TLUSTOSTĚNNÉ ROTAČNĚ SYMETRICKÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TLUSTOSTĚNNÉ ROTAČNĚ SYMETRICKÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY. Autoři: M. Zajíček, V. Adámek"

Transkript

1 1.3 Řešené příklady Příklad 1: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost v silnostěnné otevřené válcové nádobě zatížené vnitřním a vnějším přetlakem, viz obr. 1. Na nebezpečném poloměru, z hlediska pevnosti dle HMH a Guestovy hypotézy, proveďte kontrolu bezpečnosti. Dálestanovtevelikostizměnpoloměrů r(r 1 ), r(r ).Dáno: E= 10 5 MPa, ν=0.3, Re=80MPa, k=, p 1 =90MPa, p =7MPa, r 1 =100mm, r =15mm. p p 1 r 1 Obr.1 r Řešení: V prvním kroku nejprve stanovíme integrační konstanty, které se vyskytují ve vztazích pro radiální a obvodové napětí. Okrajové podmínky, které určují integrační konstanty, jsou pro nádobu na obr. 1 dány rovnicemi σ r (r 1 )= p 1 a σ r (r )= p, (1) jež po dosazení obecného řešení přecházejí v soustavu dvou algebraických rovnic D 1 D r 1 = p 1 a D 1 D r = p () proneznámé D 1 a D.Povyřešení()získámevztahyprointegračníkonstantyvetvaru D 1 = p 1r 1 p r r r 1 a D = (p 1 p )r 1r r r 1. (3) Dosazením numerických hodnot dostáváme D 1 = = Pa= 40MPa, D = ( ) = N=0.5MN. (4) S použitím obecných rovnic, definujících průběh radiálního a obvodového napětí v tlustnostěnnérotačněsymetrickéválcovénádobě,aseznalostí D 1 a D,viz(4),lzeprůběhy napětí popsat funkcemi σ r = a σ r t = r 1,r. (5) 1

2 r [mm] σ r D 1 σ o σ t σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. Protože nádobu považujeme v souladu se zadáním za otevřenou, tj. nezatíženou ve směru podélné osy, je osové napětí působící v řezu kolmém na podélnou osu nádoby σ o =0 1,r. (6) Průběhy všech složek napětí jsou zobrazeny na obr.. Pro hodnoty hlavních napětí(radiálního a obvodového) na vnitřním a vnějším poloměru nádoby pak platí: σ r (r 1 )=D 1 D r 1 = p 1r 1 p r r r 1 (p 1 p )r r r 1 = p 1 = 90MPa, σ r (r )=D 1 D r = p 1r 1 p r r r 1 (p 1 p )r 1 r r 1 = p = 7MPa, σ t (r 1 )=D 1 + D r 1 σ t (r )=D 1 + D r = p 1r 1 p r r r 1 = p 1r 1 p r r r 1 + (p 1 p )r r r 1 + (p 1 p )r 1 r r 1 =D 1 + p 1 =( 40)+90=10MPa, =D 1 + p =( 40)+7= 8MPa.(7) Z obr. je evidentní, že nebezpečný stav napjatosti vzniká v nádobě na vnitřním poloměru. Abychom mohli provést kontrolu bezpečnosti, vypočtěme nejprve velikosti redukovaného napětí na nebezpečném poloměru podle jednotlivých hypotéz pevnosti. Redukovanénapětípro r=r 1 jepodlehypotézy HMH 1 rovno σ red = Guestovy rovno σr+ σt+ σo (σ r σ t + σ t σ o + σ o σ r )= σr+ σt σ r σ t = = ( 90) +10 ( 90) 10. =95.39MPa, (8) σ red = σ max σ min = σ t σ r =10 ( 90)=100MPa. (9) 1 HypotézaHMHjevliteratuřeznámátakéjakovonMisesovahypotéza.

3 Bezpečnost podle hypotézy HMH, resp. Guestovy, vůči mezi kluzu materiálu je potom k= Re σ red = =.94, resp. k= Re = 80 σ red 100 =.8. (10) S přihlédnutím k vypočteným hodnotám(10) můžeme tedy konstatovat, že předepsaná bezpečnostzezadání k=jesplněnapodleobouhypotézpevnosti. Změny sledovaných poloměrů jsou po dosazení numerických hodnot r(r 1 )= r 1 E [σ t ν(σ r + σ o )]= r 1 E (σ t νσ r )= = 0.1 [ ( ) ] = m= mm, (11) r(r )= r E [σ t ν(σ r + σ o )]= r E (σ t νσ r )= = 0.15 [ ( ) ] = m= mm. (1) Příklad : Je dána uzavřená silnostěnná válcová nádoba namáhaná vnitřním přetlakem p, jak je patrné z obr. 1. Dimenzujte válcovou část nádoby podle Guestovy hypotézy pevnosti. Vypočtěte velikosti hlavních napětí na vnitřním a vnějším válcovém povrchu a zakreslete v měřítku jejich průběhy, je-lidáno: Re=300MPa, k=1.5, p=50mpa, r 1 =50mm. p Obr.1 r 1 r Řešení: Abychom byli schopni splnit všechny úkoly ze zadání, musíme vypočítat velikost vnějšího poloměru r,resp.tloušťkustěny t=r r 1 (1) válcovéčástinádoby.sohledemnafyzikálnípodstatuproblémuzřejměplatí r (r 1, ). Pro funkce udávající velikosti radiálního, obvodového a osového napětí ve stěně válcové části nádoby můžeme psát σ r (r)=d 1 D r, σ t(r)=d 1 + D r a σ o = D 1. () Dále nalezneme obecný tvar integračních konstant, které se vyskytují v těchto vztazích. Okrajové podmínky jsou pro válcovou část nádobu z obr. 1 dány vztahy σ r (r 1 )= p a σ r (r )=0, (3) 3

4 jež po dosazení obecného řešení přecházejí v soustavu dvou algebraických rovnic D 1 D r 1 = p a D 1 D r =0 (4) proneznámé D 1 a D.Povyřešenísoustavy(4)obdržímeintegračníkonstantyvetvaru D 1 = pr 1 r r 1 a D = pr 1r. (5) r r1 Sohledemnajejichtvarlzekonstatovat,žeoběnabývajíkladnýchhodnot,tj. D 1 >0a D >0.Potomprohlavnínapětí()platínalibovolnémpoloměru r r 1,r relace σ t > σ o > σ r. (6) Jestliže chceme nyní zapsat redukované napětí dle Guestovy hypotézy na libovolném poloměru r r 1,r,potomspřihlédnutímknerovnostem(6)platí: σ red (r)=σ max (r) σ min (r)=σ t (r) σ r (r)= D r. (7) Při dimenzování nádoby rozhoduje největší z hodnot redukovaného napětí. Pevnostní podmínku pak můžeme zapsat následujícím způsobem: Vzhledemk(7)anerovnici r 1 < r jezřejmé,že max σ red(r)= Re r r 1,r k. (8) max σ red(r)= D r r 1,r r1 = σ red (r 1 ). (9) Paklzepevnostnípodmínku(8)pomocí(9),(5)a(1)přepsatdotvaru D ( ) [ ] pr =(D r1 1 + p)= 1 pr1 + p = r r1 t(r 1 + t) + p = Re k. (10) Úpravou(10) a poté dosazením číselných hodnot obdržíme kvadratickou rovnici ( t +r 1 t+r1 1 Re ) 1 = t +0.5 t 0.065=0, (11) pk jejíž kořeny jsou: t 1. =0.104m=104mm a t. = 0.604m= 604mm. (1) Z fyzikálního hlediska má význam pouze první z kořenů, tedy tloušťka stěny válcové části nádobyje t=t 1,takžeprovnějšípoloměrnádobyplatí r = r 1 + t=50+104=354mm. (13) 4

5 r [mm] σ r σ o D 1 σ t σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. Známe-lihodnotu r,můžemejižvyšetřitkonkrétnípodobufunkcí().dosazením numerických hodnot do(5) dostáváme D 1 = = Pa=49.75MPa, D = = N=6.3MN. (14) Osové napětí je v celém přůřezu kolmém na podélnou osu válcové části nádoby konstantní adle()a(14)jejehovelikost Zbývající hlavní napětí potom popisují funkce σ r = σ o =49.75MPa 1,r. (15) a σ r t = r 1,r, (16) jejichprůběhyjsouspoluse σ o zobrazenynaobr..hodnotyradiálníhoaobvodového napětí na krajních poloměrech nádoby jsou: σ r (r 1 )=D 1 D r 1 σ r (r )=D 1 D r σ t (r 1 )=D 1 + D r 1 σ t (r )=D 1 + D r = p= 50MPa, =0, =D 1 + p= =149.5MPa, =D 1 = 49.75=99.5MPa. (17) 5

6 Příklad 3: Vyšetřete a v měřítku zakreslete napjatost v silnostěnné otevřené dvouplášťové válcové nádobě zatížené vnitřním a vnějšímpřetlakem,jakjevidětnaobr.1.nanebezpečnémpoloměru, z hlediska pevnosti dle Guestovy hypotézy, proveďte výpočetbezpečnosti,je-lidáno: Re = Re = Re=80MPa, p =90MPa, p =7MPa, p n =10MPa, r 1 =100mm, r =110mm, r 3 =15mm. p p r 1 Obr.1 r r 3 Řešení: Dvouplášťová nádoba je konstruována tak, že její plášť je složen ze dvou válců na sebe navzájem nalisovaných s přesahem. Tím ve stykové ploše válců vzniká tlakové předpětí, nalisovacítlak p n,kterévnitřníválec stlačuje,zatímcovnějšíválec roztahuje.teprve potéjedvouplášťovánádobazatíženatlaky p a p navnitřnímavnějšímpoloměru.potom s ohledem na platnost principu superpozice zatížení můžeme celkový stav napjatosti ve složené nádobě vyšetřit jako součet oddělených případů zatížení, což je schématicky vyjádřeno na obr.. Řešení tak rozdělíme do tří kroků. Krok 1: Vyšetříme stav napjatosti ve vnitřní a vnější nádobě při působení pouze nalisovacíhotlaku p n.nejprvestanovímeintegračníkonstanty,kterésevyskytujívevztazích pro hlavní napětí. Funkci popisující radiální napětí ve stěně nádoby můžeme zapsat ve tvaru D 1, 1 D1, σ r,n (r)= r 1,r, (1) D,3 1 D,3 r,r 3, a obdobně můžeme psát i pro funkci popisující obvodové napětí D 1, 1 + D1, σ t,n (r)= r 1,r ), () D,3 1 + D,3 pro r (r r,r 3. p p p n + p = p r 1 r r 3 Obr. 6

7 ntegračníkonstanty D 1, 1 a D 1, určíme z okrajových podmínek pro vnitřní nádobu σ r,n (r 1 )=0 a σ r,n (r )= p n, (3) jež po dosazení obecného řešení přecházejí v soustavu dvou algebraických rovnic D 1, 1 D1, r1 =0 a D 1, 1 D1, r = p n (4) proneznámé D 1, 1 a D 1,. Po vyřešení(4) mají integrační konstanty tvar D 1, 1 = p nr r r 1 a D 1, = p nr1r. (5) r r1 Analogickystanovímeiintegračníkonstanty D,3 1 a D,3.Vtomtopřípaděvycházíme z okrajových podmínek σ r,n (r )= p n a σ r,n (r 3 )=0, (6) které platí pro vnější nádobu. Řešením soustavy algebraických rovnic D,3 1 D,3 r = p n a D,3 1 D,3 r3 =0 (7) vyplývajících bezprostředně z(6) a(1) obdržíme hledané integrační konstanty ve tvaru D,3 1 = p nr r 3 r a D,3 = p nrr 3. (8) r3 r Dosazením numerických hodnot do(5) a(8) postupně dostáváme: D 1, 1 = = Pa= 57.6MPa, D 1, = = N= 0.576MN, D,3 1 = = Pa=34.33MPa, D,3 = = N=0.5363MN. (9) 7

8 r [mm] σ t,n D 1 1, σ r,n D 1,3 σ t,n σ r,n, σ t,n [MPa] Obr.3 Hodnotyradiálníhoaobvodovéhonapětínapoloměrech r 1 až r 3 potomjsou : σ r,n (r 1 )=D 1, σ r,n (r )=D 1, σ r,n (r 3 )=D,3 1 D1, r1 1 D1, r 1 D,3 r3 =0, = D,3 =0, 1 D,3 r = p n = 10MPa, σ t,n (r 1 )=D 1, σ t,n (r 0)=D 1, σ t,n (r +0)=D,3 σ t,n (r 3 )=D,3 1 + D1, r1 1 + D1, r 1 + D,3 r 1 + D,3 r3 =D 1, 1 =( 57.6)= 115.4MPa, =D 1, 1 + p n =( 57.6)+10= 105.4MPa, =D,3 1 + p n = =78.66MPa, =D,3 1 = 34.33=68.66MPa. (10) Z vypočtených hodnot napětí(10) je patrné, že zatímco funkce popisující průběh radiálníhonapětíjenacelémintervalu r 1,r 3 spojitá,podosazenínumerickýchhodnotz(9) do(1)mátvar σ r,n (r)= r 1,r, r,r 3, (11) Zápis f(a+0),resp. f(a 0),vyjadřujelimitufunkce f(x)vbodě azprava,resp.zleva,nebo-li lim f(x),resp. lim f(x). x a+ x a 8

9 funkcepopisujícíprůběhobvodovéhonapětímávbodě r nespojitostprvníhodruhu σ t,n (r)= r 1,r ), (1) pro r (r r,r 3. Skok σ t,n (r +0) σ t,n (r 0)funkce σ t,n (r)vbodě r jepatrnýinaobr.3,kdejsou zobrazeny průběhy obou hlavních napětí. Krok : Vyšetříme stav napjatosti ve složené nádobě jako celku při zatížení na vnitřnímpoloměru r 1 tlakem p anavnějšímpoloměru r 3 tlakem p.nejprvestanovímeopět integrační konstanty, které se vyskytují ve vztazích 1 D1,3 1 + D1,3 σ r, p (r)=d 1,3 a σ r t, p (r)=d 1,3 r 1,r 3, (13) pro radiální a obvodové napětí. Jejich tvar určíme z okrajových podmínek σ r, p (r 1 )= p a σ r, p (r 3 )= p. (14) Po dosazení obecného řešení přecházejí v soustavu dvou algebraických rovnic D 1,3 1 D1,3 r1 = p a D 1,3 Jejich řešením pak obdržíme integrační konstanty D 1,3 1 = p r 1 p r 3 r 3 r 1 D 1,3 = (p p )r 1r 3 r 3 r 1 1 D1,3 r3 = p. (15) = = Pa= 40MPa, = ( ) = N=0.5MN. (16) Radiálníaobvodovénapětípotomnabývajínapoloměrech r 1, r a r 3 následujícíchhodnot: σ r, p (r 1 )=D 1,3 σ r, p (r )=D 1,3 σ r, p (r 3 )=D 1,3 σ t, p (r 1 )=D 1,3 σ t, p (r )=D 1,3 σ t, p (r 3 )=D 1,3 1 D1,3 r1 1 D1,3 r 1 D1,3 r3 1 + D1,3 r1 1 + D1,3 r 1 + D1,3 r3 = p = 90MPa, = = p = 7MPa, = = = = Pa= 81.3MPa, = Pa=10MPa, = Pa=1.3MPa, = Pa= 8MPa. (17) 9

10 r [mm] σ r,p D 1 1,3 σ t,p σ r,p, σ t,p [MPa] Obr.4 Průběhynapětí,kteréjsouzobrazenynaobr.4,jsouspřihlédnutímk(13)a(16) popsány funkcemi σ r, p = a σ r t, p = r 1,r 3. (18) Krok 3: Vyšetříme průběh výsledných napětí ve dvouplášťové nádobě, přičemž využijeme zákona superpozice napětí. Pro výsledná napětí můžeme psát D 1, 1 + D 1,3 1 D1, + D 1,3 = D σ r (r)=σ r,n + σ r, p = r 1 D r 1,r, D,3 1 + D 1,3 1 D,3 + D 1,3 (19) = D r 1 D r,r 3, D 1, 1 + D 1,3 1 + D1, + D 1,3 = D σ t (r)=σ t,n + σ t, p = r 1+ D r 1,r ), D,3 1 + D 1,3 1 + D,3 + D 1,3 (0) = D r 1 + D pro r (r r,r 3, kde celkové integrační konstanty jsou rovny D1= D 1, 1 + D 1,3 1 = = 97.6MPa, (1) D= D 1, + D 1,3 = = 0.076MN, () D1 = D,3 1 + D 1,3 1 = = 5.77MPa, (3) D = D,3 + D 1,3 = =1.0363MN, (4) viz(9)a(16).funkceobvodovéhonapětímávbodě r takénespojitostprvníhodruhu. Doposudjsmesenezmínilioosovémnapětí.Tojeovšem,sohledemnato,žejsmevobou dosavadních krocích uvažovali otevřené nádoby, rovno nule. Tedy i pro výsledné osové napětí platí: σ o =0 1,r 3. (5) 10

11 r [mm] σ t D 1 σ r D 1 σ o σ t σ r, σ t, σ o [MPa] Obr.5 Výsledné průběhy radiálního a obvodového napětí zobrazené na obr. 5 jsou potom podle vztahů(19) až(4) dány funkcemi σ r (r)= r 1,r, (6) r,r 3, σ t (r)= r 1,r ), (7) pro r (r r,r 3. Velikostiradiálníhoaobvodovéhonapětínapoloměrech r 1, r a r 3 lzepakvypočítat buďspomocívztahů(6)a(7),nebospomocíjiždřívevypočtenýchhodnotnatěchto poloměrech. Využijeme-li tedy např. vztahů(10) a(17), můžeme potom pro jednotlivá napětínapoloměrech r 1, r a r 3 psát σ r (r 1 )=σ r,n (r 1 )+σ r, p (r 1 )=0 90= 90MPa, σ r (r )=σ r,n (r )+σ r, p (r )= = 91.3MPa, σ r (r 3 )=σ r,n (r 3 )+σ r, p (r 3 )=0 7= 7MPa, σ t (r 1 )=σ t,n (r 1 )+σ t, p (r 1 )= = 105.4MPa, σ t (r 0)=σ t,n (r 0)+σ t, p (r )= = 103.9MPa, σ t (r +0)=σ t,n (r +0)+σ t, p (r )= =79.98MPa, σ t (r 3 )=σ t,n (r 3 )+σ t, p (r 3 )= =60.66MPa. (8) Z obr. 5 je patrné, že nebezpečný stav napjatosti vzniká ve dvouplášťové nádobě na vnitřním poloměru vnějšího válce. Redukované napětí podle Guestovy hypotézy pevnosti je tedy rovno σ red = σ t (r +0) σ r (r )=79.98 ( 91.3)=171.3MPa (9) 11

12 a odtud je bezpečnost vůči mezi kluzu materiálu k= Re σ red = =1.63. (30) Poznámka: Provedeme-li porovnání dosažené bezpečnosti s bezpečností vypočtenou v příkladu 1 pro jednoplášťovou nádobu, zjistíme, že stav napjatosti ve dvouplášťové nádobě je méně výhodný. Vhodnou konstrukcí dvouplášťové nádoby, tj. vhodným návrhem poloměru r analisovacíhotlaku p n,lzedocílitioptimálníhovyužitímateriálovýchvlastnostíobou částí a dosáhnout tak maximální možné bezpečnosti nádoby. Příklad 4: Pro dvouplášťovou otevřenou nádobu navrhněte potřebný přesahpoloměrů r tak,abyvnádoběbezvnějšíhozatížení, vizobr.1,působilnastykovéplošeměrnýtlak p n =10MPa. Dále vypočtěte měrnou nalisovací sílu při znalosti součinitele tření f t =0.vestykovéploše,je-lidáno: E = MPa, E = MPa, ν = 0.3, ν = 0.9, r 1 = 100mm, r =110mm, r 3 =15mm. r 1 Obr.1 r r 3 Řešení: Abymohlvestykovéplošeobouválcovýchnádobvzniknouttlak p n,musíbýtvnitřní nádoba vyrobenasvnějšímpoloměrem r r,neboťdocházíkestlačenívnějšíhopolo- měrunádobyatedy r <0.Vnějšínádoba paksvnitřnímpoloměrem r r,jakje vidět na obr.. Protože kladný přírůstek změny poloměru r(r) byl obecně definován ve směru přírůstku poloměru r, je přesah obou nádob dán rozdílem vnějšího poloměru vnitřní a vnitřního poloměru vnější nádoby, tj. r = r + r = r + r. (1) p n r r r r 3 r n r 1 p Obr. 1

13 Velikosti změn jednotlivých poloměrů válcových nádob jsou s ohledem na předpoklad malých deformací velmi malé při porovnání s příslušnými poloměry, což můžeme formálně zapsat na obecném poloměru jako r r. Dopustíme se tak zanedbatelné chyby, jestliže výpočtyzměnpoloměrů ra r budeme vztahovat k výpočtu nádob při jejich vzájemnémspojení.budemetakpracovatshodnotamipoloměrů r 1, r a r 3,přestože r není původním rozměrem nádob. Napjatost ve dvouplášťové válcové nádobě může být popsána pomocí radiálního a obvodovéhonapětívztahy 3 D1 D σ r (r)= r 1,r, D1+ D σ t (r)= r 1,r ), () D1 D r,r 3, D1 + D pro r (r r,r 3, kde jsou jednotlivé integrační konstanty rovny D1= p nr, D r r = p nr1r, D 1 r r1 1 = p nr r3 r Protože dvouplášťová nádoba je uvažována jako otevřená, je osové napětí a v dalších výpočtech nemá žádný význam. Prozměnypoloměrů r a r r = r E (σ t (r 0) ν σ r (r ))= r E r = r E (σ t (r +0) ν σ r (r ))= r E a D = p nrr 3. (3) r3 r σ o =0 1,r 3 (4) můžeme s přihlédnutím ke vztahům() až(4) psát ( ) D1+ D +ν r p n = p ( nr r + r1 ν E r r1 ), (5) ( ) D1+ D +ν r p n = p ( nr r 3 + r + ν E r3 r ). (6) Změny poloměrů jsou po dosazení numerických hodnot r= 10 ( ) = m= mm,(7) r = 10 ( ) = m= mm (8) apotřebnýpřesahpoloměrů r,viz(1),mávelikost r = r + r = = mm. (9) Celkový přesah poloměrů můžeme vyjádřit také přímo s pomocí parametrů zadání. Postačí dosaditdo(1)z(5)a(6).poúpravěobdržímeobecněplatnývztah [ ( ) 1 r r = p n r + r1 ν E r r1 + 1 ( )] r 3 + r + ν E r3 r. (10) 3 Napjatostbyladetailněanalyzovánavpříkladu3. 13

14 Přiurčeníměrnénalisovacísíly F l postupujemetakto:stavímeměrnousílusvěrnou, která působí na jednotku délky nalisovaného spoje, a násobíme ji součinitel tření. Tím získáme měrnou sílu třecí, která musí být měrnou nalisovací silou překonána. Tento postup může být zapsán následujícím způsobem: F l >πr p n f t =π =440000πNm 1. (11) Nalisovacísílajepotomdánasoučinemměrnésíly F l acelkovédélkynalisovanéhospoje. Příklad 5: Navrhněte silnostěnnou otevřenou dvouplášťovou válcovou nádobu zatíženou vnitřním a vnějším přetlakem(obr. 1) tak, aby bezpečnost v nádobě byla maximální. Návrh proveďte z hlediska Guestovy hypotézy pevnosti. Vyšetřete a v měřítku zakreslete odpovídající stav napjatosti, je-li dáno: Re = Re = Re=80MPa, p =90MPa, p =7MPa, r 1 =100mm, r 3 =15mm. p p r 1 Obr.1 r r 3 Řešení: Radiální a obvodové napětí může být ve dvouplášťové válcové nádobě popsáno pomocí vztahů 4 D1 D σ r (r)= r 1,r, D1+ D σ t (r)= r 1,r ), (1) D1 D r,r 3, D1 + D pro r (r r,r 3, kde jsou jednotlivé integrační konstanty rovny D 1= p r 1 p r 3 r 3 r 1 p nr, D r r = (p p )r1r 3 1 r3 r1 p nr1r, () r r1 D 1 = p r 1 p r 3 r 3 r 1 + p nr, D r3 r = (p p )r1r 3 r3 r1 Protože dvouplášťová nádoba je uvažována jako otevřená, je osové napětí + p nrr 3. (3) r3 r σ o =0 1,r 3. (4) Definujmenynítlak p s jakozáporněvzatouhodnoturadiálníhonapětínapoloměru r.pro tento tlak pak můžeme psát [ ] 1 r p s = σ r (r )= 1 r3 (p r3 r1 r p )+p r3 p r1 + p n. (5) 4 Napjatostbyladetailněanalyzovánavpříkladu3. 14

15 S jeho pomocí lze přepsat integrační konstanty() a(3) do nového formálního tvaru D 1= p r 1 p s r r r 1, D = (p p s )r 1r r r 1, (6) D1 = p sr p r3, D r3 r = (p s p )rr 3. (7) r3 r Má-li být ve dvouplášťové nádobě maximální bezpečnost, budeme požadovat, aby v obou částech nádoby byla tato bezpečnost stejná. Tím budou maximálně využity vlastnosti obou jeho částí-kroužků. Maximální hodnoty redukovaného napětí jsou dosaženy na vnitřních poloměrechjednotlivýchčástí.podleguestovyhypotézypevnostinelzenapoloměru r 1 dosáhnout menší hodnoty redukovaného napětí, než σ red (r 1 )=σ max (r 1 ) σ min (r 1 )=σ o σ r (r 1 )=p. (8) Jetozpůsobenotím,žeoběhodnotynapětí σ o =0aσ r = p jsoupředepsányjižvzadání úlohy. Maximální bezpečnost tak dosahuje velikosti k= Re p = =3. 1. (9) Našímúkolemjetedynaléztvelikostpoloměru r analisovacíhotlaku p n >0tak, abychom požadavek na maximální bezpečnost k splnili v obou částech nádoby. Pokud má platit vztah(8), musí být splněno σ t (r 1 ) 0 σ t (r 1 ) σ r (r 1 ). (10) Protožetlak p s > p (p n >0),plyneze(7),žekonstanta D >0atudíž σ t (r +0) > σ r (r ). Potom má pevnostní podmínka na vnitřním poloměru vnějšího kroužku tvar { Re k = σt (r +0) σ r (r ) pro σ t (r +0) 0, σ o σ r (r ) pro σ t (r +0) 0. (11) V dalším tedy analyzujme dva stavy napjatosti. Stav1:Stanovmevelikostpoloměru r (r 1,r 3 )atlaku p n >0,jestližemajíbýtsplněny podmínky(10)aσ t (r +0) 0.Sloučenímvztahů(9)a(11)obdržímezávislost σ t (r +0) σ r (r )=p. (1) Podosazeníz(1)a(3)do(1)apoprovedenípatřičnýchúpravmůžemepsát { [ ( )] p n = r 3 r ( ) 1 r1 r1 1 p r3 r1 (p p )}. (13) r 3 r 15

16 Dálepodosazenídopodmínek(10)aσ t (r +0) 0zevztahů(1),(3)a(13)apoprovedení příslušných úprav obdržíme soustavu(konjunkci) tří nerovnic ( ) ( (r1r 3+ r)p 4 p r r r p r3 p 0 (r3 r) p p ) 0. (14) r3+ r r3 Vztahy(14) 1 a(14) bylynalezenyzapředpokladu r ±r 1.Obdobněbylodvozenivztah (14) 3 zapředpokladu r ±r 3. Dosadíme-linynínumerickéhodnotydo(14) 1,zapředpokladu r 0,můžemepsát (r ) (r ) 0. (15) Jezřejmé,žetatonerovnicejesplněna(včetněpodmínek r ±r 1 a r 0)pouzepro hodnoty 11 = { , }m. (16) Prodruhouznerovnic(14) podosazenínumerickýchhodnotdostáváme r (17) Řešíme-lijinapř.metodouintervalů 5,snadnozjistíme,ženerovnicejesplněnapro 1. =(, , ) {±0.1}m. (18) Třetínerovnici(14) 3 upravímepodosazenínumerickýchhodnotdotvaru 0480r 4 51r +3. =0480(r )(r ) 0. (19) Pomocí metody intervalů zjistíme, že nerovnice platí pro 13. =( 0.15, ,0.15)m. (0) Množinou všech řešení je potom vzájemný průnik intervalů(16),(18) a(0) a intervalu (r 1,r 3 ),tj. r 1 = (0.1,0.15)={ }m. (1) Patřičný nalisovací tlak vypočítáme dosazením do(13). Dostáváme {[ ( )] p n = ( ) (90 7)} =1MPa. () Hodnota nalisovacího tlaku je větší než nula, čímž je splněna podmínka, že v místě nalisovaní musí skutečně vznikat tlak. 5 Metodaintervalůjeznámátakéjakometodanulovýchbodů.Bližšíinformaceotétometoděviznapř. J. Polák, Přehled středoškolské matematiky, SPN, Praha,

17 Stav:Stanovmevelikostpoloměru r (r 1,r 3 )atlaku p n >0,jestližemajíbýtsplněny podmínky(10)aσ t (r +0) 0.Sloučenímvztahů(9)a(11)obdržímezávislost p s = p. (3) Podosazení(5)do(3)aúpravělzepronalisovacítlakpsát ( ) p n = r r1 r3 (p r3 r1 p ). (4) r Následnýmdosazenímdopodmínek(10)aσ t (r +0) 0z(1),(3)a(4)obdržímepo provedení potřebných úprav soustavu(konjunkci) tří nerovnic (r r 1) p r 0 p p p p r 3 r 3+ r 0. (5) Vztahy(5) 1 a(5) bylynalezenyzapředpokladu r ±r 1.Obdobněbylodvozenivztah (5) 3 zapředpokladu r ±r 3. Dosadíme-linynínumerickéhodnotydo(5) 1,zapředpokladu r 0,můžemepsát r (6) Jezřejmé,žetatonerovnicejespoluspodmínkou r ±r 1 splněnaprointerval 1 =(, 0.1) (0.1, )m. (7) Druháznerovnic(5) másamozřejměvýznampouzepro p = p.tatopodmínkavpodstatěvyjadřujefakt,žepro p = p s jekonstanta D =0atudíž σ r (r)=σ t (r)= p pro r r 1,r,viz(6)a(1).ntervalplatnostipotommůžemezapsatjako =(,+ ) {±0.1}m. (8) Třetínerovnici(5) 3 upravímepodosazenínumerickýchhodnotdotvaru r (9) Pomocí metody intervalů zjistíme, že nerovnice platí pro interval 3. = , m. (30) Množinou všech řešení je potom vzájemný průnik intervalů(7),(8) a(30) s intervalem (r 1,r 3 ),tj. r = 1 3 (0.1,0.15)=, (31) což je prázdná množina. Pro stav tedy nebylo nalezeno žádné řešení. Přesto, že úloha byla vyšetřována intervalově, bylo zjištěno, že existuje jediné řešení pro r. =0.1118mapn =1MPa,viz(1)a().Vzávěrupříkladutedyještěvyšetřeme odpovídající stav napjatosti pro tyto hodnoty a zakresleme jej. Nejprve dosaďme numerické 17

18 10 r [mm] σ σ σ σ r t o t D 1 D hodnoty do vztahů() a(3). Dostáváme σ r, σ t, σ o [MPa] Obr. D 1= = 44.99MPa, D = (90 7) =0.4501MN, D 1 = = 36.01MPa, D = (90 7) =0.563MN. (3) Výsledné průběhy radiálního a obvodového napětí zobrazené na obr. jsou potom podle vztahů(3) a(1) dány funkcemi σ r (r)= r 1,r, r,r 3, (33) σ t (r)= r 1,r ), pro r (r r,r 3. (34) Provelikostiradiálníhoaobvodovéhonapětínapoloměrech r 1, r a r 3 pakmůžemepsát σ r (r 1 )= = Pa= 90MPa, 0.1 σ r (r )= = Pa= 81MPa, σ r (r 3 )= = Pa= 7MPa, (35)

19 σ t (r 1 )= = Pa=0.0MPa, 0.1 σ t (r 0)= = Pa= 8.98MPa, σ t (r +0)= = Pa=8.98MPa, σ t (r 3 )= = Pa= 0.0MPa. (36) 0.15 Poznámky: Nepatrné rozdíly ve vypočtených hodnotách obvodového napětí oproti očekávaným(σ t (r 1 )=0, σ t (r +0)=9MPa)jsouzpůsobenydřívějšímzaokrouhlenímhodnot r a p n.dáledoporučujemečtenáři,abykonfrontovalzískanévýsledkysvýsledkyzpříkladů 1 a. Odtud je patrné, že relativně malou změnou některých parametrů lze významně ovlivnit stav napjatosti ve dvouplášťové nádobě. 19

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

ANALÝZA NAPĚTÍ A DEFORMACÍ PRŮTOČNÉ ČOČKY KLAPKOVÉHO RYCHLOUZÁVĚRU DN5400 A POROVNÁNÍ HODNOCENÍ ÚNAVOVÉ ŽIVOTNOSTI DLE NOREM ČSN EN 13445-3 A ASME

ANALÝZA NAPĚTÍ A DEFORMACÍ PRŮTOČNÉ ČOČKY KLAPKOVÉHO RYCHLOUZÁVĚRU DN5400 A POROVNÁNÍ HODNOCENÍ ÚNAVOVÉ ŽIVOTNOSTI DLE NOREM ČSN EN 13445-3 A ASME 1. Úvod ANALÝZA NAPĚTÍ A DEFORMACÍ PRŮTOČNÉ ČOČKY KLAPKOVÉHO RYCHLOUZÁVĚRU DN5400 A POROVNÁNÍ HODNOCENÍ ÚNAVOVÉ ŽIVOTNOSTI DLE NOREM ČSN EN 13445-3 A ASME Michal Feilhauer, Miroslav Varner V článku se

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Stěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti.

Stěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti. Stěnové nosníky Stěnový nosník je plošný rovinný prvek uložený na podporách tak, že prvek je namáhán v jeho rovině. Porovnáme-li chování nosníků o výškách h = 0,25 l a h = l, při uvažování lineárně pružného

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Namáhání na tah, tlak

Namáhání na tah, tlak Namáhání na tah, tlak Pro namáhání na tah i tlak platí stejné vztahy a rovnice. Velikost normálového napětí v tahu, resp. tlaku vypočítáme ze vztahu: resp. kde je napětí v tahu, je napětí v tlaku (dále

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 4. ŘÍJNA 202 Název zpracovaného celku: PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Příhradové konstrukce jsou sestaveny

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

( r ) 2. Měření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku

( r ) 2. Měření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku ěření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku 1 ěření mechanické hysterezní smyčky a modulu pružnosti ve smyku Úkol č.1: Získejte mechanickou hysterezní křivku pro dráty různé tloušťky

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Únosnost kompozitních konstrukcí

Únosnost kompozitních konstrukcí ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav letadlové techniky Únosnost kompozitních konstrukcí Optimalizační výpočet kompozitních táhel konstantního průřezu Technická zpráva Pořadové číslo:

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Spoje pery a klíny. Charakteristika (konstrukční znaky)

Spoje pery a klíny. Charakteristika (konstrukční znaky) Spoje pery a klíny Charakteristika (konstrukční znaky) Jednoduše rozebíratelná spojení pomocí per, příp. klínů hranolového tvaru (u klínů se skosením na jedné z ploch) vložených do podélných vybrání nebo

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Různé druhy spojů a spojovací součásti (rozebíratelné spoje)

Různé druhy spojů a spojovací součásti (rozebíratelné spoje) Různé druhy spojů a spojovací součásti (rozebíratelné spoje) Kolíky, klíny, pera, pojistné a stavěcí kroužky, drážkování, svěrné spoje, nalisování aj. Nýty, nýtování, příhradové ocelové konstrukce. Ovládací

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmické rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Rozumíme dobře Archimedovu zákonu?

Rozumíme dobře Archimedovu zákonu? Rozumíme dobře Archimedovu zákonu? BOHUMIL VYBÍRAL Přírodovědecká fakulta Univerzity Hradec Králové K formulaci Archimedova zákona Archimedův zákon platí za podmínek, pro které byl odvozen, tj. že hydrostatické

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

12. Elektrotechnika 1 Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony

12. Elektrotechnika 1 Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony . Elektrotechnika Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony . Elektrotechnika Kirchhoffovy zákony Při řešení elektrických obvodů, tedy různě propojených sítí tvořených zdroji, odpory (kapacitami a indukčnostmi)

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

VY_32_INOVACE_C Jedná se o takové aplikace, které pro přenos krouticího momentu mezi hřídelem a nábojem využívají tření.

VY_32_INOVACE_C Jedná se o takové aplikace, které pro přenos krouticího momentu mezi hřídelem a nábojem využívají tření. Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

Pevnostní výpočet tlakové nádoby podle ČSN

Pevnostní výpočet tlakové nádoby podle ČSN evnostní výpočet tlakové nádoby podle ČSN 69000 SV K kontrolní výpočet podle nové ČSN (původní výpočet byl proveden v /987 podle staré ČSN) říklad na ZSVZ. Hoffman; /000 Náčrt stavebnicového trubkového

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD

ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD Šroubové spoje patří mezi rozebíratelné spoje s tvarovým stykem (lícovaný šroub), popřípadě silovým stykem (šroub prochází součástí volně, je zatížený pouze silou působící kolmo k

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015 Použitá

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více

Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er

Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er Obsah Úvod Eulerova teorie namáhání prutů na vzpěr První případ vzpěru zde Druhý případ vzpěru zde Třetí případ vzpěru zde Čtvrtý případ vzpěru zde Shrnutí vzorců potřebných pro výpočet Eulerovy teorie

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

SPOJE OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ

SPOJE OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ 2. cvičení SPOJE OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ Na spojování prvků ocelových konstrukcí se obvykle používají spoje šroubové (bez předpětí), spoje třecí a spoje svarové. Šroubové spoje Základní pojmy. Návrh spojovacího

Více

6 ZKOUŠENÍ STAVEBNÍ OCELI

6 ZKOUŠENÍ STAVEBNÍ OCELI 6 ZKOUŠENÍ TAVEBNÍ OCELI 6.1 URČENÍ DRUHU BETONÁŘKÉ VÝZTUŽE DLE POVRCHOVÝCH ÚPRAV 6.1.1 Podstata zkoušky Různé typy betonářské výztuže se liší nejen povrchovou úpravou, ale i různými pevnostmi a charakteristickými

Více

NAMÁHÁNÍ NA KRUT NAMÁHÁNÍ NA KRUT

NAMÁHÁNÍ NA KRUT NAMÁHÁNÍ NA KRUT Φd Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 8. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA KRUT NAMÁHÁNÍ NA KRUT KRUT KRUHOVÝCH PRŮŘEZŮ Součást je namáhána na krut

Více

CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM

CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM Místní ztráty, Tlakové ztráty Příklad č. 1: Jistá část potrubí rozvodného systému vody se skládá ze dvou paralelně uspořádaných větví. Obě potrubí mají průřez

Více

Pilotové základy úvod

Pilotové základy úvod Inženýrský manuál č. 12 Aktualizace: 04/2016 Pilotové základy úvod Program: Pilota, Pilota CPT, Skupina pilot Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit praktické použití programů GEO 5 pro výpočet

Více

Rotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče

Rotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče Nabídka Kotouče bez otvoru Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím na vnějším poloměru zde Kotouče s otvorem Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 27 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Karel povídá: Myslím si celé číslo. Je záporné. Nyní

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Nespojitá vlákna. Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008

Nespojitá vlákna. Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008 Nespojitá vlákna Technická univerzita v Liberci kompozitní materiály 5. MI Doc. Ing. Karel Daďourek 2008 Vliv nespojitých vláken Zabývejme se nyní uspořádanými nespojitými vlákny ( 1D systém) s tahovým

Více

Výpočet skořepiny tlakové nádoby.

Výpočet skořepiny tlakové nádoby. Václav Slaný BS design Bystřice nad Pernštejnem 1 Výpočet skořepiny tlakové nádoby. Úvod Indukční průtokoměry mají ve své podstatě svařovanou konstrukci základního tělesa. Její pevnost se musí posuzovat

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více