Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Transkript

1 Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00 (or by appointment) 1 / 16

2 Strucny prehled Klasicky vs. geometricky koncept Klasicky pravdepodobnostny koncept Diskretne nahodne veliciny Geometricky pravdepodobnostny koncept Spojite nahodne veliciny N 2 / 16

3 Strucny prehled Diskretne nahodne veliciny Pravdepodobnostni funkce : P[X = x] nezaporna funkce se sloupcami v jednotlivych udalostech; velikost kazdeho slopce zodpovida pravdepodobnosti vyskytu; soucet velikosti vsech sloupci je porad rovny jedne; Kumulativni distribucni funkce: F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; velikost kazdeho skoku zodpovida pravdepodobnosti vyskytu; hodnota funkce je nula v a rovna jedne v + ; Probability Cumulative Probability Random Variable Values Random Variable Values 3 / 16

4 Strucny prehled Diskretne nahodne veliciny Pravdepodobnostni funkce : P[X = x] nezaporna funkce se sloupcami v jednotlivych udalostech; velikost kazdeho slopce zodpovida pravdepodobnosti vyskytu; soucet velikosti vsech sloupci je porad rovny jedne; Kumulativni distribucni funkce: F (x) = P[X x] nezaporna, neklesajici a po castech konstantni funkce; velikost kazdeho skoku zodpovida pravdepodobnosti vyskytu; hodnota funkce je nula v a rovna jedne v + ; Probability Cumulative Probability Random Variable Values Random Variable Values Vzajemny formalny vztah mezi obema funkcemi: F (x) = P[X x] = P[X = x i] i; x i x 3 / 16

5 Od diskretnych ke spojitym... Frequency 4 Bars 4 / 16

12 Od diskretnych ke spojitym... Density 4 / 16

13 Od diskretnych ke spojitym... Fn(x) 4 Jumps 5 / 16

20 Od diskretnych ke spojitym... Fn(x) 5 / 16

21 Diskretne a spojite n. veliciny Nahodna velicina X s nejakym diskretnym rozdelenim... 6 / 16

22 Diskretne a spojite n. veliciny Nahodna velicina X s nejakym diskretnym rozdelenim... Jak spravne interpretovat funkci F (x) = P[X x]? 6 / 16

23 Diskretne a spojite n. veliciny Nahodna velicina X s nejakym diskretnym rozdelenim... Jak spravne interpretovat funkci F (x) = P[X x]? Nahodna velicina X s nejakym spojitym rozdelenim... 6 / 16

24 Diskretne a spojite n. veliciny Nahodna velicina X s nejakym diskretnym rozdelenim... Jak spravne interpretovat funkci F (x) = P[X x]? Nahodna velicina X s nejakym spojitym rozdelenim... Jak spravne interpretovat funkci F (x) = P[X x]? 6 / 16

25 Spojite nahodne veliciny nahodna velicina, ktora muze nabyvat nekonecne mnoho ruznych hodnot, nejcasteji v nejakem intervalu, nebo mnozine; 7 / 16

26 Spojite nahodne veliciny nahodna velicina, ktora muze nabyvat nekonecne mnoho ruznych hodnot, nejcasteji v nejakem intervalu, nebo mnozine; je charakterizovana pomoci nezaporne funkce zvane hustota, takova, ze f (x) 0, a f (x)dx = 1; 7 / 16

27 Spojite nahodne veliciny nahodna velicina, ktora muze nabyvat nekonecne mnoho ruznych hodnot, nejcasteji v nejakem intervalu, nebo mnozine; je charakterizovana pomoci nezaporne funkce zvane hustota, takova, ze f (x) 0, a f (x)dx = 1; prislusna kumulativni distribucni funkce je opet definovana jako F (x) = P[X x]; Navyse plati, ze F = f a F (x) = x f (u)du; 7 / 16

28 Spojite nahodne veliciny nahodna velicina, ktora muze nabyvat nekonecne mnoho ruznych hodnot, nejcasteji v nejakem intervalu, nebo mnozine; je charakterizovana pomoci nezaporne funkce zvane hustota, takova, ze f (x) 0, a f (x)dx = 1; prislusna kumulativni distribucni funkce je opet definovana jako F (x) = P[X x]; Navyse plati, ze F = f a F (x) = x f (u)du; dodatocne charakteristiky muzu byt pouzite k dodatecne specifikaci (napr. stredna hodnota, rozptyl, a pod.); 7 / 16

29 Spojite nahodne veliciny nahodna velicina, ktora muze nabyvat nekonecne mnoho ruznych hodnot, nejcasteji v nejakem intervalu, nebo mnozine; je charakterizovana pomoci nezaporne funkce zvane hustota, takova, ze f (x) 0, a f (x)dx = 1; prislusna kumulativni distribucni funkce je opet definovana jako F (x) = P[X x]; Navyse plati, ze F = f a F (x) = x f (u)du; dodatocne charakteristiky muzu byt pouzite k dodatecne specifikaci (napr. stredna hodnota, rozptyl, a pod.); diskretne a spojite veliciny su si v mnohem podobne; stejne tak existuje mnoho dulezitych (zasadnych) rozdilu; 7 / 16

30 Nektere charakteristiky Statistika Pravdepodobnost data generovane neznamym nahodnym mechanismem; nejaky neznamy nahodny mechanismus o kterem se chceme neco duleziteho dozvedet; Vyuzivame k tomu tymto mechanismem nagenerovane data; Diskretne Vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer: n X n = 1 X i n i=1 Vyberovy rozptyl: n sn 2 = 1 (X i X n) 2 n 1 i=1 S = {x 1, x 2,...} Stredna hodnota: N E(X) = x i P[X = x i ] i=1 Rozptyl: N Var(X) = P[X = x i ] (x i E(X)) 2 i=1 8 / 16

31 Nektere charakteristiky Statistika Pravdepodobnost data generovane neznamym nahodnym mechanismem; nejaky neznamy nahodny mechanismus o kterem se chceme neco duleziteho dozvedet; Vyuzivame k tomu tymto mechanismem nagenerovane data; Diskretne Spojite Vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer: n X n = 1 X i n i=1 Vyberovy rozptyl: n sn 2 = 1 (X i X n) 2 n 1 i=1 S = {x 1, x 2,...} Stredna hodnota: N E(X) = x i P[X = x i ] i=1 Rozptyl: N Var(X) = P[X = x i ] (x i E(X)) 2 i=1 8 / 16

32 Nektere charakteristiky Statistika Pravdepodobnost data generovane neznamym nahodnym mechanismem; nejaky neznamy nahodny mechanismus o kterem se chceme neco duleziteho dozvedet; Vyuzivame k tomu tymto mechanismem nagenerovane data; Diskretne Spojite Vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer: n X n = 1 X i n i=1 S = {x 1, x 2,...} Stredna hodnota: N E(X) = x i P[X = x i ] i=1 Populace S; Vyberovy rozptyl: n sn 2 = 1 (X i X n) 2 n 1 i=1 Rozptyl: N Var(X) = P[X = x i ] (x i E(X)) 2 i=1 8 / 16

33 Nektere charakteristiky Statistika Pravdepodobnost data generovane neznamym nahodnym mechanismem; nejaky neznamy nahodny mechanismus o kterem se chceme neco duleziteho dozvedet; Vyuzivame k tomu tymto mechanismem nagenerovane data; Diskretne Spojite Vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer: n X n = 1 X i n i=1 S = {x 1, x 2,...} Stredna hodnota: N E(X) = x i P[X = x i ] i=1 Populace S; Stredna hodnota: E(X) = xf (x)dx Vyberovy rozptyl: n sn 2 = 1 (X i X n) 2 n 1 i=1 Rozptyl: N Var(X) = P[X = x i ] (x i E(X)) 2 i=1 8 / 16

34 Nektere charakteristiky Statistika Pravdepodobnost data generovane neznamym nahodnym mechanismem; nejaky neznamy nahodny mechanismus o kterem se chceme neco duleziteho dozvedet; Vyuzivame k tomu tymto mechanismem nagenerovane data; Diskretne Spojite Vyber X 1,..., X n; Vyberovy prumer: n X n = 1 X i n i=1 Vyberovy rozptyl: n sn 2 = 1 (X i X n) 2 n 1 i=1 S = {x 1, x 2,...} Stredna hodnota: N E(X) = x i P[X = x i ] i=1 Rozptyl: Populace S; Stredna hodnota: E(X) = xf (x)dx Rozptyl: Var(X) = f (x)(x E(X)) 2 dx 8 / 16

35 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Spojite rozdelenia vpodstate kazda nezaporna funkce takova, ze f (x) 0 a f (x)dx = 1, definuje nejake spojite rozdelenie; vacsina z nich je nedulezita, nepodstatna, par je ale vynimocnych; 9 / 16

38 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Caste spojite rozdeleni Nektere nejcastejsi jsou... Uniform distribution; Laplace distribution; Gamma distribution; Weibull distribution; Exponential distribution; Beta distribution; χ 2 distribution; Student t distribution; Fisher distribution; Cauhy distribution; Gaussian (Normal) distribution; 10 / 16

42 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Caste spojite rozdeleni Nektere nejcastejsi jsou... Uniform distribution; Laplace distribution; Gamma distribution; Weibull distribution; Exponential distribution; Beta distribution; χ 2 distribution; Student t distribution; Fisher distribution; Cauhy distribution; Gaussian (Normal) distribution; and many others / 16

43 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Rovnomerne spojite rozdeleni 11 / 16

44 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Rovnomerne spojite rozdeleni nejjednoduchsi spojite rozdeleni: X Unif (a, b); definovane na nejakem intervalu (a, b) R; zaroven plati, ze f (x) = 1 a+b, E(X) = a Var(X) = (b a)2 ; b a / 16

45 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Exponencialne rozdeleni 12 / 16

46 Nektere spojite rozdeleni v statisticd Exponencialne rozdeleni pouziva sa pro modelovani casu mezi udalostmi: X Exp(λ); je definovano pro hodnoty [0, ) R, pro λ > 0; zaroven plati, ze, f (x) = λe λx, E(X) = 1 λ and Var(X) = 1 λ 2 ; 12 / 16

47 Poissonove cestnosti a exponencialni casy Exponencialni vs. Poissonovo Kolik udalosti v casovem horizontu sledujeme? Jake je rozdeleni? 13 / 16

48 Poissonove cestnosti a exponencialni casy Exponencialni vs. Poissonovo Kolik udalosti v casovem horizontu sledujeme? Jake je rozdeleni? Jaky je cas mezi jednotlivymi udalostmi? Jake je rozdeleni? 13 / 16

49 Poissonove cestnosti a exponencialni casy Exponencialni vs. Poissonovo Kolik udalosti v casovem horizontu sledujeme? Jake je rozdeleni? Jaky je cas mezi jednotlivymi udalostmi? Jake je rozdeleni? 13 / 16

50 Gaussian Distribution The Bell Curve (Gaussuv klobouk) 14 / 16

51 Gaussian Distribution Normalne Gaussovo rozdelenie 15 / 16

52 Gaussian Distribution Normalne Gaussovo rozdelenie pouziva sa na modelovani / 16

53 Gaussian Distribution Normalne Gaussovo rozdelenie pouziva sa na modelovani... anything & everything X N(µ, σ 2 ); 15 / 16

54 Gaussian Distribution Normalne Gaussovo rozdelenie pouziva sa na modelovani... anything & everything X N(µ, σ 2 ); je definovano pro vsechny realne cisla x R; 15 / 16

55 Gaussian Distribution Nabuduce.. zaklady statisticke inference; jednovyberovy prumer; dvouvyberovy prumer; / 16