Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo"

Transkript

1 Kombinatorika Irina Perfilieva 19. února 2008

2 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze

3 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze

4 Předmět kombinatoriky Co je kombinatorika Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavení (konfigurování) skupin prvků konečné množiny, se nazývá kombinatorika. Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se nazývá kombinatorická konfigurace.

5 Předmět kombinatoriky Co je kombinatorika Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavení (konfigurování) skupin prvků konečné množiny, se nazývá kombinatorika. Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se nazývá kombinatorická konfigurace.

6 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.

7 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.

8 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.

9 Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.

10 Základní kombinatorické konfigurace Permutace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Permutace Permutace N je jedno možné uspořádání této množiny. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) jsou všechny možné permutace N = {a, b, c}.

11 Základní kombinatorické konfigurace Permutace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Permutace Permutace N je jedno možné uspořádání této množiny. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) jsou všechny možné permutace N = {a, b, c}.

12 Základní kombinatorické konfigurace Permutace s opakováním Permutace s opakováním Permutace s opakováním je uspořádání skupiny z n prvků, mezi nimiž je i 1 stejných prvků prvního typu, i 2 stejných prvků druhého typu atd. až i k stejných prvků k-ho typu, přičemž i 1 + i 2 + i k = n. Příklad Pro N = {a, a, b, c}, n = 4 a i 1 = 2, i 2 = 1, i 3 = 1 jsou všechny možné permutace s opakováním: (a, a, b, c) (a, b, a, c) (a, b, c, a) (a, a, c, b) (a, c, a, b) (a, c, b, a) (b, a, a, c) (b, a, c, a) (b, c, a, a) (c, a, a, b) (c, a, b, a) (c, b, a, a).

13 Základní kombinatorické konfigurace Permutace s opakováním Permutace s opakováním Permutace s opakováním je uspořádání skupiny z n prvků, mezi nimiž je i 1 stejných prvků prvního typu, i 2 stejných prvků druhého typu atd. až i k stejných prvků k-ho typu, přičemž i 1 + i 2 + i k = n. Příklad Pro N = {a, a, b, c}, n = 4 a i 1 = 2, i 2 = 1, i 3 = 1 jsou všechny možné permutace s opakováním: (a, a, b, c) (a, b, a, c) (a, b, c, a) (a, a, c, b) (a, c, a, b) (a, c, b, a) (b, a, a, c) (b, a, c, a) (b, c, a, a) (c, a, a, b) (c, a, b, a) (c, b, a, a).

14 Základní kombinatorické konfigurace Variace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace Variace r-té třídy z n prvků (r n) je uspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) jsou všechny možné variace 2. třídy ze 3 prvků.

15 Základní kombinatorické konfigurace Variace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace Variace r-té třídy z n prvků (r n) je uspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) jsou všechny možné variace 2. třídy ze 3 prvků.

16 Základní kombinatorické konfigurace Variace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace s opakováním Variace r-té třídy z n prvků s opakováním je variace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) jsou všechny možné variace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.

17 Základní kombinatorické konfigurace Variace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace s opakováním Variace r-té třídy z n prvků s opakováním je variace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) jsou všechny možné variace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.

18 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Kombinace Kombinace r-té třídy z n prvků (r n) je neuspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 {a, b} {a, c} {b, c}. jsou všechny možné kombinace 2. třídy ze 3 prvků.

19 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Kombinace Kombinace r-té třídy z n prvků (r n) je neuspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 {a, b} {a, c} {b, c}. jsou všechny možné kombinace 2. třídy ze 3 prvků.

20 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s prvky n typů, přičemž máme nekonečně mnoho prvků každého typu. Kombinace s opakováním Kombinace r-té třídy z n prvků s opakováním je kombinace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro množinu prvků s typy a, b, c, n = 3 a r = 2 (a, a) (b, b) (c, c) (a, b) (a, c) (b, c) jsou všechny možné kombinace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.

21 Základní kombinatorické konfigurace Kombinace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s prvky n typů, přičemž máme nekonečně mnoho prvků každého typu. Kombinace s opakováním Kombinace r-té třídy z n prvků s opakováním je kombinace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro množinu prvků s typy a, b, c, n = 3 a r = 2 (a, a) (b, b) (c, c) (a, b) (a, c) (b, c) jsou všechny možné kombinace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.

22 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze

23 Pravidla součinu a součtu Pravidlo součinu Máme-li n možností pro výběr A a pak dalších m možností pro výběr B, potom výběr uspořádané dvojice (A, B) se uskuteční n m možnostmi. Example Počet K dvouciferných čísel dělitelných 2: K = 9 5 = 45.

24 Pravidla součinu a součtu Pravidlo součtu Máme-li n možností pro výběr A a pak nezávisle m dalších možností pro výběr B, potom výběr A nebo B se uskuteční n + m možnostmi. Example Počet K čísel od 1 do 99 dělitelných 2: A: jednociferné číslo dělitelné 2 B: dvouciferné číslo dělitelné 2 K A = 4 K B = 9 5 = 45 K = K AneboB = = 49

25 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze

26 Počet permutací, variací, kombinací Počet permutací množiny s n prvky P n = n (n 1)... 1 = n! Například pro n = 3: P 3 = = 6. faktoriál

27 Počet permutací, variací, kombinací Počet permutací s opakováním množiny s n prvky P i 1,...,i k n = n! i 1! i k! Například pro n = 4,i 1 = 2,i 2 = 1,i 3 = 1: P 2,1,1 3 = 4! 2!1!1! = = 12.

28 Počet permutací, variací, kombinací Počet variací r-té třídy z n prvků V r n = V (n, r) = n (n 1)... (n r + 1) = Například pro n = 3, r = 2: V 2 3 = 3 2 = 6. n! (n r)!

29 Počet permutací, variací, kombinací Počet variací r-té třídy z n prvků s opakováním Ṽn r = n } n {{... n} = n r r Například pro n = 3, r = 2: Ṽ 2 3 = 32 = 9.

30 Počet permutací, variací, kombinací Počet kombinací r-té třídy z n prvků C r n r! = V r n Cn r = V n r r! = n! n (n 1)... (n r + 1) = r!(n r)! r! Například pro n = 3, r = 2: C 2 3 = = 3.

31 Počet permutací, variací, kombinací Počet kombinací r-té třídy z n prvků s opakováním C r n = C r n+r 1 Například pro n = 3, r = 2: C 2 3 = C2 4 = = 6.

32 Vlastnosti kombinačních čísel C k n = C n k n C k n + C k+1 n = C k+1 n+1

33 Vlastnosti kombinačních čísel C k n = C n k n C k n + C k+1 n = C k+1 n+1

34 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze

35 Princip inkluze a exkluze Předpoklad: Máme N předmětů a vlastnosti A 1,..., A k. Označme: N i počet předmětů s vlastností A i, i = 1,..., k; N ij počet předmětů s vlastnostmi A i, A j, i, j = 1,..., k; atd. N i1,...i l počet předmětů s vlastnostmi A i1,..., A il. Potom počet ˆN 0 předmětů nemajících ani jednu z vlastností A 1,..., A k se rovná ˆN 0 = N S 1 + S 2 + ( 1) k S k, kde S l = N i1,...i l, 1<i 1 < <i l k l = 1,..., k

36 Demonstrace principu inkluze a exkluze Ve skupině je 25 studentů. Z nich 20 ukončilo semestr úspěšně, 12 navštěvuje sportovní klub, přičemž 10 z nich ukončilo semestr úspěšně. Kolik neúspěšných studentů nechodí do sportovního klubu? Řešení: N 1 = 20, N 2 = 12, N 12 = 10, ˆN 0 = 25 ( ) + 10 = 3.

37 Demonstrace principu inkluze a exkluze Ve skupině je 25 studentů. Z nich 20 ukončilo semestr úspěšně, 12 navštěvuje sportovní klub, přičemž 10 z nich ukončilo semestr úspěšně. Kolik neúspěšných studentů nechodí do sportovního klubu? Řešení: N 1 = 20, N 2 = 12, N 12 = 10, ˆN 0 = 25 ( ) + 10 = 3.

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole

Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole Kombinatorika možnosti využití v učivu matematiky na základní škole Růžena Blažková, Irena Budínová Kombinatorika je matematická disciplína, která se zabývá rozdělováním, uspořádáváním, výběrem prvků z

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/1 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 4. Počet hodin týdně: 4 Počet hodin celkem: Tento plán vychází z rámcového vzdělávacího programu pro

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky

Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Jiří Fišer 30.zářía5.října2010 JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 1/12 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků.

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematika II. dvouletý volitelný předmět

Matematika II. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: O7A, C3A, S5A, O8A, C4A, S6A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem umožnit studentům dosáhnout lepší výsledky ve společné

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor002 Vypracoval(a),

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24)

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24) Kombinatorika 1. Variace 2. Permutace 3. Kombinace Název: I 1 9:11 (1 z 24) Název: I 1 10:02 (2 z 24) Variace Jsou to skupiny prvků, ve kterých: záleží na pořadí prvků značíme je Název: I 1 10:02 (3 z

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo

Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol VARIACE

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

Kombinatorický předpis

Kombinatorický předpis Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě

Více

Pracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností

Pracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností racovní list č. 4 očítáme s pravděpodobností Cíl cvičení: Tento pracovní list je určen pro cvičení předmětu Kvantitativní metody II (přednáška 3.1). Je zaměřen především pro práci s kalkulačkou, program

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Komentáře Schema 2 Vlastní provedení. Příklad 2.

Komentáře Schema 2 Vlastní provedení. Příklad 2. Příklad 2. Popíšeme předpoklady výpočtu pravděpodobnost výsledků hodu několika kostkami. Příklad prvého schematu ukázal, že rostoucím počtem mincí se mění relativní četnosti jednotlivých tvarů. Nyní tuto

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor001 Vypracoval(a),

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Opakovací test. Kombinatorika A, B

Opakovací test. Kombinatorika A, B VY_32_INOVACE_MAT_193 Opakovací test Kombinatorika A, B Mgr. Radka Mlázovská Období vytvoření: listopad 2012 Ročník: čtvrtý Tematická oblast: matematické vzdělávání Klíčová slova: maturita, přijímací zkoušky,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1. Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického

Více

Další vlastnosti kombinačních čísel

Další vlastnosti kombinačních čísel 9.. Další vlastnosti kombinačních čísel Předpoklady: 97, 98 Kombinační čísla udávají počet kombinací bez opakování = neuspořádaných k-tic sestavených z n prvků bez opakování. n! Platí: = - počet možností

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

ZÁKLADY INFORMATIKY. 1. Úvod do informatiky - pojem informace, vznik a vývoj teorie informace, osobnosti, přístupy, důvody pro vznik teorie informace.

ZÁKLADY INFORMATIKY. 1. Úvod do informatiky - pojem informace, vznik a vývoj teorie informace, osobnosti, přístupy, důvody pro vznik teorie informace. ZÁKLADY INFORMATIKY 1. Úvod do informatiky - pojem informace, vznik a vývoj teorie informace, osobnosti, přístupy, důvody pro vznik teorie informace. 2. Matematický aparát v teorii informace I. - teorie

Více

ř é Ů é ř ž ř é é ř ž ř Ů ř ř ř Ú é Í ř ř ř é Ž é Í ř é Ý ř ř é é é é ř ř ř é é ř é é ř é Ž ř Ý é ří ř Ř é ř ř Ž Ů ř ř ř Š Í ří ř ř řň é ř Ú řň é ř řň é ř Š ř ž é ř Ž ř Ž ř ř ř Ž Á Ž Ž Š ř ř ř ř ř é é

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dagmar Štěbrová. Kombinatorika ve škole

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky. Bakalářská práce. Dagmar Štěbrová. Kombinatorika ve škole UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Dagmar Štěbrová Kombinatorika ve škole Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a přírodopis se zaměřením na vzdělávání

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 4

Historie matematiky a informatiky Cvičení 4 Historie matematiky a informatiky Cvičení 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních tvarů a jejich

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 Obsah 1 Kombinatorika: princip inkluze a exkluze 2 Počítání

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Diskrétní matematika 2012/2013.

Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Diskrétní matematika 2012/2013. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Diskrétní matematika 2012/2013 Projekt číslo 3 jméno: Jiří Znoj login: zno0011 hodnotící: Mgr. Pavel Skalný Příklad:

Více

5.2 Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika 5.2.2 Cvičení z matematiky

5.2 Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika 5.2.2 Cvičení z matematiky 5.2 Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika 5.2.2 Cvičení z matematiky Ročník 2. Hodinová dotace Matematika 3 3 3 2 Cvičení z matematiky 0 0 R (2) R (2) Vyučovací předmět Matematika

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ Čas ke studiu kapitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít základní pojmy kombinatoriky vztahy pro výpočet kombinatorických úloh - 6 -

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Kombinatorika, výpočty

Kombinatorika, výpočty Kombinatorika, výpočty Radek Pelánek IV122 Styl jednoduché výpočty s čísly vesměs spíše opakování + pár dílčích zajímavostí užitečný trénink programování Kombinace, permutace, variace Daná množina M s

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104 9.1.6 Permutace I Předpoklady: 9101, 9102, 9104 Pedagogická poznámka: První tři příklady jsou opakování, je možné je přeskočit, nebo použít na zkoušení. Př. 1: Vyřeš slovní úlohy. a) Na plese se losuje

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:

Více

Mgr. Marcela Sandnerová

Mgr. Marcela Sandnerová Mgr. Marcela Sandnerová Základní kombinatorická pravidla Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součtu Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1 Kolika způsoby si může Pavel připravit

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček

Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Pravděpodobnost Mezi veřejností synonymum pro neurčitost Mihlo se kolem ní spousta význačných matematiků Starověk a středověk málo materiálů Jeden z mála

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Čtyřleté gymnázium MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Čtyřleté gymnázium MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu: 1 z 14 Čtyřleté gymnázium MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu: Obsahové vymezení: Vyučovací předmět matematika pokrývá vzdělávací oblast Matematika a její aplikace, stanovenou RVPGV. Vzdělávací

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_42_INOVACE_M.2.01 Integrovaná střední škola

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Algebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita

Algebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita Algebra - druhý díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Permutace 2 Grupa permutací 3 Více o permutacích

Více

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně Dodatek č.. Školního vzdělávacího programu Obchodní akademie Lysá nad Labem, obor -1-M/0 Obchodní akademie, platného od 1. 9. 01 - platnost dodatku je od 1. 9. 015 Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 3 Příklad 1 a) Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejichž desítkovém zápisu se vyskytuje každá číslice nejvýše jednou s tím, že na prvním místě nesmí stát nula, jak je obvyklé při chápání

Více