Subatomová fyzika I. doc. RNDr. Vojtěch Petráček, CSc.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Subatomová fyzika I. doc. RNDr. Vojtěch Petráček, CSc."

Transkript

1 Subatomová fyzika I. doc. RNDr. Vojtěch Petráček, CSc. 2009

2 Skriptum k přednášce SF1 Subatomová fyzika v kostce 2

3 Obsah 1 Úvod Historie zkoumání elementární struktury Subatomová struktura, základní síly a částice Cesta ke sjednocení známých interakcí Zkoumání subatomové struktury Proč potřebujeme při zkoumání subatomového světa vysoké energie? Rozptylové experimenty a důkaz vnitřní struktury Základy kvantového popisu Soustava přirozených jednotek používaná v subatomové fyzice Kvantový popis subatomových částic Spinorový popis volné částice Antičástice Diracovo moře Antičástice podrobněji Leptony, kvarky, hadrony Leptony Silně interagující částice Baryony Mesony Těžké kvarky s, c, b, t Yukawův model jaderných sil 57 8 Symetrie a zákony zachování Grupy a symetrie Diskrétní symetrie

4 OBSAH Parita Časová inverze CP invariance CPT invariance Těžké kvarky a experimentální cesta k jejich objevům Slabé interakce Reakce W ± s leptony Slabé interakce hadronů Sjednocení elektromagnetické a slabé interakce Struktura nukleonu a partony Struktura nukleonu Elastický rozptyl elektronu na protonu Neelastický rozptyl elektronu na protonu Partony Silná interakce Silná interakce a kvantová chromodynamika Porovnání chování vazbových konstant α a α s Kvarkový model Kvarkový model hadronů Struktura mesonů Struktura baryonů Magnetické momenty baryonů Kinematika Lorentzova transformace Základní relativistické invarianty Hmotová slupka, příčná hybnost a hmota Kinematické proměnné - proměnné světelného kužele, rapidita, pseudorapidita Dvoutělesové rozpady, Arementeros-Podolanski plot Třítělesové rozpady, Dalitz plot Neelastické srážky Zdroje částic Urychlovače Zdroje částic

5 OBSAH 17 Synchrotronní záření Lineární zrychlení Kruhový pohyb po dráze o poloměru R Úhlové rozdělení Časové rozdělení Energetické rozdělení Úlohy Rozptyl na bodovém centru-rutherfordův rozptyl Rozptyl na částici konečných rozměrů Převody mezi soustavami Účinný průřez Relativistická kinematika Převody mezi soustavami Pružné a nepružné srážky, Comptonův rozptyl Prahové procesy Anihilace částic Symetrie a zákony zachování Vlastnosti částic a interakcí Teoretický úvod Vlastnosti částic Elektromagnetická interakce Slabá interakce Silná interakce Aditivní kvarkový model Urychlovače Přílohy Objevy v subatomové fyzice Feynmanova pravidla Bibliobrafie 229 5

6 OBSAH 6

7 Kapitola 1 Úvod Toto skriptum by mělo posloužit zejména studentům 3. ročníku specializace Experimentální jaderná fyzika při studiu předmětu Subatomová fyzika I. V rámci tohoto profilového předmětu se studenti poprvé setkávají s problematikou subatomové fyziky, fyziky elementárních částic a souvisejících oborů potřebných při jejich studiu, jako je např. fyzika urychlovačů a detektorů, a rovněž se základy matematických metod používaných v této oblasti. Studenti se rovněž seznámí se základními experimenty, které vedly k objevům jednotlivých částic a jejich vlastností. Obsah skripta by měl být srozumitelný i studentům, kteří teprve začínají studium kvantové mechaniky, zároveň je však doplněn o odkazy umožňující hlubší studium. 7

8 KAPITOLA 1. ÚVOD 1.1 Historie zkoumání elementární struktury Snaha o pochopení povahy a struktury hmoty, z níž je vybudován náš kosmos provází lidstvo již od dob starověku. Již od dob klasického Řecka se střetávaly koncepce hledající základní stavební bloky světa s koncepcí teleologických přírodních filosofů hledajících účel a příčinu fungování a existence světa (Platón, Aristoteles). Mezi koncepce hledající elementární strukturu světa lze řadit jednak představu Anaximena z Milétu, vysvětlující strukturu hmoty pomocí apeironu (nekonečného, všeobsáhlého vzduchu), který pouze změnou své konzistence tvoří další základní elementy. Zhušt ováním oblaka, vodu a zemi, zřaděním naopak oheň. Vše tedy mělo stejnou podstatu - vzduch. Další koncepce - atomistické - hledaly nejmenší, dále již nedělitelné částečky hmoty. Mezi jejich tvůrce lze řadit Leukippa (5.stol. př. Kr.), Démokrita či Empedokla. Jejich přístup předpokládal (a logicky odvodil) nutnost existence elementárních (nejmenších možných a dále nedělitelných) částí. Vzájemným působením těchto nedělitelných částí vznikají vlastnosti těles z nich složených. Z atomistických koncepcí mizí účel a příčina fungování celku. Kromě existence nedělitelných základních stavebních bloků - atomů - uvažovali jejich autoři rovněž o existenci nejmenších hodnot všech veličin (času, rozměrů atd.). Atomy měly být různého tvaru a jejich vazba nastávala díky drobným háčkům a chloupkům na jejich povrchu. Tvar a vlastnosti těles z atomů složených závisely na množství prázdného prostoru mezi atomy a na síle vazby mezi nimi. V 6.století př. Kr. vznikla atomistická filosofie rovněž v Indii. Vaisheshika - jak se nazývá - pomocí sylogismů vyvozuje, že všechny předměty musí být vytvořeny z konečného počtu nedělitelných částí. Na rozdíl od svého řeckého protějšku nebyla však tak široce rozpracována do formy přírodní filosofie. Po mnoha staletích odmlky, kdy byly otázky přírody nahlíženy převážně z hlediska křest anské filosofie (scholastiky) opírající se v řadě bodů i o myšlenky Platonovy a Aristotelovy, se k ideím atomismu začali v 17. století vracet jak mechaničtí filosofové (Boyle), tak i fyzici a chemici, zejména pak Isaac Newton. Newtonovo stanovisko publikovaný v (newtonatomist) uvádí, že atomy, nejmenší části těles, jsou rozlehlé, tuhé a neprostupné, mohou se pohybovat a mají setrvačnost (Cajori 1962, 399). Newton předpokládal, že jeho pohybové zákony platí rovněž pro atomy tak, že jejich pohyb mezi vzájemnými srážkami se řídí zákony setrvačného pohybu, jejich srážky pak zákonitostmi platnými pro elastické srážky makroskopických těles. Newton rovněž zavedl hmotnost elementárních atomů. Na počátku 19. století rozpracoval ideu atomismu rovněž John Dalton, a to v oblasti chemie. Později našla tato idea úspěšné uplatnění v kinetické teorii plynů (Maxwell 1859, Boltzman 1872). Na konci 19. století byla atomistická idea využita např. i v teorii náhodného Brownova pohybu, kde se podařilo prokázat, že je způsoben pohybem molekul, a odhadnout rovněž 8

9 KAPITOLA 1. ÚVOD i jejich množství v jednom molu látky ( 6, ). V době solvayské konference v roce 1911 bylo zřejmé, že tvrzení atomismu, že látky jsou složeny z pohybujících se mikroskopických částic, bylo potvrzeno. V užším slova smyslu je však nutno říci, že atomismus jako teorie vysvětlující všechny makroskopické vlastnosti hmoty pomocí vlastností jednotlivých atomů selhával. Z dnešního pohledu je zřejmé, proč v této době známá struktura nedostačovala. Již v roce 1897 byl J.J.Thomsonem objeven elektron. Thomson určil, že se jedná o částici asi 1000x lehčí než atom vodíku a usoudil rovněž, že se jedná o částici vyskytující se uvnitř atomu. Další struktura uvnitř atomu byla objevena Rutherfordem v roce Ten ukázal, že většina hmotnosti a elektrického náboje atomu je soustředěna v jeho jádře zabírajícím ovšem pouze velmi malou část atomového objemu. Když byl v roce 1932 objeven Jamesem Chadwickem neutron, mohla se uplatnit představa, že atomové jádro je složeno z protonů a neutronů, a tak bylo možno vysvětlit vztah mezi atomovou váhou a atomovým číslem. Zákonitosti určující chování tohoto miniaturního světa jsou však odlišné od zákonitostí makrosvěta. Teprve rozvoj kvantové mechaniky nám poskytl nástroje pro studium těchto oblastí. V průběhu 20.století pak byla objevena celá řada dalších částic, jež se ovšem posléze rovněž ukázaly být složenými. Dalšími důležitými kroky byly objev neutrina, objevy vyšších generací leptonů, a zejména pak formulace kvarkové hypotézy vysvětlující vlastnosti hadronů jejich složením z elementárních kvarků, jichž je v současné době známo 6, obdobně jako známe 6 elementárních leptonů. Velmi důležitým mezníkem byl objev positronu (antielektronu), který byl objeven roku 1932 Carlem D. Andersonem. Objev antihmoty - nebot i další částice mají své antiprotony - zásadně ovlivnil další vývoj fyziky, astrofyziky a rovněž kosmologie. Pokud tedy nyní hovoříme o elementárních částicích, máme na mysli i jejich antičástice. Podrobnějším pohledem na strukturu složených částic shledáme, že je tím komplikovanější, čím podrobněji (myšleno s větším rozlišením a na kratší čas) se podíváme. Múžeme pozorovat vznik a zánik párů částice-antičástice, které vznikají v důsledku energetické fluktuace vakua na čas, který jim umožňuje princip neurčitosti ( t E 2 ). Kdybychom hypoteticky dokázali sledovat oblasti prostoru o rozměrech srovnatelných s (Planckova délka) shledali bychom, že i prostoročas sám přestane být plochý, začnou se výrazně projevovat efekty gravitace v důsledku extrémních fluktuací hustoty energie. V této oblasti již selhávají i naše teorie popisující chování částic v plochém časoprostoru (se zanedbáním gravitace). Je nutno se rovněž zamyslet nad zcela základními pojmy jako je skutečný charakter částic a podstata jejich vlastností. Tím je míněna např. rozlehlost částic (jsou-li bodové, struny...), podstata jejich hmotnosti, nábojů, spinu atd. Prozkoumáme-li skutečný stav shledáme, že žádná ze zmíněných charakteristik není teorií vysvětlena, jsou do ní pouze zabudovány zvenčí na základě empirických znalostí o jejich chování a hodnotách. Pouze budoucí vývoj ukáže, zda se podaří vytvořit teorii, která by v sobě integrovala 9

10 KAPITOLA 1. ÚVOD vysvětlení charakteru a vlasností elementárních částic. V následujících kapitolách se proto nejdříve podrobněji seznámíme s přehledem fyziky částic a jejich interakcí, s metodami zkoumání mikrosvěta a se základními experimenty, které vedly k hlavním objevům v této oblasti. Obrázek 1.1: Řecký filosof Anaximenes, vysvětlující strukturu hmoty pomocí apeironu (nekonečného, všeobsáhlého vzduchu), který pouze změnou své konzistence tvoří další základní elementy Obrázek 1.2: Řecký filosof Demokritos předpokládal a logicky odvodil nutnost existence elementárních (nejmenších možných a dále nedělitelných) částí. Vzájemným působením těchto nedělitelných částí vznikají vlastnosti těles z nich složených. 10

11 Kapitola 2 Subatomová struktura, základní síly a částice Oproti původním představám antických filosofů postoupilo naše současné chápání elementů struktury světa o výrazný krok. Pokud bychom měli uvažovat o struktuře látky, kterou ve Vesmíru můžeme pozorovat, lze její strukturu popsat pomocí základních částic uvedených v tabulce částice spin baryonové číslo B kvarky 1 1 u (up) 2 d (down) 1 2 leptonové číslo L náboj Q leptony 1 e (elektron) ν (neutrino) kvanta kalibračních polí γ (foton) W ±, Z ±1, 0 g i, i = 1,.., 8 (gluon) Zde nalezneme několik druhů částic, jež můžeme roztřídit podle několika následujících kritérií: základní stavební bloky - částice se spinem 1 2 nazývající se fermiony 11

12 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE částice zprostředkující interakce mezi těmito stavebními bloky - kvanta kalibračních polí (Gauge) s celočíselným spinem - nazývají se bosony kvarky - fermiony, z nichž se skládají nukleony (neutron, proton) v atomových jádrech leptony - fermiony, přičemž elektrony tvoří atomový obal a elektronová neutrina (anti-neutrina) se uvolňují např. při radioaktivních procesech β rozpadu respektive při reakcích na Slunci kvanta kalibračních polí - bosony, zahrnující foton zprostředkující elektromagnetickou interakci, intermediální bosony W ± a Z 0 zprostředkující slabou interakci a 8 druhů gluonů zprostředkujících interakci silnou. Každou z uvedených částic můžeme charakterizovat její klidovou hmotností, jejím elektrickým nábojem a rovněž sadou kvantových čísel (baryonovým a leptonovým číslem). Složení Vesmíru tak, jak ho vidíme nyní, však zdaleka nevyčerpává všechny alternativy, jež příroda nabízí. Jak později uvidíme, existují ještě dvě opakování této struktury fermionů - částice 2. a 3. generace. Částice ve vyšších generacích se odlišují výrazně vyššími klidovými hmotami a jsou nestabilní. Další aspekt skrytý našemu pohledu je existence antihmoty. Částice antihmoty se nazývají antičásticemi. Mají stejnou klidovou hmotnost jako příslušná částice, ale mají opačný elektrický náboj. V současném vesmíru se antičástice rodí zejména při β radioaktivních rozpadech a při interakci kosmického záření a nejsou přítomny ve větším množství. V počátečních okamžicích existence Vesmíru ale musely částice vznikat ve stejném množství. Důvody pozdější dominance hmoty jsou stále předmětem intenzivního studia. Na obr. 2.1 je znázorněna typická kinetická energie (a odpovídající teplota) částic v průběhu vývoje Vesmíru. Vidíme, že v ranném období byly teploty a energie částic velmi vysoké, což umožňovalo vznik fermionů vyšších generací. Ty se posléze rozpadly na stabilní produkty z první generace. Přibližně v 1 µs věku Vesmíru došlo ke změněn fáze jaderné hmoty skládající se z kvarků a gluonů. V pozdějších časech - a při teplotách nižších než ( 175 MeV) - musí být totiž kvarky uvězněny po trojicích v nukleonech o velikosti cca 1 fm, zatímco při teplotách vyšších se mohou volně pohybovat na mnohem větší vzdálenosti. Této fázi říkáme dikonfinovaná jaderná hmota nebo též kvark-gluonové plazma. Při experimentech se srážkami těžkých jader na urychlovačích můžeme napodobit podmínky, které panovaly těsně před zmíněnou pozorovanou fázovou změnou. Proto můžeme pomocí jaderných srážek studovat vlastnosti dekonfinované fáze. I přes to, že fermiony vyšších generací nejsou přímými stavebními bloky hmoty současného Vesmíru, nemůžeme říci, že by se v něm nevyskytovaly. Vznikají a zanikají stále ve formě virtuálních párů částice - antičástice. V takovém virtuálním páru nemají částice dostatek 12

13 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE Obrázek 2.1: Hustota energie, hustota látky a teplota Vesmíru v závislosti na jeho věku. Vyznačeny jsou významné body vývoje (uvěznění kvarků do hadronů, vymizení antihmoty, průhlednost vesmíru pro slabě interagující neutrina, vznik jader a atomů a éra optické průhlednosti. Zároveň jsou naznačeny experimentální moznosti hlavních urychlovačů při znovuvytváření hmoty za podobných podmínek, jaké panovaly na počátku vývoje Vesmíru. Převzato z [?] energie k tomu, aby mohly volně existovat. Energii si vypůjčí od vakua tak, aby byl splněn Heisenbergův princip neurčitosti t E 2. Virtuální částice tedy existují jen po dobu vymezenou tímto vztahem. Za dobu své existence mohou urazit jen vzdálenosti srovnatelné nebo menší než je dráha, kterou by za tento čas urazilo světlo. Proto čím těžší částice vznikají, tím menší je rozměr virtuálního páru, nebot pár částice-antičástice se na konci povoleného časového intervalu musí opět setkat a anihilovat. Anihilací rozumíme zánik páru provázený uvolněním energie, či produkcí fotonů nebo dalších částic. Pokud tedy chceme zkoumat virtuální strukturu vakua nebo nukleonu, musíme použít sondu s dostatečným časovým a prostorovým rozlišením tak, aby byla schopná rozpoznat jednotlivé složky virtuálního páru. V tabulce 1.2 jsou shrnuty základní vlastnosti fermionů všech tří generací. V současné době považujeme tyto částice za elementární a bodové, bez další struktury. Tento koncept není dlouhodobě udržitelný, nebot velikost bodu je zdola neomezena v oblasti nejmenších hg možných délek - Planckovy délky (l p = = 1, m). Zároveň základní předpoklad c 3 plochosti prostoru potřebný pro většinu stávajících teorií není již v této oblasti splněn. Koncept bodových částic je však s úspěchem používán v oblasti, která je v současnosti experimentálně dostupná. Jako příklad struktury atomu vyjádřené pomocí uvedených elementárních objektů uved me 13

14 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE deuterium D: Obrázek 2.2: Příklad struktury atomu deuteria vyjádřené pomocí elementárních objektů Jako příklad interakce můžeme uvést například rozpad neutronu při β rozpadu: Obrázek 2.3: Rozpad neutronu při β rozpadu Celkový elektrický náboj všech fermionů je roven nule, protože - při započtení 3 barev a 3 generací kvarků - obdržíme: Q(u, c, t) = e = 6e Q(d, s, b) = e = 3e Q(e, u, v) = = 3e Q celkový = = 0 14

15 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE Fakt, že generace leptonů jsou právě tři, je podložen výsledky experimentů s e + e anihilací na urychlovači LEP. Z tvaru Z 0 rezonance vyplývá, že v námi dosažitelné oblasti se projevují právě 3 generace leptonů. U kvarků předpokládáme v tomto ohledu symetrické chování a tudíž existenci 3 generací po 2 kvarcích. Na obr. 2.4 lze dobře ilustrovat rozložení hmot elementárních částic. Zdůrazněme zde, že klidové hmoty neutrin zatím nebyly stanoveny, ale jsou nenulové. Údaje uvedené na obrázku odpovídají horním experimentálním limitům na jejich klidové hmoty. V současné době se předpokládá, že elektronové neutrino by mělo mít hmotu cca 0.1 ev. Obrázek 2.4: Hmotnostní spektrum elementárních fermionů a bosonů. Pro srovnání je vyznačena oblast velkého sjednocení, Planckova hmota a současná teplota Vesmíru. Převzato z [] Kvarky a antikvarky se mohou při teplotách nižších než T c = 175 MeV vázat pouze do trojic - pak tvoří částice nazývající se baryony, nebo do dvojic kvark-antikvark - pak tvoří mesony. Mesony a baryony jsou souhrnně nazývány hadrony (od řeckého hadrós = silný). Baryony jsou hadrony s poločíselným spinem, a tudíž se chovají jako fermiony. Mesony jsou hadrony s celočíselným spinem, chovají se jako bosony. Rozlišujeme mesony pseudoskalární s celkovým spinem 0 a mesony vektorové se spinem 1. 15

16 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE Obrázek 2.5: Výsledkem proložení hmotového píku Z 0 experimentálně naměřeného na urychlovači LEP je fakt, že data jsou konsistentní s existencí tří generací leptonů. Převzato z [] Kvarky a antikvarky vznikají v párech. Díky vlastnosti silné interakce nazývané uvěznění kvarků je můžeme pozorovat osamocené. Při snaze o vytržení kvarku (antikvarku) z objektu ve kterém se nachází se vždy nakonec vytvoří z vakua další kvark-antikvarkový pár, jehož antikvark (kvark) se spojí s vytrhávaným kvarkem do nového mesonu. Ke každému hadronu existuje antičástice skládající se z odpovídajících antikvarků. Částice navzájem interagují pomocí čtyř fundamentálních interakcí: silné slabé elektromagnetické gravitační 16

17 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE Základní charakteristiky těchto interakcí jsou shrnuty v následující tabulce: Interakce a vlastnosti kvant kalibračních polí interakce boson spin hmota dosah relativní síla interakce silná gluon g (8 ) m 1 elektromagnetická foton γ slabá intermediální boson W +, Z 0 1, ; GeV m 10 7 gravitační graviton G Při kvantovém popisu chápeme interakci jako výměnu virtuálních bosonů. Silná interakce - váže kvarky v hadronech a je odpovědná za síly vážící neutrony a protony v jádrech silně interagující částice s barevným nábojem [ gluony a kvarky ]; silnou interakci popisuje kvantová chromodynamika Elektromagnetická interakce - je odpovědná za vazbu elektronů v poli jádra ( atomová a molekulární struktura ) elektromagneticky interagující částice s elektrickým nábojem [ kvarky, nabité leptony e, µ, τ] [ W ± nabité intermediální bosony]; elektromagnetickou interakci popisuje kvantová elektrodymanika Slabá interakce je zprostředkována intermediálními bosony W ± a Z 0, které působí mezi všemi kvarky a leptony. Gravitační interakce je ve srovnání s ostatními výše uvedenými mnohem slabší, a proto bývá při diskusi subatomové oblasti často opomíjena. Relativní síla interakcí však není neměnná konstanta. V oblasti energií blížících se GeV se síly interakcí vyrovnají. Zanedbání gravitační interakce je proto pouze přiblížením vhodným pro v současnosti dostupnou oblast energií. Předpokládá se, že gravitační interakci zprostředkuje tenzorová částice graviton se spinem 2 a nulovou hmotností. Existují ovšem i teorie předpovídající vektorovou složku gravitace přenášenou hmotným gravivektorem a skalární složku přenášenou hmotným graviskalárem. Správný úhel pohledu na mikroskopickou teorii gravitace bude vybrán až experimenty, které budou schopny vybrat platnou teorii. Důležitou úlohu v systematice elementárních částic hraje Higgsův boson - hypotetická skalární částice s nenulovou klidovou hmotou. Higgsův boson je klíčový pro vysvětlení 17

18 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE původu hmoty dalších elementárních částic, zejména pak rozdílu mezi nehmotným fotonem a těžkými W ± a Z 0 bosony. V teorii sjednocené elektromagnetické a slabé interakce - elektroslabé teorii - generuje hmoty hmotných leptonů (e, µ, τ) a rovněž hmoty kvarků. Teorie popisující silnou, slabou a elektromegnetickou interakci elementárních fermionů se nazývá Standardní model částicové fyziky. Je to neábelovská kalibrační teorie s grupou symetrií SU(3) SU(2) U(1) Doposud téměř všechny experimentální testy tuto teorii potvrzují. Nejedná se ovšem o teorii konečnou, není totiž schopna integrovat teorii gravitace. Rovněž tak není schopna předpovědět hodnoty 19 parametrů, které je do ní třeba vložit. V dalších kapitolách se budeme podrobněji věnovat některým důležitým aspektům tohoto modelu. Jeho detailní popis však přesahuje rámec tohoto textu. 2.1 Cesta ke sjednocení známých interakcí Pokud nahlédneme do historie fyziky zjistíme, že je poznačena snahou po zjednodušení pohledu na svět a snahou o nalezení společného základu jevů. Řada jevů byla nejdříve pokládána za nezávislé. Později se ukázalo, že tyto jevy jsou projevem sjednocujícího obecnějšího principu. Prvním takovým případem je sjednocení elektřiny a magnetismu, ke kterému došlo ve druhé polovině 19. stol. Elektřina byla zkoumána již od sedmdesátých let 18. stol., kdy svoje experimenty prováděli Cavendish a Coulomb, kteří vybudovali teorii statické elektřiny - elektrostatiku. Výzkum magnetismu probíhající od roku 1819 začal pomalu odhalovat souvislost mezi magnetismem a elektřinou. Oersted objevil ovlivnění magnetické střelky vodičem, kterým protéká proud. Biot-Savart a Ampere nalezli pravidla, podle kterých elektrický proud vytváří magnetické pole. Posléze Faraday (1831) ukázal, že měnící se magnetické pole vytváří elektrické pole. Rovnice popisující elektřinu a magnetismus však nebyly konzistentní. Rovnice popisující společně elektřinu a magnetismus - elektromagnetismus - vytvořil v roce 1865 James Clerk Maxwell. Soustava rovnic nesoucích jeho jméno předpovídá rovněž existenci elektromagnetických vln. Dalším krokem ke sjednocení bylo poznání vztahu mezi elektromagnetickými silami a procesy odpovědnými za slabou interakci. Tento krok trval 100 let a k jeho uskutečnění bylo třeba použít řady objevů fyziky v tomto období. Mezi ně patřily zejména: speciální teorie relativity (1905), která mimo jiné spojila čas a prostor a ukázala ekvivalenci hmoty a energie 18

19 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE kvantová mechanika (Schrődinger, Dirac, Heisenberg... ) jako teorie popisující chování mikroskopických objektů Spojením teorie relativity a kvantové mechaniky vznikala postupně relativistická kvantová teorie, která se ukázala jako teorie vhodná pro popis elementárních fermionů, zpočátku zejména elektronů. Z této teorie vyplynula existence spinu a existence antičástic. V první polovině 20. století se postupně ukázalo, že v přírodě působí 4 interakce (silná, slabá, elektromagnetická a gravitační), a jejich podstatou je výměna bosonových kvant kalibračních polí. Na konci 60. let ukázali Weinberg a Salam, že elektromagnetickou a slabou interakci lze chápat jako různé projevy elektro-slabé interakce. Z jejich teorie vyplývalo, že původně musely existovat čtyři částice přenášející elektroslabou sílu - všechny nehmotné. V procesu narušení symetrie tři z těchto částic získaly velkou klidovou hmotnost (W +, W, Z 0 ) a čtvrtá zůstala nehmotná (γ). Hmotné částice jsou nosiči slabé interakce, nehmotná částice je foton zprostředkující elektromagnetickou interakci. Pro popis dynamiky interakcí byly v průběhu 20. století vytvořeny kvantové teorie: kvatnová elektrodynamika (QED) popisující elektromagnetické interakce částic zprostředkované fotony kvantová chromodynamika(qcd) popisující silné interakce kvarků zprostředkované 8 nehmotnými gluony; jejím nábojem je tzv. barva teorie elektroslabé interakce (EW) popisující elektromagnetickou a slabou interakci Teorie elektroslabé interakce spolu s QCD tvoří páteř standardního modelu částicové fyziky (SM). Mezi elektroslabým sektorem a sektorem QCD existuje vazba díky tomu, že některé částice interagují oběma způsoby. Zatím ovšem neexistuje sjednocení silné a elektroslabé interakce na hlubší úrovni. Standardní model je teorie s velkou předpovědní schopností a s velkou přesností v oblasti, jež je dosud experimentálně dosažitelná. Nemůže být ale považován za úplnou teorii. Jedním z důvodů je, že v jeho rámci nelze popsat gravitační interakci. Dalším problémem je velký počet vstupních parametrů SM, které nemohou být modelem určeny. Mezi ně patří např. elementární částice. Standardní model je jen dalším krokem k vytvoření unifikované teorie. Názory na další možný postup sjednocování se různí, existuje však několik základních směrů, o kterých se nyní zmíníme. Grand unified theory (GUT) - teorie velkého sjednocení předpokládá, že QCD a EW teorie by se mohly sjednotit v rámci nějaké - dosud nenalezené - grupy symetrií zahrnující grupy symetrií QCD (SU(3)) a EW (SU(2) U(1)) 19

20 KAPITOLA 2. SUBATOMOVÁ STRUKTURA, ZÁKLADNÍ SÍLY A ČÁSTICE Teorie supersymetrická - předpokládající existenci bosonového partnera ke každému fermionu a vice versa. Vzhledem k tomu, že tito superpartneři nejsou pozorováni, musí být supersymetrie narušena, v důsledku čehož získávají tyto částice velké klidové hmotnosti, a nebyly proto doposud experimentálně pozorovány. Všechny doposud uvedené teorie chápou částice jako bodové objekty. Na rozdíl od tohoto přístupu se v posledních třiceti letech začal rozvíjet názor, že částice jsou objekty nelokální, a že je lze popsat jako strunky o rozměrech větších (ale blízkých) Planckově délce l p = m. Jednotlivé částice odpovídají, zhruba řečeno, různým vibračním stavům tohoto strunového objektu. Výhodou strunových teorií je fakt, že jsou schopny zahrnout i gravitační interakci přenášenou tenzorovou částicí - gravitonem - se spinem 2. Rovněž počet parametrů těchto teorií je výrazně menší než u SM. Hlavní komplikací strunových teorií je jejich složitá geometrická struktura. Teorie obsahující fermiony (a supersymetrické částice) totiž mohou fungovat jen v případě, že prostor je 10 nebo 11 - dimenzionální. Otázkou zůstává, jaký je charakter dimenzí, jež experimentálně nepozorujeme. Mohou být kompaktifikované (jakoby stočené v každém bodě prostoru), nebo náš prostor může představovat membránu ve vícedimenzionálním prostoru, na které jsme drženi. Může existovat obrovské množství geometrických struktur podprostorů tohoto 10 (11) - rozměrného prostoru. Sem patří i D-brany - objekty, k nimž jsou připoutány struny bosonů atd. Zůstává problémem, jak určit tu geometrickou strukturu, která se realizuje v našem vesmíru. Postupem času bylo vytvořeno několik různých strunových teorií. Posléze se ukázalo, že jsou navzájem ekvivalentní, a že jsou různými limitními případy takzvané M teorie v 11 dimenzích. Toto pole teoretického výzkumu se intenzivně rozvíjí a bude třeba vyčkat, než se ukáže, zda je tento přístup správný pro sjednocený popis fyzikálních interakcí a charakteru elementárních částic. Cesta k unifikaci jednotlivých sil působících ve Vesmíru a k pochopení podstaty částic na které působí, a rovněž charakteru prostoru ve kterém působí, bude ještě velmi dlouhá, ale zdá se, že je pro nás otevřená. 20

21 Kapitola 3 Zkoumání subatomové struktury 3.1 Proč potřebujeme při zkoumání subatomového světa vysoké energie? Typické rozměry atomů leží v oblasti několika desetin nanometrů. Nejmenší poloměr (klasický) má vodík v základním stavu. Elektron se v tomto případě nejpravděpodobněji pohybuje ve vzdálenosti m (53 pm = 0.53 Å) od centrálního protonu. Tuto vzdálenost nazýváme Bohrovým poloměrem a 0 = 4πε 0 2 m ee 2 = m ecα, kde α je konstanta jemné struktury, α = 1 4π e 2 ( /mc) mc2 = e2 4π c = Pozn.: Konstanta jemné struktury je bezrozměrnou mírou síly elektromagnetické interakce v limitě nízkých energií. Vyjadřuje poměr energie elektrostatického odpuzování dvou elektronů vzdálených od sebe jednu Comptonovu vlnovou délku elektronu (R = m ec) v klidové hmotnosti elektronu. Jádra atomů jsou 10 4 menší, jejich průměry se pohybují v oblasti do 10 fm = = m. Většina hmotnosti atomu je proto soustředěna do velmi malého prostoru a jádro má velkou hustotu dosahující řádově g cm 3. Nukleony (neutrony, protony) se nacházejí uvnitř atomového jádra, mají efektivní průměr 1 Fm = m. Pokud budeme studovat struktury uvnitř nukleonu, je zapořebí, abychom byli vybaveni sondou s dostatečným prostorovým rozlišením. Pro sledování virtuálních částic potřebujeme rovněž dostatečné časové rozlišení. 21

22 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY m xc = p Obecně lze říci, že těžší virtuální částice má menší de Broglieho vlnovou délku λ x = nebo 1 m x v soustavě přirozených jednotek, kde a c = 1. Sondu použitou pro studium subatomové struktury můžeme reprezentovat jako vlnu charakterizovanou de Broglieho vlnovou délkou λ = h p. Prostorové rozlišení lze vyjádřit analogicky se vztahem pro rozlišení mikroskopu: r = λ sin Θ = h p sin Θ = h q, přičemž Θ je úhel rozptylu. Obrázek 3.1: K výklady prostorového rozlišení Je patrné, že čím větší hybnost bude použitá sonda mít a čím bude větší úhel pod kterým se rozptýlí, tím lepšího prostorového rozlišení dosáhneme. Veličinu q = p sin Θ nazýváme přenesenou hybností. Rozlišení se obvykle vztahuje k přenesené hybnosti. Jako příklad můžeme uvést sondu s q = 10 GeV, která dosahuje prosotorového rozlišení r. = 0.12 fm, což je přibližně 1/10 průměru nukleonu. Proto pro studium struktur malých rozměrů potřebujeme částice o hybnostech 10 GeV. Jak později uvidíme, pomocí takových sond je možno studovat strukturu nukleonu skládajícího se (v prvním přiblížení) ze 3 konstituentních kvarků a gluonů. Vysoké energie částic a jader potřebujeme rovněž k produkci těžkých částic k produkci většího množství lehkých částic k překonání uvěznění kvarku při přechodu do dekonfinovaného media k vytvoření větších oblastí vzbuzeného prostoru sloužícího ke studiu kolektivního chování dekonfinované a husté hadronové jaderné hmoty. 22

23 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY 3.2 Rozptylové experimenty a důkaz vnitřní struktury a) Thomsonův rozptyl fotonu a elektronu. Pro fotony s velkou vlnovou délkou je pravděpodobnost tohoto procesu vyjádřena vztahem σ T H = 8π 3 ( α m e ) 2 = 2 3 α2 (4π R e 2 ), kde σ je účinný průřez reakce, tj. pravděpodobnost vyjádřená pomocí efektivní plochy, R e = 1 m e je Comptonova vlnová délka elektronu (uvedeno již dříve). Ukažme nyní, že α je mírou síly elektromagnetické interakce, nebo - viděno z hlediska výměny částic - pravděpodobností emise a absorbce fotonu elementárním nábojem. Diagramy, s jejichž pomocí můžeme reprezentovat jednotlivé procesy, se nazývají Feynmannovy diagramy. Kromě své grafické formy mají i reprezentaci analytickou, ke které lze přejít pomocí sady Feynmannových pravidel. Tímto způsobem můžeme vypočíst amplitudy pravděpodobnosti zkoumaných procesů. Obrázek 3.2: Thomsonův rozptyl elektronu V případě Thomsonova rozptylu probíhá proces tak, že nejdříve dochází k absorbci fotonu, který je posléze opět emitován. Faktor α je svázán s každou absorbcí či emisí fotonu elementárním nábojem. Ve výrazu pro účinný průřez proto musí vystupovat dva takové faktory: σ T H = 2 3 ( α α) 2 (4π R e 2 ) b) Rozptyl fotonů na protonu. Analogicky lze vypočíst rozptyl fotonů na protonu: 23

24 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY σ T H pγ = 2 3 α2 (4π R p 2 ), kde R p je Comptonova vlnová délka protonu [ m p > m e R p < R e σ rγ < σ eγ ]. Fotony tedy vidí efektivní plochu protonu 4π R p 2 a α 2 je pravděpodobnost absorbce a následné emise fotonu. c) Rutherfordův rozptyl. Obrázek 3.3: Ernest Rutherford ( ), novozélandský fyzik a chemik Rutherfordův rozptyl je rozptyl na poli jádra s nábojem Z e. Pokud uvažujeme rozptyl elektronů, lze úhlovou závislost diferenciálního účinného průřezu tohoto procesu vyjádřit jako dσ R dω = Z2 α 2 4E 2 1 sin 4 (Θ/2), kde Θ je úhel sklonu rozptýlené částice. Tento proces lze opět znázornit pomocí diagramu: 24

25 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY Obrázek 3.4: Rutherfordův rozptyl v poli jádra kde Z α symbolizuje působení náboje atomového jádra. Faktor Z 2 α 2 lze opět interpretovat jako důsledek výměny fotonu s pravděpodobností emise α. d) Rozptyl π mesonů na protonu. Nahradíme-li svazek elektronů dopadajících na protonový terč π mesony shledáme, že pravděpodobnost rozptylu mnohonásobně vzroste. Pro účinný průřez opět platí σ T H pπ = α H 2 (4π R p 2 ). Zvýšení pravděpodobnosti tohoto procesu je nutno připsat velikosti α H. Tak zjišt ujeme, že v tomto případě nastává jiná než elektromagnetická interakce. Proces můžeme znázornit diagramem Obrázek 3.5: Rozptyl π mesonu na protonu Z experimentu vyplývá, že α H je o 2-3 řády větší než α. Proto α H. = 15. Ve skutečnosti není π meson výměnnou částicí, ale složeným objektem obsahujícím kvark a antikvark nosiče barevného náboje vázané gluony. Elementární procesy emise a absorpce gluonů probíhají na kvarkové úrovni, což lze znázornit analogicky k elektromagnetické interakci: 25

26 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY Obrázek 3.6: Srovnání emise fotonu a gluonu Skutečnou relevantní veličinou je α s, která je poněkud menší než α H, ale přesto α s 1. Při velkých předaných hybnostech můžeme pomocí emitovaného fotonu nebo gluonu odhalit existenci vnitřní struktury uvnitř atomu, respektive uvnitř protonu. Tak byla pomocí rozptylu α částic na zlatém terčíku určena velikost atomového jádra. Pro vysokoenergetické srážky protonů lze ukázat, že rozptyl kvarků splňuje Ruherfordovu formuli dσ R dω αs2 4E 2 1 sin 4 (Θ/2), kde E je energie nalétávajících protonů a přičemž α s = 0.2. Povšimněme si opět změn αs v závislosti na rozlišení (předané hybnosti). Později uvidíme, že tento fakt je významný, a že odráží asymptotickou volnost teorie silných interakcí - kvantové chromodynamiky QCD. Elektromagnetická a silná interakce se neodlišuje pouze velikostí α a α s. Přesto, že jsou obě interakce zprostředkovány nehmotnými výměnnými částicemi (fotony, gluony), charakter interakcí je velmi odlišný. V případě elektromagnetické interakce se elektrické pole generované elektrickými náboji integrujících částic rozprostírá po celém prostoru. Dosah elektromagnetické interakce je nekonečný, a to díky nulové klidové hmotě fotonu a díky tomu, že fotony nenesou elektrický náboj, a tudíž spolu neinteragují. U silné interakce je barevné pole vytvořené barevnými náboji kvarků soustředěno pouze v tenké trubici podél jejich spojnice. Průměr této trubice je opět 1 fm. Gluony tvořící barevné pole jsou rovněž nehmotné, nesou ovšem samy barevný náboj. Jak později uvidíme, je to právě tato drobná odlišnost, která způsobuje tak radikálně odlišné chování barevného pole. Další výrazný rozdíl pozorujeme v odlišném stínění barených a elektrických nábojů virtuálními částicemi vakua. Přibližujeme-li se k elektrickému náboji, jeho pozorovaná hodnota roste ( 1 e = C je nízkoenergetická limita náboje). Naopak barevný náboj se při detailnějším pohledu zmenšuje - silná interakce je pro asymptoticky vysoké rozlišení 26

27 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY velmi slabá - tento efekt se nazývá asymptotická volnost - viz. obrázky 13.3, 13.4, Díky uvedenému chování barevných polí jsou kvarky uvězněny v hadronech a nemůžeme je pozorovat volné. Oblast nízkoenergetické limity silné interakce je velmi obtížně řešitelná, a to zejména díky tomu, že α s 1, a není možno použít poruchové metody výpočtu, která vyžaduje α 1. Charakteristický čas pro procesy silné interakce je τ s = R c = s, R = 1 fm. Tak rychle se rozpadají například rezonance. Charakteristický čas pro elektromagnetickou interakci je τ e = s. Tak rychle probíhá například rozpad neutrálního π 0 mesonu π 0 γ γ. To lze předpokládat z poměru vazebných konstant τ e τ s = ( α s α ) 2 = Existuje však řada procesů, které velmi výrazně vybočují. Například volný neutron se rozpadá po 15 minutách, nebo rozpad π e + ν probíhá za s. Další příklad můžeme získat srovnáním doby života n + π a Σ n + π. Oba procesy jsou energeticky velmi blízké, po rozpadu zbývá v obou případech 0, 12 GeV kinetické energie. Přesto je doba života Σ o 13 řádů delší než doba života rezonance. Za tyto pomalé procesy je odpovědná slabá interakce zprostředkovaná velmi hmotnými intermediálními částicemi W. Ze vztahu τ ( n+π) τ (Σ n+π) s s ( α W αs ) 2. vyplývá, že α W Malá hodnota α W je důsledkem vysoké hmoty W, které mohou být jako virtuální částice vakuem generovány jen na velmi krátký okamžik, aby byl splněn princip neurčitosti. Proto vzdálenost, kterou mohou překonat je velmi krátká, t M W c 2. Pravděpodobnost emise W je ale stejná jako emise fotonu při elektromagnetické interakci. Díky tomu je možné chápat slabou a elektromagnetickou interakci jako rozdílné projevy jedné obecnejší interakce. α w můžeme interpretovat jako α w = α (M W m p) Díky tomu, že α = 10 2, je M W = 10 2 mp. 27

28 KAPITOLA 3. ZKOUMÁNÍ SUBATOMOVÉ STRUKTURY Další důležitou vlastností slabé interakce je její schopnost změny druhu (flavor) kvarku a leptonů. Obrázek 3.7: Změna typu kvarku při slabém rozpadu neutronu Jako příklad uved me rozpad neutronu. Při emisi W se d kvark změní na u kvark a při rozpadu W vznikne leptonový pár různých leptonů elektronu a elektronového antineutrina. Gravitační interakce je na makroskopických škálách i na škálách, které uvažujeme v SF mnohonásobně slabší, než všechny výše uvedené interakce. Při 1 GeV je α g (1GeV )2 M 2 p α = α = 10 40, zde M 2 p je Planckova hmota: M p = 1 GN = GeV, Newtonova gravitační konstanta G N v přirozených jednotkách je G N = GeV 2. Avšak v okamžiku, kdy do objemu řádově (10 35 m) 3 umístíme Planckovu hmotu, bude gravitační interakce již velmi významná a intenzita srovnatelná s interakcemi ostatními. Krom toho na těchto škálách se projeví velmi intenzivní vakuové fluktuace, které budou ovlivňovat metriku samotného prostoru. Tato oblast ještě není uspokojivě probádána a prozatím neexistuje vhodná teorie bezrosporně zahrnující všechny interakce. Pro účely tohoto skripta můžeme gravitační interakce zanedbat. 28

29 Kapitola 4 Základy kvantového popisu 4.1 Soustava přirozených jednotek používaná v subatomové fyzice V relativistické kvantové mechanice vystupují dvě fundamentální konstanty rychlost světla ve vakuu: c = m s 1 Planckova konstanta: = h 2 π = J s V subatomové fyzice je výhodné použít systém jednotek, ve kterém je jednotkou akce [ML 2 T] a c jednotkou rychlosti [L T], tj. = 1, c = 1. Energii obvykle udáváme v gigaelektronvoltech, 1 GeV = 10 9 ev. Tato volba je přirozená, protože klidová hmotnost nukleonu je přibližně 1 GeV. Díky volbě = 1, c = 1 nemusíme tyto konstanty ve vztazích vypisovat explicitně. Hmotnost (m), hybnost (mc) a energii (mc 2 ) pak vyjadřujeme v GeV, délku ( mc) a čas ( mc 2 ) v jednotkách GeV 1. Pokud používáme vyjádření délky v metrech, obvyklé rozměry systémů zkoumaných v subatomové fyzice jsou řádově m = 1 fm = 1 F. 1 femtometr bývá rovněž nazýván 1 Fermi. Účinný průřez vyjadřujeme jako plochu měřenou v jednotkách barn [b], 1 Fm2 = 10 mb, což je řádově geometrická plocha nukleonu. 4.2 Kvantový popis subatomových částic Pokud chceme popsat chování částic pomocí kvantové mechaniky, budeme potřebovat jednak vlnové rovnice vhodné k popisu volných částic, jednak postup umožňující zavedení interakcí. Je zřejmé, že v rámci tohoto skripta není možné plně vybudovat zmíněný aparát. Budemem se proto věnovat pouze základním konceptům a jejich hlavním důsledkům. Po 29

30 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU úvodní diskusi nerelativistické kvantové mechaniky se budeme podrobněji věnovat relativistické kvantové mechanice částic bez spinu a posléze též fermionů. V nerelativistické kvantové mechanice odvodíme vlnovou rovnici popisující pohyb volné částice tak, že v klasickém vztahu pro energii částice E = p2 2m nahradíme energii a hybnost odpovídajícími diferenciálními operátory E i t p i s tím, že = 1. Dosazením obdržíme operátorovou rovnici (i t + 1 2m 2 ) ψ ( x,t) = 0 Operátory působí na komplexní vlnovou funkci ψ ( x,t), jejíž amplituda odpovídá amplitudě pravděpodobnosti. Proto ψ 2 interpretujeme jako hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v daném objemovém elementu dx 3, ψ 2 dx 3 je pak pravděpodobnost nalezení částice v objemu dx 3. Pokud studujeme pohybující se částice, musíme určit hustotu toku částic. Díky zachování pravděpodobnosti je úbytek počtu částic v daném objemu roven toku částic z tohoto objemu. To lze vyjádřit jako t V ρ dv = j n ds = j dv s V Přechod k objemové integraci je možný díky platnosti Gaussovy věty. Obdržíme tak rovnici kontinuity: ρ t + j = 0 Abychom vypočetli ρ = ψ 2 = ψ ψ, odečteme od Schrödingerovy rovnice vynásobené i ψ : i ψ t + 1 2m 2 ψ = 0 ( i ψ ) ψ t ψ i 2m ψ 2 ψ = 0 komplexně sdruženou rovnici vynásobenou i ψ: i ψ t + 1 2m 2 ψ = 0 ( i ψ) ψ ψ t i 2m ψ 2 ψ = 0 30

31 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU a dostaneme: nebo rovněž ψ t ψ + ψ ψ t i 2m ψ 2 ψ + i 2m ψ 2 ψ = 0, ψ t ψ + ψ ψ t i 2m (ψ 2 ψ ψ 2 ψ ) = 0 ρ = ψ.ψ. Odtud vidíme, že: ρ t i 2m (ψ 2 ψ ψ 2 ψ ) }{{} j = 0. Srovnáním s rovnicí kontinuity můžeme určit hustotu toku pravděpodobnosti: j = i 2m (ψ 2 ψ ψ 2 ψ ) Například v případě, že použijeme řešení ve tvaru rovinné vlny ψ = A e i ( p x Et), je ρ = A 2 a j = p m A2. Obrázek 4.1: Erwin Schroedinger ( ), rakouský teoretický fyzik Schrödingerova rovnice ale není Lorentz kovariantní, tj. nezachovává se její tvar v různých navzájem se rovnoměrně pohybujících souřadných systémech. Přičemž právě stejná 31

32 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU forma fyzikálních zákonů v různých rovnoměrně se pohybujících soustavách je zásadní požadavek, který musí splňovat fundamentální fyzikální zákony. Proto je třeba hledat vhodnou Lorentz kovariantní vlnovou rovnici použitelnou i pro částice pohybující se relativistickými rychlostmi v c. Využijeme-li relativistický vztah pro energii E 2 = p 2 + m 2, dostaneme Klein - Gordonovu rovnici: 2 φ t φ = m 2 φ. Postupem obdobným jako v případě Schrödingerovy rovnice dostáváme: t φ [ i (φ t φ φ2 t )] }{{} ρ + [ i (φ φ φ φ )] = 0, }{{} j Pro řešení ve tvaru rovinné vlny φ = A e i ( p x Et) dostaneme ρ = 2EA 2 a j = 2 pa 2, přičemž je zřejmé, že hustota pravděpodobnosti je úměrná energii částice. Problém spočívá v tom, že vlastní hodnoty energie jsou E = ± p 2 + m 2, tudíž existují řešení s kladnou i zápornou energií. Pro řešení se zápornou energií dostáváme záporné hustoty pravděpodobnosti, což je nepřípustné. V kovariantním tvaru lze pomocí čtyř vektorů zapsat hustotu toku: J µ = (ρ, j) = i (φ µ φ φ µ φ ) a rovnici kontinuity: µ j µ = 0 Existence řešení se zápornými energiemi má zásadní důsledky, které budou diskutovány v příští kapitole. Problém záporné hustoty pravděpodobnosti byl odstraněn Paulim a Weiskopfem, kteří reinterpretovali hustotu ρ jako hustotu náboje a j jako hustotu elektrického proudu: j µ = ie (φ µ φ φ µ φ ) 32

33 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU Obrázek 4.2: Wolfgang Pauli ( ), rakouský teoretický fyzik Hustota náboje může již záporných hodnot nabývat, v tomto smyslu lze Klein Gordonovu rovnici použít k popisu nabité částice bez spinu. Obrázek 4.3: Paul Dirac ( ), britský teoretický fyzik, jeden ze zakladatelů kvantové teorie. Ve snaze vyhnout se problémům s negativní hustotou pravděpodobnosti hledal Dirac rovnici, která by obsahovala pouze první derivace v čase - obdobně jako Schrödingerova rovnice. Aby byla zajištěna kovariance, je třeba, aby rovnice obsahovala rovněž pouze první derivaci podle ostatních prostorových souřadnic. Dirac se při úvahách o konstrukci rovnice soustředil na problém jak odmocnit vlnový operátor. Tuto operaci lze vyjádřit následovně: 2 1 c 2 2 t 2 = (A x + B y + C z + i c D t) (A x + B y + C z + i c D t) Je zřejmé, že objekty A, B, C, D musí splňovat následující vztahy: 33

34 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU A 2 = 1, B 2 = 1, C 2 = 1, D 2 = 1 a všechny navzájem musí antikomutovat, což znamená, že AB + BA = 0,... Tak je zajištěno, že při roznásobení výše uvedeného operátorového výrazu vymizí všechny smíšené členy. Dalším předpokladem je použití operátoru na spojitou funkci, aby platila věta o záměně parciálních derivací: x y = y x Je zřejmé, že objekty A, B, C, D nemohou být čísla. Všechny výše uvedené požadavky splňují matice nejméně 4 4, které jsou Hermitovské, mají nulovou stopu a jejich vlastní hodnoty jsou ±1. Nejčastěji se používá Dirac - Pauliho reprezentace: α i = ( 0 σi σ i 0 ) β = ( I 0 0 I ), kde σ i jsou Pauliho matice σ 1 = ( ) σ 2 = ( 0 i i 0 ) σ 3 = ( ) a I je jednotková matice 2 2. Pomocí těchto objektů můžeme zapsat rovnici: (A x + B y + C z + i c D t) ψ = kψ = mc Dále budeme postupovat opět v přirozených jednotkách, kde můžeme zapsat Diracovu rovnici (iβα 1 x + iβα 2 y + iβα 3 z + iβ t ) ψ = mψ ψ nebo iβ ψ t = iβ α ψ + mψ Diracovy rovnice se obvykle zapisují v kovariantní formě pomocí γ matic, γ µ (β, βα 1, βα 2, βα 3 ): (i γ µ µ m) ψ = 0 Diracova rovnice je ve skutečnosti soustavou čtyř diferenciálních rovnic svazujících 34

35 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU 4 komponenty vektoru ψ: 4 k=1 [ µ i (γ µ ) jk µ m jk ] ψ k = 0. Vlnová rovnice je čtyřkomponentní. Nyní ukážeme, že tento vztah vede k možnosti popisu elektronu se spinem 1 2 a jeho antičástice positronu. Spin elektronu Potřeba zavedení poločíselného spinu vyvstala při interpretaci výsledků Stern-Gerlachova experimentu, při kterém prochází svazek elektronů silným nehomogenním magnetickým polem. Svazek stříbrných atomů se v magnetickém poli rozdělil na dva. Spin tudíž nemůže být celočíselný, nebot pak by došlo k rozštěpení na tři části s L Z = 1, 0, +1. Proto závěrem tohoto experimentu je, že atomy stříbra mají celkový spin 1. 2 «ψ Pauli popsal fenomenologicky spin zavedením dvoukomponentních vlnových funkcí φ = tzv. spinorů s Hamiltonianem ve formě matice 2 2: ψ H = 1 ( p e A) 2 + ea 0 e σ B 2m c 2mc pak mohl vyřešit Schrödingerovu rovnici pro dvoukomponentní vlnové funkce φ Hφ = i φ t. Vektor matic σ se skládá ze tří Pauliho sigma matic σ 1 = «σ 2 = 0 i i 0 «σ 3 = «, přičemž Pauliho matice jsou - obdobně jako Diracovy matice - Hermitovské, antikomutující a mají jednotkový kvadrát. Diracova rovnice může být zapsána rovněž jako ( mc 2 c σ p c σ p mc 2 )( φ+ φ ) = i t ( φ+ Pokud nyní budeme uvažovat částice v klidu, obdržíme rovnici 35 φ ).

36 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU i t ( φ+ φ ) = ( mc mc 2 )( φ+ φ ). Dostáváme tedy dva spinory, jeden s pozitivní vlastní energií, druhý s energií negativní. Diracova rovnice tedy nepopisuje jenom částice se spinem 1 2, ale předpovídá i novou fázi hmoty - antihmotu. Čtyřkomponentní vlnové funkce se nazývají bispinory nebo Diracovy spinory. Vrat me se nyní k problému hustoty pravděpodobnosti. Zavedeme-li Hermitovsky sdružený bispinor ψ = ψ + γ 0, pak Hermitovsky sdružená Diracova rovnice je dána vztahem ψ (γ µ µ im) = 0. ( µ operuje doleva) Vynásobením Diracovy rovnice ψ zleva, sdružené rovnice zprava ψ a jejich sečtením obdržíme rovnici kontinuity µ ( ψ γ µ ψ) = 0, hustota toku pak je J µ = ψ γ µ ψ. Hustotě pravděpodobnosti odpovídá nultá komponenta toku J 0 = ψ γ 0 ψ, která je nezáporná. Diracova rovnice řeší tedy i tento problém, na který jsme narazili u Klein-Gordonovy rovnice. Pro volnou částici hledáme vlastní hodnoty čtyřimpulsu pro vlnovou funkci ve tvaru ψ = u ( p ) e i p x, kde u je čtyřkomponentní spinor nezávislý na pozici. 4.3 Spinorový popis volné částice Každá ze složek spinoru ψ i splňuje Klein-Gordonovu rovnici ( + m 2 ) ψ i = 0, kde je D Alambertův operátor: = µ ν = g µν ν µ = ( 2 t 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 ) = 2 t 2 ( 2 ). 36

37 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU Pro volnou částici můžeme hledat řešení ve formě ψ = u ( p ) e i p x, kde u je nezávislé na x. Dosazením do Diracovy rovnice obdržíme (γ µ p µ m) u ( p ) = 0, respektive v případě, že chceme najít vlastní hodnoty energie, můžeme využít tvaru Diracovy rovnice obsahujícího matice α i, β: H u = ( α p + βm) u = Eu. Využijeme nyní Dirac-Pauliho reprezentaci matic α, β a v případě, že částice je v klidu, můžeme napsat: H u = β m u = ( mi 0 0 mi ) u. Tato rovnice má vlastní hodnoty energie E {m, m, m, m} a vlastní vektory Obrázek 4.4: Richard Phillips Feynman ( ), americký fyzik, tvůrce kvantové elektrodynamiky, dráhově integrální formulace kvantové mechaniky a partonového modelu. 37

38 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU Obrázek 4.5: Ernst Stueckelberg ( , Basel) Švýcarský matematik a fyzik První dvě řešení odpovídají elektronu, druhá dvě řešení se zápornou energií interpretujeme jako antičástici elektronu - positron s kladnou energií podle Feynman-Stücklebergovy interpretace. Feynman-Stücklebergova interpretace řešení se zápornou energií Částice s negativní energií pohybující se zpět v čase jsou ekvivalentní k antičástici s pozitivní energií pohybující se vpřed časem. To je důsledkem e i( E)( t) = e iet. Představme si situaci, kdy dochází k dvojímu rozptylu elektronu. Tento proces může probíhat dvěma způsoby znázorněnými na obrázku Obrázek 4.6: Dvojí interpretace dvojnásobného rozptylu elektronu Pozorovatelné vstupní a výstupní trajektorie elektronu jsou shodné. První proces odpovídá rozptylu elektronu s kladnou energií pohybujícímu se vpřed časem. Druhý proces zahrnuje úsek, kdy se elektron pohybuje zpět časem. To ale můžeme interpretovat jako pohyb antičástice vpřed časem. Tento proces tedy interpretujeme jako vznik páru e + e v čase t 1 a v bodě x 2 následovaný anihilací positronu se vstupujícím elektronem v čase t 2 a místě x 1. 38

39 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU Pro nenulovou hybnost p 0 dostáváme ( ) ( ) m σ p ua H u = σ p m u B kde u A, u B jsou spinory. Odtud dostaneme ( ua = E u B ), σ p u B = (E m) u A σ p u A = (E + m) u B. Pro dvě řešení s E > 0 vyjádříme u A (s) = χ (s), s = 1, 2, χ (1) = ( 1 0 ) ( 0, χ (2) = 1 ). Odpovídající dolní komponentu u B vyjádříme jako u B (s) = σ p E+m χ(s). Pro bispinorové řešení s pozitivní energií tedy dostaneme u (s) = N χ (s) σ p E+m χ(s) ; E > 0, s = 1, 2, Pro řešení se zápornou energií dostaneme u (s+2) = N σ p E +m χ(s) χ (s) ; E < 0 Pro rozlišení stavů můžeme v případě spinorů použít rovněž helicitu λ definovanou jako vlastní hodnoty 1 p 2 σ ˆp, kde ˆp = p je jednotkový vektor: λ = Kladná helicita znamená souhlasný směr spinu a hybnosti částice, záporná helicita 39

40 KAPITOLA 4. ZÁKLADY KVANTOVÉHO POPISU odpovídá antiparalelnímu spinu a hybnosti. Důležitým výsledkem Diracovy rovnice je rovněž předpověd vlastního magnetického momentu elektronu: µ = e 2m σ = g e 2m 1 2 σ. Gyromagnetický poměr g = 2 je předpovědí Diracovy teorie, která velmi přesně odpovídá experimentu g ex = , přičemž faktor pochází z příspěvku polarizace vakua a je přesně předpovězen kvantovou elektrodynamikou. Vidíme tedy, že původní Diracova snaha o eliminaci problému s negativní hustotou pravděpodobnosti vyústila v rovnici, jejíž obsah je velmi bohatý. Formulace vlnové rovnice obsahující pouze první derivace vyžaduje zavedení antikomutujících struktur a rovněž diktuje počet komponent vlnové funkce. Realizace této antikomutativní struktury pomocí Diracových γ matic není jedinou možností. Obdobnou strukturu lze realizovat i pomocí kvaternionů. 40

41 Kapitola 5 Antičástice 5.1 Diracovo moře Při interpretaci řešení se zápornou energií Dirac předpokládal, že pás záporných energií je ve vakuu v důsledku Pauliho vylučovacího principu zcela zaplněn elektrony. Pokud dodáme elektronu v tomto pásu energii větší než dvě klidové hmotnosti, dojde k jeho přeskoku do pásu řešení s kladnými energiemi a z našeho hlediska se objeví elektron. Zároveň ale v pásu záporných energií vznikne díra, která se bude efektivně pohybovat jako opačně nabitá částice. Vakuum je tedy mnohočásticový stav a antičástice je vlastně kvazičásticí. Je zřejmé, že při vytvoření elektronu vznikne zároveň i positron, či obecně, při vytvoření fundamentálního fermionu vznikne i jeho antifermion. Tomuto procesu říkáme párová produkce částic. Obrázek 5.1: Diracovo moře. Excitací elektronu z moře stavů se zápornými energiemi vzniká elektron s pozitivní energií a volný stav se zápornou energií interpretovaný jako antičástice - positron Pokud se částice a antičástice (např. e + e ) setkají, mohou anihilovat. To jest, částice 41

42 KAPITOLA 5. ANTIČÁSTICE z pásu kladných energií zmizí a zaplní opět díru v pásu záporných energií. Uvolněná energie je odnesena dalšími částicemi (např. e + e 2 γ). 5.2 Antičástice podrobněji V předešlé kapitole jsme zavedli pojem antičástice. Nyní se budeme podrobněji věnovat některým aspektům produkce a anihilace částic a antičástic a rovněž experimentům studujícím antihmotu. Antičástice můžeme po následující diskusi rozdělit do několika skupin: elementární antičástice antičástice složené reálné antičástice virtuální antičástice Antičástice mají obecně stejnou klidovou hmotnost a spin jako příslušné částice, mají ovšem opačný elektrický náboj. Pod elementárními antičásticemi budeme rozumět antičástice elementárních fermionů, kvarků a leptonů; k jejich vzniku dochází vždy v páru s odpovídající částicí. Pokud se nacházejí ve vhodném kvantovém stavu, mohou navzájem anihilovat, jako například anihilace e + + e γ + γ. Proces s jedním fotonem v koncovém stavu e + + e γ není možný, protože by nebylo možno zachovat energii a hybnost. Může k němu ale docházet v případě, že bud γ nebo leptonový pár jsou virtuální. Tak mohou probíhat procesy jako: Obrázek 5.2: Vznik virtuálního fotonu při e + e anihilaci a vznik virtuálního e + e páru z reaálného fotonu Při nich při anihilaci reálného leptonového páru vznikne virtuální foton γ, který nese energii a hybnost anihilujícího páru. Tu posléze přetvoří v produkci dalších částic. V druhém případě dochází k vytvoření virtuálního leptonového páru z reálného fotonu. 42

43 KAPITOLA 5. ANTIČÁSTICE Pozn.: Pod reálnou částicí vnímáme částici na hmotové slupce splňující E 2 p 2 = m 2 Mezi složené fermionové antičástice řadíme antibaryony - mezi ně patří například antinukleony n ū d d, p ūū d. Je zřejmé, že anihilace těchto částic bude probíhat složitějším způsobem než anihilace leptonového páru. Anihilace antibaryonů je obvykle provázena vznikem několika nabitých nebo neutrálních π mesonů, popřípadě dalších mesonů, k jejichž produkci je k dispozici energie nejméně 2 m N c 2 = 2 GeV. Vzniklé částice mohou proto mít i poměrně velké hybnosti. Proces anihilace může probíhat řadou různých kanálů. Fermiony vznikají a zanikají pouze v párech. Bosony mají rovněž odpovídající antičástice. V případě bosonu s nulovou klidovou hmotou, jakým je například foton γ, je antičástice totožná s částicí. U hmotných nabitých bosonů W + je jejich antičásticí W. U složených bosonů - mesonů - nacházíme stejné kvarkové složení, ale kvarky jsou zaměněny za antikvarky ( např. π + = u d, π = dū). Mezi neutrálními mesony nacházíme zajímavé systémy, ve kterých může docházet k míšení mezi částicí a antičásticí. Příkladem může být systém K 0 K 0. Obrázek 5.3: Mísení v systému neutrálních kaonů Pozorované stavy K 0 jsou směsí K 0 a K S 0 > K L 0 > 1 K 0. 2 ( K0 > + K 0 >) [CP + 1] 1 2 ( K0 > K 0 >) [CP 1] V tomto systému lze pozorovat narušení CP invariance. K produkci reálných antičástic dochází při neelastických srážkách částic urychlených na dostatečně vysoké energie. Pouze k produkci elektron - pozitronových párů může docházet při interakci γ záření se hmotou. V blízkosti těžkých jader může spolupůsobením γ fotonu a virtuálního γ fotonu jádra vzniknout reálný e + e pár. Dopadající γ foton musí mít energii minimálně E thr = 2m e c 2. Positrony mohou být emitovány při β + rozpadu. 43

44 KAPITOLA 5. ANTIČÁSTICE Mezi hlavní zařízení určená k produkci antihmoty, tedy hmoty složené z antičástic, patří antiprotonový decelerátor v CERN. Antiprotony jsou produkovány v reakcích při dopadu protonového svazku o energii 25 GeV na wolframový terč. Antiprotony s hybností 3.5 GeV jsou akumulovány v decelerátoru, který jim jednak postupně odebere značnou část energie, jednak pomocí stochastického e elektronového chlazení redukuje příčné složky hybnosti a koncentruje svazek. Posléze jsou zpomalené antiprotony vstříknuty do experimentů, které jejich část zachytí, a po patřičném zchlazení je bud zabudují do antivodíkového atomu nebo do atomu He, respektive antiprotony využívají k testům antiprotonové radioterapie. V první generaci experimentů se ATHENA a ATRAP věnovaly výrobě antivodíku, ASA- CUSA výrobě antiprotonického helia a experiment ACE medicínským aplikacím antiprotonů. Mezi připravované experimenty patří AEGIS, který bude zkoumat možné odlišnosti v gravitačním působení hmoty na neutrální antihmotu. 44

45 Kapitola 6 Leptony, kvarky, hadrony 6.1 Leptony Jak již bylo řečeno, existují tři generace leptonů. V rámci každé generace se zachovávají leptonová čísla L e, L µ, L τ vyjadřující fakt, že leptony vznikají párovou produkcí. Pro příklad uved me přiřazení elektronového leptonového čísla L e leptonům první generace: ( e L e = 1 pro ν e ) ( e +, L e = 1 pro ν ), L e = 0 pro všechny ostatní částice. Obdobně jsou pro další generace zavedena čísla L µ, L τ. Tato kvantová čísla jsou zachovávána separátně, a to ve všech známých interakcích. To, že nelze pozorovat míšení mezi generacemi, je důsledkem nulové klidové hmotnosti neutrin - tak, jak to předpokládá standardní model. Jak později uvidíme, v současné době se předpokládá že neutrina nehmotná nejsou, i když dosud jejich malé klidové hmotnosti experimentálně neznáme. Je proto pravděpodobné, že by mohlo docházet k velmi slabému narušení zachování leptonových čísel. Pro leptonová čísla platí následující vztahy: L e = N(e ) N(e + ) + N(ν e ) N( ν e ) L µ = N(µ ) N(µ + ) + N(ν µ ) N( ν µ ) L τ = N(τ ) N(τ + ) + N(ν τ ) N( ν τ ). Elektrický náboj nabitých leptonů je l = 1 Q e a l + = Q e. Věnujme se nyní leptonům první generace, elektronu a elektronovému neutrinu. Elektron byl objeven roku 1897 J.J.Thomsonem, má klidovou hmotnost 511 kev. Existenci neutrina předpověděl v roce 1930 Pauli z vlastností elektronů vznikajících při β rozpadu. 45

46 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY β rozpad: (Z, A) (Z + 1) + e + ν e, respektive β + rozpad: (Z, A ) (Z 1, A) + e + + ν e. Při tomto radioaktivním rozpadu dochází uvnitř jádra k přeměnám n p + e + ν e, p n + e + + ν e. respektive Pokud by se n a p nenacházely v jádře, je možný jenom první proces, protože m n > (m p + m e ). Elementární proces, který transformuje neutron a proton za vzniku leptonového páru, je slabý rozpad: Obrázek 6.1: Slabý rozpad neutronu Energetické spektrum elektronů vznikajících při β rozpadu má tvar Obrázek 6.2: Energetické spektrum elektronů vznikajících při β rozpadu přičemž platí: E e ( M m νe ), 46

47 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY kde M = M(Z, A) M(Z + 1, A) je hmotnostní schodek mezi jádrem před a po emisi elektronu. Např. E mx pro běžný β zdroj Sr/Y můžeme očekávat dvoukomponentní spektrum E mx (Sr)= MeV ( τ= 27.7 roku ), E mx (Y )= 2.27 MeV (τ= 64 h). Pro Tritium je. E mx = 18 kev. Studiem koncové oblasti energetického spektra emitovaných elektronů lze změřit klidovou hmotnost elektronového antineutrina ν e. To je a bude hlavním cílem experimentu KATRIN budovaného v Karlsruhe. Experiment KATRIN bude schopen stanovit klidovou hmotnost ν v oblasti ev, popřípadě posunout horní limit do oblasti 0.1 ev. Vliv nenulové klidové hmotnosti ν e lze demonstrovat nejlépe pomocí Kurie grafu, který vychází z reformulace vztahu popisujícího hybnostní spektrum elektronů dn(p) dp p 2 (E mx E) 2 dp. Proto, když budeme vynášet [N(p)/p 2 ] 1 2 jako funkci energie, obdržíme přímku protínající energetickou osu v E mx. V praxi je pro nízké energie elektronů a velká z emitujících jader třeba zavést korekční faktor F (z, p) opravující vliv elektrického pole jádra na elektron. Obrázek 6.3: Příklad koncové oblasti Kurieho grafu znázorňujícího energetické spektrum elektronů z β rozpadu Tritia. Plná křivka znázorňuje tvar spektra v případě nenulové hmotnosti elektronového neutrina 47

48 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Obrázek 6.4: Schema experimentu, při kterém byly detekovány interakce elektronových antineutrin Neutrino bylo poprvé pozorováno Reinesem a Cowanem v roce 1956, a to reakcí inverzní k β rozpadu: ν e + p n + e + s pakovou energií 1,8 MeV. Účinný průřez (pravděpodobnost) této reakce je velmi malý: σ ( ν e + p n + e + ) = E 2 [m 2 ], E je energie nad pakem v MeV, střední volná dráha ν e s E = 1 MeV je řádově 50 světelných let. Malou pravděpodobnost procesu je třeba kompenzovat intenzitou zdroje neutrin a rozměry detektoru. Poblíž uranového 1000 MW reaktoru mohou neutrinové toky dosahovat i ν e m 2 s 1. Pak lze pozorovat přibližně několik reakcí za hodinu. Při detekci tohoto procesu se používá vodný roztok Cd Cl 2. Vzniklý positron je rychle termalizován a vytvoří positronium s elektronem terče P S (e + e ). Positronium anihiluje na dva 511 kev γ fotony, které posléze integruje s elektrony kapalného scintilátoru. Comptonovské elektrony produkují scintilaci, která je registrována fotonásobiči. Tento proces je rychlý, proběhne za 1 ns. Uvolněný neutron je moderován elastickými srážkami s protonem ve vodě a posléze zachycen kadmiem v Cd Cl 2 při radiačním záchytu. Při záchytu neutronu jsou emitovány opět γ fotony. Záchyt neutronu však nastává až po několika µs a sekvence přímých a zpožděných fotonů je signaturou hledané interakce neutrina. Pokud má neutrino nenulovou lidovou hmotnost, je spektrum elektronů modifikováno N(p) dp p 2 (E mx E) 2 1 ( mν E 0 E )2 dp. 48

49 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Obrázek 6.5: Frederick Reines( ), americký fyzik, spoluobjevitel neutrina Obrázek 6.6: Clyde Lorrain Cowan Jr. ( ), americký fyzik, spoluobjevitel neutrina Věnujme se nyní druhé generaci leptonů - mionu µ a mionovému neutrinu ν µ. Mion je 206 těžší než elektron, jeho klidová hmotnost činí MeV, doba života τ = s. Byl objeven v roce 1936 v kosmickém záření. Charakteristickou vlastností mionu je jeho velká pronikavost. Ta je důsledkem jeho velké hmotnosti ve srovnání s elektronem. Při průletu látkou ztrácejí elektrony energii především brzdným zářením. Účinný průřez tohoto procesu ale klesá s rostoucí hmotou (σ 1 ), a proto je pro µ s (m m 2 µ /m e ) =. 206 výrazně potlačen. Mion se rozpadá slabým rozpadem µ e ν e ν µ L e 1-1 L µ 1 1 což lze znázornit diagramem: 49

50 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Obrázek 6.7: Slabý rozpad mionu V souvislosti s mionovým neutrinem se nyní budeme stručně věnovat problematice neutrinových oscilací. Experimenty detekující množství elektronových neutrin přicházejících ze Slunce vykazují oproti předpovědi standardního modelu Slunce menší četnosti dopadajících ν e (55% předpokladu). U neutrin vznikajících při interakcích kosmického záření v atmosféře jsou pozorovány denní oscilace v počtu ν µ. Při průletu ν µ skrze zeměkouli jich do detektoru dorazí přibližně polovina oproti dopadu v případě, že slunce stojí nad detektorem. Tyto experimentální fakty jsou interpretovány jako projevy oscilace mezi jednotlivými druhy neutrin. Dle této představy by pozorovaná neutrina byla směsí hmotových vlastních stavů ν 1, ν 2. Neutrina tedy nejsou nehmotná. a) ( νµ ν e ) ( cos Θ sin Θ = sin Θ cos Θ )( ν1 ν 2 ) Pozorované stavy tedy vznikají rotací o úhel Θ. Vlnové funkce ν µ = ν 1 cos Θ + ν 2 sin Θ, ν e = ν 1 sin Θ + ν 2 cos Θ jsou ortonormální stavy. Časový vývoj lze popsat jako ν 1 (t) = ν 1 (0) e ie 1t, ν 2 (t) = ν 1 (0) e ie 2t, kde E 1, E 2 jsou energie stavů. b) E i = p + m i 2 2p pro m i E i. Necht oba stavy mají stejnou hybnost. Začněme například v čase t = 0 pouze s mionovými neutriny, ν µ (0) = 1 a ν e (0) = 0. Z a) můžeme tudíž odvodit: 50

51 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY ν 1 (0) = ν µ (0) cos Θ ν 2 (0) = ν µ (0) sin Θ a rovněž ν µ = cos Θ ν 1 (t) + sin Θ ν 2 (t). Pro amplitudu dostáváme A µ (t) = νµ(t) ν µ(0) = cos2 Θ e ie 1t + sin 2 Θ e ie 2t a pro intenzitu detekovaných neutrin I µ(t) I µ(0) = A µ A µ = 1 sin 2 2 Θ sin 2 (E 2 E 1 ) t 2. Pomocí b) pak dostáváme pro pravděpodobnosti nalezení mionového a elektronového neutrina: P (ν e ν µ ) = 1 sin 2 2 Θ sin 2 ( 1.27 m2 L E ) [m, MeV] P (ν µ ν e ) = 1 P (ν µ ν µ ) [ev 2 ]. Je tedy zřejmé, že se vzdáleností od zdroje se ν µ mění v ν e a zpět. Druh neutrina tedy osciluje se vzdáleností od zdroje. Při zjištění oscilace můžeme říci, že neutrina mají nenulovou hmotnost, ale nemůžeme tuto hmotnost určit. Na velikost úhlu Θ a kvadrát rozdílu klidových hmotností nepanuje dosud jednoznačný názor. Jedna z pravděpodobných možností udává Θ = 2 a m 2 = 10 5 ev 2 Nejtěžší generace leptonů obsahuje τ lepton a jeho neutrino ν τ. τ má klidovou hmotnost m τ =1777 MeV, dobu života τ 0 = s a dolet c τ = 86 µm. Vzhledem k velké klidové hmotnosti má při rozpadu k dispozici dostatek energie k produkci dalších částic. Proto se τ může rozpadat mnoha kanály obsahujícími hadrony a rovněž slabými rozpady na lehčí leptony: τ µ ν µ ν τ B.R % τ e ν e ν τ B.R % Schema těchto rozpadů je popsáno diagramem: 51

52 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Leptony interagují elektromagneticky stejně ve všech generacích. Tuto skutečnost nazýváme universalita leptonových interakcí. Četnost rozpadu (rate) Γ (µ e + ν e + ν µ ) = KG F 2 m µ 5, kde K je konstanta odrážející detaily interakce, G F je Fermiho konstanta. Γ (τ e + ν e + ν τ ) = KG F 2 m τ 5 Γ (τ µ + ν µ + ν τ ) = Γ (τ e + ν e + ν τ ) Doba života leptonu se dá vyjádřit jako τ l = B(l e ν e ν l ) Γ(l e ν e ν l ), B je větvící poměr, tj. část rozpadů, jdoucí kanálem, B(µ e) = 1, B(τ e) = Pak lze měřitelný poměr dob života τ a µ vyjádřite jako τ τ τ µ = B(τ e) B(µ e) ( mµ m τ ) 5 = , což je ve velmi dobré shodě s pozorovanými hodnotami. Z toho vyplývá, že rozdíly v době života jsou určeny pouze rozdílnými hmotnostmi a z nich plynoucími větvícími poměry. Faktor KG F 2 je u všech tří generací stejný. A je to právě tento faktor, který určuje interakci. Lze říci, že všechna experimentální data jsou konzistentní s předpokladem, že interakce elektronu a ν e jsou stejné jako interakce µ a ν µ, a rovněž jako interakce τ a ν τ. Tři generace leptonů jsou tedy třemi opakováními téže struktury. 6.2 Silně interagující částice Silně interagující částice jsou složeny z kvarků vyskytujících se v 6 druzích (nazývaných vůně, flavour). Kvarky jsou rovněž uspořádány po dvojicích do tří generací. Díky tomu, že neexistují volně, je složité definovat jejich klidové hmoty. Obvykle jsou uváděny následující hodnoty: u d s c b t ± ± ± ± 3.3 MeV MeV MeV GeV GeV GeV tab: klidové hmotnosti kvarků 52

53 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY U u a d kvarků se lze setkat rovněž s jejich valenční hmotou m u = m d = 1/3 m N = 0.35 GeV. V souvislosti s s, c, b, t kvarky zavádíme další kvantová čísla: S... strangeness, podivnost S [N(s) N( s)] = N s C... charm, půvab C N(c) N( c) = N c B... beauty, krása B [N(b) N( b)] = Nb T... truth, pravda T N(t) N( t) = N t B... baryonové číslo B 1 3 [N(q) N( q)] 1 3 (N u + N d + N s + N c + N b + N t ) 1 3 (N u + N d S + C B + T ) Elektrický náboj lze rovněž vyjádřit pomocí těchto kvantových čísel: Q = 2 3 (N u + N c + N t ) 1 3 (N d + N s + N b ) = 2 3 (N u + C + T ) 1 3 (N d S B) Při silných a elektromagnetických interakcích se tato kvantová čísla zachovávají. To opět odpovídá faktu, že kvarky a antikvarky se rodí v q q párech a zanikají anihilací. Slabé interakce zachovávají náboj Q a baryonové číslo B, vůně kvarku se ale může měnit. Kvarky nemohou existovat v současném chladném vesmíru samostatně. Uspořádávají se tedy do párů nebo do trojic. Tak jsou tvořeny hadrony. Hadrony dále dělíme na baryony složené za tří kvarků (q q q) a mesony složené z páru kvark - antikvark (q q). Uved me několik příkladů: 53

54 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Baryony název kvarkový obsah Q S C B M [MeV] p uud n udd Λ uds Λ c udc ddd uuu Úplný obraz o složení baryonů získáme v kapitole o kvarkovém modelu. Uved me rovněž příklad struktury některých mesonů: Mesony název kvarkový obsah Q S C B M [MeV] π + u d K sū D d c D s c s B bū Υ b b J/ψ c c Úplný obraz struktury mesonů opět získáme v kapitole týkající se kvarkového modelu. Hadrony se rozpadají rychle (τ s) na lehčí produkty pokud to umožňují zákony zachování jejich kvantových čísel. Hadrony s delší dobou života nemají již možnost rozpadnout se na lehčí produkty při zachování kvantových čísel a rozpadají se působením slabé interakce, která může změnit vůni kvarku. Jako příklad uved me rozpady K 0 π + π, D k π nebo Λ p π. 54

55 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Věnujme se nyní nejlehčímu z mesonů - π mesonu. π mesony jsou díky své malé klidové hmotnosti nejčastěji produkovanými částicemi při vysokoenergetických srážkách částic a jader. π = u d π 0 = uū, d d π = dū M [MeV] dolet c τ 7.8 m 25.1 nm 7.8 m K jejich produkci dochází například při p p srážkách následujícími procesy: p + p p + n + π + p + p + π 0 p + p + π + + π Je zřejmé, že v procesu se musí zachovat baryonové číslo a náboj. Diagramaticky lze tyto procesy znázornit následovně: Rozpady π ± probíhají z % procesem π + µ + + ν µ, π µ + ν µ. Rozpady neutrálního π 0 pak z 98.8 % procesem π 0 2γ, v 1.2 % pak procesem π 0 γ + e + e Těžké kvarky s, c, b, t Podivnost S: název podivnost je odvozen od neobvykle dlouhé doby života některých (nejlehčích) částic obsahujících s kvark. Jak již víme, je to způsobeno tím, že se musejí rozpadat slabou interakcí. V době jejich objevu však tato skutečnost působila podivně. Rovněž z hlediska kvarkového složení je Λ baryon qqq a nemůže být sestaven z u a d, nebot by měl složení stejné jako n - odlišnost je samozřejmě způsobena přítomností s kvarku. Uved me příklady částic Λ a K 0. Typickým produkčním mechanismem při srážkách protonů s piony je tzv. asociovaná produkce: π + p K 0 + Λ S Tento proces můžeme reprezentovat diagramem Rozpady probíhají slabými procesy: 55

56 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Obrázek 6.8: Asociativní produkce K 0 a Λ při srážkách protonu a pionu Λ p π 64 % n π 0 36 % semileptonické rozpady: KL 0 π± e ± ν e 40,5 % KS 0 π+ π 69,2 % π ± µ ± ν µ 27 % π 0 π 0 30,69 % hadronové rozpady: KL 0 3 π0 19,6 % π + π π 0 12,6 % Obrázek 6.9: Burton Richter ( ), americký fyzik, spoluobjevitel částice J/Ψ 56

57 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY Obrázek 6.10: Samuel C. Ting ( ), americký fyzik, spoluobjevitel částice J/Ψ Půvab kvarků C byl poprvé pozorován v roce 1974 při experimentech na urychlovači SLAC (Richter) a v BNL (Ting), při kterých byla objevena úzká rezonance s hmotou 3097 MeV. Tým vedený Richterem nazval tuto částici ψ, Tingův tým pak J. Nyní ji známe jako J/ψ. Jedná se o jeden ze stavů systému půvabných kvarků C C. Pokud pro J/ψ je C = 0, hovoříme o půvabu skrytém, pokud je C 0, hovoříme o otevřeném půvabu. Některé z otevřeně půvabných částic uvádíme v následující tabulce: název složení C S M [MeV] D + c d D d c D 0 cū D 0 u c D s c s D s s c Λ c u d c Krásný kvark b byl objeven v roce Opět rozlišujeme částice se skrytou krásou a s otevřenou krásou dle hodnoty B. Uved me opět příklady částic obsahujících b kvark. 57

58 KAPITOLA 6. LEPTONY, KVARKY, HADRONY název složení B M [MeV] Υ b b B + u b B bū B 0 d b B 0 b d Λ b u d b Nejtěžší t kvark, objeven v roce 1995, má tak krátkou dobu života, že netvoří vázané stavy. 58

59 Kapitola 7 Yukawův model jaderných sil Obrázek 7.1: Hideki Yukawa FRSE ( ), japonský teoretický fyzik. V roce 1935 japonský fyzik Hideki Yukawa navrhl teorii vysvětlující jaderné síly jako důsledek výměny bosonů X se spinem 0 a nenulovou klidovou hmotností M X. V té době nebyl přesně znám dosah jaderných sil, ale Jukawa odhadl klidovou hmotnost. M X = 200 MeV/c 2. Zjednodušeně (zanedbáme-li spin) si tuto interakci můžeme představit jako výměnu bosonu splňujícího Klein-Gordonovu rovnici: 2 2 φ( x,t) t 2 = 2 c 2 2 φ( x, t) + M X 2 c 4 φ( x, t). Pokud hledáme statické řešení, budeme interpretovat φ jako potenciál. Klein-Gordonova rovnice se pak redukuje na tvar 2 φ(x) = M X 2 c 2 2 φ(x). 59

60 KAPITOLA 7. YUKAWŮV MODEL JADERNÝCH SIL V případě, že M X = 0, dostaneme Coulombický potenciál V (r) = e φ(r) = e2 4πε 0 1 r, kde r = x. Pro M 0 dostaneme řešení ve tvaru V (r) = g2 4π 1 r e r R, kde R = M X c je dosah interakce, g určuje sílu interakce. Obdobně jako pro elektrodynamiku můžeme zavést vazbovou konstantu α X = g2 4π c popisující sílu interakce na krátkých vzdálenostech r < R.. Objev π mesonu o hmotnosti m π = 140 MeV se zpočátku jevil jako velký triumf Yukawovy teorie. Výměna π mesonů může zprostředkovat jednak přímé síly, jednak síly výměnné, kdy se při interakci změní druh nukleonu. Základní procesy pionové výměny jsou popsány následujícími diagramy: Obrázek 7.2: Diagramy znázorňující možné procesy pionové výměny v Yukawově modelu Yukawův potenciál popisuje jaderné síly na větších vzdálenostech pro r 2 fm, a to velice přesně. Pro r <1 fm nelze tuto teorii použít, protože zanedbává vnitřní strukturu nukleonu. Skutečná silná interakce je způspbena nehmotnými gluony, její dosah je však 60

61 KAPITOLA 7. YUKAWŮV MODEL JADERNÝCH SIL omezen v důsledku gluon-gluonových interakcí. Detailně je tento problém vyřešen v rámci kvantové chromodynamiky QCD. 61

62 KAPITOLA 7. YUKAWŮV MODEL JADERNÝCH SIL 62

63 Kapitola 8 Symetrie a zákony zachování V přírodě se projevují symetrie, které mají zásadní vliv na řadu fyzikálních zákonů. Zejména zákony zachování určité veličiny jsou spojeny s nějakou existující symetrií. K tomuto tvrzení se vrátíme později při diskusi teorému Noetherové. Obrázek 8.1: Amalie Emmy Noether ( ), v Německu narozená matematička Symetrie můžeme rozdělit na spojité a diskrétní. Některé ze symetrií se v přírodě realizují přesně, jiné pouze přibližně, a některé symetrie jsou dynamicky spontáně narušeny. Než budeme moci prostudovat druhy symetrií, bude vhodné se stručně seznámit s terminologií a koncepty teorie grup, v jejímž rámci je problematika symetrií obvykle řešena. 8.1 Grupy a symetrie Uved me jako příklad rotace. Množina rotací systému tvoří grupu a každá rotace je prvkem Lieovy grupy. Složením dvou rotací R 1 a R 2 (které chápeme jako součin R 1 R 2 ) do- 63

64 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ staneme opět rotaci R 3, která je prvkem grupy. Množina rotací je tedy uzavřená ve smyslu násobení prvků. Součin prvků ale nemusí být komutativní, tj. R 1 R 2 R 2 R 1 0. Součin je ale asociativní, R 3 (R 1 R 2 ) = (R 3 R 1 ) R 2. Grupa rotací obsahuje jako prvek identitu odpovídající nulové rotaci. Grupa rotací je Lieova grupa. Důležité je, že každá rotace se dá složit z rotací infitezimálních (velmi blízkých identitě). Dá se proto říci, že vlastnosti grupy jsou definovány okolím identity. Nechceme, aby výsledky měření závisely na orientaci laboratorního systému, ve kterém měříme. Rotace proto musí tvořit grupu symetrií systému. Z hlediska kvantové mechaniky to znamená, že pravděpodobnosti přechodu v systému se nesmí měnit. Necht se například rotací změní stav systému ψ > ψ > = U ψ > Pravděpodobnost nalezení systému ve stavu φ > se nesmí s rotací změnit: < φ, ψ > 2 = < φ, ψ > 2 = < φ U + U ψ > 2. Proto U musí být unitární operátor. U(R 1 ), U(R 2 ) pak tvoří grupu se stejnou strukturou jako rorace R. Operátor U není časově závislý, a proto se s rotací nezmění ani pohybová rovnice ( Schrődingerova rovnice): i d dt ψ(t) > = H ψ(t) > a rovněž Hamiltonian zůstává nezměněn, nebot < φ H ψ > = < φ U + HU ψ > = < φ H ψ >, tudíž H = U + HU nebo UH HU = 0, což znamená, že U komutuje s Hamiltoniánem. Díky tomu platí, že se U s časem nemění - zachovává se - a je integrálem pohybu. Platí totiž: i d dt < ψ(t) U ψ(t) > = < ψ(t) UH HU ψ(t) > = 0 }{{} 0 Proved me nyní infitezimální rotaci o malý úhel ε kolem osy z, přičemž U aproximujeme jako U = 1 iεj 3. J 3 se nazývá generátor rotace kolem 3. osy. Tento operátor je Hermitovský, a tudíž odpovídá kvantově měřitelné veličině. Abychom zjistili o jakou veličinu se jedná, prostudujme jak působí tato rotace na vlnovou funkci. Pokud aktivně rotujeme rotací R vlnovou funkci, je rovna vlnové funkci původní v bodě rotovaném inverzně: 64

65 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ ψ ( r ) = ψ (R 1 r ) = Uψ U ψ(x, y, z) = ψ (R 1 r ). = ψ (x + εy, y εx, z) = = ψ(x, y, z) + ε ( y ψ x x ψ y ) = = (1 iε (xp y yp x )) ψ. Odtud vidíme, že J 3 = (xp y yp x ) je operátor třetí složky momentu hybnosti, který se zachovává (jehož vlastní hodnoty se zachovávají). Jak vidíme, symetrie vedla k existenci zákona zachování. Pokud budeme chtít realizovat libovolnou rotaci, můžeme ji složit z rotací elementárních: U(Θ) = (U(ε)) n = (1 i Θ n J 3) n lim n e iθj 3. Pokud obdobnou konstrukci provedeme pro ostatní osy zjistíme, že generátory J i tvoří Lieovu algebru a nekomutují spolu, tj. [J j, J k ] = i ε jkl J l, ε jkl = +1 pro cyklické permutace a ε jkl = 1 pro anticyklické permutace. Složky J spolu nekomutují, jedině jedna z nich - například J 3 je vhodná měřitelná. Obrázek 8.2: Hendrik Henk Brugt Gerhard Casimir ( ), holandský fyzik Se všemi generátory grupy komutují invarianty nazývané Casimirovy operátory. Pro grupu rotací existuje jediný takový operátor, J 2 = J J J 2 3. Pro tento operátor můžeme konstruovat současné vlastní hodnoty s J 3 : J 2 jm > = j(j + 1) jm > J 3 jm > = m jm >, 65

66 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ kde m = j, j + 1,...j a j nabývá hodnot 0, 1 2, 1, 3 2,... Rotační grupu lze reprezentovat pomocí Pauliho matic. V tomto případě je j = 1 2 a generátory lze vyjádřit jako J i = 1 2 σ i, i = 1, 2, 3 kde σ i jsou Pauliho matice. Pro tuto reprezentaci obvykle volíme sadu vlastních vektorů ( 1 0 ) a ( 0 1 ), které popisují částici projekcí spinu do třetí osy 1 2 (m = ), respektive 1 2 (m = 1 2 ). Množinu všech unitárních matic 2 2 nazýváme grupou U(2). Pokud tyto matice mají ještě nulovou stopu, jsou součástí podgrupy nazývané speciální unitární grupa ve 2 dimenzích SU(2). Reprezentace pomocí σ matic se nazývá fundamentální. Pokud potřebujeme skládat spiny, například u složených částic, musíme reprezentace skládat. Mějme například dvě částice s momentem hybnosti j A, j B, které chceme spojit a popsat systémem j A j B m A m B > j A m A > j B m B >. Například pro j A = j B = 1 2 můžeme dostat celkový spin J = 1 nebo 0. Symbolicky můžeme zapsat kombinaci dvou reprezentací 2 2 = 3 1. Dostaneme takzvaný spinový triplet J = 1, M = +1, 0, 1 a siglet J = 0. Při složení tří částic se spinem 1 2 můžeme zapsat (2 2) 2 = (3 2) + (1 2) = Obdržíme čtyři částice se spinem 3 2 a 2 dublety s = 1 2. Obdobně invariance Hamiltoniánu vzhledem k posunutí v prostoru má za následek zachování hybnosti. Vyjádříme-li elementární posunutí δ r, můžeme pro posunutou vlnovou funkci psát ψ = ψ (r + δr) = ψ(r) + δr ψ r = D ψ. Protože operátor hybnosti je p = i r, můžeme předešlý vztah přepsat jako D = 1 + i p δr. Konečné posunutí lze realizovat opět mnohonásobným opakováním posunutí elementárního: 66

67 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ D = lim n (1 + i p r n )n = e i p r. Protože D 1 = D, platí D 1 D = 1. Translace tedy opět tvoří spojitou grupu. Tento operátor komutuje s Hamiltoniánem, [D, H] = 0, a proto s ním komutuje i operátor hybnosti, [p, H] = 0, což je pouze jiným vyjádřením faktu, že hybnost se zachovává. Obdobně zákon zachování energie je důsledkem invariance Hamiltoniánu vzhledem k translaci v čase. Zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti vyplývají tedy ze základních symetrií času a prostoru. Odrážejí skutečnost že je lhostejno jak je orientovaný a umístěný souřadný systém ve kterém provádíme měření, a rovněž kdy měření provedeme. Isospin V předešlé diskusi grupy symerie SU(2) jsme probrali její možnosti při popisu částic se spinem. Obdobnou strukturu můžeme použít i k popisu isospinu. Isospin je vnitřním stupněm volnosti se dvěma povolenými stavy (proton, neutron), které silná interakce nerozlišuje. Máme tedy SU(2) symetrii, ve které generátory I i,j,k splňují komutační relace: [I j, I k ] = i ε jkl I l. Ve fundamentální reprezentaci I i 1 2 τ i, τ 1 = ( ) τ 2 = ( 0 i i 0 ) τ 3 = ( ). Působí na vlastní stavy p = ( 1 0 ) ( 0, n = 1 Nejkladněji nabitá částice se definuje tak, aby měla maximální hodnotu I 3. Isospin nukleonů se zavádí následovně: antinukleony zavedeme pomocí operátoru nábojového sdružení p = Cp, n = Cn. Uvažme rotaci dubletu (p, n) o úhel π: ). ( p n ) ( = e i π ( τ 2 ) p 2 = i τ 2 n ) = ( ) ( p n ). Aby se nukleony a antinukleony transformovaly stejně, musíme použít místo dubletu (p, n) dublet ( n, p), tedy ( n p ) = ( ) ( n p ). 67

68 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Systém složený z nukleonu a antinukleonu má isospinový triplet I = 1, I 3 = 1 > = p n I = 1, I 3 = 0 > = 2 (p p n n) I = 1, I 3 = 1 > = n p a isospinový singlet I = 0, I 3 = 0 > = 1 2 p p + n n. Grupa SU(3) je množina všech matic s jednotkovým determinantem. Jejími generátory jsou hermitovské matice 3 3 s nulovou stopou, kterých je osm. Fundamentální reprezentací této grupy je triplet barevných nábojů kvarků R = G = B = Pouze dva generátory jsou diagonální matice 3 3: λ 3 = λ 8 = Matice λ i se nazývají Gell-Mannovy matice a splňují komutační relaci. [ λ i 2, λ j 2 ] = i k f ijk λ k 2, kde f ijk jsou strukturní konstanty: f 123 = 1 f 147 = f 165 = f 246 = f 257 = f 345 = f 376 = 1 2 f 458 = f 678 = 3 2. Kromě popisu struktury silné interakce s třemi barevnými náboji se SU(3) uplatňuje i v kvarkovém modelu s u, d, s kvarky při popisu multipletů obsahujících podivné kvarky. K tomuto problému se vrátíme v oddíle týkajícím se kvarkového modelu. 68

69 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Je třeba rozlišit symetrie přesné a přibližné. Časoprostorové symetrie, spin, isospin a barevná SU(3) jsou považovány za symetrie přesné. SU(3) aplikovaná na u, d, s kvarky je pouze symetrie přibližná a to díky nenulové hmotnosti s kvarku. Dalším důležitým pojmem je spontánní narušení symetrie. Některé symetrie mohou být dynamicky samovolně narušeny, což má za následek vznik hmoty částic. Příkladem může být spontánní narušení symetrie lokální kalibrační SU(2) symetrie slabé interakce. Další zachovávající veličinou je elektrický náboj. Prodiskutujme nyní důvody, které k tomu vedou. Z rozpadu neutronu lze stanovit horní limit na nezachování náboje: n p ν e ν e n p e ν e < Z elektrické neutrality atomů lze usuzovat na to, že pozitivní a negativní náboje jsou stejné s přesností až q e + q p < 10 38, jinak by se nemohla realizovat gravitační interakce atomů. Přesné zachování náboje vyžaduje opět existenci symetrie, invariance vůči určité operaci. Touto symetrií je kalibrační invariance elektromegnetického pole. V kvantové mechanice nezávisí na volbě fáze vlnové funkce elektronu ψ = e ipx pokud se jedná o změnu globální (v celém prostoru stejná), ψ ψ e ieθ. p p µ x x µ p = ( p x E t) jsou čtyřvektory. Jiná situace ale nastane, pokud se fáze může v prostoru měnit, tedy e Θ = e Θ(x). Pak časoprostorový gradient celkové fáze je Θ x i (px + e Θ) = i (p + e x ). Elektrony interagují pomocí potenciálu A = ( A, iϕ). Efekt elektrostatického potenciálu ϕ na energii elektronu je E E eϕ. Pro 4-potenciál platí obdobně p p ea. Použijemeli tuto substituci ve vlnové funkci, dostaneme pro prostorovou derivaci fáze Θ x i (px eax + e Θ) = i (p ea + e x ). 4-potenciál můžeme rovněž redefinovat aniž by došlo ke změně maxwellových rovnic o gradient: A A + Θ(x) x... kalibrační transformace Aplikujeme-li tuto transformaci v předešlém vztahu D = i [ p + e Θ(x) x e (A + Θ(x) x )] = i (p ea). 69

70 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Invariance vzhledem ke kalibrační transformaci tedy znamená, že můžeme nabitou částici popsat s libovolným prostorovým rozložením fází φ(x), ale částici musíme svázat s elektromegnetickým polem, které kompenzuje fázové změny. Tato kompenzace funguje za předpokladu, že se nemění elektrický náboj nekonečného dosahu elektromagnetické interakce, tj. nulové klidové hmotnosti fotonu. Grupa, která popisuje toto chování elektromagnetismu, se nazývá U(1). D = i(p ea), či operátorově D = x iea, se nazývá kovariantní derivace. Nakonec se zmiňme o zachování baryonového a leptonového čísla. O baryonovém čísle předpokládáme, že se přesně zachovává, a experimenty to s velkou přesností potvrzují (např. limit na poločas rozpadu protonu τ(p e + π 0 ) > let). Nicméně není známo pole, které by mohlo zajistit lokální kalibrační invarianci jako v případě elektromagnetismu. Celkové leptonové číslo se v našem chladném vesmíru taktéž zachovává, ale rovněž není hlubší teoretický důvod, proč by to mělo být takto absolutně. Díky současné převaze baryonů nad antibaryony lze očekávat, že musí existovat mechanismy, které zachování baryonového čísla narušují. Tím jsme vyčerpali přehled spojitých symetrií a s nimi souvisejících zachovávajících se veličin. Nyní se budeme věnovat symetriím diskrétním. 8.2 Diskrétní symetrie Pod diskrétními symetriemi budeme rozumět: zrcadlení podle počátku, které budeme popisovat pomocí operátoru parity náboje sdružení měnící znaménko elektrického náboje časovou inverzi, tedy obrácení směru času Dále budeme zkoumat invarianci, popřípadě narušení kombinací těchto operací Parita Transformaci vyjadřující zrcadlení prostorových souřadnic podél počátku označujeme jako pozitivní transformaci: x i x i = x i Systém je invariantní vůči paritní transformaci pokud se touto transformací nezmění jeho Hamiltonián: H( x 1, x 2,...) = H( x 1, x 2,...) = H( x 1, x 2,...) 70

71 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Parita není v přírodě přesnou symetrií. Pouze u silné a elektromagnetické interakce je Hamiltonián vůči této transformaci invariantní, tato invariance je porušena ve slabých interakcích. Zaved me nejdříve operátor parity P ψ( x, t) = P a ψ( x, t), pro který platí P 2 ψ( x, t) = ψ( x, t). Odtud plyne, že operátor P může mít dvě vlastní hodnoty P a = ±1, kde index a označuje druh částice. P a se nazývá intrinsická parita částice v klidu, nebo zkráceně parita částice. Intrinsické parity částic jsou uvedeny v tabulkách vlastností částic. Níže uvedeme příklady určení intrinsických parit některých částic. Ve složeném systému zobecňujeme operátor parity jako P ψ( x 1, x 2,..., t) = P 1 P 2 ψ( x 1, x 2,..., t) Pro částice s nenulovým momentem hybnosti pozorujeme jeho vliv na celkovou paritu vlnové funkce. Například pro částici v centrálním poli dostáváme vlnovou funkci ve tvaru úměrném sférickým harmonickým funkcím Y e m : ψ nlm ( x) = R nl (r) Y l m Zrcadlení kartézských souřadnic odpovídá ve sférických souřadnicích Y l m (Θ, φ) Y l m (π Θ, π + φ) = ( 1) l Y l m (Θ, φ)- Proto ψ nlm ( x) je vlastním stavem operátoru parity s paritou P a ( 1) l. Pokud je Hamiltonián invariantní vůči transformaci parity, můžeme tvrdit, že parita se zachovává a operátor parity komutuje s Hamiltoniánem, [P, H] = 0. Z toho vyplývá, že parita počátečního stavu je stejná jako parita koncového stavu reakce parita je vhodným kvantovým číslem pro silně a elektromagneticky vázané stavy, které ji nemění Zdůrazněme znovu, že to platí pro silné a elektromagnetické interakce. Určení parity pionů Paritu neutrálního pionu π 0 lze určit, obdobně jako v případě positronia, ze vzájemné orientace polarizace fotonů v procesu π 0 2γ. Neutrální pion π 0 v počátečním stavu má nulový orbitální moment hybnosti J = 0. Systém dvou vzniklých fotonů můžeme popsat například vlnovými funkcemi ψ 1 (2γ) = A( ɛ 1 ɛ 2 ) cos φ ψ 2 (2γ) = B( ɛ 1 ɛ 2 ) k sin φ, 71

72 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ zde ɛ 1, ɛ 2 jsou polarizační vektory fotonů kolmé na směr hybnosti fotonů k, k; φ je úhel mezi polarizačními vektory. ψ 1 je skalární, a tudíž vzhledem k zrcadlení souřadnic sudá. ψ 2 je součinem axiálního a polárního vektoru, tudíž se při zrcadlení chová jako pseudoskalár a mění znaménko, což odpovídá P = 1. Experimentálně byla zjištěna závislost intenzity I(φ) = ψ 2 = sin 2 φ. Tudíž π 0 je pseudoskalární částice s paritou P π 0 = 1. Parita nabitých π mesonů π ± Parita π byla demonstrována v reakcích π +d n+n pro piony zastavené v deuteriu, P π = 1. Klasifikace částic podle orbitálního momentu a parity Orbitální moment hybnosti a paritu obvykle zapisujeme v notaci J P. Pro π 0 je J P = 0. 0 pseudoskalární částice 0 + skalární částice 1 vektorová částice 1 + axiální vektorová částice Parita částic a antičástic Pro fermiony platí, že intrinsická parita částice je opačná, než intrinsická parita její antičástice. Platí proto vztah P f P f = 1. ( ) Z tohoto vztahu ovšem nemůžeme určit paritu samotného fermionu či antifermionu. Proto konvenčně zavádíme pro leptony P e = P µ = P τ 1 P e + = P µ + = P τ + 1 a obdobně pro kvarky P u = P d = P s = P c = P b = P z = 1 72

73 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Pū = P d = P s = P c = P b = P z = 1. Předpověd ( ) může být ověřena experimentálně, jak to provedli v roce 1950 Wu a Shaknov K anihilaci e + + e γ + γ dochází z vázaného stavu e + e nazývaného positronium. Pokud je positronium ve spinovém singletu 1 S 0, říkáme mu parapositronium. Jedná se o stav S s nulovým orbitálním momentem hybnosti, takže jeho parita je pouze součinem intrinsických parit P e + P e. Intrinsická parita fotonu je P γ = 1, P γ 2 = 1. Parita v procesu se zachovává, a proto můžeme napsat P e + P e = P γ P γ ( 1) lγ. Takže pomocí studia polarizace vylétávajících fotonů, kterou lze určit z anisotropie Comptonova rozptylu. Experiment ukazuje, že vznikající fotony mají navzájem ortogonální polarizace. Parita mesonu Pomocí konvenčního přiřazení parit kvarkům a antikvarkům můžeme konstruovat parity jejich vázaných stavů. Paritu mesonu (a b) můžeme vyjádřit jako P M = P a P b ( 1) L = ( 1) L+1, kde L je orbitální moment hybnosti. Parita baryonu Paritu baryonu můžeme vyjádřit obdobně jako u mesonu: P B = P a P b P c ( 1) L 12 ( 1) L 3 = ( 1) L 12+L 3, kde L 12, L 3 jsou vnitřní orbitální momenty hybnosti. 73

74 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Obrázek 8.3: Vnitřní orbitální momenty hybnosti v baryonu Parita antibaryonu: P B = Pā P b P c ( 1) L 12 ( 1) L 3 = P B. Nábojové sdružení Nábojové sdružení můžeme popsat operátorem C, který nahradí všechny částice antičásticemi. Jinak jejich stav zůstává nezměněn, mají stejné polohy a hybnosti. Vůči nábojovému sdružení jsou invariantní elektromagnetické a silné interakce. Symetrie vůči nábojovému sdružení je narušena ve slabé interakci. Nábojové sdružení mění náboj částice a její magnetický moment. Pokud je částice nabitá, je od své antičástice odlišná. Nábojové sdružení na ni působí následovně: C a, ψ >= ā, ψ >, symbol a, ψ > označuje stav s částicí a a vlnovou funkcí ψ určující její vlastnosti (hybnost, spin...). Do této skupiny patří kromě nabitých částic i neutron, který má nenulový magnetický moment. V případě, že je částice identická se svou antičásticí, jako například α = γ, π 0, působí na ni nábojové sdružení následovně: C α, ψ >= C α α, ψ >, C α je faktor, kterému - analogicky se zavedením parity - budeme říkat C-parita. Platí C 2 = 1, a proto opět možné hodnoty C α jsou ±1. 74

75 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Částice identické se svými antičásticemi jsou vlastními stavy operátoru C. C-paritu lze zjistit díky invarianci vůči nábojovému sdružení. Pro stav složený z částic typu α a a můžeme operaci nábojového sdružení vyjádřit jako C α 1 α 2 ; a 1 a 2 ; ψ >= C α1 C α2 α 1 α 2 ; a 1 a 2 ; ψ >. Pro částice typu neidentické s antičásticemi má smysl konstruovat vlastní stavy C jen pro pár částice - antičástice: C aψ 1, āψ 2 >= āψ 1, aψ 2 >= ±1 aψ 1, āψ 2 >, přičemž + odpovídá stavu symetrickému vůči záměně částice a antičástice a - stavu antisymetrickému. Pokud máme fermion-antifermionový pár f f ve stavu s celkovým spinem S a orbitálními kvantovými čísly L, J, bude nábojové sdružení znamenat C f f, J, L, S >= ( 1) L+S f f, J, L, S >. Pro π 0, který je 1 S 0 stavem, je C π 0 = 1. Tuto předpověd potvrzuje experimentálně pozorování rozpadů π 0 γγ. Platí C γ = 1, a proto rozpad π 0 γγγ by narušil zachování C-parity, a z tohoto důvodu je zakázán. Pokud by zakázán nebyl, byl by poměr rozpadů do 2 γ a 3 γ kanálu α (= ): R = Γ (π0 3 γ) Γ (π 0 2 γ) = α. Experimentálně je ale zjištěno, že R < , což je podstatně menší, než je α. Tato skutečnost potvrzuje zachování C-parity a zároveň fakt, že C γ = Časová inverze Invariancí vůči časové inverzi (obrácení znaménka času) nebo T-invariancí máme na mysli nezávislost systému na transformaci t t = t, přičemž všechny prostorové poziční vektory zůstávají nezměněny. Vůči této transformaci je invariantní silná i elektromagnetická interakce, nikoli však interakce slabá. T-invariance nemá za následek žádný zákon zachování, vysvětluje vztah mezi reakcí a její časově převrácenou verzí, ve které zaměníme vstupní a výstupní produkty. Při této transformaci musíme změnit znaménko u hybnostní p a a z-komponent spinu (m a ): p a p a, m a = m a. 75

76 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Pro proces a) a ( p a, m a ) + b ( p b, m b ) c ( p c, m c ) + d ( p d, m d ) a reakci časově převrácenou b) c ( p c, m c ) + d ( p d, m d ) a ( p a, m a ) + b ( p b, m b ) pak v silných a elektromagnetických interakcích zjišt ujeme, že probíhají stejnou rychlostí. Pokud zároveň uplatníme paritní transformaci, dostaneme reakci c) c ( p c, m c ) + d ( p d, m d ) a ( p a, m a ) + b ( p b, m b ). Po vystředování přes všechny spinové stavy se reakce a) a c) liší pouze záměnou počátečních a koncových stavů i a f: i a ( p a ) + b ( p b ) c ( p c ) + d ( p d ) f. Rychlost reakce v obou směrech je pak stejná. Tuto skutečnost nazýváme principem detailní rovnováhy. Pomocí tohoto principu lze ověřit například nulový spin π mesonu. Uvážíme-li reakci i) p + p π + + d a časově převrácenou ii) π + + d p + p probíhající se stejnou těžišt ovou energií zjistíme, že diferenciální účinný průřez reakce i) je dσ (p+p π + +d) d cos Θ = (2Sπ+1)(2S d+1) 2π p π 2 v i v f m if 2, pro reakci obrácenou dσ (π + +d p+p) d cos Θ = (2Sp+1)2 2π p 2 p v i v f m fi 2, kde Θ je úhel rozptylu, p π, p p jsou velikosti hybnosti π mesonu a protonu a v i, v f jsou relativní vzájemné rychlosti pp a π + d párů v soustavě jejich těžiště. Zbývající člen je maticový element přechodu vystředovaný přes všechny spinové stavy. Počty spinových 76

77 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ stavů se odrážejí ve faktorech obsahujících (2S + 1). Princip detailní rovnováhy odpovídá tomu, že m if 2 = m fi 2. Pokud budeme zkoumat poměr uvedených účinných průřezů, dostaneme dσ (p+p π + +d) dσ (π + +d p+p) = 3 ( pπ p p ) 2 (2 S π + 1), přičemž jsme předpokládali spiny S p = 1 2 a S d = 1. Poměr je tedy citlivý ke spinu π + mesonu. Tímto způsobem byl stanoven jeho nulový spin S π = CP invariance Invariance vůči kombinované C a P transformaci byla dlouho považována za univerzální. Až v roce 1964 bylo [Chrestensonem et. al] experimentálně zjištěno, že neutrální kaony K L 0 se rozpadají nejen na tři π s CP = 1, ale jejich část 10 3 rovněž na dva π s CP = +1. Důvod narušení CP invariance není dosud znám. Předpokládá se, že narušení CP invariance je nutné k tomu, aby ve vesmíru mohla vzniknout pozorovaná převaha baryonů nad antibaryony. Díky zachování CPT invariance narušení CP invariance implikuje rovněž narušení T invariance. Experimentálně bylo narušení T invariance zkoumáno srovnáním reakcí, pro které platí princip detailní rovnováhy. Odtud plyne limita na T narušení < K tomu je využívána reakce p + 27 Al d + 24 Mg veličina T P pozice r r r hybnost p p p spin σ axiální (r p) vektor σ σ elektrické pole E = ϕ E E magentické pole B axiální vektor B B magetický dipolový moment σ B σ B σ B elektrický dipolový moment σ E σ E σ E podélná polarizace σ p σ p σ p příčná polarizace σ ( p 1 p 2 ) σ ( p 1 p 2 ) σ ( p 1 p 2 ) 77

78 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Vliv T a P operací na veličiny V systému neutrálních K 0 experimentálně pozorujeme stavy K S a K L s různou dobou života. Tyto stavy jsou ovšem směsí stavů K 1, který je vlastním stavem CP = +1 a K 2 náležejícího k CP = 1. Amplitudy pro stavy K S a K L můžeme vyjádřit jako 1 K L = (K 1+ ε εk 1 ) 1 K S = (K 1+ ε 2 1 εk 2 ), přičemž ε je malý parametr charakterizující CP narušení. Narušení CP je uváděno obvykle pomocí veličin η + = ampl (K L π + π ) ampl (K S = 2.29 π + π 10 3 ) η 0 0 = ampl (K L π 0 π 0 ) ampl (K S π 0 π 0 ) = K L i K S se rozpadají do stejného koncového stavu, mohou tedy existovat interferenční jevy v π + π signálu. Závislosti intenzity rozpadů na čase lze vyjádřit jako I 2π (t) = I 2π (0) [e Γ S t + η + 2 e Γ L t + 2 η + e ( Γ L +Γ S 2 )t )] cos ( m t + φ + ), přičemž t je vlastní čas částice. Fázový úhel mezi K S a K L amplitudami je φ + = 43.7 ± 0.6. Pro rozpad na dva neutrální π 0 je φ 0 0 = 43.5 ± CPT invariance V současné době se předpokládá, že všechny interakce jsou invariantní vůči kombinaci transformací C, P, T provedené v libovolném pořadí. Díky CPT invarianci musí mít částice a antičástice stejnou klidovou hmotnost, dobu života a opačné náboje a magnetické momenty. Toto by zajišt ovala C invariance, kdyby nebyla narušena ve slabých interakcích. CPT invariance je experimentálně dosti přesně potvrzena řadou měření srovnávajících vlastnosti částic a antičástic. Nejpřesnější z nich uvádíme v tabulce: (M k 0 M k0)/(m k 0 + M k0) < (M e + M e )/(M e + + M e ) < Q p Q p < (µ e + µ e )/(µ e + + µ e ) = 3 ±

79 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ (τ µ + τ µ )/(τ µ + + τ µ ) < 10 4 Pozn.: µ = e e σ = g S 2m 2m Pozn.: Připomeňme, že helicita λ částice je definována jako projekce jejího spinu do směru jejího pohybu vydělená velikostí spinu. Obrázek 8.4: K definici helicity částic V přírodě se vyskytují pouze neutrina levotočivá ν L a antineutrina pravotočivá ν R. To narušuje C invarianci, která by vyžadovala, aby antineutrino bylo levotočivé, a narušuje to rovněž P invarianci, protože ta vyžaduje, aby obě helicity neutrina (L, R) měly stejné slabé interakce. Operátor parity mění směr hybnosti, ale zachovává spin nezměněný. Transformuje proto ν L ν R. Pouze kombinované působení CP transformuje levotočivá neutrina ν L v pravotočivá antineutrina ν R, která jsou pozorována. Obrázek 8.5: Kombinované působení CP transformuje levotočivá neutrina v pravotočivá antineutrina pozorovaná v přírodě Jak je patrno, je význam symetrií v přírodě zcela zásadní. Symetrie mají za následek existenci zachovávajících se veličin a tvoří rovněž základ struktury částic. Důležité jsou rovněž případy narušení symetrií. Spontánní narušení symetrie je odpovědné například za specifické chování slabé interakce a v jeho důsledku získávají některé 79

80 KAPITOLA 8. SYMETRIE A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ částice nenulové klidové hmotnosti. Se symetriemi a zákony zachování se proto budeme setkávat v subatomové fyzice stále. Na závěr uved me přehled zachovávajících se veličin. Přehled zachovávajících se veličin veličina silná interakce elektromagnetická slabá interakce interakce hybnost, energie el. náboj baryonové číslo celkové leptonové číslo CPT P ( parita) + + C (nábojové sdružení) + + CP (nebo T) + + narušení 10 3 I (isospin) + Mezi uvedenými veličinami existují určité vztahy. Jedním z nich je vztah mezi nábojem, isospinem I 3, baryonovým číslem a podivností, který lze zapsat jako Q e = I 3 + B+S 2 = I 3 + Y 2, kde Y je takzvaný hypernáboj. Jak uvidíme v oddíle týkajícím se kvarkového modelu, právě hodnoty isospinu I 3 a hypernáboje Y budeme využívat při zobrazení SU(3) multipletů popisujících mesony a baryony. 80

81 Kapitola 9 Těžké kvarky a experimentální cesta k jejich objevům Objevem s kvarku však historie objevů nekončí. V roce 1974 byl objeven další, ještě těžší kvark. Byl nazván kvarkem půvabným (charm quark), zkráceně C kvark. C kvark byl objeven ve vázaném stavu c c nyní nazývaném J/ψ s klidovou hmotností GeV/c 2. K objevu tohoto vázaného stavu dospěly nezávisle dvě experimentální skupiny v Brookhavenské národní laboratoři (BNL) a ve Stanfordském středisku lineárního urychlovače (SLAC). Tyto skupiny použily zcela rozdílné experimentální postupy. Pro ilustraci nyní oba experimenty popišme. Tým vedený Samuelem Tingem v BNL studoval reakce p + p e + + e + X, přičemž svazek protonů s hybností 28.5 GeV dopadal na beryliový terčík. Snažili se nalézt události, při kterých by vznikala předpokládaná částice J/ψ, která by se posléze rozpadla na pár e + e. Pro rekonstrukci tohoto procesu můžeme využít faktu, že invariantní hmota e + e páru vzniklého rozpadem částice je rovna klidové hmotě této částice. Invariantní hmota je relativistickým invariantem, a tudíž nezáleží na tom, v jaké souřadné soustavě ji určíme. To je důležité i v tom našem příkladu, kdy se těžká J/ψ částice rodí téměř v klidu v souřadném systému spojeném s těžištěm p p srážky. Tento systém se ovšem vůči laboratornímu systému, ve kterém měříme úhly výletu částic a jejich hybnosti, pohybuje. Invariantní hmota M je definována vztahy M 2 = E 2 P 2 = ( n E i ) 2 n p i 2, i i 81

82 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM přičemž E, P jsou energie a velikost hybnosti mateřské částice, která se rozpadá na n produktů s energiemi a 3-hybnostmi E i, p i. Energii určíme z relativistického vztahu E 2 = p 2 + m 2. Pro příklad uved me postup výpočtu M pro zmíněný dvoutělesový rozpad X e + + e : E = E + + E = p m e 2 + p 2 + m e 2 E 2 = p m e p m e 2 p 2 + m e 2 + p 2 + m e 2. Podle kosinové věty platí P 2 = P + 2 P 2 2 P + P cos α, ale v našem případě měříme doplňkový úhel Θ, takže platí: cos α = cos (π Θ) = cos Θ P 2 = P + 2 P 2 2 P + P cos Θ. Obrázek 9.1: K výpočtu invariantní hmoty páru částic Takže invariantní hmota je rovna M 2 = P + 2 +P 2 +2m e 2 +2 p m e 2 p 2 + m e 2 P + 2 P 2 2 P + P cos Θ = 2m e p m e 2 p 2 + m e 2 2 P + P cos Θ. Brookhavenský experiment použil dvouramenný spektrometr, který detekoval v každém z ramen jeden z rozpadových produktů. Úhel mezi těmito rameny byl přibližně 30. Uvažme nyní, zda je možné zanedbat klidovou hmotnost elektronu, což by vedlo ke značnému zjednodušení vztahu pro invariantní hmotu. 82

83 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM m e = 511 kev = GeV/c 2 m e 2 = GeV 2 /c 4. Pro Θ. = 30 je faktor 1 cos Θ. = Pokud zanedbáme m e, dostaneme zjednodušený vztah M 2 = 2P + P (1 cos Θ). Pokud budemem ještě předpokládat, že P + = P, můžeme odhadnout typickou hybnost elektronů ze vztahu M 2 = 0.28 P 2. Uvážíme-li, že chceme prozkoumat oblast kolem M = 3 GeV, dostaneme pro typické hybnosti P = 3 2 GeV =5.7 GeV/c a P 2 = 32 GeV 2 /c 2. Ve výrazu pro energii můžeme tedy s jistotou m 2 e zanedbat, nebot je o 8 řádů menší, než typická hybnost elektronu, a relativní přesnost měření hybnosti je 1%. Podobně můžeme rekonstruovat i π 0 mesony rozpadající se na 2 γ, jejichž hybnosti a úhel mezi nimi změříme v elektromagnetickém kalorimetru. Dalším experimentálním problémem je potlačení pozadí v detektorech způsobené dalšími částicemi vzniklými při p p srážce. Toho bylo dosaženo Čerenkovovými detektory (C) schopnými podle rychlosti rozlišit elektrony a positrony od ostatních těžších částic. K měření energie elektronů sloužil elektromagnetický kalorimetr (S), který rovněž přispěl ke snížení pozadí nabitých hadronů. Mnohodrátové proporcionální komory (D) umožňovaly rekonstrukci bodů dráhy až 8 nabitých částic současně. Dipolové magnety (M) jednak odchylovaly částice od osy svazku, což přispělo ke snížení pozadí, jednak sloužily k určení náboje a hybnosti prolétajících nabitých částic. Vhodnou volbou magnetické indukce tedy bylo možno nasměrovat do spektrometru pouze určitou část částic produkovných při srážce. Celkově se podařio potlačit pozadí faktorem 1:10 8, což je nutné díky malému účinnému průřezu vzniku částice s tak velkou hmotou a také proto, že pouze 5.93 % J/ψ se rozpadá na e + e. Tímto způsobem byla na pozadí z nekorelovaných e + e párů objevena úzká rezonance s invariantní hmotou 3.1 GeV/c 2. Šíře maxima odpovídala rozlišení spektrometru při měření hybnosti a úhlu. Tak úzká rezonance nemohla být zformována z lehčích kvarků. V takovém 83

84 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM případě by došlo k rychlému rozpadu na lehčí objekty a šíře rezonance by byla mnohem větší. K diskusi tohoto problému se vrátíme v oddíle věnovaném spektru kvarkonií. Experiment v laboratoři SLAC provedený v témže roce týmem vedeným Burtonem Richterem využíval inverzního procesu e + + e X, kde X jsou všechny stavy povolené zákony zachování. Změnou energie anihilujících e + e svazků tak lze prozkoumat energetickou závislost účinného průřezu produkce hadronů. V oblasti energií blízké 3.1 GeV se uplatní rovněž proces e + + e J/ψ hadrony, pokud taková částice existuje. Experiment byl proveden na urychlovači SPEAR pomocí detektoru MARK-I, který byl prototypem mnohovrstvých válcových detektorů známých z moderních urychlovačů (LEP, LHC a dalších). Detektor pokrýval 65 % z prostorového úhlu. Sestával ze spouštěcího válcového detektoru obepínajícího svazkovou trubici a z jiskrové komory umožňující měření hybnosti a náboje částic ze zakřivení jejich drah v magnetickém poli. Vně byly umístěny další spouštěcí komory a vinutí selenoidního magnetu, za ním pak elektromagnetický kalorimetr odlišující elektrony od hadronů, jho magnetu a mionové detektory. Detektor tak mohl dosti přesně určit množství vznikajících hadronů v závislosti na energii. V oblasti energie 3.1 GeV/c 2 bylo objeveno maximum odpovídající jedné částici. Později byla hmota upřesněna na GeV/c 2. Jak jsme viděli, je možno k detekci částic použít i zcela inverzních procesů diktujících následně i odlišné konstrukce použitých detektorů. Oba vedoucí zmíněných týmů obdrželi v roce 1976 za tento objev Nobelovu cenu za fyziku. V roce 1977 se historie téměř opakovala. V laboratoři Fermilab byla skupinou vedenou Leonem Ledermanem objevena částice Υ o klidové hmotnosti 9.5 GeV. Υ byla objevena ve srážkách proton - jádro v experimentu s pevným terčíkem (E288). Proces rekonstruovaný dvouramenným mionovým spektrometrem byl rozpad p + A Υ + X µ + + µ + X. Opět se ukázalo, že se jedná o vázaný stav těžkého kvarku a antikvarku b b. J/ψ je pouze jedním z možných vázaných stavů systému c c nazývaného charmonium. V následující tabulce je uveden přehled stavů pro systém c c a b b: 84

85 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM n J PC pozorovaný c c stav pozorovaný b b stav 1 1 S η c (2980) S 1 1 J/ψ (3097) Υ (9460) 2 1 S S 1 1 ψ (3686) Υ (10023) 2 3 P χ c0 (3415) χ b0 (9860) 2 3 P χ c1 (3511) χ b1 (9892) 2 3 P χ c2 (3556) χ b2 (9913) 2 1 P kde C-parita C = ( 1) L+S a parita P = ( 1) L+1, klidová hmotnost je uvedena v MeV. Klidová hmotnost J/ψ a Υ se nachází pod prahem párové produkce mesonů obsahujících půvabný c kvark a antikvark (ū, d, s) - D mesonů, respektive obsahujících b kvark a jeden z lehkých antikvarků - B mesonů. Proto jsou šíře rezonancí Γ těchto částic menší než u kvarkonií těžších, které se mohou rychle rozpadnout na dva D mesony. Obrázek 9.2: Leon Lederman ( ), americký fyzik, nositel Nobelovy ceny za objev mionového neutrina, objevitel částice Υ 85

86 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM Šířka rezonance Šířka rezonance Γ pozorovaná v energetické závislosti účinného průřezu σ(e) může být popsána Breit- Wignerovou distribuční funkcí: σ(e) = σ(e 0) πγ 1 [ Γ π (E E 0 ] = σ(e 0) Γ 2 ) 2 +Γ 2 (E E 0 ) 2 Γ 2 Γ π [(E E 0 ) 2 +Γ 2 ] funkce f(e, E 0, Γ) = je Cauchyho rozdělení hustoty pravděpodobnosti. Jeho amplituda v R maximu je 1 a de f(e) = 1; Γ charakterizuje šířku rozdělení a platí, že f(e E π Γ 0 = Γ) = 1 f(e0). 2 Toto rozdělení nemá definovanou střední hodnotu ani vyšší momenty. Normalizační faktor π Γ je přidán abychom získali jednotkovou hodnotu hustoty pravděpodobnosti v maximu. Šířka rezonance a doba života jsou k sobě vztaženy přes princip neurčitosti Γ τ = /2π. Čím menší šířka rezonance, tím delší je doba jejího života. Důvod malé šířky rezonance J/ψ je možné vysvětlit následovně. Při rozpadu J/ψ se může uplatnit několik procesů. Jako příklad uved me J/ψ π 0 π + π a J/ψ D D, které lze graficky znázornit jako Obrázek 9.3: Třípionový rozpad částice J/Ψ Druhý z těchto rozpadů není energeticky možný, protože m J/ψ < 2 m D 0. První proces vyžaduje anihilaci c c páru a je potlačen dle OZI pravidla preferujícího procesy kde k anihilaci nedochází. 86

87 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM Obrázek 9.4: Rozpad částice J/Ψ na dvojici D mesonů (energeticky není možný) OZI pravidlo je pojmenováno po fyzicích Okubovi, Zweigovi a Iizukovi, kteří v 60. letech zjistili, že procesy popsané diagramy, které se rozpadnou na dva, pokud přerušíme gluonové linie, jsou potlačeny. Příkladem může být rozpad φ π 0 π + π, který může být znázorněn Obrázek 9.5: Třípionový rozpad Φ mesonu je potlačen diky OZI pravidlu Tento proces je potlačen oproti rozpadu φ K + K : 87

88 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM Obrázek 9.6: Dvoukaonový rozpad Φ mesonu Při procesu anihilace musí totiž vzniknout gluony s hybností minimálně tak velkou, aby dostačovala k produkci všech kvarků koncového stavu. Čím větší je přenesená hybnost (q2 ), tím menší je velikost α s a procesy tudíž nastávají s menší pravděpodobností. V případě rozpadu J/ψ e + e probíhá proces Obrázek 9.7: Rozpad J/Ψ na leptonový pár a ten nastává díky malé hodnotě vazebné konstanty α s daleko menší pravděpodobností, než rozpady výše uvedené. Nejlehčí mesony obsahující c kvark jsou, jak jsme již řekli, D mesony c q, kde q = u, d, s. Zde je jejich přehled: 88

89 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM meson kvarkový obsah klidová hmotnost MeV doba života ( s ) J P D 0 ūc D + dc D s sc D 0 ūc Γ < 2.1 MeV 1 D + dc Γ 1.1 MeV 1 + D s sc Γ 4.5 MeV 1 Ke každé částici existuje samozřejmě nábojové sdružená antičástice. Nejlehčí D mesony se již nemohou dále rozpadat ani silnou interakcí, ani elektromagneticky. Setrvají proto v tomto stavu dokud nedojde ke slabému rozpadu, který může transformovat c kvark na některý z lehčích kvarků. Jako příklad uved me rozpad D K + π + π nebo rozpad D 0 K π, které lze znázornit následujícími diagramy: Obrázek 9.8: Třítělesový rozpad nabitého D mesonu 89

90 KAPITOLA 9. TĚŽKÉ KVARKY A EXPERIMENTÁLNÍ CESTA K JEJICH OBJEVŮM Obrázek 9.9: Dvoutělesový rozpad neutrálního D mesonu Nejlehčí z částic obsahujících b kvark jsou B mesony, které jsou tvořeny kombinací b q, kde q = u, d, s, c. V následující tabulce jsou shrnuty jejich vlastnosti: částice kvarkový obsah isospin spin a parita J P M [GeV] S C B τ ( s) B + u b B 0 d b B s 0 s b B c + c b Jejich antičástice obsahují příslušné antikvarky. Dlouhé doby života jsou opět způsobeny tím, že se mohou rozpadat pouze slabým rozpadem. Těžké kvarky semohou podílet i na vzniku baryonů. Podrobněji se k nim vrátíme v kapitole zabývající se kvarkovým modelem. Nejtěžší z šestice kvarků - top kvark, t - byl objeven experimenty DO a CDF v laboratoři Fermilab v roce Jeho klidová hmotnost je m t = GeV. Doba života je však tak krátká, že netvoří vázané stavy. Rozpadá se převážně na hadrony obsahující b kvark. 90

91 Kapitola 10 Slabé interakce Obrázek 10.1: Enrico Fermi (1901?1954), italský teoretický fyzik, tvůrce prvního jaderného reaktoru, přispěl k rozvoji kvantové teorie, teorie elementárních částic a statistické fyziky. Obrázek 10.2: Carlo Rubbia ( ), italský fyzik, objevitel W a Z bosonů V předešlých kapitolách jsme se seznámili se základními vlastnostmi slabé interakce a s několika procesy, za které je odpovědná. Nyní se jí budeme věnovat podrobněji a 91

92 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE naznačíme, jak působí na leptony a kvarky. Jak již víme, je slabá interakce zprostředkována výměnou těžkých intermediálních W ± a Z 0. Jejich klidové hmotnosti jsou M W = 80.3 GeV/c 2 a M Z = 91.2 GeV/c 2. Z nich vyplývá typický dosah slabé interakce R W R Z fm, což je mnohem méně, než rozměr nukleonu ( 1 fm). V nízkoenergetické limitě můžeme považovat dosah interakce za nulový - tak, jak uvádí původní Fermiho teorie jaderného β rozpadu n p + e + ν e odpovídající kvarkovému procesu. Obrázek 10.3: Čtyřfermionová interakce jako limitní případ výměny W +/ s nekonečnou hmotností Výměny nabitých W ± bosonů se nazývají reakce s nabitými proudy. Reakce, kterých se účastní neutrální boson Z 0, se nazývají reakcemi s neutrálními proudy. Prozkoumejme nejdříve reakce nabitých W ± bosonů s leptony a kvarky Reakce W ± s leptony Tyto reakce mění druh leptonu, což lze demonstrovat na základních procesech: Obrázek 10.4: Základní procesy interakce W s leptony 92

93 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Z těchto procesů lze zkonstruovat následujících osm základních reakcí: Obrázek 10.5: Základní reakce W s leptony Dalších osm procesů obdržíme nahrazením všech částic jejich antičásticemi. Všechny tyto reakce zachovávají leptonová kvantová čísla L e, L µ, L τ. Za lepton (l) můžeme v těchto reakcích dosadit elektron, mion, tau lepton (l, µ, τ). Obdobně jako u elektromagnetické interakce můžeme charakterizovat její vazbovou konstantu α W. Její řádovou velikost můžeme odhadnou například pomocí rozměrové analýzy procesu W e ν. Šířka rezonance Γ(W e ν) = 0.2 GeV má rozměr [E], protože v přirozených jednotkách je rozměr času [E 1 ] a protože τ = 1 Γ. Rychlost rozpadu je úměrná M W a α W : Γ α W M W 80 α W [GeV] z čehož vyplývá, že α W 1/400 O(α). Jak je patrné, je slabá interakce srovnatelně silná s interakcí elektromagnetickou. Pro energie E M W se však slabá interakce jeví jako mnohem slabší. Pro tuto energetickou oblast můžeme procesy aproximovat jako čtyřbodovou interakci, jejíž pravděpodobnost je určena Fermiho kostantou G F = GeV 2. Zároveň ale platí vztahy: 93

94 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE G 2 F = g W 2 M 2 W = 4π α W M W 2, kde g W je vazbová konstanta spojená s interakčními vrcholy lepton - boson. Z tvaru výše uvedeného vztahu vidíme, že malá hodnota Fermiho konstanty je způsobena velkou hmotností W bosonu, která vystupuje ve jmenovateli v druhé mocnině. Sama výše zmíněná α W g W 2 /4π = = 0.58 α, což potvrzuje hrybý odhad uvedený výše. Obrázek 10.6: Aproximace výměny W čtyřfermionovou interakcí 10.2 Slabé interakce hadronů Slabá interakce hadronů probíhá tak, že konstituentní kvarky obsažené v hadronech emitují nebo pohlcují W ± a Z 0 bosony. Zjednodušeně můžeme říci, že slabé interakce prvních dvou generací kvarků (*) jsou totožné se slabými interakcemi dvou generací leptonů (**): (*) ( u d ) ( c s )... tato struktura s c kvakem byla předpovězena Glashowem, Iliopulosem a Mianim jako (GIM) model v roce 1970 (**) ( νe e ) ( νµ µ ) To znamená, že pro kvarky obdržíme elementární reakční vrcholy nahrazením ν e u, e d, ν µ c, µ s v tabulce W + procesů pro leptony. Přitom g W zůstává stejná. 94

95 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Obrázek 10.7: Sheldon Lee Glashow ( ), americký fyzik, spolutvůrce Standardního modelu částicové fyziky Obrázek 10.8: John Iliopoulos ( ), řecký fyzik, spolutvůrce Standardního modelu částicové fyziky Nyní uvažujme g W = g ud = g cs. Tomuto postupu říkáme lepton-kvarková symetrie. Dostaneme tak základní vrcholy, z nichž můžeme zkonstruovat možné procesy obdobně jako u leptonů: 95

96 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Obrázek 10.9: Luciano Maiani (1941 -), italský teoretický fyzik, spolutvůrce Standardního modelu částicové fyziky Obrázek 10.10: Základní interakční vrcholy W s kvarky V tomto schematu můžeme popsat řadu semileptonických rozpadů, například 96

97 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Obrázek 10.11: Slabý rozpad pionu Neexistuje však vazba mezi generacemi. Nemůžeme vysvětlit rozpad Obrázek 10.12: Slabý rozpad kaonu by nebyl možný bez vazby mezi generacemi kvarků Abychom tento nedostatek odstranili, musíme zavést koncept mísení kvarků navržený původně Cabibbem. Podle tohoto konceptu se účastní d a s kvarky slabých interakcí jako lineární kombinace: d = d cos Θ c + s sin Θ c s = d sin Θ c + s cos Θ c, kde Θ c je parametr nazývaný Cabibbův úhel. Lepton-kvarková symetrie pak platí pro tyto lineární kombinace: ( u d Vertex ud W : ) ( c s ) g ud = g W cos Θ c g us = g W sin Θ c. 97

98 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Obrázek 10.13: Efektivní vrchol ud W Obrázek 10.14: Nicola Cabibbo ( ) italský fyzik Cabibbův úhel lze určit např. z poměru rychlosti rozpadů Γ(k µ ν µ) Γ(π µ ν µ) g2 us g 2 ud = tan 2 Θ c. Odtud vyplývá, že Θ c = 12 ± 1. Díky tomuto mísení kvarků jsou povoleny přechody mezi kvarky různých generací, a tedy i proces rozpadu k (s ū) µ ν µ, jeho výskyt je však potlačen faktorem sin Θ c. Rozlišujeme tedy dva typy procesů: Cabibbovsky povolené, v nichž se uplatňuje vazba g ud = g cs = g W cos Θ c Cabibbovsky potlačené, v nichž se uplatňuje vazba g us = g cd = g W sin Θ c Cabibbovsky potlačené procesy jsou potlačeny faktorem Proto převažuje pravděpodobnost rozpadu kvarků C S a z půvabných částic vznikají dceřinné podivné částice. Povoleny jsou takové semileptonické rozpady, ve kterých je S = Q = ±1. Vztahu S = Q říkáme výběrové pravidlo. Zakázané jsou procesy s S = Q, které by vyžadovaly slabou přeměnu dvou kvarků, a jsou proto výrazně potlačeny. 98

99 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Pro hadronové rozpady platí výběrové pravidlo S = 0, ±1. To je důležité při rozpadech mnohonásobně podivných baryonů, ve kterých se musí s kvarky rozpadat postupně - tzv. kaskádový rozpad: Ω Ξ 0 + π Λ 0 + π 0 p + π Ξ Λ 0 + π p + π Díky tomuto charakteristickému rozpadu lze mnohonásobně podivné částice dobře topologicky rekonstruovat: Obrázek 10.15: Kaskádní rozpad baryonu Ξ Vzhledem k tomu, že se zachovává baryonové číslo, musí se tyto částice nakonec vždy rozpadnout na proton - jediný stabilní baryon. 99

100 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Obrázek 10.16: Yoišíro Nambu ( ), Makoto Kobayashi ( ), Toshihide Maskawa ( ), japonští teoretičtí fyzici Přidáme-li nyní třetí generaci leptonů i kvarků, situace se poněkud zkomplikuje. Je třeba, abychom zavedli trojici smíšených stavů, která je svázána s d, s, b pomocí tzv. Cabibbo-Kobayashi-Maskawa - CKM - matice: d s b = V ud V us V ub V cd V cs V cb V td V ts V tb d s b, V αβ (α = u, c, t; β = d, s, b) musí být unitární. Vazbové konstanty pro jednotlivé vrcholy můžeme určit jako g αβ = g W V αβ. V přiblížení, kdy mísení mezi b d, s zanedbáme, dostaneme V ud V us V ub V cd V cs V cb V td V ts V tb =. cos Θ c sin Θ c 0 sin Θ c cos Θ c Přibližně tedy platí b = b a dříve uvedené mísení d, s [(zanedbali jsme V td = 0.009, V ts = 0.039, V ub = 0.003, V cb = 0.04), cos Θ c = , sin Θ c = 0.221]. Dominantní jsou tedy procesy, při nichž dochází k přeměnám t b, c s, u d. To je důležité pro identifikaci t kvarku (podle jetů obsahujících b kvark) a pro identifikaci půvabných částic, při jejichž rozpadech vznikají částice podivné. Produkce a rozpad top kvarku Typickým rozpadem t kvarku jsou procesy 100

101 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE Obrázek 10.17: Typické rozpady top kvarku Top kvarky jsou převážně produkovány právě při srážkách Obrázek 10.18: Jeden z možných produkčních mechanismů top kvarku Energie v těžišti srážky je 1.8 TeV. 101

102 KAPITOLA 10. SLABÉ INTERAKCE 102

103 Kapitola 11 Sjednocení elektromagnetické a slabé interakce Koncem šedesátých let navrhli Weinberg a Salam teorii spojující elektromagnetickou a slabou interakci. Teorie obsahuje čtyři nehmotné bosony zprostředkující interakci. Ty tvoří slabý isospinový triplet a singlet a lze je uspořádat do multipletu podle slabého isospinu I a hypernáboje Y. Tři bosony W (1) µ W (2) µ W (3) µ jsou součástmi tripletu s I = 1 grupy SU(2). Čtvrtý z nich B µ je isoskalár (I = 0) a patří ke grupě U(1) slabého hypernáboje. Procesem spontánního narušení symetrie způsobeného přítomností skalárního Higgsova pole s dubletem Higgsových částic s I = 1 2 dojde k tomu, že tři bosony získají klidovou hmotu - ty označujeme W + µ, W µ, Z 0 µ - zatímco jeden foton A µ zůstane nehmotný. A µ a Z 0 µ jsou kombinacemi W (3) µ a B µ : Z µ 0 = W µ (3) cos Θ W B µ sin Θ W A µ = W µ (3) sin Θ W + B µ cos Θ W, kde Θ W je takzvaný Weinbergův úhel či úhel slabého smíšení. Mezi hmotami W ± a Z bosonů platí vztah M 2 Z 0 = M 2 W ρ cos 2 Θ W, přičemž ρ = 1 s procentní přesností. Měřením poměru účinných průřezů procesů, při nichž nastává výměna nabitých a neutrálních proudů, byl Weinbergův úhel určen ze vztahu sin 2 Θ W = ± Odtud bylo možno předpovědět klidovou hmotu Z 0 několik let před jeho objevem. 103

104 KAPITOLA 11. SJEDNOCENÍ ELEKTROMAGNETICKÉ A SLABÉ INTERAKCE Obrázek 11.1: Steven Weinberg (1933), americký fyzik. Obrázek 11.2: Abdus Salam ( ), pakistánský fyzik Bosony Z 0 byly sledovány zejména na urychlovači LEP v CERN v reakcích e + +e Z 0 X, kde v koncovém stavu byly jak leptony, tak hadrony. Kromě přesného určení klidové hmotnosti a šířky Z 0 bylo velmi důležitým zjištěním, že s daty se teoretická předpověd tvaru vrcholu Z 0 shoduje pouze za předpokladu, že počet generací fermionů je právě 3. To za předpokladu, že hmota neutrin je malá oproti Z 0. Zdá se, že tomu tak skutečně je, a proto patrně známe již všechny elementární fermiony. Interakce probíhající pomocí Z 0 nemění druh fermionu tak, jak jsme to pozorovali u interakcí zprostředkovaných W ±. Základní interakční vrcholy můžeme opět pro leptony a kvarky znázornit jako 104

105 KAPITOLA 11. SJEDNOCENÍ ELEKTROMAGNETICKÉ A SLABÉ INTERAKCE Obrázek 11.3: Interakční vrcholy Z bosonu Interakce zprostředkované Z 0 proto zachovávají půvab C a podivnost S. Proto nemůže nastat například rozpad Obrázek 11.4: Proces rozpadu K + nemůže probíhat prostřednictcvím Z 0 bosonu, který v interakci zachovává vůni fermionu Aby byla teorie standardního modelu konzistentní je nutné, aby neobsahovala anomálie. Trojúhelníková anomálie vznikající v grafu Obrázek 11.5: Graf zodpovědný za vznik trojůhelníkové anomálie 105

106 KAPITOLA 11. SJEDNOCENÍ ELEKTROMAGNETICKÉ A SLABÉ INTERAKCE je úměrná c A f Q f 2, kde Q f je náboj fermionů ve smyčce a c A f je axiální vazbová konstanta neutrálního proudu. Pokud máme tedy stejný počet N dvojic kvarků a leptonů, je anomálie úměrná N ( 1 2 (q γ) (q l) N c (+ 2 3 )2 1 2 N c ( 1 3 )2 ) = 0 i=1 1 2 N ((0 2 ) ( 1) 2 + N c (+ 2 3 )2 N c ( 1 3 )2 ) = 0, i=1 kde N c je počet barev kvarků (k pojmu barvy se podrobně vrátíme v další kapitole). Tato rovnice - požadující vymizení anomálie - je splněna v případě, že N c = 3. Zde se tedy objevuje poprvé požadavek na další stupeň volnosti - na barvu. 106

107 Kapitola 12 Struktura nukleonu a partony 12.1 Struktura nukleonu Při studiu vnitřní struktury nukleonu můžeme opět využít rozptylových experimentů. V této části nejdříve objasníme jakým způsobem lze rekonstruovat rozložení náboje nukleonu a jak se projevuje jeho vnitřní struktura. Posléze se budeme zabývat partonovým modelem nukleonu a nakonec provedeme identifikaci partonů s kvarky a gluony v nukleonu obsaženými. a) Rozdělení náboje statického zdroje pomocí elastického rozptylu elektronů. Tento proces můžeme znázornit následovně: Obrázek 12.1: Rozptyl elektronu na statickém nábojovém rozdělení 107

108 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Odpovídá například rozptylu na atomu. k i = k F = k je hybnost elektronů, která se při elastické srážce nemění, a Θ je úhel rozptylu. Elektromagnetická interakce je zprostředkována virtuálním fotonem přenášejícím hybnost q, q = k F k i. Prostorové rozložení náboje můžeme studovat z úhlového rozložení rozptýlených elektronů srovnáním s rozložením za předpokladu bodového zdroje: d σ d Ω = ( d σ d Ω ) bod F (q) 2, F (q) nazýváme formfaktor a budeme se ho snažit určit. Mějme tedy statické rozdělení náboje Zeρ( x), přičemž ρ(x) d 3 x = 1. Pak formfaktor F (q) je Fourierovým obrazem nábojového rozdělení ρ( x) F ( q) = ρ( x) e i q x d 3 x a za úhlovou závislost účinného průřezu pro bodový zdroj bereme závislost pro Mottův rozptyl elektronů na jádře ( dσ dω ) bod ( dσ dω ) Mott = (Zα)2 E 2 4k 4 sin 4 ( Θ 2 ) (1 + v2 sin 2 Θ 2 ), kde v = k/e. Pro malé hodnoty q můžeme exponencielu rozložit do řady, přičemž dostaneme pro F ( q) přiblížení F ( q) = (1 + i q x ( q x) ) ρ(x) d 3 x = q 2 < r 2 > Zde ještě považujeme ρ za kulově symetrické a řešíme tudíž pouze závislost na r, < r 2 > je střední hodnota kvadrátu poloměru nábojového rozdělení. Foton zprostředkující interakci má v limitě malých q velkou vlnovou délku a pouze velikost celého nábojového rozdělení, nikoli jemnější detaily. Pokud má rozdělení náboje exponenciální charakter ρ(r) = e mr, dostaneme pro formfaktor F ( q ) = 1 (1+ q 2 /m 2 ) dipólová formule Pokud je náboj rozptylového centra bodový, je odpovídající formfaktor konstantní a je roven

109 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Elastický rozptyl elektronu na protonu Na rozdíl od předešlé analýzy nemůžeme proton považovat za statický, elektron mu při rozptylu může předat nezanedbatelnou hybnost. Rovněž magnetický moment protonu se podílí na rozptylu. Pokud bychom ale proton považovali za bodový objekt s nábojem e a magnetickým momentem e/2m, můžeme předpokládat stejnou úhlovou závislost účinného průřezu jako u rozptylu elektronu na mionech; pokud m µ m p, pak dσ dω α lab = ( 2 ) E 4E 2 sin 4 Θ E [cos2 Θ 2 q2 2m 2 p sin 2 Θ 2 ], 2 kde E E = E mp sin2 Θ 2 je důsledkem odrazu protonu. Pro úhlovou závislost účinného průřezu obdržíme Rosenbluthův vztah dσ dω α lab = ( 2 ) E 4E 2 sin 4 Θ E [(F 1 2 k2 q 2 4m 2 p F 2 2 ) cos 2 Θ 2 q2 2m 2 p (F 1 + kf 2 ) 2 sin 2 Θ 2 ], 2 přičemž F 1 (q), F 2 (q) jsou formfaktory popisující proton (F 1 (0) = 1, F 2 (0) = 1), k je anomální magnetický moment experimentálně určený jako k p = 1.79 (pro neutron je k n = 1.91). Pro q 0 vidíme proton jako částici s nábojem e a magnetickým momentem (1+k)e / 2 m p. Kdyby byl proton bodový, byl by k = 0 a F 1 (q) = 1, a pak bychom obdrželi stejný výsledek jako u rozptylu na bodových mionech. V praxi se spíše využívají formfaktory G E (elektrický) a G M (magnetický) definované jako lineární kombinace F 1, F 2 : G E F 1 + k q2 4m p 2 F 2 a G M F 1 + k F 2. Rosenbluthův vztah se pak redukuje na dσ dω α lab = 2 4E 2 sin 4 Θ 2 kde τ = q 2 /4m p 2. E E ( G E 2 +τ G M 2 1+τ cos 2 Θ τ G M 2 sin 2 Θ 2 ), Experimentálně je zjištěno, že G E i G M závisí na q jako G E (q) 1 (1 q ) [GeV 2 ]. Odtud můžeme usuzovat, že nábojové rozložení v nukleonu je exponenciální se středním poloměrem určeným < r 2 >= 6 dg E dq 2 q 2 =0 = ( m) 2 < r p > 0.81 fm. 109

110 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Obrázek 12.2: Elastický rozptyl elektronu na protonu Neelastický rozptyl elektronu na protonu Pokud se pokusíme o zvětšení rozlišení naší elektronové rozptylové sondy, je třeba použít vyšší energie elektronů a větší úhly rozptylu. Při velkých hodnotách q 2 se ale často stává, že dojde k excitaci nebo rozbití protonu. Může dojít k excitaci do rezonance, která se rozpadá + p π 0, a k velké řadě dalších reakcí. K popisu této situace musíme použít kromě přenesené hybnosti q 2 též přenos energie ν p q m p. Celková invariantní hmota koncového systému v reakci e + p e + X je tedy M inv 2 = (p + q) 2 = m p M p ν + q 2. Proces můžeme znázornit diagramem Obrázek 12.3: Neelastický rozptyl elektronu na protonu. Koncový stav má kromě elektronu n částic a invariantní hmotu M inv 110

111 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Obvykle používáme bezrozměrné veličiny x = q2 2p q = q2 2Mν a y = p q p k, x < 0, 1 >, y < 0, 1 >. V systému terčíku (p) je ν = E E -(tedy rozdíl mezi počáteční a koncovou energií elektronu) a y = E E. Pro účinný průřez dostáváme vztah E dσ dω = α 2 4E 2 sin 4 Θ 2 E E (W 2(ν, q 2 ) cos 2 Θ W 1(ν, q 2 ) sin 2 Θ 2 ), kde W 1, W 2 jsou neelastické strukturní funkce, pomocí nichž parametrizujeme chování a strukturu protonu. Je třeba je určit experimentálně studiem rozptylu na různých úhlech Partony Nyní se budemem dále věnovat neelastickému rozptylu, tentokráte při velkých kvadrátech přenesených hybností q 2. Rozbití protonu můžeme popsat neelastickými strukturními funkcemi W 1, W 2. Při dostatečně vysokých q 2 se však úhlová závislost účinného průřezu změní tak, že odpovídá interakci s bodovými částicemi (jako u e µ rozptylu) a strukturní funkce nabydou tvaru 2 W 1 bod = Q 2 2 m 2 δ (ν Q 2 2 m ) W 2 bod = δ (ν Q 2 2 m ), kde Q 2 q 2 a m je hmotnost bodového objektu (kvarku). Nepružný rozptyl e p můžeme tedy při vysokých Q 2 považovat za pružný rozptyl e q na bodových částicích. Můžeme vytvořit bezrozměrné strukturní funkce 2 m W 1 bod (ν, Q 2 ) = Q 2 2 mν δ (1 Q 2 2 mν ) ν W 2 bod (ν, Q 2 ) = δ (1 Q 2 2 mν ) které nezávisí na Q 2, ale pouze na poměru Q 2 2 mν ; m tedy určuje škálu pro Q 2 a neexistuje charakteristická hmota jako u pružného rozptylu (0.71 GeV). Pro velká Q 2 definujeme tedy strukturní funkce F 1 (ω) = m p W 1 (ν, Q 2 ) F 2 (ω) = ν W 2 (ν, Q 2 ), 111

112 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY kde ω = 2 p q Q 2 = 2 mp ν Q 2. Pokud budeme tedy udržovat ω = konst., nezávisí strukturní funce F 1, F 2 na přenesené hybnosti Q 2, což opět naznačuje bodovost částic, s nimiž elektron interaguje. Tyto částice byly Bjorkenem nazvány partony a jak později uvidíme, můžeme je ztotožnit s kvarky a gluony. Nyní budeme pracovat v souřadné soustavě, kde se proton pohybuje s nekonečnou hybností - to znamená, že můžeme zanedbat klidovou hmotnost jak protonu, tak i jednotlivých partonů. Partony, ze kterých je proton složen, se v tomto přiblížení pohybují paralelně s protonem (p T = 0). Zaved me proměnnou charakterizující frakci hybnosti protonu nesenou partonem: x = 1 ω = Q 2 2 m p ν x < 0, 1 > Při pevném x jsou tedy F 1, F 2 nezávislé na Q 2. Tomu říkáme Bjorkenovo škálování. Kinematicky můžeme partony charakterizovat frakcí hybnosti a energie protonu, kterou nesou: Proton Parton energie E x E hybnost P L x p L P T = 0 p t = 0 hmotnost m p m = (x 2 E 2 x 2 p 2 L ) 1 2 = x m p Hmotnosti ale v soustavě s nekonečnou hybností zanebáme. Můžeme zavést rozdělení hybnosti partonů typu i z hybnosti protonu jako f i (x) = dp i dx... určující pravděpodobnost, že parton i nese frakci x. Pro všechny partony dohromady platí podmínka i dx x fi (x) = 1, je suma přes všechny partony (nabité i neutrální, které nejsou fotonem deteko- přičemž i vatelné). 112

113 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Pro strukturní funkce platí Callan-Grossův vztah: 2 F 1 = F 2 = i e i 2 x f i (x) a to díky tomu, že partony jsou částice se spinem 1 2. Tento vztah odpovídá velmi dobře hodnotě získané experimentálně. Díky Bjorkenovu škálování a Callan-Grossově vztahu víme, že partony jsou bodové částice se spinem 1 2, a že jsou v protonu obsaženy. F 2 p (x) x = ( 2 3 )2 [u p (x) + ū p (x)] + ( 1 3 )2 [d p (x) + d p (x)] + ( 1 3 )2 [s p (x) + s p (x)], kde q p (x) je pravděpodobnost výskytu kvarku q v protonu s hybnostní frakcí x. Těžší kvarky jsme zanedbali. Podobně můžeme určit F 2 n pro neutron. q n (x) pak budou odpovídající rozdělení pravděpodobnosti výskytu kvarku v neutronu. Počet u v protonu je stejný, jako počet d v neutronu. Definujeme tedy u p (x) = d n (x) u(x) d p (x) = u n (x) d(x) s p (x) = s n (x) s(x). Další omezení plynou z toho, že proton obsahuje valenční 3 kvarky (v) a virtuální páry mořských kvarků (s) a jejich antikvarky. Platí tedy: u s (x) = ū s (x) = d s (x) = d s (x) = s s (x) = s s (x) = S(x) u(x) = u v (x) + u s (x) d(x) = d v (x) + d s (x).... pro mořské kvarky Pokud zkombinujeme všechny partony, musíme dostat kvantová čísla protonu: dx [u(x) ū(x)] = 2 dx [d(x) d(x)] = 1 dx [s(x) s(x)] =

114 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Odtud pro strukturní funkci F 2 dostaneme: 1 x F 2 ep = 1 9 [4 u v + d v ] S 1 x F 2 en = 1 9 [u v + 4 d v ] S... pro proton... pro neutron Tvar strukturních funkcí je znázorněn na obr V oblasti malých x se tvoří velké množství q q mořských párů s malou hybností. Vliv mořských párů tedy převládne a poměr F 2 ep F 2 en = 1. Naopak při x 1 dominují valenční kvarky a pro páry není k dispozici mnoho hybnosti: F 2 ep F 2 en 4 uv+dv u v+4 d v což odpovídá experimentálním výsledkům. Z tvaru strukturních funkcí vyplývá, že partony jsou identifikovány s kvarky a gluony. Kvarky vystupují se zlomkovými náboji a jsou vázány gluony, které mohou též vytvářet virtuální q q páry. Pokud zintegrujeme sumu všech kvarkových strukturních funkcí násobenou hybností protonu, musíme dostat jeho celkovou hybnost: 1 0 dx(xp) [u + ū + d + d + s + s] = p p g, kde p g je část hybnosti nesená gluony. Bývá vyjádřena též jako relativní poměr ε g = pg p. Hybnost protonu se tedy dělí na ε u = 0.36, ε d = 0.18, ε g = Vidíme, že gluony nesou přibližně polovinu hybnosti. Jak vidno, pomocí rozptylu elektronu se nám podařilo nahlédnout do struktury nukleonu a změřit jeho velikost. V další části se budeme zabývat silnou interakcí spojující kvarky uvnitř nukleonů a seznámíme se s pojmem barevného náboje a s teorií silné interakce - kvantovou chromodynamikou. 114

115 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY Obrázek 12.4: Chování kvarkových strukturních funkcí v případě různé struktury protonu. Experimentálně zjištěné závislosti strukturních funkcí proto ukazují vnitřní strukturu protonu, který je složen ze tří vázaných valenčních kvarků a virtuálních kvark-antikvarkových párů. tzv. mořských kvarků 115

116 KAPITOLA 12. STRUKTURA NUKLEONU A PARTONY 116

117 Kapitola 13 Silná interakce 13.1 Silná interakce a kvantová chromodynamika Již dříve jsme uvedli že k tomu, aby kvarkové vlnové funkce v baryonech mohly splňovat Pauliho vylučovací princip, musíme zavést nový stupeň volnosti, který by umožnil existenci stavu jako uuu = ++ nebo sss = Ω. Tento stupeň volnosti byl nazván barva kvarku. Každý kvark se vyskytuje ve třech barevných podobách označovaných jako r (červená), g (zelená), b (modrá). Antikvarky nesou antibarvy r, ḡ, b. O interakci mezi kvarky předpokládáme, že jsou invariantní vzhledem k záměně barvy kvarků. Každý druh barvy a antibarvy je nábojem silné interakce (celkem je jich tedy šest) (to můžeme srovnat se dvěma hodnotami elementárního náboje u elektromagnetismu ±1). Barvy zprostředkující silnou interakci jsou nehmotné gluony nesoucí barvu a antibarvu. Ze 3 barev a 3 antibarev můžeme sestavit 9 kombinací. Ty se skládají z barevného singletu 1 3 ( r r + g ḡ + b b ), který nepřenáší barvu mezi kvarky a v interakci ho neuvažujeme, a barevného oktetu r b, r ḡ, b ḡ, b r, g r, g b, 1 2 (r r b b), 1 6 (r r+b b 2 g ḡ), které zprostředkují interakci mezi kvarky. Kromě barevného náboje nesou kvarky i zlomkový náboj elektrický. Pro příklad uved me interakci červeného a modrého kvarku výměnou r b gluonu: Obrázek 13.1: Barevná výměna při silné interakci mezi kvarky 117

118 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE Dá se říci, že výměna gluonu vede ke změně barvy. Na rozdíl od elektricky neutrálních fotonů zprostředkujících elektomagnetickou interakci nesou gluony barevný náboj, a mohou proto spolu přímo interagovat. Existuje velmi důležitý interakční vrchol Obrázek 13.2: Proces rozdělení nebo fůze gluonu je specifický pro kvantovou chromodynamiku který odlišuje kvantovou chromodynamiku a elektrodynamiku. Díky němu jsou možné interakce jako Obrázek 13.3: Základní procesy v QCD v jejichž důsledku dochází k uvěznění kvarku. Pokud by neexistoval proces 13.2, chovala by se QCD obdobně jako QED které jsou odpovědné za to, že efektivní barevný náboj v QCD klesá na vzdálenosti krátké (při velkých přenesených hybnostech) a roste na vzdálenostech velkých: 118

119 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE Obrázek 13.4: Znázornění chování vazbové konstanty QCD v závislosti na vzdálenosti od holého barevného náboje. Vakuum QCD se polarizuje tak, že dochází k zesilování náboje - antistínění Oproti tomu v elektrodynamice je efektivní náboj na malých vzdálenostech větší a diverguje: Obrázek 13.5: Na rozdíl od QCD, vakuum QED se polarizuje tak, že dochází ke stínění holého náboje. Proto vazbová konstanta QED nabývá na velkých vzdálenostech hodnotu blízkou 1/137 (konstanta jemné struktury) Tyto jevy jsou způsobeny polarizací vakua a říká se jim stínění elektrického náboje (v případě elektrodynamiky) a antistínění barevného náboje (v chromodynamice). Barevné náboje rozšiřují barevný náboj kvarku do prostoru. Při přiblížení k centrálnímu náboji se množství barevného náboje zmenšuje. Tato skutečnost způsobuje důležitou vlastnost chromodynamiky - asymptotickou volnost. Na krátkých vzdálenostech e 1 fm se kvarky chovají jako téměř volné částice. Proto se α s stává pro velké procesy s velkými předanými hybnostmi dostatečně malá na to, abychom mohli použít poruchové metody výpočtu. 119

120 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE Na velkých vzdálenostech má potenciál barevného pole tvar V (r) = 4 3 α s r + kr. Tento potenciál ukazuje na to, že není možno kvarky od sebe vzdalovat na velké vzdálenosti. Jejich potenciální energie roste a ve chvíli, kdy je dostatečná k vytvoření q q páru, se z takto protaženého mesonu stanou mesony dva. Proto nemůžeme získat v současném chladném vakuu volné kvarky. Kvarky jsou uvězněny v baryonech (q q q) a mesonech (q q), které musí být barevně neutrální či bílé v barevném singletu. Přitažlivé síly vznikají pouze v uvedených kombinacích, q q a q q q q kombinace nejsou vázány, síly jsou odpudivé. Uved me několik experimentálních faktů podporujících existenci barevného stupně volnosti. rozpad π 0 2 γ π 0 > = 1 2 u ū d d > se rozpadá elektromagneticky trojúhelníkovým diagramem Obrázek 13.6: Procesy odpovědné za rozpad π 0 Pokud uvažujeme barvu, pak maticový element je úměrný M NC 1 2 [( 2 3 )2 ( 1 3 )2 ] e 2 = 1 2 e 2 3 Pokud barvu uvažujeme, musíme sumovat přes 3 barvy. Pak M = M NC 3 = e2 2. Pro maticový element z trojúhelníkového diagramu dostáváme M = e2 2 π 2 S π 2 Fπ = e 2 F, 120

121 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE kde F π je rozpadová konstanta pionu, F π = 93 MeV. Pro faktor S π dostáváme S π = bez barvy = pro 3 barvy. Pro rychlost rozpadu π 0 2 γ dostáváme vztah Γ(π 0 2 γ) = 4 π α 2 F 2 m π = α 2 32 π 3 F π 2 S π 2 m π 0 3. Pozorovaná šířka π 0 Γ = 7.57 ev je v souladu s Γ(π 0 2 γ) 3barvy = 7.64 ev. V případě bez barvy dostáváme 9x menší šířku, což je v rozporu s experimentem. Pozorujeme-li poměr e + e anihilací na hadrony a na miony v závislosti přenesené hybnosti, můžeme určit kolik kvarků se hadronových procesů zúčastňuje. Jsou povoleny všechny, na které stačí energie procesu. Poměr hadronových a mionových událostí označujeme R: R σ(e+ e hadrony) σ(e + e µ + µ ) = 3 q e q 2. Suma probíhá přes všechny energeticky dostupné kvarky a faktor 3 je důsledkem sumace přes všechny možné barvy. Platí: - pro u, d, s kvarky je R = 2 = 3 [( 2 3 )2 + ( 1 3 )2 + ( 1 3 )2 ] - pro u, d, s, c kvarky je R = 10 3 = ( 2 3 )2 - pro u, d, s, c, b je R = 11 3 = ( 1 3 )2. Tyto poměry jsou v širokém rozsahu q 2 potvrzeny experimentem. Jako důkaz existence kvarků a gluonů v protonu, a zároveň jako důkaz uvěznění kvarků v částicích detekovaných v koncovém stavu, mohou posloužit výtrysky částic obecně nazývané jety. Jety jsou kolimované proudy částic vzniklých v důsledku nutného vytvoření barevně neutrálních objektů po interakci dvou kvarků nebo v důsledku emise gluonu: 121

122 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE Obrázek 13.7: K pojmu kvarkového a gluonového jetu. Gluonový jet vzniká při vyzáření gluonu rozptýleným kvarkem. Ve tříjetových událostech proto nalézáme kvarkové i gluonové jety. Ve dvoujetových událostech pak pouze jety kvarkové Obrázek 13.8: Rekonstrukce dvoujetové události v experimentu JADE. Na tomto obrázku lze demonstrovat fakt, že jety obsahují nabitou a neutrální složku. Neutrální částice identifikované kalorimetricky jsou znázorněný přerušovanými čarami. Převzato z [] Kroužky označují proces hadronizace, při kterém vznikají z kvarku, gluonů a barevných polí je spojující barevně neutrální částice. Proces hadronizace je velmi komplikovaný a ne zcela pochopený. Důležité je, že osa jetu je v dobré shodě se směrem letu mateřského kvarku či gluonu a suma hybnosti a energie částic v jetu se blíží hybnosti a energii mateřské částice. Jety by se nechovaly tímto způsobem, kdyby neexistovala gluonová interakce vedoucí k uvěznění a barevné neutralizaci. Srážka samotných kvarků probíhá (při dostatečném Q 2 ) jako srážka volných částic, což odpovídá zmíněné asymptotické volnosti chromodynamiky. 122

123 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE Nyní budeme zkoumat chování barevného potenciálu na velkých vzdálenostech. Na rozdíl od elektrického pole dipólu, které se rozšiřuje do celého prostoru, je - díky vzájemné gluonové interakci - barevné pole mezi kvarkem a antikvarkem soustředěno do tenké trubce, kterou nazýváme barevná struna: Obrázek 13.9: Struna barevného pole mezi kvarkem a antikvarkem je protáhlý útvar, který může rovněž rotovat a dodávat mesonu orbitální moment. Tato struna může rotovat v prostoru, a tak dodávat mesonu orbitální moment. Předpokládejme, že k je hustota energie v jednotce délky struny (k= 0.87 GeV/fm). Předpokládejme, že nehmotné kvarky na koncích trubice rotují rychlostí světla a lokální rychlost v = c r r 0. Celková energie a tedy i hmota objektu je E = Mc 2 = 2 r 0 k d r 0 1 v 2 /c 2 = k r 0 π a orbitální moment tedy J = 2 c 2 r 0 k r v d r 1 v 2 /c 2 = k r 0 2 π 2 c, J = 1 2 πk c E2 = c3 2 πk M 2. Lineární trajektorie v grafu J(M 2 ), na nichž jsou rozloženy například stavy baryonů Λ a, se nazývají Reggeho trajektorie. Z jejich sklonu α lze určit zmíněnou hustotu energie v barevné struně k: k = c3, α = 0.93 GeV 2. 2 π α k nazýváme rovněž napětím barevné struny. 123

124 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE 13.2 Porovnání chování vazbových konstant α a α s Jak jsme se již zmínili, jak α, tak α s mění svou efektivní hodnotu v závislosti na vzdálenosti, na kterou interakce působí. To je důsledkem polarizace vakua. Pro elektromagnetickou interakci α se zmenšující se vzdáleností - a tedy pro větší předané hybnosti - pomalu roste: α (q 2 ) = α(µ 2 ) 1 1 π α(µ2 ) ln( q2 µ 2 ) Pokud zvolíme škálu µ = 1 MeV a α (µ 2 ) = 1 137, pak pro q = 100 GeV je α(m Z) = Oproti tomu α s pro 3 barvy a 3 druhy kvarků klesá jako α s (q 2 ) = α s(µ 2 ) π αs(µ2 ) ln( q2 ). µ 2 Pozn.: Rozdíl je způsoben tím, že obecně je změna vazbové konstanty popsána rovnicí renormalizační grupy, která popisuje vazbovou konstantu rozvojem v ln(q 2 /µ 2 ): 1 = 1 q2 + α(µ 2 ) α(q 2 β0 ln( ) +... ) µ 2 faktor β 0 závisí na počtu stupňů volnosti ve smyčkách vakuové polarizace (n f pro fermiony, n b pro bosony): β 0 = 1 12 π (4 n f 11 n b ) V elektrodynamice máme při dost vysoké energii n f = 3 generace fermionů a n b = 0, protože fotony spolu neinteragují (Ábelovská teorie): β 0 em = 1 12 π (4 3) = 1 π V chromodynamice máme 3 generace kvarků n f =3 a 3 druhy náboje gluonů n b = 3 (Su(3) symetrii). Pak β 0 QCD = 1 7 ( ) = 12 π 4 π Zde vidíme zásadní význam interakce mezi gluony. Často se používá jednodušší tvar: α s (q 2 ) = 1 B ln(q 2 /Λ 2 ), kde B = β 0 a Λ = µ exp ( 1/B α s (µ 2 )). Konstantu Λ volíme 200 MeV, což odpovídá experimentálně zjištěným změnám α s. 124

125 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE Vrat me se na závěr ještě ke strukturním funkcím. V reálném světě završí F 2 logaritmicky na Q 2, což porušuje Bjorkenovo škálování, o kterém jsme se zmínili již dříve. To je projevem emise gluonů kvarkem. Kvark s hybnostní frakcí x mohl vzniknout z kvarku s větší hybnostní frakcí y, který vyzářil gluon. K tomu dochází s pravděpodobností p = P qq (x/y) α s a P qq (z) = 4 3 ( 1+z2 1 z ). Tento jev je popsán Altarelli-Parisi evoluční rovnicí d q(x,q 2 ) d log Q 2 = αs 2 π 1 x dy y q(x, Q2 ) P qq ( x y ). Pokud máme tedy k dispozici kvarkovou strukturní funkci pro určité q(x, Q 0 ), můžeme ji pomocí této rovnice vypočíst pro jakékoliv Q. Strukturní funkce rostou s Q 2 pro x < 0.25, zatímco pro x > 0.25 s Q 2 klesají. S rostoucím Q 2 vidíme více a více měkkých kvarků z mořských párů, ubývá kvarků s velkým x a naopak přibývá kvarků s x menšími. Toto odpovídá tomu, že část hybnosti kvarků s velkým x byla vyzářena v gluonu. Seznámili jsme se tedy se základními rysy kvantové chromodynamiky a jejích důsledcích pro chování kvarků, gluonů a pozorovaných hadronů. Prozkoumali jsme rovněž dopad emise gluonů na vlastnosti kvarkových strukturních funkcí v protonu a seznámili jsme se rovněž s projevy kvarkové struktury - jety. Než se budeme podrobněji věnovat kvarkovému modelu struktury hadronů, zmiňme se ještě o podmínkách, za kterých může být překonáno uvěznění kvarku. Za extrémních teplot T > 170 MeV nebo za extrémních hustot jaderné hmoty může dojít k tomu, že kvarky se mohou volně pohybovat na vzdálenosti větší, než rozměr nukleonu. Této fázi hmoty říkáme dekonfinovaná jaderná hmota, respektive kvark-gluonové plazma. 125

126 KAPITOLA 13. SILNÁ INTERAKCE 126

127 Kapitola 14 Kvarkový model 14.1 Kvarkový model hadronů Při popisu složení hadronů pracujeme obvykle v rovině I 3, Y, kde I 3 je třetí složka isospinu a Y je hypernáboj. Připomeňme, že hypernáboj je definován jako Y B + S + C + B + T, kde B je baryonové číslo, S je podivnost, C půvab, atd. I 3 je definován jako I 3 Q Y/ 2. I 3 je různé pro každý z členů multipletu a pokud nazveme maximální hodnotu I 3 I zjistíme, že multiplet obsahuje 2 I+1 členů a I 3 nabývá hodnot ( I, I + 1,...0,..., I 1, I). Diskusi struktury hadronů započněme se třemi nejlehčími kvarky (u, d, s). Jejich kvantová čísla jsou shrnuta v následující tabulce: kvark B J I I 3 S Q/e Y u 1 3 d 1 3 d Kvarky u, d tvoří isospinový dublet s I = 1 2. Pro antikvarky je hodnota I 3 opačná (I 3 (ū) = 1 2, I 3( d) = 1 2 ). Vzhledem k tomu, že s kvark není přítomen jako valenční kvark v nukleonech pro které byla zavedena isospinová symetrie, je jeho isospin nulový. Obdobně 127

128 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL je to u ostatních těžších kvarků a antikvarků. Tyto kvarky (neobsažené v nukleonech) tvoří isospinový singlet. Isospin hadronu může být určen podle pravidel pro sčítání isospinů totožných s pravidly pro sčítání spinů. Součet isospinů I a a I b může nabývat hodnot I a + I b, I a + I b 1,..., I a I b a suma jejich třetích komponent je I 3 = I 3 a + I 3 b. Pro každý stav složený z kvarků a antikvarků platí rovněž I 3 = 1 2 (N u N d ), kde N u a N d jsou počty u a d kvarků. Povolené hodnoty isospinu souvisejí s hodnotami S, C, B, T. Pokud se omezíme na případ, kdy C, B, T = 0, existují pro baryony následující možnosti kvarkového složení: s s s, s s l i, s l i l j, l i l j l k l i,j,k představují u, d kvarky s I = 1 2. s s s stavy mají S = 3, s s l i stavy mají S = 2, s l i l j pak S = 1 a l i l j l k mají S = 0. Je zřejmé, že stavy s S = 3 mají I = 0 a stavy s S = 2 mají I = 1 2. Isospin stavů s S = 1 je součtem isospinů kvarků l i l j, které mají I = 1 2. Pro stavy s S = 0 zkombinujeme isospin kvarku l k s výsledkem kombinace isospinů l i l j. Následující tabulka shrnuje povolené hodnoty isospinu pro baryony a mezony s C, B, T = 0: podivnost baryony S mesony S I I 0 3/2, 1/2 1 1/2-1 1, 0 0 1, 0-2 1/2-1 1/2-3 0 Připomeňme rovněž, že kvarkové kombinace obsahující tři stejné kvarky (například ++ u u u ) vyžadují existenci dalšího stupně volnosti - barvy, aby nebyl narušen Pauliho vylučovací princip a antisymetrie celkové vlnové funkce. Všechny pozorované stavy q q q a q q jsou barevnými singlety, tj. mají nulovou celkovou barvu. Říkáme rovněž, že jsou bazbarvé či bílé v analogii se skládáním základních barev (r, g, b), které vytvoří barvu bílou. Pokud budeme zkoumat systémy obsahující kvarky u, d, s, můžeme pro tento systém použít přibližnou symetrii SU(3). Symetrie není přesná díky hmotnosti S kvarku, která je výrazně větší než hmotnost u, d kvarků. Tato přibližná SU(3) symetrie vůní (flavor SU(3)) je vhodnou pomůckou při katalogizaci částic. 128

129 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL Základním multipletem fundamentální reprezentace SU(3) symetrie je triplet. S jeho pomocí můžeme konstruovat vyšší multiplety kompozitních částic. Kvarkový a antikvarkový multiplet jsou zobrazeny na následujícícm obrázku: Obrázek 14.1: Kvarkový triplet a antikvarkový antitriplet 14.2 Struktura mesonů Nyní můžeme vytvořit multiplet popisující mesony tak, že do každého vrcholu tripletu 3 položíme antikvarkový triplet 3. Jejich složením vznikne singlet (symetrická kombinace Q Q) a oktet stavů, které lze jeden v druhý transformovat záměnou kvarků. Tento postup znázorníme nejprve graficky a posléze shrneme kvarkové složení jednotlivých stavů v tabulce: Obrázek 14.2: Struktura mesonového nonetu 129

130 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL kde A = 1 2 (u ū d d), B = 1 3 (u ū + d d 2 s s) a C = 1 3 (u ū + d d + s s). Spiny kvarku a antikvarku se sčítají, a proto celkový spin může být J = 0, 1. Stejnému kvarkovému složení tedy odpovídají dva nonety náležející pseudoskalárním (J = 0, J P = 0 ) a vektorovým mesonům (J = 1, J P = 1 ). V následující tabulce jsou shrnuty kvarkvé obsahy a kvantová čísla lehkých mesonů: I I 3 S kvarkové složení pseudoskalární meson (J =0) m u d π d ū π (d d u ū) π u s K d s K ū s K d s K (d d. + u ū 2 s s) η 8 = η (d d + u ū + s s) η 0. = η 958 V případě vektorových mesonů dochází k mísení stavů oktetu a singletu. To můžeme opět formálně vyjádřit jako φ = φ 0 sin Θ φ 8 cos Θ ω = φ 8 sin Θ + φ 0 cos Θ, kde φ a ω jsou fyzikálně pozorované stavy a φ 0, φ 8 jsou singletové a oktetové stavy. Pro úhel Θ platí vztah: tan 2 Θ = M φ 2 M 8 2 M 8 2 M ω 2, kde M 8 2 = 1 3 (4 M k 2 M ρ 2 ). Z pozorovaných hmot dostáváme velikost Θ 40. Pro Θ = 35, a tudíž sin Θ = 1 3, dostáváme následující složení φ a ω: φ = 1 3 (φ 0 2 φ 8 ) ω = 1 3 (φ φ 0 ), 130

131 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL kde φ 0 = 1 3 (u ū + d d + s s) a φ 8 = 1 3 (u ū + d d 2 s s). Tak konečně dostáváme složení φ = s s ω = 1 2 (u ū + d d). Tedy při ideálním mísícím úhlu 35 je φ meson složen z s kvarků a ω z u a d kvarků. Tato situace je velmi blízká realitě. Obdobně pro pseudoskalární mesony η a η předpokládáme, že první z nich je oktetový stav, zatímco druhý je singletový, i když ve skutečnosti existují malé příměsi singletu do η a příměsi oktetového stavu do η Struktura baryonů Nyní prozkoumejme kvarkovou strukturu baryonů. Tu dostaneme například následujícím grafickým způsobem. Nejprve zkombinujeme dva kvarky tak, že zkombinujeme dva kvarkové triplety: Obrázek 14.3: První krok při konstrukci baryonových multipletů, kombinace dvou kvarků, kterou vznikne symetrický sextet a antisymetrický triplet 131

132 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL V následujícím kroku přidáme do této konstrukce další triplet pro třetí kvarkm a dostaneme dekuplet stavů symetrických vůči záměně kvarků, dva oktety se smíšenou symetrií a zcela antisymetrický singlet: Obrázek 14.4: Druhý krok konstrukce baryonových multipletů, přidáním třetího kvarku vznikne symetrický dekuplet, dva oktety antisymetrické v označených dvojicích kvarků a úplně antisymetrický singlet. K této dekompozici f lavor SU(3) musíme při klasifikaci přidat dekompozici spinové SU(2) symetrie = (3 1) 2 = S A S M S M A S... symetrický, A... antisymetrický, M S... smíšená symetrie - symetrický v prvních dvou kvarcích, M A... smíšená symetrie - antisymetrický v prvních dvou kvarcích. Tak dostáváme ( ), ( ) S M S A S A S M S A S (SU(3), SU(2)) multiplety proto dostáváme v těchto kategoriích: S: (10, 4) + (8, 2) M S : (10, 2) + (8, 4) + (8, 2) + (1, 2) 132

133 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL M A : (10, 2) + (8, 4) + (8, 2) + (1, 2) A: (1, 4) + (8, 2) Baryonové stavy s nejnižší hmotou zaplňují symetrický dekuplet (10, 4) se spinem 3 2 a symetrický oktet (8, 2) se spinem 1 2. Obrázek 14.5: Baryonový oktet (8,2) se spinem 1/2 a dekuplet (10,4) se spinem 3/2. To, že multiplety jsou symetrické vůči záměně kvarků, představuje problém např. pro ++ u u u se spinem 3 2. Vlnová funkce tohoto stavu je nyní symetrická, zatímco při výměně dvou fermionů bychom očekávali její asymetrii. Tento problém je rozřešen existencí barvy, přičemž baryon se musí nacházet ve stavu barevného singletu - reprezentace SU(3) symetrie barvy. Barevný singlet je antisymetrický vůči záměně barev - každý z kvarků totiž nese jinou barvu. Celková antisymetrie vlnové funkce je tak zachována: (q q q) col.singlet = 1 6 (RGB - RBG + BRG - BGR + GBR - GRB) V následujících tabulkách jsou shrnuty kvarkové obsahy, hmotnost, isospin a podivnost baryonových stavů z oktetu a dekupletu. 133

134 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL oktet : stav kvarkový obsah hmotnost [MeV] I I 3 S p u u d n u d d Λ u d s Σ + u u s Σ 0 u d s Σ d d s Ξ 0 u s s Ξ d s s dekuplet : stav kvarkový obsah hmotnost [MeV] I I 3 S ++ u u u u u d u d d d d d Σ + u u s Σ 0 u d s Σ d d s Ξ 0 u s s Ξ d s s Ω s s s

135 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL Hmotnosti jednotlivých stavů v multipletech lze popsat empirickou Gell-Mann Okubovou formulí pro hmotnost: m = m 0 + m 1 Y + m 2 [I (I + 1) Y 2 4 ], přičemž m 0, m 1, m 2 jsou parametry parametrizující narušení SU(3) symetrie. Z výše uvedených tabulek je rovněž zřejmé, že hmotnost částic narůstá s přibývajícím počtem s kvarků. Ve zjednodušeném modelu lze hmotnostní rozdíly chápet jako důsledek změny hmotnosti konstituentních kvarků. Z toho vyplývají vztahy: M Ξ M Σ = M Ξ M Λ = M Λ M N = m s m u,d M Ω M Ξ = M Ξ M Σ = M Σ M = m s m u,d. Struktura baryonů Odtud lze přibližně určit rozdíl m s m u,d. =160 MeV/c Magnetické momenty baryonů Pro většinu stavů oktetu byly změřeny i jejich magnetické momenty. Prostudujme nyní, do jaké míry souhlasí zjištěné hodnoty s předpověd mi vyplývajícícmi z kvarkového modelu. Pro stavy s nulovým orbitálním momentem kvarků jsou magnetické momenty určeny součtem magnetických momentů valenčních kvarků, které lze vyjádřit jako µ q e q e 2 m q = (e q M p m q ) µ N, kde e q je náboj kvarků v jednotkách elementárního náboje a µ N je jaderný magneton, µ N = e 2 M p. Pro příklad uved me baryon Λ (1116) [u d s]. Kvarkový pár u d se v něm nachází ve stavu s nulovým spinem, a proto je magnetický moment Λ určen pouze příspěvkem s kvarku. Můžeme tedy zapsat: µ Λ = µ s = 1 3 M p m s µ N. Pro baryon A složený z kvarku a a b, ve kterém je pár aa v symetrickém stavu se spinem 1 a magnetickým momentem 2 µ a, dostáváme celkový magnetický moment 135

136 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL µ A = 2 3 (2 µ a µ b ) µ b = 4 3 µ a 1 3 µ b. a a b a a b Pro proton odtud dostáváme µ p = 4 3 µ u 1 3 µ d = Mp m u,d µ N. Porovnáním s naměřenými hodnotami zjistíme, že magnetické momenty jsou kvarkovým modelem předpovězeny správně pro následující hmoty kvarků: m u,d = 336 MeV/c 2, m s = 510 MeV/c 2. Tyto hmoty kvarků u, d nazýváme konstituentními hmotami. Jsou blízké 1/3 hmoty nukleonu. Obdobným způsobem lze vypočíst magnetické momenty i pro další baryony zmíněného oktetu. Srovnání předpovězených a experimentálně zjištěných hodnot je uvedeno v tabulce: částice předpověd [µ N ] experiment [µ N ] p n Λ Σ Σ Ξ Ξ tab.: magnetické momenty baryonu oktetu v jednotkách jaderných magnetonů 136

137 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL Jak vidíme, je shoda dobrá, nikoli však dokonalá. Jak ukazuje podrobnější analýza, je to způsobeno tím, že i základní stavy baryonů nejsou zcela čisté S-vlny, ale mají určitou příměs stavu s nenulovým orbitálním momentem kvarku, který vede k odlišným hodnotám magnetických momentů. Jak jsme viděli, je možné pomocí přibližné flavor SU(3) symetrie a spinové SU(2) symetrie katalogizovat pozorované hadronové stavy a vysvětlit jejich strukturu na základě elementárních stavebních bloků - kvarků. Model rovněž (krom jiného) umožňuje předpověd hmotností stavů v jednotlivých multipletech a předpověd jejich magnetických momentů. Ze symetrie vlnových funkcí stavů s třemi stejnými kvarky vyplývá nutnost zavedení dalšího stupně volnosti - barvy - tak, aby konečná vlnová funkce baryonu byla antisymetrická vůči záměně kvarku, který je fermionem. Pokud uvažujeme další těžší kvarky (c, b, t), je nutno rozšířit grupu symetrie kvarkového modelu, a to na SU(4) pro (u d s c) kvarky. Existují i modely využívající SU(6) symetrii. Pro příklad uved me konstrukci SU(4) mesonového multipletu: Obrázek 14.6: Konstrukce SU(4) mesonového multipletu Seznámili jsme se tedy s modelem struktury hadronů a s významnou úlohou symetrií při jejich popisu. 137

138 KAPITOLA 14. KVARKOVÝ MODEL 138

139 Kapitola 15 Kinematika Vzhledem k tomu, že velká část procesů a reakcí, které studujeme ve fyzice částic a při jaderných srážkách, nastává při energiích a hybnostech mnohem vyšších, než jsou klidové hmoty zúčastněných částic, jsme nuceni při jejich popisu využívat speciální teorii relativity, která správně popisuje pohyb částic při rychlostech blížících se rychlosti světla. Výsledky našich pozorování se obecně budou lišit podle toho, v jakém souřadném systému byla provedena. Při popisu fyzikálních jevů se proto budeme snažit využívat veličin, jež jsou vůči změně souřadné soustavy invariantní - nemění se při přechodu z jedné vztažné soustavy ke druhé - nebo je jejich chování lehce popsatelné. V této kapitole se seznámíme se základními kinematickými proměnnými a vztahy, kterými se řídí jednoduché procesy jako jsou dvou a tříčásticové rozpady. Seznámíme se rovněž s výhodami a nevýhodami plynoucími z využití těžišt ového a laboratorního měřícího systému při experimentech. Abychom tento program mohli realizovat, musíme na počátku zrekapitulovat základní pojmy z oblasti speciální teorie relativity a musíme zavést kinematické proměnné vhodné ke studiu našich modelových problémů. Podrobnější přehled této tématiky lze nalézt v knize Bychlinga a Kajntieho [1]. Speciální relativita pracuje se čtyřrozměrným časoprostorem. Souřadnice v tomto prostoru lze vyjádřit pomocí 4-vektorů, které mohou být kovariantní a kontravariantní. Čtyřvektory označujeme indexy s řeckými písmeny (µ, ν...). Kovariantní 4-vektor x µ lze zapsat po složkách jako x 0 = c t, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z. Kontravariantní 4-vektor x µ vyjádříme jako x 0 = c t, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z. Skalární součin dvou 4-vektorů je dán vztahem 139

140 KAPITOLA 15. KINEMATIKA x y = x µ y µ = x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3. Jak vidíme, není časoprostor Euklidovský. V případě speciální teorie relativity pracujeme v Minkovského prostoru s metrickým tensorem g µ ν = g µ ν = diag (1, -1, -1, -1). [ Tato volba znamének je obvyklá ve většině literatury; existuje rovněž druhá možnost: (-1, 1, 1, 1).] Metrický tensor g µ ν můžeme použít při přechodu od kovariantního ke kontravariantnímu vektoru a opačně: x µ = g µ ν x ν a x µ = g µ ν x ν. Pokud se ve vztahu vyskytuje dvakrát týž index, sumujeme přes něj - Einsteinovo sumační pravidlo. Skalární součin proto můžeme rovněž vyjádřit jako x y = g µ ν x µ y ν = g µ ν x µ y ν. Kvadrát čtyřvektoru je jedním z relativistických invariantů x 2 = x µ x ν. Podle hodnoty tohoto invariantu dělíme čtyřvektory na časupodobné (time-like): x 2 > 0 světlupodobné (light-like): x 2 = 0 prostorupodobné (space-like): x 2 < 0 Rychlost světla je ve speciální teorii relativity konečná a je limitní rychlostí pohybu objektů ve vesmíru. V dalším textu opět využijeme vhodné volby jednotek a zvolíme c = 1. V tomto případě se časová i prostorové osy stávají zcela ekvivalentními. Pokud tedy budeme uvažovat bod v Minkovského časoprostoru zjistíme, že časoprostor se dělí do několika oblastí. To lze nejlépe znázornit následujícím obrázkem: 140

141 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Obrázek 15.1: Prostor ve speciální teorii relativity dělíme na časupodobnou oblast uvnitř světelných kuželů, prostorupodobnou oblast mimo ně a na světelné kužely samotné Prostor je rozdělen mezi dvěma kuželovými plochami světelných kuželů (ve skutečnosti to jsou 3-dimenzionální plochy vnořené ve 4-rozměrném prostoru). Uvnitř světelného kužele směrem do záporných časů leží oblast, která mohla ovlivnit stav v námi uvažovaném bodě. Pouze z této oblasti se do uvažovaného bodu mohly podsvětelnými rychlostmi dostat objekty, které ho mohly ovlivnit. Jejich trajektorie jsou časupodobné. Plocha samotného světelného kužele odpovídá trajektoriím světla, které se do daného bodu časoprostoru mohlo dostat. Trajektorie světla jsou světlupodobné. Pokud se chceme pohybovat z uvažovaného bodu, bude naše trajektorie vždy ležet uvnitř budoucího světelného kužele a bude časupodobná. Po budoucím světelném kuželi se budou pohybovat světelné paprsky vyslané z námi uvažovaného bodu a poletí opět po světlupodobných trajektoriích. Prostorupodobná oblast vně světelných kuželů je pro klasický pohyb nedostupná. Abychom jí mohli dosáhnout, museli bychom se pohybovat rychleji než světlo. Rychlost budeme nadále označovat v (někdy se při c=1 označuje též jako β); musíme mít ale na paměti, že v < 0, 1) pro hmotné objekty a v = 1 pro světlo ve vaku. Relativistický γ faktor pak vyjádříme jako γ = 1 1 v Lorentzova transformace Transformace mezi obecně natočenými souřadnými inerciálními systémy závisí na šesti parametrech, Pro naše účely postačí, když budeme uvažovat transformace mezi systémy 141

142 KAPITOLA 15. KINEMATIKA které se pohybují vzájemnou rychlostí v a jejichž souřadné systémy v čase t = t = 0 splývají. Prostorovou část čtyřvektoru můžeme rozdělit na složku rovnoběžnou se směrem pohybu x a na složku kolmou x. Přičemž x = ( x v) v v 2, x = x x. Pak transformace závisí na třech parametrech - složkách vektoru rychlosti: x 0 = γ (x + v x ) x = γ (x + v x 0 ) x = x. Inverzní transformace má formu x 0 = γ (x 0 v x ) x = γ (x + v x 0 ) x = x. Jak je patrno, dochází k provázání časové osy a osy směru letu inerciálního systému. Prostor ve směrech kolmých na směr pohybu se nemění. Často využívaným důsledkem speciální teorie relativity jsou kontakce délek a dilatace času. Dilatace času má kupříkladu za následek prodloužený dolet nestabilních částic pohybujících se rychlostmi blízkými rychlosti světla. Proto mohou miony vznikající při dopadech kosmického záření na atmosféru pohybující se například 98 % rychlosti světla dopadnou až na zemský povrch. Střední doba života mionu v laboratoři je τ 0 = 2.2 µs. Pokud se však pohybují uvedenou rychlostí, je pro pozorovatele stojícího na Zemi tato doba přibližně 5-krát delší. Při pohybu rychlostí světla tak za 11 µs překonají 3.3 km. Rozdělení doby života částic je exponenciální, N(t) = N(0) e t τ, přičemž τ = γ τ 0. Proto vidíme, že skrze celou tloušt ku atmosféry může proletět nezanedbatelné množství mionů. Časový interval t měřený pozorovatelem v určité vztažné soustavě S se jeví jinému pozorovateli, vůči němuž se soustava S pohybuje rychlostí v, jako t = t q 1 v2 c 2 = γ t. Obdobně dochází ke kontrakci délky objektu, který pozorujeme v pohybu. Pokud je vlastní délka objektu - měřená v jeho klidové soustavě - L, pak - pokud se vůči laboratoři 142

143 KAPITOLA 15. KINEMATIKA pohybuje rychlostí v - zjistíme, že má délku menší: L = L γ = L 1 v2 c 2. Proto dochází například ke zploštění relativistických jader Základní relativistické invarianty Tak jako čas, i energie není relativistickým invariantem, ale transformuje se při Lorentzově transformaci jako nultá komponenta čtyřvektoru energie - hybnosti, p = (E, p). Invariantem je kvadrát čtyřvektoru p 2 = p µ p µ = E 2 p 2 = m 2. Tento invariant nazýváme invariantní hmotou. Invariantní hmotu můžeme stanovit i pro skupinu N částic pocházejících například z rozpadu nestabilní částice X s hmotou M X. Invariantní hmotu skupiny částic označíme W a lze ji určit ze vztahu W 2 = ( N E i ) 2 ( N p i ) 2 i = ( N i i r i 2 + m 2 i )2 ( N i p i ) 2. Čtyřvektor energie hybnosti se transformuje stejně jako čtyřvektor souřadnice x µ : p 0 = E = γ (p 0 + v p ) p = γ (p + v p 0 ) p = p. Platí rovněž následující užitečné vztahy: γ = E/m, v = p/e a vztah svazující 3-hybnost a rychlost: p = γ m v. 143

144 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Obrázek 15.2: K definici Mandelštamových invariantních proměnných s, t, u 15.3 Hmotová slupka, příčná hybnost a hmota Pro volně se pohybující částici musí být splněna podmínka svazující její energii a hybnost, p µ 2 = E 2 p 2 = m 2 O částici pak říkáme, že se pohybuje na hmotové slupce. To redukuje počet stupňů volnosti na tři a částice může být popsána například pomocí proměnných (x +, p ), které budou zavedeny dále. Pokud se ovšem částice zúčastňuje interakce nebo je vázána v určitém systému, nemusí již splňovat podmínku hmotové slupky, není již volnou částicí. O takové částici říkáme, že je mimo hmotovou slupku. K jejímu popisu pak potřebujeme například proměnné (E, m 2, p ). Jak jsme mohli sledovat v odstavci týkajícím se Lorentzovy transformace, složky vektoru kolmé na směr pohybu se nemění. Proto je vhodné při popisu pohybu částic rozdělit hybnost na složku paralelní s osou pohybu vztažné soustavy a na složku kolmou. Pro případ kolize částic obvykle rovněž můžeme předpokládat, že proti sobě nalétávající částice nemají příčné složky hybnosti. Proto příčné hybnosti částic rozptýlených nebo při kolizi vzniklých nesou důležitou informaci o kolizních procesech. Pokud budeme uvažovat například osu z jako osu svazku proti sobě letících částic, můžeme definovat podélnou hybnost: p = p z a příčnou hybnost: p T = p = p x 2 + p y 2. Často se rovněž při popisu chování v příčné oblasti můžeme setkat s pojmem příčné hmoty: m T = m 2 + p T

145 KAPITOLA 15. KINEMATIKA 15.4 Kinematické proměnné - proměnné světelného kužele, rapidita, pseudorapidita Pro popis chování objektů ve směru podélném, ve kterém se Lorentzovou transformací jeho charakteristiky mění, je vhodné použít proměnných, které jsou bud přímo relativisticky invariantní, nebo je jejich chování při přechodu mezi vztažnými soustavami jednoduché a transparentní. Nyní zavedeme základní proměnné používané ve fyzice vysokých energií a ve fyzice jaderných srážek. Proměnné světelného kužele Proměnné světelného kužele jsou relativisticky invariantní proměnné využívané obvykle ve fragmentačních oblastech, tedy v kinematické oblasti, kde produkty vyletující ze srážky pocházejí z částic terčíku nebo projektilu (může se jednat o jejich fragmenty). Uvažujem proces a + b c + x, přičemž a je terčíková částice a b je částice svazku. Označme pro jedenoduchost složky čtyřhybnosti každé z částic místo p µ a pouze a µ. Například tedy a 0 = E a,..., a z = p z a. Nyní můžeme definovat pro produkt c, který studujeme, dopřednou hybnost na světelném kuželi (forward light-cone momentum) c + = c 0 + c z a zpětnou hybnost na světelném kuželi (backward light-cone momentum) c = c 0 c z. Obdobně můžeme postupovat i pro částici b nalétávajícího svazku. Poté můžeme zavést dopřednou proměnnou světelného kužele x + = c 0+c z b 0 +b z < 0, 1 > jako frakci dopředné hybnosti na světelném kuželi částice b svazku nesenou produktem c. V dopředné oblasti (ve směru letu částic svazku) často označujeme x + pouze x. Pro částice pohybující se v těžišt ové soustavě srážky opačně než částice svazku je vhodné zavést zpětnou proměnnou světelného kužele (backward ligt-cone variable) x = c 0 c z a 0 a z < 0, 1 >, 145

146 KAPITOLA 15. KINEMATIKA kde a 0, a z se vztahují k částici terčíku pohybující se v těžišt ové soustavě srážky opačným směrem než částice svazku: pz a = pz b Rapidita Rapiditu můžeme považovat za relativistickou aditivní míru rychlosti, která v limitě malých rychostí přechází v rychlost samotnou. Rapidita částice je definována jako y = 1 2 ln ( p 0+p z p 0 p z ) = 1 2 ln ( c + c ). Pokud budeme transformovat mezi dvěma vztažnými soustavami, kde F se pohybuje vůči laboratorní soustavě F rychlostí v, změní se rapidita pouze o aditivní konstantu y B odpovídající rychlosti v pohybu soustavy F : y = 1 2 ln ( p 0 +p z p 0 p z ) = 1 2 ln ( 1 v 1+v ) ( p 0+p z p 0 p z ) = 1 2 ln ( 1 v 1+v ) + y. Vidíme tedy, že y B = 1 1 v 2 ln ( 1+v ) je rapidita pohybující se soustavy. Můžeme lehce demonstrovat invariantnost proměnných světelného kužele. Pokud přejdeme ze soustavy F k soustavě F pohybující se vůči F rychlostí v (< 0, 1), pracujeme s c=1), můžeme provést Lorentzovu transformaci čtyřhybností: c 0 = γ (c 0 + v c z ), kde γ = 1 1 v 2 c z = γ (c z + v c 0 ) c T = c T. Obdobně pak můžeme postupovat pro b. c 0 b 0 + c z = γ (c 0 + v c z ) + γ (c z + v c 0 ) = γ (c 0 + v c z + c z + v c 0 ) = γ ((1 + v) c z + (1 + v) c 0 ) = γ (1 + v) (c 0 + c z ) + b z = γ (1 + v) (b 0 + b z ) 146

147 KAPITOLA 15. KINEMATIKA x = c 0 +cz b 0 +b z = c 0+c z b 0 +b z = x. Proměnná x může využít jakékoli částice b místo částice svazku b. Pak čtyřhybnost p b µ částice b vytváří škálu pro měření p c µ. Uved me několik užitečných vztahů, které využijeme při výpočtech s rapiditou: e y = p 0 +p z p 0 p z, e y = p 0 p z p 0 +p z E = p 0 = m T cosh y, kde m T 2 = m 2 + p T 2 y B = 1 2 p z = m T sinh y ln ( 1+v 1 v ) lim v 0 v x T = mc T m b e y y b, kde m ct je příčná hmota částice c. y = y b + ln x T + ln (m b /m ct ) Obrázek 15.3: Rozpětí rapidit v experimentech na hlavních urychlovačích pro experimenty s jadernými srážkami. Převzato z [] 147

148 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Tvar rapiditních rozdělení částic vznikajících při kolizi Problematika tvaru rozdělení rapidit částic vznikajících při srážkách částic je komplikovaná a detailně se s ní seznámíme v přednášce o fyzice ultrarelativistických jaderných srážek. Na tomto místě uved me jen několik faktů důležitých pro práci s rapiditou a kinematické úvahy. Obecně má rapiditní rozdělení tvar zvonové funkce, která může mít ve střední části plató různé šířky závisející na energii srážky. Po stranách tohoto plata jsou dvě klesající ramena. Příklad takového rozdělení je uveden na obrázku: Obrázek 15.4: Tvar rapiditního spektra částic produkovaných při N-N čí A-A srážce při relativistických energiích Vidíme zde již dříve zmíněné fragmentační oblasti, ve kterých je vhodné použít proměnné světelného kužele. V centrální oblasti pak obvykle pracujeme s rapiditou. Tvar rozdělení rapidit se při přechodu mezi vztažnými soustavami nemění, celé se však posouvá: Obrázek 15.5: Příklad tvar rapiditního spektra v těžišt ové a terčíkové soustavě 148

149 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Transformovat mezi CM S a T S se naučíme v následujících odstavcích. Pseudorapidita Pokud nemůžeme určit energii částic, lze místo rapidity použít pseudorapiditu η definovanou jako η = 1 2 ln ( p +pz p p z ) = ln (tan ϑ 2 ), kde ϑ je úhel měřený od osy svazku. Pseudorapiditu tedy můžeme určit pouze ze znalosti úhlu výletu částice. Jak je patrno, nemusíme mít ani informaci o hybnosti částic. Pro pseudorapiditu platí opět několik užitečných vztahů: p = p T cosh η, p T = p 2 p z 2 p z = p T sinh η. Pseudorapiditu lze pomocí rapidity vyjádřit následovně: η = 1 2 ln [ m T 2 cosh 2 y m 2 +m T sinh y m T 2 cosh 2 y m 2 m T sinh y ]. Tvar rozdělení produkovaných částic v pseudorapiditě se k jejich rozdělení vztahuje následovně: dn m dη dp T = 1 2 m 2 T cosh 2 y dn dy dp T. Pokud tedy budeme porovnávat tato rozdělení v těžišt ovém systému, bude střed rozdělení v pseudorapiditě potlačen faktorem 1/ 1 m2 m 2 T, protože cosh 0 = 1. Pracujeme v tomto případě s určitým intervalem p T, který určuje hodnotu m T. Čím dále se budeme vzdalovat od středu rozdělení, tím menší bude díky rostoucímu cosh y potlačující faktor. Pokud budeme pracovat v terčíkovém systému (terčík je v klidu v laboratoři), bude m maximum rozdělení obvykle v oblasti několika jednotek y. Faktor 2 bude potom m 2 T cosh2 y velmi malý a díky tomu budou rozdělení v rapiditě a pseudorapiditě téměř totožná: Těžišt ový a laboratorní systém a transformace mezi nimi Nejčastější vztažné soustavy používané při popisu srážkových procesů jsou 149

150 KAPITOLA 15. KINEMATIKA těžišt ová soustava spojená s těžištěm; težišt ovou soustavu označujeme jako CM, CM S nebo hvězdičkou u příslušných veličin laboratorní systém spojený s laboratoří; terčíkovou soustavu označujeme jako T S nebo LAB Někdy je rovněž vhodné pracovat v soustavě spojené s rychle letícím projektilem. Uvažujme nyní příklad terčíkového experimentu, při kterém je terčík v klidu v laboratoři a dopadá na něj svazek protonů. Těžiště srážejícího se systému p N se tedy pohybuje. Nyní odvodíme vztahy pro transformaci energií a hybností mezi terčíkovou a těžišt ovou soustavami. Vzájemný pohyb soustav je znázorněn na následujícím obrázku: Obrázek 15.6: Pohyb těžišt ové soustavy v soustavě laboratorní při srážce s pevným terčíkem Označme indexem T S energie a hybnosti v T S. Hvězdičkou označíme energie a hybnosti v těžišt ové soustavě CM S. Mějme čtyřhybnosti částice svazku p T S a a částice terčíku p T S b = (Ea T S, 0, 0, Pa T S ) = (m T S b, 0, 0, 0). V těžišt ové soustavě tak dostáváme p a = (E a, 0, 0, P a ) pb = (E b, 0, 0, P b ). Platí následující transformační vztahy: 150

151 KAPITOLA 15. KINEMATIKA přičemž P a = γ CM (P T S a E a = γ CM (E T S a P b = P a p a = (E a, 0, 0, P a ) E b = m b [E T S a + v CM E T S a ) + v CM P T S a ) + m b ]/ s E a = (m 2 a + m b E T S a / s, v CM = Pa+P b E a+e b P b=0 = P a T S Ea T S +m b s = (p a + p b ) 2 = (E a + E b ) 2 (p a + p b ) 2 s = m 2 a + m 2 b + 2 m b E T S a, kde s je celková těžišt ová energie systému; s je rovněž jednou z Mandelstamových proměnných, o kterých se zmíníme později. Celková energie v težišt ové soustavě je důležitá proto, že právě tato energie je k dispozici pro tvorbu částic. V případě terčíkového experimentu není v laboratoři těžiště v klidu, a proto s sebou odnáší významnou část energie nalétávající částice. Pro tvorbu částic je (pro relativistické částice) k dispozici s. = 2 P a. Oproti tomu u experimentů se vstřícnými svazky částic je těžiště srážky v laboratoři v klidu a pro tvorbu částic je k dispozici suma energií obou srážejících se částic Dvoutělesové rozpady, Arementeros-Podolanski plot Nyní můžeme přistoupit ke studiu kinematiky nejjednodušší částicové reakce, dvoutělesového rozpadu nestabilní částice. Příkladem takového procesu může být α rozpad jádra nebo rozpad neutrálních K 0 mesonů na dvojici pionů, případně rozpad Λ p π, nebo rozpady nabitých π mesonů na lepton a leptonové neutrino. Nestabilní částici nazýváme částicí mateřskou, produkty rozpadu pak částicemi dceřinnými. Mějme mateřskou částici s hmotou M, která je v klidu (budeme pracovat v těžišt ové soustavě CMS). Čtyřhybnost této částice je P = (M, 0, 0, 0). Označme čtyřhybnosti produktů rozpadu p 1 = (E 1, p 1 ), p 2 = (E 2, p 2 ). Zákon zachování čtyřhybnosti vyžaduje, aby platilo P = p 1 + p 2, 151

152 KAPITOLA 15. KINEMATIKA z čehož vyplývá, že p 1 = p 2 = p, ze zachování energie pak vyplývá E 1 + E 2 = m p 2 + m p 2 = M. Pro velikost rozpadové hybnosti pak dostáváme p = 1 2 M [M 2 (m 1 m 2 ) 2 ] [M 2 (m 1 + m 2 ) 2 ], přičemž z nutnosti pozititivního argumentu pod odmocninou plyne důležitý závěr, že M m 1 + m 2, tedy že suma hmot produktů nemůže převýšit hmotu mateřské částice. Lze říci, že částice se může rozpadnout pouze tehdy, pokud její hmota převyšuje hmoty jejích rozpadových produktů. Je-li toto splněno, je částice nestabilní a rozpadá se, pokud to však nezakazuje některý ze zákonů zachování. Energie dceřinných částic odvodíme následovně: velikost hybnosti obou dceřinných částic je stejná p 1 = p 2 = p, p 2 1 = E 2 1 m 2 1 a p 2 2 = E 2 2 m 2 2. Můžeme tedy psát rovnost E 2 1 m 2 1 = E 2 2 m 2 2 = p, a z ní vyjádřit např. E 2 2 = E m 2 2 m 2 1. Zároveň ale víme, že E 1 = M E 2, z čehož plyne E 2 2 = M 2 2 ME 2 + E m 2 2 m 2 1. Odtud můžeme lehce vyjádřit E 2 jako 152

153 KAPITOLA 15. KINEMATIKA E 2 = 1 2M (M 2 + m 2 2 m 2 1 ). Obdobně pro E 1 platí E 1 = 1 2M (M 2 + m 2 1 m 2 2 ). Při dvoutělesovém rozpadu není preferovaný směr výletu dceřinných částic. V CM S je jejich směrové rozdělení isotropní a částice letí z místa rozpadu opačným směrem. Hybnosti a energie dceřinných částic jsou zafixovány hmotou M a hmotami produktů m 1, m 2. To neplatí u třítělesových rozpadů ani u dalších procesů. Užitečné je rovněž studium kinematiky dvoutělesového rozpadu sledovaného v laboratorním systému. Sledujeme tedy rozpad mateřské částice za letu. Zvolme za směr letu osu z. Čtyřhybnosti mateřské částice a dceřinných částic označíme P = (E, 0, 0, p), P 1 = (E 1, p 1, p 1z ), P 2 = (E 2, p 2, p 2z ), p = p 2 x + p 2 y. Vzhledem k zachování hybnosti vidíme, že příčné složky hybnosti jsou stejně veliké a opačně orientované: p p 1 p 2. Obrázek 15.7: K definici úhlů při srážce v těžišt ové a laboratorní soustavě Velikost energie a hybnosti v LAB systému je dána Lorentzovou transformací CM S hybností a energií, které označíme hvězdičkou: E 1 = γ (E 1 + v p 1z ) p 1z = γ (p 1z + v E 1 ) p 1 = p 1, kde γ = E/M, v = p/e a E = P 2 + M 2 odpovídají pohybu mateřské částice. 153

154 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Úhel výletu dceřinné částice v laboratorním systému určuje vztah tan Θ 1 = sin Θ 1 γ (v/v 1 + cos Θ 1 ), kde v1 je rychlost částice 1 v CMS, v 1 = p 1 E1. Při výpočtu hybnosti v LAB soustavě můžeme vyjít i ze vztahů vyjadřujících zachování hybnosti a energie: E = E 1 + E 2 = m p 2 + m p 2 p = p 1 + p 2 Pokud nahradíme p 2 2 = ( p p 1) 2, dostaneme po delší manipulaci závislost p 1 na úhlu výletu Θ: p 1 = (M 2 +m 2 1 m 2 2 ) p cos Θ 1±2E M 2 p 2 m1 2 p 1 2 sin2 Θ 1 2 (M 2 +p 2 sin 2 Θ 1 ) Faktor pod odmocnninou musí být kladný.. Pokud je faktor M p m 1 p úhlem. > 1, mohou částice vyletovat v LAB systému pod libovolným Pokud je ale M p m 1 p < 1, existuje maximální úhel výletu Θ 1 mx, který určíme ze vztahu sin Θ 1 mx = M p m 1 p. Pro každý úhel Θ 1 < Θ 1 mx existují dvě přípustné hodnoty p 1 : Obrázek 15.8: K výkladu přípustných úhlů výletu částic 154

155 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Při popisu dvoutělesových rozpadů můžeme s výhodou využít Armenteros-Podolanského graf. Již zmíněná vazba mezi kinematickými vlastnostmi rozpadových produktů se projeví tak, že rozpady určitého druhu vytvoří v tomto grafu část elipsy. Armenteros-Podolanského graf vyjadřuje závislost mezi rozpadovou hybností q T a parametrem α souvisejícím se symetrií rozpadu a definovaným níže. Hybnost q T nabývá maximální hodnoty rovné rozpadové hybnosti (rovněž tabelované v Particle data booklet). Obrázek 15.9: K definici proměnných v Armenteros - Podolanského grafu Obrázek 15.10: Příklad tvaru Armenteros - Podolanského grafu Zaved me α 1 = arccos p 1 p p 1 p, α 2 = arccos p 2 p p 2 p, pak pro parametr α dostáváme vztah: α = p 1 cos α 1 p 2 cos α 2 p 1 cos α 1 + p 2 cos α 2 q T1 = p 1 sin α 1 q T2 = p 2 sin α 2 = q L 1 q L2 q L1 +q L2. 155

156 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Tento graf lze experimentálně použít k selekci určitého dvoutělesového rozpadu, případně ke zkoumání, zda se jedná o rozpad symetrický či asymetrický (zda jeho produkty mají stejné hmoty či nikoliv). Obrázek 15.11: Kinematická selekce rozpadů pomocí Armenteros - Podolanského grafu Výběrem rozpadu z určité oblasti grafu můžeme získat například čistý vzorek rozpadů Λ a Λ Třítělesové rozpady, Dalitz plot Uvažujem nyní rozpad mateřské částice na tři produkty. Jejich čtyřhybnosti označíme P, p 1, p 2, p 3, přičemž zachování hybnosti a energie vyžadují, aby bylo splněno P = p 1 + p 2 + p 3. Nyní můžeme definovat následující invarianty: s = P 2 = M 2 s 1 = (P p 1 ) 2 = (p 2 + p 3 ) 2 s 2 = (P p 2 ) 2 = (p 3 + p 1 ) 2 s 3 = (P p 3 ) 2 = (p 1 + p 2 ) 2 s1 je invariantní hmotou páru 2, 3 a s 2 je invariantní hmotou páru 3,1 a s 3 je invariantní hmotou páru 1, 2. Zároveň ovšem platí s 1 + s 2 + s 3 = M 2 + m m m

157 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Prostudujme nyní přípustné hodnoty parametrů s 1,2,3. Prostor konfigurací kinematických proměnných se nazývá fázový prostor. Budeme tedy studovat oblast fázového prostoru pro daný třítělesový rozpad. V Dalitzově grafu, který je pro tento účel velmi vhodný, lze nalézt tvar povolené oblasti a rovněž kinematické konfigurace vzájemného pohybu dceřinných částic. V Dalitzově grafu budeme pracovat v rovině, jejíž souřadnice jsou s 3 (m12 2 ) a s 1(m23 2 ), tedy invariantní hmoty párů. Obecný tvar kinematicky povolené oblasti je znázorněn na následujícím obrázku: Obrázek 15.12: Kinematicky povolená oblast při třítělesovém rozpadu znázorněná na Dalitzově grafu. V některých hraničních bodech jsou znázorněny kinematické konfigurace vzájemného pohybu produktů rozpadu Pokud tedy rekonstruujeme třítělesové rozpady, bude plocha uvnitř povolené oblasti vyplněna, v případě konstantního maticového elementu daného procesu ( M if 2 = konst.) rovnoměrně. Pokud budeme studovat hustotu eventů v průřezu grafem, dostaneme Obrázek 15.13: Projev přítomnosti rezonančního rozpadu viditelný na řezu v Dalitzově grafu 157

158 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Pokud ale v rozpadu existuje rezonantní kanál, při kterém dochází k utvoření dočasného vázaného stavu například produktů 1, 2, dostaneme v jejich invariantní hmotě charakteristický pík odpovídající hmotě rezonance (na obrázku označen čárkovaně). To je i případ rozpadu D + K 0 (892) Π + K Π + Π +, kde m kπ m 12 vyhazuje pík u hmoty m k 0 = 892 MeV/c 2. Studiem hustoty eventů v povolené kinematické oblasti můžeme tedy studovat chování maticového elementu a rovněž určit rezonanční kanály rozpadu a jejich větvící poměry. Známou povolenou kinematickou oblast můžeme rovněž využít pro selekci skutečných rozpadů od náhodných kombinací trojic částic tvořících pozadí. Ve speciálním případě, kdy jsou hmoty některých dceřinných částic nulové, má povolená oblast v Dalitzově grafu odlišný tvar. Obrázek 15.14: Specielní tvary Dalitzova grafu v případě, že některé z produktů rozpadu mají nulové klidové hmoty 15.7 Neelastické srážky Neelastickými budemem nazývat takové srážky, při kterých jsou v koncovém stavu jiné částice, než ve stavu počátečním. Jako příklad uved me anihilaci elektronů a positronů na mionový pár, e + + e µ + + µ reakce s produkcí částic, např. Π + + p Π + + p + Π + + Π. Pokud máme v počátečním stavu částice 1, 2 a v koncovém stavu částice 3,..., n, označme jejich čtyřhybnosti p 1,..., p n. Aby byla zachována celková hybnost a energie, musí být splněno 158

159 KAPITOLA 15. KINEMATIKA p 1 + p 2 = p 3 + p p n. Demonstrujme nyní použití invariantu s při výpočtu minimální laboratorní energie potřebné pro tuto reakci. Částice 1 je částicí svazku a její čtyřhybnost je p 1 = ( E lab, 0, 0, 0). Částice 2 je součástí terčíku a její čtyřhybnost je Pak p 2 = (m 2, 0, 0, 0). s = (p 1 + p 2 ) 2 = m1 2 + m m 2 E lab a s = ( n p i ) 2. s je invariantní, tudíž se jeho hodnota při přechodu do CMS nezmění, pak tedy (E 1 + E 2 ) 2 = s = (E 3 + E E n) 2 (m 3 + m m n ) 2 protože Ei = mi 2 + p i 2 m i. Proto prahová energie v CMS soustavě bude E thr = s min = m 3 + m m n. Musíme mít tedy k dispozici dost energie, abychom mohli vytvořit hmoty částic v koncovém stavu. Ty jsou pak při prahové energii vytvořeny tak, že se vzájemně nepohybují (pokud nesjou nehmotné). Označíme-li M = n m i, pak pro minimální s dostáváme: n s min = m1 2 + m m 2 E labmin = ( m i ) 2 = M 2 }{{} 3 LAB }{{} CMS Odtud určíme minimální potřebnou laboratorní energii E labmin = 1 2 m 2 (M 2 m 2 1 m 2 2 )

160 KAPITOLA 15. KINEMATIKA Pokud zavedeme kinetickou energii v LAB, T lab = E lab m 1, dostaneme minimální prahovou kinetickou energii T labmin = 1 2 m 2 [M 2 (m 1 + m 2 ) 2 ]. Pro příklad můžeme uvést prahovou energii pro produkci páru Π + Π při srážce Π + p. Zkoumáme tedy proces Π + p Π + p + Π + + Π, m p = 0.94 GeV, m Π = 0.14 GeV. T labmin = 1 2 m p [(m p + 3 m Π ) 2 (m p + m Π ) 2 ] T labmin = 2 m Π (1 + 2 m Π m p )= MeV Část kinetické energie dopadajícího pionu se spotřebuje na produkci pionového páru, zbytek ( 4 m Π 2 m p ) na kinetickou energii vzniklých částic. Z uvedeného příkladu je zřejmé, že k tomu, abychom měli k dispozici co největší množství energie k produkci částic, je výhodnější použít experiment se vstřícnými svazky, při kterém je těžiště srážejícího se systému v klidu. Pak se s = E 1 +E 2. Pokud pracujeme v laboratorním systému, je pro produkci částic k dispozici jen s E lab. Pracujeme-li v ultrarelativistické oblasti, můžeme použít odhad s = 2 P lab. Těžišt ová energie v případě srážek N N při P lab = 160 GeV na nukleon je tedy s = = 17.9 GeV. V případě vstřícné srážky svazků o stejné hybnosti by byla s = = 320 GeV. 160

161 Kapitola 16 Zdroje částic 16.1 Urychlovače Urychlovače částic slouží k dodání energie částicím, které pak mohou tuto energii dopravit na místo, kde ji využijeme. Tato energie může být použita k produkci částic, které chceme dále urychlovat, ke zkoumání elementárních procesů při srážkách částic nebo ke studiu jederné hmoty za extrémních podmínek jaderné srážky. Energie částic může být rovněž využita pro terapeutické účely, například v radiační onkologii. Urychlovače dělíme do dvou hlavních skupin a to na urychlovače a) stejnosměrné b) vysokofrekvenční Toto členění rovněž odráží historický vývoj těchto zařízení. Na obrázku 16.1 je uvedeno idealizované schema jednoduchého elektrostatického urychlovače. Jeho hlavními částmi je zdroj částic, který se nachází na takovém elektrickém potenciálu, že vyletující částice jsou urychlováný směrem k terči. Terč společně se zdrojem částic se nacházejí v evakuovaném prostoru. Vysoké napětí do tohoto prostoru přivádíme pomocí vysokonapět ové průchodky. Pokud budeme uvažovat limity tohoto přístupu, zjistíme, že při extrémně vysokých napětích budou důležité i svodové proudy tekoucí po povrchu isolátoru této průchodky. Obrázek 16.1: Schema elektrostatického urychlovače 161

162 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Na obrázku 16.2 vidíme voltamperovou charakteristiku tohoto urychlovače. Z ní vidíme limit vysokého napětí, které můžeme na komoru přiložit. Ten vyplývá, kromě jiného, z maximálního proudu vysokonapět ového zdroje. Max energie U mx, které lze přiložit je rovno U mx MV Obrázek 16.2: Volt-ampérová charakteristika elektrostatického urychlovače Získávání vysokého napětí Vysoké napětí můžeme získávat několika způsoby. V některých případech budeme potřebovat vysoké napětí stále, jindy bude výhodné použít pulsní zdroj, nebot při urychlování ve vysokofrekvenčních urychlovačích potřebujeme urychlovací potenciál jen v orčitých krátkých časových intervalech, kdy je urychlovač schopen částice urychlit. Uved me jako příklad zdroje prvního druhu Cockroft-Waltonův zdroj. Jako příklad zdroje druhého druhu pak Marxův generátor. Cockroft-Waltonův generátor pracuje se střídavým napětím, které je pomocí diod a kondensátorů násobeno. 162

163 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Obrázek 16.3: Cockroft-Waltonův zdroj vysokého napětí Pro ideální případ bez proudového odběru dává tento zdroj napětí 2 U n, kde n je počet stupňů. Pokud odebíráme z výstupu proud, je napětí popsáno vztahem U out = 2 U n 2 ΠI ω c ( 2 3 n n n) Je zřejmé, že pro dosažení co nejmenšího napět ového úbytku je třeba volit vysoké frekvence a kapacitu kondensátorů v násobících stupních. Pro Cockraft-Waltonův zdroj můžeme dosáhnout napětí až U mx = 4 MV Pro pulzní svazky s délkou pulzu µs mohou být tímto zdrojem dodávány proudy svazku 100 ma. Marxův generátor Marxův generátor využívá zdroj stejnosměrného vysokého napětí k nabíjení baterie paralelně zapojených kondensátorů spojených přes resistory. V okamžiku, kdy napětí na kondensátorech dosáhne dostatečné hodnoty, dojde k utvoření jiskry v prvním jiskřišti. Následující jiskřiště v tomto okamžiku rovněž zapálí jiskru. V některých verzích zdroje jsou jiskřiště spouštěna synchronně externím ionisačním činidlem, například laserovým pulsem. Jiskřiště představují spoj s malým odporem, v důsledku čehož se původně paralelně spojené kondensátory dočasně spojí sériově a na konci této sestavy vznikne vysoký potenciál. Kondenzátory se vybíjejí přes nabíjecí odpory a napětí postupně klesá. Marxův generátor dodává krátké pulzy s vysokým proudem svazku: 163

164 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Obrázek 16.4: Marxův pulsní generátor vysokého napětí Obrázek 16.5: Náhradní zapojení Marxova generátoru v okamžiku přeskoku jisker V okamžiku přeskoku jiskry se kondenzátory spojí sériově a složí potenciály, U out = n U Marxův generátor je schopen v krátkém půlsu dodávat extrémně vysoké proudy. Uved me příklad: Příklad: n = 100, c = 2 µf, U = 20 kv, T puls 40 ns, I svazku = 500 ka, U out = 2 MV. Maximálně bylo dosaženo U out = 6 MV. Marxův generátor se využívá například v zařízeních pro studium termojaderné fúze typu Z-pinch. Van-de-Graaffův urychlovač (1930) Dalším typem vysokonapět ového zdroje je Van-de-Graaffův elektrostatický generátor, který byl historicky rovněž použit s elektrostatickým Van-de-Graaffovým urychlovačem, viz. obrázek Oproti výše uvedenému zjednodušenému schematu elektrostatického urychlovače obzahuje Van-de-Graaffův urychlovač systém elektrostatických čoček, které 164

165 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC fokusují urychlovaný svazek. Na disky čoček je přiváděn z odporového děliče postupně nižší a nižší potenciál, takže slouží rovněž k urychlení částic. Obrázek 16.6: Van-de-Graafův generátor a urychlovač Pro dosažení vyšších napětí (energiíí) se používá tandemový urychlovač (1936), který je schopen dodávat částicím energie až E 20 MeV. Tento urychlovač využívá toho, že kladné ionty (protony) lze přebít na záporné ionty H. Tyto ionty jsou urychleny Vande-Graaffovým urychlovačem, přebytečné elektrony jsou jim odebrány a zbývající kladé ionty jsou opět urychleny dalším stupněm Van-de-Graaffova urychlovače. Výhodou tohoto způsobu je možnost využit jednoho zdroje uruchlovacího vysokého napětí: Obrázek 16.7: Tandemový Van-de-Graafův urychlovač V tandemovém Van-de-Graaffově urychlovači lze dosahnout energie až E mx 1 GeV. Vyšších energií se stejnosměrným urychlením nelze dosáhnout, musíme přejít k st(vf) systémům urychlení. Lineární urychlovač (Widerőe) 165

166 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC První lineární urychlovač byl vyvinut Widerőem. Urychlovač využívá faktu, že v případě, že částice proletí urychlovací mezerou ve vhodném okamžiku, může od střídavého elektrického pole v mezeře získat energii. Při dalším letu válcovou elektrodou na částici elektrické pole nepůsobí. K další urychlovací mezeře však musí dorazit opět v okamžiku, kdy urychlovací elektrické pole bude mít vhodnou polaritu. Ve válcové elektrodě tedy musí částice strávit polovinu periody vysokofrekvenčního elektrického pole - viz. obr Vzhledem k tomu, že s nárůstem energie narůstá pro nerelativistické částice i rychlost jejich pohybu, musí být následující válcová elektroda vždy delší. Obrázek 16.8: Schema lineárního vysokofrekvenčního urychlovače Po i-té urychlovací mezeře mají částice energii E i = i q U 0 sin ψ S, kde φ S je střední fáze vlny, kterou částice vidí při průletu mezerou. V počáteční fázi urychlení se částice pohybují ještě nerelativisticky, v c, tedy E i = 1 2 m v 2 i, a odtud plyne rychlost, kterou mají po průletu i-tou mezerou. Uvnitř válce pole necítí, než doletí na druhý konec musí se změnit o Π fáze vlny, to tedy bude trvat T V f 2. Potom l i = v i T V f 2 = v i 2 f V f = v i λ V f 2 c = β i λ V f 2, kde β=v c, dosadíme z předchozího za v i a dostáváme l i = 1 i q U 0 sin ψ S ν V f 2 m, l i i. 166

167 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Fázová fokusace Aby nedocházelo k rozplývání shluku částic, který urychlujeme, je třeba využít efektu fázové stabilizace. Proncip fázové stabilizace je znázorněn na obr Částice přilétající do urychlovací mezery dříve jsou urychlovány menším elektrickým polem, než částice přilétající později. To má za následek udržení tvaru urychlovaného shluku částic ve směru urychlení. Obrázek 16.9: Princip fázové fokusace Pro elektrony s energiemi E MeV se elektrony začínají chovat relativisticky, jejich rychlost se blíží limitně rychlosti světla ve vakuu v c. V takovém případě je třeba použít lineární urychlovač jiné konstrikce, ve které je délka urychlovacích segmentů konstantní. Lineární urychlovač relativistických elektronů Schema takového urychlovače je uvedeno na obr Využívá se v něm interakce urychlovaného svazku s postupnou nebo stojatou vlnou v rezonancní dutině s periodickou strukturou. K urychlování je třeba použít modu T M 01, který má vektor elektrického pole orientován ve směru letu částic. Na obrázku jsou naznačeny některé z použitelných módů. Konstrukce lineárních urychlovačů pro vysoké energie částic je velmi náročná, zařízení musejí být velice dlouhá, diky tomu, že urychlované částice prolétají urychlovačem pouze jednou. V určitých případech je jejich konstrukce přesto výhodná (SLAC), zejména při urychlování elektronů, které při použití kruhovývh urychlovačů, kterým se budeme věnovat níže, ztrácejí významnou část energie synchrotronním zářením. Krom speciálních případů je výhodné konstruovat urychlovače s kruhovou dráhou částic. Urychlované částice se pohybují v urychlovači po uzavřené trajektorii, na které mohou opakovaně získávat energii v 167

168 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC urychlovacích elementech. Věnujme se nyní vývoji těchto urychlovačů z historického hlediska. Prvním v ředě těchto urychlovačů byl cyklotron. Obrázek 16.10: Schema lineárního urychlovače relativistických částic Cyklotron (E.O. Lawrence, 1932) [1.2 MeV] První cyklotron byl zkonstruován E.O. Lawrencm v roce Cyklotron využívá toho, že v důsledku Lorentzovy síly se nabitá částice pohybuje v homogenním magnetickém poli po kruhové dráze. Zároveň pro nerelativistické částice platí, že doba oběhu nezávisí na energii částice a odpovídá cyklotronové frekvenci. Díky tomu lze využít jednu urychlovací mezeru k mnohonásobnému urychlení částice. Schema cyklotronu je znázorněno na obr Obrázek 16.11: Schema cyklotronu Na příkladu cyklotronu je možné jednoduše analyzovat pohyb urychlovaných částic v urychlovači. Věnujme se tedy tomuto problému podrobněji. 168

169 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Vyjděme z pohybové rovnice pro pohyb v magnetickém poli: F = ṗ = d dt (m v) = e v B }{{} Lorentzova síla Pohyb probíhá v x, y rovině, p = potom ṗ = m nebo po složkách: v y B z v x B z 0, p x p y 0 = m v x v y 0, ṗ x = m v x = e v y B z ṗ y = m v y = e v x B z. Zderivujme ještě jednou podle času, v x + e2 m 2 B 2 z v x = 0 v y + e2 m 2 B 2 z v y = 0, a po úpravě dostaneme v x (t) = v 0 cos ω z t v y (t) = v 0 sin ω z t, kde ω z = e m B z je cyklotronová frekvence. Cyklotronová frekvence nezávisí na rychlosti! Tudíž zvýšení rychlosti urychlením (v mezeře) musí kompenzovat zvětšení poloměru dráhy. Cyklotrony pracují dobře v nerelativistické oblasti pro m. = konst. m v x = e v y B z v y = m vx e B z m v y = e v x B z v x = m vy e B z, 169

170 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC 1) m v x = m2 v y e B z = e v y B z v y = e2 B 2 z m 2 v y v y + e2 B 2 z m 2 v y = 0 2) m v y = m2 v x e B z = e v x B z v x + e2 B 2 z m 2 v x = 0 Řešením rovnic 1) a 2) je v x (t) = v 0 cos ω z t v y (t) = v 0 sin ω z t, kde ω z = e m B z je cyklotronová frekvence. Pro vyšší energie, kdy m konst. a dochází k nárůstu hmoty částic a v důsledku toho se částice zpožd ují při příletu do urychlovací mezery. Když v průběhu urychlování snížíme ω z, je možné kompenzovat nárůst hmoty. Na tomto principu pracuje synchrocyklotron. V tomto případě však v urychlovači můžeme v jednom urychlovacím cyklu pracovat pouze s jedním shlukem částic. Pro urychlování elektronů múžeme využít konstrukci urychlovače nazývanou mikrotron. Mikrotron Slouží k urychlování elektronů tam, kde nelze použít cyklotron (m = 511 kev). Rychle 1 dosáhne relativistického limitu v = c, m, m = γ m 0, γ =, β = v 1 β 2 c, E 2 = m0 2 c 4 + p 2 c 2. Aby mohl mikrotron pracovat, je třeba, aby elektrony dorazily do linacu se správnou fází elektrického pole v něm, musí mít dráhu delší o tolik, aby na ní byly o k T V f déle. E 1ob = k e c 2 B 2Π f V f Největší mikrotron MAMI se nachází v Mainzu a dodává elektronům energii E = 820 MeV. 170

171 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Obrázek 16.12: Schema mikrotronu typu racetrack pro urychlování elektronů. D označuje dipólové magnety, Q kvadrupolové magnety fokusující svazek, K je kicker magnet. K urychlení slouží mikrovlná rezonanční dutina a jako zdroj elektronů elektronové dělo K urychlení lze využít nejen elektrického pole, ale i změny pole magnetického. Tohoto principu využívá betatron. Betatron (D.W.Kerst, ) [20 MeV] Obrázek 16.13: Průřez betatronem. Vyznačeny jsou hlavní a korekční cívka a vakuová trubice v níž cirkuluje svazek na dráze o středním poloměru R 171

172 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Urychlení probíhá díky indukci způsobené proměnným magnetickým polem B(t). B(t) = B 0 sin ω t, E d e = Ḃ d s < B >= 1 Π R 2 B(r) d f 2 Π R E = Π R 2 d dt < B > E = R 2 < Ḃ > Elektrony pocit ují urychlovací sílu: F = ṗ = e E = e R 2 < Ḃ > Musí být splněna Widerőeho betatronová podmínka: B(t) = 1 2 < B(t) > + B 0 hlavní cívky korekční cívky Elektrony v betatronu provádějí kmitavý pohyb kolem kruhové trajektorie, tento jev se nazývá betatronové kmity. Tento výraz je používán obecně i u jiných transverzálních kmitů svazku. Synchrotron E ecb. Pro relativistické částice roste poloměr dráhy v magnetickém poli s energií, R = Limit pro E tedy pochází od maximálního B a od maximální velikosti magnetu. Abychom udrželi částice na dráze s R = konst., pak E B musí být také konst. B při E - toto umožňuje synchrotron. U synchrotronu rovněž nepoužíváme jeden magnet, ale k udržení částic na kruhové trajektorii slouží více dipólových magnetů. K fokusaci svazku pak slouží dvojice kvadrupólových magnetů z nichž jeden fokusuje v horizontální a druhý ve vertikální rovině. Tento způsob fokusace svazku se nazývá silná fokusace. 172

173 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Obrázek 16.14: Schema synchrotronu Storage ring - collider (srážeč) Obrázek 16.15: Schema srážeče vstřícných svazků - collideru. Vyznačeny jsou čtyři interakční zóny Pokud chceme docílit čelných srážek částic jejichž těžiště je v klidu v laboratorní soustavě při kterých dostaneme největší energii pro produkci částic, musíme proti sobě urychlit dva svazky částic. To lze při srážkách p, p a e +, e realizovat v jedné trubici s jedním magnetickým systémem, protože Lorentzova síla je stejná pro protiběžné svazky částic a antičástic, F = e ( v B) = e ( v B). V případě, že chceme ve srážeči použít v obou svazcích protony nebo jádra, je třeba 173

174 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC vybudovat urychlovač se dvěma trubicemi a dvěma magnetickými systémy s opačnou polaritou pole v dipólových magnetech. Pak mohou stejně nabité částice kroužit proti sobě. Výhodou srážeče je, že k částicové produkci dochází v klidu v laboratorním systému, a proto k vybuzení procesů potřebujeme menší energii svazku než v případě experimentu s terčíkem, E col = E e + + E e, E fix. = 2 p beam. Hustota svazku je však malá ve srovnání s hustotou terčíku. Abychom mohli dosáhnout maximálního možného počtu srážek, je teba hustotu svazku maximalizovat. Počet procesů za sekundu: N p = dnp dt = σ p E L, kde σ p je účinný průřez procesu, L je luminosita: L = 1 4 Π f un 1 N 2 σ x σ y, kde N 1, N 2 jsou počty částic ve svazcích, f u je počet oběhů částice ve svazku (balíku částic) collideru za 1 s, σ x σ y šířka svazku (průsečíku svazků) v oblasti interakce L [ ] = L [ cm 2 s nb s ] = Ṅp σ p. Oproti synchrotronu potřebuje storage ring lepší vakuum (10 7 Pa) a přesnější mg. optiku, aby bylo možno navádět proti sobě co nejužší svazky. Máme-li obvod storage ringu 300 m, pak frekvence oběhu je f u =1 MHz. V kolizních oblastech, kde se kříží svazky - tzv. interakční body (místa) - se svazek stlačí na σ x,y 25µm, dosahovaná luminosita L cm 2 s 1. Obrázek 16.16: Struktura shluků částic - bunchů - ve srážeči vstřícných svazků 174

175 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Zavádí se rovněž Integrovaná luminosita: I = L dt. měřící čas Příklad: Po 1 den provozu collideru s < L >= cm 2 s 1 je I =< L > t den =< L > = = 1900 nb 1. Chceme-li měřící procesy se σ p v oblasti např. σ p << 1 nb, musíme dost dlouho počkat. N p 1den = σ p I, pro proces se σ p = 1 pb bychom za den dostali tak cca 2 případy. Storage ring se musí plnit balíčky částic předurychlených jiným urychlovačem (linac, synchrotron). Pro příklad uved me základní parametry pro velký hadronový srážeč LHC vybudovaný v laboratoři CERN. Parametry urychlovače LHC pro pp a Pb-Pb runy experimentu ALICE pp Pb-Pb energie na nukleon (TeV) počet shluků (bunches) vzdálenost shluků (ns) výchozí počet částic ve shluku výchozí luminosita (cm 2 s 1 ) <

176 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC pp Ar-Ar Ar-Ar Pb-Pb dpb luminosita L (cm 2 s 1 ) inelast. σ (mb) četnost inelast. srážek (s 1 ) doba běhu experimentu (s) počet událostí počet částic/událost celk. počet vyproduk. částic Jeden rok pp runů odpovídá 10 7 s, jeden rok runů s těžkými ionty odpovídá 10 6 s. Pro experimentální praxi má velký význam závislost luminosity v čase. Jak je patrno z obrázku 16.17, luminosita klesá exponenciálně. Jak rychlý je její pokles závisí na množství experimentů, ve kterých dochází ke srážkám. Experimenty zpravidla při přílišném poklesu luminozity vyžadují nové naplnění srážeče. Provoz s jedním naplněním v případě LHC 10 h Obrázek 16.17: Vývoj luminosity v čase při provozu 1-3 experimentů 176

177 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC 16.2 Zdroje částic Pro získání intenzivních půlzů částic různého druhu je třeba použít různých typů zdrojů. Budeme se zde zabývat základními konstrukcemi zdrojů elektronů, positronů a iontů. 1. Zdroje elektronů Zdroje elektronů dělíme na diodové a triodové. Výhodou triodových zdrojů je možnost produkovat kratší pulsy s většími proudy svazku. Toho je dosaženo zejména díky tomu, že jsou omezeny kapacity, které je třeba nabíjet na vysoké napětí. Jako první proberme konstrukci diodového zdroje zobrazeného na obr Na základě externího signálu dojde k sepnutí elektronky v důsledku čehož vznikne na soustavě LC členů zapojených v jejím anodovém obvodu ke vzniku krátkého vysokonapět ového pulzu. Ten je přiveden koaxiálním kabelem do tělesa samotného zdroje. Tam dojde k transformaci na cca 10x vyšší napětí, které je přivedeno na nepřímo žhavenou katodu emitující elektrony. Tyto elektrony jsou napětím pulsu urychleny a skrze Pierceovu čočku vstříknuty do svazkové trubice. Obrázek 16.18: Schema diodového zdroje elektronů Katoda musí být žhavená vláknem tak, aby emitovala dostatečné množství elektronů. Těleso zdroje je naplněno transformátorovým olejem, který zabraňuje výbojům v obvodu vysokonapět ového transformátoru. Limitujícím faktorem pro dosažení krátkého pulsu je kapacita koaxiálního vedení, po kterém je veden primární puls o amplitudě cca 5 kv. Aby bylo možno vytvářet pulsy kratší, je třeba pracovat s menší amplitudou pulsu a s co nejmenšími kapacitami. Těmto požadavkům vyhovuje triodový zdroj zobrazený na obr Triodový zdroj je stále na vysokém záporném potenciálu přibližně 50 kv. Jeho 177

178 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC nepřímo žhavená katoda produkuje stále proud elektronů, ale tento proud nemůže projít přes mřížku polarizovanou tak, že elektrony zastaví. Pouze krátký puls vytvořený v koaxiálním zpožd ovacím vedení po sepnutí tranzistoru tuto mřížku otevře a elektrony mohou být urychleny a vztříknuty do svazkové trubice. Spouštěcí impulz musí být do zdroje přiveden pomocí optického kabelu. Obrázek 16.19: Schema triodového zdroje elektronů 2. Zdroje positronů Jako zdroj positronů lze využít bud β + zdroj (například 22 Na) s moderátorem positronů (pevný Xenon) a positronovým akumulátorem, nebo lze positrony vyrábět procesem tvorby párů e + e. První zmíněný postup se využívá při přípravě velmi chladných positronů pro produkci antivodíku, druhý pak při produkci positronů pro další urychlení. Schema produkčního terče pro přípravu positronů je uvedeno na obr Wolframový terč je bombardován elektronovým svazkem o energii 200 MeV. Při brzdění elektronů vzniká brzdné záření, jehož fotony způsobují v blízkosti wolframových jader tvorbu e + e párů. Vyletující positrony lze vyfiltrovat z reakčních produktů pomocí magnetického pole. Vznikající positrony mají široké spektrum energií sahající až do 30 MeV. 178

179 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Obrázek 16.20: Příprava positronů ve wolframovém terči 3. Zdroje iontů Pro přípravu iontů (protonů či jader těžších prvků) lze použít několik postupů. Pro částečnou ionizaci jader lze kupříkladu využít laserového paprsku. Po částečném urychlení jsou tyto ionty prostřeleny skrze tenkou tzv. stripping folii, která je zbaví i zbývajících elektronů. Pro přípravu protonů se často využívá výbojových zdrojů. Jako příklad takového zdroje uved me výbojový zdroj PIG (Philips Ion Gauge) využívající výboj ve vodíku umístěném v magnetickém poli zajišt ujícím hoření výboje i při nižších tlacích. Z výbojového plasmatu jsou protony extrahovány extrakční elektrodou. Schema tohoto zdroje je uvedeno na obr Obrázek 16.21: Výbojový zdroj protonů PIG 4. Injekce částic do storage ringu Částice vyrobené ve zdrojí a předurychlené lineárním urychlovačem je třeba vstříknout do synchrotronu, který je dále urychlí. To lze provést bud pomocí pulsních magnetů nebo - ve speciálních případech - pomocí vstřikování přes stripping fólii. Díky urychlovacím vysokofrekvenčním dutinám může být na obvodu synchrotronu umístěno pouze uržité množství shluků částic. Pokud jsou všechny tyto pozice zaplněny shluky částic na ose svazku, nelze již na osu svazku další shluky přidat. V této souvislosti mluvíme o zaplněném podélném fázovém prostoru urychlovače. 179

180 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Kdybychom pro navedení shluku na dráhu v synchrotronu použili magnet s konstantní magnetickou indukcí, došlo by k tomu, že vstřikovaný shluk by se sice dostal na správnou dráhu, ale shluky v urychlovači již cirkulující by z ní byly vychýleny a dopadly bu na stěnu svazkové trubice. Pomocí pulsního magnetického pole působícího pouze v době průletu vstřikovaného shluku se tomuto problému můžeme vyhnout, jak je znázorněno na obr Obrázek 16.22: Injekce částic do urychlovače, zaplňování podélného fázového prostoru Pokud potřebujeme přidat do synchrotronu další shluky částic, můžeme využít i příčný fázový prostor, do kterého lze umístit několik shluků mimo osu svazku. Tento postup lze realizovat pomocí soustavy magnetů zobrazené na obr Na obrázku je znázorněno i postupné plnění v příčné rovině. 180

181 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC Obrázek 16.23: Plnění příčného fázového prostoru urychlovače Protony lze injektovat pomocí stripping fólie. Negativní vodíkové ionty H jsou vstříknuty do konstantního dipólového magnetického pole, které je v našem příkladu na obr zatáčí doleva. Po průletu stripping fólii jsou odtrženy oba elektrony a dále pokračuje pouze kladný proton. Po oběhu synchrotronu se proton dostává do pole prvního magnetu, který jej - díky positivnímu náboji - zatáčí doprava a dopraví jej na stejnou dráhu jako vstřikovaný iont. 5. Injekce protonů skrze stripping folii Obrázek 16.24: Plnění urychlovače přes stripping fólii 181

182 KAPITOLA 16. ZDROJE ČÁSTIC 6. Elektronika kickeru Na závěr uved me schema vinutí a elektroniky pulsního magnetu - kickeru. Aby bylo možno dosáhnout minimální délky pulsu, je třeba, aby vinutí kickeru mělo minimální indukčnost. Toho lze docílit způsobem vinutí znázorněným na obr vpravo. Pulsní proud se v cívce magnetu vytvoří vybitím kondenzátoru přes sepnutou elektronku, viz vlevo. Obrázek 16.25: Geometrické uspořádání a elektronika kickeru Obvykle potřebujeme pulzy o délce 1µs. Pro zobrazené vinutí můžeme indukci magnetického pole vypočíst ze vztahu B z = 4 µ 0 b π (a 2 +b 2 ) I, kde I je proud tekoucí vinutím, µ 0 je permeabilita vakua a a, b jsou rozměry vinutí. Seznámili jsme se se základními pojmy a principy z oblasti urychlovačové techniky. Zde uvedený výčet metod a zařízení není zdaleka úplny. K dalšímu studiu této problematiky lze doporučit např publikace [] a []. 182

183 Kapitola 17 Synchrotronní záření Synchrotronní záření vzniká v důsledku neinerciálního pohybu nabitých částic. Může k němu tedy docházet při zbržd ování či zrychlování částic, či při jejich pohybu po zakřivené trajektorii v důsledku dostředivých zrychlení. Toto záření vzniká jak u částic pohybujících se nerelativistickými rychlostmi, tak i u částic relativistických. První zmíněný případ sice nemá praktický význam, přesto se jím budeme v úvodu zabývat. Nerelativistické částice Při změně hybnosti nabité částice dochází k vyzařování elektromagnetické energie. Pro nerelativistické částice platí Larmorova formule pro celkový vyzářený výkon: P s = e 2 6 π ε 0 m 2 0 c 3 ( d p dt ) 2. 1) Azimutální rozdělení je Hertzův dipól dp s dω = e 2 16 π 2 ε 0 m0 2 c ( d p 3 dt ) 2 sin 2 ψ. Význam nerelativistické teorie je zanedbatelný. Přejděme nyní k mnohem důležitějšímu případu relativistickému. Relativistické částice Pro Larmorovu formuli musíme v tomto případě použít invariantmí formu: dt dτ = 1 γ dt, γ = 1 = E 1 β 2 m 0 c 2 p P µ... čtyřvektor 183

184 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ ( dpµ dτ )2 ( d p dτ )2 1 c 2 ( de dτ )2 Pro vyzářený výkon pak dostáváme P s = e2 c 1 6 Π ε 0 (m 0 [( d p c 2 ) 2 dτ )2 1 ( de c 2 dτ )2 ]. 2) Dále můžeme zkoumat dvě situace: lineární zrychlení/zbrždění částic d v dτ v pohyb částic po kruhové dráze d v dτ v 17.1 Lineární zrychlení Vyjdeme ze vztahu pro energii relativistických částic, E 2 = (m 0 c 2 ) 2 + p 2 c 2. Derivací dle τ dostaneme E de dτ = c 2 p 2 dp dτ, a protože platí, že E = γ m 0 c 2 a p = γ m 0 v, můžeme celou rovnici zjednodušit na de dτ = v dp dτ. Dosadíme do formule 2) a dostáváme P s = e2 c 1 6 Π ε 0 (m 0 [( d p c 2 ) 2 dτ )2 1 ( de c 2 dτ )2 ] = e2 c 6 Π ε 0 1 (m 0 c 2 ) 2 (1 β 2 ) ( de dτ )2. Protože 1 β 2 = 1 γ 2, dostáváme P s = e 2 c 6 Π ε 0 (m 0 ( dp c 2 ) 2 γ dτ )2 = e 2 c 6 Π ε 0 (m 0 ( dp c 2 ) 2 dt )2. 3) 184

185 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ Díky tomu, že dp dt = de dx, dostaneme P s = e 2 c 6 Π ε 0 (m 0 ( de c 2 ) 2 dx )2. 4) Současné lineární urychlovače mají de dx 15 MeV/m = J/m. Výkon záření tedy W, ztráta E je zanedbatelná. η = Ps de/dt = Ps v de/dx = e Π ε 0 (m 0 c 2 ) 2 β de dx Pro relativistické částice v c, tedy η. = V případě prudkého zpomalení ale dojde k mnohem výraznější radiaci. Zkusíme spočítat případ jaderné srážky Kruhový pohyb po dráze o poloměru R Jelikož v = konst., dochází k redukci formule pro P s : P s = e 2 c 6 Π ε 0 (m 0 ( dp c 2 ) 2 dτ )2 = přičemž dp dt = p ω = p v R. e 2 c γ 2 6 Π ε 0 (m 0 c 2 ) 2 ( dp dt )2, 5) Předpokládejme relativistickou částici s v. = c ; potom E = p c, γ = E/m 0 c 2 a tedy P s = e2 c 1 E 4 6 Π ε 0 (m 0 c 2 ) 4 R 2 P s (e) P s (p) = ( mp m e ) 4 = (!) Synchrotronní záření má význam zásadní pro elektrony. Pro protony je významné až v oblasti od 100 GeV výš. V urychlovači jsou důležité energetické ztráty částice na 1 oběhu v důsledku synchrotronní radiace. Tyto ztráty je třeba doplňovat v urychlovacích rezonančních dutinách. E = P s dt = P s t b = P s 2 Π R jeden oběh čas průletu bend. magnety c 185

186 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ Energetickou ztrátu na jednom oběhu lze pro elektrony vyjádřit vztahem e E = 2 E 4 3 ε 0 (m 0 c 2 ) 4 R E [kev] = 88.5 E 4 [GeV 4 ] R [m] Synchrotronní záření bylo limitujícím faktorem při provozu urychlovače LEP. Maximální dosažitelná energie elektronů a positronů byla limitována maximální energetickou ztrátou, kterou byly ještě schopny doplnit urychlovací dutiny. Obrázek 17.1: K definici vyzařovacího diagramu synchrotronního záření V soustavě spojené s elektronem má vyzařovací diagram synchrotronního záření tvar Hertzova dipólu. V laboratorní soustavě, ve které se elektron pohybuje rychlostí velmi blízkou rychlosti světla, nabývá však vyzařovací diagram tvar s maximem ve směru tečném k trajektorii elektronu. Tato situace ja znázorněna na obr p y = p 0 = E s c n, kde E s je energie fotonů a n je... Čtyřimpuls těchto fotonů má pak tvar P µ = p t p x p y p z = E s/c 0 p

187 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ P µ = γ 0 0 β γ β γ 0 0 γ 17.3 Úhlové rozdělení tan Θ = py p z = p 0 β γ p 0 1 γ. E s/c 0 p 0 0 = γ E s/c 0 p 0 γ β E s/c. Obrázek 17.2: Vyzařovací diagram synchrotronního záření v soustavě elektronu a v laboratorní soustavě 17.4 Časové rozdělení Jak vidíme z obr. 17.3, dochází k registraci synchrotronního záření pouze po velice krátkou dobu, kdy tečný vyzařovací kužel míří směrem k detektoru. 187

188 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ Obrázek 17.3: K vysvětlení časového rozložení synchrotronního záření 17.5 Energetické rozdělení Energetické rozdělení synchrotronního záření je zachyceno na obr Intenzita záření s energií postupně vzrůstá, až po kritickou energii v oblasti 10 4 ev. Jedná se tedy o rentgenové záření. 188

189 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ Obrázek 17.4: Energetické spektrum synchrotronního záření Synchrotronní záření nachází široké použití v biologii, krystalografii a v mnoha dalších oborech vyžadujících intenzivní zdroj rentgenových fotonů s velmi krátkou dobou expozice (délkou pulsu). Detailní rozbor této problematiky nalezne čtenář například v []. 189

190 KAPITOLA 17. SYNCHROTRONNÍ ZÁŘENÍ 190

191 Kapitola 18 Úlohy 18.1 Rozptyl na bodovém centru-rutherfordův rozptyl 1. Odvod te Rutherfordovu formuli pro diferenciální účinný průřez ve tvaru dσ dω = ( Zze2 16πɛ 0 T )2 1 sin 4 θ 2 a pro integrální účinný průřez ve tvaru σ(θ Θ) = π 4 ( Zze2 4πɛ 0 T )2 cotg 2 Θ 2 [1] 2. Spočítejte účinný průřez pro rozptyl 10MeV α částice na jádře zlata (Z=79,A=197) do úhlu většího než 10, 20 a 30 a určete poměr těchto účinných průřezů s celkovým účinným průřezem. Zanedbejte při výpočtu zpětný rozptyl. [1] 3. Spočítejte diferenciální účinný průřez dσ dω [fm2 s 1 ] pro Rutherfordův rozptyl do úhlu 10 [1] 4. Ukažte, že nejbližší vzdálenost d, na kterou se může částice přiblížit jádru při Rutherfordově rozptylu do úhlu θ je dána vztahem d = p 2 (1 + 1 sin θ ) 2 kde p je definováno jako průmět úsečky d do osy letu. [Návod: Použijte ZZE a ZZMH] [1] 5. Ukažte, že Rutherfordova formule může být napsána pomocí kvadrátu přeneseného impulsu q 2 = ( p p?) jako dσ dq 2 = 4πZ2 z 2 α 2 ( c) 2 q 4 v 2, kde α je konstanta jemné struktury a v je rychlost odražené částice. [1] 191

192 KAPITOLA 18. ÚLOHY 6. Částice α s hmotou 4M N a rychlostí v prolétá kolem jádra atomu s atomovým resp. hmotnostním číslem Z resp. A ( 4) s impakt parametrem b. Rozptýlí se do úhlu θ. Odvod te přibližný vztah pro úhel rozptylu θ za předpokladu, že θ 1 ve tvaru θ = Ze 2 4πε 0 M N v 2 b 7. Svazek α částic o rychlosti v = ms 1 dopadá kolmo na folii o tloušt ce 10 5 m ze zlata (Z=79,A=197,ρ = 1, kgm 3 ). Odhadněte jaká část α částic se rozptýlí dvakrát za sebou o úhel alespoň 10 při průchodu folií. [1] 8. Účinný průřez pro interakci 5GeV K + mesonů s protony je přibližně 25mb. Spočítejte střední volnou dráhu K + mesonů v kapalném vodíku o hustotě 71kgm 3. [1] 9. Částice α použité v původním Rutherfordově experimentu měly kinetickou energii T α = 5, 5MeV. Určete de Broglieho vlnovou délku α částice o této kinetické energii. Klidová energie α částice je m α c 2 = 3727, 4MeV. Rozhodněte, zda je potřeba použít relativistický nebo nerelativistický přístup. [2] 10. Jak závisí diferenciální účinný průřez dσ dω (θ) pro pružný rozptyl částic na jednom rozptylovém centru na úhlu rozptylu θ rozptylované částice v soustavě pevně spojené s rozptylujícím centrem, je-li znám vztah mezi impakt parametrem a úhlem rozptylu b = b(θ)? [2] 11. Homogenní svazek částic o hustotě toku j 0 dopadá kolmo na tenký terčík o tloušt ce d. Aktivní plocha terče je S. Hustota rozptylových center v terčíku je n. Jaká je četnost rozptýlených částic na jednotkový úhel v mezikruží vymezeném úhly z intervalu (θ, θ+ dθ)? 12. Určete integrální účinný průřez Rutherfordova rozptylu. [2] 13. Jaký je diferenciální účinný průřez pro Rutherfordův rozptyl α částice na jádře stříbra (Z=47) v klidu, je-li její kinetická energie T α = 12MeV a úhel rozptylu θ = 10? [2] Rozptyl na částici konečných rozměrů 1. Svazek nerelativistických částic se rozptyluje pružně na pevném nabitém objektu. Rozložení hustoty náboje v objektu je ρ( r). Ukažte, že v takovém případě lze diferenciální účinný průřez zapsat ve tvaru dσ dω (θ) = ( dσ dω (θ) ) F (θ) 2 = Z 2 e 2 f(θ) 2 F (θ) 2 f(θ) = z α c 1 R e 4T 0 sin 2 θ, [1]

193 KAPITOLA 18. ÚLOHY kde z a Z jsou protonová čísla rozptylované a terčové částice, ( dσ dω (θ)) je nerelativistický diferenciální účinný průřez Rutherfordova rozptylu na pevné bodové částici, R T 0 je kinetická energie nalétající částice a F (θ) je tzv. formfaktor. Odvod te obecný výraz pro formfaktor [Návod: viz. [2] příklad C40] [2] 2. Určete formfaktor pro pružný rozptyl částic na jádře o celkovém náboji Ze, které je popsáno sféficky symetrickou hustotou náboje ρ( r) = ρ(r) 3. Určete formfaktor pro pružný rozptyl částic na jádře o celkovém náboji Ze, které je popsáno sféricky symetrickou hustotou náboje ve tvaru ρ(r) = ρ N pro r < R a ρ(r) = 0 pro r > R, kde R je poloměr jádra. [2] 4. Účinný průřez pružného rozptylu elektronů na atomovém jádře je popsán formulí ( ) dσ dσ dω (θ) = dω (θ) F (θ) 2. R Rozdělení náboje v atomovém jádře vystihuje formfaktor F (θ) = F (q 2 ), kde θ je úhel rozptylu elektronu, q = 2p 0 sin θ 2 je velikost předané hybnosti a p 0 je velikost počáteční hybnosti nalétajícího elektronu. Uvažujte sféricky symetrické rozdělení náboje v atomovém jádře ρ( r) = ρ(r). Určete formfaktor pro přiblížení malých úhlů rozptylu(malých přenesených impulsů). [Návod: Vezměte obecné vyjádření formfaktoru a rozviňte argument do Taylorovy řady. Omezte se na první dva řády rozvoje.] [2] Převody mezi soustavami 1. Částice o hmotnosti m 1 a kinetické energii T 1 se pružně rozptýlila na atomovém jádře o hmotnosti m 2, které bylo původně v klidu. Najděte v TS rychlosti a hybnosti částice i jádra a jejich celkovou kinetickou energii. [3] 2. Částice α o kinetické energii T=4MeV se pružně rozptýlila na jádře 10 B, které bylo původně v klidu. Určete kinetické energie α částice a jádra 10 B po rozptylu, jestliže jádro 10 B bylo odraženo pod úhlem ϕ = 45. Dále určete úhel roptylu θ pro α částici. [3] 3. Částice o hmotnosti m 1 a kinetické energii T 1 vykonala čelní pružnou srážku s částicí o hmotnosti m 2, která byla původně v klidu. Najděte kinetické energie částic po srážce. [3] 4. Odvod te závislosti θ = θ( θ) a ϕ = ϕ( θ), kde θ a θ je úhel rozptylu dopadající částice v LS a TS, ϕ je úhel odrazu terčíkové částice v LS. [3] 5. Nerelativistický proton se pružně rozptýlil na jádře 6 Li. Určete úhel roptylu protonu a) v LS, je-li v TS θ = 45 b) v TS, je-li v LS θ = 90. [3] 193

194 KAPITOLA 18. ÚLOHY Účinný průřez 1. Ze svazku částic o hustotě toku N je clonkou vymezen úzký svazek o průřezu Q. Tento svazek dopadá na tenkou folii tloušt ky S. Částice rozptýlené pod úhlem θ jsou registrovány detektorem, který má účinnou plochu S a nachází se ve vzdálenosti R od místa dopadu částic na folii. Určete počet částic N zaregistrovaných detektorem za dobu t, je-li účinnost detektoru η% a diferenciální účinný průřez pro úhel θ je dσ dω. [3] 2. Za předpokladu, že znáte tvar diferenciálního účinného průřezu pro coulombický rozptyl dvou nabitých částic v TS, vypočítejte odpovídající diferenciální účinný průřez v LS pro odražené částice. [3] 3. Užitím Rutherfordovy formule v TS odvod te formuli pro diferenciální účinný průřez v LS popisující pružný rozptyl protonů na protonech. Předpokládejte, že terčíkové protony byly před rozptylem v klidu a kinetická energie dopadajících protonů je rovna T. [3] 4. Bodové klasické částice se pružně rozptylují na nepohyblivé kuličce poloměru R s absolutně tvrdým povrchem. Vypočítejte diferenciální a integrální účinný průřez pro tento rozptyl. [3] 18.2 Relativistická kinematika -relativistická kinematika, lorentzova transformace, invarianty, mandelstamovy proměnné Převody mezi soustavami 1. Elektron o klidové energii m e c 2 se sráží s kvantem γ. Energie γ kvanta v těžišt ové soustavě γ e je Ẽγ. Jaká je rychlost těžišt ové soustavy v soustavě, kde terčíkový elektron před srážkou stojí? [2] 2. Relativistické částice a a b o klidových energiích m a c 2 a m b c 2 mají v těžišt ové soustavě celkovou kinetickou energii T. Jaké jsou jejich kinetické energie v téže soustavě? [2] 3. Dvě relativistické částice o klidových energiích m a c 2 a m b c 2 se pohybují tak, že jejich celková kinetická energie v těžišt ové soustavě je T. Jaký je vztah mezi kinetickou energií T a nalétávající částice a v soustavě, kde terčíková částice b je v klidu a celkovou kinetickou energií částic a a b v těžišt ové soustavě? [2] 4. Částice a o kinetické energii T a a klidové energii m a c 2 nalétá na částici b v klidu o klidové energii m b c 2. Jaká by musela být kinetická energie částice b nalétající na 194

195 KAPITOLA 18. ÚLOHY částici a v klidu tak, aby celkové kinetické energie částic a a b v těžišt ové soustavě byly v obou uspořádání stejně? [2] 5. Částice a o celkové energii E a a klidové energii m a c 2 nalétá na částici b v klidu o klidové energii m b c 2. Jaké jsou energie částic v těžišt ové soustavě? [2] 6. Proton o kinetické energii T p se čelně srazí s elektronem, který má velikost hybnosti p e. Určete velikost rychlosti těžišt ové soustavy systému proton-elektron v soustavě pozorovatele. Jaká ja kinetická energie systému proton-elektron v téže soustavě? Jaká je celková kinetická energie obou částic v těžišt ové soustavě? Klidové energie protonu m p c 2 a elektronu m e c 2 jsou známy. [2] 7. Relativistická částice a o kinetické energii T a a klidové energii mc 2 nalétá na částici b téže klidové energie v klidu. Nalezněte jejich kinetickou energii v těžišt ové soustavě, hybnost každé částice v těžišt ové soustavě a rychlost těžišt ové soustavy obou částic v soustavě, kde je částice b v klidu. [2] 8. Srážejí se dvě relativistické částice a a b o stejné klidové energii mc 2. Celková energie částice a v těžišt ové soustavě je Ẽa. Jakou celkovou a kinetickou energii má částice a v soustavě, kde je částice b v klidu? [2] 9. Na SPS urychlovači v CERN se čelně srážejí 2 protony, každý s celkovou energií Ẽ = 62GeV. Jaká je energie jednoho z protonů v soustavě pevně spojené s druhým protonem? Klidová energie protonu je m p c 2 = 938, 3MeV. [2] Pružné a nepružné srážky, Comptonův rozptyl 1. Ukažte, že maximální energie, která může být předána elektronu původně v klidu částicí s klidovou hmotností M a energií E je dána vztahem ν max = 2m ec 2 (E 2 M 2 c 4 ) M 2 c 4 + m 2 ec 4 + 2Em e c 2 = 2m e c 2 β 2 γ ( m e ) 2 ( + 2γ me ) M M Ukažte, že v ultra-relativistickém případě E M 2 c 2 m e platí ν max. = E. Ukažte, že v nerelativistickém případě E = Mc 2 +T ; T Mc 2 platí ν max [1]. = 4m emt (m e+m) Dvě částice o klidových energiích m 1 c 2 a m 2 c 2 a velikostech hybnosti p 1 a p 2 letí ve stejném směru. Jaká je rychlost těžiště soustavy obou částic? [2] 3. Dvě částice o klidových energiích m 1 c 2 a m 2 c 2 a rychlostech β 1 a β 2 (βc = v) se pohybují proti sobě. Najděte jejich relativní rychlost. [2] 195

196 KAPITOLA 18. ÚLOHY 4. Dvě částice o klidových energiích m 1 c 2 a m 2 c 2 se pohybují společně se stejnou rychlostí. V jakém poměru je rozdělena celková energie a hybnost tohoto systému na jednotlivé částice? [2] 5. Určete vlastní střední dobu života a) mionů, jestliže při kinetické energii T = 7m µ c 2 je jejich střední doba života τ = 17, 6µs b) pionů, které mají hybnost p=182,5 MeV a do rozpadu urazí průměrně vzdálenost l=10m [3] 6. Částice a o klidové energii m a c 2 se pružně a čelně srazí s částicí b o klidové energii m b c 2, která je v klidu. Při jakém poměru klidových hmotností se projektilová částice pohybuje dozadu? Za jaké podmínky se úplně zastaví? Jaká je maximální energie odražené částice b? [2] 7. Foton o energii E γ v LS dopadá na částici s klidovou hmotností m 0, která je v klidu. Najděte rychlost těžiště soustavy částic a energii fotonu a částice v TS. [2] 8. V urychlovači HERA se čelně srážejí elektrony a protony o energiích T e = 30GeV a T p = 820GeV. Jaká je maximální energie elektronu, který se pružně rozptýlí na protonu? [2] 9. Kvantum γ o hybnosti p γ,0 se rozptyluje na elektronu o hybnosti p e,0 (Comptonův rozptyl). Určete závislost změny vlnové délky a energie γ kvanta na jeho úhlu rozptylu. [2] 10. Může volný elektron absorbovat nebo vyzářit γ kvantum? [2] 11. Kvantum γ o energii E γ,0 se rozptyluje na elektronu v klidu pod úhlem θ. Určete závislost kinetické energie a velikosti hybnosti vyletujícího kvanta γ a odraženého elektronu na úhlu rozptylu γ kvanta. [2] 12. Roentgenovský foton s frekvencí Hz se sráží s elektronem v klidu a je rozptýlen do úhlu 90. Najděte novou frekvenci rozptýleného fotonu. Comptonova vlnová délka elektronu je 2, m. [4] 13. Ve vstřícné srážce protonu a antiprotonu o energiích Ẽp = Ẽ p = 270GeV vzniká intermediální boson Z 0 v klidu,m Z c 2. = 91GeV. Při těchto energiích jde ve skutečnosti o vstřícnou interakci kvarku s antikvarkem. Jakou energii Ẽ q má antikvark v těžišt ové soustavě protonu a antiprotonu, je-li energie kvarku v téže soustavě Ẽq = 30GeV? [2] Prahové procesy 1. Částice a o klidové energii m a c 2 interaguje s částicí b o klidové energii m b c 2, která je v klidu. Jsou produkovány částice o celkové klidové energii Mc 2 > (m a + m b )c 2. Určete prahovou energii procesu. Diskutujte nerelativistické přiblížení. [2] 196

197 KAPITOLA 18. ÚLOHY 2. Relativistické částice a a b o klidových energiích m a c 2 a m b c 2 interagují a produkují částice o celkové klidové energii Mc 2 > (m a + m b )c 2. Jaká ja prahová kinetická energie tohoto procesu v těžišt ové soustavě srážejících se částic? [2] 3. Relativistické částice a a b o klidových energiích m a c 2 a m b c 2 interagují a produkují částice o celkové klidové energii Mc 2 > (m a +m b )c 2. Jaké jsou kinetické energie obou částic a a b v těžišt ové soustavě, probíhá-li interakce při prahové energii? Diskutujte případ stejně interagujících částic. [2] 4. Může volné γ kvantum vytvořit elektron-pozitronový pár? [2] 5. Jaká je prahová energie γ kvanta při produkci páru e + e v poli atomového jádra X o klidové energii m X c 2 v klidu (m e c 2 = 511keV )? Srovnejte prahové energie pro produkci páru e + e v poli protonu a deuteronu (m p c 2 = 938, 3MeV ; m d c 2 = 1875, 6MeV ) [2] 6. Jaká je minimální energie γ kvanta, které vyvolá fotojaderný proces, kdy se produkují neutrony z jádra uhlíku 12 C v klidu? Klidové energie jader uhlíku 12 C a 11 C jsou m 12 c 2 = 11177MeV ; m 11 c 2 = 10256MeV a m N c 2 = 939, 6MeV. [2] Anihilace částic 1. Může elektron-pozitronový pár anihilovat při vyslání 1 γ kvanta? [2] 2. Pozitron o energii E e anihiluje na volném elektronu v klidu. Při anihilaci vzniknou 2 γ kvanta vyletující v přímce dané směrem letu pozitronu. Jaké jsou energie anihilačních γ kvant? [2] 3. Pozitron a elektron, oba o energii E e anihilují na 2 γ kvanta. Jak závisí energie vyletujících γ kvant na úhlu jejich rozletu a na úhlu srážky elektronu a pozitronu? Jaké jsou maximální a minimální energie vyletujících γ kvant? [2] 4. Elektron-pozitronový pár anihiluje v klidu. Při anihilaci vzniknou tři γ kvanta. Jaká je maximální energie každého z produkovaných γ kvant? [2] 5. Pozitron o energii E e interaguje s elektronem v klidu. Je produkováno nehmotné elektronové neutrino a antineutrino. Klidové energie pozitronu a elektronu jsou m e c 2. Jaké jsou energie výsledných částic? [2] 6. Dvě γ kvanta o stejné energi se srážejí pod úhlem ψ = π 2 a produkují meson π0 o klidové energii m π c 2. Jaká je energie γ kvant, energie a velikost hybnosti vyletujícího pionu? V jakém směru pion vyletuje? [2] 197

198 KAPITOLA 18. ÚLOHY 18.3 Symetrie a zákony zachování 1. Napište kvarkové složení částic v následujících procesech a ověřte zachování elektrického náboje, vůně, podivnosti a baryonového čísla. Nakreslete flow diagramy pro všechny procesy π + p K 0 + Λ K + p π 0 + Σ 0 K + p K 0 + Ξ 0 p + p K + + Σ + + n Ξ + p Λ + Λ π + p K 0 + K 0 + n K + p K + + K 0 + Ω 2. Dvě z následujících reakcí nemohou proběhnout za žádných okolností a jedna z reakcí nemůže proběhnout pomocí silných interakcí. Najděte je a vysvětlete proč. [1] K + p K 0 + n π + + p K + + Σ + π + p K + + Σ 0 + π π + p K + Σ + K 0 + p K + p + π + p + p π + + π + + π + π + π + π + + p K 0 + Σ 0 + π + + K + + K 0 K + p Σ + + n + π π + p Σ + + Σ + K 0 + p + Σ + + n π + p Σ + Σ 0 + p Notace je taková, že Σ + znamená antičástici k Σ. [1] 3. Doplňte dolní indexy, které rozliší leptonové generace a rozlište neutrina od antineutrin u následujících reakcí. Svoji volbu zdůvodňete. Použijte následující symboly - ν e, ν e, ν µ, ν µ, ν τ, ν τ π + π 0 + e + + ν 198

199 KAPITOLA 18. ÚLOHY µ + e + + ν + ν µ e + ν + ν K + π 0 + e + + ν K 0 π 0 + e + ν Σ n + µ + ν Σ + Λ 0 + e + + ν D 0 K + π 0 + e + + ν ν + p n + e + ν Cl 37 18Ar + e ν + p µ + p + π + ν + n e + p 3 1H 3 2He + e + ν π + µ + + ν π e + ν τ π + π 0 + ν 4. Nakreslete Feynmanovy diagramy pro následující rozpady;hadrony rozkreslete na kvarkovou úroveň. (Př. n p + e + ν e [1] Obrázek 18.1: Slabý rozpad neutronu τ e + ν e + ν τ K 0 π + e + + ν e D + K 0 + µ + + ν µ τ + π + + ν τ Λ p + e + ν e 199

200 KAPITOLA 18. ÚLOHY Ξ Λ + π K + π + + π + π + Kvarkové složení a intermediální částice dohledejte v literatuře(particledatabooklet). [1] 5. Nakreslete Feynmanovy diagramy pro následující rozpady; hadrony rozkreslete na kvarkovou úroveň. ν e + e ν e + e e + p n + ν e µ + + e ν µ + ν e ν µ + p µ Částice X 0 (1193) a Y (1321) mohou být produkovány v silných interakcích pomocí procesů 7. K + p π 0 + X 0 K + p K + + Y Určete baryonové číslo, podivnost, půvab a krásu v obou případech a pomocí nich i kvarkový obsah. [7] Šest pozorovaných hadronů má kvantová čísla (Q,B,S,C,B )=(2,1,0,1,0),(0,1,-2,1,0),(0,0,1,0,- 1),(0,-1,1,0,0),(0,1,-1,1,0),(-1,1,-3,0,0). Identifikujte kvarkové složení těchto hadronů(b je baryonové číslo a B je krása). [7] [1] 18.4 Vlastnosti částic a interakcí Teoretický úvod -Kinematika HE srážek - rapidita, proměnné z DIS a DY, light cone proměnné -polní interpretace účinného průřezu - jen stručně 18.5 Vlastnosti částic 1. Jaký je klasický poloměr elektronu? Porovnejte tento poloměr s Bohrovým poloměrem a Comptonovou vlnovou délkou elektronu. Objasněte, co tyto tři charakteristiky znamenají. 200

201 KAPITOLA 18. ÚLOHY [ Návod: Klasický poloměr je vzdálenost od bodového náboje, kde se rovná Coulombova energie jeho klidové energii. ] [2] 2. Pion produkovaný ve srážce částic se pohybuje rychlostí, které odpovídá relativistický faktor γ 100, kde γ 2 = 1 β 2 a v = βc je velikost rychlosti produkovaného pionu. Tento pion uletí dráhu l=300m než se rozpadne. Jak dlouho žije pion ve své klidové soustavě? [2] 3. Jaká je neurčitost v naměřené celkové energii E relativistické částice, je-li její energie měřena v časovém intervalu t? [ Návod: Předpokládejte platnost Heisenbergovy relace neurčitosti ve tvaru x p 2. ] [2] 4. Diskutujte dosah elektromagnetické, slabé a silné interakce. Předpokládejte, že elektromagnetická interakce je způsobena výměnou nehmotného γ kvanta. Slabá interakce je zprostředkována výměnou tří intermediálních bosonů W ± a Z 0 o klidových energiích m W c 2. = 80GeV a mz c 2. = 91GeV. O silné interakci předpokládejte, že jde o efektivní interakci mezi nukleony způsobenou výměnnou pionů o klidové energii m π c 2. = 140MeV (Efektivní teorie je na mezinukleonových vzdálenostech velmi dobrou aproximací interakce mediované barevným oktetem gluonů) [2] 5. Pro interakci dvou částic je výhodné zavést Mandelstamovu proměnnou s = (p 1 +p 2 ) 2. Ukažte, že pro veličinu s platí v těžišt ové soustavě vztah 4 [ (p 1 p 2 ) 2 m 2 1m 2 ] [ 2 = s (m1 + m 2 ) 2] [ s (m 1 m 2 ) 2] [6] 18.6 Elektromagnetická interakce 1. Jaká je de Broglieho vlnová délka elektronu a pozitronu ve vstřícných svazcích, máli soustava elektron-pozitron celkovou energii s? Jaká de Broglieho vlnová délka nalétajícího pozitronu odpovídá této situaci v soustavě, kde je elektron v klidu? [2] 2. Určete účinný průřez produkce páru nabitých mionů ve vstřícných svazcích anihilujících částic e a e + o celkové energii s = 10GeV. Nejnižší řád poruchové teorie QED předpovídá dσ µ + µ ( c)2 = πα2 d(cos ϑ) 2s (1 + cos2 ϑ) [2] 201

202 KAPITOLA 18. ÚLOHY 3. Napište topologicky odlišné Feynmanovy diagramy, které přispívají do následujících procesů v 1. řádu a)γ + e γ + e b)e + + e e + + e [Návod:Existují 2 pro každou reakci ] [7] 18.7 Slabá interakce 1. Intermediální boson Z 0 je produkován ve Fermilabu ve vstřícných svazcích p + p při celkové energii s = 540GeV. Jaká frakce hybnosti je nesena kvarkem v protonu, je-li boson Z 0 produkován v klidu v kvark-antikvarkové srážce v těžišt ové soustavě p + p? Klidová energie Z 0 bosonu je m Z c 2 = 91, 17GeV [2] 2. Odhadněte celkovou energii pro produkci W ± bosonů ve vstřícných svazcích p + p, probíhá-li produkce při anihilaci kvark-antikvarkového páru a typická energie kvarku či antikvarku v těžišt ové soustavě p+ p je Ẽq = Ẽ q = xẽp, kde x = 0, 15 a Ẽp je energie protonu v těžišt ové soustavě. Klidová energie W ± bosonů je m W c 2 = 80, 2GeV. [2] 3. Vyhledejte dominantní kanály rozpadu π + a π 0 a jejich doby života a vysvětlete proč se liší. Nakreslete flow diagramy. [2] 4. Vysvětlete rozdíly v dobách života při rozpadech mezonu ρ π + + π a K 0 π + + π. Nakreslete flow diagramy na kvarkové úrovni. [2] 18.8 Silná interakce 1. V roce 1935 Hideki Yukawa navrhl teorii silné interakce, kde silně interagující nukleony si vyměňují hmotné částice. Tato výměna má konečný dosah. Odhadněte klidovou energii těchto částic, je-li střední vzdálenost nukleonů v atomovém jádře R 1f m. [2] 2. Odhadněte střední dobu života + baryonu jako dobu, kterou ptřebuje relativistický pion, aby urazil vzdálenost rovnou velikosti částice, je-li její poloměr r + 1fm. Vypočítejte střední dobu života + baryonu z relace neurčitosti a její změřené přirozené šířky rozpadu Γ + 120MeV [2] 3. Částice J/ψ má rozpadovou šířku Γ J/ψ 91keV a klidovou energii m J/ψ c 2 = 3096, 9MeV. Určete střední dobu života částice J/ψ, porovnejte ji s typickou dobou života částice rozpadající se díky silné interakci. Určete, proč se nemůže J/ψ rozpadnout na 2 mesony D. [2] 4. Zapište na kvarkové úrovni jak jsou v elektromagnetické interakci produkovány piony při srážce pozitronu a elektronu v procesu e + + e 2π + + 2π + π 0 a baryony v e + +e n+λ+k + +π +π 0. Nakreslete flow diagramy a napiště postupné kroky produkce částic. [2] 202

203 KAPITOLA 18. ÚLOHY 5. Při hluboce nepružném rozptylu elektronu na protonu e +p X +e, kde X je blíže neurčený stav, dochází při dostatečně vysokých energiích elektronu k přímé interakci elektronu s uvězněným kvarkem v terčíkovém protonu. Tento proces je možné v 1. přiblížení chápat jako elastický Rutherfordův rozptyl elektronu na protonovém kvarku. Zkoumejme popsaný proces v těžišt ové soustavě e q a předpokládejme, že protonový kvark nese v této soustavě část hybnosti protonu tak, že platí p q c = x p p c, kde x (0, 1) je frakce hybnosti protonu nesená kvarkem, Ukažte, jak závisí frakce hybnosti x na počáteční a koncové energii elektronu v soustavě pevně spojené s protonem a na úhlu rozptylu v této soustavě. [2] 6. Při hluboce nepružném rozptylu elektronu na protonu lze napsat účinný průřez jako Ukažte, že platí d 2 σ α2 = 4Ẽ dẽdω Q 2 d 2 σ dẽdω = [ ( ) ( ) ] θ θ 2. sin 2 W 1 (Q 2, ν) + cos 2 W 2 (Q 2, ν) 2 2 Ẽ 2πM N Ey d 2 σ dxdy a vyjádřete explicitní tvar d2 σ dxdy za předpokladu, že y = E Ẽ E a x = Q 2 (P +q) 2 P 2 +Q 2. Případné další vztahy a notaci dohledejte v [6, 5] [6] 18.9 Aditivní kvarkový model 1. V jednoduchém kvarkovém modelu jsou nejlehčí hadrony považovány za vázané stavy kvarků u,d,s a příslušných antikvarků. Napište kvarkovou kompozici mezonů π +, π, π 0, K +, K a K 0 a baryonů n, p, Λ dle tohoto modelu. Dále určete, které z následujících interakcí mohou probíhat prostřednictvím silných interakcí K + p K 0 + n K 0 + n Λ + π 0 K + p Λ + π 0 K 0 + p K + + n V aditivním kvarkovém modelu je celkový účinnný průřez mezi vysokoenergetickými hadrony dán součtem interakčních účinných průřezů konstituentních kvarků. Vezměte v úvahu rozdílné účinné průřezy pro různé kvarkové páry(izotopická nezávislost silných interakcí) a fakt, že σ(qq) = σ(q q)(pomerančukův teorém) a dokažte vztah σ(λp) = σ(pp) + σ( K 0 p) σ(π + p) 203 [1]

204 KAPITOLA 18. ÚLOHY 2. Při hybnosti svazku okolo 100GeV/c je celkový interakční účinný průřez pomalu se měnící funkcí hybnosti. Za předpokladu σ( K 0 p) = 20mb, σ(π + p) = 24mb a σ(pp) = 39mb odhadněte interakční účinný průřez hyperonu Ξ (kvarková kompozice dss) s protonem. [1] 3. Ukažte, že aditivní kvarkový model předpovídá následující vztahy σ(σ p) = σ(pp) + σ(k n) σ(π p) + 2(σ(K + n) σ(kkp???)) σ(σ n) = σ(pp) + σ(k p) σ(π p) Použijte přitom izotopické nezávislosti silných interakcí mezi kvarky a Pomerančukova teorému. [5] 4. Jaké jsou účinné průřezy interakcí p + Λ a p + Ξ, je-li σ(pp) = 39mb, σ(p K 0 ) = 20mb a σ(pπ + ) = 24mb? Použijte izotopickou nezávislost interakcí mezi kvarky a Pomerančukův teorém. [2] Urychlovače 1. V elektron-pozitronovém collideru cirkulují částice v krátkých cylindrických shlucích o poloměru 1mm(příčně ke směru letu). Počet částic ve shluku je a shluky se srážejí s frekvencí 1MHz. Účinný průřez pro produkci µ+ µ párů při energii 8GeV je 1, cm 2. Kolik µ + µ párů vzniká za 1s? [1] 2. V experimentu se vstřícnými elektron-pozitronovými svazky je poloměr urychlovací trubice 10m. Každý svazek má intenzitu 10mA a průřez 0, 1cm 2. Za předpokladu, že e + a e jsou koncentrovány v balících a srážejí se dvakrát při jedné otáčce, spočítejte luminozitu urychlovače. Kolik případů za hodinu se získá při této luminozitě při detekci reakce e + + e π + + π + π 0, jejíž účinný průřez je 1, 5µb? [2] 3. Luminozita zařízení L, kde ve vstřícných svazcích jsou produkovány kýžené částice v interakci s účinným průřezem σ, je definována tak, že pro četnost produkovaných částic platí R = Lσ. Předpokládejme, že vstřícné svazky jsou tvořeny malými válcovými shluky částic o příčném průřezu S, které jsou stejnoměrně rozprostřeny v obou směrech podél kruhové urychlovací trubice. Shluky se v oblasti experimentu srážejí s frekvencí f B. Počty částic ve shlucích kroužících v pravotočivém a levotočivém smyslu jsou N R a N L. Najděte vztah pro luminozitu kruhového urychlovače. Jaká je luminozita zařízení s pevným terčem, je-li hustota toku nalétajících částic na terč j a počet terčíkových jader je N? [2] 204

205 KAPITOLA 18. ÚLOHY 4. V CERNu byly svazky protonů a antiprotonů vstříknuty proti sobě do urychlovače SPS. V každém svazku bylo M=6 shluků částic a shluky byly stejnoměrně rozprostřeny podél urychlovací trubice o poloměru 1km. Počet částic v jednom shluku byl N p = N p = Poloměr příčného průřezu svazku částic byl r B = 100µm. Částice byly urychleny na energii Ẽp = Ẽ p = 270GeV a jejich shluky se čelně srazily. Určete luminozitu zařízení a četnost srážek p + p, je-li účinný průřez interakce p + p při zadané energii σ(p p) = 10mb. [2] 5. Urychlovač vstřícných svazků e + a e LEP v CERNu byl konstruován tak, aby bylo možné pozorovat produkci bosonu W ± v interakci e + e + W + + W při celkové energii elektron-pozitronového páru s = 200GeV a při luminozitě L = m 2 s 1. Odhadněte četnost, s jakou byly produkovány intermediální bososny W ± v tomto uspořádání. [Návod: Použijte σ e + e 1 G 2 F s 4π ] [2] ( c) 4 6. Elektron-pozitronový pár z rozpadu γ e + +e vytvořil v mlžné komoře půlkruhovou dráhu s poloměrem 3cm ležící v rovině kolmo na magnetické pole o indukci 0,11T. Jaká je energie γ kvanta, které vyprodukovalo tento pár? [4] 7. Proton je v urychlovači urychlen na energii 1000GeV a dopadá na proton v klidu. Jaká energie je při této srážce k dispozici pro produkci nových částic za předpokladu, že ve finálním stavu oba protony zůstanou? [4] 8. Ve storage ringu v CERNu se srážejí protony ve vstřícných svazcích o energii 30GeV. Jakou energii by musel mít proton nalétávající na druhý proton v klidu, aby vytvořili stejnou těžišt ovou energii jako v prvním případě? [4] 205

206 KAPITOLA 18. ÚLOHY Obrázek 18.2: K výkladu pojmu účinný průřez 206

207 Kapitola 19 Přílohy 19.1 Objevy v subatomové fyzice V tomto oddíle jsou shrnuty hlavní objevy v oblasti subatomové fyziky. Nejedná se o vyčerpávající výčet, ale spíše o výběr, na kterém lze demonstrovat experimentální podmínky objevu. Kde to je možné, jsou presentovány reprodukce původních snímků a spekter. Obrázek 19.1: Objev positronu. Jedna z prvních positronových drah pozorovaných Andersonem ve Wilsonově mlžné komoře. Positivní náboj byl určen ze smeru zakřivení dráhy v magnetickém poli. Směr letu byl zjištěn ze ztráty energie při průletu olověnou deskou ve středu obrázku. Odlišení od protonu je možné díky delšímu doletu positronu v horní části snímku. Převzato z [] 207

208 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.2: Rozpady nabitých π mesonů zaznamenané ve fotografické emulsi. Piony se rozpadají slabě na miony a ty posléze na elektrony. Neutrina vznikající při rozpadech nejsou emulsí zaznamenána. Převzato z [] 208

209 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.3: Schema synchrotronu Obrázek 19.4: Schema synchrotronu Obrázek 19.5: Vznik antineutrina při β rozpadu 6 He na 6 Li + e + ν zaznamenaný v mlžné komoře [?]. Krátká stopa směrem doleva je odrařené jádro, dlouhá stopa pochází od elektronu. Antineutrino se pohybovalo z vertexu směrem vzhůru. 209

210 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.6: Metoda použitá Wu a Shaknovem ke stanovení vzájemné orientace polarizece dvou fotonů vznikajících při anihilaci 1 S 0 positronia. γ fotony jsou po odrazu od hliníkových bloků registrovány v antracenových scintilátorech. Tato metoda byla použita při zjištění opačné intrinsické parity fermionu a antifermionu. Převzato z [] 210

211 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.7: Určení pseudoskalární povahy π mesonu. Rozdělení úhlu mezi rovinami určenými elektron-positronovými páry při rozpadu π 0 (e + + e ) + (e + + e ) pro pseudoskalární π meson sleduje plnou křivku a je popsáno vztahem 1 Kcos2Φ, zatímco pro skalární π meson by rozdělení sledovalo přerušovanou křivku popsánou vztahem 1+Kcos2Φ konstanta K 1. Převzato z [] 211

212 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.8: Objev částice J/Ψ. Schema Brookhavenského experimentu (M - dipolový magnet, C - detektor Čerenkova záření identifikující elektrony, D - proporcionální komory sloužící k určení dráhy elektronů, S - elektromagnetický sprškový detektor identifikující elektrony a měřící jejich energii ). Převzato z [] 212

213 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.9: Objev částice J/Ψ.Histogram rozdělení invariantní hmoty e + + e párů naměřených Brookhavenským experimentem. Struktura odpovídající částic J/Ψ je patrna těsně nad hmotou 3 GeV/c 2 Obrázek 19.10: Objev částice J/Ψ. Schema experimentu MARK I v laboratoři SLAC, ve kterém byla rovněž pozorována částice J/Ψ 213

214 KAPITOLA 19. PR I LOHY Obra zek 19.11: Objev top kvarku. Pru r ez experimentem CDF s vyznac enı m jednotlivy ch subdetektoru. Je zobrazena jedna polovina experimentu. Pr evzato z [] Obra zek 19.12: Objev top kvarku. Schema experimentu CDF ve Fermiho na rodni laborator i. 214

215 KAPITOLA 19. PR I LOHY Obra zek 19.13: Prvnı za znamy rozpadu podivny ch c a stic v bublinkove komor e. Na hornı m obra zku vlevo dole V struktura odpovı dajı cı rozpadu K 0 π + + π, zme na sme ru dra hy vpravo nahor e v dolnı m obra zku odpovı da semileptonicke mu rozpadu K + µ+ + νµ. Kaon pr ile ta shora, mion je identifikova n dı ky pru letu olove nou deskou ve str edu komory. Pr evzato z [] 215

216 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.14: Kvarky a hadronová produkce. Příklad produkce dvou výtrysků částic (jetů) při e + + e anihilaci v experimentu JADE v laboratoři DESY v Hamburku. 216

217 KAPITOLA 19. PR I LOHY Obra zek 19.15: Objev neura lnı ch proudu. Za znam interakce neutrina s elektronem ve freonem plne ne bulinkove komor e GARGAMELLE v CERN. V reakci ν µ + e ν µ + e zı skal elektron energii 400M ev. Pr evzato z [] Obra zek 19.16: Objev intermedia lnı ch bosonu W. Jedna z prvnı ch uda lostı zachycujı cı ch proces W + e+ +νe v experimentu UA1 na urychlovac i SPS v CERN pouz ı vane m v tomto pr ı pade jako sra z ec p+p svazku s te z is t ovou energiı sra z ky 540GeV /c2. S ipka oznac uje dra hu energeticke ho positronu s energiı 42GeV /c2 vznikle ho v uvedene m procesu. Positron byl identifikova n v elektromagneticke m kalorimetru, energie neutrina pak z chybe jı cı energie v uda losti. Pr evzato z [] 217

218 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.17: Objevy resonancí. Závislost účinného průřezu reakce π +/ +p na invariantní hmotě srážejících se částic vykazuje několik rezonančních struktur odpovídajících krátce žijícím vázaným stavům interagujícím silnou interakcí. Převzato z [] 218

219 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.18: Objev mnohonásobně podivných baryonů. První kaskádní rozpad částice Ω zaznamenaný v bublonkové komoře v Brookhavenské národní laboratoři. Na obrázku vpravo je uvedeno schema reakce. Ω vzniká v reakci K + p a rozpadá se postupně na Ξ 0, Λ 0, proton a další produkty. Převzato z [] 219

220 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.19: Experimentální argumenty pro existenci barevného stupně volnosti u kvarků. Závislost R faktoru (poměr účinného průřezu e + + e anihilace na hadrony v koncovém stavu a účinného průřezu e + + e anihilace do leptonových koncových stavů) na těžišt ové energii srážky. Stupně na závislosti odpovídají produkčním prahům párové produkce těžkých kvarků. Velikost R faktoru je konzistentní s existencí barevného stupně volnosti kvarků. Převzato z [] 220

221 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.20: Energetická závislost účinného průřezu e + + e anihilace na cokoli v koncovém stavu. Celková tendence poklesu účinného průřezu 1/s odpovídá bodovému charakteru procesu. Maxima odpovídají různým bosonovým resonancím, stupně opět otevření produkčních kanálů pro těžké kvarky. Převzato z [] 221

222 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.21: Určení spinu gluonu. Příklad tříjetové události zaznamenané experimentem JADE na e + +e srážeči PETRA v laboratoři DESY v Hamburku. Úhlové rozdělení směru nejenergetičtějšího jetu vzhledem k přímce orčené zbývajícími dvěma jety měřený v jejich těžišt ové soustavě je konzistentní s předpovědí pro vektorový gluon. Předpověd pro skalární gluon se výrazně liší od experimentálních dat. Převzato z [] 222

223 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.22: Objev vnitřní struktury nukleonu. Strukturní funkce nukleonu F 2 (x, q 2 ) získané v hluboce neelastickém rozptylu e p a µ p. Křivky představují QCD předpovědi za předpokladu Λ QCD = 200 MeV. Převzato z [] 223

224 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.23: Experimentální zjištění helicity fotonu... doplnit 224

225 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.24: Objev narušení CP symetrie v systému neutrálních kaonů. Vzácné dvoupionové rozpady K L π + +π jsou identifikovány na základě úhlové závislosti rozpadových produktů. Úhel Θ je úhel mezi směrem letu mateřské částice a směrem sumy hybností pionových párů. Pro obvyklé třítělesové rozpady není při použití páru produktů směr hybnosti mateřské částice správně rekonstruován. Proto je rozdělení Θ široké. Vzácné dvoupionové rozpady jsou rekonstruovány plně a rozdělení Θ je velice úzké s maximem u cosθ = 1. Zde byl pozorován signál převyšující simulované pozadí od třípionových rozpadů. Převzato z [] 225

226 KAPITOLA 19. PŘÍLOHY Obrázek 19.25: Oscilace v systému neutrálních kaonů. V závislosti na vlastním čase kaonu je vynesena četnost rozpadů K 0 π + + π. Je patrné narušení exponenciálního charakteru rozdělení. Na dolním obrázku je znázorněn vyextrahovaný interferenční člen získaný z rozdělení na horním obrázku. Z parametrů proložení lze určit rozdíl hmot K L a K S a fázi mezi jejich amplitudami. Převzato z [] 226

227 KAPITOLA 19. PR I LOHY Obra zek 19.26: Objev Z 0 bosonu. Experiment DELPHI na urychlovac i LEP v CERN. Na dolnı m obra zku je uka zka uda losti, obsahujı cı reakci e+ + e Z 0 bb 2jets. Rekonstruovane sekunda rnı vrcholy B mesonu ukazujı na pr ı tomnost te z ky ch kvarku v procesu. Pr evzato z [] Obra zek 19.27: Objev struktury nukleonu a vlastnostı jeho konstituentu. Kvarkove a antikvarkove strukturnı funkce v za vislosti na prome nne x odpovı dajı cı relativnı hybnostnı frakci nukleonu jimi nesene. Data byla zı ska na v experimentech v CERN a FNAL. Ztechto rozde lenı lze jednak uka zat, z e valenc nı kvarky majı rozde lena s maximem blı zky m 1/3 a mor ske kvark-antikvarkove pa ry jsou soustr ede ny v oblasti maly ch x. Rovne z integracı te chto rozde lenı zjis t ujeme, z e pouze pr ibliz ne 1/2 hybnosti nukleonu je nesena kvarky. Zby vajı cı c a st pr ipada na gluony. Pr evzato z [] 227

228 KAPITOLA 19. PR I LOHY Obra zek 19.28: Pr ehled 19 parametru standardnı ho modelu c a sticove fyziky, ktere musı me stanovit experimenta lne a do modelu vloz it. Pr evzato z [] Obra zek 19.29: Pr ehled symetriı standardnı ho modelu c a sticove fyziky. Pr evzato z [] 228

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle

Více

Alexander Kupčo. kupco/qcd/ telefon:

Alexander Kupčo.   kupco/qcd/   telefon: QCD: Přednáška č. 1 Alexander Kupčo http://www-hep2.fzu.cz/ kupco/qcd/ email: kupco@fzu.cz telefon: 608 872 952 F. Halzen, A. Martin: Quarks and leptons Kvarky, partony a kvantová chromodynamika cesta

Více

ELEKTROMAGNETICKÁ INTERAKCE

ELEKTROMAGNETICKÁ INTERAKCE ELEKTROMAGNETICKÁ INTERAKCE Základní informace Působení výběrové (na Q e 0) Dosah Symetrie IM částice nekonečný U(1) loc γ - foton Působení interakce: Elektromagnetická interakce je výběrová interakce.

Více

Standardní model částic a jejich interakcí

Standardní model částic a jejich interakcí Standardní model částic a jejich interakcí Jiří Rameš Fyzikální ústav AV ČR, v. v. i., Praha Přednáškové dopoledne Částice, CERN, LHC, Higgs 24. 10. 2012 Hmota se skládá z atomů Každý atom tvoří atomové

Více

FYZIKA MIKROSVĚTA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Fyzika mikrosvěta - 3. ročník

FYZIKA MIKROSVĚTA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Fyzika mikrosvěta - 3. ročník FYZIKA MIKROSVĚTA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Fyzika mikrosvěta - 3. ročník Mikrosvět Svět o rozměrech 10-9 až 10-18 m. Mikrosvět není zmenšeným makrosvětem! Chování v mikrosvětě popisuje kvantová

Více

Jádro se skládá z kladně nabitých protonů a neutrálních neutronů -> nukleony

Jádro se skládá z kladně nabitých protonů a neutrálních neutronů -> nukleony Otázka: Atom a molekula Předmět: Chemie Přidal(a): Dituse Atom = základní stavební částice všech látek Skládá se ze 2 částí: o Kladně nabité jádro o Záporně nabitý elektronový obal Jádro se skládá z kladně

Více

Prověřování Standardního modelu

Prověřování Standardního modelu Prověřování Standardního modelu 1) QCD hluboce nepružný rozptyl, elektron (mion) proton, strukturní funkce fotoprodukce γ proton produkce gluonů v e + e produkce jetů, hadronů 2) Elektroslabá torie interference

Více

Od kvantové mechaniky k chemii

Od kvantové mechaniky k chemii Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi

Více

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura

Více

postaven náš svět CERN

postaven náš svět CERN Standardní model elementárních částic a jejich interakcí aneb Cihly a malta, ze kterých je postaven náš svět CERN Jiří Rameš, Fyzikální ústav AV ČR, v.v.i. Czech Teachers Programme, CERN, 3.-7. 3. 2008

Více

Příklady Kosmické záření

Příklady Kosmické záření Příklady Kosmické záření Kosmické částice 1. Jakou kinetickou energii získá proton při pádu z nekonečné výšky na Zem? Poloměr Zeměje R Z =637810 3 maklidováenergieprotonuje m p c 2 =938.3MeV. 2. Kosmickékvantum

Více

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program

Více

HISTORIE ATOMU. M g r. ROBERT P ECKO TENTO DOKUMENT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

HISTORIE ATOMU. M g r. ROBERT P ECKO TENTO DOKUMENT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY HISTORIE ATOMU M g r. ROBERT P ECKO TENTO DOKUMENT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Historie atomu (modely) Mgr. Robert Pecko Období bez modelu pojetí hmoty

Více

Za hranice současné fyziky

Za hranice současné fyziky Za hranice současné fyziky Zásadní změny na počátku 20. století Kvantová teorie (Max Planck, 1900) teorie malého a lehkého Teorie relativity (Albert Einstein) teorie rychlého (speciální relativita) Teorie

Více

Mezony π, mezony K, mezony η, η, bosony 1

Mezony π, mezony K, mezony η, η, bosony 1 Mezony π, mezony K, mezony η, η, bosony 1 Mezony π, (piony) a) Nabité piony hmotnost, rozpady, doba života, spin, parita, nezachování parity v jejich rozpadech b) Neutrální piony hmotnost, rozpady, doba

Více

Struktura atomu. Beránek Pavel, 1KŠPA

Struktura atomu. Beránek Pavel, 1KŠPA Struktura atomu Beránek Pavel, 1KŠPA Co je to atom? Částice, kterou již nelze chemicky dělit Fyzikálně ji lze dělit na elementární částice Modely atomů Model z antického Řecka (Démokritos) Pudinkový model

Více

Jana Nováková Proč jet do CERNu? MFF UK

Jana Nováková Proč jet do CERNu? MFF UK Jana Nováková MFF UK Proč jet do CERNu? Plán přednášky 4 krát částice kolem nás intermediální bosony mediální hvězdy hon na Higgsův boson - hit současné fyziky urychlovač není projímadlo detektor není

Více

2. Atomové jádro a jeho stabilita

2. Atomové jádro a jeho stabilita 2. Atomové jádro a jeho stabilita Atom je nejmenší hmotnou a chemicky nedělitelnou částicí. Je tvořen jádrem, které obsahuje protony a neutrony, a elektronovým obalem. Elementární částice proton neutron

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

Experiment ATLAS. Shluky protiběžných částic se srážejí každých 25 ns. tj. s frekvencí. Počet kanálů detektoru je 150 mil.

Experiment ATLAS. Shluky protiběžných částic se srážejí každých 25 ns. tj. s frekvencí. Počet kanálů detektoru je 150 mil. Experiment ATLAS Shluky protiběžných částic se srážejí každých 25 ns tj. s frekvencí 40 MHz Počet srážek 40 MHz x 20 = 800 milionů / s Počet kanálů detektoru je 150 mil. Po 1. úrovni rozhodování (L1 trigger)

Více

2. Elektrotechnické materiály

2. Elektrotechnické materiály . Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů

Více

Atomové jádro Elektronový obal elektron (e) záporně proton (p) kladně neutron (n) elektroneutrální

Atomové jádro Elektronový obal elektron (e) záporně proton (p) kladně neutron (n) elektroneutrální STAVBA ATOMU Výukový materiál pro základní školy (prezentace). Zpracováno v rámci projektu Snížení rizik ohrožení zdraví člověka a životního prostředí podporou výuky chemie na ZŠ. Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.16/02.0018

Více

[KVANTOVÁ FYZIKA] K katoda. A anoda. M mřížka

[KVANTOVÁ FYZIKA] K katoda. A anoda. M mřížka 10 KVANTOVÁ FYZIKA Vznik kvantové fyziky zapříčinilo několik základních jevů, které nelze vysvětlit pomocí klasické fyziky. Z tohoto důvodu musela vzniknout nová teorie, která by je přijatelně vysvětlila.

Více

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu

Úvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi

Více

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15 Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší

Více

ATOM VÝVOJ PŘEDSTAV O SLOŽENÍ A STRUKTUŘE ATOMU

ATOM VÝVOJ PŘEDSTAV O SLOŽENÍ A STRUKTUŘE ATOMU Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: CHEMIE PRVNÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK 20. říjen 202 Název zpracovaného celku: ATOM VÝVOJ PŘEDSTAV O SLOŽENÍ A STRUKTUŘE ATOMU Leukippos, Démokritos (5. st. př. n. l.; Řecko).

Více

Theory Česky (Czech Republic)

Theory Česky (Czech Republic) Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider

Více

Podivnosti na LHC. Abstrakt

Podivnosti na LHC. Abstrakt Podivnosti na LHC O. Havelka 1, J. Jerhot 2, P. Smísitel 3, L. Vozdecký 4 1 Gymnýzium Trutnov, ondra10ax@centrum.cz 2 SPŠ Strojní a elektrotechnická, České Budějovice, jerrydog@seznam.cz 3 Gymnázium Vyškov,

Více

Standardní model. Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR

Standardní model. Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR Standardní model Standardní model je v současné době všeobecně uznávanou teorií, vysvětlující stavbu a vlastnosti hmoty. Výzkum částic probíhal celé dvacáté století, poslední předpovězené částice byly

Více

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole Kde se nacházíme? ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole Mapování elektrického pole -jak? Detektorem.Intenzita

Více

Kam kráčí současná fyzika

Kam kráčí současná fyzika Kam kráčí současná fyzika Situace před II. světovou válkou Kvantová teorie (Max Planck, 1900) teorie malého a lehkého Teorie relativity (Albert Einstein) teorie rychlého (speciální relativita) Teorie velkého

Více

Detekce nabitých částic Jak se ztrácí energie průchodem částice hmotou?

Detekce nabitých částic Jak se ztrácí energie průchodem částice hmotou? Detekce nabitých částic Jak se ztrácí energie průchodem částice hmotou? 10/20/2004 1 Bethe Blochova formule (1) je maximální možná předaná energie elektronu N r e - vogadrovo čislo - klasický poloměr elektronu

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

VYPOUŠTĚNÍ KVANTOVÉHO DŽINA

VYPOUŠTĚNÍ KVANTOVÉHO DŽINA VYPOUŠTĚNÍ KVANTOVÉHO DŽINA ÚSPĚŠNÉ OMYLY V HISTORII KVANTOVÉ FYZIKY Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK Praha Prosinec 2009 1) STARÁ KVANTOVÁ TEORIE Světlo jsou částice! (1900-1905) 19.

Více

Úvod do laserové techniky

Úvod do laserové techniky Úvod do laserové techniky Látka jako soubor kvantových soustav Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze petr.koranda@gmail.com 18. září 2018 Světlo jako elektromagnetické

Více

Atom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =

Atom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e = Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?

Více

Úvod do moderní fyziky

Úvod do moderní fyziky Úvod do moderní fyziky letní semestr 2015/2016 Vyučující: Ing. Jan Pšikal, Ph.D Tématický obsah přednášek speciální a obecná teorie relativity kvantování energie záření, vlnové vlastnosti částic struktura

Více

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli: Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 Fyzika atomu - model atomu struktura elektronového obalu atomu z hlediska energie atomu - stavba atomového jádra; základní nukleony

Více

Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ

Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ Název projektu Číslo projektu Název školy Autor Název šablony Název DUMu Stupeň a typ vzdělávání Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0748

Více

Optické spektroskopie 1 LS 2014/15

Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Martin Kubala 585634179 mkubala@prfnw.upol.cz 1.Úvod Velikosti objektů v přírodě Dítě ~ 1 m (10 0 m) Prst ~ 2 cm (10-2 m) Vlas ~ 0.1 mm (10-4 m) Buňka ~ 20 m (10-5 m)

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

ELEKTROMAGNETISMUS ELEKTRO MAGNETISMUS

ELEKTROMAGNETISMUS ELEKTRO MAGNETISMUS ELEKTROMAGNETISMUS ELEKTRO MAGNETISMUS úvodní poznámky klasický elektromagnetismus: ve smyslu nekvantový, tj. všechny veličiny měřitelné s libovolnou přesností klasická teorie měla dnešní podobu již před

Více

LEPTONY. Elektrony a pozitrony a elektronová neutrina. Miony a mionová neutrina. Lepton τ a neutrino τ

LEPTONY. Elektrony a pozitrony a elektronová neutrina. Miony a mionová neutrina. Lepton τ a neutrino τ LEPTONY Elektrony a pozitrony a elektronová neutrina Pozitronium, elektronové neutrino a antineutrino Beta rozpad nezachování parity, měření helicity neutrin Miony a mionová neutrina Lepton τ a neutrino

Více

Higgsův boson ve standardním modelu

Higgsův boson ve standardním modelu Natura 11/2004 30. října 2004 Higgsův boson ve standardním modelu zpracoval: Jiří Svršek 1 podle článku [1] Petera A. McNamary III a Sau Lan Wua Abstract V současnosti jsou všechna experimentální data

Více

Úvod do moderní fyziky. lekce 7 vznik a vývoj vesmíru

Úvod do moderní fyziky. lekce 7 vznik a vývoj vesmíru Úvod do moderní fyziky lekce 7 vznik a vývoj vesmíru proč nemůže být vesmír statický? Planckova délka, Planckův čas l p =sqrt(hg/c^3)=1.6x10-35 m nejkratší dosažitelná vzdálenost, za kterou teoreticky

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Princip metody Transport částic Monte Carlo v praxi. Metoda Monte Carlo. pro transport částic. Václav Hanus. Koncepce informatické fyziky, FJFI ČVUT

Princip metody Transport částic Monte Carlo v praxi. Metoda Monte Carlo. pro transport částic. Václav Hanus. Koncepce informatické fyziky, FJFI ČVUT pro transport částic Koncepce informatické fyziky, FJFI ČVUT Obsah Princip metody 1 Princip metody Náhodná procházka 2 3 Kódy pro MC Příklady použití Princip metody Náhodná procházka Příroda má náhodný

Více

Látkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A

Látkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A Doporučená literatura Přípravný kurz Chemie 2006/07 07 RNDr. Josef Tomandl, Ph.D. Mailto: tomandl@med.muni.cz Předmět: Přípravný kurz chemie J. Vacík a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN, Praha 1990,

Více

Standardní model a kvark-gluonové plazma

Standardní model a kvark-gluonové plazma Standardní model a kvark-gluonové plazma Boris Tomášik Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, ČVUT International Particle Physics Masterclasses 2012 7.3.2012 Struktura hmoty molekuly atomy jádra a elektrony

Více

Atomové jádro, elektronový obal

Atomové jádro, elektronový obal Atomové jádro, elektronový obal 1 / 9 Atomové jádro Atomové jádro je tvořeno protony a neutrony Prvek je látka skládající se z atomů se stejným počtem protonů Nuklid je systém tvořený prvky se stejným

Více

Plazmové metody. Základní vlastnosti a parametry plazmatu

Plazmové metody. Základní vlastnosti a parametry plazmatu Plazmové metody Základní vlastnosti a parametry plazmatu Atom je základní částice běžné hmoty. Částice, kterou již chemickými prostředky dále nelze dělit a která definuje vlastnosti daného chemického prvku.

Více

2. Prostudovat charakter interakcí různých částic v hadronovém kalorimetru

2. Prostudovat charakter interakcí různých částic v hadronovém kalorimetru Pracovní úkol: 1. Seznámit se s interaktivní verzí simulace 2. Prostudovat charakter interakcí různých částic v hadronovém kalorimetru 3. Kvantitativně srovnat energetické ztráty v kalorimetru pro různé

Více

1. Struktura hmoty. Následující schéma uvádí tento pojem do souvislosti s dalším

1. Struktura hmoty. Následující schéma uvádí tento pojem do souvislosti s dalším 1. Struktura hmoty Hmota je tvořena z hlediska vnějšího pohledu různými látkami. Následující schéma uvádí tento pojem do souvislosti s dalším členěním: Atomy jsou tvořeny elementárními částicemi (pojem

Více

Elektronový obal atomu

Elektronový obal atomu Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

ČÁST VIII - M I K R O Č Á S T I C E

ČÁST VIII - M I K R O Č Á S T I C E ČÁST VIII - M I K R O Č Á S T I C E 32 Základní částice 33 Dynamika mikročástic 34 Atom - elektronový obal 35 Atomové jádro 36 Radioaktivita 37 Molekuly 378 Pod pojmem mikročástice budeme rozumět tzv.

Více

Opakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu

Opakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu 11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické

Více

OBECNÁ CHEMIE. Kurz chemie pro fyziky MFF-UK přednášející: Jaroslav Burda, KChFO.

OBECNÁ CHEMIE. Kurz chemie pro fyziky MFF-UK přednášející: Jaroslav Burda, KChFO. OBECNÁ CHEMIE Kurz chemie pro fyziky MFF-UK přednášející: Jaroslav Burda, KChFO burda@karlov.mff.cuni.cz HMOTA, JEJÍ VLASTNOSTI A FORMY Definice: Každý hmotný objekt je charakterizován dvěmi vlastnostmi

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. neutronové číslo

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. neutronové číslo JADERNÁ FYZIKA I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í 1. Úvod 4 14 17 1 jádra E. Rutherford, 1914 první jaderná reakce: α+ N O H 2 7 8 + 1 jaderné síly = nový druh velmi silných sil vzdálenost

Více

o Mají poločíselný spin (všechny leptony a kvarky, všechny baryony - například elektron, neutrino, proton, neutron, baryony Λ hyperon...).

o Mají poločíselný spin (všechny leptony a kvarky, všechny baryony - například elektron, neutrino, proton, neutron, baryony Λ hyperon...). Rozdělení částic Elementární částice můžeme dělit buď podle "rodové příslušnosti" na leptony, kvarky, intermediální částice a Higgsovy částice nebo podle statistického chování na fermiony a bosony. Dělení

Více

Fyzika atomového jádra

Fyzika atomového jádra Fyzika atomového jádra (NJSF064) František Knapp http://www.ipnp.cz/knapp/jf/ frantisek.knapp@mff.cuni.cz Literatura [1] S.G. Nilsson, I. Rangarsson: Shapes and shells in nuclear structure [2] R. Casten:

Více

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO

Fyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO 1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu

Více

2. 1 S T R U K T U R A A V L A S T N O S T I A T O M O V É H O J Á D R A

2. 1 S T R U K T U R A A V L A S T N O S T I A T O M O V É H O J Á D R A 2. Jaderná fyzika 9 2. 1 S T R U K T U R A A V L A S T N O S T I A T O M O V É H O J Á D R A V této kapitole se dozvíte: o historii vývoje modelů stavby atomového jádra od dob Rutherfordova experimentu;

Více

c) vysvětlení jednotlivých veličin ve vztahu pro okamžitou výchylku, jejich jednotky

c) vysvětlení jednotlivých veličin ve vztahu pro okamžitou výchylku, jejich jednotky Harmonický kmitavý pohyb a) vysvětlení harmonického kmitavého pohybu b) zápis vztahu pro okamžitou výchylku c) vysvětlení jednotlivých veličin ve vztahu pro okamžitou výchylku, jejich jednotky d) perioda

Více

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

Zeemanův jev. 1 Úvod (1)

Zeemanův jev. 1 Úvod (1) Zeemanův jev Tereza Gerguri (Gymnázium Slovanské náměstí, Brno) Stanislav Marek (Gymnázium Slovanské náměstí, Brno) Michal Schulz (Gymnázium Komenského, Havířov) Abstrakt Cílem našeho experimentu je dokázat

Více

2. 4 F Y Z I K A E L E M E N T Á R N Í C H ČÁSTIC

2. 4 F Y Z I K A E L E M E N T Á R N Í C H ČÁSTIC 2. Jaderná fyzika 69 2. 4 F Y Z I K A E L E M E N T Á R N Í C H ČÁSTIC V této kapitole se dozvíte: co je předmětem studia fyziky elementárních částic; jak se částice na základě svých vlastností třídí do

Více

POKUSY VEDOUCÍ KE KVANTOVÉ MECHANICE II

POKUSY VEDOUCÍ KE KVANTOVÉ MECHANICE II POKUSY VEDOUCÍ KE KVANTOVÉ MECHANICE II FOTOELEKTRICKÝ JEV VNĚJŠÍ FOTOELEKTRICKÝ JEV na intenzitě záření závisí jen množství uvolněných elektronů, ale nikoliv energie jednotlivých elektronů energie elektronů

Více

Kvadrát celková energie částice je dána součtem kvadrátu její kinetické energie a kvadrátu klidové energie v důsledku její hmotnosti,

Kvadrát celková energie částice je dána součtem kvadrátu její kinetické energie a kvadrátu klidové energie v důsledku její hmotnosti, Hmota ve vesmíru Kvadrát celková energie částice je dána součtem kvadrátu její kinetické energie a kvadrátu klidové energie v důsledku její hmotnosti, Ec 2 = m 2 0 c4 + p 2 c 2. Tento relativistický vztah

Více

Elektrické a magnetické pole zdroje polí

Elektrické a magnetické pole zdroje polí Elektrické a magnetické pole zdroje polí Podstata elektromagnetických jevů Elementární částice s ohledem na elektromagnetické působení Elektrické a magnetické síly a jejich povaha Elektrický náboj a jeho

Více

Elektronový obal atomu

Elektronový obal atomu Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h

Více

Petr Kulhánek: Honba za Higgsovými částicemi a moje červené poznámky

Petr Kulhánek: Honba za Higgsovými částicemi a moje červené poznámky Musím umírnit svůj rozhořčený projev zde http://www.hypothesis-ofuniverse.com/docs/n/n_332.doc na výrok V.Hály, že Higgsův mechanismus dává hmotnost těm částicím, které interagují s Higgsovým polem,...

Více

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné.

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné. Zářivé procesy Podmínky vyzařování, Larmorův vzorec, Thomsonův rozptyl, synchrotronní záření, brzdné záření, Comptonův rozptyl, čerenkovské záření, spektum zdroje KZ Záření KZ Význam studium zdrojů a vlastností

Více

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti. 6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové

Více

1. Zadání Pracovní úkol Pomůcky

1. Zadání Pracovní úkol Pomůcky 1. 1. Pracovní úkol 1. Zadání 1. Ověřte měřením, že směry výletu anihilačních fotonů vznikajících po β + rozpadu jader 22 Na svírají úhel 180. 2. Určete pološířku úhlového rozdělení. 3. Vysvětlete tvar

Více

FRANĚK A., FENDRYCHOVÁ K.: TEORIE STRUN, SUPERSTRUN A M-TEORIE

FRANĚK A., FENDRYCHOVÁ K.: TEORIE STRUN, SUPERSTRUN A M-TEORIE TEORIE STRUN, SUPERSTRUN A M-TEORIE Aleš Franěk, Kristýna Fendrychová 4. A, Gymnázium Na Vítězné pláni 1160, Praha 4, 140 00, šk. rok 2005/2006 Abstrakt: Tento článek by měl přiblížit základní myšlenku

Více

E e = hf -W. Kvantové vysvětlení fotoelektrického jevu. Fotoelektrický jev vysvětlil Einstein pomocí Planckovy kvantové

E e = hf -W. Kvantové vysvětlení fotoelektrického jevu. Fotoelektrický jev vysvětlil Einstein pomocí Planckovy kvantové Kvantové vysvětlení fotoelektrického jevu Fotoelektrický jev vysvětlil Einstein pomocí Planckovy kvantové hypotézy Fotoelektrický jev : Světlo vyráží z povrchu kovů elektrony. Jedno kvantum světla může

Více

37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra

37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra 445 37 MOLEKULY Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra Soustava stabilně vázaných atomů tvoří molekulu. Podle počtu atomů hovoříme o dvoj-, troj- a více atomových molekulách.

Více

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

ATOMOVÉ JÁDRO A JEHO STRUKTURA. Aleš Lacina Přírodovědecká fakulta MU, Brno

ATOMOVÉ JÁDRO A JEHO STRUKTURA. Aleš Lacina Přírodovědecká fakulta MU, Brno ATOMOVÉ JÁDRO A JEHO STRUKTURA Aleš Lacina Přírodovědecká fakulta MU, Brno "Poněvadž a-částice... procházejí atomem, pečlivé studium odchylek "těchto střel" od původního směru může poskytnout představu

Více

Relativistická kinematika

Relativistická kinematika Relativistická kinematika 1 Formalismus čtyřhybnosti Pro řešení relativistických kinematických úloh lze často s výhodou použít formalismus čtyřhybnosti. Čtyřhybnost je čtyřvektor, který v sobě zahrnuje

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Struktura elektronového obalu

Struktura elektronového obalu Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Struktura elektronového obalu Představy o modelu atomu se vyvíjely tak, jak se zdokonalovaly možnosti vědy

Více

Statický kvarkový model

Statický kvarkový model Statický kvarkový model Supermulltiplet: charakterizován I a hypernábojem Y=B+S Skládání multipletů spinových či izotopických, např. dvě částice se spinem 1/2 Tři částice se spinem 1/2 Kvartet a dva dublety

Více

Kovy - model volných elektronů

Kovy - model volných elektronů Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

STŘEDOČESKÝ KRAJ ANTIHMOTA

STŘEDOČESKÝ KRAJ ANTIHMOTA ENERSOL 2011 STŘEDOČESKÝ KRAJ ANTIHMOTA Adresa autora projektu: Jméno, příjmení autorů projektu Enersol 2011: Jakub Rohan, Richard Měcháček Učební, studijní obor, ročník studia: Informační technologie,

Více

ELEKTRONOVÝ OBAL ATOMU. kladně nabitá hmota. elektron

ELEKTRONOVÝ OBAL ATOMU. kladně nabitá hmota. elektron MODELY ATOMU ELEKTRONOVÝ OBAL ATOMU Na základě experimentálních výsledků byly vytvořeny různé teorie o struktuře atomu, tzv. modely atomu. Thomsonův model: Roku 1897 se jako první pokusil o popis stavby

Více

Relativistická dynamika

Relativistická dynamika Relativistická dynamika 1. Jaké napětí urychlí elektron na rychlost světla podle klasické fyziky? Jakou rychlost získá při tomto napětí elektron ve skutečnosti? [256 kv, 2,236.10 8 m.s -1 ] 2. Vypočtěte

Více

ATOM. Autor: Mgr. Stanislava Bubíková. Datum (období) tvorby: 25. 7. 2012. Ročník: osmý

ATOM. Autor: Mgr. Stanislava Bubíková. Datum (období) tvorby: 25. 7. 2012. Ročník: osmý ATOM Autor: Mgr. Stanislava Bubíková Datum (období) tvorby: 25. 7. 2012 Ročník: osmý Vzdělávací oblast: Člověk a příroda / Chemie / Částicové složení látek a chemické prvky 1 Anotace: Žáci se seznámí se

Více

OPVK CZ.1.07/2.2.00/

OPVK CZ.1.07/2.2.00/ 18.2.2013 OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0184 Cvičení z NMR OCH/NMR Mgr. Tomáš Pospíšil, Ph.D. LS 2012/2013 18.2.2013 NMR základní principy NMR Nukleární Magnetická Resonance N - nukleární (studujeme vlastnosti

Více

Úloha č.: I Název: Studium relativistických jaderných interakcí. Identifikace částic a určování typu interakce na snímcích z bublinové komory.

Úloha č.: I Název: Studium relativistických jaderných interakcí. Identifikace částic a určování typu interakce na snímcích z bublinové komory. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM IV Úloha č.: I Název: Studium relativistických jaderných interakcí. Identifikace částic a určování typu interakce na snímcích

Více

2. ATOM. Dualismus částic: - elektron se chová jako hmotná částice, ale také jako vlnění

2. ATOM. Dualismus částic: - elektron se chová jako hmotná částice, ale také jako vlnění Na www.studijni-svet.cz zaslal(a): Kikusska94 2. ATOM HISTORIE NÁZORŮ NA STAVBU ATOMU - Leukippos (490 420 př. n. l.) - Demokritos (460 340 př. n. l.) - látka je tvořená atomy, které se dále nedělí (atomos

Více

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY ÚVOD DO TERMODYNAMIKY Termodynamika: Nauka o obecných zákonitostech, kterými se se řídí transformace CELKOVÉ energie makroskopických systémů v její různé formy. Je založena na výsledcích experimentílních

Více

Vybrané podivnosti kvantové mechaniky

Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:

Více

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice KAPITOLA 2: PRVEK Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora

Více

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika Fyzika pro střední školy II 84 R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A R10.1 Fotovoltaika Sluneční záření je spojeno s přenosem značné energie na povrch Země. Její velikost je dána sluneční neboli solární

Více

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2 Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové

Více