Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace

Transkript

1 Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

2 Prstencové a kruhové okolí bodu Def. Jsou-li a, ε R, ε > 0, pak (kruhové) ε okolí bodu a... otevøený interval U = (a ε, a + ε), prstencové ε okolí bodu a... mno¾ina P = (a ε, a) (a, a + ε)

3 Spojitost funkce v bodì Def. a vìta. Funkce y = f(x) je spojitá v bodì a D(f), jestli¾e ke ka¾dému okolí V bodu f(a) existuje okolí U D(f) bodu a tak, ¾e f(u) V. Funkce y = f(x) je spojitá v bodì a, právì kdy¾ platí: pro libovolnou posloupnost bodù {x n } denièního oboru D(f) takovou, ¾e lim x n n = a je nutnì lim f(x n n ) = f(a).

4 Jednostranná spojitost levé, resp. pravé okolí... spojitost zleva, resp. zprava

5 Spojitost v intervalu Def. Funkce f je spojitá v intervalu I, jestli¾e je spojitá v ka¾dém jeho vnitøním bodì a té¾ jednostrannì spojitá v jeho krajních bodech (pokud do intervalu nìkterý z nich patøí). X vnitøní bod mno¾iny M okolí U M

6 Limita Def. Jsou-li a, A R, y = f(x) funkce, pak zápis lim x a f(x) = A znamená, ¾e pro ka¾dé okolí V bodu A existuje prstencové okolí P bodu a tak, aby f(p ) V. Limita popisuje chování funkce v blízkosti bodu, na bodì samotném zde nezále¾í - funkèní hodnota v nìm nemusí být denována nebo dokonce mù¾e þuskoèitÿ nìkam jinam.

7 Jednostranné limity levé, resp. pravé okolí... limita zleva, resp. zprava Platí: lim x a f(x) = A lim x a + f(x) = lim f(x) = A. x a

8 Spojitost a limita funkce v bodì Pojem spojitost úzce souvisí s pojmem limita. I denice obou tìchto pojmù jsou velmi podobné. Zjednodu¹enì øeèeno: podaøíli se vám nakreslit funkci, ani¾ byste nadzvedli tu¾ku, tj. jedním tahem, pak je va¹e funkce spojitá f

9 Diference (odchylka) Def. Nech» sledovaná velièina x má hodnotu x 1 a ta se zmìní na hodnotu x 2. Pro kvalitativní zachycení této zmìny pou¾íváme symbol x = x 2 x 1, a nazýváme jej diference (absolutní odchylka) promìnné x.

10 Derivace Je dána funkce y = f(x), konkrétní hodnota a... funkèní hodnota f(a) zmìna hodnoty a o diferenci x... zmìna hodnoty f(a) na hodnotu f(a + x), tj. o diferenci y = f(a + x) f(a) Derivací funkce f(x) v bodì a nazýváme (pokud existuje) vlastní limitu lim x 0 y x = lim x 0 f(a+ x) f(a) x. znaèení: f (a), y (a)... funkce f je v bodì a diferencovatelná

11 Diferenciál... lineární odhad diference y odpovídající diferenci x diferenciál funkce f v bodì a (znaèení dy nebo df): dy = f (a) x odhad funkèní hodnoty f(a + x) pomocí diferenciálu: f(a + x). = f(a) + dy = f(a) + f (a) x

12 Diferenciál a derivace speciální pøípad: f(x) = x f (a) = lim x 0 (a+ x) a x = lim x 0 x x = 1 df = dx = 1 x... lze pou¾ívat symbol dx místo symbolu diference x diferenciál libovolné funkce df = f (a) dx df dx = f (a)

13 Význam derivace Vìta o interpretaci derivace. Nech» funkce y = f(x) má v bodì a derivaci f (a). Pak (i) funkce f je spojitá v bodì a a lze sestrojit teènu k jejímu grafu v bodì [a, f(a)], její¾ rovnice je y = f (a) (x a) + f(a) Funkce f je hladká v bodì a, má-li spojitou derivaci v nìjakém okolí bodu a. (ii) pokud f vyjadøuje (teoretickou) závislost promìnné velièiny y na velièinì x, pak hodnota f (a) vyjadøuje okam¾itý pøírùstek velièiny y odpovídající zvý¹ení hodnoty velièiny x o jednotku je-li x èas... okam¾itá rychlost zmìny velièiny y

14 Význam derivace Derivování je matematická technika mimoøádné síly a univerzálnosti. Tvoøí jeden ze dvou centrálních konceptù kalkulu a je mnohostrannì vyu¾itelná - od zji¹»ování prùbìhu funkcí, optimalizace funkcí, po analýzu rychlosti zmìn. Existuje nìkolik zpùsobù zavedení a chápání pojmu derivace: vnímání derivace jako míry rùstu (v biologických, zdravotnických a sociálních aplikacích zøejmì také nejpou¾ívanìj¹í), Newtonova denice derivace pomocí rychlosti, Leibnitzova denice pomocí teèny køivky

15 Derivace v intervalu Jestli¾e má funkce f(x) v ka¾dém bodì otevøeného intervalu I derivace, pak vzniká nová funkce = derivace funkce f v intervalu I. znaèení: y = f (x) nebo f nebo dy dx df nebo dx nebo dx d f(x) apod. Øíkáme, ¾e funkce f(x) je na intervalu I diferencovatelná.

16 Derivace elementárních funkcí Na libovolném otevøeném intervalu I, který je èástí denièního oboru dané funkce, platí (c) = 0 (x) = 1 (x n ) = n x n 1 (n R, n 0) (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = 1 cos 2 x (cotg x) = 1 sin 2 x (e x ) = e x (b x ) = b x ln b (ln x) = 1 x (log b x) = 1 x ln b, b > 0 (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) = 1 1 x 2 (arctg x) = 1 1+x 2 (arccotg x) = 1 1+x 2

17 Derivace elementárních funkcí zderivujte funkce y = x a y = 1 t 5

18 Pravidla derivování Jsou-li f(x), g(x), h(x) funkce diferencovatelné na otevøeném intervalu I, pak na I platí: 1. [c f(x)] = c f (x), [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) 2. [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) 3. [ f(x) g(x) ] = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2, g(x) 0 (x)

19 Pravidla derivování zderivujte funkce y = (x 4 3x + 11), y = 3 z sin z, y = 2x x y = x cos 1 x x a

20 Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce. Nech» funkce f má derivaci na otevøeném intervalu I a funkce g má derivaci na otevøeném intervalu J a zároveò platí f(i) J. Potom má slo¾ená funkce y = g(f(x)) derivaci na I a platí [g(f(x))] = g (f(x)) f (x). Pøi výpoètu derivace slo¾ené funkce lze pou¾ívat symbolický zápis: d dx g(f(x)) = [g(f(x))] = f(x) = z = dg(z) dz df(x) dx

21 Derivace slo¾ené funkce Dùsledek. Pøi splnìní podmínek vìty o derivaci slo¾ené funkce platí: [h(g(f(x)))] = f(x) = z g(z) = u = dh(u) du dg(z) dz df(x) dx ke zderivování funkce ve tvaru y = p(x) q(x) pou¾ijeme její pøepis na elementární funkci: y = p(x) q(x) = e q(x) ln(p(x))

22 Derivace slo¾ené funkce zderivujte funkce y = ln(cos(5x)) a y = x x

23 Derivace slo¾ené funkce zderivujte funkce y = cos(3x 4 5), y = ln(ln(ln t)), y = arctg x, y = (sin x) cos x

24 Nevlastní a jednostranné derivace f (a) = ± speciální pøípad: f (a) = ± = lim x a f (x)... graf funkce má v bodì a svislou teènu o rovnici x a = 0... vertikální asymptota jednostranné limity... jednostranné derivace f (a), f + (a) Platí: oboustranná derivace f (a) existuje právì tehdy, kdy¾ f (a) = f + (a) = f (a).