Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015"

Transkript

1 Posloupnosti a řady Přednáška listopadu 205

2 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady

3 Zdroj informací

4 Posloupnosti a jejich vlastnosti 4/ 47 Posloupnost reálných čísel: každému přirozenému číslu n N přiřadíme reálné číslo a n R n N : n }{{} a n R, přiřadíme {a n } R posloupnost {a n } = {a, a 2,..., a i, a i+,... } Vlastnosti rostoucí : i N : a i < a i+ klesající : i N : a i > a i+ nerostoucí : i N : a i a i+ neklesající: i N : a i a i+ monotónní: nerostoucí nebo neklesající ryze monotónní: rostoucí nebo klesající omezená shora : Q R : i N : a i Q omezená zdola : P R : i N : P a i omezená (shora i zdola) : P, Q R : i N : P a i Q

5 Příklady 5/ 47 { } {a n } = = {, 2 n, 3 },... klesající? (platí i N : i + < i )? vynásobíme i(i + ) i < i + 0 < : platí, je klesající omezená? { {a n } = } = n 0 < n ano {, 2 }, 3,... rostoucí? (platí i N : i + > i )? vynásobíme i(i + ) : i > (i + ) protože 0 > :platí, je rostoucí omezená? n 0 ano {a n } = { n 2 } : rostoucí, omezená (0 n 2 < ) {a n } = { n} : klesající, omezená shora ( n 0), zdola není omezená

6 Příklady 6/ 47 {a n } = {3 ( ) n } = { 3, 3, 3, 3,... } : není rostoucí, není klesající, je omezená { } {a n } n(n ) { = = 0, 2 n + 3, 6 4, 2 5, 20 } 6... rostoucí? (platí i N : a i+ > a i )? (i + )((i + ) ) (i + )i a i+ = = (i + ) + i + 2 (i + )i i(i ) (i + 2)(i + ) > (?) vynásobíme : i + 2 i + i (i + ) 2 > (i )(i + 2) (?) i 2 + 2i + > i 2 + i 2 (?) i > 3 : platí i N je rostoucí omezená? n(n ) = n není omezená n + { } n + {a n } 2n = n + { } {a n } n + = n

7 Limita posloupnosti 7/ 47 Definice Číslo A R je limitou posloupnosti {a n }, jestliže ke každému reálnému číslu ε existuje index n 0 tak, že nerovnost a n A < ε je splněna pro všechna n > n 0. lim n a n = A ε R n 0 N n N : n > n 0 a n A < ε To znamená, že ke každému ε > 0 existuje pouze konečný počet členů posloupnosti, které neleží v pásu (A ε, A + ε). Těchto členů je nejvýše { n 0. Příklad: {a n } 3n + = 5n + 2 } 3n + 5n = 5n + 5 5n 6 25n + 0 ε n 0 { ε = 25, A= 5 3 = 25n taková nejsou ε = 0 6 prvních > ε pro konečný počet n

8 Vlastnosti limit 8/ 47 { A R vlastní lim a an konverguje k A n = n ± nevlastní a n diverguje a n nemá limitu a n diverguje (osciluje) Věta : Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz sporem. Vybraná posloupnost: Necht {k n } je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost {a k, a k2,..., a kn,... } nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti {a n }. Věta 2: Má-li posloupnost {a n } limitu rovnu a, potom každá vybraná posloupnost z {a n } má tutéž limitu a. Důkaz z definice. Příklad: {a n } = {( ) n 3} Vybrané posloupnosti : členy se sudými indexy, s lichými indexy: {a (2n) } = {3} lim n a (2n) = 3, {a (2n ) } = { 3} lim n a (2n ) = 3 Příklad: {a n } = {cos(nπ)}

9 Vlastnosti limit 9/ 47 Věta 3: Předpokládejme, že lim a n = a, lim b n = b. Potom platí: lim(a n ± b n ) = a ± b, lim(a n b n ) = a b, lim(a n /b n ) = a/b, pokud výrazy na pravých stranách mají smysl a pokud podíl a n /b n má smysl n N. Příklad: lim n 3 + n = lim n 3 + lim n n = 3 n lim n lim n 5 n const = const (z definice) const const = 0 < ε 3n + 5n + 2 = lim n lim n Jestliže lim{a n } = a lim const a n = const a n = 0 z definice: n 0 < ε pouze pro konečný lim n počet n platí: n ε (ε = 0 n 0 = 0) Příklad:k N : lim n n k = lim n n lim n n... lim n n = 0

10 Vlastnosti limit 0/ 47 Věta 4: Necht {a n }, {b n }, {c n } jsou posloupnosti, pro které platí: lim a n = lim c n = c a n N : a n b n c n. Potom lim b n = c. Příklad: lim n n ( )n n Příklad: lim n ( ) n n n, sin(n) n sin(n), n Příklad: lim n 2 n lim n n = lim n n = 0 lim ( ) n n n n sin(n) n n > 4 : n 2 2 n 0 n 2 n n n = 0

11 Příklady / 47 lim n np = lim n an = lim n lim n 0 pro p < 0 pro p = 0 + pro p > 0 neex. pro < a 0 pro < a < pro a = + pro a > n n = ( + ) n = e(= ) n

12 Příklady 2/ 47 3n 2 + 5n lim n 3n 4n 2 lim n lim n lim n 2n 2 5n + 5 n 4 + 5n + 4n n 2 + n 4n n 4n 2 Ve všech příkladech použijeme stejnou úpravu: čitatel a jmenovatel zlomku vyděĺıme nejvyšší mocninou jmenovatele. Limita podílu dvou polynomů: a s n s + a s n s + + a 0 lim n b r n s + b r n r = + + b 0 a s b r pro r = s 0 pro r > s ± pro r < s + : a s b r > 0 : a s b r < 0

13 Řady 3/ 47 řada: a k = a + a 2 + a Otázky: Jak sečíst nekonečnou (přesněji spočetnou) množinu čísel? Platí pro nekonečné součty podobné zákony jako pro konečné součty, zejména zákon distributivní, asociativní a komutativní? Pojmy částečné součty řady s = a, s 2 = a + a 2,..., s i = a + a a i posloupnost částečných součtů {s n }

14 Konvergence řady 4/ 47 Definice Je li posloupnost částečných součtů {s n } konvergentní, tj. existuje li vlastní limita lim s n = S, n řada konverguje (resp. konverguje k S). Neexistuje li vlastní limita, řada diverguje.

15 Konvergence řady 4/ 47 Definice Je li posloupnost částečných součtů {s n } konvergentní, tj. existuje li vlastní limita lim s n = S, n řada konverguje (resp. konverguje k S). Neexistuje li vlastní limita, řada diverguje. lim s n = n S neexistuje S a k = řada konverguje k S řada diverguje k řada diverguje k řada osciluje

16 Příklady 5/ 47 Příklad : a k = k(k + ) = k k + s n = lim s n = n a k =

17 Příklady 5/ 47 Příklad : a k = k(k + ) = k k + lim s n = n s n = n + lim n n + = a k = řada konverguje k.

18 Příklady 6/ 47 Příklad 2: a k = ln( + k ) = ( ) k + ln = k s n = ln(k + ) ln k lim s n = n a k =

19 Příklady 6/ 47 Příklad 2: a k = ln( + k ) = ( ) k + ln = k s n = ln(n + ) ln(k + ) ln k lim s n = n lim ln(n + ) = n a k = řada diverguje k +.

20 Příklady Příklad 3: lim n s n a k = ( ) k s n = {0,, 0,,... }

21 Příklady Příklad 3: a k = ( ) k s n = {0,, 0,,... } lim s n neexistuje (věta o vybrané posloupnosti) řada osciluje. n

22 Příklad 8/ 47 Příklad 4: a k : a k = s n = 3 (3k 2)(3k + ) = ( 3 3k 2 ) 3k + ( n 5 3n 2 + 3n 2 lim s n = n = 3 ( ) 3n + a k = ) = 3n +

23 Příklad 8/ 47 Příklad 4: a k : a k = s n = 3 (3k 2)(3k + ) = ( 3 3k 2 ) 3k + ( n 5 3n 2 + 3n 2 lim s n = n = 3 ( lim n 3 ) 3n + ( 3n + a k = 3 ) = 3 ) = 3n +

24 Harmonická řada 9/ 47 k

25 Harmonická řada 9/ 47 s = s 2 = + 2 s 4 = s > s = s 8 = s > s = s 6 = s > s = s 2 n > + n 2 {s n } je rostoucí má limitu bud vlastní nebo +, stejnou, jako vybraná s 2 n: lim + n n 2 = + k diverguje k k

26 Postačující podmínka konvergence 20/ 47 Věta Příklady a k konverguje lim k a k = 0 OBRÁCENĚ N E P L A T Í!!! lim k k 2 2k 2 + k 2 2k 2 + = řada diverguje 2 lim k k k = 0, ALE řada diverguje

27 Geometrická řada: konverguje? Jaký má součet? 2/ 47 a + a q + a q a q k + = a q k, a 0, q 0 q = q = q q > q <

28 Geometrická řada: konverguje? Jaký má součet? 2/ 47 a + a q + a q a q k + = a q k, a 0, q 0 q = s n = n a ; q = řada řada a( ) k osciluje lim s n = lim n a = ± a div. n n a( ) k {s n } = {0, a,..., } q s n = a + a q + a q a q n ( q)( + q + q q n ) = q n s n = a qn q q > lim n qn = + lim q < lim n qn = 0 lim n s n = a q k = s n = ± řada diverguje n a q a q pro q <

29 Kritéria konvergence 22/ 47 Řady s kladnými členy: a n a b n, a n > 0, b n > 0. Limitní srovnávací kritérium konvergence řad. Pokud existuje vlastní nenulová limita: a n lim = L 0, n b n potom řady a n a b n konvergují nebo divergují zároveň. Někdy srovnáváme s řadou { α > konverguje b n =, která pro : nα α diverguje VÍME, že lim n c l x l +... d m x m +... = c l d m při l = m 3x př. lim n 2x = při l < m 3x př. lim n 2x = 0 při l > m 3x př. lim n 2x =

30 Příklady 23/ a n = a n = a n = a n = a n = n 2 n 4 +3 n 2 +2n+3 n+ 4 n 4 +n+ n+2 n n (n+) n

31 Příklady 23/ a n = a n = a n = a n = a n = n 2 n 4 +3 n 2 +2n+3 n+ 4 n 4 +n+ n+2 n n (n+) n b n = b n = b n = b n = b n = n 2 n n n 3 2 n 7 6 řady konvergují řady divergují řady divergují řady konvergují řady konvergují

32 Kritéria konvergence 24/ 47 Řada s kladnými členy: a n, a n > 0. d Alembertovo kritérium konvergence řad. Pokud existuje limita: a n+ lim = L, L 0, nebo L =, n a n potom řada a n při L < při L > při L = konverguje diverguje nevíme

33 Příklady 25/ 47 a n = n 2 n a n+ lim = n a n a n = a n+ lim = n a n 3n+ 2 n

34 Příklady 25/ 47 a n = n 2 n a n+ n + lim = lim n a n n 2 2 n 2n n = 2 lim n + = n n 2 < řada konverguje a n = a n+ lim = n a n 3n+ 2 n řada konverguje

35 Příklady 25/ 47 a n = n 2 n a n+ n + lim = lim n a n n 2 2 n 2n n = 2 lim n + = n n 2 < řada konverguje a n = 3n+ 2 n a n+ lim = lim n a n n řada konverguje 3(n + ) + 2 n n 2 3n + = lim 2 n 3n + 4 3n + = < 2

36 Příklady 26/ 47 a n = a n = 2 n (3n + )3 n 5 n n 2 n

37 Kritéria konvergence 27/ 47 Integrální kritérium konvergence Řada s kladnými členy: a k, a k > 0, f (x) je nerostoucí funkce v intervalu < m, ), m N, f (k) = a k, k = m, m +, m + 2,.... řada a k konverguje konverguje nevlastní integrál f (x)dx m

38 Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : a n konverguje, ale a n diverguje.

39 Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : Alternující řada: a n konverguje, ale a n diverguje. ( ) n a n, a n > 0.

40 Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : Alternující řada: a n konverguje, ale a n diverguje. ( ) n a n, a n > 0. Leibnitzovo kritérium konvergence alternující řady: Pokud:. Posloupnost {a n } je nerostoucí a 2. lim a n = 0, n potom řada ( ) n a n, a n > 0 konverguje.

41 Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : Alternující řada: a n konverguje, ale a n diverguje. ( ) n a n, a n > 0. Leibnitzovo kritérium konvergence alternující řady: Pokud:. Posloupnost {a n } je nerostoucí a 2. lim a n = 0, n potom řada ( ) n a n, a n > 0 konverguje. Jestliže alternující řada splňuje Leibnitzovo kritérium, potom pro absolutní hodnotu zbytku řady platí: R n a n+.

42 Příklady 29/ 47 ( ) n n ( ) n 2 n (n + )!

43 Příklady 29/ 47 řada z absolutních hodnot: ( ) n n n : diverguje posloupnost { n } je nerostoucí, lim n n = 0 řada konverguje relativně s 4 = = 5 2, R 4 5 ( ) n 2 n (n + )! řada z absolutních hodnot: 2 n (n+)! : konverguje (d Alembertovo k.): lim n a n+ a n = 2 lim n n+2 = 0 řada konverguje absolutně s 3 = = R 3 24

44 Příklady 30/ 47 ( ) n n n(n + )

45 Příklady 30/ 47 ( ) n n n(n + ) řada z absolutních hodnot: limita lim n = ( 0) n n(n+) řada diverguje n : diverguje n(n+)

46 Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Násobení řady číslem

47 Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Věta: a k, b k jsou konvergentní a mají součty s, t (a k + b k ) konverguje a platí (a k + b k ) = s + t. Násobení řady číslem

48 Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Věta: a k, b k jsou konvergentní a mají součty s, t (a k + b k ) konverguje a platí (a k + b k ) = s + t. ALE z konvergence (a k + b k ) NEPLYNE konvergence řad a k, b k. Pouze v případě konvergentní řady smíme sdružovat členy do závorek. Násobení řady číslem

49 Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Věta: a k, b k jsou konvergentní a mají součty s, t (a k + b k ) konverguje a platí (a k + b k ) = s + t. ALE z konvergence (a k + b k ) NEPLYNE konvergence řad a k, b k. Pouze v případě konvergentní řady smíme sdružovat členy do závorek. Násobení řady číslem Věta: a k konverguje, p R(p 0) p a k konverguje a p a k = p a k

50 Přerovnání členů 32/ 47 Necht a k je absolutně konvergentní. k+ Potom každá řada, která z této řady vznikne přerovnáním, je také absolutně konvergentní a má týž součet. (a naopak) Riemannova věta Necht a k je relativně konvergentní. k+ Zvolme libovolné reálné číslo T. Potom lze řadu přerovnat tak, že přerovnaná řada je konvergentní a má součet T. Jak? Z řady a k vytvoříme 2 řady (p k, q k ): všechna kladná, všechna záporná (bez změny pořadí). Do vytvářené řady dáme tolik kladných členů, aby p + + p r T p + + p r > T ; dále tolik záporných členů, aby částečný součet T... Také ji lze přerovnat tak, že přerovnaná řada diverguje, nebo osciluje.

51 Příklad: 5 4 k 3 k+ 6 k =

52 Příklad: 5 4 k 3 k+ 6 k = 5 4k 6 k 3 3k 6 k = ( ) 2 k = 3 ( ) k = 2 5 2/3 = 3 /2 = 2 5 4k 6 k 3 3n 6 n = = 9 ( ) 2 k ( ) k 3 3 2

53 Řady funkcí Místo číselných posloupností uvažujeme posloupnost funkcí. Necht {f k (x)} k N {0} je posloupnost funkcí, definovaných na množině E R. f k (x) k=0 nazýváme řadou funkcí. Obor konvergence řady funkcí je množina O : x E R, pro něž je řada funkcí konvergentní, tj. existuje vlastní limita posloupnosti částečných součtů. Tuto limitu, nazývanou součtem řady značíme s(x), s(x) = f k (x), x O. k=0 Speciální případ: mocninné řady. Posloupnost funkcí f k (x) = c k (x x 0 ) k, (x 0, c k R) Speciální mocninná řada: Taylorova řada funkce.

54 Taylorova řada Taylorova věta z diferenciálního počtu: Necht je funkce, která má derivace až do řádu n v uzavřeném intervalu I, jehož krajní body jsou čísla x a x 0. Pak platí f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+ (x), n! kde R n+ (x) je Taylorův zbytek, pro který platí R n+ (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+, kde ξ I, ξ x, x 0 Definice: Necht funkce má v bodě derivace všech řádů. Mocninnou řadu f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n=0 nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0.

55 Řady elementárních funkcí Koeficienty počítáme přímým výpočtem. e x x k = k!, x R k=0 sin(x) = ( ) k x 2k+ (2k + )!, x R k=0 cos(x) = ( ) k x 2k (2k)!, x R ( + x) p = k=0 k=0 ( ) p x k, x (, ), p R (binomická řada) k

56 Struktura oboru konvergence Pro každou mocninnou řadu nastává právě jedna ze tří možností: řada konverguje pouze pro x = x 0 ; 2 řada konverguje absolutně pro všechna x R; 3 existuje kladné číslo R takové, že řada konverguje absolutně pro x x 0 < R a diverguje pro x x 0 > R Číslo R je poloměr konvergence mocninné řady; Interval I = (x 0 R, x 0 + R) je interval konvergence mocninné řady. (dodefinujeme R = 0 pro. a R = pro 2. případ )

57 Určení intervalu konvergence použitím d Alembertova kritéria ( ) k x k k=0 k, R = ( ) k x 2k+ 2k +, R = x k k!, R = k! x k, R = 0 k=0 k=0 k=0 (x 4) 3k 8 k (k + ), R = 2 k (x + 2)2k ( ) 4 k (2k + ), R = 2 k=0 k=0

58 Derivování mocninných řad Poznámka: řady k=0 c k(x x 0 ) k a mají stejný poloměr konvergence. kc k(x x 0 ) k Věta s(x) je diferencovatelná funkce na I = (x 0 R, x 0 + R) a s (x) = kc k (x x 0 ) k, x R Derivování člen po členu. Mocninné řady pro derivace se získají (v intervalu konvergence) derivováním člen po členu. Příklad x = + x + x 2 + x 3 + = pro derivaci: ( x) 2 = + 2x + 3x 2 + = x k, k=0 x (, ), (geom. ř.), kx k, x (, )

59 Integrování mocninných řad Věta x x 0 s(t)dt = k=0 c k k + (x x 0) k+, x I. Integrování člen po členu. Mocninná řada pro integrál součtu se získá (alespoň na intervalu konvergence) integrováním člen po členu. Příklad (geometrická řada s kvocientem t) + t = t + t2 t 3 + = ( ) k t k, t (, ), k=0 integrování člen po členu: x dt ln( + x) = 0 + t = t t2 2 + t3 3 t4 x = 0 = x x x 3 3 x = ( ) k x k, x (, ) k

60 Algebraické operace s mocninnými řadami Součet a součin dvou mocninných řad a součin řady s reálným číslem jsou definovány stejně jako pro číselné řady. Výsledné řady jsou opět mocninné řady. Necht řada a k (x x 0 ) k konverguje k s (x) na intervalu (x 0 R, x 0 + R ) k=0 a řada b k (x x 0 ) k konverguje k s 2 (x) na intervalu (x 0 R 2, x 0 + R 2 ). k=0 Označme R = min{r, R 2 }. Součet dvou řad je definován jako (a k + b + k)(x x 0 ) k. k=0 Tato řada konverguje k s (x) + s 2 (x) na intervalu (x 0 R, x 0 + R). Součin dvou řad je definován jako k c k (x x 0 ) k, c k = a j b k. k=0 j=0 Tato řada konverguje k s (x) s 2 (x) na intervalu (x 0 R, x 0 + R).

61 Příklady ln( + x) = = x 3 + x 2 x x x arctg x 2 x 2 = = x x x x cos x 4 e x + cos x + x

62 Použití známých rozvojů e 2x 2 cos 2x 3 e x2 4 x 2

63 Použití vzorce pro součet geometrické řady 2 4 2x 3 + 2x

64 Příklady x 0 = 0; Rozvineme do řady a určíme interval konvergence. f (x) = x 2 2 f (x) = arctg x (integrací + t 2 ) ( ) + x 3 f (x) = ln ln( + x) ln( x) x 4 sin 2 x = ( cos 2x) 2

65 Aplikace přibližný výpočet (funkčních) hodnot, např. e = e 0.5 výpočet určitých integrálů sin t dt t 0 výpočet limit např. lim x ( ( x x 2 ln )) x e x x = ( x) n = x + x 2 x 3..., (součet geom. řady: a=, q = x) n=0 2. Rozvoj ln( + x) = + x dx = x x x 3 3 x x Použijeme rozvoj ln( + x) pro ln( x ): ln ( + ( )) ( ) x = ( x x ) ( x ) 3 3 ( x ) ( x ) ) ( x 2 ln( x ( ) = x 2 ) ( x x ) ( x ) 3 3 ( x ) ( x ) x x 2 ln( x ) = x ( x 2x 2x + 2x + lim(...) = lim x 2x = 3x 2 4x 3... ) = dx

66 Ke zkoušce derivace monotonie, extrémy, konvexnost, konkávnost, asymptoty 2 integrály tabulkové úpravou 2 per-partes 3 substituce aplikace plocha 2 objem rotačního tělesa 3 Taylorova řada a její použití

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

(verze 12. května 2015)

(verze 12. května 2015) Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza

Více

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada. Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj.

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. 1 Limity posloupností 1. (a) pro a > 1 je (c) Pro β > 0 a a > 1 Tabulkové ity n! n n = 0 a n n! = 0. n β a n = 0. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. libovolně malé) ln α n n β = 0. (e)

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více