8. Analýza rozptylu.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8. Analýza rozptylu."

Transkript

1 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu, kde uvedeme její základí variatu, tzv. jedoduché tříděí a poté v lieárí regresi. Popis modelu. Náhodý vektor Y (Y, Y,..., ) T je sloupcový vektor typu (, ), X je číselá matice typu (, k), β (β, β,..., β k ) T je sloupcový vektor ezámých parametrů typu (k, ) a e (e, e,..., e k ) je sloupcový áhodý vektor typu (k, ). Říkáme, že se áhodý vektor Y řídí lieárím modelem, jestliže Y X β + e Y i k j x ij β j + e i, i O áhodém vektoru e předpokládáme, že jeho souřadice mají ormálí rozděleí, jsou avzájem ezávislé, pro středí hodoty platí E(e) o, tedy E(e i ) 0, i a pro rozptyly D(e i ) σ, i. Pro ostatí prvky kovariačí matice je cov(e i, e j ) 0, i j, a tedy matice var(e) σi, kde I je jedotková matice řádu. Náhodý vektor e zahruje v sobě jedak áhodé odchylky od lieárí závislosti a jedak epřesosti měřeí. Předpoklady o středí hodotě a rozptylu zajišťují, že uvažujeme ezávislá měřeí, která jsou zatížea stejou chybou. O číselé matici předpokládáme, že je > k a že má hodost h(x) k. Prví erovost zaručuje, že máme víc měřeí, ež je volých parametrů modelu. Druhá podmíka zaručí, že je h(x T X) h(x) k. Matice X T X je čtvercová a regulárí řádu k, eboť při ásobeí matic je (k, ) (, k) (k, k). Nezáme parametry modelu odhadujeme pomocí metody ejmeších čtverců. Jejich odhadem je áhodý vektor b (b, b,..., b k ). pro který má miimum fukce S(β) (Y Xβ) T (Y Xβ) (Y i k x ij β j ) Pro výběr metody ejmeších čtverců ás přivádí tato úvaha, kterou budeme ilustrovat a příkladu se dvěma parametry. Předpokládáme, že pro áhodé veličiy platí: Y i β 0 + β x i + e i, i. 37 j

2 Náhodé veličiy (e, e,..., e ) jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N(0; σ. Náhodé veličiy (Y, Y,..., ) jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N(β 0 + β x i ; σ ). Sdružeá hustota áhodého vektoru (Y, Y,..., ) je rova f(y, β 0, β, σ) (π) /σ e σ (y i β 0 β x i ) (π) / σ e S σ. Jestliže budeme hledat odhady (b 0, b ) parametrů (β 0, β ) metodou maximálí věrohodosti, pak dostaeme, že pro ě má být argumet S/σ expoeciálí fukce miimálí. Výpočtem zjistíme, že fukce f jako fukce proměé σ abývá maxima pro ˆσ S/. Jedá se o extrém fukce g(σ) σ e S σ v itervalu(0, ). Fukce je kladá a pro limity v krajích bodech platí, že lim σ 0+ g(σ) lim σ g(σ) 0 a pro stacioárí bod dostaeme podmíku g (σ) σ e S σ Odtud po zkráceí rovice dostaeme + σ e S σ S σ 3 0 σ S σ 3 0 σ S ˆσ S jediý stacioárí bod, ve kterém musí mít fukce maximum. Použití metody ejmeších čtverců je podmíěo předpokladem o ormalitě chyb. Pokud mají jié rozděleí, je třeba ajít odhady parametrů jiou metodou, která obvykle vyžaduje umerické řešeí. Příklad. Regresí aalýza. Předpokládáme, že je áhodý vektor Y (Y, Y,..., ) T lieárí kombiací s áhodou odchylkou e (e, e,..., e ), kde áhodé veličiy e i mají ormálí rozděleí N(0; σ ) a jsou avzájem ezávislé. Model s jedím parametrem, přímka procházející počátkem. Je Y i β x i + e i, i, tedy Y β x x 38 + e e

3 Matice X je sloupcový vektor typu (, ) a matice X T X je typu (, ) (číslo) a X T X ( ).( ) T Je vidět, že je matice regulárí, součet čtverců je kladý. Model se dvěma parametry, přímka eprocházející počátkem. Je Y i β 0 + β x i + e i, i, tedy Y, x, x β 0 β + Matice X je typu (, ) a matice X T X je typu (, ) a X T X,,...,, x, x e e, x i, x i. x i x i Také v tomto případě je matice regulárí, její determiat je kladý. Obecý model, polyomiálí aproximace. Je Y i β 0 + β x i + β x i β k x k + e i, i, tedy i Y, x,..., x k, x,..., x k β 0 β k + Matice X je typu (, k) a matice X T X je čtvercová typu (k, ) a X T X,,..., x k, x k,..., x k, x i,..., e e, x,..., x k, x,..., x k, x,..., x k xk i xk i x i, x i,..., xk i, xk i,..., 39 xk i

4 Také v tomto případě je matice regulárí, její determiat je kladý. Příklad. Aalýza rozptylu. S lieárím modelem se setkáváme v tzv. jedoduchém tříděí v aalýze rozptylu, které je zobecěím dvouvýběrového t testu a případ testováí shody rozděleí tří a více souborů. Předpokládáme, že máme k, k 3, výběrů Y i, Y i,..., Y ii, i k, z ormálího rozděleí N(µ i ; σ i ). Za předpokladů, že jsou rozptyly shodé, tedy σ σ σ... σ k testujeme shodu rozděleí, tudíž ulovou hypotézu H 0 : µ µ... µ k. Náhodou veličiu z výběrů můžeme vyjádřit ve tvaru ( ) Y ij µ i + e ij, j i, i k, kde e ij jsou ezávislé áhodé veličiy s ormálím rozděleím N(0; σi ). Položme k a β (µ, µ,..., µ k ) T je sloupcový vektor parametrů. Jestliže ozačíme Y T (Y,..., Y, Y,..., Y kk ) T sloupcový vektor ze všech áhodých veliči z výběrů, pak můžeme vztah ( ) zapsat pomocí matic ve tvaru Y X β + e, kde X je číselá matice X, 0,..., 0, 0,..., 0 0,,..., 0 0,,..., 0 0, 0,..., 0, 0,..., 40

5 Ta je složea z k matic Z i, i k typů ( i, k), které mají vždy v i tém sloupci a jide 0. Matic X T X je čtvercová řádu k a je X T X,, 0, 0, 0 0, 0,,, 0 0,, 0,..., 0, 0,..., 0 0,,..., 0 0,,..., 0 0, 0,..., 0, 0,...,, 0, 0 0,, 0 0, 0, k Matice je regulárí a k í iverzí matice má vyjádřeí (X T X) /, 0, 0 0, /, 0 0, 0, / k V dalším textu budeme používat ještě matice kde a X T Y b (X T X) X T Y,, 0, 0, 0 0, 0,,, 0 0, Y i. i j Y ij, i k Y Y Y kk /, 0, 0 0, /, 0 0, 0, / k 4 Y. Y. Y k. Y. Y. Y k. y. y. y k.

6 kde y i. i i j Y ij, i k. Vlastosti lieárího modelu. Uvažujeme áhodý vektor Y (Y, Y,..., ) a číselou matici X typu (, k). Předpokládáme, že se Y řídí lieárím modelem, tedy Y X β + e, kde β (β, β,..., β k ) T je vektor ezámých parametrů a e je vektor áhodých veliči, které jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí s parametry E(e) o, var(e) σ I. Předpoklad E(e) o zameá, že pozorováí vektoru eí zatížeo systematickou chybou. Vztah var(e) σ I zase zameá, že jsou měřeí souřadic vektoru Y prováděa se stejou přesostí a že chyby měřeí ejsou korelovaé. Dále budeme předpokládat, že je > k a že hodost matice X je rova k. Z uvedeých předpokladů vyplývá, že je E(Y ) X β a var(y ) σ I. Odhad vektoru β hledáme metodou ejmeších čtverců, tedy z podmíky, že výraz S(β) (Y X β) T (Y X β) je miimálí. Hodotu, pro kterou má fukce S miimum ozačíme b. Věta. Fukce S(β) abývá svého miima pro b (X T X) X T Y Důkaz: Nejprve ověříme, že vektor b splňuje podmíku X T (Y Xβ) 0. Je totiž Y Xb Y X(X T X) X T Y Potom je X T Y X T Y X T X(X T X) X T Y X T Y X T Y 0. S(β) (Y Xβ) T (Y Xβ) 4

7 [(Y Xb) + (Xb Xβ)] T [(Y Xb) + (Xb Xβ)] (Y Xb) T (Y Xb)+(b β) T X T X(b β)+(y Xb) T X(b β)+ +(b β) T X T (Y Xb) S(b) + (b β) T X T X(b β). Matice X T X je pozitivě defiití a je tudíž (b β) T X T X(b β) 0 pro každý vektor (b β). Fukce S(β) má tudíž miimum pro β b. Pozámka: Hodota Ŷ Xb je ejlepší lieárí aproximací vektoru Y a chyba této aproximace je rova R S e, S e (Y Xb) T (Y Xb) Y T Y Y T Xb (Xb) T Y + (Xb) T Xb Y T Y b T X T Y (Y Xb) T Xb Y T Y b T X T Y. Je to hodota rova S e Y T Y Ŷ T Y (Y Ŷ )T Y (Y i Ŷi)Y i. R k se Hodota S e R se azývá reziduálí součet čtverců a hodota s azývá reziduálí rozptyl. Pro ěj je E(s ) σ a je estraým odhadem parametru σ. Náhodé veličiy R a b jsou ezávislé. Věta. Pro odhad b platí: E(b) β, var(b) σ (X T X). Důkaz. Protože je b (X T X) X T Y, je Dále je E(b) (X T X) X T E(Y ) (X T X) X T Xβ β. var(b) (X T X) X T var(y )X(X T X) (X T X) X T σ IX(X T X) σ (X T X). Věta 3. Náhodá veličia b má ormálí rozděleí N(β; σ (X T X) ). Náhodá veličia S e σ má rozděleí χ k. Náhodé veličiy b a S e jsou ezávislé. Věta 4. Jestliže je v ij prvek matice (X T X), pak pro každé i, i k, má áhodá veličia T i b i β i s v ii 43

8 rozděleí t( k). Aalýza rozptylu, jedoduché tříděí. Předpokládáme, že máme áhodé výběry Y i, Y i,..., y ii, i k, které jsou ezávislé a mají rozděleí N(µ i ; σi ), i k. Testujeme hypotézu: H 0 : µ µ... µ k proti alterativě H : hypotéza H 0 eplatí. Použijeme lieárího modelu, kde miimalizujeme výraz S k i j (Y ij µ i e ij ). Předpokládáme, že µ i µ + α i, i k a áhodé veličiy (e ij ) jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N(0; σ ). Testovaá hypotéza má tvar H 0 : α α... α k 0. Popis algoritmu: k, k je počet výběrů.. Utvoříme tabulku dat a pomocých výsledků data četost součet průměr součet čtverců Y,..., Y Y. y. j j Y i,..., Y ii i Y i. y i. i Y ij j Y k,..., Y kk k Y k. y k. k celkem Y y m Je tedy: k počet dat. Y i. i Y ij řádkový součet; j Y k Y i. celkový součet; y i. i Y i. odhad středí hodoty µ i ; 44 Y kj j i Y ij j

9 y Y odhad středí hodoty µ. Potom pro miimum kvadratické odchylky, reziduálí součet čtverců, dostaeme: S e S T S A, kde S T m i Y j ij Y, a S A k Y i. Y i. Hodota S A se azývá řádkový součet čtverců a hodota S T celkový součet čtverců. 3. Vypočteme hodotu testovací statistiky F k k která má rozděleí F k, k. 4. Kritický obor testu je S A k S e k S A S T S A, W α {F ; F F k, k (α)}, kde kritickou hodotu ajdeme v tabulkách. Je obvykle α 0, 05. Chyba. druhu v případě přijetí hypotézy je meší ež α. Zamítutí. V případě odmítutí ás zajímá, pro které dvojice je µ i µ j. To lze určit dvěma způsoby: A. Scheffé Použijeme odhadu rozptylu σ s S e k a hledáme dvojice, pro které je y i. y j. > i + j (k )s F k, k (α). Připomeeme, že y i. µ i. B. Tukey Používáme v případě vyvážeého tříděí, kdy... k r. Hledáme dvojice, kde y i. y j. > sq k, k (α) r, kde q(α) je kritická hodota tzv. studetizovaého rozpětí. Studetizovaé rozpětí je áhodá veličia Q R s, kde R maxx i mix i je rozpětí áhodého výběru z rozděleí N(µ; σ ) a s je odhad rozptylu σ. Je pak P (Q q k, k ) α 45

10 a kritickou hodotu q k, k (α) alezeme v tabulkách. Při prováděí testu předpokládáme, že je σ σ... σ m. Pokud emáme tuto skutečost zaručeu, musíme ejdříve otestovat hypotézu o rovosti rozptylů: H 0 σ σ... σ k.. Barlettův test. Vypočteme: s i i s k i Y j k C + B C ij i yi., odhad rozptylu σi ; ( i )s i, celkový odhad rozptylu; 3(k ) k i k ( k) l s k ( i ) l s i Náhodá veličia B má pro i > 6 přibližě rozděleí χ (k ). Kritický obor testu je W α {B; B χ m (α)}. Pro vyvážeé tříděí, kde... k r můžeme použít i tyto testy.. Hartleyův test. Testovací statistika Kritický obor testu je F max maxs i mis. i W α {F max ; F max h k,ν (α)}, kde ν r a kritické hodoty jsou uvedey v tabulkách. 3. Cochraův test Testovací statistika ;. G max maxs i s s. k 46

11 Kritický obor testu je W α {G max ; G max C k,ν }, ν i r a kritické hodoty alezeme v tabulkách. Regresí aalýza Hledáme závislosti mezi dvěma ebo více statistickými zaky, veličiami. Regresí aalýza se zabývá zkoumáím závislostí hodot závislé veličiy a ezávislé veličiě. Koreláčí aalýza hledá vzájemý vztah mezi veličiami. Pomocí uvedeého modelu se dá řešit případ lieárí závislosti. Uvedeme ěkolik případů modelu. A. Přímka procházející počátkem. Situaci odpovídá model, kdy Y i βx i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ). Matice X ( ) T je typu a β je číslo (matice typu ). Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametru β je b (X T X) X T Y Y ix i. x i Pro odhad rozptylu dostaeme hodotu s S e, kde S e (Y i Ŷi)Y i Y i b x i Y i, eboť Ŷi bx i, i. Dále je X T X x i. Z věty 4 dostaeme tvrzeí o rozděleí áhodé veličiy T b β s. Ta má hodotu v T b β s x i t. Testujeme vhodost modelu, kterou můžeme popsat jako ulovou hypotézu H 0 : β 0 proti alterativí hypotéze H : β 0. V případě ezamítutí hypotézy H 0 je lieárí model evhodý, hypotéza H představuje lieárí závislost hodoty a hodotě x. 47

12 B. Obecá přímka Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ), tedy Y, x, x β 0 β + Matice X je typu (, ) a matice X T X je typu (, ) a Matice X T X X T Y,,...,,,...,, x, x Y e e, x i, Y i Y ix i x i x i je typu a β je matice typu. Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0, β je b (X T X) X T Y b 0 b Odtud dostaeme vyjádřeí pro koeficiety přímky ve tvaru: Y Y i, x x i, b pro odhad rozptylu dostaeme hodotu s S e Y ix i xy x i (x), b 0 Y b x. Y i b 0 Y i b Y i x i Vhodost lieárího modelu ověříme testem hypotézy o koeficietu β. Testujeme ulovou hypotézu H 0 : β 0 proti alterativí hypotéze. 48

13 H : β. Pokud ulovou hypotézu H 0 odmíteme, je lieárí model vhodý pro popis závislosti. K tomu použijeme statistiku T b β s b v s x i (x), která má rozděleí t. V případě přijetí alterativí hypotézy H můžeme určit itervaly spolehlivosti pro hodoty β 0 + β x k. Ty mají tvar b 0 + b x k ± t (α) s + (x x) x i (x). Pokud chceme určit iterval spolehlivosti pro celou přímku Y β 0 + β x, pak musíme ahradit kritickou hodotu t (α) hodotou F, (α). Dostaeme pás spolehlivosti pro regresí přímku ve tvaru b 0 + b x k ± F, (α) s + (x x) x i (x). Pás je ohraiče dvoljicí hyperbol, který překrývá přímku y β 0 + β x se spolehlivostí ( α). C. Kvadratická regrese Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + β x i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ), tedy Y, x, x, x, x β 0 β β + e e Matice X je typu (, 3) a matice X T X je typu (3, 3) a X T X,,..., x, x,..., x, x, x, x, x, x i, x i, x i, x i, x3 i, x i x3 i x4 i 49

14 Matice X T Y,,..., x, x,..., x Y, Y i Y ix i Y ix i je typu 3 a β je matice typu 3. Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0, β, β je vektor b (X T X) X T Y b 0 b b, který dostaeme jeko řešeí soustavy lieárích rovic Odhad rozptylu σ je s 3 S e 3 X T X X T b. Y i b 0 Y i b Y i x i b Y i x i Pro ověřeí vhodosti kvadratické závislosti testujeme hypotézu H 0 : β 0 proti alterativě H : β 0. V případě přijetí ulové hypotézy stačí uvažovat, že závislost Y i a x i je pouze lieárí. K tomu použijeme skutečosti, že áhodá veličia T 3 b β s v 33 t 3, kde (X T X) (v ij ). Hypotézu H 0 zámítáme, tedy uvažujeme kvadratickou závislost v případě, že T 3 t 3 (α). Někdy je třeba testovat složeou hypotézu H 0 : β β 0. Alterativí hypotézou je, že závislost Y i a x i je lieárí ebo kvadratická. Za pltosti hypotézy H 0 dostáváme podmodel Y i β 0 + e i. Pro reziduálí součet je R ( 3)s a reziduálí roztyl je Testovací statistika je R Y i (Y ). F (R R)( 3) R 50 F, 3

15 Hypotézu H 0 zamítáme, jestliže je F F, 3 (α). D. Lieárí regrese z dvěma ezávislými proměými Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + β z i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ), tedy Y, x, z, x, z β 0 β β + Matice X je typu (, 3) a matice X T X je typu (3, 3) a X T X Matice,,..., z, z,..., z X T Y, x, z, x, z,,..., z, z,..., z Y Y, x i, z i, e e x i, x i, x iz i, Y i Y ix i Y iz i z i x iz i z i je typu 3 a β je matice typu 3. Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0, β, β je vektor b (X T X) X T Y b 0 b b, který dostaeme jeko řešeí soustavy lieárích rovic X T X X T b. Odhad rozptylu σ je s 3 S e 3 Y i b 0 Y i b Y i x i b Y i z i 5

16 Pro ověřeí vhodosti závislosti a dvou proměých testujeme hypotézu H 0 : β 0 proti alterativě H : β 0. V případě přijetí ulové hypotézy stačí uvažovat závislost Y i pouze a x i. K tomu použijeme skutečosti, že áhodá veličia T 3 b β s v 33 t 3, kde (X T X) (v ij ). Hypotézu H 0 zámítáme, tedy uvažujeme závislost a proměé z i v případě, že T 3 t 3 (α). Obdobě můžeme testovat závislost a proměé z i. Testujeme hypotézu H 0 : β 0 proti alterativě H : β 0. Testovací statistikou je T b β s v t 3. Závislost Y i a x i je prokázáa, jestliže je T t 3 (α). Někdy je třeba testovat složeou hypotézu H 0 : β β 0. Alterativí hypotézou je, že závislost Y i je a x i a z i. Za platosti hypotézy H 0 dostáváme podmodel Y i β 0 + e i. Pro reziduálí součet je R ( 3)s a reziduálí roztyl je R Yi (Y ). Testovací statistika je F (R R)( 3) R F, 3 Hypotézu H 0 zamítáme, jestliže je F F, 3 (α). E. Obecá polyomiálí regrese Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + β x i β k x k + e i, i, tedy Y, x,..., x k, x,..., x k i β 0 β k + Matice X je typu (, k) a matice X T X je čtvercová řádu k a X T X,,..., x k, x k,..., x k 5 e e, x,..., x k, x,..., x k, x,..., x k

17 Matice X T Y, x i,..., xk i xk i x i, x i,..., xk i, xk i,...,,,..., x k, x k,..., x k T xk i Y Y Y i Y ix i Y ix k i je typu k a β je matice typu k ). Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0,..., β k je vektor b (X T X) X T Y b 0 b k, který dostaeme jeko řešeí soustavy lieárích rovic X T X X T b. Závislost Y i a ěkteré z moci x i ověříme testem hypotézy H 0 : β j 0 proti alterativě H : β j 0. Použijeme testovací statistiku T j b j β j s v jj t k, kde (X T X) (v ij ). Závislost považujeme za prokázaou, pokud je T j b j s v jj t k (α). 53

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika 4.11.011 REGRESNÍ DIAGNOSTIKA Chemometrie I, David MILDE Regresí diagostika Obsahuje postupy k posouzeí: kvality dat pro regresí model (přítomost vlivých bodů), kvality modelu pro daá data, splěí předpokladů

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE

FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT OF MATHEMATICS FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

Testy homoskedasticity v lineárním modelu Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí

Více

Přednáška II. Lukáš Frýd

Přednáška II. Lukáš Frýd Předáška II Lukáš Frýd ҧ ҧ Statistické vlastosti odhadu pomocí metody ejmeších čtverců b 1 iid(μ, σ ) ε~iid(0, σ ) b 1 = β 1 + σ i=1 x i x. ε x i xҧ σ i=1 Var b 1 = Var β 1 + σ i=1 x i x. ε i x i xҧ σ

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4 Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více