Diferenciální rovnice 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální rovnice 1"

Transkript

1 Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení praktických problémů je nutno nejprve e námých vlastností problému diferenciální rovnici sestavit pak ji vřešit a nakonec řešení převést pět do prae 7 Základní pojm Občejnou diferenciální rovnicí naýváme rovnici v níž se vsktuje derivace nenámé funkce jedné neávisle proměnné Řádem diferenciální rovnice naýváme řád nejvšší derivace nenámé funkce v rovnici Řešením nebo také integrálem diferenciální rovnice na intervalu I naýváme každou funkci která na intervalu I danou rovnici splňuje Integrální křivka diferenciální rovnice je grafické náornění některého řešení diferenciální rovnice Ponámka: Pojem řešení má u diferenciálních rovnic dva výnam: jednak postup výpočtu jednak výsledek rovnice Příklad 7: Určete řád diferenciálních rovnic: a) = b) + = c) d = ( ) d Řešení: a) Diferenciální rovnice = je prvního řádu b) Diferenciální rovnice + = je druhého řádu (nejvšší je druhá derivace) c) Diferenciální rovnice je prvního řádu (rovnici převedeme na tvar = ( ) d a d uvědomíme si že d = ) d Řešení diferenciálních rovnic dělíme do tří tpů: Obecné řešení rovnice prvního řádu tvoří každá funkce tvaru ϕ ( C ) = 0 případně = ψ ( C ) která rovnici splňuje pro libovolnou konstantu C Obecné řešení vžd obsahuje integrační konstantu (rovnice prvního řádu) nebo n konstant (rovnice n-tého řádu) Partikulární řešení je obsaženo v obecném řešení Získáme ho obecného řešení kdž a integrační konstant dosadíme konkrétní hodnot (které volíme nebo vpočítáme daných podmínek) Výjimečné řešení není obsaženo v obecném řešení Vniká jen u některých tpů diferenciálních rovnic v průběhu jejich řešení Příklad 7: Určete: a) Obecné řešení diferenciální rovnice = b) partikulární řešení pro které platí () = 7 c) Načrtněte integrální křivku partikulárního řešení Řešení: a) Nenámou funkci určíme integrováním rovnice: d = d = + C je obecné řešení ted

2 Diferenciální rovnice b) Podmínka () = 7 říká že hodnotě = odpovídá hodnota = 7 hledáme ted takové řešení které procháí bodem P[7] Dosadíme tto dvě hodnot do obecného řešení: 7= + C a odtud vpočítáme C = Dosaením a C do obecného řešení ískáme partikulární řešení: = + c) Je řejmé že integrální křivka je parabola s vrcholem V[0] a osou v ose 6 P[7] 4-0 Integrální křivka = + 7 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I ŘÁDU Senámíme se poue se ákladními tp 7 Separovaná diferenciální rovnice Ponáme ji podle toho že jednotlivé proměnné jsou oddělen (separován) to je u diferenciálu d se vsktuje poue proměnná a u diferenciálu d se vsktuje poue proměnná Obecný tvar: P( ) d = Q( ) d Q ( ) 0 případně pro Q ( ) = = f( ) d protože po dosaení a = a jednoduché úpravě dostaneme d = f ( ) d d Postup řešení: Separovanou diferenciální rovnici řešíme integrací: Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici P( ) d = Q( ) d + C (sin + ) d= (cos ) d platí-li (0) = π Řešení: Obecné řešíme ískáme integrací: (sin + ) d = (cos ) d Obě stran rovnice le integrovat podle ákladních vorců: cos + = sin + C Dále hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[0π] Dosadíme do obecného řešení: 0 π π cos 0 + = sinπ + C a odtud vpočítáme C = Dosaením a C do obecného řešení ískáme partikulární řešení: π cos + = sin +

3 Diferenciální rovnice Příklad 74: Vřešte diferenciální rovnici = + Řešení: Obecné řešení ískáme opět integrací: d= + Pravou stranu můžeme integrovat podle ákladního vorce [] uvědomíme-li si že v čitateli d lomku je derivace jmenovatele Obecné řešení má tvar: = ln( + ) + C 7 Separovatelná diferenciální rovnice Tento tp le upravit na separovanou diferenciální rovnici Podstatné je že mei funkcemi v proměnné a funkcemi v proměnné musí být po úpravě naménko krát (děleno) Obecný tvar: P( ) P( ) + Q( ) Q( ) = 0 Q( ) 0 Q( ) 0 Postup řešení: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 P P Q Q d d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: P( ) P( ) d + Q( ) Q( ) d = 0 III Rovnici separujeme ted k d převedeme všechn funkce v proměnné a k d převedeme všechn funkce v proměnné Přitom obvkle necháme na každé straně rovnice jen jeden diferenciál P( ) P( ) d + Q( ) Q( ) d = 0 P( ) Q( ) P ( ) 0 P( ) Q( ) d = d což je separovaná rovnice Q( ) P( ) POZOR: Podmínkou P ( ) 0 jsme mohli rušit případné řešení Musíme ted vlášť koumat da P ( ) = 0 není výjimečné řešení které vniklo v průběhu řešení dané rovnice IV Separovanou rovnici integrujeme a ískáme obecné řešení: P( ) Q( ) d = d C Q( ) + P( ) Příklad 75: Vřešte diferenciální rovnici = platí-li () = Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: d = d + d= d +

4 Diferenciální rovnice 4 III Rovnici separujeme: ( ) d = d + + ( ) d d + = což je separovaná rovnice Žádnou další podmínku jsme v průběhu řešení nepoložili rovnice proto nemá výjimečné řešení IV Separovanou rovnici integrujeme a ískáme obecné řešení: ( + ) d = d ( + d ) = ( d ) 4 + = ln + C 4 Z podmínk () = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: 4 + = ln + C a odtud C = 4 4 Partikulární řešení: + = ln + 4 Příklad 76: Vřešte diferenciální rovnici = + Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: III Rovnici separujeme: IV Separovanou rovnici integrujeme: upravíme d = d 0 + d = d + d = d + ln = ln( + ) + ln C ln = ln( + ) C d = d + d = + d = C( + ) což je obecné řešení V kroku III jsme položili podmínku 0 musíme proto vlášť všetřit da = 0 není řešením dané rovnice: = 0 = 0 Tto hodnot dosadíme do adání rovnice: levá strana: LS = 0 pravá strana: 0 PS = 0 + =

5 Diferenciální rovnice 5 Je řejmé že funkce = 0 vhovuje adání rovnice Přesto není výjimečným řešením protože je obsažena v obecném řešením pro hodnotu konstant C = 0 7 Homogenní diferenciální rovnice Tento tp se dá upravit na tvar = ϕ( ) 0 Po úpravě se v rovnici mohou proměnné a vsktovat výhradně ve lomku nesmí v ní být samostatně ted Postup řešení: I Rovnici upravíme na tvar = ϕ( ) II Zavedeme substituci: = = ( ) (a) Abchom mohli dosadit do adání potřebujeme vpočítat derivaci Ze substituční rovnice proto vpočítáme = a derivujeme jako součin protože = ( ) : = + = + (b) Dosadíme do adání + = ϕ( ) III Dostaneme separovatelnou rovnici pro nenámou kterou vřešíme podle postupu uvedeného v 7 IV Po vřešení separovatelné rovnice nesmíme apomenout dosadit pět a Příklad 77: Vřešte diferenciální rovnici = vi (a) = 0 0 platí-li (4) = Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: = = ( ) II Zavedeme substituci (a b): ( + ) = a upravíme: + = = III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d d d = d = ( ) d 0 d = d

6 Diferenciální rovnice 6 Separovanou rovnici integrujeme: d = d 4 Upravíme: 4 d = d ln = ln + ln C 4 ln ( ) 4 = ln C ( ) 4 = C IV Nní dosadíme pět a = () a ískáme obecné řešení: ( ) 4 = C Z podmínk (4) = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[4] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: ( ) 4 = C4 4 4C = 4 C = Partikulární řešení: 4 ( ) = 4C ( ) = Výjimečné řešení musíme hledat podmínk 0 Položíme = 0 a dosadíme (a) = : ( ) = 4C = 0 4 ( ) = 4C Vpočítáme = =± =± Tto hodnot dosadíme do adání rovnice: levá strana: LS = ( ± )( ± ) = pravá strana: PS = = Je řejmé že funkce =± vhovují adání rovnice Proto jsou výjimečným řešením Příklad 78: Vřešte diferenciální rovnici + ( ) = 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: + ( ) = 0 0: + ( ) = 0 II Zavedeme substituci (a b): + ( )( + ) = 0

7 Diferenciální rovnice 7 + a upravíme: + = (podmínka je pro splněna) + = + ( ) = + = III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d + = d d d= + d + d = d + Separovanou rovnici integrujeme: d = d + ( ) d = d + + ln( arctg + ) = ln + C IV Nní dosadíme pět a = (a) a ískáme obecné řešení: arctg ln( + ) = ln + C Příklad 79: Vřešte diferenciální rovnici = + 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: = + : = + ( ) II Zavedeme substituci (a b): + = + a upravíme: = + III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d = + d d d = ( + ) d + d = d + Separovanou rovnici integrujeme: d = d +

8 Diferenciální rovnice 8 upravíme d = d ( = + ) ( + + ) d = d + = ( ) + ( ) 4 4 Integrujeme podle vorce [4] a = : arctg = ln + C arctg = ln + C IV Nní dosadíme pět a = () a ískáme obecné řešení: arctg = ln + C 74 Lineární diferenciální rovnice Jsou jedn nejdůležitějších diferenciálních rovnic prvního řádu Ponáme je podle toho že nenámá a její derivace jsou vžd prvního stupně (proto náev lineární) Obecný tvar: + P( ) = Q( ) kde funkce P ( ) Q ( ) jsou spojité v intervalu I Dělíme je do dvou tpů: krácená pro Q ( ) = 0 : + P( ) = 0 úplná pro Q ( ) 0 : + P ( ) = Q ( ) Postup řešení: Zkrácená rovnice je speciálním případem rovnice úplné Proto uvedeme poue řešení úplné rovnice Řešíme ji Lagrangeovou metodou variace konstant Obecný postup řešení je trošku náročnější proto jej mohou méně matematick vbavení studenti přeskočit a metodu pochopit na řešených příkladech 70-7 Lagrangeova metoda variace konstant I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici která je vžd separovatelná: + P( ) = 0 Vřešíme ji proto postupem uvedeným v 7 d P ( ) 0 d + = d P ( ) d = d d =P( ) d 0 d P ( ) d = d = P ( ) d

9 Diferenciální rovnice 9 ln = P ( ) d+ ln C Řešení upravíme vužitím pravidla o skládání vájemně inverních funkcí a pravidel pro počítání s logaritm: P ( ) d ln = ln e + ln C ln = ln Ce P ( ) d P( ) d = () což je předpokládaný tvar řešení Je to část řešení která odpovídá krácené rovnici Je řejmé že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá protože řešení = 0 (vplývající podmínk 0 ) dostaneme dosaením a C = 0 do vtahu () Ce Pravou stranu Q ( ) do řešení abudujeme následujícím postupem II Druhý krok se naývá variace (měna) konstant V obecném řešení () bude místo konstant C funkce proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (): P( ) d = C( ) e P ( ) d P ( ) d Derivujeme součin: = C ( ) e + C( ) e ( P( ) ) Za a dosadíme do adání: P ( ) d P ( ) d C ( ) e + C( ) e P( ) P ( ) d + P( ) C( ) e = Q( ) ( ) Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně musí vrušit ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) P ( ) d C ( ) e P ( ) d = Q( ) upravíme C ( ) = Q( ) e P ( ) d a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = Qe ( ) d+ K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (): ( ) ( ) ( ( ) P d P d = Q e d+ K) e 5 Příklad 70: Vřešte diferenciální rovnici = 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I III uvedený v 74: 5 I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici = 0 která je vžd separovatelná Vřešíme ji proto postupem uvedeným v 7 d 5 = 0 d d 5 = d d 5 d = d 0 d 5 = d

10 Diferenciální rovnice 0 d = 5 d ln = 5ln + ln C Řešení upravíme vužitím pravidel pro počítání s logaritm: 5 ln = ln + ln C ln 5 = ln C 5 = C () což je předpokládaný tvar řešení Je to část řešení která odpovídá levé straně rovnice Je řejmé že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá protože řešení = 0 (vplývající podmínk 0 ) dostaneme dosaením a C = 0 do vtahu () Pravou stranu Q ( ) = do řešení abudujeme následujícím postupem II Druhý krok se naývá variace (měna) konstant Obecné řešení () bude mít místo konstant C funkci proměnné : C = C( ) 5 Dosadíme a ni do (): = C ( ) 5 4 derivujeme součin: = C ( ) + C( ) C ( ) Za a dosadíme do adání C ( ) + C( )5 = Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně musí odečíst ůstává poue sčítanec s derivací C 5 ( ) : C ( ) = upravíme C ( ) = = a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = C ( d ) = d= + K= + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (): 5 5 = ( + K) po úpravě = K Je řejmé že obecné řešení tvoří dvě části: = 0 + ˆ 5 kde 0 = K je řešení krácené rovnice ˆ = je partikulární integrál odpovídající pravé straně Q ( ) Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici + = platí-li (0) = 4 Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I III uvedený v příkladu 70: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici + = 0 která je vžd separovatelná postupem uvedeným v 7 d 0 d + = d d d =

11 Diferenciální rovnice d = d 0 d d = d d = ln = + ln C Řešení upravíme vužitím pravidla o skládání vájemně inverních funkcí a pravidel pro počítání s logaritm: ln = ln e + ln C ln = ln Ce = Ce což je předpokládaný tvar řešení (4) II Integrační konstantu C budeme považovat a funkci proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (4): Derivujeme součin: = C( ) e = C ( ) e + C( ) e ( ) Za a dosadíme do adání: C ( ) e C( ) e + C( ) e = Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně vruší ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) C ( ) e = C ( ) upravíme = e a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = e t t C( ) = C ( ) d = e d = = t d = dt = e dt = e + K = e + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (4): = ( e + K) e po úpravě = + Ke Z podmínk (0) = 4 vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[04] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: 0 4= + Ke a odtud K = Partikulární řešení: = + e

12 Diferenciální rovnice Ponámka: Uvedený příklad + = vřešíme i jiným postupem: Stačí kdž provedeme jednoduchou úpravu = = ( ) Získáme separovatelnou rovnici kterou vřešíme postupem uvedeným v 7 d ( ) d d = d = ( ) d d = d d = d ln = + ln C což je obecné řešení které můžeme (ale nemusíme) dále upravit: ln ( ) = ln e + ln C ( ) = Ce Ce = = = + Ke kde K = C Ce Z tohoto příkladu je řejmé že diferenciální rovnice nemusí být poue jednoho tpu Pokud splňuje současně podmínk pro více tpů volíme vžd jednodušší postup řešení (v uvedeném příkladě je to řešení separovatelné diferenciální rovnice) Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici = + platí-li () = + Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I III uvedený v příkladu 70: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici = 0 + která je vžd separovatelná postupem uvedeným v 7 d = 0 d + d = d d + d = d 0 + d = d + d = d + ln = ln + + ln C Řešení upravíme vužitím pravidel pro počítání s logaritm:

13 Diferenciální rovnice ln = ln C+ = C( + ) což je předpokládaný tvar řešení (5) II Integrační konstantu C budeme považovat a funkci proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (5): Derivujeme součin: = C ( )( + ) = C ( )( + ) + C( ) C ( )( + ) Za a dosadíme do adání: C ( )( + ) + C( ) = + + Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně vruší ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) : C ( )( + ) = + po vkrácení C ( ) = a vpočítáme integrační konstantu C ( ) = C ( d ) = d= + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (5): = ( + K)( + ) Z podmínk () = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[-] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: = ( + K)(+ ) a odtud vpočítáme K = 4 Partikulární řešení: = ( )( + ) po úpravě = + Ponámka: Eistuje řada dalších tpů diferenciálních rovnic I řádu které nejsou ařaen do tohoto stručného přehledu 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme abývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficient Obecný tvar: a + a + a0 = Q( ) kde a 0 a a0 jsou reálné konstant Dělíme je do dvou tpů: krácená pro Q ( ) = 0 : a + a + a0 = 0 úplná pro Q ( ) 0 : a + a + a0 = Q( ) Řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu se abýval švýcarský matematik Leonhard Euler 7 Zkrácená rovnice a a a = 0 Euler jistil že řešení má tvar Pro derivace platí Dosadíme do adání r = e kde r je konstanta vaná charakteristický kořen r = re = r e r r r r 0 0 are + are + ae =

14 Diferenciální rovnice 4 vtkneme r e r Protože e 0 musí platit r e ( a r + a r+ a ) = 0 ar + ar+ a = (6) Rovnice (6) se naývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice II řádu Je to kvadratická rovnice pro nenámou r Můžeme ji snadno odvodit přímo e adání jestliže 0 do adání místo dosadíme r místo dosadíme r = r a místo dosadíme r = Řešení krácené rovnice ávisí na tom jaká jsou charakteristické kořen r: a) r r reálné růné charakteristické kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) r = = e ( ) r = = e r obecné řešení má tvar r = C e + C e (A) 0 b) r = r = r reálný dvojnásobný charakteristický kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) r = = e ( ) r = = e r r obecné řešení má tvar 0 = Ce + C e (B) c) r = a± bi kompleně sdružené charakteristické kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) a = = e cos b ( ) a = = e sin b a obecné řešení má tvar 0 = e ( Ccosb+ Csin b) (C) Ponámka: Ab složk = ( ) a = ( ) tvořil fundamentální sstém řešení musí být funkce = ( ) a = ( ) lineárně neávislé O lineární neávislosti funkcí rohodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu): ( ) ( ) W( ) = ( ) ( ) pro W ( ) 0: ( ) ( ) lineárně neávislé pro W ( ) = 0: ( ) ( ) lineárně ávislé Příklad 7: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici + = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r r+ = 0 roložíme na součin lineárních činitelů ( r)( r ) = 0 r = r = (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (A) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 Příklad 74: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 4= 0 upravíme podle vorce a ab+ b = ( a b) ( r ) = 0 r = (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (B) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 Příklad 75: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r = 0 vtkneme r rr ( 4) = 0 r = 0 r = 4 a podle (A) napíšeme obecné řešení: = C e + C e 4 0 = C + C e

15 Diferenciální rovnice 5 Příklad 76: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici + 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici upravíme r + 4= 0 r = 4 r = ± i (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) Porovnáním s (C) jistíme a= 0 b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 0 = e ( C cos+ C sin ) 0 = Ccos + Csin Příklad 77: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 5= 0 vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu 4 ± ( 4) 45 4± 4 4± i r = = = = ± i Porovnáním s (C) jistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 = e ( C cos+ C sin ) 0 = e ( C cos+ C sin ) 7 Úplná rovnice a + a + a0 = Q( ) Obecné řešení úplné rovnice má tvar = 0 + ˆ (7) kde 0 je řešení příslušné krácené rovnice a + a + a0 = 0 ŷ je partikulární integrál příslušný pravé straně Q ( ) Úplnou rovnici řešíme: Lagrangeovou metodou variace konstant (univerální metoda použitelná pro každou lineární diferenciální rovnici) metodou neurčitých koeficientů (metoda použitelná poue v případě speciálních tvarů pravé stran Q) ( ) Lagrangeova metoda variace konstant Princip metod je analogický řešení lineární diferenciální rovnice I řádu Proto si poue ukážeme na konkrétním příkladu nejjednodušší algoritmus řešení Příklad 78: Vřešte diferenciální rovnici: + 9 = cos Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + 9 = 0 napíšeme charakteristickou rovnici porovnáním s (C) jistíme a= 0 b= fundamentální sstém řešení tvoří složk r + 9= 0 0 = e cos r = 9 r = ± i 0 = e sin

16 Diferenciální rovnice 6 a podle (C) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: 0 = Ccos+ Csin (8) II Metoda variace konstant C = C( ) C = C( ) ted C Cjsou funkce proměnné Vpočítáme Wronskián ( ) ( ) cos sin W( ) = = = cos + sin = (cos + sin ) = 0 ( ) ( ) sin cos Ve Wronskiánu nahradíme (Cramerovo pravidlo) první sloupec sloupcem sin sin Q ( ) = a vtvoříme tak determinant W ( ) = = cos cos a cos cos Ve Wronskiánu analogick nahradíme druhý sloupec sloupcem 0 0 cos 0 cos Q ( ) = a vtvoříme tak determinant W ( ) = = = sin cos a cos cos Konstant C C vpočítáme podle vtahů: sin W ( ) cos sin sin ( ) C = d = d d d ln cos K W( ) = = = + cos cos 9 W ( ) C( ) = d = d K W( ) = + III Dosaením do obecného řešení krácené rovnice (8) a C C ískáme obecné řešení úplné rovnice: = ( ln cos + K)cos + ( + K)sin 9 = Kcos+ Ksin+ ln cos cos+ sin 9 Metoda neurčitých koeficientů Metodu můžeme použít poue v případě těchto speciálních tvarů pravé stran Q: ( ) a α) Q ( ) = e (eponenciální funkce) β) Q ( ) = Pn ( ) (polnom stupně n) γ) Q ( ) = cosbnebo sin b (goniometrické funkce) δ) kombinace α β γ

17 Diferenciální rovnice 7 Partikulární integrál ŷ příslušný pravé straně Q ( ) vtvoříme podle následující tabulk: Pravá strana Q ( ) Charakteristický kořen r krácené rovnice a + a + a = 0 0 Partikulární integrál ŷ Pn ( ) r = 0 k násobný k R n ( ) r 0 Rn ( ) a e r = a k násobný r a k a A e a Ae cosb sin b a P ( ) e cosb n a P ( ) e sinb n r =± ib ( Acosb+ Bsin b) r ± ib Acosb+ Bsin b r = a± ib a e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) r a± ib a e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) 0 Pn ( ) Rn ( ) Sn( ) jsou polnom stupně n ( A + A+ A + + A ) Výpočet touto metodou si ukážeme opět na příkladu Příklad 79: Vřešte diferenciální rovnici + + = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + + = 0 napíšeme charakteristickou rovnici r r + r+ = 0 ( r+ )( r+ ) = 0 = r = fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk a podle (A) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: n e 0 n = = e = Ce + C e II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet podle tabulk příslušný partikulární integrál α) Pro Qα ( ) = 4e řešíme rovnici + + = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = a r = Ae vpočítáme derivace ˆ ˆ = Ae ˆ = 4Ae a dosadíme do adání α): 4Ae + Ae + Ae = 4e vkrátíme e 0 a sečteme A = 4 A = ˆ = e

18 Diferenciální rovnice 8 III α) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení úplné rovnice: = 0 + ˆ α = Ce + Ce + e II β) Pro Qβ ( ) = 4e řešíme rovnici + + = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = = r ( k = ) ˆ = Ae vpočítáme derivace ˆ = Ae Ae ˆ Ae Ae 4Ae 4Ae = + = 4Ae a dosadíme do adání β): 4Ae 4Ae + ( Ae Ae ) + Ae = 4e Člen s e se vruší vkrátíme ˆ = 4e III β) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ 4 β = Ce + C e e e 0 a sečteme A = 4 A = 4 II γ) Pro Qγ ( ) = 4 řešíme rovnici + + = 4 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a r 0 = A + B + C vpočítáme derivace ˆ = A + B ˆ = A a dosadíme do adání γ): ˆ A+ ( A+ B) + ( A + B+ C) = 4 upravíme: A + (6A + B) + (A + B + C) = 4 porovnáme koeficient u jednotlivých mocnin : u : A= 4 A= u : 6A+ B= 0 B= A= = 6 0 u : A+ B+ C = C = A B= ( 6) = C = 6 ˆ = 6+ 6 III γ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ γ = Ce + Ce II δ) Pro Qδ ( ) = 0sin řešíme rovnici + + = 0sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a= 0 b= r 0± i ˆ = Acos + Bsin vpočítáme derivace: ˆ = Asin + Bcos ˆ =4Acos 4Bsin a dosadíme do adání δ): ( 4Acos 4Bsin ) + ( Asin+ Bcos ) + ( Acos+ Bsin ) = 0sin upravíme: cos ( A+ 6 B) + sin ( 6A B) = 0sin porovnáme koeficient u jednotlivých funkcí: u cos : A+ 6B= 0 A= B u sin : 6A B= 0 6B B= 0 B= A= ˆ =cos sin

19 Diferenciální rovnice 9 III δ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ δ = Ce + Ce cos sin Příklad 70: Vřešte diferenciální rovnici + = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + = 0 napíšeme charakteristickou rovnici fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk a podle (A) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: r + r = 0 rr+ ( ) = 0 r = r = 0 = e 0 = e = 0 = Ce + C = Ce + C II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici opět volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet partikulární integrál podle výše uvedené tabulk: ε) Pro Qε ( ) = e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vpočítáme derivace: a dosadíme do adání ε): vkrátíme + = e ˆ a = a = a r = Ae ˆ = Ae ˆ = 9Ae 9Ae + Ae = e e 0 a sečteme 5A = III ε)dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ε = Ce + C + e 5 A = 5 II φ) Zvolme Qϕ ( ) = 4 řešíme rovnici + = 4 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r = 0 ˆ = ( A+ B) = A + B vpočítáme derivace: ˆ = A + B ˆ = A a dosadíme do adání φ): A+ ( A+ B) = 4 upravíme: 4 A + (A + B) = 4 porovnáme koeficient u jednotlivých mocnin : u : 4A= 4 A= 0 u :A+ B= 0 B= A= ŷ = III φ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ = Ce + C + ϕ ˆ = e 5 II σ) Pro Qσ ( ) = 8cos 4 řešíme rovnici + = 8cos4 Na pravé straně rovnice je funkce cos 4 a= 0 b= 4 r 0 ± 4i ˆ = Acos 4+ Bsin 4 vpočítáme derivace: ˆ = 4Asin4+ 4Bcos4 ˆ =6Acos4 6Bsin4

20 Diferenciální rovnice 0 a dosadíme do adání σ): ( 6Acos 4 6Bsin 4 ) + ( 4Asin 4+ 4Bcos 4 ) = 8cos 4 upravíme: cos 4 ( 6A+ 8 B) + sin 4 ( 8A 6 B) = 8cos 4 porovnáme koeficient u jednotlivých funkcí: u sin 4 : 8A 6B= 0 A= B u cos 4 : 6A+ 8B= 8 6( B) + 8B= 8 B= A= 5 5 ˆ = cos 4+ sin III σ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ σ = Ce + C cos 4+ sin Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici + 4 = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + 4 = 0 napíšeme charakteristickou rovnici r + 4= 0 r =4 r =± i a= 0 b= fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk = cos = sin a podle (C) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: 0 = Ccos + Csin II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici opět volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet partikulární integrál ς) Pro Qς ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vpočítáme derivace: a dosadíme do adání ς): vkrátíme e 0 a sečteme: 8A = = 4e ˆ a = a = a r = Ae ˆ = Ae ˆ = 4Ae III ς) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ς = Ccos + Csin + e 4Ae + 4Ae = 4e A = ˆ = e II ξ ) Pro Q ξ = řešíme rovnici + 4 = Na pravé straně rovnice je polnom 0 stupně (konstanta) a protože r 0 ˆ = A vpočítáme derivace ˆ = 0 ˆ = 0 a dosadíme do adání ξ ): 0+ 4A= A= ˆ = III ξ ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ξ = Ccos + Csin

21 Diferenciální rovnice Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici = Q( ) je-li e a) Q ( ) = b) Q ( ) = c) Q ( ) = sin d) Q ( ) = sin cos e) Q ( ) = e cos Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu r 4 ± ± 6 4 ± 6i + 4r+ = 0 = = = r = ± i Porovnáním s (C) jistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 = e ( C cos+ C sin ) a) Pro e Q ( ) = řešíme rovnici = e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = a r ˆ = Ae b) Pro Q ( ) = řešíme rovnici = Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r 0 ŷ = A + B + C + D c) Pro Q ( ) = sinřešíme rovnici = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a= 0 b= r 0 ± i ˆ = Acos+ Bsin d) Pro Q ( ) = sin cos řešíme rovnici = sin cos Na pravé straně rovnice je funkce sin cos a= 0 b= r 0± i ˆ = Acos+ Bsin e) Pro Q ( ) = e cosřešíme rovnici Na pravé straně rovnice je funkce r = a± bi= ± i = e cos e cos a= b= ˆ = e ( Acos+ Bsin ) Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici + 5 = Q( ) je-li a) b) 5 Q ( ) = e 5 e Q ( ) = c) Q ( ) = 5 d) Q ( ) = cos5

22 Diferenciální rovnice Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 5r = 0 vtkneme r rr+ ( 5) = 0 r = 0 r = 5 a podle (A) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 5 = C + C e a) Pro b) Pro 5 Q ( ) = e řešíme rovnici = e Mocnitel na pravé straně rovnice a= 5 a= 5 a r 5 e Q ( ) = řešíme rovnici = e Mocnitel na pravé straně rovnice a = 5 a =5 a = r 5 ˆ = Ae 5 ˆ = Ae c) Pro Q ( ) = 5 řešíme rovnici + 5 = 5 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r = 0 ˆ = ( A + B + D) d) Pro Q ( ) = cos5řešíme rovnici + 5 = cos5 Na pravé straně rovnice je funkce cos 5 a= 0 b= 5 r 0 + 5i ˆ = Acos5+ Bsin 5

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2. Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka 1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

1 Integrál komplexní funkce pokračování

1 Integrál komplexní funkce pokračování Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016 VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematik Matematický seminář Petra Horáčková, Miroslav Hanáček Za jazkovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Tet neprošel jazkovou ani redakční

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203 6..4 Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru Předpoklady: 603 Pedagogická ponámka: Tato hodina vyžaduje spíše jeden a půl vyučovací hodiny Máme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru:

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných PŘÍKLAD 1. Nalezněte funkční předpis kvadratické formy F( z1, z2, z = A.

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných PŘÍKLAD 1. Nalezněte funkční předpis kvadratické formy F( z1, z2, z = A. Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných -6- KVADRATICKÉ FORMY PŘÍKLAD Naleněte funkční předpis kvadratické formy F(, ) adané maticí A 4 Pro obecnou kvadratickou formu dvou proměnných platí

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Lineární diferenciální rovnice n tého řádu

Lineární diferenciální rovnice n tého řádu Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924 5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty

6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ 63 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty 631 Definice Definice Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s onstantními oeficienty nazýváme rovnici

Více

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe. Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Konvergence kuncova/

Konvergence  kuncova/ Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

5. Základy teorie ODR

5. Základy teorie ODR 5. Základ teorie ODR A. Diferenciální rovnice a související pojm Mnohé fzikální a jiné zákon lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vstupuje funkce, přičemž tto rovnice obsahují derivaci, příp.

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

APROXIMACE FUNKCÍ. Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýzy je studium aproximací

APROXIMACE FUNKCÍ. Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýzy je studium aproximací APROXIMACE FUNKCÍ Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýz je studium aproimací funkcí. Při numerickém řešení úloh matematické analýz totiž často nahrazujeme danou funkci f, vstupující

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více