Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP"

Dušan Mach
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Dělení Demonstrační cvičení 8 INP

2 Přístupy k dělení sekvenční s restaurací nezáporného zbytku bez restaurace nezáporného zbytku SRT kombinační obvod založen na úplné odečítačce iterační algoritmy Newtonův iter. algoritmus

3 Dělení (bez znamének) Hledáme: podíl a zbytek dělení D/d Platí: D = Q.d + R D dělenec (2n) d dělitel (n) Q podíl (n) R zbytek (n) Princip: v každém kroku (i) se pokoušíme odečíst od průběžného zbytku Ri posunutý dělitel (2 -i d o i bitů vpravo)

4 Dělení 38:5 ( d vpravo, Ri v pevné poloze) D=100110b (38) d=101b (5) Ri+1= Ri - qn-i2 -i d i= R0=D 2 -i d > Ri => qn-i= q3 = q32 0 d (5.) i= R1 2 -i d < Ri => qn-i = q2 = q22-1 d i= R2 2 -i d < Ri => qn-i = q1 = q12-2 d i= R3 2 -i d < Ri => qn-i = q0 = q02-3 d 011 R=R4 Q=0111b (7) R=011b (3)

5 Dělení modifikovaný postup (Praxe: Ri, d v pevné poloze) D=100110b (38) d=101b (5) Ri+1= 2Ri - qn-id i= R0=D d > 2R0 => Q= q3d i= R x 2R1 d < 2R1 => Q= q2d i= x R2 0010xx 2R2 d < 2R2 => Q= q1d i=3 1000xx R3 000xxx 2R3 d < 2R3 => Q= q0d 011xxx R4 =2 4 R => R = 2-4 R4 Q=0111b (7) R=011b (3)

6 30= , 7=0111, -7= d <0, => c4= d (korekce) < x d x <0 => c3= d (korekce) x xx d xx >0 => c2= xxx d 10100xxx <0 => c1= d (korekce) 00010xxx 0010xxxx d 1011xxxx <0 => c0= d (korekce) 0010xxxx zbytek 2 Příklad: 30:7=4, zbytek 2 s restaurací nezáporného zbytku

7 30= , 7=0111, -7= d <0 => c4 = x < d x <0 => c3 = xx d xx >0 => c2 = xxx d 10100xxx <0 => c1 = xxxx d 1011xxxx <0 => c0 = d (korekce na kladný zbytek) 0010xxxx zbytek 2 Příklad: 30:7=4, zbytek 2 bez restaurace nezáporného zbytku Úspornější z hlediska počtu operací.

8 Algoritmus SRT (1958) (Sweeney, Robertson, Tocher) umožňuje dělení čísel se znaménkem prováděné operace se pro každý krok určují (odhadují) podle nejvyšších tří bitů průběžného zbytku na závěr se případný záporný zbytek koriguje na kladný algoritmus může selhat

9 Algoritmus SRT tabulka odhadů Průběžný zbytek Ri d>0 bit podílu d>0 operace d<0 bit podílu d<0 operace d, -1 +d, d, 1 -d, 100

10 49= , 7=0111, -7= = (d>0) d < x d x xx < xxx < d 11001xxx < xxxx d 0000xxxx zbytek 0 Q = = Ri Příklad: -49:7=-7, zb 0 SRT d>0 bit podílu d>0 operace -d, +d, d<0 bit podílu d<0 operace +d, -d, = = -7

11 53= , 6=0110, -6= d x < d x xx < xxx < d 11001xxx < xxxx d 1111xxxx záporný zbytek d (korekce) 0101 zbytek 5 Ri Příklad: 53:6=8, zb 5 SRT d>0 bit podílu 0 1 d>0 operace -d, d<0 bit podílu 0-1 d<0 operace +d, Q = = = d, 1 -d, po korekci 9-1=8

12 53= , 6=0110, -6= d x < d x xx < xxx < d 11001xxx < xxxx d 1111xxxx záporný zbytek d (korekce) 0101 zbytek 5 Příklad: 53: (-6)=-8, zb 5 SRT Ri d>0 bit podílu 0 1 d>0 operace -d, d<0 bit podílu 0-1 d<0 operace +d, Q = = = d, 1 -d, po korekci -9+1=-8

13 51= , 7=0111, -7= d < x d x < xx < xxx d 01001xxx < xxxx d 0000xxxx zbytek 0 Q = = = 5 Příklad: 51: 7=7, zb 2 SRT Ri Výsledek není správný! Odhad podle 3 bitů nepostačuje. Demonstrovali jsem selhání algoritmu SRT. d>0 bit podílu d>0 operace -d, +d, d<0 bit podílu d<0 operace +d, -d,

14 Selhání algoritmu SRT Odhad podle tří bitů průběžného zbytku je nedostatečný způsobuje časté chybování postupu SRT. Praktické realizace postupu (např. Pentium) odhadují hodnotu číslice podílu podle 7 bitů průběžného zbytku a podle 5 bitů hodnoty dělitele.

15 Iterační algoritmy: Newtonův iterační algoritmus pro dělení y f(x) x i x i+1 x Na základě odhadu x i hledáme přesnější odhad x i+1 v bodě průsečíku tečny s osou x. Rovnice přímky procházející bodem f(x i ) je y - f(x i ) = f'(x i )(x - x i ) Pokládáme-li přímku za aproximaci funkce f(x), můžeme psát f(x i+1 ) - f(x i ) = f'(x i )(x i+1 - x i ) V průsečíku tečny s osou x je f(x i+1 ) = 0, takže odtud dostáváme iterační vzorec x i+1 = x i - f(x i )/f'(x i )

16 Newtonův iterační algoritmus pro dělení Platí: x i+1 = x i - f(x i )/f'(x i ) Máme-li dělit číslem b, zvolíme: f(x) = 1/x b Pokud f(x) = 0, pak 1/x = b, resp. x = 1/b Operaci dělení a/b pak nahradíme násobením a*1/b Derivace: f'(x) = -1/x 2, odtud dosazením x i+1 = x i - (1/ x i - b)/(-1/ x i2 ) = = x i + x i - bx i2 = x i (2 - bx i ) x i+1 = x i (2 - bx i ) Postup výpočtu a/b: Posuneme b tak, aby padlo do intervalu (1,2). Pomocí tabulky odhadů zvolíme první odhad x 0. Iteračně provádíme výpočty x i+1 dokud nedostanemeřešení s požadovanou přesností na p bitů Výsledek n. iterace (x n ) vynásobíme číslem a, součin posuneme o odpovídající počet bitů (viz krok 1)

17 Příklad: 1/b pro b=20 b= 10100, posun des. čárky o 4b, b= zvolím x 0 =1 x 1 = x 0 (2 bx 0 )d = 1( x1)b = 0.11b x 2 = x 1 (2 bx 1 )d = 0.11( x0.11) = 0.11( )b = 0.11x1.0001b = b x 3 = b atd. posun des. čárky o 4b Výsledek po 3 iteračních krocích: 1/20d = b = d

18 Př. Ukažte, že se počet správných (přesných) bitů p se každým iteračním krokem zdvojnásobuje x i - 1/b je absolutní chyba ε i = (x i - 1/b)/(1/b) = 2 -p je relativní chyba i. kroku, hledáme ale tvar pro krok i+1, tj. pro x i+1 Vyjádříme x i = 1/b (2 -p )+1/b a dosadíme do x i+1 = x i (2 - bx i ) kde dostáváme x i+1 = (1/b (2 -p )+1/b).(2 b (1/b (2 -p )+1/b)) x i+1 = 1/b 1/b(2-2p ) což upravíme na tvar pro relativní chybu pro krok i+1: ε i+1 = (x i+1-1/b)/(1/b) = 2-2p ε i+1 /ε i = 2-2p / 2 -p = 2 -p ε i+1 = ε i.2 -p Počet přesných míst v jednotlivých iteracích: Čím přesnější je počáteční odhad x 0, tím méně iterací je potřeba.

19 Newtonův algoritmus dělení v HW x i+1 =x i (2-bx i )

20 Literatura Drábek, V.: Výstavba počítačů, skriptum VUT v Brně, 1995

Podobné dokumenty

Dělení. INP 2008 FIT VUT v Brně

Dělení. INP 2008 FIT VUT v Brně ělení INP 28 FIT VUT v Brně ělení čísel s pevnou řádovou čárkou Nejdříve se budeme zabývat dělením čísel s pevnou řádovou čárkou bez znaménka. Pro jednotlivé činitele operace dělení zavedeme symboly d