Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183"

Transkript

1 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

2 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými členy Násobení nekonečných řad a odhad zbytku 2 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Fourierovy řady Fourierovy řady vzhledem k {1, sin x, cos x,... } c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 2 / 183

3 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Definice 1 Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Položme s n = a a n. Tuto posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady n=1 a n, přičemž symbolem n=1 a n rozumíme nekonečný součet a a n +, jehož hodnotu definujeme takto: Jestliže existuje konečná limita s = lim n s n, definujeme a n = s n=1 ( ) = lim s n n a řekneme, že nekonečná řada n=1 a n konverguje. Jestliže limita neexistuje, nebo je rovna nekonečnu, řekneme, že tato řada diverguje, a to k ± v případě nevlastní limity (píšeme n=1 a n = ± ), resp. řekneme, že osciluje, když lim n s n neexistuje. Číslo a n se nazývá n tý člen, číslo s n se nazývá n tý částečný součet řady. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 4 / 183

4 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 1 Geometrická řada je součet tvaru a + aq + aq 2 + aq aq n + = aq n 1 = n=1 aq n, kde a, q R jsou pevně zvolená čísla. Tedy je to nekonečná řada, kde a n := aq n 1 pro n N. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné či záporné. Posloupnost částečných součtů pro geometrickou řadu odvodíme snadno: s n = a+aq+aq 2 + +aq n 1 +aq n, qs n = aq+aq 2 +aq 3 + +aq n +aq n+1. Odečtením druhé rovnice od první dostaneme n=0 s n qs n = a aq n+1 s n (1 q) = a (1 q n+1 ). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 5 / 183

5 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Je-li q = 1, potom je zřejmě s n = na. Je-li q 1, potom je Ihned tedy dostáváme s n = a 1 qn+1 1 q. Geometrická řada s a = 0 (a q R libovolným) konverguje (k 0), protože v tomto případě jsou s n = 0. Geometrická řada s a 0 a q = 1 zřejmě diverguje (k ± podle znaménka čísla a), protože v tomto případě jsou s n = na. Geometrická řada s a 0 a q = 1 zřejmě osciluje, protože je v tomto případě s n = {a, 0, a, 0, a, 0,... } a limita této posloupnosti neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 6 / 183

6 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 1 Necht a 0. Potom geometrická řada n=1 aqn 1 konverguje právě tehdy když q < 1. V tomto případě (a také v případě a = 0) je pak její součet aq n 1 = n=1 a, q < 1. 1 q c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 7 / 183

7 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 2 n=1 1 2 n = ( 1 ) n 1 n=1 2 = = 1 (a = 1 2, q = 1 2 ) Plocha Sierpinského koberce (o straně 1 jednotka) P = 1 n=1 8 n 1 9 n = n=1 ( ) 8 n = = 1 1 = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 8 / 183

8 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 3 n=1 1 n 2 +2n = n=1 A n + B n+2 = n=1 1 2 n 1 2 n+2 s n = 1 ( n 2 1 n + 1 n 1 1 n n 1 ) n + 2 = 1 ( n ) n + 2 lim n s n = 3 4 n=1 1 n 2 +2n = 3 4 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 9 / 183

9 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 4 n=1 ( 1)n (Grandiho řada) s n = a a n = Limita s n neexistuje, řada osciluje. n=1 1 n (harmonická řada) { 1 n liché 0 n sudé s 2 n, 1 + n 1 2 n=1 1 n = c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 10 / 183

10 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Poznámka 1 an... rozumí se n=1 a n 2 Charakter chování řady (konvergence, divergence, oscilace) zachováme, jestliže změníme konečný počet členů posloupnosti a n. (Zvláště vynecháme-li konečný počet prvků např. na začátku.) 3 Často nás spíše než součet řady zajímá, zda řada konverguje, resp. diverguje, aniž nás zajímá konkrétní hodnota součtu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 11 / 183

11 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 2 (Nutná podmínka konvergence) Jestliže řada a n konverguje, pak limita lim a n = 0. Důkaz. Když s = lim s n = lim(a a n ) existuje a je konečná, pak a n = s n s n 1, tedy lim a n = lim s n lim s n 1 = s s = 0. Poznámka Opačné tvrzení neplatí viz harmonickou řadu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 12 / 183

12 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 5 ( 1) n asociativní zákon neplatí! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 13 / 183 Věta 3 (Asociativní zákon pro nekonečné řady) Necht a n = a je konvergentní. Necht n k je libovolná rostoucí posloupnost přirozených čísel, n 0 = 0 a b k = a nk a nk. Pak řada k=1 b k konverguje se stejným součtem jako původní řada, tj. bk = a. Důkaz. a a n1 + a n a n2 + = an = a }{{}}{{} b 1 b 2 Označme s k = k j=1 a j, t k = k j=1 b j t 1 = s n1, t 2 = b 1 + b 2 = s n2,..., t k = s nk. Protože limita s n je a, pak lim k s nk = lim n t k = a, tedy b k = a. (Posloupnost {t i } je vybraná podposloupnost {s j }.)

13 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 4 (Cauchyovo Bolzanovo kritérium konvergence) Řada a n je konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n je cauchyovská, tj. ε > 0 n 0, n > n 0 a m N : s n+m s n = a n a n+m < ε. Důkaz. {s n } je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská (R je úplný metrický prostor). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 14 / 183

14 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 5 Necht a n = a a b n = b jsou konvergentní řady a α, β R. Pak i řada (αa n + βb n ) je konvergentní a platí (αan + βb n ) = αa + βb. Důkaz. Vlastnosti limit samostatné procvičení. Poznámka an = a a b n =, pak (a n + b n ) = c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 15 / 183

15 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Řadami s nezápornými členy rozumíme řady n=1 a n, pro které a n 0 pro každé n N. (Často budemem uvažovat i řady s kladnými členy, tedy a n > 0, n N.) Je zřejmé, že součet nemůže být záporný (nekladný) a nemůže nastat oscilace. Tj. limita částečných součtů existuje a platí 0 lim s n, přičemž lim s n = 0 pouze pokud a n = 0, n N. Věta 6 (Prosté srovnávací kritérium) Necht a n, b n 0 a necht a n b n platí pro velká n, tj. n 0 N : a n b n n n 0. Je-li b n <, pak a n <. Naopak, je-li a n =, pak b n =. Poznámka Řada b n ja majorantní řadou k řadě a n a řada a n ja minorantní řadou k řadě b n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 17 / 183

16 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že a n b n n N. Označme s k = k j=1 a j, t k = k j=1 b j s n t n, n N. Je-li b n <, pak posloupnost {t n } konverguje, tedy je shora ohraničená. Potom je také posloupnost {s n } shora ohraničená. Protože je navíc neklesající, musí konvergovat. Sporem předpokládejme, že a n = a b n <. Dle výše dokázaného plyne z konvergence řady b n konvergence řady a n. Spor. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 18 / 183

17 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 6 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady 1 n 2. Pro n 2 máme 1 1 n 2 n(n 1). Pokud dokážeme, že majorantní řada konverguje, lze použít předchozí větu. Pro velká m N máme m n=2 1 m n(n 1) = tedy 1 n 2 n=2 1 n + 1 n 1 = m m 2 1 m + 1 m 1 = pro m, m konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 19 / 183

18 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 7 (Integrální kritérium) Necht n=1 a n je nekonečná řada s nezápornými členy. Necht f (x) je funkce definovaná na intervalu [N, ) pro nějaké N [0, ), která je na tomto intervalu nezáporná, nerostoucí a platí f (n) = a n pro všechna n N. Potom a n konverguje n=1 a n diverguje k n=1 N N f (x) dx f (x) dx =. konverguje, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 20 / 183

19 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že N = 1. Vzhledem k monotonii funkce f je tato integrovatelná na libovolném intervalu [1, t], 1 t R a funkce horní meze F (t) = x 1 f (x)dx je neklesající. i=1 a i, Jistě platí n i=2 a i n 1 f (x)dx n 1 tedy s n a 1 F (n) s n n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 21 / 183

20 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Jestliže n=1 a n konverguje, pak je posloupnost {s n } shora ohraničená a tedy k R : F (n) k n N. Funkce F je neklesající, tedy F (t) k t [1, ). Limita lim t F (t) tedy konverguje, což znamená konvergenci 1 f (x) dx. Jestliže 1 f (x) dx konverguje, pak je F shora ohraničená. Z nerovnosti s n a 1 F (n) plyne ohraničenost posloupnosti částečných součtů {s n }, která je neklesající a ohraničená, tedy konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 22 / 183

21 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 7 Pomocí integrálního kritéria snadno dokážeme, že { 1 n α = diverguje pro α 1, konverguje pro α > 1. n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 23 / 183

22 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 8 (Limitní srovnávácí kritérium) a Necht a n, b n 0 a existuje limita lim n n b n = L (vlastní nebo nevlastní). Je-li b n < a L <, pak a n <. Důkaz. Je-li b n = a L > 0, pak a n =. Předpokládejme, že b n < a L <, pak ε > 0 n 0 N, n n 0 : L ε < a n < L + ε. Odtud b } n {{} a n < (L + ε)b n a n (L + ε)b n a n (L + ε) b n <. Tedy a n konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 24 / 183

23 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Předpokládejme, že b n = a L > 0 a uvažujme dva případy. Jestliže L <, pak ε > 0 a n 0 N, n n 0 : 0 < L ε < an b n. Tedy (L ε)b n < a n < a n. Jestliže L =, pak k > 0, k R, a n 0 N, n n 0 : k < an b n. Tedy kb n < a n < a n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 25 / 183

24 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 8 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n=1 arctg 1 n. arctg 1 n lim n 1 n = lim n n 2 1 n 2 tj. b n = 1 n =, L > 0 arctg 1 n =. Příklad 9 = 1 > 0, 1 n 2 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n=1 ln ( ) n. 2 ( ln lim n ( ln lim n ) 1+ 1 n 2 1 n 1+ 1 n 2 ) 1 = lim n 2 n 1+ 1 n n 2 = lim n 1 = 0, (nelze použít) n 2 = 1, tj. b n <, L < a n <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 26 / 183

25 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 9 (Podílové (d Alambertovo) kritérium) Necht a n > 0 pro n N. 1 Jestliže k R, k < 1 : a n+1 a n k, n N, pak a n konverguje. Jestliže a n+1 a n 1, n N, pak a n diverguje. 2 Necht navíc existuje limita lim a n+1 a n = L, L R. Je-li L < 1, pak an < ; je-li L > 1, pak a n = ; je-li L = 1, nelze rozhodnout. Poznámka Pro a n = 1 n 2 diverguje. i pro a n = 1 n je L = 1, přitom jedna řada konverguje a druhá c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 27 / 183

26 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Dokážeme limitní podílové kritérium (první část podobně). Jestliže lim a n+1 a n = L, pak ε > 0 n 0 N, n n 0 : L ε < a n+1 L + ε (L ε)a n < a n+1 < (L + ε)a n. a n < L < 1: Necht ε > 0 je takové, že L + ε = q < 1 a n+1 qa n a n0 +1 qa n0, a n0 +2 q 2 a n0,..., a n0 +k q k a n0, pak n 0 n 0 a n = a n + a n0 +k n=1 n=1 k=1 tedy řada a n konverguje. n=1 a n }{{} číslo +a n0 q k = číslo + k=1 L > 1: Porovnání s geometrickou řadou s q = L ε > 1. q 1 q, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 28 / 183

27 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 10 (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium) Necht a n > 0 pro n N. 1 Jestliže k R, k < 1 : n a n k, n N, pak a n konverguje. Jestliže n a n 1 pro nekonečně mnoho n N, pak a n diverguje. 2 Necht navíc existuje limita lim n a n = L, L R. Je-li L < 1, pak an < ; je-li L > 1, pak a n = ; je-li L = 1, nelze rozhodnout. Poznámka Opět např. pro a n = 1 i pro a n 2 n = 1 n konverguje a druhá diverguje. je L = 1, přitom jedna řada Důkaz. Opět dokážeme limitní kritérium (první část podobně). Jestliže lim n a n = L L ε < n a n < L + ε, pro velká n. Tedy (L ε) n < a n < (L + ε) n a postupujeme obdobně jako v předchozím důkazu porovnání s geometrickou řadou. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 29 / 183

28 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Poznámka Lze ukázat, že platí lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n. a Tedy pokud existuje limita lim n+1 n a n = L, potom existuje i limita lim n n a n a tyto dvě limity si jsou rovny. Navíc, jestliže je podílové kritérium nerozhodnutelné ( a n+1 a n 1), potom je také odmocninové kritérium nerozhodnutelné ( n a n 1). Říkáme, že odmocninové kritérium je silnější, než podílové kritérium (každý problém, který lze vyřešit podílovým kritériem, lze vyřešit i odmocninovým kritériem, ale ne naopak). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 30 / 183

29 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 10 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n n n! a n+1 a n = (n+1)n+1 (n+1)! n! n n n (3+ 1 n )n lim n n = lim n n (3+ 1 n )n 3+ 1 n = (n+1)n n n = 1 3 = ( n ) n n e > 1 řada diverguje < 1 řada konverguje c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 31 / 183

30 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 11 (Raabeovo kritérium) Necht a n > 0 a necht existuje limita lim n n ( 1 a n+1 a n ) = L, L R Pro L < 1 řada diverguje, pro L > 1 řada konverguje a pro L = 1 nelze rozhodnout. Poznámka Raabeovo kritérium je zesílením podílového kritéria. (Přibližování k 1 zespoda či shora.) V literatuře lze najít (či odvodit) další zobecnění, tedy další silnější kritéria. Jediné univerzální je ale Cauchyovo Bolzanovo kritérium (věta 4). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 32 / 183

31 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 11 n=1 n! ( 2+1)( 2+2) ( 2+n) lim a n+1 a n = lim (n+1)!( 2+1)( 2+2) ( 2+n) ( ) lim n 1 a n+1 a n = lim n ( 2+1)( 2+2) ( 2+n)( 2+n+1)n! = lim n+1 2+n+1 = 1 ( 1 n+1 2+n+1 ) = lim n( 2+n+1 n 1) 2+n+1 = lim n 2 2+n+1 = 2 > 1, tedy řada konverguje c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 33 / 183

32 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Poznámka an, a n > 0 a člen a n má n v exponentu, nebo obsahuje faktoriál. Pak je obvykle výhodné zkusit podílové nebo odmocninové kritérium. Není-li tomu tak, pak zkusíme podílové srovnávací kritérium s 1/n α. Dále je k dispozici integrální kritérium. Např. 1 n(ln n) α e dx x(ln x) α = ln x = t, dx x n=2 =dt = 1 dt t α = { konv. α > 1 div. α 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 34 / 183

33 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 2 Necht a n > 0. Pak řada n=1 ( 1)n 1 a n se nazývá alternující řada. Poznámka Alternující řada je také řada n=1 ( 1)n a n a obecně řada splňující sgn f n = sgn f n+1, n N. n=1 f n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 36 / 183

34 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 12 (Leibnizovo kritérium) Necht a n > 0 je nerostoucí posloupnost. Jestliže lim n a n = 0, pak alternující řada n=1 ( 1)n 1 a n konverguje. Poznámka Vzhledem k platnosti nutné podmínky konvergence lze větu 12 formulovat i s ekvivalencí. Důkaz. s 2n = a 1 a }{{} a 2n 2 a 2n 1, s }{{} 2n+2 = s 2n + a 2n+1 a 2n+2, }{{} tedy posloupnost {s 2n } je neklesající. Podobně s 2n 1 = a 1 (a 2 a 3 ) (a 2n 2 a 2n 1 ), s 2n+1 = s 2n 1 (a 2n a 2n+1 ), tedy {s 2n+1 } je nerostoucí. s 2 = a 1 a 2 s 2n s 2n + a 2n+1 = s 2n+1 s 1 = a 1 {s 2n }, {s 2n+1 } jsou ohraničené, obě mají konečnou limitu lim(s 2n+1 s 2n ) = lim a 2n+1 = 0 lim s 2n+1 = lim s 2n = s = lim s n n=1 ( 1)n 1 a n = s konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 37 / 183

35 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Příklad 12 n=1 ( 1) n 1 n ( 1 n 0, 1 n+1 < 1 n Příklad 13 = 1 ) (Leibnizova řada) ( 1) n 1 konverguje n n=2 ( 1) n 1 n + ( 1) n lim a n = 0, kdyby řada konvergovala, pak bychom mohli aplikovat asociativní zákon (věta 3). Pro n liché máme 1 1 n 1 n+1+1 = n+1+1 n+1 ( n 1)( n+1+1) = n+1 n+2 ( n 1)( n+1+1) 1 n. Uzávorkovaná řada diverguje, tedy ve větě 12 nelze vynechat předpoklad monotonie. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 38 / 183

36 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 3 Řekneme, že řada a n konverguje absolutně, pokud konverguje řada an. Řekneme, že řada konverguje neabsolutně (relativně), jestliže řada an konverguje, ale řada a n diverguje. Příklad 14 ( 1) n 1 n je neabsolutně konvergentní sama konverguje, ale absolutní hodnotou dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. ( 1) n 1 n 2 je absolutně konvergentní, nebot ( 1) n 1 n 2 = 1 n 2 <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 39 / 183

37 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 13 Je-li řada a n absolutně konvergentní, pak je konvergentní. (Tedy z absolutní konvergence plyne konvergence.) Důkaz. Podle Cauchyova Bolzanova kritéria (věta 4) je řada a n konvergentní právě tehdy, když posloupnost a a n je cauchyovská, tj. }{{} s n ε > 0 n 0 N n n 0, m N : s n+m s n = a n+m + + a n+1 < ε a n+m + + a n+1 < ε. tedy posloupnost částečných součtů řady a n je cauchyovská, tedy řada konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 40 / 183

38 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Poznámka Opak neplatí viz Leibnizovu řadu. Poznámka Při rozhodování o konvergenci/divergenci je někdy výhodné otestovat nejprve a n pomocí kritéríı o řadách s nezápornými členy. Je-li an < a n <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 41 / 183

39 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 14 (Abelovo kritérium) Necht a n je konvergentní a {b n } je ohraničená a monotónní posloupnost. Pak (a n b n ) je konvergentní. Věta 15 (Dirichletovo kritérium) Necht a n má ohraničenou posloupnost částečných součtů a {b n } je monotónní posloupnost s limitou nula (b n 0). Pak (a n b n ) je konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 42 / 183

40 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Příklad 15 Otestujme konvergenci řady sin nx n, x R. Pokud je x celočíselný násobek π, řada konverguje. Dále postupujme pro všechna ostatní x. Zvoĺıme a n = sin nx, b n = 1 n, tedy b n 0 a je ohraničená. s n = sin x + + sin nx / i c n = cos x + + cos nx n k=1 (cos kx + i sin kx) = n k=1 eikx c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 43 / 183

41 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy n k=1 e ikx = e ix + e 2ix + + e nix = e ix eix(n+1) 1 e ix 1 n+1 eix( 2 ) ( n+1 e ix( 2 ) e ix( n+1 2 ) ) ix = e ( ) = e iα e iα = 2i sin α e ix 2 e ix 2 e ix 2 = e ix 2 e ix n+1 sin ( n x) sin x = 2 [ cos ( n x ) ( )] ( n + 2 sin n+1 + i sin 2 x 2 x) sin x 2. Imaginární část dává ( ) ( n + 2 sin n+1 sin x + + sin nx = sin 2 x 2 x) sin x, 2 což je ohraničené, tedy řada konverguje podle Dirichletova kritéria. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 44 / 183

42 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Konverguje absolutně? Pokud je x celočíselný násobek π, pak ano. Pokud x není celočíselný násobek π, pak sin nx n sin 2 nx n = 1 cos 2 nx n = 1 }{{ n} = Řada sin nx n Poznámka diverguje, tedy řada sin nx n cos 2 nx n }{{} konv. dle DK konverguje neabsolutně. Leibnizovo kritérium je speciálním případem Dirichletova pro ( 1) n a n. ( 1) n má ohraničené částečné součty a a n 0 (shora) hraje roli b n v Dirichletově kritériu.. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 45 / 183

43 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 4 Necht f : N N je bijekce. Řekneme, že řada b n, kde b n = a f (n), je přeřazením řady a n. Řekneme, že pro řadu a n platí komutativní zákon, jestliže pro libovolnou bijekci f : N N platí a n = a f (n). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 46 / 183

44 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 16 (Komutativní zákon pro nekonečné řady) Necht řada a n konverguje absolutně, tj. a n <. Pak pro tuto řadu platí komutativní zákon. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 47 / 183

45 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Důkaz. Označme b n = a f (n) a necht t n = b b n = a f (1) + a f (n) je posloupnost částečných součtů b n a necht s n = a a n je posloupnost částečných součtů a n. Protože a n konverguje absolutně, pak a n konverguje, tedy existuje konečná limita s = lim s n. Dokážeme, že t n s. Platí s n t n = a a n (a f (1) + + a f (n) ). Necht ε > 0 je libovolné. Protože a n je konvergentní, tak podle Cauchyova Bolzanova kritéria n 0 N : n n 0, m N : a n a n+m < ε. Zejména máme a n a n0 +m < ε. Protože n n 0, máme a a n (a f (1) + + a f (n) ) = a a n0 + + a n (a f (1) + + a f (n) ). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 48 / 183

46 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Necht n 1 N je takové, že {1,..., n 0 } {f (1),..., f (n 1 )}, pak pro n max{n 0, n 1 } platí a a n0 + + a n (a f (1) + + a f (n) ) a n a n0 +q }{{} <ε (q je největší zbývající index ). Tedy s n t n 0 a n = a f (n). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 49 / 183

47 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 5 Pro posloupnost a n označme { a n + a n a n 0 = 0 a n < 0 a a n = { a n a n 0 0 a n > 0. Potom {a + n } nazýváme kladná část a {a n } záporná část posloupnosti {a n }. Poznámka Zřejmě platí a + n = an+ an 2 = max{a n, 0}, resp. a n = an an 2 = min{a n, 0}. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 50 / 183

48 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 17 Necht a n je neabsolutně konvergentní, pak a + n = + a a n =. Důkaz a + n < a a n > a + n = a an > a + n < a an = a + n = a an = Kdyby platilo 1, pak a n = a n + an konverguje podle věty o konvergenci součtu dvou konvergentních řad spor, nebot a n =. Kdyby platilo 2 nebo 3, pak a n = a n + + an a součet bude (případ 2) nebo (případ 3) spor s a n <. Tedy nutně a n + = a an =. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 51 / 183

49 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 18 (Riemannova věta o přeřazení, velká věta o přeřazení) Necht řada a n je neabsolutně konvergentní a L 1, L 2 R, L 1 L 2. Pak existuje permutace množiny N taková, že pro posloupnost částečných součtů t n přeřazení řady a f (n) (tj. t n = a f (1) + + a f (n) ) platí lim sup t n = L 2 a lim inf t n = L 1. Zejména neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat tak, že diverguje k ± nebo osciluje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 52 / 183

50 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Důkaz. Předpokládejme, že L 1, L 2 R, L 1 < L 2 a L 2 > 0 (pro ostatní případy je modifikace důkazu zřejmá). Platí a + n = a a n =. Existuje n 1 : a a+ n 1 > L 2 a necht n 1 je nejmenší takový index. Necht n 2 je takový index, že a a+ n 1 + a 1 + a n 2 < L 1 a necht je nejmenším indexem s takovou vlastností. Důležité je, že a n 0 (což je nutná podmínka konvergence a n ) a n 0 a tedy velikost přelezení/podlezení hodnot L 1, L 2 se bĺıží k nule. Z konstrukce plyne, že lim sup t n = L 2 a lim inf t n = L 1. (Např. pro L 1 =, L 2 = budeme součty rozkmitávat.) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 53 / 183

51 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Poznámka Konečné řady: (a a n )(b b m ) = a 1 b a n b m. Nekonečné řady: ( ) ( ) an bn =? a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b n... a n b 1 a n b 2 a n b n... c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 55 / 183

52 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 19 Necht řady a n, b n jsou absolutně konvergentní a necht c n je libovolná nekonečná řada, v níž posloupnost {c n } je permutací posloupnosti {a i b j } (tj. {c n } je libovolná posloupnost obsahující permutaci prvků z uvedené tabulky). Pak c n konverguje také absolutně a platí cn = c = a b, kde a n = a, b n = b. Důkaz. Pro i m = min{i 1,..., i n }, j m = min{j 1,..., j n }, i M = max{i 1,..., i n }, j M = max{j 1,..., j n } máme c c n = a i1 b j1 + + a in b jn ( a im + + a im )( b jm + + b jm ) A B, kde }{{}}{{} a(i M ) b(j M ) A = a n, B = b n. Tedy posloupnost částečných součtů c n je shora omezená, tedy c n <, tedy c n je absolutně konvergentní a platí pro ni komutativní zákon. n 2 k=1 c k = a 1 b 1 +(a 1 b 2 +a 2 b 2 +a 2 b 1 )+ +(a 1 b n + +a n b n + +a n b 1 )+ = (a a n )(b b n ) = s n t n ab n=1 c n = ab. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 56 / 183

53 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Poznámka (a 1 x + a 2 x a n x n )(b 1 x + b 2 x b n x n ) = x 2 (a 1 b 1 ) + x 3 (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + x 4 (a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b 1 ) + (Postupujeme po diagonálách.) Definice 6 Uvažujme nekonečné řady a n, b n. Necht c n = a 1 b n + + a n b n + + a n b 1 (po elkách ), pak se řada cn nazývá Dirichletův součin řad a n, b n. Je-li c n = a 1 b n + a 2 b n a n 1 b 2 + a n b 1 (po diagonálách), pak se řada c n nazývá Cauchyův součin řad a n, b n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 57 / 183

54 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 20 Necht a n, b n jsou konvergentní řady, a n = a, b n = b. Pak jejich Dirichletův součin c n také konverguje a c n = ab. (Mertensova věta) Necht a n, b n jsou konvergentní řady, an = a, b n = b a alespoň jedna z nich konverguje absolutně. Pak konverguje i jejich Cauchyův součin a c n = ab. Poznámka V Mertensově větě o Cauchyově součinu nelze vypustit předpoklad absolutní konvergence alespoň jedné řady. Např. pro [( ( 1) n 1 n ) ( ( 1) n 1 n )] Cauchy máme c n = n + 2 n n 1 1 n + 1 n n = 1, lim c n 0, není splněna nutná podmínka konvergence a tedy Cauchyův součin řady ( 1) n 1 n se sebou nemůže konvergovat. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 58 / 183

55 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Definice 7 Předpokládejme, že řada a n je konvergentní. Výraz R n = k=n+1 a k se nazývá zbytek po n-tém členu, tj. a n = s n + R n. Věta 21 Uvažujme nekonečnou řadu a n se zbytkem R n. Necht b n je konvergentní řada se nezápornými členy, pro niž platí a n b n. Pak řada an konverguje absolutně a pro její zbytek platí R n R n, kde R n je zbytek po n-tém členu řady b n. Důkaz. R n = k=n+1 a k k=n+1 a k k=n+1 b k = R n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 59 / 183

56 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 22 Necht a n je nerostoucí posloupnost kladných čísel a lim a n = 0. Pak pro zbytek alternující řady ( 1) n 1 a n platí R n a n+1. Navíc sgn R n = ( 1) n. Důkaz. Dle Leibnizova kritéria je řada ( 1) n 1 a n konvergentní. Dále postupujeme jako v důkazu Leibnizova kritéria pro řadu R n = k=n+1 ( 1)k 1 a k, tedy R n = ( 1) n a n+1 + ( 1) n+1 a n+2 + ( 1) n+2 a n+3 + = ( 1) n (a n+1 a n+2 + a n+3 a n+4 + ) }{{} =:r a odtud 0 < a n+1 a n+2 < r < a n+1. Tedy ihned R n = ( 1) n r. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 60 / 183

57 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 23 Necht a n je monotónní posloupnost nezáporných čísel, řada a n konverguje a f : [1, ) R je monotónní a pro n N : f (n) = a n. Pak R n n f (x)dx. Důkaz. Plyne ze stejného obrázku jako důkaz integrálního kritéria. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 61 / 183

58 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Příklad 16 Kolik členů řady n=1 1 musíme vzít, aby chyba (zbytek) byla menší než n 2 0,01? R n n 1 x 2 dx = [ 1 x ] n = 1 n n 100. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 62 / 183

59 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 17 (Motivace) Uvažujme funkce s n (x) = x n pro x [0, 1] a n N. Jedná se tedy o posloupnost částečných součtů funkcí s 1 (x) = x, s 2 (x) = x 2, s 3 (x) = x 3, s 4 (x) = x 4,... f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 x, f 3 (x) = x 3 x 2,... f n (x) = x n x n 1,... Všechny tyto funkce f n (x) jsou spojité na intervalu [0, 1] pro každé n N. Dále jsou všechny funkce s n (x) spojité na intervalu [0, 1]. Přitom { x n n 0 x [0, 1), s n (x) = 1 n n. 1 x = 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 64 / 183

60 Posloupnosti a řady funkcí Tedy posloupnost s n (x) konverguje pro každé x [0, 1] k funkci { 0, pro x [0, 1), f n (x) = lim s n(x) = s(x) = n 1, pro x = 1, n=1 přičemž tato funkce s(x) je nespojitá (konverguje pouze bodově). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 65 / 183

61 Posloupnosti a řady funkcí Definice 8 Řekneme, že posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, konverguje bodově na tomto intervalu k funkci f (x), jestliže x I číselná posloupnost {f n ( x)} konverguje k číslu f ( x), píšeme f n f, tj. Definice 9 ε > 0, x I, n 0 = n 0 (ε, x) n n 0 : f n (x) f (x) < ε. Řekneme, že posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, konverguje na intervalu I stejnoměrně k funkci f (x), jestliže píšeme f n f. ε > 0 n 0 = n 0 (ε) : x I, n n 0 : f n (x) f (x) < ε, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 66 / 183

62 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Konvergence posloupnosti f n (x) = x n, x [0, 1] není na [0, 1] stejnoměrná. P = C[a, b], ρ C (f, g) = max x [a,b] f (x) g(x) metrika stejnoměrné konvergence. Ze stejnoměrné konvergence plyne bodová konvergence. Naopak to neplatí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 67 / 183

63 Posloupnosti a řady funkcí Věta 24 Necht posloupnost funkcí {f n } konverguje na intervalu I k funkci f, označme r n = sup f n (x) f (x). x I Pak posloupnost f n konverguje na I k funkci f stejnoměrně právě tehdy, když r n 0. Důkaz. ( ) lim r n = 0 ε > 0 n 0 N, n n 0 : r n < ε sup x I f n (x) f (x) < ε x I : f n (x) f (x) < ε ( ) triviální modifikace předchozí implikace c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 68 / 183

64 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 18 Rozhodněte, zda posloupnost f n (x) = stejnoměrně. 2nx 1+n 2 x 2 konverguje na I = [0, 1] Vyřešíme bodovou konvergenci a pak podle věty 24 rozhodneme, je-li 2nx stejnoměrná nebo ne. Protože lim n = 0, konverguje posloupnost 1+n 2 x 2 bodově na I k funkci f (x) 0. Dále r n = sup f n (x) f (x) = sup x I x [0,1] 2nx 1 + n 2 x 2 0 2nx = max x [0,1] 1 + n 2 = 1, n N. x 2 Posloupnost nekonverguje stejnoměrně k nule na intervalu [0, 1]. ( ) 2nx 1+n 2 x = 2n(1+n 2 x 2 ) 2nx(n 2 2x) = 0 2n(1 + n 2 x 2 ) = 2nx(n 2 2x) 2 (1+n 2 x 2 ) n 2 x 2 = 2n 2 x 2 1= n 2 x 2 x = 1 n, f n(0) = 0, f n (1) = 2n, f 1+n 2 n ( 1 n ) = 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 69 / 183

65 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 19 f n (x) = sin nx n, I = R f n 0, r n = 1 n f n(x) 0 na R c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 70 / 183

66 Posloupnosti a řady funkcí Definice 10 Řekneme, že řada funkcí n=1 f n(x) konverguje (bodově) k funkci f (x), jestliže posloupnost částečných součtů s n (x) = f 1 (x) + + f n (x) konverguje (bodově) k funkci f (x) na intervalu I, tj. s n (x) f (x) na I. Řekneme, že řada funkcí n=1 f n(x) konverguje stejnoměrně k funkci f (x), píšeme n=1 f n(x) = f (x) stejnoměrně, pokud s n f (x) na I. Příklad 20 e x = 1 + x + x 2 2! + = konverguje stejnoměrně na R (ukážeme později). n=0 x n n! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 71 / 183

67 Posloupnosti a řady funkcí Lemma 1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence) Posloupnost funkcí {f n } konverguje na intervalu I stejnoměrně právě tehdy, když ε > 0 n 0 N x I m, n n 0 (m, n N) : f m (x) f n (x) < ε. Důkaz. Viz skripta. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 72 / 183

68 Posloupnosti a řady funkcí Věta 25 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí) Řada funkcí n=1 f n(x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n (x) je na intervalu I stejnoměrně cauchyovská, tj. ε > 0 n 0 N x I n n 0 m N : s n+m (x) s n (x) = f n+1 (x) + + f n+m (x) < ε. Důkaz. Řada funkcí n=1 f n(x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x), právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n (x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x). Nyní stačí využít Lemma 1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 73 / 183

69 Posloupnosti a řady funkcí Věta 26 (Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence) Necht posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, splňuje na intervalu I nerovnost f n (x) a n a číselná řada a n je konvergentní. Pak řada funkcí n=1 f n(x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Důkaz. Podle předchozí věty stačí dokázat, že posloupnost částečných součtů s n (x) je na intervalu I stejnoměrně cauchyovská. Protože řada a n konverguje, pak podle Cauchyova Bolzanova kritéria je číselná posloupnost jejích částečných součtů cauchyovská, tzn. tedy ε n 0 N, n n 0, m N : a n a n+m < ε, f n+1 (x) + + f n+m (x) f n+1 (x) + + f n+m (x) a n a n+m < ε n n 0, m N, x I. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 74 / 183

70 Posloupnosti a řady funkcí Věta 27 (Abelovo kritérium) Necht f n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní a posloupnost {g n (x)} je na I stejnoměrně ohraničená a monotónní. Pak f n (x)g n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Věta 28 (Dirichletovo kritérium) Necht f n (x) má stejnoměrně ohraničenou posloupnost částečných součtů, posloupnost {g n (x)} je na I monotónní a g n 0 na I. Pak fn (x)g n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Posloupnost {f n (x)} je na I neklesající (nerostoucí), jestliže má tuto vlastnost každá číselná posloupnost {f n (x 0 )}, x 0 I. Jestliže k R, k > 0 : n N, x I : f n (x) k, nazýváme posloupnost {f n (x)} stejnoměrně ohraničenou. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 75 / 183

71 Posloupnosti a řady funkcí Věta 29 Necht funkce f n jsou na intervalu I spojité a f n (x) f (x) na intervalu I. Pak je na intervalu I spojitá i limitní funkce f. Důkaz. Potřebujeme dokázat, že lim x x0 f (x) = f (x 0 ) x 0 I. f (x) f (x 0 ) = f (x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f (x 0 ) f (x) f n (x) + f }{{} n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f (x 0 ). }{{} < ε < ε 3 3 Necht ε > 0 je libovolné, protože f n (x) f (x) na I, k ε 3 n 0, n n 0, x I : f n (x) f (x) < ε 3. Protože f n jsou spojité, pak k ε 3 δ > 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) : f n (x) f n (x 0 ) < ε 3. Tedy ε > 0 δ > 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) : f (x) f (x 0 ) < ε a funkce f je spojitá v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 76 / 183

72 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Předchozí Věta 29 v podstatě dokazuje, že prostor spojitých funkcí s metrikou stejnoměrné konvergence je úplný metrický prostor, a tedy lze aplikovat (na kontraktivní zobrazení) Banachovu větu o pevném bodě. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 77 / 183

73 Posloupnosti a řady funkcí Věta 30 Necht n=1 f n(x) = f (x) konverguje stejnoměrně na intervalu I, tj. s n (x) = n f k (x) f (x) na I. k=1 Je-li každá z funkcí f n spojitá na I, je i součet f spojitou funkcí na intervalu I. Důkaz. Aplikace Věty 29 na posloupnost s n (x) = f 1 (x) + + f n (x), což je spojitá funkce, protože je konečným součtem spojitých funkcí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 78 / 183

74 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Derivace a integrace součtu dvou funkcí platí pro libovolný konečný počet sčítanců. Věta 31 Necht {f n } je posloupnost integrovatelných funkcí na intervalu [a, b] a tato posloupnost na [a, b] konverguje stejnoměrně k funkci f. Pak i limitní funkce je na [a, b] integrovatelná a platí b a b f (x)dx = lim f n (x)dx, n a tj. b a lim n f n (x)dx = lim n b a f n(x)dx. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 79 / 183

75 Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Funkce f je integrovatelná na [a, b] právě tehdy, když ε > 0 δ > 0, D(dělení intervalu [a, b]) : ν(d) < δ : S(D, f ) s(d, f ) < ε. Máme S(D, f ) s(d, f ) = = S(D, f ) S(D, f n ) + S(D, f n ) s(d, f n ) + s(d, f n ) s(d, f ) S(D, f ) S(D, f n ) + S(D, f n ) s(d, f n ) + s(d, f n ) s(d, f ) n S(D, f ) S(D, f n ) = [M i (f )(x i x i 1 ) M i (f n )(x i x i 1 )] i=1 n M i (f ) M i (f n ) (x i x i 1 ) i=1 ε 3(b a) n (x i x i 1 ) ε 3 a analogicky pro dolní součty (M i (f ) značí supremum funkce f na intervalu [x i 1, x i, ].) Pro dostatečně jemné dělení je i S(D, f n ) s(d, f n ) ε 3. i=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 80 / 183

76 Posloupnosti a řady funkcí Dále potřebujeme dokázat, že b a f n(x)dx b a f (x)dx < ε pro dostatečně velké n. b b b f n (x)dx f (x)dx f n (x) f (x) dx < ε a a a pro n taková, že f n (x) f (x) < ε b a na intervalu [a, b]. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 81 / 183

77 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka b Za předpokladu lim n a f n(x)dx = b a f (x)dx, kde f n(x) f (x) na [a, b] máme x [a, b] lim n x f n (t)dt = a } {{ } F n(x) (F n(x) = f n (x), F (x) = f (x), F n (a) = F (a).) }{{}}{{} =0 =0 x f (t)dt. a } {{ } F (x) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 82 / 183

78 Posloupnosti a řady funkcí Věta 32 Necht {f n (x)} je posloupnost funkcí majících na intervalu I = (a, b) derivaci a necht tato posloupnost na I konverguje k funkci f a posloupnost {f n(x)} na I konverguje stejnoměrně. Pak i limitní funkce f má na I derivaci a platí tj. [lim n f n (x)] = lim n f n(x). Důkaz. Viz skripta. f (x) = lim f n n(x), c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 83 / 183

79 Posloupnosti a řady funkcí Věta 33 Necht posloupnost {f n } je na intervalu I stejnoměrně konvergentní a ke každé z těchto funkcí existuje na intervalu I primitivní funkce F n. Jestliže f je stejnoměrná limita funkcí na I, tj. f n f na I, pak k funkci f také existuje primitivní funkce. Jestliže pro nějaké c I platí, že lim n F n (c) = F (c), pak i posloupnost primitivních funkcí F n konverguje stejnoměrně na intervalu I, a to k funkci F, tj. F n F na I. Věta 34 Necht f n (x) = f (x) stejnoměrně na intervalu [a, b] a každá z funkcí f n je na [a, b] integrovatelná. Pak je na [a, b] integrovatelný i součet f a platí b a f (x)dx = b n=1 a f n(x)dx, tj. b a n=1 f n(x)dx = b n=1 a f n(x)dx. Důkaz. Aplikace Věty 32 na částečné součty řady n=1 f n(x). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 84 / 183

80 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 21 Vypočítejte ln 3 ln 2 n=1 n e nx dx. Chtěli bychom n e nx dx. To lze pokud řada stejnoměrně konverguje na intervalu [ln 2, ln 3], použijeme Weierstrassovo kritérium f n (x) a n, a n < f n f : n e nx n e n ln 2 = n 2, n+1 n 2 2 n 2n n = n+1 2n 1 2 < 1 n 2 <, tedy n řada konverguje stejnoměrně a lze počítat [ e nx ] ln ln 3 2 = ( 1 2 n 1 ) n = n=1 = = 1 2. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 85 / 183

81 Posloupnosti a řady funkcí Věta 35 Necht posloupnost funkcí {f n (x)} má na intervalu I = (a, b) derivace f n a pro řadu z těchto derivací platí n=1 f n(x) = g(x) stejnoměrně na I a řada n=1 f n(x) na I konverguje. Pak součet n=1 f n(x) = f (x) má na I derivaci a platí f (x) = g(x), tj. Důkaz. ( f n (x)) = n=1 n=1 f n(x). Označme {s n } a {s n} posloupnosti částečných součtů řad f n (x) a f n(x). (Zřejmě platí, že s n je derivací s n.) Z předpokladů věty na I {s n } konverguje a {s n} konverguje stejnoměrně. Dle Věty 32 má funkce fn (x) = f (x) derivaci a platí f [ (x) = lim n s n(x) = lim f n 1(x) + + f n(x) ] = n=1 f n(x). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 86 / 183

82 Posloupnosti a řady funkcí Věta 36 Necht posloupnost funkcí {f n (x)} má na intervalu I = (a, b) derivace f n a pro řadu z těchto derivací platí n=1 f n(x) = g(x) stejnoměrně na I. Jestliže řada n=1 f n(x) konverguje alespoň v jednom čísle c I, pak tato řada konverguje stejnoměrně a pro její součet n=1 f n(x) = f (x) platí f (x) = g(x), tj. ( n=1 f n(x)) = n=1 f n(x). Poznámka Lze sestrojit příklady, kde se ukáže, že nelze nahradit stejnoměrnou konvergenci bodovou konvergencí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 87 / 183

83 Mocninné řady Definice 11 Necht a n je posloupnost reálných čísel a x 0 R, pak nekonečná řada funkcí n=0 a n(x x 0 ) n se nazývá mocninná řada se středem x 0 a koeficienty a n, n N 0. Poznámka Substitucí y = x x 0 a n y n lze každou řadu převést na řadu se středem y 0 = 0. Můžeme proto uvažovat řady n=0 a nx n. Mocninná řada vždy konverguje ve svém středu. Konvence: a n x n = n=0 a nx n. N 0 := N {0}. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 89 / 183

84 Mocninné řady Věta 37 Necht a := lim sup n a n. Je-li a = 0, pak mocninná řada a n x n konverguje x R. Je-li a =, pak řada konverguje pouze ve svém středu x 0 = 0. Je-li 0 < a <, pak řada konverguje x R : x < R := 1 a a diverguje pro x R : x > R. Číslo R se nazývá poloměr konvergence mocninné řady a n x n. Poznámka Interval I takový, že pro x I příslušná řada (absolutně) konverguje nazýváme intervalem (absolutní) kovergence této řady. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 90 / 183

85 Mocninné řady Důkaz. Předpokládejme pro jednoduchost, že existuje limita lim n a n = a. Pro nějaké x R aplikujeme na řadu a n x n odmocninové kritérium < 1 konverguje lim n a n x n = x lim n a n = a x > 1 diverguje = 1 nevíme { x < 1 a = R řada konv. x > 1 a = R řada div. Pokud limita lim n a n neexistuje, pak lim sup n a n charakterizuje jak velká čísla a n se v posloupnosti vyskytují a čím větší jsou a n, tím menší je interval pro x, pro něž řada konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 91 / 183

86 Mocninné řady Poznámka Protože platí lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n, lze v případě existence limity podílu použít pro určení poloměru konvergence ji. Protože ve zmíněných limitách jsou absolutní hodnoty, získáváme uvnitř intervalu konvergence přímo absolutní konvergenci. Pro hodnoty x, kde limity vychází jedna (krajní body intervalu konvergence) tyto hodnoty dosadíme a řešíme konvergenci příslušných číselných řad. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 92 / 183

87 Mocninné řady Příklad 22 1 x n, a = lim n 1 = 1 R = 1 pro x = 1 řada osciluje, pro x = 1 řada diverguje, řada konverguje (absolutně) pro x ( 1, 1) 2 x n n, a n = 1 n lim a n+1 a n = lim n n+1 = 1 R = 1 pro x = 1 máme 1 n, která diverguje (harmonická řada), pro x = 1 máme ( 1) n n, která konverguje (Leibnizova řada), řada konverguje pro x [ 1, 1), absolutně konverguje pro x ( 1, 1) 3 4 ( 1) n x n n, R = 1, konverguje pro x ( 1, 1], absolutně konverguje pro x ( 1, 1) x n, R = 1, lim a n 2 n+1 a n = 1, x = 1 1 konverguje absolutně, n 2 x = 1 ( 1) n konverguje absolutně, řada konverguje absolutně n 2 pro x [ 1, 1] c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 93 / 183

88 Mocninné řady Příklad 23 R =? 1 2 x n n! a n = 1 n!, R = lim 1 n! (n+1)n! 1 = lim(n + 1) = řada konverguje pro x R n!x n a n = n!, R = 0, řada konverguje pouze pro x = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 94 / 183

89 Mocninné řady Poznámka Proč se říká poloměr konvergence? Často se uvažuje řada a n z n, z C, a n C, kde pak místo intervalu konvergence pracujeme s kružnicemi o poloměru z. Tedy hledáme takové číslo R, kdy daná řada konverguje pro všechny z C, z < R a diverguje pro všechny z C, z > R. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 95 / 183

90 Mocninné řady Věta 38 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak r : 0 < r < R řada konverguje na intervalu [ r, r] stejnoměrně (a absolutně). Důkaz. Necht 0 < r < R je libovolné. Použijeme Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence, tj. a n x n a n x n = a n x n a n r n pro x [ r, r], řada a n r n konverguje, nebot r < R, tedy a n x n konverguje na [ r, r] stejnoměrně. Absolutní konvergence plyne z faktu, že v nerovnosti a n x n a n r n vystupuje absolutní hodnota. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 96 / 183

91 Mocninné řady Věta 39 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak x ( R, R) platí x 0 an t n dt = a n x n+1 n + 1, přičemž řada na pravé straně rovnosti má poloměr konvergence opět R. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 97 / 183

92 Mocninné řady Důkaz. x 0 an t n dt st.konv. = a n x 0 t n dt = a n [ t n+1 n + 1 Předpokládejme, že existuje limita lim n a n = a = 1 R, potom lim n an ( 1 = a lim n + 1 n + 1 = lim n ( 1 a n lim ) 1 n ] x 0 = a n n + 1 x n+1 n + 1 ) 1 n = 0 0 = a lim e 1 ln( 1 ln(n+1) n n+1) = a lim e n = a e 0 = a, tedy poloměr konvergence řady a n n+1 x n+1 je R. Protože a n n+1 x n+1 = x a n n+1 x n mohli jsme použít n-tou odmocninu místo (n + 1)-ní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 98 / 183

93 Mocninné řady Věta 40 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak x ( R, R) platí ( ) a n x n = n=1 na n x n 1, n=1 přičemž derivováním se poloměr konvergence nemění. Důkaz. Opět plyne ze stejnoměrné konvergence a jednoduchého výpočtu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 99 / 183

94 Mocninné řady Věta 41 (Abelova věta) Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence 0 < R < a předpokládejme, že pro x = R je tato řada konvergentní. Pak její součet f (x) = a n x n je funkce, která je v x = R zleva spojitá, tj. an R n = f (R) = lim f (x). x R c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 100 / 183

95 Mocninné řady Důkaz. Pro důkaz využijeme Abelovo kritérium (věta 27). Pro x [0, R] je číselná řada a n R n konvergentní, tedy je pro libovolné x konvergentní stejnoměrně (jako funkce vystupují konstanty). Přepišme řadu z tvrzení věty takto an x n = ( a n R n x ) n. R Pro použití Abelova kritéria musí být posloupnost funkcí {( ) x n } R nerostoucí a stejnoměrně ohraničená, což je pro x [0, R] splněno. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 101 / 183

96 Mocninné řady Příklad 24 Určete součet řady n=1 n 2 n. lim n+1 2n 2n 2 n pokračovat. = lim n+1 2n = 1 2 < 1 řada konverguje a má tedy smysl Využijeme mocninnou řadu n=0 n x n. Ihned máme n R = lim n+1 = 1, tedy pro x = 1 2 absolutně konverguje. [ n x n = x n x n 1 = x n n=0 n=1 [ ] = x x n = x n=1 ( x 1 x n=1 x = 1 2 n=1 n 2 n = 1/2 (1 1/2) 2 = = 2 x n 1 dx ] ) = x 1 x + x (1 x) 2 = x (1 x) 2 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 102 / 183

97 Mocninné řady Využijeme Cauchyův součin (absolutně konvergentní) řady n=1 1 2 = 1 se sebou. Tedy n 1 1 = ( ) ( 1 ) 1 2 n 2 n = n 1 + 2n+1 odkud ihned n=1 n 2 n = 2. Přímo pomocí částečných součtů máme = n=1 n 2 n+1 = 1 2 n=1 s n = n 2 n, s n 2 = n 2 n+1. Odkud odečtením získáme s n 2 = n n 2 n = 2. n 2 n, n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 103 / 183

98 Mocninné řady Příklad 25 Určete součet řady n=1 1 n2 n. Využijeme mocninnou řadu pro x = 1 2 absolutně konverguje. n=1 x n n = n=1 n=1 x 0 t n 1 dt = 1 n2 n = n=1 = ( 1 2) n n n=1 xn n x 0 n=1 x 0 n+1. Ihned máme R = lim n = 1, tedy t n 1 dt 1 1 t dt = [ ln 1 t ]x 0 = ln(1 x) ( = ln 1 1 ) = ln = ln 2 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 104 / 183

99 Mocninné řady Příklad 26 Určete poloměr konvergence a součet řady n=0 n(n + 2)x n. R = lim a n n(n + 2) = lim (n + 1)(n + 3) = 1 a n+1 Pro x ( 1, 1) máme n=0 x n = 1 1 x. Protože pro x = 0 máme ihned n=0 n(n + 2)x n = 0, budeme předpokládat, že x 0. x n = 1 / d 1 x dx n=0 [ ] 1 / nx n 1 = x 3 1 x nx n+2 x 3 / d = (1 x) 2 dx n=0 n=0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 105 / 183

100 Mocninné řady n=0 n(n + 2)x n+1 = 3x 2 x 3 / (1 x) 3 1 x n=0 n(n + 2)x n = 3x x 2 (1 x) 3 Výsledný vztah platí i pro x = 0, tedy lze ho použít pro všechna x ( 1, 1). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 106 / 183

101 Mocninné řady Definice 12 Necht funkce f má v bodě x 0 derivace všech řádů, pak se mocninná řada n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! nazývá Taylorova řada dunkce f. Je-li x 0 = 0, pak se řada nazývá Maclaurinova řada. Poznámka f n=0 f (n) (0) x n n! Problém platí (a kde) f (x) = f (n) (0) n=0 n! x n? c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 107 / 183

102 Mocninné řady Příklad 27 Uvažujme funkci f (x) = f f (x) f (0) (0) = lim = lim x 0 x 0 Podobně f (0) = lim x 0 což znamená {e 1 x 2 x 0, 0 x = 0. Potom a 0 = 0, a n = f (n) (0) n!,n N. x x 0 e (e 1 x 2 ) f (0) x 0 1 x 2 = lim x 0 = x = 1 t = lim t ± (t e t2 ) = lim t ± (e 1 x 2 ) f (n) (0) = 0 n N 0, f (x) 0 x n = 0 f (x). x t e t2 = lim t ± 1 2t e t2 = 0 1 x 2 2 e = lim x 0 x 3 = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 108 / 183

103 Mocninné řady Poznámka f (x) = T n (x) + R n (x), R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! x n+1, kde ξ je mezi 0 a x, T n (x) je (n + 1)-ní částečný součet n Platí T n (x) f (x), pokud R n (x) 0. k=0 f (k) (0) k! x k. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 109 / 183

104 Mocninné řady Věta 42 Necht funkce f má na intervalu I = [ r, r] derivace všech řádů a existuje konstanta K > 0 taková, že f (n) (x) K x I, n N. Pak Maclaurinova řada funkce f konverguje na intervalu I = [ r, r] stejnoměrně k funkci f. Důkaz. R n (x) = f (n+1) (ξ) (n+1)! x n+1 K r n+1 (n+1)! 0, nebot řada r n n! ( konverguje. ) r n n! : r n+1 n! r = r n n+1 0 (n+1)! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 110 / 183

105 Mocninné řady Příklad 28 e x n=0 xn n! r R, n N : (e x ) (n) = e x e x e r x [ r, r] R n (x) er (n+1)! 0 x n n! = ex na [ r, r] e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +, x R pro sin x, cos x platí r > 0, n N : (sin x) (n) 1, (cos x) (n) 1 x [ r, r] sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + ( 1)n x 2n+1 +, x R (2n + 1)! cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + + ( 1)n x 2n +, x R (2n)! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 111 / 183

106 Mocninné řady Příklad 29 ln(1 + x) x x2 2 + x3 3 + ( 1)n+1 x n n +, R = 1, 1 pro [ r, r] ( 1, 1) : R n (x) (1 r) n+1 (n+1) 0 ( 1) n+1 x n ln(1 + x) =, x ( 1, 1] n n=1 Pro x = 1 konverguje podle Abelovy věty 41. (Tedy známe součet Leibnizovy řady = ln 2.) ( ) ( ) ( ) α α α (1 + x) α = + x + + x n +, x ( 1, 1) 0 1 n α R, R = 1, ( α n n činitelů {}}{ ) = α(α 1) (α n + 1) n! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 112 / 183

107 Mocninné řady Příklad 30 Určete součet číselné řady n=1 Maclaurinova řada funkce sin x x sin x x pro x R, x 0. 1 n 2 = je = 1 ( x x 1 3! x ! x 5 1 7! x 7 + = 1 1 3! x ! x 4 1 7! x 6 + = n=0 ) ( 1) n (2n + 1)! x 2n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 113 / 183

108 Mocninné řady Kořeny funkce sin x x jsou zřejmě v bodech ±π, ±2π, ±3π, ±4π, atd. a tedy tuto funkci lze rozložit na (nekonečný) součin kořenových činitelů ( 1 x ) ( 1 + x ) ( 1 x ) ( 1 + x ) ( 1 x ) ( 1 + x ) π π 2π 2π 3π 3π = (1 x 2 π 2 ) (1 x 2 4π 2 ) (1 x 2 9π 2 ) (1 x 2 16π 2 ) Porovnáním koeficientů u mocniny x 2 s příslušným koeficientem v rozvoji funkce sin x x dostaneme 1 3! = 1 π 2 1 4π 2 1 9π π 2, čili po vynásobení číslem π 2 dostaneme π 2 6 = = 1 n 2. n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 114 / 183

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

(verze 12. května 2015)

(verze 12. května 2015) Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza

Více

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada. Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady 1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Konvergence kuncova/

Konvergence  kuncova/ Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný

Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

9. Limita a spojitost funkce

9. Limita a spojitost funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj.

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. 1 Limity posloupností 1. (a) pro a > 1 je (c) Pro β > 0 a a > 1 Tabulkové ity n! n n = 0 a n n! = 0. n β a n = 0. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. libovolně malé) ln α n n β = 0. (e)

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Ostřanský Bakalářská práce 2017 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je ukázat možnosti použití nekonečných řad při řešení obyčejných

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Přehled probrané látky

Přehled probrané látky Přehled probrané látky 1. přednáška 5.10.2004. Organizační pokyny. Motivace - řetězovka, brachystochrona, analýza v The Art of Computer Programming D. Knutha. Co probereme v ZS: R, posloupnosti a řady,

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Posloupnosti a řady. In: Jiří Jarník (author): Posloupnosti a řady. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp

Posloupnosti a řady. In: Jiří Jarník (author): Posloupnosti a řady. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp Posloupnosti a řady 5. kapitola. Posloupnosti a řady funkcí In: Jiří Jarník (author): Posloupnosti a řady. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1979. pp. 114 136. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403940 Terms

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

17. ledna porad te se s kolegou nebo doporučenou literaturou. Pomocí vodorovných čar jsou

17. ledna porad te se s kolegou nebo doporučenou literaturou. Pomocí vodorovných čar jsou Stručné poznámky z MA pro I ZS 2008/9 Robert Šámal 17. ledna 2009 Tento text se vztahuje k předmětu NMAI054, paralelka Y. Vznikl (vzniká) úpravou textu z loňska od Stanislava Hencla (děkuji!). Najdete

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13 Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad: a) 1 8 b) +1 c) 3 d) +2+1 e)! f)! 3 g) +2 +3 h) 2 2 1 =8, = 7,9 =1, = 1,1 =3, = 3,3 =1, = 2,0 =+, =,+ =0, =3 =1, = 3,1 = 1 2, = 1 2,1

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více