V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako

Transkript

1 [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 8 Kovariantní vnější derivace V této seci zobecníme vnější alulus z apitoly 4 operaci vnějšího součinu a vnější derivace na obecnější tenzorové objety. Tento materiál je poměrně poročilý a je možné ho vynechat. V dalším textu se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jao na alternativní způsob zápisu vět a výrazů, teré primárně zapíšeme jina. Užití ovariantní vnější derivace může zrátit lecteré výrazy v riemanovsé geometrii, její hlavní uplatnění je vša až v ontextu vetorových bundlů. V tomto ontextu je zavedení ovariantní vnější derivace velmi přirozené a přímočaré. Zavedení ovariantní vnější derivace na tečných prostorech je pouze apliace obecného onceptu ve speciální situaci, dy vetorovým bundlem je tenzorový prostor T l M. V tento oamži vša nemáme ještě vybudovánu teorii fibrovaných prostorů a proto se zaměříme pouze na tečné ovariantní vnější derivace. 8.1 Tenzor-značné antisymetricé formy Naším cílem je rozšířit vnější alulus definovaný pro antisymetricé formy, tj. pro antisymetricé tenzory typu Λ p M = T [p] 0 M, na tenzory, teré vedle antisymetricých indexů mají ještě další tenzorovou struturu. Budeme tedy mluvit o tenzor-značných antisymetricých formách typu (, l) stupně p tenzorech z prostoru Λ p T l M, tj. tenzorech typu (, l + p), teré mají p antisymetricých ovariantních indexů. Jina řečeno, budeme užívat antisymetricé p-formy, teré mají navíc ontravariantních a l ovariantních indexů. Pro tyto tenzorznačné p-formy zavedeme vnější součin a vnější derivaci účinující na antisymetricé indexy a ignorující dodatečnou tenzorovou struturu. Navržená oncepce je jasná, nese s sebou vša problémy s označením. Používané objety mohou být poměrně složité a může dojít nejasnostem, teré tenzorové indexy odpovídaji antisymetricé formě a teré dodatečné tenzorové strutuře. Napřílad tenzor a1...a p může být chápán jao p-forma z Λ p M či (0, 1) značná (p 1)-forma z prostoru Λ p 1 T 0 1M. Abychom byli schopni tyto interpretace odlišit, zavedeme označení: 8 1

2 Kovariantní vnější derivace 8 2 Definice D8.1 (Tenzor-značné antisymetricé formy) Antisymetricou tenzor-značnou formou typu (, l) stupně p nazýváme tenzor z prostoru T l+p M, terý je antisymetricý v p ovariantních indexech. Tyto indexy budeme nazývat formové. Rozdělení na p formových indexů a zbývající a l indexů budeme indiovat následovně: a 1...a n 1...n pa 1...a l. Alternativně, poud nebude hrozit nedorozumění a strutura dodatečných indexů bude jasná z ontextu, budeme dodatečné indexy zcela vynechávat: n1...n p. Poznáma Ja již bylo řečeno, jeden a týž tenzor může být chápán různě. Napřílad tenzor A n abc = An [abc] lze chápat jao vetor-značnou 3-formu An abc nebo jao tenzorznačnou 2-formu typu (1, 1) nabízejí se hned tři možnosti A n abc nebo An abc nebo A n abc. Další možnost je 1-forma typu (1, 2) (např. An abc ) a onečně An abc 0-forma typu (1, 3). Tenzor-značné formy typu (, l) můžeme chápat jao antisymetricé formy, jejichž souřadnice jsou tenzory typu (, l). Obdobně rovnice (4.6) můžeme psát a 1...a p c... = = n 1...n p c... e n1 a 1 e np a p n 1...n p c... 1 n 1< <n p d e n1 a 1 e np a p, (8.1) de {e j } je báze v otečném prostoru T 0 1M. Rozlišení na formové a dodatečné tenzorové indexy nemění význam samotného tenzoru. Jedná se pořád o tentýž tenzor. Rozlišení na dva typy indexů vša může ovlivnit operace, teré s daným tenzorem budeme provádět. Na tenzor-značné formy nyní totiž zobecníme běžné operace s antisymetricými tenzory s tím, že tyto operace budou ignorovat dodatečné indexy budou pracovat pouze s indexy formovými. Rozlišením indexů na dvě supiny můžeme tedy ovlivnit, ja se tenzor účastní různých operací. První taovou operací je vnější součin. Vnější součin se na tenzorznačných antisymetricých formách definuje přesně stejně jao v apitole 4 s tím, že tento součin bude ignorovat dodatečnou tenzorovou struturu. Definice D8.2 (Vnější násobení) Nechť j Λ pj T j l j M, j =1,..., n, jsou tenzor-značné antisymetricé formy stupnů p j typu ( j, l j ). Vnější součin 1 2 n těchto forem je tenzor-značná antisymetricá forma stupně p = p p n typu (, l) = ( n, l l n ) daná antisymetrizací tenzorového součinu forem j ve formových indexech. = 1 n = p! p 1! p n! Přesněji, pomocí indexů má definice tvar b 1...b l a 1...a pc 1...c = p! p 1! p n! 1 A( 1 n ). b1... [a 1... c 1... n... b l... a p]... c.

3 Kovariantní vnější derivace Kovariantní vnější derivace Vnější alulus pro antisymetricé formy má velý význam zejména proto, že vnější derivaci d můžeme zavést i bez znalosti ovariantní derivace či jiné dodatečné strutury. Toto již není pravda pro vnější alulus s tenzor-značnými antisymetricými formami. V tomto případě lze zavést vnější derivaci pouze s pomocí silnější strutury, terá určí, ja zacházet s dodatečnými tenzorovými indexy. Touto silnější struturou je ovariantní derivace. Zavedeme tedy tzv. ovariantní vnější derivaci, terá na formových indexech funguje jao obyčejná vnější derivace a na dodatečných indexech jao derivace ovariantní. Definice D8.3 (Kovariantní vnější derivace) Kovariantní vnější derivace d (asociovaná s ovariantní derivací ) je zobrazení z prostoru antisymetricých tenzor-značných p-forem do prostoru tenzor-značných (p + 1)-forem stejného typu splňující následující vlastnosti: d : Sect ( Λ p T l M ) Sect ( Λ p+1 T l M), M8.1 Vnější alulus na n-ádových složách d(α + r β) = dα + r dβ, r R, (i) Vnější alulus zobecněný na tenzor-značné d(α β) = dα β + ( 1) p α dβ, (ii) formy se často používá v n-ádovém formalismu. V případě, že máme na varietě v až- dσ = dσ pro σ A p M, tj., l = 0, (iii) dém bodě zvolenou n-ádu {e j } a ní duální da = A pro A T l M, tj. p = 0. (iv) bázi {e j }, můžeme zobecnit vnější alulus na tenzor-značné formy jednodušším způsobem. pro A p M a σ A q Dodatečných tenzorových indexů se zbavíme M. ta, že je vyjádříme vzhledem e zvolené n- Při použití tenzorových indexů budeme výslede vnějšího derivování zapisovat b ádě, tj. že budeme počítat s n-ádovými složami. Místo p-formy a1...ap c... typu (, l) pa d a0 1...b a 1...a pc 1...c l. Jeho složy budeme označovat b d a0 1...b budeme mít soubor antisymetricých p-forem a 1...a pc 1...c l. a1...ap c... číslovaných indexy b, c = 1,..., n. Tato definice určuje již vnější derivaci jednoznačně. Vsutu, uži- Jeliož se jedná již o obyčejné antisymetricé formy, můžeme na ně apliovat běžné operace jeme-li rozpis do souřadnic (8.1), definice D8.3 dává vnějšího alulu. Samozřejmě, při změně n- ády se tetrádové složy mění a budou se měnit d = n1...n p dx n1 dx np, (8.2) i naše antisymetricé formy a1...ap c... n 1< <n p Tato zobecněný vnější alulus na tenzorznačné formy vša je jen speciální případ našeho obecného přístupu. Je zřejmé, že u vněj- případně s tenzorovými indexy šího součinu je cesta přes zavedení n-ádových slože jen jiný způsob ja říci, že vnější součin d a0 a 1...a p c... = a0 n 1...n p c... d a1 x n1 d ap x np. (8.3) ignoruje dodatečné tenzorové indexy. Problematicá operace je vnější derivace. V na- n 1< <n p Zde n šem formalismu odpovídá vnější derivování 1,...,n p jsou souřadnicové indexy. Objety n 1...n p c... vša nejsou tetrádových slože speciální volbě ovariantní vnější derivace. Stačí zvolit ovariantní vnější derivaci ð d asociovanou s n-ádovou vnější derivací ð. Jeliož ð anihiluje n-ádové vetory, působí ð d právě jen na n-ádové složy. Neboli, vnější derivace n-ádových slože je rovna n-ádovým složám ovariantní vnější derivace ð: salární funce (ja tomu je u omponent antisymetricé formy), ale tensory typu (, l) zbývají jim neformové abstratní indexy a, b,... Analogicy výrazům z předchozí apitoly můžeme vyjádřit ovariantní vnější derivaci čistě pomocí příslušné ovariantní derivace. Tentorát uvedeme vztah v plné obecnosti pro ovariantní derivaci s obecně nenulovou torzí (srovnej s marginálií M7.7). Věta V8.1 ( d pomocí ) Nechť je libovolná ovariantní derivace s torzí T. Pa ovariantní vnější derivace p-formy typu (, l) lze vyjádřit pomocí následovně: d a0 a 1...a p c... = na 3...a p c... = a0 a 1...a p c... + T a n 0a 1 = (p + 1) [a0 a 1...a p] c... + ( ) p+1 T n 2 [a0a 1 n a 3...a p] c... ð d a0 a1...ap c... = ( d a0 r... r... a1...ap s... ) e b r e s c. (Složy a1...ap s... jsou zde samozřejmě vyjádřeny vzhledem bázi e j.) Speciálně, jeliož n-ádová složa v horním indexu jednotového tenzoru je přímo 1-forma báze, δ j a = e j a, vztah pro torzi z lemmatu V8.2 vede na vztah (ii) lemmatu V7.11 tab n = ð d a δ n b = ( d a e j ) b e n j.

4 Kovariantní vnější derivace 8 4 = 0 p ( 1) a a 1...a p c... }{{} + 0 <l p mimo a ( 1) +l+1 T n a a l na 1...a p c.... }{{} mimo a, a l Speciálně, pro p = 0, 1, 2 dostáváme vztahy analogicé rovnici (7.12). d a A r... s... = a A r... s..., d a γb r... s... = a γbs... r... b γas... r... + T ab n γns... r..., d a σbc s... r... = a σbc s... r... + b σca r... s... + c σ + T bc n σna s... r... + T ca n σnb s... r... + T ab n σ ab r... s... nc s... r.... (8.4) Lehce nahlédneme, že pro ovariantní derivaci bez torze je ovariantní vnější derivace (až na numericý fator) antisymetrizací ovariantní derivace ve formových indexech d =, tj. d a0 a 1...a p c... = (p + 1) [a0 a 1...a p] c... = ( 1) a a 1...a p c... }{{} 0 p mimo a. (8.5) Pomocí ovariantní vnější derivace můžeme napsat explicitní vzorec pro torzi příslušné ovariantní derivace. Apliací druhého vztahu z (8.4) na jednotový tenzor chápaný jao 1-forma typu (1, 0) dostaneme Lemma V8.2 (Torze pomocí d) T n bc = d a δ n b, de T je torze ovariantní derivace. 8.3 Operátor řivosti a Bianchiho identity Při porovnání definic obyčejné vnější derivace D4.3 a ovariantní vnější derivace D8.3 vidíme, že pro ovariantní vnější derivaci nemáme analogii vztahu d d = 0. Vsutu, druhá ovariantní vnější derivace není obecně nulová. Přesto vša pro ní platí speciální vztah. Uazuje se, že d da sice není nulové, ale chová se ultraloálně, tj. lze reprezentovat tenzorově. Věta V8.3 (Druhá ovariantní vnější derivace) Mějme ovariantní derivaci s Riemannovým tenzorem R a s ní asociovanou ovariantní vnější derivaci d. Pa působení druhé ovariantní derivace na tenzorové pole A chápané jao tenzor-značná 0-forma je dáno operátorem řivosti R ab, tj. jde o pseudoderivaci charaterizovanou Riemannovým tenzorem: M8.2 Křivost pomocí vnější derivace Výraz z věty V7.26 lze zapsat pomocí vnější ovariantní derivace následovně: R ab l = R ab l + d a Γ b l + Γ an Γ n b l. Zvolíme-li za jednu z derivací souřadnicovou derivaci, dostaneme (viz lemma V7.27) R ab l = d a Γ b l + Γ an Γ n b l, de rozdílový tenzor Γan hraje roli tenzorznačné 1-formy potenciálu. Zápis v tomto tvaru je obvylý zejména v analogicých výrazech pro řivost ovariantních derivací na vetorových bundlech. d a d b A... = R ab A.... Obecněji, působení na tenzor-značnou p-formu lze zapsat d a d b c = R ab c......, tj. d d = R.

5 Kovariantní vnější derivace Zde pod R ab c... l chápeme operaci, terá se chová jao vnější násobení ve formových indexech a, b, c,... a jao operátor řivosti v dodatečných tenzorových indexech, l,... Důaz: Začněme druhou vnější derivací tenzorového pole A. Pomocí vztahů 8.4 můžeme postupně psát d a d b A... = d a b A... = a b A... b a A... + T n ab n A..., což je podle věty V7.23 přesně ace operátoru řivosti R ab A.... Obecnou tenzor-značnou p-formu a... l můžeme vždy napsat jao součet členů v součinovém tvaru α a... A l. Druhá vnější derivace taových členů lze upravit d d(aα) = d A`dα + `da α = A dα + A ddα + `d da α A dα = `d da α = R Aα. (*) (8.6) Zde jsme užili všech vlastností ovariantní vnější derivace z definice D8.3, identity d d = 0 a právě doázaného vztahu (*). Platnost d d = R pro obecnou formu pa plyne z linearity. V řeči ovariantní vnější derivace mají pa Bianchiho identity tvar Věta V8.4 (Bianchiho identity pomocí vnější derivace) Bianchiho identity z věty V7.28 lze zapsat následovně: R ab δ n c = d a T n bc, (Bianchi 1) d a R bc = 0. (Bianchi 2) V první identitě operátor řivosti R (definice D7.22) působí pouze na index n. Toto působení je podle (7.13) dáno přímo Riemannovým tenzorem. Výraz na levé straně je ta v podstatě Riemannův tenzor s operací mezi prvními dvěma a třetím spodním indexem. To vša nelze rozumně zapsat pomocí znaména a poud bychom chtěli přepsat levou stranu explicitně pomocí Riemannova tenzoru R, museli bychom si pomoci antisymetrizací podle definice D4.2: R ab δ n c = 3R [ab n c]. (8.7) V druhé Bianchiho identitě nesmíme zapomenout, že operátor řivosti R je pseudoderivace, terá působí doprava na libovolné tenzorové pole (věta V7.23). Výrazu dr z Bianchiho identity je nutno rozumět ta, že vnější derivace v něm působí pouze na R, tj. pouze na Riemanův tenzor R, ze terého lze R posládat. Mohli bychom psát dr = tens[ dr]. Identita dr = 0 je tedy evivalentní identitě přímo pro Riemanův tenzor d a R bc l = 0. (8.8) Vidíme, že díy druhé Bianchiho identitě se operátor řivosti R chová vůči ovariantnímu vnějšímu derivování jao onstanta: ( d a Rbc A... ) = Rbc d a A..., ( ) (8.9)... d a Rbc c... = Rbc... d a c.... Upozorněme vša znovu (viz větu V8.3), že zde R působí na da taé jao pseudoderivace a to v neformových indexech; naopa, operace bere v úvahu pouze formové indexy.

6 Kovariantní vnější derivace 8 6 Důaz: (věta V8.4) První Binachiho identita vyplývá z rovnosti rozpisů druhé vnější derivace jednotového tenzoru d a d b δ n c pomocí lemmatu V8.2 a pomocí věty V8.3. Druhá Binachiho identita plyne z asociativity vnějšího derivování. Třetí derivace libovolné tenzor-značné formy lze totiž rozepsat podle věty V8.3 při použití různého ozávorování dvěma způsoby d`d d = d`r = `dr + R `d a d d`d = R `d. Odtud oamžitě dostáváme dr = 0. Nyní uážeme, že Bianchiho identity ve tvaru věty V8.4 jsou evivalentní jejich standardní tenzorové reprezentaci z věty V7.28. Důaz: (věta V7.28) Rovnice (8.7) uazuje, že levá strana obou prvních Bianchiho identit je až na triviální fator stejná. Výraz dt na pravé straně lze rozepsat pomocí věty V8.1 d a T n bc = a T n bc + T ab T n c. Nahrazením vnějšího násobení antisymetrizací a užitím antisymetrie torze dostaneme pravou stranu první Bianchiho identity věty V7.28. Již jsme řeli, že dr = 0 je evivalentní výrazu (8.8). Poud vyjádříme vnější derivaci pomocí ovariantní derivace (věta V8.1), dostaneme 0 = d a R bc l = a R bc l + T n ab R nc l Opět nahrazením vnějšího násobení antisymetrizací násobení tenzorového a užitím antisymetrie Riemannova tenzoru v prvních dvou indexech dostaneme pravou stranu původního tvaru druhé Bianchiho identity.