2. Základní pojmy a definice Def Uspořádaný výběr (variace) bez opakování Uspořádaný výběr (variace) s opakováním:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. Základní pojmy a definice Def Uspořádaný výběr (variace) bez opakování Uspořádaný výběr (variace) s opakováním:"

Transkript

1 2. Záladní pojmy a definice K popisu náhodných dějů (random events) nelze použít běžné matematicé prostředy (common mathematical means). Přesto vša lze náhodu vantifiovat. Souvisejícími otázami se zabývají dvě matematicé disciplíny (disciplines): teorie pravděpodobnosti (probability theory) a matematicá statistia (mathematical statistics). Teorie pravděpodobnosti řeší problém, dy určitý jev může mít řadu následů (consequences). Náhoda (accident) určuje, terý z těchto následů nastane. Matematicá statistia řeší problém opačný (opposite), dy se danému jevu určují možné příčiny (causes) a hledá se ta nejvěrohodnější (the most liely) z nich. Obě tyto disciplíny jsou založeny na dobře propracovaných matematicých teoriích (analýza, lineární algebra (linear algebra), teorie množin, teorie míry (measure theory) atd.). Přestože tyto teorie nepřinášejí v tomto případě (až na výjimy) nové postupy, dávají již známým metodám novou interpretaci (interpretation). Náplní tohoto urzu je apliace teorie pravděpodobnosti v určité oblasti projetové činnosti (design activity), de je nutno respetovat vlivy různých nejistot. Nejistota se vysytuje (occurs) ve třech záladních podobách (in three basic ways). Nastává jedna tehdy, měříme-li nějaou veličinu, nebo předpovídáme-li další závislosti z měřených dat (measured data). Chyby (errors) měření (nejistoty) se ovšem často neberou v úvahu. Další nejistota spočívá v tom, že jistá událost může či nemusí nastat, nebo nevíme, dy nastane. Jao přílad lze uvést dobu, za niž dojde výpadu transformátoru (outage of a transformer) v rozvodně. Konečně třetí nejistota je spojena s nedoonalostí často značně zjednodušených modelů, teré užíváme řešení většiny složitých technicých problémů. A nyní již přiročme e lasicé definici (classical definition) pravděpodobnosti (pochází od Laplacea (by Laplace)). Def. 02.0: Může-li vyázat určitý jev N (N onečné) různých, vzájemně se vylučujících (mutually exclusive) výsledů, teré jsou stejně možné (ať už na záladě symetrie, homogenity apod.), a má-li M těchto výsledů nevyhnutelně (inevitably) za následe realizaci jevu A, přičemž zbylých N - M výsledů tuto realizaci vylučuje, pa pravděpodobnost P, že nastane jev A, je dána vztahem (given by relation) M P( A) =. (02.0) N Tuto definici lze ovšem využít jen v omezeném množství (limited amount) případů. Nelze ji napřílad využít tehdy, jestliže: - všech možností je neonečně mnoho (N ), - výsledy nejsou "stejně" možné (pa je nutno definovat, co znamená, že nejsou "stejně" možné, a s definicí se dostáváme do uzavřeného ruhu). Z těchto důvodů nelze lasicou definici pravděpodobnosti poládat za definici matematicou. Lze ji vša v mnoha případech použít jaožto algoritmus výpočtu. V taovém případě se hodnoty N a M často určují na záladě známých ombinatoricých vzorců (combinatorial formulas), jež následují. Uspořádaný výběr (ordered selection) (variace) bez opaování (repetition): je dána supina n prvů {a,,a n }. Ze supiny se vybírá -rát po sobě po jednom prvu, a vybraný prve se už nevrací. Počet všech různých -tic, teré lze tato utvořit je n (n - ) (n - + ). Je-li = n, jedná se o permutaci (permutation): počet všech taových n-tic je n! Uspořádaný výběr (variace) s opaováním: je dána supina n prvů {a,,a n }. Ze supiny se vybírá -rát po sobě po jednom prvu, a vybraný prve se vždy před novým výběrem vrátí. Počet všech různých -tic, teré lze tato utvořit je n. - -

2 Neuspořádaný výběr bez opaování (ombinace (combination)): je dána supina n prvů {a,,a n }. Počet různých podsupin po prvcích, teré lze z této supiny vybrat, je roven n. Neuspořádaný výběr s opaováním: je dána supina n prvů {a,,a n }. Ze supiny se postupně vybere -rát po jednom prvu, terý se poté vrátí. Počet různých podsupin po n+ prvcích, teré lze tato ze supiny vybrat, je roven. Pousme se nyní vybudovat matematicý model pravděpodobnosti. Mějme N vzájemně se vylučujících výsledů (N onečné či neonečné). Označme Ω množinu všech těchto výsledů. Každý prve této množiny (označme jej ω i, i =,,N) nyní představuje jaýsi nejjednodušší jev (nazýváme jej elementárním jevem). Tyto elementární jevy nemusí být stejně možné (snadno pochopíme, představíme-li si nesymetricou ostu (unsymmetrical cube) na házení o různé veliosti stěn). Tahám artu z mariášové hry (marriage card dec). Jev, že vytáhnu žaludsé eso (club ace), je elementární. Jev, že vytáhnu jaéoli eso, již elementární není (mohu vytáhnout žaludsé, zelené (spade), ulové (diamond) či červené (heart) eso) a sestává ze čtyř elementárních jevů. Množina Ω může mít disrétní nebo spojitý (continuous) charater. V disrétní množině je aždý jev disrétní entitou (discrete entity), přičemž počet vzorů (number of samples) může být onečný či neonečný (finite or infinite). Příladem onečné disrétní množiny je množina výsledů zísaných při hodu ostou (dice rolling), příladem neonečné disrétní množiny může být množina přirozených čísel (set of the natural numbers). Ve spojité množině je vždy neonečný počet jevů (např. směr větru (wind direction), jenž se mění spojitě). Každý jev A (ať už elementární, či nioli), jehož pravděpodobnost chceme stanovit, lze pa vyjádřit jaožto podmnožinu množiny Ω. Označme δ systém všech podmnožin množiny Ω. Pravděpodobnost P bude pro nás nyní funce, terá jevům A δ přiřazuje reálná čísla P(A) ta, že P( A) 0,, P( Ω ) =, P Ai = P( Ai), (02.02) přičemž poslední rovnost nastává tehdy, jsou-li { i} i A = různé, navzájem disjuntní prvy (disjunct elements) z δ. Nyní již tedy můžeme axiomaticy definovat pravděpodobnostní model. Def : Pravděpodobnostním modelem nazýváme trojici (Ω, δ, P), de - Ω je množina všech různých, vzájemně se vylučujících výsledů (elementárních jevů ω i, i =,,N), - δ je taový systém podmnožin (subsets) množiny Ω (jevů), pro nějž platí Ω δ, A δ Ω A δ, A,..., A δ A δ, (02.03) - funce P z δ 0,, terou nazýváme pravděpodobnostní mírou, či rátce pravděpodobností, má vlastnosti (properties) P( Ω) =, P( Ω A) = P( A) = P( A), P Ai = P( Ai), (02.04) přičemž poslední rovnost nastává tehdy, jsou-li { i} i i A = různé, navzájem disjuntní prvy z δ. A je doplňový jev (complementary event) A vzhledem Ω

3 K předchozí definici ještě dvě poznámy (remars). Každý systém δ, terý splňuje podmíny (02.03), nazýváme σ-algebrou (systém δ přitom vůbec nemusí obsahovat všechny podmnožiny množiny Ω, ale jen něteré). Rovnice (02.04) může splňovat celá řada funcí, avša jen jedna z nich odpovídá dané realitě (corresponds to the given reality). Z předchozí definice oamžitě plynou tyto důsledy: platí-li pro dva jevy AB, δ relace A B, pa P ( A ) PB ( ), platí-li pro dva jevy AB, δ relace A B, pa PB ( A) = PB ( ) P( A), pro libovolné dva jevy AB, δ platí P( A B) = P( A) + PB ( ) P( A B) Dále lze využít obecnější de Morganovy formule ve tvaru ( ) ( ). (02.05) A A2... An = A A2... An, A A2... An = A A2... An (02.06) a vztah n n n P Ai = P( Ai) P( Ai Aj) ( ) P( A... An). (02.07) Abychom mohli počítat pravděpodobnosti výsytu různých jevů, musíme ještě umět určovat pravděpodobnost elementárních jevů. Tuto pravděpodobnost lze určovat buď subjetivně (subjectively) (intuice (intuition), předchozí zušenosti), nebo prováděním experimentů (by performing experiments). Nejintuitivnější způsob přiřazování pravděpodobnosti určitým jevům je prostřednictvím relativní četnosti (relative frequency). Představme si, že testujeme N vzorů, z nichž M vyhovuje našim požadavům (jev A). Pa poměr M/N určuje relativní četnost jevu A. Pro N rostoucí do neonečna pa lze tuto relativní četnost nazvat pravděpodobností P(A). Tedy M P( A) = lim. (02.08) N N Tento způsob určování pravděpodobnosti se jeví jao přijatelný (zejména poud se nejedná o destrutivní zoušy (destructive tests)) a úzce souvisí s její lasicou definicí. Problémem bývá sutečnost, že něteré jevy se vysytují extrémně zřída (extremely rarely). Zde se velmi obtížně hovoří o relativní četnosti (nelze o nich dost dobře ani uvažovat). Přesto vša se souvisejícími nejistotami musíme počítat. Uvažujme napřílad problém, terý musí řešit projetant ochran (protection device designer), terý potřebuje odhadnout pravděpodobnost, že vypínač nesepne, dyž má. Ačoli se jedná o velmi řídý jev, občas se přihodí. Pa lze vzít v úvahu subjetivní pravděpodobnost, terou je jeho víra (belief), že jevu může dojít. Další alternativou, ja definovat pravděpodobnost, je nezáporná míra (non-negative measure) spojená s libovolným jevem, terá má určité vlastnosti a splňuje určitá pravidla (certain rules). To vša již patří do sofistiovanější (more sophisticated) matematicé teorie. Přílad 2. Část bezpečnostního systému (safety system) jaderné eletrárny sestává ze čtyř dieselagregátů (diesel generator) pro dodávu energie pro dvě vodní čerpadla (water pumps) v případě nouze (emergency). Ve sutečnosti vša pracují vždy jen dva dieselagregáty. Nechť i označuje počet pošozených (damaged) agregátů a j počet pošozených čerpadel. Množina Ω { Aij : i = 0234,,,, ; j = 02,, } pa obsahuje i j elementárních jevů, de A ij označuje jev současné poruchy i agregátů a j čerpadel. Nyní lze specifiovat dílčí jevy: A, A, A, A, A, A, - nejvýše jeden agregát je v provozu: { } - právě jedno čerpadlo je v provozu: { A, A, A, A, A },

4 - počet porouchaných částí je menší než 3: {,,,,, } A A A A A A Přílad 2.2 Při plánování přenosových tras se využívá záznamů o počasí (weather records), teré obsahují rychlost větru a jeho směr v oblasti, de bude trasa vybudována. Trasa bude zbudována ze severozápadu (north-west) na jihovýchod (south-east). Vítr může vát (blow) z východu až ze severu (0-90 ) a jeho rychlost se mění od 0-90 m/hod. Návrhář potřebuje znát následující pravděpodobnosti: - že rychlost větru bude vyšší než 70 m/hod, - že směr větru (wind direction) se bude pohybovat v intervalu -5 až 5 od olmice (perpendicular line) vedení. V tomto případě se jedná o dva jevy a příslušný prostor (sample space) bude sestávat ze všech možných dvojic (pairs) směrů větru a jeho rychlosti. Nás vša zajímají tyto jevy jednotlivě. Poud je pravděpodobnost všech směrů a všech rychlostí stejná, je pravděpodobnost, že rychlost větru bude vyšší než 70 m/hod (90-70)/90 = 2/9 a pravděpodobnost, že vítr bude fouat z daného směru 0/90 = /9 (uvažujeme desetistupňovou oblast, přičemž celový rozsah (total range) je 90, viz obr. 2.). N E m/hod RYCHLOST VĚTRU PŘENOSOVÁ TRASA 90 0 SMĚR VĚTRU Obr. 2.: K příladu 2.2 Přílad 2.3 Stova dřevěných stožárů (wood poles) byla podrobena destrutivním testům, aby se zjistil jejich modul v lomu (modulus of rupture). Výsledy jsou v tabulce: jev modul v lomu počet pozorování četnost A A A A Poud by bylo dispozici více vzorů, mohlo by být jevů více (i s modulem nižším než 2.0 či vyšším než 6). Nyní vša můžeme usoudit, že jejich počet by zřejmě nebyl příliš velý. Pravděpodobnost, že modul nebude menší než 4 nyní odhadneme na (43 + 5)/00 = 0.58 (ve sutečnosti (in fact) se jedná o četnost pro případ 00 vzorů). Přílad 2.4 Uvažujme eletrárnu sestávající ze čtyř parních jednote (steam units). Množina Ω sestává z počtu porouchaných (damaged) jednote. Tedy - 4 -

5 { 0234,,,, } Ω =. Jestliže A je jev, dy alespoň jedna jednota pracuje (elementární jevy {0,,2,3}), a A 2 je jev, A A 023,,,, A A 0,. dy alespoň 3 jednoty pracují (jevy {0,}), je { } { } 2 2 Přílad 2.5 Testy napěťové odolnosti (voltage endurance) izolátorů (0 usů v rabici) byly prováděny tímto způsobem, že z aždé rabice byly vyzoušeny dva náhodně vybrané izolátory (randomly taen insulators). Poud byly oba dobré, rabice byla přijata (accepted). Je třeba nalézt pravděpodobnost, že rabice bude přijata, obsahuje-li ( = 0,,8) vadných (substandard) izolátorů. Množina Ω obsahuje všechny dvojice izolátorů v rabici. Těchto dvojic (neuspořádaný výběr bez opaování - ombinace) je 0 = 45. V rabici po úspěšné ontrole může ovšem 2 zůstat špatných izolátorů (failed insulators). Počet dobrých izolátorů v rabici je pa 0 -, a počet dobrých dvojic je (0 - ) (9 - )/2. Ostatní jsou nepříznivé (unfavourable). V dalším je uvedena příslušná tabula (table). = počet dobrých dvojic počet špatných dvojic pravděpodobnost Ta napřílad u rabice, v níž jsou 2 špatné izolátory, je pravděpodobnost jejího přijetí (je příliš vysoá, a proto tuto metodu nelze poládat za přijatelnou). Přílad 2.6 Předpoládejme, že generátor může selhat buď v důsledu poruchy na svorách (fault at the terminals), nebo v důsledu poruchy v obvodu buzení (excitation circuit). Nechť A a B označují tyto poruchové jevy. Předpoládejme, že P(A) = p, P(B) = q a pravděpodobnost, že oba jevy nastanou současně P(Α Β) = r. Je třeba určit: - jev, že generátor selže výlučně (exclusively) v důsledu poruchy na svorách je =, odud ( ) ( ) ( ) E A B P A B = P A P A B = p r, - jev, že generátor vůbec neselže (will not fail) v důsledu žádné poruchy, je F = A B= ( A B), a protože P( A B) = P( A B) = PA ( ) PB ( ) + PA ( B) = p q+ r, - jev, že generátor selže v důsledu právě jedné poruchy (exactly one fault): G = ( A B) ( A B) a P( G) = P( A B) + P( A B) P( A B A B) = q r+ p r = p+ q 2r. Podmíněná pravděpodobnost (conditional probability) a nezávislost jevů Často nás zajímá odhad pravděpodobnosti jevu současně se znalostí, zda mohl nastat (occur) ještě i jiný jev (nebo nemohl nastat). Chceme napřílad odhadnout pravděpodobnost, že systém zůstane stabilní (stable) za předpoladu, že na onrétním vedení vznine trojfázový zrat (three-phase fault). Tato pravděpodobnost bude jistě jiná, poud by tento zrat byl jednofázový (one-phase fault)

6 Def : Nechť A a A 2 jsou dva jevy z množiny Ω a nechť P(A 2 ) > 0. Podmíněnou pravděpodobnost, že nastane A (nastal-li již jev A 2 ), označujeme P(A A 2 ) a tato pravděpodobnost znamená, že se realizuje jev A, terý patří do A 2. To znamená, že pravděpodobnost jevu A vztahujeme na (relate to) pravděpodobnost A 2. Je tedy P( A A2) P( A A2) =, P( A2 ) taže P( A A2) = P( A A2) P( A2). (02.09) Následující vlastnosti podmíněných pravděpodobností lze snadno odvodit z definice (may easily be derived from the definition). P A B,, (02.0) ( ) 0 ( ) B A P A B =. (02.) Def : Úplným souborem (complete set) jevů nazýváme onečnou množinu B,..., B δ taovou, že platí { } n Bi Bj = pro i j, P( Bi) > 0 pro i, n n P Bi = P( Bi) =. (02.2) Nyní již lze vyslovit větu: Věta 02.0 (o úplné pravděpodobnosti): Nechť { B,..., Bn} δ je úplný soubor jevů. Nechť A δ je libovolný jev. Pa n P( A) = P( A Bi) P( Bi). (02.3) Věta (Bayesova): Nechť { } jev. Pa pro =,,n platí ( A) P B B,..., B δ je úplný soubor jevů, A δ je libovolný n ( ) P( B) P( A) P A B =, (02.4) de P(A) je dáno vztahem (02.3). Vsutu (indeed), P( B A) P( A) = P( A B) P( B) = P( A B). Def : O jevech A a A 2 říáme, že jsou nezávislé (independent), jestliže P( A A2) = P( A) P( A2). (02.5) Jevy jsou nezávislé, jestliže výsyt jednoho nemá vliv na výsyt (occurrence) druhého. Z předchozích vztahů lze odvodit, že P( A... An) = P( A) P( A2 A) P( A3 A A2)... P( An A A2... An ) (02.6) a poud jsou jevy nezávislé, platí P( A... An) = P( A) P( A2) P( A3)... P( An). (02.7) Pozor, jsou-li jevy A a B na sobě nezávislé, nemohou být disjuntní a naopa. Přílad 2.7 Uvažujme 50 m dlouhé venovní vedení, teré prochází homogenním terénem (uniform terrain). Porucha může vzninout v jeho libovolném bodě (at any point). Porucha, terá vznine blízo onců vedení, má ovšem daleo závažnější (more severe) důsledy, než porucha ve střední oblasti (middle section). Definujme dva následující jevy: A - porucha nastane do 40 m od once (nebezpečná) a B - porucha nastane ve střední části o délce 90 m (méně nebezpečná (less dangerous), na aždé straně nastává 0 m přesah). Je zřejmé, že P(A) = - 6 -

7 80/50, P(B) = 90/50. Předpoládejme nyní, že nastal jev B a určeme pravděpodobnost, že nastal současně v uvedeném 0 m přesahu. Chceme tedy zjistit podmíněnou pravděpodobnost P( A B) P( A B) = = =. P B ( ) Přílad 2.8 Předpoládejme, že pravděpodobnost poruchy přenosové trasy mezi dobami (times) t a t 2 je dána funcí t t F( t, t2) = e dt. t Je třeba určit - pravděpodobnost, že poruše nedojde prvních tisíc hodin: rovná se - F(0,000) = t - e = + e - - = /e. 0 - pravděpodobnost, že nedojde poruše mezi 000 a 3000 hodinou provozu (operation), nenastala-li porucha během prvních 000 hodin: jedná se o podmíněnou pravděpodobnost, přičemž označíme A jev, dy nedošlo poruše během prvních 000 hodin a B jev, dy nedojde poruše ani v dalších 2000 hodinách. Jev Α Β pa označuje, že poruše nedošlo během prvních 3000 hodin. Pa 0. 00t 3000 ( ) e 3 P B A + 0 e 2 P( B A ) = = = = e. 000 P( A) 0. 00t + e e 0 Přílad 2.9 U daného typu izolátoru se může objevit výrobní vada (production fault) s pravděpodobností p = 0.0. Dostane-li se taový izolátor do provozu, je pravděpodobnost, že během záruční doby (period of guarantee) dojde jeho poruše q 2 = 0.08, zatímco u zdravých výrobů je tato pravděpodobnost q = Je třeba určit pravděpodobnost, že izolátor, jenž se během záruční doby porouchá, měl uvedenou výrobní vadu. Označme B izolátory bez vady a B 2 izolátory s vadou. Dále označíme A izolátory, teré se pošodí během záruční doby. Podle Bayesovy věty platí: P( A B2) P( B2) q2 p P( B2 A) = = = P( A B) P( B) + P( A B2) P( B2) q ( p) + q2 p = = = Přílad 2.0 Operátor řízení systému (system control operator) odhaduje, že denně v něm může dojít až pěti poruchám, a to při těchto pravděpodobnostech: - žádná porucha - P = (jev B ), - jedna porucha - P = 0.7 (jev B 2 ), - dvě poruchy - P = 0. (jev B 3 ), - tři poruchy - P = 0.05 (jev B 4 ), - čtyři poruchy - P = 0.00 (jev B 5 ), - pět poruch - P = (jev B 6 ). Přitom se odhaduje, že s 50% pravděpodobností bude porucha trvat dlouho, tzn. že příslušná část systému se bude muset opravit (repair). Je třeba nalézt pravděpodobnost, že během dne nastanou nejvýše dvě poruchy trvalejšího charateru (of permanent character)

8 Označme B až B 6 příslušné navzájem se vylučující jevy množství poruch a A je jev, dy jsou nejvýš (no more than) dvě poruchy trvalého charateru. Podle věty o úplné pravděpodobnosti lze psát 6 ( ) = ( i) ( i) P A P A B P B a nyní nezbývá než určit jednotlivé hodnoty P(A B i ). Platí: P(A B ) = (nedojde-li poruše, nemůže mít žádná z nich trvalý charater), P(A B 2 ) = (dojde-li jen jedné poruše, nemohou mít více než dvě trvalý charater), P(A B 3 ) = (dojde-li e dvěma poruchám, rovněž nemohou mít více než dvě trvalý charater), P(A B 4 ) již musíme spočítat. Dochází zde e třem poruchám. Z toho 3 poruch mohou být 0 3 rátodobé, v případě poruch může být trvalá, v případě 3 poruch dvě 2 3 trvalé a v případě poruch tři trvalé (zde už jsme mimo hru). Odtud P( A B4 ) = = Podobně P( A B5 ) = = a P( A B6 ) = = = Po dosazení do (after substituting into) vztahu pro P(A) vychází: P(A) = / / / = Přílad 2. Má se rozhodnout, jaý typ spojení (communication lin) má být zřízen mezi rozvodnou a řídicím středisem (control centre). Možnosti jsou následující: a) využití stávající telefonní liny (telephone line) pro přenos řídicích signálů (control signals) (jev B ), b) vybudování liny na bázi optoabelu (fibre optic lin) (jev B 2 ), c) využití mirovlnného přenosu (microwave transmission) (jev B 3 ). S ohledem na spolehlivost a cenu mají alternativy a), b) a c) šance přijetí :2:3. Svou roli ovšem hraje i čas. Rozhodneme-li se pro alternativu a) bude připravena včas na 00%. Alternativa b) pouze na 75% a c) na 80%. Nyní je třeba zodpovědět tyto otázy: - jaá je pravděpodobnost, že spojení bude hotovo včas? - bude-li spojení hotovo včas, jaá je pravděpodobnost, že to bude telefonní lina? - 8 -

9 - poud nebude zvolena telefonní lina, jaá je pravděpodobnost, že se zvolí mirovlnný systém? Je zřejmé, že s ohledem na spolehlivost a cenu je pravděpodobnost pořízení alternativy a) P(B ) = /6, b) P(B 2 ) = 2/6 = /3 a c) P(B 3 ) = 3/6 = /2. Jev, že spojení bude zajištěno včas, označme A a jeho pravděpodobnost můžeme určit z věty o úplné pravděpodobnosti P( A) = P( A Bi) P( Bi) = + + = Pravděpodobnost, že se spojení realizuje prostřednictvím telefonní liny, spočteme z Bayesovy věty (the Bayes Theorem) P( A B) P( B) P( B A) = = 6 = P( A) Nebude-li zvolena telefonní lina a šance na výběr mezi opticým abelem a mirovlnným zařízením zůstane 2:3, pa pravděpodobnost, že bude vybráno mirovlnné zařízení, je 3 = (v tomto případě jsme ovšem nehleděli na časový fator (time factor)). Přílad 2.2 Byl objednán (ordered) soubor nových distančních ochran (distance protections). Existují tři dodavatelé (suppliers) X, Y a Z. Testy těchto ochran, týající se jejich nastavení (setting), uázaly, že: nastavení ochran od dodavatelů X a Y je s 5% pravděpodobností mimo povolené rozmezí (allowable range), u relé od dodavatele Z s 0% pravděpodobností. Dodávy o stejném množství ochran (n > 3) od dvou z těchto dodavatelů putovaly do oblasti, v níž 4 z nich byly instalovány na trasu. Během jejich provozu se přišlo na to, že právě jedna ochrana byla špatně nastavena. Je třeba určit pravděpodobnost, že jedním z dodavatelů je právě Z. Označme jev B, že dodáva (delivery, shipment) byla realizována firmami X a Y a B 2 že byla realizována (realised) firmami X a Z nebo Y a Z. Pa P(B ) = /3 a P(B 2 ) = 2/3. Označme jev, dy právě jedno relé ze 4 je nastaveno špatně, jao A. Pravděpodobnost, že právě jedno špatné relé je od firem X a Y je (z binomicého rozvoje) = 0.75, je-li od firem X a Z nebo Y a Z, je střední pravděpodobnost, že relé je špatně nastaveno, 7.5% a pravděpodobnost, že od těchto firem pochází je pa = Podle věty o úplné pravděpodobnosti je 2 2 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = = a podle Bayesovy věty 2 P( A B2) P( B2) P( B2 A) = = 3 = P A ( ) Přílad 2.3 Z důvodů vysoých náladů (high costs, large expenditures) se ontroluje napájecí abel (feeding cable) pro silnoproudý rozvod. Jeden z hlavních parametrů ovlivňujících zatížitelnost abelu (cable ampacity) je tepelná vodivost půdy (soil thermal resistivity). Z literatury - 9 -

10 se zjistilo, že materiál, jímž se abel zasypává (bacfill material), má vyšší tepelnou vodivost, než se předpoládá v návrhu. Poud je tomu ta, zatížitelnost abelu může vzrůst a poládu silnějšího (a taé dražšího) abelu lze odložit (postpone), což může přinést výrazné úspory (significant savings). Pravděpodobnost, že materiál má vyšší tepelnou vodivost, je 0.7 (a nižší 0.3). Ovšem naopa (on the contrary), je-li tato hodnota nižší, než se předpoládá, měl by se abel nahradit (the cable should be replaced). Proto bylo rozhodnuto zajímat se o to, na čem závisí tepelná vodivost půdy. Uazuje se, že hlavně na vlhosti (moisture) a ompatnosti (compactness). I dyž měření se plánují v nejsušším (the driest) měsíci, lze usuzovat, že parametry půdy budou ovlivněny výběrem vzorů, dopravou (transport) a měřením. Je-li sutečná tepelná vodivost půdy nízá, je z 80% nízá i změřená vodivost (a vysoá 20%). Na druhé straně, poud je sutečná vodivost vysoá, potvrdí ji testy v 70% (a ve 30% nepotvrdí). Předpoládejme, že výsledy testů naznačily nízou tepelnou vodivost. Má se nalézt pravděpodobnost toho, že tato vodivost je sutečně nízá. Označme B jev, dy je sutečná tepelná vodivost nízá a B 2 jev, dy je vysoá. Nechť A je jev, že změřená vodivost je nízá. Tedy P(A B ) = 0.8, P(A B 2 ) = 0.3, P(B ) = 0.3, P(B 2 ) = 0.7. Pa P(A) = = Podle Bayesovy věty P( A B) P( B) P( B A) = = = P( A) 045. Poněvadž projetant vidí, že pravděpodobnost, že vodivost je nižší, se zvýšila (taé zřejmě díy atmosféricým podmínám (atmospheric conditions) v době testu), provede další test, přičemž vyšly stejné hodnoty P(A B ) = 0.8, P(A B 2 ) = 0.3. Nyní vša už uvažuje P(B ) = 0.533, P(B 2 ) = Po opaovaném výpočtu zjistí, že P( A B) P( B) P' ( B A) = = P A Přílad 2.4 Plánuje se výstavba (building) eletrárny se třemi jednotami. Časový horizont (horizon) je 0 let. Vzhledem mnoha nejistotám, jež se mohou objevovat během schvalování (approval process), dodáve materiálu (shipment of material) a zařízení (equipment) může dojít různým posuvům doby zahájení provozu. Za 0 let tedy: - aždý generátor bude definitivně v provozu (jev A), - aždý generátor může být v provozu (in service) (jev B), - aždý z generátorů bude ještě mimo provoz (not in service) (jev C). Je třeba popsat všechny možné situace jednotlivých generátorů za 0 let a určit pravděpodobnost, že alespoň dva generátory budou definitivně za 0 let v provozu za předpoladu, že všechny stavy jsou přibližně stejně pravděpodobné. Označme A generátor po 0 letech v provozu, N generátor mimo provoz ( ) Gen. Gen. 2 Gen. 3 A A A A N A A A N A N N N A A N A N N N A N N N - 0 -

11 Počet různých ombinací stavů n = 8. Počet ombinací m, de se objevují alespoň 2 stavy typu A, je 4. Hledaná pravděpodobnost je tedy 4 P = = Přílad 2.5 Na venovním vedení dojde jedné poruše za ro s 30% pravděpodobností a e dvěma poruchám s 0% pravděpodobností. Pravděpodobnost, že dojde více poruchám, je zanedbatelná. Dojde-li poruše, je pravděpodobnost 0.2, že bude trvalého (permanent) charateru (znovuzapnutí (re-switching on) tuto poruchu neodstraní (remove)). Výpady jsou na sobě nezávislé. Je třeba určit - jaá je pravděpodobnost, že během rou nenastane žádná trvalá porucha na vedení, - poud je zátěž napájena dvěma taovými vedeními (přičemž stačí jedno), jaá je pravděpodobnost, že dojde trvalému přerušení dodávy? Předpoládejme, že nastane-li na jednom vedení trvalejší porucha, na druhém vznine trvalejší porucha s pravděpodobností 0.5. Jev B (0 poruch za ro) - P(B ) = 0.6, jev B 2 ( porucha za ro) - P(B 2 ) = 0.3, jev B 3 (2 poruchy za ro) - P(B 3 ) = 0., jev A - během rou na vedení nenastane žádná trvalejší porucha. Podle věty o úplné pravděpodobnosti platí P( A) = P( A Bi) P( Bi) 3, přičemž P(A B ) = (nedojde-li vůbec poruše, nemůže být žádná trvalá), P(A B 2 ) = 0.8 (dojde-li poruše, není trvalá s pravděpodobností 0.8), P(A B 3 ) = 0.64 (dojde-li e dvěma poruchám, pravděpodobnost, že žádná z nich není trvalá, je = 0.64). Pa P(A) = = Pravděpodobnost, že během rou dojde alespoň jedné dlouhodobé poruše na jednom vedení, je naopa rovna - P(A) = = Poud máme dvě taová vedení, pravděpodobnost, že dojde dlouhodobé poruše na obou z nich je = Pravděpodobnost, že nim dojde současně je = Přílad 2.6 Zátěž, terá je napájena ze dvou paralelně provozovaných transformátorů, může podléhat (subject) výrazným flutuacím (fluctuations). Transformátory jsou navrženy ta, aby aždý z nich byl schopen porýt (cover) celou zátěž po 90% doby, dy je druhý transformátor mimo provoz (out of operation). Pravděpodobnost poruchy aždého z transformátorů je 0.05 a pravděpodobnost, že se porouchají současně je 0.0. Je třeba stanovit celovou spolehlivost systému (pravděpodobnost dodávy). Pravděpodobnost, že oba transformátory pracují bez poruchy je p = = Pravděpodobnost, že jeden z nich nebo oba jsou porouchané, je p 2 = p = = , z toho je pravděpodobnost p 3 = 0.0, že se porouchají současně a p 4 = pravděpodobnost, že ne současně (ale zdravý vydrží jen 90% doby výpadu porouchaného). Dodáva se tedy udrží s pravděpodobností p + p = Přílad 2.7 Analýza poruch na venovním vedení uazuje, že jednofázové zraty (one-phase faults) J jsou třirát častější než dvojfázové D a ty jsou čtyřirát častější než trojfázové T. Poměr - -

12 četností je tedy J:D:T = 2:4: a tedy P(J) = 2/7, P(D) = 4/7 a P(T) = /7. Jaá je pravděpodobnost, že vysytne-li se vícefázový zrat, že se jedná o zrat trojfázový? 7 P = = = Přílad 2.8 Doba potřebná pro opravu pošozeného vedení (restore of a damaged line) po alamitě (calamity) je 2 až 3 dny, přičemž pravděpodobnost, že oprava potrvá 2 dny je dvarát větší, než 3 dny. Počet poruch v systému po alamitě je taé různý a z pozorování plyne, že počet pošozených vedení počet pozorování relativní četnost celem 20 Předpoládejme, že je dispozici jediná montážní četa (repair crew) a že doba opravy vedení (repair time) nezávisí na počtu poruch, teré na něm nastaly. Je třeba určit: - Jaá je pravděpodobnost, že ještě pět dní po alamitě něteré vedení nebude fungovat? - V jednom dni vznila dvě tornáda (tornadoes). Po ranním byla pošozena dvě vedení a začala se hned opravovat. Po večerním tornádu byla pošozena další lina. Jaá je pravděpodobnost, že vše bude opraveno do 7 dnů? Označme B jev, dy není pošozeno žádné vedení - P(B ) = 0., B 2 jev, dy je pošozeno jedno vedení - P(B 2 ) = 0.25, B 3 jev, dy jsou pošozena dvě vedení - P(B 3 ) = 0.4, B 4 jev, dy jsou pošozena tři vedení - P(B 4 ) = 0.5 a B 5 jev, dy jsou pošozena čtyři vedení - P(B 5 ) = 0.. Dále označme písmenem A jev, dy za 5 dní po alamitě nebude něteré vedení ještě fungovat. Pa: P( A B ) = 0 ( nebylo pošozeno ani jedno vedení), P( A B2 ) = 0 ( jedno vedení se opraví nejvýše do tří dnů), P( A B3 ) = = ( dvě vedení se opraví za více než 5 dní s pravděpodobností ), P A B = ( tři vedení se opraví minimálně za 6 dní), ( 4 ) ( ) P A B = ( čtyři vedení se opraví minimálně za 8 dní). 5 Odtud (viz věta o úplné pravděpodobnosti) 5 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = = Po prvním tornádu byla pošozena 2 vedení. Po druhém tornádu bylo pošozeno další vedení, ale toto vedení mohlo být už jednou pošozeno předcházejícím tornádem. Celově - 2 -

13 tedy mohla být pošozena 2 vedení (jev B ), nebo 3 vedení (jev B 2 ). Označme písmenem A jev, dy všechno bude opraveno do sedmi dnů. Pravděpodobnost, že byla pošozena 2 nebo 3 vedení (tedy jevů B a B 2 ) je 0.5 (po prvním tornádu jsou dvě vedení pošozená a dvě zdravá, a pravděpodobnost, že druhé tornádo zasáhne zdravou či pošozenou linu, je proto stejná). Pa: P A B = ( dvě vedení se opraví nejvýše za 6 dní), ( ) P( A B2 ) = + 3 = oprava všech tří vedení zabere nejvýš 7 dní ( ). Odtud (viz věta o úplné pravděpodobnosti) 2 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = = Přílad 2.9 Dva systémy A a B jsou propojeny přenosovou trasou (transmission lin) s přenositelným výonem (capacity) 50 MW. Pravděpodobnost poruchy této trasy je Systém A sestává z pěti 40 MW jednote, z nichž aždá se může porouchat s pravděpodobností 0.0 a jedné 60 MW jednoty (pravděpodobnost poruchy 0.05). Špičové zatížení (pea load) systému je 80 MW. Systém B sestává ze tří 25 MW jednote (pravděpodobnost poruchy 0.) a má špičové zatížení 65 MW. Je třeba určit: - Pravděpodobnost, že zátěž přesáhne (exceeds) vyrobený výon ja v systému A, ta v B za předpoladu, že nejsou propojeny. - Stanovte výhodu propojení (interconnection) v místě B za předpoladu, že v případě nedostatu výonu (lac of power) v systému B systém A vypomůže. Samostatný systém A: výroba dodá požadovaný výon, jestliže - pracuje všech 6 jednote (p = = ), - pracuje 5 jednote po 40 MW, jednota 60 MW nepracuje (p = = ), - pracují 4 jednoty po 40 MW i jednota 60 MW (p = = ), - pracují 3 jednoty po 40 MW i jednota 60 MW (p = = ). Systém A nedodá požadovaný výon s pravděpodobností = Samostatný systém B: zátěž přesáhne vyrobený výon, jestliže pracují jen dvě jednoty, jedna jednota, nebo žádná jednota. - pravděpodobnost, že pracují dvě jednoty: = 0.243, - pravděpodobnost, že pracuje jedna jednota: = 0.027, - pravděpodobnost, že nepracuje žádná jednota: 0. 3 = Pravděpodobnost, že systém B nedodá požadovaný výon, je = Existuje-li propojení, pa požadovaný výon v místě B (65 MW) můžeme dostat jao: - výon jednoho blou 25 MW a výon do 50 MW dodaný vedením (p = = ), - výon dvou bloů 25 MW a výon do 50 MW dodaný vedením (p = = ), - výon tří bloů 25 MW bez vedení (p = = 0.009), - výon tří bloů 25 MW s vedením (p = = 0.78). Pravděpodobnost, že systém B nedodá požadovaný výon, je = Je zřejmé, že spolehlivost systému se výrazně zvýší

14 Při velmi přesném výpočtu bychom ještě museli stanovit, s jaou pravděpodobností systém A opravdu dodá výon 40 MW do vedení. Tato pravděpodobnost se vša již velmi blíží (approaches) (pracuje alespoň jedna jednota 40 MW, p = ), taže ji není třeba do výpočtu zahrnout

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno 7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a záladní vzdělávání Jaroslav Švrče a oletiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematia a její apliace Tematicý oruh: Práce s daty ombinatoria

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2013 22-4-14 Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou rezistorů/apacitorů v analogové řídicím

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů inové transformátory inové transformátory Při požadavu na transformaci impedancí v široém frevenčním pásmu, dy nelze obsáhnout požadovanou oblast mitočtů ani široopásmovými obvody, je třeba použít široopásmových

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

pracovní verze pren 13474 "Glass in Building", v níž je uveden postup výpočtu

pracovní verze pren 13474 Glass in Building, v níž je uveden postup výpočtu POROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO A NUMERICKÉHO VÝPOČTU NOSNÉ KONSTRUKCE ZE SKLA Horčičová I., Netušil M., Eliášová M. Česé vysoé učení technicé v Praze, faulta stavební Anotace Slo se v moderní architetuře stále

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Transformátory. Mění napětí, frekvence zůstává

Transformátory. Mění napětí, frekvence zůstává Transformátory Mění napětí, frevence zůstává Princip funce Maxwell-Faradayův záon o induovaném napětí e u i d dt N d dt Jednofázový transformátor Vstupní vinutí Magneticý obvod Φ h0 u u i0 N i 0 N u i0

Více

Před zahájením vlastních výpočtů je potřeba analyzovat konstrukci a zvolit vhodný návrhový

Před zahájením vlastních výpočtů je potřeba analyzovat konstrukci a zvolit vhodný návrhový 2 Zásady navrhování Před zahájením vlastních výpočtů je potřeba analyzovat onstruci a zvolit vhodný návrhový model. Model musí být dostatečně přesný, aby výstižně popsal chování onstruce s přihlédnutím

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace nalýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X j F j x, je omplexní číslo r e r e Oboustranná

Více

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah PRVOČÍSLA Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah. Elementární úlohy o prvočíslech 2. Kongruence 2 3. Algebraicé rovnice a polynomy 3 4. Binomicá a trinomicá věta 5 5. Malá Fermatova věta 7 6. Diferenční

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistia Přílady a otázy Petr Hebá a Hana Salsá GAUDEAMUS 2011 Autoři: prof. Ing. Petr Hebá, CSc. Autoři: prof. RNDr. Hana Salsá, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Tatiana Gavalcová, CSc.

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

Dimenzování silnoproudých rozvodů. Návrh napájecího zdroje., obvykle nepracují zároveň při jmenovitém výkonu

Dimenzování silnoproudých rozvodů. Návrh napájecího zdroje., obvykle nepracují zároveň při jmenovitém výkonu Dimenzování silnoproudých rozvodů Návrh napájecího zdroje Supina el. spotřebičů P i Pn, obvyle nepracují zároveň při jmenovitém výonu činitel současnosti Pns s P n P ns současně připojené spotřebiče činitel

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako

V této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 8 Kovariantní vnější derivace V této seci zobecníme vnější alulus z apitoly 4 operaci vnějšího součinu a vnější derivace na obecnější tenzorové

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků

Využití expertního systému při odhadu vlastností výrobků Vužití epertního sstému při odhadu vlastností výrobů ibor Žá Abstrat. Článe se zabývá možností ja vužít fuzz epertní sstém pro popis vlastností výrobu. Důvodem tohoto přístupu je možnost vužití vágních

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické 1 Šifrování Kryptografie Každý z nás si určitě umí představit situaci, dy je důležité utajit obsah posílané zprávy ta aby ho byl schopen přečíst jen ten omu je určená a nido nepovolaný nebyl schopen zjistit

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování

Více

Příloha č. 1 Část II. Ekonomika systému IDS JMK

Příloha č. 1 Část II. Ekonomika systému IDS JMK Příloha č. 1 Část II. Eonomia systému IDS JMK Květen 2011 Eonomia systému IDS JMK I. EKONOMICKÉ JEDNOTKY Pro účely dělení výnosů je rozděleno území IDS JMK do eonomicých jednote tvořených supinami tarifních

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost

Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku 6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření..

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

ELEKTROTECHNICKÁ MĚŘENÍ PRACOVNÍ SEŠIT 2-1

ELEKTROTECHNICKÁ MĚŘENÍ PRACOVNÍ SEŠIT 2-1 ELEKTOTECHNCKÁ MĚŘENÍ PACOVNÍ SEŠT 2-1 Název úlohy: Cejchování a ontrola ampérmetru Listů: 5 List: 1 Zadání: Proveďte ověření předloženého ampérmetru. Změřte a stanovte: a, Absolutní chybu, relativní chybu

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme

Více