Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat"

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010

2 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní principy modelu analýzy obalu dat 2 3 Jednoduché DEA modely Model jednoho vstupu a jednoho výstupu Konstantní výnos z rozsahu CRS Variabilní výnos z rozsahu VRS Model dvou vstupů a jednoho výstupu Model jednoho vstupu a dvou výstupů CCR model základní ilustrace DEA modelů

3 1 Efektivnost a její hodnocení Měření efektivnosti produkčních jednotek je důležitý předpoklad pro zlepšení chování těchto jednotek v konkurenčním prostředí. Pod pojmem produkční jednotka rozumíme jednotku, která vytváří nějaké výstupy, na jejichž produkci spotřebovává nějaké vstupy. Mohou to být tedy firmy, které produkují nějaké výrobky. Také bankovní pobočky, nemocnice, střední školy, finanční úřady neboli jednotky vytvářející stejnou nebo podobnou aktivitu. V praxi používaný nástroj pro analýzu efektivnosti jsou poměrové ukazatele vycházející z finančních výkazů firem. Tyto výkazy popisují pouze dva nebo několik málo faktorů, které mají vliv na celkovou efektivnost jednotky. Poměrové ukazatele jsou užitečné pro základní orientaci fungování jednotky a pro porovnání s ostatními jednotkami. Pro podrobnější analýzu efektivnosti je třeba použít nástroje založené na principu matematického modelování. Častou aplikační oblastí je hodnocení efektivnosti bankovních poboček v rámci banky. Banky mívají vlastní statistiky často založené na poměrových ukazatelích, které nejsou moc vypovídající. Modely které umožňují sledovat více vstupů a více výstupů přináší zcela nový pohled. 2 Základní principy modelu analýzy obalu dat Modely analýzy obalu dat byly navrženy jako speciální modelový nástroj pro hodnocení efektivnosti homogenních produkčních jednotek. Pod pojmem homogenní produkčních jednotky rozumíme soubor jednotek, které je zabývají produkcí identických nebo ekvivalentních efektů, které budeme značit výstupy této jednotky. Je žádoucí, aby výšší hodnota efektů vedla k vyšší efektivnosti dané jednotky. Pro vytvoření efektů spotřebovává jednotka vstupy. Tyto vstupy chceme naopak minimalizovat. tedy nižší hodnota vstupů vede k vyšší hodnotě výstupů sledované jednotky. Při hodnocení efektivnosti budeme nejdřív uvažovat jeden vstup(m) a jeden výstup(n). Poměrová funkce tedy bude vypadat N M. Dostáváme ukazatele jako je zisk na pracovníka firmy nebo počet pacientů na jednoho lékaře. Pro hodnocení efektivnosti je třeba vzít větší množství vstupů a výstupů. Pro sledování efektivnosti souboru homogenních jednotek U 1, U 2,..., U n uvažujeme r vstupů a m výstupů. Označme X = {x ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n} matici vstupů a obdobně Y = {y ij, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., n} matici výstupů. Míra efektivnosti jednotky U q můžeme vyjádřit jako i u iy iq j v jx jq, kde i u iy iq je vážený součet výstupů a v j, j = 1, 2,..., m jsou váhy přiřazené j-tému vstupu. Jmenovatel j v jx jq je vážený součet vstupů a u i, i = 1, 2,..., r jsou váhy přiřazené i-tému výstupu. 2

4 3 Jednoduché DEA modely DEA modely vychází z toho, že pro daný model existuje množina přípustných možností, tvořená všemi možnými kombinacemi vstupů a výstupů. Množina přípustných možností je tvořena efektivní hranicí. Produkční jednotky, jejichž kombinace vstupů a výstupů leží na efektivní hranici jsou efektivní jednotky. neexistuje jiná jednotka, která by dosáhla při stejném vstupu vyšších výstupů nebo stejných výstupů při nižších vstupech. 3.1 Model jednoho vstupu a jednoho výstupu Množinu přípustných možností a efektivní hranici ukážeme na příkladu obchodního řetězce s osmi pobočkami. Každá z poboček je charakterizovaná jedním vstupem x (počet pracovníků) a jedním výstupem y (průměrné denní tržby v desítkách tisíc Kč). Pro odvození efektivní hranice je třeba přijmout předpoklad Tabulka 1: Vstupní data pro případ jednoho vstupu a výstupu Pobočka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Počet pracovníků Tržby Tržby/počet pracovníků 1,17 1,71 1,22 1,00 0,57 2,25 0,67 3,00 o charakteru výnosů z rozsahu pro danou úlohu. Výnosy z rozsahu mohou být konstantní, variabilní, klesající nebo rostoucí Konstantní výnos z rozsahu CRS Uvažujeme, že kombinace vstupů a výstupů (x, y) je prvkem množiny přípustných možností, pak je prvkem této množiny i kombinace (αx, αy), kde α > 0. tedy pokud je (x, y) jednotkou efektivní, pak bude efektivní i jednotka (αx, αy), kde α > 0. Pro náš případ je tedy efektivní hranice přímka pouze jediná jednotka leží na efektivní hranici.znamená to, že existuje pouze jedna jednotka s nejvyššími tržbami na jednoho pracovníka. 3

5 Ostatní jednotky jsou neefektivní, což lze ukázat na příkladu jednotky U 6. S hodnotami (4, 9) není na efektivní hranici, aby se na tuto hranici dostala, musí bud : Zvýšit hodnotu produkovaného výstupu při zachování současného vstupu, dostaneme se tedy do bodu U = (4, 12). Modely, které se snaží maximalizovat výstup, se označují modely orientované na výstupy. Snížit hodnotu spotřebovaného vstupu při zachování úrovně výstupu, dostaneme se do bodu U = (3, 9).Modely, které se snaží najít efektivní jednotku minimalizací vstupů se označují modely orientované na vstupy. Kombinací obou předcházejících možností. Tento postup se používá v odchylkových modelech. V našem modelu můžeme míru efektivnosti získat porovnáním tržeb na zaměstnance s tržbami jednotky U 8. Pro jednotku U 6 získáme míru efektivnosti jako podíl 2, 25/3, 00 = 0, 75. Jedná se však o relativní míru, která závisí na celém souboru jednotek. Přidáme-li do souboru další jednotku, může se změnit efektivní hranice a změní se i míry efektivnosti ostatních jednotek. Míru efektivnosti lze snadno odvodit také jako: Pro model orientovaný na výstupy jako podíl původní a nové hodnoty výstupů, tedy na příkladě U 6 9/12 = 0, 75. Často se však uvádí obrácená hodnota, tu lze vysvětlit jako míru navýšení výstupu pro dosažení efektivní hranice. Pro model orientovaný na vstupy jako podíl původní a staré hodnoty vstupů, u našeho příkladu 3/4 = 0, 75. tuto míru lze vysvětlit jako potřebnou míru redukce vstupu pro dosažení efektivní hranice. 4

6 3.1.2 Variabilní výnos z rozsahu VRS Příklad variabilních výnosů z rozsahu vede k modifikaci efektivní hranice. V našem příkladě je efektivní hranice znázorněna na obrázku. Efektivní hranice zde tvoří obal dat, který je konvexní. Zde jsou oproti předchozímu příklady čtyři efektivní jednotky: U 1, U 2, U 6, U 8. je to proto, že nemusí být α-násobek vstupů doplněn stejným násobkem výstupů. Efektivní bude i jednotka když poměrný nárůst výnosů bude nižší případně vyšší než odpovídající nárůst vstupů. V tomto případě je míra efektivnosti vyšší než v předchozím příkladě. Jelikož efektivní hranice je ke všem jednotkám mimo ni blíž než v předchozím případě, bude jmenovatel při výpočtu míry nižší, tedy míra bude větší. Pro jednotku U 3 je míra efektivnosti v modelu CRS rovna 1, 22/3, 00 = 0, 407 pro oba orientované modely. V modelu VRS bude v modelu orientovaném na vstupy je míra efektivnosti určena poměrem x /x = 6/9 = 0, 667. Ve stejném modelu orientovaném na výstupy to bude y /y = 11/13 = 0, 85. Míra efektivnosti je v modelech s VRS může být různá při orientaci na vstupy a na výstupy. 3.2 Model dvou vstupů a jednoho výstupu Pro případ dvou vstupů a jednoho výstupu budeme předpokládat shodné, jednotkové výstupy.tento postup neodpovídá realitě, ale lze jej splnit tak, že oba vstupy nahradíme jejich podílem hodnotami výstupů. tedy na ose x budeme mít vstup 1/výstup a na ose y bude vstup 2/výstup. Dostaneme tak vstup na jednotku výstupu. To lze znázornit grafem. Z hlediska efektivnosti bude nižší hodnota vstupů na jednotku výstupu vést k vyšší efektivnosti. Z obrázku je zřejmé, že efektivní budou jednotky U 1, U 3, U 6, U 8. Jsou to hodnoty ke kterým neexistuje lepší hodnota vstupů na 5

7 Tabulka 2: Vstupní fata pro případ dvou vstupů a jednoho výstupu Jednotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup Vstup Výstup jednotkový výstup. Efektivní jednotky tvoří efektivní hranici, která definuje množinu produkčních možností. Jednotka U 5 v našem případě neleží na efektivní hranici. Různé DEA modely se liší pouze v tom, jak měří vzdálenost od efektivní hranice. Tato vzdálenost je vlastně míra efektivnosti hodnocené jednotky. Tento model měří tuto vzdálenost radiálně a určují míru redukce od obou vstupů. V tomto případě dostaneme virtuální jednotku U = (4; 3, 2). Míra efektivnosti jednotky U 5 je tedy U /U 5 = 4/5 = 3, 2/4 = 0, 8. Tuto hodnotu lze interpretovat jako, že na dosažení efektivní hranice musí jednotka U 5 snížit oba vstupy o 80% při zachování současné hodnoty výstupu. Kromě radiálního způsoby měření efektivnosti lze i tady požít podobný způsob jako v minulých příkladech. Při zachování hodnoty na ose x budeme minimalizovat hodnotu na ose y. Takto dostaneme bod (5; 2, 8) a míra efektivnosti bodu U 5 bude y /y = 2, 8/4 = 0, 7. Při zachování hodnoty na ose y se snažíme také minimalizovat hodnotu na ose x. Takto dostaneme bod (2, 4) a míra efektivnosti bodu U 5 bude x /x = 2/5 = 0, Model jednoho vstupu a dvou výstupů V tomto příkladě budeme postupovat obdobně jako v minulém příkladě. Budeme uvažovat výstupy na jednotku vstupu, například počet zákazníků na jednoho 6

8 Tabulka 3: Vstupní fata pro případ jednoho vstupu a dvou výstupů Jednotka U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Vstup Výstup Výstup pracovníka. Tato situace je znázorněna na obrázku. Je zřejmé, že vyšší výstupy povedou k vyšší efektivnosti. Efektivní hranice zde bude tvořena jednotkami U 1, U 3, U 7, U 8. Ke každé neefektivní jednotce lze najít jednotku na efektivní ose, která má obě souřadnicové hodnoty vyšší. koukneme se podrobněji na jednotku U 5. Pro tuto jednotku najdeme opět radiálním způsobem virtuální jednotku U = (8, 64; 6, 91), která se nachází na efektivní hranici. Výsledkem je míra efektivnosti o kterou je potřeba navýšit oba výstupy pro dosažení efektivnosti. Tato míra je zde určena jako podíl U /U 5 = 8, 64/5 = 6, 91/4 = 1, 727. Znamená to, že jednotka U 5 se dostane na efektivní hranici pokud navýší oba výstupy o téměř 73%. Lze si všimnout, že v předchozím příkladě byla míra u neefektivních jednotek menší než jedna, zde je naopak větší než jedna. V předchozím případě vyjadřovala míra efektivnosti potřebnou redukci vstupů pro dosažení efektivní hranice. Zde udává míra efektivnosti potřebné navýšení výstupů pro dosažení efektivní hranice. 4 CCR model Tento DEA model byl navržen Charnesem, Cooperema Rhodosem v roce Jmenuje se podle počátečních písmen autorů. tento model maximalizuje míru 7

9 fektivnosti jednotky U q, která je vyjádřena jako podíl vážených výstupů a vážených vstupů. Míra efektivnosti všech ostatních jednotek je menší nebo rovna jedné. Pro každou jednotku tak dostaneme pomocí vah pro vstupy v j, j = 1, 2,..., m virtuální vstup v 1 x 1q +v 2 x 2q +...+v m x mq. Pomocí vah pro výstupy u i, i = 1, 2,..., r virtuální výstup u 1 y 1q + u 2 y 2q u m y mq. CCR DEA model počítá váhy vstupů a výstupů optimalizačním výpočtem tak, aby to bylo pro hodnocenou jednotku co nejpříznivější z hlediska její efektivnosti. Tedy se maximalizuje míra efektivnosti hodnocené jednotky při dodržení podmínek maximálně jednotkové efektivnosti všech ostatních jednotek. Celý model lze pro jednotku U q formulovat jako úlohu lineárního lomeného programování následovně: maximalizovat z = za podmínek r i uiyiq m j vjxjq r i u iy ik m j v jx jk 1, k = 1, 2,..., n, u i ε = 1, 2,..., r, v j ε = 1, 2,..., m, kde z je míra efektivnosti jednotky U q a εje konstanta, pomocí které model zabezpečuje, že všechny váhy vstupů a výstupů budou kladné. x jk, j = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n je hodnota i-tého vstupu pro jednotku U k a y ik, i = 1, 2,..., r, k = 1, 2,..., n je hodnota i-tého výstupu pro jednotku U k. Hodnoty vstupů a výstupů jsou uspořádány do matic X a Y, které mají rozměr (m, n) resp. (r, n). Tuto úlohu převedeme na standardní úlohu lineárního programování pomocí Charnes-Cooperovy transformace. Upravená úloha má podobu: maximalizovat z = r i u iy iq za podmínek r m u i y ik v j x jk, k = 1, 2,..., n, i j m v j x jq = 1, j u i ε = 1, 2,..., r, v j ε = 1, 2,..., m. Hodnocená jednotka U q leží na CCR efektivní hranici a označuje se jako CCR efektivní v případě, že optimální míra efektivnosti vypočtená tímto modelem je rovna jedné, tj. x = 1. pro neefektivní jednotky bude platit, že je jejich míra efektivnosti menší než jedna. Tento model je označován jako primární CCR model orientovaný na vstupy. Obdobně bude vypadat zadání primárního CCR modelu orientovaného na výstupy, zde chceme naopak, aby virtuální výstup byl roven jedné. Z výpočtového hlediska i z hlediska interpretace je lepší použít duální CCR model orientovaný na vstupy, který vypadá následovně: minimalizovat θ q za podmínek n x ij λ j λ q x iq, i = 1, 2,..., m, j=1 8

10 n x ij λ j y iq, i = 1, 2,..., r, j=1 λ j 0, j = 1, 2,..., n, kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ n ), λ 0 je vektor vah, které jsou přiřazené jednotlivým jednotkám. Jedná se o vektor proměnných tohoto modelu. Další proměnnou je θ q, která je mírou efektivnosti hodnocené jednotky U q. proměnná θ q se může rovněž interpretovat jako potřebná míra redukce vstupů pro dosažení efektivní hranice a její hodnota bude menší nebo rovna jedné. Při hodnocení jednotky U q se model snaží najít virtuální jednotku charakterizovanou vstupy Xλ a výstupy Yλ, které jsou lineární kombinací vstupů a výstupů ostatních jednotek daného souboru a které jsou lepší než vstupy a výstupy hodnocené jednotky U q. Musí tedy platit Xλ θ q x q a Yλ y q, kde x q a y q jsou vektory vstupů a výstupů jednotky U q. Jednotka U q je označena za efektivní, pokud virtuální jednotka s uvedenými vlastnostmi neexistuje nebo je totožná s hodnocenou jednotkou, tedy Xλ = x q a Yλ = y q. To nastává pouze tehdy, je-li θ q = 1. Současně však musí být rovny nule všechny přídavné proměnné, které převádějí nerovnosti v předchozím modelu na rovnost. Po doplnění těchto proměnných do předchozího modelu bude mít výpočetní tvar modelu tento tvar: minimalizovat z = θ q ε(e T s + + e T s ), za podmínek Xλ + s = θ q x q, Yλ s + = y q, λ, s +, s 0, kde s + a s jsou vektory přídatných proměnných v omezeních pro všechny vstupy a výstupy, e T = (1, 1,..., 1) a ε je konstanta, která se volí zpravidla Hodnocená jednotka je efektivní, jsou-li splněny následující dvě podmínky: Optimální hodnota proměnné θ q je rovna jedné. Optimální hodnoty všech přídatných proměnných s +, i = 1, 2,..., r a s, i = 1, 2,..., m jsou rovny nule. 4.1 základní ilustrace DEA modelů Víše uvedené příklady budeme ilustrovat na datech z první tabulky. Použijeme výpočtový duální model pro hodnocení efektivnosti jednotky U 3 : minimalizovat z = θ 3 ε(s + + s ), za podmínek 12λ 1 + 7λ λ λ 8 + s 1 = 9θ 3, 14λ λ λ λ 8 s + 1 = 9θ 3, λ i 0, i = 1, 2,..., 8, s 1 0, s Tato úloha má optimální řešení z = θ 3 = 0, 4074, s 1 = 0, s+ 1 = 0, λ 6 = 1, 833 a všechny ostatní proměnné λ jsou rovny 0. Jednotka CCR tedy není efektivní a její míra efektivnosti je 0, Aby byla efektivní, musela by snížit svůj vstup z hodnoty 9 na hodnotu 9 0, 4071 = 3,

11 Pro model BCC je oproti taková změna jako pro model variabilních výnosů oproti modelu konstantních výnosů. v modelu BCC přibude podmínka λ 1 + λ λ 8 = 1. Tabulka 4: Výsledky DEA analýzy pro model CCR míra efektivnosti původní hodnota cílová hodnota U 1 0, ,666 U 2 0, ,000 U 3 0, ,666 U 4 0, ,000 U 5 0, ,333 U 6 1, ,000 U 7 0, ,000 U 8 0, ,000 Tabulka 5: Výsledky DEA analýzy pro model BCC míra efektivnosti původní hodnota cílová hodnota U 1 1, ,000 U 2 1, ,000 U 3 0, ,000 U 4 0, ,000 U 5 0, ,000 U 6 1, ,000 U 7 0, ,000 U 8 1, ,000 10

12 Reference [1] Jablonský J., Dlouhý M.: Modely hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Professional publishing,

Metoda analýzy datových obalů (DEA)

Metoda analýzy datových obalů (DEA) Kapitola 1 Metoda analýzy datových obalů (DEA) Modely datových obalů slouží pro hodnocení technické efektivity produkčních jednotek na základě velikosti vstupů a výstupů. Hodnocenými jednotkami mohou být

Více

Metoda analýzy datových obalů (DEA)

Metoda analýzy datových obalů (DEA) Kapitola 1 Metoda analýzy datových obalů (DEA) Modely datových obalů slouží pro hodnocení technické efektivity produkčních jednotek na základě velikosti vstupů a výstupů. Hodnocenými jednotkami mohou být

Více

Analýza obalu dat úvod

Analýza obalu dat úvod Analýza obalu dat úvod Jana Klicnarová Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Analýza obalu dat (DEA) Analýza obalu dat (Data envelopement

Více

Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)

Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Optimalizace s aplikací ve financích

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Modely analýzy obalu dat a jejich aplikace při hodnocení efektivnosti bankovních poboček

Modely analýzy obalu dat a jejich aplikace při hodnocení efektivnosti bankovních poboček Modely analýzy obalu dat a jejich aplikace při hodnocení efektivnosti bankovních poboček Josef Jablonský VŠE Praha, fakulta informatiky a statistiky nám. W. Churchilla 4, 13067 Praha 3 jablon@vse.cz, http://nb.vse.cz/~jablon

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Bankovní efektivnost Uvedení Metodologie Malmquistův index Přístupy k volbě proměnných pro výpočet efektivnosti

Bankovní efektivnost Uvedení Metodologie Malmquistův index Přístupy k volbě proměnných pro výpočet efektivnosti Bankovní efektivnost Uvedení Studium efektivní hranice začal Farrell (1957), který definoval jednoduchou míru firemní efektivnosti. Navrhl, že efektivnost každé firmy se skládá ze dvou částí, tedy technické

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Vícekriteriální programování příklad

Vícekriteriální programování příklad Vícekriteriální programování příklad Pražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhů kávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a 6 t. Složení kávy (v procentech)

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu

Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326 PROJEKT

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Přehled matematického aparátu

Přehled matematického aparátu Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Dokonale konkurenční odvětví

Dokonale konkurenční odvětví Dokonale konkurenční odvětví Východiska určení výstupu pro maximalizaci zisku ekonomický zisk - je rozdíl mezi příjmy a ekonomickými náklady (alternativními náklady) účetní zisk - je rozdíl mezi příjmy

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

4 Kriteriální matice a hodnocení variant

4 Kriteriální matice a hodnocení variant 4 Kriteriální matice a hodnocení variant V teorii vícekriteriálního rozhodování pracujeme s kritérii, kterých je obecně k, a s variantami, kterých je obecně p. Hodnotu, které dosahuje varianta i pro j-té

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Mikroekonomie Q FC VC Příklad řešení. Kontrolní otázky Příklad opakování zjistěte zbývající údaje

Mikroekonomie Q FC VC Příklad řešení. Kontrolní otázky Příklad opakování zjistěte zbývající údaje Příklad opakování zjistěte zbývající údaje Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Q FC VC 0 20 1 10 2 18 3 24 4 36 Co lze zjistit? FC - pro Q = 1, 2, 3, 4 TC AC AVC AFC Příklad

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7 Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé

Více

1 Diference a diferenční rovnice

1 Diference a diferenční rovnice 1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality. Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

11 Zobrazování objektů 3D grafiky

11 Zobrazování objektů 3D grafiky 11 Zobrazování objektů 3D grafiky Studijní cíl Tento blok je věnován základním algoritmům zobrazení 3D grafiky. Postupně budou probrány základní metody projekce kolmé promítání, rovnoběžné promítání a

Více

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ VOLBA TECHNOLOGIE. Semestrální práce MIE2

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ VOLBA TECHNOLOGIE. Semestrální práce MIE2 FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ VOLBA TECHNOLOGIE Semestrální práce MIE2 Vypracoval: Bc. Martin Petruželka Studijní obor: K-IM2 Emailová adresa: Martin.Petruzelka@uhk.cz Datum

Více

Metodický list pro druhé soustředění kombinovaného Bc. studia předmětu B_MiE_B, Mikroekonomie B Název tematického celku: Mikroekonomie B druhý blok

Metodický list pro druhé soustředění kombinovaného Bc. studia předmětu B_MiE_B, Mikroekonomie B Název tematického celku: Mikroekonomie B druhý blok Cíl tematického celku: pochopit problematiku rozhodování firmy, odvodit nabídkovou křivku Tento tématický celek je rozdělen do následujících dílčích témat: 1. dílčí téma: Podstata firmy 2. dílčí téma:

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese

Více

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I.

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I. EKONOMETRIE. přednáška Modely hování výrobe I. analýza raionálního hování firmy při rozhodování o objemu výroby, vstupů a nákladů při maimalizai zisku základní prinip při rozhodování výrobů Produkční funke

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více