Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky"

Zdeněk Moravec
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Jiří Fišer 30.zářía5.října2010 JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 1/12

2 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků. Permutace n prvků: = uspořádané n-tice vybrané z n prvků. Kombinace k-té třídy z n prvků: = (neuspořádané) skupiny o k prvcích vybraných z n prvků. JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 2/12

3 Početvariacík-tétřídyznprvkůbezopakování V k (n)= n! (n k)!. JedánamnožinaM= {1,2,3,4,5}.Zprvkůtétomnožinymámevytvářet dvojice, přičemž záleží na pořadí a prvky se nemohou opakovat. Na startu běžeckého závodu je osm atletů. Kolika způsoby mohou být obsazeny stupně vítězů? JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 3/12

4 Početvariacík-tétřídyznprvkůbezopakování V k (n)= n! (n k)!. JedánamnožinaM= {1,2,3,4,5}.Zprvkůtétomnožinymámevytvářet dvojice, přičemž záleží na pořadí a prvky se nemohou opakovat. Na startu běžeckého závodu je osm atletů. Kolika způsoby mohou být obsazeny stupně vítězů? JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 3/12

5 Početvariacík-tétřídyznprvkůsopakováním V k (n)=nk. Kolikexistujetrojcifernýchčísel,kterélzezapsatužitímcifer1,2,3,4a5? Kolik různých značek teoreticky existuje v Morseově abecedě, sestavují-li setečkyačárkydoskupinpojednéažpěti? JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 4/12

6 Početvariacík-tétřídyznprvkůsopakováním V k (n)=nk. Kolikexistujetrojcifernýchčísel,kterélzezapsatužitímcifer1,2,3,4a5? Kolik různých značek teoreticky existuje v Morseově abecedě, sestavují-li setečkyačárkydoskupinpojednéažpěti? JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 4/12

7 Počet permutací n prvků bez opakování P(n)=n!=n (n 1) (n 2) NajdětevšechnypermutacebezopakovánízprvkůmnožinyM= {1,7,9}. JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 5/12

8 Počet permutací n prvků s opakováním P (n)= n! n 1!n 2! n k! Kolikrůznýchšesticifernýchčísellzevytvořitzčíslic1,2,2,3,3,3? JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 6/12

9 Počet kombinací k-té třídy z n prvků bez opakování C k (n)= ( ) n = k n! k!(n k)!. Jakýjevztahmezipočtyvariacíakombinacík-tétřídyznprvkůbez opakování? JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 7/12

10 Počet kombinací k-té třídy z n prvků s opakováním ( ) Ck n+k 1 (n)= (n+k 1)! = k k!(n k)!. Zjistěte, kolik existuje různých kvádrů, pro něž platí, že délka každé jejich hrany je přirozené číslo z intervalu 2;15. JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 8/12

11 Kombinatorika: souhrnný příklad V k (n)= n! (n k)! P(n)=n! C k (n)= n! k!(n k)! Jsoudánycifry1,2,3,4a5.Cifrynelzeopakovat.Kolikjemožno vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou: a) pětimístná, sudá; b) pětimístná, končící dvojčíslím 21; c) pětimístná, menší než ; d) trojmístná lichá; e) čtyřmístná, větší než 2 000; f) dvojmístná nebo trojmístná. JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 9/12

12 Pravděpodobnost P(A)= početpříznivýchvýsledkůjevu = 0 P(A) 1. početvšechmožnýchvýsledků P(A)=0 nemožnýjev; P(A)=1 jistýjev; P(A )=1 P(A) pastopačnéhojevu; JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října /12

13 Pravděpodobnost Vypočtěte pravděpodobnost uhádnutí všech šesti čísel při tažení šesti čísel ze čtyřiceti devíti. Řešení. P(A)= 1 C 6 (49) = 1 49! 6!43! = =7, =0, JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října /12

14 Pravděpodobnost Vypočtěte pravděpodobnost uhádnutí právě tří čísel při tažení šesti čísel ze čtyřiceti devíti. Řešení. Tipujeme 6 čísel. Počítáme pravděpodobnost vylosování právě 3 čísel z těchto6.existujec 3 (6)možnýchtrojicnašichčísel.Kekaždéztěchto trojicjec 3 (43)možností,jakdoplnitnašivylosovanoutrojicitrojicíčísel mimonáštip(49 6=43). Celkový počet možností, kdy ve vylosované šestici jsou právě tři čísla z našeho tipu je tedy rovna součinu těchto hodnot. Výsledná pravděpodobnost: P(A)= počet trojic ztipu počettrojic mimo tip celkový počet šestic = C 3(6) C 3 (43) 49! 6!43! =0, JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října /12

Podobné dokumenty

Kombinatorika a úvod do pravděpodobnosti

Kombinatorika a úvod do pravděpodobnosti Jiří Fišer 27. září 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 27. září 2011 1/ 18 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků. Permutace