MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY. Bakalářská práce

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY Bakalářská práce Brno 2016 Michal Knězek

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV TEORETICKÉ FYZIKY A ASTROFYZIKY Základy obecné teorie relativity Bakalářská práce Michal Knězek Vedoucí práce: doc. Franz Hinterleitner, Ph.D. Brno

3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Michal Knězek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Základy obecné teorie relativity Fyzika Fyzika doc. Franz Hinterleitner, Ph.D. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: 42+7 Klíčová slova: Relativita; Speciální teorie relativity; Obecná teorie relativity; Albert Einstein; Teorie gravitace 3

4 Bibliographic Entry Author Title of Thesis: Degree programme: Field of Study: Supervisor: Michal Knězek Faculty of Science, Masaryk University Department of Theoretical Physics and Astrophysics Foundations of General Relativity Physics Physics doc. Franz Hinterleitner, Ph.D. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: 42+7 Keywords: Relativity; Special Theory of Relativity; General Theory of Relativity; Albert Einstein; Theory of Gravitation 4

5 Abstrakt V této bakalářské práci se odvozuje Einsteinův gravitační zákon, který tvoří finální podobu obecné teorie relativity. Úvodní část je věnována historickému kontextu a přehledu Einsteinových myšlenek, které jej postupně vedly k obecné teorii relativity formulované na konci roku Postupně je vybudován matematický formalismus, který je potřebný pro matematické vyjádření obecně relativistických úvah, zejména se jedná o tenzorovou algebru a analýzu křivých riemannovských variet. Nejedná se však o čistou matematiku ve smyslu vybudování teorie na axiomatických základech, formulovaných větách a jejich důkazech, jako spíš o intuitivní vhled do toho, co různé rovnice vyjadřují. V závěru práce jsou stručně uvedeny nejdůležitější experimentální výsledky obecné teorie relativity. Abstract In this bachelor thesis Einstein s gravitational law is derived, which generates the final form of the general theory of relativity. The introductory part is devoted to the historical context and Einstein s thoughts, which led him gradually to the general theory of relativity, which was formulated at the end of the year Gradually I build the mathematical formalism, which is necessary for the mathematical expression of the general relativistic considerations, especially in this thesis I deal with tensor algebra and analysis of the noneuclidean surfaces and Riemann manifolds. This thesis does not deal with pure mathematics in the meaning of building the theory on axiomatic foundations, formulated theorems and their proofs. I rather emphasize the intuitive insight into the meaning of the equations. The final part is briefly devoted to the most important results of the general theory of relativity. 5

6 Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu mé bakalářské práce doc. Franzi Hinterleitnerovi, Ph.D. za připomínky a čas strávený nad korekturou. Hluboký dík za všestrannou podporu patří blízké rodině. Za přednášky (nejen) z lineární algebry děkuji paní prof. RNDr. Janě Musilové, CSc. Dále za inspirativní schůzky děkuji RNDr. Ivanu Vagerovi. Děkuji také všem příznivým okolnostem a instituci českého vysokého školství. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 7. května 2016 Michal Knězek 6

7 7

8 Obsah 1. Úvod 9 2. Stručný životní příběh Alberta Einsteina Einsteinův rok Principy relativity ve fyzice Klasický princip relativity Speciální princip relativity Obecný princip relativity Princip ekvivalence gravitace a zrychlení Rovnost tíhové a setrvačné hmotnosti Homogenní gravitační pole a princip ekvivalence gravitace a zrychlení Původ setrvačnosti a Machův princip Matematický formalismus pro potřeby obecné teorie relativity Tenzorová algebra, kovariantní a kontravariantní složky vektorů Metrický tenzor a jeho použití při změnách polohy indexů, skalární součin Kovariantní derivace, Christoffelovy koeficienty Γ Rovnice geodetiky Úplná derivace vektorového pole a paralelní přenos vektorů podél křivky Riemannův tenzor křivosti Tenzor energie hybnosti Einsteinův gravitační zákon Finální tvar Einsteinova gravitačního zákona David Hilbert a boj s časem Pohybová rovnice testovacích částic Newtonův gravitační zákon jako limitní případ Einsteinových rovnic pro slabá pole Schwarzschildovo řešení Eddingtonovo měření ohybu světla kolem Slunce v roce Posun Merkurova perihelia Závěr Zdroje.49 Poznámka: práce je rozdělena na dvě části: úvodní úvahy a matematická část. Podle toho jsou rovnice z kapitoly 4. až 6. číslovány jako (1) až (26), od 7. kapitoly jsou rovnice číslovány (1) až (124). Odkazování na rovnice se tedy děje v těchto částech odděleně, až na jednu výjimku, na kterou bude upozorněno. 8

9 1. Úvod Osobnost Alberta Einsteina ( , Ulm, Německo , Princeton, USA) a jeho originální přístup k fundamentálním otázkám přírodní filozofie (prostor, čas, hmota, pohyb) velmi ovlivnily můj přístup k fyzice, ke světu a životu. Píši o vlivu dostupné literatury odborné literatury, populárně vědecké a celé řady Einsteinových životopisů, kterými jsem se s hlubokým zaujetím zabýval přibližně od roku Pro tento zájem se staly Základy obecné teorie relativity tématem mé bakalářské práce. Téma je celkem odvážné, neboť jej doprovází dost netriviální matematika, na druhou stranu vím, že obecná teorie relativity patří k největším intelektuálním výkonům lidstva a úvahy, na nichž je tato teorie založena, jsou natolik závažné a krásné, že jsem obavu z matematického formalismu odsunul stranou a pustil se do studování Einsteinova životního díla. Cílem této práce je uchopení principů, na nichž je obecná teorie relativity (dále někdy jen OTR) založena. V době, kdy píšu tuto práci, tj. na konci roku 2015, slaví OTR sté výročí svého vzniku. Na konci roku 1915 právě Einstein po mnoha letech svého velkolepého snažení završuje své pojetí gravitace v ucelený rámec obecné teorie relativity a v německém časopise pro fyziku Annalen der Physik publikuje (mimo jiné) článek Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, na nějž se budu také později odkazovat. [1] V jednotlivých kapitolách se budu zabývat těmito tématy: historický kontext kolem Einsteinova zázračného roku 1905 a vzniku speciální teorie relativity, k dalším bodům je zařazeno: poznámky ke klasickému principu relativity, Machův princip, rovnost tíhové a setrvačné hmotnosti a princip ekvivalence gravitace a zrychlení, obecný princip relativity, Hilbertův vliv na formulaci obecné teorii relativity, matematický formalismus neeukleidovských prostorů (metrický tenzor, kovariantní derivace, Christoffelovy koeficienty afinní konexe, Riemannův tenzor křivosti a tenzor energie hybnosti), Einsteinovy gravitační rovnice, řešení Karla Schwarzschilda, klasické testy OTR, objev rozpínání vesmíru v roce 1929 a Einsteinův největší životní omyl s kosmologickou konstantou [4]. Einsteinova obecná teorie relativity tvoří vedle kvantové mechaniky pevný pilíř moderního fyzikálního obrazu světa. Na přednášce ke stému výročí OTR na výroční členské schůzi brněnské pobočky JČMF odkazoval prof. Jan Novotný, CSc. [2] na druhý díl učebnice Teoretické fyziky Landaua a Lifšice, kde se píše: Teorie gravitačních polí, vybudovaná na základě teorie relativity, se nazývá obecná teorie relativity. Vytvořil ji Einstein a je patrně nejkrásnější z existujících fyzikálních teorií. Je podivuhodné, že k ní Einstein došel čistě deduktivní cestou a teprve později byla potvrzena astronomickými pozorováními. Einsteinova genialita nespočívá nejhlavněji v těžko přístupném umění matematiky v oblasti diferenciální geometrie. Obdiv patří spíše Einsteinově originálnímu přístupu, invenci, kreativitě a hlubokému vhledu do podstaty fyzikálních jevů. Jak jsem psal výše o pilířích moderní fyziky, ta jedna 9

10 část, obecná relativita, byla vytvořena právě jedním člověkem, na rozdíl od kvantové mechaniky, kterou budovalo mnoho nejlepších fyziků té doby (a kterou mimochodem Einstein také v roce 1905 zakládal). Proto se Einstein stal právem tak populárním a ikonou vědy dvacátého století i v očích široké veřejnosti, stal se duchovním vůdcem teoretických fyziků. O teorii relativity slyšel v civilizovaném světě každý. Na jedné přednášce z Úvodu do fyziky mikrosvěta pronesl doc. RNDr. Aleš Lacina, CSc. charakteristickou poznámku: I ten největší ignorant zná rovnici E=mc 2. [8] Právě to je vzrušující: každý ví o Einsteinově relativitě, ale ne každý tuší, o co se v teorii relativity jedná. Slovní spojení teorie relativity je automaticky spojováno s osobností Alberta Einsteina. Z mých osobních zkušeností se domnívám, že při prvním seznámení navozují tato dvě slova jakýsi tajemný, mystický a až s uměleckými prožitky spojený rozpor mezi zdánlivě jednoduchým (ale chybným!) prohlášením, že teorie relativity hovoří o tom, že vše je relativní, a představou jakési nekonečné nedostupnosti skutečného obsahu Einsteinovy teorie. (Také jsem se setkal s názorem, že Einstein vynalezl žárovku, ale to bylo poněkud extrémní.) Dále chci uvést, že název teorie relativity je zvolen poněkud nešťastně, protože obsah teorie relativity se samozřejmě neredukuje na ono chybné prohlášení, že vše je relativní, nýbrž naopak teorie relativity hovoří o absolutní platnosti fyzikálních zákonů vůči vybrané třídě pozorovatelů pohybujících se v určitých vztažných soustavách (podle toho, jestli jsme na poli platnosti speciální nebo obecné verze teorie relativity). V kapitole Speciální relativita v [4] se můžeme dočíst, že Einstein zvažoval pro svoji teorii označení teorie invariance (invariance = neměnnost), což lépe postihuje smysl absolutní platnosti fyzikálních zákonů a invarianci intervalu čtyřrozměrného časoprostoru skrze Lorentzovy transformace (formalizace Einsteinovy speciální relativity Hermannem Minkowskim v roce 1908, podrobněji a konkrétněji bude uvedeno v dalších kapitolách). Navíc slovo Relativitätstheorie se vyskytuje až v Einsteinově soukromé korespondenci s Paulem Ehrenfestem až v roce [4] Fyzik a filozof vědy T. S. Kuhn zavedl pojem vědecká revoluce. [3] Einstein byl typickým představitelem fyzika revolucionáře, fyzika, který stál na počátku změn klasického paradigmatu dvě stě let platného a pevného vědeckého přístupu a způsobu nazírání a chápání hmotného světa, prostoru a času. Tomuto klasickému paradigmatu právě Einstein v roce 1905 zasadil hlubokou ránu a vzhledem k povaze převratných změn, o kterých bude také řeč dále, a vzhledem k tomu, že Einsteinovi stačily pouhé myšlenkové experimenty, fyzikální intuice, dedukce a tužka a papír, je Einstein považován za jednoho z nejvýznamnějších fyziků a myslitelů vůbec. Podle dědických ustanovení až v roce 2006 mohly být zveřejněny veškeré Einsteinovy dokumenty a korespondence, které chránila Einsteinova sekretářka Helen Dukasová ( ) a které jsou uložené na Hebrejské univerzitě v Jeruzalémě. Na základě těchto do té doby nezveřejněných dokumentů sestavil Walter Isaacson unikátní Einsteinův životopis Einstein, jeho život a vesmír. [4] Z celé řady Einsteinových úvah a rozhovorů zde uvedených je možné si sestavit základní představu o Einsteinově 10

11 životní filozofii, o jeho představě deterministické harmonie přírodních zákonitostí. Dále o jeho dětské zvídavosti a kosmické zbožnosti založené na pocitu tajemna a hluboké pokory před skrytým řádem přírody, ve kterém se projevuje nejvyšší rozum. Také se od Einsteina dozvídáme o nepochopitelnosti toho, že vesmír je pochopitelný. Rozumějme však, že to je myšleno s úctou k skromnému chápání skrytého řádu v pozorovaných nejjemnějších detailech přírodního dění s mimořádným úsilím a slabostí lidského ducha. Výsledkem bádání přírodovědce matematika je podle Einsteina nejjednodušší možná matematická elegance a krása popisující racionální vesmír, který by ani bůh lépe a jinak stvořit nemohl. (Volně přeformulováno z [4]). O výsledcích své práce na obecné teorii relativity Einstein píše [5]: Ve světle nabytého poznání se nám zdá to, čeho jsme šťastně dosáhli, téměř samozřejmé, a každý inteligentní student to pochopí bez přílišné námahy. Ale hledání v temnu, plném předtuch a trvající roky, napjatá touha, střídání naděje a skleslosti a konečné proniknutí k pravdě, to zná jen ten, kdo to sám zažil. O Einsteinově slávě založené na revizi Newtonových prací teoriemi relativity a o výsledcích experimentů potvrzující nové teorie Einstein píše: Ať si však nikdo nemyslí, že tato nebo nějaká jiná teorie by mohla vskutku zatlačit velké dílo Newtonovo. Jeho jasné a velké myšlenky si jako základ veškeré naší moderní tvorby pojmů na poli přírodní filozofie trvale zachovávají svůj vynikající význam i v budoucnosti. [5] Einstein po zbytek života zasvětil své intelektuální snažení hledání sjednocené teorie pole. Tato unitární teorie měla sjednotit elektromagnetismus s gravitaci a hledání takové teorie je odrazem bezpochyby oprávněné snahy teoretických fyziků najít jednotný obraz přírody. ([4], kapitola Jednotná teorie pole.) O unitarizačních tendencích moderní fyziky se lze také více dočíst na příklad ve Snění o finální teorii od Stevena Weinberga [6]. Tyto procesy vlastně začaly Newtonovým sjednocením pozemské a nebeské mechaniky a programové pokračování v tomto duchu dnes není završeno. O geometrodynamických strukturách, kterými Einstein chtěl popsat veškerá známá fyzikální pole, se detailněji zabývá například Vojtěch Ullmann v [7] v kapitole Unitární teorie pole a kvantová gravitace, na tuto knihu se taky budu později odkazovat. Na závěr poznamenejme, že Einsteinovy snahy nebyly úspěšné. Pravdou však nepochybně zůstane to, že vize a styl práce Alberta Einsteina zůstanou velkou inspirací budoucím fyzikům revolucionářům. 11

12 0br. 1. Einstein v Santa Barbara, Stručný životní příběh Alberta Einsteina Einstein se narodil na jaře roku 1879 ve švábském městečku Ulm majiteli na výrobu akumulátorů Hermannu Einsteinovi a Paulině Kochové. Prý byl trochu zaostalejší a mluvit začal velmi pozdě, až se myslelo, že není v pořádku. Vzpomíná se, že když byl v pěti letech nemocný, otec mu ukázal kompas, který Einsteina velmi ochromil. Chování neviditelných elektrických a magnetických polí se nakonec po roce 1902 stalo předmětem Einsteinova teoretického výzkumu. Důležitou roli pro Einsteinův intelektuální vývoj hrál domácí učitel a student medicíny Max Talmud, který Einsteina seznámil s přírodovědnými knihami. Po krachu otcovy firmy Einstein chodil na mnichovské gymnázium, které nakonec kvůli dalšímu stěhování rodiny do Itálie nedokončil a maturitu musel dodělávat na kantonální škole v Aarau. V roce 1896 se zapsal na Polytechnickou vysokou školu v Curychu. Zde se seznámil s jedinou ženou, která studovala stejný obor jako Einstein, a sice s Milevou Marićovou. Ta zřejmě vůbec hrála důležitou roli při formulování Einsteinovy STR, což také potvrzuje fakt, že jí při rozvodu slíbil peníze, které, jak věřil, jednou dostane z Nobelovy ceny. Měl s ní tři děti, Lieserl, Hanse Alberta a Eduarda. O roli Milevy se lze dočíst na příklad v pěkné knize [17]. V červnu 1902 se stal Einstein patentovým úředníkem v Bernu, také díky bývalému vysokoškolskému pedagogovi Hermannu Minkowskim, se kterým Einstein neměl dobré vztahy. Tato práce však Einsteina nijak intelektuálně nezatěžovala, takže se mohl věnovat svým zájmům. Až v roce 1909 se Einstein stal mimořádným profesorem na univerzitě v Curychu. Na pozitivní doporučení Maxe Plancka Einstein trávil mezi lety 1911 a 1912 pobyt na německé části pražské Karlovy Univerzity. Ve Vídni se také setkal s Ernstem Machem, který měl mít pozitivní vliv na Einsteinovy úvahy o gravitaci. Tato léta se stala důležitými při pokračování bádání o OTR, která byla zformulována na konci roku To již byl v Berlíně od roku 1914 ředitelem Fyzikálního ústavu císaře Viléma. Po testech svých předpovědí v roce 1919 se Einstein stal velmi populárním na veřejnosti. To již však měl za manželku svoji sestřenici Elsu Löwenthalovou. Po nástupu Adolfa Hitlera v roce 1933 Einstein navždy opouští Evropu, aby se usadil a strávil zbytek života v americkém Princetonu na Institutu pro pokročilá studia. Zajímavostí jistě je, že mu zde dělal společnost také Kurt Gödel, se kterým mimo jiné diskutoval o 12

13 unitární teorii pole. (Einstein byl samozřejmě v kontaktu s celou řadou osobností vědy, jako s Marií Curie, Paulem Ehrenfestem, Nielsem Bohrem a dalšími, ale v těchto řádcích jsem chtěl poukázat na dva brněnské rodáky.) [4] 3. Einsteinův rok 1905 Podle [4] v roce 1900 pronesl slavný lord Kelvin před Britskou společností pro rozvoj vědy tato slova: Ve fyzice již nemohou být učiněny žádné nové objevy, zbývají jen stále přesnější měření. Dnes víme, jak fatálně se mýlil, je ale dobře, že to někdo řekl, protože následující vývoj je o to zajímavější. Einsteinův nejplodnější rok 1905 nemá snad u jiných přírodovědců obdoby. Musíme ale dodat, že Einstein byl alespoň v situaci, kdy jsou formulovány důležité problémy, jež vyžadují řešení, což činí relativní jednoduchost ve výběru teoretických zájmů. Je nanejvýš paradoxní a možná i smutné, že série pěti revolučních článků v německém časopise pro fyziku Annalen der Physik nezajistily Einsteinovi ani doktorát ani žádná jiná vědecká ocenění. Vždyť právě tehdy Einstein započal onu revoluci ve vědě a to nejen pomocí revize zákonů mikrosvěta, ale i makrosvěta. Ještě na počátku 20. století existovali zapřísáhlí odpůrci představ o atomové výstavbě hmoty, mezi něž můžeme zařadit na příklad Ernsta Macha. A byl to Einstein, kdo právě pomocí analýzy Brownova pohybu dokázal existenci atomů. Dále Einstein použil Planckova energetická kvanta E=ħω, kterými vysvětlil fotoelektrický jev, za což poté v roce 1922 dostal Nobelovu cenu. Od teď mělo světlo tedy i částicovou povahu. Konečně musíme zmínit články o speciální teorii relativity. 4. Principy relativity ve fyzice Principy relativity v různých formulacích a podobách (klasický, speciální a obecný) jsou závažnými tvrzeními o platnosti fyzikálních zákonů. Tato tvrzení spočívají v tom, že určitá sada fyzikálních zákonů se nemění (je invariantní) vůči jistým přechodům mezi vztažnými soustavami. Slovo relativní zde znamená vztahující se k nějaké vztažné soustavě, jak píše Einstein v [5]: Již od řeckého starověku je dobře známo, že abychom popsali pohyb jednoho tělesa, potřebujeme k tomu těleso druhé, na než se vztahuje pohyb toho prvního. Fyzikální zákon svazující veličiny A, B (veličiny obecně tenzorového charakteru) můžeme napsat na příklad v následující obecné formě (diferenciální zákon do druhého řádu): (1) kde x j jsou (zobecněné) prostorové, případně prostoro-časové souřadnice, indexy i, j probíhají všechny zahrnuté dimenze. Zdůrazněme skutečnost, že veličiny A, B, mají v různých vztažných soustavách různé hodnoty F( A, B,..., A x j, B x j,...)=0, 13

14 A, B... (můžeme říct vypadají různě, závisejí na volbě pozorovatele), důležitá je ale platnost funkcí F ve v vztahu (1), po které právě požadujeme, aby nebyla pozměněna. Tento charakter platnosti fyzikálních zákonů je vlastně absolutním prvkem všech relativistických principů. Při přechodu mezi vztažnými soustavami (pohybující se referenční systém a soustava souřadnic) od soustavy S k soustavě S jsou souřadnice x j (S) a y j (S ) transformovány obecně následujícími regulárními (vzájemně jednoznačnými, spojitými) funkcemi: (2) x j =f j ( y k ), přičemž musí jít o takové funkce, aby byla zaručena platnost fyzikálního zákona (1). [9] 4.1. Klasický princip relativity Klasický princip relativity (také Galileův princip relativity) je, jak bude dále uvedeno, limitním případem obecnějších principů relativity v tom smyslu, že je platný pro pohyby nepříliš těžkých objektů, které se pohybují nepříliš velkými rychlostmi, tj. takovými rychlostmi, které jsou malé ve srovnání s rychlostí světla c (hodnota rychlosti světla je dnes definována přesnou hodnotou c= ms -1 [10]). V [11] Jozef Kvasnica odkazuje na Galileův Dialog o dvou světových systémech Ptolemaiově a Koperníkově z roku 1632, kde Galileo Galilei ( ) formuloval na základě mechanických experimentů prováděných na povrchu Země a na lodi pohybující se přibližně rovnoměrně a přímočaře onen základní fyzikální princip, který říká, že všechny mechanické děje dopadnou stejně ve všech vztažných soustavách, které se navzájem pohybují rovnoměrně a přímočaře. Tento princip je přímo dostupný běžné zkušenosti, je součástí našich každodenních životů a platnost tohoto principu je velmi příjemným faktem o pohybu hmot v prostoru a čase. Veškeré jevy ve vesmíru a na planetě Zemi jsou součástí fyzikální reality a proto je těžké porovnávat důležitost různých přírodních zákonitostí, je ale pravda, že klasický princip relativity je velmi závažný a je přístupný i každému trochu pozornějšímu dítěti, které nastoupí do vlaku a pozoruje ostatní soupravy, které jsou v onom relativním pohybu. Tyto zkušenosti také přirozeně předcházely zkušenostem o složité chemii či šíření světla. V rámci klasické fyziky se veškeré děje odehrávají v třírozměrném eukleidovském prostoru a tyto jevy jsou parametrizovány časem. Definici vzdálenosti dvou infinitezimálně blízkých bodů v takovém prostoru můžeme napsat pomocí Pythagorovy věty (3) ds 2 =δ ik dx i dx k =dx 2 +dy 2 +dz 2 =invariant, kde jsme použili jak Kroneckerovo delta δ ik (nabývá hodnoty 1 pro i=k a 0 pro i k), tak tzv. Einsteinovu sumační konvenci, tj. pravidlo, které říká, že vyskytnou-li se dva stejné indexy v nějakém výrazu jednou 14

15 dole a jednou nahoře, či dvakrát v jedné poloze, automaticky to znamená sčítaní přes všechny hodnoty indexu bez vypisování znaku sumy Σ (jiné tzv. volné indexy i, k probíhají hodnoty od 1 do 3). V klasické mechanice jsou fyzikální zákony podle rovnice (1) Newtonovy pohybové zákony. Druhý Newtonův pohybový zákon můžeme napsat ve tvaru (4) d 2 r dt = F ( r, v, t), 2 m který dává do souvislosti zrychlení tělesa a se zadanou působící výslednou silou F, která je obecně funkcí polohy (vektorové silové pole), rychlosti v a času t. Zrychlení je zde nepřímo úměrné tzv. setrvačné hmotnosti m, která bude také později hrát důležitou roli při základních úvahách o principu ekvivalence. Rovnicemi (2) jsou v klasické fyzice Galileovy transformace, které můžeme napsat v následujícím maticovém zápisu: (5) kde (6) y i i =a k x k +b i, y i =(x, y, z, t ), x k =(x, y, z,t ) a 11 =a 22 =a 33 =a 44 =1, a 14 = v x a 24 = v y, a 34 = v z, a b i je vektor posunutí počátků souřadnic pro t=0 a pro jednodušší zápis jsme předpokládali rovnoběžné osy x, x atd., vektor rychlosti v charakterizuje vzájemný pohyb S vůči S. Galileova transformace (5) je lineární transformací souřadnicových os a času, pro který platí t =t (pro synchronizované hodiny). Při těchto transformacích tedy plyne čas stejně, prostor je plochý a jeho geometrie nezávisí na volbě pozorovatele je homogenní a izotropní. Těmito vlastnostmi se klasický princip relativity liší od toho speciálního, o kterém bude pojednáno v následujících odstavcích Speciální princip relativity Galileův princip relativity se týká mechanických dějů. Vzhledem k neznalosti jevů elektromagnetických v Galileově době nebylo možné zjistit jemné detaily kolem šíření se světla. První kvantitativní odhady stanovení rychlosti šíření světla provedl O. Rømer v roce 1676 pomocí Jupiterových stínů na jeho měsíci Io, a tak byla rychlost světla odhadována na kms -1. [10] V roce 1865 J. C. Maxwell ( ) završil matematickou teorii elektromagnetických polí. Veškeré makroskopické elektromagnetické jevy jsou nyní díky němu popsány Maxwellovými rovnicemi, kde vystupují elektrická intenzita E, magnetická indukce B a zdroje těchto proměnných jako jsou elektrické náboje a proudy. Jedná se o sadu čtyř vektorových parciálních diferenciálních rovnic, kde 15

16 vystupují rotace a divergence polí E a B, derivace podle času, hustota elektrického náboje ρ a hustota elektrického proudu j. Zaveďme kovariantní antisymetrický tenzor druhého řádu intenzity elektromagnetického pole takto: (7) Poté můžeme Maxwellovy rovnice napsat ve stručné formě (8) Zde j i je hustota proudu se složkami ( j x, j y, j z, cρ) a μ 0 permeabilita vakua. Rovnice (7) a (8) jsou přímo převzaty z [12]. Z Maxwellových rovnic lze pomocí dvou vektorových identit a pomocí jednoduchých úprav přímo odvodit vlnové rovnice (9) Δ E, B= 1 c 2 2 E, B t 2. Tyto rovnice (zapsané v trojrozměrné formulaci) popisují přímo šíření světla rychlostí c=1/ (μ 0 ε 0 ) v prázdném prostoru a zatím není jasné, vůči jaké volbě pozorovatele je tato rychlost vztažena. Tyto rovnice hrály vůbec důležitou roli při zkoumání podstaty světla. Vlnová povaha světla tak byla díky Maxwellovi přímo odvozena ze sjednocení elektrických a magnetických polí, což je dobrý příklad procesu sjednocování ve fyzice. [7] (9.1) Pro úplnost uveďme ještě pohybové rovnice pro nabité částice s nábojem q (Lorentzovu sílu): m d2 r dt 2 =q( E+ v B). Podle schématu fyzikální zákon + transformační rovnice mezi vztažnými systémy, vůči nimž je zákon invariantní (kovariantní rovnice), jsou ve speciální teorii relativity přípustné pouze Lorentzovy transformace. Ve zjednodušeném zápisu pro pohyb vztažné soustavy S vůči S rychlostí v ve směru osy x můžeme Lorentzovu transformaci (x, t) (x, t ) napsat (bez matic) podle [13] jako (10) x =γ(x vt) t =γ (t v 16 c x), 2

17 kde jsme označili známý Lorentzův faktor Poznamenejme, že problém neměnnosti Maxwellových rovnic vůči Lorenztovým transformacím byl vyřešen již před Einsteinovým rokem 1905, problém řešili kromě H. A. Lorentze také na příklad H. Poincaré. [5] Einsteinův publikoval v německém časopise Annalen der Physik článek s názvem K elektrodynamice pohybujících se těles. [14] Einstein zde uvažoval, jakým směrem se ubírat ve snaze sjednotit klasický princip relativity a invarianci Maxwellových rovnice, protože Maxwellovy rovnice nejsou invariantní vůči Galileovým transformacím mezi vztažnými systémy a naopak stejně nejsou neměnné Newtonovy zákony vůči Lorentzovým transformacím. Bylo proto nutné buď změnit zákony elektrodynamiky tak, aby vyhovovaly Galileovým transformacím nebo zachovat platnost Lorentzových vztahů jako základní vztahy mezi vztažnými soustavami a současně s tím pozměnit zákony klasické mechaniky pro potřeby invariance těchto zákonů spolu s Maxwellovými rovnicemi. Einstein zvolil druhý postup. [5] postuláty: Einstein stanovil také na základě výsledků měření Michelsona a Morleye z roku 1876 [4] dva 1. Rychlost světla je stejná pro všechny pozorovatele nezávisle na jakýchkoli rychlostí zdrojů světla či pohybech pozorovatelů navzájem. 2. Všechny fyzikální zákony, tj. zákony klasické mechaniky a klasické elektrodynamiky jsou platné ve všech vztažných soustavách, podle Lorentzových transformací (10). Těmito postuláty Einstein odvodil Lorentzovy transformace. Následný vývoj a formalizace Hermannem Minkowskim po roce 1908 Einsteinovy teorie vedl k zavedení pojmu události jako bodu ve čtyřrozměrném Minkowského prostoročase s pseudo-eukleidovskou metrikou analogicky podle rovnice (3) následovně: (11) γ= 1. v 2 1 c 2 ds 2 =η ik dx i dx k =dx 2 +dy 2 +dz 2 c 2 dt 2 =ds 2=invatiant, kde jsme označili Minkowského metrický tenzor η ik =diag(1, 1, 1, -1). Tato metrika (definice vzdáleností dvou událostí) je metrikou prázdného plochého prostoru. Jak bude ukázáno dále, takový prostor již globálně neexistuje v obecné teorii relativity při existenci gravitačních polí, případně se jedná o lokálně inerciální systém padající v (lokálně) homogenním gravitačním poli. Z Lorentzových transformací plyne řada důležitých závěrů, mezi něž patří dilatace času, kontrakce délek nebo pravidlo pro skládání rychlostí: pohybuje li se těleso rychlostí v vůči nějakému pozorovateli a 17

18 vůči pozorovateli spojeném s tělesem se pohybuje další objekt rychlostí w, pak vůči původnímu pozorovateli se tento objekt pohybuje rychlostí (12) a nikoliv podle klasického předpisu (13) u= v+w 1+ vw c 2 u=v+w. V červnu 1905 také Einstein publikoval slavný výsledek speciální teorie relativity (4) (14) E=mc 2. Celková energie je zde dána součinem hmotnosti objektu a kvadrátu rychlosti světla. Odvození takového vztahu lze najít na příklad v [19]. Tímto samozřejmě nebyly zdaleka vyčerpány principy speciální teorie relativity, pokusil jsem se zdůraznit jen ty nejpodstatnější myšlenky a závěry a poznamenejme, že v této teorii není zahrnuta gravitace, což Einsteina zaměstná na dalších deset let. V [9] je uvedena trojí zkouška každé nové teorie, která musí být splněna při konfrontaci nového fyzikálního obrazu světa s experimentem: 1. Soulad s dosavadními experimenty. 2. Vysvětlení jevů, které nesouhlasily se starými teoriemi. 3. Předpovězení dosud neznámých jevů. Výše uvedenému vyhovuje jak speciální tak obecná teorie relativity a to zní dělá skvělou teorii, kterou vytvořil právě sám Albert Einstein Obecný princip relativity Dostáváme se do oblasti platnosti OTR a jejích základních principů, které budou podrobněji diskutovány dále. Dosud diskutované principy relativity se týkaly pouze inerciálních vztažných systémů, tj. těch, které se navzájem pohybují rovnoměrně a přímočaře, bez otáčení, zrychlení a přítomnosti gravitačních sil, které spolu se silami elektromagnetickými byly považovány v době formulace STR a OTR za dvě fundamentální interakční síly, kterými na sebe působí hmota prostřednictvím polí. (Síla silná a slabá nebyla ještě známa.) Když speciální teorie relativity zahrnovala elektrodynamiku, na níž vlastně byla založena, bylo přirozené v procesu sjednocování fyziky směřovat zájem o gravitaci. S uvedenými charakteristikami STR je v [7] zacházeno jako s vážnými teoretickými nedostatky. Z hlediska STR lze popisovat i neinerciální systémy, což je pouze matematická záležitost, ale gravitace je zcela mimo platnost dosavadní teorie. Ve skutečnosti ovšem ani inerciální soustavy vůbec neexistují a jsou pouze limitním ideálním případem obecných pohybů, z nichž jsou události popisovány. Podle [7] je výběr 18

19 souřadnicových soustav věcí volby a nemá přímý vztah k fyzikálním jevům, proto Einsteinův obecný princip relativity říká: Všechny fyzikální zákony (nejen ty mechanické, ale i elektromagnetické) lze matematicky zapsat v kovariantním tvaru vzhledem k jakýmkoliv transformacím mezi soustavami, které jsou obecně neinerciální. Experiment potvrzuje tu skutečnost, že fyzikální vlastnosti hmoty jako na příklad energie, hmotnost, hybnost nezávisejí na okamžitém zrychlení, ale pouze na relativních rychlostech, potvrzuje to platnost zákonů STR při libovolně velkých zrychleních. Z matematického hlediska je přechod z inerciální soustavy, kde jsou zavedeny pseudo-kartézské souřadnice (11), k jiné neinerciální soustavě se s souřadnicemi křivočarými s novou metrikou dán (podle rovnice (2)) vztahem (15) ds 2 =η ik dx i dx k =η ik x i xk dym m y y n dyn =g mn ( y p )dy m dy n, kde jsme označili metrický tenzor (16) g mn = xl y m x l y n. Takto nově definovaný tenzor druhého řádu s kovariantními složkami transformovaný podle pravidel pro transformaci diferenciálů je již v neinerciální soustavě nekonstantní a závisí na prostoročasových souřadnicích, v diferenciální geometrii se takto obvykle definuje vzdálenost dvou bodů na diferencovatelné varietě. [7] Obecný princip relativity právě říká, že i v této křivočaré souřadnicové soustavě je formulace fyzikálního zákona oprávněna a planost zákona je zaručena stejně jako při všech dalších transformacích. V takových soustavách se volné testovací částice nepohybují po přímkách jako v inerciální soustavě (17) d 2 x j dτ 2 =0, kde jsme parametrizovali trajektorii x j (τ) vlastním časem τ, ale po takzvaných geodetikách, což jsou nejkratší spojnice dvou bodů v obecné křivém prostoru, rovnice geodetiky bude odvozena později. Máme-li veličiny g, působí v neinerciální soustavě na částici pohybující se po geodetice fiktivní (nepravé) síly setrvačného původu. Cesta k Einsteinově teorii gravitace (OTR) v souvislosti s předcházejícími úvahami je zahrnuta v následujícím bodě o principu ekvivalence gravitace a zrychlení, který dává oněm fiktivním silám hluboký fyzikální obsah ve formě ekvivalence těchto sil s gravitací. 19

20 Závěrem těchto odstavcům o principech relativity si dovolím polemizovat nad příčinou pohybů těles a s nimi spojených vztažných soustav v dříve uvedeném smyslu, které, jak se mi zdá, nebyly dosud zahrnuty v žádné fyzikální teorii. Situace byla totiž vždy ve schématu libovolné pohyby pozorovatelů + transformační pravidla mezi souřadnicovými soustavami, které jsou spojené s těmito pozorovateli. Nikde jsem nenašel pátrání po příčině pohybů pozorovatelů Věřím, že všechny děje jsou určeny fyzikálními zákony, čímž jsou podle rovnice (1) určeny všechny možné stavy zkoumaných systémů, a nabízí se zvážit otázku o platnosti fyzikálních zákonů, které definují vztahy mezi pozorovateli, v soustavách, které jsou v souladu s těmito zákony. 5. Princip ekvivalence gravitace a zrychlení Newton podle [7] na základě Keplerových empiricky odvozených zákonů a pomocí svého druhého pohybového zákona (4) odvodil svůj gravitační zákon ve tvaru (18) F( r )= G Mm r 3 r. Tato rovnice říká, že vektorové pole gravitační síly od tělesa M působí na těleso m v bodě (x, y, z) danou silou, která závisí na vzdálenosti těchto dvou objektů. Zde M leži v počátku souřadnic eukleidovského prostoru a předpokládáme, že M je mnohem větší než m, aby m neovlivňovalo pohyb M, tj. neuvažujeme zde dvoučásticovou Keplerovu úlohu. (Gravitační konstanta G=6, Nkg -2 m 2.) Symboly M a m vystupující v zákoně (18) jsou takzvané gravitační hmotnosti. Dále z gravitačního zákona (18) lze odvodit diferenciální zákon (Poissonova rovnice) pro skalární potenciál ϕ (19) ϕ( r )=4π G ρ( r ), kde ρ značí hustotu hmotnosti zdroje. Tento zákon není invariantní vůči Lorentzovým transformacím, je tedy v rozporu s STR, což je jeho základní nedostatek. [7] Dalším problémem je fakt, že gravitační interakce se zde šíří prostorem nekonečnou rychlostí, což je opět v rozporu se speciální relativitou (v rovnici (19) nevystupují časové derivace), a z STR plyne, že nejvyšší dosažitelnou rychlostí šíření hmotných objektů je rychlost světla c, už jen proto, že klidová hmotnost vynásobená Lorentzovým faktorem (10) se stává nekonečnou pro v c. Podle staré gravitační teorie by tedy změny rozložení hmot tady a teď měly vyvolat nekonečně rychle změny v celém vesmíru. Toho si podle [4] byl vědom i sám Isaac Newton, který uvažoval, že by po čase veškeré hmoty ve vesmíru podle těchto představ jednou spadly do nějakého středu vesmíru, tyto teoretické nedostatky však nábožensky založený Newton vysvětlil božími zásahy. 20

21 Po Einsteinově práci v roce 1905 a po přijetí těchto principů ostatními fyziky bylo jasné, že každý fyzikální zákon aspirující na obecnou platnost musí být lorentzovsky invariantní. Maxwellova elektrodynamika tento problém nemá, protože vůbec z ní STR vznikla, ale elektrodynamika není jedinou silovou interakcí hmoty, máme ještě gravitaci. Podle jedné z vrcholných literatur o životě a díle Alberta Einsteinova (Abraham Pais, [16]) přišel Einstein na princip ekvivalence gravitace a zrychlení v listopadu roku 1907 při práci na patentovém úřadě v Bernu, jak sám Einstein na přednášce v Kyotu vypráví: Seděl jsem na židli na patentovém úřadě v Bernu a znenadání jsem dostal nápad: když člověk padá volným pádem, necítí svou vlastní tíži... Toho prý velmi zneklidnilo a dalo mu to podnět k následující osmileté cestě k teorii gravitace, což prý později označil za nejšťastnější myšlenku svého života. Tento Einsteinův nápad je dalším v sérii Einsteinových myšlenkových experimentů (Gedankenexperiment), který zásadně ovlivnil jeho další fyzikální kariéru. Rozeberme toto podrobněji Rovnost tíhové a setrvačné hmotnosti Využijme Newtonův gravitační zákon (18) a dosaďme gravitační sílu do druhého Newtonova pohybového zákona (4). Na těleso se setrvačnou hmotností m působí gravitační síla úměrná jeho tíhové hmotnost: (20) F( r )= G M m gravitační r 3 r=m setrvačná d 2 r dt 2. Vzhledem k tomu, že Einstein postuloval m gravitační =m setrvační =m, vystupuje m na obou stranách rovnice (20), je možné tuto hmotnost z rovnice zkrátit a vidíme, že zrychlení padajících těles v gravitačních polích nezávisí na jejich hmotnosti, což je známým výsledkem experimentů, které měl provádět Galileo Galilei házením těles ze šikmé věže v Pise. Toto je univerzální vliv gravitačního pole, čehož si také sám Newton byl vědom, ale dále tento fakt hlouběji nerozváděl. Ekvivalence gravitačních sil a fiktivních sil setrvačného původu v neinerciálních soustavách je základním rysem gravitace a tímto se tento druh díly také podstatně liší od ostatních fundamentálních silových interakcí. [4] Krácení v rovnici (20) díky rovnosti tíhové a setrvačné hmotnosti těles je vlastně formulací principu ekvivalence. Nyní již nemají tělesa dvě různé vlastnosti, které vyjadřují setrvačné účinky jako míru odporu vůči působící síle v druhém Newtonově pohybovém zákoně a míru gravitačního působení, ale jedinou hmotnost. Podle [9] byly prováděny experimenty potvrzující tuto rovnost již od dob Newtonových, známé jsou pokusy Eötvösovy (s kterými se Einstein podle [5] seznámil později) nebo obdivuhodně přesné jsou pokusy výzkumné skupiny pod vedením R. Dickeho a V. Braginského prováděné v šedesátých let minulého století, které ukázaly, že (21) m setrvačná =1± m gravitační 21

22 5.2. Homogenní gravitační pole a princip ekvivalence gravitace a zrychlení Typicky je princip ekvivalence demonstrován následujícím příkladem. Mějme v soustavě souřadnic (x, y, z) homogenní gravitační pole s vektorem síly (22) F=(0, 0, mg). Potom pohybová rovnice má tvar podle (4) (23) m a=m d2 r dt =m( d2 x 2 dt, d2 y 2 dt, d2 z 2 dt )= F=(0, 0, mg) 2 Jednoduchým integrováním a při zadání počáteční polohy a hybnosti dostáváme parabolické trajektorie, které nejsou závislé na hmotnosti m. Toto byla první situace v inerciálním systému s polem homogenním gravitačním polem. Mějme ale druhou situaci. Od inerciální vztažné soustavy S, kde je silové pole (24) F=(0, 0, 0), přejdeme k soustavě S pohybující se ve směru osy z se s konstantním zrychlením a. Transformačními rovnicemi pro přechod z (x, y, z) (x, y, z ) jsou (25) x =x, y = y, z =z 1 2 at2. Při stejném výpočtu jako v rovnici (23) v nových souřadnicích dostáváme opět parabolické trajektorie nezávislé na hmotnosti objektu, který se v původním inerciálním systému pohyboval rovnoměrně a přímočaře. Můžeme říct, že ve zrychlené vztažné soustavě S působí setrvačné pole síly ma=mg. Předchozí úvahy shrňme následujícími dvěma body: 1. V homogenním gravitačním poli je padající soustava ekvivalentní inerciální vztažné soustavě. 2. Soustava s homogenním gravitačním polem je ekvivalentní soustavě neinerciální (rovnoměrně zrychlující bez gravitačního pole. Anebo Einsteinovými slovy: Z této vzájemné shody vyplývá, že experimentálně nelze zjistit, zda daný vztažný systém vykonává zrychlený pohyb, anebo zda pozorované účinky vyvolává gravitační pole. [4] A to jsou důsledky principu ekvivalence gravitace a zrychlení / rovnosti tíhové a setrvačné hmotnosti těles. Můžeme říct, že pro padajícího pozorovatele, který zavře oči, jakoby přestává 22

23 gravitační pole existovat. Těmito úvahami Einstein započal cestu k obecné teorii relativity na konci roku Směr dalšího teoretického bádání se týká té skutečnosti, že gravitační pole těles není obecně homogenní (je centrálně symetrické), a vztažné soustavy spojené s padajícími objekty v těchto polích jsou pouze lokálně ekvivalentní inerciálnímu systému (platnost je zaručena v pouze malých oblastech prostoru a v krátkých časových intervalech, kdy gravitační pole se chová přibližně homogenně). V takových lokálně inerciálních soustavách má platit speciální teorie relativity. Princip ekvivalence zde uvedený vypadá relativně jednoduše, ale matematické zpracování Einsteinovy teorie gravitačních polí se ukáže jako poměrně netriviálním problémem. Podle Pythagorovy věty (15) metrické koeficienty (funkce) g ik odpovídají přechodům z inerciálních soustav do soustav neinerciálních a podle principu ekvivalence jsou tyto koeficienty nějak úměrné gravitačnímu poli. Vzhledem k symetrii metrického tenzoru je nezávislých koeficientů právě deset. Tyto koeficienty již nejsou konstantami a odpovídají křivočarým souřadnicím. To je významné navýšení počtu proměnných oproti newtonovské gravitaci, kde stačí pouze jedna skalární funkce ϕ, jejíž gradientem je dána síla (26) F( r )= ϕ( r). Vzhledem k tomu, že metrický tenzor charakterizuje vzdálenost bodů v prostoru, což je čistě geometrická záležitost, a vzhledem k ekvivalenci této veličiny s gravitačním polem, Einstein vlastně sjednotil gravitaci s geometrií časoprostoru. Einstein měl k dispozici diferenciální geometrii vybudovanou předními matematiky jako byli C. F Gauss, B. Riemann, Ricci a L. Civita. Tuto matematiku mu doporučil Einsteinův přítel a dřívější spolužák Marcel Grossmann, se kterým Einstein vedl obsáhlou korespondenci z Prahy do Berlína, díky které máme dnes informace, jak Einstein bojoval s některými matematickými těžkostmi. [4] Vzhledem k neexistenci homogenních gravitačních polí neexistuje ani žádný globální inerciální systém, můžeme tvrdit, že časoprostor není rovinný, ale křivý, tj. neeuklidovský. Později uvidíme, že pokud se v (lokálně) inerciálním vztažném systému pohybuje tělesa po přímkách, což jsou spojnice dvou bodů s nejkratší vzdáleností mezi těmito body, nově budou tyto trajektorie tzv. geodetiky, což jsou přímky v křivém prostoru a Einsteinův gravitační zákon ukáže vztah mezi přítomností hmotných zdrojů, které budí gravitační pole, a geometrickými vlastnostmi takového časoprostoru. Již není třeba zavést mystická silová působení pomocí gravitačních sil, je možné zavést (možná ještě mystičtější?) deformaci prostoru a času díky přítomnosti gravitujících hmot. Podle [21] můžeme říct, že hmota říká, časoprostoru, jak se má zakřivovat a takto deformované kontinuum následně říká hmotě, jak se má v takovém křivém světě pohybovat. Následující obrázek znázorňuje lokálně inerciální soustavu (LIS), v níž jsou umístěna tělesa různých hmotností. Vidíme, že lokálně gravitační pole vypadá 23

24 homogenně a tělesa z jejich pohledu jsou přibližně na stejném místě. Obrázek přímo převzat ze studijních materiálů prof. Petra Kulhánka [21]. Obr. 2. Lokálně inerciální systém 6. Původ setrvačnosti a Machův princip Setrvačnost je základní charakteristickou vlastnostmi hmoty. Do pojmu hmota se samozřejmě řadí veškerá fyzikální pole. Aristoteles se domníval, že síly způsobí pohyb hmoty, ale v tom se mýlil, protože Newton ukázal, že relativní pohyb hmoty způsobuje její setrvačnost, tj. schopnost setrvávat v rovnoměrném a přímočarém pohybu, tedy tak, jak praví první Newtonův pohybový zákon. Síly způsobí pouze změny těchto pohybů. Newtonova mechanika je formulována v absolutním prostoru a absolutním čase, tj v takových médiích, které jsou pro všechny pozorovatele stejně tuhé a neměnné. Ernst Mach ( ) jako fyzik a filozof se zabýval těmito tématy a nepříliš precizně formuloval princip, který říká, že setrvačnost těles je závislá na aktuálních rozložení hmoty (hvězd) ve vesmíru i těch hmot nejvzdálenějších. [18] Einstein ve svém článku [1] píše o tom, že Mach byl první, kdo poukázal na závažný defekt newtonovské mechaniky (neméně problematické v STR) a ilustruje příklad s dvěma objekty stejné látky, pružnosti a kulatého tvaru, které na sebe mohou působit pouze gravitačně. Ty nechť jsou umístěny daleko od všech hvězd ve vesmíru (já se ptám, je vůbec možné takto uvažovat?) a představme si, že bude jedno těleso vykonávat rotační pohyb kolem toho druhého tělesa. Pozorovatel v klidu vzhledem ke vzdáleným hvězdám pozoruje, že jedno těleso zůstane kulovité a to otáčející se stane elipsoidem. A Einstein se ptá: kde se bere příčina takového rozdílného chování obou těles? Uvedena situace je podobná Newtonově vědru a Einstein říká, že ani klasická mechanika ani STR nepřináší na tuto otázku uspokojivou odpověď. Odpovědí klasické mechaniky je ta, že Newtonovy zákony jsou platné pouze s tím objektem, který je relativně v klidu vzhledem k oněm vzdáleným hvězdám. Mach říká, že situace by byla stejná, pokud by vesmír rotoval kolem studovaného objektu. Einstein ale nakonec uzavírá, že příčina podivného chování 24

25 těles ve studovaném případě musí být obsažena vně daného zkoumaného systému, tedy ve vzdálených hvězdách. Einstein se sice zabýval Machovým principem, faktem ale je, že se nestal východiskem pro OTR. Dnes podle [18] dokonce víme, že Machův princip je s OTR v rozporu. Obr. 3. Einstein a Marie Curie, Švýcarsko

26 7. Matematický formalismus pro potřeby obecné teorie relativity V následujícím textu vybudujeme základní matematické operace potřebné pro Einsteinovu formulaci gravitačního zákona. Budou nás především zajímat tenzory obecných řádů (prakticky nejvýše do čtvrtého řádu) a jejich transformační pravidla mezi různými souřadnicovými systémy Tenzorová algebra, kontravariantní a kovariantní indexy (1) Uvažujme sadu dvou souřadnicových systémů na (vektorovém prostoru obecné dimenze N ) x a y: tak, že existují transformační rovnice mezi x a y (2) Po těchto transformacích požadujeme regulárnost, spojitost a spojitost prvních derivací (hladkost) (3) x i =(x 1, x 2,..., x N )=x, y i =( y 1, y 2,..., y N )= y, x i =x i ( y k ), y k = y k (x m ). x i y k y k x =δ i m m. Připomeňme si opět, že je používána Einsteinova sumační konvence, která byla popsána dříve. Ve vzorci (3) se vyskytuje dvojí druh umístění indexů. Horní indexy vektorů (a tenzorů obecně) budeme nazývat indexy kontravariantními a ty dolní kovariantními. Uvidíme, že pro tyto indexy platí navzájem opačná pravidla než pro transformaci složek vektorů. (4) Zkoumejme pravidlo (tzv. řetězové) pro transformaci diferenciálů dy i = yi x k dxk. Podle předpisu (4) se transformují také kontravariantní složky vektoru V: (5) V m ( y)= ym x n V n (x) Nyní mějme uvažujme skalární funkci ϕ. Transformační pravidlo pro gradient této funkce zní (6) ϕ y ( y)= ϕ x m n x m y (x). n Podle stejného předpisu se transformují dolní (kovariantní) indexy: (7) V n ( y )= xm y n V m(x). 26

27 Toto byla pravidla pro transformaci horních a dolních indexů, které lze zobecnit pro tenzory vyšších řádů. Tenzory jsou obecně definovány jako multilineární zobrazení z kartézského součinu vektorového prostoru sama se sebou případně s vektorovým prostorem duálním do reálných (komplexních) čísel. Nechci se zde příliš zaobírat korektními definicemi, jen pro pořádek uveďme, že multilinearita znamená lineární působení tenzoru na každý vektorový argument. Všechny tenzory jsou dány svými složkami v bázi tenzorového součinu bází a bází duálních, podle toho, kolikrát je tenzor kovariantní popřípadě kontravariantní. Nebudu zde uvádět zápisy vektorů v bázích, zajímáme se pouze o složky tenzorů, které jsou výsledkem působení tenzoru na bázi tenzorových součinů. Tenzor má nějaký určitý počet kovariantních a kontravariantních indexů. Jako příklad uveďme tenzor T řádu (p+q), který je p-krát kovariantní a q-krát kontravariantní: (8) který právě působením na tenzorový součin bází dává své složky (souřadnice) (8.1) Touto trochu formálnější cestou se skalár stává tenzorem řádu nula a vektor kontravariantním tenzorem řádu jedna. [20] Podobně jako jsme transformovali složky vektorů podle rovnic (5) a (7), můžeme transformovat složky obecného tenzoru (8): (9) j 1, j 2,... T =T jq i 1,i 2,...ip e i 1... e jp e j 1... e jq, T (e i 1,...e ip j 1...,e j 1,...e jq )=T jq i 1...ip. m1...mq ( y)= ym 1 ymp x i 1 xip j 1 x x jq n1 y y T j 1... jq np i 1...ip (x). T n1... np Tenzory jsou objekty nezávislé na volbě souřadnic (báze), ale jejich složky jsou v různých souřadnicích různé, jak říká obecný předpis (9). Důležité podle (9) je následující tvrzení: Podaří-li se fyzikální zákon zapsat pomoci rovnosti tenzorů stejného řádu, pak je tento zákon automaticky invariantní vzhledem k (Lorentzovým) transformacím souřadnic. Na příklad rovnost následujících kovariantních tenzorů druhého řádu (10) A ij (x)=b ij (x), která může být formou nějakého fyzikálního zákona v souřadnicích x, je invariantní vůči jakýmkoli (třeba Lorentzovým) transformacím mezi vztažnými systémy, protože podle pravidel transformování (9) obdržíme (11) A ij (x)= y k x i y l x j A kl ( y)= yk x i y l x j B kl( y), 27

28 tedy zákon se nezměnil: (12) A kl ( y)=b kl ( y). Tyto vztahy také souvisí s uvážením následujících součinů: (13) A ij =C i D j. Samozřejmě tenzory A a B mohou být dány součtem jiných tenzorů nebo jejich násobení, což je prováděno podle tradičních manipulací s tenzory po složkách: (14) C ij = A ij +B ij, C ij = A ik B kj =C ikkj. Poslední operací je tzv. úžení, které snižuje řád tenzoru o dva Metrický tenzor a jeho použití při změnách polohy indexů, skalární součin Metrický tenzor vystupoval již v Pythagorově větě (1.15) a (1.16) podle číslování před kapitolou č. 7., kde jsme s jeho pomocí definovali vzdálenost dvou bodů. Zaveďme jej trochu formálněji následujícím bilineárním zobrazením: (15) g(e i,e j )=g ij. Pomocí metrického tenzoru můžeme provést na příklad skalární součin vektorů v, w následující bilineární formou: (16) g(v, w)=g ij v i w j. Zavedeme-li duální bázi jako (17) e i (e j )=δ i j, pak podle [20] můžeme se zadaným skalárním součinem psát (18) e i.e j =δ i j. Nyní již nejsou duální vektory abstraktními funkcionály na vektorovém prostoru, ale rovnocennými vektory a v dalším textu uvidíme význam kovariantních a kontravariantních indexů vektorů. Nyní na příklad vektor A můžeme rozvinout do součtů (19) A= A i e i = A j e j. Nyní se můžeme ptát, jaký je geometrický význam horních a dolních komponent vektorů. Rovnice (18) definuje duální ortonormální bázi, do které jsme pomocí (19) rozvinuli vektor A. Tato nová duální (sdružená, reciproká, inverzní) vektorová báze je důležitá při použití křivočarých souřadnic, protože na 28

29 rozdíl od kartézských souřadnic, kde tato báze splývá s tou původní, jsou tyto bázové vektory obecně neortogonální a kovariantní a kontravariantní indexy odpovídají průmětům vektoru do těchto obecně (nekomplanárně) umístěných vektorů báze, přičemž musí být zaručena platnost skalárních součinů (18). Zaveďme nyní inverzní matici k matici (15) následovně: (20) g(e i, e j )=g ij a tenzor g se smíšenými komponentami (21) g(e i, e j )=g i j =δ i j, které také budeme potřebovat. Kombinací (15) a (20) dostáváme konečně inverzní matice (22) g ik g kj =δ i j. V (13) jsme viděli, že tenzor druhého řádu lze vytvořit ze součinů složek vektorů. Proto i když uděláme součiny různě smíšených vektorů, dostáváme smíšené tenzory obecných řádů. Pomocí metrického tenzoru můžeme zvedat a snižovat indexy vektoru A: (23) A i =g ij A j, A k =g km A m. Nebo na příklad na tenzoru třetího řádu (24) A mn p =g mr g ns t g pt A rs a analogicky pro libovolné další tenzory dle potřeby. Také skalární součin dvou vektorů v (16) musí být stejný, když prohodíme umístění všech indexů. Mezi vektory dvou druhů bází také platí vztahy (25) e i =g ij e j, e i =g ij e j. Závěrem zdůrazněme fakt, že složky tenzorů jsou obecně funkcemi prostorových souřadnic a jedná se tedy o tenzorová pole popisující různá fyzikální polní veličiny. Pojem pole jako samostatné entity v prostoru hrál ve fyzice důležitou roli hlavně při zkoumání elektromagnetických jevů. [13] Někdo by si dokonce mohl přát, aby tato pole byla fyzikálními vlastnostmi samotného prostoru. Nyní v souladu s předcházejícími úvahami o geometrii časoprostoru a principu ekvivalence můžeme vyslovit záměr napsat nový gravitační zákon ve tvaru úměrnosti (26) G ik T ik, kde tenzor na levé straně bude popisovat geometrii (tzv. Einsteinův tenzor) a tenzor na pravé straně bude popisovat rozložení hmoty (tenzor energie hybnosti). Úkolem dalších úvah je směřovat k analytickému vyjádření těchto zatím neurčených objektů. 29

30 7.3. Kovariantní derivace, Christoffelovy koeficienty Γ derivace: (27) Zavedeme-li vektorového pole s kovariantními složkami V m (x), můžeme zkoumat následující T mn (x)= V m (x) x n. Dříve jsme uvažovali invarianci tenzorových rovnic a výraz (27) by se hodil jako tenzor, ale (27) tenzorem není, protože se netransformuje do souřadnic y podle pravidel pro transformace tenzorů (9): (28) T mn ( y)= xr x s y m y T xr x s n rs (x)= y m V r (x) y n x s = xr y m V r (x) y n V m ( y) y n. Musíme proto zavést tzv. kovariantní derivaci následujícím předpisem: (29) T mn ( y)= n V m ( y)= V m ( y) y n r Γ mn V r ( y) v obecných souřadnicích y, zatím však není jasné, co jsou funkce Γ. Ty určíme dalšími úvahami a požadujeme, aby nové veličiny (29) byly tenzorového charakteru, tj. aby byly objekty, které nezávisejí na volbě souřadnic. Kdybychom měli V tečným vektorem ke křivce (vektor rychlosti ), pak bychom mohli dosadit derivaci podle parametru trajektorie do (29) a měli bychom druhé derivace. Ty jsou záměnné, proto koeficienty Γ musí být symetrické v kovariantních indexech: (30) Podle [22] můžeme také uvažovat kovariantní derivaci kovariantního tenzoru druhého řádu takto: (31) i Γ mn p T mn = T mn ( y) y p i =Γ nm. r Γ pm r T rn Γ pn T mr a pro kontravariantní vektor podle [21] (32) n V m ( y)= V m ( y) Γ m y n rn V r ( y), nebo pro kontravariantní tenzor druhého řádu (33) p T mn = T mn ( y) +Γ m y p rp T rn +Γ n rp T rm. 30

31 Nyní chceme určit funkce Γ (tzv. Christoffelovy koeficienty afinní konexe). Podle [22] můžeme uvažovat tak, že kovariantní derivace metrického pole g je vždy nulová: (34) p g mn = T mn ( y) y p r r Γ pm g rn Γ pn g mr =0 a z toho plynou funkce Γ: (35) m( i Γ kl = 1 g 2 gi mk + g lm y l y g m) kl k y. Někdy se pro zkrácení zápisu obyčejná derivace značí čárkou a kovariantní derivace středníkem, čehož občas také užijeme. Složky výše zavedených koeficientů (nejedná se o tenzor třetího řádu, protože se netransformuje podle tenzorových pravidel) závisejí na volbě souřadnic. V [22] je vyslovena věta, že prostor je globálně plochý (eukleidovský), jestliže lze najít takovou souřadnicovou soustavu y, pro něž Christoffelovy koeficienty (35) jsou globálně (všude) nulové Rovnice geodetiky Podle Einsteina [21] se testovací částice v gravitačním poli pohybuje po nejpřímější možné trajektorii v křivém prostoročase, tj. po trajektorii spojující dva body P 1 a P 2, mezi nimiž je vzdálenost extremální. Rovnice této tzv. geodetiky je vlastně pohybovou rovnicí částice a lze ji najít z následující variační úlohy: (36) Podle rovnice (1.15) a podle parametrizace trajektorie částice vlastním časem τ: (37) P 2 P 1 P 2 ds=extrém δ ds=0. P 1 y i = y i (τ ), je integrál (36) možné napsat jako (38) τ 2 δ τ 1 g ik ( y j (τ)) dyi dτ dy k d τ d τ =0, což je integrálu z Lagrangeovy funkce (uvnitř integrálu) závislé na poloze a první derivaci. Řešení takové úlohy podle Einsteina [1] dává následující tvar (39) d 2 y i dτ +Γ i dy j dy k 2 jk d τ d τ =0, 31

32 což je hledaná diferenciální rovnice pro geodetiky v libovolných souřadnicích y, kde jsme také použili Christoffelovy koeficienty afinní konexe zavedené v minulých odstavcích. Přepíšeme-li (39) do tvaru (40) m d2 y i d τ = m Γ i dy j dy k 2 jk dτ d τ, vidíme, že to má tvar (po vynásobení setrvačnou hmotností m) druhého Newtonova pohybového zákona podle (1.4), kde pravá strana rovnice (40) dává ony fiktivní síly v neinerciálních soustavách se souřadnicemi y, které jsme odvodili z inerciálních souřadnic x. Tato trajektorie se liší od té v inerciální soustavě, kde nepůsobí žádné síly: (41) d 2 x i dτ 2 =0. Aplikace na příkladu rovnice geodetik na sféře (hlavní kružnice) podle [23] dává v souřadnicích (r, φ(t), ϑ(t)) tuto soustavu rovnic: (42) přičemž odvození těchto rovnic není nijak obtížné. Není v našem zájmu uvádět celé řešení, ale okamžitě můžeme vidět, že triviálně platí na příklad φ=konst., ϑ=t, což jsou poledníky Úplná derivace vektorového pole a paralelní přenos vektorů podél křivky Nyní se pokusíme zavést absolutní kritérium plochosti (křivosti) riemannovských prostorů (variet), tj. takových prostorů, kde můžeme měřit vzdálenosti dvou bodů a úhly mezi tečnými vektory [24], zcela formální ale být zde nemůžeme a navíc, již dosud jsme také pracovali s takovými prostory, aniž by to bylo zdůrazněno, předpokládali jsme tedy vždy správnost intuitivní představy o pěkném chování takových objektů. Pokud bychom zavedli metrické pole křivočarých souřadnic, jak jsme to již dříve prováděli, nemůžeme přímo z tvaru metrických koeficientů určit, zda je prostor rovný či křivý. Protože na příklad v eukleidovské rovině můžeme zavést polární souřadnice (43) d 2 φ dt +2cotgϑ d φ 2 dt d ϑ dt =0, d 2 ϑ dt ( sinϑ cosϑ d φ 2 2 dt ) =0, (x, y) (rcos φ, r sin φ) s metrickým tenzorem (44) g ik =diag(1, r 2 ), ds 2 =dr 2 +r 2 dφ 2. Pro srovnání parametrizace sférické plochy (45) (x, y, z) (R cosφ sin ϑ, R sin φ sin ϑ, R cosϑ ), 32

33 kde R=konst. (poloměr koule). Metrické koeficienty v tomto případě jsou (46) Vidíme, že metrika není konstantní v obou souřadnicových soustavách a na první pohled tedy z tvaru metrických koeficientů nelze určit, zda se jedná o plochý prostor v případě (43) nebo o křivou sféru v případě (45). Uvidíme, že absolutním kritériem bude Riemannův tenzor křivosti, který odvodíme z tzv. paralelního přenosu vektorů po uzavřené křivce. Mějme v plochém prostoru křivku parametrizovanou jako τ x i (τ) a vektorové pole s kontravariantními složkami V i (x j ). Pak můžeme spočítat derivaci vektorového pole podle dané křivky podle [13] jako (47) g ik =diag(r 2, R 2 sin 2 ϑ ), ds 2 =R 2 (d ϑ 2 +sin 2 ϑ d φ 2 ). d V i d τ = V i x j dx j d τ, kde dx j /dτ je tečný vektor. Takto ovšem nemůžeme postupovat v případě obecných křivočarých souřadnic y a musíme derivaci podle souřadnic v (47) nahradit derivací kovariantní. Dostáváme tak úplnou derivaci vektorového pole (48) DV i d τ = j V i ( y ) dy j d τ = dv i d τ + Γ i jk dy j d τ V k. Máme-li navíc tečný vektor (49) V i = dyi d τ, pak aplikováním (49) do (48) dostáváme opět rovnici geodetiky (39) (50) d 2 y i d τ +Γ i dy j dy k 2 jk d τ d τ =0 a vidíme, že se tečný vektor paralelně přenáší po geodetické křivce, jedná se tedy o nejpřímější možnou křivku spojující dva body v křivém prostoru. Navíc, vynásobíme-li rovnici (50) výrazem (51) a užitím toho, že kovariantní derivace metrického tenzoru je rovna nule podle rovnice (34), dostáváme (52) g ik V i, d d τ ( g il V i V l )=0, 33

34 takže se zachovává kvadrát velikosti tečného vektoru podél geodetiky (čtyřrychlosti, kterou jsme formálně nezaváděli) a (čtyř-)zrychlení je tedy nulové: (53) D V i d τ = dv i d τ +Γ i dy j jk d τ V k = d2 y i d τ +Γ i dy j dy k 2 jk d τ d τ =0. Po těchto geodetických čarách se pohybují nejen hmotná tělesa v gravitačních polích, ale i světelné paprsky, což vlastně bude také jeden z klasických testů OTR Riemannův tenzor křivosti V této části rozebereme absolutní kritérium pro plochost či křivost prostoru (variety). V předcházejících odstavcích jsme přecházeli od kartézských souřadnic do obecně jiných křivočarých souřadnic a viděli jsme, že přímo z tvaru metrických koeficientů nemůžeme na první pohled určit, zda je prostor plochý či nikoliv. Zavedeme tzv. Riemannův tenzor křivosti, jehož komponenty (jejich nulovost a nenulovost) jasně určí geometrické vlastnosti studované variety. Plochý prostor se vyznačuje tím, že je v něm jednoznačně určen paralelní přenos vektorů, protože po libovolných spojnicích dvou bodů jsou v plochém prostoru při použití kartézských souřadnic nulové Christoffelovy koeficienty (35) (54) což ale neplatí pro souřadnice polární a další, pro něž má metrický tenzor jiné koeficienty a derivace podle (35) nedávají nulu. Zde má přenášený vektor po libovolné křivce stále stejné hodnoty, což je dáno právě plochostí daného euklidovského prostoru. Daná vlastnost s přenášením vektorů již neplatí v obecně křivých prostorech, kde paralelní přenos vektoru podle předpisu (48) závisí na cestě, po které jsme vektor přenášeli, což můžeme ilustrovat na příklad následující situací na sféře (Zemi). Vydáme-li se třeba od rovníku (bod A) na sever s tečným vektorem ve směru cesty, na severu u pólu jej necháme ve stejném směru a přeneseme jej opět na rovník (jiný bod B), výsledek bude jiný, pokud se vydáme s týmž vektorem z bodu A do bodu B po rovníku (vektory budou svírat nenulový úhel). Pokud nepracujeme v plochém prostoru, kde změny přenášených vektorů jsou nulové, můžeme podle [13] odvodit vztah mezi změnami vektoru, který je přenášen po různých křivkách. Mějme dva body P a Q, jak ukazuje následující obrázek. i g ik =δ ik Γ jk =0, 34

35 Obr. 4. Paralelní přenos vektoru Bodem P nechť prochází dvě křivky y 1 i (λ) a y 2 i (λ). Do tohoto bodu můžeme vložit tečné vektory A a B k těmto křivkám. Vytvořme elementární rovnoběžník vytvořený paralelním přenosem vektoru B podle A a paralelním přenosem vektoru A podle B, jak je ukázáno na obrázku 4 (překresleno a upraveno podle [13]). Z nulovosti kovariantní derivace podle rovnice (48) obdržíme (55) a obdobně pro vektor A. Pro paralelní přenos musí platit (56) 0=D B i =db i i + Γ kl B k A l B i=b i +db i =B i i Γ kl B k A l a pro vektor A (57) A i= A i +da i = A i i Γ kl A k B l. V důsledku symetrie kovariantních indexů Christoffelových koeficientů platí pro rovnoběžník (58) Nyní zaveďme vektor C, který budeme přenášet podle AB a BA. Výsledkem takového přenosu budou rozdílné směry, které jsou způsobeny křivostí. Pro přenos vektoru C podél A máme (59) A i +B i=b i + A i. i C A =C i i Γ kl A k C l. Ten po přenosu AB bude (60) i C AB i i l =C A Γ A kl B k C A a při Taylorově rozvoji do prvního řádu máme (61) i Γ A kl i =Γ kl + Γ kl i y j A j. 35

36 a dosazením do předchozích rovnic obdržíme pro změnu vektoru ΔC (62) kde jsme označili Riemannův tenzor křivosti čtvrtého řádu jako (63) Podle [13] je nulovost všech složek Riemannova tenzoru nejen v bodě P nutnou a postačující podmínkou jednoznačnosti paralelního přenosu vektoru, ale také v celém prostoru. Pokud složky Riemannova tenzoru jsou v nějaké soustavě souřadnic nenulové, pak neexistuje žádná jiná soustava souřadnic, vůči níž bylo pole Riemannova tenzoru nulové, tj. z fyzikálního hlediska zde nemůžeme najít globální inerciální systém, takže tenzor (63) nějak musí souviset s gravitačním polem, což je směr našeho dalšího snažení. Ve čtyřrozměrném časoprostoru má Riemannův tenzor 256 složek, ale díky některým symetriím v indexech jich je nezávislých 20. [21] (64) Když pomocí metrického tenzoru snížíme indexy takto můžeme uvést následující identity symetrie a antisymetrie: (65) i R klm i ΔC=C AB = Γ i km y l i i C BA =R klm A k B l C m, Γ i kl y m +Γ nl n R iklm =g i n R klm, i Γ n i km Γ nm Γ n kl. R iklm = R kilm = R ikml, R iklm =R lmik. Případně pro součet cyklických permutací máme (66) R iklm +R imkl +R ilmk =0. Dále budeme potřebovat tzv. Ricciho tenzor křivosti, který vzniká úžením tenzoru (63) (67) l R ik =R ki =R ilk, a skalární křivost (68) R=g ik R ik Bernhard Riemann ( )