Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16

Transkript

1 Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

2 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální diferenciál Derivace složené funkce Literatura Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

3 Definice limity Definice Je dánafunkce f: D f R n R, boda jehromadný bodd f, může ale nemusípatřitdod f.řekneme,že funkce f mávbodě A R n limitu L R,jestliže ke U ε (L) okolí Uδ(A)tak,že pro X Uδ(A) D f je f(x) U ε (L). Tj.ke ε > 0 δ > 0 tak,že pro X D f ; 0 < d(x,a) < δ je f(x) L < ε. Píšeme: Funkce má nejvýš jednu limitu! lim f(x)=l X A Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

4 Věty o limitách Větaosoučtu,rozdílu,součinuapodílulimit je stejnájakoufunkce jedné proměnné. Věta 1) Je-li f omezenána Uδ(A) D f azároveň lim g(x)=0, pak X A lim f(x) g(x)=0. X A 2) Necht existuje lim t b h(t), lim X A f(x)=baexistuje Uδ(A), že pro X Uδ(A) je f(x) b.pak lim h(f(x))=limh(t). X A t b Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

5 Příklad Příklad: Určete lim X O sin(x 2 +y 2 +z 2 ) x 2 +y 2 +z 2 Řešení: sin(x 2 +y 2 +z 2 ) lim X O x 2 +y 2 +z 2 = t=x 2 +y 2 +z 2 t 0 sint = lim = 1. t 0 t Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

6 Spojitost Definice Je dánafunkce f: D f R n R; A D f. Řekneme,že f je spojitávbodě A, jestližeke U ε (f(a)) U δ (A) tak,že platí: Je-li X D f U δ (A) f(x) U ε (f(a)). Jinými slovy:ke ε > 0 δ > 0tak,že pro X D f ; d(x,a) < δ je f(x) f(a) < ε. Závěr:Funkce f jespojitávbodě A D f, právě když A jeizolovaný bod D f, nebo A jehromadný a lim X A f(x)=f(a). Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

7 Parciální derivace Definice Je dánafunkce z=f(x,y), bod A=[a,b] je vnitřní boddefiničního oboru. Potom parciální derivace funkce f podle proměnné x je f x(a)= f (A)= lim x h 0 že limita existuje. f(a+h,b) f(a,b), za předpokladu, h Podobně parciální derivace funkce f podle proměnné y je f y f (A)= (A)= lim y h 0 že limita existuje. f(a,b+h) f(a,b), za předpokladu, h Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

8 Geometrický význam parciální derivace Ufunkce jednéproměnnébyladerivace f (x) x=a číselněrovna směrnicitečnykegrafufunkce f vboděa. y f (a)=tanα f(x) t f(a) T α a x Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

9 Geometrický význam parciální derivace z z=f(x,y) T β y x α T 1 tanα= f x (T 1) tanβ= f y (T 1) Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

10 Geometrický význam parciální derivace,tečná rovina Parciální derivace funkce f(x, y) podle x je číselně rovna směrnici tečny kegrafufunkce vesměruosyx,podobněpro proměnnouy, viz obrázek. Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

11 Tečná rovina, totální diferenciál Definice Předpokládáme, že funkce f(x, y) je definována v nějakém okolí bodu A[ a, b]. Říkáme, že z=p(x a)+q(y b)+f(a,b), p, q R je tečnárovina kplošez=f(x,y) vbodět[a,b,f(a,b)], jestliže lim X A Definice r(x, y) = 0, kde r(x,y)=f(x,y) f(a,b) p(x a) q(y b). d(x,a) Předpokládáme, že funkce f(x, y) je definována v nějakém okolí bodu A[ a, b]. Říkáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A (má v bodě A totální diferenciál), jestliže existuje lineární funkce p(x a)+q(y b), p, q R taková, Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

12 Tečná rovina, totální diferenciál že funkce r(x, y), definovaná výše, splňuje lim X A r(x, y) d(x,a) = 0. Pak funkci p(x a) + q(y b) nazýváme totální diferenciál funkce f v bodě A a značíme df, dz, df(x, A). df(x,a)=p(x a)+q(y b), p, q R. Platí Má-li plochaz=f(x,y) vbodět[a,b,f(a,b)] tečnourovinu (nikoli rovnoběžnousosouz), pakmá funkcez=f(x,y) vboděa[a,b] totální diferenciál a naopak. Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

13 Totální diferenciál Věta Necht funkce f má v bodě A totální diferenciál, pak je vbodě A spojitá. Věta Necht funkce f má v bodě A totální diferenciál, pak má v bodě A parciální derivace a platí: p= f f (A) q= x y (A), tj. df(x,a)=f x(a)(x a)+f y(a)(y b). Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

14 Totální diferenciál Věta Necht funkce f máv U δ (A) parciální derivace f x(x), f y(x) a tyto derivace jsou spojité v A. Pak má f v bodě A totální diferenciál (je vbodě A diferencovatelná). Platí Totální diferenciál můžeme psát ve tvaru df(x,a)=f x (A)dx+f y (A)dy, přičemž dx, dy jsoutotálnídiferenciály funkcí ϕ(x,y)=x, ψ(x,y)=y. Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

15 Derivace složené funkce Věta Necht f, g mají totální diferenciál v bodě A, necht h má totální diferenciál v bodě B =[f(a), g(a)]. Pak složená funkce h(f, g) má totální diferenciál v bodě A a platí z x z y (A)= z u (A)= z u (B) u x (B) u y kdez=h(u,v), u=f(x,y), v=g(x,y) z v (A)+ (B) v x (A) z v (A)+ (B) v y (A) Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16

16 Použitá literatura [1] J. Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnných, skriptum ČVUT, 2005 [2] J. Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnných, skriptum ČVUT, 2005 [3] L. Průcha: Řady, skriptum ČVUT, 2005 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září / 16