MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2015 KATEŘINA KŘÍŽOVÁ

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2015 KATEŘINA KŘÍŽOVÁ

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Hyperbola Bakalářská práce Kateřina Křížová Vedoucí práce: RNDr. Jan Vondra, Ph.D. Brno 2015

3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Kateřina Křížová Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Hyperbola Informatika a druhý obor Studijní obor: Informatika a druhý obor, Matematika se zaměřením na vzdělávání Vedoucí práce: RNDr. Jan Vondra, Ph.D. Akademický rok: 2014/2015 Počet stran: x + 78 Klíčová slova: hyperbola; kuželosečky; tečna; sečna; ohniskové vlastnosti; analytická geometrie; konstrukce hyperboly; konstrukční příklady; využití hyperboly

4 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Kateřina Křížová Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Hyperbola Informatics with another discipline Informatics with another discipline, Mathematics with a view to Education RNDr. Jan Vondra, Ph.D. Academic Year: 2014/2015 Number of Pages: x + 78 Keywords: hyperbola; conic sections; tangent; secant; focal properties; analytic geometry; construction hyperbola; construction examples; usage of hyperbola

5 Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá vlastnostmi hyperboly. Hyperbola je nejčastěji chápána jako množina bodů s určitými parametry. Tato práce si klade za cíl ukázat hyperbolu i jako graf funkce, či řez kuželové plochy. Je rozdělena do čtyř kapitol. První se věnuje nejzákladnějším pojmům. Může sloužit pro procvičení termínu a osvojení základních znalostí o hyperbole. Druhá kapitola je věnována analytickým příkladům a slouží jako kontrola pochopení látky z první kapitoly. Kapitola třetí je stěžejní částí bakalářské práce. Obsahuje souhrn konstrukcí hyperboly, řešené i neřešené konstrukční příklady, jejichž řešením je hyperbola se zadanými vlastnostmi. Závěrečná kapitola se zabývá problematikou využití hyperboly v praxi, nejčastěji v technických oborech, kde má své velké uplatnění. Abstract This bachelor thesis deals with hyperbola properties. Hyperbola is mostly understood as a set of points with specific behavior. The goal of this theses is to show the hyperbola as the graph of a function or cone surface too. The thesis is divided into four chapters. First chapter pursues the basic concepts. It can be used as term exercise and it can be used for absorption of basic knowledge about hyperbola. Second chapter is dedicated to analytic exercises and is conceived as the check of understanding of the first chapter. Third chapter is crucial part of this bachelor thesis. It contains summary of hyperbola constructions, solved and unsolved construction exercises, whose solution is hyperbola with given properties. Final chapter deals with usage of hyperbola in real life, most often on technological field, where it has wide use.

6

7 Poděkování Ráda bych tímto poděkovala všem, kteří mi byli oporou při psaní této práce. Největší dík ovšem patří RNDr. Janu Vondrovi, Ph.D., který byl mým vedoucím. Děkuji mu za cenné rady, připomínky, ochotu řešit vzniklé problémy a za čas, který této práci věnoval. Dále mé díky patří spolužákovi Jiřímu Galisovi, který se zasloužil svou pomocí při řešení technických problémů a také pomohl při gramatické korektuře. Další dík patří spolužačce Bc. Pavle Glosové, která přišla na nápad jak obohatit konstrukční úlohy nejen o psané zadání příkladů. V neposlední řadě bych chtěla poděkovat své rodině za skvělé zázemí a psychickou podporu. Děkuji. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 25. května Kateřina Křížová

8 Obsah Úvod Kapitola 1. Hyperbola Hyperbola jako množina bodů daných vlastností Rovnice hyperboly Vzájemná poloha hyperboly a přímky Sečna hyperboly Tečna hyperboly Ohniskové vlastnosti hyperboly Hyperbola jako graf funkce Hyperbola jako řez rotační kuželové plochy rovinou Definice společná všem kuželosečkám Kapitola 2. Analytické příklady Rovnice hyperboly a její vlastnosti Vzájemná poloha hyperboly a přímky Tečna hyperboly Hyperbola jako graf funkce Výsledky Vzájemná poloha hyperboly a přímky Tečna hyperboly Hyperbola jako graf funkce Kapitola 3. Konstrukce hyperboly Bodová konstrukce hyperboly Konstrukce hyperoskulačních kružnic hyperboly Proužková (úseková) konstrukce hyperboly Řešené konstrukční příklady Neřešené konstrukční příklady Kapitola 4. Využití v praxi Navigační systémy a hyperbola Hyperboloid Hyperbolický paraboloid vii

9 Závěr Seznam použité literatury

10 Seznam obrázků 1.1 Ilustrace vzorce (1.1) Ilustrace výše uvedených pojmů Rozložení bodů na jednotlivých větvích hyperboly Ilustrace asymptot a jejích vztahů k hyperbole Znázornění zvolených bodů Hlavní osa je rovnoběžná s osou x Hlavní osa je rovnoběžná s osou y Vzájemná poloha hyperboly a přímky Ilustrace důkazu věty Ilustrace důkazu věty Ilustrace důkazu věty Ilustrace věty Řídicí a vrcholová kružnice hyperboly Ilustrace rostoucí, klesající a nerostoucí funkce Ilustrace sudé, liché a ani sudé, ani liché funkce Ilustrace prosté a neprosté funkce Graf nepřímé úměrnosti Graf lineární lomené funkce Rotační kuželová plocha Klasifikace rovinných řezů rotační kuželové plochy rovinou: kružnice, elipsa, parabola a hyperbola Důkaz Quételetovy-Dandelinovy věty pro hyperbolický řez Ilustrace společné definice kuželoseček Hyperbola k příkladu Hyperbola k příkladu Graf funkce z příkladu Graf funkce z příkladu Grafy nepřímých úměrností z příkladu Grafy lineárních lomených funkcí z příkladu Bodová konstrukce hyperboly Konstrukce středu hyperoskulačních kružnic ve vrcholech hyperboly Proužková (úseková) konstrukce hyperboly Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu ix

11 3.7 Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Zadání konstrukčního příkladu Ukázka určení polohy pomocí navigačního systému LORAN-C Schématické znázornění vzniku jednodílného hyperboloidu Soukolí s mimoběžnými osami složené z jednodílných hyperboloidů Chladicí věže Rozhledna Borůvka u Hluboké, Televizní a vyhlídková věž v Kantonu, Televizní vysílač na Ještědu Katedrála v Brasílii (Brazílie), Planetárium ve Vancouveru (Kanada) McDonnellovo planetarium v Saint Louis (USA), Lávka mezi domy v Manchesteru (UK) Samostatně stojících 16 prutů v Batavii ve státě Illinois (USA), vodojem na okraji města Ciechanow (Polsko), vodojem v Cockfosters (UK) Hyperbolický konektor Hyperbolický paraboloid Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny L Oceanogràfic ve Valencii (Španělsko) Sportovní aréna Scotiabank Saddledome v Calgary (Kanada) Olympijský stadion v Mnichově (Německo) Železniční zastávka Varšava Ochota (Polsko) Vstup do budovy UNESCO v Paříži (Francie) Kostel svatého Václava v Břeclavi, Katedrála Nanebevzetí Pany Marie v San Franciscu (USA) Víceúčelová hala v Rostocku (Německo) Benzínová stanice v Markham Moor (UK)

12 Úvod Téma Hyperbola jsem si zvolila z několika důvodů. Geometrie (resp. kuželosečky) je mi blízká, navíc vytvoření uceleného přehledu informací o hyperbole pro mne bylo motivací k práci. Text navíc určitě poslouží jako elektronická pomůcka v budoucí praxi učitele matematiky nejen mně, ale i řadě jiných pedagogů. I když je text psán místy pomocí exaktních matematických pojmů a definic, jsem si jistá, že středoškolští studenti nebudou mít potíže s porozuměním a zcela jistě jim práce poslouží při přípravě na jejich studium. Tato bakalářská práce si klade za hlavní cíl seznámit čtenáře s vlastnostmi a konstrukcemi hyperboly. Je určena nejen studentům a učitelům, ale také příznivcům geometrie či široké veřejnosti, neboť nepředpokládá kromě znalostí středoškolské matematiky (geometrie) žádné speciální znalosti z oblasti deskriptivní geometrie. Se vším, co je třeba, se čtenář seznámí v textu. Vše potřebné je uvedeno v podobě definic, vět či tvrzení. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. První z nich je nejobsáhlejší, protože se zde definuje hyperbola a zavádějí se nejzákladnější pojmy. Čtenář se též seznamuje s hyperbolou nejen jako množinou bodů, ale též jako s grafem funkce a řezem kuželové plochy, a tím je vysvětleno zařazení hyperboly mezi kuželosečky. Pro mnohé může sloužit spíše jako připomenutí termínů a osvojení si předchozích znalostí. Kapitola je zpracována především dle [6] a [17]. Druhá kapitola se vztahuje k předchozí, protože obsahuje řešené a neřešené úlohy. Všechny příklady se zabývají problematikou hyperboly, avšak spíše z analytického hlediska. Úlohy mají různé stupně obtížnosti a slouží jako kontrola pochopení látky vysvětlené v první kapitole. Jednotlivé příklady jsou navíc seřazeny i didakticky s důrazem na postupné pochopení vysvětlované látky. V závěru této kapitoly lze najít i několik obtížnějších příkladů. Kapitola třetí je stěžejní částí této bakalářské práce. Obsahuje souhrn konstrukcí hyperboly, řešené i neřešené konstrukční úlohy, jejichž řešením je hyperbola se zadanými vlastnostmi, sestrojená pomocí pravítka, kružítka a případně i úhloměru. Obecně tyto úlohy rozdělujeme na polohové, kde je alespoň jeden z prvků útvaru zadán svou polohou (v práci jsou to právě řešené úlohy) a nepolohové, u kterých lze daný útvar sestrojit kdekoliv, v tomto případě jsou to neřešené příklady. Správnými kroky řešení konstrukční úlohy jsou rozbor (nastínění řešení a náčrt), popis konstrukce, konstrukce a závěr, jehož součástí je diskuse. V této práci je u řešených konstrukčních úloh vždy napsáno zadání a k tomu je uveden obrázek s polohou zadaných prvků, jako řešení je zde vždy uveden popis konstrukce a diskuse s počtem možných řešení. Z důvodu úspory místa a neustálého opakování obrázků jsem se rozhodla pro tuto zkrácenou formu řešení, avšak věřím, že čtenářům nebude dělat problémy dorýsovat grafické řešení vlastními silami. V poslední kapitole se zabývám problematikou využití hyperboly v praxi, nejčastěji 1

13 Úvod 2 v technických oborech, ve stavebnictví, kde má své nezastupitelné místo. Například jednodílné hyperboloidy se dříve používaly místo ozubených kol pro přenos rotací se vzájemně mimoběžnými osami nebo chladicí věže elektráren jsou části jednodílného rotačního hyperboloidu. I v navigačních systémech se vlastnosti hyperboly využívaly, například v systému Loran, který byl vyvinut za 2. světové války v USA. Všechny kapitoly jsou pro lepší ilustraci probíraného tématu doplněny řadou přehledných obrázků, které byly vytvořeny ve volně dostupném programu Geogebra 1. Usnadní tak pochopení jednotlivých aspektů hyperboly a její konstrukce. Práce je napsaná pomocí sázecího programu LATEX. 1 Geogebra dynamický matematický software pro všechny úrovně vzdělávání, který spojuje geometrii, algebru, tabulkový procesor, grafy a analýzu do jednoho snadno použitelného balíčku [7].

14 Kapitola 1 Hyperbola V této kapitole se s hyperbolou seznámíme nejen jako s množinou bodů, ale též jako s grafem funkce a řezem rovinou na kuželové ploše. Nejprve si uvedeme definici hyperboly a základní vzorce. Dále si odvodíme rovnice hyperboly, rovnice její tečny, základní tvrzení o tečně, atd. V další části této kapitoly se s hyperbolou seznámíme jako s grafem funkce nepřímé úměrnosti a na závěr se budeme zabývat kuželovou plochou a jejími řezy. 1.1 Hyperbola jako množina bodů daných vlastností Definice V eukleidovské rovině jsou dány dva různé body F, G. Množina všech bodů X eukleidovské roviny, pro které se absolutní hodnota rozdílu XF XG vzdáleností bodu X od bodů F, G rovná kladnému číslu menšímu než FG, se nazývá hyperbola. Nejkratší spojnice libovolného bodu X hyperboly s body F, G se nazývají průvodiče tohoto bodu. Můžeme tedy říci, že hyperbola je množina bodů, které mají od dvou daných bodů F, G stálý rozdíl průvodičů, tj. XF XG = 2a. (1.1) X 2a 2a F A B G Obr. 1.1: Ilustrace vzorce (1.1) 3

15 Kapitola 1. Hyperbola 4 Body F, G se nazývají ohniska hyperboly, střed úsečky FG se nazývá střed hyperboly a označujeme jej písmenem S. Přímku FG nazýváme hlavní osou hyperboly a její průsečíky s hyperbolou nazýváme vrcholy hyperboly, které značíme A, B a platí, že AB = 2a. Kolmice na hlavní osu vedená středem S se nazývá vedlejší osa hyperboly. Z definice je zřejmé, že vedlejší osa žádné body hyperboly neobsahuje, protože pro libovolný bod X vedlejší osy platí rovnost XF = XG. Důkaz. Tvrzení AB = 2a odvodíme z rovnosti AF AG = BF BG = 2a, vzdálenost bodů A, G vyjádříme pomocí vrcholů hyperboly A, B a jejích ohnisek F, G: AG = AB + BG = AB + AF. Získanou rovnost dosadíme do původní rovnice: 2a = AF AG = AF AB AF = AB, odkud plyne 2a = AB a = AS = BS. Číslo a = AS = BS nazýváme délka hlavní poloosy hyperboly, číslo e = SF = SG nazýváme excentricita (výstřednost) hyperboly a číslo b, které získáme pomocí vztahu b = e 2 a 2, nazýváme velikost vedlejší poloosy hyperboly. e b a F A S B G Obr. 1.2: Ilustrace výše uvedených pojmů Důkaz. Na obrázku 1.2 je trojúhelník se stranami a, b, e, který je pravoúhlý a podle Pythagorovy věty platí e 2 = a 2 + b 2. Tento trojúhelník nazýváme charakteristický trojúhelník hyperboly. Z dosud uvedených vlastností plyne, že pro hyperbolu platí e > a. Důkaz. Víme, že pro libovolný bod X hyperboly platí XF XG = 2a a FG = 2e. Pro trojúhelník XFG podle trojúhelníkové nerovnosti platí XF XG < FG čili 2a < 2e, odkud plyne a < e.

16 Kapitola 1. Hyperbola 5 Nesmíme zapomenout, že hyperbola není souvislá křivka, ale skládá se ze dvou disjunktních částí, které se nazývají větve hyperboly. Pro body na jedné větvi, např. X, platí XG XF = 2a, zatímco pro body na druhé větvi, např. Y, platí Y F Y G = 2a. Hyperbola tak dělí rovinu na vnější oblast, která je tvořena vnějšími body hyperboly (bod X se nazývá vnější bod hyperboly, platí-li FX GX < 2a) a vnitřní oblast (obsahuje ohniska), která je tvořena vnitřními body hyperboly (bod X se nazývá vnitřní bod hyperboly, platí-li FX GX > 2a). X 2a F G 2a Obr. 1.3: Rozložení bodů na jednotlivých větvích hyperboly Každá z těchto větví se neomezeně blíží k přímkám, které nazýváme asymptoty hyperboly. Tyto přímky procházejí středem hyperboly S a od její hlavní osy mají odchylku ϕ, pro kterou platí tgϕ = a b, kde a, b jsou délky hlavní a vedlejší poloosy hyperboly. Y e b F A B S ϕ a G u 1 u 2 Obr. 1.4: Ilustrace asymptot a jejích vztahů k hyperbole

17 Kapitola 1. Hyperbola Rovnice hyperboly Nejprve si zvolíme soustavu souřadnic v rovině tak, aby střed hyperboly S byl v jejím počátku, tj. S = [0; 0], obě osy hyperboly byly totožné se souřadnicovými osami a souřadnice ohnisek hyperboly byly F = [ e; 0], G = [e; 0]. y X = [x;y] F = [ e;0] A 0 B G = [e;0] x Obr. 1.5: Znázornění zvolených bodů Uvažme libovolný bod X = [x;y], který splňuje podmínku FX GX = 2a. Dosazením souřadnic a rozepsáním předcházející rovnice dostáváme (x + e) 2 + y 2 (x e) 2 + y 2 = 2a. Získanou rovnici umocníme na druhou (x + e) 2 + y 2 + (x e) 2 + y 2 4a 2 = 2 [(x + e) 2 + y 2] [(x e) 2 + y 2], roznásobíme jednotlivé závorky [(x x 2 + 2xe + e 2 + y 2 + x 2 2xe + e 2 + y 2 4a 2 = 2 + e) 2 + y 2] [(x e) 2 + y 2] a provedeme jednoduché aritmetické úpravy [(x 2x 2 + 2e 2 + 2y 2 4a 2 = 2 + e) 2 + y 2] [(x e) 2 + y 2] x 2 + y 2 + e 2 2a 2 = [(x + e) 2 + y 2] [(x e) 2 + y 2]. Rovnost opět umocníme na druhou a upravujeme jako v předchozím případě (x 2 + y 2 + e 2 2a 2 ) 2 = (x 2 + 2xe + e 2 + y 2 )(x 2 2xe + e 2 + y 2 ).

18 Kapitola 1. Hyperbola 7 Výrazy na obou stranách musíme roznásobit a při takovýchto úpravách musíme dbát na přesnost, jelikož jsou velmi náchylné na chyby (x 2 + y 2 + e 2 2a 2 ) 2 = = x 4 + 2x 2 y 2 + 2x 2 e 2 4a 2 x 2 + y 4 + 2y 2 e 2 4a 2 y 2 + e 4 4a 2 e 2 + 4a 4, (1.2) (x 2 + 2xe + e 2 + y 2 )(x 2 2xe + e 2 + y 2 ) = = x 4 + 2x 2 y 2 2x 2 e 2 + 2y 2 e 2 + e 4 + y 4. (1.3) Nyní od výsledku (1.3) odečteme výsledek (1.2) a získáme tak rovnici kterou následně podělíme čtyřmi 4a 4 + 4x 2 e 2 4x 2 a 2 4e 2 a 2 4y 2 a 2 = 0, a 4 + x 2 e 2 x 2 a 2 e 2 a 2 y 2 a 2 = 0 a dalšími úpravami (tj. vytknutím) získáme rovnost x 2 (e } 2 {{ a } 2 ) a 2 y 2 = a 2 (e } 2 {{ a } 2 ). = b 2 = b 2 Rovnici jsme upravili tak, že po dosazení vztahu b 2 = e 2 a 2, dostaneme x 2 a 2 y2 = 1. (1.4) b2 Obráceně, předpokládejme, že bod X = [x; y] splňuje rovnici (1.4). Chceme ukázat, že bod X leží na hyperbole, tj. platí rovnice (1.1). Víme, že platí FX = (x + e) 2 + y 2, GX = (x e) 2 + y 2. (1.5) Vyjádříme-li y 2 ze vztahu (1.4), dostaneme ( x y 2 = b 2 2 ) a 2 1. Toto vyjádření dosadíme do rovnic (1.5): ( x 2 ) ( x 2 ) FX = (x + e) 2 + b 2 a 2 1, GX = (x e) 2 + b 2 a 2 1.

19 Kapitola 1. Hyperbola 8 Výrazy zjednodušíme pomocí vztahu b 2 = e 2 a 2 : FX = x 2 + 2xe + e 2 + b2 x 2 a 2 b2 = x 2 + 2xe + e 2 + (e2 a 2 )x 2 a 2 e 2 + a 2 = = x 2 + 2xe + a 2 + e2 x 2 a 2 a2 x 2 a 2 = x 2 + 2xe + a 2 + e2 x 2 a 2 x2 = = 2xe + a 2 + e2 x 2 ( e ) 2 a 2 = a x + a, GX = x 2 2xe + e 2 + b2 x 2 a 2 b2 = x 2 2xe + e 2 + (e2 a 2 )x 2 a 2 e 2 + a 2 = = x 2 2xe + a 2 + e2 x 2 a 2 a2 x 2 a 2 = x 2 2xe + a 2 + e2 x 2 a 2 x2 = = 2xe + a 2 + e2 x 2 ( e ) 2 a 2 = a x a. V těchto úpravách využijeme nerovnosti e > a a x a, která plyne z rovnice (1.4): ( e ) 2 FX = a x + a e = a x + a e = x + a pro x > a, a ( e ) (1.6) 2 = a x + a e = a x a pro x < a, ( e ) 2 GX = a x a e = a x a e = x a pro x > a, a ( e ) (1.7) 2 = a x + a e = a x + a pro x < a. Odečtením výrazu (1.7) od výrazu (1.6) dostaneme rovnici (1.1). Z našich úvah vyplývá možnost definovat hyperbolu následovně: Definice Hyperbola je množina bodů X = [x;y] v eukleidovské rovině, které v nějaké kartézské soustavě souřadnic vyhovují rovnici x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Tato rovnice se nazývá kanonická rovnice hyperboly nebo osová rovnice hyperboly. Pokud by ohniska ležela na ose y, tj. F = [0; e], G = [0;e], dostali bychom pro hyperbolu rovnici, jejíž pravá strana má opačné znaménko, tj. x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Posuneme-li střed hyperboly do bodu S = [m; n], dostaneme rovnici, která se nazývá středová rovnice hyperboly. Tvar této rovnice opět záleží na tom, jestli je hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou x nebo s osou y.

20 Kapitola 1. Hyperbola 9 G F S = [m;n] G S = [m;n] F Obr. 1.6: Hlavní osa je rovnoběžná s osou x Obr. 1.7: Hlavní osa je rovnoběžná s osou y (x m) 2 (y n)2 a 2 b 2 = 1 (1.8) (y n) 2 (x m)2 b 2 a 2 = 1 (1.9) Věta Rovnici hyperboly ve středovém tvaru (1.8) či (1.9) lze upravit na obecnou rovnici hyperboly s koeficienty A, B, C, D, E R: přičemž AB < 0. Ax 2 + By 2 + 2Cx + 2Dy + E = 0, Opačné tvrzení k předchozí větě však neplatí, neboť ne každá taková kvadratická rovnice musí být rovnicí hyperboly s hlavní osou rovnoběžnou s osou x nebo s osou y. V následujícím odvodíme nejpoužívanější parametrické vyjádření hyperboly. Nechť pro souřadnice bodu X = [x;y] platí x = a, y = b tgt, (1.10) cos t kde t 0,2π), t π 2, t 3π 2. Ověříme, zdali vztahy (1.10) platí pro hyperbolu a to tak, že je dosadíme do rovnice hyperboly (1.4): ( a cos t a 2 ) 2 (b tgt)2 b 2 = 1, čitatel umocníme a zlomek převedeme na základní tvar 1 cos 2 t tg2 t = 1. Využijeme goniometrický vzorec tgα = sin α cos α : 1 cos 2 t sin2 t cos 2 t = 1, rovnici vynásobíme cos 2 t a využijeme goniometrickou jedničku 1 = cos 2 t + sin 2 t. Tedy rovnice (1.10) jsou parametrické rovnice hyperboly.

21 Kapitola 1. Hyperbola 10 Vraťme se na chvíli k asymptotám hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic a hlavní osou splývající se souřadnicovou osou x. Rovnice asymptot dostaneme z rovnice hyperboly (1.4), položíme-li na pravou stranu nulu, tj. x 2 a 2 y2 b 2 = 0. Sečtením zlomků a následným vynásobením a 2 b 2 dostaneme x 2 b 2 y 2 a 2 = 0, což je vzorec a 2 b 2 = (a b)(a + b) a jeho aplikací získáme rovnici ve tvaru (bx ay)(bx + ay) = 0. Odtud dostaneme rovnice asymptot, které označíme u 1, u 2 : u 1 : y = b a x, u 2 : y = b a x. Pokud by střed hyperboly ležel v bodě S = [0;0] a ohniska na ose y, tj. F = [0; e], G = [0;e], dostali bychom pro asymptoty hyperboly rovnice: u 1 : y = a b x, u 2 : y = a b x. Posuneme-li střed hyperboly do bodu S = [m;n] dostaneme následující rovnice asymptot: u 1 : y n = b (x m), a u u 2 : y n = b (x m), a u 1 : y n = a (x m), b 2 : y n = a (x m). b Tvar rovnic opět záleží na tom, jestli je hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou x nebo s osou y. 1.3 Vzájemná poloha hyperboly a přímky V rovině mohou nastat tři různé vzájemné polohy hyperboly a přímky: 1) Přímka, která nemá s hyperbolou žádný společný bod, se nazývá vnější přímka, tj. všechny body přímky jsou vnějšími body hyperboly. Příkladem může být vedlejší osa hyperboly. 2) Tečnou hyperboly rozumíme přímku, která má s hyperbolou právě jeden společný bod (bod dotyku) a jejíž všechny ostatní body jsou vnější. Mezi tečny též řadíme asymptoty (bod dotyku mají v nekonečnu).

22 Kapitola 1. Hyperbola 11 3) Poslední možností je přímka, která prochází jak vnitřní, tak vnější částí hyperboly. V tomto případě hovoříme o sečně hyperboly. Speciálním případem sečny je hlavní osa hyperboly, která prochází jejím středem a ohnisky, a přímky, které jsou rovnoběžné s asymptotami a mají s hyperbolou jeden společný bod. X F S G F S G F S G Y T Obr. 1.8: Vzájemná poloha hyperboly a přímky O tom, do které skupiny přímka patří, rozhodneme pomocí následujících kroků: 1) Z lineární rovnice přímky vyjádříme jednu neznámou, kterou dosadíme do rovnice hyperboly, čímž dostaneme kvadratickou rovnici o jedné neznámé. 2) Je-li rovnice lineární a má řešení, přímka je rovnoběžná s asymptotou a je sečnou hyperboly (přímka má s hyperbolou jeden společný bod). Pokud lineární rovnice řešení nemá, přímka je asymptotou hyperboly či vnější přímkou. 3) Je-li rovnice kvadratická, určíme její diskriminant a podle jeho hodnoty stanovíme vzájemnou polohu hyperboly a přímky. Je-li diskriminant větší než 0, jedná se o sečnu hyperboly, naopak je-li diskriminant menší než 0, jedná se o vnější přímku hyperboly. Je-li diskriminant roven nule, jedná se o tečnu hyperboly, avšak musíme ověřit, zdali se nejedná o přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot. V případě přímek tvaru y = kx umíme o vzájemné poloze s hyperbolou rozhodnout na základě její směrnice: ( k b a ; b ) přímka y = kx je sečnou hyperboly, a ( k ; b ) b a a ; přímka y = kx je vnější přímkou hyperboly. 1.4 Sečna hyperboly Uvažujme obecnou sečnu hyperboly, která je rozdělena asymptotami a větvemi hyperboly na několik úseků, pro něž platí následující vlastnosti. Věta Nechť sečna s hyperboly protíná hyperbolu v bodech K, L a asymptoty u 1, u 2 v bodech M, N. Pak platí KM = LN.

23 Kapitola 1. Hyperbola 12 Důkaz. Zvolme libovolnou sečnu s hyperboly. Průsečíky sečny s hyperbolou označme K, L a průsečíky sečny s asymptotami u 1, u 2 označme M, N. Každým z bodů K, L veďme rovnoběžky s asymptotami hyperboly u 1, u 2. Průsečíky rovnoběžek s asymptotami označme K 1, K 2, L 1, L 2 a průsečíky rovnoběžek samotných označme P, P. Důkaz plyne ze stejnolehlosti rovnoběžníků KPLP a L 1 P K 2 S pro střed stejnolehlosti P. Z toho vyplývá, že KL L 1 K 2, tedy sečna s je rovnoběžná s přímkou L 1 K 2. Trojúhelníky SL 1 K 2, K 1 MK a L 2 LN jsou shodné, z čehož plyne KM = LN. u 1 s u 2 K M K 1 P L 1 P F A K 2 S B G L L 2 N Obr. 1.9: Ilustrace důkazu věty Věta Součin úseků na sečnách hyperboly rovnoběžných s jednou její osou, vymezených na ní bodem a asymptotami, je konstantní a roven čtverci této poloosy. Důkaz. Zvolme souřadnicový systém tak, aby střed hyperboly ležel v jeho počátku, hlavní osa splývala s osou x a vedlejší s osou y. Pak je hyperbola popsána rovnicí x2 y2 = 1 a 2 b 2 a její asymptoty jsou u 1 : y = b a x, u 2 : y = b a x. Bodem M = [x M;m] veďme rovnoběžku p s hlavní osou, jejíž rovnice je ve tvaru p : y = m. Určíme průsečík N přímky p s hyperbolou a průsečík R s jednou z asymptot. Dále zjistíme velikost úseček MR a RN. Protože y M = = y N = y R = m, je RM = x M x R. Souřadnice x M, x N vypočítáme z rovnice hyperboly, dosadíme-li za y hodnotu m, dostaneme: x M = a b b 2 + m 2, x N = a b b 2 + m 2, x R = a b m. Dosadíme-li tyto hodnoty do součinu MR NR, dostaneme MR NR = a2 b 2 (m + b 2 + m 2 )( b 2 + m 2 m) = a2 b 2 (b2 + m 2 m 2 ) = a 2.

24 Kapitola 1. Hyperbola 13 Je-li dán bod M, sestrojíme bod N jako obraz bodu M v osové souměrnosti podle vedlejší osy hyperboly a najdeme průsečík R přímky MN s jednou asymptotou. Dále sestrojíme Thaletovu kružnici nad průměrem MN. Bodem R vedeme rovnoběžku s vedlejší osou hyperboly a určíme průsečík K s Thaletovou kružnicí. Velikost úsečky KR je rovna délce hlavní poloosy (podle Eukleidovy věty o výšce). y K u 1 a p M R N F A S a B G x u 2 Obr. 1.10: Ilustrace důkazu věty Důsledek. Součin úseků na kolmici k hlavní ose hyperboly, měřených od bodů hyperboly k jejím asymptotám, je konstantní a je roven čtverci vedlejší poloosy hyperboly. Důkaz. Tvrzení je důsledkem věty Tečna hyperboly Víme, že tečna má právě jeden společný bod s hyperbolou, který nazýváme bodem dotyku a značíme ho T = [x 0 ;y 0 ]. Pro rovnici tečny předpokládejme, že jsme soustavu souřadnic zvolili tak, že rovnice hyperboly je ve tvaru x2 y2 = 1. Je-li T = [x a 2 b 2 0 ;y 0 ] bod hyperboly a zároveň bod dotyku, pak rovnice tečny v tomto bodě je tvaru xx 0 a 2 yy 0 = 1. (1.11) b2 Víme, že každá hyperbola, jejíž osy jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, je obrazem hyperboly se středem v počátku, tj. P = [0;0], v posunutí T ( #» PS), kde S je střed

25 Kapitola 1. Hyperbola 14 hyperboly. V daném posunutí se tečna hyperboly zobrazí na tečnu hyperboly. Odtud platí: má-li hyperbola rovnici (x m)2 a 2 (y n)2 b 2 = ±1, má tečna s bodem dotyku T = [x 0 ;y 0 ] rovnici (x m)(x 0 m) a 2 (y n)(y 0 n) b 2 = ±1. V následující části uvedeme důležité vlastnosti tečny hyperboly, ale nejprve zavedeme potřebné pojmy. Průvodiče bodu T, tj. nejkratší spojnice bodu T s ohnisky F, G, dělí rovinu na dvě dvojice vrcholových úhlů. Dvojice vrcholových úhlů, která obsahuje střed hyperboly, se nazývá vnější úhly průvodičů bodu T. Druhá dvojice vrcholových úhlů se nazývá vnitřní úhly průvodičů bodu T. Zároveň tečna hyperboly rozděluje rovinu na dvě poloroviny, pro které vždy platí, že každá z polorovin obsahuje právě jedno ohnisko a právě jeden vrchol hyperboly. Věta Tečna hyperboly půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku T. Důkaz. Zvolme libovolný bod T hyperboly a sestrojme osu t vnějších úhlů průvodičů T F a T G. K ohnisku F najděme souměrně sdružený bod Q podle osy t, který leží na úsečce T G. Z osové souměrnosti platí T Q = T F 2a = T F T G = T Q T G = QG. Na ose t zvolme libovolný bod K, K T. Body K, G a Q tvoří trojúhelník a platí: } KG + QG > KQ, tedy 2a = QG > KQ KG 2a > KQ KG. QG + KQ > KG, tedy 2a = QG > KG KQ Z osové souměrnosti plyne KF = KQ 2a > KF KG, tj. bod K je vnější bod hyperboly, a jelikož byl volen libovolně, jsou všechny body hyperboly kromě bodu T vnějšími. Osa t nemá s hyperbolou žádný společný bod kromě bodu T, a proto je tečnou hyperboly s bodem dotyku T. t α 2 α 2 n T Q F A S B G K Obr. 1.11: Ilustrace důkazu věty 1.5.1

26 Kapitola 1. Hyperbola 15 Věta V každém bodě hyperboly existuje právě jedna tečna. Důkaz. Tečna je osa vnějších úhlů průvodičů bodu hyperboly. Následující věta se někdy používá jako definice tečny hyperboly: Věta Tečna hyperboly je přímka, která má s hyperbolou jediný společný bod a všechny ostatní body jsou vnější. Důkaz. Viz věta Věta Normála 2 n sestrojená v bodě T hyperboly, půlí vnitřní úhly průvodičů bodu T. Důkaz. Tvrzení je důsledkem věty Věta Bod dotyku T je středem úsečky XY, kde body X, Y jsou průsečíky tečny t s asymptotami hyperboly u 1, u 2, tj. platí T X = TY. Důkaz. Při vhodně zvolené soustavě souřadnic je rovnice hyperboly ve tvaru x2 y2 = 1, a 2 b 2 rovnice tečny t v bodě dotyku T = [x 0 ;y 0 ] je xx 0 yy a 2 0 = 1 a rovnice asymptot hyperboly b 2 u 1, u 2 je x2 y2 = 0. Najděme průsečíky X, Y tečny t s asymptotami hyperboly u a 2 b 2 1, u 2. ( ) Z rovnice tečny vyjádříme jednu neznámou, např. y : y = xx0 1 b 2 a 2 y 0, kterou dosadíme do rovnice asymptot a upravíme: ( ) x 2 b 4 2 xx0 1 a 2 y 2 a 0 2 x 2 b 4 a 2 y 2 0 b 2 = 0 ( xx0 a 2 a 2 ) 2 b 2 = 0 x 2 a 2 b2 (x 2 x0 2 2a2 xx 0 + a 4 ) a 4 y 2 = 0 0 a 2 x 2 y 2 0 b 2 x 2 x a 2 b 2 xx 0 a 4 b 2 = 0 x 2 (a 2 y 2 0 b 2 x 2 0) + 2a 2 b 2 xx 0 a 4 b 2 = 0. Bod dotyku T = [x 0 ;y 0 ] leží na hyperbole, odkud platí a 2 y 2 0 b2 x 2 0 = a2 b 2 : x 2 (a 2 y 2 0 b 2 x0 2 ) + 2a 2 b 2 xx }{{} 0 a 4 b 2 = 0. = a 2 b 2 Rovnice pro výpočet průsečíků X, Y má po vydělení nenulovou konstantou a 2 b 2 tvar x 2 + 2xx 0 a 2 = 0. (1.12) Součet kořenů rovnice (1.12) je podle Vietových vzorců roven 2x 0. Odtud plyne, že x-ová souřadnice středu úsečky XY je x 0, proto je tímto středem bod dotyku T = [x 0 ;y 0 ]. Tvrzení je limitní případ věty Normála přímka kolmá na tečnu hyperboly v příslušném bodě dotyku T = [x 0 ;y 0 ].

27 Kapitola 1. Hyperbola 16 y X T F A S B G x Y u 1 t u 2 Obr. 1.12: Ilustrace věty Ohniskové vlastnosti hyperboly Pro body souměrně sdružené s jedním z ohnisek podle tečen hyperboly platí věta: Věta Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jedním ohniskem hyperboly podle jejích tečen, je kružnice se středem ve druhém ohnisku a poloměrem rovným velikosti hlavní osy hyperboly, tj. r = 2a. Důkaz. Předpokládejme, že bod Q je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t. Protože tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku T, platí GQ = GT T Q = GT T F = 2a. Odtud plyne, že bod Q leží na kružnici k 2 (G;2a). Analogicky bod Q leží na kružnici k 1 (F;2a). Poznámka. Kružnice k 1 (F;2a), k 2 (G;2a) se nazývají řídicí kružnice hyperboly. Dalšími důležitými body jsou paty kolmic vedené z ohnisek hyperboly k jejím tečnám. Pro takové body platí věta: Věta Množina všech pat kolmic, spuštěných z ohnisek hyperboly na její tečny, je kružnice opsaná kolem středu hyperboly a poloměru rovnému velikosti hlavní poloosy hyperboly, tj. r = a. Důkaz. Nechť bod P je pata kolmice spuštěná z ohniska F na tečnu t. Jelikož tečna t je osou úhlu FT Q, je bod P středem úsečky FQ a střed hyperboly S je středem úsečky FG. Úsečka PS je v trojúhelníku FQG střední příčkou, pro kterou platí SP = 1 2 QG = a. Bod P leží na kružnici v(s;a).

28 Kapitola 1. Hyperbola 17 Poznámka. Kružnice v(s;a) se nazývá vrcholová kružnice hyperboly. Věta Bod T leží na hyperbole, právě když se kružnice l 1 (T ; T F ), resp. l 2 (T ; T G ), dotýká řídicí kružnice k 2 (G;2a), resp. k 1 (F;2a). Důkaz. Věta je jinou definicí kuželosečky. Je třeba si uvědomit, že bod dotyku obou kružnic je bod Q či Q, tj. bod souměrně sdružený s jedním z ohnisek podle tečny t v bodě T, tudíž QT = FT. Poté se můžeme odvolat na definici hyperboly. k 1 k 2 v T T Q Q P P F A S B G u 1 t t u 2 Obr. 1.13: Řídicí a vrcholová kružnice hyperboly

29 Kapitola 1. Hyperbola Hyperbola jako graf funkce Dříve, než si představíme hyperbolu jako graf funkce, musíme si říct, co je to vlastně funkce a jaké jsou její základní vlastnosti. Pojem funkce a její základní vlastnosti Definice Funkce je zobrazení z množiny A R do množiny B R a to takové, že každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B, tzn. x A!y B : f (x) = y. Jinak: Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. Pro porozumění následujícímu textu je nutné zavést některé pojmy. Zápisu y = f (x) říkáme funkční předpis. Proměnná x je nezávisle proměnná z množiny A, množině A říkáme definiční obor funkce a značíme D( f ). Proměnná y je závisle proměnná z množiny B (její hodnota závisí na konkrétním x), množině B říkáme obor hodnot funkce a značíme H ( f ). Jako první vlastnost funkce si uvedeme monotonnost, tedy zda je funkce na daném intervalu rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající nebo žádná z uvedených možností. Tato vlastnost se dá jednoduše vyčíst z grafu funkce. Může však nastat situace, kdy to nelze, tehdy využíváme k určení monotonnosti její definici. Definice Nechť f je funkce a M je neprázdná podmnožina D( f ). Řekneme, že funkce f je na množině M - rostoucí, právě když pro všechna x 1, x 2 M taková, že x 1 < x 2 platí f (x 1 ) < f (x 2 ), - klesající, právě když pro všechna x 1, x 2 M taková, že x 1 < x 2 platí f (x 1 ) > f (x 2 ), - nerostoucí, právě když pro všechna x 1, x 2 M taková, že x 1 < x 2 platí f (x 1 ) f (x 2 ), - klesající, právě když pro všechna x 1, x 2 M taková, že x 1 < x 2 platí f (x 1 ) f (x 2 ). Funkce f se nazývá monotonní na množině M, jestliže je neklesající nebo nerostoucí. Funkce f se nazývá ryze monotonní na množině M, jestliže je rostoucí nebo klesající. y f (x) y f (x) y f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 x x 1 x 2 x f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 x 2 x f (x) Obr. 1.14: Ilustrace rostoucí, klesající a nerostoucí funkce Další z vlastností, kterou lze rozpoznat z grafu, je parita funkce. Grafy takových funkcí vykazují jisté druhy symetrie. Je-li graf (osově) souměrný podle osy y, funkce se nazývá sudá, je-li graf (středově) souměrný podle počátku soustavy souřadnic [0; 0], funkce se nazývá lichá. Máme-li složitější funkci, k určení její parity využijeme definici.

30 Kapitola 1. Hyperbola 19 Definice Funkce f se nazývá sudá, jestliže x D( f ) : x D( f ) x D( f ) : f (x) = f ( x). Funkce f se nazývá lichá, jestliže x D( f ) : x D( f ) x D( f ) : f (x) = f ( x). y = x 2 y y y f (x) x x x y = x 3 Obr. 1.15: Ilustrace sudé, liché a ani sudé, ani liché funkce Jestliže funkce f nabývá pro každé dva různé argumenty různé funkční hodnoty, pak tuto funkci nazýváme prostou. Definice Řekneme, že funkce f je prostá, jestliže x 1,x 2 D( f ) taková, že x 1 x 2 platí f (x 1 ) f (x 2 ). Ekvivalentně lze říci, že funkce f je prostá na definičním oboru D( f ), jestliže stejné obrazy mají nutně i stejný vzor, tj. x 1,x 2 D( f ) taková, že pro f (x 1 ) = f (x 2 ) platí x 1 = x 2. Tato vlastnost se dá opět vyčíst z grafu funkce. Řekneme, že funkce je prostá, jestliže každá přímka rovnoběžná s osou x protíná graf funkce nejvýše v jednom bodě. y y P f (x) A B x x f (x) Obr. 1.16: Ilustrace prosté a neprosté funkce S touto vlastností je úzce spjata monotonnost funkce. Je-li funkce f ryze monotonní na množině M D( f ), pak je na této množině prostá. Avšak obrácené tvrzení neplatí. Na základě tvaru předpisu rozdělujeme funkce do čtyř hlavních skupin, všechny ostatní vzniknou jejich sčítáním, odčítáním, násobením, dělením či skládáním. Pro naše potřeby se budeme zabývat jednou podskupinou funkcí, kterou nazýváme lineární lomené funkce.

31 Kapitola 1. Hyperbola 20 Lineární lomená funkce Dříve než se začneme zabývat lineární lomenou funkcí v obecném tvaru, zmíníme se o funkci, kterou nazýváme nepřímá úměrnost. Ta je speciálním tvarem lineární lomené funkce. Nepřímá úměrnost je vztah, ve kterém platí, že s rostoucí nezávislou proměnnou klesá hodnota závisle proměnné a naopak. Lze ji vyjádřit jako funkci na množině R {0} ve tvaru y = k x, kde k R {0}. Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola. Vrátíme-li se k vlastnostem hyperboly uvedeným na začátku kapitoly, pak platí, že velikost AS = BS = a = b = e 2 a 2. U rovnoosé hyperboly jsou asymptoty navzájem kolmé a splývají se souřadnicovými osami nebo jsou s nimi rovnoběžné. V následujícím výčtu si uvedeme vlastnosti funkce f : y = k x, kde k R {0}: 1) definiční obor nepřímé úměrnosti D( f ) = R {0}, 2) obor hodnot H ( f ) = R {0}, 3) pro k > 0 je funkce f klesající na intervalu (,0) a na intervalu (0, ), 4) pro k < 0 je funkce f rostoucí na intervalu (,0) a na intervalu (0, ), 5) nepřímá úměrnost je lichá a zároveň prostá, 6) graf funkce prochází body [ k; k] a [ k; k] pro kladné hodnoty k a body [ k ; k ] a [ k ; k ] pro záporné hodnoty k. y y y = 1 x S x S x y = 1 x Obr. 1.17: Graf nepřímé úměrnosti y = 1 x, y = 1 x Ohniska rovnoosé hyperboly y = 1 x zjistíme pomocí jejích vrcholů, které vypočítáme jako průsečíky osy I. a III. kvadrantu, tj. o : y = x, a rovnoosé hyperboly y = 1 x. Dosazením přímky y = x do rovnice hyperboly dostaneme x = 1 x x2 = 1 x = ±1. Vrcholy hyperboly mají souřadnice A = [1;1], B = [ 1; 1] a zároveň střed rovnoosé hyperboly je v počátku soustavy souřadnic, tj. S = [0;0]. Pro velikost hlavní a vedlejší poloosy platí SA = SB = 2 = a = b. Velikost excentricity určíme pomocí vztahu e 2 = a 2 + b 2 e 2 = 4 e = 2. Souřadnice ohniska G hyperboly zjistíme pomocí Pythagorovy věty. Uvažujme trojúhelník SGG x, kde G x = [x G ;0]. O něm víme, že je pravoúhlý, rovnoramenný a jeho přepona (a zároveň základna rovnoramenného trojúhelníka) má ve-

32 Kapitola 1. Hyperbola 21 likost 2. Z Pythagorovy věty 4 = xg 2 + x2 G vypočítáme x-ovou souřadnici ohniska G: x 2 G + x2 G = 4 x 2 G = 2 x G = 2. Jelikož ohnisko G leží na ose prvního a třetího kvadrantu, platí, že y-ová souřadnice ohniska G je rovna x-ové souřadnici, tj. x G = y G = 2. Ohnisko G má souřadnice G = [ 2; 2]. Ze středové souměrnosti podle středu hyperboly S = [0;0] plyne, že ohnisko F má souřadnice F = [ 2; 2]. Stejně bychom postupovali, kdybychom zjišťovali souřadnice ohnisek rovnoosé hyperboly y = 1 x. Tato ohniska by byla osově souměrná podle osy y s ohnisky rovnoosé hyperboly y = 1 x, tedy F = [ 2; 2], G = [ 2; 2]. Lineární lomená funkce je funkce na množině R { d ax+b c }, daná předpisem f : y = cx+d, kde a, b, c, d R, c 0, bc ad 0, tj. lineární lomená funkce je podíl dvou lineárních funkcí. V případě, že by koeficient c byl roven 0, nejednalo by se o lineární lomenou funkci, ale o lineární funkci danou předpisem f : y = d ax+ d b. Platí-li bc ad = 0, jedná se o funkci konstantní danou předpisem f : y = a c. Většinou jsme postaveni před úkol graf takové funkce načrtnout a je zřejmé, že jednotlivé koeficienty mají na výsledný graf vliv. Proto předpis lineární lomené funkce převedeme na jiný tvar, ze kterého bude jasné, jak se graf mění v závislosti na hodnotách koeficientů. Tuto úpravu provedeme tak, že podělíme oba mnohočleny: (ax + b) : (cx + d) = a c + b ad c cx + d. Budeme-li upravovat výsledek dělení, dostaneme postupně a c + b ad c cx + d = a bc ad c + c cx + d = a c = a c + bc ad c 2 + bc ad c 1 x + d c = a c + 1 x + d c 1 cx + d = a bc ad 1 + c c c (x + d c ) = bc ad c 2. (1.13) Zavedeme-li substituci m = a c, l = d c, k = bc ad, dostáváme z rovnice (1.13) předpis lineární c 2 lomené funkce ve tvaru f : y = m + k x + l. (1.14) V následujícím výčtu si uvedeme vlastnosti lineární lomené funkce (1.14): 1) definiční obor D( f ) = R { d c }, 2) obor hodnot H ( f ) = R { a c }, 3) pro ad bc < 0 je funkce f klesající na intervalu (, d c ) a na intervalu ( d c, ), 4) pro ad bc > 0 je funkce f rostoucí na intervalu (, d c ) a na intervalu ( d c, ), 5) lineární lomená funkce je prostá, 6) pro a = d = 0, b 0, k = b c je f : y = k x nepřímá úměrnost. Grafem každé lineární lomené funkce je rovnoosá hyperbola, kterou získáme z grafu funkce f : y = k x pomocí posunutí. Funkční předpis (1.13) převedeme na tvar f : y = m +. Je-li k > 0, funkce f je klesající, je-li k < 0, funkce f je rostoucí. Parametry l, m, + k x+l

33 Kapitola 1. Hyperbola 22 určují posun po ose x a y. S těmito znalostmi posuneme střed hyperboly [0;0] do bodu [l;m]. Asymptoty hyperboly procházejí posunutým středem S = [l; m], jsou na sebe kolmé, rovnoběžné se souřadnicovými osami a mají rovnice u 1 = a c, u 2 = d c. u 2 y u 2 y u 1 ad bc > 0 S a c ad bc < 0 S a c u 1 d c x d c x Obr. 1.18: Graf lineární lomené funkce y = ax + b cx + d

34 Kapitola 1. Hyperbola Hyperbola jako řez rotační kuželové plochy rovinou Hyperbola, spolu s kružnicí, elipsou a parabolou se souhrnně nazývají regulární kuželosečky. V této podkapitole se tímto pojmem necháme inspirovat, protože, jak už sám název napovídá, všechny tyto rovinné křivky lze získat jako řezy rotační kuželové plochy rovinou, které neprochází jejím vrcholem. Nejdříve se ale musíme seznámit s pojmem rotační kuželová plocha. Definice Nechť je v trojrozměrném eukleidovském prostoru dán pevný bod V, pevná přímka o procházející bodem V a úhel α = (o,a), kde a je libovolná přímka procházející bodem V taková, že a o a nejsou na sebe kolmé. Rotační kuželovou plochou K (V,o,α) rozumíme množinu všech přímek (tzv. povrchových přímek, resp. površek), které svírají s přímkou o (tzv. osou kuželové plochy) úhel o velikosti α. BodV se nazývá vrchol kuželové plochy. o K V α a Obr. 1.19: Rotační kuželová plocha V následujícím odstavci si klasifikujeme jednotlivé řezy rotační kuželové plochy, pro něž platí Quételetova-Dandelinova věta 3. 3 čti: Kételetova-Dandelinova

35 Kapitola 1. Hyperbola 24 Věta Řezem na rotační kuželové ploše rovinou, která není vrcholová je kuželosečka, jejímiž ohnisky jsou dotykové body kulových ploch, které lze vepsat do kuželové plochy tak, že se dotýkají roviny řezu. Jestliže rovina protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy, je řezem elipsa (je-li rovina navíc kolmá k ose plochy, potom je řezem kružnice, dotykové body vepsaných kulových ploch potom splývají). Je-li rovina řezu rovnoběžná právě s jednou povrchovou přímkou rotační kuželové plochy, je řezem parabola (do rotační kuželové plochy lze vepsat jedinou kulovou plochu splňující dané podmínky). Je-li rovina řezu rovnoběžná se dvěma površkami plochy, je řezem hyperbola a ony povrchové přímky udávají směry asymptot. Označme α úhel, který svírají povrchové přímky nebo též površky rotační kuželové plochy s rovinou kolmou k ose rotace o. Dále označme β úhel, který svírá rovina řezu σ s rovinou kolmou k ose rotační kuželové plochy. Potom mohou nastat tři možnosti: a) jedná-li se o eliptický řez rotační kuželové plochy, rovina má protnout všechny její povrchové přímky a to nastane právě, když α > β. Přičemž je-li rovina σ kolmá k ose o, tj. β = 0, pak je řezem kružnice, b) má-li se jednat o parabolický řez, musí nastat rovnost odchylek α = β, c) poslední možností je hyperbolický řez, pro který platí α < β. Na obrázku 1.20 jsou u každého řezu navíc znázorněny řezy vrcholovými rovinami, tj. roviny procházející vrcholem rotační kuželové plochy V, a které jsou rovnoběžné s rovinami σ, jsou to postupně: a) bod (vrchol rotační kuželové plochy), b) přímka procházející vrcholem rotační kuželové plochy (jedna její povrchová přímka), c) dvě různoběžky se společným bodem, kterým je vrchol rotační kuželové plochy.

36 Kapitola 1. Hyperbola 25 o V S A B k σ σ o V S k A B α β σ σ o V S k A α β σ σ o V S k α A B β σ σ Obr. 1.20: Klasifikace rovinných řezů rotační kuželové plochy rovinou: kružnice, elipsa, parabola a hyperbola

37 Kapitola 1. Hyperbola 26 My se ovšem z celého znění Quételetovy-Dandelinovy věty budeme věnovat té situaci, kdy rovina s osou rotační kuželové plochy svírá úhel menší než polovina vrcholového úhlu rotační kuželové plochy (tedy rovina σ je rovnoběžná se dvěma povrchovými přímkami rotační kuželové plochy). Její ohniska jsou dotykové body pomocných kulových ploch vepsaných do rotační kuželové plochy a dotýkajících se roviny řezu σ. Důkaz. Na obrázku 1.21 volíme průmětnu tak, že obsahuje osu o dané rotační kuželové plochy. Rovina řezu σ je k průmětně kolmá, zobrazuje se jako přímka a průměty řezů jsou částmi této přímky. Libovolná povrchová kružnice kuželové plochy se zobrazuje jako úsečka kolmá k její ose o. Nechť je dána rotační kuželová plocha K a rovina σ je rovinou řezu. Nezapomeňme, že rovina σ není vrcholovou rovinou, tedy neprochází vrcholem rotační kuželové plochy a je rovnoběžná se dvěma površkami rotační kuželové plochy K. Do dané rotační kuželové plochy K vepíšeme pomocné kulové plochy κ 1, κ 2 (dotýkající se plochy K podél kružnic k 1, k 2 ) tak, aby rovina řezu σ byla jejich tečná rovina, body dotyku označme F, G. Středy pomocných kulových ploch, které označíme S 1, S 2, leží na ose o. Chceme-li dokázat, že křivka, která vznikla řezem roviny σ, je hyperbola, musíme dokázat, že všechny body průniku mají konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností od bodů F, G, tj. PF PG = AB. Na rovině σ zvolíme libovolný bod P = K σ a ukážeme, že leží na hyperbole. Nechť p je povrchová přímka rotační kuželové plochy, která prochází bodem P a dotýká se kulových ploch κ 1, κ 2 v bodech P 1 = p k 1, P 2 = p k 2. Platí PF = PP 1, protože PF i PP 1 jsou tečny kulové plochy κ 1 a body F a P 1 jí náleží, tudíž jsou stejně vzdálené od bodu P. Obdobně PG = PP 2. Odtud PF PG = PP 1 PP 2 = P 1 P 2. Velikost P 1 P 2 nezávisí na volbě bodu P, proto je rozdíl PF PG konstantní a řezem je hyperbola. Ukážeme, že tato konstanta je rovna AB = 2a (body A, B viz obrázek 1.21). Platí BQ 1 = BF a BQ 2 = BG, jelikož BQ 1, BF jsou tečny kulové plochy κ 1 z bodu B. Obdobně BQ 2 a BG jsou tečny kulové plochy κ 2. Dále platí odkud plyne FG 2 BG = FG 2 AF BG = AF, Q 1 Q 2 = BQ 1 BQ 2 = BF BG = BF AF = AB = 2a. To znamená, že každý bod řezu je bodem hyperboly, jejíž ohniska jsou body F, G a hlavní poloosa má délku a = AB 2. A naopak snadno zjistíme, že každý bod hyperboly je též bodem řezu a tím je věta dokázána.

38 Kapitola 1. Hyperbola 27 p o P κ 1 K F S 1 A P 1 k 1 Q 1 V P 2 B Q 2 G k 2 S 2 κ 2 Obr. 1.21: Důkaz Quételetovy-Dandelinovy věty pro hyperbolický řez

39 Kapitola 1. Hyperbola Definice společná všem kuželosečkám Na začátku kapitoly jsme si definovali hyperbolu jako množinu bodů splňující určité vlastnosti. Nyní budeme předpokládat jednu společnou definici, pomocí níž dostaneme každou ze tří kuželoseček (elipsu, parabolu a hyperbolu), které jednotně nazýváme regulární kuželosečky. Věta Nechť d je přímka v eukleidovské rovině a F je bod, který na ní neleží. Dále nechť k > 0 je reálné číslo. Množina bodů X v eukleidovské rovině takových, že mají konstantní poměr vzdáleností k = FX : Xd, je kuželosečka, která je a) elipsou, jestliže k < 1, b) parabolou, jestliže k = 1, c) hyperbolou, jestliže k > 1. Přímka d se nazývá řídicí přímka kuželosečky a zvolený bod F se nazývá ohnisko kuželosečky. Konstanta k jejíž hodnota rozhoduje, o kterou kuželosečku se jedná, se nazývá číselná excentricita (výstřednost) kuželosečky. d X X F X Obr. 1.22: Ilustrace společné definice kuželoseček

40 Kapitola 2 Analytické příklady Tato kapitola se věnuje analytickým příkladům, které se týkají hyperboly. Příklady začínají těmi nejjednoduššími, kdy jsou na základě rovnice hyperboly odvozovány její základní vlastnosti a pokračují příklady s vyšší obtížností, ve kterých je úkolem naopak rovnici hyperboly odvodit ze zadaných vlastností. Následují příklady, které se týkají vzájemné polohy hyperboly a přímky, především pak tečny a sečny hyperboly. Druhá část kapitoly pak obsahuje příklady, ve kterých je hyperbola chápána jako graf funkce. 2.1 Rovnice hyperboly a její vlastnosti Příklad 1. Charakterizujte a načrtněte hyperbolu 9x 2 16y 2 = 144, tj. určete velikost obou poloos, excentricitu a souřadnice ohnisek hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic. Řešení. Rovnici podělíme číslem 144 a získáme rovnici ve tvaru 16 x2 y2 9 = 1. Střed hyperboly je v bodě S = [0;0], velikost hlavní poloosy je a 2 = 16 a = 4 a velikost vedlejší poloosy je b 2 = 9 b = 3. Pomocí vztahu e 2 = a 2 + b 2 zjistíme excentricitu zadané hyperboly e 2 = e = 25 e = 5. Souřadnice ohnisek hyperboly jsou rovny F = [ 5;0], G = [5;0]. y e b F A S a B G x Obr. 2.1: Hyperbola 9x 2 16y 2 =

41 Kapitola 2. Analytické příklady 30 Příklad 2. Charakterizujte a načrtněte zadanou hyperbolu h, tj. určete velikost obou poloos, excentricitu a souřadnice ohnisek hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic: a) h : x 2 4y 2 = 16, b) h : 9x 2 36y 2 = 324, c) h : 9y 2 4x 2 = 36, d) h : 10x 2 5y 2 = 50. Příklad 3. Charakterizujte a načrtněte hyperbolu 9(x 5) 2 16(y + 3) 2 = 576, tj. určete velikost obou poloos, excentricitu a souřadnice ohnisek hyperboly se středem S = [m;n]. Řešení. Rovnici podělíme číslem 576 a získáme rovnici ve tvaru (x 5)2 36 = 1. Střed hyperboly je S = [5; 3], velikost hlavní poloosy je a 2 = 64 a = 8 a velikost vedlejší poloosy je b 2 = 36 b = 6. Pomocí vztahu e 2 = a 2 + b 2 vypočítáme excentricitu zadané hyperboly e 2 = e = 100 e = 10. Souřadnice ohnisek hyperboly jsou rovny F = [ 5; 3], G = [15; 3]. 64 (y+3)2 b e a F A S B G Obr. 2.2: Hyperbola 9(x 5) 2 16(y + 3) 2 = 576 Příklad 4. Charakterizujte a načrtněte hyperbolu h, tj. určete velikost obou poloos, excentricitu a souřadnice ohnisek hyperboly se středem v bodě S = [m;n]: a) h : 9x 2 90x 16y 2 64y = 17, b) h : 9x 2 18x 25y 2 100y = 316, c) h : 4(x 4) 2 (y 2) 2 = 16, d) h : 9x 2 36x 16y 2 96y = 252, e) h : 4x x 9y 2 18y = 29. Příklad 5. Napište rovnici hyperboly, je-li dáno a = 6, e = 9, osy hyperboly splývají se souřadnicovými osami a zároveň hlavní osa hyperboly je přímka y = 0. Řešení. Dle zadání má hyperbola rovnici x2 y2 = 1 a její střed je v bodě S = [0;0]. a 2 b 2 Protože e = 9, souřadnice ohnisek hyperboly jsou rovny F = [ 9;0], G = [9;0]. Využitím vztahu e 2 = a 2 + b 2 získáme velikost vedlejší poloosy b 2 = b = 45 = 3 5. Pro a 2 = 36, b 2 = 45 má hyperbola rovnici x 2 36 y2 45 = 1.

42 Kapitola 2. Analytické příklady 31 Příklad 6. Napište rovnici hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic, je-li dáno: a) a = 4, e = 5 a ohniska hyperboly leží na ose x, b) b = 7 2, e = 5 a ohniska hyperboly leží na ose y, c) F = [0; 4], G = [0;4] a platí, že 2a = 6, d) hyperbola prochází body M = [2; 6], N = [ 3;2] a hlavní osa splývá s osou x. Příklad 7. Napište rovnici hyperboly, je-li dáno: A = [ 3; 2], B = [7; 2], b = 3. Řešení. Vrcholy hyperboly leží na přímce y = 2, která je hlavní osou hyperboly. A protože platí S AB = A+B 2, je středem hyperboly bod S = [2; 2]. Vzdálenost SA = SB = 5 je velikost hlavní poloosy. Pro a 2 = 25, b 2 = 9 má hyperbola rovnici (x 2) 2 25 (y + 2)2 9 = 1. Příklad 8. Napište rovnici hyperboly, je-li dáno: a) A = [ 8;1], B = [4;1], F = [ 12;1], b) S = [2;4], a = 12, e = 20 a hlavní osa je rovnoběžná s osou y, c) F = [ 10;2], G = [16;2] a platí, že 2a = 24, d) S = [2; 1], G = [7; 1], B = [5; 1]. Příklad 9. Napište rovnici hyperboly, je-li dáno: S = [ 3;0], a + b = 7, e = 5 a hlavní osa splývá s osou x. Řešení. Nejprve vyjádříme jednu proměnnou, např. b : b = 7 a, kterou dosadíme do rovnice e 2 = a 2 + b 2 a získáme tak kvadratickou rovnici: a 2 + (7 a) 2 = 25 a 2 7a + 12 = 0 (a 4)(a 3) = 0. Rovnice má dva kořeny a 1 = 4, a 2 = 3. Pro a 1 = 4 platí b 1 = 3 a pro a 2 = 3 platí b 2 = 4. Příklad má dvě řešení: (x + 3) 2 16 y2 9 = 1, (x + 3) 2 y = 1. Příklad 10. Napište rovnici hyperboly, je-li dáno ohnisko G = [5; 1] a asymptoty hyperboly u 1 : y = 2x 1, u 2 : y = 2x 1. Řešení. Střed hyperboly je průsečík asymptot, tj. hledáme průsečík přímek: } y = 2x 1 2x 1 = 2x 1 4x = 0 x = 0 y = 1. y = 2x 1 Průsečík asymptot je roven S = [0; 1], pomocí něhož určíme vzdálenost SG = 5, která je rovna excentricitě hyperboly. Velikosti obou poloos udávají směrnice asymptot k = b a = 2 b = 2a, k = b = 2 b = 2a. a

43 Kapitola 2. Analytické příklady 32 Tyto vztahy dosadíme do vzorce e 2 = a 2 + b 2 : 25 = a 2 + (±2a) 2 25 = 5a 2 a 2 = 5 a = 5 b = ±2a = 5. Pro a 2 = 5, b 2 = 20 má hyperbola rovnici x 2 5 (y + 1)2 20 = 1. Příklad 11. Určete rovnice asymptot hyperboly 9x 2 36x 16y y 124 = 0. Řešení. Upravíme rovnici hyperboly: 9x 2 36x 16y y 124 = 0 9x 2 36x 16y y = 124 9(x 2 4x) 16(y 2 2y) = 124 9(x 2) (y 1) = 124 9(x 2) 2 16(y 1) 2 = 144 (x 2) 2 16 (y 1)2 9 = 1. Z tohoto tvaru získáme střed hyperboly S = [2; 1], délku hlavní poloosy a = 4 a velikost vedlejší poloosy b = 3. Asymptoty hyperboly o středu S = [2;1] a hlavní ose rovnoběžné s osou x mají rovnice ve tvaru u 1 : y = 3 4 x + 5 4, u 2 : y = 3 4 x Příklad 12. Napište rovnici hyperboly, je-li dán střed hyperboly S = [0; 0], hlavní osa hyperboly splývá s osou x, e = 6 a prochází bodem M = [8;2]. Dále vypočtěte odchylku asymptot hyperboly. Příklad 13. Napište rovnici hyperboly, je-li dán její střed S = [0; 0], hlavní osa hyperboly splývá s osou x, asymptota hyperboly u 1 : 2x + 3y = 0 a prochází bodem M = [ 5; 8 3]. Příklad 14. Napište rovnici hyperboly, jsou-li dány asymptoty hyperboly u 1 : y 2x = 5, u 2 : y + 2x = 1 a prochází bodem M = [4;9]. Příklad 15. Napište rovnici hyperboly, je-li dán vrchol hyperboly B = [3; 3] a asymptoty hyperboly u 1 : 2y = 3x + 9, u 2 : 2y = 3x 9. Příklad 16. Určete rovnice asymptot hyperboly h: a) h : x2 4 y2 9 = 1, c) h : (x + 25)2 225 (y + 14)2 400 = 1, b) h : y2 36 x2 36 = 1, d) h : (y 6)2 64 (x + 3)2 36 = 1.

44 Kapitola 2. Analytické příklady Vzájemná poloha hyperboly a přímky Příklad 17. Určete průsečík hyperboly (x+3)2 K = [ 5;5], L = [ 2;8] (y 5)2 4 = 1 a přímky dané dvěma body Řešení. Vypočítáme směrový vektor směřující od bodu K do bodu L : #» KL = L K = (3,3) a přímku vyjádříme parametricky p : x = 5 + 3t, y = 5 + 3t, kde t R je parametr. Toto vyjádření dosadíme do rovnice hyperboly: (3t 2)2 + 9t = 1 2(9t 2 12t + 4) + 5 9t 2 20 = 0 18t t t 2 20 = 0 Kvadratickou rovnici řešíme pomocí diskriminantu: t 1,2 = b ± b 2 4ac 2a 27t t 28 = 0. = 24 ± = 24 ± = 24 ± kde t 1 = 14 9, t 2 = 2 3. Řešení dosadíme do parametrického vyjádření přímky p, odkud získáme průsečík hyperboly a přímky P 1 = [ 29 3 ; 1 3 ], P 2 = [ 3;7]. Příklad 18. Určete vzájemnou polohu hyperboly (x 1)2 81 y2 9 = 1 a přímky p : 4x 15y 4 = 0. Určete souřadnice jejich průsečíků, pokud existují. Řešení. Z rovnice přímky p vyjádříme např. proměnnou x = 15y 4 + 1, kterou dosadíme do rovnice hyperboly: ( ) 2 15y ( 15y 4 ) 2 y2 9 = 1 y = 1 ( ) 15y 2 9y 2 = y y2 = 81 81y 2 16 = 81 y 2 = 16 y 1,2 = ±4. Rovnice má dvě řešení, proto je přímka p sečnou a průsečíky s hyperbolou jsou rovny P 1 = [16;4], P 2 = [ 14; 4].,

45 Kapitola 2. Analytické příklady 34 Příklad 19. Určete počet společných bodů hyperboly (x+2)2 + 3y 1 = 0. 9 (y 1)2 4 = 1 a přímky p : x + Příklad 20. Určete vzájemnou polohu hyperboly h a přímky p. Určete souřadnice jejich průsečíků, pokud existují. a) h : x 2 y 2 9 = 0, p : x = 5 + 4t, y = 4 + 5t, b) h : 4x 2 y 2 64 = 0, p : 10x 3y 32 = 0, c) h : x 2 4y 2 8 = 0, p : x 2y + 2 = 0, d) h : x2 81 y2 = 1, p : x = 9 + 3t, y = 4t, 36 e) h : y 2 x 2 64 = 0, p : x = 4 + 5t, y = 4 + 3t, f) h : x 2 4y 2 4 = 0, p : 2x y + 3 = 0, g) h : 16y 2 25x = 0, p : 5x 4y 10 = 0, h) h : y2 81 x2 = 1, p : x = 2t, y = 3t. 36 Příklad 21. Bodem R = [2; 5] procházejí přímky, které jsou rovnoběžné s asymptotami hyperboly 4x 2 y = 0. Určete jejich rovnice a průsečíky se zadanou hyperbolou. Řešení. Upravíme rovnici hyperboly 4x 2 y = 0 x 2 y2 4 = 1, odkud zjistíme velikosti obou poloos a 2 = 1 a = 1, b 2 = 4 b = 2. Rovnice asymptot hyperboly jsou u 1 : y = 2x, u 2 : y = 2x. Všechny přímky rovnoběžné s asymptotami jsou ve tvaru y±2x+ + c = 0. Aby přímky procházely bodem R = [2; 5], musíme určit hodnotu parametru c: c = 0 c = 9 y 2x + 9 = 0, c = 0 c = 1 y + 2x + 1 = 0. Průsečík hyperboly a přímky zjistíme tak, že vyjádříme jednu neznámou z rovnice přímky: y 2x + 9 = 0 y = 2x 9, y + 2x + 1 = 0 y = 2x 1, kterou dosadíme do rovnice hyperboly: 4x 2 (2x 9) = 0 4x 2 ( 2x 1) = 0 4x 2 4x x = 0 4x 2 4x 2 4x = 0 36x = 77 4x = 3 x 1 = 77 36, x 2 = 3 4. Získanou souřadnici x dosadíme do rovnice přímky: y = 2x 9 = = 85 3, y = 2x 1 = = 5 2. Průsečík přímky y 2x + 9 = 0 s hyperbolou je P 1 = [ ; 85 18] a průsečík přímky y + 2x = 0 s hyperbolou je P 2 = [ 3 4 ; 5 2].

46 Kapitola 2. Analytické příklady Tečna hyperboly Příklad 22. Napište rovnici tečny hyperboly v bodě dotyku T : a) 4x 2 24x 5y 2 20y [ 4 = ] 0, T = [8; 6], b) x2 25 y = 1, T = 4 ; 3. Příklad 23. Napište rovnici tečny hyperboly 4x 2 5y 2 20 = 0 v jejím bodě dotyku T = [5;y < 0]. Řešení. Souřadnice bodu dotyku T = [5;y < 0] dosadíme do rovnice hyperboly 100 5y 2 20 = 0 5y 2 = 80 y 2 = 16 y = ±4. Ze zadání plyne, že y-ová souřadnice je záporná, tedy bod dotyku je T = [5; 4]. Rovnice tečny hyperboly je tvaru 5x 5 + 4y 4 = 1 x + y 1 = 0. Příklad 24. Napište rovnici tečny hyperboly h v bodě dotyku T : a) h : 4y 2 8x 2 32 = 0, T = [x > 0;4], b) h : x2 36 y2 = 1, T = [ 10;y > 0], 81 c) h : y2 64 x2 25 = 1, T = [ ] 15 4 ;y < 0. Příklad 25. K hyperbole 15 x2 y2 6 = 1 veďte tečnu: a) rovnoběžnou s přímkou x + y 7 = 0, b) rovnoběžnou s přímkou x 2y = 0, c) kolmou k přímce x 2y = 0. Řešení. a) Tečny rovnoběžné s přímkou x + y 7 = 0 mají tvar x + y + q = 0. Z této rovnice vyjádříme jednu proměnnou, např. x : x = y q, kterou dosadíme do rovnice hyperboly: ( y q) 2 y = 1 2(y 2 + 2yq + q 2 ) 5y 2 30 = 0 2y 2 + 4yq + 2q 2 5y 2 30 = 0 }{{} 3 y 2 + 4q y + 2q }{{} 2 30 = 0. }{{} = a = b = c Využitím diskriminantu D = b 2 4ac řešíme kvadratickou rovnici: 16q (2q 2 30) = 0 16q q = 0 40q 2 = 360 q 2 = 9 q = ±3.

47 Kapitola 2. Analytické příklady 36 Dostaneme dvě přímky x + y + 3 = 0, x + y 3 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou x + y 7 = 0. b) Postupujeme analogicky jako v případě a) a vyjde nám, že tečna neexistuje. c) Přímka x 2y = 0 má normálový vektor #» u = (1, 2). Přímka na ni kolmá má normálový vektor #» n = (2,1), tj. přímky kolmé na přímku x 2y = 0 mají tvar 2x+y+q = 0. Z obecné rovnice vyjádříme jednu neznámou, např. y : y = 2x q, kterou dosadíme do rovnice hyperboly: x 2 ( 2x q)2 = x 2 5(4x 2 + 4xq + q 2 ) 30 = 0 18x 2 20xq 5q 2 30 = 0 }{{} 18 x q x + 5q }{{} = 0. }{{} = a = b = c Pomocí diskriminantu D = b 2 4ac řešíme kvadratickou rovnici: 400q 2 72(5q ) = 0 400q 2 360q = 0 40q 2 = 2160 q 2 = 54 q = ± 54. Odtud získáváme dvě přímky 2x + y + 54 = 0, 2x + y 54 = 0, které jsou kolmé na přímku x 2y = 0. Příklad 26. Určete rovnici tečny hyperboly h, která je rovnoběžná s přímkou p: a) h : 4x 2 y 2 36 = 0, p : 5x 2y + 7 = 0, b) h : 2x 2 y 2 2 = 0, p : 2x y = 0, c) h : 4x 2 y 2 12 = 0, p : 4x + y + 1 = 0. Příklad 27. Určete hodnoty parametrů k, q tak, aby přímka y = kx+q byla tečnou hyperboly 16x 2 25y = 0 a procházela bodem Q = [0;3]. Příklad 28. Najděte průsečíky tečny hyperboly (x+2)2 4y + 12 = 0, q : x + y + 2 = 0 v bodě T = [4; 3]. 4 (y 5)2 8 = 1 s přímkami p : x Příklad 29. Bodem A = [2;1] veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou x 2 2y 2 = 2 jediný společný bod. Příklad 30. Najděte průsečíky hyperboly (x 3) 2 4y 2 = 1 s osou y a napište rovnice tečen v těchto bodech.

48 Kapitola 2. Analytické příklady Hyperbola jako graf funkce Příklad 31. Monika má na zahradě bazén, který má objem 5000 l. Chce ho naplnit vodou, bohužel však nemá žádnou hadici, má jen velké množství kbelíků (10 l) a spoustu ochotných kamarádů. Sama by vodu v kbelíku nosila 8 a půl hodiny. Jak dlouho by se bazén plnil, když by jí pomáhal jeden kamarád? Jak dlouho by to trvalo ve 3, 5, 7, 10, 15 lidech? Předpokládejme, že všichni pracují efektivně, tj. každý z přátel by vodu v kbelíku nosil 8 a půl hodiny. Řešení. Lidé (počet) Čas (min) , Čím více lidí Monika poprosí, tím dříve bude mít naplněný bazén a bude moct uspořádat oslavu svých narozenin. Příklad 32. Nakreslete graf funkce f : y = 510 x, určete definiční obor a obor hodnot. Řešení. x f (x) , ,86 Nejdříve si vypočítáme několik funkčních hodnot pro vhodně zvolené x (viz tabulka). Graf funkce f : y = 510 x bude vypadat přibližně takto: y S x Obr. 2.3: Graf funkce y = 510 x Tuto závislost známe jako nepřímou úměrnost, pro kterou platí D( f ) = R {0}, H ( f ) = = R {0}. Lze si všimnout, že některé z hodnot jsou stejné jako v příkladu 31, z čehož můžeme soudit, že předchozí závislost počtu lidí na době plnění bazénu lze vyjádřit pomocí předpisu f : y = 510 x.

49 Kapitola 2. Analytické příklady 38 Příklad 33. Nakreslete graf funkce f, určete definiční obor a obor hodnot: a) f : y = 4 0,5, b) f : y = x x, 5 c) f : y = x. Příklad 34. Nakreslete graf funkce y = x+1 x 2. Určete definiční obor, obor hodnot, asymptoty, střed souměrnosti a průsečíky s osou x i s osou y. Řešení. V tomto případě nemůžeme nakreslit graf funkce, protože se v předpisu vyskytuje na dvou místech x. Nechtěného x v čitateli se zbavíme tak, že podělíme oba mnohočleny: (x + 1) : (x 2) = x 2, Dostaneme tvar funkce, který lze už snadno nakreslit. y u S x u 2 Obr. 2.4: Graf funkce y = x + 1 x 2 Příklad 35. Nakreslete graf funkce f. Určete definiční obor, obor hodnot, asymptoty, střed souměrnosti a průsečíky s osou x i s osou y. a) f : y = 1 5 x 4 + 3, 4 e) f : y = x , 2 b) f : y = x + 2 x + 4, c) f : y = 1 x x + 3, d) f : y = 1 2x x 2, f) f : y = 2x + 1 x 3, g) f : y = 3x + 4 2x + 1, h) f : y = 5x 2 2 x 1.

50 Kapitola 2. Analytické příklady Výsledky Rovnice hyperboly a její vlastnosti Příklad 2: a) a = 4, b = 2, e = 2 5, F = [ 2 5;0], G = [2 5;0], b) a = 6, b = 3, e = 3 5, F = [ 3 5;0], G = [3 5;0], c) a = 3, b = 2, e = 13, F = [0; 13], G = [0; 13], d) a = 5, b = 10, e = 15, F = [ 15;0], G = [ 15;0]. Příklad 4: a) S = [5; 2], a = 4, b = 3, e = 5, F = [0; 2], G = [10; 2], b) S = [1; 2], a = 5, b = 3, e = 34, F = [1 34; 2], G = [1 + 34; 2], c) S = [4;2], a = 2, b = 4, e = 2 5, F = [4 2 5;2], G = [ ;2], d) S = [2; 3], a = 4, b = 3, e = 5, F = [ 3; 3], G = [7; 3], e) S = [ 2; 1], a = 3, b = 2, e = 13, F = [ 2 13; 1], G = [ ; 2]. Příklad 6: a) h : 16 x2 y2 9 = 1, b) h : 4y2 49 4x2 51 = 1, c) h : y2 7 x2 9 = 1, d) h : x2 1 y2 2 = 1. Příklad 8: a) h : (x+2)2 36 (y 1)2 64 = 1, b) h : (y 4)2 256 (x 2)2 144 = 1, c) h : (x 3)2 144 (y 2)2 25 = 1, d) h : (x 2)2 9 (y+1)2 16 = 1. Příklad 12: h : 32 x2 y2 4 = 1, α = Příklad 13: h : x2 9 y2 4 = 1 Příklad 14: h : (x+1)2 16 (y 3)2 64 = 1 Příklad 15: h : y2 9 (x 3)2 4 = 1 Příklad 16: a) u 1 : y = 3 2 x, u 2 : y = 3 2 x, b) u 1 : y = x, u 2 : y = x, c) u 1 : y 3 x 33 4 = 0, u 2 : y + 3 x 15 4 = 0, d) u 1 : y 3 4x 58 3 = 0, u 2 : y + 4 3x + 18 = Vzájemná poloha hyperboly a přímky Příklad 19: hyperbola a přímka p mají dva společné body Příklad 20: a) přímka p je tečna hyperboly h s bodem dotyku T = [5;4], b) přímka p je tečna hyperboly h s bodem dotyku T = [5;6], c) přímka p je vnější přímka hyperboly h, d) přímka p je sečna hyperboly h s průsečíky P 1 = [ 9;0], P 2 = [ 15; 8],

51 Kapitola 2. Analytické příklady 40 e) přímka p je tečna hyperboly h s bodem dotyku T = [ 6; 10], f) přímka p je vnější přímka hyperboly h, g) přímka p je rovnoběžná s jednou z asymptot, tj. sečna hyperboly h s průsečíkem P = [ 3; 25 4 ], h) přímka p je asymptotou hyperboly h Tečna hyperboly Příklad 22: a) t : 2x + y 6 = 0, b) t : 4x + 3y 16 = 0. Příklad 24: a) t : x y + 2 = 0, T = [2;4], b) t : 15x + 8y + 54 = 0, T = [ 10;12], c) t : 24x + 25y = 0, T = [ 15 4 ; 10 ]. Příklad 26: a) t 1 : 5x 2y + 9 = 0, t 2 : 5x 2y 9 = 0, b) t 1 : 2x y + 2 = 0, t 2 : 2x y 2 = 0, c) t 1 : 4x + y + 6 = 0, t 2 : 4x + y 6 = 0. Příklad 27: k = ±1, q = 3 Příklad 28: průsečík přímek t, p je bod P = [0;3], průsečík přímek t, q je bod Q = [2;0] Příklad 29: t : x y 1 = 0, p 1 : x 2y = 0, p 2 : x + 2y 2 2 = 0 Příklad 30: T 1 = [0; 2], t 1 : 3x + 4 2y 8 = 0, T 2 = [0; 2], t 2 : 3x 4 2y 8 = Hyperbola jako graf funkce Příklad 33: y y y S x S x S x a) y = 4 x b) y = 0,5 x c) y = 5 x Obr. 2.5: Grafy nepřímých úměrností z příkladu 33

52 Kapitola 2. Analytické příklady 41 Příklad 35: y u 2 u 2 y u 2 y 3 1 u 1 u x u x x a) y = 1 x b) y = x + 2 x + 4 y u 2 y u 2 c) y = 1 x x + 3 y u 2 u x u x u 1 x d) y = 1 + 2x x 2 e) y = x f) y = 2x + 1 x 3 u 2 y y u x 3 2 u x u 1 6 g) y = 3x + 4 2x + 1 h) y = 5x 2 2 x 1 Obr. 2.6: Grafy lineárních lomených funkcí z příkladu 35

53 Kapitola 3 Konstrukce hyperboly V následující kapitole se budeme zabývat konstrukcí hyperboly z definice a v druhé části si uvedeme řešené i neřešené konstrukční příklady. 3.1 Bodová konstrukce hyperboly Tato konstrukce nám umožní sestrojit jednotlivé body hyperboly. Nechť jsou dána ohniska hyperboly F, G a délka hlavní poloosy a. Sestrojíme střed úsečky FG, který je zároveň středem hyperboly. Na přímku o = FG naneseme na obě strany od bodu S vzdálenost a = AS = BS a vzniklé průsečíky jsou vrcholy hyperboly A, B. Na přímce o zvolíme libovolný bod M tak, aby ležel vně úsečky FG. Sestrojíme kružnice k 1 (F; MA ), k 2 (G; MB ) a kružnice k 3 (F; MB ), k 4 (G; MA ). Body M 1, M 2, ve kterých se kružnice k 1, k 2 protínají, a body M 3, M 4, ve kterých se protínají kružnice k 3, k 4, jsou body hledané hyperboly. Při konstrukci bodů M 2, M 3, M 4 můžeme využít souměrnosti podle vedlejší a hlavní osy hyperboly a body sestrojit snadněji. k 1 M 3 M 1 k 2 F e A S a B G M M 4 M 2 Obr. 3.1: Bodová konstrukce hyperboly 42

54 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly Konstrukce hyperoskulačních kružnic hyperboly Při konstrukci hyperboly se okolí jejích vrcholů nahrazuje vhodně dlouhými oblouky hyperoskulačních kružnic. Pro konstrukci těchto oblouků ve vrcholech hyperboly A, B potřebujeme znát asymptoty hyperboly u 1, u 2. V jednom z hlavních vrcholů hyperboly, např. A, vztyčíme kolmici k hlavní ose hyperboly, jejíž průsečík s asymptotou u 1 označíme P. V tomto bodě vztyčíme kolmici k asymptotě u 1 a průsečík kolmice s hlavní osou hyperboly označíme S A. Bod S A je hledaným středem hyperoskulační kružnice ve vrcholu A. Střed S B hyperoskulační kružnice ve druhém vrcholu B najdeme pomocí souměrnosti podle středu hyperboly S. Hyperoskulační kružnice jsou kružnice k A (S A ; S A A ), k B (S B ; S B B ). u 1 u 2 P S A F A B S G S B k A Obr. 3.2: Konstrukce středu hyperoskulačních kružnic ve vrcholech hyperboly Důkaz. Oprávněnost konstrukce hyperoskulačních kružnic hyperboly v jejích vrcholech je vidět z následující úvahy. Nechť k je libovolná kružnice mající střed S B = [s;0] na hlavní ose hyperboly a procházející vrcholem hyperboly B. Rovnice kružnice k má tvar (x s) 2 + y 2 = (s a) 2 y 2 = (s a) 2 (x s) 2 y 2 = a 2 x 2 + 2xs 2sa. Pro průsečík X = [x;y] kružnice k s hyperbolou o rovnici b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 platí vztah b 2 x 2 a 2 (a 2 x 2 + 2xs 2sa) a 2 b 2 = 0 b 2 x 2 a 4 + a 2 x 2 2a 2 xs + 2a 3 s a 2 b 2 = 0 x 2 (a } 2 {{ + b } 2 ) 2a 2 xs a 2 (a } 2 {{ + b } 2 2as) = 0 = e 2 = e 2 e 2 }{{} = a x 2 2a }{{} 2 s = b x + 2a } 3 s {{ a 2 e } 2 = 0. (3.1) = c

55 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 44 Kružnice k bude nejlépe nahrazovat hyperbolu v okolí vrcholu B, jestliže body X a B splynou. Toto nastane, jestliže rovnice (3.1) má dvojnásobný kořen, tj. jestliže je diskriminant roven nule ( 2a 2 s) 2 4 e 2 ( a 2 )(e 2 2as) = 0 4a 4 s 2 + 4e 4 a 2 8a 3 e 2 s = 0 a 2 s 2 2e 2 sa + e 2 = 0 (as e 2 ) 2 = 0, tedy když je splněn vztah (as e 2 ) 2 = 0 nebo s = e2 a. Poloměr takové kružnice je r = s a = b2 a. Platí, že trojúhelníky SBP a S BBP jsou podobné, tedy S B B BP = BP BS, kde P je průsečík asymptoty a kolmice v hlavním vrcholu hyperboly B. Odtud plyne konstrukce středu hyperoskulační kružnice v hlavních vrcholech hyperboly. 3.3 Proužková (úseková) konstrukce hyperboly Proužkovou konstrukci hyperboly využijeme v situaci, kdy známe asymptoty u 1, u 2 a jeden její bod M. Libovolně zvolíme přímku procházející bodem M hyperboly a její průsečíky s asymptotami u 1, u 2 označíme P, P. Následně k úsečce PM sestrojíme stejně dlouhou úsečku P M, kde M je bod hyperboly. u 1 u 2 S M P P M Obr. 3.3: Proužková (úseková) konstrukce hyperboly

56 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly Řešené konstrukční příklady V následující podkapitole se budeme zabývat polohovými úlohami. Těmi rozumíme úlohy, kde je alespoň jeden z prvků útvaru zadán svou polohou, a jejichž řešením je hyperbola se zadanými vlastnostmi sestrojená pomocí pravítka, kružítka, případně i úhloměru. Hyperbolu budeme považovat za určenou, budeme-li znát hlavní vrcholy hyperboly, ohniska hyperboly a její asymptoty. Příklad 36. Sestrojte hyperbolu, jsou-li dána ohniska hyperboly F, G a libovolný bod hyperboly M. M G F Obr. 3.4: Zadání konstrukčního příkladu 36 Řešení. Popis konstrukce: 1) o; hlavní osa hyperboly o = FG, 2) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 3) FM, GM; průvodiče bodu M s ohnisky hyperboly F, G, 4) Q; Q FM, MG = MQ, FM > FQ, 5) a; z definice FM MG = FM MQ = 2a, 6) A, B; A, B o, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 7) vztyčíme kolmice z vrcholů hyperboly A, B na hlavní osu hyperboly, 8) l; l(s; SF = SG ), 9) I, II, III, IV ; průsečíky kružnice l s kolmicemi vztyčenými z vrcholů hyperboly, 10) u 1 ; asymptota hyperboly u 1 je spojnice bodů I, III, 11) u 2 ; asymptota hyperboly u 2 je spojnice bodů II, IV. Diskuse: Úloha má jediné řešení, pokud bod hyperboly M neleží na hlavní ose hyperboly uvnitř úsečky FG nebo nesplývá s některým z ohnisek hyperboly F, G. Konstrukce se může lišit v závislosti na velikosti průvodičů, tj. zdali je FM > GM nebo FM < GM.

57 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 46 Příklad 37. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly G, střed hyperboly S a libovolný bod hyperboly M. S G M Obr. 3.5: Zadání konstrukčního příkladu 37 Řešení. Popis konstrukce: 1) o; hlavní osa hyperboly o = SG, 2) F; S (S) : G F, druhé ohnisko hyperboly, 3) FM, GM; průvodiče bodu M s ohnisky hyperboly F, G, 4) a; z definice hyperboly 2a = FM MG, 5) A, B; A, B o, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 6) vztyčíme kolmice z vrcholů hyperboly A, B na hlavní osu hyperboly, 7) l; l(s; SF = SG ), 8) I, II, III, IV ; průsečíky kružnice l s kolmicemi vztyčenými z vrcholů hyperboly, 9) u 1 ; asymptota hyperboly u 1 je spojnice bodů I, III, 10) u 2 ; asymptota hyperboly u 2 je spojnice bodů II, IV. Diskuse: Analogicky jako v příkladu 36.

58 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 47 Příklad 38. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, libovolný bod hyperboly M, velikost hlavní poloosy a a velikost excentricity e. a e F M Obr. 3.6: Zadání konstrukčního příkladu 38 Řešení. Popis konstrukce: 1) FM; průvodič bodu M s ohniskem hyperboly F, 2) k 1 ; k 1 (F;2e), 3) k 2 ; k 2 (M; FM + 2a), protože FM < 2a, 4) G; G k 1 k 2, druhé ohnisko hyperboly, 5) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 6) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 7) vztyčíme kolmice z vrcholů hyperboly A, B na hlavní osu hyperboly, 8) l; l(s; SF = SG ), 9) I, II, III, IV ; průsečíky kružnice l s kolmicemi vztyčenými z vrcholů hyperboly, 10) u 1 ; asymptota hyperboly u 1 je spojnice bodů I, III, 11) u 2 ; asymptota hyperboly u 2 je spojnice bodů II, IV. Diskuse: Počet řešení závisí na počtu průsečíků kružnic k 1, k 2. Pokud M splývá s druhým hledaným ohniskem, má úloha jediné řešení. Zároveň se konstrukce může nepatrně lišit v závislosti na velikosti průvodiče FM, pokud FM < 2a postup úlohy se nemění, avšak pokud FM > 2a poloměr kružnice k 2 se změní a to následovně r = FM 2a.

59 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 48 Příklad 39. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, body hyperboly M 1, M 2 a délka hlavní poloosy a. a M 2 F M 1 Obr. 3.7: Zadání konstrukčního příkladu 39 Řešení. Popis konstrukce: 1) FM 1 ; průvodič bodu M 1 s ohniskem hyperboly F, 2) FM 2 ; průvodič bodu M 2 s ohniskem hyperboly F, 3) k 1 ; k 1 (M 1 ; FM 1 + 2a), protože FM 1 < 2a, 4) k 2 ; k 2 (M 2 ; FM 2 2a), protože FM 2 > 2a, 5) G; G k 1 k 2, druhé ohnisko hyperboly, 6) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 7) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 8) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Počet řešení závisí na počtu průsečíků kružnic k 1, k 2. Pokud M splývá s druhým hledaným ohniskem, má úloha jediné řešení. Zároveň se konstrukce může nepatrně lišit v závislosti na velikosti průvodičů FM 1, FM 2. Např. pokud FM 1 > 2a, FM 2 < 2a, poloměr kružnice k 1 bude roven r 1 = FM 1 2a a stejně tak poloměr kružnice k 2 bude roven r 2 = FM 2 + 2a.

60 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 49 Příklad 40. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly G, hlavní osa o a asymptota hyperboly u 2. o G u 2 Obr. 3.8: Zadání konstrukčního příkladu 40 Řešení. Popis konstrukce: Průsečík hlavní osy o s asymptotou u 2 je středem hyperboly. Druhá asymptota u 1 je se zadanou osově souměrná podle hlavní osy hyperboly o. Kolem středu hyperboly S opíšeme kružnici s poloměrem SG, tak dostaneme druhé ohnisko hyperboly F. Kružnice protne asymptotu u 2 v bodě M. Kolmice z bodu M na hlavní osu o je vrcholová tečna hyperboly a vytíná na hlavní ose vrchol hyperboly B. Druhý vrchol A je středově souměrný podle středu hyperboly S. Existuje jediné řešení. Nejsou-li splněny uvedené předpoklady, řešení neexistuje.

61 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 50 Příklad 41. Sestrojte hyperbolu, jsou-li dány asymptoty hyperboly u 1, u 2 a délka hlavní poloosy a. a u 2 u 1 Obr. 3.9: Zadání konstrukčního příkladu 41 Řešení. Popis konstrukce: Hlavní i vedlejší osa půlí úhel asymptot. Uvažujme tedy jednu z obou os asymptot za hlavní a druhou za vedlejší osu hyperboly. Na hlavní ose sestrojíme vrcholy hyperboly A, B, jelikož známe velikost hlavní poloosy a. Jedním z těchto vrcholů vztyčíme kolmici na hlavní osu hyperboly, průsečík kolmice a asymptoty označíme P. Vzdálenost PS je rovna velikosti excentricity hyperboly, a tak sestrojíme její ohniska. Úloze vyhovují dvě hyperboly. Jedna leží v jednom páru vrcholových úhlů určených asymptotami u 1, u 2 a druhá hyperbola leží v druhém páru vrcholových úhlů.

62 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 51 Příklad 42. Sestrojte hyperbolu, je-li dána asymptota hyperboly u 2, ohnisko hyperboly F a délka hlavní poloosy a. a u 2 F Obr. 3.10: Zadání konstrukčního příkladu 42 Řešení. Popis konstrukce: 1) p; kolmice na asymptotu hyperboly u 2, 2) P; průsečík kolmice p s asymptotou u 2, 3) k; k(p; a), 4) S; S k u 2, střed hyperboly, 5) o; hlavní osa hyperboly o = SF, 6) G; S (S) : F G, druhé ohnisky hyperboly, 7) u 1 ; O(o) : u 2 u 1 druhá asymptota hyperboly, 8) A, B; A, B o, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly. Diskuse: Počet řešení závisí na počtu průsečíků kružnice k s asymptotou hyperboly u 2.

63 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 52 Příklad 43. Sestrojte hyperbolu, jsou-li dány asymptoty hyperboly u 1, u 2 a libovolný bod hyperboly M. M u 2 u 1 Obr. 3.11: Zadání konstrukčního příkladu 43 Řešení. Popis konstrukce: 1) S; S u 1 u 2, střed hyperboly, 2) o H ; osa úhlu, který svírají asymptoty u 1, u 2 a v němž leží bod hyperboly M, je hlavní osou hyperboly, 3) o V ; o H o V S o V, vedlejší osa hyperboly, 4) p; p o V, M p, 5) P 1, P 2 ; P 1 p u 1, P 2 p u 2, 6) a 2 ; a 2 = P 1 M P 2 M, 7) T P1 M; Thaletova kružnice nad přeponou P 1 M, 8) X; P 2 X P 1 P 2, X T P1 M, 9) a; a = MX ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o odvěsně, 10) A, B; A,B o H, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 11) vztyčíme kolmici z jednoho hlavního vrcholu hyperboly, 12) P 3 ; průsečík asymptoty hyperboly s kolmicí vztyčenou z hlavního vrcholu hyperboly, 13) e; e = SP 3 velikost excentricity, 14) F, G; F,G o H, FS = GS = e, ohniska hyperboly. Diskuse: Úloha má jediné řešení.

64 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 53 Příklad 44. Hyperbola je dána ohnisky F, G a délkou hlavní poloosy a. Sestrojte tečny hyperboly t procházející bodem R a najděte body dotyku. a F G R Obr. 3.12: Zadání konstrukčního příkladu 44 Řešení. Popis konstrukce: 1) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 2) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 3) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly, 4) k 1 ; k 1 (F;2a), řídicí kružnice hyperboly, 5) k 2 ; k 2 (R; RG ), 6) Q; Q k 1 k 2, Q je souměrně sdružený bod s jedním ohniskem hyperboly podle její tečny, 7) t; osa souměrnosti úsečky GQ a zároveň hledaná tečna, 8) T ; bod dotyku T je průsečík tečny t a přímky FQ. Diskuse: Počet řešení záleží na počtu průsečíků kružnic k 1, k 2. Pokud bychom zvolili řídicí kružnici k 1 (G;2a), v popisu konstrukce by se ohnisko F zaměnilo za ohnisko G a naopak, ale počet řešení se nezmění.

65 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 54 Příklad 45. Sestrojte tečny hyperboly rovnoběžné se směrem s a najděte body dotyku. Hyperbola je dána ohnisky F, G a délkou hlavní poloosy a. a F G s Obr. 3.13: Zadání konstrukčního příkladu 45 Řešení. Popis konstrukce: 1) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 2) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 3) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly, 4) v; v(s;a), vrcholová kružnice hyperboly, 5) P; P v, pata kolmice P leží na kolmici spuštěné z ohniska F na směr s, 6) t; P t, t s, tečna hyperboly, 7) Q; O(t) : F Q, bod Q je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t, 8) T ; T t QG, bod dotyku tečny t. Diskuse: Počet řešení záleží na počtu průsečíků kružnice v a kolmici spuštěné z ohniska F na směr s. Pokud bychom zvolili kolmici z ohniska G na směr s, dostaneme sice jiné průsečíky s kružnicí v, ale na počtu řešení ani na jejich poloze se nic nezmění.

66 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 55 Příklad 46. Sestrojte hyperbolu, jsou-li dána ohniska hyperboly F, G a tečna hyperboly t. F G t Obr. 3.14: Zadání konstrukčního příkladu 46 Řešení. Popis konstrukce: 1) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 2) P; P t, bod P leží na kolmici spuštěné z ohniska G na tečnu t, 3) a; a = SP, velikost hlavní poloosy, 4) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 5) Q; O(t) : G Q, bod Q je souměrně sdružený s ohniskem G podle tečny t, 6) T ; T FQ t, bod dotyku tečny t, 7) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Úloha má jediné řešení. Nezáleží zdali spouštíme kolmici z ohniska F či G na tečnu t nebo zdali bod Q souměrně sdružíme s ohniskem F podle tečny t.

67 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 56 Příklad 47. Sestrojte hyperbolu, jsou-li dány hlavní vrcholy hyperboly A, B a tečna hyperboly t. t B A Obr. 3.15: Zadání konstrukčního příkladu 47 Řešení. Popis konstrukce: 1) S; S = A+B 2, střed úsečky AB je středem hyperboly, 2) v; v(s; a = AS = BS ), vrcholová kružnice hyperboly, 3) P; P t v, 4) G; G AB, ohnisko G leží na kolmici spuštěné z bodu P na tečnu t, 5) F; S (S) : G F, druhé ohnisko hyperboly, 6) Q; S (P) : F Q, bod Q je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t, 7) T ; T t FQ, bod dotyku tečny t, 8) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Úloha má jediné řešení.

68 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 57 Příklad 48. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly G a její tečny t 1, t 2, t 3. t 3 t 2 G t 1 Obr. 3.16: Zadání konstrukčního příkladu 48 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q 1 ; O(t 1 ) : G Q 1, bod Q 1 je souměrně sdružený s ohniskem G podle tečny t 1, 2) Q 2 ; O(t 2 ) : G Q 2, bod Q 2 je souměrně sdružený s ohniskem G podle tečny t 2, 3) Q 3 ; O(t 3 ) : G Q 3, bod Q 3 je souměrně sdružený s ohniskem G podle tečny t 3, 4) Body Q 1, Q 2, Q 3 leží na kružnici k 1 (F;2a). Hledáme tedy střed kružnice určené třemi body: a) o 1 ; osa úsečky Q 1 Q 2, b) o 2 ; osa úsečky Q 1 Q 3, c) F; F o 1 o 2, druhé ohnisko hyperboly, 5) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 6) a; velikost hlavní poloosy je podle věty o řídicí kružnici např. 2a = FQ 3 = FQ 2 = = FQ 1, 7) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 8) T 1 ; T 1 t 1 FQ 1, bod dotyku tečny t 1, 9) T 2 ; T 2 t 2 FQ 2, bod dotyku tečny t 2, 10) T 3 ; T 3 t 3 FQ 3, bod dotyku tečny t 3, 11) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Úloha má jediné řešení.

69 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 58 Příklad 49. Sestrojte hyperbolu, je-li dána hlavní osa hyperboly o, ohnisko F a tečna hyperboly t s bodem dotyku T. t T o F Obr. 3.17: Zadání konstrukčního příkladu 49 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q; O(t) : F Q, bod Q je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t, 2) G; G o T Q, druhé ohnisko hyperboly, 3) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 4) a; 2a = GQ, velikost hlavní osy, 5) A, B; A, B o, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 6) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Úloha má jedno řešení. Aby existovalo, musí být t o a přímka t nesmí procházet bodem F. Potom ještě body T, Q musí ležet v opačných polorovinách vyťatých přímkou o. Jestliže t o a současně T = P, kde P je průsečík osy hyperboly o s tečnou t, pak úloze vyhovuje nekonečně mnoho hyperbol. V žádném jiném případě řešení neexistuje.

70 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 59 Příklad 50. Sestrojte hyperbolu, která je dána asymptotami hyperboly u 1, u 2 a tečnou t. u 1 t u 2 Obr. 3.18: Zadání konstrukčního příkladu 50 Řešení. Popis konstrukce: 1) S; S u 1 u 2, střed hyperboly, 2) T ; T leží ve středu úseku tečny omezeného asymptotami, 3) o H ; osa úhlu, který svírají asymptoty u 1, u 2 a v němž leží bod T je hlavní osou hyperboly, 4) p; kolmice vztyčená z bodu T na hlavní osu hyperboly, 5) P 1, P 2 ; P 1 p u 1, P 2 p u 2, 6) T P1 P 2 ; Thaletova kružnice nad přeponou P 1 P 2, 7) X; X T P1 P 2, bod X leží na kolmici vztyčené z bodu dotyku T, 8) b; T P 1 T P 2 = b 2 Eukleidova věta o výšce, 9) a, e; nalezneme charakteristický trojúhelník hyperboly: a) o V ; kolmice na hlavní osu o H hyperboly procházející středem hyperboly S, b) m; rovnoběžka s hlavní osou o H hyperboly, jejíž vzdálenost od středu hyperboly S je rovna b, c) P 3 ; průsečík přímky m s jednou z asymptot hyperboly, d) e; SP 3 = e, velikost excentricity, e) a; o H P 3 = a, velikost hlavní poloosy, 10) A, B; A, B o, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 11) F, G; F, G o, FS = GS = e, ohniska hyperboly. Diskuse: Úloha má jediné řešení.

71 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 60 Příklad 51. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly G, tečna t s bodem dotyku T a velikost excentricity e. e t G T Obr. 3.19: Zadání konstrukčního příkladu 51 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q; O(t) : G Q, bod Q je souměrně sdružený s ohniskem G podle tečny t, 2) P; P t GQ, 3) k; k(g; 2e), 4) F; F k T Q, druhé ohnisko hyperboly, 5) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 6) a; a = SP, velikost hlavní poloosy, 7) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 8) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Počet řešení záleží na počtu průsečíků kružnice k a přímky T Q. Ohniska F, G hyperboly musí ležet v opačných polorovinách vyťatých tečnou t.

72 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 61 Příklad 52. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, tečny t 1, t 2 a bod dotyku T 1 tečny t 1. t 1 t 2 F T 1 Obr. 3.20: Zadání konstrukčního příkladu 52 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q 1 ; O(t 1 ) : F Q 1, bod Q 1 je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t 1, 2) Q 2 ; O(t 2 ) : F Q 2, bod Q 2 je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t 2, 3) o; osa úsečky Q 1 Q 2, 4) G; G o T Q 1, druhé ohnisko hyperboly, 5) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 6) P; P t 1 FQ 1, 7) a; a = SP, velikost hlavní poloosy, 8) A, B; A, B o, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 9) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Úloha má jedno řešení.

73 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 62 Příklad 53. Sestrojte hyperbolu, jestliže znáte ohnisko hyperboly F, velikost hlavní poloosy a a tečnu t s bodem dotyku T. a t T F Obr. 3.21: Zadání konstrukčního příkladu 53 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q; O(t) : F Q, bod Q je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t, 2) P; P t FQ, 3) k; k(q;2a), řídicí kružnice hyperboly, 4) G; G k T Q, druhé ohnisko hyperboly 5) S; S = F+G 2, střed úsečky FG je středem hyperboly, 6) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 7) u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Počet řešení záleží na počtu průsečíků kružnice k a přímky T Q. Pokud kružnice k protíná přímku T Q ve dvou bodech G, G, pak bod G ležící v opačné polorovině určené tečnou t než ohnisko F, je druhým ohniskem hledané hyperboly. Bod G ležící ve stejné polorovině určené tečnou t jako ohnisko F je ohniskem elipsy.

74 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 63 Příklad 54. Sestrojte hyperbolu, znáte-li ohnisko hyperboly F, tečny t 1, t 2 a velikost hlavní poloosy a. a t 1 t 2 F Obr. 3.22: Zadání konstrukčního příkladu 54 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q 1 ; O(t 1 ) : F Q 1, bod Q 1 je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t 1, 2) Q 2 ; O(t 2 ) : F Q 2, bod Q 2 je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t 2, 3) P 1 ; P 1 t 1 FQ 1, 4) P 2 ; P 2 t 2 FQ 2, 5) k 1 ; k 1 (P 1 ;a), 6) k 2 ; k 2 (P 2 ;a), 7) S; S k 1 k 2, střed hyperboly, 8) G; S (S) : F G, druhé ohnisko hyperboly, 9) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 10 u 1, u 2 ; asymptoty hyperboly. Diskuse: Počet řešení záleží na počtu průsečíků kružnic k 1, k 2.

75 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly 64 Příklad 55. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, tečna t a asymptota hyperboly u 2. u 2 F t Obr. 3.23: Zadání konstrukčního příkladu 55 Řešení. Popis konstrukce: 1) Q 1 ; O(t) : F Q 1, bod Q 1 je souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t, 2) Q 2 ; O(u 2 ) : F Q 2, asymptota je tečna hyperboly s bodem dotyku v nekonečnu, bod Q 2 je souměrně sdružený s ohniskem F podle asymptoty u 2, 3) P 1 ; P 1 t, P 1 FQ 1, 4) P 2 ; P 2 u 2, P 2 FQ 2, 5) S; S u 2, střed hyperboly S leží na ose úsečky P 1 P 2, 6) a; a = P 1 S = P 2 S, velikost hlavní poloosy, 7) o; hlavní osa hyperboly o = FS, 8) G; S (S) : F G, druhé ohnisko hyperboly, 9) A, B; A, B FG, AS = BS = a, hlavní vrcholy hyperboly, 10) T ; T t, T GQ 1, bod dotyku tečny t, 11) u 1 ; O(FG) : u 2 u 1, druhá asymptota hyperboly. Diskuse: Úloha má jediné řešení.

76 Kapitola 3. Konstrukce hyperboly Neřešené konstrukční příklady V následující podkapitole se budeme zabývat nepolohovými úlohami. Těmi rozumíme úlohy, u kterých lze daný útvar sestrojit kdekoliv a jejichž řešením je hyperbola se zadanými vlastnostmi. Stejně jako v předešlé podkapitole budeme hyperbolu považovat za určenou, budeme-li znát hlavní vrcholy hyperboly, ohniska hyperboly a její asymptoty. Příklad 56. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, libovolný bod hyperboly M, velikost hlavní poloosy a a velikost vedlejší poloosy b. Příklad 57. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, asymptota hyperboly u 1 a libovolný bod hyperboly M. Příklad 58. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, asymptota hyperboly u 1 a směr s druhé asymptoty. Příklad 59. Sestrojte hyperbolu, je-li dán střed hyperboly S, ohnisko F a asymptota hyperboly u 1. Příklad 60. Sestrojte hyperbolu, je-li dána hlavní osa hyperboly o, asymptota hyperboly u 1 a velikost vedlejší poloosy b. Příklad 61. Sestrojte hyperbolu, jestliže známe velikost hlavní poloosy a, velikost excentricity e, asymptotu hyperboly u 1 a střed hyperboly S. Příklad 62. K hyperbole, která je dána svými hlavními vrcholy A, B a velikostí excentricity e, sestrojte tečny, které svírají s hlavní osou úhel 75. Příklad 63. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, velikost hlavní poloosy a, velikost vedlejší poloosy b a tečna t hyperboly. Příklad 64. Sestrojte hyperbolu, která je dána ohniskem hyperboly F, libovolným bodem hyperboly M, velikostí hlavní poloosy a a tečnou t hyperboly. Příklad 65. Jestliže známe ohnisko hyperboly F, libovolný bod hyperboly M a tečny t 1, t 2 hyperboly, sestrojte danou hyperbolu. Příklad 66. Sestrojte hyperbolu, jestliže znáte ohnisko hyperboly F, hlavní osa o hyperboly a tečny t 1, t 2 hyperboly. Příklad 67. Zkonstruujte hyperbolu, která je dána svým středem S, asymptotou u 1, tečnou t a velikostí hlavní poloosy a. Příklad 68. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ohnisko hyperboly F, směr hlavní osy s a tečna t hyperboly s bodem dotyku T. Příklad 69. Sestrojte hyperbolu, jestliže známe střed hyperboly S, asymptotu hyperboly u 1, velikost hlavní poloosy a a tečnu t hyperboly. Příklad 70. Zkonstruujte rovnoosou hyperbolu, která je dána svým středem S, délkou hlavní poloosy a a tečnou t hyperboly.

77 Kapitola 4 Využití v praxi Ve všech předchozích kapitolách bylo nahlíženo na hyperbolu jako na matematický objekt. Hyperbola se však v hojné míře využívá i v běžném životě mimo matematiku, nejčastěji v technických oborech, např. ve stavebnictví, kde má své nezastupitelné místo. 4.1 Navigační systémy a hyperbola Jedním z oborů, ve kterých se využívá vlastností hyperboly, jsou lokační a navigační systémy. Z definice víme, že pro každý bod hyperboly platí, že absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od dvou pevně daných bodů je vždy stejná. Právě této vlastnosti využívá např. radiový navigační systém LORAN-C 4 sloužící pro navigaci lodí. Systém, jehož počátky sahají do dob druhé světové války, měří čas návratu vyslaného signálu ze dvou různých pozemních stanic. Na základě tohoto časového údaje systém vypočítá možnou polohu plavidla, která je někde na hyperbole. To samo o sobě k určení umístění plavidla nestačí, proto se pro určení přesné polohy (s přesností na desítky až stovky metrů) využívá ještě druhé dvojice pozemních stanic. Díky této dvojici má navigační systém k dispozici ještě druhou hyperbolu, přičemž v průsečíku těchto křivek je hledaná poloha. Nevýhodou systému LORAN je fakt, že je omezen na použití u pobřeží, jeho dosah je přibližně 2000 km, což jej činí nepoužitelným na otevřeném oceánu. I přes uvedené nevýhody byl systém vyřazen z provozu až v roce Způsob určování polohy pomocí vysílání signálů a hledání průsečíků hyperbol se nazývá pasivní radiolokace. Na podobném systému pracuje také radiolokační systém TAMARA, který je vyvíjen českou firmou ERA především pro vojenské účely a dosahuje poměrně významných úspěchů ve světě. Jedná se o systém osmi vojenských vozidel umístěných v terénu, které pomocí tzv. časoměrně-hyperbolické metody umožňují přesné vyhodnocování polohy zdroje vysílání signálů. Systém TAMARA dokáže určit již pomocí tří stanic polohu v rovině. V případě, že se do měření zapojí čtvrtá stanice, je možné určit i polohu v prostoru. 4 LORAN-C LOng Range Aid to Navigation [14] 66

78 Kapitola 4. Využití v praxi 67 Obr. 4.1: Ukázka určení polohy pomocí navigačního systému LORAN-C [2] 4.2 Hyperboloid Hyperboloid je trojrozměrný útvar, který vznikne tak, že dva kruhy propojíme rovnoběžnými přímkami a tyto kruhy pak pootočíme v opačných směrech. Vzniklý útvar se nazývá hyperboloid a patří mezi tzv. kvadratické plochy neboli kvadriky. Obr. 4.2: Schématické znázornění vzniku jednodílného hyperboloidu [24] Hyperboloidy se v dřívějších dobách používaly v ozubených soukolích, kde díky nim šlo přenést otáčivý pohyb (např. z parního stroje) i přes mimoběžné osy (klasická ozubená kola mají vždy rovnoběžné osy). V dnešní době nalézá hyperboloid uplatnění především ve stavebnictví a architektuře pro svoje dobré statické vlastnosti a jednoduchou konstrukci. Jedním z příkladů jsou chladicí věže elektráren, které mají tvar jednodílného hyperboloidu

79 Kapitola 4. Využití v praxi 68 a jsou používány k chlazení velkého množství vody. V České republice se s nimi lze setkat například u jaderných elektráren Dukovany a Temelín. Další využití lze najít při stavbě věží, např. Ještěd či rozhledna Borůvka u Hluboké, dále různé vodojemy nebo třeba Televizní a vyhlídková věž v Kantonu (Čína). Obr. 4.3: Soukolí s mimoběžnými osami složené z jednodílných hyperboloidů [25] Obr. 4.4: Chladicí věže [26] Obr. 4.5: Rozhledna Borůvka u Hluboké [27], Televizní a vyhlídková věž v Kantonu [28], Televizní vysílač na Ještědu [29] Obr. 4.6: Katedrála v Brasílii (Brazílie) [30], Planetárium ve Vancouveru (Kanada) [31]

80 Kapitola 4. Využití v praxi 69 Obr. 4.7: McDonnellovo planetarium v Saint Louis (USA) [32], Lávka mezi domy v Manchesteru (UK) [33] Obr. 4.8: Samostatně stojících 16 prutů v Batavii ve státě Illinois (USA) [34], vodojem na okraji města Ciechanow (Polsko) [35], vodojem v Cockfosters (UK) [36] Za zmínku jistě stojí i využití hyperboloidu jako elektronického spojení typu samice, které zajišťuje bezproblémový kontakt pro různou tloušťku použité koncovky. Obr. 4.9: Hyperbolický konektor [37, 38]

81 Kapitola 4. Využití v praxi Hyperbolický paraboloid Více rozšířené je užití hyperboly jako architektonicky zajímavý prvek různých budov. V tomto případě se jedná o hyperbolický paraboloid, který má v nějaké kartézské soustavě rovnici x2 y2 = 2z. Tento útvar se v praxi nazývá sedlo a užívá se při konstrukci střech a 2 b 2 hlavně pro jeho dobré statické vlastnosti, jednoduchou konstrukci i pro zajímavý estetický efekt. Jako příklad lze uvést budovu L Oceanogràfic ve Valencii (Španělsko), sportovní arénu Scotiabank Saddledome v Calgary (Kanada), olympijský stadion v Mnichově (Německo), železniční zastávka Varšava Ochota (Polsko), vstup do budovy UNESCO v Paříži (Francie) a mnoho dalších. Obr. 4.10: Hyperbolický paraboloid [39] Obr. 4.11: Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny [40] Obr. 4.12: L Oceanogràfic ve Valencii (Španělsko) [41]

82 Kapitola 4. Využití v praxi Obr. 4.13: Sportovní aréna Scotiabank Saddledome v Calgary (Kanada) [42] Obr. 4.14: Olympijský stadion v Mnichově (Německo) [43] Obr. 4.15: Železniční zastávka Varšava Ochota (Polsko) [44] 71

83 Kapitola 4. Využití v praxi 72 Obr. 4.16: Vstup do budovy UNESCO v Paříži (Francie) [45] Obr. 4.17: Kostel svatého Václava v Břeclavi [46], Katedrála Nanebevzetí Pany Marie v San Franciscu (USA) [47] Obr. 4.18: Víceúčelová hala v Rostocku (Německo) [48]

84 Kapitola 4. Využití v praxi 73 Obr. 4.19: Benzínová stanice v Markham Moor (UK) [49] Jak je vidět, hyperbola (resp. hyperboloid) je pro řadu oborů velmi důležitá. Především na poli navigace a lokačních služeb hrála hyperbola ještě v nedávné době nezastupitelnou roli a až teprve nyní je metoda určování polohy pomocí hyperboly vytlačována např. systémem GPS 5. Velkou roli má hyperbola i v oblasti stavebnictví, kde, kromě praktického využití v případě chladicích věží a vodojemů, je nezaměnitelnou stavební strukturou, která je určitě velmi zajímavá pro nejednoho obdivovatele moderní architektury. 5 GPS Global Positioning System je satelitní navigační systém, s jehož pomocí je možno určit polohu a přesný čas kdekoliv na Zemi s přesností do deseti metrů [8].