MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 0 Typeset by L A TEX ε c O. Dlouhý, V. Tryhuk, Brno 004

3

4 Obsah Úvod 5. Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Metodický návod k práci s textem Limita a spojitost funkce 7. Posloupnost reálných čísel Vlastnosti posloupností Limita posloupnosti Základní vlastnosti limit posloupností Algebra limit posloupností Pojem limity funkce Definice limity funkce Spojitost funkce Základní vlastnosti limity funkce Testovací úlohy Kontrolní otázky Výsledky cvičení, Testy ke zpracování Rejstřík Literatura

5 4 OBSAH

6 Kapitola Úvod. Cíle Cíle jednotlivých odstavců tohoto modulu jsou následující:. Seznámit se s vlastnostmi posloupností, které jsou souhrně uvedeny v tabulce. Na uvedených příkladech si promyslet, že jsou skutečně splněny podmínky, které charakterizují jednotlivé druhy posloupností.. Umět definovat limitu posloupnosti. Seznámit se se základními vlastnostmi limit a s algebrou limit posloupností. Umět řešit jednoduché úlohy na výpočet limit posloupností..3 Dobře si prostudujte úvodní motivační příklady, které vám pomohou pochopit definici limity funkce..4 Umět Heineovu definici limity funkce. Pochopení definice si ověřte na určování limit u uvedených obrázků. Zvládnout výpočet jednoduchých limit funkcí užitím posloupností..5 Znát definici spojitosti funkce v bodě. Porozumět vztahu mezi existencí limity a spojitostí funkce v bodě. Umět definovat jednostranné limity, jednostrannou spojitost a spojitost na otevřeném či uzavřeném intervalu. Je zde také uvedena Cauchyova definice limity, kterou však nemusíte znát..6 Znalost vlastností limit nám umožní řešit složitější úlohy na výpočet limit. Pro jejich správné používání je nezbytné znát tzv. neurčité výrazy, které nejsou definovány. K důležitým tvrzením patří věta o limitě složené funkce a věta o limitě výrazů typu, které se budou využívat při určování asymptot a průběhu 0 funkce. Vyřešte si autotest a podrobně si zdůvodněte postup výpočtu na základě teoretických poznatků uvedených v odstavci.

7 6 Úvod. Požadované znalosti Pro potřeby zvládnutí tohoto modulu předpokládáme znalosti studentů v rozsahu modulu Matematika I: BA0 M04..3 Doba potřebná ke studiu Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta jako hodnota nejméně 8 hodin..4 Klíčová slova Posloupnost reálných čísel, limita posloupnosti, algebra limit posloupností, limita funkce, limita složené funkce, spojitost funkce. Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky..5 Metodický návod k práci s textem Text je uspořádán podle stejných zásad, jako ostatní dříve studované moduly předmětu Matematika.

8 Kapitola Limita a spojitost funkce. Posloupnost reálných čísel Posloupnosti patří k nejzákladnějším pojmům matematické analýzy. Využívají se například při definování: limity funkce, součtu nekonečné číselné řady, různých typů integrálů, v numerické matematice a podobně. Jak již víte ze střední školy, posloupností reálných čísel (dále jen posloupností), rozumíme funkci f : N R (též píšeme f : n a n, n N), jejímž definičním oborem je množina N přirozených čísel a oborem hodnot je podmnožina reálných čísel R. Funkční hodnotu f(n) značíme obvykle a n a nazýváme ji n tým členem posloupnosti. Samotnou posloupnost pak označujeme symbolem (a n ) n= nebo zkráceně (a n ) nebo jen (a n ), n N. Lze ji též zapsat v rozepsaném tvaru (a, a,..., a n,...). Často nám může pomoci grafické znázornění posloupnosti. Mějme například posloupnost (n ) n=. Pak a n = n a tedy a =, a = 3, a 3 = 5, a 4 = 7, a 5 = 9,.... Následující obrázek ukazuje možnosti grafického znázornění a) v rovině, b) na reálné ose. y a) n b) a a a 3 n

9 8 Limita a spojitost funkce.. Vlastnosti posloupností vlastnost podmínka příklad. (a n ) je shora ohraničená existuje číslo k R takové, a n = n n že a n k pro všechna n N. (a n ) je zdola ohraničená existuje číslo h R takové, a n = +n n že a n h pro všechna n N 3. (a n ) je ohraničená existují čísla h, k R taková, že a n = cos nπ h a n k pro všechna n N 4. (a n ) je rostoucí platí a n < a n+ a n = n n pro všechna n N 5. (a n ) je klesající platí a n > a n+ a n = +n n pro všechna n N 6. (a n ) je neklesající platí a n a n+ a n = n +( )n pro všechna n N 7. (a n ) je nerostoucí platí a n a n+ a n = +( )n n pro všechna n N 8. (a n ) je monotónní (a n ) je nerostoucí a n = n +( )n nebo neklesající 9. (a n ) je ryze monotónní (a n ) je rostoucí a n = n n nebo klesající 0. (a n ) je stacionární a n = a n+ pro všechna n N a n = ( ) n+4. (a n ) je aritmetická a n = a + (n )d, d R a n = 5n pro všechna n N (d diference). (a n ) je geometrická a n = a q n, q R a n = 3n 5 n pro všechna n N (q kvocient) Příklad..: Pro posloupnosti vypsané v tabulce vytvořte tabulku prvních šesti členů posloupnosti a výsledky graficky znázorněte na reálné ose.

10 . Limita posloupnosti 9 Příklad..: Zjistěte, zda posloupnost (a n ) = klesající posloupností. ( +n n ) bodu 5. tabulky je Řešení: Potřebujeme porovnat n tý člen posloupnosti a n = +n n = + n s (n + ) ním členem posloupnosti a n+ = + (n+). Pro každé n N platí a n+ = + a proto je posloupnost posloupností klesající. (n + ) < + n = a n, Příklad..3: Zjistěte, zda posloupnost (a n ) = je neklesající posloupností.. Limita posloupnosti Komentář..: ) (n +( )n bodu 6. tabulky Uvažujme nyní například posloupnost (a n ) = ( ) n n. Všimněte si toho, že a n = n a že s rostoucím n se a n neomezeně přibližuje k číslu, tj. a n se blíží k nule. To lze potvrdit například tak, že zvolíme-li si libovolně malé kladné číslo ε např. ε = 0.00, pak pro všechny členy a n posloupnosti, kde n > 000, platí a n = n = n < Je pak přirozené říci, že posloupnost ( ) n n má limitu rovnou dvěma. Píšeme lim n a n = nebo lim a n = nebo a n pro n. Dostáváme se tak k definici limity posloupnosti. Definice..: Říkáme, že posloupnost (a n ) má limitu a R, jestliže ke každému ε R, ε > 0, existuje n 0 N tak, že pro všechna n N, n n 0 platí a n a < ε. Říkáme, že posloupnost (a n ) má limitu (event. ), jestliže ke každému h R existuje n 0 N tak, že pro všechna n N, n n 0 platí a n > h (event. a n < h). Posloupnost, která má vlastní limitu, se nazývá konvergentní, má nevlastní limitu, se nazývá divergentní, limitu nemá, se nazývá oscilující. ( Cvičení..: Zkuste si sami podle definice ověřit, že posloupnost ( ) diverguje a posloupnost +( ) n osciluje. ) n + n

11 0 Limita a spojitost funkce.. Základní vlastnosti limit posloupností Je-li (a n ) posloupnost a (k n ) je rostoucí posloupnost přirozených čísel (indexů), pak posloupnost (a kn ) se nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti (a n ). Příklad..: Posloupnosti (a n ) = (,,...,,... ), (a n ) = (0, 0,..., 0,... ) jsou vybrané ( ) posloupnosti sudých a lichých členů z posloupnosti (a n ) = +( ) n.. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.. Je-li lim a n = a, pak pro každou vybranou posloupnost (a kn ) z posloupnosti (a n ) platí lim n a kn = a. 3. Monotónní posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je ohraničená. 4. Je-li lim a n = a, lim b n = b a pro všechna n N, n > k 0 N platí a n b n, pak také a b. 5. Změníme-li v posloupnosti konečný počet členů, pak se její limita nezmění. 6. Je-li (b n ) ohraničená posloupnost a lim a n = 0, pak lim a n b n = Je-li a n > 0 pro n N, pak lim a n = 0 lim a n =. Cvičení..: Promyslete si odpovědi na následující otázky:. Co můžete říci o neklesající shora ohraničené posloupnosti?. Pomocí vybraných posloupností zdůvodněte oscilaci posloupnosti (cos nπ) n=. Komentář..: Nyní si uvedeme důležitý výsledek o konvergenci posloupnosti (q n ), q R. Platí lim n qn = 0 pro q (, ), pro q =, pro q >, neexistuje pro q.

12 . Limita posloupnosti Tento výsledek znáte již ze střední školy. Jeho platnost například pro q > vyplývá z toho, že lze psát q n = (+h) n > +nh, kde h > 0. Odtud lim n nh = a tedy lim n q n =. Ostatní výsledky lehce obdržíte využitím vlastností, 7... Algebra limit posloupností Je-li lim a n = a, lim b n = b, přičemž a, b R, pak platí ) lim (a n ± b n ) = a ± b, ) lim (a n b n ) = a b, 3) lim an b n = a, b 4) lim a n = a, pokud mají výrazy na pravých stranách smysl. Jak se tyto vlastnosti odvozují, ukážeme si na důkazu vlastnosti ) pro a, b R. Je-li lim a n = a, lim b n = b, pak pro libovolné ε > 0 existuje index n N tak, že pro všechna n > n je a n a < ε a index n N takový, že pro všechna n > n je b n b < ε. Položíme-li n 0 = max{n, n }, pak pro n > n 0 je (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε + ε = ε. Odtud (a n + b n ) a + b. Poznámka: Abychom mohli tyto vlastnosti bezchybně využívat, potřebujeme dobře znát, které operace s nevlastními čísly jsou definovány (tj. můžeme přímo určit výsledek, a to tak, jak jsme zvyklí u počítání s konečnými reálnými čísly) nebo zda jde o tzv. neurčité výrazy (výrazy, které nejsou definovány), které se snažíme převést různými úpravami na výrazy s definovanými operacemi. Mezi definované operace pro reálná čísla k R a nevlastní čísla a patří: ) + =, =, ) k ± = ± + k = ±, 3) =, ( ) = ( ) =, ( ) ( ) =, ( ) =, 4) k (± ) = (± ) k = ± pro k > 0, k (± ) = (± ) k = pro k < 0, 5) k ± = 0, 6) k = 0 pro 0 < k < k = pro k > =.

13 Limita a spojitost funkce Naopak nejsou definovány (tzv. neurčité) výrazy:, +, 0, 0 ( ), 0 0,, k pro k < 0. ± ±, ±, k 0, ± 0, (± )0, Komentář..3: limit. Příklad. Nyní si spočítáme několik příkladů na užití vlastností lim n 3n + 5n + 4n = lim n přičemž lim n a n =, lim n b n = a tedy nelze použít vlastnost 3 o limitě podílu, neboť výraz není definován. Proto podíl upravíme na tvar lim n 3 + n n n = 3 5. Abychom u dalších příkladů nemuseli slovně vypisovat o jaké typy výrazů se jedná, zapíšeme určený typ do hranaté závorky. Příklad. lim n Příklad 3. Příklad 4. lim n n 3 3n + 4 = [ ] = lim n n 3 + n + lim = n 5n ( n n 3 n = lim n ( ) n 3 n n ( ) = lim n [ ] = lim ( + n + n 3 ) n 5 n a n b n, ( n 3 + n n ( ) = ( 5 ( ) 3 n n ( ) = = 0. n n + n 3 ) n 5 ) = =. ) n n [ ] = [ ] = lim n + 4 n n + 5n = = = lim n + 5 =. n n ( 4n + 3n n) = [ ] = Příklad 5. lim n ( 4n + 3n n ) ( 4n + 3n + n ) = lim n 4n + 3n + n [ = ] 3 = lim = n n n = lim n 4n + 3n + n =

14 .3 Pojem limity funkce 3 Cvičení..3: Vypočítejte limity posloupností: ) lim n n +n 3n +n, ) lim n (5n 3n), 3n 3) lim 3 7n n 4n +5n+, 4) lim n n+5 4n +3n 6, ( 5) lim n + n n n 4n, 6) lim 4 n 7) lim n n + ( n n + ), 8) lim n ( n n + n )..3 Pojem limity funkce n +n+ n3 n+ Pojem limity funkce hraje v matematické analýze důležitou roli. Využívá se například při definování derivace, parciální derivace, nevlastního integrálu, součtu nekonečné řady funkcí a podobně. Z hlediska praktických výpočtů budeme limity potřebovat zejména při vyšetřování průběhů funkcí, výpočtech nevlastních integrálů, určování oborů konvergence funčních řad. Proto cílem této kapitoly je zejména pochopení pojmu limita, zvládnutí základních pravidel pro počítání s limitami a výpočet jednodušších limit potřebných při řešení úloh výše uvedených partií matematické analýzy. Výklad limity funkce založíme na vlastnostech limit číselných posloupností, které byly probrány v předchozím odstavci. Uvažujme například funkce g : y = tg 3x a h : y = sin π, které nejsou definovány v nule, ale v blízkém okolí nuly x x jsou všude definovány. Můžeme proto získat určitou informaci o chování zadaných funkcí v blízkosti nuly vytvořením tabulek funkčních hodnot v číslech blížících se k nule a rozdílných od nuly. Zvolme si například posloupnost (x n ) n= = (0., 0.0, 0.00, 0.000,...) = (( ) n+ 0 n ) n=. Pak x n 0 a x n 0 pro všechna n N. Pro funkce g, h pak získáme následující tabulky: ), x n g(x n ) x n h(x n ) Z tabulek je vidět, že posloupnost g(x n ) má pravděpodobně za limitu číslo.5 a posloupnost h(x n ) má limitu rovnu nule (neboť jde vlastně o posloupnost sinů

15 4 Limita a spojitost funkce celočíselných násobků čísla π.) Pokud by číslo.5 mělo být limitou funkce g v nule, pak by zřejmě mělo platit, že když si zvolíme libovolnou jinou posloupnost čísel (x n) konvergující k nule, x n 0 pro všechna n N, pak odpovídající posloupnosti funkčních hodnot budou opět konvergovat k číslu.5. To tedy znamená, že limita funkce g v nule (pokud existuje) nesmí záviset na volbě posloupnosti (x n ) 0, x n 0. Zvolme si proto ještě například posloupnost (x n) n= = (,,,...) = 3 9 ( ), která má také limitu rovnou nule a přitom 8k 5 x n 0 pro všechna n N. Dostaneme tyto tabulky: x n /3 /... /55 /787 g(x n) x n /3 /... /55 /787 h(x n) Z tabulek pro funkci h už můžeme prohlásit, že funkce h nemá v nule limitu, protože jsme našli dvě různé posloupnosti (x n ), (x n) konvergující k nule, pro které odpovídající posloupnosti h(x n ), h(x n) konvergují k různým číslům. Druhá tabulka pro funkci g zatím potvrzuje naši domněnku, že funkce g by mohla mít v nule limitu rovnu číslu.5. Je ale jasné, že po vyzkoušení dvou posloupností to ještě tvrdit nemůžeme. Pro ilustraci uvádíme přibližné grafy funkcí g, h. f y g y 4 3 x.5 π 6 π 6. = 0.5 x

16 .4 Definice limity funkce 5 Cvičení.3.:. Jaký vliv na naše úvahy o limitě funkce g v bodě nula by mělo následující dodefinování funkce g v nule, jestliže a) g(0) = 7, b) g(0) =.5?. Vytvořením tabulek funkčních hodnot odhadněte, zda a případně jakou sin x+ limitu mají funkce g : y =, h : y = cos πx v bodech a), b). x+ [Doporučujeme posloupnosti a) ( + ), ( + ), b) (n), ( + n).] 0 n 0n 3. Podobně jako ve. úloze odhadněte limity funkce f : y = x+ x a), b) 0, c). v bodech.4 Definice limity funkce Na základě našich úvah je logické říci, že funkce f má v bodě x 0 limitu tehdy, když limita posloupnosti funkčních hodnot (f(x n )) nezávisí na volbě posloupnosti (x n ), přičemž x n x 0, x n x 0. Tuto společnou limitu posloupnosti funkčních hodnot nazveme limitou funkce f v bodě x 0. Uvědomte si, že nás přitom nezajímá, jak se funkce chová přímo v bodě x 0. Nezáleží na tom, je-li funkce v bodě x 0 definovaná, ani jakou má eventuálně funkční hodnotu f(x 0 ). Proto píšeme x n x 0. Dostáváme se tak k tzv. Heineho definici limity. Definice.4.: Řekneme, že funkce f : y = f(x) má v bodě x 0 R limitu rovnu číslu b R, jestliže ) funkce f je definovaná v nějakém prstencovém okolí P(x 0 ) bodu x 0 R, ) pro každou posloupnost (x n ) P(x 0 ) s vlastností lim n x n = x 0 platí lim n f(x n ) = b. Pak píšeme lim n f(x n ) = b. Stručněji lze psát: lim x x0 f(x) = b, jestliže pro všechny posloupnosti platí (x n ) x 0, x n x 0 = f(x n ) b (n ). Z Heineho definice vyplývá, že funkce má v bodě x 0 R nejvýše jednu limitu (tato vlastnost je důsledkem jednoznačnosti limity konvergentní posloupnosti). Všimněte si, že v definici limity mohou být čísla x 0 i b i nekonečná (nevlastní) reálná čísla + a. Pak se často hovoří o různých typech limit, například nevlastní limitě ve vlastním bodě, vlastní limitě ve vlastním bodě, nevlastní limitě v nevlastním bodě. Jednotlivé varianty limit si znázorníme graficky:

17 6 Limita a spojitost funkce y y f f(x 0 ) b f x 0 x x 0 x x 0 R, b R, lim x x0 f(x) = b x 0 R, b R, b = + lim x x0 f(x) = y y f b f x 0 =, b R, lim x f(x) = b x x x 0 =, b = + lim x f(x) = Ještě si ukážeme grafy funkcí, které v uvedených bodech nemají limitu. y y y g h k f l x 0 x x x 0 a) x x 0 b) Funkce f, g, h nemají v bodě x 0 limitu, neboť jistě například existují posloupnosti (x n ), (x n), x n x 0, x n x 0, x n x 0, x n x 0 s následujícími vlastnostmi c)

18 .5 Spojitost funkce 7 a) f(x n ) k, f(x n) l pro funkci f b) f(x n ) 0, f(x n) pro funkci g c) f(x n ), f(x n) + pro funkci h Cvičení.4.: Graficky znázorněte další typy limit funkcí: a) lim x x0 f(x) =, x 0 R b) lim x f(x) = b, b R c) lim x f(x) = +. Nyní si ukážeme, jak je možné pro výpočet limit funkcí využívat vlastností limit posloupností. Příklad.4.: Užitím Heineho definice limity vypočítejte lim x 3 4x x. Řešení: Místo konkrétních posloupností konvergujících k číslu 3 uvažujeme obecně libovolnou posloupnost (x n ) konvergující k číslu 3 (x n 3). Z vlastností limit posloupností víme, že jestli x n 3, pak 4x n 4 9 = 35. Podobně x n 3 = 5. Celkem 4x n x n 35 5 = 7. Vidíme tedy, že pro každou posloupnost (x n ) konvergující k číslu 3, odpovídající posloupnost (f(x n )) konverguje k číslu 7. Proto Cvičení.4.: 4x lim x 3 x = 7. Pomocí Heineho definice limity vypočtěte a) lim x 3 (x 3 x + 7), b) lim x 3 4x x + x +, c) lim. x x x.5 Spojitost funkce Možná jste si všimli, že ve všech příkladech ve cvičení.4. se výsledná limita rovná funkční hodnotě ve studovaném čísle. Dostáváme se tak k dalšímu důležitému pojmu spojitosti funkce.

19 8 Limita a spojitost funkce Definice.5.: Funkce f je spojitá v bodě x 0 R, jestliže a) f je definovaná v nějakém okolí U(x 0 ), b) lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Z této definice si hned můžeme ujasnit vztah mezi limitou a spojitostí funkce v bodě. Je třeba si uvědomit, že z existence limity funkce v bodě x 0 R, ještě nemusí vyplývat spojitost funkce v tomto bodě. O tom nás jistě přesvědčí následující obrázky. y 4 f y 5 f x x 3 lim x 3 f(x) =, f(3) = 4 lim x 5 f(x) = f není v 5 definovaná Pro výpočet limit je důležité, že je-li funkce spojitá v bodě x 0, pak má v tomto bodě také limitu rovnou funkční hodnotě f(x 0 ). Přitom často využíváme toho, že všechny elementární funkce jsou v každém bodě svého definičního oboru spojité (viz. grafy funkcí). Odtud například lim x cos πx = cos π =, lim x ln x = ln = 0, lim x arctg x = arctg = π/4, a podobně Všimněme si nyní podrobněji chování funkce f : y = /x v okolí nuly. y x Vidíme, že tato funkce nemá v nule limitu. Zvolíme-li totiž posloupnost kladných čísel (x n ), jejíž limita je nula, pak f(x n ) má limitu +. Má-li posloupnost (x n) samá záporná čísla konvergující k nule, pak f(x n) má limitu rovnu. Těmito úvahami se dostáváme k tzv. jednostranným limitám.

20 .5 Spojitost funkce 9 Definice.5.: Číslo b R se nazývá limitou zprava (pravostrannou limitou) funkce f v bodě x 0 R, jestliže ) funkce f je definovaná v nějakém okolí P + (x 0 ), ) pro každou posloupnost (x n ) P + (x 0 ), (x n ) x 0, platí lim n f(x n ) = b. Pak píšeme b = lim x x0 + f(x) = f(x 0 +). Poznámka: Pro nevlastní body jednostranné limity nezavádíme. Cvičení.5.:. Zformulujte si sami analogickou definici limity zleva funkce f v čísle x 0.. Zapište matematicky čemu se rovnají limity zleva a zprava funkce f v čísle x 0 = prvního, x 0 = druhého obrázku. y y 3 4 x x 3. Na základě grafů funkcí určete limity a) lim x 0+ log 7 x, b) lim x 0+ log 0.7 x, c) lim x π tg x, + d) lim x π tg x, e) lim x 7π + cotg x, f) lim x 7π cotg x, g) lim x arcsin x, h) lim x arccos x. Poznámky:. Pomocí limity zprava definujeme spojitost zprava funkce f v bodě x 0, tj., požadujeme, aby funkce f byla definovaná v U + (x 0 ) a aby platilo lim x x0+ f(x) = f(x 0 ). Analogicky definujeme spojitost zleva. y y f(x 0 ) f(x 0 ) x 0 x x 0 x

21 0 Limita a spojitost funkce. Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (c, d) D(F ), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Spojitostí funkce f na uzavřeném intervalu c, d D(f) budeme rozumět spojitost funkce f v intervalu (c, d) a současně spojitost funkce f zprava v bodě c a zleva v bodě d. y c x d Cvičení.5.: Na základě grafů funkcí určete intervaly spojitosti těchto funkcí a) f : y = x +, b) f : y =, x c) f 3 : y = log x, d) f 4 : y = arcsin x, e) f 5 : y = sin x, f) f 6 : y = tg x, g) f 7 : y = e x. Komentář.5.: Než-li uvedeme příklad základních vlastností limit, seznámíme se ještě s tzv. Cauchyovou definicí limity funkce o níž se dá dokázat, že je ekvivalentní s Heineovou definicí limity. Uvádíme ji mimo jiné proto, že v mnohé literatuře se při definování limity funkce v bodě právě z této definice vychází. Jde o následující tvrzení. Funkce f má v bodě x 0 R limitu rovnou číslu b R, když pro každé ε R, ε > 0, existuje δ R, δ = δ(ε) > 0 takové, že pro všechna x P(x 0 ) splňující podmínku 0 < x x 0 < δ platí nerovnost f(x) b < ε. Tento přístup k limitě si vysvětlíme opět na příkladu 4x lim x x. Má-li být limita funkce f v čísle rovna dvěma (viz graf funkce g : y = x +, která se pro x rovná funkci f), pak musí být funkční hodnoty f(x) libovolně blízké číslu, a to pro všechna x rozdílná od a dostatečně blízká číslu. Vyjádříme-li míru blízkosti (vzdálenosti) užitím zavedených okolí bodů, pak musí pro libovolně zvolené malé kladné číslo ε platit nerovnice f(x) < ε, tj. f(x) U(, ε), pro všechna x z nějakého prstencového okolí čísla. Bude proto existovat číslo δ = δ(ε) > 0 takové, že nerovnice f(x) < ε bude platit pro všechna x P(, δ), tj. x ( δ, +δ) { }, tedy 0 < x < δ. Graficky lze situaci znázornit takto:

22 .6 Základní vlastnosti limity funkce + ε ε y δ + δ x Kdybychom si například zvolili ε = 0.0, pak pro to, aby platila nerovnice f(x) < 0.0, stačí vzít taková x, pro která platí x a 4x x < 0.0, tj. x+ < 0.0. Odtud x < 0.0 a tedy x < = ε/. Stačí tedy za δ zvolit libovolné číslo, pro které platí 0 < δ ε/ (například δ = 0.005). Domníváme se však, že Heineova definice je pro studenty technických fakult názornější a přístupnější a proto jsme jí dali přednost..6 Základní vlastnosti limity funkce V následujícím přehledu základních vlastností limit budeme stále předpokládat, že uvedené funkce jsou definovány v potřebném prstencovém okolí P(x 0 ) uvažovaného bodu x 0. Věta: (Vlastnosti limit) Je-li lim x x0 f(x) = r R, lim x x0 g(x) = s R, x 0 R, pak pokud má pravá strana rovnosti smysl, platí: a) lim x x0 (f(x) + g(x)) = r + s, b) lim x x0 (f(x) g(x)) = r s, f(x) c) lim x x0 g(x) = r s, d) lim x x0 f(x) = r. Pokud x 0 R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.

23 Limita a spojitost funkce Jednotlivá tvrzení se lehce dokazují pomocí analogických tvrzení pro posloupnosti, např. pro důkaz tvrzení b) si stačí uvědomit, že pro každou posloupnost (x n ) P(x 0 ) (D(f) D(g)), pro kterou lim n x n = x 0, platí lim n (f(x n ) g(x n )) = lim n f(x n ) lim n g(x n ) = r s, pokud je r s definováno. Protože posloupnost (x n ) byla zvolena libovolně, platí lim x x0 (f(x) g(x)) = r s. Komentář.6.: Při použití výše uvedené Věty je nezbytné respektovat požadavek, že pravá strana rovnosti musí mít smysl. Proto je zapotřebí znovu si důkladně zopakovat, že mezi výrazy, které nejsou definovány, patří například výrazy typu (± ) + ( ), (± ) (± ), ± ±, ±, 0 (± ), a 0 pro a R. Pro takové hodnoty pravých stran uvedená tvrzeni a), b), c) neplatí. Například kx lim x x, kde k 0 je konstanta, je limita typu ± a je rovna číslu k R {0}. Cvičení.6.: Uvedeme několik řešených příkladů jako vzor pro počítání. Příklad. lim x Příklad. Příklad 3. (( ) x + arctg x) ( ) x = lim + lim x arctg x = 0 + π x = π, lim (x + x x ) = lim x + lim x x x = + 0 =, lim x (x3 x + ) = lim x 3 x ( x + x ) = =, 3 Příklad 4. lim x 4x 3 + x + + x 3x = lim x 3 (4 + + ) x x 3 x x ( + 3) = x x = lim x lim x x 3 x x + 3 = x x ( 4 ) =, 3

24 .6 Základní vlastnosti limity funkce 3 Příklad 5. lim x ( x x ) x3 x 3 + x = [ ] = lim x + x (x )(x + ) = = lim x x 3 ( + x ) x 3 ( x + x x 3 ) =. Nyní si uvedeme důležité tvrzení o limitě složené funkce. Věta: Mějme složenou funkci h = f(g) = f g, tj. h(x) = f(g(x)), přičemž lim x x0 g(x) = u 0, lim u u0 f(u) = b, kde x 0 R, u 0 R, b R. Pak platí: a) Existuje-li prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x P(x 0 ) je g(x) u 0, pak lim x x0 h(x) = b. b) Je-li funkce f spojitá v bodě u 0, tj. lim u u0 f(u) = f(u 0 ) = b, pak lim x x0 f(g(x)) = f(lim x x0 g(x)) = f(u 0 ) = b. Pokud x 0 R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity. Komentář.6.: Obsahuje tři poznámky: (a) Ukážeme si nejprve příklad, který vysvětlí nutnost požadavku g(x) u 0 v tvrzení a) Věty. Zvolme si například funkce f, g takto: { 3 pro u, u R, g(x) = pro x R, f(u) = pro u =. u g x y f y = 3 u Pak h(x) = f(g(x)) = pro všechna x R. Odtud lim x h(x) =, přičemž u 0 = lim x g(x) =, lim u u0 f(u) = lim u f(u) = 3. Je tedy vidět, že Věta by bez předpokladu g(x) u 0 v okolí P(x 0 ) neplatila. (b) Pokud je uvedený předpoklad splněn, pak při výpočtu postupujeme tak, že nejprve nalezneme limitu u 0 vnitřní složky g a v této hodnotě

25 4 Limita a spojitost funkce u 0 pak nalezneme limitu vnější složky f. (c) Je-li splněn předpoklad spojitosti funkce f v bodě u 0 (tvrzení b) Věty), pak výslednou limitu vypočteme jako funkční hodnotu funkce f v limitě vnitřní složky g v bodě x 0. Cvičení.6.:. lim x x+ x. Řešené úlohy Položíme-li g(x) = x+ pro x a f(u) = u pro u < 0, ), můžeme x zadanou funkci h psát jako složenou funkci h = f g = f(g) s definičním oborem D(h) = {x R; x + x 0} = (, > (, ). Funkce g je v bodě x 0 = spojitá a tedy lim x g(x) = g() = 4 = u 0. Funkce f je v bodě u 0 = 4 rovněž spojitá a podle tvrzení b) Věty můžeme psát lim x h(x) = f(lim x g(x)) = f(4) = 4 =.. lim x x+ x. Užijeme-li označení složek z příkladu, pak funkce g není spojitá v bodě +, ale platí lim x x+ x = = u 0. Funkce f je opět v bodě u 0 = spojitá a tedy opět podle b) Věty platí lim x h(x) = f(lim x g(x)) = f() = =. 3. lim x e x x+. Označíme-li g(x) = x, f(u) = x+ eu, pak platí lim x g(x) = = u 0, přičemž funkce f není spojitá v u 0. Je však jasné, že pro všechna x P( ) platí g(x) a tedy dle a) Věty lze psát lim h(x) = x lim f(g(x)) = lim f(u) = x u u 0 Cvičení.6.3: Vypočítejte limity 3 x 5. lim x 4,. lim 5x+7 x sin x, x +x 3. lim x ln x +3, 4. lim x +x x arctg x. x+ lim u eu = 0. Později, při vyšetřování průběhu funkce budeme využívat následující tvrzení: Věta: Jestliže lim x x0 f(x) = 0, kde x 0 R, a existuje-li prstencové okolí P(x 0 ) v němž pro všechna x P(x 0 ) platí f(x) > 0, resp. f(x) < 0, pak lim =, resp. lim x x0 f(x) x x =, 0 f(x) Pokud x 0 R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.

26 .6 Základní vlastnosti limity funkce 5 Poznámka. U limit tohoto typu tedy stačí zjistit znaménko funkčních hodnot f(x) v nějakém okolí P(x 0 ) a limita je pak rovna buď + nebo. Pokud je x 0 R a znaménka funkčních hodnot f(x) se v okolích P + (x 0 ) a P (x 0 ) liší, je zapotřebí uvažovat příslušné jednostranné limity, neboť lim x x0 f(x) neexistuje. Příklad.6.: ) lim x (x ) 4. Řešení: lim x f(x) = lim x (x ) 4 = 0 a tedy jde o limitu typu. Protože 0 znaménko znam f(x) > 0 v P(), můžeme psát lim x = +. (x ) 4 ) lim x ( 3x) Řešení: Opět jde o limitu typu, přičemž znam f(x) je v P( ) záporné. 0 3 Odtud lim x =. 3 + ( 3x) 3 g(x) Poznámka. Pokud máme vypočítat limitu lim x x0 f(x), kde x 0 R, lim x x0 g(x) = b R {0}, lim x x0 f(x) = 0, pak stačí tuto limitu uvažovat ve tvaru lim x x0 g(x) f(x) a použít větu o limitě součinu funkcí. Cvičení.6.4: Řešené příklady. lim x 4x 3 (x ) = lim x (4x 3) (x ) = 5 =,. lim x 3 e x 3 x = lim x 3 e x 3 x = e3 =, 3. lim x 0+ ln x x 3 = lim x 0+ x 3 ln x = ( ) =, 4. lim x arctg x e x = lim x e x arctg x = π =.

27 6 Limita a spojitost funkce Cvičení.6.5: Vypočítejte limity funkcí: ) lim x x 3 +x +x+ x +x ) lim x x 4+ x x 3) lim x 3 x x 3 x+3 3 4) lim x x x3 5) lim x 6x +x x +x 6) lim x 3+ x x +5x 3 7) lim x x x arccotg x 8) lim x 4+ ln 3x+ x 4x 9) lim x (x 3 x + ) 0) lim x 3x 4 x 4 +x+3 ) lim x arctg x 3 x +x+ ) lim x e x x

28 .6 Základní vlastnosti limity funkce 7.6. Testovací úlohy AUTOTEST.6.: Limity. úloha a b c lim x x 4 x = neexistuje 4 x lim 4 x x = -4 neexistuje 4 3 lim x 0 x = neexistuje 0 4 lim x 0 3 x = neexistuje - 5 lim x x = neexistuje - x+ 6 lim x 0 arctg x = - neexistuje ( ) 7 lim x 3+ x 3 = neexistuje 0 x 9 8 lim x x x = 0 x 9 lim x = / x 3 x 0 lim 3 x = /4 4x + ( ) lim x x x x3 = 0 x lim x ( x + x ) = 0 3 lim x x x++ x = 0

29 8 Limita a spojitost funkce.7 Kontrolní otázky Kdy má posloupnost (a n ) limitu rovnou číslu a R? Co je to oscilující posloupnost? Uveďte příklad takové posloupnosti. Jak je definovaná geometrická posloupnost a kdy konverguje? Které vlastnosti patří k tzv. algebře limit posloupností? Co jsou to neurčité výrazy? Které operace s nevlastními čísly patří mezi definované operace? Uveďte Heineovu definici limity funkce. Kdy je funkce f spojitá v bodě x 0? Co rozumíme jednostrannými limitami a jednostrannou spojitostí? Kdy řekneme, že je funkce spojitá v uzavřeném intervalu? Co platí pro limity součinu a podílu funkcí? Jak lze vypočítat limitu složené funkce? Co lze říci o limitě lim x x0 f(x), jestliže lim x x 0 f(x) = 0?

30 .8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování 9.8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování Cvičení..3 ), ), 3), 4) 0, 5), 6), 7) 3, 8) Cvičení.3. ) žádný ) lim x g(x) =, lim x h(x) =, lim x g(x) = 0, lim x h(x) neexistuje. 3) lim x f(x) = 0, lim x 0 f(x) neexistuje, lim x f(x) = Cvičení.4. a) 3, b) 5 3, c) Cvičení.5. 3a), 3b), 3c), 3d), 3e), 3f), 3g) π, 3h) Cvičení.5. a) R, b) (, 0), (0, ), c) R +, d) ;, e) R, f) ( π + kπ, π + kπ), k Z, g) R Cvičení.6.3 ) 3, ) sin 3, 3) ln, 4) π Cvičení.6.5 ) 3, ) 3, 3), 4) 3, 5) 7 3, 6), 7), 8), 9), 0) 3, ) π, ) Autotest.6. c, a, 3 b, 4 b, 5 c, 6 a, 7 c, 8 b, 9 b, 0 c, c, b, 3 c.

31 30 Limita a spojitost funkce Test I. Jméno a příjmení: Adresa: Telefon:. Nakreslete graf funkce f : y = x 3 3x +.. Určete základní periodu, tabulku vybraných základních hodnot a znázorněte graf funkce f : y = 3 ( sin 3 x π ) Určete definiční obor funkce f : y = x x arcsin x x Najděte obor, na kterém je funkce f prostá, určete inverzní funkci f a obory D(f ), H(f ) jestliže a) f : y = + sin(3x ), b) f : y = 3 + ln(x + ). 5. Vypočítejte limity posloupností a) ( ) n ( n + 3 n), n= ( ) b). n 3 + 5n n n+ 6. Vypočítejte limity funkcí n= a) lim x arcsin x+ x, b) lim x e x+ x x+, c) lim x 0 +x x, d) lim x ( + x x ). Tabulka hodnocení a 4. b 5. a 5. b 6. a 6. b 6. c 6. d Σ body Opravil:

32 .8 Výsledky cvičení, Testy ke zpracování 3 Test I. Jméno a příjmení: Adresa: Telefon: I. Určete a) rozklad polynomu f v reálném oboru, b) znaménko sgn f(x) polynomu f je-li:. f : y = x 4 + 3x 3 7x 9x +,. f : y = x 4 + x 3 x 9x + 8, 3. f : y = 9x 5 x 4 9x 3 + 9x + 6x, 4. f : y = x 5 8x 3 8x + 3. II. Určete.. a) rozklad racionální funkce f na součet polynomu a parciálních zlomků, b) znaménko sgn f(x) racionální funkce f je-li: f : y = f : y = x 3x x + 6, 4 x 3 4x 3 + 7x x. III. Určete rozklad racionální funkce f na součet polynomu a parciálních zlomků je-li:.. Tabulka hodnocení f : y = x5 4x 4 5x x 4x + 57, x 4 x 3 7x + 9x 8 f : y = x5 4x 4 + x 3 + 6x 3x 5. x 4 x 3 3x + 4x + 4 I I I 3 I 4 II II III III Σ body Opravil: Poznámka: k nalezení celočíselných kořenů použijte Hornerova schématu

33 Rejstřík funkce limita Cauchy, 0 Heine, 5 vlastnosti, zleva, 9 zprava, 9 složená limita, 3 spojitost, 7 na intervalu, 0 v bodě, 8 zleva, 9 zprava, 9 rostoucí, 8 stacionární, 8 vybraná, 0 základní vlastnosti, 0 reálná čísla posloupnost, 7 limita funkce, 3 posloupnost, 9 posloupnost, 7 aritmetická, 8 divergentní, 9 geometrická, 8 klesající, 8 konvergentní, 9 limita, 9 algebra, neurčité výrazy, monotónní, 8 ryze, 8 neklesající, 8 nerostoucí, 8 ohraničená, 8 shora, 8 zdola, 8 oscilující, 9

34 Literatura [] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 995. [] Brabec J., Martan F., Rozenský Z., Matematická analýza I, SNTL, Praha 989. [3] Daněček J. a kolektiv, Sbírka příkladů z matematiky I, VUT, FAST, CERM, Brno 000. [4] Drábek P., Míka S., Matematická analýza I, Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta aplikovaných věd, Plzeň 999. [5] Jankovský Z., Průcha L., Diferenciální počet I, ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Praha 996. [6] Jarník V., Diferenciální počet I, NČSAV, Praha 963. [7] Novák V., Diferenciální počet v R (skripta), Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno 997. [8] Tryhuk V., Matematika I, Reálná funkce jedné reálné proměnné, VUT, FAST, CERM, 00. [9] Veverka J., Slatinský E., Matematika I 3, Diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné, VUT, FAST, CERM, Brno 995.

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

9. Limita a spojitost funkce

9. Limita a spojitost funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce 2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více