Příloha D Navrhování pomocí zkoušek

Transkript

1 D.1 Rozsah platnosti a použití Příloha D Navrhování pomocí zkoušek Příloha D uvádí pokyny pro navrhování na základě zkoušek a pro určení charakteristické nebo návrhové hodnoty jedné materiálové vlastnosti nebo modelu odolnosti nosného prvku. Příloha D doplňuje články 3.4, 4. a 5.. Další informace pro navrhování pomocí zkoušek uvádí ČSN ISO 394 [3], podrobnosti o statistických metodách ISO 1491 [7]. D. Značky V příloze D jsou uvedeny následující značky: E(.) průměrná hodnota (.) V X variační koeficient veličiny X V δ odhad variačního koeficientu odchylky δ X vektor j základních veličin X 1... X j X k(n) charakteristická hodnota pro náhodný výběr o velikosti n X m vektor průměrných hodnot základních veličin b opravný součinitel g (X) funkce odolnosti (vektoru základních veličin X) pro návrhový model k d,n koeficient kvantilu návrhové hodnoty k n koeficient kvantilu charakteristické hodnoty m X průměr veličiny X stanovený z náhodného výběru o rozsahu n n počet experimentů nebo numerických výsledků zkoušek r hodnota odolnosti r d návrhová hodnota odolnosti r e hodnota experimentálně stanovené odolnosti r ei experimentálně stanovená odolnost i -tého vzorku r em průměrná hodnota experimentálně stanovené odolnosti r k charakteristická hodnota odolnosti r m hodnota odolnosti vypočtená pomocí průměrných hodnot X m základních veličin r t teoretická odolnost stanovená na základě funkce g (X) r ti teoretická odolnost i -tého vzorku stanovená na základě měřených parametrů s odhadnutá hodnota směrodatné odchylky pro σ logaritmus odchylky δ odhad hodnoty E( ) δ odchylka η d návrhová hodnota převodního součinitele η k redukční součinitel pro případ apriorní znalosti σ směrodatná odchylka σ rozptyl veličiny

2 D.3 Druhy zkoušek Příloha D uvádí několik druhů zkoušek podle jejich účelu: a) zkoušky pro přímé stanovení mezní odolnosti, vlastností konstrukce nebo nosných prvků s danými zatěžovacími podmínkami (např. pro zjištění odezvy konstrukce na proměnlivost zatížení), b) zkoušky pro získání specifických materiálových vlastností (např. zkoušky základové půdy in situ nebo v laboratoři, zkoušky nových materiálů), c) zkoušky pro snížení nejistot parametrů v modelech zatížení nebo v modelech účinků zatížení (např. zkoušky ve větrném tunelu), d) zkoušky pro snížení nejistot parametrů v modelech odolnosti (zkoušky nosných prvků nebo sestav nosných prvků, např. střešní konstrukce). Z výsledků těchto zkoušek se na základě statistických metod určují návrhové hodnoty, které lze použít při navrhování. Dalšími zkouškami lze stanovit e) jakost dodaných výrobků, shodu výrobních charakteristik (např. zkoušky pevnosti betonu), f) údaje potřebné pro etapy výstavby (např. zkoušky únosnosti pilot), g) skutečné chování konstrukce nebo nosných prvků po dokončení výstavby (např. kontrolní zkoušky pro zjištění pružného průhybu nebo frekvence kmitání). Příloha D se zabývá zejména zkouškami typu a) až d). Pokud nejsou vdobě návrhu k dispozici výsledky zkoušek, pak se mohou zkoušky typu e), f) a g) považovat za přejímací zkoušky. Podle článku D.3(3) mají být návrhové hodnoty konzervativními odhady, o kterých se předpokládá, že jsou v dalším stadiu schopny splnit přejímací kritéria. V některých případech může být navrhování pomocí zkoušek účelné, mohou k tomu vést například ekonomické důvody. Zkoušky je vždy nutné provést a zhodnotit takovým způsobem, aby bylo zřejmé, že navržená konstrukce bude mít požadovanou úroveň spolehlivosti. Nesmí se však připustit, aby se použitím zkoušek snížila úroveň spolehlivosti konstrukce, které by se dosáhlo návrhem podle Eurokódů. D.4 Plánování zkoušek Před prováděním zkoušek je třeba plán zkoušek odsouhlasit se zkušební organizací. Plán zkoušek má zahrnovat: cíle zkoušek a jejich rozsah, všechny okolnosti, které mohou ovlivnit predikci výsledků zkoušek, specifikaci zkušebních vzorků a náhodného výběru, specifikaci zatěžování, uspořádání zkoušek, specifikaci měření, metody vyhodnocení a protokol o zkoušce.

3 Spolehlivost prvku může záviset na různých typech namáhání, na podmínkách zatěžování a způsobu uložení. Je proto důležité, aby se prostřednictvím zkoušek určilo chování nosného prvku, které odpovídá jeho funkčnímu uplatnění za normálních a nepříznivých podmínek. Například příčinou porušení ohýbaného nosníku může být překročení mezního ohybového momentu v mezipodporovém průřezu, nebo smykových sil v oblasti podporové. Při plánování a provádění zkoušek pro určení odolnosti nosníku je proto potřeba odlišné způsoby porušení uvážit. D.5 Odvození návrhových hodnot Pro odvození návrhových hodnot materiálových vlastností, modelových parametrů nebo odolnosti z výsledků zkoušek se postupuje podle některé z následujících metod: a) určí se charakteristická hodnota X k, která se dělí dílčím součinitelem a podle potřeby násobí převodním součinitelem, jak je uvedeno v článcích D.7. a D.8., b) návrhová hodnota X d se určí přímo, uváží se implicitně nebo explicitně konverze výsledků a celková požadovaná spolehlivost, jak je uvedeno v článcích D.7.3 a D.8.3. V obvyklých případech se upřednostňuje metoda a) a uplatňují hodnoty dílčích součinitelů podle příslušného Eurokódu. Při odvození charakteristické hodnoty ze zkoušek je potřebné v metodě a) uvážit rozptyl zkušebních dat a statistickou nejistotu z hlediska počtu zkoušek. Dále je možné zahrnout apriorní statistickou znalost. V některých případech může odezva konstrukce nebo nosného prvku, nebo odolnost materiálu záviset na vlivech, které nejsou dostatečně zachyceny zkouškami. Pak je třeba tyto vlivy ve výpočetním modelu uvážit. Jde zejména o časově závislé účinky, účinky velikosti, rozdílné zatěžovací a okrajové podmínky, vliv odolnosti. Pokud se ve specifických případech použije metoda b), pak se při určení návrhových hodnot vezmou v úvahu příslušné mezní stavy, včetně předpokladů pro slučitelnost zatížení, požadovaná úroveň spolehlivosti, návrhová životnost a také apriorní znalosti z podobných případů. Výsledky získané metodou b) je vhodné vždy porovnat s výsledky z metody a). D.6 Obecné zásady statistického hodnocení Výsledky zkoušek se musí kriticky zhodnotit, zejména porovnat chování zkušebních vzorků a způsoby porušení s teoretickými předpoklady. Pokud se zjistí značná odchylka od předpokladů, je nutné nalézt vysvětlení (např. se provedou doplňující zkoušky, změní se teoretický model). Výsledky zkoušek se zhodnotí na základě statistických metod [38, 47, 56]. Metody uvedené v příloze D se použijí za následujících předpokladů: statistické údaje se převezmou ze známých a dostatečně homogenních základních souborů a je k dispozici dostatečný počet pozorování nebo měření.

4 Hodnocení výsledků zkoušek vždy zahrnuje dva základní typy nejistot, které do jisté míry vzájemně souvisejí a mohou vést k podstatným chybám: statistické nejistoty vlivem omezeného počtu vzorků, nejistoty dané nedostatkem apriorních informací o typu statistického rozdělení. Proto se v článku D.6() uvádějí informace, jak hodnotit výsledky podle počtu zkoušek a znalosti apriorních informací. Upozorňuje se zde, že jestliže se provádí pouze jedna zkouška, popř. velmi malý počet zkoušek, pak nelze provést klasické statistické hodnocení. Výjimkou mohou být případy, kdy jsou k dispozici věrohodné apriorní informace, včetně hypotézy o relativních stupních důležitosti těchto informací a výsledků zkoušek (použití Bayesovských postupů). Další informace poskytuje ISO 1491 [8]. Obvyklé statistické hodnocení lze provádět tehdy, jestliže se pro odhad parametru nebo kalibraci modelu provádí řada zkoušek. Výsledek hodnocení zkoušky je třeba považovat za platný jen pro specifikace a charakteristiky zatížení, které se při zkouškách uvažují. Pokud se výsledky extrapolují tak, aby se určily další návrhové parametry a zatížení, je třeba použít doplňující informace z předchozích zkoušek nebo teoreticky podložené informace. D.7 Stanovení jedné nezávislé vlastnosti statistickými metodami D.7.1 Všeobecně Pro stanovení návrhových hodnot ze zkoušek typu (a) a (b) podle článku D.3 pro jednu nezávislou vlastnost X (např. pevnost výrobku) jsou potřebné vztahy uvedeny v následujícím textu. Jednou nezávislou vlastností X se zde rozumí odolnost výrobku (např. pevnost), nebo vlastnost, která k odolnosti přispívá. Tab. D.1 a D. uvádějí hodnoty koeficientů kvantilů k n a k d,n, na jejichž základě lze určit charakteristickou hodnotu (metoda a) a návrhovou hodnotu (metoda b), které vycházejí z těchto předpokladů: základní veličiny jsou normálně nebo lognormálně rozděleny, průměr není apriorně znám, v případě V X neznámý není variační koeficient apriorně znám, v případě V X známý je variační koeficient znám. V ČSN EN 1990 [1] se doporučuje použít postup V X známý pro konzervativní odhad variačního koeficientu V X. Pokud se použije postup V X neznámý a variační koeficient se stanoví z dostupného souboru, nemá se uvažovat hodnota koeficientu menší než 0,10. Vztahy jsou uvedeny pro normální a lognormální rozdělení základní veličiny. Použití lognormálního rozdělení s počátkem v nule pro některé veličiny může být výhodné, neboť u geometrických veličin a parametrů odolnosti nemůže dojít k výskytu záporných hodnot, což je z fyzikálního hlediska správné.

5 D.7. Hodnocení prostřednictvím charakteristické hodnoty Příloha D Navrhování pomocí zkoušek Pokud se postupuje obvyklou metodou a), při které se vychází z charakteristické hodnoty veličiny X k (obvykle 5% kvantil), pak se návrhová hodnota veličiny X stanoví ze vztahu X η X = = m (1 k V ) (D.1) [D.1] d k( n) d ηd γ m γ m X n X kde η d je návrhová hodnota převodního součinitele a dílčí součinitel γ m se zvolí podle způsobu aplikace výsledků zkoušek. Koeficient k n se určuje podle tab. D.1 (platí pro normální rozdělení veličiny X) v závislosti na počtu zkoušek a znalostí o variačním koeficientu. Jestliže variační koeficient V X není známý, lze jej odhadnout z náhodného výběru: 1 s X = ( xi mx ) (D.) [D.] n 1 V X = s X /m X (D.3) [D.3] Tab. D.1 Koeficient (5%) kvantilu k n pro charakteristickou hodnotu [tab. D.1] n V X známý,31,01 1,89 1,83 1,80 1,77 1,74 1,7 1,68 1,67 1,64 V X nezn. 3,37,63,33,18,00 1,9 1,76 1,73 1,64 Pokud by se pro základní veličinu předpokládalo lognormální rozdělení, pak se návrhová hodnota veličiny X stanoví ze vztahu: [ m k ] ηd X d = exp γ m y ns y (D.4) kde je průměr m 1 = ln( ) a směrodatná odchylka s y je pro případ n y x i variační koeficient V X apriorně známý, sy = ln( VX + 1) VX (D.5) 1 variační koeficient V X není apriorně známý, s y = (lnxi my ) (D.6) n 1 D.7.3 Přímý odhad návrhové hodnoty pro ověřování mezních stavů únosnosti Návrhová hodnota X d se určí ze vztahu X d = η d m X (1 k d,n V X ) (D.7) [D.4]

6 kde návrhová hodnota převodního součinitele η d má zahrnovat všechny vlivy, které nejsou zkouškami pokryty. Hodnoty koeficientu k d,n jsou uvedeny v tab. D.; vycházejí z předpokladu, že návrhová hodnota odpovídá součinu α R β = 0,8 3,8 = 3,04 (viz příloha C) a veličina X je normálně rozdělená. Tab. D. Hodnoty koeficientu k d,n pro návrhové hodnoty [tab. D.] n V X známý 4,36 3,77 3,56 3,44 3,37 3,33 3,7 3,3 3,16 3,13 3,04 V X neznámý 11,4 7,85 6,36 5,07 4,51 3,64 3,44 3,04 Pro lognormální rozdělení má výraz (D.7) tvar: X d = η d exp(m y k d,n s y ) (D.8) Příklad D.1 Na základě zkoušek vývů betonových válců je k dispozici náhodný výběr o rozsahu n = 7. Výsledky experimentálních měření pevnosti betonu v tlaku (seřazeny vzestupně) jsou 4; 4,5; 6; 31,5; 3; 33; 33,5 v MPa. Z těchto hodnot se stanoví průměr, směrodatná odchylka a variační koeficient m X = 9, MPa; s X = 4, MPa; V X = 0,143 Úkolem je určit charakteristickou a návrhovou hodnotu pevnosti betonu f c pro oba předpoklady o variačním koeficientu: V X známý (pro konzervativní hodnotu V X = 0,18) a V X neznámý (pro vypočtenou hodnotu V X = 0,143, která je větší než doporučené minimum 0,10 podle článku D.7.1). Za předpokladu normálního rozdělení a známého V X vychází charakteristická pevnost f ck = m X (1 k n V X ) = 9, (1 1,755 0,18) = 0 MPa Za předpokladu neznámého V X vychází f ck = m X (1 k n V X ) = 9, (1,09 0,143) = 0,5 MPa Jestliže se uvažuje lognormální rozdělení, pak pro známé V X vychází (podle přibližného vztahu) f ck = m X exp ( k n V X ) = 9, exp( 1,755 0,18) = 1,3 MPa pro neznámé V X f ck = m X exp( k n V X ) = 9, exp(,09 0,143) = 1,7 MPa

7 Návrhové pevnosti se stanoví z charakteristických hodnot redukcí dílčím součinitelem pro beton γ c = 1,5. Například pro lognormální rozdělení a známé V X se stanoví f cd = 1,3 /1,5 = 14, MPa. V případě, že se odhaduje přímo návrhová hodnota, pak pro normální rozdělení a známé V X se stanoví f cd = m X (1 k d,n V X ) = 9, (1 3,3 0,18) = 11,9 MPa Za předpokladu neznámého V X se stanoví f cd = m X (1 k d,n V X ) = 9, (1 5,7 0,143) = 0,18 MPa Za tohoto předpokladu vede výpočet téměř k nulové pevnosti betonu. Příznivější je předpoklad lognormálního rozdělení. Pro známé V X se stanoví (podle přibližného vztahu) návrhová hodnota f cd = m X exp ( k n V X ) = 9, exp( 3,3 0,18) = 16,1 MPa pro neznámé V X f cd = m X exp( k n V X ) = 9, exp( 5,7 0,143) = 1,9 MPa Ukazuje se tedy, že předpoklad normálního rozdělení vede k méně příznivým výsledkům a při přímém výpočtu návrhových hodnot může zcela selhat. Přibližné vztahy pro koeficienty k n a k d,n k n 1 10 d 8 b) 6 c) 4 0 a) Obr. D.1 Grafické znázornění koeficientů k n a k d,n podle počtu zkoušek n n

8 Koeficienty k n a k d,n lze vypočítat interpolací mezi hodnotami uvedenými v tab. D.1 a D., případně na základě následujících přibližných funkcí: a) k n = 1, ,67/n, V x známý (p = 0,05) b) k n = n/( 0, ,614n), V x neznámý (p = 0,05) c) k d,n = 3, ,94/n, V x známý (p = 0,001) d) k d,n = n/( 0, ,33n), V x neznámý (p = 0,001) Z obr. D.1 je patrné, že odchylky hodnot koeficientů uvedených v tab. D.1 a D. jsou od hodnot určených z těchto přibližných funkcí velmi malé. D.8 Stanovení modelů odolnosti statistickými metodami D.8.1 Všeobecně Kromě statistického hodnocení jedné vlastnosti se v článku D.8 uvádějí postupy pro určení modelů odolnosti a pro odvození návrhových hodnot ze zkoušek typu d). Funkce odolnosti ( návrhový model ) se stanoví na základě pozorování skutečného chování během zkoušek a teoretických předpokladů. Platnost modelu se ověří na základě statistického zhodnocení všech dostupných zkušebních dat. V případě potřeby se model upraví tak, aby se dosáhlo dostatečné korelace mezi teoretickými hodnotami a údaji ze zkoušek. Pokud například návrhový model zahrnuje určitou, avšak ne zcela zřejmou rezervu spolehlivosti, je třeba tuto rezervu z analýzy výsledků zkoušek zjistit. Na základě zkoušek se stanoví odchylka od předpokladů, která se určila pomocí návrhového modelu. Tato odchylka se musí kombinovat s odchylkami dalších veličin (např. odchylky pevnosti materiálů a tuhosti, odchylky geometrických vlastností) ve funkci odolnosti tak, aby se zjistila celková odchylka. Pro stanovení charakteristické odolnosti je třeba uvážit odchylku všech veličin. Pro odvození návrhových hodnot se rozlišují metody a) a b). Postupuje se v sedmi krocích, z nichž je prvních šest v obou metodách shodných. D.8. Standardní postup hodnocení metoda a) Standardní postup hodnocení pro odhad charakteristické hodnoty metodou a) vychází z následujících předpokladů: funkce odolnosti je funkcí řady nezávislých veličin X; je dostatečný počet výsledků zkoušek; měří se všechny příslušné geometrické a materiálové vlastnosti; ve funkci odolnosti neexistuje statistická závislost mezi veličinami; veličiny jsou normálně nebo lognormálně rozděleny. Postup hodnocení metodou a) se skládá z těchto sedmi kroků:

9 Krok 1: Stanovení návrhového modelu Na základě funkce odolnosti se pro nosný prvek stanoví návrhový model teoretické odolnosti r t r t = g (X) (D.9) [D.5] který zahrnuje všechny základní veličiny, ovlivňující odolnost v příslušném mezním stavu. Krok : Porovnání experimentálních a teoretických hodnot Porovnávají se teoretické hodnoty odolnosti jednotlivých vzorků r ti, které se určily na základě dosazení naměřených vlastností základních veličin do funkce odolnosti, s experimentálními hodnotami r ei získanými ze zkoušek, jak je znázorněno na obr. D.. Obr. D. Vztah experimentálních a teoretických hodnot r e a r t Pokud by se hodnoty teoretické a experimentálně získané funkce odolnosti shodovaly, pak by ležely na přímce o rovnici r e = b r t, která svírá s osou x úhel θ = 45 (se směrnicí b = 1). Ve skutečnosti však budou body vykazovat určitý rozptyl. Pokud by se zjistily jakékoliv systematické odchylky od přímky uvedené na obr. D., je třeba hledat příčiny, aby se ověřilo, zda to indikuje chybu v postupu zkoušek, nebo ve funkci odolnosti. Krok 3: Odhad průměrné hodnoty opravného součinitele b Průměrnou hodnotu r m teoretické funkce odolnosti, vypočtenou pomocí vektoru průměrných hodnot X m základních veličin, lze vypočítat na základě r m = b r t (X m ) δ = b g (X m ) δ (D.10) [D.8] kde nejlepší odhad směrnice b lze zjistit metodou nejmenších čtverců ze vztahu b = r r e t (D.11) [D.7]

10 Krok 4: Odhad variačního koeficientu pro odchylku Aby se mohl provést odhad variačního koeficientu odchylky V δ, nejprve se určí jednotlivé odchylky δ i každé experimentální hodnoty r ei δ r ei i = (D.1) [D.9] b r ti Stanoví se logaritmus odchylek i a jejich průměr ( ) = ln δ i (D.13) [D.10] i 1 = n n i = 1 i Rozptyl s veličiny se získá ze vztahu s 1 = n 1 n i = 1 ( ) i (D.14) [D.11] (D.15) [D.1] a vztah V = exp( s ) 1 (D.16) [D.13] δ lze použít pro odhad variačního koeficientu V δ odchylky δ. Krok 5: Analýza shody Analyzuje se shoda zkušebního souboru s předpoklady o funkci pevnosti. Jestliže je rozptyl hodnot experimentální a teoretické odolnosti (r ei, r ti ) příliš vysoký, než aby mohl poskytnout ekonomicky výhodnou návrhovou funkci odolnosti, může se rozptyl snížit jedním z následujících způsobů: úpravou návrhového modelu, ve kterém se vezmou v úvahu parametry, které se předtím zanedbaly, úpravou odhadu směrnice b a variačního koeficientu odchylky V δ tak, že se celkový zkušební soubor rozdělí na dílčí soubory, v nichž se může vliv přídavných parametrů považovat za konstantní. Aby se určily parametry, které mají největší vliv na rozptyl, mohou se výsledky zkoušek s ohledem na tyto parametry rozdělit do dílčích souborů. Nevýhodou rozdělení výsledků zkoušek do dílčích souborů však je, že v každém dílčím souboru může být velmi malý počet experimentálních výsledků. Postup určení hodnot koeficientů kvantilu k n na základě dílčích souborů je popsán v kroku 7.

11 V některých případech se může lépe popsat distribuční funkce odolnosti pomocí bimodální nebo multimodální funkce. V těchto případech je možné použít speciální aproximační metody, aby se funkce transformovaly do jednorozměrné distribuční funkce. Krok 6: Určení variačních koeficientů V Xi základních veličin Jestliže je možné prokázat, že zkušební soubor je s ohledem na skutečný rozptyl plně reprezentativní, pak se mohou variační koeficienty V Xi základních veličin ve funkci odolnosti stanovit z experimentálních dat. V obvyklých případech je však nutné určit variační koeficienty V Xi na základě apriorní znalosti. Krok 7: Stanovení charakteristické hodnoty odolnosti r k 7.1 Pokud má funkce odolnosti r pro j základních veličin tvar r = b r t δ = b {X 1 X... X j } δ (D.17) může se průměrná hodnota E(r) získat ze vztahu E(r) = b {E(X 1 ) E(X )... E(X j ) } = b g (X m ) (D.18) [D.14a] a variační koeficient V r určit z funkce ( V + 1) 1 j Vr = ( Vδ + 1) Xi (D.19) [D.14b] i = 1 7. V případě, že V δ a V Xi jsou malé, je možné pro V r použít alternativně aproximaci V j r = Vδ + V, kde V = V Xi i = Pokud má funkce odolnosti složitější tvar (D.0) [D.15] r = b r t δ = b g (X 1,..., X j ) δ (D.1) průměrnou hodnotu E(r) lze získat E(r) = b g (E(X 1 ),..., E(X j )) = b g (X m ) (D.) [D.16a] a variační koeficient V se určí ze vztahu V [ ( X )] ( ) j 1 i X m i = 1 X i VAR g g = g ( X m ) g σ (D.3) [D.16b] 7.4 Jestliže je počet zkoušek omezený (např. n < 100), má se uvažovat pro veličinu pravděpodobnostní rozdělení s přihlédnutím ke statistickým nejistotám.

12 7.5 Charakteristická odolnost r k se získá ze vztahu r k = b g (X m ) exp( k α Q k n α δ Q δ 0,5 Q ) (D.4) [D.17] ve kterém jsou = σ ln( V +1 ), Q = = ln ( +1), Q r = ln( V +1) Q = ln() ln( δ ) δ σ V δ = σ (D.5) [D.18] ln( ) r Q Q δ α =, α δ = (D.6) [D.19] Q Q kde k n je koeficient kvantilu pro charakteristickou hodnotu z tab. D.1 pro případ V X neznámý, hodnota koeficientu k pro n je k = 1,64, α součinitel citlivosti pro Q, α δ součinitel citlivosti pro Q δ. Hodnota variačního koeficientu odchylky V δ se má odhadnout z náhodného výběru pro zkoušku. Pokud je k dispozici větší počet zkoušek (n 100), lze charakteristickou odolnost r k získat ze vztahu r k = b g (X m ) exp( k Q 0,5 Q ) (D.7) [D.0] D.8. Standardní postup hodnocení metoda b) Tímto postupem se přímo odvodí návrhová hodnota odolnosti r d. Postupuje se výše uvedenými kroky 1 až 6, v kroku 7 se charakteristický koeficient k n nahradí návrhovým koeficientem k d,n, který odpovídá pro velký počet zkoušek součinu α R β podle přílohy C jako 0,8 3,8 = 3,04. Pro případ omezeného počtu zkoušek se návrhová hodnota r d získá ze vztahu r d = b g (X m ) exp( k d, α Q k d,n α δ Q δ 0,5 Q ) (D.8) [D.1] kde k d,n je návrhový koeficient kvantilu z tab. D. pro případ V X neznámý a koeficient k d, = 3,04 pro n. Jestliže je k dispozici velký počet zkoušek, návrhová hodnota r d se určí ze vztahu r d = b g (X m ) exp( k d, Q 0,5 Q ) (D.9) [D.] Použití doplňující apriorní znalosti Pokud je platnost funkce odolnosti r t a horní hranice variačního koeficientu, která představuje konzervativní odhad, známá z dostatečného počtu předchozích zkoušek, lze přijmout následující zjednodušený postup pro provádění dalších zkoušek. Jestliže se provádí pouze jedna zkouška, pak se charakteristická hodnota r k může stanovit z výsledku r e této zkoušky pomocí vztahu r k = η k r e (D.30) [D.3]

13 kde η k je redukční součinitel použitelný pro případ apriorní znalosti, který lze získat z η k = 0,9 exp(,31 V r 0,5 V r ) (D.31) [D.4] kde V r je maximální variační koeficient stanovený v předchozích zkouškách. Pokud se provádějí dvě nebo tři další zkoušky, pak lze charakteristickou hodnotu r k stanovit z průměrné hodnoty výsledků zkoušek r em jako r k = η k r em (D.3) [D.5] kde η k je redukční součinitel použitelný pro případ apriorní znalosti η k = exp(,0 V r 0,5 V r ) (D.33) [D.6] kde V r je maximální variační koeficient zjištěný z předchozích zkoušek, jestliže každá extrémní (maximální nebo minimální) hodnota r ee splňuje podmínku r ee r 0,10 r (D.34) [D.7] em em V tab. D.3 jsou pro hodnoty variačního koeficientu V r uvedeny hodnoty součinitele η k v závislosti na počtu zkoušek. Příklad D. Předpokládá se teoretický model odolnosti ve tvaru F = A σ s, kde A je průřezová plocha ocelových tyčí a σ s pevnost oceli v tahu. Bylo zjištěno, že průměr a variační koeficient základních veličin vstupujících do teoretické funkce odolnosti jsou E(A) = 44 mm, V(A) = 0,01, E(σ s ) = 947,6 MPa, V(σ s ) = 0,037. Tab. D.3 Teoretická a experimentální odolnost pro výběr o rozsahu n = 10 n F t [kn] F e [kn] n F t [kn] F e [kn] Graf na obr. D.3 ukazuje údaje z tab. D.3 s naznačenou regresní přímkou o směrnici b. Směrnice b se určí na základě vztahu (D.9) b = r r e t = 1,018

14 Vztah mezi teoretickou F t a experimentální F e odolností se uvažuje jako F t = b F e = 1,018 F e. Na základě kroku 4 se provede odhad variačního koeficientu V δ pro odchylku δ mezi experimentální a teoretickou odolností. Stanoví se postupně dílčí odchylky δ i, logaritmus odchylek i, průměr = 0,0004 a rozptyl s = 7, Ze vztahu (D.16) se určí variační koefi- cient V δ = 0, F e F t Obr. D.3 Vztah experimentálních a teoretických hodnot odolnosti F Variační koeficienty průřezové plochy A a pevnosti oceli σ s jsou podle zadání V(A) = 0,01, V(σ s ) = 0,037. Lze tedy použít alternativní vztah (D.0) pro nízké hodnoty variačních koeficientů V j r = Vδ + V, kde V = V Xi i = 1 V r = 0, ,01 + 0,037 = 0,0014 Průměrná hodnota odolnosti E(r) se získá ze vztahu (D.18) E(r) = b {E(A) E(σ s ) } = 1, ,6/1000 = 34,68 kn Z tab. D.1 a D. se pro soubor n = 10 určí součinitele k n = 1,9 a k d,n = 4,51. Charakteristická hodnota odolnosti se stanoví ze vztahu (D.4) r k = b g (X m ) exp( k α Q k n α δ Q δ 0,5 Q ), kde ( V +1 ) Q = σ = ln = ln(0, , ) = 0,0364 ln()

15 ( +1) Q δ = σ δ = ln Vδ = ln(0, ) = 0,00853 ln( ) ( +1) Q = σ = ln = ln( 0, ) = 0,0374 ln(r) V r Q a součinitele citlivosti α = = Q 0, 036 0, 037 = 0,974, α δ = = Q Příloha D Navrhování pomocí zkoušek Q δ 0, 0085 = 0,8 0, 037 Po dosazení numerických hodnot se charakteristická hodnota odolnosti r k stanoví ze vztahu (D.7) r k = 1,018 34,68 exp( 1,645 0,974 0,0364 1,9 0,8 0, ,5 0,0374 ) r k = 4,6 kn a návrhová hodnota odolnosti r d se určí ze vztahu (D.8) r d = b g (X m ) exp( k d, α Q k d,n α δ Q δ 0,5 Q ) r d = 1,018 34,68 exp( 3,04 0,974 0,0364 4,51 0,8 0, ,5 0,0374 ) r d = 1,8 kn Dílčí součinitel materiálu se stanoví jako γ m = R k /R d = 4,6/1,8 = 1,06 Na základě teoretického modelu odolnosti a experimentálních dat se provedl odhad charakteristické a návrhové hodnoty modelu odolnosti i hodnoty dílčího součinitele oceli. Výsledky však byly určeny na základě malého souboru o rozsahu n =10.