8. Analýza rozptylu.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8. Analýza rozptylu."

Transkript

1 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu, kde uvedeme její základí variatu, tzv. jedoduché tříděí a poté v lieárí regresi. Popis modelu. Náhodý vektor Y (Y, Y,..., ) T je sloupcový vektor typu (, ), X je číselá matice typu (, k), β (β, β,..., β k ) T je sloupcový vektor ezámých parametrů typu (k, ) a e (e, e,..., e k ) je sloupcový áhodý vektor typu (k, ). Říkáme, že se áhodý vektor Y řídí lieárím modelem, jestliže Y X β + e Y i k j x ij β j + e i, i O áhodém vektoru e předpokládáme, že jeho souřadice mají ormálí rozděleí, jsou avzájem ezávislé, pro středí hodoty platí E(e) o, tedy E(e i ) 0, i a pro rozptyly D(e i ) σ, i. Pro ostatí prvky kovariačí matice je cov(e i, e j ) 0, i j, a tedy matice var(e) σi, kde I je jedotková matice řádu. Náhodý vektor e zahruje v sobě jedak áhodé odchylky od lieárí závislosti a jedak epřesosti měřeí. Předpoklady o středí hodotě a rozptylu zajišťují, že uvažujeme ezávislá měřeí, která jsou zatížea stejou chybou. O číselé matici předpokládáme, že je > k a že má hodost h(x) k. Prví erovost zaručuje, že máme víc měřeí, ež je volých parametrů modelu. Druhá podmíka zaručí, že je h(x T X) h(x) k. Matice X T X je čtvercová a regulárí řádu k, eboť při ásobeí matic je (k, ) (, k) (k, k). Nezáme parametry modelu odhadujeme pomocí metody ejmeších čtverců. Jejich odhadem je áhodý vektor b (b, b,..., b k ). pro který má miimum fukce S(β) (Y Xβ) T (Y Xβ) (Y i k x ij β j ) Pro výběr metody ejmeších čtverců ás přivádí tato úvaha, kterou budeme ilustrovat a příkladu se dvěma parametry. Předpokládáme, že pro áhodé veličiy platí: Y i β 0 + β x i + e i, i. 37 j

2 Náhodé veličiy (e, e,..., e ) jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N(0; σ. Náhodé veličiy (Y, Y,..., ) jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N(β 0 + β x i ; σ ). Sdružeá hustota áhodého vektoru (Y, Y,..., ) je rova f(y, β 0, β, σ) (π) /σ e σ (y i β 0 β x i ) (π) / σ e S σ. Jestliže budeme hledat odhady (b 0, b ) parametrů (β 0, β ) metodou maximálí věrohodosti, pak dostaeme, že pro ě má být argumet S/σ expoeciálí fukce miimálí. Výpočtem zjistíme, že fukce f jako fukce proměé σ abývá maxima pro ˆσ S/. Jedá se o extrém fukce g(σ) σ e S σ v itervalu(0, ). Fukce je kladá a pro limity v krajích bodech platí, že lim σ 0+ g(σ) lim σ g(σ) 0 a pro stacioárí bod dostaeme podmíku g (σ) σ e S σ Odtud po zkráceí rovice dostaeme + σ e S σ S σ 3 0 σ S σ 3 0 σ S ˆσ S jediý stacioárí bod, ve kterém musí mít fukce maximum. Použití metody ejmeších čtverců je podmíěo předpokladem o ormalitě chyb. Pokud mají jié rozděleí, je třeba ajít odhady parametrů jiou metodou, která obvykle vyžaduje umerické řešeí. Příklad. Regresí aalýza. Předpokládáme, že je áhodý vektor Y (Y, Y,..., ) T lieárí kombiací s áhodou odchylkou e (e, e,..., e ), kde áhodé veličiy e i mají ormálí rozděleí N(0; σ ) a jsou avzájem ezávislé. Model s jedím parametrem, přímka procházející počátkem. Je Y i β x i + e i, i, tedy Y β x x 38 + e e

3 Matice X je sloupcový vektor typu (, ) a matice X T X je typu (, ) (číslo) a X T X ( ).( ) T Je vidět, že je matice regulárí, součet čtverců je kladý. Model se dvěma parametry, přímka eprocházející počátkem. Je Y i β 0 + β x i + e i, i, tedy Y, x, x β 0 β + Matice X je typu (, ) a matice X T X je typu (, ) a X T X,,...,, x, x e e, x i, x i. x i x i Také v tomto případě je matice regulárí, její determiat je kladý. Obecý model, polyomiálí aproximace. Je Y i β 0 + β x i + β x i β k x k + e i, i, tedy i Y, x,..., x k, x,..., x k β 0 β k + Matice X je typu (, k) a matice X T X je čtvercová typu (k, ) a X T X,,..., x k, x k,..., x k, x i,..., e e, x,..., x k, x,..., x k, x,..., x k xk i xk i x i, x i,..., xk i, xk i,..., 39 xk i

4 Také v tomto případě je matice regulárí, její determiat je kladý. Příklad. Aalýza rozptylu. S lieárím modelem se setkáváme v tzv. jedoduchém tříděí v aalýze rozptylu, které je zobecěím dvouvýběrového t testu a případ testováí shody rozděleí tří a více souborů. Předpokládáme, že máme k, k 3, výběrů Y i, Y i,..., Y ii, i k, z ormálího rozděleí N(µ i ; σ i ). Za předpokladů, že jsou rozptyly shodé, tedy σ σ σ... σ k testujeme shodu rozděleí, tudíž ulovou hypotézu H 0 : µ µ... µ k. Náhodou veličiu z výběrů můžeme vyjádřit ve tvaru ( ) Y ij µ i + e ij, j i, i k, kde e ij jsou ezávislé áhodé veličiy s ormálím rozděleím N(0; σi ). Položme k a β (µ, µ,..., µ k ) T je sloupcový vektor parametrů. Jestliže ozačíme Y T (Y,..., Y, Y,..., Y kk ) T sloupcový vektor ze všech áhodých veliči z výběrů, pak můžeme vztah ( ) zapsat pomocí matic ve tvaru Y X β + e, kde X je číselá matice X, 0,..., 0, 0,..., 0 0,,..., 0 0,,..., 0 0, 0,..., 0, 0,..., 40

5 Ta je složea z k matic Z i, i k typů ( i, k), které mají vždy v i tém sloupci a jide 0. Matic X T X je čtvercová řádu k a je X T X,, 0, 0, 0 0, 0,,, 0 0,, 0,..., 0, 0,..., 0 0,,..., 0 0,,..., 0 0, 0,..., 0, 0,...,, 0, 0 0,, 0 0, 0, k Matice je regulárí a k í iverzí matice má vyjádřeí (X T X) /, 0, 0 0, /, 0 0, 0, / k V dalším textu budeme používat ještě matice kde a X T Y b (X T X) X T Y,, 0, 0, 0 0, 0,,, 0 0, Y i. i j Y ij, i k Y Y Y kk /, 0, 0 0, /, 0 0, 0, / k 4 Y. Y. Y k. Y. Y. Y k. y. y. y k.

6 kde y i. i i j Y ij, i k. Vlastosti lieárího modelu. Uvažujeme áhodý vektor Y (Y, Y,..., ) a číselou matici X typu (, k). Předpokládáme, že se Y řídí lieárím modelem, tedy Y X β + e, kde β (β, β,..., β k ) T je vektor ezámých parametrů a e je vektor áhodých veliči, které jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí s parametry E(e) o, var(e) σ I. Předpoklad E(e) o zameá, že pozorováí vektoru eí zatížeo systematickou chybou. Vztah var(e) σ I zase zameá, že jsou měřeí souřadic vektoru Y prováděa se stejou přesostí a že chyby měřeí ejsou korelovaé. Dále budeme předpokládat, že je > k a že hodost matice X je rova k. Z uvedeých předpokladů vyplývá, že je E(Y ) X β a var(y ) σ I. Odhad vektoru β hledáme metodou ejmeších čtverců, tedy z podmíky, že výraz S(β) (Y X β) T (Y X β) je miimálí. Hodotu, pro kterou má fukce S miimum ozačíme b. Věta. Fukce S(β) abývá svého miima pro b (X T X) X T Y Důkaz: Nejprve ověříme, že vektor b splňuje podmíku X T (Y Xβ) 0. Je totiž Y Xb Y X(X T X) X T Y Potom je X T Y X T Y X T X(X T X) X T Y X T Y X T Y 0. S(β) (Y Xβ) T (Y Xβ) 4

7 [(Y Xb) + (Xb Xβ)] T [(Y Xb) + (Xb Xβ)] (Y Xb) T (Y Xb)+(b β) T X T X(b β)+(y Xb) T X(b β)+ +(b β) T X T (Y Xb) S(b) + (b β) T X T X(b β). Matice X T X je pozitivě defiití a je tudíž (b β) T X T X(b β) 0 pro každý vektor (b β). Fukce S(β) má tudíž miimum pro β b. Pozámka: Hodota Ŷ Xb je ejlepší lieárí aproximací vektoru Y a chyba této aproximace je rova R S e, S e (Y Xb) T (Y Xb) Y T Y Y T Xb (Xb) T Y + (Xb) T Xb Y T Y b T X T Y (Y Xb) T Xb Y T Y b T X T Y. Je to hodota rova S e Y T Y Ŷ T Y (Y Ŷ )T Y (Y i Ŷi)Y i. R k se Hodota S e R se azývá reziduálí součet čtverců a hodota s azývá reziduálí rozptyl. Pro ěj je E(s ) σ a je estraým odhadem parametru σ. Náhodé veličiy R a b jsou ezávislé. Věta. Pro odhad b platí: E(b) β, var(b) σ (X T X). Důkaz. Protože je b (X T X) X T Y, je Dále je E(b) (X T X) X T E(Y ) (X T X) X T Xβ β. var(b) (X T X) X T var(y )X(X T X) (X T X) X T σ IX(X T X) σ (X T X). Věta 3. Náhodá veličia b má ormálí rozděleí N(β; σ (X T X) ). Náhodá veličia S e σ má rozděleí χ k. Náhodé veličiy b a S e jsou ezávislé. Věta 4. Jestliže je v ij prvek matice (X T X), pak pro každé i, i k, má áhodá veličia T i b i β i s v ii 43

8 rozděleí t( k). Aalýza rozptylu, jedoduché tříděí. Předpokládáme, že máme áhodé výběry Y i, Y i,..., y ii, i k, které jsou ezávislé a mají rozděleí N(µ i ; σi ), i k. Testujeme hypotézu: H 0 : µ µ... µ k proti alterativě H : hypotéza H 0 eplatí. Použijeme lieárího modelu, kde miimalizujeme výraz S k i j (Y ij µ i e ij ). Předpokládáme, že µ i µ + α i, i k a áhodé veličiy (e ij ) jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N(0; σ ). Testovaá hypotéza má tvar H 0 : α α... α k 0. Popis algoritmu: k, k je počet výběrů.. Utvoříme tabulku dat a pomocých výsledků data četost součet průměr součet čtverců Y,..., Y Y. y. j j Y i,..., Y ii i Y i. y i. i Y ij j Y k,..., Y kk k Y k. y k. k celkem Y y m Je tedy: k počet dat. Y i. i Y ij řádkový součet; j Y k Y i. celkový součet; y i. i Y i. odhad středí hodoty µ i ; 44 Y kj j i Y ij j

9 y Y odhad středí hodoty µ. Potom pro miimum kvadratické odchylky, reziduálí součet čtverců, dostaeme: S e S T S A, kde S T m i Y j ij Y, a S A k Y i. Y i. Hodota S A se azývá řádkový součet čtverců a hodota S T celkový součet čtverců. 3. Vypočteme hodotu testovací statistiky F k k která má rozděleí F k, k. 4. Kritický obor testu je S A k S e k S A S T S A, W α {F ; F F k, k (α)}, kde kritickou hodotu ajdeme v tabulkách. Je obvykle α 0, 05. Chyba. druhu v případě přijetí hypotézy je meší ež α. Zamítutí. V případě odmítutí ás zajímá, pro které dvojice je µ i µ j. To lze určit dvěma způsoby: A. Scheffé Použijeme odhadu rozptylu σ s S e k a hledáme dvojice, pro které je y i. y j. > i + j (k )s F k, k (α). Připomeeme, že y i. µ i. B. Tukey Používáme v případě vyvážeého tříděí, kdy... k r. Hledáme dvojice, kde y i. y j. > sq k, k (α) r, kde q(α) je kritická hodota tzv. studetizovaého rozpětí. Studetizovaé rozpětí je áhodá veličia Q R s, kde R maxx i mix i je rozpětí áhodého výběru z rozděleí N(µ; σ ) a s je odhad rozptylu σ. Je pak P (Q q k, k ) α 45

10 a kritickou hodotu q k, k (α) alezeme v tabulkách. Při prováděí testu předpokládáme, že je σ σ... σ m. Pokud emáme tuto skutečost zaručeu, musíme ejdříve otestovat hypotézu o rovosti rozptylů: H 0 σ σ... σ k.. Barlettův test. Vypočteme: s i i s k i Y j k C + B C ij i yi., odhad rozptylu σi ; ( i )s i, celkový odhad rozptylu; 3(k ) k i k ( k) l s k ( i ) l s i Náhodá veličia B má pro i > 6 přibližě rozděleí χ (k ). Kritický obor testu je W α {B; B χ m (α)}. Pro vyvážeé tříděí, kde... k r můžeme použít i tyto testy.. Hartleyův test. Testovací statistika Kritický obor testu je F max maxs i mis. i W α {F max ; F max h k,ν (α)}, kde ν r a kritické hodoty jsou uvedey v tabulkách. 3. Cochraův test Testovací statistika ;. G max maxs i s s. k 46

11 Kritický obor testu je W α {G max ; G max C k,ν }, ν i r a kritické hodoty alezeme v tabulkách. Regresí aalýza Hledáme závislosti mezi dvěma ebo více statistickými zaky, veličiami. Regresí aalýza se zabývá zkoumáím závislostí hodot závislé veličiy a ezávislé veličiě. Koreláčí aalýza hledá vzájemý vztah mezi veličiami. Pomocí uvedeého modelu se dá řešit případ lieárí závislosti. Uvedeme ěkolik případů modelu. A. Přímka procházející počátkem. Situaci odpovídá model, kdy Y i βx i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ). Matice X ( ) T je typu a β je číslo (matice typu ). Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametru β je b (X T X) X T Y Y ix i. x i Pro odhad rozptylu dostaeme hodotu s S e, kde S e (Y i Ŷi)Y i Y i b x i Y i, eboť Ŷi bx i, i. Dále je X T X x i. Z věty 4 dostaeme tvrzeí o rozděleí áhodé veličiy T b β s. Ta má hodotu v T b β s x i t. Testujeme vhodost modelu, kterou můžeme popsat jako ulovou hypotézu H 0 : β 0 proti alterativí hypotéze H : β 0. V případě ezamítutí hypotézy H 0 je lieárí model evhodý, hypotéza H představuje lieárí závislost hodoty a hodotě x. 47

12 B. Obecá přímka Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ), tedy Y, x, x β 0 β + Matice X je typu (, ) a matice X T X je typu (, ) a Matice X T X X T Y,,...,,,...,, x, x Y e e, x i, Y i Y ix i x i x i je typu a β je matice typu. Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0, β je b (X T X) X T Y b 0 b Odtud dostaeme vyjádřeí pro koeficiety přímky ve tvaru: Y Y i, x x i, b pro odhad rozptylu dostaeme hodotu s S e Y ix i xy x i (x), b 0 Y b x. Y i b 0 Y i b Y i x i Vhodost lieárího modelu ověříme testem hypotézy o koeficietu β. Testujeme ulovou hypotézu H 0 : β 0 proti alterativí hypotéze. 48

13 H : β. Pokud ulovou hypotézu H 0 odmíteme, je lieárí model vhodý pro popis závislosti. K tomu použijeme statistiku T b β s b v s x i (x), která má rozděleí t. V případě přijetí alterativí hypotézy H můžeme určit itervaly spolehlivosti pro hodoty β 0 + β x k. Ty mají tvar b 0 + b x k ± t (α) s + (x x) x i (x). Pokud chceme určit iterval spolehlivosti pro celou přímku Y β 0 + β x, pak musíme ahradit kritickou hodotu t (α) hodotou F, (α). Dostaeme pás spolehlivosti pro regresí přímku ve tvaru b 0 + b x k ± F, (α) s + (x x) x i (x). Pás je ohraiče dvoljicí hyperbol, který překrývá přímku y β 0 + β x se spolehlivostí ( α). C. Kvadratická regrese Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + β x i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ), tedy Y, x, x, x, x β 0 β β + e e Matice X je typu (, 3) a matice X T X je typu (3, 3) a X T X,,..., x, x,..., x, x, x, x, x, x i, x i, x i, x i, x3 i, x i x3 i x4 i 49

14 Matice X T Y,,..., x, x,..., x Y, Y i Y ix i Y ix i je typu 3 a β je matice typu 3. Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0, β, β je vektor b (X T X) X T Y b 0 b b, který dostaeme jeko řešeí soustavy lieárích rovic Odhad rozptylu σ je s 3 S e 3 X T X X T b. Y i b 0 Y i b Y i x i b Y i x i Pro ověřeí vhodosti kvadratické závislosti testujeme hypotézu H 0 : β 0 proti alterativě H : β 0. V případě přijetí ulové hypotézy stačí uvažovat, že závislost Y i a x i je pouze lieárí. K tomu použijeme skutečosti, že áhodá veličia T 3 b β s v 33 t 3, kde (X T X) (v ij ). Hypotézu H 0 zámítáme, tedy uvažujeme kvadratickou závislost v případě, že T 3 t 3 (α). Někdy je třeba testovat složeou hypotézu H 0 : β β 0. Alterativí hypotézou je, že závislost Y i a x i je lieárí ebo kvadratická. Za pltosti hypotézy H 0 dostáváme podmodel Y i β 0 + e i. Pro reziduálí součet je R ( 3)s a reziduálí roztyl je Testovací statistika je R Y i (Y ). F (R R)( 3) R 50 F, 3

15 Hypotézu H 0 zamítáme, jestliže je F F, 3 (α). D. Lieárí regrese z dvěma ezávislými proměými Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + β z i + e i, i, kde áhodé veličiy e, e,..., e jsou ezávislé áhodé veličiy z rozděleím N(0; σ ), tedy Y, x, z, x, z β 0 β β + Matice X je typu (, 3) a matice X T X je typu (3, 3) a X T X Matice,,..., z, z,..., z X T Y, x, z, x, z,,..., z, z,..., z Y Y, x i, z i, e e x i, x i, x iz i, Y i Y ix i Y iz i z i x iz i z i je typu 3 a β je matice typu 3. Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0, β, β je vektor b (X T X) X T Y b 0 b b, který dostaeme jeko řešeí soustavy lieárích rovic X T X X T b. Odhad rozptylu σ je s 3 S e 3 Y i b 0 Y i b Y i x i b Y i z i 5

16 Pro ověřeí vhodosti závislosti a dvou proměých testujeme hypotézu H 0 : β 0 proti alterativě H : β 0. V případě přijetí ulové hypotézy stačí uvažovat závislost Y i pouze a x i. K tomu použijeme skutečosti, že áhodá veličia T 3 b β s v 33 t 3, kde (X T X) (v ij ). Hypotézu H 0 zámítáme, tedy uvažujeme závislost a proměé z i v případě, že T 3 t 3 (α). Obdobě můžeme testovat závislost a proměé z i. Testujeme hypotézu H 0 : β 0 proti alterativě H : β 0. Testovací statistikou je T b β s v t 3. Závislost Y i a x i je prokázáa, jestliže je T t 3 (α). Někdy je třeba testovat složeou hypotézu H 0 : β β 0. Alterativí hypotézou je, že závislost Y i je a x i a z i. Za platosti hypotézy H 0 dostáváme podmodel Y i β 0 + e i. Pro reziduálí součet je R ( 3)s a reziduálí roztyl je R Yi (Y ). Testovací statistika je F (R R)( 3) R F, 3 Hypotézu H 0 zamítáme, jestliže je F F, 3 (α). E. Obecá polyomiálí regrese Situaci odpovídá model, kdy Y i β 0 + β x i + β x i β k x k + e i, i, tedy Y, x,..., x k, x,..., x k i β 0 β k + Matice X je typu (, k) a matice X T X je čtvercová řádu k a X T X,,..., x k, x k,..., x k 5 e e, x,..., x k, x,..., x k, x,..., x k

17 Matice X T Y, x i,..., xk i xk i x i, x i,..., xk i, xk i,...,,,..., x k, x k,..., x k T xk i Y Y Y i Y ix i Y ix k i je typu k a β je matice typu k ). Z věty a příkladu dostaeme, že odhadem parametrů β 0,..., β k je vektor b (X T X) X T Y b 0 b k, který dostaeme jeko řešeí soustavy lieárích rovic X T X X T b. Závislost Y i a ěkteré z moci x i ověříme testem hypotézy H 0 : β j 0 proti alterativě H : β j 0. Použijeme testovací statistiku T j b j β j s v jj t k, kde (X T X) (v ij ). Závislost považujeme za prokázaou, pokud je T j b j s v jj t k (α). 53

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách 13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

K čemu slouží regrese?

K čemu slouží regrese? REGRESE K čemu slouží regrese? C = Ca + c. Y C = 00 + 0,6. Y + e Budeme zjišťovat jak jeda proměá (ezávislá) Ovlivňuje jiou proměou (závislou) C Y 950 1000 910 150 1130 1500 1150 1750 1475 000 1550 50

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Statistické chyby v medicíském výzkumu Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaa Vrbková

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více