M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 1MO

Transkript

1 M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 1MO Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Procenta Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny: - základ (100%)... z - procentovou část... č - počet procent... p První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech. Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme. Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy: 1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek) Příklad 1: Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky. Řešení: 100 %... 12,6 kg mouky 1 %... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 % ,126 kg = 8,064 kg Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky. 2. Řešení trojčlenkou Příklad 2: Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodiny Řešení: 100 %... 2,5 h x %... 6 min = 0,1 h U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru". Sestavíme výpočet: x = ,1/2,5 x = 4 % Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %. 3. Řešení podle vzorce Příklad 3: Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %. Řešení: č = 8 m 1 z 33

3 p = 20 % z =? z = 100č/p z = /20 z = 40 m = 0,04 km Závěr: Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru. Pozn.: Přehled všech tří vzorců: z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z 4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent) Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc. ± Procenta - procvičovací příklady 1. Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? 98 % % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo Z součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady? 97,25 % 4. Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12 %, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12 %. Kolik tun obilí se v tomto roce sklidilo? 18,7 t 5. Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z Kč na Kč. O kolik % byla bunda zlevněna? 14,3 % 6. Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72? 20 % 7. Turisté ušli první den výletu 35 % cesty, druhý den 41 %. Na poslední, třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta? 65 km z 33

4 8. Zboží, jehož původní cena byla Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15 %, později o 10 % z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a počet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno. Konečná cena 1836 Kč, zlevněno bylo o 23,5 %. 9. Kolik procent činí 40,8 ze 120? 34 % 10. Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4 %. Kolik výrobků je bez vady? V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57 % zaměstnanců jsou muži. Kolik zaměstnanců má závod? Co je méně? 8 % z 500 g nebo 6 % z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem. Méně je 8 % z 500 g. 13. Kolik procent je 21 ze 105? 20 % 14. Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin? 1 % 15. V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila? 20 % 16. Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7 % a kratší o 8 %. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m. Nové rozměry: 55,8 m, 27,6 m; výměra se zmenšila o 14,4 %. 17. Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18 %. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo? 89,2 % 18. Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18 % dráž, čtvrtinu o 11 % dráž a zbytek o 5 % levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dodavateli? Proveďte zkoušku Kč. 19. Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15 % celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících? Celý výlet 600 Kč, v lednu naspořil 240 Kč, v únoru 120 Kč a v březnu 90 Kč z 33

5 20. Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20 % z prodejní ceny? 375 Kč 21. Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65 % jeho hodnoty. Určete neznámé číslo Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20 %. Později byl o 15 % z nové ceny zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena? Kč 23. Zvětšíme-li neznámé číslo o 4 %, dostaneme 780. Určete neznámé číslo V nově založeném sadu se ujalo stromků, což je 98 % všech sazenic. Kolik stromků vysadili? stromků 25. Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6 % hmotnosti těla. Kolik kg krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? 5,7 kg 26. Z jakého čísla je číslo 8 20%? Vypočítejte jednu sedminu z 15 % z čísla 63. 1, Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15 % stála 459 Kč? 540 Kč 29. Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve o 20 % zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20 % snížena? 96 % 30. Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem Kč. Rozdělili se tak, že první dostal o 20 % více než druhý a třetí o 15 % více než druhý. Kolik Kč dostal každý z nich? První Kč, druhý Kč, třetí Kč 31. Pětina žáků třídy je nemocná, 40 % žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída? 25 žáků z 33

6 32. Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? Dva společníci si rozdělili zisk Kč tak, že druhý dostal o 20 % více než první. Kolik dostal každý? První dostal Kč, druhý Kč. 34. Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10 % a pak zlevněno o 10 % z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu. 396 Kč 35. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10 %, později ještě o 10 % z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu Kč 36. Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20 % a utržil za ni Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10 %, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5 %. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk. Nákupní cena Kč, zisk obchodníka 350 Kč. 37. Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd a zaměstnanci platí 78 % hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platí za oběd zaměstnanci? Oběd stojí 15 Kč, zaměstnanci platí 11,70 Kč. 38. Vypočtěte, kolik procent je 18,5 ze ,625 % 39. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, později o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za Kč. Vypočtěte její původní cenu Kč 40. Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35 % jeho původní hodnoty. Které je to číslo? 656,9 41. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, později ještě o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za korun. Jaká byla původní cena? Kč ± Mocniny a odmocniny s přirozeným a s celým exponentem Obor přirozených čísel: Def.: Mocninou a b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. Zapisujeme: a b = a. a. a..... a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: 5 z 33

7 a r. a s = a r+s (a.b) r = a r. b r (a:b) r = a r : b r (a r ) s = a rs a r : a s = a r-s Obor celých čísel: Pro čísla a, n platí: a -n = 1/a n Obor racionálních čísel: Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent. Př.: 2x 2 + 3x 2... sečíst lze 3x 4-2x 3... odečíst nelze Násobit můžeme mocniny se stejným základem. Př.: a 4. a 5 = a 9... obecně a r. a s = a r+s Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem. Př.: = obecně a n. b n = (ab) n Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení. Obor reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo. Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí x 2 = a Symbolicky zapisujeme Öa. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme. Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny. Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti. Sčítání a odčítání odmocnin: x + 3 2x = 4 2x u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninu Příklad 1: 3 ( 2 3 ) x + 3x = 2. x + 3. x = + x Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí! Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu. Příklad 2: a = a. a = a. a a. = a 12 7 Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ. Příklad 3: 8. 5 = 40 (1) Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla: a b x = x b a ± Mocniny a odmocniny - procvičovací příklady 6 z 33

8 1. Vypočti: (0,2) Vypočti: æ ö ç è 3 ø (- 0,564) Vypočti: Vypočti: éæ 2 êç êë è 3-2 ö ø 6. Vypočti: -2 ù ú úû /4 7. Vypočti: / Vypočti: /2 10. Vypočti: (1/4) z 33

9 11. Vypočti: æ 1 ö ç è 2 ø -3 æ 8 ö + ç è 3 ø / Vypočti: /4 13. Vypočítej: / Vypočti: éæ 1 ö êç êë è 3 ø -2 ù ú úû -2 1/ Vypočti: /4 16. Vypočti: Vypočti: æ 2 ö ç è 3 ø -2 æ 3 ö + ç è 2 ø -2 97/ z 33

10 Zapsáno po řádcích shora: ; 6561; 6561; 81; 81; 81; 9; 9; Vypočti: (-7) / Zapsáno po řádcích shora: ; 256; 256; 16; 16; 16; 4; 4; z 33

11 26. Vypočti: / Vypočti: æ ç è ö - 2 ø 1/ Zapsáno po řádcích shora: ; ; ; 625; 625; 625; 25; 25; 25 ± Druhá a třetí mocnina a odmocnina Určování druhé mocniny Druhou mocninu jakéhokoliv čísla můžeme určit: 1. Výpočtem - a 2 = a. a 2. Pomocí tabulek n n2 n n2 n n2 n n z 33

12 z 33

13 z 33

14 z 33

15 U desetinných čísel pracujeme s číslem bez ohledu na desetinnou čárku (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby se v číslu vyskytovaly nejvýše tři číslice - počítané od první nenulové zleva), ve výsledku oddělíme dvojnásobný počet desetinných míst než mělo původní zaokrouhlené číslo. Příklad: 0, z 33

16 - zaokrouhlíme: 0, určíme = oddělíme 6 desetinných míst, proto výsledek je 0, U velkých čísel pracujeme s číslem bez ohledu na nuly na konci (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby číslice od čtvrté pozice zleva byly nulové), k výsledku připíšeme dvojnásobný počet nul než mělo původní zaokrouhlené číslo. Příklad: zaokrouhlíme: určíme = připíšeme 12 nul, proto výsledek je Na kalkulačce Můžeme postupovat obdobným způsobem jako při určování z Tabulky, případně pokud máme dokonalejší kalkulačku, můžeme původní číslo zadat rovnou. Výsledek ale může kalkulačka udat např. (viz výše uvedený příklad) ve tvaru 6, , což ve skutečnosti znamená 6, a převedeno do klasického čísla tedy musíme u čísla 6,100 9 posunout desetinnou čárku o 16 míst vpravo. Pozn.: Pokud je exponent záporný, posouváme desetinnou čárku vlevo. Týká se to umocňování velmi malých desetinných čísel. Určování druhé odmocniny 1. Pomocí tabulek n 2. odm. n 2. odm. n 2. odm. n 2. odm , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , z 33

17 31 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , z 33

18 93 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , z 33

19 155 12, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , z 33

20 217 14, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,623 Máme-li číslo velmi malé, pak ho zaokrouhlíme tak, aby počet číslic od první nenulové zleva byl nejvýše tři a zároveň celkový počet desetinných míst u zaokrouhleného čísla byl sudý. Pak určíme druhou odmocninu ze vzniklého čísla bez ohledu na desetinnou čárku. Ve výsledku nakonec posuneme desetinnou čárku o tolik míst vlevo, kolik představuje polovina počtu desetinných míst u zaokrouhleného čísla. Příklad: Určete Ö0, zaokrouhlíme na Ö0, určíme Ö25 = 5 - posuneme desetinnou čárku o 4 místa vlevo, proto výsledek je 0,000 5 Máme-li číslo naopak hodně velké, zaokrouhlíme ho tak, aby mělo od čtvrté pozice zleva určitě samé nuly a zároveň aby počet nul byl sudý (pokud to nelze dosáhnout, zaokrouhlíme tak, aby už na třetí pozici zleva byla nula). Pak určíme druhou odmocninu z čísla, které vznikne po pomyslném oddělení sudého počtu nul a ve výsledku posuneme desetinnou čárku doprava o tolik míst, kolik představuje polovina počtu oddělených nul. Příklad: Určete Ö zaokrouhlíme na Ö určíme Ö25 = 5,00 - posuneme desetinnou čárku o 5 míst vpravo, proto výsledek je Pomocí kalkulačky 19 z 33

21 - postup lze použít opět stejný jako při určování z Tabulek, opět ale musíme vzít v úvahu, že kalkulačka může vytvořit výsledek ve tvaru c. 10 n. Určování třetí mocniny Postupy jsou stejné jako u druhé mocniny, pouze nebereme dvojnásobek nul nebo desetinných míst, ale trojnásobek. n n3 n n3 n n3 n n z 33

22 z 33

23 z 33

24 z 33

25 Určování třetí odmocniny Postup je opět stejný jako u určování druhé odmocniny, pouze s tím rozdílem, že číslo zaokrouhlujeme tak, abychom měli počet nul nebo počet desetinných míst, který odpovídá libovolnému celočíselnému násobku čísla 3. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. n 3. odm. 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , z 33