MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı"

Transkript

1 MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Obsah First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2 Obsah 1. Posloupnos Zpu soby zada va nı posloupnostı Grafem, tabulkou, vy c tem prvku Rekurentnıḿ vztahem Vzorcem pro obecny c len Aritmeticka posloupnost Geometricka posloupnost Aplikace geometricke posloupnosti Dvojkova c ıśelna soustava Vy poc et u roku Bankovní produkty Vklady Spor enı Du chody U ve ry Pr ıḱlady

3 1. Posloupnos Az doposud jsme si vs ıḿali nejru zne js ıćh funkcı. Take nynı se zame r ıḿe na funkce, a to specia lnı, jejichz de inic nıḿ oborem jsou vs echna pr irozena c ıśla. Takove funkce nazveme posloupnosti. To znamena, z e doka z eme jejich prvky oc ıślovat, urc it jejich por adı (ktery je prvnı, ktery druhy, atd.). Posloupnos reálných čísel (da le jen posloupností) budeme nazy vat funkci, jejıḿz de inic nıḿ oborem je mnoz ina vs ech pr irozeny ch c ıśel N. C leny posloupnosti (jejı prvky rea lna c ıśla) zapisujeme do sloz eny ch {svorkovy ch} za vorek. Příklad: {1, 4, 7, 10, 13, } je pr ıḱladem posloupnosti, u ktere jsme vyjmenovali prvnıćh pe t jejıćh prvku (c lenu posloupnosti) tak, jak jdou po sobe. Zajiste doka z ete r ıći, jak by tato posloupnost pokrac ovala, jaka je mezi jejıḿi c leny za konitost. Ma me zada n prvnı c len 1, druhy c len 4, tr etı 7, c tvrty 10, pa ty 13 a zr ejme s esty c len bude 16, protoz e kaz dy dals ı c len dostaneme tak, z e k pr edchozıḿu pr ic teme TROJKU. Jiste si vzpomıńa te, z e funkci f lze zadat: grafem, ze ktere ho odec teme sour adnice potr ebny ch bodu do tabulky; tabulkou, na za klade ktere lze buď nac rtnout graf nebo interpolacı zıśkat pr edpis funkce, ktera vs emi dany mi body procha zı ; pr edpisem (vztahem, vzorcem), ktery kaz de mu x D(f) pr ir azuje pra ve jedno y H(f). Vypoc tene hodnoty pak mu z eme zapsat do tabulky.

4 V pr ıṕade posloupnostı je to stejne. Take posloupnost lze zadat: grafem grafem posloupnosti jsou navza jem izolovane body. Tohle je graf pr edchozı ho pr ıḱladu. tabulkou výčtem prvků pr edpisem (vztahem, vzorcem), ktery m se zpravidla zada va prvek (c len posloupnosti, ktery stojı na mıśte n, oznac ujeme podobne jako u matic pomocı jednoho indexu /protoz e urc uje pouze por adı / tedy napr ıḱlad a n ) jednıḿ z na sledujıćıćh zpu sobu : rekurentně zada nıḿ prvnı ho (vy jimec ne Ntého) c lenu posloupnosti nebo ne kolika prvnıćh c lenu posloupnosti a vzorcem, podle ne hoz lze urc it dals ı c leny pomocı pr edchozıćh c lenu ; napr ıḱlad: a 1 = 1, a 2 = 3, a n+1 = a n + a n 1, pro n 2; vzorcem pro n. člen prvek posloupnosti, ktery je v por adı n t, tedy n je pr irozene ; napr ıḱlad: a n = ( 1) n+1 3. Nynı si uka z eme, jak z grafu mu z eme popsat posloupnost jiny m zpu sobem, tak jako u funkcı.

5 First Obsah Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1.1. Způsoby zadávání posloupnos Grafem, tabulkou, výčtem prvků Jednotlive body [1; 1] [2; 4] [3; 7] [4; 10] [5; 13], ktery mi je tvor en graf posloupnosti, mu z eme zapsat napr ıḱlad do na sledujıćı tabulky: POR ADI prvku posloupnosti HODNOTA prvku posloupnosti Je zr ejme, z e pro vs echny moz ne posloupnosti budou mı t jejich tabulky stejny prvnı r a dek. Proto uvedenou tabulku zjednodus ıḿe tak, z e vypıś eme jen jejı druhy r a dek, ktery navıć uzavr eme do sloz eny ch {svorkovy ch} za vorek. Novou (zjednodus enou) tabulku {1, 4, 7, 10, 13, } pak nazy va me take výčet prvků.

6 Rekurentním vztahem Jak jsme jiz uvedli v pr ıḱladu, kaz dy na sledujıćı c len te to posloupnosti dostaneme tak, kdyz k jeho pr edchozıḿu c lenu pr ic teme c ıślo tři, coz mu z eme (pro na sledujıćı c len) vyja dr it symbolicky: a 1 = 1, a n+1 = a n Vzorcem pro obecný člen Pokud budeme chtı t tote z vyja dr it pro obecny c len a n pouze v za vislosti na n (tedy na por adı dane ho c lenu), vyuz ijeme skutec nosti, z e: První člen posloupnosti a 1 = 1. To take mu z eme zapsat: a 1 = 1+({1} 1) cokoliv = 1 + (0) cokoliv = = 1. Jednic ka ve sloz eny ch za vorka ch teď pro na s bude pr edstavovat por adı dane ho c lenu, tedy n = 1. Druhý člen posloupnosti a 2 = 4 dostaneme tak, kdyz k prvnıḿu c lenu (a 1 = 1) pr ic teme trojku. Proto v c ervene m vztahu jednic ku ve sloz eny ch za vorka ch (pr edstavujıćı n) nahradıḿe dvojkou a vy raz cokoliv nahradıḿe trojkou (tıḿ co pr ic ı ta me): a 2 = 1 + ({2} 1) 3 = = 4. Tře člen posloupnosti a 3 = 7 zkusıḿe analogicky: a 3 = 1 + ({3} 1) 3 = = = 7. Odtud plyne: Obecný n. člen posloupnosti a n = 1 + (n 1) 3 Ove r te i pro jina n.

7 A nynı se struc ne zmıńıḿe o posloupnostech zna my ch ze str ednı s koly, a to aritmeticke a geometricke posloupnosti Aritme cká posloupnost Aritmeticka posloupnost ma sta ly rozdıĺ mezi sousednıḿi c leny. Tento rozdıĺ mezi libovolny m c lenem krome prvnı ho a pr edcha zejıćıḿ c lenem se obvykle znac ı d a nazy va diference. Diference d = a n+1 a n Rekurentní zadání a n+1 = a n + d Zadání obecného členu a n = a 1 + (n 1) d Součet prvních n členů s n = n (a 1 + a n ) 2

8 1.3. Geometrická posloupnost U geometricke posloupnosti je kaz dy c len krome prvnı ho sta ly m na sobkem pr edchozı ho c lenu. Tento na sobek se obvykle znac ı q a nazy va kvocient geometricke posloupnosti. Pro posloupnosti s nenulovy mi c leny je q rovno podıĺu libovolne ho c lenu krome prvnı ho a c lenu pr edchozı ho. Kvocient Rekurentní zadání q = a n+1 a n a n+1 = a n q Zadání obecného členu a n = a 1 q n 1 Součet prvních n členů nebo s n = a 1 qn 1 q 1 s n = a 1 1 qn 1 q

9 Aplikace geometrické posloupnos Dvojková číselná soustava Číselná soustava je zpu sob vyja dr enı c ıśel. Podle zpu sobu urc enı hodnoty c ıśla rozlis ujeme dva hlavnı druhy c ıśelny ch soustav: Poziční c ıśelne soustavy, ktere jsou charakterizova ny tzv. za kladem nebo-li ba zı, coz je obvykle kladne cele c ıślo de inujıćı maxima lnı poc et c ıślic, ktere jsou v dane soustave k dispozici. C ıślo v nich zapsane lze vyja dr it souc tem mocnin za kladu dane soustavy vyna sobeny ch pr ıślus ny mi platny mi c ıślicemi. Tedy se jedna o geometrickou posloupnost, jejıź kvocient je pr edstavova n ba zı c ıśelne soustavy. Pokud je za kladem c ıślo 2, hovor ıḿe o dvojkové (bina rnı ) soustave, ktera je prostr ednictvıḿ logicky ch c lenu (proud procha zı neprocha zı ) pr ıḿo implementova na v digita lnıćh elektronicky ch obvodech. Tedy interne ji pouz ı vajı vs echny be z ne digita lnı poc ı tac e. Nepoziční c ıśelne soustavy, pro ktere je charakteristicka skutec nost, z e hodnota c ıślice je dana jejıḿ symbolem a neza visı na jejı pozici v zapsane m c ıśle. Asi nejzna mne js ı jsou římské číslice, kdy c ıśla zapisujeme pomocı pıśmen abecedy. Dvojková soustava (nebo take bina rnı soustava) je c ıśelna soustava, ktera pouz ı va pouze dva symboly: NULU a JEDNIC KU. Je to pozic nı c ıśelna soustava mocnin c ıśla 2. Abychom se nespletli, v jake c ıśelne soustave se vlastne pohybujeme, zapisujeme dana c ıśla do za vorek a pr ida me index, ktery oznac uje za klad dane c ıśelne soustavy.

10 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

11 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

12 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

13 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

14 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

15 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

16 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

17 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10

18 Napr ıḱlad: ( ) 2 = ( 214 ) 10, protoz e platı : ( ) 2 = = = = = ( 214 ) 10 V tomto pr ıṕade vlastne hleda me (napr ıḱlad Hornerovy m sche matem) funkc nı hodnotu mnohoc lenu: v c ıśle DVA. Tedy: P(2) = 214 P(x) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2 + x ( ) ( 214 ) 10 Pokud bychom chte li urc ovat uvedenou funkc nı hodnotu z hlavy, nenı vu bec nas kodu, ume t alespon za kladnı mocniny c ıśla 2 zpame ti. mocnina hodnota

19 Výpočet úroků Podı vejme se kra tce na pozoruhodne Eulerovo c ıślo e 1 ktere zna me jako za klad pr irozeny ch logaritmu. Toto c ıślo e se da vyja dr it jako meznı hodnota 2 (limita posloupnosti) coz lze pokla dat za extre mnı vy sledek vy poc tu úroku z úroků. Příklad: C a stka (napr ıḱlad tisıć korun) se ma roc ne zu roc it 100 %. Řešení: To by pr i jedine m u roc enı na konci roku c inilo Kc. Jestliz e se vs ak u roky pr ipisujı pololetne (u roc ı se dvakra t po 50 %), u roc ı se od zac a tku c ervence nikoliv Kc, ale Kc. Na konci roku tedy v bance ma me Kc. Jestliz e se vs ak u roky pr ipisujı c tvrtletne (u roc ı se c tyr ikra t po 25 %), u roc ı se od zac a tku dubna Kc, od zac a tku c ervence 1 562,50 Kc a od zac a tku r ı jna 1 953,13 Kc. Na konci roku v bance budeme mı t 2 441,41 Kc. Vy poc et u roku z u roku lze teoreticky sta le vıće zuz ovat: me sıć ne, ty dne, hodinove, atd. C a stka vyjadr ujıćı stav nas eho konta na konci roku tak bude neusta le vzru stat. Nikoli vs ak donekonec na, ny brz ve sta le mens ıćh krocıćh tak, jak se budeme blıź it k hranici vıće nez 2 718,28 Kc to v z a dne m pr ıṕade nemu z e by t: tedy našich původních tisíc korun násobených číslem e. Na konte tedy budeme mı t na s pu vodnı vklad vyna sobeny c ıślem n n, coz je vlastne zada nı obecne ho (n tho ) c lenu a n ne jake posloupnosti. C ıślo n urc uje, kolikra t do roka banka u roc ı. 1 Na sledujıćı pr ıḱlad je i s r es enıḿ pr evzat z: S, H. Moderní statistika. Praha : Svoboda, Str e = lim n n n, n je pr irozene c ıślo

20 A protoz e se v posloupnosti (viz pozna mka pod c arou) vyskytuje mocnina, jedna se o geometrickou posloupnost, kde a 1 = q = n a a n = a 1 q n 1 = n n. Vidıḿe tedy, z e geometricka posloupnost ma vyuz itı pro vy poc et u roku.

21 2. Bankovní produkty Posloupnosti (zejme na geometricke ) se pouz ijı pro za kladnı vy poc ty sloz eny ch u roku a tıḿ se uplatnı pro takove bankovnı produkty, jako jsou vklady, spor enı, du chody nebo u ve ry. Tyto procesy postupujı v obdobıćh, napr ıḱlad kaz dy me sıć. Poz adovany u kon (napr ıḱlad vklad) mu z eme prove st na poc a tku nebo na konci obdobı a pak hovor ıḿe o PŘEDlhůtním nebo POlhůtním u konu. Pokud dva takove procesy na sebe navazujı, je lhu tnost volena tak, aby komunikovaly spra vne. Tato problematika ale nenı da le r es ena. Počítat na plný displej Protoz e se v na sledujıćıćh vzorcıćh vyskytujı : mocniny s velky m exponentem a za kladem blıźky m jednic ce; součiny, kdy jeden z c initelu je blıźky jednic ce c i nule; podíly, kdy de litel je blıźky jednic ce c i nule; Proto neuva z ene i nepatrne zaokrouhlova nı mu z e zpu sobit dost velkou odchylku ve vy sledku, je le pe rade ji nezaokrouhlovat. Vz dyť o penıźe jde az v prvnı r ade.

22 2.1. Vklady Popis produktu: V pr ıṕade vkladů vloz ı klient jednora zove penıźe do banky, kde lez ı po sjednanou dobu a pouze se pr ipisujı u roky. U tohoto produktu pr ipous tıḿe, z e banka mu z e u roc it c aste ji nez jednou do roka. V... jednora zovy (termıńovany ) vklad i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) K... stav konta (zu statek na u c tu, jistina, kapita l) m... poc et u rokovacıćh obdobı v jednom roce n... poc et cely ch let roku uloz enı z... poc et u rokovacıćh obdobı nad cele roky K = V 1 + i m m n+z

23 2.2. Spoření Popis produktu: Pr i spoření jdou klientovy penıźe do banky v pravidelny ch u loz ka ch, banka u roc ı jednou do roka, u roky pr ipisuje klientovi. S... stav spor ıćı ho u c tu na konci spor enı i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... doba spor enı (v cely ch letech rocıćh) a... ukla dana konstantnı (sta le stejna ) c a stka m... frekvence vkladu (poc et) v jednom roce S = a i [m + 0,5 (m + 1) i] [(1 + i)n 1]

24 2.3. Důchody Popis produktu: Na poc a tku si klient uloz ı na svu j důchodový u c et c a stku D 0 Kc, ze ktere v pravidelny ch intervalem m-kra t roc ne odebıŕa vy platu a Kc po dobu n let, c ıḿz je du chodovy u c et zcela vybra n (anulova n). Pr itom klientovi z uloz ene c a stky pru be z ne pr iby vajı u roky. Navıć je moz ne zar ı dit, aby zac a tek vypla cenı byl pozdrz en o k let. D 0... poc a tec nı stav du chodove ho u c tu i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) m... frekvence vy be ru (poc et) v jednom roce ν... diskont ν = 1 1+i a... vybıŕana konstantnı (sta le stejna ) c a stka k... doba odkladu (v cely ch letech rocıćh) n... doba vybıŕa nı (v cely ch letech rocıćh) D 0 = a i [m + 0,5 (m + 1) i] [1 νn ] ν k

25 2.4. Úvěry Popis produktu: Úvěrem (pu jc kou, hypote kou) rozumıḿe poskytnutı kapita lu ve vy s i U 0 Kc na urc enou dobu za odme nu. Uvaz ujme pouze pr ıṕad, kdy odme na je skryta ve vy s i u rokove sazby a konstantnı (neme nne ) spla tky probı hajı ve stejny ch intervalech, ve ktery ch banka u roc ı. U r... vy s e u ve ru po r spla tka ch i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... poc et spla tek ν... diskont ν = 1 1+i a... konstantnı (sta le stejna ) spla tka (anuita); pouze poslednı spla tka mu z e by t mens ı! a = U 0 i 1 ν n Ur = U0 (1 + i) r + a i [1 (1 + i)r ]

26 2.5. Příklady Příklad 1. Vložím na konto Kc u banky, ktera u roc ı kaz dy me sıć se sazbou 1,6 % p. a. Jaky bude stav konta za c tyr i a pu l roku? Řešení 1. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o vklad. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : V... jednora zovy (termıńovany ) vklad i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) K... stav konta (zu statek na u c tu, jistina, kapita l) m... poc et u rokovacıćh obdobı v jednom roce n... poc et cely ch let roku uloz enı z... poc et u rokovacıćh obdobı nad cele roky V nas em pr ıṕade Vloz ıḿ na konto Kc V = u banky, ktera u roc ı kaz dy me sıć m = 12 se sazbou 1,6 % p. a. i = 0,016 (rozloz ıḿe-li zada nı ): Jaky bude stav konta K =? za c tyr i n = 4 a pu l roku? z = 6 ( m ) 2 A po dosazenı K = V 1 + i m m n+z = , = (1 + 0, ) 48+6 = = (1, ) 54 = , = , Za c tyr i a pu l roku budu mı t na konte ,11 Kc.

27 Příklad 2. Je pravdou, z e pr i pravidelném me sıć nıḿ vkladu Kc budu mı t po s esti rocıćh na konte alespon Kc, kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,3 % p. a.? Řešení 2. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o spoření. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : S... stav spor ıćı ho u c tu na konci spor enı i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... doba spor enı (v cely ch letech rocıćh) a... ukla dana konstantnı (sta le stejna ) c a stka m... frekvence vkladu (poc et) v jednom roce V nas em pr ıṕade (rozloz ıḿe-li zada nı ): A po dosazenı Je pravdou, z e pr i pravidelne m me sıć nıḿ m = 12 vkladu Kc a = budu mı t po s esti rocıćh n = 6 na konte alespon Kc S = a vıć kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,3 % p. a.? i = 0,023 S = a i [m + 0,5 (m + 1) i] [(1 + i)n 1] = ,023 [12 + 0,5 (12 + 1) 0,023] [(1 + 0,023)6 1] = = , [12+0,5 (13) 0,023] [(1,023) 6 1] = , [12+0,149 5] [1, ] = = , [12,149 5] [0, ] = , Nenı to pravda, protoz e na konte budu mı t jen Kc.

28 Příklad 3. Je pravdou, z e kdyz nynı vloz ıḿ jednora zove c a stku Kc, budu mı t za 16 roku pravidelný příspěvek k důchodu (tj. me sıć ne ) Kc po dobu 9 let, kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,4 % p. a.? Řešení 3. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o důchod. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : D 0... poc a tec nı stav du chodove ho u c tu a... vybıŕana konstantnı (sta le stejna ) c a stka i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) k... doba odkladu (v cely ch letech rocıćh) m... frekvence vy be ru (poc et) v jednom roce n... doba vybıŕa nı (v cely ch letech rocıćh) ν... diskont ν = 1 1+i V nas em pr ıṕade vloz ıḿ jednora zove c a stku Kc D 0 = budu mı t za 16 roku k = 16 pravidelny pr ıśpe vek k du chodu (tj. me sıć ne ) m = Kc a = po dobu 9 let n = 9 kdyz banka garantuje u rokovou sazbu 2,4 % p. a.? i = 0,024 Po dosazenı do vzorce zjistıḿe potr ebnou c a stku D 0 a jestli na mi vloz ena c a stka D 0 pokryje poz adavky. Nejdr ı ve ovs em musıḿe urc it hodnotu diskontu ν = 1 = 1 = 0, Potom 1+i 1+0,024 D 0 = a i [m+0,5 (m+1) i] [1 νn ] ν k = , 024 [12+0,5 (12+1) 0, 024] [1 0, ] 0, = = [12 + 0,5 (13) 0, 024] [1 0, ] 0, = = [12+0,156] [0, ] 0, = [12,156] [0, ] 0, Kdyz D 0 = [12,156] [0, ] 0, = ,985 26, pak D 0 D 0 = , a proto je to pravda, protoz e na konte mi jes te zu stane 83 Kc.

29 Příklad 4. Stac ı mi 3 roc nı spla tky po Kc na splacenı cele ho úvěru ve vy s i Kc u banky, ktera u roc ı se sazbou 5 % p. a.? Řešení 4. Nejprve podle popisu produktu urc ıḿe, z e se jedna o úvěr. Pro tento produkt jsme pouz ili na sledujıćı oznac enı : U r... vy s e u ve ru po r spla tka ch i... u rokova sazba p. a. (desetin. c.: 1 % = 0,01) n... poc et spla tek ν... diskont ν = 1 1+i a... konstantnı (sta le stejna ) spla tka (anuita); pouze poslednı spla tka mu z e by t mens ı! V nas em pr ıṕade (rozloz ıḿe-li zada nı ): A po dosazenı Stac ı mi 3 roc nı spla tky n = 3 po Kc a = na splacenı cele ho u ve ru ve vy s i Kc U 0 = u banky, ktera u roc ı se sazbou 5 % p. a.? i = 0,05 U r = U 0 (1 + i) r + a i [1 (1 + i)r ] U 3 = (1 + 0, 05) , 05 [1 (1 + 0, 05)3 ] = = (1, 05) [1 (1, 05) 3 ] = , [1 1, ] = = , [ 0, ] = , ,5 = 51,25 Pro splacenı cele ho u ve ru mi bude chybe t 51 Kc.

30 Použitá literatura [1] K, P. Matematika I. Brno : Vysoka s kola Karla Englis e, a. s., Brno. 2010, 63 stran. ISBN [2] K, J., S, P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, 2006, 351 s. ISBN [on line]

Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí

Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Determinanty

Více

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra speciální pedagogiky RADKA BENEŠOVÁ III. roč ník prezenč ní studium obor: speciální pedagogika př edškolního vě ku MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Nabídka na firemní akce

Nabídka na firemní akce Nabídka na firemní akce S K Y D I V E A R E N A P R A H A Konference Teambuildingové aktivity Firemní večírky Ostatní firemní akce Dárek pro obchodní partnery a klienty Rozšíření benefitního programu pro

Více

Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth

Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth Michal Opatřil ICZ a. s. Michal Opatřil ICZ a.s. 2012 www.i.cz 1 Zdravotní registry v C R bud me na ne hrdí FAKTA Souc a st NZIS (Na rodního zdravotnicke

Více

GRAPE SC IPTV. více než televize

GRAPE SC IPTV. více než televize GRAPE SC IPTV více než televize Uz ivatelska pr i rucka TELEVIZE IPTV je digita lni televize, ktera je vzdy o krok napred. Tato televize Va m prina s i nadstandartni funkce a ten nejve ts i komfort pri

Více

SENIORSKÝ DŮM OŘECH. Dne 27.10.2014. Služby Seniorského domu Ořech. SD Bohemia Group a.s.

SENIORSKÝ DŮM OŘECH. Dne 27.10.2014. Služby Seniorského domu Ořech. SD Bohemia Group a.s. SD Bohemia Group a.s. Ukrajinská 1488/10 101 00 Praha 10 Telefon: 731 126 002 Email: info@sdbohemiagroup.cz www.sdbohemiagroup.cz Dne 27.10.2014 SENIORSKÝ DŮM OŘECH Služby Seniorského domu Ořech OBSAH

Více

Povinnost hradit pojistne na socia lni zabezpec eni po ukonc eni studia nevznika

Povinnost hradit pojistne na socia lni zabezpec eni po ukonc eni studia nevznika Povinnost hradit pojistne na socia lni zabezpec eni po ukonc eni studia nevznika Absolventi, kter i po skonc eni studia nezac nou pracovat, nebo se zaregistruji na u r adu pra ce, nemaji povinnost platit

Více

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení. 7/2000 V Y H L Á K A.7/2000 Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení Obecní zastupitelstvo v Plavsku schválilo dne 21.7.2000 tuto obecn závaznou

Více

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI Tyto výsledky jsou určeny pouze pro respondenty průzkumu a je zakázáno jejich šíření jakoukoliv formou bez souhlasu společnosti Innovative Business s.r.o.

Více

Flamco Flamco-Fill Typ STA a STM

Flamco Flamco-Fill Typ STA a STM Flamco Typ STA a STM STA típus 6758 STM típus 6760 CZ Pr edpisy pro instalaci a obsluhu 2001, Flamco Flamco Obsah : Nas e adresa : Obchodní a technické zastoupení firmy Flamco. Ivana Hovorková Gorkého

Více

Jak se vypoc i ta va podpora v nezame stnanosti po rodic ovske dovolene? Dan ova sleva pro pracuji ci du chodce uz plati, jak ji zi skat co nejdr i v.

Jak se vypoc i ta va podpora v nezame stnanosti po rodic ovske dovolene? Dan ova sleva pro pracuji ci du chodce uz plati, jak ji zi skat co nejdr i v. Jak se vypoc i ta va podpora v nezame stnanosti po rodic ovske dovolene? Pokud rodic e maly ch de ti z a daji o podporu v nezame stnanosti, musi stejne jako ostatni uchazec i o zame stna ni splnit pro

Více

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA VE EJNÁ NABÍDKA POZEMK UR ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA. 95/1999 Sb., O PODMÍNKÁCH P EVODU ZEM D LSKÝCH A LESNÍCH POZEMK Z VLASTNICTVÍ STÁTU NA JINÉ OSOBY, VE ZN NÍ POZD JŠÍCH P EDPIS (DÁLE JEN ZÁKON

Více

Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť. Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť

Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť. Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť Stanovy Studentské rady Gymnázia Zlín Lesní čtvrť Obsah 1 Základní ustanovení... 5 2 Orgány Studentské

Více

Flamco. Flexcon M. Tlakové expanzní nádoby s membra nou. 2001, Flamco

Flamco. Flexcon M. Tlakové expanzní nádoby s membra nou. 2001, Flamco Flexcon M CZ Tlakové expanzní nádoby s membra nou 2001, Flamco Nas e adresa : Flamco CZ Evropská 423/178 160 00 Praha 6 +420 602 200 69 info@flamco.cz Návod k montáz i a provozu pro Flexcon M Váz eny zákazníku

Více

Z ADOST O UZAVR ENI SMLOUVY O U VERU

Z ADOST O UZAVR ENI SMLOUVY O U VERU Happy Konto s.r.o. IC : 28814053 číslo:... U Lesoparku 981 250 91 Zeleneč obchodní zástupce:... zapsana v OR u KS v Hradci Kra love v odd. C, vlozka 28829 Z ADOST O UZAVR ENI SMLOUVY O U VERU A/ UDAJE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PODMÍ NKY PRO STIPENDIA

PODMÍ NKY PRO STIPENDIA PODMÍ NKY PRO STIPENDIA Podmínky jsou rozděleny do dvou skupin. V první skupině jsou podmínky všeobecné(globální), které můžou využít vš echny fakulty a ve druhé se nacházejí specificképodmínky jednotlivých

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Sm rnice o pracovní dob

Sm rnice o pracovní dob Sm rnice o pracovní dob Pracovní doba je op t na po adu jednání a Evropská komise pravd podobn zve ejní nové návrhy na související sm rnici za átkem roku 2015. Dopady na EPSU a její lenské organizace budou

Více

Popis systému TWS od Interactive Brokers

Popis systému TWS od Interactive Brokers Popis systému TWS od Interactive Brokers okno po přihlášení Popis systému: Underlying - symbol komodity, Exch burza, Description zkratka komoditního kontraktu, Last Price aktuální cena komodity, Change

Více

A. Identifika ní údaje zam stnavatele, právní forma a p edm t podnikání nebo innosti: Název zam stnavatele 1) :

A. Identifika ní údaje zam stnavatele, právní forma a p edm t podnikání nebo innosti: Název zam stnavatele 1) : apz_zadost_vpp.pdf Registra ní íslo ÚP: VPP Ú ad práce: OSÚ S 10 Žádost o p ísp vek na vytvo ení pracovních p íležitostí v rámci ve ejn prosp šných prací 112 zákona. 435/2004 Sb., o zam stnanosti, ve zn

Více

naš ehobuletinu,fainsport", seznámilisakcemianovinkami, neposledníř adě sezdedozvítei FAINLIGUfirem

naš ehobuletinu,fainsport, seznámilisakcemianovinkami, neposledníř adě sezdedozvítei FAINLIGUfirem FAINSPORT 3 Roksrokemseseš elamy vydávámejiž 5.pů lkulatéč íslo naš ehobuletinu,fainsport", vekterémbychomvásrádi seznámilisakcemianovinkami, kterémámeúspě š ně zasebou.v neposledníř adě sezdedozvítei

Více

Metaxa Partyhaus Design Contest

Metaxa Partyhaus Design Contest Pravidla studentské soutěže Metaxa Partyhaus Design Contest Společnost REMY COINTREAU CZECH REPUBLIC s.r.o. vyhlašuje tuto Studentskou designovou soutěž 1. VYHLAS OVATEL SOUTE Z E A VYHLA S ENI SOUTE Z

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

U ivatelská p íru ka

U ivatelská p íru ka U ivatelská p íru ka k eearth aplikaci pro prohlí ení vrt a dal ích geologicky dokumentovanýc h objekt z databáze GDO v informa ním systému GS-Geofondu ( íjen 2008) eearth systém umo uje u ivatel m prohlí

Více

MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa

Více

PROHLÁŠENÍ. poplatníka dan z p íjm fyzických osob ze závislé innosti a z funk ních požitk. P íjmení Rodné p íjmení

PROHLÁŠENÍ. poplatníka dan z p íjm fyzických osob ze závislé innosti a z funk ních požitk. P íjmení Rodné p íjmení 5457_17.pdf PROHLÁŠENÍ poplatníka dan z p íjm fyzických osob ze závislé innosti a z funk ních požitk P íjmení Rodné p íjmení Jméno Titul Rodné íslo 1 ) Adresa bydlišt (místa trvalého pobytu) PS Prohlášení

Více

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy ke standardu ISA 720 ODPOV DNOST AUDITORA VE VZTAHU K OSTATNÍM INFORMACÍM V DOKUMENTECH OBSAHUJÍCÍCH AUDITOVANOU Ú ETNÍ ZÁV RKU Aplika ní doložku mezinárodního

Více

Postup při instalaci aplikace Kalkulačka Home Credit Spotřebitelské ú věry 2002

Postup při instalaci aplikace Kalkulačka Home Credit Spotřebitelské ú věry 2002 Postup při instalaci aplikace Kalkulačka Home Credit Spotřebitelské ú věry 2002 V ná sledujícím dokumentu jsme pro Vás připravili poměrně podrobný postup při instalaci software na Váš počítač. Postup je

Více

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV Zadání pro programátory ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2013, i nasazení verze zpracující p ehled o p íjmech a výdajích za rok 2013 upozornit na projetí dávkového programu v N_UDRZBA pro vy len

Více

Finan ní ízení projekt

Finan ní ízení projekt Finan ní ízení projekt Jaká témata budou probrána v rámci prezentace: Jak pracovat s rozpo tem projektu Jak sledovat harmonogram projektu Jak na finan ní plán projektu Zdroje informací P íru ka pro adatele

Více

stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014

stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014 stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014 stránka 2 celkem 40 zákon. 83/1990 Sb. o sdružování ob an ve zn ní pozd jších p edpis - zvláštní zákon (má p ednost p ed OZ) zákon. 40/1964 Sb. ob

Více

Obchodní podmínky provizního portálu jasnaznacka.cz

Obchodní podmínky provizního portálu jasnaznacka.cz Obchodní podmínky provizního portálu jasnaznacka.cz I. Všeobecná ustanovení využívání provizního systému affiliate.jasnaznacka.cz Vyplne ním registrac ního formulár e a souhlasem s Provizními podmínkami,

Více

O jednom mučedníkovi nebo mučednici

O jednom mučedníkovi nebo mučednici 1. nešpory spočné texty O dnom mučedníkov nebo mučednc Jkub Pvlík 1. nt. - VI.F (Žlm 118-I.II) já Ke kž dé mu, př znám před svým kdo cem v neb. ke mně j. př zná před ld m, 2. nt. - VI.F (Žlm 118-III) ž

Více

Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala

Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala Pr zkumy a ankety provedené v posledních letech jak mezi zam stnavateli, tak mezi absolventy vysokých škol shodn ukazují,

Více

Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným.

Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným. Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným. I. Rejst íkový soud 1 Adresa rejst íkového soudu, jemuž

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

Psychiatrická nemocnice ( lé ebna):

Psychiatrická nemocnice ( lé ebna): Psychiatrická nemocnice ( lé ebna): Psychiatrická nemocnice je léka ské za ízení, které se zam uje p evážn na lé bu závažných duševních onemocn ní. Psychiatrické nemocnice se mohou lišit v metodice a postupu

Více

Zápis.03/2015 ze zasedání Zastupitelstva obce ty koly

Zápis.03/2015 ze zasedání Zastupitelstva obce ty koly Zápis.03/2015 ze zasedání Zastupitelstva obce ty koly Datum Místo ítomní lenové zastupitelstva 25.02.2015 od 19.00 hodin kancelá Obecního ú adu ve ty kolech Št pán Benca, Petr Beneš, Libor Jaeger, Vladislav

Více

Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7

Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7 Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7 1. Úvod nezbytné kroky ne se p ipojíte 2. Jak si vytvo it heslo 3. Nastavení VPN p ipojení pro Windows 7 1. Úvod Slu ba VPN umo uje vstoupit

Více

Předklá daný materiá l sleduje v prvé řadě četnost a rozloženíposkytovatelů sociá lních služeb na územíhl. m. Prahy.

Předklá daný materiá l sleduje v prvé řadě četnost a rozloženíposkytovatelů sociá lních služeb na územíhl. m. Prahy. Plá nová ní sociá lních služeb v Praze jako obci a zároveň kraji se neobejde bez důkladný ch znalostí stá vající nabídky služeb. Potřeba přehledu poskytovatelů sociá lních služeb a jejich rozloženív rá

Více

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA"

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní TOP VÍNO SLOVÁCKA - 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA" VIII. ro ník 2015 - Slovácko, Zlínský kraj Ocen ní výrobku z odv tví zem d lství a potraviná ství Okresní agrární komora pro okres Uh. Hradi t a Zem

Více

P íloha k ú etní záv rce za rok 2 0 0 9

P íloha k ú etní záv rce za rok 2 0 0 9 P íloha k ú etní záv rce za rok 2 0 0 9 P íloha je zpracována v souladu s vyhlá kou. 500/2002 Sb., kterou se provád jí n která ustanovení zákona. 563/1991 Sb., o ú etnictví, ve zn ní pozd j ích p edpis,

Více

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola )

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád d sledn vychází ze zákona. 561/2004 Sb., o p ed kolním, základním, st edním, vy ím odborné a jiném vzd

Více

PMS. RoSy ž PLAN. Uz ivatelsky manua l pro RoSy ž. PavEx Consulting, s.r.o.

PMS. RoSy ž PLAN. Uz ivatelsky manua l pro RoSy ž. PavEx Consulting, s.r.o. RoSy ž PMS PavEx Consulting, s.r.o. Uz ivatelsky manua l pro RoSy ž PLAN 1. Obsah 1. Obsah...2 2. Predmluva...3 3. Kontrola dat v RoSy š BASE...3 4. Spustenı RoSy š PLAN...3 5. Vypoc et v RoSy š PLAN...3

Více

UNICORN COLLEGE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNICORN COLLEGE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNICORN COLLEGE Katedra Ekonomie a managementu BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UI a UX mobilních aplikací (historie, metodiky tvorby UI designu), Vývoj mobilní aplikace pro ios Autor BP: Filip Procházka Vedoucí BP: Ing.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1) CHCEME, ABY RADNICE - M

1) CHCEME, ABY RADNICE - M petice-za-zmenu-pravidel_050509.doc PETICE A POŽADAVKY ob an M stské ásti Praha 3 za zm nu pravidel prodeje byt ve IV. etap privatizace byt a na podporu prohlášení Ob anského sdružení ŽIŽKOV (NEJEN) SOB

Více

Žádost o p ísp vek na z ízení spole ensky ú elného pracovního místa uchaze em o zam stnání za ú elem výkonu samostatné výd le né innosti

Žádost o p ísp vek na z ízení spole ensky ú elného pracovního místa uchaze em o zam stnání za ú elem výkonu samostatné výd le né innosti 10ZadPrispSUPM_SVC2.pdf Registra ní íslo ÚP: SÚPM SV Ú ad práce: OSÚ S 10 Žádost o p ísp vek na z ízení spole ensky ú elného pracovního místa uchaze em o zam stnání za ú elem výkonu samostatné výd le né

Více

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV Obecn závazná vyhlá ka obce Bludov íslo 3 /2003 Obec Bludov na základ usnesení zastupitelstva obce ze dne 29.9.2003, podle 29 odst. 1 písm. O) bod 1. zákona. 133/1985 Sb. o po ární ochran, ve zn ní pozd

Více

2 Rozvahové zm ny nevýsledkové a jejich zaú tování

2 Rozvahové zm ny nevýsledkové a jejich zaú tování 2 Rozvahové zm ny nevýsledkové a jejich zaú tování Cíl kapitoly Cílem p edkládané kapitoly je: pochopení podstaty základních ú etních transakcí a jejich promítnutí do rozvahy; pochopení základních pravidel

Více

l. 1 Úvodní ustanovení

l. 1 Úvodní ustanovení OBEC V EMYSLICE Obecn závazná vyhlá ka. 1 / 2015 o stanovení systému shroma ování, sb ru, p epravy, t íd ní, vyu ívání a odstra ování komunálních odpad a nakládání se stavebním odpadem na území obce V

Více

Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi

Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi Otavský Plamínek - tak se nazývá projekt, který v roce 2008 zahájil Hasi ský záchranný sbor Jiho eského kraje, územní odbor Strakonice (dále jen HZS Strakonice).

Více

Rada m sta Brna ZM7/0235. Název: Humanitární finanční pomoc m stu Charkov, návrh na poskytnutí daru návrh rozpočtového opat ení

Rada m sta Brna ZM7/0235. Název: Humanitární finanční pomoc m stu Charkov, návrh na poskytnutí daru návrh rozpočtového opat ení Rada m sta Brna ZM7/0235 Z7/05. zasedání Zastupitelstva m sta Brna konané od 14. dubna 2015 Název: Humanitární finanční pomoc m stu Charkov, návrh na poskytnutí daru návrh rozpočtového opat ení Obsah:

Více

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE. Zpracování generel a pasportizace areál ve správ KSS LK

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE. Zpracování generel a pasportizace areál ve správ KSS LK ZADÁVACÍ DOKUMENTACE podle zákona. 137/2006 Sb., o ve ejných zakázkách, v platném zn ní (dále jen zákon) v rámci zjednodu eného podlimitního ízení pro ve ejnou zakázku na slu by: Zpracování generel a pasportizace

Více

Projektový tým, indikátory, aktivity projektu, harmonogram. Seminá PAAK ízení projekt

Projektový tým, indikátory, aktivity projektu, harmonogram. Seminá PAAK ízení projekt Projektový tým, indikátory, aktivity projektu, harmonogram Seminá PAAK ízení projekt Projektový tým Kvalitní projektový tým - základem pro úsp ch ka dého projektu Návrh týmu v p ípravné fázi s ohledem

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

Hra od Dirka Henna pro 2 6 hráč ů zyvutsrponmlkjihedcbazutsrpnmlhecb

Hra od Dirka Henna pro 2 6 hráč ů zyvutsrponmlkjihedcbazutsrpnmlhecb Hra od Dirka Henna pro 2 6 hráč ů zyvutsrponmlkjihedcbazutsrpnmlhecb Př ední stavitelé z celé Evropy placeni v domácí mě ně. S jejich a Arábie chtě jí ukázat své skvě lé dovednosti. Zamě stnejte nejvíce

Více

Nevíte si rady? tel.: 841 41 41 41, info@top-pojisteni.cz

Nevíte si rady? tel.: 841 41 41 41, info@top-pojisteni.cz Spole nost Top-Pojišt ní.cz s.r.o ve spolupráci s AXA pojiš ovnou a.s. Vám zasílá tento manuál pro úsp šné uzav ení havarijního pojišt ní Jak postupovat? 1. Po i te minimáln 7 fotografií Vašeho vozidla,

Více

Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011

Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011 Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011 Sch zky se zú astnilo 7 zástupc rodi, len KRPŠ, paní editelka, celý pedagogický sbor mimo jedné u itelky a paní vychovatelka družiny. P vodní plán byl, aby

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 0 7 6 1 Edice Osobní a rodinné

Více

Smlouvy o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta. 29/23/4405/14

Smlouvy o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta. 29/23/4405/14 Smluvní strany: Smlouva o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta 29/23/4405/14 1. Poskytovatel m sto Uherský Brod Masarykovo nám. 100, 688 17 Uherský Brod, zastoupeno: Patrikem Kun arem,

Více

infotainment ve voze Škoda Octavia

infotainment ve voze Škoda Octavia české vysoké učení technické fakulta elektrotechnická Testování systému infotainment ve voze Škoda Octavia Semestrální práce v předmětu A7B39TUR Jan Businský 15.10.2013 Obsah 1 Popis systému 3 2 Cílová

Více

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI LEDEN 2014 Šíření těchto výsledků jakoukoliv formou je možné pouze se souhlasem společnosti Innovative Business s.r.o. a v odsouhlaseném formátu. OBSAH

Více

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ.

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS SYSTÉMU: NA ÚSTŘEDÍ FIRMY NEBO NA PRONAJATÉM SERVERU JE NAINSTALOVANÝ

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZPRÁVA O STAVU SPOLEČNOSTI

ZPRÁVA O STAVU SPOLEČNOSTI ERFLEX a.s. Valentinská 92/3, Praha 1, 110 00 Telefon +420 731 331 133 www.erflex.cz ZPRÁVA O STAVU SPOLEČNOSTI FR 2013 Tato zpráva je určena pouze k interním účelům. Na valné hromadě bude předána účastníkům.

Více

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. 8. rozšířené vydání. f inance. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

Záv re ný ú et obce. finan ní hospoda ení obce ty koly v roce 2014 O: 00508519

Záv re ný ú et obce. finan ní hospoda ení obce ty koly v roce 2014 O: 00508519 Záv re ný ú et obce ty koly finan ní hospoda ení obce ty koly v roce 2014 O: 00508519 ( 17 zákona. 250/2000 Sb., o rozpo tových pravidlech územních rozpo, ve zn ní platných p edpis ) Údaje o obci : Adresa

Více

historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926

historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926 historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926 Pono te se do velkoleposti minulosti, která o ívá ve paletových oknech a historických dve ích. Tato díla starých truhlá ských mistr zdobí

Více

Ref R or ef my pr my o lidi NE proti lidem oti Otev Ote ř v ete oč o i č Kampaň ČMKOS

Ref R or ef my pr my o lidi NE proti lidem oti Otev Ote ř v ete oč o i č Kampaň ČMKOS Reformy pro lidi NE proti lidem Otevřete oči Kampa MKOS 6 l í Jaromíra DRÁBKA První le Teorii, e privatizace povede ke zvý ení d chod, prosazovala v polovin 90. let také Sv tová banka. Teorie se v praxi

Více

NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN

NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN P edkládaný návrh koncepce dal ího rozvoje Archivu bezpe nostních slo ek (ABS) s výhledem na dobu

Více

pro fyzické osoby 厇 mě 厇 厇 厇ě៧叧 é ru é úč ៧叧 ៗ呗ir Zř ě៧叧 é úč u r ៗ呗 Zř ě៧叧 é úč u ៗ呗 厇厇 ៧叧 uៗ呗 厇 ě៧叧 m ru m úč 厇m ៗ呗 ៗ呗 厇 r ៗ呗 ៗ呗 厇 r rៗ呗m i 厇 r ៗ呗ៗ呗 u厇 ៗ呗 ៗ呗ěm ៗ呗 厇 ៗ呗 ៗ呗 ჷ唷 r厇 ៗ呗 Čៗ呗ჷ唷 ៗ呗 ៗ呗 厇厇 厇 厇

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Prohlá š ení o shode a informace o vý robku

Prohlá š ení o shode a informace o vý robku Prohlá ení o shode a informace o vý robku CSN EN 14471 Systé mové komí ny s p lastový mi vlo kami Po adavky a zku ební metody Edited by Foxit PDF Editor For Evaluation nly. Informace o vý robci: znacení

Více

PROHLÁŠENÍ. poplatníka dan z p íjm fyzických osob ze závislé innosti a z funk ních požitk. Příjmení Jméno(-a)

PROHLÁŠENÍ. poplatníka dan z p íjm fyzických osob ze závislé innosti a z funk ních požitk. Příjmení Jméno(-a) df_12dpfoz5457_22.pdf PROHLÁŠENÍ poplatníka dan z p íjm fyzických osob ze závislé innosti a z funk ních požitk Příjmení Jméno(-a) Titul Rodné číslo 1 ) Číslo pasu 1 ) Adresa bydliště (místa trvalého pobytu)

Více

Ve sledovaném období naše spole nost dosáhla zisku po zdan ní podle IAS/IFRS 122,61 mil. K.

Ve sledovaném období naše spole nost dosáhla zisku po zdan ní podle IAS/IFRS 122,61 mil. K. MERO R, a.s. Kralupy nad Vltavou I : 60193468 Pololetní zpráva emitenta kótovaného cenného papíru za prvních 6 m síc roku 2009 podle 119 zákona. 256/2004 Sb. o podnikání na kapitálovém trhu a podle vyhlášky

Více

ý ě ý ů ň Á á Ř á ý ě ý ů ň Ú ř á ě Č ů ůž ě ě ť ČÍ Á Ž Í Í ě é é ČÍ Ů Ž Ň é č é ó ř ňš é á ú é é é ž ž á č ř ň čá á á é ě á á é š č é é ě ř ř Č é ý á č é é ý é č é ář ů ý ů ř á š Ž á Ž ř ý ý č ý Ž č ň

Více

Než za nete vypl ovat tiskopis, p e t te si, prosím, pokyny. P IZNÁNÍ

Než za nete vypl ovat tiskopis, p e t te si, prosím, pokyny. P IZNÁNÍ Finan nímu ú adu v, ve, pro Sumperku ˇ Než za nete vypl ovat tiskopis, p e t te si, prosím, pokyny. Da ové identi ka ní íslo C Z 7 3 Rodné íslo 7 3 / 3 DAP ) ádné opravné 4 Kód rozlišení typu DAP ) dodate

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Archivní fond eského horolezeckého svazu

Archivní fond eského horolezeckého svazu Archivní fond eského horolezeckého svazu I. ízení fondu, správa a umíst ní Archivní fond HS je založen rozhodnutím Výkonného výboru eského horolezeckého svazu, o.s., v souladu s ustanovením 3 odst. 2 písmeno

Více

MANDÁTNÍ SMLOUVU dle 566 a násl. obchodního zákoníku (dále jen smlouva )

MANDÁTNÍ SMLOUVU dle 566 a násl. obchodního zákoníku (dále jen smlouva ) Ní e uvedeného dne, m síce a roku uzav ely svazek obcí Povodí Berounky se sídlem Nám. Republiky 1, Plze, 306 32 I : 75042860 zaps. v registru svazku obcí vedeném Krajským ú adem Plze ského kraje zast.

Více

Než za nete vypl ovat tiskopis, p e t te si, prosím, pokyny. ) Po et p íloh II. oddílu P IZNÁNÍ. k dani z p íjm právnických osob

Než za nete vypl ovat tiskopis, p e t te si, prosím, pokyny. ) Po et p íloh II. oddílu P IZNÁNÍ. k dani z p íjm právnických osob Než za nete vypl ovat tiskopis, p e t te si, prosím, pokyny. Finan nímu ú adu pro / Specializovanému nan nímu ú adu Hlavní mesto ˇ Prahu Územnímu pracovišti v, ve, pro Prahu Da ové identi ka ní íslo C

Více

APS 400 nadministrator.recepce.net

APS 400 nadministrator.recepce.net APS 400 nadministrator.recepce.net Modul pro hotelovou recepci s na vaznostına rezervacnısyste m Instalacnıa uzivatelska prırucka č 2004 š 2007,TECH FASS s.r.o., Plavecka 503, 252 42 Jesenice, www.techfass.cz,

Více

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání Základní kola pro t lesn posti ené, Opava, Dostojevského 12 Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání (sou ást VP kola pro ivot, dodatek k 1. 9. 2012) A/ Pravidla pro hodnocení a klasifikaci ák Z Hodnocení

Více

Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn

Více

www.krpspysely.cz ZM NY VYHRAZENY! srpen 2011 AKTIVITY PRO D TI

www.krpspysely.cz ZM NY VYHRAZENY! srpen 2011 AKTIVITY PRO D TI AKTIVITY PRO D TI Estetické vecký kroužek Hra na zobcovou flétnu Tane ní kroužek pana Maršálka Jazykové Angli tina Francouzština Výtvarné Výtvarná dílna u Marie Keramika Pohybové Florbal Fotbal Stolní

Více

Strategicky plan rozvoje mestskč casti Praha š Libus. U vod ě Deklarace Zastupitelstva mestskč casti Praha-Libus k projektu Zdrava Libus a Pısnice

Strategicky plan rozvoje mestskč casti Praha š Libus. U vod ě Deklarace Zastupitelstva mestskč casti Praha-Libus k projektu Zdrava Libus a Pısnice Strategicky plan rozvoje mestskč casti Praha š Libus ě Deklarace Zastupitelstva mestskč casti Praha-Libus k projektu Zdrava Libus a Pısnice Zpracovatel: SPF Group, v.o.s. Datum: prosinec 2008-srpen 2009

Více

Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s.

Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s. Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s. 1. Obecná ujednání 1.1. Tyto V eobecné obchodní podmínky pro dodávku ti t ných periodik formou p edplatného upravují

Více

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

ůř Í ý Í Ť ý Á Ž Í Á ť Í ť ý ť Ť ě č ě Š ř ú ý š Č ř č ď ř Á Í Í ě ě ř ó ě č ř č ě ř š ě Á Í č ě Í Í Č É ě Š Í Č ě Í ě ů ů ů Č ý ú Ž ří Á Ý Í Á ÍČ ŽÍ Ý Ů ě č ě ě ě ř ě ě ó ž ž ě ýš ě ě ó ě ř ú ě ďý ě Ú

Více

Í é čá í á ř í á ó ř é ď ň í á é č é ř á í á á á í í á á á á ď á é č á ó ů č á í ů č é é í Í é ů é ř í í ů í ď é ř é é í é í é é é á č é á á á é í ů í é á é Á Í Š Í É é á é í íčí ů Í ů é á á í ř é á é

Více

Žádost o p ísp vek na spole ensky ú elné pracovní místo vyhrazené pro uchaze e o zam stnání

Žádost o p ísp vek na spole ensky ú elné pracovní místo vyhrazené pro uchaze e o zam stnání 10ZadPrispSUPM_Vyh2.pdf Registra ní íslo ÚP: SÚPM vyhrazená Ú ad práce: OSÚ S 10 Žádost o p ísp vek na spole ensky ú elné pracovní místo vyhrazené pro uchaze e o zam stnání 113 zákona. 435/2004 Sb., o

Více

O B E C D R Á C H O V

O B E C D R Á C H O V O B E C D R Á C H O V Zápis. 05/2008 ze sch ze obecního zastupitelstva ze dne 24.04.2008 ítomni: izváni: Ur ení ov ovatelé zápisu : p.paták, p.fousek, ing. Kopá ek, pí,podhrádská, p.peroutka, p.kolá, p.ivanšík

Více