( ) Základní transformace časových řad. C t. C t t = Μ. Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1

Transkript

1 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1 Základní ransformace časových řad Veškeré násroje základní korelační analýzy, kam paří i lineární regresní (ekonomerické) modely a modely časových řad jsou ve své podsaě založeny na dvou předpokladech - linearia zkoumaného vzahu, - exisence konsanní sřední hodnoy zkoumaných (vysvělovaných i vysvělujících) časových řad resp. slabou sacionariu ěcho časových řad, kerá je definována ješě dalšími podmínkami. Charaker věšiny vzahů mezi ekonomickými veličinami a charaker časových řad ěcho ekonomických veličin však yo předpoklady nesplňují, proo je k omu, aby byla analýza smysluplná, nuné vybra a provés někeré elemenární ransformace. Věšinou exisuje několik možnosí, jejich volba závisí spíše na ekonomické eorii než saisické eorii samoné. Linearia zkoumaných vzahů. Věšinu závislosí a procesů v ekonomii lze popsa spíše pomocí procenních změn než pomocí změn v absoluních hodnoách daných veličin. Uvedeme dva ypické příklady: 1. Vzah dvou veličin např. jednoduchá rovnice popávky po penězích, kdy odhlédneme od vlivu alernaivních nákladů (nominální úrokové míry) a budeme předpokláda, že popávané množsví reálných peněz je deerminováno reálným množsvím ransakcí, keré můžeme měři např. reálnou spořebou ( j. reálnou hodnoou nákupů) domácnosí. Jesliže budeme dále předpokláda, že jednoprocenní změna reálné spořeby vyvolá α -procenní změnu popávky po reálných penězích, má akový model jednoduchý var M α = Μ = kc (1) P kde k je úrovňová konsana, kerá kvaliu vzahu mezi oběma veličinami (reálnými penězi Μ = M / P a reálnou spořebou C ) absoluně neovlivní. Skuečnos, že jednoprocenní změna C vyvolá α -procenní změnu popávky po reálných penězích, lze ukáza jednoduše pomocí diferenciálního poču Μ Μ C C = Μ C C Μ = α kc α 1 C Μ = α kc α 1 C kc α = α. Vývoj jedné veličiny v čase u ekonomických časových řad má věšinou smysl mluvi o procenním empu růsu (řeba i časově proměnném) ekonomických veličin, nikoliv o růsech vyjádřených absoluním přírůskem Y = Y 1+ g ( ) 1. Oba dva uvedené příklady vedly k nelineárnímu popisu chování. Linearizace ěcho příkladů je však velmi riviální (a je našěsí aplikovaelná ve velké čási moderní makroekonomie) sačí je zlogarimova a dosáváme logμ = log k + α logc resp. log Y = logy 1 + g. Vizuálně si můžeme dopady logarimu na charaker časové řady ukáza na příkladu reálného HDP (USA).

2 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) Obr. 1 USA: reálný HDP exponenciální rend Obr. - USA : logarimus reálného HDP - lineární rend

3 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 3 Na obr.1 je původní časová řada reálného HDP s odhadnuým jednoduchým exponenciálním rendem, na obr. je zlogarimovaná časová řada HDP, kerá má zcela zjevně charaker lineární, nikoliv exponenciálního růsu (naznačen je udíž odhad lineárního rendu). Sacionaria časové řady. Provádě jakoukoli analýzu založenou na korelaci (kam paří i regresní modely či modely časových řad) musíme velmi oparně, neboť se jinak zcela jednoduše můžeme dosa k absoluně nesmyslným výsledkům. Problém můžeme ilusrova velmi jednoduchým příkladem. Vezmeme dvě ekonomické nesacionární řady, keré spolu zcela zjevně absoluně nesouvisí, reálné HDP USA (obr.3) a index nominálních mezd v Řecku (obr.4), obě dvě na období Obr. 3 - USA : log of real GDP Obr. 4 - Greece : Log of nominal wage rae

4 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 4 Vypočíáme-li koeficien korelace ěcho dvou řad, dosaneme Podobně, jesliže odhadneme jednoduchý regresní model ve varu log Y = α + β logw + Dosaneme odhad β 5.9se směrodanou chybou odhadu 0.09 a edy -saisikou (-poměrem) Oba dva výsledky by měly ukazova na velmi silnou vazbu mezi oběma veličinami. Oba výsledky jsou však zjevně naproso nesmyslné příčina éo nesmyslnosi spočívá právě v nesacionariě obou řad. Koeficien korelace se oiž velmi zjednodušeně počía ak, že vezmeme u obou časových řad jejich průměr (zde bude samozřejmě leže někde uprosřed časové řady), vypočíáme odchylky dané časové řady od ohoo průměru v každém období, a srovnáváme, jesli velkým kladným odchylkám v jedné řadě odpovídají ve sejném období velké kladné odchylky v druhé řadě (poziivní korelace), nebo popř. velké záporné odchylky v druhé řadě (negaivní korelace). Čím více plaí oo pravidlo, ím silnější korelace, a ím blíže je koeficien korelace k 1 (poziivní korelace), popř. k -1(negaivní korelace). Jesliže však edy máme dvě časové řady, keré sysemaicky rosou, budou mí obě vždy na svém začáku velké záporné odchylky a na svém konci velké kladné odchylky od svých průměrů (už jenom počía průměr u nesacionárních, j. sysemaicky rosoucích časových řad je samozřejmě nesmysl), a edy musíme zákoniě dosa vysokou míru korelace, resp. velmi významný odhad paramerů v regresním modelu. Exisuje několik řešení, výběr z ěcho možnosí je, jak už bylo řečeno, spíše oázkou ekonomické eorie než saisiky samoné. 1) Sacionarizace časové řady - jejím diferencováním, - odhadnuím jejího rendu a prací s odchylkou éo řady od rendu, j. zv. filrací. Tyo ypy analýz (j. analýzy na sacionarizovaných časových řadách) se samozřejmě hodí spíše pro zkoumání cyklických, j. ne příliš dlouhodobých vlasnosí časových řad. Někdy se však zajímáme právě o dlouhodobé vzahy mezi ekonomickými veličinami, keré můžeme modelova pouze poněkud komplikovanějším způsobem v zv. error-correcion varu. ) Modelování ve varu error-correcion (bohužel neexisuje žádný zažiý uznávaný český překlad) umožňuje konkréní odhad dlouhodobých vzahů mezi diferencovanými nebo nefilrovanými časovými řadami (korekní v om smyslu, že se na něj nevzahuje výše uvedená výka ohledně nesacionariy). Diferencování časových řad. Diferencováním logarimu časové řady logp = logp logp 1 ve skuečnosi získáme aproximaci empa jejího růsu a eno yp sacionarizace má edy velmi jednoduchou ekonomickou inerpreaci. Jediným problémem je volba ypu diferenciace ve smyslu délky zpoždění, se kerým diferenci počíáme j. zda počíáme rozdíl současné hodnoy a např. hodnoy v minulém čvrleí (zn. mezikvarální změny) nebo hodnoy ve sejném čvrleí minulého roku (zn. meziroční změny), ad.

5 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 5 V naprosé věšině případů však neexisuje žádný důvod používa k analyickým účelům jiné než mezikvarální, resp. meziměsíční diference (časovou řadu diferencujeme vůči nejbližšímu předchozímu období). Meziroční diference se používají pouze pro rychlé získání povrchní vizuální předsavy o om, co se v ekonomice zhruba dělo, neboť bývají méně volailní a udíž o něco více čielné než mezikvarální nebo meziměsíční změny. Časová řada meziročních změn oiž v sobě obsahuje uměle vyvořenou auokorelaci, kerá může významně zkresli výsledky další kvaniaivní analýzy. Opě použijeme jednoduchý příklad. Nasimulujeme zv. náhodnou procházku x = x 1 + kde je bílý šum (důležiý je zde předpoklad nulové auokorelace). První diferenci éo řady je samozřejmě přímo x = x x 1 = a udíž z definice neobsahuje žádnou auokorelaci, cov( x, x 1 ) = cov(, 1 ) = 0 Naopak, vyvoříme-li časovou řadu diferencií přes 4 období (jakoby meziroční změny), pokud bude x p.a. 4x = x x 4 = je zřejmé, že bude auokorelována, neboť cov x, = cov + + +, = () ( ) ( ) 4 4x Kde je rozpyl náhodné složky. Na obr.5, 6, 7 uvádíme původní nasimulovanou časovou řadu x, a její diference x = x x 1 a 4x = x x 4. Auokorelovanos poslední časové řady je vizuálně zřejmá i bez kvaniaivních esů. Obr. 5 - Simulovaná časová řada x = x 1 +

6 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 6 Obr. 6-1.diference simulované časové řady x = x x 1 = Obr. 7 - Meziroční diference simulované časové řady 4x = x x 4 Filrace časových řad. Filrací zde budeme rozumě specificky pouze rozklad dané časové řady na rendovou složku a na cyklickou složku. Násroje na eno yp rozkladu jsou v principu jednorozměrné, j. využívají pouze jednu danou časovou řadu, nebo vícerozměrné (srukurální), keré k exrakci rendu z dané časové řady využívají informaci i z jiných časových řad (např. pro odhad rendu a mezery HDP můžeme využí informaci z pohybu inflace, reálných úrokových měr, apod.). Jako příklad uvedeme jeden z nejčasěji používaných jednorozměrných filrů, zv. Hodrick- Prescoův (HP) filr. Je nuné si uvědomi, že HP filr je smysluplné používa pouze na logarimovaných časových řadách, ak aby první diference měla význam empa růsu. x = x + xˆ x = x 1 xˆ = +

7 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 7 kde x je původní časová řada, x je její rend, xˆ je její mezera (cyklická složka), je šok (náhodná porucha) v empu růsu rendu, je cyklický šok (oba dva předpokládané bílé šumy). HP má edy dvě význačné charakerisiky: 1. Dosaečná hladkos rendu je zajišěna ím, že šoky nepůsobí přímo na úroveň rendu (na x ), nýbrž na jeho empo růsu x.. Cyklická čás je modelována jako pouhý bílý šum, což se může zdá nerealisické, v praxi však oo omezení není příliš limiující a bude déle objasněno na cvičeních. Při použií HP filru musíme jako jediný volný paramer zada poměr rozpylu cyklického šoku ku rozpylu rendového šoku,. Plaí, že čím nižší je eno paramer, ím nižší čás variabiliy dané původní časové řady je považována za cyklické kolísání a vyšší čás je považována za změny rendu (a naopak). Jinými slovy, čím nižší je eno paramer, ím ěsněji výsledný rend sleduje původní řadu. Auoři filru provedli výzkum širokého spekra časových řad a zkoumali vlasnosi rendových a cyklických složek různých ekonomických časových řad s využiím sandardních moderních eorií ekonomického růsu a ekonomického cyklu a jejich hrubé doporučení je používa - pro roční časové řady pro čvrlení časové řady pro měsíční časové řady Na obr. 8 a 9 je pro ilusraci rend a mezera (logarimu) reálného HDP USA (čvrlení časová řada) s paramerem 1600 (j. v souladu s doporučením Hodricka a Prescoa), na obr.10 a 11 je oéž s paramerem 100. Obr. 8 - USA : krákodobý kvarální reální HDP, HP filr: =1600

8 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 8 Obr. 9 - USA : cyklická čás reálného HDP, HP filr: =1600 Obr USA : krákodobý kvarální reální HDP, HP filr: =100 Obr USA : cyklická čás reálneho HDP, HP filr: =100