Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Úvod do teorie pořádkových statistik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Úvod do teorie pořádkových statistik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky"

Transkript

1 Unverzta Karlova v Praze Matematcko-fyzkální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Antonín Hanuš Úvod do teore pořádkových statstk Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: Studjní program: Studjní obor: doc. Mgr. Mchal Kulch, Ph.D. Matematka Obecná matematka Praha

2 Zde bych chtěl poděkovat svému vedoucímu doc. Mgr. Mchalu Kulchov, Ph.D. za to, že byl vždy ochotný m pomoc a poradt, obzvláště př prác s LaTeXem. Dále bych rád poděkoval své sestře Kateřně Hanušové za pomoc př opravě gramatckých a stylstckých nedostatků.

3 Prohlašuj, že jsem tuto bakalářskou prác vypracoval samostatně a výhradně s použtím ctovaných pramenů, lteratury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moj prác vztahují práva a povnnost vyplývající ze zákona č. / Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Unverzta Karlova v Praze má právo na uzavření lcenční smlouvy o užtí této práce jako školního díla podle 6 odst. autorského zákona. V... dne... Podps autora

4 Název práce: Úvod do teore pořádkových statstk Autor: Antonín Hanuš Katedra: Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: doc. Mgr. Mchal Kulch, Ph.D., KPMS Abstrakt: Tato práce se zabývá teorí pořádkových statstk. Jejím cílem je shrnout základní poznatky o rozdělení pořádkových statstk náhodných velčn absolutně spojtých vzhledem k Lebesgueově míře a ty pak použít pro některá konkrétní rozdělení. V první kaptole je několka způsoby odvozena jejch dstrbuční funkce a hustota a dále se zde pracuje s některým funkcem pořádkových statstk a jejch podmíněným rozdělením. Druhá kaptola je věnována momentům pořádkových statstk, vzorcům k jejch výpočtu a vztahům mez nm. Na závěr jsou předchozí teoretcké poznatky použty na rovnoměrné, exponencální a normální rozdělení. Klíčová slova: Pořádkové statstky, momenty, rozdělení. Ttle: Introducton nto theory of order statstcs Author: Antonín Hanuš Department: Department of Probablty and Mathematcal Statstcs Supervsor: doc. Mgr. Mchal Kulch, Ph.D., DPMS Abstract: Ths thess deals wth the theory of order statstcs. Its am s to summarze the basc knowledge concernng the dstrbuton of the order statstcs of random varables that are absolutely contnuous wth respect to the Lebesgue Measure and afterwards use those order statstcs for some specfc dstrbutons. The frst chapter descrbes the dervaton of the densty and dstrbuton functon of order statstcs n several ways as well as dealng wth some functons of order statstcs and ther condtonal dstrbuton. The second chapter s devoted to the moments of order statstcs and formulae for ther calculaton and to the relatons between them. In the concluson the prevous theoretcal fndngs are appled to the unform, exponental and normal dstrbutons. Keywords: Order statstcs, moments, dstrbuton.

5 Obsah Úvod Základní vlastnost rozdělení pořádkových statstk 3. Dstrbuční funkce Rozdělení absolutně spojtých velčn Hustoty Rozdělení medánu, rozpětí a dalších statstk Podmíněná rozdělení Momenty a jejch vztahy 5. Základní vzorce pro výpočet momentů Vztahy mez momenty pořádkových statstk Pořádkové statstky některých rozdělení 3. Rovnoměrné rozdělení Exponencální rozdělení Normální rozdělení Závěr 5 Seznam použté lteratury 6 Seznam použtého značení 7

6 Úvod Cílem této práce je shrnout základní poznatky z teore pořádkových statstk náhodných velčn, a ty pak použít pro některá konkrétní rozdělení. V první řadě je potřeba ukázat, co pojem pořádková statstka znamená. Mějme tedy nezávslé stejně rozdělené reálné náhodné velčny X, X,..., X n. Jejch uspořádáním podle velkost získáme pořádkové statstky X () X () X (n). Mez nejčastěj používané pořádkové statstky patří například mnmum a maxmum, tedy X () a X (n). Další typckou pořádkovou statstkou je výběrový medán. Velký význam mají také lneární funkce pořádkových statstk, mez které patří například rozpětí R defnované jako rozdíl maxma a mnma, nebol X (n) X (). Pořádkové statstky mají šroké uplatnění. Jedno z jejch využtí může být například v testech hypotéz, založených na neparametrckých metodách. Zde máme X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny, ale místo jejch konkrétních hodnot se zabýváme pouze jejch vzájemným pořadím. Toho se využívá například tehdy, pokud neznáme přesné rozdělení výběru nebo pokud nemůžeme garantovat velkou přesnost naměřených hodnot náhodných velčn, ale jejch pořadím jsme s jst. Tyto metody jsou označovány jako robustní, nebot vzhledem k jejch nízkým předpokladům je jejch síla relatvně malá. Na druhou stranu, pokud jž prokážou zamítnutí nějaké hypotézy, můžeme s být takřka jst, že to není kvůl nesplnění nějakého předpokladu o rozdělení nám pozorovaných náhodných velčn. Další příklad využtí pořádkových statstk, který se týká testů spolehlvost, můžeme nalézt v []. Mějme n stejných předmětů, tedy nezávslé stejně rozdělené velčny X, X,..., X n, a zkoumejme dobu do jejch selhání. Z časových fnančních důvodů se vyplatí čekat pouze na selhání několka prvních, což jsou přesně první pořádkové statstky náhodných velčn X, X,..., X n, a z nch můžeme odvodt rozdělení ostatních velčn. Zbylé nepoškozené předměty pak mohou být dále využty. V této prác bude kladen důraz zejména na pořádkové statstky náhodných velčn absolutně spojtých vzhledem k Lebesgueově míře. V první kaptole odvodíme několka způsoby jejch margnální sdružené dstrbuční funkce a hustoty. Dále s pomocí věty o transformac náhodých velčn spočítáme rozdělení nejdůležtějších pořádkových statstk, jako například výběrového medánu č rozpětí. Na závěr první kaptoly se zaměříme na jejch podmíněná rozdělení. V druhé kaptole se budeme zabývat momenty pořádkových statstk. Odvodíme obecný vzorec pro jejch výpočet a ukážeme s postačující podmínku jejch exstence. Poté spočítáme některé konkrétní momenty, jako střední hodnotu, rozptyl nebo kovaranc dvou pořádkových statstk. V další část odvodíme několk vztahů mez momenty pořádkových statstk a původních velčn X, X,..., X n. V poslední kaptole použjeme předchozí obecné výsledky pro rovnoměrné, exponencální a normální rozdělení. Ukážeme s dstrbuční funkc a hustotu jejch pořádkových statstk, poté spočítáme jejch střední hodnotu a rozptyl, a na závěr odvodíme rozdělení jejch mnma, maxma a rozpětí.

7 . Základní vlastnost rozdělení pořádkových statstk V této kaptole rozebereme základní vlastnost pořádkových statstk, zejména jejch dstrbuční funkce a hustoty. Pro náhodné velčny X, X,..., X n s dstrbuční funkcí F (x) a r n budeme označovat jejch r-tou pořádkovou statstku X (r). Případně, pokud budeme chtít zdůraznt, že se jedná o r-tou pořádkovou statstku z n velčn, j budeme označovat X r:n. Její dstrbuční funkc pak budeme značt F (r) (x), případně F r:n (x), a pokud jsou náhodné velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře, označíme hustotu r-té pořádkové statstky f (r) (x). Dále ještě zavedeme označení pro komplementární dstrbuční funkc F (x), kterou budeme psát jako S(x).. Dstrbuční funkce Pro odvození dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky použjeme úvahu uvedenou v [3] na straně 9. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x). Pak pro r n máme dstrbuční funkc r-té pořádkové statstky rovnu pravděpodobnost, že alespoň r velčn z X, X,..., X n je menších nebo rovno x. Tento jev je dsjunktním sjednocením jevů, že právě velčn je menších nebo rovno x, kde běží od r do n. Pravděpodobnost tohoto jevu je tedy součtem pravděpodobností jednotlvých jevů ze sjednocení a máme F (r) (x) P[Alespoň r z X j x, j,..., n] P[Právě z X j x, j,..., n] r r ( ) n F (x)s n (x). (.) K alternatvnímu tvaru dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky můžeme dospět následující úvahou. Jev, že alespoň r velčn X, kde,..., n je menších nebo rovných x, můžeme psát jako sjednocení dvou dsjunktních jevů. Prvního jevu, že alespoň r velčn X, kde,..., n je menších nebo rovných x a poslední velčna může mít lbovolnou hodnotu, a druhého jevu, že právě r velčn X, kde,..., n je menších nebo rovných x a poslední velčna je také menší nebo rovna x. Tedy F r:n (x) P[Alespoň r z X j x, j,..., n] P[Alespoň r z X j x, j,..., n ] + + P[Právě r z X j x, j,..., n ]F (x) ( ) n F r:n (x) + F r (x)s n (r ) (x)f (x) r ( ) n F r:n (x) + F r (x)s n r (x). r 3

8 Pro první člen výše uvedeného součtu můžeme opět použít předchozí úvahu a vyjde nám ( ) n F r:n (x) F r:n (x) + F r (x)s n r (x). r Dále postupujeme nduktvně až po F r:r (x) P[všechny velčny X,,..., r jsou menší nebo rovny x] F r (x), což jnak zapsáno dává F r:r (x) ( ) r F r (x)s (x). r Po zpětném dosazení do původní rovnce získáme alternatvní vzorec pro dstrbuční funkc r-té pořádkové statstky n r ( ) j + r + F (r) (x) F r (x) S j (x). r j Další způsob vyjádření dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky je pomocí neúplné beta funkce I p (a, b) defnované následovně I p (a, b) B(a, b) p kde B(a, b) je úplná beta funkce. t a ( t) b dt a >, b >, p [, ], Lemma.. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x), pak pro dstrbuční funkc F (r) (x) r-té pořádkové statstky X (r) platí: F (r) (x) I F (x) (r, n r + ). (.) Lemma lze bez důkazu nalézt v [3] na straně. Důkaz. Tvrzení budeme dokazovat ntegrováním pravé strany metodou per partes. Máme I F (x) (r, n r + ) B(r, n r + ) F (x) t r ( t) n r dt. Pro zjednodušení zápsu vynecháme konstantu B(r, n r + ) a budeme ntegrovat pouze následující. 4

9 F (x) t r ( t) n r dt F r (x)s n r (x) r F r (x)s n r (x) r + (n r)(n r ) r(r + ) F (x) (n r) + t r ( t) n r dt r (n r) + r(r + ) F r+ (x)s n r (x) + F (x) t r+ ( t) n r dt. Takto postupujeme nduktvně, až po n r krocích získáme F r (x)s n r (x) (n r) + r r(r + ) F r+ (x)s n r (x) + (n r)(n r ) + + F n (x)s(x) + r(r + ) (n ) (n r)! + r(r + ) n F n (x) F r (x)s n r (x) + r (n r)(n r ) (n ) + F (x)s n (x). r(r + ) r+ Tedy máme [ F r (x)s n r (x) I F (x) (r, n r + ) + (r )!(n r)! r ( (n r)(n r ) (n ) + r(r + ) r+ ( ) n F r (x)s n r (x) + r r+ ( ) n F (x)s n (x) r+ F (r) (x).!(n )! F (x)s n (x) )] F (x)s n (x) Nyní se budeme zabývat sdruženým rozdělením pořádkových statstk. Mějme opět X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x). Nejprve s odvodíme sdruženou dstrbuční funkc dvou pořádkových statstk. Necht r < s n. Jev, že alespoň r velčn je menších než x a alespoň s velčn je menších než y je dsjunktním sjednocením jevů, že právě velčn je menších než x a právě j velčn je menších než y, kde j běží od s do n a běží od r do j. Každý z těchto jevů může nastat!(j )!(n j)! způsoby. 5

10 Tedy pro x < y máme F (r,s) (x, y) P[alespoň r z X x a zároveň alespoň s z X y,,,..., n] j P[právě z X k x a právě j z X k y, k,,..., n] js js a pro y x máme r j r!(j )!(n j)! F (x)[f (y) F (x)] j S n j (y) (.3) F (r,s) (x, y) P[alespoň r z X x a zároveň alespoň s z X y,,,..., n] P[alespoň s z X x,,,..., n] F (s) (y). Analogcky lze odvodt dstrbuční funkce vícerozměrných rozdělení. Necht r < r < < r k n. Pak pro x < x < < x k máme F (r,...,r k )(x,..., x k ) P[Alespoň r z X j x,...,..., alespoň r k z X j x k, j,..., n] k k r k r!( )! (n k )! k r k F (x )[F (x ) F (x )] [ F (x k )] n k. Pokud by pro nějaké j < l bylo x j > x l, pak by jev, že alespoň r j z velčn X,..., X n bylo menších nebo rovno x j, nastal automatcky za předpokladu, že by alespoň r l z velčn X,..., X n bylo menších nebo rovno x l. Ve výše zmíněném vzorc by se to projevlo vyřazením prvku s ndexem j a jemu odpovídající sumy.. Rozdělení absolutně spojtých velčn Zatímco předchozí tvrzení a úvahy platly pro lbovolné náhodné velčny X, nyní se budeme zabývat pouze velčnam absolutně spojtým vzhledem k Lebesgueově míře. V celé této podkaptole budeme pracovat s náhodným nezávslým stejně rozděleným velčnam X, X,..., X n, které mají dstrbuční funkc F (x) a hustotu vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Ukážeme, že pak pořádkové statstky X (r) mají hustotu vzhledem k Lebesgueově míře... Hustoty V této sekc se budeme zabývat odvozením hustot pořádkových statstk z absolutně spojtého rozdělení. Nejprve odvodíme hustotu jedné pořádkové statstky. Lemma.. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). 6

11 Pak pro n a r n má pořádková statstka X (r) hustotu vzhledem k Lebesgueově míře f (r) (x) (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x). (.4) Důkaz. Hustotu získáme dervací dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky. Máme [ ( ) n ( ) n f (r) (x) F (r)(x) F (x)s (x)] n (F (x)s n (x)) r r [( ) ( ) ] n n f(x)f (x)s n (x) (n )f(x)f (x)s n (x) r (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x) r!(n r )! f(x)f r (x)s n r (x) + + r!(n r )! f(x)f r (x)s n r (x) +! (n n)f(x)f n (x)s (x) (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x). K odvození hustoty r-té pořádkové statstky lze dospět jným způsoby. První z nch je uveden v [] na straně. Vezměme s jev, že právě r velčn je menších nebo rovno x, právě jedna velčna je v ntervalu (x, x + h] a zbylých n r velčn je větších než x+h pro nějaké malé h. Pravděpodobnost tohoto jevu je F r (x)[f (x + h) F (x)]s n r (x). (r )!(n r)! Tento jev skoro odpovídá jevu, že r-tá pořádková statstka X (r) je v ntervalu (x, x + h], pouze do něj musíme navíc zahrnout varantu, kdy více než velčna padne do ntervalu (x, x + h]. Pravděpodobnost tohoto zbytkového jevu je O(h ), kde symbol O označuje asymptotckou omezenost funkcí h, tedy že O(h ) lm h h. 7

12 Z defnce hustoty pak máme F f (r) (x) F (r)(x) (r) (x + h) F (r) (x) lm h h P[x < X (r) x + h] lm h [ h lm h (r )!(n r)! F r (x) F (r)(x + h) F (r) (x) h (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x). ] S n r (x) + O(h ) h (.5) Další způsob odvození hustoty je pomocí vzorce (.). V defnc neúplné beta funkce označíme konstantu B(r, n r + ) jako B r,n, a pak máme [ F (x) f (r) (x) F (r)(x) [I F (x) (r, n r + )] B r,n t r ( t) n r dt [P (F (x)) P ()] B r,n B r,n P (F (x))f (x) x (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x), kde P (x) je prmtvní k funkc t r ( t) n r, která je na ntervalu [, ] spojtá pro r n, a tedy má prmtvní funkc. Dále s odvodíme vzorec pro sdruženou hustotu dvou pořádkových statstk. Nejprve pomocí parcálních dervací dstrbuční funkce. Lemma.3. Necht jsou X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F(x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Pak pro r < s n a pro x < y máme sdruženou hustotu r-té pořádkové statstky X (r) a s-té pořádkové statstky X (s) rovnu f (r,s) (x, y) C r,s f(x)f(y)f r (x)[f (y) F (x)] s r S n s (y), (.6) kde konstanta C r,s označuje zlomek Důkaz. Máme (r )!(s r )!(n s)!. f (r,s) (x, y) F (r,s) (x, y) x y { j } x y!(j )!(n j)! F (x)[f (y) F (x)] j S n j (y). js r ] 8

13 Konstantu f (r,s) (x, y)!(j )!(n j)! označíme zkratkou K,j a máme js j K,j F (x)f(x)(j )[F (y) F (x)] j f(y)s n j (y) r js js j K,j F (x)f(x)[f (y) F (x)] j (n j)s n j (y)f(y) r j K,j F (x)(j )(j ) r [F (y) F (x)] j f(x)f(y)s n j (y) + j + K,j F (x)(j )[F (y) F (x)] j js r f(x)(n j)s n j (y)f(y). Označíme-l předchozí sčítance po řadě A,j, A,j, A 3,j, A 4,j, vdíme, že f (r,s) (x, y) j (A,j A,j A 3,j + A 4,j). js r Dále lze vypozorvat, že j s... n platí A +,j A 3,j a A +,j A 4,j. Tedy máme f (r,s) (x, y) (A r,j A r,j A 3 j,j + A 4 j,j). js Ale je vdět, že j s... n je A 3 j,j a A 4 j,j, a tedy f (r,s) (x, y) (A r,j A r,j). js Dále s lze povšmnout, že A r,j+ A r,j, tedy f (r,s) (x, y) A r,s A r,n, a protože A r,n, máme f (r,s) (x, y) A r,s C r,s f(x)f(y)f r (x)[f (y) F (x)] s r S n s (y), čímž je tvrzení dokázáno. Předchozí vzorec lze analogcky odvodt přímou úvahou z defnce hustoty. Vezmeme pravděpodobnost, že právě r velčn je menších nebo rovných x, jedna velčna je v ntervalu (x, x+g], s r velčn padne do ntervalu (x+g, y], jedna velčna je v ntervalu (y, y + h] a zbylých n s velčn je větších než y + h. Toto odpovídá pravděpodobnost, že r-tá pořádková statstka X (r) je menší nebo rovna x a s-tá pořádková statstka X (s) je menší nebo rovna y. Opět ale, stejně jako ve vzorc (.5), musíme přdat varantu, že více než jedna velčna padne do ntervalu (x, x + g] a právě jedna velčna padne do ntervalu (y, y + h], která 9

14 má pravděpodobnost O(g h), a varantu, že více než jedna velčna padne do ntervalu (y, y + h] a právě jedna velčna padne do ntervalu (x, x + g], která má pravděpodobnost O(gh ). Pak máme P[x < X (r) x + g, y < X (s) y + h] f (r,s) lm g gh h lm g h r F (x + g) C r,s F [F (y) F (x + g)] g + O(g h) + O(gh ) gh gh C r,s f(x)f(y)f r (x)[f (y) F (x)] s r S n s (y), s r F (y + h) F (y) S n s (y) + h kde symbol C r,s označuje stejnou konstantu jako v předchozím lemmatu. Stejnou úvahu lze použít pro odvození vícerozměrných sdružených hustot. Pro r < r < < r k n máme sdruženou hustotu pořádkových statstk X (r ),..., X (rk ) pro x < < x k f r,...,r k (x,..., x k ) (r )!(r r )!... (n r k )! F r (x )f(x ) [F (x ) F (x )] r r f(x )... S n r k (x k )f(x k ). (.7).. Rozdělení medánu, rozpětí a dalších statstk V této sekc se budeme zabývat rozdělením různých funkcí pořádkových statstk. Opět mějme X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Nejprve s pomocí věty o transformac náhodných velčn, kterou můžeme najít s důkazem v [] na straně 49, odvodíme rodělení rozdílu X (s) X (r), kde r < s n. Mějme zobrazení φ : R R, defnované následovně ( ) ( ) ( ) X(r) U X φ (r), X (s) R r,s X (s) X (r) kde U má stejný nosč jako velčny X, X,..., X n a R r,s nabývá pouze nezáporných hodnot. Zobrazení φ je prosté, a tedy exstuje nverzní zobrazení φ, že ( ) ( ) ( ) X(r) U U φ. R r,s R r,s + U X (s) Absolutní hodnota jakobánu nverzního zobrazení je. Tedy podle věty o transformac náhodných velčn bude mít vektor (U, R r,s ) T sdruženou hustotu f U,Rr,s (u, v) f X(r),X (s) (φ (u, v), φ (u, v)) J φ f X(r),X (s) (u, u + v) (r )!(s r )!(n s)! F r (u)f(u)[f (u + v) F (u)] s r f(u + v)s n s (u + v).

15 Pomocí ntegrace přes proměnnou u pak z této sdružené hustoty získáme margnální hustotu velčny X (s) X (r) f Rr,s (v) C r,s F r (u)f(u)[f (u + v) F (u)] s r f(u + v)s n s (u + v) du, kde konstanta C r,s opět označuje zlomek (r )!(s r )!(n s)!. (.8) Jednou z nejdůležtějších funkcí tohoto typu je rozdělení rozdílu maxma a mnma, jnak označované jako rozpětí R. Jeho hustotu odvodíme dosazením do vzorce (.8) za r a s n a vyjde nám f R (v) (n )! f(u)[f (u + v) F (u)]n f(u + v) du. (.9) Dstrbuční funkc lze získat jako ntegrál z hustoty. Pokud podle Fubnovy věty prohodíme pořadí ntegrace a budeme nejprve ntegrovat přes v, získáme x { } F R (x) n(n )[F (u + v) F (u)] n f(u)f(u + v) du dv { F (u+x) } n f(u) (n )[t F (u)] n dt du F (u) (.) n f(u){[t F (u)] n } F (u+x) du n F (u) f(u)[f (u + x) F (u)] n du. Další důležtou funkcí je výběrový medán X n. Pokud je n lché, je výběrový medán defnován jako X ( n+ ) a jeho hustotu získáme jednoduše dosazením do vzorce (.4) za r n+. Vyjde nám f Xn (x) f X( n+ )(x) ( n+ )!(n n+) F n+ n+ n (x)f(x)s (x) n+ n [( n+ F (x)f(x)s (x). )!] Dstrbuční funkc můžeme získat ntegrováním hustoty nebo dosazením do vzorce (.) a máme F Xn (x) x [( n+ F X( n+ ) n+ n F (t)f(t)s (t)dt )!] ( ) n F (x)s n (x). n+ Pro n sudé máme výběrový medán defnován jako X n X ( n ) + X ( n +). Tedy k spočítání jeho hustoty budeme nejprve potřebovat sdruženou hustotu velčn

16 X ( n ) a X ( n +), která je podle vzorce (.6) f X( n ),X ( n +)(x, y) ( n )!( n + n )!(n n )! F n (x)f(x)[f (y) F (x)] n + n f(y)s n n (y) [( n F n (x)f(x)f(y)s n (y). )!] Dále pomocí věty o transformac získáme hustotu medánu f Xn. Necht φ je zobrazení z R do R takové, že ( ) ( ) ( ) X( n U φ ) X( n ) X X ( n +) X ( n ) +X, ( n +) n kde U nabývá stejných hodnot jako velčny X, X,..., X n a X n nabývá pouze hodnot větších nebo rovných U. Protože je φ prosté, exstuje nverzní zobrazení φ, že ( ) ( ) ( X( n ) φ X ( n ŨXn +) U X n U a absolutní hodnota jeho jakobánu je. Tedy podle věty o transformac je sdružená hustota U a X n rovna f (U, Xn) (u, v) [( n )!] F n (u)f(u)f(v u)s n (v u) a margnální hustota medánu X n je pak rovna f Xn (v) v [( n )!] F n (u)f(u)f(v u)s n (v u) du. Dstrbuční funkc medánu X n pak získáme ntegrací hustoty, př které opět použjeme Fubnovu větu a vyjde nám x { v } f Xn (x) [( n F n (u)f(u)f(v u)s n (v u) du dv )!] x [ x ] [( n F n (u)f(u) f(v u)s n (v u) dv du )!] [( n )!] ( n )!( n )! x u F n (u) [S n (u) S n (x u)] du n [ x x ] F n (u)s n (u) du F n (u)s n (x u) du. ) Poslední úvaha v této sekc se bude týkat transformace pomocí dstrbuční funkce a je uvedena v [3] na straně 5. Necht X, X,..., X n jsou opět nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Pak podle známého tvrzení, které můžeme nalézt v [] na straně 7, mají velčny U F (X ) rovnoměrné rozdělení na ntervalu

17 [, ]. Dstrbuční funkce F (x) je neklesající, platí pro n mplkace X (r) X (s) F (X (r) ) F (X (s) ), a tedy zachovává pořadí. Z toho je hned vdět, že F (X (r) ) bude mít stejné rozdělení jako r-tá pořádková statstka standardního rovnoměrného rozdělení. Pomocí nverzní dstrbuční funkce, jnak označované jako kvantlová funkce, defnované následovně F (u) nf{x : F (x) u}, pak můžeme odvodt obrácený vztah. Tedy, že F (U ) má stejné rozdělení jako X. To plyne ze vztahu P[X x] P[F (X ) F (x)] P[U F (x)] P[F (U ) x], kde poslední rovnost platí, protože ze spojtost dstrbuční funkce zprava máme F (F (u)) u a F (F (x)) x, a tedy u F (x) F (u) x. Protože F (u) je také neklesající, a tedy zachovává pořadí, získáme vztah F (U (r) ) d X (r), (.) d kde symbol znamená, že obě velčny mají stejné rozdělení. Tohoto vztahu budeme dále využívat př výpočtech momentů pořádkových statstk...3 Podmíněná rozdělení V této část se zaměříme na podmíněná rozdělení pořádkových statstk. Opět mějme X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou f(x). Dále mějme r < s n. Ukážeme s, že podmíněná hustota pořádkových statstk X (r+),..., X (s ) za podmínky, že X () se rovná x pro r a s n je stejná jako podmíněná hustota pořádkových statstk X (r+),..., X (s ), pokud známe pouze X (r) a X (s). Podle věty o podmíněné hustotě, kterou můžeme s důkazem najít v [] na straně 56, máme f X(r+),...,X (s ) X x, r, s n(x r+,..., x s ) f X(),...,X (n) (x,..., x n ) f X(),...,X (r),x (s),...,x (n) (x,..., x r, x s,... x n ), kam dosadíme podle vzorce (.7) a vyjde nám f(x )... f(x n ) f(x (s r )! )... f(x r )f(x s )... f(x n )[F (x s ) F (x r )] s r (s r )! [F (x s ) F (x r )] s r s jr+ f(x j ) x < < x n. Z toho vdíme, že podmíněná hustota vůbec nezávsí na velčnách X (), kde < r a > s. Pro jstotu ještě spočítáme podmíněnou hustotu, pokud známe pouze 3

18 X (r) a X (s). f X(r+),...,X (s ) X r x r, X s x s (x r+,..., x s ) f X (r),...,x (s) (x r,..., x s ) f X(r),X (s) (x r, x s ) a opět podle vzorce (.7) máme f(x (r )!(n s)! r)... f(x s )F r (x r )S n s (x s ) f(x (r )!(s r )!(n s)! r)f(x s )F r (x r )[F (x s ) F (x r )] s r S n s (x s ) (s r )! [F (x s ) F (x r )] s r s jr+ f(x j ) x < < x n, a vdíme, že se obě podmíněné hustoty rovnají, a tedy obě podmíněná rozdělení jsou stejná. Jako konkrétní případ bychom mohl vzít podmňování pouze menším pořádkovým statstkam. Tedy podle předchozí úvahy pro r < s je pravděpodobnost, že X (s) x s za podmínky X x, kde r, rovna pravděpodobnost, že X (s) x s za podmínky X r x r, a z toho vdíme, že pořádkové statstky tvoří Markovův řetězec. 4

19 . Momenty a jejch vztahy V této kaptole se budeme zabývat exstencí a výpočtem momentů pořádkových statstk, zejména středním hodnotam, rozptyly a kovarancem. Zaměříme se opět pouze na náhodné velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře. Nejprve s uvedeme základní vzorce k jejch získání a poté s odvodíme některé jejch užtečné vlastnost a vztahy mez nm k usnadnění jejch výpočtu. Pro náhodné velčny X, X,..., X n budeme označovat momenty jejch pořádkových statstk následujícím způsobem. Necht pro r n a s n máme pořádkové statstky X (r) a X (s). Obecné momenty E(X(r) k ) označíme jako µk (r) a smíšené momenty E(X(r) k Xl (s)) jako µk,l (r,s). Střední hodnotu E(X (r)) budeme zapsovat zjednodušeně ve tvaru µ (r).. Základní vzorce pro výpočet momentů Mějme nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny X, X,..., X n s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Pak pro r n se střední hodnota r-té pořádkové statstky X (r) vypočítá podle vzorce µ (r) E(X (r) ) xf (r) (x) dx. Za hustotu f (r) (x) můžeme dosadt podle vzorce (.4) a máme µ (r) (r )!(n r)! xf r (x)f(x)s n r (x) dx. Z úvahy (.) o transformac pomocí dstrbuční funkce můžeme získat ještě alternatvní vzorec pro výpočet střední hodnoty, µ (r) E(X (r) ) E(F (U (r) )) kde (r )!(n r)! F (u)u r ( u) n r du, (.) (r )!(n r)! ur ( u) n r je hustota r-té pořádkové statstky rovnoměrného rozdělení na ntervalu [, ], což pozděj odvodíme v kaptole 3. Dále s ukážeme postačující podmínku exstence střední hodnoty r-té pořádkové statstky, jak je uvedena v [3] na straně 34. Lemma.. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F(x) a hustotou vůč Lebesgueově míře f(x) a necht exstuje konečná střední hodnota E(X). Pak pro každé r rovno,,..., n exstuje konečná střední hodnota E(X (r) ). 5

20 Důkaz. µ (r) (r )!(n r)! (r )!(n r)! (r )!(n r)! F (u)u r ( u) n r du F (u)u r ( u) n r du F (u) du (r )!(n r)! E( F (U) ) Ale máme E( X ) <, protože E( X ) x f(x)dx (r )!(n r)! E( X ). xf(x)dx xf(x)dx, pokud pravá strana dává smysl, ale její exstence plyne z konečnost střední hodnoty E(X). Poznámka. Toto tvrzení lze analogcky použít pro jné funkce náhodných velčn X, X,..., X n, například pro vyšší obecné momenty E(X k ), centrální momenty E(X µ), atd. Pokud exstuje konečná E[g(X)], pak exstuje konečná E[g(X (r) )] pro r,..., n. Dále můžeme odvodt vzorec pro vyšší momenty pořádkových statstk µ k (r), kde k,,.... µ k (r) x k f (r) (x) dx (r )!(n r)! (r )!(n r)! [F (u)] k u r ( u) n r du. x k F r (x)f(x)s n r (x) dx (.) Rozptyl pořádkových statstk, označme ho σ (r), se pak může psát bud z defnce, jako var(x (r) ) E(X (r) µ (r) ), nebo po úpravě roznásobením jako var(x (r) ) µ (r) (µ (r)). A máme σ(r) (x µ (r) ) F r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! x F r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! [ ] xf r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! (r )!(n r)! (F (u) µ (r) ) u r ( u) n r du. 6

21 Nyní se zaměříme na smíšené momenty. Pro r < s n máme smíšenou střední hodnotu statstk X (r) a X (s) rovnu µ (r,s) E(X (r) X (s) ) C r,s y xyf (r,s) (x) dx dy xyf r (x)f(x)[f (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy, kde C r,s označuje stejnou konstantu jako ve vzorc (.6). Zde pak můžeme použít stejnou úvahu jako ve vzorc (.) a máme µ (r,s) E(X (r) X (s) ) E[F (U (r) )F (U (s) )] C r,s v F (u)f (v)u r (v u) s r ( v) n s du dv, kde C (r,s) u r (u v) s r ( v) n s je sdružená hustota r-té a s-té pořádkové statstky rovnoměrného rozdělení na ntervalu [,], jak bude ukázáno v kaptole 3. Analogcky lze odvodt vzorec pro smíšené momenty vyššího řádu µ k,l (r,s), kde r < s n a k, l,,... µ k,l (r,s) C r,s C r,s x k y l f (r,s) (x) dx dy y v x k y l F r (x)f(x)[f (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy [F (u)] k [F (v)] l u r (u v) s r ( v) n s du dv. Z předchozích vzorců pro smíšené momenty pak můžeme vypočítat kovaranc dvou pořádkových statstk. Nejprve z defnce máme cov(x (r) X (s) ) E[(X (r) µ (r) )(X (s) µ (s) )] C r,s (x µ (r) )(y µ (s) )f (r,s) (x) dx dy y nebo můžeme použít známý vzorec (x µ (r) )(y µ (s) )F r (x)f(x) [F (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy, cov(x (r) X (s) ) E(X (r) X (s) ) E(X (r) )E(X (s) ) µ (r,s) µ (r) µ (s) y C r,s xyf r (x)f(x)[f (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy [ xf r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! ] yf r (y)f(y)s n r (y) dy. (r )!(n r)! 7

22 . Vztahy mez momenty pořádkových statstk V této část s ukážeme některé užtečné vztahy mez jednotlvým momenty pořádkových statstk. Necht X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře a necht X (),..., X (n) jsou jejch pořádkové statstky. Pak pro k, l N můžeme odvodt dvě základní dentty X() k X k (.3) a X()X k (j) l j X k Xj l, (.4) nebot levá strana je jen přerovnáním pravé. Nyní předpokládejme, že exstuje konečná střední hodnota a konečný rozptyl velčn X, X,..., X n. Střední hodnotu označme E(X) µ a rozptyl var(x) σ. Podle lemmatu. a poznámky pod ním víme, že také exstuje konečná střední hodnota a rozptyl pořádkových statstk X (), X (),..., X (n). Dosazením do vzorce (.3) za k a k a aplkováním střední hodnoty získáme násladující vztahy a µ () j ( ) ( ) E(X () ) E X () E X µ () ne(x ). E(X ) µ nµ Položením k a l a aplkováním střední hodnoty na vzorec (.4) dostaneme µ () µ (j) j ( E j ( E(X () X (j) ) E ) X X j j ) X () X (j) j E(X X j ) ne(x ) + n(n )µ. j Další vztah získáme pomocí kovarancí velčn X () a X (j) cov(x () X (j) ) j E(X () X (j) ) j µ (,j) j µ () j E(X () )E(X (j) ) j µ (j) ne(x ) + n(n )µ n µ n(ex µ ) nσ. V poslední relac, kterou zde odvodíme, budeme předpokládat pro k, l N exstenc momentů E(X k ) a E(X l ). Nejprve zobecníme úvahu o smíšených mo- 8

23 mentech pro vyšší řády, z čehož máme j µ k,l (,j) j ( E ( E(X()X k (j)) l E ) X k Xj l j j X k ()X l (j) E(X k Xj) l j ne(x k+l ) + n(n )E(X k )E(X l ), kde první sčítanec tvoří ty členy sumy, pro které j. Pokud vezmeme pouze druhý sčítanec, tedy členy, kde j, a použjeme úvahu, že µ k,l (,j) µl,k (j,), tedy, že každý člen je v předchozí sumě dvakrát, dostaneme vzorec ) n j+ n µ k,l (,j) j+ E(X k ()X l (j)) n(n ) E(X k )E(X l ). Potom pro k l máme n j+ n µ k,k (,j) j+ E(X k ()X k (j)) ( ) n [E(X k )]. 9

24 3. Pořádkové statstky některých rozdělení V této kaptole ukážeme předchozí výsledky na některých konkrétních rozděleních. Nejprve vezmeme standardní rovnoměrné rozdělení na ntervalu [, ], které bylo hojně využíváno př výpočtech momentů. Následně pak další dvě v prax důležtá rozdělení, a to exponencální a normální. Pro každé z nch spočteme dstrbuční funkc a hustotu jejch r-té pořádkové statstky, poté její střední hodnotu a rozptyl a na závěr s ukážeme rozdělení mnma, maxma a rozpětí. 3. Rovnoměrné rozdělení Necht mají náhodné velčny X, X,..., X n rovnoměrné rozdělení na ntervalu [,] s dstrbuční funkcí x (, ) F (x) x x [, ) x [, ) a hustotou f(x) pro x z ntervalu [, ] a f(x) jnak. Dstrbuční funkce jejch r-té pořádkové statstky X (r) je pak podle vzorce (.) rovna x (, ) F (r) (x) n ( n ) r x ( x) n x [, ) x [, ). Ze vzorce (.) máme také pro x [, ] F (r) (x) (r )!(n r)! x t r ( t) n r dt I x (r, n r + ) a vdíme, že r-tá pořádková statstka rovnoměrného rozdělení má beta rozdělení s parametry r a n r +. Hustotu pak snadno odvodíme dervací předchozího nebo ze vzorce (.4) a pro x [, ] máme f (r) (x) (r )!(n r)! xr ( x) n r. Nyní s ukážeme sdruženou dstrbuční funkc a hustotu dvou pořádkových statstk X (r) a X (s), kde r < s n. Pak pro < x < y < máme podle vzorce (.3) j F (r,s) (x) C,j x (y x) j ( y) n j a podle vzorce (.6) js r f (r,s) (x) C r,s x r (y x) s r ( y) n s. Dále s spočítáme střední hodnotu a rozptyl r-té pořádkové statstky. Protože víme, že velčny s rovnoměrným rozdělením na ntervalu [, ] mají konečné

25 momenty všech řádů, budou mít podle lemmatu. konečné momenty jejch pořádkové statstky a máme E(X (r) ) a x (r )!(n r)! xr ( x) n r dx B(r +, n r + ) B(r, n r + ) r n + E(X (r)) Z tohoto pak můžeme vypočítat rozptyl jako var(x (r) ) E(X (r)) [E(X (r) )] x (r )!(n r)! xr ( x) n r dx B(r +, n r + ) r(r + ) B(r, n r + ) (n + )(n + ). r(r + ) (n + )(n + ) r r(n r + ) (n + ) (n + ) (n + ). Na závěr s ukážeme rozdělení některých konkrétních statstk. Mnmum a maxmum získáme dosazením do vzorce pro dstrbuční funkc za r a r n. Pro x [, ] máme a F () ( ) n x ( x) n F (n) n ( ) n x ( x) n ( x) n ( x) n ( ) n x ( x) n x n. Dstrbuční funkce a hustota rozpětí R pak podle vzorců (.9) a (.) je a f R (v) v F R (x) x n(n )[u + v u] n du n(n )v n ( v) v [, ] n(n )v n ( v) dv x n [n( x) + x] x [, ]. 3. Exponencální rozdělení Nyní s vezmeme nezávslé náhodné velčny X, X,..., X n s exponecálním rozdělením s parametrem λ. Ty mají dstrbuční funkc F (x) e λx pro x a jnak. Husotota je pak f(x) λe λx opět pro x a jnak. Jejch r-tá pořádková statstka pak má podle vzorce (.) dstrbuční funkc { x (, ) F (r) (x) ) ( e λx ) (e λx ) n x [, ) n ( n r a hustotu podle vzorce (.4) f (r) (x) (r )!(n r)! λ( e λx ) r (e λx ) n r+ x [, ).

26 Sdružené rozdělení dvou pořádkových statstk X (r) a X (s) dostaneme pro r < s n a < x < y < ze vzorců (.3) a (.6) a F (r,s) (x, y) j C,j ( e λx ) (e λx e λy ) j (e λy ) n j js r f (r,s) (x, y) C r,s ( e λx ) r λe λx (e λx e λy ) s r λe λy (e λy ) n s. Nyní s spočítáme střední hodnotu a rozptyl. Podle vzorce (.) máme E(X (r) ) F (u) (r )!(n r)! ur ( u) n r du log( u) λ (r )!(n r)! ur ( u) n r du, log( u) kde je kvantlová funkce exponencálního rozdělení s parametrem λ. λ Použtím metody ntegrace per partes pak získáme λ [ r ( ) ] u n u ( u) n log( u) + λ u r u ( u) n du Po dosazení lmt u a u + do prvního sčítance zjstíme, že je nulový. Ve druhém sčítanc pak můžeme prohodt sumu a ntegrál a máme λ r u ( u) n du λ r n. Obdobně získáme ze vzorce (.) druhý obecný moment E(X (r) ). E(X(r)) log ( u)u r ( u) n r du λ [ r ( ] u n log ( u) )u ( u) n λ u r ( ) n log( u) u ( u) n du λ [ r log( u) λ n + r λ n r λ n j j j ( n j n + j. ( ] u n )u j ( u) n +j + j u ) u j ( u) n +j du

27 Z toho pak můžeme vypočítat rozptyl jako a var(x (r) ) E(X (r)) [E(X (r) )] r λ n j r λ (n ). ( n + j λ r Na závěr opět uvedeme rozdělení mnma, maxma a rozpětí. F () (x) F (n) (x) n ) n ( ) n ( e λx ) (e λx ) n (e λx ) n x [, ) ( ) n ( e λx ) (e λx ) n ( e λx ) n x [, ). Rozpětí R má pak podle vzorce (.9) hustotu f R (v) n(n )λe λu [( e λ(u + v)) ( e λu )] n λe λ(u+v) du n(n )λ e λv ( e λv ) n (e λu ) (e λu ) n du n(n )λ e λv ( e λv ) n λn (n )λe λv ( e λv ) n a podle (.) dstrbuční funkc F R (x) x (n )λe λv ( e λv ) n dv ( e λx ) n, e λx (n )( t) n dt což je stejné, jako dstrbuční funkce maxma z výběru o n prvcích. Tedy máme X n:n X :n d X n :n. 3.3 Normální rozdělení Jako poslední s vezmeme nezávslé náhodné velčny X, X,..., X n s normovaným normálním rozdělením N(, ). Jejch hustota je f(x) π e x x R a jejch dstrbuční funkc označíme Φ(x). Dstrbuční funkc a hustotu jejch r-té pořádkové statstky pak získáme ze vzorců (.) a (.4) F (r) (x) r ( ) n Φ (x)[ Φ(x)] n 3 x R

28 a f (r) (x) (r )!(n r)! π e x Φ r (x)[ Φ(x)] n r x R. Podle (.3) a (.6) dostaneme pro r < s n a x < y sdružené rozdělení dvou pořádkových statstk X (r) a X (s). a F (r,s) (x, y) js j C,j Φ (x)[φ(y) Φ(x)] j [ Φ(y)] n j r f (r,s) (x, y) C r,s π Φr (x)e x [Φ(y) Φ(x)] s r e y [ Φ(y)] n s. Střední hodnotu pak získáme jako E(X (r) ) x (r )!(n r)! druhý obecný moment dostaneme analogcky E(X (r)) a rozptyl pak máme a x (r )!(n r)! π e x Φ r (x)[ Φ(x)] n r dx, π e x Φ r (x)[ Φ(x)] n r dx var(x (r) ) E(X (r)) [E(X (r) )]. Nyní s opět spočteme rozdělení mnma a maxma. F () (x) F (n) (x) ( ) n Φ (x)[ Φ(x)] n [ Φ(x)] n n ( ) n Φ (x)[ Φ(x)] n Φ n (x). Na závěr s uvedeme hustotu a dstrbuční funkc rozpětí. Podle vzorců (.9) a (.) máme a f R (v) n(n ) e u [Φ(u + v) Φ(u)] n e (u+v) du π π F R (x) n e u [Φ(u + x) Φ(u)] n du. π 4

29 Závěr Na závěr shrneme výsledky této práce a rozebereme možnost jejího rozšíření. V první kaptole se nám podařlo odvodt dstrbuční funkce pořádkových statstk a dokázat, že pokud byly původní velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře, byly pak jejch pořádkové statstky spojté a spočítal jsme jejch hustotu. Dále jsme ukázal rozdělení výběrového medánu a rozpětí, a přes úvahu o transformac pomocí dstrbuční funkce jsme našl vztah mez pořádkovým statstkam lbovolného a standartního rovnoměrného rozdělení. Na závěr první kaptoly jsme spočítal podmíněná rozdělení pořádkových statstk a zjstl jsme, že pořádkové statstky tvoří Markovův řetězec, nebot rozdělení s-té pořádkové statstky pro s > r za podmínky, že známe r-tou pořádkovou statstku, vůbec nezávsí na velčnách X (), kde < r. Ve druhé kaptole jsme nalezl vzorce pro výpočet obecných momentů pořádkových statstk pomocí pořádkových statstk standardního rovnoměrného rozdělení a ukázal jsme, že pokud exstují momenty původních velčn X, X,..., X n, pak exstují momenty pořádkových statstk X (), X (),..., X (n). Dále jsme odvodl základní vzorce pro součty momentů pořádkových statstk, které plynou z přerovnání momentů původních velčn. Poslední kaptola obsahuje hlavní přínos této práce. Předchozí obecné výsledky jsme v ní použl na standardní rovnoměrné, exponencální a normální rozdělení a získal jsme konkrétní rozdělení jejch pořádkových statstk, která pak mohou být využta v prax. U rovnoměrného rozdělení jsme zjstl, že jeho r-tá pořádková statstka má beta rozdělení s parametry r a n r +, kde n je počet původních rovnoměrně rozdělených velčn. Dále jsme ukázal, že pořádkové statstky rovnoměrného rozdělení dělí pomocí svých středních hodnot nterval [, ] na n + stejných částí. U exponencálního rozdělení jsme pak odvodl, že rozpětí z výběru o n velčnách má stejné rozdělení jako maxmum z výběru o n velčnách. Celková problematka pořádkových statstk je jstě mnohem rozsáhlejší než pokrývá tato práce a stále v ní probíhá nový výzkum. Jednou z možností, jak toto dílo rozšířt, by bylo přdání teore o rozdělení pořádkových statstk dskrétních velčn, případně nestejně rozdělných velčn. Další možností by bylo zabývat se aplkcí pořádkových statstk v prax, například v teor odhadu č testech hypotéz, případně zaměřt se na asymptotckou teor př velkost výběru jdoucí k nekonečnu. 5

30 Seznam použté lteratury [] Anděl, Jří. Základy matematcké statstky.. vydání. Praha: Matfyzpress, 7. ISBN [] Arnold, Barry C., Balakrshnan, N., Nagaraja, H.N. A Frst Course n Order Statstcs.. vydání. New York: Wlley, 99.b ISBN [3] Davd, H.A., Nagaraja, H.N. Order Statstcs. 3. vydání. New Jersey: Wlley, 3. ISBN

31 Seznam použtého značení Zde s pro přehlednost uvedeme seznam použtého značení. X, X,..., X n Reálné náhodné velčny X (), X (),..., X (n) Jejch pořádkové statstky X :n, X :n,..., X n:n X n Výběrový medán R Rozpětí (X (n) X () ) F (x) Dstrbuční funkce S(x) Komplementární dstrbuční funkce ( F (x)) F (r) (x), F r:n (x) Dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky F (r,s) (x, y) Sdružená dstrbuční funkce dvou pořádkových statstk f(x) hustota spojté náhodé velčny f (r) (x) hustota r-té pořádkové statstky f (r,s) (x, y) Sdružená hustota dvou pořádkových statstk I p (a, b) Neúplná beta funkce B(a, b) Úplná beta funkce C r,s (r )!(s r )!(n s)! µ (r) Střední hodnota r-té pořádkové statstky µ k (r) K-tý obecný moment r-té pořádkové statstky σ(r) Rozptyl r-té pořádkové statstky µ (r,s) Smíšena střední hodnota dvou pořádkových statstk cov(x (r) X (s) ) Kovarance dvou pořádkových statstk Φ(x) Dstrbuční funkce normálního rozdělení N(, ) 7

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...) . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady

Více

ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ

ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ Bc. Jtka Hanousková 1 Abstrakt: Příspěvek se zabývá postačujícím podmínkam pro konzstenc odhadů s mnmální Kolmogorovskou vzdáleností

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Dále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2

Dále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2 4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nomnální napětí v pásnc Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma 5: Parametrcká rozdělení pravděpodobnost spojté náhodné velčn Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí

Více

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha. Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC 25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Rekonstrukce diskrétního rozdělení psti metodou maximální entropie

Rekonstrukce diskrétního rozdělení psti metodou maximální entropie Rekonstrukce diskrétního rozdělení psti metodou maximální entropie Příklad Lze nalézt četnosti nepozorovaných stavů tak, abychom si vymýšleli co nejméně? Nechť n i, i = 1, 2,..., N jsou známé (absolutní)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2. . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme

Více

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá

Více

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech. Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má

Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Numerická matematika A

Numerická matematika A Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B,

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Metody matematické statistiky (NMAI 061)

Metody matematické statistiky (NMAI 061) Plán přednášky Metody matematcké statstky (NMAI 061) Zdeněk Hlávka Opakování: rozdělení náhodné velčny. Normální rozdělení, centrální lmtní věta. Odhady, testování hypotéz (t-test). Regresní analýza. Mnohorozměrné

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Jakub Vojtík. Kurzové sázky a reálné kurzy. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Jakub Vojtík. Kurzové sázky a reálné kurzy. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jakub Vojtík Kurzové sázky a reálné kurzy Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: Studjní program: Studjní obor: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Matematka

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Maticová exponenciála a jiné maticové funkce

Maticová exponenciála a jiné maticové funkce Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě

Více

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

A u. jsou po řadě počáteční a koncové body úsečky; t je parametr:

A u. jsou po řadě počáteční a koncové body úsečky; t je parametr: 1 Úvod Trangulace oblast má dnes využtí například v počítačové grafce nebo numercké matematce, kde základní algortmy pro výpočet parcálních dferencálních rovnc vyžadují rozdělení zadané souvslé oblast

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Modely pro přežití s možností vyléčení

Modely pro přežití s možností vyléčení Unverzta Karlova v Praze Matematcko-fyzkální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Adéla Drabnová Modely pro přežtí s možností vyléčení Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí dplomové práce: Studjní program:

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ

POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZEÍ PROJEKTŮ A USAGE OF PERT METHOD I PROJECT MAAGEMET Vladslav Grycz 1 Abstract PERT Method and Graph theory

Více

VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ. N(0, 1) má tzv. standardizované normální rozdělení.

VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ. N(0, 1) má tzv. standardizované normální rozdělení. VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ RNDR. MARIE FORBELSKÁ, PHD. Věta.Mějmenáhodnouveličinusnormálnímrozdělením X N(µ, σ.dálenechť a, b R,b jsoureálnékonstanty.potomnáhodnáveličina,kterájelineárnítransformacípůvodní,máopětnormálnírozdělení,ato

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2,

Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2, Statstka I cvčení - 54-5 NÁHODNÝ VEKTOR Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných velčn = n který je charakterzován sdruženou smultánní dstrbuční unkcí ; F náhodný vektor s dskrétním

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více