5. Limita a spojitost

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Limita a spojitost"

Transkript

1 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální chování zejména funkcí. K jeho základním pojmům patří limita a spojitost. Začneme připomenutím definice limity posloupnosti. 5. Limita posloupnosti Posloupnost {a n } n=1 = {a 1, a 2, a 3,... } je funkce definovaná na množině přirozených číslech, její n-tý člen se zapisuje a n. Pokud se hodnoty a n při rostoucím n blíží k nějaké hodnotě, potom řekneme, že číslo je limitou této posloupnosti. Definice říká, že pro libovolně malé kladné ε > 0, které reprezentuje požadovanou přesnost, od jistého n 0 všechny další hodnoty a n, n > n 0 jsou k blíže než ε, tj. odchylka a n od limity je menší požadovaná přesnost ε: Definice 5.1. (Limita posloupnosti) Řekneme, že limitou posloupnosti {a n } je číslo, což zapisujeme lim n a n =, jestliže: Pro každé kladné ε eistuje přirozené n 0, že pro každé n > n 0 platí a n < ε. Pomocí kvantifikátoru pro všechna a eistuje podmínku lze zapsat: y lim a n = ε > 0 n 0 N že pro n N, n > n 0 platí a n ε. n a 1 ε a 2 a 3 a n 0 n > n 0 Obr. 5.1: Číslo je limitou posloupnosti {a n}, pokud pro každé n > n 0 je rozdíl a n menší než ε. Jestliže hodnoty a n rostou nade všechny meze, řekneme, že limita je nekonečno: Definice 5.2. (Nevlastní limity posloupnosti) Řekneme, že limitou posloupnosti {a n } je nekonečno, jestliže: Pro každé kladné K eistuje přirozené n 0, že pro každé n > n 0 platí a n > K, tj. lim a n = K > 0 n 0 N, že pro n N, n > n 0 platí a n > K. n Podobně limitou posloupnosti {a n } je minus nekonečno, jestliže: lim a n = K > 0 n 0 N, že pro n N, n > n 0 platí a n < K. n Později se nám bude hodit následující důležitá věta: Věta 5.3. Každá neklesající posloupnost {a n } má limitu. Bud je shora omezená a má nějakou konečnou limitu, nebo je neomezená a má za limitu nekonečno. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 1

2 5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Důkaz. Posloupnost je neklesající, pokud pro každé n platí a n a n+1. Pokud je posloupnost shora omezená, její supremum je číslo R. Podle definice suprema pro každé ε > 0 eistuje n 0 takové, že a n0 > ε. Protože posloupnost je neklesající, pro všechna n větší než n 0 je a n a n0. Na druhé straně však a n nemůže být větší než supremum, a proto ε a n0 < a n, tedy je limitou posloupnosti {a n }. Pokud posloupnost je shora neomezená, potom pro každé K > 0 eistuje nějaké n 0 takové, že a n0 > K. Protože posloupnost je neklesající, pro všechna větší n platí také a n > K. Poznámka: Podobně každá nerostoucí posloupnost má limitu. Bud je zdola omezená, pak je limita reálné číslo, nebo má za limitu minus nekonečno. 5B. Limita a spojitost funkce Grafem funkce sin nebo cos je spojitá čára, naproti tomu graf funkce sgn() (má hodnotu 1 pro > 0, hodnotu 1 pro < 0 a 0 pro = 0) tvoří přetržená čára. Říkáme, že funkce sgn() je funkce nespojitá v bodě = 0. Podobně každá nepřetržená čára jdoucí zleva doprava je grafem nějaké spojité funkce. Z obrázku je intuitivně vidět, která funkce je spojitá a která nespojitá, zdá se, že je to zřejmé. Charakterizovat spojitost matematickými prostředky, tzv. definovat, už tak snadné není. Obr. 5.2: Příklady funkce spojité a funkcí nespojitých. Několik století matematikové pracovali se spojitými funkcemi, derivovali je i integrovali. Když se však přišlo na zvláštní funkce, které měly neočekávané vlastnosti, přišla potřeba spojitou funkci definovat přesně. První rigorózní definici limity a tím i spojitosti formuloval v roce 1817 Bernard Bolzano 1 v roce Začneme s definicí limity funkce v bodě. Definice limity funkce Intuitivní definice limity říká: Limita funkce f() v bodě 0 je číslo, ke kterému se hodnota f() blíží, když se blíží k 0. Nutno však definovat, co to znamená blížit se. Limitu popisuje tzv. epsilon-delta definice: Definice 5.4. (Limita funkce epsilon-delta definice) Bud f() funkce definovaná v nějakém okolí bodu 0 (v bodě 0 nemusí být definovaná), například na množině M = ( 0, 0 + ) \ { 0 } pro nějaké > 0. Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 limitu, pokud pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé M splňující 0 < 0 < δ platí f() < ε, zapsáno pomocí symbolů: ε > 0 δ > 0 M splňující 0 < 0 < δ platí f() < ε. Limitu funkce f() v bodě 0 rovnou číslu zapisujeme lim 0 f() =. Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 limitu, pokud eistuje číslo, že lim 0 f() =. 1 Bernard Bolzano ( ) byl český německy mluvící matematik, logik, filozof a teolog italského původu žijící v Praze. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 2

3 5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Poznámky 5.5. Definice nevyžaduje, aby funkce byla definována v bodě 0, funkce zde může ale nemusí být definována. Bod 0 i limita jsou (konečná) čísla, mluvíme proto o tzv. vlastní limitě ve vlastním bodě. Později budeme definovat nevlastní, tj. nekonečnou limitu, nebo limitu v nevlastním bodě, tj. v nekonečnu. (c) Číslo δ závisí na ε. Obvykle čím menší zvolíme ε, tím menší nutno vzít δ. Číslo δ může být jakkoliv malé, musí však být kladné. (d) (e) (f) (g) y +ε f() ε f() O δ 0 +δ Obr. 5.3: Definice limity: Hodnoty f() z δ okolí 0 musí ležet v ε okolí. Jaký je smysl definice? Kladné číslo ε je přesnost a kladné číslo δ udává v jaké vzdálenosti δ od bodu 0 je tato přesnost dosažena, tj. chyba f() je menší než požadovaná přesnost ε. Pro libovolně malé kladné ε eistuje dostatečně malé kladné δ, definice tak zaručuje nekonečnou přesnost. Vzdálenost δ závisí na přesnosti ε. Pro jednoduchost uvažujme funkci f() = a bod 2 0 = 1. Potom limitou je = 3. Skutečně, pro požadovanou přesnost ε = 0.1 stačí zvolit 2 δ = 0.2, pro ε = volíme δ = 0.002, pro ε = 10 6 je δ = atd. V definici mají význam malá kladná ε, protože platí-li podmínka pro malé ε, platí i pro každé větší ε. Na druhé straně platí-li podmínka pro nějaké kladné δ, bude platit i pro každé menší kladné δ. Bod 0 v definici limity se často označuje jako bod a. Potom funkce f() má v bodě a limitu jestliže ε > 0 δ > 0 M splňující 0 < a < δ platí f() < ε. Pro obecnější definici limity zavedeme pojem okolí bodu: Definice 5.6. (Okolí bodu) Otevřený interval V = (l, p) nazveme okolím bodu 0, pokud 0 je vnitřním bodem V, tj. l < 0 < p. Speciálně pro r > 0 interval ( 0 r, 0 + r) nazveme r-okolí bodu 0. Množinu všech okolí bodu 0 budeme označovat O( 0 ). Pro úplnost zavedeme ještě levé a pravé okolí, které budeme potřebovat později: Pro každé (l < 0 < p) je interval (l, 0 levým okolím a 0, p) pravým okolím bodu 0. Okolí bodu 0 bez bodu 0 se nazývá redukované, také ryzí nebo prstencové okolí. Poznámky 5.7. V definici r-okolí je r poloměr okolí. Proto δ-okolím bodu 0 je interval ( 0 δ, 0 + δ) a podobně ε-okolím bodu je interval ( ε, + ε). V definici limity potřebujeme tzv. redukované (ryzí, prstencové) okolí bodu 0, tj. okolí bez bodu 0. Obvykle přidáním přívlastku se pojem zužuje ale zůstává pojmem, například celé číslo je číslo, omezená množina je množina. okolí bodu 0 r-okolí levé r-okolí pravé r-okolí redukované okolí 0 r 0 0 +r Obr. 5.4: Okolí bodu 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3

4 5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Z tohoto hlediska je pojem redukovaného okolí ne zcela logický, protože redukované okolí bodu 0 už není okolím bodu 0. Podobně také levé nebo pravé okolí bodu není okolím bodu 0. y f() Pomocí pojmu okolí definici můžeme přepsat ve tvaru ε > 0 δ > 0, že, 0 z δ-okolí bodu 0 hodnoty f() leží v ε-okolí limity. Výraz pro každé ε > 0 a ε-okolí lze nahradit výrazem pro každé okolí bodu 0. Podobně eistuje δ > 0 a δ-okolí lze nahradit výrazem eistuje okolí limity, viz Obr Zápis definici limity tak můžeme zjednodušit na: f() U V O 0 Obr. 5.5: Definice pomocí okolí: Hodnoty f z okolí V leží v okolí U. Definice 5.8. (Limita funkce pomocí okolí) Bud f() funkce definovaná v nějakém redukovaném okolí bodu 0. Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 limitu, jestliže Pro každé okolí U bodu eistuje okolí V bodu 0, že každé V \{ 0 }, splňuje f() U, nebo zapsáno pomocí symbolů: U O() V O( 0 ) V \ { 0 } platí f() U. U každého nového pojmu nás zajímá, zda eistuje a kolik jich je. Pro limitu platí: Věta 5.9. (Jednoznačnost) Limita (pokud eistuje) je určena jednoznačně. Poznamenejme, že tvrzení o jednoznačnosti platí nejen pro limity funkce v bodě ale i pro jednostranné limity, nevlastní limity a limity v nevlastních bodech, které zavedeme později. Důkaz. Tvrzení dokážeme sporem. Kdyby funkce f() měla v bodě 0 dvě různé limity 1 a 2, potom pro libovolné ε > 0 eistuje δ-okolí bodu 0, že hodnoty funkce f() na tomto okolí leží jak v ε-okolí limity 1 tak i v ε-okolí limity 2. Zvolíme-li však ε > 0 menší než , docházíme ke sporu: hodnoty nemohou současně ležet v ε-okolí bodu 1 i v ε-okolí bodu 2, protože tato okolí mají prázdný průnik, viz Obr nebo nerovnost 1 2 = 1 f() + f() 2 1 f() + f() 2 < ε + ε = 2ε < 1 2. ε 1 2 Obr. 5.6: Limita, pokud eistuje, nemůže mít dvě různé hodnoty 1 a 2. Skutečně, pro malé ε hodnota f() nemůže ležet v okolí bodu 1 i 2, protože okolí jsou disjunktní. ε Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4

5 5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Definice spojité funkce Pojem limity umožňuje definovat funkci spojitou: Definice (Funkce spojitá) Řekneme, že funkce f() je spojitá v bodě 0, jestliže platí následující tři podmínky: funkce f() je definovaná v nějakém okolí bodu 0 (c) eistuje limita funkce f() v bodě 0, tj. eistuje lim 0 f() a tato limita se rovná funkční hodnotě, tj. lim 0 f() = f( 0 ) Dále řekneme, že funkce f() je spojitá v otevřeném intervalu I, pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Poznámky První dvě podmínky se často vynechávají, protože jsou implicitně obsaženy ve třetí: abychom mohli mluvit o rovnosti limity a hodnoty funkce, limita musí eistovat. limita funkce v bodě eistuje, jen když je funkce definovaná v okolí tohoto bodu. Protože funkce spojitá v bodě 0 musí být definovaná v okolí V bodu 0 (včetně bodu 0 ) a limita se rovná f( 0 ), nevylučujeme bod 0 z okolí bodu 0. Definici spojitosti pak můžeme přepsat v ε δ tvaru Pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé, 0 < δ platí f() f( 0 ) < ε. nebo pomocí okolí Pro každé okolí U bodu f( 0 ) eistuje okolí V bodu 0, že pro každé V platí f() U. (c) (d) Spojitou funkci lze definovat také pomocí konvergentních posloupností tzv. Heineho definice: Funkce f() je spojitá v bodě 0, jestliže pro každou posloupnost { n } v definičním oboru funkce f() platí: jestliže n konverguje k 0, potom také f( n ) konverguje k f( 0 ), zapsáno pomocí symbolů: n 0 = f( n ) f( 0 ). Pokud funkce f() je spojitá v bodě 0, podle definice její limita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě f( 0 ). Lze tedy pořadí limity a funkce zaměnit : ( ) f lim = lim f(). 0 0 Příklady Polynomy, funkce e, cos, sin jsou spojité v každém bodě, funkce tg, cotg i racionální lomené funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Funkce arcsin a arccos jsou spojité jen v bodech intervalu ( 1, 1), v bodech ±1 nejsou spojité, protože nejsou definovány v oboustranném okolí. Později zavedeme pojem jednostranné limity a spojitosti v krajním bodě = 1 zprava a bodě = 1 zleva, a dostaneme funkce spojité na uzavřeném intervalu 1, 1. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5

6 5. Limita a spojitost 5B. Limita a spojitost funkce Kdy neeistuje limita v bodě 0, i když funkce je definovaná v jeho okolí? (i) Když funkce je přetržená, tj. zleva se funkční hodnoty blíží k jinému číslu než zprava, například funkce znaménka sgn() v okolí bodu 0, kdy zleva se hodnoty blíží k 1 a zprava k +1. (ii) Když hodnoty funkce utečou do nekonečna, například funkce 1 v okolí bodu nuly. 2 Později tuto situaci popíšeme jako nekonečnou limitu. V případě 1 v bodě nula to budou jenom dvě různé jednostranné nekonečné limity. (iii) (iv) Speciální případem je funkce sin( 1 ), viz Obr Funkce má limitu a je spojitá v každém bodě kromě bodu nula. V každém okolí ( δ, δ) bodu nula tato funkce nabývá všech hodnot z intervalu 1, 1. Proto už pro ε = 1 nenajdeme žádné δ > 0, pro 2 které by podmínka (c) z definice limity byla splněna. Funkce Dirichletova D(), která má hodnotu 1 v racionálních a 0 v iracionálních, není spojitá ani nemá limitu v žádném bodě, protože v každém okolí každého bodu se vyskytují jak hodnoty 0, tak hodnoty 1. sin ( ) 1 D() Obr. 5.7: Funkce sin ( 1 ) je nespojitá v nule, všude jinde je spojitá. Obr. 5.8: Funkce f() = D() je spojitá v nule, jinde je nespojitá. (c) Kdy funkce není spojitá v bodě 0? Eistuje několik situací: (i) (ii) (iii) (iv) Funkce není v bodě 0 nebo v jeho okolí definovaná. Funkce je definovaná v okolí bodu 0 kromě bodu 0 a má v bodě 0 limitu. Potom funkci lze dodefinovat v bodě 0 touto limitou a dostaneme funkci spojitou. Říkáme, že je to odstranitelná nespojitost. Funkce je definovaná v okolí 0, limita eistuje, ale není rovna funkční hodnotě f( 0 ). Opět předefinováním funkční hodnoty v bodě 0 dostaneme funkci spojitou. Funkce je definovaná v celém okolí, ale limita neeistuje. Potom nespojitost nelze odstranit a nezáleží na tom, zda je funkce definovaná v bodě 0 nebo není. V tomto případě nespojitost není odstranitelná. (d) Eistují však funkce, které intuitivně od pohledu nejsou spojité, ale podle definice spojité jsou. Například součin a Dirichletovy funkce f() = D(), viz Obr. 5.8, tj. { pro racionální, f() = 0 pro iracionální. Tato funkce má limitu 0 v bodě 0 a je proto v bodě = 0 spojitá. Skutečně, pro ε > 0 stačí zvolit δ = ε, pro které už podmínka: 0 < δ = f() f(0) < ε je splněna, protože rozdíly 0 v Q i 0 0 v / Q jsou už menší než ε = δ. V ostatních bodech však limita neeistuje (stačí zvolit ε = ), proto ani funkce zde není spojitá. 2 Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6

7 5. Limita a spojitost 5C. Vlastnosti limit a spojitosti Jednostranné limity a spojitost Pojem limity a spojitosti rozšíříme pro případ, kdy funkce je definovaná jenom v levém nebo pravém redukovaném okolí bodu 0 (nebo nás funkce v opačném okolí nezajímá), abychom například mohli mluvit o spojitosti funkce na uzavřeném intervalu. Zavedeme limitu funkce v 0 zleva a zprava tím, že podmínku omezíme na levé nebo pravé redukované okolí bodu 0 : podmínku budeme vyžadovat v jednostranném okolí místo oboustranného okolí. Definice (Jednostranné limity a spojitost epsilon-delta definice) Řekneme, že funkce f() definovaná v nějakém levém redukovaném okolí bodu 0 má limitu v bodě 0 zleva, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0 δ, 0 ) platí f() < ε a zapisujeme lim f() =. Podobně funkce f() definovaná na nějakém pravém redukovaném okolí bodu 0 má limitu v bodě 0 zprava, 0 jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0, 0 + δ) platí f() < ε a zapisujeme lim f() =. Dále řekneme, že funkce f() definovaná v nějakém levém okolí 0 + bodu 0 je spojitá v bodě 0 zleva, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0 δ, 0 ) platí f() f( 0 ) < ε, a funkce f() definovaná v pravém okolí bodu 0 je spojitá v bodě 0 zprava, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0, že pro každé ( 0, 0 + δ) platí f() f( 0 ) < ε. Pomocí levého a pravého okolí lze definice jednostranné limity a spojitosti přepsat: Definice (Jednostranné limity a spojitost definice pomocí okolí) Bud f() funkce definovaná v levém (pravém) redukovaném okolí bodu 0. Řekneme, že funkce f() má limitu v bodě a zleva(zprava), pokud U-okolí bodu V -levé (pravé) okolí bodu 0, že V, 0 platí f() U. Bud f() funkce definovaná v levém (pravém) okolí bodu 0 včetně bodu 0. Řekneme, že funkce f() je v bodě 0 spojitá zleva(zprava), pokud U-okolí bodu f( 0 ) V -levé (pravé) okolí bodu 0, že V platí f() U. Řekneme, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu I = a, b, jestliže ve vnitřních bodech intervalu je spojitá (oboustranně) a v koncových bodech a a b je spojitá jednostranně: v bodě a spojitá zprava a v bodě b spojitá zleva. Věta (c) Pokud eistuje limita (oboustranná), eistují i obě limity jednostranné a jsou si rovny. Pokud jsou jednostranné limity různé, potom (oboustranná) limita neeistuje. Pokud obě jednostranné limity eistují a jsou stejné, eistuje i limita a rovná se jednostranným. Podobně, je-li funkce spojitá zleva i zprava, je spojitá. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7

8 5. Limita a spojitost 5C. Vlastnosti limit a spojitosti 5C. Vlastnosti limit a spojitosti Pokud funkce f() je spojitá (nebo jednostranně spojitá) v bodě 0, potom limita je rovna funkční hodnotě f( 0 ). Pokud je funkce dána jako kombinace elementárních funkcí, polynomů, atd., lze při určování limit využít jejich vlastností. Jen ve speciálních případech, např. typu Dirichletovy funkce, limitu nutno vyšetřovat podle definice. Vlastnosti, které lze využít při vyšetřování limit, shrneme ve větě. Zatím předpokládáme, že všechny limity jsou konečné. Věta (Vlastnosti limit) Obvyklé operace zachovávají limitu: (c) (d) Limita násobku limit je násobek limit. Pokud limita na pravé straně rovnosti eistuje, eistuje i limita na levé straně a pro libovolné c R platí: lim (c f()) = c lim f(). 0 0 Limita součtu a součinu limit je součet a součin limit. Pokud eistují limity vpravo, eistuje i limita vlevo a platí rovnost: lim (f()+g()) = lim f()+ lim g(), lim 0 (f() g()) = lim 0 f() lim 0 g(). Limita podílu je podíl limit: pokud eistují limity vpravo a limita ve jmenovali je různá od nuly, potom eistuje i limita vlevo a platí lim f() f() lim 0 g() = 0 lim g() 0, (pokud lim 0 g() 0). Limita složené funkce je rovna složené funkci limit, pokud vnitřní funkce je spojitá v bodě 0 a eistují limity vpravo: Jestliže lim 0 g() = g( 0 ) = y 0 a lim y y0 f(y) =, potom eistuje limita složené funkce a platí: lim 0 (f(g()) = lim y y0 f(y) =, kde y 0 = lim 0 g(). Poznámky Důkazy všech tvrzení jsou jednoduché a podobné, ukažme si důkaz alespoň tvrzení o součtu limit. Předpokládejme, že eistují limity lim 0 f() = a lim 0 g() = B. Bud ε > 0. Chceme najít δ, aby pro každé z redukovaného δ-okolí bodu 0 platilo (f() + g()) ( + B) < ε. Podle definice limity lim 0 f() = pro ε 1 = ε 2 eistuje δ 1, že pro každé 0, 0 < δ 1 platí f() < ε 1. Podobně z definice limity lim 0 g() = B pro ε 2 = ε 2 eistuje δ 2, že pro každé 0, 0 < δ 2 platí g() B < ε 2. Položme δ = min(δ 1, δ 2 ). Pro každé 0 z δ-okolí bodu 0 platí (f()+g()) (+B) = (f() )+(g() B) f() + g() B < ε 1 +ε 2 = ε. Při limitě podílu je podstatný předpoklad, že limita funkce g() ve jmenovateli je nenulová. Potom funkce g() je v jistém okolí také nenulová a podíl je tak definován. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8

9 5. Limita a spojitost 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Pokud by limita funkce g() ve jmenovateli byla nulová a g() v okolí nenulová, podíl by byl definován, ale limita by mohla být libovolné číslo R, případně nevlastní nebo nemusí eistovat. Například pro f() = a g() = platí f() lim 0 g() = lim 0 =. Necht g() =. Položíme-li f() = 2, limita podílu f()/g() pro 0 bude nulová, v případě f() = ± limita podílu bude ± a v případě f() = sin(1/) limita podílu nebude eistovat. (c) Při limitě 0 složené funkce f(g()) je podstatná podmínka spojitosti vnitřní funkce g() v bodě 0. Kdyby totiž lim 0 g() = a g( 0 ) = B, B, potom lim 0 f(g()) = f(), zatímco hodnota složená funkce je f(b). Například jestliže f() = sgn() a g(ξ) = ξ 2, potom lim 0 (sgn()) 2 (sgn(lim 0 )) 2 = (sgn(0)) 2 = 0 1. Při vyšetřování spojitosti opět možno využít podobné vlastnosti: = 1, zatímco Věta (Určování spojitosti funkce) Obvyklé operace zachovávají spojitost funkcí: (c) Násobek, součet a součin funkcí spojitých v bodě (na intervalu) je funkce spojitá v bodě (na intervalu). Podíl funkcí spojitých v bodě (na intervalu) je funkce spojitá, pokud funkce ve jmenovateli je různá od nuly v bodě (na intervalu). Složením spojitých funkcí dostaneme funkci spojitou, pokud složená funkce je definovaná, tj. obor hodnot vnitřní funkce je částí definičního oboru vnější funkce. Podrobněji: je-li g() spojitá na intervalu D(g) = (a, b) s oborem hodnot H(g) = (c, d) a f(y) spojitá na D(g) = (, B), přičemž (c, d) (, B), tj. H(g) D(f), potom složená funkce f(g()) je spojitá na (a, b). 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Dosud jsme mluvili o vlastních limitách ve vlastních bodech lim 0 f() =, tj. kdy bod 0 i limita byla (reálná, tj. konečná) čísla. bychom pojem limity rozšířili i na nevlastní (tj. nekonečné) limity i limity v nevlastních bodech, tj. v kladném i záporném nekonečnu, zavedeme pojem okolí nekonečna: Definice (okolí nekonečna) Libovolný interval (K, ), kde K > 0, nazveme okolím nekonečna, resp. K-okolí nekonečna. Množinu všech okolí nekonečna označíme O( ). Podobně libovolný interval (, K) nazveme okolím minus nekonečna, případně K- okolím minus nekonečna. Množinu všech těchto okolí označíme O( ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9

10 5. Limita a spojitost 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Poznámky y f() V případě r-okolí bodů jsme požadovali vždy kladný poloměr r > 0, hlavní význam měla malá r. V případě okolí nekonečna požadavek K > 0 není nutný. V definici mají hlavní význam velká K, připustíme-li K záporná, význam definice se nezmění: například pro K = 10 pokud f() je v okolí (10, ) je i ve větším okolí ( 10, ). f() K Vždy předpokládáme, že funkce f() je definovaná v okolí bodu 0, případně levém nebo pravém okolí. Pomocí okolí nekonečna zavedeme nevlastní (nekonečné) limity ve vlastním bodě 0 tím, že okolí nahradíme okolím nekonečna: 0 δ 0 0 +δ Obr. 5.9: Nevlastní limita v 0. Definice (Nevlastní limity) lim f() = K > 0 δ > 0 0, 0 < δ platí f() > K, 0 U O( ) V O( 0 ), V 0 platí f() U pomocí okolí a analogicky limitu minus nekonečno lim f() = K > 0 δ > 0 0, 0 < δ platí f() < K. 0 Definici nevlastní limity v bodě 0 zleva nebo zprava dostaneme tím, že místo celého okolí bodu 0 bereme jenom levé nebo pravé okolí. V definici konečné limity v nevlastních bodech nebo okolí bodu 0 nahradíme okolím plus nebo minus nekonečna: Definice (Limity v nevlastních bodech) y +ε f() ε lim f() = ε > 0 L > 0 > L platí f() < ε. lim f() = ε > 0 L > 0 < L platí f() < ε. f() K Obr. 5.10: Limita v nevlastním bodě. Pro > K hodnoty f() leží v ε-pásu limity. Pro úplnost ještě uved me definici nevlastní limity v nevlastním bodě, například lim f() = K > 0 L > 0 > L platí f() < K. Jako cvičení vytvořte definice ostatních případů limit, např. a lim f() =. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 10

11 5. Limita a spojitost 5D. Limity nevlastní a v nevlastních bodech Obecná definice limity Pomocí pojmů okolí bodu i nekonečna můžeme všechny případy zapsat v jedné definici: Definice (Limita funkce) Bud 0 R = R {, } a R = R {, }. Potom lim f() = U O() V O( 0 ) 0, V platí f() U, 0 v případě jednostranné limity v bodě 0 bereme odpovídající jednostranná okolí bodu 0. Limita posloupnosti Posloupnost {a n } je speciálním případem funkce definované na množině přirozených čísel N. Její limita, viz Definice 5.1 resp. 5.2 je limita v nevlastním bodě, tj. pro n a R: lim a n = ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 platí a n < ε. n nebo pomocí okolí: lim a n = U O() V O( ) n V N platí a n U. n Pokud posloupnost má konečnou limitu, říkáme, že posloupnost je konvergentní. Definici nevlastní limity lim n a n = a lim n a n = jistě již dokážete napsat sami. Uved me dvě vlastnosti limit posloupnosti, které plynou z definice. Věta Limita posloupnosti je určena jednoznačně. Necht {a n } je konvergentní posloupnost s limitou. Potom každá vybraná podposloupnost {a nk } {a n } je také konvergentní a má stejnou limitou. Vlastnosti nevlastních limit Limity v nevlastních bodech ± mají stejné vlastnosti jako limity ve vlastních bodech a lze s nimi počítat jako s jednostrannými limitami ve vlastních bodech. S nevlastními limitami je nutno počítat opatrně. Pro operace s nevlastními limitami platí: Věta (Pravidla počítání s nevlastními limitami) Pro reálné číslo platí: Součet: + = + = + =, = + = =. Násobek a součin: je-li > 0 potom = a ( ) =. Je-li < 0 potom = a ( ) =. Navíc = ( ) ( ) = a ( ) = ( ) =. (c) Podíl: Je-li konečné, potom = 0. Jestliže lim 0 g() = 0 a v okolí bodu 0 platí g() > 0, potom pro > 0 je lim = a pro < 0 je lim 0 g() 0 g() =. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 11

12 5. Limita a spojitost 5E. Vlastnosti spojitých funkcí Podobně, pokud v okolí g() < 0, potom lim = sgn(). 0 g() Pokud funkce g() mění v bodě 0 znaménko, potom tvrzení platí pro jednostranné limity, například: je-li lim 0 g() = 0 a v levém okolí bodu 0 platí g() > 0, potom pro > 0 je lim 0 g() =. (d) Mocnina: Pro > 1 platí = a = 0. Pro (0, 1) platí obráceně = 0 a =. (e) Záměna proměnné (složená funkce), například pokud y = 1 potom ( ) ( ) 1 1 lim f() = lim f a lim f() = lim y 0+ y f. 0+ y y Varování: V případě tzv. neurčitých výrazů výše uvedeným způsobem nelze určit limitu z jednotlivých limit. Mezi neurčité výrazy patří:, +, 0, 0,, 0 0, 1. V těchto případech musíme limitu počítat bud úpravou výrazu nebo použít tzv. l Hospitalovo pravidlo, se kterým se seznámíme později. 5E. Vlastnosti spojitých funkcí Spojité funkce mají řadu důležitých vlastností, uved me některé z nich. Hodnoty funkce spojité na intervalu tvoří tzv. souvislou množinu množina hodnot nemá díry : Věta Bud f() funkce spojitá na intervalu I = a, b. Potom funkce f() nabývá všech hodnot mezi f = a f = B, tj. C, B (resp. C B, ) eistuje alespoň jedno c a, b takové, že f(c) = C. Speciálně, pokud hodnoty funkce v koncích intervalu mají opačná znaménka, tj. f f < 0, potom rovnice f() = 0 má alespoň jedno řešení, tj. eistuje alespoň jedno c (a, b) takové, že f(c) = 0. f C f a c c 1 c 2 c 3 c b f C f a c c 1 c 2 c 3 c b f 0 a f Obr. 5.11: Funkce spojitá na intervalu a, b nabývá libovolné hodnoty C mezi f a f v alespoň jednom bodě c a, b. Pokud f f < 0, potom rovnice f() = 0 má alespoň jedno řešení. b Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 12

13 5. Limita a spojitost 5E. Vlastnosti spojitých funkcí Náznak důkazu druhého tvrzení.. Necht f < 0 < f. Označme M množinu všech čísel s I takových, že f() < 0 pro každé a, s. Protože f < 0, množina M obsahuje alespoň bod a. Jako každá neprázdná množina i množina M své má suprémum, které označíme c. Protože f > 0, platí c < b. Jaká je hodnota f(c)? Kdyby f(c) > 0, potom pro ε (0, f(c)) eistuje δ-okolí, ve kterém je také f() > 0. To je ve sporu s tím, že f() < 0 pro každé < c. Na druhé straně, kdyby f(c) < 0, potom opět díky spojitosti by bylo f() < 0 i v nějakém pravém okolí bodu c, což opět není možné. Proto f(c) = 0. Případ f > 0 > f lze dokázat podobně, nebo situaci převést na předchozí případ pomocí funkce f () = f(). První tvrzení plyne z druhého. Bud C mezi hodnotami f a f. Potom posunutá funkce f () = f() C splňuje podmínku f f < 0 a druhé tvrzení dává eistenci c takového f (c) = f(c) C = 0 odkud plyne f(c) = C. Poznámka: Obě tvrzení jsou názorná, viz Obr Druhé z nich se využívá při řešení nelineární rovnice f() = 0, protože podmínka f f < 0 zaručuje eistenci kořene spojité funkce f() v intervalu (a, b). Další vlastností spojitých funkcí je jejich omezenost a eistence etrémů. Věta (Omezenost a eistence absolutních etrémů) Bud f() funkce spojitá na uzavřeném omezeném intervalu I = a, b. Potom funkce f() je omezená shora i zdola, tj. eistují reálná čísla K < L taková, že K < f() < L I, funkce f() na intervalu I nabývá svého minima i maima, tj. eistují čísla c, d I taková, že f(c) = min I f(), f(d) = ma f(), tj. f(c) f() f(d), I I Poznámky Pozor, podmínku omezenosti intervalu I nelze vynechat, bez ní tvrzení neplatí. Například funkce f() = je spojitá na intervalu (, ), ale není omezená ani nemá maimum ani minimum. Funkce f() = arctg na (, ) je sice omezená, ale nemá minimum ani maimum. Také podmínku uzavřenosti intervalu I nelze vynechat. Například funkce tg je spojitá na omezeném intervalu ( π, π ) ale není zde omezená, nemá ani minimum ani maimum. 2 2 Důkaz. Naznačme důkaz eistence maima. Využijeme přitom tvrzení: Každá posloupnost v uzavřeném omezeném intervalu I obsahuje konvergentní podposloupnost s limitou v I. Tvrzení lze snadno dokázat pomocí půlení intervalu I, protože vždy v jedné polovině intervalu zůstává nekonečně mnoho hodnot. Vrat me se k důkazu. Označme M obraz zobrazení f, tj. množinu všech hodnot funkce f() Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 13

14 5. Limita a spojitost 5F. Tři důležité limity na intervalu I. Množina M je neprázdná a má proto své suprémum m, které je konečné číslo, pokud množina je shora omezená, nebo nekonečno, pokud množina je neomezená. Z definice suprema eistuje posloupnost { n } taková, že lim n f( n ) = m. Díky výše uvedenému tvrzení posloupnost { n } obsahuje podposloupnost { nk } konvergující k nějakému I. Díky spojitosti funkce f() z nk plyne f( nk ) f( ). le limitou f( n ) a proto i f( nk ) je supremum m. Platí tedy f( ) = m. Čímž jsme dokázali, že supremum m je konečné a f( ) = m je maimum f() na intervalu I. 5F. Tři důležité limity Spočítáme tři limity typu [ 0 ]. Výpočet je jednak instruktivní, na druhé straně výsledek využijeme 0 v další kapitole při odvozování derivace elementárních funkcí. Věta Platí sin lim 0 = 1, lim 0 e 1 = 1, lim 0 ln(1 + ) = 1. Výpočet první limity. Výpočet první limity je založen na nerovnosti sin < < tg. Nerovnost plyne z následujícího obrázku. Uvažujme úhel OB velikosti (0, π 2 ) v radiánech v rovině s osami y, z, s vrcholem v počátku a počátečním ramenem v poloose y. Označme O = [0, 0] počátek, průsečík vodorovné osy s jednotkovou kružnicí = [1, 0], průsečík druhého ramene úhlu s jednotkovou kružnicí B = [cos, sin ] a průsečík C = [1, tg ()] ramene úhlu s kolmicí y = 1, viz Obr Na obrázku jsou tři útvary: trojúhelník T 1 = OB se základnou O délky 1 a výškou sin. Jeho plošný obsah je sin ; 1 2 kruhová výseč V s rameny 0 a 0B a obloukem B délky. Její plošný obsah je 1 2 a (c) pravoúhlý trojúhelník T 2 = OC se základnou O délky 1 a výškou C. Jeho plošný obsah je 1 tg. 2 Protože T 1 V T 2 pro jejich obsahy platí T 1 < V < T 2 tj. 0 < sin < < tg. Převrácené hodnoty dávají cotg = cos sin < 1 < 1 sin. Vynásobíme-li nerovnost výrazem sin, dostáváme cos < sin < 1, odkud plyne dokazovaná limita pro 0 zprava, protože pro 0 platí cos 1. Protože funkce, sin, tg jsou funkce liché, opačné nerovnosti platí pro jdoucí k nule zleva, čímž je dokázána oboustranná limita. z tg sin O 1 y Obr. 5.12: K výpočtu první limity. Z inkluzí T 1 V T 2 plyne nerovnost 0 < sin < < tg. B C Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 14

15 5. Limita a spojitost 5F. Tři důležité limity Idea výpočtu druhé limity. Eulerovo číslo e je dáno jako limita posloupnosti ( n pro ( n. Lze dokázat, že tato posloupnost je rostoucí. Také lze dokázat, že posloupnost n n 1) je klesající a má za limitu opět Eulerovo číslo e. Proto pro každé n platí ( 1 + n) 1 n ( < e < ) n. n 1 Pro n = 1 n umocněme výrazy na n-tou, tj. udělejme z nich n-té odmocniny: n < e n < n 1. Nyní stačí odečíst jedničku a podělit kladným n, tj. násobit n. Dostáváme: 1 < en 1 n < n n 1 = n 1 1. Pro n platí n = 1 n 0, čímž je limita dokázána pro n = 1 n 0+. Poznamenejme, že jsme dokázali, že limita platí pro posloupnost n = 1 jdoucí k nule n zprava. Pro úplný důkaz by bylo potřeba dokázat, že limita platí pro všechna 0 a také pro jdoucí k nule zleva. Výpočet třetí limity. Tuto limitu lze snadno převést na druhou. Protože ln je funkce inverzní k funkci e, platí ln(1 + ) = y právě když e y = 1 +. Rovnost platí pro, y v okolí nuly, přičemž 0 právě když y 0. Přepíšeme-li výraz v třetí limitě pomocí y, dostáváme výraz v druhé limitě: ) n ln(1 + ) lim 0 ( y e y = lim y 0 e y 1 = lim 1 y 0 y ) 1 = 1. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 15

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

9. Limita a spojitost funkce

9. Limita a spojitost funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4. ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

10. Derivace, průběh funkce

10. Derivace, průběh funkce Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více