ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

Transkript

1 ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha

2 Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl Tyto výběry vznnou ta, že záladní soubor rozdělíme podle určtého znau Z do supn Z může být fator, jehož hladnu před pousem určujeme fator ontrolovaný Vě Systolcý nebo dastolcý tla Hladna cholesterolu, x s

3 Efet Jestlže Z má úrovní, jeho efet na zna X lze vyjádřt vztahem: μ = μ+ α =,,..., μ průměrná hodnota znau X v té supně μ celový populační průměr znau X za platnost H α efet tého ošetření 0

4 Nulová a alternatvní hypotéza Nulová hypotéza H 0 všechny výběry pocházejí ze stejné normálně rozložené záladní populace, tedy H : μ = μ =... = μ =... = μ = μ 0 nebo H : α = α =... = α =... = α = 0 0 Což znamená, že hodnota znau Z neovlvňuje hodnoty znau X Alternatvní hypotéza H A výběry nepocházejí ze stejné populace, tj. průměry se od sebe navzájem statstcý významně lší

5 Výchozí tabula jednoduché analýzy rozptylu Číslo výběru Počet prvů Zjštěné hodnoty sledovaného znau Průměr Rozptyl n n... n... n x x x j x n x x x j x n x x x j x n x x x j x n x x x x s s s s Celem n x s

6 Legenda tabulce x Prve x j první ndex číslo výběru (supny podle znau Z ) druhý ndex j pořadové číslo uvntř výběru Jná symbola jao př jných metodách. Index, přes terý jsme soubor sečetl, značíme tečou místo ndexu n j = Taže průměr -tého výběru značíme Celový průměr ze všech výběrů, terým odhadujeme μ, značíme n n = xj x.. = x = nx n n x. j = j= = n x.. = n =

7 Podmíny pro analýzu rozptylu Celovou varabltu rozdělíme na varabltu uvntř jednotlvých výběrů a mez výběry Musí platt. Zna, jehož průměry chceme porovnávat, musí mít normální rozložení. Rozptyly jednotlvých výběrů se nesmí mez sebou lšt statstcy významně, musí být homogenní

8 Hartleyův test pro testování homogenty rozptylů Testujeme hypotézu: za předpoladu, že dybychom testoval shodu rozptylů po dvojcích, potřeboval bychom př výběrech (-)/ hodnocení pomocí F-testů. Poud vša najdeme nejvyšší z pozorovaných rozptylů a nejnžší a zjstíme, že tato dvojce se lší statstcy nevýznamně, pa se an žádná další dvojce rozptylů z uvažovaných výběrů nemůže lšt statstcy významně Testovací charatersta má tvar: F max s max mn s H : σ = σ =... = σ n = n = = n = n 0... = s počtem stupňů volnost a n-, de je počet výběrů a n je počet prvů v aždém výběru

9 Hartleyův test pro testování homogenty rozptylů Vzhledem tomu, že F max netestuje náhodně zvolenou dvojc rozptylů, ale tu, terá má maxmální dferenc, nelze hodnoty F max hledat v běžně užívaných tabulách rtcých hodnot F-rozložení, ale ve specálních tabulách Stejně jao u F-testu zde platí: jestlže Fmax > Fmax α zamítáme hypotézu o homogentě rozptylů, přjímáme hypotézu, že rozptyly se na hladně α statstcy významně lší a poračování PRO HODNOCENÍ ROZDÍLŮ ROZPTYLŮ NESMÍME POUŽÍT ANLÝZU ROZPTYLU

10 Postup analýzy rozptylů Za platnost nulové hypotézy H0 : μ. = μ. =... = μ. = μ.. lze spojt všech výběrů ve výběr jedný, terý má průměr x.. a pro rozptyl platí s = ( x ) j x.. j n pro čtatel, terý představuje součet čtverců odchyle od celového průměru, můžeme psát n n ( ) ( ) j j ( ) S = x x = x x + x x = j= = j= =

11 Postup analýzy rozptylu poračování n n ( ) ( ) j j ( ) S = x x = x x + x x = j= = j= = Tuto rovnc můžeme číst: celový součet čtverců odchyle je roven součtu čtverců uvntř výběru, terý nazýváme rezduální a značíme S R, a součtu čtverců mez výběry, terý značíme S V. Můžeme tedy napsat S = S + S.. R V Počet stupňů volnost pro S.. : f = n, pro S R : f = n, pro S V : f= -

12 Postup analýzy rozptylu poračování Mírou náhodného olísání je rezduální součet čtverců S R, neboť je oproštěn od vlvu výběrů č supn, je způsoben pouze náhodným olísáním. Proto jao měříta pro míru olísání používáme rezduální rozptyl s s R S = n R R a jím měříme rozptyl mez výběry pomocí F testu s S S F = = s n V V R : R s V počet stupňů volnost: f =, f = n

13 Postup analýzy rozptylu poračování Zvolíme α, v tabulách rtcých hodnot F rozložení najdeme hodnotu F α, de počet stupňů volnost pro čtatel, tedy, hledáme v hlavčce tabuly, počet stupňů volnost pro jmenovatel, tedy n, v legendě. Je-l splněno F > F α, zamítáme H 0 a přjímáme hypotézu alternatvní. TABULKA ANALÝZY ROZPTYLU Varablta Součet čtverců Stupně volnost Rozptyl Mez výběry S = n x x Rezduální (uvntř výběrů) ( ) V... = S x x x n n R = j. j = j= j= n n Celová S.. = xj x.. xj n = j= = j= n s s V SV = S = n R R s S = n..

14 Smultánní testování Současné testování hypotéz u dvojc Např. př postupném použtí t-testů narůstá chyba I. druhu Zvolíme-l hladnu významnost α = 5%, bude př hodnocení první dvojce spolehlvost sutečně 95%, u druhé jž jenom 87,8%, u třetí 79,9% atd. LSD (least sgnfcant dfference) nejmenší významná dference. Rozsahy výběrů jsou stejné. Rozsahy výběru jsou různé

15 LSD rozsahy výběrů jsou stejné Máme nezávslých výběrů, de platí n = n =... = n, taže celový počet prvů je n = n Spočteme jednotlvé průměry a uspořádáme je podle velost x x... x, de ndexy znamenají nyní pořadová čísla uspořádaných průměrů Nejmenší významnou dferenc vypočteme pomocí rtcých hodnot t rozložení z výrazu LSD = tn ; α s n R

16 LSD rozsahy výběrů jsou stejné poračování Nebo pomocí rtcých hodnot F rozložení LSD = srf; n ; α n Spočítáme dference průměrů, sousedících v uspořádání velost: d x x d x x + =, = Všechny dference d, pro něž platí d > LSD, jsou statstcy významné př zvoleném α

17 LSD rozsahy výběrů jsou různé Máme nezávslých výběrů, de platí n n... n, taže celový počet prvů je n = n = Spočteme jednotlvé průměry a uspořádáme je podle velost x x... x, de ndexy znamenají nyní pořadová čísla uspořádaných průměrů Pro aždou dvojc je třeba spočítat LSD zvlášť, neboť jeho hodnota záleží na n a n +, a je za použtí t rozložení LSD = t s n ; α R n + nn n j j

18 LSD rozsahy výběrů jsou různé poračování Nebo př použtí F testu s R F j LSD = sr F; n ; α nn j je rezduální součet, n rtcá hodnota F př zvoleném α a stupních volnost a n jestlže lší se průměry a významně + ; n ; α d > LSD, + x x + n V uspořádané řadě průměrů podtrhneme společnou čarou ty, teré se nelší, aby bylo zřejmé do ola homogenních supn se soubor rozpadá.

19 Metoda Scheffeho Máme výběrů, > V aždé -té supně je n pozorování, teré může být obecně různé Analýzou rozptylu jsme zjstl, že průměry nejsou homogenní Smultánní testování dferencí x x j př celové hladně významnost α metodou Scheffeho hodnotíme pomocí rtcé hodnoty de je počet supn, n, n j četnost v porovnávaných supnách, S R rezduální rozptyl u analýzy rozptylu, F α rtcá hodnota F rozložení pro hladnu významnost α apř stupních volnost f = a f = n Kj = Fα sr + n n j ( ) Výhodou Scheffeho testu prot testu LSD je, že dovoluje sestrojt onfdenční ntervaly pro hodnoty rozdílu průměrů se společnou onfdencí α. Všechny rozdíly budou ležet v ntervalu ( K j, + K j )

20 Testování shody průměrů př různých rozptylech χ test ANOVA testujeme hypotézu: H0 : μ = μ =... = μ = μ za předpoladu σ = σ =... = σ Tento předpolad vša není splněn Poud pro všechna n platí n 30, H 0 testujeme pomocí velčny χ vztahem: n ( x x ) χ = s terá má stupňů volnost a de 0 x nx 0 = n / s / s

21 Testování shody průměrů př různých rozptylech Zvolíme α, najdeme rtcou hodnotu jestlže χ > χ α zamítáme H 0 a přjímáme H : alespoň pro jednu dvojc,j platí že μ μ Která dvojce to je zjstíme smultánním testováním Pro dvojce pro něž x χ test poračování α ; platí: Jejch průměry se statstcy významně lší j χ s s j xj > χα ; + n n j x x j

22 Testování shody průměrů př různých rozptylech F test Opět testujeme hypotézu Poud pro všechna n není splněn požadave n 30, H 0 musíme testovat pomocí omplovanějšího vztahu pro F rozložení: n ( x x ) de x nx F = 0 = n / s / s + H0 : μ = μ =... = μ = μ s ( ) a pro B platí B 0 n / s B = n n s /

23 Testování shody průměrů př různých rozptylech F test Tento výraz má F- rozložení o st. volnost: poračování f =, f = 3B Vyjde-l F > F α, zamítáme H 0 a přjímáme H, že exstuje aspoň jedna dvojce pro nž μ μ j Které dvojce to jsou zjstíme smultánním testováním podle Tamhana: s j x xj > Aj n n j Kde A j je rtcá hodnota dvoustranného t-testu na hladně g a př f j stupních volnost s

24 Testování shody průměrů př různých rozptylech F test poračování glze spočítat pomocí zvoleného α z výrazu: ( ) ( ) g = α Stupně volnost f j spočteme ze vztahu: f j = ( s ) n + sj nj 4 4 s j + j j ( ) ( ) s n n n n

25 ANOVA Neparametrcé testy

26 Test Krusal - Wallsův Máme nezávslých výběrů, >, u terých není splněna podmína normalty Chceme se přesvědčt, že naměřené náhodné velčny X se lší polohou Vyslovíme hypotézu H 0, že se výběry polohou nelší, tedy že to je vlastně nezávslých náhodných výběrů z téže záladní populace Za platnost H 0, můžeme dát všechny výběry do jedného souboru a uspořádat naměřené hodnoty x podle velost

27 Test Krusal - Wallsův poračování Každé naměřené velčně pa přřadíme pořadovou hodnotu od u nejnžší, až hodnotě N = n pro nejvyšší naměřenou = hodnotu Za platnost H 0 by se průměrné pořadí ve supnách nemělo lšt Testovací charatersta má tvar: χ KW T = 3 N + N N n ( ) = T součet pořadových hodnot prvů tého výběru, n počet prvů v tém výběru χ rtcá hodnota χ KW rozložení př stupních volnost ( )

28 Test Krusal - Wallsův poračování χ KW má rozložení χ s stupních volnost, rtcá hodnota tedy závsí pouze na počtu porovnávaných výběrů, nolv na počtu prvů χ KW χ α Vypočtené porovnáme s tabelovanou hodnotou př zvoleném α jestlže χkw > χ ; α zamítáme H 0 a můžeme přjmout hypotézu alternatvní, že se výběry polohou mez sebou statstcy významně lší

29 děuj za pozornost