(,b)={x IR;x < b} (otevřenýinterval) a,b ={x IR;a x b} (uzavřenýinterval)

Transkript

1 A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 Definice a tvrzení Reálná osa Značení(populární číselné množiny. IN přirozenáčísla1,2,3,4,... IN 0 = IN {0}={0,1,2,3,4,...} Z celáčísla0,1,-1,2,-2,3,-3,... IQ racionální čísla(zlomky IR reálnáčísla,racionálníairacionální(např. 2, e, π Definice. Vlastní intervaly: Nechť a b IR. (a,b={x IR;a < x < b} (otevřenýinterval a,b={x IR;a x < b} (polouzavřenýinterval (a,b ={x IR;a < x b} (polouzavřenýinterval a,b ={x IR;a x b} (uzavřenýinterval Poznámka:Jestliže a=b,pakdostanemedegenerovanéintervaly(a,a= a,a=(a,a = a a,a ={a}. Nevlastní intervaly: Nechť a, b IR. (a, ={x IR;a < x} (otevřenýinterval (,b={x IR;x < b} (otevřenýinterval a, ={x IR;a x} (polouzavřenýinterval (,b ={x IR;x b} (polouzavřenýinterval. Definice. Nechť je podmnožina IR. Číslo K IRjehornímezmnožiny,jestliže a : a K. Číslo k IRjedolnímezmnožiny,jestliže a : a k. Řekneme, že je omezená shora, jestliže existuje nějaká její horní mez. Řekneme, že je omezená zdola, jestliže existuje nějaká její dolní mez. Řekneme,že jeomezená,jestližejeomezenázdolaishora. Je-li omezenáshora,definujemejejísupremumsup(jakonejmenšíhornímez,jinaksup(=. Je-li omezenázdola,definujemejejíinfimuminf(jakonejvětšídolnímez,jinakinf(=. Řekneme,že x IRjemaximummnožiny,značenomax(,jestliže x a a : a x. Řekneme,že x IRjeminimummnožiny,značenomin(,jestliže x a a : a x. Každá podmnožina reálných čísel má supremum a infimum. Fakt. max(existuje sup(,pakmax(=sup(. min(existuje inf(,pakmin(=inf(. Definice. Rozšířenáreálnáosa IR = IR {, }.Terminologie:vlastníčísla x IR,nevlastníčísla ±. Uspořádání: x IR: < x <. Okolí: U ε ( =P ε ( = ( 1 ε,, U ε ( =P ε ( = (, 1 ε. Operace: + =, ( =,( +( =,( = ; =, =. Neurčeno:,. +a= a= pro a IR, +a= a= pro a IR. a =0pro a IR, a = pro a >0, a = pro a <0. a = pro a >0, a ( = pro a >0, a = pro a <0, a ( = pro a <0. a Neurčeno: 0, 0,0. a = pro a >0, a =0pro a <0; a = pro a >1, a =0pro a <1. Neurčeno: 0,1. Definice a tvrzení funkce(úvod, základní vlastnosti Definice. Reálnáfunkcereálnéproměnnéjelibovolnézobrazení f: D IR,kde Djenějakápodmnožina IR. Zde budeme říkat jen reálná funkce či dokonce jen funkce. Definice. Nechť f je funkce. Definičníobor fjemnožina D(f={x IR; f(xmásmysl}. Oborhodnot fjemnožina R(f={f(x; x D(f}. Graf fjemnožina G(f={(x,f(x, x D(f}. Definice. (srovnání Nechť f, g jsou funkce. Řekneme,že f= g,jestliže D(f=D(g=Da x D: f(x=g(x. Nechť jepodmnožina D(f D(g. Řekneme,že f= gna,jestliže x : f(x=g(x. Řekneme,že f gna,jestliže x : f(x g(x. Řekneme,že f < gna,jestliže x : f(x < g(x. 1

2 A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 Řekneme,že f gna,jestliže x : f(x g(x. Řekneme,že f > gna,jestliže x : f(x > g(x. Definice. (operace Nechť f,gjsoufunkcetakové,že = D(f D(g. Definujemejejichsoučet f+ gvzorcem(f+ g(x=f(x+g(xpro x. Definujemejejichrozdíl f gvzorcem(f g(x=f(x g(xpro x. Definujemejejichsoučin f gvzorcem(f g(x=f(x g(xpro x. Definujemejejichpodíl f g vzorcem ( f g (x= f(x g(x pro x, g(x 0. Definujemejejichobecnoumocninu f g vzorcem(f g (x=e ln[f(x]g(x pro x D(f g,kde D(f g =D(g {x D(f; f(x >0}. Definice. (složenáfunkce Nechť f,gjsoufunkcetakové,že R(f D(g. Definujemejejichsloženíčikompozici g(f=g fjako(g f(x=g ( f(x pro x D(g f,kde D(g f={x D(f; f(x D(g}. Definice. Nechť f je funkce. Řekneme,že fjeomezenáshora,jestliže K IR x D(f: f(x K. Řekneme,že fjeomezenázdola,jestliže k IR x D(f: f(x k. Řekneme,že fjeomezená,jestližejeomezenáshoraizdola. Poznámka:Pokudčíslo Kexistuje,říkásemuhornímez.Podobněsečíslu kříkádolnímez. Definice. (symetrie Řekneme,žepodmnožina reálnýchčíseljesymetrická,jestliže x :( x. Nechť fjefunkce.řekneme,žejesudá,jestliže D(fjesymetrickámnožinaa x D(f: f( x=f(x. Řekneme,žejelichá,jestliže D(fjesymetrickámnožinaa x D(f: f( x= f(x. Definice. Nechť fjefunkce, T >0. Řekneme,že T jeperioda f,nebože fje T-periodická,jestliže x D(ftakové,že x+t D(f,platí f(x+t=f(x. Definice. Nechť f je funkce. Řekneme,že fjeprostá,jestliže x 1,x 2 D(f: x 1 x 2 = f(x 1 f(x 2. Definice. Nechť f, g jsou funkce. Řekneme,že gjeinverznífunkcekf,značeno g= f 1,jestliže x D(f: g ( f(x = xa y R(f: f ( g(y = y. Fakt. Nechť f je funkce. fmáinverznífunkci fjeprostá. Pak f 1 jejednoznačněurčenáaplatí D(f 1 =R(faR(f 1 =D(f. 2

3 A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 Limita funkce. Definice. Nechť a IR, ε >0.Definujemeokolíbodu a: U ε (a={x IR; x a < ε}=(a ε,a+ε ε-okolíbodu a P ε (a={x IR;0 < x a < ε}=(a ε,a (a,a+ε prstencové ε-okolíbodu a U ε(a={x + IR; a x < a+ε}= a,a+ε pravé ε-okolíbodu a P ε(a={x + IR; a < x < a+ε}=(a,a+ε pravéprstencové ε-okolíbodu a Uε(a={x IR; a ε < x a}=(a ε,a levé ε-okolíbodu a Pε(a={x IR; a ε < x < a}=(a ε,a levéprstencové ε-okolíbodu a Okolíbodu aznamená ε-okolíbodu apronějakékonkrétní(alibovolné ε >0,značímejej U(a. Podobně prstencovéokolí P(a,levéokolí U (a,atd.kdyžřekneme nechťexistujenějakéokolí U(abodu a,znamená to,žechcemenějaké U ε (a,kdenakonkrétníhodnotě εnezáleží,hlavněabynějakébylo. Kdyžřekneme pro každéokolí U(abodu aplatí,paktoznamená,žetomáplatitprookolí U ε (aprovšechna ε >0. Definice. Nechť fjefunkcedefinovanánanějakémprstencovémokolíbodu a IR,nechť L IR. Řekneme,že Ljeitafunkce fpro xjdoucíka,nebože fjdeklpro xjdoucíka,jestliže okolí U= U(L prstencovéokolí P= P(a,aby x P: f(x U. Říkámetaké,že fmáitu Lva,nebože fjdeklva. Jestližetakové Lexistuje,řekneme,žeita fv aexistuje,zapíšemeto f(x = L nebo f(x L pro x a.jinakřekneme,žeitaneexistuje. Jestliže ita existuje a L = ±, mluvíme o nevlastní itě. JestližeitaexistujeaL IR,mluvímeovlastníitě,takéřekneme,že fkonvergujeklva nebože f(x konverguje.jinakřekneme,že f(x diverguje. Poznámka: áme tedy ity vlastní a nevlastní. Podobně bod, ve kterém itu zkoumáme, může být vlastní pro a IRnebonevlastnípro a=±. Poznámka: Přepis definice pro vlastní bod a [ vlastní itu: ] f(x = L ε >0 δ >0aby x: 0 < x a < δ = f(x L < ε. Ukázkajinédefinice,třebakdyž jeita fv : [ ] f(x = K IR m IRaby x: x < m = f(x > K. x Definice. (jednostranné ity Nechť fjefunkcedefinovanánanějakémlevémprstencovémokolíbodu a IR { },nechť L IR. Řekneme,že Ljeitafunkce fpro xjdoucíkazleva,jestliže okolí U= U(L levéprstencovéokolí P= P (a,aby x P: f(x U. Říkámetaké,že fjdeklpro ( xjdoucíkazleva,nebo fmáitu Lvazleva,nebože fjdeklva zleva. Zapisujeme to f(x = L,popřípadězkráceně f(a =L. Nechť fjefunkcedefinovanánanějakémpravémprstencovémokolíbodu a IR { },nechť L IR. Řekneme,že Ljeitafunkce f pro xjdoucíkazprava,jestliže okolí U= U(L pravéprstencové okolí P= P + (a,aby x P: f(x U. Říkámetaké,že fjdeklpro ( xjdoucíkazprava,nebo fmáitu Lvazprava,nebože fjdeklva zprava. Zapisujeme to f(x = L,popřípadězkráceně f(a + =L. + f(x = L f(a =L=f(a +. Jestliže existuje ita f v daném a, pak je jednoznačně určena. Jestližeexistujevlastníita fvdaném a,pakje fomezenánanějakémprstencovémokolí a. (itaaoperace Nechť f Aag Bpro x a.pak (f+ g (A+Bpro x a, ( (f g (A Bpro x a, (f g (A Bpro x a, f g A Bpro x a, f g A B pro x a, pokudmajípravéstranysmysl. Zápis [ vhodný pro ] výpočet: (f ± g(x = f(x ± g(x, [ ] (f g(x = f(x g(x, ] (f(x (x = [( f g (g(x, [ (f g (x ] = f(x (g(x, pokudmajívýsledkypravýchstransmysl. Nechť f(x = b,nechť g(y = L. y b Jestliže g(b=lnebo prstencovéokolí P= P(aaby x P: f(x b,pak 3

4 A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 (g f(x = (g(f(x = L. Poznámka: Pokud je g spojitá v a, pak [ ( jsou] předpoklady ( [ splněny. ] Zápis vhodný pro výpočet: g f(x = g f(x. Algebra nekonečna pro ity: + =, ( =,( +( =,( = ; =, =. +a= a= pro a IR, +a= a= pro a IR. a =0pro a IR, a = pro a >0, a = pro a < =, + 0 =. a = pro a >0, a ( = pro a >0, a = pro a <0, a ( = pro a <0. a = pro a >0, a =0pro a <0; a = pro a >1, a =0pro a <1. Neurčitévýrazy:,, a 0, 0,0,00, 0,1. Rozšíření pro funkce: ln(0 + =,ln( =, e =0, e =,arctg( = π 2,arctg( = π 2. Definice. Nechť ( f(x = L. Označímetentovýsledekjako L +,jestliže prstencovéokolí P= P(aaby x P: f(x > L. Označímetentovýsledekjako L,jestliže prstencovéokolí P= P(aaby x P: f(x < L. (srovnáníaita Nechť f Aag Bpro x a. 1Jestliže prstencovéokolí P= P(aaby f gna P,pak A B. 2Jestliže A < B,pak prstencovéokolí P= P(aaby f < gna P. Nechť f,gjsoufunkcedefinovanénanějakémprstencovémokolí P bodu a IR takovém,že f gna P. Jestliže f va,paknutně g va.jestliže g va,paknutně f va. (Věta o sevření Nechť f,g,hjsoufunkcedefinovanénanějakémprstencovémokolíbodu a IR takovém,že f g hna P. Jestliže f Lah Lva,paknutně g Lva. Důsledek. Nechť f,gjsoufunkcedefinovanénanějakémprstencovémokolí P bodu a IR takovém,že f gna P. Jestliže g 0va,paknutně f 0va. Fakt. Nechť f je omezená na nějakém prstencovém okolí a. Jestliže g 0va,pak f g 0va. Jestliže g va,pak f g 0va. Jestliže g ± va,pak f+ g ± va. Spojitost funkce. Definice. Nechťfunkce fjedefinovánananějakémokolíbodu a IR. Řekneme,že fjespojitáva,jestliže okolí U= U(f(a okolí V = V(aaby x V: f(x U. Epsilon-delta verze: fjespojitáva,jestliže ε >0 δ >0aby x: [ x a < δ = f(x f(a < ε ]. Definice. (jednostranná spojitost Nechťfunkce fjedefinovánananějakémlevémokolíbodu a IR.Řekneme,že fjespojitázlevava,jestliže okolí U= U(f(a levéokolí V = V (aaby x V: f(x U. Nechťfunkce fjedefinovánananějakémpravémokolíbodu a IR. Řekneme,že fjespojitázpravava, jestliže okolí U= U(f(a pravéokolí V = V + (aaby x V: f(x U. Funkcejespojitávnějakémbodě jetamspojitázpravaizleva. Funkce fjespojitáva ( f(x existujeajerovna f(a. Podobně pro jednostrannou spojitost. (spojitost a operace Nechťfunkce f,gjsouspojitéva. Pakjsouspojitévaifunkce f ± g, f g, f g (pokud g(a 0, fg (pokud f(a >0. Nechťje fspojitáva,nechťje gspojitávb=f(a.pakje g f= g(fspojitáva. Definice. Nechť f je funkce definovaná na nedegenerovaném intervalu I. Řekneme, že je na intervalu I spojitá, jestliže splňuje tyto podmínky: fjespojitávevšechvnitřníchbodech I, jestliže Iobsahujesvůjlevýkrajníbod,pakjevněm fspojitázprava, jestliže Iobsahujesvůjpravýkrajníbod,pakjevněm fspojitázleva. Definice. Nechť f je funkce, jejíž D(f je sjednocení nedegenerovaných intervalů. Řekneme,že fjespojitá,jestližejespojitánavšechintervalech,znichžseskládájejí D(f. 4

5 A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 Jsou-li f,gspojité,pakjsou f+ g, f g, f g, f g, fg, g fspojité. Všechny elementární funkce jsou spojité. 5

6 A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 Definice. Nechť f je definována na okolí bodu a. Bod ajebodnespojitosti,jestliže fneníspojitáva. Definice. (klasifikace nespojitostí Nechť fjedefinovanánaokolíbodu a. Řekneme, že f má v bodě a odstranitelnou nespojitost, jestliže f(x konverguje,aletatoitanení rovna f(a. Řekneme, že f má v bodě a skokovou nespojitost, jestliže konvergují obě jednostranné ity f(x a f(x,alenejsousirovny. + Řekneme, že f má v bodě a podstatnou nespojitost, jestliže alespoň jedna z jednostranných it f(x či f(x nekonverguje. + Definice. Nechť f je funkce definovaná na množině. Řekneme,že fsplňujevlastnostmezihodnotyna I,jestliže a,b f( c (a,b x : f(x=c. Slovně,Jestliže fnabývána nějakýchdvouhodnot,paktamnabýváivšechhodnotmezinimi. (Věta o mezihodnotě Nechť f je spojitá na intervalu I. Pak f splňuje vlastnost mezihodnoty na I. Důsledek. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestližemají f(aaf(brozdílnáznaménkaafjespojitána a,b,pakmusímít fvintervalu a,b kořen. Funkce spojitá na omezeném uzavřeném intervalu je tam omezená. Definice. Nechť f je funkce definovaná na neprázdné množině. Jestližeje fomezenáshorana,definujemejejísupremumna,značenosup(f,jakonejmenšíhornímez. Jinak definujeme sup(f=. Jestližeje f omezenázdolana,definujemejejíinfimumna,značenoinf (f,jakonejvětšídolnímez. Jinak definujeme inf (f=. Definujememaximum f na jakočíslo m=max(fsplňujícítytodvěpodmínky: x : f(x ma c : f(c=m.pokudtakovémaximumexistuje,řekneme,že fnabývásvémaximumna. Definujememinimum f na jakočíslo m=min(fsplňujícítytodvěpodmínky: x : f(x ma c : f(c=m.pokudtakovéminimumexistuje,řekneme,že fnabývásvéminimumna. Poznámka:Nechť f(jeobrazmnožiny funkcí f.paksup(f=sup ( f(,podobněostatnítřidefinice. Fakt. Každá funkce má supremum a infimum na libovolné neprázdné podmnožině D(f. (Věta o extrémní hodnotě Funkce spojitá na omezeném uzavřeném intervalu na něm nabývá své minimum a maximum. Nechť f je funkce spojitá na intervalu I. fjena Iprostá fjena Iryzemonotonní.Pakipříslušnáinverznífunkce f 1 jespojitá. 6