaná počátečním ontolám spávnosti dat jeví jao výhodná investice. Spávné měření v efeenčním bodě vypadá ta, že (viz ob. 4.7): v gafu amplitudy FRF zobazené v db je mezi aždou ezonancí antiezonance v gafu fáze FRF se ozsah fáze mění pouze v ozmezí 8 v gafu imaginání složy inetance a eceptance a v gafu eálné složy pohyblivosti mají všechny špičy stejná znaména [db/, (m/s²)/n]fequency Response H(Rectangle ( ).+Z, Rectangle ().+Z) (Magnitude) Modal : Measuement : Inpu t : Moda l FFT Analyze 5 4 Mag H jj (f) [db] [(m/s²)/n] Imag H jj (f) [g - ] 8 Fequency Response H(Rectangle ( ).+Z, Rectangle ().+Z) (Imaginay Pat) Modal : Measuement : Inpu t : Moda l FFT Analyze ,,6,4,8 3, [Hz] [Degee] Fequency Response H(Rectangle ( ).+Z, Rectangle ().+Z) (Phase ) Modal : Measuement : Inpu t : Moda l FFT Analyze fáze H jj (f) [ ] 4 8,,6,4,8 3, [Hz] [ ] Coheence (Rectangle ().+Z, Rectangle ().+Z) Modal : Measuement oheence : Inpu t : Moda l FFT Analyze,8,6,4, 8 m 6 m 4 m m 4 8,,6,4,8 3, [Hz] 4 Modal : Measuement : Input : Modal FFT Analyze Im H ij (f) 4 8,,6,4,8 3, [Hz] 3 Nyquistův gaf Re H ij (f) Ob Kontola spávnosti měření FRF( inetance) v efeenčním bodě

102 Modální zouša Po všechna měření, nejen v efeenčním bodě, by pa mělo platit, že oheence (vztah.) se co nejvíce blíží hodnotě. Běžně se toho ale nepodaří dosáhnout v celém měřeném fevenčním ozsahu. I při valitních měřeních je obvyle v antiezonancích oheence výazně menší než (viz ob.4.5) v důsledu toho, že úoveň signálu odezvy je na těchto fevencích sovnatelná s úovní šumu. Naopa, i při nepříliš valitních měřeních bývá oheence obvyle alespoň v oolí ezonancí ovna téměř. Po všechna měření by taé mělo platit, že Nyquistův gaf vyeslí po všechny ezonance zřetelné užnicové úsey. Na ob. 4.7 dole je vidět, že jeden z módů (jde o pvní mód) nevyeslil příliš zřetelnou užnici. Jde o pojev chyby úniem a s tím souvisejícího nedostatečného fevenčního ozlišení měření. Blíže bude tento případ podisutován v apitole poté, co se seznámíme s vlastnostmi modální užnice. 4.3 Identifiace modálních paametů Poté, co jsme měřením zísali všechna potřebná data (tj. jeden řáde nebo jeden sloupec matice FRF) a přenesli jsme tato data do počítače, nás čeá jejich zpacování. Této části modální zoušy se říá expeimentální modální analýza, potože je to fáze expeimentálního přístupu, teá odpovídá fázi nazývající se modální analýza i v teoeticém přístupu. V obou případech vede modální analýza odvození modálních vlastností systému. Je vša třeba si všimnout, že ty dva pocesy samotné jsou poněud odlišné: v expeimentu jde o poces apoximace řive (cuve-fitting), zatímco v teoeticé analýze jde o řešení poblému vlastních čísel. Ke zpacování naměřených dat je v dnešní době dispozici množství pogamových balíů učených po expeimentální modální analýzu a nepředpoládá se, že by uživatel tuto fázi pováděl bez softwaové podpoy. Každý softwae má dispozici něoli ůzných metod zpacování naměřených dat, a je na uživateli, aby byl schopen vybat nejvhodnější metodu po aždou apliaci. Podle složitosti pacují jednotlivé metody buď s částí FRF gafu obsahující jednu ezonanci, s částí FRF gafu obsahující více ezonancí, nebo jsou schopny zpacovat všechny naměřené FRF globálně. Ve všech případech je vša úloha v zásadě stejná: najít taové oeficienty v teoeticých výazech po fevenční odezvovou funci, teé budou v co největším souladu s naměřenými daty. Tato úloha se dá nejsnáze řešit s použitím výazů po FRF ve fomě řady, ta ja byly odvozeny v apitole 3 po ůzné typy systémů. Zvláštní výhodou tohoto přístupu je, že oeficienty tato učené jsou v přímém vztahu modálním vlastnostem testovaného systému, a většinou jsou to jediné paamety, teé nás zajímají. V tomto textu není účelem pobat všechny dostupné metody zísávání modálních paametů. Pobeeme si stučně jen tři z nich Metody apoximace systémem s volnosti Existuje více metod modální analýzy sdílejících stejný záladní předpolad: že v blízosti ezonance je celová odezva ovládnuta příspěvem módu, jehož vlastní fevence

103 Modální zouša 3 je nejblíže. Tyto metody se ještě dělí na metody, teé předpoládají, že vešeá odezva je dána tímto jediným módem, a metody. teé předpoládají, že příspěvy ostatních módů jsou epezentovány jednoduchou apoximací. K pvním z nich patří nejjednodušší metoda, teé se říá špiča-amplituda (pea-amplitude) nebo sbíání špiče (pea-picing). Ke duhým patří asi nejběžněji používaná metoda apoximace užnicí Metoda špiča-amplituda (sbíání špiče) Je to metoda, teá dostatečně funguje u stutu, jejichž FRF mají dobře sepaované módy a teé nejsou ta málo tlumené, aby nebylo možné zísat přesné měření v ezonancích, ale teé na duhé staně nejsou tlumené natoli, aby odezva v ezonanci byla silně ovlivněna více než jedním módem.tím je sice použitelnost metody omezena, ale u složitějších případů je možné ji použít alespoň zísání počátečních odhadů požadovaných paametů, čímž se uychlí obecnější apoximační postupy. Tato metoda se taé používá zísání povozních tvaů mitů. Apliuje se následovně: ) Na gafu FRF se identifiují jednotlivé ezonanční špičy a fevence, na teých je odezva maximální, jsou vzaty jao vlastní fevence Ω. ) Zaznamenají se amplitudy H na těchto vlastních fevencích. 3) Učí se tlumení pomocí bodů s polovičním výonem - ω a a ω b (vztah 3.4): ( ω ω ) ω ζ a b η Ω Ω 4) Povede se odhad modální onstanty analyzovaného módu za předpoladu, že celová odezva v této ezonanční oblasti je dána jediným módem - jediným členem v řadě N A j (vztah 3.): α j ( ω) po ωω Ω ω + iη Ω η Může být tedy zísána ze vztahu H A η Ω, taže A H Ω η Metoda apoximace užnicí (cicle-fit) Po systém s jedním stupněm volnosti vytváří Nyquistův gaf fevenčně odezvových vlastností řivu blízou užnici a poud je zvolen spávný typ odezvového paametu po daný model tlumení, ta jde o přesnou užnici. I systémy s více stupni volnosti vytvářejí Nyquistovy gafy FRF dat obsahující téměř užnicové úsey, odpovídající oblastem v blízosti vlastních fevencí. Tyto chaateistiy jsou záladem jedné z nejdůležitějších metod modální analýzy, teá je známa jao metoda apoximace užnicí po systém s jedním stupněm volnosti (SDOF cicle-fit method). Postup v tomto textu bude odvozen na systému se stutuním tlumením. Poto musíme použít FRF ve fomě eceptance, potože tato vytváří v Nyquistově diagamu přesnou užnici. Poud by vša bylo třeba použít model s visózním tlumením, bylo by nutné použít FRF ve fomě pohyblivosti. I dyž to vede na odlišný vzhled diagamů - potože jsou v omplexní ovině pootočeny o 9 - většina následující analýzy a poznáme se hodí stejně

104 Modální zouša 4 dobře i na tento případ. Něteé z pogamových balíů po modální analýzu, teé více ozlišují, nabízejí výbě mezi těmito dvěma typy tlumení a v závislosti na tomto výběu použijí apoximaci užnicí buď eceptanci nebo pohyblivost. Metoda apoximace užnicí využívá sutečnosti, že v blízosti ezonance je chování většiny systémů ovládnuto jediným módem. Algebaicy to znamená, že amplituda FRF je faticy dána jedním ze zlomů v řadě - tím, teý přísluší módu, jehož ezonance je sledována. Tento předpolad můžeme vyjádřit následovně. Ze vztahu (3.) máme: α j ( ω) A N s j s Ωs ω + iηsωs (4.a) To může být bez zjednodušení přepsáno jao α j j ( ω) + Ω ω A + iη Ω A N s j s,s Ωs ω + iηsω s (4.b) Předpolad volnosti je taový, že po malý ozsah fevencí v blízosti vlastní fevence -tého módu je duhý člen ve výazu (4.b) téměř nezávislý na fevenci ω a výaz po eceptanci může být zapsán jao: α j A ω (4.) j ( ω) B j Ω + Ω ω + iηω S gafem celové eceptance pa lze zacházet jao s užnicí mající stejné vlastnosti jao modální užnice vyšetřovaného módu, teá je ale posunuta z počátu omplexní oviny v míře učené příspěvem všech ostatních módů. Nedá se říci, že by ostatní módy byly nedůležité nebo zanedbatelné - pávě naopa, jejich vliv může být významný - ale spíše se dá říci, že jejich společný vliv může být vyjádřen v oolí ezonance onstantou. Vlastnosti modální užnice Záladní funce, teou se zabýváme, je N α ω Ω + η i Ω potože jediný vliv zahnutí modální onstanty (násobení A ) a v pootočení užnice (o A j j j (4.3) A je v zavedení měříta veliosti užnice ). Gaf veličiny α dle vztahu (4.3) je zobazen na ob Z něj je možné vidět, že po libovolnou fevenci ω můžeme napsat následující vztahy: ( α) η ( α) Im tg( γ ) (4.4a) Re ω Ω

105 Modální zouša 5 tg Re ( ) ( α) 9 γ ( α) tg ( θ / ) η (4.4b) Im ze teých dostaneme: ( η tg( θ / ) ) ω Ω ω Ω (4.4c) Deivací ovnice 4.4c podle θ dostaneme: dω dθ Ω η ω Ω + η (4.5) Im (α) γ ω Re (α) ½θ a Im (α) ½θ b Re (α) θ ω ω a θ a θ b Ω ω b Ob Vlastnosti modální užnice Převácená hodnota této veličiny je míou ychlosti, s jaou funce přeběhne přes uhový oblou. Je vidět, že dosáhne maximální hodnoty (maximální ychlosti pobíhání), dyž ω Ω, tedy při vlastní fevenci. To je vidět na další deivaci, tentoát podle fevence: d dω dω dθ po Ω ω (4.6) Výše uvedená vlastnost je užitečná při analýze dat systémů s více stupni volnosti, potože obecně není přesně známo, de je vlastní fevence, ale poud pošetříme elativní vzdálenosti mezi naměřenými body podél uhového oblouu v blízosti aždé ezonance, měli bychom být schopni tuto hodnotu učit z ychlostí půběhu ezonancí. Tlumení můžeme učit pomocí dvou bodů na modální užnici - ω a nad ezonancí a ω b pod ezonancí. Dosadíme do vztahu (4.4b): tg ( θ / ) tg( θ / ) b ω Ω η b a ωa Ω η a z těchto dvou ovnic dostaneme výaz po tlumení tohoto módu:

106 Modální zouša 6 ωa ωb η (4.7) Ω ( tg( θ / ) + tg( θ / ) ) a b Toto je přesný vztah a hodí se na jaouoliv úoveň tlumení. Poud se zabýváme malým tlumením, (řeněme po ztátové fatoy menší než -3%), zjednoduší se výše uvedený výaz na: ωa ωb η (4.8) Ω ( tg( θ / ) + tg( θ / ) ) Poud vezmeme dva body, po teé platí dostaneme známý vztah: ω ω a b θ a θb 9 (body s polovičním výonem), η (4.9a) Ω nebo, poud tlumení není malé: ωa ωb η (4.9b) Ω Poslední vlastnost se vztahuje na půmě užnice, teý je po veličinu specifiovanou ovnicí (4.3) dán vztahem. Poud se zavede pomocí modální onstanty v čitateli Ω η měříto, bude půmě D j A j Ω η (4.) a ja už bylo zmíněno dříve, celá užnice bude pootočena ta, že hlavní půmě - ten, teý pochází bodem příslušejícím vlastní fevenci - je oientován o úhel A j od záponé imaginání osy. Všimněte si, že to znamená, že dyž A bude záponé, bude užnice ležet v honí poloovině, což je situace, teá nemůže nastat u bodové FRF, ale u přenosové ano. Konstantní člen B j z ovnice (4.) učíme jao vzdálenost všu hlavního půměu modální užnice od počátu (viz ob. 4.9). Im(α) Re(α) A j B j D j Ω Ob Posunutí a natočení modální užnice

107 Modální zouša 7 Při vyhodnocování modálních paametů ze sutečných naměřených dat nemáme dispozici vždy celou modální užnici. U systému s dobře oddělenými módy se dá očeávat, že aždá ezonance vytvoří větší část užnice, ale se stoupajícím modálním ušením při bližších módech nebo větších úovních tlumení musíme očeávat, že budou identifiovatelné pouze malé užnicové úsey (možná 45 nebo 6 ). Poud Nyquistův diagam nevytvoří v blízosti něteé z ezonancí zřetelnou užnicovou část, je vyhodnocení modálních paametů poblematicé. Na ob. 4.7 dole je Nyquistův gaf z měření systému s dobře oddělenými módy. Jde o měření v efeenčním bodě a všechny ostatní gafy na tomto obázu uazují na valitní měření. Nyquistův gaf pvního módu vša nevyeslil zřetelný užnicový úse. V tomto případě je to v důsledu nedostatečného fevenčního ozlišení. Na obázu jsou čeveně označeny 4 body, teé jsou blízo ezonance a je vidět, že půběh přes ezonanci je v tomto případě ta ychlý, že nestihne vyeslit užnici. Z tohoto měření by byla bez poblémů přesně vyhodnocena vlastní fevence, ale odhad tlumení by byl velmi nespolehlivý. Řešením této situace by bylo snížit fevenční ozsah měření, s čímž souvisí podloužení doby měření, zmenšení chyby úniem a zlepšení fevenčního ozlišení Metody apoximace systémem s více stupni volnosti Je mnoho situací, ve teých je SDOF přístup modální analýze nedostatečný nebo nevhodný a existuje po ně něoli altenativních metod, teé mohou být společně nazvány jao apoximace s více stupni volnosti. Jedním zvláštním případem jsou systémy s extémně malým tlumením, u teých jsou měření v ezonancích nepřesná a obtížně zísatelná. Těmito se zde podobněji zabývat nebudeme. Opačným případem jsou systémy s úzce svázanými módy, de je apoximace jedním módem nevhodná. Blízce svázanými módy myslíme taové systémy, teé mají buď vlastní fevence velmi blízo u sebe nebo mají elativně velé tlumení nebo obojí. U těchto systémů odezva doonce ani v ezonanci není učena pouze jedním módem (neboli jedním členem ve FRF řadě). Tady můžeme použít buď jednoduché ozšíření SDOF metody nebo použít obecný přístup apoximaci. Jeho pincip si zde stučně vysvětlíme. Obecný přístup apoximaci Označíme jednotlivá naměřená FRF data jao: m m α ( ω ) α (4.a) j l l zatímco odpovídající "teoeticé" hodnoty se značí α j de oeficienty A l (4.b) M ( ω ) αl m s j + R s m Ω ω + η Ω ω s l i s s K j l A, A,..., Ω j j, Ω,..., η, η,..., R j R K j a R M j máme všechny učit.

108 Modální zouša 8 Člen ω l M R j představuje vliv nízofevenčních módů (těch, teé leží pod spodní hanicí měřeného fevenčního pásma) a člen R K j teé leží nad honí hanicí měřeného fevenčního pásma). představuje vliv vysoofevenčních módů (těch, Můžeme definovat jednotlivou chybu jao ε l, de ε l m ( α α ) l a to vyjádříme jao salání veličinu: l (4.) E l ε (4.3) l Poud dále zvýšíme obecnost přidáním váhového fatou w l do aždého fevenčního bodu, teý vyšetřujeme, musí apoximační poces učit hodnoty neznámých oeficientů v (4.) ta, aby celová chyba E p l wl El (4.4) byla minimalizována. Toho se dosáhne ta, že se výaz (4.4) deivuje podle aždé neznámé zvlášť, čímž se vytvoří množina tolia ovnic, oli je neznámých, aždá ve tvau: de dq ; q A, A,...,atd. (4.5) j j Tato vytvořená množina ovnic není bohužel po mnoho oeficientů lineání (všechny paamety Ω s a η s ) a není tedy možné ji řešit přímo. Kvůli tomu si ůzné algoitmy vybíají své vlastní postupy, přičemž povádějí ůzná zjednodušení. Většina jich používá nějaou fomu iteačního řešení, něteé výaz lineaizují, aby poblém zjednodušily a téměř všechny se velmi spoléhají na dobé počáteční odhady. 4.4 Modální model Ať už jsme použili teouoliv ze zde uvedených nebo jiných metod apoximace, výsledem by měl být onzistentní modální model. Při použití globálních metod apoximace je onzistentní model přímo jejich výstupem, při použití jednodušších SDOF metod je třeba použít něteé dodatečné postupy, jao je půměování vlastních fevencí a modálních tlumení zísaných z jednotlivých naměřených FRF chaateisti. Nicméně, všechny tyto oy bývají v softwaových postředcích po expeimentální modální analýzu zabudovány a poud uživatel nechce, nemusí se o ně staat. Ja už bylo řečeno v apitole., modální model je tvořen dvěmi maticemi: spetální matice (na diagonále má vlastní čísla, tj. vlastní fevenci a tlumení) modální matice - její sloupce jsou vlastní vetoy příslušející jednotlivým vlastním fevencím

109 Modální zouša Pezentace zísaného modálního modelu Sutečný výstup z pogamu po modální analýzu může být v tabulové fomě. Uáza výstupu z pogamu Sta Stuct je uvedena na obázcích 4.8 a 4.. Na ob.4.8 je tabula se zjištěnými vlastními fevencemi a tlumeními. Tlumení je zde udáno ve dvou fomách: damp[hz] udává polovinu šířy 3dB pásma, damp[%] je poměný útlum násobený. Jiné softwaové balíy mohou udávat tlumení v jiné fomě, např. jao ztátové fatoy η. Na ob.4. je tabula vlastních tvaů. V ní jsou číselně uvedeny jednotlivé vlastní tvay - ve fomě poměných výchyle a fází v jednotlivých stupních volnosti. V zobazené tabulce jsou vidět hodnoty po.mód po pvních něoli bodů. Data pocházejí z měření s tojosým aceleometem, taže aždý bod má 3 stupně volnosti - ve směech X,Y a Z. Softwaové balíy většinou umožňují expot a impot datových souboů ve standadním fomátu UFF a mnohé z nich umožňují i předávání dat mezi jinými pogamovými balíy, nejen po expeimentální modální analýzu, ale běžně omuniují např. s pogamem ANSYS apod. Tabulový výstup vlastních tvaů není příliš přehledný a po posouzení vlastních tvaů se nepoužívá, je vša nutný, poud chceme číselně sovnat vlastní tvay zísané expeimentem a výpočtem (blíže viz ap.4.4.3). Po běžné posouzení a pohlížení vlastních tvaů se používá vyeslení tvau a jeho animace. Animaci umožňují všechny softwaové balíy po modální analýzu, ale jen něteé umožňují i expot animovaného tvau v AVI fomátu. Poud potřebujeme vlastní tva pezentovat v tištěné podobě, musíme se spoojit se staticým obázem, jao např. na ob zde jsou zobazeny dvě ajní polohy 3. vlastního tvau z tabuly 4.. Nedefomovaná stutua je zobazena čeveně, vlastní tva čeně. Tabula 4. - Výstup z pogamu STAR - tabula vlastních fevencí a tlumení

110 Modální zouša Ob Staticé zobazení vlastního tvau Tabula 4. - Výstup z pogamu STAR - tabula vlastních tvaů

111 Modální zouša 4.4. Kontola zísaného modálního modelu Ta jao jsme ontolovali spávnost měření v efeenčním bodě (ap 4...), než jsme se pustili do všech dalších měření, bude i nyní vhodné alespoň oientačně pověřit spávnost zísaného modálního modelu, než se pustíme do jeho sovnání např. s výpočtovým modelem zísaným pomocí metody onečných pvů. Poud měříme stutuu, jejíž módy jsou dobře odděleny (a poud ji navíc měříme ve volném uložení), žádné poblémy s identifiací modálních paametů asi nenastanou a zísaný modální model bude spávný. U složitějších stutu s vázanými módy, s velou míou (nepopocionálního) tlumení bude i poces zísání modálních paametů ompliovanější. Mnohdy je nutné nebo alespoň vhodné zusit použít ůzné apoximační metody a vybat tu metodu, teá dává nejlepší výsledy. Ja je poznáme? Když si vizuálně pohlédneme zísané vlastní tvay, musejí vyazovat "systematicý" pohyb. Něteé "vlastní" tvay vyazují pohyb chaoticý, jsou všelija "hbolaté" apod. Poud se to stane, jsou dvě možnosti: buď na dané fevenci žádný vlastní tva není, ale pogam jej vytvořil, potože jsme to po něm v zadaném fevenčním pásmu chtěli, anebo tam vlastní tva je, ale jeho identifiace se ta úplně nepodařila. Při ozhodování, o teou z daných možností v onétním případě jde, se musíme opřít hlavně o zušenosti, ale jsou i možnosti, ja si pomoci, např.: Poud už máme po danou stutuu modální paamety zísané výpočtem, víme, ja mají vlastní tvay přibližně vypadat, a všechny přebytečné můžeme z naměřeného soubou vyřadit. Vypadá to logicy, ale i zde bychom mohli udělat chybu: Poud měříme stutuu v jiném než volném uložení, mohou být sutečné oajové podmíny jiné než oajové podmíny zadané do výpočtu a i zísané vlastní tvay se mohou lišit. Tuto situaci poznáme často ta, že z měření zísáme pěné hladé tvay, teé ve výpočtovém modelu chybějí. V tomto případě bude chyba spíš na staně výpočtového modelu. V aždém případě nám ale znalost teoeticých vlastních tvaů pomůže vyřadit naměřené "hbolaté" vlastní tvay (anebo nás donutí je identifiovat lépe). Můžeme pozoumat tzv. omplexitu vlastních tvaů, tzn. do jaé míy jsou výchyly ve vlastních tvaech omplexní čísla. Obecně se dá říci, že čím je tva méně omplexní, tím je větší pavděpodobnost, že je spávný. Zvláště to platí u málo tlumených stutu měřených ve volném uložení, u teých se omplexní tva vůbec nemůže vysytnout. Naopa, u hodně tlumených stutu s nepopocionálním tlumením (např. s pyžovými pvy) je výsyt vysoce omplexních tvaů běžný a nemusí znamenat chybu při identifiaci. Poud je tlumení měřené stutuy nepopocionální, jsou zísané vlastní tvay vždy omplexní. Při animaci poznáme omplexní vlastní tva ta, že se jaoby "vlní". Tento vizuální efet vzniá tím, že výchyly v jednotlivých bodech nedosahují svých maximálních hodnot současně. Důsledem toho je, že uzlové čáy mění svou polohu. Dalším důsledem je, že tyto tvay není možné zobazit staticy. Poud se o to chceme pousit, musíme je tazvaně nomalizovat, tzn. že fázím, teé mají hodnotu bližší nule, přiřadíme nulu (ladná amplituda) a fázím, teé mají blíže e 8, přiřadíme 8 (záponá amplituda). Tímto vyhlazením zísáme eálné přiblížení těchto vlastních tvaů. Když se podíváme do tabuly 4., vidíme, že v ní uvedený tva je velmi slabě omplexní, potože fáze jsou vesměs velmi blízo nebo 8.

112 Modální zouša Poud dva nebo více vlastních tvaů vypadají podobně, může být opět chyba v identifiaci. Může se to stát, dyž si např. nejsme jisti, oli módů se v daném fevenčním pásmu vysytuje, a chceme po pogamu, aby jich našel více, než jich ve sutečnosti je. Pogam nám vždy vyhoví, ale identifiuje v tomto případě tzv. "falešné módy". Po tento případ je dobé podívat se na tzv. MAC matici. Podobně o ní bude pojednáno v následující apitole, potože hlavní účel jejího použití je poovnání dvou modelů zísaných ůznými metodami, ale lze ji použít i po jeden model. V tomto případě bude mít MAC matice na hlavní diagonále všechny hodnoty ovny a na mimodiagonálních pvcích by měla být velmi malá čísla. Poud se tam vysytnou čísla blízá, velmi pavděpodobně jde o falešné módy. Poud si jsou velmi podobné vlastní tvay módů, teé jsou fevenčně dosti vzdálené, je to obvyle v důsledu toho, že se tyto tvay liší něčím, co nebylo měřeno. Geometicý model po modální zoušu bývá obvyle poměně jednoduchý, taže se snadno může stát, že nepostihne všechny detaily pohybu, a dva vlastní tvay se pa mohou jevit stejné, i dyž ve sutečnosti stejné nejsou. V tomto případě nejde o chybu měření, ale pouze o důslede nedostatečně jemného modelu Sovnání expeimentálně zísaného a výpočtového modálního modelu V apitole. jsme uvedli, že velmi často je modální zouša pováděna s cílem povést přímé sovnání mezi předpovězeným (vypočteným) dynamicým chováním stutuy a tím, teé je v paxi sutečně pozoováno. Nědy se tento poces nazývá veifiace (ověřování) teoeticého modelu, teé pobíhá v něolia ocích: poovnání dynamicých vlastností - expeimentální vs. výpočtový model vantifiace ozsahu ozdílů mezi těmito dvěma množinami dat povedení úpav v jedné z množin výsledů ta, aby bylo dosaženo většího souladu Když je toho dosaženo, je možné pohlásit teoeticý model za ověřený a je tímto připaven použití v následné analýze. Sovnání dynamicých vlastností expeimentálního a výpočtového modelu můžeme povést po všechny tři typy dynamicých modelů (fyziální, modální a odezvový). Z opačných postupů, teými se ubíá expeimentální a teoeticá analýza, je zřejmé, že co je nejpohodlnějším typem modelu po teoeticou analýzu, to je nejhůře dosažitelné po expeimentální analýzu a opačně. Při teoeticé analýze vycházíme z fyziálního modelu, ale dostat se němu přes naměřená data je poměně obtížné a vyžaduje apliaci dalších postupů zpacování dat, teé už nebývají součástí softwaových balíů. Naopa fevenční odezvové funce, teé přímo zísáme měřením, je elativně pacné zísávat v teoeticém modelu. Poto je nejčastějším fomátem po sovnávání dvou množin dat modální model. Uvedeme si zde něoli možností, teé máme při sovnávání modálních modelů dispozici Sovnání vlastních fevencí Zcela samozřejmé je povést sovnání naměřených vs. vypočtených vlastních fevencí. To se často dělá jednoduchou tabelací obou množin výsledů, ale užitečnější fomát je vyeslení

113 Modální zouša 3 expeimentální hodnoty opoti vypočtené hodnotě po všechny módy zahnuté do sovnání, ja je uázáno na ob Tímto způsobem lze vidět nejen stupeň souladu mezi oběma množinami výsledů, ale tay povahu a možnou příčinu vysytujících se odchyle. Vyeslené body by měly ležet na přímce se směnicí nebo blízo ní. Jestliže leží poblíž přímy, teá má jinou směnici, pa je téměř učitě příčina nesouladu v chybných mateiálových vlastnostech použitých při výpočtu. Poud jsou body podél přímy šioce ozptýleny, je v modelu, teý epezentuje stutuu, závažná chyba a je nutno povést záladní přehodnocení. Zvláštní pozonost vyžaduje případ, dy se body lehce odchylují od ideální přímy, ale systematicým a nioli náhodným způsobem, potože tato situace naznačuje, že zde je specificý ys, teý je za odchylu odpovědný, a že to nelze jednoduše přičíst na vub expeimentálním chybám. Poud je ozptyl malý a podél přímy se slonem 45 náhodně ozložený, ta lze předpoládat, že hodnoty pocházejí z nomálního pocesu modelování a měření. Obvylé je to, že čím vyšší (v pořadí) je vlastní fevence, tím je ozdíl mezi vypočtenou a naměřenou hodnotou větší. Rozdíly by měly mít tu tendenci, že vypočtené fevence jsou vyšší než naměřené, potože do výpočtu obvyle nezahnujeme tlumení, dežto naměřené fevence jsou vždy tlumené, a tedy nižší. sovnání vlastních fevencí 5 vypočtené [Hz] naměřené [Hz] Ob Gaficé sovnání vlastních fevencí Poud je většina bodů blízo ideální přímy (modé body na ob. 4.9) a něteé body jsou od této přímy hodně vzdálené (čevený bod na ob. 4.9), může to být tím, že sovnáváme ůzné módy. To je velmi častou chybou. Je třeba zdůaznit, že poud zísáme z měření módů a v témže fevenčním pásmu z výpočtu módů, není ještě zaučeno, že je můžeme automaticy přiřadit pvní pvnímu...až desátý desátému. Může se totiž stát, že: Pořadí dvou fevenčně blízých módů je ve dvou sovnávaných modelech přehozeno. Z měření nám jeden mód "vypadl" (třeba poto, že jsme měli efeenční bod v jeho uzlovém bodě), taže bychom měli z expeimentu o jeden mód méně, ale poslední z expeimentu zjištěný mód je ve výpočtovém modelu už nad zoumaným fevenčním pásmem, taže zase chybí ve výpočtu. Tím se počet módů vyovná.

114 Modální zouša 4 Kdybychom chtěli tato automaticy poovnávat zjištěné módy, ta ve všech zde uvedených metodách dojdeme neuspoojivým závěům. Poto je nezbytně nutné, abychom před zahájením jaéhooliv poovnávání dvou modelů nejdříve vizuálně pošli vlastní tvay a přiřadili příslušné módy sobě. Tím vyloučíme nebezpečí poovnávání dvou módů, teé sobě nepatří. To, že v expeimentálním modelu nějaý mód chybí, je celem běžné, taže nebezpečí plynoucí ze sovnávání dvou nesouhlasných módů je velé. Nicméně, poud módy sobě spávně přiřadíme, nedá se chybějící mód v expeimentálním modelu považovat za chybu, teá by nám bánila valitnímu sovnání obou modelů nebo naladění výpočtového modelu. Je zcela dostatečné, dyž výpočtový model naladíme podle těch módů, teé máme dispozici (předpoládá se, že nebude chybět pvní mód, ale spíše něteý z vyšších módů) Gaficé sovnání vlastních tvaů Jednou z možností, ja povést sovnání vlastních tvaů, je vyeslit defomovaný tva po oba modely - expeimentální a teoeticý - a přeýt jeden obáze přes duhý. Nevýhodou tohoto přístupu je to, že i dyž jsou vidět ozdíly, je obtížné je intepetovat a často jsou tato zísané obázy velmi matoucí, potože je v nich obsaženo příliš mnoho infomací. Pohodlnější metoda je podobná té po gaficé sovnání vlastních fevencí. Pvy vetoů vlastních tvaů se vyeslí do x-y gafu, opět naměřené vs. vypočtené, a v ideálním případě by opět měly být ozloženy poblíž přímy se směnicí. Po toto sovnání je potřeba vybat z výpočtového modelu, teý má obvyle mnohem více stupňů volnosti než expeimentální model, ty stupně volnosti, teé se shodují s expeimentálním modelem. Gaficé sovnání vlastních tvaů, 5, Výpočtem zísané vlastní tvay, 5,, -, -5, -, -5,, 5,, 5,, -5, -, -5,. vlastní tva 3. vlastní tva 4. vlastní tva -, Expeimentálně zísané vlastní tvay Ob Gaficé sovnání vlastních tvaů

115 Modální zouša 5 Povaha odchyle od ideálního stavu může opět poměně jasně indiovat příčinu nesouladu: poud body leží blízo přímy se směnicí jinou než, pa jeden ze sovnávaných vlastních tvaů není nomalizován podle matice hmot nebo je v datech nějaá jiná foma chyby měříta. Poud jsou body olem přímy šioce ozptýlené, je v jedné nebo duhé množině dat závažná nepřesnost a poud je ozptyl nadměný, může jít o případ, že sovnáváme pvy dvou vlastních vetoů, teé nepřísluší stejnému módu. Na ob. 4. je povedeno sovnání tří vlastních tvaů, aždý jinou bavou. Je vidět, že. a 3. vlastní tva vyazují dobou shodu, u 4. vlastního tvau je shoda hoší. Tento výslede je typicý, potože se vzůstající složitostí vlastních tvaů je obtížnější dosáhnout shody Numeicé sovnání vlastních tvaů Jao altenativu výše uvedenému gaficému přístupu můžeme použít numeicé sovnání vlastních tvaů. Níže uvedené vzoce předpoládají, že data vlastních tvaů mohou být omplexní. Expeimentální - naměřený vlastní tva je značen {φ X } a teoeticy vypočtený - analyticý vlastní tva {φ A }. Tato itéia jsou ve sutečnosti užitečná po všechny duhy sovnání, nejen expeiment vs. teoie, ale mohou být použity po sovnání libovolného páu odhadů vlastních tvaů. Pvní itéium se týá veličiny, teá se nazývá fato modálního měříta (Modal Scale Facto - MSF) a představuje směnici nejlepší přímy položené body na ob. 4.. Tato veličina je definována jao (mohou být fomy, podle toho, teý z vlastních tvaů je vzat jao efeenční): n * ( φχ ) ( ) j φα j j MSF ( Χ, Α) ( A,X) n * ( φα ) ( φα ) j j j n j n ( φ ) ( φ ) ( φx ) ( φx ) j j A j * X j MSF (4.6) Je třeba poznamenat, že toto itéium nedává žádnou indiaci vality apoximace bodů přímou, ale pouze její slon. Duhé itéium se nazývá oeficient oelace vlastních tvaů (Mode Shape Coelation Coefficient - MSCC) nebo itéium modální věohodnosti (Modal Assuance Citeion - MAC) a posytuje míu odchyly bodů od přímy ve smyslu nejmenších čtveců. Je definováno jao: ( A,X) n j ( φ ) ( φ ) Χ j Α * j MAC (4.7) n n * * ( ) ( ) ( ) ( ) φx φ φ φ j X j A j A j j j a je to salání veličina, i dyž jsou data vlastních tvaů omplexní. Stejně jao fato modálního měříta neindiuje stupeň souladu, neozlišuje ani iteium modální věnosti mezi náhodným ozptylem zodpovědným za odchyly a systematicými odchylami. Taže i dyž jsou tyto paamety užitečným postředem po vantifiaci sovnání mezi dvěma * j

116 Modální zouša 6 množinami dat vlastních tvaů, nedávají celový obaz a měly by být bány v úvahu přednostně ve spojení s gafy ve tvau zobazeném na ob. 4.. Stojí za to uvážit dva zvláštní případy: () ten, dy jsou dva vlastní tvay identicé a () ten, dy se liší jednoduchým saláním násobem. V případě () máme: { φ } { } X φ A z čehož je vidět, že a tay, že: ( X,A) MSF( A,X) MSF MAC ( X,A) V případě () máme {Φ X } γ{φ A } a zjistíme, že MSF ( X,A) γ, zatímco MSF ( A,X) γ ale potože oba módy spolu stále téměř doonale oelují, stále máme: MAC ( X,A) V paxi budou typicá data méně ideální než tato a očeává se, že poud použitý expeimentální a teoeticý vlastní tva budou sutečně ze stejného módu, pa hodnota MAC bude blízo zatímco poud budou sutečně patřit dvěma ůzným módům, měli bychom dostat hodnotu blízou. Když vezmeme množinu m X expeimentálních módů a množinu m A teoeticých módů, můžeme vypočíst m X m A matici MAC itéií modální věohodnosti a zobazit je v matici, teá by měla jasně indiovat, teý expeimentální mód náleží e teému vypočtenému módu. Je obtížné uvést přesné hodnoty, teých by mělo MAC nabývat, aby byly zajištěny dobé výsledy. Obecně se vša uazuje, že hodnoty větší než,9 bychom měli zísat po sobě patřící módy a hodnoty menší než,5 po módy, teé sobě nepatří. Ob MAC matice - gaficé znázonění

117 Modální zouša 7 Stojí za to zmínit se o něteých příčinách nedoonalých výsledů těchto výpočtů. Komě zjevného důvodu, že model je nespávný, mohou být hodnoty MAC menší než způsobeny: nelineaitami ve zoušené stutuře neodpůměovaným šumem v naměřených datech nedbalou modální analýzou naměřených dat nespávným výběem stupňů volnosti zahnutých do oelace Na ob. 4. je přilad MAC matice, teá pochází ze sovnání dvou měření - při buzení ladívem a budičem. Šlo o stutuu, teá má 3. a 4. mód velmi podobné a fevenčně od sebe vzdálené o,4 Hz, jejichž identifiace byla poblematicá. To je vidět na MAC matici, dy pve (3,3) je menší než,8 a pve (3,4) je větší než,4. Pozn.: V apitole 4.4. už jsme se o hodnotách MAC itéia zmínili. Uplatníme-li MAC itéium na sadu výsledů, dostaneme na hlavní diagonále vždy přesně hodnoty, taže signifiantní jsou po nás mimodiagonální hodnoty - měly by být blízé nule. Poud nejsou, je zde nebezpečí výsytu falešných módů.

118 Modální zouša 8 Shnutí pojmů expeimentální model volné uložení, pevné uložení, uložení in situ SISO, SIMO, MIMO FRA analyzáto, FFT analyzáto efeenční bod metody apoximace: metoda špiča-amplituda, metoda apoximace užnicí itéium MAC Otázy. Jaé znáte způsoby uložení měřené stutuy a jaé jsou výhody a nevýhody aždého z nich?. Co se myslí pojmem "expeimentální model"? Ja souvisí valita expeimentálního modelu s valitou zísaných modálních paametů? 3. Kteým typem měřící metody (SISO, SIMO, MIMO) se převážně zabývá tento učební text? 4. U jaého typu stutu je nutné použít MIMO metodu? 5. Jaý je vztah mezi tuhostí hotu ázového ladíva a vybuzeným fevenčním ozsahem? 6. Jaý je vztah mezi hmotností hlavy ázového ladíva a vybuzeným fevenčním ozsahem? 7. Poč se nedopoučuje použití ázového ladíva po měření s fevenční lupou? 8. Jaé jsou výhody a nevýhody buzení pomocí ázového ladíva? 9. Jaé jsou výhody a nevýhody buzení pomocí připojeného budiče vibací?. Jaé typy budících signálů znáte?. Jaé typy analyzátoů znáte?. Jaé měřící vybavení použijete po studium nelineait v systému? 3. Co je to efeenční bod a jaé požadavy jsou na něj ladeny? 4. Jaé znáte metody identifiace modálních paametů? 5. Ja se dá z Nyquistova gafu zjistit vlastní fevence? 6. Ja poznáte při animaci omplexní vlastní tva a ja taový tva vzniá? 7. Ja by měl vypadat gaf sovnávající expeimentálně zísané a vypočtené vlastní fevence? (Načtněte taový gaf po dobře odladěný MKP model.) 8. Ja by měla vypadat MAC matice sovnávající expeimentálně a výpočtově zísaný model? Co pvy matice MAC vyjadřují?

119 Povozní modální analýza 9 5 PROVOZNÍ MODÁLNÍ ANALÝZA V této apitole se seznámíte s modení metodou, teá umožňuje zísat modální paamety pouze z povozních dat, bez nutnosti umělého vybuzení měřené stutuy. Čas e studiu: hodiny Cíl: Po postudování této apitoly budete umět Vysvětlit podstatu povozní modální analýzy Posoudit možnosti použití povozní modální analýzy Povést povozní modální analýzu a posoudit zísané výsledy Výlad Povozní modální analýza je metoda, pomocí teé je možné zísat modální model pouze na záladě měření odezev. Postup měření je stejný jao u měření přenositelností (tansmissibilit) u povozních tvaů mitu. Potřebujeme tedy jeden efeenční aceleomet, teý zůstává po celou dobu zoušy na místě, a jeden nebo více aceleometů na snímání odezvy, teé se přemísťují po stutuře. Matematicé pozadí, teé stojí za povozní modální analýzou, je vša mnohem složitější, než je tomu ja u povozních tvaů mitů, ta u lasicé modální zoušy, teou se až dosud zabýval tento učební text. Dá se říci, že tepve masivní náůst výpočetní apacity počítačů v posledních letech umožnil vzni a ozšíření této metody. Povozní modální analýza, ja už název napovídá, se povádí za sutečných povozních podmíne měřeného stoje nebo zařízení, přičemž se neměří vstupní budící síly, ale pouze vibační odezvy. Přesto jejím povedením zísáme platný modální model měřeného systému, i dyž nenomovaný. Tato metoda je zvláště vhodná po měření velých stutu, u teých by bylo umělé buzení poblematicé nebo nemožné. S úspěchem se používá po modální zoušy mostů, budov, těžebních plošin apod. Přiozené buzení od silničního povozu, větu nebo mořsých vln je v tomto případě šioopásmové, což je hlavní předpolad po úspěšný půběh modální zoušy. Liteatua uvádí, že v současnosti se OMA začíná uplatňovat i ve stojíensých apliacích - u otačních stojů, zouše při jízdě, za letu apod. Limitujícím fatoem v těchto případech bývá pávě způsob přiozeného buzení. Např. u otačních stojů pochází hlavní budící fevence od otáče otou a buzení na ostatních fevencích bývá velmi slabé. Za těchto oolností bude spolehlivost zísaného modálního modelu malá. Situaci můžeme zlepšit tím, že apliujeme přídavné šioopásmové buzení, teé neměříme (viz ob. 6.).

120 Povozní modální analýza aceleomet měření odezvy efeenční aceleomet přídavné neměřené šioopásmové buzení ladívem Ob Sestava měření při povozní modální analýze s přídavným buzením Výhody povozní modální analýzy opoti lasicé modální zoušce se dají shnout tato: Není třeba připavovat upevnění stutu, budičů a snímačů síly: - nevyžaduje testovací přípavy - přípava je ychlá - není dynamicé zatížení od budičů a budících tyče - nejsou poblémy s činitelem výmitu jao při použití ladíva - nehozí potenciální pošození stutuy Modální model epezentuje sutečné povozní podmíny: - sutečné oajové podmíny - sutečné síly a úovně vibací Je zapotřebí pouze přiozené náhodné nebo neměřené umělé šioopásmové buzení. Nenaušuje běžný povoz. Modální zouša může být povedena současně s jinými apliacemi. Metoda je přiozeně polyefeenční, potože buzení působí ve více místech měřené stutuy. Je možná identifiace vícenásobných módů.

121 Povozní modální analýza Je třeba se vša zmínit i o nevýhodách, a to: Zísaný modální model je nenomovaný (nemá měříto), nelze tedy povádět simulace modifiací a vynucené odezvy. Metoda vyžaduje větší zušenosti opeátoa, často je zapotřebí předběžná analýza. Může vyžadovat dlouhé časové záznamy. - je potřebná větší apacita po zpacování dat - je potřebný větší výpočetní výon Při povozní modální analýze přijímáme něteé předpolady, teé můžeme ozdělit na teoeticé (matematicé) a paticé. Teoeticé předpolady: Stacionání signály vstupních sil mohou být apoximovány filtovaným Gaussovsým bílým šumem s nulovou střední hodnotou. - Signály jsou úplně popsány svými oelačními funcemi. - Vypočtené spetální hustoty a oelační funce jsou podobné těm, teé se zísají z expeimentálních dat. Paticé předpolady: Buzení je šioopásmové. Musí být vybuzeny všechny módy (jao u lasicé modální zoušy). A je to pávě nedoonalé splnění předpoladu šioopásmového buzení, co způsobuje poblémy při analýze dat. Poud je stutua buzena pouze bílým šumem, vešeé špičy ve spetu odezvy příslušejí pouze módům, taže spetum obsahuje pouze infomace o samotné stutuře (ob. 6. nahoře). Ta tomu ale v paxi není. Kdybychom měřili spetum budící síly (což u povozní modální analýzy neděláme), zjistili bychom, že toto spetum není ploché, ale má své spetální ozložení. To se pa pojeví ve spetu odezvy jao další módy (ob. 6. upostřed). To ale ještě není vše, co ontaminuje spetum odezvy. Taé se v něm pojeví vliv šumu a vliv hamonicých slože od otáčové fevence otujících částí. Výsledem je spetum odezvy dle ob. 6. dole. Je jasné, že sebedoonalejší matematicý apaát není schopen ozlišit sutečné stutuní módy od falešných módů pocházejících z neovnoměností speta budících sil. K tomu jsou potřebné zušenosti opeátoa nebo předběžné znalosti o stutuních módech zísané z výpočtového modelu. U otačních stojů je aždopádně vhodné znát alespoň povozní tvay mitu, než se pustíme do povozní modální analýzy. Jejím výsledem totiž nejspíš bude směs stutuních módů a povozních tvaů mitu, přičemž duhé z nich budou dominantní a je dobé o nich předem vědět. Poud povozní tvay mitu předem nezměříme, je minimálně nutné počítat s tím, že se na otáčové fevenci a jejích násobcích ve výsledcích z povozní modální analýzy objeví.

122 Povozní modální analýza spetum bílého šumu spetum odezvy spetum vstupní síly spetum odezvy otující části spetum odezvy spetum vstupní síly šum Ob Spetum odezvy v povozních podmínách 5. Metody identifiace Softwaové balíy po povozní modální analýzu nabízejí dvě metody identifiace modálních paametů: nepaameticá - deompozice ve fevenční oblasti (FDD - Fequency Domain Decomposition) - modální paamety jsou učovány přímo z naměřených dat. paameticá - identifiace v podpostou (SSI - Stochastic Subspace Identification) - modální paamety jsou učeny z modálního modelu, teý se hodí na data zísaná zpacováním naměřeného signálu.

123 Povozní modální analýza 3 Stučně si uvedeme pouze postup u metody FDD, teý je následující: - odhad výonových spetálních hustot (PSD - Powe Spectal Density) (ob. 6.3) - ozlad PSD do singuláních hodnot (SVD - Singula Value Decomposition) - identifiace modelů s volnosti (SDOF) ze SVD - identifiace modálních paametů ze SDOF modelů Rozlad výonových spetálních hustot do singuláních hodnot pobíhá dle vztahu G yy (iω ) j d iω λ j φ φ T * d + iω λ j (6.) de s je onstanta, teá je po danou fevenci eálná. Tento ozlad se povede po aždou fevenci. * φ * φ *T s φ φ T + s φ * φ *T [db ( m/s ) / Hz] Magnitude of Spectal Density betw een Response (7Z-) and Response (7Z-) of Data Set Measuement Fequency [Hz] Ob Odhad výonové spetální hustoty [db ( m/s ) / Hz] 4 Singula Values of Spectal Density Matix of Data Set Measuement Fequency [Hz] Ob Singulání hodnoty

124 Povozní modální analýza 4 V pogamu se zadává, oli ča singuláních hodnot chceme učit (na ob. 6.4 jsou tři). Teoie říá, že poud je v honí řadě špiča, má na příslušné fevenci stutua alespoň jeden mód, poud je v duhé řadě špiča, má na příslušné fevenci stutua alespoň dva módy atd. Káté zušenosti autoy textu s metodou povozní modální analýzy tuto teoii zatím nepotvdily. 5. Pezentace výstupů Stejně jao u lasicé modální analýzy, i u povozní modální analýzy zísáme modální model, tzn. modální a spetální matici. Aby šlo sutečně o platný modální model, je nejdříve nutné z výsledů odstanit falešné módy a povozní tvay mitu, ta ja o tom bylo pojednáno dříve. Tabula 6. - Vlastních fevence a poměné útlumy zísané pomocí OMA Spetální matici zobazuje pogam (v tomto textu jsou použity uázové výstupy z pogamu PULSE Opeational Modal Analysis) ve tvau tabuly, ve teé jsou uvedeny vlastní fevence a poměné útlumy (ob. 6.5). (Potože jde o statisticé odhady, e aždé hodnotě je uvedena i její směodatná odchyla.) Modální matici, tedy číselné vyjádření vlastních tvaů, je možné expotovat v univezálním fomátu (UFF). Nejvhodnější způsob zobazení vlastních tvaů je opět jejich animace.