Úlohy domácího kola kategorie A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úlohy domácího kola kategorie A"

Transkript

1 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí obshu S obecého trojúhelíku z délek jeho str, b, c je dáo Heroovým vzorcem S = s(s )(s b)(s c), kde s = + b + c. ez ozčeí s pro polovičí obvod je zápis Heroov vzorce poěkud delší: S = 4 ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c). () Udělejme mlou odbočku všiměme si, jk Heroův vzorec epřímo testuje zámé erovosti, které zručují eisteci trojúhelíku: Čísl, b, c jsou délkmi str ěkterého trojúhelíku, právě když všichi čiitelé pod odmociou ve vzorci () jsou kldí. Podle vzorce () je obsh T trojúhelíku o strách + b, b + c, c + rove T = 4 ( +b +c)(c)()(c) = bc( + b + c). Dokzovou erovost T 4S tudíž rozepíšeme jko bc( + b + c) ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c); v ekvivletí erovosti mezi odmocňovými výrzy zkrátíme čiitel ( + b + c) dosteme tk erovost bc (b + c )( + c b)( + b c), () kterou yí (pro stry, b, c obecého trojúhelíku) ěkolik způsoby dokážeme. Při prvím z ich využijeme zřejmých erovostí (b c) =( b + c)( + b c), b b (c ) =(b c + )(b + c ), c c ( b) =(c + b)(c + b). (3) Protože jde o tři erovosti mezi kldými výrzy, souči jejich levých str eí meší ež souči jejich prvých str: b c (b + c ) ( + c b) ( + b c),

2 odkud po odmocěí dosteme erovost (). Tím je erovost T 4S dokázá. Z šeho postupu rověž plye, že rovost T = 4S ste, právě když budou splěy součsě tři rovosti = (b c),b = b (c ), c = c ( b), tj. právě když bude pltit = b = c (přípd rovostrého trojúhelíku). Pozmeejme, že důkzu () jsme dosáhli vyásobeím tří logických erovostí (3). Prví z ich po odmocěí obou str získá tvr erovosti mezi ritmetickým geometrickým průměrem (kldých) čísel u = + b c v = b + c: ( + b c)+( b + c) = ( + b c)( b + c), Využít tkovou G-erovost vás možá pde, když dokzovou erovost () přepíšete z původích proměých, b, c do ových proměých u = + b c>0, v= b + c>0, w= + b + c>0. Protože = (u + v), b = (u + w) z = (v + w), přejde erovost () v erovost (u + v)(u + w)(v + w) 8uvw ( ) souvislost s G-erovostmi u + v uv, u + w uw, v + w vw je sdě. Dokázt trsformovou erovost ( ) můžeme ovšem i užitím jedié G-erovosti: po rozásobeí levé stry ( ) zřejmé úprvě dosteme u v + u w + v u + v w + w u + w v 6 což je G-erovost pro skupiu šesti čleů u v, u w, v u, v w, w u, w v, uvw, eboť jejich geometrický průměr je rove 6 u v u w v u v w w u w v = uvw. N závěr uveďme ještě jede lgebrický důkz erovosti (). S ohledem symetrii předpokládejme, že mi{b, c}, položme = b 0, y = c 0přepišme erovost () jko erovost pro mohočle proměé s koeficiety závislými y: bc (b + c )( + c b)( + b c) = = ( + )( + y) ( + + y)( + y )( + y) = = [ + ( + y)+y] [ +( + y)][ ( y) ]= =[ 3 + ( + y)+y] [ 3 + ( + y) ( y) ( + y)( y) ]= = [y +( y) ]+( + y)( y). Posledí výrz je (vzhledem k tomu, že >0, 0, y 0) zřejmě ezáporý, přičemž ule se rová, právě když pltí y =0 y =0, eboli = y =0.

3 . V oboru celých čísel, y řešte rovici ( 5 ) +(y 4 ) 5 =y +5, () kde 5 zčí ásobek pěti ejbližší k číslu, příkld ( 9) 5 = 0. Řešeí. Podáme ejprve úplé řešeí úlohy, všk bez metodického kometáře, který uvedeme ž v ásledé pozámce. Nechť dvojice celých čísel, y vyhovuje rovici (). Protože součet ( 5 ) +(y 4 ) 5 je dělitelý pěti, dává číslo y při děleí pěti zbytek 4, tj. 5 (y 4). Číslo y proto eí dělitelé pěti, tkže pltí buď y =5k ±, ebo y =5k ±, kde 5k = y 5.Obě možosti teď posoudíme odděleě. Přípd y =5k±. Protože y =5k ±0k+, pltí 5 (y ), proto z podmíky 5 (y 4) plye 5 ( 4) =( ), tedy =5 +,kde5 = 5.Zpodmíky 5 (y ) plye rověž 5 (y 4 ), eboli (y 4 ) 5 = y 4, tudíž rovice () získává tvr Postupými úprvmi dosteme (5) +(y 4 ) = (5 +) y +5. (y 4 0y +5 ) 4y =5, (y 5) 4y =5, (y 5 y)(y 5 +y) =5. () N levé strě posledí rovice je souči dvou celých čísel lišících se o 4y,tedyoásobek čtyř; protože 5 = 3, stojí levé strě () souči čísel 6, ebo souči čísel 6. Tk či ok pltí 4y =6 =4, odkud y = ±6, tkže meší zobou čiitelů v () je rove 6 5 =4 5. Ztímco rovice 4 5 = žádé celočíselé řešeí emá, rovice 4 5 = 6 má řešeí =0, kterému odpovídá =5 0 + =5. Podmíku y =5k ± tedy splňují právě dvě řešeí rovice (): (, y) =(5, 6) (, y) =(5, 6). Přípd y =5k±. Protože y =5k ±0k+4, pltí 5 (y +), proto z podmíky 5 (y 4) plye 5 ( 4) = ( +), tedy =5, kde 5 = 5.Zpodmíky 5 (y +) plye rověž 5 (y 4 ), eboli (y 4 ) 5 = y 4, tudíž rovice () získává tvr Postupými úprvmi dosteme (5) +(y 4 ) = (5 ) y +5. (y 4 0y +5 )+4y =5, (y 5) +4y =5. (3) Ob sčítci v levé strě posledí rovice jsou ezáporí, tkže epřevyšují číslo 5 z prvé stry. Z erovosti 4y 5 plye y 3, což s ohledem podmíku y =5k ± zmeá, že buď y = ±, ebo y = ±3. Je-li y = ±, je rovice (3) splě, 3

4 právě když (4 5) =36, což ste pro jedié celé číslo =, kterému odpovídá =5 =8.Je-liy = ±3, přejde (3) v rovici (9 5) =6 s jediým celočíselým kořeem =, kterému odpovídá =5 =3.Podmíkuy =5k ± tedysplňují právě čtyři řešeí (, y) rovice (): dvojice (8, ), (8, ), (3, 3) (3, 3). Odpověď. Rovice () má v oboru celých čísel celkem šest řešeí (, y): dvojice (5, 6), (5, 6), (8, ), (8, ), (3, 3) (3, 3). Pozámk. Řešitelé by si měli předě uvědomit, že pro kždé celé z je číslo z 5 rovo jedomu z čísel z, z, z, z+ ebo z+ (tomu z ich, které je ásobkem pěti). Dou úlohu by bylo možé proto řešit tk, že bychom rovici () posoudili v jedotlivých přípdech =5 + r y =5k + q, kdečíslr q probíhjí (vzájem ezávisle) možiu {,, 0,, }. Tková diskuse by ovšem byl zdlouhvá, výše podé řešeí je jejím promyšleým zkráceím. Uvědomte si, že při šem postupu jsme ejdříve vyloučili přípd q =0 poté jsme již rozlišili pouze přípdy q = ± q = ±. ylo to umožěo tím, že číslo y má při děleí pěti zbytek ezávislý zméku čísl q že podle tohoto zbytku lze z rovice () jedozčě určit obdobý zbytek čísl, tedy hodotu r. Posledí trik, který jsme při řešeí upltili, spočívl v tom, že jsme do rovice () edoszovli vyjádřeí y =5k ± resp.y =5k ±, čímž se ám poěkud zjedodušil zápis příslušých rovic () (3). Dodejme ještě, že lgebrické úprvy rovice () vedoucí k rovicím () (3) ptří při řešeí rovic v oboru celých čísel k těm ejobvyklejším postupům. Řešitelům úlohy pomůžeme, když jim postupě předložíme tyto dílčí úkoly: ) Dokžte, že číslo y z libovolého řešeí (, y) rovice () eí dělitelé pěti. b) Zjistěte zbytky při děleí pěti čísel y y 4 v závislosti zbytku čísl y. c) Určete zbytek při děleí pěti čísl z libovolého řešeí (, y) rovice (), záte-li (eulový) zbytek čísl y. 3. V dém trojúhelíku protíá os úhlu stru v bodě K kružici opsou v bodě L (L ). Ozčme V střed kružice vepsétrojúhelíku, S střed kružice opsétrojúhelíku KV Z průsečík přímek SL. Dokžte, že přímk SK je tečou kružice opsétrojúhelíku KLZ. Řešeí. Skutečost, že ěkterá přímk je tečou ěkteré kružice, ověřujeme čsto pomocí důležité plimetrické poučky o tzv. úsekovém úhlu, t všk eptří k běžému gymziálímu učivu. Proto se o í zmííme před vlstím řešeím úlohy. Obrázek ilustruje zámý školský poztek o obvodových středových úhlech: Velikost ω středového úhlu S kružice k je rov dvojásobku velikosti ϕ příslušého obvodového úhlu K. N obrázku b je kromě kružice k ostředus její tětivy kresle ještě úsečk L,která svírá s tětivou úhel velikosti τ. Z rovormeého trojúhelíku S se zákldou plye, že úhel S má velikost (80 ω) =90 ω, proto úhel SL má velikost (90 ω)+τ. Přímk L je tečou kružice k, pokud je úhel SL prvý, tedy pokud pltí (90 ) ω + τ =90, eboli ω =τ. Doporučujeme provést zkoušku, i když eí utou součástí tkto podého řešeí. 4

5 L ω S ϕ K Obr. k τ ω S Obr. b k Stejá podmík ω =τ se podobě odvodí i v přípdě z obr. c, kdy středový úhel ω je větší ež 80. V obou situcích se úhel L mezi úsekem L tečy tětivou zývá úsekový úhel. Jk jsme právě dokázli, velikost ω středového úhlu S je rov dvojásobku velikosti τ úsekového úhlu L. V důsledku uvedeých vět pltí tvrzeí o shodosti obvodových úsekových úhlů, pokud tyto dv úhly vybíráme v opčých poloroviách vyťtých přímkou, které leží dotyčá tětiv kružice (obr. d). Protože velikost úsekového úhlu polohu příslušé tečy jedozčě určuje, využijeme při řešeí dé úlohy shodost obvodového úsekového úhlu ve formě této implikce: Jsou-li dáy tři růzébody,, K téže kružice k vitří bod L poloroviy opčék poloroviě K jsou-li úhly K L shodé, pk přímk L je tečou kružice k. L K τ S ω ϕ ϕ ϕ L k L ϕ ΞObr. d K k ΛObr. c Situce z ší úlohy je zázorě obr.. Kružice opsé trojúhelíkům, KV KLZ jsou ozčey po řdě k, k k. Nší úlohou je dokázt, že přímk SK je tečou kružice k ; k tomu podle předchozího odstvce stčí vysvětlit, proč jsou shodé úhly SKZ KLZ, vyzčeé obr. obloučky. Kromě toho ovšem musíme zdůvodit, proč body L S vždy leží v opčých poloroviách s hričí přímkou (jk je tomu v přípdě šeho obrázku). Střed V kružice vepsé je vždy vitřím bodem trojúhelíku, eboť je průsečíkem os jeho vitřích úhlů. Proto je bod V vitřím bodem úsečky K, z- 5

6 k V k K Z S k ΠObr. L tímco bod L leží jejím prodloužeí z bod K. odyv L proto leží v opčých poloroviách s hričí přímkou. Ozčíme-li jko obvykle α, β, γ velikosti vitřích úhlů trojúhelíku, má trojúhelík V uvrcholů vitří úhly velikostí β γ, tkže pro jeho vější úhel při vrcholu V pltí <) V K = β + γ < 90. Úhel V K je tudíž ostrý, proto střed S kružice k leží ve stejé poloroviě s hričí přímkou K jko bod V, což spolu s předchozím tvrzeím o poloze bodů V L zmeá, že body L S skutečě leží v opčých poloroviách s hričí přímkou, jkjsme potřebovli ověřit. Podle věty o obvodových středových úhlech v kružici k pltí <) SK = <) V K = β + γ, z rovormeého trojúhelíku KS tudíž plye <) SKZ = <) SK = (80 <) SK ) = (80 β γ) = α. Zbývá ám proto dokázt, že tké úhel KLZ má velikost α. Provedeme to dvěm ezávislými postupy. Při prvím z ich ejprve určíme velikost úhlu LV.Protože <) L = <) L = = γ (obvodové úhly v kružici k) <) V = β, vzhledem k vzájemé poloze úseček LV můžeme psát <) LV = <) L + <) V = (β + γ). Již dříve jsme zjistili, že tkovou velikost má i úhel V K (eboli úhel V L), tk je trojúhelík V L rovormeý: L = VL. Zároveň ovšem pltí S = VS, tkže 6

7 ob body L S leží ose úsečky V (čtyřúhelík LV S je tedy deltoid, přípdě kosočtverec ebo čtverec). Odtud plye, že úsečky V SL jsou vzájem kolmé, úhel KLZ je proto doplňkový k úhlu V K: <) KLZ =90 <) V K =90 (β + γ) = α. Tím je tvrzeí úlohy dokázáo. Při druhém způsobu určeí velikosti úhlu KLZ si ejdříve všimeme, že pltí <) LK = <) L = <) = α (obvodové úhly v kružici k), což spolu s dříve odvozeou rovostí <) SK = β + γ zmeá, že ve čtyřúhelíku LKS je součet vitřích úhlů u protějších vrcholů L S rove 80, jedá se proto o čtyřúhelík, kterému lze opst kružici. V í jsou KS KLS shodé obvodové úhly d tětivou KS,protopltí <) KLZ = <) KLS = <) KS = α (připomíáme, že KS je rovormeý trojúhelík s úhly α při zákldě K). 4. Nechť je dépřirozeéčíslo. Pro kteréhodoty reálého prmetru p má soustv rovic 4 + = p, 4 + = p 3,..., 4 + = p, 4 + = p lespoň dvě řešeí v oboru reálých čísel? Řešeí. Protože dá soustv () je velmi složitá ptrě eeistuje postup, jk v koečém lgebrickém tvru vyjádřit všech její řešeí, budeme jedk přemýšlet o podmíkách řešitelosti této soustvy, jedk hledt ěkterá její speciálí řešeí. Všiměme si ejdříve, že soustv () emá žádé řešeí pro hodotu p =0, protože hodoty levých str rovic jsou kldá čísl. Tké druhé zjištěí, které yí uvedeme, je zřejmé: -tice čísel (,,..., ) je řešeím soustvy () s hodotou prmetru p, právě když -tice opčých čísel (,,..., ) je řešeím soustvy () s opčou hodotou prmetru p. Hodoty levých i prvých str všech rovic soustvy se totiž při změě všech hodot i i p p ezměí, protože pro libovolá 0p pltí ( ) 4 + ( ) = 4 + ( p)( ) =p. Soustv () s hodotou prmetru p má tedy právě tolik řešeí, kolik jich má soustv () s hodotou prmetru p. udeme proto hledt pouze všech kldá čísl p, pro 7 ()

8 která má soustv () spoň dvě řešeí ( v odpovědi k im připojíme všech opčá čísl p.) ž do závěru řešeí budeme tedy uvžovt je kldé hodoty prmetru p soustvy (). Z kldosti jejích levých str plye, že tké všechy prvé stry p i musí být kldé, proto (s ohledem předpokld p>0) musí pltit i > 0prokždéi. Libovolé řešeí (,,..., ) soustvy () je tedy sestveo z kldých čísel. Předpokládejme yí, že pro dé p>0 ějké řešeí (,,..., ) soustvy () eistuje, všech rovic mezi sebou vyásobme. Pro kldá čísl,,..., tk dosteme rovost ( 4 + )( 4 + ) ( ) = p.... () Kždý čiitel levé strě odhdeme zdol podle zámé erovosti u + v uv, která pltí pro libovolá kldá čísl u v, přičemž rovost ste, právě když u = v (je to v podsttě erovost mezi ritmetickým geometrickým průměrem čísel u v, plyoucí sdo ze zřejmé erovosti ( u v) 0). Proto pro kždý ide i pltí 4 i + i 4 i i = i = i. (3) Důsledkem rovosti () je tudíž erovost ( )( )... ( ) p..., (4) ze které po kráceí (kldým) součiem... dosteme podmíku číslo p ve tvru p ( ), eboli p. Zformulujme, co jsme právě zjistili: má-li soustv () pro pevé p>0 lespoň jedo řešeí, pk pro toto číslo p pltí odhd p. Pro krjí hodotu p = yí soustvu () úplě vyřešíme, tj. jdeme všech její řešeí. Je-li (,,..., ) libovolé řešeí soustvy () s hodotou p = =, pk podle úvh z předchozího odstvce ste v erovosti (4) rovost, což je možé jediě tk, že rovosti stou ve všech ásobeých erovostech (3). Proto tehdy pro kždý ide i pltí 4 i =, eboli 6 i =, tj. i = 6. i Pro hodotu p = mátedysoustv()jedié(!)řešeí (,,..., )= ( 6, 6,..., 6 ). 8

9 Z výsledků předchozích dvou odstvců plye: má-li soustv () pro pevé p>0 lespoň dvě řešeí, pk pro toto číslo p pltí ostrá erovost p >. Njdeme-li proto dvě řešeí soustvy () s libovolou hodotou prmetru p>, budeme zát odpověď otázku ze zdáí úlohy. Zmíěá dvě řešeí budeme hledt mezi -ticemi (,,..., ) složeými z stejých čísel; tková -tice (,,...,) je zřejmě řešeím soustvy (), právě když je číslo řešeím (jedié) rovice 4 + = p, eboli 6 p 3 +=0. Posledí rovice je kvdrtická vzhledem k ezámé y = 3 mávoborureálýchčísel y dvě růzá řešeí y, = p ± p 8 pro kždou z ámi uvžových hodot p>, eboť pro ě pltí p 8 > 0. Pro kždé tkové p má tedy původí soustv () dvě řešeí (,..., )=( 3 y,..., 3 y ) (,..., )=( 3 y,..., 3 y ). (Nevylučujeme, že kromě těchto řešeí tehdy eistují i řešeí jiá, totiž tková, že i j pro ěkterá i j.) Odpověď. Všechy hledé hodoty p tvoří možiu ( ; ) ( ; ). 5. Njděte všechy mohočley P () s reálými koeficiety, kterépro kždéreálé číslo splňují rovost ( +)P ( ) + ( ) P ( +)=P(). () Řešeí. Dvěm odlišými postupy ukážeme, že vyhovující mohočley jsou právě mohočley tvru P () = 3 + d, kde d jsou libovolá reálá čísl. Při prvím postupu upltíme metodu, která je užitečá i při řešeí moh jiých úloh o mohočleech; říká se jí metod eurčitých koeficietů. Jko obvykle budeme čley mohočleů zpisovt v sestupém pořdí podle moci proměé ; pomocí prvích koeficietů hledého mohočleu P () = + b + c + d () vyjádříme prví koeficiety obou str rovice () pk je porováme. Zápisem () jsme zčili, že budeme skutečě počítt s prvími čtyřmi koeficiety mohočleu P (). Ukáže se totiž, že výpočty s meším počtem koeficietů k vyřešeí úlohy estčí. bychom pro mohočley stupě ejvýše 3 emuseli provádět dlší smostté výpočty, ebudeme proztím předpokládt, že koeficiet umociy v zápisu () je růzý od uly. 9

10 Njdeme ejdříve prví čley mohočleu P ( ): P ( ) = ( ) + b( ) + c( ) + d( ) = = ( ( ) + ( ) ( 3) ) + + b ( ( ) + ( ) 3... ) + + c ( ( ) ) + d ( 3... ) +...= = + [ ( + b + [( ) ( b + c + + [ ( ) ( 3 + ) ( b c + d Obdobým výpočtem zjistíme, že + b + [( ) ( + P ( +)= + [( + [( ) ( 3 + ) b + ( ) c + d ] ) b + c ] + Nyí můžeme určit prví čley mohočleu (+)P ( )+( )P (+), totiž čley s mocimi +,, (vypsli jsme je předem, bychom při ásledujícím výpočtu zbytečě evypisovli čley s ižšími mocimi ): ( +)P ( ) + ( )P ( +)= = P ( ) + P ( ) + P ( +) P ( +)= = + + [ ( + b + [( ) ( b + c + + [ ( ) ( 3 + ) ( b c + d [ ( + b + [( ) ( b + c [( + b + [( ) ( + b + c + + [( ) ( 3 + ) ( b + c + d +... [( + b [( ) ( + b + c...= = + +b + [ ( ( ) ] ) +c + + [ ( ) ( b b +d +... Nšli jsme prví čley levé stry rovice (). Vypst prví čley její prvé stry je sdé: P () = + +b +c +d +... Vidíme, že prví dv čleové levé stry se shodují s prvími dvěm čley prvé stry, ť je mohočle P () vybrá jkkoliv. Třetí čtvrté čley se již obecě eshodují jejich rovosti jsou vyjádřey podmíkmi ( ( ) ) ( +c =c ) b ( ) b +d =d, ze kterých po rozepsáí kombičích čísel dosteme rovice tvru ( 3) = 0 ( )( 4)b =0. V přípdě >3tedymusípltit =0, což zmeá, že se Všiměte si, že rovice pro koeficiet b se liší od rovice pro koeficiet pouze tím, že je v í číslo změěo číslem. Koeficiet b totiž převezme roli vedoucího koeficietu, když v zápise () vyecháme prví čle součtu (čímž sížíme stupeň o jedičku). 0

11 můžeme omezit pouze přípd =3. Tehdy je prví rovice splě pro kždé R, ztímco z druhé rovice pk plye b =0. Hledý mohočle P () je proto utě tvru P () = 3 + c + d (3) po doszeí libovolého tkového mohočleu do obou str rovice () dosteme dv mohočley, které se shodují v prvích čleech s mocimi 4, 3,.Zbývá tedy porovt posledí (bsolutí) čley obou mohočleů ( +)P ( ) + ( )P ( +) P (). Místo lgebrického výpočtu 3 využijeme obvyklý obrt, který je zlože tomto zřejmém tvrzeí: bsolutí čle mohočleu p je jeho hodot p(0) v bodě 0. Všem přípdě proto zjistíme, kdy pltí rovost P ( ) P () =0 P (0), tedy podle (3) ( c + d) ( + c + d) =0. Je to zřejmě právě tehdy, když c =. Proto jsou řešeími úlohy právě mohočley tvru P () = 3 + d, kde, d jsou libovolá reálá čísl. Nyí podáme druhé řešeí úlohy postupem, který využíváme při řešeí fukcioálích rovic. Získáváme při ěm výzmé iformce o ezámých fukcích tk, že do rovic, které hledé fukce splňují, opkově doszujeme vhodě vybréhodoty proměých. 4 Nechť je tedy P () libovolý mohočle splňující v proměé R rovici (). Dosdíme-li do í ejprve hodotu = pk hodotu =, dosteme rovosti P (0) + 0 P () = P () 0 P ( ) P (0) = P ( ), ze kterých plye, že P () = P (0) = P ( ). Ozčíme-li proto P (0) = d, márovice P () =d kořey =0, = =. Eistuje tudíž mohočle Q() tkový,že P () =( )( +)Q() +d. Toto vyjádřeí dosdíme do rovice (), bychom zjistili, jké podmíky musí splňovt mohočle Q() koeficiet d: ( +)( )( )Q( ) + d( +)+ +( )( +)( +)Q( +)+d( ) = = ( )( +)Q()+d. Čley s koeficietem d se v posledí rovici vzájem zruší zbylé čley je možé zkrátit společým čiitelem ( )( + ). Získáme tk rovici ( )Q( ) + ( +)Q( +)=Q() (4) 3 Doporučujeme provést tkový výpočet závěr řešeí jko přímou zkoušku. 4 To jsme osttě učiili již v závěru lgebrického řešeí, kdy k určeí bsolutího čleu jsme do mohočleu dosdili hodotu = 0.

12 pro ezámý mohočle Q(). Ze způsobu odvozeí plye, že rovice (4) pltí pro kždé R, které je růzé od 0, ; protože všk obě stry (4) jsou mohočley proměé, které mjí stejou hodotu pro ekoečě moho čísel, musí jít o mohočley totožé, proto rovost (4) pltí i pro {0,, }. Protože ( ) + ( + ) =, rovici (4) splňuje kždý kosttí mohočle Q() =. Původí rovici () proto vyhovuje kždý mohočle P () =( )( +) + d = 3 + d (, d R). Jié vyhovující mohočley P () eeistují, pokud ukážeme, že kždý mohočle Q() splňující rovici (4) je kosttí. NechťjetedyQ() libovolý tkový mohočle; ozčme Q() = dosďme do rovice (4) hodotu =. Dosteme 0 Q() + 4Q(3) =4Q(), odkud Q(3) = Q() =. Nyí volbou =3 v rovici (4) získáme rovost Q() + 5Q(4) =6Q(3), odkud Q(4) = 6Q(3) Q() 5 = 6 5 =. Dále volbou =4 zjistíme, že Q(5) =, td. Dokžme proto idukcí, že Q() = pro kždé celé. Pltí-li pro ějké rovosti Q() =Q( +)= (jk je tomu pro =), pk volbou = + v rovici (4) dosteme Q( +)= ( +)Q( +) ( )Q() +3 = ( +) ( ) +3 =. Důkz idukcí je hotov. Zjistili jsme, že rovost Q() = pltí pro ekoečě moho čísel, což je možé, jediě když Q() = pro kždé (kdyby byl Q() mohočle ěkterého stupě N > 0, měl by rovice Q() = ejvýše N kořeů). elé řešeí je tím ukočeo. 6. Njděte všechy čtyřstěy, kterémjí síť tvru deltoidu právě čtyři hry dé délky. (Deltoidem rozumíme koveí čtyřúhelík souměrý podle jediéze svých úhlopříček; eptří k im tedy i čtverec, i kosočtverec.) Řešeí. V prví (podsttější) části řešeí jdeme všechy čtyřstěy, které mjí síť tvru deltoidu; poté již poměrě sdo zjistíme, které z lezeých čtyřstěů mjí právě čtyři shodé hry. Uvžujme proto libovolý čtyřstě D popišme délky jeho hr písmey, y, z, u, v, w podle obr. 3. Všechy sítě čtyřstěu D rozdělíme do dvou skupi. Do prví z ich zřdíme ty sítě, v ichž ěkterá stě čtyřstěu sousedí s třemi osttími stěmi;

13 do druhé skupiy budou ptřit osttí sítě, v ichž kždá stě sousedí s ejvýše dvěm stěmi. Protože jsme ozčeí vrcholů čtyřstěu předem ijk eupřesili, budeme dále uvžovt je po jedé síti z kždé z obou skupi, totiž sítě zázorěé obr Zbývejme se kždou z ich smosttě. Síť obr. 4 je (obecě vzto) šestiúhelíkem D 3 D D, o čtyřúhelík půjde jediě tehdy, když dv z jeho úhlů u vrcholů,, budou přímé (tj. budou mít velikost 80 ). Je totiž jsé, že přímý D úhel emůže být u žádého z vrcholů D, D, D 3.Sohledem již zmíěou libovůli zčeí předpokládejme, že přímé w jsou úhly D D 3 D 3 D (vyzčeé obr. 4). Nše síť u v je tehdy čtyřúhelíkem D D 3 D, jehož stry mjí (v pořdí, v jkém z sebou cyklicky ásledují) délky u, v, w y w. Je-li teto čtyřúhelík deltoid ( e kosočtverec), musí zřejmě pltit u = v u w (obr. 6). Z osové souměrosti z podle přímky D 3 pk zjišťujeme, že pltí y = ; čtyřstě s deltoidí sítí z obr. 6 vidíte obr. 6b. Je to čtyřstě souměrý podle roviy souměrosti hry. Dodejme,že±Obr. 3 kromě erovosti u w musí pltit rověž erovost z<w, která plye z vlstosti středí příčky trojúhelíku D D D 3 trojúhelíkové erovosti pro rovormeý trojúhelík D D : z = = D D < D + D =w. D u w y z w v D D u v w y z u v u v Obr. 4 D 3 ΦObr. 5 D Síť z obr. 5 je (obecě vzto) šestiúhelíkem D D, o čtyřúhelík půjde je v těch přípdech, kdy právě dv z jeho úhlů při vrcholech,,, D budou přímé (tkové totiž emohou být úhly při vrcholech D ). S ohledem libovůli zčeí stčí uvžovt je tři ásledující přípdy. 3

14 ) Příméúhly u vrcholů D. Síť je čtyřúhelík D, jehož stry mjí v pořdí délky u + v, v,,. Zřejmě ejde o deltoid, eboť u + v v. b) Příméúhly u vrcholů. Síť je čtyřúhelík D D, jehož stry mjí v pořdí délky u, v,, v. Protože dvojice protějších str má tutéž délku v, ejde o deltoid. c) Příméúhly u vrcholů. Síť je čtyřúhelík D D, jehož stry mjí v pořdí délky u, + v,, v. Jde-li o deltoid, pk s ohledem erovost + v>musí pltit u = + v = v, tedy = u = v. V trojúhelíku D D je úsečk středí příčkou (obr. 7), tkže pltí w = D = =z. Příslušý čtyřstě vidíte obr. 7b. D D 3 u y = z u u u ΨObr. 6 w w D D w u u z ΩObr. 6b D D w =z z y ffobr. 7 D z y z fiobr. 7b Shrňme výsledky šich dosvdích úvh: Pouze dv typy čtyřstěů (obr. 6b 7b) mjí síť tvru deltoidu. Nším úkolem je yí zjistit, kdy tyto čtyřstěy mjí právě čtyři shodé hry (dé délky ). Zbývejme se ejdříve čtyřstěem z obr. 6b, jehož hry mjí délky,, z, u, u, w. Předpokládejme tedy, že právě čtyři z ich jsou rovy, které to jsou? Předě musí pltit =, jik by muselo pltit = z = u = = w, což je le ve sporu s erovostí z<w, odvozeou výše. Protože jsou vyloučey i rovosti z = u u = w (v obou přípdech by délku mělo pět hr čtyřstěu D), musí pltit u =. Vpřípdě = u je ovšem čtyřúhelík D 3 kosočtverec; 4

15 z rovoběžosti přímek D 3 plye rovost souhlsých úhlů D D 3. Rovormeé trojúhelíky D D 3 jsou tehdy shodé podle věty sus, tkže D =, eboliz = w, což je opět spor. 5 Žádý čtyřstě z obr. 6b proto eí řešeím ší úlohy. Přejděme yí k druhému typu čtyřstěů předpokládejme, že právě čtyři z hr ěkterého čtyřstěu D z obr.7b mjí délku. Protože tři jeho hry mjí délku, musí pltit = ; která (jediá) z osttích délek y, z, z je rov? V síti obr. 7 z trojúhelíku D plye + >z, tedy>z. V téže síti má trojúhelík tupý vitří úhel u vrcholu, eboť jeho vější úhel D je vitřím úhlem při zákldě rovormeého trojúhelíku D, tkže je utě ostrý. Proto je ejdelší strou trojúhelíku str, což zpíšeme tkto: y>m{, z}. Dohromdy dostáváme y>>z, s ohledem rovost = proto ezbývá, ež by pltilo z =. Nlezeými podmíkmi je již čtyřstě D jedozčě (ž shodost) urče. Délku y posledí hry vypočteme jko těžici ke strě D D trojúhelíku D D o strách,,. Vyjde ám y = 6. Řešeím ší úlohy je jediý čtyřstě z obr. 8, jeho síť tvru deltoidu je obr. 8b. D 6 flobr. 8 D D Obr. 8b Odpověď. Hledý čtyřstě je jediý: jeho tři hry délky vycházejí z jedoho vrcholu, hry protilehlé stěy mjí délku,, 6. Jed ze sítí tohoto čtyřstěu má tvr deltoidu o strách,,,. 6 5 V přípdě w = z má deltoidí síť z obr. 6 přímý úhel u vrcholu, tkže ejde o deltoid, le o trojúhelík. 6 Doporučujeme řešitelům, by tkový deltoid vystřihli z ppíru pk model čtyřstěu složili. 5

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky Mociy, odmociy, úpvy lgeických výzů epetitoium z mtemtiky Podzim Iv culová . Mociy přiozeým celým mocitelem Po kždé eálé čílo kždé přiozeé čílo pltí:... čiitelů moci Zákld mociy (mocěec) mocitel (expoet)

Více