Didaktika symetrie molekul

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Didaktika symetrie molekul"

Transkript

1 Přírodoědecká fakulta Masarko unierzit Brně katedra teoretické a fzikální chemie Didaktika smetrie molekul diplomoá práce duben 999 Olga Ianičoá

2 Děkuji Doc. RNDr. Palu Kubáčkoi, CSc za rad a připomínk, které mi pomohl při pracoání diplomoého úkolu.

3 OBSAH. Úod...5. Operace a prk smetrie Identita, operace identit Os rotace, operace rotace Roin smetrie, operace zrcadlení Střed smetrie, operace inerze Rotačně reflexní os, rotačně reflexní operace (nelastní rotace).... Základní pojm a ztah z teorie grup Skládání operací smetrie Grup Bodoé grup smetrie Bodoé grup C, C i, C s Bodoé grup C n, C n, C nh Bodoé grup D n, D nh, D nd Kubické grup Úplná rotační grupa Ireducibilní reprezentace Nedegeneroané reprezentace Degeneroané reprezentace Reducibilní reprezentace Některé bezprostřední důsledk smetrie Dipóloý moment Chiralita Extrém energie při změně smetrie molekul Aplikace na chemickou azbu Konstrukce molekuloých orbitalů Konstrukce interakčních diagramů Aplikace na molekuloé ibrace...48

4 . Dodatk Inerzní operace Tříd prků grup Schéma k určení bodoé grup smetrie Označení ireducibilních reprezentací bodoých grup smetrie Tabulk charakterů nejdůležitějších bodoých grup Příklad na redukci reducibilních reprezentací Jahn Tellerů efekt Dodatek Matice Matice Násobení matic Maticoé reprezentace Charakter operací smetrie Literatura...77

5 Úod. ÚVOD Tento učební text je určen pro student odborného i učitelského studia chemie a je úodní částí do dalšího studia struktur molekul, kde se použíá pojmů a označení smetrie molekul. Text je psán e dou úroních. Prní úroeň, která toří základní text, je obsahem druhé až deáté kapitol. Druhá úroeň, která je určena náročnějším studentům, doplňuje základní text a je uedena dodatcích kapitolách a. Druhá kapitola je ěnoána jednotliým prkům a operacím smetrie. V dodatku. k této kapitole je ueden pojem inerzní operace a některé obecné ztah týkající se rotačně reflexní operace. Ve třetí kapitole jsou definoán základní pojm a ztah z teorie grup. Prní oddíl se zabýá skládáním operací smetrie jako binárních operací na množině šech operací smetrie dané molekul. Druhý oddíl je již ěnoán samotným grupám. Na šší úroni ( dodatku.) jsou ueden pojm: podgrupa, konjugoané prk a tříd prků grup. Jednotlié bodoé grup smetrie jsou popsán e čtrté kapitole. Pro účel tohoto textu jsem zolila jednodušší a názornější způsob určení příslušnosti molekul k bodoé grupě smetrie, a to pomocí prků smetrie dané molekul. V páté a šesté kapitole jsou zaeden matematické prostředk popisu smetrie molekul (tj. pojem reprezentace ireducibilní a reducibilní a charakter) bez použití maticoé algebr. Těmto kapitolám předchází ýklad o maticoé algebře, který toří samostatnou kapitolu uedenou jako dodatek. kapitola. Tento ýklad je určen studentům, kterým matematika nečiní potíže. Pojem reprezentace a charakter jsou zde zaeden (přesněji než páté kapitole) pomocí matic. Sedmá kapitola je ěnoána některým bezprostředním důsledkům plnoucím ze smetrie molekul. Jde o určení toho, má-li molekula dipóloý moment a je-li optick aktiní. Také je probrána skutečnost, že molekule při změně smetrie nutně přísluší extrém energie. V dodatku.7 je e zkratce ueden spíše jako zajímaost Jahn Tellerů efekt. V osmé kapitole je stručně uedeno užití poznatků ze smetrie molekul teorii chemické azb. V deáté kapitole jsou uedena praidla, pomocí kterých lze na základě smetrie molekul určit, jsou-li její ibrační přechod aktiní IČ nebo Ramanoě spektru. Celý učební text je doproázen obrázk tořenými primárně e formátu ektoroé grafik. Tato diplomoá práce je zpracoána e třech elektronických erzích: textoém editoru MS Word 97, Portable Document Format (PDF, Adobe Sstems' Acrobat) a hpertextoém formátu HTML. Všechn form jsou dostupné na URL: 5

6 Operace a prk smetrie. OPERACE A PRVKY SYMETRIE Každý má určitě intuitiní předstau o smetrii a dokáže určit, zda je nějaký objekt smetrický či asmetrický, nebo že má e sronání s jiným objektem šší nebo nižší smetrii. Například koule (obr..a) je smetričtější než krchle (obr..b), Obr.. a Obr..b protože se její zhled nezmění otočením okolo liboolného průměru o liboolný úhel. Vzhled krchle se nezmění při otáčení o 9, 8 nebo 7 okolo některé os o procházející střed protějších stran, nebo při otáčení o nebo 4 okolo některé os o procházející protějšími roh. Stejně tak molekula amoniaku NH je smetričtější než molekula od H O, protože molekula NH je přeedena do ekialentní poloh otočením o nebo 4 kolem os o (obr..a) a molekula od jen otočením o 8 kolem os o 4 (obr..b). Obr..a Obr..b Operace, po jejímž proedení je objekt nerozlišitelný od půodního objektu, se nazýá operace smetrie. Rozlišujeme 5 operací smetrie:. otáčení (tz. lastní rotace). zrcadlení (reflexe). inerze 4. otáčení kolem os složené se zrcadlením roině kolmé k ose otáčení (tz. nelastní rotace) 5. identita 6

7 Operace a prk smetrie Každé operaci smetrie přísluší nějaký prek smetrie, ůči kterému se příslušná operace smetrie proádí: k inerzi je to bod (střed inerze), k lastní rotaci přímka (osa rotace), k zrcadlení roina (roina zrcadlení), k nelastní rotaci dojice přímka a roina na ní kolmá (osa rotačně-reflexní) a k identitě celý objekt. Prk smetrie uedených operací (kromě nelastní rotace) jsou množin bodů, které při proedení příslušné operace nemění soji polohu. Operace smetrie, jim odpoídající prk smetrie a jejich označení: Prek smetrie Operace smetrie E celý objekt E identita Cn osa rotace Cn σ roina smetrie σ zrcadlení i střed smetrie i inerze Sn rotačně-reflexní osa S n rotace (o úhel π/n) nelastní rotace (složení rotace kolem os rotace o úhel π/n a zrcadlení roině kolmé k této ose) Podíejme se na jednotlié prk a operace smetrie podrobněji:.. Identita, operace identit Identita se proede tak, že se nic neudělá, odpoídajícím prkem smetrie je celý objekt. Protože šechn objekt jsou sam od sebe nerozlišitelné, kdž se s nimi nic neudělá, operace identit je operace smetrie šech objektů. Molekul, které nemají jinou operaci smetrie než E, se nazýají asmetrické (obr..) Obr.. Molekula CHClBrF.. Os rotace, operace rotace Vezměme ronostranný trojúhelník: při otáčení kolem os rotace, která prochází středem trojúhelníku a je kolmá na jeho roinu, přechází trojúhelník třikrát sám sebe (obr..4). Pro lepší názornost si rchol tohoto ronostranného trojúhelníka očíslujeme.! úmlua: Pokud není řečeno jinak, proádí se rotace e směru hodinoých ručiček.! 7

8 Operace a prk smetrie Obr..4 otočení (po pré) otočení (po druhé) otočení (po třetí) o úhel 6 o / o o úhel o, o úhel o, otočení celkem o otočení celkem o úhel x o 4 o úhel x o 6 o Tato osa rotace se nazýá trojčetná osa rotace a označuje se C. Index znamená, že objekt se po trojí aplikaci operace rotace (o úhel ) dostane do ýchozí poloh. Obecně: přechází-li objekt, při otáčení kolem os rotace o úhel 6 /n, n-krát sám sebe, nazýá se tato osa n-četná osa rotace a značí se C. Je zřejmé, že C (tj. osa otočení o 6 /) je totéž co E: n C E. Tento trojúhelník má ještě další tři dojčetné os rotace ( C, C, C ) které procházejí jedním z rcholů a středem protější stran (obr..5). Obr..5 otočení o otočení opět o 8 o, úhel 8 o celkem x8 o 6 o Operace rotace příslušné trojčetné rotační ose ( C ) se značí: C otočení o, C otočení o 4 a C otočení o 6 (obr..6). Stejně tak pro osu C se operace rotace značí: C otočení o 8 a C otočení o 6. Otočením kolem os C (resp. C ) o tj. o 6, což odpoídá operaci C (resp.o 8 6 C ), se trojúhelník rátil do sé půodní poloh. To znamená, že proedeme-li otočení kolem n-četné os n-krát, rátíme objekt do půodní poloh, tj. operace C n n je totožná s operací identit E: n C n E. 8

9 Operace a prk smetrie Obr..6 Jako další příklad ezměme čterec, který má jednu čtřčetnou rotační osu kolmou na roinu čterce (a čtři doučetné os ležící roině čterce). Proedemeli operaci C 4 (tj. otočení 9 8 kolem os C 4 ), obdržíme stejný ýsledek, jako kdbchom proedli operaci C (tj. otočení o 8 kolem os C ). To znamená, že současně s osou C 4 existuje osa C, která je s ní koincidentní (obr..7). Obr..7 Ukažme ještě tuto situaci na molekule benzenu. Operace příslušné ose C 6 jsou C 6, C 6, C 6, C 6, C 6 a C 6 E. Operace C 6 je ekialentní operaci C, operace C 6 4 operaci C a C 6 operaci C. Ted současně s osou C 6 existují i osc a C, které jsou s ní koincidentní (obr..8). Obr..8 Obecně můžeme říct, že n n f C C, kde n/f je celé číslo. f Má-li objekt íce rotačních os, nazýá se osa s nejšší četností hlaní osa. Na obrázku.9 jsou ueden příklad molekul s rotačními osami různé četnosti NH, benzen, ferocen a CO ( nekonečněčetná osa rotace). 9

10 Operace a prk smetrie Obr..9.. Roin smetrie, operace zrcadlení Zrcadlení roině smetrie je další z operací smetrie. Roina zrcadlení se nazýá roina smetrie (σ), jestliže je objekt po operaci zrcadlení (σ) této roině nerozlišitelný od půodního objektu. Molekula od H O má dě na sebe kolmé roin smetrie, jedna leží roině molekul (označíme ji σ ), druhá je kolmá na roinu molekul (označíme ji σ ), iz obr.. (pro názornost očíslujeme odík). Obr.. Zrcadlením roině σ (obr..) se H zobrazí na H, H na H a O na O. Obr.. Zrcadlením roině σ (obr..) se H zobrazí na H, H na H a O na O. Obr..

11 Operace a prk smetrie Je zřejmé, že každé roině smetrie σ přísluší jediná operace zrcadlení σ. Proedeme-li dakrát po sobě zrcadlení roině smetrie, dostaneme půodní molekulu, ted σ E (obr..). Obr.. Tp roin smetrie: a). Roina smetrie, která obsahuje hlaní osu, se nazýá ertikální roina smetrie a značí se σ. Např. molekula od má dě ertikální roin smetrie (iz. obr..), molekula chloroformu má tři σ (iz. obr..4). Obr..4 b). Roina smetrie, která je kolmá na hlaní osu, se nazýá horizontální roina smetrie a značí se σ h. Např. molekula fluoridu boritého má (kromě tří σ ) horizontální roinu smetrie (obr..5). Obr..5 c). Vertikální roina smetrie, která půlí úhel mezi děma doučetnými osami kolmými na hlaní osu, se nazýá dihedrální roina smetrie a značí se σ d. Např. molekula XeF 4 má (kromě jiných prků) dě dihedrální roin (obr..6).

12 Operace a prk smetrie Obr Střed smetrie, operace inerze Operaci inerze si můžeme jednoduše předstait takto: ezměme prostoru liboolné da bod P a I. Bod I zolíme za střed smetrie a bod P zobrazíme podle tohoto středu I. Obraz bodu P, označme ho P, bude ležet na přímce určené bod P a I e zdálenosti od středu smetrie I roné zdálenosti bodů P a I. Ted při operaci inerze se jednotlié bod objektu zobrazí přes střed smetrie na protější bod objektu. Např. molekula trans-,-dichlorethenu má střed smetrie, inerzí podle tohoto středu i se C zobrazí na C, C na C, H na H, H na H, Cl na Cl a Cl na Cl (obr..7). Obr..7 Proedeme-li dakrát po sobě operaci inerze, dostaneme identitu, tj. (obr..8). i E Obr..8 Má-li molekula střed smetrie, pak je tento střed smetrie společným bodem šech prků smetrie. Molekula trans-,-dichlorethen má tto prk smetrie: E, osu C, S *), σ h a i (obr..9a), benzen má: E, osu C 6, C, sedm os C, σ h, tři σ, tři σ d, i a S 6, S (obr..9b). *) S značí rotačně reflexní osu iz následující oddíl.5.

13 Operace a prk smetrie Obr..9a.9b.5. Rotačně reflexní os, rotačně reflexní operace (nelastní rotace) Operace smetrie složená z rotace kolem os o úhel 6 /n a zrcadlení roině kolmé k této ose, se nazýá rotačně-reflexní operace a značí se S. Mechanismus rotačně reflexní operace je znázorněn na obrázku. na molekule methanu: n Obr.. U rotačně-reflexní operace nezáleží na pořadí, e kterém proádíme dílčí operace. Stejný ýsledek, jako e ýše uedeném obrázku, obdržíme, kdž jako prní proedeme zrcadlení a pak rotaci. Molekula ethanu e střídaé konformaci má rotačně reflexní osu S 6, pro lepší názornost si ji zobrazíme jako da ronostranné trojúhelník nad sebou a jeden z rcholů označíme tečkou iz.obr..: Obr..

14 Operace a prk smetrie Všimněte si, že: operace S 6 je totéž co ( ) C, protože molekula je otočená o 6 6 C a dakrát zrcadlená ( σ E ), operace S 6 je stejná jako i, 4 S 6 C, protože se molekula otáčí o ( C ) a čtřikrát zrcadlí ( σ 4 σ E ) a 6 S E 6. Jen operaci S 6 a 5 S 6 nelze ztotožnit s žádnou jinou operací. Molekula BF má trojčetnou rotačně-reflexní osu (S ), na obr.. jsou ueden jednotlié operace S, pro lepší názornost je molekula znázorněna jako ronostranný trojúhelník a jeden z rcholů označen šipkou: Obr.. Všimněte si, že: operace C S, protože molekula je otočená o 6 4 ( C ) a dakrát zrcadlená ( σ E ), S σ (nikoli E), molekula se otáčí o 6 6 ( E) a třikrát zrcadlí ( σ σ ), 4 S C, molekula je otočná o ( C ) a 4 čtřikrát zrcadlená ( σ E ) 6 6 a S E E a σ E. Operace S a, protože ( ) 5 S nelze ztotožnit s žádnou jinou operací. Z ýše uedeného plne, že se musí rozlišoat da případ: pro n sudé (např. osa S 6 ) a pro n liché (např. osa S ). Pokud má čtenář zájem dozědět se íce o prcích a operacích smetrie, dodatku. jsou ueden inerzní operace k jednotliým operacím smetrie a poznámce na konci tohoto dodatku jsou ueden některé obecné ztah týkající se rotačně reflexní operace. 4

15 Základní pojm a ztah z teorie grup. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Z TEORIE GRUP Našim cílem nebude hluboké zládnutí abstraktní teorie grup. Pro popis molekulární smetrie stačíme jen se základními pojm a ztah této matematické teorie. Volně řečeno, grupa je skupina (množina) objektů, jejichž indiiduální lastnosti jsou podmíněn nazájem: má-li objekt do grup patřit, musí respektoat lastnosti celku. Grupa je těsným kolektiem. Takže je často rozumnější, užitečnější hoořit o skupině (o grupě) jako o celku, než o jejich jednotliých součástech. Nejzáažnější lastností objektů grupě, která je zájemně poutá, je to, že kombinoáním (složením) dou objektů grup zniká objekt, který patří opět do téže grup. Jak to souisí se smetrií? Jednoduše: šechn smetrické operace (např. otočení nebo zrcadlení), které můžeme se smetrickou molekulou proádět, toří grupu. To, co tto operace nazájem poutá do grup je skutečnost, že proedeme-li dě operace po sobě ( kombinujeme je, složíme je), dostaneme ýsledek dosažitelný také proedením jediné operace smetrie z té stejné grup. Je proto užitečné začít tím, že si upřesníme naše dosaadní znalosti o skládání operací smetrie tak, abchom mohli užít jednoduché matematik grup k posuzoání chemických důsledků molekuloé smetrie... Skládání operací smetrie Skládáním (nebo-li násobením ) operací smetrie rozumíme jejich postupné proedení. Například u molekul od, která má tto operace smetrie: E, C, složení (násobení) operace C s operací kolem os C a pak se zrcadlí roině σ a σ, σ znamená, že molekula se otočí o 8 σ (iz obr..). Obr.. Toto složení zapíšeme: σ C a čteme: operace zrcadlení σ následuje po operaci otočení C. Výsledkem skládání operací smetrie molekul je zase nějaká operace smetrie této molekul. V našem případě je ýsledkem skládání σ C (obr..). σ, píšeme: σ 5

16 Základní pojm a ztah z teorie grup Obr.. Výsledek skládání operací smetrie nemusí, ale může záiset na pořadí, e kterém operace proádíme, tj. skládání operací smetrie obecně není komutatiní. Skládání operací smetrie molekul od je komutatiní (tzn. nezáleží na pořadí, e kterém tto operace proádíme): σ C C σ σ. Pro molekulu amoniaku, která má tto operace smetrie: E, C, σ, skládáním např. operace C s operací kdbchom proedli operaci σ, tj. σ σ C, σ, σ a σ dostaneme stejný ýsledek, jako C (iz obr..). Obrátíme-li pořadí operací, ýsledkem bude operace σ, to znamená, že C σ σ a σ C Cσ (iz obr..4). Ted skládání operací smetrie molekul NH není komutatiní. Obr.. 6 Obr..4

17 Základní pojm a ztah z teorie grup Výsledk skládání (násobení) každých dou operací smetrie molekul od resp. amoniaku můžeme zapsat do tz. multiplikační tabulk (tabulka. resp..). Tabulka. multiplikační tabulka operací smetrie molekul H O E C E E C σ σ σ σ C C E σ σ σ σ σ E C σ σ σ C E Tabulka. multiplikační tabulka operací smetrie molekul NH E C C σ σ σ E E C C C C C σ C E σ σ σ C E C σ σ σ σ σ E σ σ σ σ C C σ σ σ σ C E C σ σ σ σ C C E.. Grup Grupou rozumíme množinu prků (prk mohou být předmět, pojm, čísla apod.), mezi nimiž existují určité binární ztah. Uažujme množinu prků {A,B,C,...,K,L,...}, ab se o této množině mohlo říci, že je grupou, musí splňoat následující čtři podmínk:. musí být definoána operace, která liboolným děma prkům množin přiřadí prek téže množin. Označme tuto operaci například operace hězdička, pak můžeme psát: A B K.. pro danou operaci musí platit asociatiní zákon. To znamená, že pro liboolné tři prk A, B, C množin platí: (A B) C A (B C).. grupě musí existoat takoý prek (značí se E), ab pro liboolný prek A grup platil ztah: A E E A A. Tento prek E se nazýá neutrální prek grup. 7

18 Základní pojm a ztah z teorie grup 4. ke každému prku A grup musí existoat jiný prek A - téže grup, pro který platí: A A - A - A E. Prek A - se nazýá inerzní prek prku A dané grupě. Grupoá operace obecně není komutatiní. Platí-li grupě pro každé da prk ztah: A B B A, nazýá se grupa komutatiní (Abeloa) grupa. Počet prků grup označuje řád grup a značí se písmenem h. Grupa může být konečná i nekonečná. Pro konkrétnější předstau uedeme jednoduché příklad nekonečné i konečné grup: a). Toří množina šech celých čísel (Z) s operací sečítání grupu? To zjistíme oěřením čtř podmínek definujících grupu:. Operace přiřazuje každým děma celým číslům celé číslo, např Sečteme-li prní dě čísla a pak k jejich součtu přičteme číslo třetí, dostaneme stejný ýsledek, jako kdž k prnímu číslu přičteme součet prního a druhého čísla, např. ( ) ( ).. Neutrálním prkem, pro operaci sečítání množině šech celých čísel, je nula, např Inerzním prkem ke kladnému číslu (při operaci sečítání) je číslo záporné a naopak, např. 5 (-5) Všechn čtři podmínk jsou splněn, ted množina šech celých čísel s operací sečítání toří nekonečnou grupu. Naíc tato grupa je komutatiní, protože sčítání je komutatiní operace. b). Bude také množina šech celých čísel s operací násobení tořit grupu? Podmínk. a. platí, neutrálním prkem je jednička, ale inerzním prkem k celému číslu při operaci násobení není celé číslo (např. k číslu 5 je inerzní ~ 5 5 5, ale není celé číslo). Ted množina šech celých čísel s operací násobení netoří grupu. c). Příkladem konečné grup je množina kompexních čísel {,-, i, -i}, která toří konečnou grupu 4. řádu s operací násobení komplexních čísel. Pozn.: i -. d). Nní ukážeme, že množina šech operací smetrie nějaké molekul s operací skládání (iz. oddíl.) toří grupu. Jako příklad ezměme opět molekulu od, která má tto operace smetrie: E, C, σ a σ.. podmínka je splněna (iz. oddíl. a multiplikační tabulka.). Platnost. podmínk je zřejmá, kdž opět použijeme multiplikační tabulku.: např.: ( EC ) σ E( C ) leá strana: praá strana: σ C Cσ σ EC, C σ σ, Eσ σ 8

19 Základní pojm a ztah z teorie grup. podmínka: neutrálním prkem je samozřejmě operace identit E. Pozn.: Operace identit E, i kdž se zdála být zbtečná, se zaádí práě kůli této podmínce definici grup. 4. podmínka: každá operace smetrie má soji inerzní operaci (značí se indexem ) iz. dodatek.. K operaci C je inerzní operace C -, což znamená proedení této operace, ale opačném směru, tj. proti směru hodinoých ručiček. - -,, - - σ σ σ E - - σ σ σ E EE E E E - - C C C C E σ, σ. Všechn čtři podmínk jsou splněn a množina šech operací smetrie od s operací skládání ted toří konečnou grupu 4. řádu. V dodatku. jsou ueden další pojm a ztah z teorie grup (podgrupa grup, konjugoané prk grup, tříd prků grup). Rozdělení prků (operací smetrie dané molekul) grup do tříd čtenář uplatní e ýkladu o tabulkách charakterů kapitole 5. 9

20 Bodoé grup smetrie 4. BODOVÉ GRUPY SYMETRIE Jak již blo uedeno kapitole.: množina šech operací smetrie dané molekul s operací skládání toří grupu. Tto grup se nazýají bodoé grup, protože při aplikaci liboolné operace grup zůstáá beze změn alespoň jeden bod prostoru. Příslušnost molekul k bodoé grupě určíme snadno podle prků smetrie této molekul, ale je třeba mít na paměti, že grupu toří operace smetrie nikoli prk smetrie molekul. Pro označení jednotliých bodoých grup použijeme nejčastěji užíanou Schönfliesou smboliku. 4.. Bodoé grup C, C i, C s Do bodoé grup C patří asmetrické molekul, které mají jediný prek smetrie: C E. Asmetrická je např. molekula CHFClBr na obr. 4.. Obr. 4. Do bodoé grup C i náleží molekul, které mají prk smetrie: E a střed smetrie i. Protože operace i S, můžeme grupu C i značit také S. Jako příklad uedeme kselinu mezoinnou (obr. 4.). Obr. 4. Molekul, které patří do bodoé grup C s, mají identitu a roinu zrcadlení. V tomto případě nelze rozlišit, zda jde o horizontální nebo ertikální roinu smetrie, to znamená, že σ h σ (iz obr. 4.) a grupu C s můžeme značit i C nebo C h.

21 Bodoé grup smetrie Obr. 4. molekula fenolu a chinolinu 4.. Bodoé grup C n, C n, C nh Molekul patří do bodoé grup C n, jestliže mají pouze identitu a n-četnou osu rotace. Například molekula peroxidu odíku H O (obr. 4.4), má smetrii bodoé grup C. Připomínáme, že C E iz 4.. Obr. 4.4 Molekula, která má n-četnou hlaní osu a n ertikálních roin smetrie, náleží do bodoé grup C n. (Připomínáme, že C C h C s iz 4..) Například molekula od, formaldehdu nebo fenanthrenu (obr. 4.5) má prk smetrie: E, osu C a dě roin σ, patří ted do bodoé grup C. Obr. 4.5 Molekula amoniaku nebo chloroformu má E, osu C a tři σ (obr. 4.6), takže patří do bodoé grup C. Do bodoé grup C 4 naleží například XeOF 4.

22 Bodoé grup smetrie Obr. 4.6 Molekul nebo iont, jako je HCl, CO nebo SCN -, mají nekonečně četnou osu rotace a také nekonečně mnoho ertikálních roin smetrie (obr. 4.7), toří ted nekonečnou bodoou grupu C, (tato grupa se také někd nazýá grupa smetrie kužele). Obr. 4.7 Do bodoé grup C nh náleží molekul, které mají n-četnou hlaní osu a horizontální roinu smetrie σ h. Je-li n sudé, má molekula také střed smetrie. Příkladem je molekula trans,-dichlorethenu (obr. 4.8), která patří do bodoé grup C h. Do bodoé grup C h patří například kselina orthoboritá (obr. 4.9). Obr. 4.8 Obr Bodoé grup D n, D nh, D nd Molekula, která má n-četnou hlaní osu a n doučetných os na ni kolmých, náleží do bodoé grup D n. Molekul patřící do bodoé grup D mají da prk smetrie. E a C, proto grupa D je ekialentní bodoé grupě C, tj. D C. Molekul, které mají hlaní osu C n (n>), n os C kolmých na C n, (n ertikálních roin smetrie, nichž leží os C ) a horizontální roinu smetrie σ h, patří do bodoé grup D nh. Je-li n sudé, molekula má střed smetrie. Příkladem molekul patřící do bodoé grup D h je naftalen (obr. 4.). Planární molekula BF náleží do bodoé grup D h (obr. 4.). Nejznámějším příkladem molekul se smetrií D 6h je benzen (obr. 4.).

23 Bodoé grup smetrie Obr. 4. Obr. 4. Obr. 4. Molekul, které mají hlaní osu C, nekonečně mnoho os C kolmých na C a roinu σ h, přísluší bodoé grupě D h, takoými molekulami jsou např. O, CO, acetlen (HCCH) nebo N uedený na obr. 4., (tato grupa se také někd nazýá grupa smetrie álce). Obr. 4. Molekul příslušející bodoé grupě D nd mají n doučetných os kolmých k hlaní ose C n a n dihedrálních roin smetrie σ d, které půlí úhl mezi doučetnými osami. Je-li n liché mají molekul i střed smetrie. Příkladem molekul náležící grupě D d je molekula ethanu e střídaé konformaci (obr. 4.4), která má prk smetrie E, C, C, σ d, S 6 a i. Obr. 4.4 Ferocen e střídaé konformaci (obr. 4.5a) má 5 četnou hlaní osu, pět os C kolmých na osu C 5, pět σ d (obsahují diagonálu sousedních C ) a patří ted do bodoé grup D 5d. Ošem ferocen zákrtoé konformaci (obr. 4.5b) přísluší bodoé grupě D 5h, protože má hlaní osu C 5, pět os C kolmých na C 5, pět σ (každá obsahuje jednu osu C ) a roinu σ h. Obr. 4.5a Obr. 4.5b

24 Bodoé grup smetrie 4.4. Kubické grup Molekul, které mají íce než jednu osu s četností ětší jako da, náleží do kubických grup. Tto bodoé grup se rozdělují na tetraedrické grup T, T d a T h, oktaedrické grup O, O h a ikosaedrické grup I h. Molekul patřící do bodoé grup T d mají čtři os C, tři os C a šest diagonálních roin smetrie σ d. Bodoá grupa T d je grupou praidelného čtřstěnu, patří sem napřílklad CH 4 (obr. 4.6), CCl 4, Ni(CO) 4, [CoI 4 ] -. Obr. 4.6 Čtři os C jsou tělesoými úhlopříčkami krchle, tři os C jsou přímk spojující střed protilehlých stěn krchle. Roin σ d procházejí šemi dojicemi diagonálně protilehlých rcholů krchle Molekul nebo iont s oktaedrickou strukturou (obr. 4.7) přísluší bodoé grupě O h. Jako příklad uedeme SF 6, [SiF 6 ] -, IO 6 5 -, Mo(CO) 6. Molekul nebo iont s ikosaedrickou strukturou náleží bodoé grupě I h. Sem patří například některé boran, elementární bor B (krstaloá struktura α- romboedrická) nebo na obr. 4.8 uedený buckminsterfullern C 6. Obr. 4.7 Některé tpické prk smetrie praidelného oktaedru Obr Úplná rotační grupa Úplná rotační grupa R h je bodoá grupa kuloé smetrie. Tato grupa se skládá z nekonečně mnoha os rotací se šemi možnými hodnotami čísla n, které prochází středem inerze a z nekonečně mnoha roin smetrie procházejících středem inerze. Nejdůležitější bodoé grup smetrie jsou shrnut tabulce 4. 4

25 Bodoé grup smetrie Tabulka 4. Nejdůležitější bodoé grup smetrie Bodoá grupa molekul Prk smetrie nebo tar molekul C E C i i C s σ C n C n C n C n nσ C nh C n σ h D n C n nc (kolmých na C n ) D nh C n nc (kolmých na C n ) nσ σ h D nd C n nc (kolmých na C n ) nσ d T d tetraedr O h oktaedr nebo krchle R h koule V dodatku. je uedeno schéma k určení bodoé grup smetrie. 5

26 Ireducibilní reprezentace 5. IREDUCIBILNÍ REPREZENTACE Této kapitole předchází ýklad o maticoé reprezentaci operací smetrie. Studenti, kterým matematika nečiní potíže, si jej mohou přečíst kapitole. 5.. Nedegeneroané reprezentace Pojm ireducibilní a nedegeneroaná reprezentace budou sětlen průběhu ýkladu. V této kapitole se naučíme popisoat smetrii molekul pomocí čísel reprezentujících operace smetrie. Tato čísla reprezentující operace smetrie se nazýají charakter a značí se řeckým písmenem χ (chí). Pro následující ýklad zolíme kartézskou souřadnou soustau tak, že hlaní osa smetrie bude totožná s osou z. Dále uažujme působení operací smetrie grup C na orbital tpu p: Působením operace E a σ xz se orbital p x nezmění iz obr. 5.. Proto operace E a σ xz bázi orbitalu p x budou reprezentoán číslem ), což se dá algebraick jádřit: Ep x ( ) a χ( σ ). px a σ xz px px, tj. χ E xz Obr. 5. Operace C a σ z mění znaménko orbitalu p x na opačné iz obr. 5.. Operace E a σ z bázi p x budou reprezentoán číslem, příslušný algebraický zápis je: C p ( ) a χ( σ ). px a σ z px px, tj. χ z x C Obr. 5. ) V maticoém jádření (dodatek. a.4) se jedná o triiální matici () bázi p x, charakterem příslušné operace je ted číslo. 6

27 Ireducibilní reprezentace V tabulce 5. jsou shrnut charakter operací smetrie grup C bázi p x : Tabulka 5. Charakter operací smetrie grup C bázi p x C E C σ xz σ z B Tato čteřice čísel (charakterů) určuje, jak se orbital p x transformuje působením šech operací smetrie grup C a nazýá se ireducibilní reprezentace grup C bázi orbitalu p x (značí se smbolem B ) ). Jestliže tato čteřice čísel reprezentuje operace smetrie grup C, musí také reprezentoat skládání těchto operací. Podle oddílu. (ěnoanému skládání operací) grupě C platí: C σ xz σ z, σ z σ z E apod. Toto skládání ( násobení ) operací smetrie odpoídá násobení čísel (charakterů) reprezentujících příslušné operace smetrie: C σ z σ σ xz z σ z E ( ) atd. Operací E a σ xz se znaménko orbitalu p x nezměnilo, proto říkáme, že orbital p x je smetrický zhledem k E a σ xz grupě C. Operace C a σ z mění znaménko orbitalu p x, říkáme ted, že je antismetrický zhledem k C a σ z grupě C. Dále budeme uažoat působení operací smetrie grup C na orbital p iz obr. 5.. Ep C σ σ xz z p p p p χ( E) p p p χ χ χ ( C ) ( σ ) xz ( σ ) z Obr. 5. Orbital p ted patří do ireducibilní reprezentace B uedené tabulce 5.: Tabulka 5. Ireducibilní reprezentace grup C bázi p C E C σ xz σ z ) Praidla pro značení ireducibilních reprezentací jsou uedena dodatku.4. 7

28 Ireducibilní reprezentace B Na obrázku 5.4 jsou znázorněn transformace orbitalu p z působením operací smetrie grup C : Ep C σ σ z z z p z p p z z pz χ( E) pz χ C pz χ σ p χ σ z ( ) ( ) xz ( ) z Obr. 5.4 Orbital p z se nemění působením žádné operace smetrie grup C, je ted grupě C úplně smetrický. Ireducibilní reprezentace A, do které orbital p z patří, se nazýá úplně smetrická. (Kuloě smetrický orbital s je také úplně smetrický a patří do úplně smetrické ireducibilní reprezentace každé bodoé grupě smetrie.) Tabulka 5. Ireducibilní reprezentace grup C bázi p z C E C σ xz σ z A Nní uažujme působení operací smetrie grup C na orbital d x iz obr. 5.5: Ed C σ σ xz z x d d d x x x d d d d x x x x χ χ χ χ ( E) ( C ) ( σ ) xz ( σ ) z Obr

29 Ireducibilní reprezentace Ted orbital d x přísluší ireducibilní reprezentaci A uedené tabulce 5.4: Tabulka 5.4 Ireducibilní reprezentace grup C bázi d x C E C σ xz σ z A Všechn čtři ireducibilní reprezentace (A, A, B a B ) jsou ueden tabulce 5.5: Tabulka 5.5 Tabulka charakterů grup C C E C σ xz σ z A z x,, z A x R z B x xz R B z R x Tabulka 5.5 se nazýá tabulka charakterů grup C a obsahuje šechn existující ireducibilní reprezentace grup. V posledním sloupci tabulk 5.5 jsou ueden báze příslušných ireducibilních reprezentací. Jsou to orbital p a d, u kterých se zapisují pouze index, protože například souřadnice x se transformuje stejně jako orbital p x, podobně funkce x se transformuje stejně jako orbital d x. Dále jsou zde ueden rotace R x, R a R z kolem os x, a z (iz kapitola 9). Některé speciální tabulk mohou obsahoat i funkce příslušející f orbitalům, polarizabilitu apod. Tabulk charakterů nejdůležitějších bodoých grup jsou ueden dodatku.5. Prní sloupec tabulk 5.5 obsahuje označení ireducibilních reprezentací. Praidla pro značení ireducibilních reprezentací jsou uedena dodatku Degeneroané reprezentace Pojem degeneroané reprezentace (tím i nedegeneroané reprezentace) si sětlíme na příkladě transformací atomoých orbitalů p x a p působením operací smetrie grup C 4. Při operaci C 4 (tj. rotaci o 9 kolem os z) se orbital p x transformuje na orbital p a orbital p na p x iz obr. 5.6: Obr

30 Ireducibilní reprezentace Po operaci smetrie je molekula nerozlišitelná od půodní molekul, tzn., že se nesmí měnit ani její energie. Ted jsou-li da orbital operací smetrie zájemně zaměňoán, musí mít stejnou energii, tj. jsou degeneroané a toří (společně) bázi jedné degeneroané ireducibilní reprezentace příslušné grup. Charakter tořící tuto degeneroanou reprezentaci zjistíme tak, že si napíšeme matice reprezentující operace grup C 4 bázi (p x, p ) a určíme součet diagonálních elementů iz kapitola, nebo užijeme následujícího trzení: (5.) Transformuje-li se íce orbitalů současně, pak charakterem rozumíme součet charakterů odpoídajících jednotliým orbitalům, které po transformaci zůstáají na půodním místě, nebo mění jen sé znaménko. Po operaci E zůstáají oba orbital na sém místě, charakter ted je. Při operaci C 4 se transformuje orbital p x na orbital p a orbital p na p x (iz obr. 5.6), proto je charakter nuloý. Zrcadlením roině σ d se p x transformuje na p a naopak (obr. 5.7a), ted χ( σ d ). Po operaci σ xz zůstáá orbital p x na sém místě a orbital p změní znaménko (obr. 5.7b), tj. χ( σ xz ) ( ). Podobně se určí charakter zbýajících operací. a). b). Obr. 5.7a, b V tabulce 5.6 jsou ueden charakter šech operací smetrie grup C 4 bázi (p x, p ): Tabulka 5.6 Degeneroaná ireducibilní reprezentace grup C 4 bázi (p x,p ) C4 E C4 C4 C 4 C σxz σ z σ z σ d E! K " K "! " " K "! " " K 4 "! " " " K 5 "! " Podle dodatku. operace C4 a K ), stejně tak C 4 patří do téže tříd ( tabulce 5.6 označené σ a σ xz a σ z patří do jedné tříd (K 4 ) a do další tříd (K 5 ) patří d d σ, operace E a C toří samostatné tříd (označené K a K ). Jelikož šechn operace patřící do téže tříd mají stejný charakter, lze zapsat tabulku 5.6 stručněji (počet prků tříd K i se píše horní řádce před operací smetrie) iz tabulka 5.7:

31 Ireducibilní reprezentace Tabulka 5.7 Degeneroaná ireducibilní reprezentace grup C 4 bázi (p x,p ) C E C 4 4 C σ σ d E (x,), (xz,z) Působením operací smetrie grup C 4 se orbital p x a p zájemně zaměňují (jsou degeneroané), a proto toří bázi degeneroané ireducibilní reprezentace. Tato reprezentace je dourozměrná a značí se písmenem E. Orbital tořící bázi dourozměrné reprezentace se tabulce charakterů zapisují do záork tj. (x,). Podobně jako orbital p x a p jsou této smetrii degeneroané orbital d xz a d z (tj. (xz,z)). Zaměňují-li se tři orbital, jako je tomu například grupě T d a O h, jedná se o třírozměrnou degeneroanou ireducibilní reprezentaci, která se značí písmenem T. (Ikosaedrická grupa, k níž přísluší Buckminsterfulleren C 6, má i pětirozměrné reprezentace). V grupě C se orbital p x a p působením operací nezaměňují tj. toří báze různých ireducibilních reprezentací (značených A nebo B), tto ireducibilní reprezentace jsou ted nedegeneroané neboli jednorozměrné. Obrázek 5.8 znázorňuje transformace orbitalů p x a p grupě C h : Ep C i p σ x x p x x p x p p x p p x x x Ep C i p σ x p p p p p p Obr. 5.8

32 Ireducibilní reprezentace Jak je idět, orbital p x a p patří do stejné ireducibilní reprezentace, ale nejsou degeneroané, protože smetrické operace tto orbital nazájem nezaměňují. V charakteroé tabulce grup C h bude x a na stejném řádku, ale nebudou záorce iz tabulka 5.8: Tabulka 5.8 Ireducibilní reprezentace grup C h bázi p x (resp. p ) C h E C i σ x B g x,

33 Reducibilní reprezentace 6. REDUCIBILNÍ REPREZENTACE V předchozí kapitole jsme se zabýali působením operací smetrie dané grup na jednotlié atomoé orbital. Nní uažujme působení operací smetrie grup C na orbital tpu s šech atomů molekul NH. Orbital s atomu dusíku označme s N a orbital s atomů odíků s A, s B, s C iz obr. 6.. Obr. 6. Potřebujeme opět získat charakter operací smetrie, které toří nějakou reprezentaci této grup. Tto charakter najdeme buď pomocí matic (kapitola.), které reprezentují grupoé operace bázi (s N,s A,s B,s C ), nebo, stejně jako předcházející kapitole, posouzením toho, který člen báze nemění soji polohu iz trzení (5.). Dostááme takto charakter operací smetrie grup C bázi (s N,s A,s B,s C ) uedené tabulce 6.: Tabulka 6. Reducibilní reprezentace grup C bázi (s N,s A,s B,s C ) C E C σ Γ 4 Podíáme-li se na tabulku charakterů grup C dodatku.5, zjistíme, že žádná z ireducibilních reprezentací této tabulk nemá charakter jako reprezentace Γ uedená tabulce 6.. To znamená, že tato reprezentace se dá rozložit redukoat na součet ireducibilních reprezentací uedených tabulce charakterů. Proto se reprezentace Γ ) nazýá reducibilní reprezentací grup C bázi (s N,s A,s B,s C ). Pokud je reprezentace reducibilní (dá se rozložit), rozkládá se na ireducibilní (dále nerozložitelné) reprezentace. Obecně může být každá z ireducibilních reprezentací rozkladu zastoupena, ale nemusí. Je-li zastoupena, může být zastoupena jednou, ale i ícekrát. Kolikrát je ireducibilní reprezentace zastoupena (četně toho, že zastoupena *) Reprezentace se obecně značí řeckým písmenem Γ (gama).

34 Reducibilní reprezentace není pro n(i) ) zjistíme podle následujícího zorce 6. (zorec padá složitě, e skutečnosti je náodem pro lehce zládnutelnou manipulaci s celými čísl): n R I, (6.) h () I χ χ N přes šechn tříd kde n(i) počet kolikrát se ireducibilní reprezentace sktuje reducibilní reprezentaci, h řád grup (tj. počet operací grupě), χ R charakter reducibilní reprezentace, χ Ι charakter ireducibilní reprezentace a N počet operací smetrie třídě (iz dodatek.). Řád grup C je 6, tj. h 6. Počet operací smetrie třídě je ueden tabulce charakterů horním řádku před operací smetrie (E, C, σ ). Charakter χ I ireducibilní reprezentace A jsou:,,. Počet zastoupení ireducibilních reprezentací A reducibilní reprezentaci Γ zjistíme následujícím způsobem: Stejně počteme, kolikrát jsou reducibilní reprezentaci Γ obsažen ireducibilní reprezentace A a E, charakter χ I reprezentace A (resp. E) jsou,, (resp.,, ): n 6 6 ( A ) ( 4 ( ) ) ( 4 6) n 6 6 ( E) ( 4 ( ) ) ( 8 ) Reducibilní reprezentace Γ je ted součtem dou ireducibilních reprezentací A a jedné ireducibilní reprezentace E, tj. Γ ( A A E) A E. Oěření této ronosti pomocí charakterů je uedeno tabulce 6.: Tabulka 6. reprezentací Rozklad reducibilní reprezentace grup C na součet ireducibilních C E C σ A A E Γ A E 4 4

35 Reducibilní reprezentace Bází jedné ireducibilní reprezentace A je s N orbital atomu dusíku. Bází druhé ireducibilní reprezentace A je lineární kombinace s orbitalů atomů odíku: s s s. A bází dourozměrné ireducibilní reprezentace E jsou lineární A B C kombinace s orbitalů atomů odíku: s A sb sc a sb sc. Tto lineární kombinace s orbitalů atomů odíku jsou znázorněn na obrázku **) Obr. Odození zorce 6. není složité, žaduje šak zaedení noých pojmů a ztahů algebr matic, které dalším ýkladu neuplatníme, proto tomto textu není uedeno. (Zájemci jej mohou najít například publikaci ) strana 99 4 nebo ) strana iz seznam literatur.) V dodatku.6 čtenář najde příklad na redukci reducibilních reprezentací. **) Uzloá roina je takoá roina, jejíchž bodech má lnoá funkce nuloou hodnotu a praděpodobnost ýsktu elektronu těchto bodech je nuloá. 5

36 Některé bezprostřední důsledk smetrie 7. NĚKTERÉ BEZPROSTŘEDNÍ DŮSLEDKY SYMETRIE 7.. Dipóloý moment Polární molekul mají permanentní dipól, který je způsobený různou afinitou atomů molekul k elektronům. Velikost dipólu molekul je určena ektoroou eličinou elektrickým dipóloým momentem molekul. Vektor dipóloého momentu směřuje od záporného pólu ke kladnému. Ve složitějších molekulách můžeme celkoý dipóloý moment molekul poažoat za ektoroý součet ektorů dílčích dipóloých momentů azeb nebo ětších částí molekul. Má-li být molekula po proedení operace smetrie fzikálně neodlišitelná od molekul půodní, nesmí se působením operace smetrie měnit ani ektor celkoého permanentního dipóloého momentu, ted i jeho složk musí respektoat smetrii molekul. Je-li některá složka dipóloého momentu kolmá na osu smetrie, pak je zrušena jinou složkou, která je stejně elká opačně orientoaná (její existence je daná zachoáním smetrie ůči rotaci kolem této os). Proto molekul patřící do bodoých grup C nh, D n a šší smetrie nemohou mít dipóloý moment. Podobně molekul patřící do bodoé grup C i nemohou mít dipóloý moment, protože mají střed inerze: jedna složka dipóloého momentu je zrušena druhou složkou, která je k ní smetrická ůči středu smetrie. Z ýše uedeného plne, že molekul, které mají permanentní dipóloý moment, mohou příslušet pouze bodoým grupám smetrie C, C s, C n, C n. Přičemž u molekul, patřících do bodoých grup C n, C n, ýsledný dipóloý moment leží podél os C n a u molekul patřících do C s leží ýsledný dipóloý moment roině smetrie. V molekule od H O (příslušející grupě C ) leží jedna složka dipóloého momentu podél azb jednoho odíku s kslíkem, druhá složka dipóloého momentu leží podél azb druhého odíku s kslíkem. Výsledný dipóloý moment je součet těchto dou dipóloých momentů a směřuje podél os C (obr. 7.). Obr. 7. Lineární molekula CO patřící do bodoé grup D h je nepolární nemá permanentní dipóloý moment. Protože prní složka dipóloého momentu e směru jedné azb C O se ektoroě odečte od složk dipóloého momentu druhé azb C O (obr. 7.). Takže ýsledný dipóloý moment je nuloý. 6

37 Některé bezprostřední důsledk smetrie Stejná situace nastane u molekul XeF 4 (bodoá grupa D 4h ), kde každé dě stejně elké nazájem opačně orientoané složk dipóloých momentů se odečtou (obr. 7.). Také molekula BF, patřící do bodoé grup D h, je nepolární: Součet liboolných dou složek dipóloého momentu je stejně elký opačně orientoaný než třetí složka dipóloého momentu (obr. 7.4), ted ýsledný dipóloý moment je nuloý. Obr. 7. Obr. 7. Obr Chiralita Chirální molekula je molekula, která nemůže být ztotožněna se sým zrcadloým obrazem ani pootočením ani posunutím nebo kombinací těchto operací. Chirální molekul jsou optick aktiní, tzn. že otáčí roinu polarizoaného sětla. Chirální molekula a její zrcadloý obraz se označují jako enantiomer, otáčí roinu polarizoaného sětla pod stejným úhlem, ale opačným směrem. Molekula má jediný zrcadloý obraz, přičemž nezáleží na tom, kam zrcadloou roinu umístíme. Může ted procházet i molekulou (obr. 7.5). Obr. 7.5 Pootočením tohoto zrcadloého obrazu dostááme molekulu ztotožnitelnou s půodní molekulou. Práě popsané zrcadlení a následné otočení není nic jiného než postupné proedení rotačně reflexní operace. Z toho plýá, že molekul, které mají rotačně reflexní osu, jsou ztotožnitelné se sým zrcadloým obrazem (nejsou ted chirální). Rotačně-reflexní osa může být důsledkem existence jiných prků smetrie dané molekul a její přítomnost nemusí být žd na prní pohled zřejmá. Například molekul patřící do grup C nh mají osu S n, protože mají osu C n a roinu σ h. Molekul, které mají střed smetrie i, mají také osu S, protože i σ h C C σ h S (iz. obr 7.6). Podobně molekul s roinou smetrie σ mají rotačně-reflexní osu, protože S σc σ σ. C 7

38 Některé bezprostřední důsledk smetrie Obr. 7.6 Například molekula glcinu má roinu smetrie (obr. 7.7) a lze ji ztotožnit s jejím zrcadloým obrazem (obr. 7.8), proto není optick aktiní. Molekula L-alaninu (obr. 7.9) nemá žádnou roinu smetrie ani střed smetrie ani žádnou rotačně reflexní osu, je ted chirální. Molekula BrFHC CHFBr uedená na obrázku 7.5 má střed inerze (tj. osu S ) a není ted chirální. Obr. 7.7 Obr. 7.8 Obr. 7.9 Molekula,,5,7-tetramethlcklooktatetraenu je ztotožnitelná se sým zrcadloým obrazem (tj. není chirální), přestože nemá ani střed smetrie ani roinu smetrie, má šak rotačně-reflexní osu S 4 (obr. 7.). Obr Extrém energie při změně smetrie molekul Mění-li se skutečnou nebo mšlenkoou deformací geometrie molekul, mění se současně její potenciální energie. Během deformace se může též změnit její příslušnost k bodoé grupě smetrie. V geometrii, při níž dochází ke změně příslušnosti molekul k bodoé grupě, nabýá energie molekul maximální nebo minimální energie. Z hlediska energetické hperploch se molekula nachází bodě lokálního extrému. Zda jde o maximum či minimum energie nelze pouze ze smetrie samotné zjistit, extrém šak nastat musí. Uažujme o deformaci liboolné lineární molekul AB (bodoá grupa smetrie D ), zmenšením azebného úhlu BAB z hodnot 8 na hodnotu nižší. Toto h ohýbání může být proedeno do kterékoli poloroin omezené osou C, energie se žd bude měnit po stejné křice. Pro každé dě zájemně opačné poloroin bude křika změn energie smetrická (matematick řečeno, funkce bude sudá) a 8

39 Některé bezprostřední důsledk smetrie tudíž musí nutně mít pro přímý úhel extrém (minimum nebo maximum). Smetrie nám ted říká, že molekul tpu BAB mohou mít stabilní ronoážnou geometrii lineární ( D ) nebo ohnutou (C ). h Molekula CO je základním stau lineární a přísluší bodoé grupě D h. Znamená to, že tato geometrie molekul odpoídá energetickému minimu. Budemeli tuto molekulu deformoat ohýbat azebný úhel OCO, bude se zětšoat její potenciální energie a současně s tím se změní (sníží) její smetrie z D na C. Tuto situaci popisuje graf záislosti potenciální energie molekul na úhlu deformace uedený na obrázku 7.. Molekula H O je základním stau lomená, azb H O sírají úhel 4 a přísluší bodoé grupě C. Budeme-li tuto molekulu naronáat, její energie bude postupně zrůstat, dokud molekula nedosáhne lineární geometrie, tj. smetrie D h Dalším ohýbáním bude její energie opět klesat, až pro úhel 4 dosáhne opět minima. Budeme-li tuto molekulu dále ohýbat (tj. zmenšoat úhel mezi azbami O H), bude její energie znou zrůstat, ašak minimum energie zde není spojeno se změnou příslušnosti molekul k bodoé grupě smetrie (iz. obr. 7.). Analogick se bude choat molekula NH. h Obr. 7. Obr. 7. Jiným tpem deformace je změna torzního (dihedrálního) úhlu molekul. Například u molekul ethanu mohou methloé skupin rotoat kolem jednoduché azb C C, přičemž molekula ethanu je e stau s nejnižší energií e střídaé konformaci a přísluší bodoé grupě D d (iz bod A na obr. 7.). Konformačním pohbem otáčením kolem jednoduché azb C C se sníží smetrie molekul z D d na D a potenciální energie molekul bude zrůstat, až do otočení o úhel 6, kd molekula bude zákrtoé konformaci, tj. bude mít smetrii D h (iz. bod B na obr. 7.). Dalším otáčením bude její energie opět klesat, přičemž se opět sníží její smetrie z D h na D, až do otočení o dalších 6, kd molekula bude opět minimu energie smetrii D d (iz bod C na obr. 7.). 9

40 Některé bezprostřední důsledk smetrie Obr. 7. Dalším zajímaým důsledkem plnoucím ze smetrie molekul je Jahn Tellerů efekt, který je ueden dodatku.7. 4

41 Aplikace na chemickou azbu 8. APLIKACE NA CHEMICKOU VAZBU 8.. Konstrukce molekuloých orbitalů Pomocí teorie grup lze určit, jakou kombinaci atomoých orbitalů je možno použít při konstrukci molekuloých orbitalů. Konstrukci molekuloých orbitalů σ-azeb ukážeme na molekule CH 4, která přísluší bodoé grupě T d. Jako bázi pro toření reprezentace můžeme použít ektor a, a, a, a 4 reprezentující σ-azb C H iz obr. 8.. Obr. 8. Charakter reprezentace grup T d bázi (a,a,a,a 4 ) jsou ueden tabulce 8.. Charakter příslušné operace smetrie je roen počtu ektorů, které zůstanou po proedení operace nezměněn (iz. dodatek.4 matice). Tabulka 8. Reprezentace grup T d bázi (a,a,a,a 4 ) T d E 8C C 6S 4 6σ d Γ 4 Při pohledu do tabulk charakterů grup T d zjistíme, že tato reprezentace je reducibilní. Po její redukci (iz kapitola 6) obdržíme: Γ A. T Z praého krajního sloupce tabulk charakterů dále zjistíme, že do ireducibilní reprezentace T patří orbital p x, p a p z a do ireducibilní reprezentace A patří orbital s. To znamená, že reducibilní reprezentace Γ 4 se rozkládá na s orbital a tři p orbital. Molekuloé orbital odpoídající čtřem klasickým C H azbám ted nemají šechn stejnou energii. To je rozporu s teorií hbridizace, která hooří o čtřech ekialentních (tarem i energií) sp orbitalech atomu C. Smetrie molekul CH 4 šak míšení s a p orbitalů centrálního atomu nedooluje. Do ireducibilní reprezentace T patří kromě tří p orbitalů i orbital d x, d xz a d z, které se mohou také podílet na σ-azbách tetraedrické molekule. Smetrie samotná ted nečiní rozdíl mezi MO tořenými s, p x, p, p z orbital a MO tořenými s, d x, d xz, d z orbital. Ale íme, že případě molekul CH 4 jsou pro azebné MO energetick přístupné pouze orbital s a p na centrálním atomu C (d orbital atomu uhlíku nejsou alenční orbital jejich energie je příliš soká). 4

42 Aplikace na chemickou azbu - Kdežto například u RuO 4 nebo MnO 4 (které mají smetrii T d jako CH 4 ) jsou alenčními orbital Ru a Mn ( d prk ) d orbital, které se nejíce podílí na azebných interakcích. - Na příkladu anionu NO (bodoá grupa D h ) ukážeme, jak najít orbital hodné pro π-azb. Nejdříe šak musíme určit, které orbital se podílejí na σ-azbách, protože tto orbital se již nemohou praktick podílet na π-azbě (atom použije soje orbital přednostně interakcích spojených s ětší energetickou stabilizací). Jako bázi pro toření reprezentace σ-azeb molekul tpu AB smetrii D h opět použijeme ektor a, a, a reprezentující σ-azb N O (obr. 8.). Obr. 8. Tabulka 8. Reprezentace grup D h bázi (a,a,a ) D h E C C σ h S σ Γ Po redukci reprezentace Γ dostaneme: Γ A E Z tabulk charakterů zjistíme, že ireducibilní reprezentaci A přísluší s a d z orbital a ireducibilní reprezentaci E přísluší degeneroané p x a p orbital a degeneroané d a d x orbital. x Pro torbu molekuloých orbitalů b z hlediska smetrie mohla přicházet úahu kterákoli z následujících kombinací:. s, p x, p. s, d, d x. d z z, p x, p 4. d, d, d z x x Stejnou úahou jako předchozím případě odhadneme, že dusík použije na torbu σ azeb s a dojici p x, p atomoých orbitalů. - π azb anionu NO mohou tořit p orbital atomů O, které leží buď roině molekul nebo roině na ni kolmé iz obr

43 Aplikace na chemickou azbu Obr. 8. Obr 8.4. Na toření báze reprezentace (Γ π ) možných π-azeb molekul tpu AB smetrii D h použijeme šest ektorů, které reprezentují p orbital na atomech O (šipk ektorů směřují ke kladné části p orbitalu) iz obr Žádná operace smetrie nezaměňuje ektor ležící roině molekul s ektor kolmými k této roině a proto můžeme uažoat zlášť reprezentaci Γ ( ) bázi ektorů a 4, a 5, a 6 kolmých na roinu molekul a zlášť reprezentaci Γ 4 () bázi ektorů a 7, a 8, a 9 Γ a ležících roině molekul. (Reprezentace Γ π je ted součtem reprezentací ( ) Γ () 4.) Charakter těchto reprezentací nalezneme pomocí trzení 8. (nebo pomocí matic dodatek. kapitola): (8.) Transformuje-li se íce ektorů současně, pak ýsledným charakterem dané operace smetrie rozumíme součet charakterů příslušejících jednotliým ektorům, které po této operaci zůstáají na půodním místě (k ýslednému charakteru přispíají číslem ), nebo mění jen sůj směr (k ýslednému charakteru přispíají číslem ). Reprezentace Γ ( ), () Tabulka 8. Reprezentace ( ) Γ a jejich rozklad jsou ueden tabulce 8.: 4 Γ resp. Γ () grup D h bázi (a 4,a 5,a 6 ) resp. (a 7,a 8,a 9 ) D h E C C σ h S σ ( ) 4 Γ A E 4 () Γ A E Z tabulk charakterů grup D h zjistíme, že: roině kolmé na roinu molekul roině molekul ireducibilní reprezentaci A přísluší p z E (d xz, d z ) ireducibilní reprezentaci A přísluší E (p x, p ), ( d d, x ) x Nní z těchto nalezených orbitalů bereme orbital hodné pro π-azb - anionu NO. Pro prk prní řadě periodické sousta prků (ted i pro N) jsou d orbital energetick praktick nedostupné a orbital p x a p se (spolu s orbitalem s) účastní σ-azeb anionu. Zbýá ted pouze p z orbital atomu N, který je hodný pro torbu π-azb (obr. 8.5). Tato π-azba je sdílena stejným dílem šemi atom kslíku. 4

44 Aplikace na chemickou azbu Obr. 8.5 Z hlediska pouhé smetrie šak mohou existoat až tři π MO s překrem mimo roinu molekul, které jsou tořen p z, d xz, d z atomoými orbital, a da π MO s překrem roině molekul (sdílené ronoměrně třemi atom ázanými k centrálnímu atomu), které jsou tořen d, d x x orbital. Tato situace může nastat u molekul, jejichž centrální atom má obsazené či energetick dostupné d orbital. 8.. Konstrukce interakčních diagramů V tomto oddílu posoudíme znik MO z příspěků částí (fragmentů) molekul a na základě těchto poznatků sestaíme kalitatiní interakční diagram molekul Jako příklad ezměme molekulu H O, kterou formálně rozdělíme na da fragment: atom kslíku da atom odíku. Je to jediné možné přerušení O H azeb, které dooluje posuzoat obě formální části molekul bodoé smetrii C. Budeme hledat možné (smetrick poolené) interakce orbitalů těchto fragmentů. Z tabulk charakterů grup C určíme transformační lastnosti alenčních orbitalů atomu O a označíme je stejně jako příslušné ireducibilní reprezentace, jen elká písmena abeced nahradíme malými, tj.: orbital s přísluší ireducibilní reprezentaci A a značí se a p x B b p B b p z A a Dojici s orbitalů (s, s ) atomů odíku (obr. 8.6) musíme uažoat společně, protože některými operacemi smetrie přechází jeden orbital e druhý. Obr. 8.6 Tto da s orbital toří bázi reprezentace grup C uedené tabulce 8.4: Tabulka 8.4 reprezentace grup C bázi (s,s ) C E C σ σ Γ 5 44

Na obrázku je nakreslen vlak, který se pohybuje po přímé trati, nakresli k němu vhodnou souřadnou soustavu. v

Na obrázku je nakreslen vlak, který se pohybuje po přímé trati, nakresli k němu vhodnou souřadnou soustavu. v ..7 Znaménka Předpoklad: 4 Opakoání: Veličin s elikostí a směrem = ektoroé eličin. Vektor je určen také sým koncoým bodem (pokud začíná počátku) polohu bodu můžeme určit pomocí ektoru, který začíná počátku

Více

Na obrázku je nakreslený vlak, který se pohybuje po přímé trati, nakresli k němu vhodnou souřadnou soustavu. v

Na obrázku je nakreslený vlak, který se pohybuje po přímé trati, nakresli k němu vhodnou souřadnou soustavu. v ..6 Znaménka Předpoklad: 3, 5 Opakoání: Veličin s elikostí a směrem = ektoroé eličin Vektor je určen také sým koncoým bodem (pokud začíná počátku) polohu bodu můžeme určit pomocí ektoru, který začíná počátku

Více

1) Zvolíme vztažný výkon; v tomto případě to může být libovolné číslo, například S v

1) Zvolíme vztažný výkon; v tomto případě to může být libovolné číslo, například S v A1B15EN kraty Příklad č. 1 V soustaě na obrázku je označeném místě trojfázoý zkrat. rčete: a) počáteční rázoý zkratoý proud b) počáteční rázoý zkratoý ýkon c) nárazoý proud Řešení: 1) olíme ztažný ýkon;

Více

Orbitaly, VSEPR 1 / 18

Orbitaly, VSEPR 1 / 18 rbitaly, VSEPR Rezonanční struktury, atomové a molekulové orbitaly, hybridizace, určování tvaru molekuly pomocí teorie VSEPR, úvod do symetrie molekul, dipólový moment 1 / 18 Formální náboj Rozdíl mezi

Více

Orbitaly, VSEPR. Zdeněk Moravec, 16. listopadu / 21

Orbitaly, VSEPR. Zdeněk Moravec,  16. listopadu / 21 rbitaly, VSEPR Rezonanční struktury, atomové a molekulové orbitaly, hybridizace, určování tvaru molekuly pomocí teorie VSEPR, úvod do symetrie molekul, dipólový moment Zdeněk Moravec, http://z-moravec.net

Více

Symetrie molekul a stereochemie

Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie l Symetrie molekul Operace symetrie Bodové grupy symetrie l Optická aktivita l Stereochemie izomerie Symetrie l výchozí bod rovnovážná konfigurace

Více

Symetrie molekul a stereochemie

Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul Operace symetrie Bodové grupy symetrie Optická aktivita Stereochemie izomerie Symetrie Prvky a operace symetrie výchozí

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Překryv orbitalů. Vznik vazby překryvem orbitalů na dvou různých atomech A, B Obsazeno dvojicí elektronů Ψ = Ψ A Ψ Β

Překryv orbitalů. Vznik vazby překryvem orbitalů na dvou různých atomech A, B Obsazeno dvojicí elektronů Ψ = Ψ A Ψ Β Překryv orbitalů Vznik vazby překryvem orbitalů na dvou různých atomech A, B Obsazeno dvojicí elektronů Ψ = Ψ A Ψ Β Podmínky překryvu: Vhodná symetrie, znaménko vlnové funkce Vhodná energie, srovnatelná,

Více

Určete počáteční rázový zkratový proud při trojfázovém, dvoufázovém a jednofázovém zkratu v označeném místě schématu na Obr. 1.

Určete počáteční rázový zkratový proud při trojfázovém, dvoufázovém a jednofázovém zkratu v označeném místě schématu na Obr. 1. AB5EN Nesmetrické zkrat Příklad č. Určete počáteční rázoý zkratoý proud při trojfázoém, doufázoém a jednofázoém zkratu označeném místě schématu na Obr.. G T 0,5/0 kv = MVA u k = % T3 0,5/0 kv = 80 MVA

Více

molekul organických sloučenin

molekul organických sloučenin Řešení úloh k tématu: Prostorové uspořádání molekul organických sloučenin Jaromír Literák Cvičení v převádění různých reprezentací prostorového uspořádání molekul 1. Řešení (každá struktura 0,5 b.). O

Více

3.3. Operace s vektory. Definice

3.3. Operace s vektory. Definice Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností.

Více

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0

Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre http://www.foitsoftwre.com For elution onl. Kuželosečk I. Kuželosečk zákldních polohách posunuté to prtie je opkoání látk obkle probírné n střední škole. Kružnice

Více

Smíšený součin

Smíšený součin 7..14 Smíšený součin Předpoklady: 713 Je dán ronoběžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho objem umíme spočítat stereometrikým zorem: V = S. p Ronoběžnostěn je také určen třemi ektory a, b a R O P b N M a L jeho

Více

vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace

vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace Přehled příkladů 1) Valiý pohyb, zákon zachoání energie ) Těžiště tělesa nebo moment setračnosti ýpočet integrací - iz http://kf.upce.cz/dfjp/momenty_setracnosti.pdf Nejčastější chyby: záměna momentu setračnosti

Více

3. Vlny. 3.1 Úvod. 3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3. Vlny. 3.1 Úvod. 3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3. Vlny 3. Úod Vlnění můžeme pozoroat například na odní hladině, hodíme-li do ody kámen. Mechanické lnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkoým prostředím. To znamená, že například zuk, který je mechanickým

Více

3. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE

3. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE Euklidoský prostor. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE Průodce studiem Geometrii lze budoat metodou syntetickou nebo metodou analytickou. Při syntetické metodě pracujeme přímo s geometrickými objekty.

Více

K Mechanika styku kolo vozovka

K Mechanika styku kolo vozovka Mechanika styku kolo ozoka Toto téma se zabýá kinematikou a dynamikou kola silničních ozidel. Problematika styku kolo ozoka má zásadní ýznam pro stanoení parametrů jízdy silničních ozidel, neboť má li

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

6. Jehlan, kužel, koule

6. Jehlan, kužel, koule 6. Jehlan, kužel, koule 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 6. Jehlan ( síť, objem, porch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstau taru n-úhelníku. Podle počtu rcholů n-úhelníku má jehlan náze. Stěny toří

Více

DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická

Více

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Rovnováha sil je stav, kdy na těleso působí více sil, ale jejich výslednice

Více

1.6.7 Složitější typy vrhů

1.6.7 Složitější typy vrhů .6.7 Složitější tp rhů Předpoklad: 66 Pedaoická poznámka: Tato hodina přesahuje běžnou látku, probírám ji pouze případě, že mám přebtek času. Za normálních podmínek není příliš reálné s ětšinou tříd řešit

Více

12 Rozvinutelné a zborcené plochy

12 Rozvinutelné a zborcené plochy 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text 1 Rozinutelné a zborcené plochy 1. 1 Délka analytické křiky 1. Délka analytické křiky: je rona součtu délek oblouků l ohraničených body t ;

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Shodná zobrazení v rovině

Shodná zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech

Více

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17. Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha ýpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

6.3.4 Jaderná síla. Předpoklady: , ,

6.3.4 Jaderná síla. Předpoklady: , , 634 Jaderná síla Předpoklady: 06007 04010 010601 Rutherfordů pokus motnost a kladný náboj atomu jsou soustředěny e elmi malé oblasti ( jádře) o rozměrech 15 řádoě 10 m Velikosti kladného náboje jader se

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Střípky z LA Letem světem algebry

Střípky z LA Letem světem algebry Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Teorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR

Teorie chemické vazby a molekulární geometrie Molekulární geometrie VSEPR Geometrie molekul Lewisovy vzorce poskytují informaci o tom které atomy jsou spojeny vazbou a o jakou vazbu se jedná (topologie molekuly). Geometrické uspořádání molekuly je charakterizováno: Délkou vazeb

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

( ) Sčítání vektorů. Předpoklady: B. Urči: a) S. Př. 1: V rovině jsou dány body A[ 3;4]

( ) Sčítání vektorů. Předpoklady: B. Urči: a) S. Př. 1: V rovině jsou dány body A[ 3;4] 722 Sčítání ektorů Předpoklady: 7201 Př 1: V roině jso dány body A[ 3;4], [ 1;1] B Urči: a) S AB b) = B A a) S AB ( ) a1 + b 3 1 1 a2 + b2 + 4 + 1 5 ; = ; = 2; 2 2 2 2 2 b) = B A = [ 1;1] [ 3; 4] = ( 2;

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence : Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,

Více

Parabola a přímka

Parabola a přímka 755 Parabola a přímka Předpoklad: 755, 756, 75, 75, 753 Pedagogická poznámka: Na probrání celého obsahu je třeba tak jeden a půl vučovací hodin Pokud tolik času nemáte, je potřeba buď rchle proběhnout

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Algebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita

Algebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita Algebra - druhý díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Permutace 2 Grupa permutací 3 Více o permutacích

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF 22. II. S

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF  22. II. S Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S ročník, úloha II S Young a vlnová povaha světla (5 bodů; průměr,50; řešilo 6 studentů) a) Jaký tvar interferenčních proužků na stínítku

Více

Smíšený součin

Smíšený součin 7..14 Smíšený součin Předpokldy: 713 Je dán ronoěžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho ojem umíme spočítt stereometrikým zorem: V = S. p Ronoěžnostěn je tké určen třemi ektory, : R O P N M L jeho ojem musí

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Příklad 1 (25 bodů) Částice nesoucí náboj q vletěla do magnetického pole o magnetické indukci B ( 0,0, B)

Příklad 1 (25 bodů) Částice nesoucí náboj q vletěla do magnetického pole o magnetické indukci B ( 0,0, B) Přijímací zkouška na naazující magisterské studium - 05 Studijní program Fyzika - šechny obory kromě Učitelstí fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad Částice nesoucí náboj q letěla do

Více

Relativita I příklady

Relativita I příklady quation Chapter 1 ection 1 Relatiita I příklad 1 Mion Zadání: Doba žiota mionu (těžkého elektronu) je = 10 6 s Mion nikl e ýšce h = 30 km nad porchem Země interakcí kosmického áření s horními rstami atmosfér

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie RNDr. Yetta Bartákoá Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou Objemy a porchy těles koule, kuloá plocha a jejich části VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázaou Objemy a porchy těles

Více

7.2.3 Násobení vektoru číslem I

7.2.3 Násobení vektoru číslem I 7..3 Násobení ektor číslem I Předpoklad: 70 Př. : Zakresli do sosta sořadnic alespoň dě různá místění ektorů: = 3; = 3;0 = ; a) ( ) ( ) c) ( ) - - - x - Pedagogická poznámka: Předchozí příklad není zbtečný.

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Základní pojmy teorie struktury ideálního krystalu

Základní pojmy teorie struktury ideálního krystalu Základní pojmy teorie struktury ideálního krystalu Ideální krystal nekonečná velikost a zcela pravidelná struktura 3D skupina elementů = motiv pravidelným opakováním motivu v prostoru (3D translační periodicita)

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Šíření elektromagnetických vln Smithův diagram

Šíření elektromagnetických vln Smithův diagram Šíření elektromanetických ln Smithů diaram Příklady k procičení jsou podle [] Diaram nese náze podle inženýra společností RCA Philipa H. Smitha, který e třicátých letech minulého století odstranil leou

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

jádro a elektronový obal jádro nukleony obal elektrony, pro chemii významné valenční elektrony

jádro a elektronový obal jádro nukleony obal elektrony, pro chemii významné valenční elektrony atom jádro a elektronový obal jádro nukleony obal elektrony, pro chemii významné valenční elektrony molekula Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti seskupení alespoň dvou atomů

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro 7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více