PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah"

Transkript

1 PRVOČÍSLA Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah. Elementární úlohy o prvočíslech 2. Kongruence 2 3. Algebraicé rovnice a polynomy 3 4. Binomicá a trinomicá věta 5 5. Malá Fermatova věta 7 6. Diferenční rovnice 7. Elementární úlohy o prvočíslech Záladní finty. Jestliže prvočíslo q dělí n, pa nemůže dělit n +. Jestliže prvočíslo p dělí součin ab, pa dělí a nebo b. Věta. Prvočísel je neonečně mnoho. První důaz. Nechť ne. Seřaďme všechna prvočísla do onečné posloupnosti p,..., p m. A co p... p m +? Druhý důaz. Nechť ne. Nechť p je poslední prvočíslo a n p! +. Najděme nejmenší prvočíslo q, teré dělí n. Potom q p. Odtud q dělí p!, ale pa nemůže dělit n p! +. Kontrolní otázy. Nechť a je součin prvních prvočísel. Je nutně a + prvočíslo? (NE) Nechť p je prvočíslo. Je pa nutně p! + prvočíslo? (NE) Pozorování. Jestliže číslo n není dělitelné žádným přirozeným číslem 2 m n, pa n je prvočíslo. Úloha. p prvočíslo, pa p je iracionální. Řešení. Buď p n, de, n jsou nesoudělná přirozená. Pa n2 p 2, tedy p dělí n, ale pa musí taé p 2 dělit n 2. Tedy p 2 dělí p 2, po vyrácení p dělí 2, a tedy p dělí. Čísla, n maji společného dělitele p a to je spor. Poznáma. Na záladě popsané metody se dá doázat, že odmocnina z přirozeného čísla je buď přirozené číslo nebo iracionální. Úloha. Určete všechny dvojice prvočísel p, q, pro teré p + q 2 q + p 3. Řešení. Přepíšeme na q(q ) p(p )(p + ). Pa p dělí q nebo q. Jestliže p dělí q, pa p q a z rovnice dostaneme p +, p 0, ale to není hezé prvočíslo. To není ani ošlivé prvočíslo. Vidíme, že p dělí q, tedy p + q. Tay q dělí p nebo p +, tedy p + q. Odtud p + q, p 2, q 3. Je nutno ještě provést zoušu! Úloha. Určete všechny dvojice prvočísel p, q, pro teré p + q 2 q + 45p 2. Řešení. Přepíšeme na () q(q ) p(45p ). Kdyby bylo p q, pa by taé bylo 45 a to přecijen neplatí. Usoudíme, že p dělí q, tedy existuje N ta, že q p. Do rovnosti () dosadíme q p + a dostaneme p(p + ) p(45p ), obě strany vydělíme p, taže (p + ) 45p, po úpravě (2) + p(45 2 ). Napravo ladné číslo, tedy , 2. Jeliož p dělí +, existuje r N ta, že + rp. Do rovnosti (2) dosadíme rp a dostaneme rp p(45 (rp ) 2 ), obě strany vydělíme p, taže r 45 (rp ) 2 45 (rp) 2 + 2rp. Po úpravě (rp) rp r, neboli (rp 2)(rp + 2) r(2p ). Pravá strana je ladná, tedy levá strana je ladná a to nám dává rp > 2, neboli 2. Porovnáme-li zarámečované mezivýsledy, máme 2, odtud 45 2, z (2) Přednáša na rajsém soustředění matematicé olympiády, Jiřetín pod Jedlovou,

2 dostaneme p + 3. Hravě dopočítáme q p Tedy p 3, q 57. Zoušu! A ještě musíme ověřit, že 57 je opravdu prvočíslo! Věta 2. Nechť a N. (a) Jestliže číslo 2 a je prvočíslem, pa a prvočíslo (Mersennova čísla). (b) Jestliže číslo 2 a + je prvočíslem, pa a je tvaru 2 n, n N. (Fermatova čísla) Důaz. (a) Pro aždé přirozené číslo platí vzorec tedy pro b celé b (b )(b + b ), b R, (3) b b. Je-li a číslo složené, pa má rozlad a r, de i r jsou větší než a menší než a. Do (3) dosadíme b 2 r a dostaneme 2 r (2 r ) 2 a, to je netriviální rozlad 2 a, tedy 2 a není prvočíslo. (b) Pro lichá přirozená > 0 je tedy pro b celé b + (b + )(b b ), b R, (4) b + b +. Stejnou úvahou jao předtím dostaneme, že 2 a není prvočíslo, dyž a má rozlad a r, de i r jsou větší než a menší než a a navíc je liché. Chceme-li prvočíslo tvaru 2 a +, zbývají dvě možnosti. Podobně jao v (a), mohlo by být a liché prvočíslo (dosavadní úvahy to nevyloučily). Dosazením b 2 a a do (4) vša dostaneme a +, taže máme netriviálního dělitele 3 čísla 2 a + a tudíž 2 a + není prvočíslo. (Tím se případ (b) zásadně liší od (a), neboť 2 2 a dávalo nešodného triviálního dělitele!) Pa ale zbývají případy, že a nebo že a nemá lichého dělitele, tedy a je tvaru 2 n, de n je přirozené nebo nula. Poznáma. Doázali jsme, že např. čísla 2 2n + mají šanci být prvočísla, ne že to jsou prvočísla. Je pravda, že se mezi nimi dá najít dost prvočísel, ale občas jsou to čísla složená. 2. Kongruence Záladní pojmy. Všechna čísla v této seci budou celá. Připomeňme, že a b modulo n, jestliže n a b. Máme-li dán pevný modul, upřesnění modulo n si občas dovolíme vynechat. Pro n přirozené označme Z n {0,,..., n }. Každé celé číslo je ongruentní právě s jedním číslem m Z n, toto číslo označme třeba ρ() (pro ladná je to vlastně zbyte při dělení číslem n). Na Z n teď můžeme zavést nové operace a a s těmito operacemi se chová Z n podobně jao jiné číselné obory (co se týče např. platnosti záonů jao omutativní, asociativní, distributivní). Konrétně, definujeme a b ρ(a + b), a b ρ(a b). V dalším si budeme víc všímat násobení, to je zajímavější. Vztah nového násobení e ongruenci je následující: a b c a, b, c Z p, ab c. Tabuly násobení pro n 5 a n 6 vypadají tato (na -tém řádu jsou -násoby prvého řádu vzhledem novému násobení). n 5: n 6: Všimněme si, že pro n 6 se vlastně násobení nechová ta dobře jao na reálných nebo celých číslech, např. máme V oboru celých číslech by nulový součin implioval nulovost jednoho z činitelů. Zato pro n 5 se násobení chová ta dobře jao pro reálná čísla a lépe než pro celá čísla! Nejen, že se nula nedá rozločit na součin nenulových prvů, ale doonce e aždému nenulovému číslu existuje číslo převrácené (to v celých číslech samozřejmě neplatí). Tuto odlišnost vystihuje následující věta. Věta 3. Jestli evivalentní 2

3 (i) n je prvočíslo, (ii) v (Z n, ) se nula nedá rozložit na součin nenulových prvů (iii) v (Z n, ) e aždému nenulovému číslu existuje číslo převrácené, Důaz. (i) (ii). Předpoládejme, že n je prvočíslo a 0 a b, de a, b Z n. Pa n ab, tedy n dělí a nebo b, tedy a nebo b je nula. (ii) (iii). Zvolme Z n nenulové. Jestliže pro i, j Z n je i j, pa (i j) 0 a z (ii) dostáváme, že i j. Čísla i, i Z n, jsou tedy navzájem různá a jeden z nich tedy musí být číslo. (iii) (i). Nechť n není prvočíslo a je netriviální dělitel. Potom i jsou vždy lasicé násoby a mezi nimi není číslo. Tedy číslu neexistuje převrácené. Poznáma. Na záladě této věty lze doázat, že (Z n,, ) tvoří pro prvočíselné n tzv. těleso (další číselné obory, teré tvoří těleso, jsou např. reálná čísla, racionální čísla nebo omplexní čísla). Pomocná věta 4. Nechť p je prvočíslo a Z p je nenulové. Potom -převrácené číslo e je různé od s výjimami, p. Důaz. Je jasné, že a (p ) (p ) ρ((p ) 2 ) ρ(p 2 2p + ). Na druhou stranu, jestliže Z p,, pa 0 ( 2 ) ( + )( ), tedy existuje a ta, že ( + )( ) ap. Číslo p tedy dělí + nebo. V prvém případě je p, v druhém je. Věta 5 (Wilsonova). p > je prvočíslo, právě dyž p + (p )!. Důaz. Jestliže p je číslo složené, pa je dělitelné číslem q, 2 q < p a q dělí (p )!. Pa ale nemůže q dělit + (p )! a tím spíš p nemůže dělit + (p )!. (To bychom dostali řetěz q p + (p )!.) Opačná impliace je těžší. Podle předchozí pomocné věty 4, e aždému a 2, 3, 4,..., (p 2) existuje amarád b a ta, že a b (neboli b je převrácené číslo a). Převrácené číslo může být jen jedno. (Kdyby b a c byla různá převrácená čísla a, napsali bychom 0 jao součin nenulových čísel 0 a (b c).) Jeliož čísla a p jsou převrácená sama sobě, je 2 b p 2. Součin (p 2) se dá rozdělit na páry ta, že součin a b amarádů a, b z aždého páru je, tedy ab. Celově platí tedy Nyní stačí oběma stranám rovnosti příčíst (p 2), (p )! 2 3 (p 2)(p ) p. 3. Algebraicé rovnice a polynomy Polynom. Připomeňme, že polynom (neboli mnohočlen) je součet jednotlivých členů, teré jsou speciálního tvaru. U polynomů jedné proměnné mají členy tvar ax i, ve dvou proměnných ax i y j, ve třech proměnných ax i y j z. Číslo a je onstantní oeficient, terý může být u aždého členu jiný. Symboly i, j, jsou nezáporná celá čísla. Pozor: i u polynomu ve dvou proměnných může být člen třeba 3x 2, protože je to 3x 2 y 0. Stupeň členu ax i je číslo i, u členu ax i y j je to i + j, u členu ax i y j z je to i + j +. Stupeň polynomu je nejvyšší ze stupňů jeho členů. Třeba polynom xz 2 + 2x má stupeň 3, protože stupně jednotlivých členů jsou 3 a 2. Algebraicá rovnice a ořeny Je-li P polynom v jedné proměnné t, řeneme, že x je jeho ořen, jestliže P (x) 0. V tom případě P je dělitelný dvojčlenem (t x). Jestli6e P je dělitelný doonce výrazem (t x), říáme, že x je -násobný ořen. Násobnost ořene x je pa nejvyšší taové číslo. S eznam ořenů polynomu P je uspořádaná m-tice ořenů, v níž aždý se vysytne přesně tolirát, oli je jeho násobnost. Seznam ořenů je jednoznačný až na permutace. Přílad Polynom t 3 2t 2 + t si můžeme napsat jao t(t ) 2, tedy seznam ořenů je (0,, ), nebo taé (, 0, ), ale ne třeba (, 0), ořen se v seznamu musí vysytovat dvarát. Viètovy vztahy. Nechť (x, y) je seznam ořenů vadraticé rovnice t 2 + bt + c 0. Potom můžeme polynom t 2 + bt + c rozložit na ořenové činitele ( ) t 2 + bt + c (t x)(t y) t 2 (x + y) t + xy. 3

4 Porovnáním oeficientů u mocnin t dostaneme b x + y, Podobně pro ubicý polynom dostáváme c xy. t 3 + bt 2 + ct + d (t x)(t y)(t z) b x + y + z, c xy + yz + zx, d xyz. Viètovy vztahy platí i pro vícenásobné ořeny (dyž třeba x y) a doonce i pro omplexní ořeny (ale omplexní čísla zde zavádět nebudeme). Přílady. Rovnice t 2 t 0 má dva ořeny, náhodou umíme najít x a y 5 2. Zajímá-li nás x + y nebo xy, nemusíme x a y počítat, z Viètových vztahů vidíme, že x + y a xy. Rovnice t 3 2t 2 t + 0 bude mít asi tři reálné ořeny, protože polynom nalevo nabývá pro t, 0,, 2 postupně hodnot,,, 3, taže by mohly být ořeny x (, 0), y (0, ) a z (, 2) (z obrázu je to vidět, v analýze se doazuje, že tomu ta sutečně je). Aniž bychom znali jejich přesné hodnoty, z Viètových vztahů umíme spočítat x + y + z 2, xy + yz + zx, xyz. Symetricé polynomy. Výrazy, teré se vysytují ve Viètových vztazích, onrétně x + y a xy ve dvou proměnných, x + y + z, xy + yz + zx a xyz ve třech proměnných, jsou přílady tzv. symetricých polynomů. Řeneme, že polynom ve více proměnných je symetricý, jestliže po jaéoli permutaci proměnných dostaneme stejný polynom. Tedy např. polynom x 2 +3xy +y 2 je symetricý, polynom x 2 y 2 symetricý není. Máme-li polynom s celočíselnými oeficienty a proměnné jsou celá čísla, pa hodnota polynomu je celé číslo. U symetricých polynomů můžeme říci víc. Poud polynom P dvou proměnných s celočíselnými oeficienty je symetricý a za (x, y) dosadíme seznam ořenů nějaého vadraticého polynomu Q(t) t 2 +at+b s celočíselnými oeficienty, pa hodnota polynomu P (x, y) je celé číslo, podobně i pro polynomy tří proměnných. Podíváme se na to v následujících větách. Z Viètových vztahů je zřejmé, že záležitost lze přeformulovat následovně. Věta 6. Nechť x, y jsou reálná čísla, x + y a xy jsou celá a n je přirozené. Jestliže P je symetricý polynom dvou proměnných s celočíselnými oeficienty, pa P (x, y) je celé číslo. Speciálně, x n + y n jsou celá čísla. Důaz. Důaz provedeme inducí podle n, to znamená, že stačí ověřit, že tvrzení platí pro n, a že z platnosti pro, 2,..., n plyne platnost pro n. Při doazování, že tvrzení platí pro n smíme používat tzv. induční předpolad, že tvrzení by platilo, dybychom místo n dosadili n (nebo ještě menší přirozené číslo). Důaz provedeme inducí podle stupně polynomu. Symetricé polynomy prvého stupně jsou tvaru a(x + y) + b, taže to jsou celá čísla. Nechť n > a tvrzení platí pro polynomy stupně menšího než m. Je-li P stupně n, můžeme dát na jednu stranu členy stupně menšího než n, na druhou stranu členy stupně přesně n. Členy stupně menšího než n tvoří symetricý polynom stupně n a podle indučního předpoladu je to celé číslo. Zbývají členy stupně přesně n. Nejprve vezmeme součet členů, de x i y jsou aspoň v prvé mocnině (onrétně to může vypadat pro n 3 třeba 3x 2 y + 3xy 2 ), to se dá vydělit celým číslem xy a zbude symetricý polynom stupně n 2, to je podle indučního předpoladu zase celé číslo. Dáme-li tento us stranou, zbývá jen celočíselný násobe výrazu x n + y n. Napíšeme si x n + y n (x + y) n + [x n + y n (x + y) n ] Číslo (x + y) n je celé, neboť x + y je celé podle indučního předpoladu. Výraz v hranaté závorce je symetricý polynom n-tého stupně dělitelný xy, tedy zase celé číslo podle toho, co už jsme řeli výše. Věta 7. Nechť x, y, z jsou reálná čísla, x+y +z, xy +yz +zx a xyz jsou celá a n je přirozené. Jestliže P je symetricý polynom tří proměnných s celočíselnými oeficienty, pa P (x, y, z) je celé číslo. Speciálně, x n + y n + z n jsou celá čísla. 4

5 Názna důazu. Důaz je podobný jao předchozí, ale složitější. Naznačíme jen hlavní nové myšleny. První část důazu inducí je snadná. V indučním rou doazujeme tvrzení pro n > a předpoládáme, že platí pro polynomy nižších stupňů. Mějme symetricý polynom n-tého stupně. Poud je dělitelný výrazem xyz, pa je to součin xyz a symetricého polynomu stupně n 3. Zbyte lze rozložit na jednodušší výrazy, teré je třeba prodisutovat. Mohou to být výrazy tvaru (5) x i y j + x i z j + y i z j + y i z j + z i x j + z i y j de i a j jsou přirozená a různá. Potom x i y j + x i z j + y i z j + y i z j + z i x j + z i y j (x i + y i + z i )(x j + y j + z j ) + xyz Q(x, y, z), de Q je symetricý polynom stupně n 3. Z indučního předpoladu dostaneme, že (x i + y i + z i ), (x j + y j + z j ) a Q(x, y, z) jsou celá čísla, tedy (5) je celé číslo. Tento argument projde i pro i j, tedy 2(x i y i + y i z i + z i x i ) je celé číslo. My bychom ale chtěli, aby taé symetricý polynom x i y i + y i z i + z i x i (nejen jeho sudé násoby) byl celé číslo. Proto si uvědomíme, že de i Q je polynom stupně n 3. Konečně, x i y i + y i z i + z i x i (xy + yz + zx) i + xyz Q(x, y, z), x n + y n + z n (x + y + z) n + P (x, y, z), de P (x, y, z) lze naombinovat z polynomů, jejichž celočíselnost jsme již probrali. 4. Binomicá a trinomicá věta Podobně jao obecně (x + y) 2 x 2 + 2xy + y 2, (x + y) 3 x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3, (6) (x + y) n x n + nx n y + + nxy n + y n, přičemž do toho, co se srývá pod třemi tečami, není zatím příliš vidět. Je to nějaý symetricý polynom, ale jaé jsou oeficienty? Všechny členy budou přesně n-tého stupně, tedy tvaru ax y n. Koeficient u x y n označme ( n ), je to tzv. binomicý oeficient, v souvislosti s ombinatoricým významem se taé používá termín ombinační číslo. Rovnost (6) je lépe zapisovat ve tvaru sumy n (7) (x + y) n x y n. Uážeme, že (8) Pro > n je ( ) n 0. Jina je ( 0 n(n )... (n + ).! ) n n!! (n )!. Roznásobujeme-li poctivě (x + y) (x + y)(x + y) (x + y), uvědomíme si ombinatoricý význam oeficientů: oli je uspořádaných n-tic prvů dvouprvové množiny {x, y}, v nichž se vysytuje prve x přesně rát? Označíme-li tyto uspořádané n-tice (a,..., a n ), jde o to, pro terá i je a i x. Tedy hledaných uspořádaných n-tic je přesně toli, jao prvových podmnožin množiny {,..., n}. Vzorec (7) si zformulujeme jao větu. Věta 8 (Binomicá). Jsou-li x, y reálná a n N, pa n (x + y) n x y n. 0 5

6 Důaz. Důaz provedeme inducí podle n. Pro n vzorec platí. Mějme dáno n > a předpoládejme, že pro menší exponenty (onrétně n ) už víme, že vzorec platí. Máme n (x + y) n (x + y) n (x + y) (x + y) x j y n j j j0 n ( ) n n x x y n + y x y n 0 n [( ) ( )] n n + x y n 0 V oamžiu, dy jsme sumu rozdělili na dvě, jsme současně provedli posun indexů: zatímco v první sumě je j, v druhé zůstává j. Binomicá věta je téměř doázána, zbývá uázat, že ( ) ( ) n n (n )! + ( )!(n )! + (n )!!(n )! (9) (n )!!(n )! ( + (n )) n!!(n )!. Trinomicá věta. Analogicy pro mocniny trojčlenů dostáváme n n i ( n (x + y + z) n i, j de Pro i + j > n je ( n i, j) 0. Jina je i, j i0 j0 ) x i y j z n i j, n(n )... (n i j + ). i! j! n! i, j i! j! (n i j)!. Kombinatoricý význam oeficientů: oli je uspořádaných n-tic prvů tříprvové množiny {x, y, z}, v nichž je přesně i rát x a j rát y? Trinomicá věta se doazuje analogicy jao binomicá, zase potřebujeme vzorec pro ombinační čísla, tentorát ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n (0) + +. i, j i, j i, j i, j Vzorce (9) a (0) umožňují zapisovat ombinační čísla do schématu, pro binomicé oeficienty je to Pascalův trojúhelní, pro trinomicé oeficienty je to jehlan. Pascalův trojúhelní vypadá ta, že aždý prve je roven součtu dvou prvů těsně nad ním (přičemž mimo tabulu vlevo a vpravo si představujeme nuly), tedy Pascalův jehlan, de aždý prve je roven součtu tří prvů těsně nad ním, se reslí hůř, můžeme reslit postupně jeho patra

7 Přeneseme-li si pozici prvu do předchozího obrázu, olem ní je trojúhelní postavený na špiču, v jehož vrcholech jsou čísla, terá máme sčítat (nebo na raji obrázu to taé mohou být prázdná místa, terá považujeme za nuly). Napřílad prve 6 v posledním obrázu je součet tří dvoje, teré tvoří vrcholy trojúhelníu v předchozím obrázu. Čísla 3 tam dostáváme jao , v oolí aždé trojy je v předchozím obrázu jedno prázdné místo. Čísla jsou Poslední zobrazené patro obsahuje ombinační čísla ( 3 i, j), tedy (x + y + z) 3 Věta 9. Je-li p prvočíslo, < p, pa ( p ) je dělitelné p. x 3 + 3x 2 y + 3x 2 z + 3xy 2 + 6xyz + 3xz 2 + y 3 + 3y 2 z + 3yz 2 + z 3 Důaz. p!!(p )! ( p ), z čísel napravo jen ( p ) má šanci být dělitelné p. Věta 0. p prvočíslo, i, j, i + j p, pa ( p i, j) je dělitelné p. Důaz je analogicý jao předchozí. 5. Malá Fermatova věta Nejprve si uvedeme výslede o symetricých polynomech Věta. Nechť x, y jsou reálná čísla, x + y a xy jsou celá a p je prvočíslo. Potom x p + y p (x + y) p modulo p. Důaz. Z binomicé věty dostaneme (x + y) p x p + P (x, y) + y p, de P je symetricý polynom, jehož oeficienty jsou ombinační čísla ( p ),,..., p. Jeliož p je prvočíslo, tato ombinační čísla jsou podle věty 9 dělitelná p, tedy (x + y) p x p + y p + p Q(x, y), de Q je symetricý polynom s celočíselnými oeficienty, tedy podle věty 6 je Q celé číslo. Odtud x p +y p (x + y) p. Věta 2 (Malá Fermatova věta). Je-li p prvočíslo a m Z, pa m p m modulo p. Důaz provedeme inducí podle m. Pro m, 0, vzorec zřejmě platí. Předpoládejme, že m > a vzorec platí pro všechna přirozená čísla menší než m. Pa m p ((m ) + ) p (m ) p + (m ) + m, použili jsme předchozí větu. Pa bychom měli jestě provést zpětnou induci pro záporná čísla - cvičení. Poznáma. Je-li prvočíslo, pa z malé Fermatovy věty 2 2. Pousně snadno ověříme obrácenou impliaci, že dyž 2 2, bývá prvočíslo. Máme-li více trpělivosti, zjistíme vša, že tento směr neplatí. Nejmenší protipřílad je až 35, tj , ale je to číslo složené. (Není náhodou dělitelné třemi?) 6. Diferenční rovnice Nejprve uvedeme motivační přílad. Přílad. Nechť posloupnost čísel u n je dána předpisem () Je-li p prvočíslo, potom p u p. Řešení. Uážeme, že u, u 2 3, u n+2 u n + u n+, n, 2,... (2) u n x n + y n, 7

8 de (x, y) je seznam ořenů vadraticého polynomu (3) t 2 t. Položme ještě u 0 2, potom () platí i pro n 0. Ověříme, že u x 0 + y 0 a u x+y x +y, totiž to plyne z Viètových vztahů pro rovnici t 2 t 0. Nyní doážeme(2) pro obecné n inducí. Víme, že pro n platí. Nechť n > a předpoládejme, že vzorec platí pro přirozená čísla menší než n. Posunem v indexech se () přepíše na u n u n 2 + u n. Z indučního předpoladu a ověřených vztahů máme u n 2 x n 2 + y n 2 a u n x n + y n, tedy u n u n 2 + u n x n 2 + y n 2 + x n + y n x n 2 ( + x) + y n 2 ( + y). Nyní použijeme, že x a y jsou řešení rovnice (3), tedy + x x 2, + y y 2. Dostáváme u n x n 2 x 2 + y n 2 y 2 x n + y n. Tím jsme doázali (2). Protože z Viètových vztahů víme, že x+y a xy jsou celá čísla, můžeme použít větu a vyvodit z ní, že p u p pro aždé prvočíslo p. Diferenční rovnice. Způsob, jaým jsme v předchozím příladu uhodli vzorec (2), vypadá jao magie, neznáme-li teorii diferenčních rovnic. V tomto odstavci si nelademe ambice tuto teorii vyložit, jen stručně nastíníme, o co zhruba jde. Nechť posloupnost u n je dána reurentním předpisem (4) u n+ au n. Potom řešení hledáme ve tvaru u n x n (na to přišli naši chytří předové) a dosazením dostaneme x n+ ax n, po vyrácení x a. Tedy u n a n splňuje (4). Je-li C reálné, potom u n Ca n taé splňuje (4). Chceme-li jednoznačné řešení, je třeba zadat ještě počáteční podmínu. Nechť nyní posloupnost u n je dána reurentním předpisem (5) u n++ a 0 u n + a u n+ + + a n u n+ Řešení zase hledáme ve tvaru u n x n a po vyrácení dostaneme charateristicou rovnici x + a 0 + a x + + a x, ta může mít + různých řešení, x 0,..., x, potom u n C 0 x n 0 + C x n splňuje (5). Často se ještě zadávají počáteční podmíny, teré nám pomohou upřesnit oeficienty C. Poud charateristicá rovnice má vícenásobné ořeny, řešení se ompliuje, zájemcům doporučujeme najít si informaci v literatuře, třeba equations. Na závěr si uvedeme úlohu, v níž můžete zužitovat téměř vše, co jsme zde připravili počínaje secí 3 a ještě něco navíc (totiž omplexní čísla, rovnice, terá se vysytuje v řešení, má imaginární ořeny). Superúloha. Nechť posloupnost čísel u n je dána předpisem u 0, u 2 2, u 3 3, Je-li p prvočíslo, potom p u p. u n+3 u n + u n+, n, 2,... Nástin řešení. Podobně jao v motivační úloze této sece uážeme, že u n x n + y n + z n, de x, y a z jsou řešení charateristicé rovnice t 3 t 0. Z trinomicé věty dostaneme, že x n + y n + z n (x + y + z) n + P (x, y, z), de P je symetricý polynom, jehož oeficienty jsou podle věty 0 dělitelné p, tedy P (x, y, z) p Q(x, y, z), de Q je symetricý polynom s celočíselnými oeficienty. Odtud s pomocí věty 7 dostaneme, že P (x, y, z) je celočíselný násobe p, a tudíž x n + y n + z n (x + y + z) n. Z Viètových vztahů ovšem odvodíme, že x + y + z 0, tedy u n x n + y n + z n 0. 8

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a záladní vzdělávání Jaroslav Švrče a oletiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematia a její apliace Tematicý oruh: Práce s daty ombinatoria

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Jak funguje asymetrické šifrování?

Jak funguje asymetrické šifrování? Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více