Název: Let do vesmíru přistání raketoplánu

Transkript

1 Název: Let do vesmíru přistání raketoplánu Témata: exponenciály, diferenciály, teplota, rychlost, dráha a čas, hustota vzduchu, konverze energie. Čas: 35 minut Věk: 6+ Diferenciace: Vyšší úroveň: Diferenciální rovnici je možno řešit bez využití programu CAS, jak je vidět na listu s řešením a. Nižší úroveň: Je možné poskytnout studentům nápovědu, celý list s řešením, nebo může být diferenciální rovnice vypuštěna úplně. Instrukce, IT podpora atd.: K pracovním listům a jsou k dispozici listy s řešením. Podle úrovně předchozích znalostí a matematických schopností studentů mohou zůstat zakryté, učitel je může dát celé studentům, poskytnout studentům jen nápovědu, nebo řešení vůbec v hodině nepoužívat. List s řešením využívá k řešení diferenciální rovnice programu CAS, list a řeší tuto rovnici výpočtem. Pomůcky: Pracovní listy Připojení k internetu Volitelné: model raketoplánu Požadovaní znalosti: Pojmy týkající se typů energie Výstupy: Studenti budou schopni provést výpočty na pracovních listech, případně s použitím CAS a/nebo za využití nápovědy z listů s řešením. Studenti pochopí problémy tepelné izolace a jejich možná řešení. Studenti pochopí fyzikální principy odporu vzduchu. Studenti by měli být schopni spolupracovat v rámci týmu i mezi jednotlivými týmy, aby dosáhli výsledků. Funkce a derivace Pojem odpor vzduchu

2 Popis hodiny Úvodní aktivita Na začátku první hodiny učitel uvede téma přehrátím videa se startem a přistáním raketoplánu. I když raketoplán už ve skutečnosti nelétá, stále poskytuje zajímavý materiál pro matematiku a jiné přírodní vědy, a tyto principy jsou použitelné pro jakékoliv vesmírné plavidlo. Úvodní otázky jsou: Myslíte si, že raketoplán letí nejrychleji v nějakém bodě během vzletu, když je na oběžné dráze, nebo v nějakém bodě během přistávání? (Odpověď: když je na oběžné dráze). Tak proč má potom raketoplán skutečně horkou fázi pouze během přistávání? Jak je ve skutečnosti horká tato fáze? Studenti odpovědí na poslední dvě otázky odhadem a jejich odhady se napíší na tabuli). Hlavní aktivita Student vytvoří 4 týmy. Týmy si vyberou jedno z témat teplota, čas, izolace, nebo rychlost a obdrží odpovídající pracovní list. Týmy dostanou čas si přečíst obsah listu, porozumět mu, shrnout jeho obsah a pak si připravit poster a pětiminutovou prezentaci pro své spolužáky. Dokončení tohoto úkolu zabere první a druhou hodinu. Závěrečná aktivita Ve třetí hodině týmy vystoupí a prezentují celé třídě výsledky skupinové práce. Po každé pětiminutové prezentaci následuje pětiminutový blok otázek a odpovědí (vedený hlavně studenty, učitel by do něj měl vstupovat, pouze pokud odpovědi nejsou správně, nebo pokud jsou vynechána důležitá fakta týkající se tématu). Po skončení tohoto bloku by měli studenti znát nejdůležitější fakta o tématu. Hodina může být ukončena několika způsoby po prezentacích a blocích s otázkami a odpověďmi. Je možné diskutovat o současných letech do vesmíru, o historii letů raketoplánu, nebo může učitel odpovídat na další otázky.

3 Pracovní list teplota Jak horký je raketoplán během přistání? Než odpovíme na tuto otázku, musíme napřed zjistit, proč se raketoplán zahřívá. Odpověď je to, co se lidově nazývá odpor vzduchu. Molekuly vzduchu (zejména dusíku a kyslíku) narážejí na povrch pevné látky a malý zlomek kinetické energie se mění v energii tepelnou (nebo kinetickou energii molekul vzduchu). U relativně malé rychlosti k tomuto jevu dochází také, ale je příliš malý, než abychom ho zaznamenali když máváte rukama ve vzduchu, nic necítíte. Tento efekt je již měřitelný u rychlosti letadla. Při rychlosti raketoplánu (asi dvacetkrát vyšší než rychlost dopravního letadla) se tento jev stává velkým technickým problémem. Úkol: Nejteplejší fáze přistání je mezi dobou opuštění oběžné dráhy (tj. dobou, kdy začíná proces přistání) ve výšce km a při rychlosti v 5900 km/h, a dobou, kdy raketoplán sestoupí z pásma, kde je výpadek rádiového signálu (rádiové mlčení) ve výšce 55 km a při rychlosti v 3300 km/h. Jak se zvýší teplota povrchu raketoplánu v tomto období? (tepelná kapacita raketoplánu je J c 500 kgk ) Zajímavý fakt: díky efektu šokové vlny zahřívají raketoplán jen 4 % konvertované energie, zbytek energie zahřívá vzduch a našeho úkolu se netýká. Jak může raketoplán vydržet tuto teplotu? Zeptejte se týmu izolace!

4 Pracovní list čas Jak dlouho trvá horká fáze během přistání raketoplánu? Již víme, že odpor vzduchu je hlavním důvodem, proč se raketoplán zahřívá během přistání. Je to také hlavní důvod, proč raketoplán zpomaluje. Odpor vzduchu závisí a několika faktorech: rychlost v (hlavní faktor), hustota vzduchu ρ, (účinný) povrch objektu Aeff, a geometrický tvar objektu (popsán jako tvarový faktor nebo koeficient odporu vzduchu cd). Zpomalení je dáno a v m A eff c d Hmotnost, účinný povrch a tvarový faktor mohou být snadno stanoveny a zůstávají poměrně konstantní, ale hustota vzduchu závisí na výšce, počasí atd. Hustota vzduchu v zemské atmosféře v určité výšce h (v m) je dána h h 0 e, kde 0 3 kg,50 je hustota vzduchu u hladiny moře. m Úkol: Nejteplejší část přistání nastává mezi dobou sestupu (tj. dobou, kdy začíná proces přistání) ve výšce m a při rychlosti v 5900 km/h a dobou, kdy raketoplán sestoupí z pásma, kde je výpadek rádiového signálu ve výšce 55 km a při rychlosti v 3300 km/h. Povrch křídel raketoplánu je 50 m, přilétá s nosem zvednutým směrem nahoru v úhlu asi 40, jeho hmotnost při přistání je asi 00 t, koeficient odporu vzduchu je asi 0,078. (Poznámka: pro obzvláště jednoduché výpočty považujte hustotu vzduchu za konstantní hodnotu ). Teď známe rychlost v době vstupu do atmosféry a rychlost na konci rádiového mlčení, ale jaká je maximální rychlost? Zeptejte se týmu Rychlost!

5 Pracovní list 3 izolace Jak raketoplán vydrží vysokou teplotu? Teplota nejteplejších částí raketoplánu během přistání je > 500 C. To znamení, že použití běžných leteckých materiálů na raketoplán by jej dostatečně neochránilo před horkem při vstupu do atmosféry (ocel se taví při 530 C, hliník při 660 C a polykarbonát, z něhož se dělají okna letadla, se taví už při 55 C). Proto je povrch raketoplánu (zejm. části, které se zahřívají nejvíce, např. špička nosu, náběžné hrany křídel a v menší míře spodní strany trupu a křídel) pokryt tepelně izolačním systémem zesílený uhlík-uhlíkový laminát na kritických místech, izolační obkladové destičky z křemičité keramiky (která má vysoký bod tání a rychle chladne (viz obrázek vpravo nahoře) a ohebné izolační materiály na chladnějších místech. Úkol : Zjistěte, jaký materiál se používá na která místa raketoplánu. Pro jaký rozsah teplot se každý materiál používá? Úkol : Jaký je hlavní rozdíl mezi tepelně izolačním systémem raketoplánu a systémem, který se používal dříve pro rakety, např. kapsle (návratové pouzdro) lodi Apollo? Proč si myslíte, že se tento systém změnil? Jaké teploty ve skutečnosti raketoplán dosahuje? Zeptejte se týmu Teplota!

6 Pracovní list 4 rychlost Jak rychle letí raketoplán? Jak uvidíte, raketoplán rozhodně nemá konstantní rychlost, takže by otázka, jak rychle letí, měla být okamžitě doplněna o dotazy v jakém okamžiku a vzhledem k čemu. Koneckonců, rychlost je relativní! Pro zbytek této hodiny předpokládejme, že mluvíme o rychlosti vzhledem k Zemi. Úkol : Od okamžiku vzletu má raketoplán po dobu asi 6 sekund průměrné zrychlení 6,6 m/s. Toto zrychlení je zajištěno dvěma pomocnými startovacímu stupni (Solid Rocket Boosters [SRB]), což jsou dvě válcové rakety po stranách raketoplánu, a v menší míře i hlavními motory. Jak rychle letí raketoplán, když jeho spodní část míjí nejvyšší část startovací rampy (vzdálenost asi 05,8 m)? Úkol : Za 4 sekund letu SRB vyhoří a oddělí se od raketoplánu, který je pak poháněn pouze hlavními motory. V tomto okamžiku je rychlost km/h. Vypočítejte průměrné zrychlení raketoplánu od vzletu do oddělení SRB. Úkol 3: Na konci startovací fáze, 8 minut 30 sekund po vzletu, jsou hlavní motory vypojeny a raketoplán dosahuje své (téměř) konečné a maximální rychlosti km/h (zajímavý fakt: k určitému zvýšení rychlosti může dojít díky odpálení pomocných raket, ale je minimální). Jaké je průměrné zrychlení raketoplánu od oddělení SRB do vypojení hlavních motorů? A průměrné zrychlení během celého startu? Tak to byl start! A jak rychlý je raketoplán na začátku a na konci horké fáze během přistávání? Zeptejte se týmu Čas!

7 Let do vesmíru Přistání raketoplánu List s řešením teplota E kin m v kinetická energie E th mct tepelná energie Konverze energie: Rozdíl kinetické energie = rozdíl tepelné energie Teď vezměme v úvahu, že pouze 4 % konvertované energie zahřívají raketoplán: Rozdíl kinetické energie = 4% rozdílu tepelné energie E 0, 04 th E kin m c T m v m v 0,04 m 0,04 v v v v 0,04 T c Protože provádíme výpočty v metrickém systému, všechny jednotky (zde obzvláště rychlos musí být převedeny na standardní jednotky. Pro rychlost jsou to m/s. Faktor převodu mezi km/h a m/s je 3,6, tj. m/s = 3,6 km/h. Tak dojdeme k v 794 m/s av 3700 m/s. Teď můžeme vypočítat rozdíl teplot: T v 0,04 c v , Protože Celsiova a Kelvinova stupnice mají stejné jednotky relativní stupnice, můžeme také napsat, že teplotní rozdíl je 5 C.

8 Let do vesmíru Přistání raketoplánu List s řešením čas Začneme tím, že najdeme funkci, která vyjadřuje vztah mezi rychlostí v a časem t. Připomeneme si, že zpomalení je změna rychlosti v čase, tj. dv a S výše uvedenou rovnicí pro zpomalení odporem vzduchu dostaneme dv a v m A eff c d Toto je diferenciální rovnice, kterou můžeme vyřešit např. pomocí programu Computer Algebra System. Řešení je m A eff c d t 0,0004 Teď musíme jen vypočítat zbývající proměnné: hustotu vzduchu ρ, a účinný povrch objektu Aeff (hmotnost a koeficient odporu vzduchu, stejně jako rychlost raketoplánu v době, kdy opouští horkou fázi, jsou známy). Pokud jde o hustotu, předpokládáme, že je to konstantní : 55000m e kg 0,008 3 m Pokud jde o účinný povrch, mohli bychom se domnívat, že je stejný plocha křídel (50 m ), ale raketoplán přilétá pod úhlem 40. Skutečný úhel se může lišit díky letovým manévrům, které provádí palubní počítač, ale po většinu vstupu do atmosféry je to skutečně 40, tj. účinný povrch se snižuje o faktor sin 40 (když se podíváme na list papíru z úhlu 90, vidíme celý povrch, z jiného úhlu se povrch jeví menší): A eff 50 m sin m Nakonec dosadíme všechny hodnoty do rovnice pro rychlost a vypočítáme čas t: 0,0004 t A eff c d m 3653s 60min Doba mezi sestupem raketoplánu z oběžné dráhy a koncem rádiového mlčení je asi 60 minut..

9 List s řešením a čas Začneme funkcí vyjadřující vztah mezi rychlostí v a časem t. Připomeneme si, že zpomalení je změna rychlosti v čase, tj. a = dv S výše uvedenou rovnicí pro zpomalení odporem vzduchu dostaneme dv a v m A eff c d Toto je příslušná diferenciální rovnice v k v 0, s k A eff cd m Je snadné najít řešení, např. pomocí separace proměnných dv k v v dv k k t c, i.e. v k t c Protože máme hraniční podmínku 0) = v = km = 7 94 m/s, dostaneme c = 0,0004, a funkce pro rychlost je m A eff c d t 0,0004 Teď musíme jen vypočítat zbývající proměnné: hustotu vzduchu ρ, a účinný povrch objektu Aeff (ostatní hodnoty jsou známy). Pokud jde o hustotu, předpokládáme, že je to konstantní : 55,000m e kg 0,008 3 m Pokud jde o účinný povrch, mohli bychom se domnívat, že je stejný plocha křídel (50 m ), ale raketoplán přilétá pod úhlem 40, tj. účinný povrch se musí snížit o faktor sin 40 : A eff 50m sin 40 60m Nakonec dosadíme všechny hodnoty do rovnice pro rychlost a vypočítáme čas t: 0,0004 t A eff c d m 3653s 60min Doba mezi sestupem raketoplánu z oběžné dráhy a koncem rádiového mlčení je asi 60 minut.