Část pracovní verze kapitoly o integračních technikách z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.)

Transkript

1 Část pracovní verze kapitoly o integračních technikách z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.)

2

3 Obsah I Integrační techniky 5 Základní metody Elementární úpravy a triky Roznásobení a linearita Modifikace základních vzorců Goniometrické identity Podíl polynomů Rozdělení zlomku Přičtení nuly Vynásobení jedničkou Doplnění do čtverce Metoda per partes Zobecnění Přímé použití Opakované použití Redukce složitosti Rovnice, kde neznámou je integrál Rekurentní vztahy Substituční metoda Zobecnění Použití první věty o substituci Použití druhé věty o substituci Další příklady Integrování speciálních tříd funkcí Integrování racionálních funkcí Algebraická předehra Přehled Integrace parciálních zlomků typu (I) a (II) Integrace parciálních zlomků typu (III) Integrace parciálních zlomků typu (IV)

4 4 Kapitola Shrnutí Některé integrály, jež lze zracionalizovat Integrály s goniometrickými funkcemi Integrály s odmocninami Eulerovy substituce Užitečné zobecnění Poznámky k integraci elementárních funkcí Ponaučení

5 Kapitola I Integrační techniky Nechceme zde prezentovat příliš mnoho postupů a vzorců týkajících se integrování všemožných typů funkcí. Obsáhlé výčty rozličných integrálů najdete v jiné literatuře, viz např. úctyhodný přehled v [?] a ještě úctyhodnější přehled v [?]. Je ovšem nezbytné popsat alespoň dvě základní integrační metody metodu integrace po částech a metodu substituční. Dále si neodpustíme zmínku o některých důležitých třídách funkcí a jejich integraci, mezi nimiž ty racionální zaujímají význačné místo. Popíšeme také řadu typických a velmi užitečných triků. Motivací k pečlivému čtení této kapitoly může být např. touha popsat primitivní funkce ke všem základním elementárním funkcím. Důležitým pomocníkem (pro rychlou orientaci) při studiu této kapitoly mohou být i informace uvedené v dodatcích a případně i obrázek na str... Základní metody Základní integrační metody jsou odvozeny ze základních vlastností derivace. V Odstavci. používáme zejména linearitu, kterou jsme diskutovali v Odstavci??, a víceméně školské úpravy výrazů. Metoda popsaná v Odstavci., resp..3, je bezprostředním důsledkem věty o derivaci součinu funkcí, resp. věty o derivaci složené funkce (tzv. řetězového pravidla). Všechny uvedené metody jsou jednoduché, avšak velmi účinné. Obecně platný návod, kdy a jak je používat, však neexistuje. Získat zručnost v jejich používání je proto možné jen zkušeností, tj. spočítáním dostatečně velkého množství typově různých příkladů. Nicméně, alespoň nějaký univerzální princip při řešení konkrétních úloh je zřejmý: vždy se snažíme daný integrál upravit na lineární kombinaci integrálů, které umíme integrovat přímo, viz Odstavec??. 5

6 6 Kapitola I. Elementární úpravy a triky V této části jsou shromážděny některé často se opakující úpravy, které jsou vesměs elementárního charakteru. Jedná se o nejjednodušší ukázky výše formulovaného principu, kdy se velmi rychle dostáváme k tabulkovým integrálům. Současně však představují vhodnou motivaci k obecnějším úvahám diskutovaným dále. Roznásobení a linearita Následující příklad není řešitelný přímo, nicméně po roznásobení je integrál součtem dvou tabulkových integrálů (všechny rovnosti platí na R \ {0}): ( ) e x e x x dx = e x x dx = e x dx x dx = ex + x + c. Uvědomte si, že druhá rovnost je evidentně důsledkem linearity neurčitého integrálu, o které jsme obecně mluvili v Odstavci??. Modifikace základních vzorců Jednoduchým užitím řetězového pravidla lze obdržet různá zobecnění základních/tabulkových vzorců. Níže zvýrazněné vzorce doporučujeme ověřit přímým zderivováním pravé strany a zapamatovat si. Navíc se zde snažíme naznačit, jak se lze k podobným vztahům pokud možno přirozeně dopracovat. Všechny zmiňované vzorce současně představují modelové příklady na užití substituční metody, kterou diskutujeme obecně v Odstavci.3. (i) Následující postřehy jsou odvozeny z faktu, že derivací lineárního polynomu je konstanta. Např. pro všechna x R zřejmě platí: cos(x ) dx = sin(x ) + c Obecněji, je-li F primitivní funkce k f a a, b jsou libovolná reálná čísla, pak (všude, kde je výraz nalevo definován) platí: f(ax + b) dx = F (ax + b) + c. (..) a (ii) Předchozí rovnost může mít následující speciální podobu: ax + b dx = ln ax + b + c, a kterou můžeme přepsat jako: a dx = ln ax + b + c. ax + b

7 Integrační techniky 7 Pokud si čtenář uvědomí, že u tohoto integrandu je v čitateli právě derivace funkce ve jmenovateli, nejspíš si také domyslí následující bezprostřední zobecnění. Je-li ϕ libovolná funkce s integrovatelnou derivací, pak (všude, kde je výraz nalevo definován) platí: ϕ (x) dx = ln ϕ(x) + c. (..) ϕ(x) S tímto postřehem např. umíme určit primitivní funkci k funkci tg x (na libovolném intervalu neobsahujícím celočíselné násobky π ): sin x tg x dx = dx = ln cos x + c. cos x (iii) Následující integrand nám (až na nějaké ty konstanty) velmi připomíná derivaci funkce arctg, čehož lze úspěšně využít: x + 9 dx = 9 ( x 9 + ) dx = ( 9 x ) dx. 3 + Protože derivace arctg x 3 je právě 3, vidíme, že ( x 3 ) + x + 9 dx = 3 arctg x 3 + c. Obecněji, pro libovolnou reálnou konstantu a a všechna x R platí: x + a dx = a arctg x + c. (..3) a Velmi podobně je možné odvodit také následující užitečnou rovnost, jež platí pro libovolné a 0 a všechna x ( a, a): a x dx = arcsin x + c. (..4) a Goniometrické identity Mezi goniometrickými funkcemi platí spousta různých vztahů, pomocí nichž lze daný výraz různě přepisovat. (V podstatě všechny goniometrické identity, které pro naše integrování potřebujeme, připomínáme v Dodatku... ) Tuto skutečnost lze využít k nalezení takového tvaru integrandu, který je přímo nebo aspoň snadněji integrovatelný. Všechny tři níže uvedené příklady patří do skupiny úloh, které se podrobně věnujeme v Odstavci.. Často se např. budeme odkazovat na následující integrál: cos x dx = ( + cos x) dx = x + sin x 4 + c. (..5)

8 8 Kapitola I Podobně spočítáme cos tg x x dx = cos dx = x nebo taky sin x cos 3 x dx = Podíl polynomů sin x cos x cos x dx = 4 = sin x dx cos dx = tg x x + c x sin x ( + cos x) dx = sin 4x dx = cos x cos 4x + c. 8 3 (..6) Je-li integrand neryzí racionální funkcí, pak dělení polynomů se zbytkem situaci vždy zjednoduší. Obecně a úplně jsou tyto případy diskutovány v Odstavci.. Zde uvádíme obzvlášť jednoduchý příklad, který lze dořešit bez jakýchkoli dodatečných úprav (všechny rovnosti platí na celém R): x x + dx = x dx = x arctg x + c. (..7) + Následuje méně triviální příklad (všechny rovnosti platí na R \ { }): x x + dx = x x dx = 3x + 4 ln x + + c. (..8) x + x + Připomeňte si z algebry algoritmus dělení polynomů se zbytkem. Rozdělení zlomku Je-li integrand ryzí racionální funkcí, nemá dělení valného smyslu. Lomený výraz však lze často výhodně rozdělit na součet jednodušších výrazů (všechny rovnosti platí na celém R): x x + dx = x x + x + dx = ln(x + ) arctg x + c. (..9) Pro obecnější diskuzi odkazujeme do Odstavce., kde právě tato úprava je zobecněna. Jde o známý rozklad racionální funkce na tzv. parciální zlomky (viz též Dodatek...), přičemž je diskutována integrace všech typů zlomků, které se po rozkladu mohou objevit. Mimochodem, rozklad na parciální zlomky a následná integrace přirozeně patří svou podstatou také do tohoto odstavce: x dx = + x + x dx = ln + x x + c. (..0) Také obecnější lomené výrazy je pochopitelně (často, ne však už vždy) možné rozdělit tak, že si s jednotlivými sčítanci snadno poradíme. Dopočítejte např. následující příklad: dx = x 3 x x 3 x 3 x dx =...

9 Integrační techniky 9 Přičtení nuly Docela elegantním a často užívaným trikem je přičtení nuly a následná úprava integrovaného výrazu. Takto např. můžeme interpretovat první rovnost u jednoho z již dříve řešených příkladů (viz (..7)): x x + dx = x + + x dx = x + dx. Ani užití této úpravy není omezeno pouze na racionální funkce. Dořešte následující příklad: 3 + e x dx = 3 + e x e x e x dx =... Vynásobení jedničkou Podobně užitečnou úpravou, jako bylo přičtení nuly, může být vynásobeni integrandu vhodným výrazem, zpravidla zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel se rovnají, např.: e x + 3 dx = e x + 3 ex e x dx = e x + 3e x dx = 3 3e x + 3e x dx =... Integrál je nyní již snadné dopočítat, neboť jsme se ocitli v situaci (..). Všimněte si, že jsme násobili jedničkou hned dvakrát. Promyslete si, že lze postupovat i alternativně, a to přičtením nuly k čitateli původního integrandu ve smyslu 0 = e x e x. Doplnění do čtverce Motivací nám může být např. následující úvaha x + x + dx = (x + ) dx = arctg(x + ) + c. (..) + Všimněte si, že jsme vlastně převedli kvadratický výraz o třech členech na nový dvoučlenný kvadratický výraz. V mocnině pak vystupuje proměnná x až na aditivní konstantu, kterou však umíme jednoduchou substitucí bezproblémově zlikvidovat. Cílem je, abychom po této úpravě obdrželi funkci, kterou lze snáze (nebo již přímo) integrovat. Toto převedení (hovoříme o doplnění na čtverec) lze realizovat i v obecném případě. Znamená to, že původní výraz je vyjádřen ve tvaru jako na pravé straně: ax + bx + c = a((x + k) + l), (..) pro vhodné k, l R. Porovnáním odpovídajících koeficientů na obou stranách dostáváme (za předpokladu, že a 0, tj. že skutečně pracujeme s kvadratickým výrazem): k = b a, l = c a b 4a.

10 0 Kapitola I Všimněte si, že l je záporný násobek diskriminantu polynomu ax +bx+c. Proto má polynom různé reálné kořeny, příp. dvojnásobný kořen, příp. komplexně sdružené kořeny, právě když l < 0, příp. l = 0, příp. l > 0. Jiné typické užití úpravy doplnění do čtverce představuje třeba příklad x 6x 8 dx = dx = arcsin(x + 3) + c. (x + 3) Další uplatnění najdete v Odstavci., příp.... Metoda per partes Příklad... Vypočtěte x cos x dx na R. Řešení. Na rozdíl od některých předchozích příkladů, tento integrál není snadno uhádnutelný a k jeho dořešení potřebujeme nějakou novou myšlenku. Pokud si všimneme, že integrand se objevuje v derivaci jistého součinu, budeme mít vyhráno; platí totiž (x sin x) = sin x + x cos x. (..) Integrujeme-li nyní tuto rovnost, pak se na pravé straně objeví hledaný integrál a dále integrál funkce sinus, který je však snadný. Na levé straně pak vychází x sin x a snadnou úpravou dostáváme: x cos x dx = x sin x + cos x + c. Zobecnění Předchozí postřeh je jen ukázkou obecného principu, který je odvozen ze znalosti derivace součinu funkcí: Rovnost (..) dostaneme, dosadíme-li (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x). (..) u(x) = x, v(x) = sin x. Výsledek analogických úprav jako v příkladu (nyní integrujeme rovnost (..)) pak můžeme obecně vyjádřit jako u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx. (..3) Všimněte si, že uvedený příklad jsme uměli dořešit právě proto, že integrál na pravé straně byl snadno řešitelný, což naznačuje jisté meze při používání tohoto nápadu. Odvozená integrační metoda se nazývá integrace po částech, latinsky

11 Integrační techniky per partes. Vzhledem k tomu, že v (x) dx = dv a u (x) dx = du, rovnost (..3) se často zapisuje stručněji jako u dv = uv v du. Věta... Uvažujme funkce u a v, jež jsou obě diferencovatelné na intervalu I. Pokud má funkce u v primitivní funkci na I, pak také funkce u v má primitivní funkci na I, přičemž platí (..3). Uvědomte si, že podle Věty?? je podmínka integrovatelnosti funkce u v automaticky splněna, pokud funkce u je spojitě diferencovatelná (tj. derivace u je spojitá funkce) na I. Pro naprostou většinu funkcí, se kterými se v tomto kurzu potkáváme, tento fakt platí. Promyslete si, že při aplikování vzorce (..3) nehraje roli, jakou aditivní konstantu zvolíme u funkce v (jako primitivní funkce k v ). Pochopitelně má smysl provést co nejjednodušší možnou volbu. Přímé použití Přímé užití metody per partes spočívá v tom, že se pro daný integrál f(x) dx snažíme vyjádřit funkci f ve tvaru součinu f = u v tak, abychom byli schopni určit v (tzn. zintegrovat funkci v ), zderivovat u a současně zintegrovat funkci u v. Po dosazení do (..3) dostaneme výsledek. Ukázkou tohoto postupu byl právě úvodní příklad, kde postup řešení stručně zapisujeme následovně: x cos x dx = u = x u = v = cos x v = sin x = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + c. Uvědomte si, že jednu a touž funkci lze vyjádřit jako součin různými způsoby, z nichž však mnohé další výpočet mohou spíš zkomplikovat. Zkuste řešit stejný příklad např. s opačnou volbou, tj. u = cos x a v = x. Pokuste se najít vhodnou volbu pro použití metody per partes u integrálu dx a určete maximální integrační obor. x cos x Příklad..3. Určete ln x dx na intervalu (0, ). Řešení. Přirozená, i když ne zcela samozřejmá, zato však celkem hojně používaná, volba je odvozena od triviální rovnosti ln x = ln x. ln x dx = u = ln x v = u = x v = x = x ln x dx = x ln x x + c.

12 Kapitola I Opakované použití Někdy je účelné použít stejný nápad opakovaně, což je v případě metody per partes evidentně možné. Příklad..4. Vypočtěte ln x dx na intervalu (0, ). Řešení. Pokud volíme podobně jako u předchozího příkladu, dostáváme ln x dx = u = ln x v = u = ln x v = x = x ln x ln x dx. x Integrál napravo jsme již vyřešili výše (pomocí metody per partes); po dosazení obdržíme výsledek ln x dx = x ln x x ln x + x + c. Pro obecnější integrál ln m dx, kde m je nějaké přirozené číslo, stejná myšlenka vede k ln m x dx = x ln m x m ln m x dx. (..4) Odtud je patrné, že k úplnému dořešení tohoto integrálu pro konkrétní m stačí m-krát opakovat uvedený nápad. V každém kroku dostáváme vlastně stejnou rovnost, akorát vyjádřenou pro m o jedničku menší. Několikerým dosazením a jednoduchou úvahou mohou zájemci odvodit explicitní výsledek pro obecné m N. Příklad..5. Vypočtěte x sin x dx na R. Řešení. Přirozená volba je u = x a v = sin x, neboť skutečně vede k požadovanému zjednodušení: x sin x dx = u = x v = sin x u = x v = cos x = x cos x + x cos x dx. Integrál napravo známe z Příkladu..; po dosazení máme výsledek. Odtud by mělo být jasné, jak řešit např. (x 3 x + ) cos x dx nebo obecněji P (x) cos x dx, kde P (x) je libovolný polynom v proměnné x. Podle naznačeného postupu bychom k dořešení potřebovali tolik kroků, jaký je stupeň P ; v každém kroku vždy derivujeme polynom a integrujeme cos x nebo sin x. Úspěch je zaručen právě tím, že při integrování se opakují pouze tyto dvě funkce, kdežto opakované derivace polynom víc a víc zjednodušují. Integrály typu P (x)e x dx jsou zřejmě ještě milejší a varianta P (x)a x dx, kde a je kladné reálné číslo, také neskýtá žádný zásadní problém. Vzhledem k úvahám okolo rovnosti (..) můžeme ještě poznamenat, že uvedený postup je lze zobecnit zejména pro integrály typu P (x)e(ax + b) dx,

13 Integrační techniky 3 kde P je polynom, a a b jsou reálné konstanty a E je sinus, kosinus nebo nějaká exponenciální funkce. Redukce složitosti V tomto případě se po použití metody per partes problém zajímavě redukuje, nicméně nový integrál vyžaduje nějakou další manipulaci. Sem můžeme řadit také příklady diskutované v předchozím odstavci, ale dodáme ještě několik dalších, kde pouhé opakování stejného nápadu nestačí. Příklad..6. Určete arctg x dx na R. Řešení. V duchu Příkladu..3 počítáme takto: arctg x dx = u = arctg x v = u = +x v = x = x arctg x x + x dx. Integrál napravo umíme snadno dořešit podle (..), takže výsledek je: arctg x dx = x arctg x ln( + x ) + c. Příklad..7. Určete x arctg x dx na R. Řešení. Pokud bychom zkusili u = x a v = arctg x, pak u = a v = arctg x dx známe z předchozího příkladu. Po dosazení pozorujeme, že jsme se dostali z deště pod okap. Problém je pak totiž převeden na integrování funkce ln( + x ), což však není nic neřešitelného a myšlenka z předchozího příkladu vede k cíli; promyslete My však vybereme opačnou volbu a dostáváme: x arctg x dx = u = arctg x v = x u = +x v = x = x arctg x x + x dx. Integrál na pravé straně jsme vyřešili v (..7); stačí tedy dosadit a jsme hotovi. Analogická volba pro integrály typu P (x) arctg x dx a P (x) arccotg x dx, kde P je polynom (stupně n), povede k integrálu z racionálního lomeného výrazu, v jehož jmenovateli bude stále + x a v čitateli bude polynom stupně n +. S racionálními funkcemi se naučíme zcela uspokojivě zacházet v Odstavci., takže můžeme mluvit o redukci složitosti. Podobnými postupy pro integrály typu P (x) arcsin x dx a P (x) arccos x dx

14 4 Kapitola I dostáváme nově integrály z lomených výrazů, kde v čitateli je polynom a ve jmenovateli je x. Takové integrály se naučíme řešit v Odstavci.. Ve speciálním případě P (x) = lze už nyní řešit následující užitečné cvičení: Určete primitivní funkce k funkcím arcsin x a arccos x. V podobném duchu bychom mohli pokračovat libovolně dlouho. Všimněte si např., že volba u = ln x a v = x n u integrálu x n ln x dx vede po dosazení k integrálu z mocninné funkce, což je obzvlášť snadné. Díky postřehům za Příkladem..4 můžeme dále zobecňovat a uvědomit si, že vlastně umíme řešit integrály typu P (x) ln m x dx, kde P je polynom a m N. Logaritmy s obecným základem zřejmě také nepřináší žádnou podstatnou komplikaci. Podobně jako výše můžeme úvahy ještě dále zobecnit a tuto část uzavřít s tím, že jsme se právě naučili řešit integrály typu P (x)l m (ax + b) dx, kde P je polynom, L je nějaká logaritmická funkce, a, b R a m N. Rovnice, kde neznámou je integrál Může se stát, že po použití metody per partes se dostaneme k výrazu, který lze považovat za (jednoduchou) funkci, přičemž argumentem této funkce je právě hledaných integrál. V takovém případě tento integrál pak vyjádříme čistě algebraicky jakožto řešení jedné rovnice s jednou neznámou. Příklad..8. Vypočtěte J(x) = sin x cos 3 x dx integrováním po částech. Řešení. Tento integrál řešíme i na jiných místech a jinými způsoby, viz srovnání výsledků v Odstavci??. Zde nabízíme řešení pomocí metody per partes: J(x) = u = cos 3 x v = sin x u = 3 cos x sin x v = cos x = cos4 x 3 cos 3 x sin x dx. Integrál napravo je právě J(x), platí tedy J(x) = cos 4 x 3J(x). Jednoduchou algebraickou úpravou vyjádříme neznámou a dodáme integrační konstantu: J(x) = 4 cos4 x + c. Ukažte, že při počáteční volbě u = cos x, a tedy v = cos x sin x, získáte tentýž výsledek; prozkoumejte další možnosti. Uvažujte integrál e x sin x dx. Vyšetřením různých možností (opakovaných) aplikací metody per partes ukažte, že některé volby vedou k požadovanému výsledku (v duchu této kapitoly), zatímco jiné vás mohou dostat do bludného kruhu.

15 Integrační techniky 5 Příklad..9. Vypočtěte integrál I(x) = x dx na intervalu (, ). Řešení. Platí I(x) = u = x v = u = x v = x = x x + x x x dx. Integrand vpravo lze přičtením nuly upravit tak, že předchozí rovnost je zapsána jako I(x) = x x + dx I(x). x Odtud již snadno vyjádříme neznámou: I(x) = ( x ) x + arcsin x + c. K tomuto příkladu se ještě vrátíme v Odstavci. (Příklad..5). Užitím myšlenek tohoto odstavce určete ln x x Rekurentní vztahy dx pro x > 0. Příkladem rekurentní formule, již jsme obdrželi po integraci per partes, je (..4): pokud pro libovolné m N označíme I m (x) := ln m x dx, můžeme uvedený vztah napsat jako I m (x) = x ln m x mi m (x). Taková odpověď může být typická v případech, kdy řešíme určitý typ integrálů parametrizovaných m N jako výše a neumíme nebo nechceme vyjádřit výsledek explicitně (viz též např. vztah (..6)). Rekurentní vztah spolu se znalostí výsledku pro nejmenší resp. několik nejmenších m to závisí na řádu rekurentní formule představuje návod, jak určit výsledek pro libovolné m (to vše pak již bez další integrace). Najít explicitní vyjádření obecného m-tého členu (tedy řešení rekurentní formule s danými počátečními podmínkami) může být i extrémně netriviální. Zajímáme-li se však (v obtížných případech) pouze o malé hodnoty m, pak lze problém uspokojivě řešit opakovaným dosazováním. Příklad..0. Pro n N {0} označme J n (x) := cos n x dx. Najděte nějaký rekurentní vztah pro J n (x) a určete J 4 (x). Řešení. Zřejmě J 0 (x) = x a J (x) = sin x. Dále J (x) = cos x dx jsme vyřešili v (..5) a v podobném duchu by se jistě dalo odvodit i J 4 (x); my však chceme rekurentní formuli pro J n s obecným n N. Nechť n a pišme J n (x) = cos n x cos x dx; použijeme metodu per partes s volbou u = cos n x a v = cos x. Odtud u = (n ) cos n x sin x a v = sin x, po dosazení dostáváme J n (x) = sin x cos n x + (n ) cos n x sin x dx.

16 6 Kapitola I V integrálu na pravé straně použijeme goniometrickou identitu sin x = cos x, po přeznačení a jednoduché úpravě dostáváme rekurentní vztah Speciálně: J n (x) = n cosn x sin x + n n J n (x). J (x) = cos x sin x + J 0(x) = cos x sin x + x + c, což přesně souhlasí s (..5), a J 4 (x) = cos3 x sin x + 3 J (x) = cos3 x sin x cos x sin x x + c. Všimněte si (a zdůvodněte proč), že integrační konstantu připisujeme až ve finálním výsledku..3 Substituční metoda Nejprve se motivujme již dříve diskutovanou úvahou. Příklad.3.. Vypočtěte x + 4 x + 4x + dx na některém z intervalů, kde je jmenovatel integrandu nenulový. Řešení. Integrand je lomená funkce, přitom v čitateli je právě derivace funkce ve jmenovateli. Podle (..) umíme rovnou formulovat odpověď: x + 4 x + 4x + dx = ln x + 4x + + c. Zobecnění Zatím jsme se z uvedeného příkladu nenaučili nic nového. Abychom si uvědomili obecnější souvislosti, uvažme značení a substituci f(u) = u, ϕ(x) = x + 4x + u = ϕ(x). Zadaný integrand z předchozího tak můžeme napsat jako g(x) = f(ϕ(x)) ϕ (x) a jeho primitivní funkci (výsledek předchozího počítání) označíme G(x). Primitivní

17 Integrační techniky 7 funkci k funkci f(u) označíme tradičně F (u). V našem případě je F (u) = ln u a zřejmě platí G(x) = F (ϕ(x)) + c. (.3.) Podstatné je, že se nejedná o žádnou náhodu, ale o obecně platný fakt plynoucí z věty o derivaci složené funkce: (F ϕ) (x) = F (ϕ(x)) ϕ (x) = f(ϕ(x)) ϕ (x) = G (x). Rovnost (.3.) tedy platí obecně, pro všechna x z nějakého intervalu I, kdykoli jsou obě strany určeny. Pokud je navíc funkce ϕ na I invertibilní, můžeme psát x = ϕ (u) a po dosazení dostáváme G(ϕ (u)) = F (u) + c. (.3.) Rovnost (.3.), resp. (.3.), můžeme zapsat také takto f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(u) du, (.3.3) kde do primitivní funkce vpravo dosazujeme u = ϕ(x), resp. do primitivní funkce vlevo dosazujeme x = ϕ (u). Odtud vidíme dvojí možné užití substituce, které se někdy formuluje jako tzv. první, resp. druhá věta o substituci: Věta.3.. Uvažujme funkci f v proměnné u a funkci ϕ v proměnné x, která je diferencovatelná na I a zobrazuje interval I na interval J. (i) Pokud má funkce f primitivní funkci na J, pak taky funkce (f ϕ) ϕ má primitivní funkci na I, přičemž platí (.3.3) dosadíme-li do primitivní funkce napravo u = ϕ(x). (ii) Pokud má funkce (f ϕ) ϕ primitivní funkci na I a ϕ je invertibilní na intervalu I, pak taky funkce f má primitivní funkci na J, přičemž platí (.3.3) dosadíme-li do primitivní funkce nalevo x = ϕ (u). V případě, že funkce ϕ je spojitě diferencovatelná na I, pak podmínka invertibility funkce ϕ ve druhé části Věty.3. je zaručena nenulovostí její derivace ϕ. V naprosté většině případů takto také uvedenou podmínku kontrolujeme. Použití první věty o substituci Užití první věty o substituci spočívá v tom, že se snažíme vyjádřit daný integrál g(x) dx ve tvaru f(ϕ(x))ϕ (x) dx pro nějaké vhodné funkce f a ϕ. Poté provedeme substituci u = ϕ(x) (odkud po diferencování plyne du = ϕ (x) dx). Pokud jsme schopni určit primitivní funkci F (u), pak výsledek dostaneme zpětným dosazením u = ϕ(x). Takový výpočet budeme symbolicky zapisovat následovně: g(x) dx = f(ϕ(x))ϕ (x) dx = u = ϕ(x) du = ϕ (x) dx = f(u) du = F (u) + c = F (ϕ(x)) + c.

18 8 Kapitola I Příklad.3.3. Vypočtěte J(x) = sin x cos 3 x dx na intervalu R. Řešení. Tvar integrandu nás již přímo navádí k substituci u = cos x (tzn. ϕ(x) = cos x a f(u) = u 3 ). Všechny potřebné předpoklady pro použití substituční metody jsou splněny a výpočet můžeme zapsat takto: J(x) = u = cos x du = sin x dx = u 3 du = 4 u4 + c = 4 cos4 x + c. Je docela běžné, že jeden a tentýž příklad lze řešit a úspěšně dořešit pomocí různých substitucí. Některé volby jsou však šikovnější, některé mohou problém poněkud komplikovat. Nevhodnou volbou se dokonce lze dostat i do dále neřešitelné situace. Je proto vhodné vyzkoušet více nápadů a poté vybrat ten, který se jeví nejméně pracným. Ukažte např., že substituce u = sin x u předchozího příkladu vede docela bezbolestně k výsledku J(x) = sin x 4 sin4 x + c. Další možnosti diskutujeme v Příkladu..3. Rozdíl primitivních funkcí, které jsme získali různými substitucemi, musí být pochopitelně konstantní, přestože to není na první pohled patrné. Toto téma bylo již probíráno v Příkladu??. Příklad.3.4. Určete na vhodném integračním oboru. ln x dx x Řešení. Pokud si uvědomíme, že x = (ln x), pak substituce u = ln x zjednodušuje problém následovně: ln x dx = x u = ln x du = x dx = u du. Nově vzniklý integrál známe z Příkladu..9. Po dosazení a zpětné substituci máme výsledek. Sami nyni diskutujte výběr nějakého vhodného integračního oboru. Jaký je maximální integrační obor? Vzhledem k tomu, že substituce jsou v tomto textu velmi hojně zmiňovány na různých místech, uvádíme v rámci tohoto odstavce už jen poslední, velmi návodné cvičení: vypočtěte xe x dx na R.

19 Integrační techniky 9 Použití druhé věty o substituci Použití druhé věty o substituci může působit dojmem, že do jednoduché funkce vložíme novou vnitřní složku a dostaneme integrál ze složené funkce, který je komplikovanější. Tak tomu však není: v konkrétních případech volíme ϕ právě tak, aby se situace zjednodušila. Poznamenejme, že nalezení takové funkce může být docela problematické. Může totiž jít o poměrně neintuitivní proces, který bez předchozích zkušeností těžko realizujeme. Existuje však řada osvědčených nápadů a triků, po jejichž osvojení lze vcelku uspokojivě integrovat velkou třídu funkcí; některé z nich budeme diskutovat později. Obecné použití druhé substituční metody zapisujeme následujícím způsobem (protože je zadání obvykle vyjádřeno v proměnné x, proměnné ve druhé části Věty.3. jsme chytře přeznačili): f(x) dx = x = ϕ(t) dx = ϕ (t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt = F (t) + c = F (ϕ (x)) + c. Příklad.3.5. Vypočtěte J(x) = 4 + x + 5 dx na intervalu (0, ). Řešení. Výpočet se jistě zjednoduší, pokud se nám podaří vhodně se zbavit nepříjemné odmocniny. To lze zařídit např. tak, že výraz pod odmocninou nahradíme nějakým kvadrátem. Volme tedy x + 5 = t, tj. x = ϕ(t) = t 5. Odtud t = ϕ (x) = x + 5 a tedy J(x) = x = ( t 5 dx = t dt = t 4 + t t dt = dt = 4 ) dt 4 + t 4 + t = t 8 ln(t + 4) + c = x ln( x ) + c. Ověřte, že předchozí výpočet je legální, tzn. že jsou splněny všechny předpoklady druhé substituční věty. Příklad.3.6. Vypočítejte arctg x dx na intervalu (0, ). Řešení. Podobná úvaha jako u předchozí úlohy nás inspiruje k substituci x = t ; podívejme se na důsledky této volby: arctg x dx = x = t dx = t dt = t arctg t dt. Integrál napravo umíme dořešit metodou per partes, viz Příklad..7. Doplňte mezivýsledky a zformulujte finální odpověď. Jako ukázku velmi neintuitivní, zato však účinné volby substituce uvádíme následující příklad.

20 0 Kapitola I Příklad.3.7. Ukažte, že integrál (x +) dx lze poměrně snadno dořešit pomocí substituce x = tg t. Řešení. Aby byla uvedená substituce užitečná, musíme být schopni integrand po dosazení nějak rozumně upravit. Skutečně, v našem případě výraz (x +) přejde cos4 t 4 a diferencováním substitučního vztahu dostáváme dx = cos t dt. Celkem tedy (x + ) dx = x = tg t dx = cos t dt = cos t dt. 4 Integrál napravo máme vyřešen v (..5), po dosazení a zpětné substituci t = arctg x dostáváme (x + ) dx = 8 arctg x + ( 6 sin arctg x ) + c. Diskutujte vhodný integrační obor..4 Další příklady U většiny konkrétních úloh je možné, ba vhodné, výše uvedené metody kombinovat. To jsme také na mnoha místech dělali, viz např. příklady..6,..9 a.3.6. V následujícím příkladě kombinujeme metodu per partes a metodu substituce v poněkud odlišném duchu než dosud. Příklad.4.. Vypočtěte integrál x cos x sin 3 x dx na intervalu (0, π). cos x Řešení. Integrand lze chápat jako součin x a zkusíme začít integrací sin 3 x per partes. Tento náhled se zdá skutečně být vhodný, neboť funkci x umíme odstranit derivací, přičemž u zbylé funkce má smysl pokusit se o integraci. Metodu per partes tedy použijeme s volbou u = x a v = cos x sin 3 x. Odtud u =. Integrál v = cos x dx snadno dořešíme pomocí substituce z = sin x: sin 3 x cos x sin 3 x dx = z = sin x dz = cos x dx = z 3 dz = sin x (+c). Původní integrál je tedy roven x cos x sin 3 x dx = x ( ) sin x + x sin x dx = sin x + cotg x + c. Doplňte chybějící kroky výpočtu a ověřte, že jsou splněny předpoklady obecných tvrzení, která jsme při počítání použili.

21 Integrační techniky Při řešení následující úlohy se používá substituce a několik fint. Zejména uvidíme, že přepsáním integrandu obdržíme (vhodný) tvar, který již přímo vybízí k té správné substituci. Příklad.4.. Vypočtěte na intervalu ( π, π ). cos x dx Řešení. Integrál nejdříve upravíme: cos x cos x dx = cos x dx = cos x sin x dx. Substituce u = sin x vede k integrálu z racionální funkce u du, kterou rozdělíme jako v (..0). Po integraci a zpětném dosazení dostáváme výsledek cos x dx = ln + sin x sin x + c. Tento integrál umí být opět zapsán (v závislosti na použité metodě) různorodým způsobem, srovnejte např. s výsledkem Příkladu... Odstavec zakončíme následujícími užitečnými cvičeními. Mezi dříve uvedenými příklady najděte všechny, které nyní umíte řešit jinak, než bylo uvedeno. Najděte nějaké způsoby výpočtu neurčitých integrálů všech základních elementárních funkcí. Pro připomenutí pojmu základní elementární funkce viz Dodatek... Integrování speciálních tříd funkcí Speciálními třídami v nadpisu myslíme zejména funkce racionální a několik vybraných skupin funkcí, jejichž integrály lze transformovat právě na integrály racionálních funkcí. Význačné postavení racionálních funkcí spočívá v tom, že každou takovou funkci je možné (alespoň teoreticky) zintegrovat. Výběr ve druhé zmiňované skupině je motivován mj. také pozdějšími aplikacemi.. Integrování racionálních funkcí Racionální funkce (nebo také racionální lomená funkce) je funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru R(x) = P (x) Q(x),

22 Kapitola I kde P a Q jsou nenulové reálné polynomy v proměnné x. Racionální funkce se jmenuje ryzí, je-li stupeň polynomu v čitateli ostře menší než stupeň polynomu ve jmenovateli; v opačném případě jí říkáme neryzí. Mezi (neryzí) racionální funkce patří polynomiální, speciálně taky konstantní funkce. V tomto odstavci takové funkce neuvažujeme, neboť jejich integrace je triviální. Několik racionálních funkcí jsme zintegrovali již v Odstavci.. V uvedených příkladech byla vlastní integrace velmi snadná poté, co jsme provedli některou z následujících algebraických úprav či jejich kombinací: dělení polynomů se zbytkem, rozdělení zlomku a rozklad na parciální zlomky, doplnění do čtverce, přičtení nuly. V Příkladu.3.7 jsme potkali další racionální funkci, k jejíž integraci jsme užili vhodné substituce. Všechny uvedené úpravy budeme používat i nadále a naučíme se již jen velmi málo nových věcí tak, aby na konci tohoto odstavce bylo zřejmé, že: Věta... Libovolnou racionální funkci umíme zintegrovat (jsme-li schopni nalézt kořeny jejího jmenovatele). Dodatek v závorce bohužel vynechat nemůžeme, protože při praktickém počítání můžeme narazit na problémy (nesouvisejícími přímo s integrací), které jsou nepřekonatelné jedná se o určení kořenů polynomů vyšších stupňů (jež potřebujeme při rozkladech na parciální zlomky), viz též shrnutí na str. 8. Algebraická předehra V okruhu polynomů platí stejně jako v okruhu celých čísel věta o dělení se zbytkem. Pro naše účely tuto větu přeformulujeme následovně: Každou racionální funkci R(x) = P (x) Q(x) lze vyjádřit jednoznačně ve tvaru P (x) Z(x) = D(x) + Q(x) Q(x), (..) kde D je polynom a Z Q je ryzí racionální funkce nebo nula. Polynom D je samozřejmě nulový právě tehdy, když racionální funkce R je ryzí. Díky linearitě integrálu a snadnosti integrace jakéhokoli polynomu vidíme, že stačí, když se naučíme integrovat ryzí racionální funkce.

23 Integrační techniky 3 Z algebry dále umíme vyjádřit každou ryzí racionální funkci Z(x) Q(x) jako součet tzv. parciálních zlomků. Tento součet je odvozen z rozkladu polynomu (v R) ve jmenovateli na ireducibilní faktory, které jsou buď lineární nebo kvadratické. Tyto lineární, resp. kvadratické výrazy odpovídající reálným, resp. komplexním kořenům polynomu Q(x) pak tvoří jmenovatele parciálních zlomků. Přesněji, platí následující: je ryzí racionální funkce s reálnými koeficienty a rozklad polynomu Q(x) v reálném oboru má tvar Jestliže Z(x) Q(x) Q(x) = a(x α ) k (x α r ) kr (x + p x + q ) l (x + p s x + q s ) ls, potom Z(x) Q(x) lze napsat jako součet tzv. parciálních zlomků, kde k-násobnému reálnému kořenu α jmenovatele Q(x) odpovídá k parciálních zlomků tvaru A x α, A (x α),..., A (x α) k a l-násobné dvojici komplexně sdružených kořenů jmenovatele příslušejících kvadratickému trojčlenu x + px + q odpovídá l parciálních zlomků tvaru B x + C x + px + q, B x + C (x + px + q),..., B l x + C l (x + px + q) l. Neznámé konstanty se pak dopočítávají nejčastěji metodou neurčitých koeficientů (porovnáním koeficientů u stejných mocnin obdržíme jednoznačně řešitelnou soustavu lineárních rovnic, kterou dořešíme), či metodou dosazovací (kdy dosazením vhodné hodnoty problém zjednodušíme); tyto metody lze kombinovat. Příklad... Racionální funkci R(x) = ryzí část vyjádřete jako součet parciálních zlomků. x6 x 4 x 6 vyjádřete ve tvaru (..); Řešení. Daná racionální funkce není ryzí, po dělení se zbytkem dostáváme R(x) = x + + 7x + 4 x 4 x 6. Rozklad jmenovatele na ireducibilní části je v tomto případě snadný: x 4 x 6 = (x 3)(x + ) = (x 3)(x + 3)(x + ). Odtud odvozujeme rozklad ryzí části na parciální zlomky: 7x + 4 x 4 x 6 = A x 3 + B x Cx + D x +,

24 4 Kapitola I kde A, B, C, D jsou reálná čísla, která hned určíme. Úpravou pravé strany dostáváme 7x + 4 x 4 x 6 = A(x + 3)(x + ) + B(x 3)(x + ) + (Cx + D)(x 3) (x 3)(x. + ) Tato rovnost platí, právě když polynomy v čitatelích jsou stejné. Roznásobíme čitatele na pravé straně a postupně porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x s koeficienty polynomu v čitateli nalevo: 0 = A + B + C, 7 = 3A 3B + D, 0 = A + B 3C, 4 = 3A 3B 3D. Tato soustava má jednoznačné řešení, a to A = B = 5, C = 0, D =. 3 Celkem tedy platí, že R(x) = x x 3 3 x x +. Přehled Z dosud uvedených postřehů plyne, že k tomu, abychom uměli zintegrovat obecnou racionální funkci, stačí, když se naučíme integrovat všechny možné typy parciálních zlomků. Rozlišujeme tyto čtyři případy: (I) A x a, (II) B (x a) n, (III) Cx + D x + px + q, (IV) Ex + F (x + px + q) n, kde A, B, C, a, p R, n N je ostře větší než a polynom x + px + q nemá reálné kořeny. Poslední podmínka je ekvivalentní s p 4q < 0 neboli q p 4 > 0. (..) Parciální zlomky typu (I) a (II) jsou z hlediska integrace takřka triviální. Rovněž by neměl být žádný zásadní problém zejména díky znalostem, které jsme doposud získali s integrací parciálního zlomku typu (III). Přesto si však raději proces integrace těchto zlomků při plné obecnosti v následujícím popíšeme. Speciální pozornost pak bude věnována integraci parciálního zlomku typu (IV). Zdůrazňujeme, že není účelné snažit se zapamatovat výsledné vzorce pro jednotlivé typy zlomků. Naopak je žádoucí pochopit a zapamatovat si hlavní myšlenky při jejich odvozování.

25 Integrační techniky 5 Integrace parciálních zlomků typu (I) a (II) Oba tyto případy jsou jednoduché jedná se víceméně o tabulkové integrály. Příklad integrace zlomku typu (I) máme např. v (..8). Sami odvoďte a ověřte, že obecně platí A dx = A ln x a + c, x a (..3) B (x a) n dx = B ( n)(x a) n + c, n N, n >. Integrace parciálních zlomků typu (III) Parciální zlomky tohoto typu známe z (..3), (..9) a (..). Dříve, než se budeme věnovat integraci obecného parciálního zlomku typu (III), si nejprve všimneme dvou důležitých speciálních případů. Podle (..) je x + p x + px + q dx = ln x + px + q + c. Doplněním do čtverce a pomocí (..3) umíme dořešit také následující případ: x + px + q dx = ) dx = a arctg u a + c, ( x + p ) + (q p 4 kde u = x + p a a = q p 4. Podle předpokladu (..) skutečně platí, že q p 4 je kladné číslo. Obecný parciální zlomek typu (III) lze vždy vyjádřit jako lineární kombinaci těchto dvou specifických zlomků. Hledanou primitivní funkci pak snadno dostaneme z linearity neurčitého integrálu: Cx + D x + px + q dx = M x + p x + px + q dx + N x dx, (..4) + px + q přičemž koeficienty M a N zřejmě jsou: M = C, N = D C p. (..5) Všimněte si užitečného triku, kterým do výrazu vpašujeme přesně ty multiplikativní a aditivní konstanty, které pro náš účel potřebujeme. Celou myšlenku lze zapsat také stručně takto Cx + D Mϕ (x) + N dx = dx, ϕ(x) ϕ(x) kde ϕ(x) = x + px + q. Příklad..3. Vypočtěte x+ x x+ dx.

26 6 Kapitola I Řešení. Integrand je ryzí racionální funkce, polynom ve jmenovateli je nerozložitelný (diskriminant je 3), jedná se o parciální zlomek typu (III). Podle uvedeného návodu dostáváme: x + x x + dx = x x x + dx + 3 x x + dx = = ln x x (x ) + 3 dx = 4 = ln x x + + ( ) x 3 arctg + c. 3 Integrace parciálních zlomků typu (IV) Parciální zlomek tohoto typu známe zatím jen z Příkladu.3.7, kde jsme použili jistou substituci. Tento přístup za chvíli zobecníme. Podobně jako v (..4) obecně platí Ex + F (x + px + q) n dx = M x + p (x + px + q) n dx + N (x + px + q) n dx, kde koeficienty M a N jsou tytéž jako výše, tj. platí (..5). První z integrálů na pravé straně umíme snadno spočíst pomocí substituce u = x + px + q: x + p (x + px + q) n dx = ( n)(x + c. + px + q) n Stačí se tedy zabývat pouze druhým sčítancem. Po doplnění do čtverce dostáváme: (x + px + q) n dx = ( (x ) )) + p n dx = + (q p (u + a ) n du, 4 kde u = x + p a a = q p 4. Slibované zobecnění nápadu z Příkladu.3.7 je bezprostřední substituce u = a tg t vede po dosazení a úpravě k následujícímu integrálu: (u + a ) n du = u = a tg t du = a cos t dt = a n cos n t dt. Tímto integrálem jsme se zabývali v Příkladu..0, kde jsme odvodili rekurentní vztah k jeho určení. Protože v našem případě je mocnina u funkce cos sudá, jistě lze takový integrál dořešit elementárněji v duchu Odstavce., což necháváme jako cvičení. S návodem na integraci obecného parciálního zlomku typu (IV) jsme taky dokončili důkaz Věty... Pro porovnání ještě ukážeme, jak lze odvodit rekurentní vztah pro integrál I n (u) := (u + a ) n du

27 Integrační techniky 7 přímo bez předchozí substituce. Jedná se o užití metody per partes ve velice podobném duchu jako v Příkladu..9: dv w = (u I n (u) = +a ) n du = dw du = nu (u +a ) v = u = u (u + a ) n + n u (u + a du. ) n+ n+ Integrand na pravé straně upravíme přičtením nuly tak, že obdržíme I n (u) = u (u + a ) n + n ( I n (u) a I n+ (u) ). Odtud již snadno vyjádříme I n+ (u) = ( ) u na (u + a ) n + (n )I n(u), n N, (..6) přičemž I (u) jsme diskutovali v části (III): I (u) = a arctg u a + c. Příklad..4. Vypočítejte J(x) = x (x x+3) 3 dx. Řešení. Ověříme, že integrand je parciálním zlomkem typu (IV); podle předchozího návodu upravíme: x (x x + 3) 3 dx = x (x x + 3) 3 dx (x x + 3) 3 dx. První integrál napravo je roven (x x+3), druhý po doplnění do čtverce a substituci u = x píšeme jako I 3 (u) := (u +) du. Tento integrál určíme 3 podle rekurentního vztahu (..6): I (u) = arctg u, I (u) = ( u 4 u + + ( u I 3 (u) = 8 = 3 Celkem tedy dostáváme: arctg u ), ( u u + + arctg u )) (u + ) ( u(3u + 0) (u + ) + 3 arctg u ). J(x) = 4(x x + 3) ( (x )(3x 6x + 3) 3 (x x + 3) ( )) x arctg + c. Obdržený výraz lze jistě ještě nějak upravit, ale to již přenecháme zájemcům.

28 8 Kapitola I Shrnutí Shrnutím všech úvah z tohoto odstavce dostáváme možný postup pro integraci obecné racionální funkce R = P/Q: (i) Pokud není R ryzí, pak dělením obdržíme R = D + R, kde D je polynom a R = Z/Q je ryzí racionální funkce. (ii) Pokud je to potřeba, rozložíme polynom Q na ireducibilní části (v reálném oboru). (iii) Vyjádříme R, příp. R jako součet parciálních zlomků. (iv) Zintegrujeme jednotlivé parciální zlomky. (v) Výsledný integrál je součtem výsledků z předchozího kroku, příp. ještě primitivní funkce k polynomu D. Jak už jsme výše naznačili, jediným skutečně problematickým místem v naznačeném postupu může být krok (), a to v případě, že polynom Q je vyššího stupně a žádný kořen se nám nedaří uhodnout. Pro kvadratické polynomy dobře známe vzorec, ze kterého vždy snadno vyjádříme kořeny polynomu pomocí jeho koeficientů. Pro polynomy stupně 3 a 4 většina z nás podobné vzorce nezná, nicméně existují a lze je v případě nouze použít. Jejich užití však může být problematické, neboť kořeny jsou vyjádřeny pomocí komplexních čísel, a to i v případě, že se jedná o kořeny reálné. Aby toho nebylo málo, tak pro stupně větší než 4 žádný obecný způsob, jak vyjádřit kořeny polynomu pomocí jeho koeficientů, neexistuje! Uvedený návod na integraci racionálních funkcí je celkem univerzální, určitě však není nutné postupovat vždy právě tímto způsobem. Mohou existovat přístupy, které vedou k cíli rychleji; vše záleží na tvaru integrandu. Dobrou ukázkou je např. Příklad.3., který doporučujeme pro srovnání vyřešit znovu podle právě popsaného receptu. Další ukázkou je např. třetí integrál uvnitř příkladu..3, který je rozhodně lépe řešit substitucí než rozkladem na parciální zlomky. integrálu Diskutujte oba způsoby. Naleznete nějakou jinou (rychlejší) metodu pro výpočet 8x 3 x 4 + 3x + 5 dx než pomocí rozkladu integrandu na parciální zlomky? Příklad..5. Vypočtěte I(x) = x 6 x 4 x 6 dx na vhodném integračním oboru. Řešení. Algebraickou část úlohy máme hotovou z Příkladu..; můžeme tedy již přímo integrovat jednotlivé parciální zlomky: ( ) 5 I(x) = x x 3 3 x x dx = + = x3 3 + x ln x ln x arctg x + c. Rovnost platí na libovolném intervalu, který neobsahuje ±3.

29 Integrační techniky 9 Třetí a čtvrtý sčítanec v předchozím výpočtu můžeme kompaktněji psát takto: 5 x 3 dx = 5 3 ln x 3 x c, srovnej s (..0). Obecně, na libovolném intervalu neobsahujícím ±a platí a x dx = a ln a + x a x + c. (..7). Některé integrály, jež lze zracionalizovat V tomto Odstavci uvažujeme výhradně integrály, které lze zracionalizovat, tzn. převést vhodným způsobem (nejčastěji substitucí) na integrály z racionálních funkcí. Často je takových způsobů více, takže se budeme soustředit na jakýsi přehled možností pro vybrané typy funkcí. V momentě, kdy je daný integrál zracionalizován, je pro nás teoreticky dořešen s odkazem na předchozí Odstavec. a dál se jím zpravidla nezabýváme. Nadále používáme symbol R(x) pro obecnou racionální funkci v proměnné x. Obecněji, R(x, y) značí obecnou racionální funkci dvou proměnných, což je každá funkce tvaru P (x, y) R(x, y) = Q(x, y), kde P a Q jsou polynomy v proměnných x a y. Jinak řečeno, racionální funkce v proměnných x a y je funkce, jejíž funkční předpis lze vyjádřit z x a y pouze konečným počtem základních aritmetických operací. Podobným způsobem zavádíme pojem racionální funkce v n proměnných, již značíme R(x,..., x n ). Příkladem racionální funkce tří proměnných může být třeba R(x, y, z) = 3x 4 z zy+y 5 +. Uvědomte si, že racionalita funkcí se zachovává při aplikování rozličných operací jako je součet, rozdíl, součin, podíl či skládání. To např. znamená, že je-li R racionální funkcí v proměnných x, x,..., x n a tyto proměnné jsou samy racionálními funkcemi nezávislé proměnné t, potom R jakožto funkce v proměnné t je také racionální. Právě tento princip budeme používat velmi často. Není těžké si zdůvodnit, že racionalita funkce je zachována i při derivování, což se nám bude také velmi hodit. Je však potřeba zdůraznit, že integrace racionalitu funkce obecně nezachovává. Najděte si příklad dokumentující tento fakt. Integrály s goniometrickými funkcemi Integrálů, v nichž se objevují goniometrické funkce, jsme potkali celkem hodně, viz např. celou skupinu příkladů v Odstavci.. Většina z těchto integrálů byla tvaru R(sin x, cos x) dx, (..)

30 30 Kapitola I kde R značí racionální funkci dvou proměnných. Záhy se naučíme zracionalizovat libovolný integrál tohoto typu. Uvědomte si, že např. integrál +tg x sin x dx také patří do této skupiny úloh, neboť integrand je racionální v proměnných tg x a sin x a současně lze jak tg x, tak sin x vyjádřit jako racionální funkce argumentů sin x a cos x. Všechny níže zmiňované nápady lze velmi jednoduše zobecnit také na integrály typu R(sin(ax + b), cos(ax + b)) dx, kde a, b R. Takové případy dále rozvádět nebudeme; promyslete si je sami. Univerzální způsob, jak racionalizovat jakýkoli integrál typu (..), spočívá v užití tzv. univerzální substituce tg x = t, (..) jež je použitelná na libovolném integračním oboru neobsahujícím liché násobky čísla π. Pro dosazení do (..) potřebujeme vyjádřit dx, sin x a cos x pomocí nové proměnné t. Z (..) vyjádříme x = arctg t, odkud diferencováním obdržíme dx = + t dt. K vyjádření sin x a cos x nám pomůže vhodná interpretace rovnosti (..) jako na obr.... Odtud plyne sin x = t a cos x + t = + t a užitím známých goniometrických identit konečně dostáváme: sin x = t t a cos x = + t + t. Vše, co dosazujeme do (..), jsou racionální funkce v proměnné t, a současně samotný integrand R je racionální vzhledem k sin x a cos x. Odtud tedy plyne: Věta... Substituce (..) racionalizuje libovolný integrál typu (..). Příklad... Pomocí substituce tg x = t řešte cos x dx na intervalu ( π, π ). Řešení. Všechny přípravné výpočty máme nachystány; tato substituce vede k integrálu + t t + t dt = t dt, který máme vyřešen v (..0). Po zpětném dosazení dostáváme dx = ln + tg x cos x tg x + c.

31 Integrační techniky 3 Obrázek..: Substituce t = tg x převádí libovolný integrál typu R(sin x, cos x) dx na integrál typu R(t) dt. Tutéž úlohu jsme řešili v Příkladu.4., a to pomocí jisté elementární úpravy a substituce u = sin x; v tomto případě nepozorujeme žádný podstatný rozdíl mezi zvolenými postupy. Často však univerzální substituce vede k poměrně komplikovaným racionálním funkcím. Proto se vždy vyplatí zamyslet se nad (případnými jednoduššími) možnostmi řešení každé konkrétní úlohy. Další substituce, které se kromě (..) u úloh typu (..) často s úspěchem používají, jsou: u = sin x, v = cos x, w = tg x. (..3) Taktéž nás mohou napadnout substituce t = cotg x nebo w = cotg x, po krátkém experimentování by mělo být patrné, že jejich užití je v podstatě ekvivalentní se substitucemi, kde místo cotg vystupuje tg. Pro přehlednost uvádíme důsledky těchto voleb, které obecně potřebujeme pro dosazení. Odvození je podobné jako pro univerzální substituci výše; doporučujeme si vše podrobně propočítat: subs. dx sin x cos x t = tg x t t +t dt +t +t u = sin x u du u u v = cos x v dv v v w = tg x +w dw w +w +w Všimněte si, že se na některých místech vyskytují iracionality. Za chvíli si ukážeme, jak se jich dokážeme zbavit. Příklad..3. Diskutujte užití všech výše uvedených substitucí k řešení integrálu J(x) = sin x cos 3 x dx. Řešení. Substituci u = cos x jsme objevili v Příkladu.3.3 jako nejpřirozenější možnou. Odpovídající integrál v nové proměnné byl u 3 du a závěr byl velmi bezprostřední.

32 3 Kapitola I Substituci v = sin x jsme diskutovali hned poté. Odpovídající integrál byl v( v ) dv; integrace v tomto případě byla taktéž bezproblémová. Substituce w = tg x po dosazení a úpravě dává w ( + w ) 3 dw. Tento integrál lze snadno dořešit pomocí další substituce p = + w. po dosazení a úpravě dává Substituce t = tg x 4t( t ) 3 ( + t ) 5 dt. Tento mezivýsledek je rozhodně nejméně příjemný ze všech, takže se s ním dále pachtit nebudeme. Vidíme, že integrál v předchozím příkladu byl racionalizovatelný kteroukoli z uvedených substitucí. Toto je však spíše výjimkou než pravidlem. V literatuře lze najít obsáhlé diskuze o tom, kdy je vhodné použít tu či onu substituci; zpravidla jde o to, aby optimální volba ušetřila práci. My se spokojíme s následujícím zobecněním předchozího příkladu. Příklad..4. Diskutujte užití všech výše uvedených substitucí k racionalizaci integrálu sin m x cos n x dx, kde m, n Z. Řešení. Univerzální substituce t = tg x vede vždy k racionálnímu výrazu, i když v daném případě zbytečně komplikovanému. U ostatních substitucí se v mezivýpočtech vyskytují nějaké odmocniny; racionalizace daného integrálu tedy zřejmě závisí na paritě m a n. Uvažujme např. substituci u = sin x. Potom integrál sin m x cos n x dx přejde v ( ) u m u du. u Odmocniny se tedy zbavíme, právě když n je liché. Podobně lze prozkoumat ostatní možnosti a takto obdržíme: substituce u = sin x racionalizuje daný integrál, právě když n je liché, substituce v = cos x racionalizuje daný integrál, právě když m je liché, substituce w = tg x racionalizuje daný integrál, právě když m + n je sudé.

33 Integrační techniky 33 Integrály s odmocninami V předchozím oddíle jsme se dozvěděli, že použití některé ze substitucí (..3) pro integrály typu (..) vede buď k integrálu z racionální funkce nebo k integrálu typu R(x, ± x ) dx, kde R opět značí racionální funkci ve dvou proměnných. Proto možná nepřekvapí, že podobné substituce dovolují také cestu opačným směrem. Začneme velmi názorným případem, jehož závěry posléze zobecníme. Příklad..5. Pomocí vhodné substituce vypočtěte integrál na intervalu (, ). I(x) = x dx Řešení. Názornost této úlohy spočívá v tom, že grafem integrované funkce je zrovna jednotková půlkružnice se středem v počátku. Pokud tedy s výše uvedenou nápovědou hledáme vhodnou substituci, nemůže nás nenapadnout x = cos t, viz obr.... Důsledky této volby jsou dx = sin t dt a x = sin t. Po dosazení dostáváme integrál, který umíme snadno dořešit podobně jako (..5): sin t dt = t sin t + + c. 4 Po zpětné substituci a drobné úpravě dostáváme I(x) = ( arccos x + x x ) + c. Vzhledem k tomu, že jsme tentýž integrál počítali v Příkladu..9 úplně jiným způsobem, doporučujeme porovnat výsledky. Nyní je již snadné si uvědomit, že substituce x = cos t převádí jakýkoli integrál typu R (x, ) x dx na integrál typu R(sin x, cos x) dx, který umíme vždy zracionalizovat. Jak se v této situaci chová substituce x = sin t? Uvedená substituce nám však moc nepomáhá pro integrály typu R(x, + x ) dx, resp. R(x, x ) dx. Nové nápady pro tyto řešení těchto integrálů představíme nyní. Ještě poznamenejme, že funkce typu R(x, x ) mají prázdný definiční obor, tudíž se v diskuzi neobjevují. Příklad..6. Dokažte, že substituce x = tg t, resp. x = cos t převádí jakýkoli integrál typu R (x, ) ( + x dx, resp. R x, ) x dx na integrál typu R(sin t, cos t) dt.