1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné"

Transkript

1 Spojitost a limity Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost Defiice Nechť je fukce f defiováa a ějakém okolí bodu a Řekeme že fukce f je v bodě a spojitá právě když 0 0 : D f platí a f( ) f( a) Dále řekeme že fukce f je spojitá a otevřeém itervalu ( ab ) v každém bodě uvedeého itervalu D f pokud je spojitá Defiice spojité fukce popisuje matematicky přesě to co máme a mysli když říkáme že graf fukce je reprezetová epřerušovaou (spojitou) křivkou To jest takovou křivkou kterou můžeme akreslit aiž zvedeme tužku z papíru ebo křídu z tabule Limity Defiice (vlastí limita ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a ějakém redukovaém okolí bodu a Řekeme že fukce f má v bodě a vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem A lim f( ) Všiměte si že fukce f emusí být v bodě a v ěmž vyšetřujeme její limitu vůbec defiováa Výše uvedeá defiice totiž popisuje pouze kam směřují fukčí hodoty f když se s ezávislou proměou blížíme eomezeě blízko bodu a (aiž jej ovšem dosáheme) Pokud je fukce f v bodě a defiováa emusejí být obecě její fukčí hodota a její limita v tomto bodě totožé a Všiměte si že spojitost fukce f v bodě a můžeme vyjádřit zkráceě vztahem lim f ( ) f( a) a Symbolem ozačujeme možiu všech reálých čísel

2 - 8 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Defiice (evlastí limity ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a ějakém redukovaém okolí bodu a Řekeme že fukce f má v bodě a evlastí limitu právě když K 0 0 : D f platí 0 a f( ) K Zkráceě teto fakt vyjadřujeme symbolem lim f( ) a Řekeme že fukce f má v bodě a evlastí limitu právě když K 0 0 : D f platí 0 a f( ) K Zkráceě teto fakt vyjadřujeme symbolem lim f( ) a Defiice evlastích limit popisuje situaci kdy fukčí hodoty fukce f rostou ade všechy meze ebo pod všechy meze klesají pokud se její ezávislá proměá blíží k hodotě a Zatím jsme v defiicích limity předpokládali že se ezávislá proměá blíží k zadaé hodotě z obou stra současě - zleva i zprava Často bývá užitečé umět popsat situaci kdy je toto přibližováí jedostraé tj buď zleva ebo zprava Pak hovoříme o jedostraých limitách Uveďme si jejich přesé defiice a příkladu vlastí limity Zobecěí a případ limit evlastích je pak přímočaré Defiice (jedostraé vlastí limity ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a otevřeém itervalu a a kde a je reálé číslo Řekeme že fukce f má v bodě a zleva vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem lim f ( ) A a Nechť je fukce f defiováa a otevřeém itervalu aa kde a je reálé číslo Řekeme že fukce f má v bodě a zprava vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem lim f ( ) A a Má-li fukce f v bodě a limitu (vlastí či evlastí) má v tomto bodě zřejmě obě jedostraé limity které jsou avíc této limitě rovy Naopak pokud eistují obě jedostraé limity a jsou si avzájem rovy má utě fukce f v bodě a limitu Pokud si ale rovy ejsou limita fukce v daém bodě eeistuje

3 Spojitost a limity Podobě jako jedostraé limity můžeme defiovat i spojitost fukce zleva a zprava Stačí se omezit ve výše uvedeé defiici spojitosti a hodoty ezávislé proměé splňující 0 a (resp 0 a ) Pokuste se obě defiice zformulovat sami! Kromě chováí fukcí v blízkosti reálého bodu a ás často zajímá chováí fukce v případě že se ezávislá proměá blíží k ekoeču Pro teto účel defiujeme limity v evlastích bodech reálé osy tj v a Defiice (vlastí limity v evlastích bodech) Nechť je fukce f defiováa a itervalu ( b ) Řekeme že má v vlastí limitu A právě když 0M 0 : D f platí M f( ) A Používáme též zkráceý zápis lim f ( ) A Nechť je fukce f defiováa a itervalu ( b) Řekeme že má v vlastí limitu A právě když 0M 0 : D f platí M f( ) A Používáme též zkráceý zápis lim f ( ) A Zcela aalogickým způsobem se defiují i evlastí limity v evlastích bodech Pokuste se tyto defiice (celkem čtyři) zformulovat sami! Věty o limitách (erovost mezi limitami) Nechť fukce f a g defiovaé a ějakém redukovaém okolí bodu a splňují pro všecha z tohoto okolí erovost f ( ) g( ) Eistují-li limity těchto fukcí v bodě a (vlastí či evlastí) platí lim f ( ) lim g( ) a a Speciálě tedy můžeme psát lim f( ) lim g( ) a a lim g ( ) lim f( ) a a Nechť fukce f g a h defiovaé a ějakém redukovaém okolí bodu a splňují pro všecha z tohoto okolí erovost f ( ) g( ) h( ) Eistují-li vlastí limity fukcí f a h v bodě a které jsou si avíc rovy eistuje v tomto bodě i limita fukce g a platí lim f ( ) lim g( ) lim h( ) a a a

4 - 0 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Právě uvedeé věty o erovostech mezi limitami je možo přeformulovat i pro jedostraé limity a limity v evlastích bodech ( a ) Proveďte sami! (algebra limit) Limity v této větě mohou být vlastí i evlastí (tj koečé i ekoečé) ve vlastích i evlastích bodech (tj a může abývat koečých i ekoečých hodot) Pokud mají výrazy a pravé straě rovostí smysl platí lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f( )lim g( ) a a a lim f ( ) / g( ) lim f( ) / lim g( ) a a a se velmi sado pamatuje: Limita součtu je rova součtu limit atd Důležitou součástí věty je předpoklad že pravé stray mají smysl To především zameá že limity a pravých straách eistují a avíc limita ve jmeovateli v posledím vztahu je eulová Vzhledem k tomu že tyto limity mohou být obecě evlastí musíme respektovat ěkterá speciálí pravidla pro počítáí s ekoečy: c c ( ) ( ) c c (0 ) c c ( 0) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c /( ) 0 Výrazy ( )0 ( ) /( ) a 0/0 ejsou defiováy emají tudíž smysl! Jejich výsledkem může být v závislosti a charakteru fukcí vyskytujících se v počítaých limitách jakékoliv reálé číslo i ebo prostě výsledek emusí eistovat Podobě eí defiová výraz A/0 kde A je eulové reálé číslo ai výraz ( ) / 0 Možých výsledků je však v těchto případech přece je trochu méě K uvedeým eurčitým výrazům vedou totiž limity (často jedostraé) lim f ( ) / g( ) kde lim f ( ) A (resp lim f( ) ) a lim g ( ) 0 a výsledky k imž a a a a můžeme dospět závisejí pouze a zaméku A (či evetuálí evlastí limity fukce f) a a zaméku fukce g abývaému a ějakém redukovaém okolí (popř jedostraém redukovaém okolí) bodu a Shruje je ásledující tabulka A > 0 popř lim f( ) A < 0 popř lim f( ) a g ( ) 0 g ( ) 0 a Měí-li fukce g své zaméko a libovolě malém redukovaém okolí (jedostraém redukovaém okolí) bodu a příslušá limita (jedostraá limita) eeistuje A také pouze jedostraé

5 Spojitost a limity - - Počítáí limit je obvykle poměrě obtížou záležitostí U ěkterých fukcí vycházíme přímo z defiice Jidy můžeme použít pravidla pro základí algebraické operace s limitami Často však musíme použít pokročilejší metody (apř L Hospitalovo pravidlo) o ěkterých se zmííme později Některé důležité a často používaé výsledky které můžeme získat přímým použitím defiic a vět uvedeých v této kapitole jsou kostatí fukce lieárí fukce kvadratická fukce a obecě polyomy jsou spojité a možiě všech reálých čísel celočíselé mociy a odmociy jsou spojité a svých defiičích oborech epoeciálí a logaritmické fukce jsou spojité a svých defiičích oborech goiometrické a cyklometrické fukce jsou spojité a svých defiičích oborech lim lim pro přirozeá lim pro sudá pro lichá lim pro přirozeá lim pro lichá lim 0 pro přirozeá lim 0 pro reálá > 0 lim 0 pro všecha přirozeá lim 0 pro sudá lim 0 pro lichá lim pro reálá > 0 0 lim a pro reálá a > lim a 0 pro reálá a < lim a 0 pro reálá a < lim a pro reálá a < limity goiometrických fukcí v evlastích bodech eeistují lim tg /2 lim tg /2 lim cotg lim cotg Jejich limity jsou tedy v každém bodě defiičího oboru rovy fukčím hodotám

6 - 2 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé 2 Derivace Zavedeí pojmu derivace bylo ispirováo potřebou řešit ěkteré kokrétími a avýsost praktické problémy jako apř určeí směrice tečy ke grafu zadaé fukce v zadaém bodě určeí okamžitých hodot rychlosti a zrychleí Derivace Defiice Nechť je fukce f () defiováa a ějakém okolí bodu a Řekeme že tato fukce má v bodě a vlastí derivaci pokud eistuje vlastí limita lim a f ( ) f( a) a Tuto limitu pak azýváme vlastí derivací fukce f v bodě a a užíváme pro i obvykle df ozačeí f ( a) ebo též ( a) Je-li uvedeá limita evlastí hovoříme o evlastí derivaci fukce f v bodě d a Jedostraou limitu lim a f ( ) f( a) a resp lim a f ( ) f( a) a azýváme derivací fukce f v bodě a zleva resp zprava V moha učebicích je derivace fukce f v bodě a defiováa zcela ekvivaletím způsobem jako f ( a) f( a) lim 0 Defiice O fukcích které mají v bodě a vlastí derivaci se často hovoří jako o fukcích (jedekrát) diferecovatelých v zadaém bodě Fukce které mají vlastí derivaci v každém bodě ějakého otevřeého itervalu se azývají (jedekrát) diferecovatelé a itervalu Derivaci df v libovolém bodě zadaého itervalu pak obvykle začíme f ( ) ebo též ( ) d Fukce diferecovatelá v zadaém bodě je v tomto bodě spojitá Fukce diferecovatelá a ějakém otevřeém itervalu je spojitá a tomto itervalu Fukce f která je diferecovatelá a ějakém otevřeém itervalu má vlastí derivaci v každém jeho bodě Derivováím získáme tedy z fukce f fukci ovou f ( ) Tu se můžeme pokusit opět derivovat v každém bodě zmíěého itervalu Ve všech bodech v ichž bude teto pokus úspěšý získáme tzv druhou derivaci Graf diferecovatelé fukce je a zadaém itervalu hladký a evyskytují se a ěm žádé "rohy"

7 Derivace fukce f f ( ) Dalším derivováím můžeme získat derivaci třetí f ( ) čtvrtou f (4) ( ) a obecě ( až derivaci řádu f ) ( ) O těchto derivacích hovoříme obvykle jako o derivacích vyšších Používáme pro d f( ) ě kromě právě uvedeého také ozačeí d Věty o derivacích (algebra derivací) Pokud mají pravé stray rovostí smysl platí f g ( a) f( a) g( a) f g ( a) f( a) g( a) kf ( a) kf ( a) f g ( a) f( a) g( a) f( a) g( a) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a g a a f a g a 2 g g( a) (derivace iverzí fukce) Nechť má fukce f fukci iverzí a v bodě a eistuje její prví derivace f ( a) která je eulová Pak eistuje prví derivace fukce f v bodě b f( a) a platí f ( b) f a f f b ( ) ( ( )) Větu o derivováí iverzí fukce (tetokrát v obecém bodě ) můžeme zapsat i ve tvaru f ( ) f( y) y f ( ) a číst: Iverzí fukci derivuj tak že derivuješ fukci k íž je tato fukce iverzí podle její ezávislé proměé (zde ji začíme y) z výsledku udělej reciprokou hodotu a za proměou y akoec dosaď f ( ) (derivace složeé fukce) Nechť fukce g a f mají prví derivace g ( b) a f ( a) kde b f( a) Pak eistuje i a platí derivace složeé fukce f g ( a) ( a ) g ( b ) f ( a ) g ( f ( a )) f ( a ) d f g d Větu o derivováí složeé fukce (v obecém bodě ) můžeme zapsat i ve tvaru f ( g ( )) f ( y) g ( ) yg( )

8 - 4 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé a číst: Složeou fukci derivuj tak že ejdříve derivuješ vější fukci podle její ezávislé proměé (zde ji začíme y) a za proměou y dosadíš g( ) a pak vše vyásob derivací vitří fukce podle její ezávislé proměé () Derivace všech základích fukcí je možo získat ať již přímo pomocí defiice ebo pomocí výše uvedeých vět Shruje je ásledující tabulka Derivace elemetárích fukcí f() f () f() f () c (= kost) 0 cos si si cos tg 2 cos cotg 2 si e e arcsi 2 a a 0 a l a arccos 2 l arctg 2 log a l a arccotg 2 3 Lokálí a globálí etrémy V ásledující kapitole si ukážeme jak je možo difereciálího počtu použít při vyšetřováí průběhu zadaé fukce jedé reálé proměé V této kapitole věujeme pozorost jedomu dílčímu v aplikacích však velmi výzamému problému - alezeí etrémů reálé fukce jedé reálé proměé Lokálí etrémy Defiice Nechť je fukce f defiováa a okolí bodu a Řekeme že tato fukce má v bodě a lokálí maimum 0 ( a a): f( ) f( a) ostré lokálí maimum 0 ( a a) ( a a): f( ) f( a)

9 Lokálí a globálí etrémy lokálí miimum 0 ( a a): f( ) f( a) ostré lokálí miimum 0 ( a a) ( a a): f( ) f( a) Lokálí maimum a lokálí miimum azýváme souhrě lokálími etrémy ostré lokálí maimum a ostré lokálí miimum ostrými lokálími etrémy Nechť má fukce f v bodě a prví derivaci Má-li f v bodě a lokálí etrém je utě tato derivace ulová Nechť má fukce f v bodě a prví a druhou derivaci Je-li prví derivace ulová a druhá derivace eulová má fukce f v bodě a ostrý lokálí etrém Je-li f( a) 0 jedá se o lokálí maimum je-li f( a) 0 jedá se o lokálí miimum Předcházející dvě věty ám poskytují ávod jak lokálí etrémy reálých fukcí jedé reálé proměé hledat Nejdříve alezeme body možého výskytu lokálích etrémů řešeím rovice f( ) 0 V každém z takto alezeých bodů určíme dále zaméko druhé derivace Je-li druhá derivace kladá abývá studovaá fukce v tomto bodě svého lokálího miima v opačém případě se jedá o lokálí maimum Pokud je však současě ulová prví i druhá derivace emůžeme o chováí fukce poblíž takového bodu a základě výše uvedeých vět říci ic určitého a musíme užít věty obecější: Platí-li ( ) f( a) f( a) f ( a) 0 a ( f ) ( a) 0 kde je liché abývá fukce f v bodě a lokálího etrému: pro ( f ) ( a) 0 lokálího miima a pro ( f ) ( a) 0 lokálího maima Je-li aopak sudé emá fukce f v bodě a žádý lokálí etrém Globálí etrémy Defiice Nechť je fukce f defiováa a ějaké podmožiě reálých čísel A Řekeme že fukce f abývá v bodě a A maima a A A: f( ) f( a) ostrého maima a A A\ a : f( ) f( a) miima a A A: f( ) f( a) ostrého miima a A A\ a : f( ) f( a) Maima a miima fukce f a možiě A obvykle ozačujeme souhrým ázvem globálí etrémy Etrémy zadaé fukce vyšetřujme zpravidla a ějakém itervalu reálé osy Obecě však emusí fukce ai jede z etrémů a daém itervalu mít Pro uzavřeé itervaly je však eistece globálích etrémů jak azačuje ásledující důležitá věta zaručea

10 - 6 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Spojitá fukce abývá a uzavřeém itervalu svého maima i miima Pokud hledáme etrémy fukce f a uzavřeém itervalu ab je zřejmé že je musíme hledat buď v krajích bodech a b ebo uvitř tohoto itervalu tj v bodech otevřeého itervalu ab V druhém případě se bude ovšem utě jedat o etrémy lokálí Ve všech bodech ab v ichž má f prví derivaci je utou podmíkou pro eisteci lokálího etrému její ulovost Kromě toho se mohou lokálí etrémy vyskytovat v bodech v ichž fukce derivaci emá ebo je dokoce espojitá Jaká je tedy strategie kterou musíme zvolit při hledáí etrémů fukce f a uzavřeém itervalu? Především alezeme body v ichž by fukce mohla etrému abývat Mezi ě patří krají body itervalu body v ichž má studovaá fukce ulovou derivaci body v ichž fukce derivaci emá ebo je dokoce espojitá Takových bodů je zpravidla koečě moho obvykle je ěkolik málo Dále sestavíme tabulku fukčích hodot studovaé fukce v alezeých bodech Pomocí této tabulky již můžeme učiit koečé rozhodutí V bodech odpovídajících ejvětší fukčí hodotě abývá fukce svého maima v bodech s ejmeší fukčí hodotou pak svého miima Podle počtu těchto bodů již sado rozhodeme zda se jedá o etrémy ostré Uvedeý postup můžeme zobecit i a vyšetřováí etrémů spojité fukce a koečém sjedoceí uzavřeých itervalů Hledáme-li etrémy fukce f a itervalu polouzavřeém či otevřeém dozá výše astíěý postup ěkterých změ Především musíme z možiy bodů v ichž můžeme výskyt etrému očekávat vyloučit krají body itervalu které do ěj epatří Ostatí body zachováme Podobě jako výše alezeme v těchto bodech odpovídající fukčí hodoty a porováme je Navíc je ale musíme porovat i s odpovídajícími jedostraými limitami fukce v krajích bodech které do vyšetřovaého itervalu epatří (pokud ovšem tyto limity eistují) Budeli ejvětší z těchto limit větší ež ejvětší fukčí hodota abývaá v ostatích vyšetřovaých bodech fukce svého maima a studovaém itervalu eabývá Naopak bude-li ejvětší z těchto limit meší ež ejvětší fukčí hodota abývaá v ostatích bodech fukce svého maima a studovaém itervalu v ěkterém z těchto bodů abývá Podobé závěry můžeme formulovat i pro eisteci či eeisteci miima Proveďte sami! Mohem obtížější je aalýza v případě že v ěkterém z krajích bodů které epatří do vyšetřovaého itervalu odpovídající jedostraá limita vůbec eeistuje Pak musíme velmi podrobě vyšetřit chováí studovaé fukce poblíž takového bodu Jak - a to odpovídá ásledující kapitola 4 Průběh fukce Často potřebujeme získat celkovou představu jak zadaá fukce závisí a své ezávislé proměé - vyšetřit její průběh Koečým cílem takového sažeí pak obvykle bývá áčrt grafu zkoumaé fukce Systematické zkoumáí fukce zahruje ěkolik kroků které v koečém důsledku umožňují cíle dosáhout Jedá se zejméa o alezeí: maimálího defiičího oboru fukce průsečíků s osou a y itervalů a ichž je fukce spojitá jakož i bodů espojitosti limit (i jedostraých) v krajích bodech defiičího oboru a v bodech v ichž eí fukce spojitá

11 Průběh fukce itervalů mootoie tj itervalů a ichž je fukce klesající rostoucí či kostatí lokálích etrémů fukce itervalů a ichž je fukce kokáví či koveí a ifleích bodů asymptot Splěí ěkterých bodů tohoto programu by emělo čiit žádé potíže Nezbytá vysvětleí defiice a věty byly podáy v předcházejících kapitolách ebo jsou zámy ze středí školy V této kapitole si vysvětlíme obsah bodů zbývajících Itervaly mootoie Nechť je fukce f spojitá a itervalu ab a má a itervalu ab prví derivaci Pak platí a a f ( ) 0 f ( ) 0 ab je f a ab rostoucí ab je f a ab klesající f je a ab eklesající f ( ) 0 f je a ab erostoucí f ( ) 0 a a ab ab Nalezeí itervalů mootoie tedy v prai zameá řešit erovice f( ) 0 a f( ) 0 Záme-li itervaly mootoie zadaé fukce umíme určit body v ichž tato fukce abývá svých lokálích etrémů popř charakter těchto etrémů aiž počítáme její vyšší derivace - tedy tak jak uvádíme v předcházející kapitole Je-li fukce v zadaém bodě spojitá vlevo od ěj rostoucí a vpravo klesající abývá v ěm svého ostrého lokálího maima Je-li aopak tato fukce vlevo od zadaého bodu klesající a vpravo od ěj rostoucí abývá v ěm ostrého lokálího miima V případě fukce vlevo eklesající a vpravo erostoucí můžeme v zadaém bodě zaručit pouze eisteci (eostrého) lokálího maima a pro fukci vlevo erostoucí a vpravo eklesající eisteci (eostrého) lokálího miima V ostatích případech fukce v daém bodě etrém emá Koveost a kokávost fukce ifleí bod Defiice Nechť je fukce f defiováa a itervalu ab Řekeme že fukce f je a tomto itervalu f( 2) f( ) f ( 3) f( ) koveí 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) ryze koveí 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) kokáví 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) ryze kokáví 2 3 a b 2 3: 2 3

12 - 8 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Geometricky zameá koveost fukce f a itervalu ab že pro libovolou volbu 3 a b 3 ( ) 3 f( 3) a itervalu 3 ad grafem fukce f Kokávost aopak zameá že tatáž úsečka leží pod grafem fukce f leží úsečka s kocovými body f a S mešími ároky a přesost můžeme též říci že koveí fukce zatáčí a zadaém itervalu proti směru hodiových ručiček kokáví pak ve směru hodiových ručiček Nechť je fukce f spojitá a itervalu ab a má a ab druhou derivaci Pak platí a a f ( ) 0 f ( ) 0 ab je f a ab ryze koveí ab je f a ab ryze kokáví f je a ab koveí f ( ) 0 f je a ab kokáví f ( ) 0 a a ab ab Nalezeí itervalů koveosti (kokávosti) fukce f v prai zameá utost řešit erovice f( ) 0 ( f( ) 0) Defiice Nechť má fukce f v bodě a vlastí derivaci Řekeme že fukce f má v a ifleí bod pokud eistuje 0 takové že platí jeda z ásledujících podmíek f( ) f( a) f( a)( a) ( a a) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a ) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a ) V ifleím bodě prochází teča ke grafu studovaé fukce z jedé jeho stray a strau druhou Je-li v hraičím bodě mezi itervalem a ěmž je fukce ryze koveí a itervalem a ěmž je fukce ryze kokáví studovaá fukce současě diferecovatelá je teto bod jejím ifleím bodem Ifleí body tedy od sebe oddělují koveí a kokáví oblouky grafu diferecovatelé fukce Má-li fukce v zadaém bodě ulovou druhou derivaci a eulovou derivaci třetí má v ěm ifleí bod Obecěji - má-li fukce v zadaém bodě ulové všechy derivace od derivace druhé až do derivace řádu kde je sudé a eulovou derivaci řádu má v ěm ifleí bod Asymptoty Defiice Fukce má v bodě a vertikálí asymptotu má-li v ěm alespoň jedu jedostraou limitu evlastí Vertikálí asymptota v bodě je svislá přímka a k íž se graf fukce eomezeě blíží když se ezávislá proměá blíží k a zleva ebo zprava

13 Průběh fukce Defiice Asymptotou fukce v rozumíme přímku y k q která splňuje lim f( ) kq 0 Asymptotou fukce v rozumíme přímku y k q která splňuje lim f( ) kq 0 Asymptoty v ekoeču se eomezeě blíží ke grafu fukce pokud ezávislá proměá roste ade všechy meze ebo klesá pod všechy meze Přímka y k q je asymptotou fukce f v právě když její parametry splňují k f ( ) lim q lim f( ) k 5 Prví difereciál Taylorův rozvoj V této kapitole si ukážeme jak je možo obecou dostatečě diferecovatelou fukci ahradit přibližě fukcí jedodušší - polyomem Teto postup je velmi užitečý v praktických aplikacích a je základem velmi rozšířeé metody přibližého řešeí obecých často velmi komplikovaých úloh tzv poruchového počtu Defiice Symbolem o ( ) ozačujeme libovolou fukci která splňuje podmíku lim o ( ) / 0 0 Jedá se tedy o takovou fukci která se blíží k ule pokud se ezávislá proměá blíží k ule rychleji ež Prví difereciál Nechť je fukce f ( ) defiováa a ějakém okolí bodu a a má v ěm prví derivaci Pak je možo a tomto okolí psát f ( ) f( a) f( a) a o( a) Podle této věty je možo obecou fukci f ahradit a ějakém malém okolí bodu a tj pro ta která se od a příliš eliší jedodušší fukcí lieárí Můžeme tedy pro taková psát s přibližou platostí ( ) ( ) ( ) f f a f a a Chyby kterých se při této přibližé áhradě dopustíme budou až druhého řádu tj úměré a 2 odhady velikosti těchto chyb je možo ajít v každé pokročilé učebici matematické aalýzy 2 Kokrétí Sado můžeme ahlédout že tato áhrada odpovídá v grafickém vyjádřeí áhradě grafu fukce f a okolí bodu a jeho tečou v tomto bodě 2 Viz apř Jarík [3]

14 Difereciálí počet fukcí jedé proměé Defiice df ( ; a) f ( a) a se azývá prvím difereciálem fukce f v bodě a Výraz o prvím difereciálu umožňuje ahradit ěkteré komplikovaé výrazy výrazy sice přibližými leč začě jedoduššími které se s úspěchem využívají jak při rychlých umerických výpočtech tak i v rámci poruchového počtu při zjedodušováí komplikovaých teoretických schémat Hovoříme pak vzhledem k řádu chyb kterých se těmito úpravami dopouštíme o přiblížeí prvího řádu ebo též o lieárím přiblížeí Uveďme si pro ilustraci ěkteré z přibližých výrazů pro počítáí s čísly blízkými ule : 2 2 si e cos tg l( ) Taylorův rozvoj (Taylorova) Nechť je fukce f defiováa a ějakém okolí bodu a a má v tomto bodě derivace až do řádu včetě Pak je možo a tomto okolí psát k f f a a o a ( k) ( ) ( ) k 0 k! ( ) Podle této věty je možo a ějakém malém okolí bodu a tj pro ta která se od a příliš eliší ahradit obecou fukci f jedodušším polyomem Můžeme tedy pro taková psát s přibližou platostí f ( ) f ( a) a k! ( k ) k k 0 Chyby kterých se při této přibližé áhradě dopustíme budou až řádu tj úměré a Hovoříme proto o přiblížeí -tého řádu Kokrétí odhady velikosti těchto chyb je možo ajít v každé pokročilejší učebici matematické aalýzy 2 Všiměte si že pro přechází Taylorova věta ve větu o prvím difereciálu Taylorova věta je tedy zobecěím věty o prvím difereciálu Defiice Pro výraz ( k T ( ; f a) / k! f ) ( a) a k 0 používáme obvykle ázev Taylorův poly- k om stupě fukce f v bodě a Výraz ( k d f( ; a) f ) ( a) a k se ěkdy též azý- k! vá difereciálem k-tého řádu fukce f v bodě a Další užitečé vzorce může čteář ajít v libovolé příručce vyšší matematiky viz apř Rektorys [5] 2 Viz apř již zmíěý Jarík [3]

15 Prví difereciál Taylorův rozvoj Taylorovy rozvoje fukcí výzamých pro aplikace jsou shruty ve všech učebicích matematické aalýzy a souhrých příručkách a moografiích Zde uveďme je ěkteré z ich: k k ( ) o( ) k 0 k o( ) k 0 k o( ) kde a k 0 k ( )( k ) k k! k e o( ) k! k 0 k k l( ) ( ) o( ) k k 3! 5! 7! (2 )! si ( ) o( ) 2! 4! 6! (2 )! cos ( ) o( ) 6 L Hospitalovo pravidlo V této kapitole si ukážeme jak počítat limity které po bezprostředím použití věty o limitě podílu (viz kapitola ) přecházejí a eurčité výrazy 0 / 0 a / Zmííme se i o ěkterých dalších typech limit u ichž rověž eí přímá aplikace algebraických pravidel možá Nechť f ( ) a g( ) jsou fukce diferecovatelé a ějakém okolí bodu a (a může být vlastí i evlastí) které avíc splňují ebo lim f( ) lim g( ) 0 a a lim g ( ) a Eistuje-li lim f ( ) / g ( ) pak eistuje i lim f ( ) / g( ) a a a platí f ( ) f( ) lim lim a g( ) a g( ) Uvedeé limity mohou být i jedostraé Viz apř již zmíěá učebice Jaríkova [3] ebo příručka Rektorysova [5]

16 Difereciálí počet fukcí jedé proměé Předcházející věta dává ávod jak si poradit s eurčitými limitami typu 0 / 0 a v případě druhé podmíky zejméa s eurčitými limitami typu / Při jejím použití však musíme být obezřetí Vždy totiž musí být splěy uvedeé předpoklady Především obě fukce musí mít v zadaém bodě buď současě ulovou limitu ebo limita absolutí hodoty fukce ve jmeovateli musí být ekoečá Jiak větu použít elze! Větu je možo stručě formulovat tak že při splěí výše uvedeých podmíek je limita podílu rova limitě podílu derivací Všiměte si že ve vzorci se skutečě vyskytuje podíl derivací ikoliv derivace podílu! Často se stává že po aplikaci L Hospitalova pravidla dospějeme opět k eurčité limitě typu 0 / 0 a / Při jejím výpočtu můžeme uvedeého pravidla použít zovu a teto postup opakovat tak dlouho dokud ezískáme hledaý výsledek L Hospitalovo pravidlo můžeme použít i při výpočtu jedostraých limit typu 0 / 0 a / Kromě uvedeých typů eurčitých výrazů eistuje celá řada dalších limit k jejichž výpočtu elze větu o algebře limit (viz kapitola ) rověž bezprostředě použít V ásledujících příkladech si ěkteré takové limity uvedeme a ukážeme si jak je možo tyto limity počítat pomocí L Hospitalova pravidla Příklad Limity typu 0 Nechť lim f( ) 0 a lim g ( ) a a g( ) lim f( ) g( ) lim a a f ( ) limity typu 00 popř / L Hospitalovo pravidla Pak úprava f g převádí eurčitou limitu f g f ( ) lim ( ) ( ) lim popř a a g ( ) lim ( ) ( ) 0 a eurčitou a K výpočtu obou ových limit již ale můžeme použít Příklad 2 Limity typu Nechť lim f( ) a lim g ( ) Pak úprava lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí a a eurčitou limitu a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu a Příklad 3 Limity typu 0 0 Nechť lim f( ) lim g( ) 0 Pak úprava 2 lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí eurčitou a a a limitu 0 0 a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu Příklad 4 Limity typu 0 Nechť lim f( ) a lim g ( ) 0 Pak úprava 3 lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí a a eurčitou limitu 0 a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu Zde využíváme spojitosti fukce e 2 Zde využíváme spojitosti fukce e a faktu že lim l 0 3 Zde využíváme spojitosti fukce e a faktu že lim l a

17 L'Hospitalovo pravidlo Příklad 5 Limity typu Limita typu se dá obvykle zapsat ve tvaru lim a f ( ) g ( ) kde lim f( ) lim g( ) 0 úprava a a tak že lim/ f( ) lim/ g( ) a a g( ) f( ) f ( ) g( ) f( ) g( ) Pak ovšem převádí výpočet eurčité limity typu a výpočet eurčité limity 0/0 a kterou můžeme aplikovat L Hospitalovo pravidlo přímo 7 Vektorové fukce Defiice Pod reálou vektorovou fukcí jedé reálé proměé (stručě - vektorová fukce) rozumíme zobrazeí f : kde je ějaké přirozeé číslo Vektorová fukce f je zadaá uspořádaou -ticí reálých fukcí f f2 f Těmto fukcím budeme říkat ve shodě s obvyklou termiologií složky vektorové fukce f V přírodovědých a techických aplikacích volíme obvykle 2 ebo 3 V těchto případech je grafem zadaé vektorové fukce křivka v roviě či v prostoru Typickým představitelem vektorové fukce může být apř trajektorie hmotého bodu v roviě či prostoru Defiice Nechť je vektorová fukce f defiováa a okolí bodu 0 Řekeme že je spojitá v tomto bodě právě když 2 0 0: D f platí 0 f( ) f ( 0) Vektorová fukce f je spojitá v bodě 0 právě když jsou v tomto bodě spojité všechy její složky Defiice Řekeme že vektorová fukce f má v bodě 0 a jehož redukovaém okolí je defiováa 3 vlastí limitu A právě když 0 0: D f platí 0 0 f( ) A Vektorové veličiy začíme v tomto tetu tučým tiskem 2 Symbolem a ozačujeme eukleidovskou ormu vektoru a 3 V samotém bodě 0 tedy být defiováa emusí 2 a k k a Viz též Apedi 4

18 Difereciálí počet fukcí jedé proměé Obdobým způsobem můžeme defiovat i limity jedostraé a vlastí limity v evlastích bodech Nevlastí limity ejsou ale pro vektorové fukce defiováy Vektorová fukce f f f2 f má v bodě 0 má v tomto bodě limitu každá její složka Navíc platí limitu A A A A 2 právě když lim f ( ) A k 0 k k Defiice Nechť je vektorová fukce f defiováa a okolí bodu 0 Pod prví derivací fukce f v bodě 0 rozumíme f( ) f( ) 0 f ( 0) lim 0 0 df Pro derivaci vektorové fukce f v bodě 0 budeme též používat ozačeí ( 0) d Vektorová fukce f má v bodě 0 prví derivaci právě když mají v tomto bodě prví derivaci všechy její složky Navíc platí f ( 0) f ( 0) f ( 0) Vektorové fukce můžeme tedy derivovat po složkách V kokrétích výpočtech můžeme proto využít všech pozatků které jsme získali pro reálé fukce jedé reálé proměé (algebra derivací pro vektorové fukce) Nechť f a g jsou vektorové fukce defiovaé a ějakém okolí bodu 0 Mají-li smysl pravé stray platí ásledující rovosti f g ( ) f( ) g ( ) fg ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) Jsou-li avíc f a g trojrozměré vektorové fukce f g ( ) f( ) g( ) f( ) g ( ) f : můžeme dále psát 2 Obdobě jako v případě reálých fukcí můžeme i pro fukce vektorové zavést pojem vyšších derivací Ty opět můžeme počítat po složkách Tečkou ozačujeme skalárí souči fg fg f2g2 fg fg f g f g f g f g f g f g 2 Symbolem ozačujeme vektorový souči

19 Kompleí fukce Kompleí fukce Defiice Pod kompleí fukcí jedé reálé proměé rozumíme zobrazeí f : Kompleí fukce f je jedozačě defiováa svou reálou a imagiárí částí f f if2 Na kompleí 2 fukci je možo též pohlížet jako a vektorovou fukci : f f f f Spojitost limitu (ve vlastím i evlastím bodě oboustraou i jedostraou) i derivaci kompleí fukce jedé reálé proměé defiujeme bezezbytku stejě jako v případě fukcí reálých 2 Pouze tam kde se vyskytou kompleí čísla a kompleí fukčí hodoty musíme použít azačeých operací (sčítáí odečítáí ásobeí děleí či absolutí hodoty) tak jak jsou defiováy a možiě všech kompleích čísel 2 Kompleí fukce f imagiárí část je spojitá v bodě a právě když je v tomto bodě spojitá její reálá i Kompleí fukce f f if2 má v bodě a limitu A A ia2 právě když platí lim f ( ) A lim f ( ) A 2 2 a a Kompleí fukce f f if2 má v bodě a prví derivaci právě když má v tomto bodě prví derivaci její reálá i imagiárí část Navíc platí f ( a) f ( a) if 2 ( a) Derivace kompleí fukce jedé reálé proměé je tedy jedozačě dáa derivacemi její reálé a imagiárí části V kokrétích výpočtech můžeme proto bezezbytku využít všech pozatků které jsme získali pro reálé fukce jedé reálé proměé Obdobě jako v případě reálých fukcí můžeme i pro fukce kompleí zavést pojem vyšších derivací Jistě epřekvapí že platí ( ) ( ) ( ) f ( a) f ( a) if ( a) 2 Je vlastí! Nevlastí limity ejsou pro kompleí fukce defiováy 2 Pokuste se sestavit všechy ezbyté defiice sami

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme DERIVACE FUNKCE Má zásadí výzam při vyštřováí fukčích závislostí j v matmatic, al také v aplikacích, apř v chmii, fyzic, koomii a jiých vědích oborch Pricip drivováí formulovali v 7 stoltí závisl a sobě

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí Počítačová podpora statických výpočtů Téma: ) Dyamika stavebích kostrukcí Katedra stavebí mechaiky Fakulta stavebí, VŠB V Techická uiverzita Ostrava Rozděleí mechaiky Statika Zabývá se problematikou působeí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více