Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak

Transkript

1 SMA Přednáška Doplňková virtuální práce momentů Metody integrace dvou spojitých funkcí Doplňková virtuální práce posouvajících sil Vliv rovnoměrné a nerovnoměrné teploty Formulace principu virtuálních sil Příklady deformací staticky určitých konstrukcí Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Repulic Permission is granted to copy, distriute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation icense, Version. or any later version pulished y the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation icense" found at

2 Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak Virtuální energie vnějších sil W e * = posun virtuální síla + (natočení virtuální moment) Virtuální energie vnitřních sil W i * = ojemový integrál z hustoty energie deformace virtuální napětí Pro tažený/tlačený prut tedy platí: δ W * N N i = V ε σ d V = V EA A dv = Integrace per partes D: Virtuální napětí u ' v dx=[uv ] uv' dx Integrace 3D - Greenův teorém: V u x v dv = Γ uvnd Γ V u v u V σ x x dv = Γ u σ x n d Γ V u ε x σ x x dv = pro f x = Skutečná deformace Virtuální síla N EA N d x Matematický důkaz pro tažený/tlačený prut, který je uvažován jako těleso: = Γ u σ x nd Γ=u N x dv

3 Příklad posuďte, zda posuny zůstávají spojité mm 5 5 mm a c 8 kn N N 4 m m mm 8 kn + kn + kn δ W e * =u N =,=,kj δ W * i = 4 N N EA d x= 8 e+6, d x+ * =,3+,64=,96 kj δw e 8 e+6,5 d x= Posuny nejsou spojité, protože W i * W e *. Správné řešení y ylo síla 8 kn na posunu,96/=,96 m. Pro tento případ je funkce u(x) spojitá. Všimněte si, že rovnováha je splněna. 3

4 Doplňková virtuální práce momentů Uvažujme prostý ohy okolo hlavní osy y, tj. My, M z = δ W i * = V ε σ d V σ x = M y I y z, σ x = M y I y z, ε= M y EI y z δ W * = i A M y EI y z M y I y z da dx= I M y M y y z da dx EI y I y A δ W * = i M y M y EI y δ W e * =F ϕ=m y ϕ dx= κ y M y dx M =F F F Pozn. V lineárně elastickém materiálu ez počátečních deformací a napětí nemá smysl rozlišovat, zda se jedná o doplňkovou či skutečnou virtuální práci. Často se symol * vynechává, protože platí W i = W i *, W e = W e *. Virtuální veličiny se často značí variací, například,. 4

5 Integrace dvou spojitých funkcí V PVs se často integruje f x g x d x To lze učinit třemi ěžnými postupy ) Přímá analytická integrace (i zakřivené pruty, náěhy) ) Taulka 3) Vereščaginovo pravidlo f M a ax 3/4 T A= a 3 x Oecná funkce (paraola atp.) ax x e.g. d x= a 3 [ EI y x4 4 ] M ( x)m (x)d x = 4 a g M Důkaz: x f ( x)(ax+)dx=a Nanejvýše lineární funkce! Ve virtuálních stavech se na přímých prutech jiná funkce ani nevyskytuje. x 3 4 x f ( x)dx+ Integrál = plocha funkce f krát pořadnice funkce g pod těžištěm funkce f f ( x)dx=a A f x f,t + A f = A f (ax f, T +)= A f g(x f, T ) 5

6 Příklad čistě ohýaná konzola Určete průhy konce konzoly w a f w δ W * = i M M EI y dx= κ y M dx M f fx EI y fx x δ W e * = w W e * = W i * w = fx EI y x dx= f EI y [ x = 4 f4 8 ] 8EI y Vereščaginovo pravidlo M x w = EI y 3 f 3 4 = f4 8EI y 6

7 Doplňková virtuální práce posouvajících sil Mindlinova (Timošenkova, Reissnerova) hypotéza: rovinný a kolmý průřez na střednici před deformací zůstává rovinný i po deformaci, nezůstává však již kolmý na střednici. z x Skutečnost Zjednodušení průměrnými hodnotami xz z xz z τ=k G γ= V z A A A Zorcený průřez xz z = xz z G xz xz da= A V z S y V S z y da= V z I y G I y GI y τ γda =τ γ A= V z A V z k GA A= V z k GA Průměrné zkosení A S y da Z rovnosti energie vnitřních sil z oou stavů vypočteme koeficient k. k= A A I y S y da 7

8 Doplňková virtuální práce posouvajících sil Pro odélníkový průřez lze odvodit y z h x k= h h h 6 x ( h x ) dx Plocha odélníku se tedy redukuje na 5/6. = h 6 44h h5 = 44 = 5 6 Doplňková virtuální práce smykových sil δ W i * = V γ τ xz d V = V V z kga V z A d V = V z V z k GA dx 8

9 Příklad čistý vliv smyku na průhy konzoly a f δ W * = w i V z V z k GA d x, δ W * e=w f V z + fx x δ W e * =δw i * w = kga fx d x= f = [ x f k GA ] k GA V z + Deformace pouze od vlivu smyku pro zatížení f. Zkosení elementárních dílků je lineární po délce prutu stejně jako vnitřní síla V z. Průhy je paraolická funkce. 9

10 Vliv smykové deformace na krátké nosníky Určete chyu průhyu pro proměnlivou délku konzoly Odélník =, m, h=,3 m Beton E=3 GPa, G=,5 GPa ( =,) w V w M = f k GA f4 8EI = E ( h ) 5G Pro f= kn/m, =h, V w =7 m, w M =75 m, w =47 m. Simulace níže w =45 m (chya,4%). Chya % =h Chya % =3h Chya % =h =,3 m =,3 m Deformace zvětšeny 5x. Při poměru délka/výška= je vliv smyku na průhy stejný jako vliv momentu.

11 Vliv teploty na křivost a protažení nosníku V ustáleném stavu je průěh teploty po výšce lineární ze převést na ekvivalentní křivost a protažení prutu Pro symetrický průřez z h =z d platí x z T h z h z d h T h =T h T ref T d T h = + T d T d =T d T ref T d T h Nerovnoměrné T d T h Rovnoměrné κ=α( Δ T d Δ T h Δ T d +Δ T h ) h=α Δ T d Δ T h h S = T d T h δ W * = i V ε σ d V = α Δ T d+δ T h N dx+ α Δ T d Δ T h h M dx

12 Příklad vliv teploty na posun w c 3 m ΔT h =5 o C ΔT d =3 o C ΔT h =5 o C ΔT d =3 o C h=.4 m c w c N kn M kn a = 6 K m δ W e * = w c δ W * i =α 3+5 ( ) 3+α ( ) +α.4 ( ) 3= =α( ++3)=3,36e-3 kj δ W e * =δw i * w c =3,36 mm

13 Rekapitulace hlavních vztahů PVs pro D úlohu δ W e * = i δ W * = i R xi u i + i M y M y EI y dx+ R zi w i + i M ri ϕ yi N N EA dx+ V z V z kga dx+ Výpočet přetvoření prutů (s výjimkou posouvajících sil) yl již prorán v předmětu PRA: diferenciální rovnice pro tah/tlak a diferenciální rovnice ohyové čáry. + α Δ T d Δ T h h M y dx+ α Δ T d+δ T h N dx y = M y T d T h EI y h Skutečná křivost S = N EA T d T h Protažení střednice (odélníkový průřez) γ= V z k GA Průměrné smykové zkosení Principem virtuálních sil (PVs) ovykle hledáme neznámé deformace u,w,. Zadané deformace (vynucené přemístění, pokles, natočení) u i,w i, yi se rovněž mohou ojevit v doplňkové energii vnějších sil. Při posunech podpor či teplotním zatížení u staticky určitých soustav nedojde ke vzniku vnitřních sil (N, V, M), tzn W i *=. Pruty se chovají jako tuhé desky, které jsou navzájem propojeny. Tento princip lze výhodně využít pro výpočet posunů a natočení na staticky určitých konstrukcích přímo z podmínky W e *= (protože W i *=). 3

14 Od zadaného posunu u a určete posun w c a natočení e 4 m, m c d a e 5 m 5 m Doplňková virtuální práce vnitřních sil je nulová, poklesem podpor či změnou teploty nevznikají na staticky určitých konstrukcí vnitřní síly. δ W i * = J w c δ W e * = w c +,65 (,)=,65 R c,65 w c =,65m,5,5.5 R e ϕ e,5 δ W e * = ϕ e +,5 (,)= ϕ e =,5 rad,, Pozn. Kontrola w c pomocí e. 4

15 Příklad určete rozevření spáry od změny teploty mm = 6 K a ΔT h = o C ΔT h = o C c ΔT d =5 o C ΔT d =5 o C 3 m 4 m M a c + +,3,5 δ W e * = ϕ δ W * i = α Δ T d Δ T h h δ M dx=α 5. [ 3+ 4]=8,4e-3 kj= ϕ ϕ =8,4 mrad, rozevření u h =8,4,=,68 mm Pozn. Staticky neurčitý tlak v levém nosníku je excentrický, rozevření y vyšlo menší. 5

16 Příklad určete w u konzoly s náěhem Šířka konzoly je konstatní. h I f I y ( x)= ( h x ) 3 =I ( x ) 3 a x w δ W * = i M M EI y dx=δ W e * = w M fx x w = fx EI x x = EI fx 3 3 x 3 dx= f4 EI 3 dx= M x Průhy konce konzoly s lineárním náěhem je 4x větší než konzoly o konstantní výšce h ve vetknutí. 6

17 Příklad určete průhy konce Gererova nosníku a kn/m' c d EI= knm 56,5 3 m 4 m m + c M y c 8,75 8,75 3,5 M y +,75,5,5,5 a c c c d w d = EI [ 3 56,5, ] = 6,9375 EI w d = 6,9 mm 7

18 Příklad určete vzájemné oddálení dvou styčníků a d a 4 m S EA = kn 7,5 N 7,5 3 m S S 3 S 5 S 4 kn +7,5,5 + kn c d,6,8 N +,8 ( x a +x d )= EA [7,5,6 3+,5 5+,8 4 ]= +,6 +,6 = 8 EA =,8 mm +,8,8,6 8

19 Otázky. Jakou veličinu dostaneme vynásoením skutečné křivosti prutu od ohyu s virtuálním momentem po délce prutu?. Pomocí principu virtuálních sil odvoďte vzorec pro průhy středu prostě podepřeného nosníku spojitě zatíženého. Odvoďte vzorec i s vlivem smyku. 3. Jak se změní výpočet virtuální doplňkové energie vnitřních sil pro prut proměnného průřezu? 4. Z ustáleného vedení tepla po tloušťce průřezu vyjádřete skutečné protažení a skutečnou křivost prutu. 5. Na konzole zatížené silou dokažte, že velikost virtuální síly nemá vliv na skutečnou velikost hledaného průhyu konce konzoly. Platí tento závěr pokud se část konzoly nalézá v plastickém stavu? Zdůvodněte. 6. Kolik zatěžovacích stavů (skutečných a virtuálních) potřeujeme při výpočtu neznámého posunu na konstrukci? Vytvořeno / v OpenOffice 3., Uuntu.4, Vít Šmilauer 9