Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo
|
|
- Matyáš Staněk
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kombinatorika Irina Perfilieva 19. února 2008
2 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze
3 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze
4 Předmět kombinatoriky Co je kombinatorika Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavení (konfigurování) skupin prvků konečné množiny, se nazývá kombinatorika. Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se nazývá kombinatorická konfigurace.
5 Předmět kombinatoriky Co je kombinatorika Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavení (konfigurování) skupin prvků konečné množiny, se nazývá kombinatorika. Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se nazývá kombinatorická konfigurace.
6 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.
7 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.
8 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.
9 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.
10 Základní kombinatorické konfigurace Permutace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Permutace Permutace N je jedno možné uspořádání této množiny. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) jsou všechny možné permutace N = {a, b, c}.
11 Základní kombinatorické konfigurace Permutace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Permutace Permutace N je jedno možné uspořádání této množiny. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) jsou všechny možné permutace N = {a, b, c}.
12 Základní kombinatorické konfigurace Permutace s opakováním Permutace s opakováním Permutace s opakováním je uspořádání skupiny z n prvků, mezi nimiž je i 1 stejných prvků prvního typu, i 2 stejných prvků druhého typu atd. až i k stejných prvků k-ho typu, přičemž i 1 + i 2 + i k = n. Příklad Pro N = {a, a, b, c}, n = 4 a i 1 = 2, i 2 = 1, i 3 = 1 jsou všechny možné permutace s opakováním: (a, a, b, c) (a, b, a, c) (a, b, c, a) (a, a, c, b) (a, c, a, b) (a, c, b, a) (b, a, a, c) (b, a, c, a) (b, c, a, a) (c, a, a, b) (c, a, b, a) (c, b, a, a).
13 Základní kombinatorické konfigurace Permutace s opakováním Permutace s opakováním Permutace s opakováním je uspořádání skupiny z n prvků, mezi nimiž je i 1 stejných prvků prvního typu, i 2 stejných prvků druhého typu atd. až i k stejných prvků k-ho typu, přičemž i 1 + i 2 + i k = n. Příklad Pro N = {a, a, b, c}, n = 4 a i 1 = 2, i 2 = 1, i 3 = 1 jsou všechny možné permutace s opakováním: (a, a, b, c) (a, b, a, c) (a, b, c, a) (a, a, c, b) (a, c, a, b) (a, c, b, a) (b, a, a, c) (b, a, c, a) (b, c, a, a) (c, a, a, b) (c, a, b, a) (c, b, a, a).
14 Základní kombinatorické konfigurace Variace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace Variace r-té třídy z n prvků (r n) je uspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) jsou všechny možné variace 2. třídy ze 3 prvků.
15 Základní kombinatorické konfigurace Variace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace Variace r-té třídy z n prvků (r n) je uspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) jsou všechny možné variace 2. třídy ze 3 prvků.
16 Základní kombinatorické konfigurace Variace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace s opakováním Variace r-té třídy z n prvků s opakováním je variace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) jsou všechny možné variace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.
17 Základní kombinatorické konfigurace Variace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace s opakováním Variace r-té třídy z n prvků s opakováním je variace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) jsou všechny možné variace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.
18 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Kombinace Kombinace r-té třídy z n prvků (r n) je neuspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 {a, b} {a, c} {b, c}. jsou všechny možné kombinace 2. třídy ze 3 prvků.
19 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Kombinace Kombinace r-té třídy z n prvků (r n) je neuspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 {a, b} {a, c} {b, c}. jsou všechny možné kombinace 2. třídy ze 3 prvků.
20 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s prvky n typů, přičemž máme nekonečně mnoho prvků každého typu. Kombinace s opakováním Kombinace r-té třídy z n prvků s opakováním je kombinace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro množinu prvků s typy a, b, c, n = 3 a r = 2 (a, a) (b, b) (c, c) (a, b) (a, c) (b, c) jsou všechny možné kombinace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.
21 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s prvky n typů, přičemž máme nekonečně mnoho prvků každého typu. Kombinace s opakováním Kombinace r-té třídy z n prvků s opakováním je kombinace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro množinu prvků s typy a, b, c, n = 3 a r = 2 (a, a) (b, b) (c, c) (a, b) (a, c) (b, c) jsou všechny možné kombinace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.
22 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze
23 Pravidla součinu a součtu Pravidlo součinu Máme-li n možností pro výběr A a pak dalších m možností pro výběr B, potom výběr uspořádané dvojice (A, B) se uskuteční n m možnostmi. Example Počet K dvouciferných čísel dělitelných 2: K = 9 5 = 45.
24 Pravidla součinu a součtu Pravidlo součtu Máme-li n možností pro výběr A a pak nezávisle m dalších možností pro výběr B, potom výběr A nebo B se uskuteční n + m možnostmi. Example Počet K čísel od 1 do 99 dělitelných 2: A: jednociferné číslo dělitelné 2 B: dvouciferné číslo dělitelné 2 K A = 4 K B = 9 5 = 45 K = K AneboB = = 49
25 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze
26 Počet permutací, variací, kombinací Počet permutací množiny s n prvky P n = n (n 1)... 1 = n! Například pro n = 3: P 3 = = 6. faktoriál
27 Počet permutací, variací, kombinací Počet permutací s opakováním množiny s n prvky P i 1,...,i k n = n! i 1! i k! Například pro n = 4,i 1 = 2,i 2 = 1,i 3 = 1: P 2,1,1 3 = 4! 2!1!1! = = 12.
28 Počet permutací, variací, kombinací Počet variací r-té třídy z n prvků V r n = V (n, r) = n (n 1)... (n r + 1) = Například pro n = 3, r = 2: V 2 3 = 3 2 = 6. n! (n r)!
29 Počet permutací, variací, kombinací Počet variací r-té třídy z n prvků s opakováním Ṽn r = n } n {{... n} = n r r Například pro n = 3, r = 2: Ṽ 2 3 = 32 = 9.
30 Počet permutací, variací, kombinací Počet kombinací r-té třídy z n prvků C r n r! = V r n Cn r = V n r r! = n! n (n 1)... (n r + 1) = r!(n r)! r! Například pro n = 3, r = 2: C 2 3 = = 3.
31 Počet permutací, variací, kombinací Počet kombinací r-té třídy z n prvků s opakováním C r n = C r n+r 1 Například pro n = 3, r = 2: C 2 3 = C2 4 = = 6.
32 Vlastnosti kombinačních čísel C k n = C n k n C k n + C k+1 n = C k+1 n+1
33 Vlastnosti kombinačních čísel C k n = C n k n C k n + C k+1 n = C k+1 n+1
34 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze
35 Princip inkluze a exkluze Předpoklad: Máme N předmětů a vlastnosti A 1,..., A k. Označme: N i počet předmětů s vlastností A i, i = 1,..., k; N ij počet předmětů s vlastnostmi A i, A j, i, j = 1,..., k; atd. N i1,...i l počet předmětů s vlastnostmi A i1,..., A il. Potom počet ˆN 0 předmětů nemajících ani jednu z vlastností A 1,..., A k se rovná ˆN 0 = N S 1 + S 2 + ( 1) k S k, kde S l = N i1,...i l, 1<i 1 < <i l k l = 1,..., k
36 Demonstrace principu inkluze a exkluze Ve skupině je 25 studentů. Z nich 20 ukončilo semestr úspěšně, 12 navštěvuje sportovní klub, přičemž 10 z nich ukončilo semestr úspěšně. Kolik neúspěšných studentů nechodí do sportovního klubu? Řešení: N 1 = 20, N 2 = 12, N 12 = 10, ˆN 0 = 25 ( ) + 10 = 3.
37 Demonstrace principu inkluze a exkluze Ve skupině je 25 studentů. Z nich 20 ukončilo semestr úspěšně, 12 navštěvuje sportovní klub, přičemž 10 z nich ukončilo semestr úspěšně. Kolik neúspěšných studentů nechodí do sportovního klubu? Řešení: N 1 = 20, N 2 = 12, N 12 = 10, ˆN 0 = 25 ( ) + 10 = 3.
kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková
Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla
VíceKombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor004 Vypracoval(a),
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceKOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)
KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení
VícePři určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceTEMATICKÝ PLÁN VÝUKY
TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/1 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 4. Počet hodin týdně: 4 Počet hodin celkem: Tento plán vychází z rámcového vzdělávacího programu pro
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceKombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole
Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole Růžena Blažková, Irena Budínová Kombinatorika je matematická disciplína, která se zabývá rozdělováním, uspořádáváním, výběrem prvků z
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceKombinatorika. November 12, 2008
Kombinatorika November 12, 2008 Příklad Do školní jídelny přišla skupina 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do fronty u výdeje obědů. Řešení: Počet možností je 1 2... 35 = 35! (Permutace bez
VíceKombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky
Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Jiří Fišer 30.zářía5.října2010 JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 1/12 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků.
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceKombinatorika. Michael Krbek. 1. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle
Kombinatorika Michael Krbek. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle konečnými) strukturami a patří kvůli tomu mezi nejstarší oblasti matematiky. Je těžké podat přesný výčet
VíceMatematika II. dvouletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: O7A, C3A, S5A, O8A, C4A, S6A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem umožnit studentům dosáhnout lepší výsledky ve společné
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška osmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Kombinatorika: pravidla součtu a součinu 2 Kombinatorika:
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor002 Vypracoval(a),
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceKombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24)
Kombinatorika 1. Variace 2. Permutace 3. Kombinace Název: I 1 9:11 (1 z 24) Název: I 1 10:02 (2 z 24) Variace Jsou to skupiny prvků, ve kterých: záleží na pořadí prvků značíme je Název: I 1 10:02 (3 z
VíceTeorie. Kombinatorika
Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou
Více2. Elementární kombinatorika
2.1. Kombinace, variace, permutace bez opakování 2. Elementární kombinatorika Definice 2.1. Kombinace je neuspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny. Variace je uspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové
VíceDIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
VíceKombinatorika a úvod do pravděpodobnosti
Kombinatorika a úvod do pravděpodobnosti Jiří Fišer 27. září 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 27. září 2011 1/ 18 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků. Permutace
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceZákladním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.
přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol VARIACE
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceKombinatorický předpis
Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě
Vícegoniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:
KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností
racovní list č. 4 očítáme s pravděpodobností Cíl cvičení: Tento pracovní list je určen pro cvičení předmětu Kvantitativní metody II (přednáška 3.1). Je zaměřen především pro práci s kalkulačkou, program
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2017/2018
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2017/2018 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDeterminanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
VíceKombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceKomentáře Schema 2 Vlastní provedení. Příklad 2.
Příklad 2. Popíšeme předpoklady výpočtu pravděpodobnost výsledků hodu několika kostkami. Příklad prvého schematu ukázal, že rostoucím počtem mincí se mění relativní četnosti jednotlivých tvarů. Nyní tuto
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceSEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE
SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní
Více4. Kombinatorika a matice
4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMatematika - Historie - 1
Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
VíceOPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor001 Vypracoval(a),
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceOpakovací test. Kombinatorika A, B
VY_32_INOVACE_MAT_193 Opakovací test Kombinatorika A, B Mgr. Radka Mlázovská Období vytvoření: listopad 2012 Ročník: čtvrtý Tematická oblast: matematické vzdělávání Klíčová slova: maturita, přijímací zkoušky,
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VíceMotivační úloha: Určete počet přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá, vyskytuje nejvýše jednou.
KOMBINATORIKA Cíle: 1. Ovládat pojmy faktoriál, kombinační číslo, umět aktivně využít vlastností kombinačních čísel, Pascalův trojúhelník včetně příslušné terminologie a symboliky. 2. Chápat správně pojmy
VíceMatematika III. 24. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 24. září 2018 Něco málo o mně RNDr. Radomír Paláček, Ph.D. radomir.palacek@vsb.cz H507/3 web: homel.vsb.cz/ pal39 Co nás v semestru čeká? přednášky (pondělí),
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.
Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického
VíceDalší vlastnosti kombinačních čísel
9.. Další vlastnosti kombinačních čísel Předpoklady: 97, 98 Kombinační čísla udávají počet kombinací bez opakování = neuspořádaných k-tic sestavených z n prvků bez opakování. n! Platí: = - počet možností
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
Víceř é Ů é ř ž ř é é ř ž ř Ů ř ř ř Ú é Í ř ř ř é Ž é Í ř é Ý ř ř é é é é ř ř ř é é ř é é ř é Ž ř Ý é ří ř Ř é ř ř Ž Ů ř ř ř Š Í ří ř ř řň é ř Ú řň é ř řň é ř Š ř ž é ř Ž ř Ž ř ř ř Ž Á Ž Ž Š ř ř ř ř ř é é
VíceZÁKLADY INFORMATIKY. 1. Úvod do informatiky - pojem informace, vznik a vývoj teorie informace, osobnosti, přístupy, důvody pro vznik teorie informace.
ZÁKLADY INFORMATIKY 1. Úvod do informatiky - pojem informace, vznik a vývoj teorie informace, osobnosti, přístupy, důvody pro vznik teorie informace. 2. Matematický aparát v teorii informace I. - teorie
VíceReziduovaná zobrazení
Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A
Více( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109
9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
VíceKOMBINATORIKA jak ji možná neznáme. doc.rndr. Jana Příhonská, Ph.D. KMD FP TUL v Liberci
KOMBINATORIKA jak ji možná neznáme doc.rndr. Jana Příhonská, Ph.D. KMD FP TUL v Liberci jana.prihonska@tul.cz Kombinatorika Úvod Kombinatorika hraje v rozvoji matematického myšlení výraznou roli. Její
VíceMATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dagmar Štěbrová. Kombinatorika ve škole
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Dagmar Štěbrová Kombinatorika ve škole Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a přírodopis se zaměřením na vzdělávání
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 4
Historie matematiky a informatiky Cvičení 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních tvarů a jejich
Více1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla Předmluva k druhému vydání In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1985. pp. 3 8. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404112
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Vícepředmětu MATEMATIKA B 1
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 Obsah 1 Kombinatorika: princip inkluze a exkluze 2 Počítání
VíceMatematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
VíceZákladním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.
přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme
VíceÚvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky doc. PhDr. Jiří
VíceSeminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)
Více5.2 Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika 5.2.2 Cvičení z matematiky
5.2 Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika 5.2.2 Cvičení z matematiky Ročník 2. Hodinová dotace Matematika 3 3 3 2 Cvičení z matematiky 0 0 R (2) R (2) Vyučovací předmět Matematika
VíceFakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Diskrétní matematika 2012/2013.
Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Diskrétní matematika 2012/2013 Projekt číslo 3 jméno: Jiří Znoj login: zno0011 hodnotící: Mgr. Pavel Skalný Příklad:
VíceKombinatorika. In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp. 3 [6].
Kombinatorika Předmluva In: Antonín Vrba (author): Kombinatorika. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1980. pp. 3 [6]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403963 Terms of use: Antonín Vrba, 1080 Institute of
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VíceHistorie matematiky a informatiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 8. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 8. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 12. listopadu 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních
Více