5 Křivkové a plošné integrály

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5 Křivkové a plošné integrály"

Transkript

1 - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy či trojrozměrého prostoru, které jsou v aplikacích bezesporu ejvýzamější Defiice Pod spojitou křivkou v budeme rozumět spojité zobrazeí :, Obraz itervalu, v tomto zobrazeí azveme geometrickým obrazem křivky a budeme jej ozačovat symbolem Pozámka Spojitá křivka v je zadáa -ticí spojitých reálých fukcí ( ),, ( ) 1 t t defiovaých a itervalu, Jedá se tedy o spojitou vektorovou fukci (viz kap 17) Protože jsou jedotlivé body křivky popsáy pomocí reálého parametru t, hovoříme též o parametrickém zadáí křivky Všiměte si též, že růzým křivkám mohou odpovídat stejé geometrické obrazy V dalším textu se budeme zabývat křivkami, které mají a itervalu, eulové spojité prví derivace tyto křivky se obvykle azývají křivkami třídy C 1 ebo alespoň po částech eulové spojité prví derivace křivky po částech třídy C 1 Navíc budeme předpokládat, že příslušá vektorová fukce je a itervalu (, ) prostá 1 Tyto vlastosti již ebudeme v dalším výkladu explicitě zdůrazňovat Pod křivkou budeme íže vždy (!) rozumět spojitou křivku alespoň po částech třídy C 1 Defiice Křivku azveme uzavřeou, splývá-li její počátečí bod s bodem kocovým, tj ( ) ( ) Defiice Pod tečou ke křivce v bodě ( t ),, ( t ) která prochází bodem x a splňuje x 1 rozumíme přímku tt () t x() t lim tt t t p : x x ( ), Vektor azveme tečým vektorem ke křivce v bodě x Pozámka Má-li křivka v bodě 1( t),, ( t) je rove vektoru ( t ),, ( t ) x eulovou prví derivaci, má v ěm i teču Její směrový vektor 1 2, kde tečkou ad písmeem ozačujeme prví derivaci podle parametru t 1 Připouštíme tedy ( ) ( ) 2 Použijeme-li v parametrické rovici pro teču p jiého parametru, p: x x s, kde x x pro s =, bude její směrový vektor (a tedy i ový tečý vektor ke křivce ) obecě libovolým reálým ásobkem ( t ),, ( t ) vektoru 1

2 Křivky Věta (o skládáí a iverzi křivek) Nechť a jsou křivky v defiovaé a itervalech, a,, které jsou avíc po částech třídy C 1 Nechť dále platí ( ) ( ) Pak vektorová fukce :, defiovaá předpisem () t () t pro t,, () t () t pro t, a dále též vektorová fukce :, defiovaá předpisem jsou křivky po částech třídy C 1 () t ( t) Defiice Křivku azýváme křivkou složeou z křivek a a používáme pro i též symbolický zápis Křivku ~ pak azýváme křivkou opačou (iverzí) ke křivce Pozámka Při pohybu po složeé křivce probíháme ejdříve všemi body prví křivky a ásledě i všemi body křivky druhé Opačá křivka je totožá s křivkou původí, ovšem probíhaou pozpátku Všiměte si též vztahů, které platí v případě skládáí a ivertováí křivek pro jejich geometrické obrazy:, 52 Křivkový itegrál prvího druhu Defiice (křivkový itegrál prvího druhu pro křivky C 1 ) Nechť :, je křivka třídy C 1 a f : reálá fukce reálých proměých, jež je spojitá a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem d f d f( ( t)) ( t) defiujeme křivkový itegrál prvího druhu fukce f po křivce 1 Je-li křivka uzavřeá, používáme zpravidla pro odpovídající křivkový itegrál symbol f d 1 V itegradu a pravé straě defiičího vztahu ozačujeme symbolem a eukleidovskou ormu vektoru d a Platí tedy d / 2 i 1 i

3 Křivkové a plošé itegrály Pozámka Formálím porováím pravé a levé stray defiičího vztahu pro křivkový itegrál prvího druhu získáme symbolickou rovost d d ebo též d d Difereciál d a levé straě odpovídá tedy délce ifiitezimálího oblouku křivky a itervalu tt, a itegrál délce křivky d 1 d ( t) Věta (aditivita křivkového itegrálu prvího druhu vůči skládáí křivek) Nechť křivky a jsou a itervalech, a, třídy C 1 a splňují ( ) ( ) Pak platí f d f d f d Defiice (křivkový itegrál prvího druhu pro křivky po částech C 1 ) Nechť f : je reálá fukce spojitá a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu křivky :,, která je a tomto itervalu po částech třídy C 1 Existuje tedy takové děleí t t1 tm itervalu,, že má a každém dělicím itervalu tk 1, tk, k 1,, m, eulovou spojitou prví derivaci Pak pod křivkovým itegrálem prvího druhu fukce f po křivce rozumíme t m k d f d f( ( t)) ( t) k 1 tk1 Pozámka Aditivita itegrálu 1 druhu pro křivky třídy C 1 zaručuje, že výše uvedeá defiice je korektí Jako dělicí body t k musíme vždy vybrat především ty, v ichž křivka emá spojitou prví derivaci Přidáme-li k im i takové, v ichž tato křivka spojitou prví derivaci má, pravá straa výše uvedeé rovosti se díky zmíěé aditivitě ezměí Pozámka V ásledujících větách je f : (popř i g : ) spojitá fukce defiovaá pro každý bod obrazu uvažovaých křivek a ějakém jeho okolí Křivky jsou alespoň po částech třídy C 1 Věta (ezávislost křivkového itegrálu prvího druhu a parametrizaci) Nechť dvě křivky :, a :, mají stejý obraz a avíc echť existuje vzájemě jedozačé a spojitě diferecovatelé zobrazeí h :,, takové, že () t ( h()) t Pak platí f d f d Změa parametrizace křivky tedy hodotu křivkového itegrálu prvího druhu eměí Speciálě pro opačou křivku platí f d f d

4 Křivkový itegrál prvího druhu Věta (liearita křivkového itegrálu prvího druhu) cf d c f d, c, f g d f d gd Pozámka Křivkové itegrály prvího druhu je možo defiovat eje pro skalárí fukce, ale i pro vektorová pole a to po složkách: f d f1 d,, f d 5 Křivkový itegrál druhého druhu Křivkové itegrály prvího a druhého druhu jsou si velmi blízké Níže si zejméa všiměte, jak mohé věty formulovaé pro itegrály druhého druhu odpovídají větám předcházející kapitoly Defiice Nechť :, je křivka třídy C 1 a f : vektorové pole spojité a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem d fd f( ( t)) ( t) defiujeme křivkový itegrál druhého druhu pole f po křivce Je-li křivka uzavřeá, používáme pro obvykle odpovídající křivkový itegrál symbol f d Pozámka V defiičím vztahu stojí v závorce itegradu a pravé straě skalárí souči dvou vektorů z, tedy d f fi i1 d i Formálím porováím pravé a levé stray defiičího vztahu pro křivkový itegrál druhého druhu získáme d d Ifiitezimálí vektor d je tedy v každém bodě tečý ke křivce a symbolickou rovost míří do směru, v ěmž hodota parametru t roste Jeho velikost odpovídá avíc s přesostí do prvího řádu délce oblouku této křivky a itervalu tt, Vektor d můžeme proto s přesostí do prvího řádu iterpretovat jako ifiitezimálí orietovaý oblouk křivky a itervalu tt, Pozámka Velmi ázorá je fyzikálí iterpretace křivkového itegrálu druhého druhu Chápeme-li totiž křivku jako trajektorii opisovaou hmotým bodem v prostoru (pak ovšem ) a vektorové pole f jako pole vějších sil a teto bod působících, pak odpovídající křivkový itegrál eí ic jiého ež práce vykoaá těmito silami

5 Křivkové a plošé itegrály Defiice Nechť f : je vektorové pole spojité a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu křivky :,, která je a tomto itervalu po částech třídy C 1 Existuje tedy takové děleí t t1 tm itervalu,, že má a každém dělicím itervalu tk 1, tk, k 1,, m, eulovou spojitou prví derivaci Pak pod křivkovým itegrálem druhého druhu pole f po křivce rozumíme t m k d fd f( ( t)) ( t) k 1 tk1 Pozámka V ásledujících větách je f : (popř i g : ) spojité vektorové pole defiovaé pro každý bod obrazu uvažovaých křivek a ějakém jeho okolí Křivky jsou alespoň po částech třídy C 1 Věta (závislost křivkového itegrálu druhého druhu a parametrizaci) Nechť dvě křivky :, a :, mají stejý obraz a avíc echť existuje vzájemě jedozačé a spojitě diferecovatelé zobrazeí h :,, takové, že () t ( h()) t Pak platí fd fd, kde kladé zaméko platí pro rostoucí h a záporé zaméko pro h klesající Pozámka Předcházející tvrzeí je možo vyslovit sice méě přesě, ale o to ázorěji: Pro dvě pouze parametrizací lišící se křivky se odpovídající křivkové itegrály druhého druhu liší pouze zamékem Při souhlasé orietaci obou křivek jsou si oba itegrály rovy Speciálě pro zadaou křivku a křivku k í opačou můžeme psát fd fd Věta (aditivita křivkového itegrálu druhého druhu vůči skládáí křivek) Nechť křivky a defiovaé a itervalech, a, splňují ( ) ( ) Existuje-li pravá straa, platí fd fd fd Věta (liearita křivkového itegrálu druhého druhu) Existují-li pravé stray, platí cfdc fd, c, f gd fd gd

6 Poteciál vektorového pole Poteciál vektorového pole V této kapitole se budeme zabývat obecými vektorovými poli a V techických a přírodovědých aplikacích jsou sice ejzajímavější případy 2 a (vektorová pole v roviě a prostoru), obecá teorie ale eí o moho komplikovaější ež v obou speciálích případech Pokud ebude zdůrazěo jiak, budeme pracovat s jedekrát spojitě diferecovatelými poli a ějaké oblasti (souvislé otevřeé možiě 1 ) z Poteciál Defiice Poteciálem vektorového pole F : azveme takovou reálou fukci U : která splňuje U Fi x Vektorové pole, které má poteciál, azveme poteciálí i, Pozámka Vztah mezi vektorovým polem F a jeho poteciálem U můžeme zkráceě zapsat pomocí operátoru gradietu 2 F U V přírodích vědách (apř ve fyzice) se obvykle používá poěkud odlišá defiice F U Pozámka Obecé vektorové pole emusí mít žádý poteciál Pokud jej a ějaké oblasti má, je teto poteciál urče jedozačě až a aditiví kostatu Věta (utá podmíka poteciálosti vektorového pole) Má-li spojitě diferecovatelé vektorové pole F poteciál a oblasti A, platí pro každé x z této oblasti a pro každou dvojici i, j 1,,, i j, F F i j ( x) ( x ) x x j Pozámka Uvědomme si, že výše uvedeé podmíky pro derivace složek pole jsou pouze podmíkami utými Samy o sobě estačí k tomu, aby vektorové pole F vůbec ějaký poteciál mělo 4 Nutou podmíkou poteciálosti vektorového pole v roviě je jedoduchý (a jediý) vztah F x F y y x V případě trojrozměrých polí v prostoru je možo přepsat trojici utých podmíek poteciálosti pole F, i F x F y y x F z F x x z, a F z F y y z, do formálě elegatějšího tvaru rot F =, kde rot je vektorový operátor rotace 1 1 Bližší vysvětleí použitých pojmů můžete ajít v Apedixu A2 2 Viz též kapitoly 2 a 62 Platost této věty vyplývá okamžitě ze záměosti druhých derivací poteciálu pole F 4 Níže v této kapitole je ukázáo, že v roviě a v prostoru jsou tyto podmíky postačující, jsou-li splěy a jedoduše souvislé oblasti

7 Křivkové a plošé itegrály Nalezeí poteciálu vektorového pole v roviě Budiž F Fx( xy, ), Fy( xy, ) spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé a ějaké oblasti v roviě Jeho poteciál, pokud existuje, je defiová vztahy F x U a Fy x U y Levé stray těchto vztahů jsou zadaé fukce, poteciál můžeme proto získat jejich itegrací Z prvího vztahu máme U( x, y) Fx ( x, y) dxc( y), kde azačeý eurčitý itegrál počítáme tak, že a ezávislou proměou y pohlížíme během itegrace jako a kostatu Explicitě uvedeá itegračí kostata C může proto rověž a y záviset Derivováím takto získaého vztahu podle y dostaeme F (, ) (, ) (, ) ( ) x( x, y) C( y) Fy x y U x y Fx x y dxc y dx y y y y a po úpravách C( y) Fx ( x, y) Fy ( xy, ) dx y y Má-li pole F poteciál, závisí pravá straa posledí rovosti pouze a ezávislé proměé y, a ezámou fukci C( y ) můžeme v takovém případě sado získat (s přesostí až a aditiví kostatu, tetokrát již skutečou) prostou itegrací Pokud ovšem pravá straa závisí i a ezávislé proměé x, poteciál vektorového pole F eexistuje Pro vícerozměrá vektorová pole fuguje aprosto stejý postup, který je sad je s rostoucím stále pracější Určeí poteciálu pomocí křivkových itegrálů Věta Je-li vektorové pole F : spojitě diferecovatelé a oblasti A, jsou ásledující tvrzeí ekvivaletí: F má poteciál, pro každou uzavřeou křivku :, A platí F d, 1 Viz kapitola 64

8 Poteciál vektorového pole pro každé dvě křivky :, A a :, A splňující ( ) ψ( ) a ( ) ψ( ) platí Fd Fd Poteciál U pole F pak lze psát ve tvaru U( x) Fd, kde je libovolá křivka spojující předem zvoleý (libovolý ovšem) bod x A s bodem x Pozámka Ve třetí odrážce předcházející věty vystupují křivky se společými počátečími a kocovými body V této odrážce se tedy říká, že uvedeé křivkové itegrály ezávisejí a samotých křivkách, ale je a jejich okrajových bodech Z této podmíky dále vyplývá, že itegrálí předpis pro poteciál je korektí Hodota U(x) ezávisí a zvoleé křivce, ale je a jejím pevě, leč libovolě zvoleém počátečím bodě x a a bodě kocovém, x Libovůle, kterou máme při volbě bodu x, odráží ejedozačost poteciálu zmíěou v úvodu této kapitoly Pozámka Pro vektorové pole F v roviě vyplývá z druhé odrážky výše uvedeé věty a věty Greeovy 1, že postačující podmíkou jeho poteciálosti a jedoduše souvislé oblasti je rovost křížových derivací F x F y y x Podobě je postačující podmíkou poteciálosti vektorového pole F v (trojrozměrém) prostoru, založeou a tzv Stokesově větě 1, současé splěí rovostí ebo zkráceě F x F y y x, Fx Fz, z x rot F, F F y z z y, kde rot ozačuje vektorový difereciálí operátor rotace defiovaý v kapitole Plochy V této kapitole se budeme zabývat dvojrozměrými plochami v a v ásledujících dvou kapitolách pak itegrály a ich Až a ěkolik málo výjimek by bylo možo vše uvedeé zobecit i a (-1)-rozměré adplochy v, výklad by se ovšem patřičě komplikoval Omezíme se proto a z hlediska aplikací pravděpodobě ejvýzamější případ ploch v trojrozměrém prostoru Plochy a plošé itegrály jsou dvojrozměrou obdobou křivek a křivkových itegrálů Jejich studium je ovšem přece je poěkud komplikovaější V ásledujícím výkladu se proto omezíme je a základí pojmy a věty Podrobější poučeí může čteář alézt v celé řadě učebic a příruček matematické aalýzy (viz apř kiha Rektorysova [5]) 1 Viz kapitola 58

9 Křivkové a plošé itegrály Defiice Nechť : je jedou spojitě diferecovatelé zobrazeí oblasti Matici 2 do t t t t t ( ) 2 2 J 1 2 t 1 2 azveme Jacobiho maticí zobrazeí Jsou-li sloupce této matice v každém bodě možiy lieárě ezávislými vektory a zobrazeí je prosté (a iverzí zobrazeí je avíc spojité), azveme jedoduchou hladkou plochou 1 Obraz možiy v tomto zobrazeí azveme geometrickým obrazem plochy a budeme jej ozačovat Pozámka Podle výše uvedeé defiice popisujeme jedotlivé body plochy pomocí dvou reálých parametrů t 1 a t 2 Hovoříme proto o parametrickém zadáí plochy 2 Obecou plochu v můžeme zadat ovšem i jiými způsoby Uveďme si dva ejdůležitější z ich Explicití zadáí plochy Odpovídá-li geometrický obraz plochy grafu ějaké spojitě diferecovatelé fukce z f( x, y), je možo tuto plochu popsat právě touto fukcí Hovoříme pak o explicitím zadáí plochy Podle potřeby můžeme použít i fukcí y g( x, z) ebo x f( y, z) Přejít od explicitího zadáí plochy k zadáí parametrickému eí obtížé : x t 1, y t2, a z f( t1, t2) Implicití zadáí plochy Plochu je dále možo popsat prostředictvím vazebé podmíky, kterou musí splňovat souřadice bodů a í ležících 4 Nechť F : je eulová spojitě diferecovatelá fukce tří reálých proměých, která emá v žádém bodě ulový gradiet Pak je možo tuto vazebou podmíku zapsat ve tvaru F( x, y, z) O takovém zadáí plochy hovoříme jako o zadáí implicitím Alespoň lokálě od ěj můžeme přejít k zadáí explicitímu tak, že rovici (,, ) F x y z vyřešíme vzhledem k ěkteré proměé, apř z Příklad (kulová plocha) Kulovou plochu se středem v počátku souřadic a o poloměru r je možo zadat: parametricky: x rcossi, y rsisi, z rcos, kde,2,,, 1 V dalším se budeme zabývat pouze jedoduchými hladkými plochami, i když to ebudeme zpravidla explicitě zdůrazňovat 2 Porovejte s parametrickým zadáím roviy Pokuste se pro teto případ apsat Jacobiho matici a ověřit, že její sloupce jsou lieárě ezávislé vektory 4 Porovejte s ormálovou rovicí roviy

10 Plochy implicitě: explicitě: x y z r, z r x y 1 Pozámka () () () Budiž x ( t1, t2 ) ějaký bod zadaé plochy Na okolí tohoto bodu je možo zobrazeí aproximovat pomocí věty o prvím difereciálu 2 x x t t t t t t t t i i 1, , () i () () () () () () i t1 t2 kde i = 1, 2, Sado zjistíme, že uvedeá rovice, v íž přibližou rovost ahradíme rovostí přesou, odpovídá parametrickému zadáí roviy, a to podle geometrické iterpretace prvího difereciálu roviy tečé k ploše v bodě x () Vektory 1 () () 2 () () () () τ 1 t1, t2 ; t1, t2 ; t1, t2, t1 t1 t1 () () () () () () t, t ; t, t ; t, t t2 t2 t2 jsou tedy tečými vektory k ploše v bodě x () Jak je vidět z přímého porováí, odpovídají složky obou vektorů sloupcům Jacobiho matice počítaým v bodě x () Podle předpokladu jsou tedy lieárě ezávislé a skutečě zadávají roviu Výše uvedeý výpočet můžeme ovšem provést je tehdy, je-li možo aplikovat větu o prvím difereciálu - jsou-li apříklad splěy předpoklady defiice jedoduché plochy Existují ovšem obecější plochy, které emají v každém bodě tečou roviu Těmi se ale v tomto textu zabývat ebudeme Defiice () () () Neulový vektor vázaý v zadaém bodě x ( t1, t2 ) plochy a kolmý k tečé roviě k této ploše (viz předcházející pozámka), azveme vektorem ormálovým k ploše v bodě x Má-li teto vektor jedotkovou délku (eukleidovskou ormu), azveme jej jedot- () kovým ormálovým vektorem Obvykle jej budeme ozačovat písmeem Pozámka Normálových vektorů existuje ve skutečosti ekoečě moho zaplňují jedorozměrý vektorový prostor Dokoce ai jedotkový ormálový vektor eí urče jedozačě existují vždy dva, které se avzájem liší zamékem Ze všech možých ormálových vektorů k zadaé ploše v zadaém bodě stačí ale zát je jede vybraý Sado pak umíme zkostruovat i všechy ostatí Tímto vybraým ormálovým vektorem může být apříklad vektorový souči dvou libovolě zvoleých lieárě ezávislých tečých vektorů Pozámka Velmi jedoduše se hledá ormálový vektor pro plochu zadaou implicitě Nechť,,, je libovolý 1 2 vektor ležící v roviě tečé k ploše F( x, y, z) v bodě x () Pak můžeme pro v absolutí hodotě malé číslo přibližě psát 4 1 Další možá explicití vyjádřeí jsou y r x z a x r y z Volbou zaméka se ovšem vždy omezujeme a jedu polokouli 2 Viz kapitola 24 V každém bodě plochy je její ormálový vektor současě ormálovým vektorem její tečé roviy v tomto bodě 4 Opět využíváme věty o totálím difereciálu z kapitoly 24 Symbolem ozačujeme difereciálí operátor gradiet (viz též kapitola 62)

11 - 8 - Křivkové a plošé itegrály () () () x x x F F F Bod x () () je ale bodem plochy, musí tedy platit přesé a platí tedy F x V limitě přecházejí přibližé rovosti a () F x Vzhledem k tomu,že je libovolý vektor z roviy tečé v zadaém bodě k zadaé ploše a gradiet F podle () předpokladu eulový, je utě F( x ) jedím z hledaých ormálových vektorů Příklad Pro kulovou plochu můžeme získat eulový ormálový vektor v zadaém bodě [ xyz,, ] přímo z implicitího vyjádřeí F( x, y, z) x y z r Především platí F( xyz,, ) 2 x,2 y,2z Normálový vektor v bodě [ x, y, z ] můžeme proto psát ve tvaru a jedotkové ormálové vektory jako kde r x y z xyz,, x y z,, r r r, V parametrickém vyjádřeí je možo pro jedotkové ormálové vektory psát cossi,si si,cos Defiice Nechť geometrický obraz plochy je hraicí ějaké oblasti V Pak plochu azveme uzavřeou Normálový vektor, který míří ve z oblasti V, azýváme vějším ormálovým vektorem ebo také vektorem vější ormály Příklad Kulová plocha je uzavřeá Jedotkový vektor cossi,si si,cos vější ormály je jedotkovým vektorem

12 Plošý itegrál prvího druhu Plošý itegrál prvího druhu Defiice Budiž : jedoduchá hladká plocha a ějakém okolí každého bodu Pak předpisem f : spojitá fukce defiovaá a f d f ( t, t ) t1 t2 defiujeme plošý itegrál prvího druhu fukce f a ploše 1 se obvykle používá symbol f d V případě uzavřeé plochy Pozámka Pro malé změy parametrů 1 či 2 můžeme popsat změy souřadic bodů ležících a daé ploše v okolí () () vybraého bodu ( t, t ) pomocí věty o totálím difereciálu (viz kap 24 ): 1 2 d t1 t2 1, t měí-li se t 1 a t 2 zůstává kostatí, lze psát x (1) (), () pokud se měí t 2 a aopak t 1 zůstává kostatí, platí x (2) (), () 1 d t1 t2 2 t 2 Podle toho se tedy obdélík o straách 1 a 2 (patřící do možiy zobrazí a elemet plochy, který (1) (2) odpovídá v prvím přiblížeí kosodélíku o straách dx a dx Podle elemetárího vzorce je plošý (1) (2) obsah tohoto kosodélíka dá velikostí vektorového součiu dx dx Proto (porováme-li formálě pravou a levou strau defiičího vztahu pro plošý itegrál prvího druhu) d 12 dx dx t t 1 2 (1) (2) odpovídá s přesostí do prvího řádu plošému obsahu ifiitezimálí části plochy vymezeé hodotami () () () () parametrů t 1 a t 2 z dvojrozměrého itervalu ( t, t ) ( t, t ) Pozámka Z defiice plošého itegrálu prvího druhu a z předcházející pozámky vyplývá, že obsahu plochy 1d je rove plošému Věta (ezávislost plošého itegrálu prvího druhu a parametrizaci) Nechť : a : jsou dvě jedoduché hladké plochy takové, že, existuje vzájemě jedozačé spojitě diferecovatelé zobrazeí h : splňující t, t h t, t Aby bylo možo počítat azačeé dvojé itegrály, musí být možia měřitelá To budeme vždy v této i v dalších kapitolách předpokládat 2 Ověřte pro kulovou plochu

13 Křivkové a plošé itegrály f : defiovaou a ějakém okolí geometrické- Pak pro libovolou spojitou fukci ho obrazu platí f d f d Hodota plošého itegrálu prvího druhu ezávisí tedy a parametrizaci plochy 57 Plošý itegrál druhého druhu Defiice Nechť je pole jedotkových ormálových vektorů defiovaé a ploše : a spojité a celé oblasti Dále budiž A : spojité vektorové pole defiovaé a ěja- kém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem 1 Ad Ad defiujeme plošý itegrál druhého druhu pole J a ploše V případě uzavřeé plochy obvykle volíme jako jedotkový vektor vější ormály a používáme se symbol d Pozámka Z defiičího vztahu pro plošý itegrál druhého druhu formálě plye d = d A Elemetu plochy d přiřazujeme tedy prostředictvím ormálového vektoru i směr To umožňuje u zadaé plochy odlišit oblasti před plochou a za plochou, což je velmi užitečé v techických a přírodovědých aplikacích apř při počítáí průtoku ejrůzějších veliči vybraou plochou Pro obecou jedoduchou hladkou plochu můžeme vždy zkostruovat dvě pole jedotkových ormálových vektorů zmiňovaých v předcházející defiici Tato pole se v každém bodě geometrického obrazu liší pouze zamékem Volba jedé kokrétí možosti pak zadává kokrétí orietaci zadaé plochy V případě uzavřeých ploch máme takto a výběr mezi vektory vější a vitří ormály, obvykle se ale používají je vější ormálové vektory Pozámka (ezávislost plošého itegrálu druhého druhu a parametrizaci) Z věty o ezávislosti plošého itegrálu prvího druhu a parametrizaci plochy, a které itegrál počítáme vyplývá obdobé tvrzeí i pro plošé itegrály druhého druhu Jsou-li totiž a plochách a lišících se pouze parametrizací zadáa pole ormálových vektorů, která jsou totožá v každém bodě, vyplývá z věty o parametrizačí ezávislosti pro itegrály prvího druhu a tedy podle defiice i A d A d, Ad Ad 1 Na pravé straě rovosti stojí plošý itegrál prvího druhu defiovaý v předcházející kapitole

14 Itegrálí věty Itegrálí věty Věta (Greeova) Nechť je roviá uzavřeá křivka po částech třídy C (1), která obepíá měřitelou a jedoduše souvislou možiu M Křivka echť je obíháa v kladém směru (tj proti směru hodiových ručiček) Dále budiž f : vektorové pole spojitě diferecovatelé a ějakém obdélíku obsahujícím geometrický obraz Pak platí f d y x M f x f dxdy y Věta (Gaussova Ostrogradského) Budiž V omezeá měřitelá oblast a a A : spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé alespoň a V V 1 Dále budiž : uzavřeá jedoduchá hladká plocha, jejíž geometrický obraz je totožý s hraící V Pak platí 2 Α d div A dxdydz Pozámka Vzhledem k ezávislosti plošého itegrálu druhého druhu a parametrizaci plochy, a íž itegrujeme, se Gaussova-Ostrogradského věta často píše ve tvaru V V Α d divadxdydz V Věta (Stokesova) Budiž : hladká jedoduchá plocha a :, křivka splňující Dále echť je spojité pole jedotkových ormálových vektorů defiovaé a a orietovaé tak, že v každém bodě míří vektor směrem dovitř A budiž spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé alespoň a Pak platí 4 A drot A d Pozámka Vzájemou orietaci plochy a křivky je možo popsat rověž ásledujícím ázorým způsobem: Půjdeme-li po křivce ve směru tečého vektoru a ormálový vektor k ploše bude mířit od ohou k aší hlavě, pak plochu musíme mít stále po levé ruce 1 V je hraice oblasti V (viz Apedix A2) 2 Symbolem div ozačujeme vektorový difereciálí operátor divergece (viz kapitola 6) Plocha je uzavřeá, při výpočtu používáme jedotkové vektory vější ormály je vektor tečý ke křivce 4 Symbolem rot ozačujeme vektorový difereciálí operátor rotace (viz kapitola 64)

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Středoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA

Středoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Středoškolská techika 05 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Duša Köig Středí průmyslová škola strojická

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru. Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Derivace hustot a. Kapitola Diferenciální operátory divergence a. (rotace)

Derivace hustot a. Kapitola Diferenciální operátory divergence a. (rotace) [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 10 Derivace hustot a itegrálí věty Nyí avážeme a látku vyložeou v kapitole 5. Zde byly zavedey itegrovatelé hustoty, hustotí duál a defiovali

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více