Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0."

Transkript

1 A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin x = x Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = x 2 + 2, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = sin x + x 2 2: f(1) = sin < 0, f(2) = sin > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = cos x + 2x > 0 pro x 1, 2 (protože 1 cos x 1 a 2x 2 pro x 1, 2 ). f (x) = sin x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 sin x 1, tedy sin x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k sin x k + x 2 k 2 : cos x k + 2x k x 1 = 1,1882; x 2 = 1,0647; x 3 = 1,0616; x 4 = 1,0615. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,062. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 4z = 40 2x + 10y 3z = 15 2x y 8z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 4, 10 > 2 + 3, 8 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (40 + 3y 20 k 4z k ) y k+1 = 1 (15 2x 10 k+1 + 3z k ) z k+1 = 1 (20 2x 8 k+1 + y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( )/20 = 2, y 1 = ( )/10 = 1,1, z 1 = ( ,1)/8 = 2,1375 x 2 = 2,5925, y 2. = 0,3402, z2. = 1, x

2 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = 6 (x 0) (x 2) (x + 1) (x 2) (x + 1) (x 0) ( 1 0) ( 1 2) (0 + 1) (0 2) (2 + 1) (2 0) = 2x2 3x + 1 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 1) = 2 ( 1) 2 3 ( 1) + 1 = 6 = f 0 ; P 2 (0) = 1 = f 1 ; P 2 (2) = = 3 = f 2.

3 B 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa záporný kořen rovnice 2e x x 4 = 0. Rovnici lze upravit na 2e x = x + 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 2e x a y = x + 4, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 4, 3. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = 2e x x 4: f( 4) = 2e > 0, f( 3) = 2e < 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 4, 3 leží kořen rovnice f(x) = Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 4, 3 znaménko: f (x) = 2e x 1 < 0 pro x 4, 3 (protože 2e x 2e 3. = 0,1). f (x) = 2e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 4, protože f( 4) > 0 a f ( 4) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k 2ex k xk 4 2e x k 1 : x 1 = 3,9620; x 2 = 3,9619; x 3 = 3,9619. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 3,9619. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 10x + y 2z = 30 3x + 20y 4z = 10 x 4y 40z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (3; 1; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 10 > 1 + 2, 20 > 3 + 4, 40 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (30 y 10 k + 2z k ) y k+1 = 1 (10 3x 20 k + 4z k ) z k+1 = 1 40 k + 4y k ) Vyjde: x 1 = ( )/10 = 2,9, y 1 = ( )/20 = 0,05, z 1 = ( )/40 = 0,525 x 2 = 2,89 y 2 = 0,04, z 2 = 0,4325 x y

4 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 2) (x + 2) (x 2) (x + 2) (x 0) ( 2 0) ( 2 2) (0 + 2) (0 2) (2 + 2) (2 0) = = 2x 2 + 3x 1 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 2) = 2 ( 2) ( 2) 1 = 15 = f 0 ; P 2 (0) = 1 = f 1 ; P 2 (2) = = 3 = f 2.

5 C 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa záporný kořen rovnice cos x + x 2 3 = 0. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na cos x = x Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = cos x a y = x , vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2, 1. y 2 Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = cos x + x 2 3: 1 f( 1) = cos( 1) < 0, f( 2) = cos( 2) > 0, x znaménka jsou opačná, v intervalu 2, 1 leží 1 kořen rovnice f(x) = 0. Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 2, 1 znaménko: f (x) = sin x + 2x < 0 pro x 2, 1 (protože 1 sin x 1 a 2x 2 pro x 2, 1 ). f (x) = cos x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 cos x 1, tedy cos x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f( 2) > 0 a f ( 2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k cos x k + x 2 k 3 : sin x k + 2x k x 1 = 1,8111; x 2 = 1,7952; x 3 = 1,7951. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,795. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 5z = 50 3x 10y 2z = 20 x 2y + 5z = 10 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 5, 10 > 3 + 2, 5 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (50 + 3y 20 k 5z k ) y k+1 = 1 10 k+1 + 2z k ) z k+1 = 1 (10 x 5 k+1 + 2y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( )/20 = 2,5, y 1 = (20 3 2, )/10 = 1,25, z 1 = (10 2,5 + 2 ( 1,25))/5 = 1 x 2 = 2,0625, y 2 = 1,58125, z 2 = 0,955

6 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 2) (x + 1) (x 2) (x + 1) (x 0) ( 1 0) ( 1 2) (0 + 1) (0 2) (2 + 1) (2 0) = = 3x 2 x + 2 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 1) = 3 ( 1) 2 ( 1) + 2 = 6 = f 0 ; P 2 (0) = 2 = f 1 ; P 2 (2) = = 12 = f 2.

7 D 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa kladný kořen rovnice e x 2x 3 = 0. Rovnici lze upravit na e x = 2x + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 8 e x a y = 2x + 3, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce 6 f(x) = e x 2x 3: f(1) = e 2 3 < 0, f(2) = e > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla 2 zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = e x 2 > 0 pro x 1, 2 (protože e x e = ,7 pro x 1, 2 ). x f (x) = e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k ex k 2xk 3 : e x k 2 x 1 = 1,9278; x 2 = 1,9239; x 3 = 1,9239. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,9239. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 5x 2y + z = 15 2x 20y + 5z = 30 3x y + 10z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3; 1; 2) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > 2 + 1, 20 > 2 + 5, 10 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 5 ( y k z k ) y k+1 = 1 20 k 5z k ) z k+1 = 1 (20 3x 10 k + y k ) Vyjde: x 1 = ( ( 1) 2)/5 = 3,8, y 1 = (30 2 ( 3) 5 2)/20 = 1,3, z 1 = (20 3 ( 3) + ( 1))/10 = 2,8 x 2 = 4,08, y 2 = 1,18, z 2 = 3,01

8 Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i f i Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 1) (x + 2) (x 1) (x + 2) (x 0) ( 2 0) ( 2 1) (0 + 2) (0 1) (1 + 2) (1 0) = = 3x 2 + 2x 4 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 2) = 3 ( 2) ( 2) 4 = 4 = f 0 ; P 2 (0) = 4 = f 1 ; P 2 (1) = = 1 = f 2.

9 A 10 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa záporný kořen rovnice e x 2x 3 = 0. Rovnici lze upravit na e x = 2x + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 8 e x a y = 2x+3, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2, 1. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce 6 f(x) = e x 2x 3: f( 1) = e < 0, f( 2) = e > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 2, 1 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla 2 zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 2, 1 znaménko: f (x) = e x 2 < 0 pro x 2, 1 (protože e x e 1. = 0,37 pro x 2, 1 ). x f (x) = e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 2, protože f( 2) > 0 a f ( 2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k ex k 2xk 3 : e x k 2 x 1 = 1,3911; x 2 = 1,3734; x 3 = 1,3734. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,3734. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 5z = 50 3x 10y 2z = 20 x 2y + 5z = 10 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (2; 1; 2) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 5, 10 > 3 + 2, 5 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (50 + 3y 20 k 5z k ) y k+1 = 1 10 k + 2z k ) z k+1 = 1 (10 x 5 k + 2y k ) Vyjde: x 1 = (50+3 ( 1) 5 2)/20 = 1,85, y 1 = ( )/10 = 1,8, z 1 = ( ( 1))/5 = 1,2 x 2 = 1,93, y 2 = 1,685, z 2 = 0,91

10 Př. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(2 + x 2 ) pomocí interpolačního polynomu s uzly x 0 = 0,4, x 1 = 0 a x 2 = 0,4. Pak pomocí nalezeného interpolačního polynomu vypočtěte přibližně f(0,1) a výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Nejjednodušší je výpočet pomocí Newtonova interpolačního polynomu pro ekvidistantní uzly, ale lze i pomocí obecného Newtonova nebo Lagrangeova i.p. Řešení pomocí speciálního tvaru pro ekvidistantní uzly: Tabulka obyčejných diferencí P 2 (x) = 0, , 0370q 0,0741 q(q 1), kde q = x+0,4 2 0,4 x i f i -0,4 0,4630 0,0370-0, ,5-0,0370 0,4 0,4630 P 2 (0,1). = 0,4977 (za q dosadíme 0,1+0,4 0,4 = 1,25), Přesně: 1/(2 + 0,1 2 ). = 0,4975 Řešení pomocí obecného tvaru: Tabulka poměrných diferencí: P 2 (x) = 0, ,0926(x + 0,4) 0,2315(x + 0,4)(x 0) x i f i -0,4 0,4630 0,0926-0, ,5-0,0926 0,4 0,4630 P 2 (0,1). = 0,4977 Přesně: 1/(2 + 0,1 2 ). = 0,4975

11 B 10 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! cos x + x 2 3 = 0. Rovnici lze upravit na cos x = x Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = cos x a y = x 2 + 3, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = cos x + x 2 3: f(1) = cos < 0, f(2) = cos > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = sin x + 2x > 0 pro x 1, 2 (protože 1 sin x 1 a 2x 2 pro x 1, 2 ). f (x) = cos x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 cos x 1, tedy cos x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k cos x k + x 2 k 3 : sin x k + 2x k x 1 = 1,8111; x 2 = 1,7952; x 3 = 1,7951. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,795. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 5x 2y + z = 15 2x 20y + 5z = 30 3x y + 10z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > 2 + 1, 20 > 2 + 5, 10 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 5 ( y k z k ) y k+1 = 1 20 k+1 5z k ) z k+1 = 1 (20 3x 10 k+1 + y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( )/5 = 3, y 1 = (30 2 ( 3) 5 0)/20 = 1,8, z 1 = (20 3 ( 3) + ( 1,8))/10 = 2,72 x 2 = 4,264, y 2 = 1,2464, z 2. = 3, x

12 Př. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(1 + 2x 2 ) pomocí interpolačního polynomu s uzly x 0 = 0,5, x 1 = 0 a x 2 = 0,5. Pak pomocí nalezeného interpolačního polynomu vypočtěte přibližně f(0,2) a výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Nejjednodušší je výpočet pomocí Newtonova interpolačního polynomu pro ekvidistantní uzly, ale lze i pomocí obecného Newtonova nebo Lagrangeova i.p. Řešení pomocí speciálního tvaru pro ekvidistantní uzly: Tabulka obyčejných diferencí P 2 (x) = 0, , 3333q 0,6667 q(q 1), kde q = x+0,5 2 0,5 x i f i -0,5 0,6667 0,3333-0, ,3333 0,5 0,6667 P 2 (0,2). = 0,9467 (za q dosadíme 0,2+0,5 0,5 = 1,4), Přesně: 1/( ,2 2 ). = 0,9259 Řešení pomocí obecného tvaru: Tabulka poměrných diferencí: P 2 (x) = 0, ,6667(x + 0,5) 1,3333(x + 0,5)(x 0) x i f i -0,5 0,6667 0,6667-1, ,6667 0,5 0,6667 P 2 (0,2). = 0,9467 Přesně: 1/( ,2 2 ). = 0,9259

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou

Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic

Více

1 Diference a diferenční rovnice

1 Diference a diferenční rovnice 1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

metoda Regula Falsi 23. října 2012

metoda Regula Falsi 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně

Více

Řešení diferenciálních rovnic

Řešení diferenciálních rovnic Projekt M3 Řešení diferenciálních rovnic 1. Zadání A. Stanovte řešení dané diferenciální rovnice popřípadě soustavy rovnic. i) Pro úlohy M3.1 až M3.12: uveďte matematický popis použité metody sestavte

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP

Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP Dělení Demonstrační cvičení 8 INP Přístupy k dělení sekvenční s restaurací nezáporného zbytku bez restaurace nezáporného zbytku SRT kombinační obvod založen na úplné odečítačce iterační algoritmy Newtonův

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů

Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů 4.2.8 Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů Předpoklady: 427 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje čtyři obvody. Fyzikálně mezi nimi není velký rozdíl, druhé dva jsou však podstatně obtížnější

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR POČÁTEČNÍ ÚLOHY Numerické metody 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Interpolace, aproximace

Interpolace, aproximace 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y

Více

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů

Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů 4.2.19 Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů Předpoklady: 4218 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje čtyři obvody. Fyzikálně mezi nimi není velký rozdíl, druhé dva jsou však podstatně obtížnější

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA NUMERICKÉ METODY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA NUMERICKÉ METODY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA NUMERICKÉ METODY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef Dalík

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

APROXIMACE FUNKCÍ. Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýzy je studium aproximací

APROXIMACE FUNKCÍ. Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýzy je studium aproximací APROXIMACE FUNKCÍ Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýz je studium aproimací funkcí. Při numerickém řešení úloh matematické analýz totiž často nahrazujeme danou funkci f, vstupující

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA IV NUMERICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Operace v FP a iterační algoritmy. INP 2008 FIT VUT v Brně

Operace v FP a iterační algoritmy. INP 2008 FIT VUT v Brně Operace v FP a iterační algoritmy INP 2008 FIT VUT v Brně 1 Operace FP Číslo X s pohyblivou řádovou čárkou X = M X.B Ex zapíšeme jako dvojici (M X, E X ), kde mantisa M X je ve dvojkovém doplňkovém kódu,

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2. A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

Formulace fyzikálně-chemických problémů

Formulace fyzikálně-chemických problémů Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Formulace fyzikálně-chemických problémů doc. Ing. František Skopal, CSc. Pardubice 2015 Učební materiál vznikl v rámci projektu: Inovace a modernizace

Více