5 Křivkové a plošné integrály

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5 Křivkové a plošné integrály"

Transkript

1 - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy či trojrozměrého prostoru, které jsou v aplikacích bezesporu ejvýzamější Defiice Pod spojitou křivkou v budeme rozumět spojité zobrazeí :, Obraz itervalu, v tomto zobrazeí azveme geometrickým obrazem křivky a budeme jej ozačovat symbolem Pozámka Spojitá křivka v je zadáa -ticí spojitých reálých fukcí ( ),, ( ) 1 t t defiovaých a itervalu, Jedá se tedy o spojitou vektorovou fukci (viz kap 17) Protože jsou jedotlivé body křivky popsáy pomocí reálého parametru t, hovoříme též o parametrickém zadáí křivky Všiměte si též, že růzým křivkám mohou odpovídat stejé geometrické obrazy V dalším textu se budeme zabývat křivkami, které mají a itervalu, eulové spojité prví derivace tyto křivky se obvykle azývají křivkami třídy C 1 ebo alespoň po částech eulové spojité prví derivace křivky po částech třídy C 1 Navíc budeme předpokládat, že příslušá vektorová fukce je a itervalu (, ) prostá 1 Tyto vlastosti již ebudeme v dalším výkladu explicitě zdůrazňovat Pod křivkou budeme íže vždy (!) rozumět spojitou křivku alespoň po částech třídy C 1 Defiice Křivku azveme uzavřeou, splývá-li její počátečí bod s bodem kocovým, tj ( ) ( ) Defiice Pod tečou ke křivce v bodě ( t ),, ( t ) která prochází bodem x a splňuje x 1 rozumíme přímku tt () t x() t lim tt t t p : x x ( ), Vektor azveme tečým vektorem ke křivce v bodě x Pozámka Má-li křivka v bodě 1( t),, ( t) je rove vektoru ( t ),, ( t ) x eulovou prví derivaci, má v ěm i teču Její směrový vektor 1 2, kde tečkou ad písmeem ozačujeme prví derivaci podle parametru t 1 Připouštíme tedy ( ) ( ) 2 Použijeme-li v parametrické rovici pro teču p jiého parametru, p: x x s, kde x x pro s =, bude její směrový vektor (a tedy i ový tečý vektor ke křivce ) obecě libovolým reálým ásobkem ( t ),, ( t ) vektoru 1

2 Křivky Věta (o skládáí a iverzi křivek) Nechť a jsou křivky v defiovaé a itervalech, a,, které jsou avíc po částech třídy C 1 Nechť dále platí ( ) ( ) Pak vektorová fukce :, defiovaá předpisem () t () t pro t,, () t () t pro t, a dále též vektorová fukce :, defiovaá předpisem jsou křivky po částech třídy C 1 () t ( t) Defiice Křivku azýváme křivkou složeou z křivek a a používáme pro i též symbolický zápis Křivku ~ pak azýváme křivkou opačou (iverzí) ke křivce Pozámka Při pohybu po složeé křivce probíháme ejdříve všemi body prví křivky a ásledě i všemi body křivky druhé Opačá křivka je totožá s křivkou původí, ovšem probíhaou pozpátku Všiměte si též vztahů, které platí v případě skládáí a ivertováí křivek pro jejich geometrické obrazy:, 52 Křivkový itegrál prvího druhu Defiice (křivkový itegrál prvího druhu pro křivky C 1 ) Nechť :, je křivka třídy C 1 a f : reálá fukce reálých proměých, jež je spojitá a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem d f d f( ( t)) ( t) defiujeme křivkový itegrál prvího druhu fukce f po křivce 1 Je-li křivka uzavřeá, používáme zpravidla pro odpovídající křivkový itegrál symbol f d 1 V itegradu a pravé straě defiičího vztahu ozačujeme symbolem a eukleidovskou ormu vektoru d a Platí tedy d / 2 i 1 i

3 Křivkové a plošé itegrály Pozámka Formálím porováím pravé a levé stray defiičího vztahu pro křivkový itegrál prvího druhu získáme symbolickou rovost d d ebo též d d Difereciál d a levé straě odpovídá tedy délce ifiitezimálího oblouku křivky a itervalu tt, a itegrál délce křivky d 1 d ( t) Věta (aditivita křivkového itegrálu prvího druhu vůči skládáí křivek) Nechť křivky a jsou a itervalech, a, třídy C 1 a splňují ( ) ( ) Pak platí f d f d f d Defiice (křivkový itegrál prvího druhu pro křivky po částech C 1 ) Nechť f : je reálá fukce spojitá a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu křivky :,, která je a tomto itervalu po částech třídy C 1 Existuje tedy takové děleí t t1 tm itervalu,, že má a každém dělicím itervalu tk 1, tk, k 1,, m, eulovou spojitou prví derivaci Pak pod křivkovým itegrálem prvího druhu fukce f po křivce rozumíme t m k d f d f( ( t)) ( t) k 1 tk1 Pozámka Aditivita itegrálu 1 druhu pro křivky třídy C 1 zaručuje, že výše uvedeá defiice je korektí Jako dělicí body t k musíme vždy vybrat především ty, v ichž křivka emá spojitou prví derivaci Přidáme-li k im i takové, v ichž tato křivka spojitou prví derivaci má, pravá straa výše uvedeé rovosti se díky zmíěé aditivitě ezměí Pozámka V ásledujících větách je f : (popř i g : ) spojitá fukce defiovaá pro každý bod obrazu uvažovaých křivek a ějakém jeho okolí Křivky jsou alespoň po částech třídy C 1 Věta (ezávislost křivkového itegrálu prvího druhu a parametrizaci) Nechť dvě křivky :, a :, mají stejý obraz a avíc echť existuje vzájemě jedozačé a spojitě diferecovatelé zobrazeí h :,, takové, že () t ( h()) t Pak platí f d f d Změa parametrizace křivky tedy hodotu křivkového itegrálu prvího druhu eměí Speciálě pro opačou křivku platí f d f d

4 Křivkový itegrál prvího druhu Věta (liearita křivkového itegrálu prvího druhu) cf d c f d, c, f g d f d gd Pozámka Křivkové itegrály prvího druhu je možo defiovat eje pro skalárí fukce, ale i pro vektorová pole a to po složkách: f d f1 d,, f d 5 Křivkový itegrál druhého druhu Křivkové itegrály prvího a druhého druhu jsou si velmi blízké Níže si zejméa všiměte, jak mohé věty formulovaé pro itegrály druhého druhu odpovídají větám předcházející kapitoly Defiice Nechť :, je křivka třídy C 1 a f : vektorové pole spojité a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem d fd f( ( t)) ( t) defiujeme křivkový itegrál druhého druhu pole f po křivce Je-li křivka uzavřeá, používáme pro obvykle odpovídající křivkový itegrál symbol f d Pozámka V defiičím vztahu stojí v závorce itegradu a pravé straě skalárí souči dvou vektorů z, tedy d f fi i1 d i Formálím porováím pravé a levé stray defiičího vztahu pro křivkový itegrál druhého druhu získáme d d Ifiitezimálí vektor d je tedy v každém bodě tečý ke křivce a symbolickou rovost míří do směru, v ěmž hodota parametru t roste Jeho velikost odpovídá avíc s přesostí do prvího řádu délce oblouku této křivky a itervalu tt, Vektor d můžeme proto s přesostí do prvího řádu iterpretovat jako ifiitezimálí orietovaý oblouk křivky a itervalu tt, Pozámka Velmi ázorá je fyzikálí iterpretace křivkového itegrálu druhého druhu Chápeme-li totiž křivku jako trajektorii opisovaou hmotým bodem v prostoru (pak ovšem ) a vektorové pole f jako pole vějších sil a teto bod působících, pak odpovídající křivkový itegrál eí ic jiého ež práce vykoaá těmito silami

5 Křivkové a plošé itegrály Defiice Nechť f : je vektorové pole spojité a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu křivky :,, která je a tomto itervalu po částech třídy C 1 Existuje tedy takové děleí t t1 tm itervalu,, že má a každém dělicím itervalu tk 1, tk, k 1,, m, eulovou spojitou prví derivaci Pak pod křivkovým itegrálem druhého druhu pole f po křivce rozumíme t m k d fd f( ( t)) ( t) k 1 tk1 Pozámka V ásledujících větách je f : (popř i g : ) spojité vektorové pole defiovaé pro každý bod obrazu uvažovaých křivek a ějakém jeho okolí Křivky jsou alespoň po částech třídy C 1 Věta (závislost křivkového itegrálu druhého druhu a parametrizaci) Nechť dvě křivky :, a :, mají stejý obraz a avíc echť existuje vzájemě jedozačé a spojitě diferecovatelé zobrazeí h :,, takové, že () t ( h()) t Pak platí fd fd, kde kladé zaméko platí pro rostoucí h a záporé zaméko pro h klesající Pozámka Předcházející tvrzeí je možo vyslovit sice méě přesě, ale o to ázorěji: Pro dvě pouze parametrizací lišící se křivky se odpovídající křivkové itegrály druhého druhu liší pouze zamékem Při souhlasé orietaci obou křivek jsou si oba itegrály rovy Speciálě pro zadaou křivku a křivku k í opačou můžeme psát fd fd Věta (aditivita křivkového itegrálu druhého druhu vůči skládáí křivek) Nechť křivky a defiovaé a itervalech, a, splňují ( ) ( ) Existuje-li pravá straa, platí fd fd fd Věta (liearita křivkového itegrálu druhého druhu) Existují-li pravé stray, platí cfdc fd, c, f gd fd gd

6 Poteciál vektorového pole Poteciál vektorového pole V této kapitole se budeme zabývat obecými vektorovými poli a V techických a přírodovědých aplikacích jsou sice ejzajímavější případy 2 a (vektorová pole v roviě a prostoru), obecá teorie ale eí o moho komplikovaější ež v obou speciálích případech Pokud ebude zdůrazěo jiak, budeme pracovat s jedekrát spojitě diferecovatelými poli a ějaké oblasti (souvislé otevřeé možiě 1 ) z Poteciál Defiice Poteciálem vektorového pole F : azveme takovou reálou fukci U : která splňuje U Fi x Vektorové pole, které má poteciál, azveme poteciálí i, Pozámka Vztah mezi vektorovým polem F a jeho poteciálem U můžeme zkráceě zapsat pomocí operátoru gradietu 2 F U V přírodích vědách (apř ve fyzice) se obvykle používá poěkud odlišá defiice F U Pozámka Obecé vektorové pole emusí mít žádý poteciál Pokud jej a ějaké oblasti má, je teto poteciál urče jedozačě až a aditiví kostatu Věta (utá podmíka poteciálosti vektorového pole) Má-li spojitě diferecovatelé vektorové pole F poteciál a oblasti A, platí pro každé x z této oblasti a pro každou dvojici i, j 1,,, i j, F F i j ( x) ( x ) x x j Pozámka Uvědomme si, že výše uvedeé podmíky pro derivace složek pole jsou pouze podmíkami utými Samy o sobě estačí k tomu, aby vektorové pole F vůbec ějaký poteciál mělo 4 Nutou podmíkou poteciálosti vektorového pole v roviě je jedoduchý (a jediý) vztah F x F y y x V případě trojrozměrých polí v prostoru je možo přepsat trojici utých podmíek poteciálosti pole F, i F x F y y x F z F x x z, a F z F y y z, do formálě elegatějšího tvaru rot F =, kde rot je vektorový operátor rotace 1 1 Bližší vysvětleí použitých pojmů můžete ajít v Apedixu A2 2 Viz též kapitoly 2 a 62 Platost této věty vyplývá okamžitě ze záměosti druhých derivací poteciálu pole F 4 Níže v této kapitole je ukázáo, že v roviě a v prostoru jsou tyto podmíky postačující, jsou-li splěy a jedoduše souvislé oblasti

7 Křivkové a plošé itegrály Nalezeí poteciálu vektorového pole v roviě Budiž F Fx( xy, ), Fy( xy, ) spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé a ějaké oblasti v roviě Jeho poteciál, pokud existuje, je defiová vztahy F x U a Fy x U y Levé stray těchto vztahů jsou zadaé fukce, poteciál můžeme proto získat jejich itegrací Z prvího vztahu máme U( x, y) Fx ( x, y) dxc( y), kde azačeý eurčitý itegrál počítáme tak, že a ezávislou proměou y pohlížíme během itegrace jako a kostatu Explicitě uvedeá itegračí kostata C může proto rověž a y záviset Derivováím takto získaého vztahu podle y dostaeme F (, ) (, ) (, ) ( ) x( x, y) C( y) Fy x y U x y Fx x y dxc y dx y y y y a po úpravách C( y) Fx ( x, y) Fy ( xy, ) dx y y Má-li pole F poteciál, závisí pravá straa posledí rovosti pouze a ezávislé proměé y, a ezámou fukci C( y ) můžeme v takovém případě sado získat (s přesostí až a aditiví kostatu, tetokrát již skutečou) prostou itegrací Pokud ovšem pravá straa závisí i a ezávislé proměé x, poteciál vektorového pole F eexistuje Pro vícerozměrá vektorová pole fuguje aprosto stejý postup, který je sad je s rostoucím stále pracější Určeí poteciálu pomocí křivkových itegrálů Věta Je-li vektorové pole F : spojitě diferecovatelé a oblasti A, jsou ásledující tvrzeí ekvivaletí: F má poteciál, pro každou uzavřeou křivku :, A platí F d, 1 Viz kapitola 64

8 Poteciál vektorového pole pro každé dvě křivky :, A a :, A splňující ( ) ψ( ) a ( ) ψ( ) platí Fd Fd Poteciál U pole F pak lze psát ve tvaru U( x) Fd, kde je libovolá křivka spojující předem zvoleý (libovolý ovšem) bod x A s bodem x Pozámka Ve třetí odrážce předcházející věty vystupují křivky se společými počátečími a kocovými body V této odrážce se tedy říká, že uvedeé křivkové itegrály ezávisejí a samotých křivkách, ale je a jejich okrajových bodech Z této podmíky dále vyplývá, že itegrálí předpis pro poteciál je korektí Hodota U(x) ezávisí a zvoleé křivce, ale je a jejím pevě, leč libovolě zvoleém počátečím bodě x a a bodě kocovém, x Libovůle, kterou máme při volbě bodu x, odráží ejedozačost poteciálu zmíěou v úvodu této kapitoly Pozámka Pro vektorové pole F v roviě vyplývá z druhé odrážky výše uvedeé věty a věty Greeovy 1, že postačující podmíkou jeho poteciálosti a jedoduše souvislé oblasti je rovost křížových derivací F x F y y x Podobě je postačující podmíkou poteciálosti vektorového pole F v (trojrozměrém) prostoru, založeou a tzv Stokesově větě 1, současé splěí rovostí ebo zkráceě F x F y y x, Fx Fz, z x rot F, F F y z z y, kde rot ozačuje vektorový difereciálí operátor rotace defiovaý v kapitole Plochy V této kapitole se budeme zabývat dvojrozměrými plochami v a v ásledujících dvou kapitolách pak itegrály a ich Až a ěkolik málo výjimek by bylo možo vše uvedeé zobecit i a (-1)-rozměré adplochy v, výklad by se ovšem patřičě komplikoval Omezíme se proto a z hlediska aplikací pravděpodobě ejvýzamější případ ploch v trojrozměrém prostoru Plochy a plošé itegrály jsou dvojrozměrou obdobou křivek a křivkových itegrálů Jejich studium je ovšem přece je poěkud komplikovaější V ásledujícím výkladu se proto omezíme je a základí pojmy a věty Podrobější poučeí může čteář alézt v celé řadě učebic a příruček matematické aalýzy (viz apř kiha Rektorysova [5]) 1 Viz kapitola 58

9 Křivkové a plošé itegrály Defiice Nechť : je jedou spojitě diferecovatelé zobrazeí oblasti Matici 2 do t t t t t ( ) 2 2 J 1 2 t 1 2 azveme Jacobiho maticí zobrazeí Jsou-li sloupce této matice v každém bodě možiy lieárě ezávislými vektory a zobrazeí je prosté (a iverzí zobrazeí je avíc spojité), azveme jedoduchou hladkou plochou 1 Obraz možiy v tomto zobrazeí azveme geometrickým obrazem plochy a budeme jej ozačovat Pozámka Podle výše uvedeé defiice popisujeme jedotlivé body plochy pomocí dvou reálých parametrů t 1 a t 2 Hovoříme proto o parametrickém zadáí plochy 2 Obecou plochu v můžeme zadat ovšem i jiými způsoby Uveďme si dva ejdůležitější z ich Explicití zadáí plochy Odpovídá-li geometrický obraz plochy grafu ějaké spojitě diferecovatelé fukce z f( x, y), je možo tuto plochu popsat právě touto fukcí Hovoříme pak o explicitím zadáí plochy Podle potřeby můžeme použít i fukcí y g( x, z) ebo x f( y, z) Přejít od explicitího zadáí plochy k zadáí parametrickému eí obtížé : x t 1, y t2, a z f( t1, t2) Implicití zadáí plochy Plochu je dále možo popsat prostředictvím vazebé podmíky, kterou musí splňovat souřadice bodů a í ležících 4 Nechť F : je eulová spojitě diferecovatelá fukce tří reálých proměých, která emá v žádém bodě ulový gradiet Pak je možo tuto vazebou podmíku zapsat ve tvaru F( x, y, z) O takovém zadáí plochy hovoříme jako o zadáí implicitím Alespoň lokálě od ěj můžeme přejít k zadáí explicitímu tak, že rovici (,, ) F x y z vyřešíme vzhledem k ěkteré proměé, apř z Příklad (kulová plocha) Kulovou plochu se středem v počátku souřadic a o poloměru r je možo zadat: parametricky: x rcossi, y rsisi, z rcos, kde,2,,, 1 V dalším se budeme zabývat pouze jedoduchými hladkými plochami, i když to ebudeme zpravidla explicitě zdůrazňovat 2 Porovejte s parametrickým zadáím roviy Pokuste se pro teto případ apsat Jacobiho matici a ověřit, že její sloupce jsou lieárě ezávislé vektory 4 Porovejte s ormálovou rovicí roviy

10 Plochy implicitě: explicitě: x y z r, z r x y 1 Pozámka () () () Budiž x ( t1, t2 ) ějaký bod zadaé plochy Na okolí tohoto bodu je možo zobrazeí aproximovat pomocí věty o prvím difereciálu 2 x x t t t t t t t t i i 1, , () i () () () () () () i t1 t2 kde i = 1, 2, Sado zjistíme, že uvedeá rovice, v íž přibližou rovost ahradíme rovostí přesou, odpovídá parametrickému zadáí roviy, a to podle geometrické iterpretace prvího difereciálu roviy tečé k ploše v bodě x () Vektory 1 () () 2 () () () () τ 1 t1, t2 ; t1, t2 ; t1, t2, t1 t1 t1 () () () () () () t, t ; t, t ; t, t t2 t2 t2 jsou tedy tečými vektory k ploše v bodě x () Jak je vidět z přímého porováí, odpovídají složky obou vektorů sloupcům Jacobiho matice počítaým v bodě x () Podle předpokladu jsou tedy lieárě ezávislé a skutečě zadávají roviu Výše uvedeý výpočet můžeme ovšem provést je tehdy, je-li možo aplikovat větu o prvím difereciálu - jsou-li apříklad splěy předpoklady defiice jedoduché plochy Existují ovšem obecější plochy, které emají v každém bodě tečou roviu Těmi se ale v tomto textu zabývat ebudeme Defiice () () () Neulový vektor vázaý v zadaém bodě x ( t1, t2 ) plochy a kolmý k tečé roviě k této ploše (viz předcházející pozámka), azveme vektorem ormálovým k ploše v bodě x Má-li teto vektor jedotkovou délku (eukleidovskou ormu), azveme jej jedot- () kovým ormálovým vektorem Obvykle jej budeme ozačovat písmeem Pozámka Normálových vektorů existuje ve skutečosti ekoečě moho zaplňují jedorozměrý vektorový prostor Dokoce ai jedotkový ormálový vektor eí urče jedozačě existují vždy dva, které se avzájem liší zamékem Ze všech možých ormálových vektorů k zadaé ploše v zadaém bodě stačí ale zát je jede vybraý Sado pak umíme zkostruovat i všechy ostatí Tímto vybraým ormálovým vektorem může být apříklad vektorový souči dvou libovolě zvoleých lieárě ezávislých tečých vektorů Pozámka Velmi jedoduše se hledá ormálový vektor pro plochu zadaou implicitě Nechť,,, je libovolý 1 2 vektor ležící v roviě tečé k ploše F( x, y, z) v bodě x () Pak můžeme pro v absolutí hodotě malé číslo přibližě psát 4 1 Další možá explicití vyjádřeí jsou y r x z a x r y z Volbou zaméka se ovšem vždy omezujeme a jedu polokouli 2 Viz kapitola 24 V každém bodě plochy je její ormálový vektor současě ormálovým vektorem její tečé roviy v tomto bodě 4 Opět využíváme věty o totálím difereciálu z kapitoly 24 Symbolem ozačujeme difereciálí operátor gradiet (viz též kapitola 62)

11 - 8 - Křivkové a plošé itegrály () () () x x x F F F Bod x () () je ale bodem plochy, musí tedy platit přesé a platí tedy F x V limitě přecházejí přibližé rovosti a () F x Vzhledem k tomu,že je libovolý vektor z roviy tečé v zadaém bodě k zadaé ploše a gradiet F podle () předpokladu eulový, je utě F( x ) jedím z hledaých ormálových vektorů Příklad Pro kulovou plochu můžeme získat eulový ormálový vektor v zadaém bodě [ xyz,, ] přímo z implicitího vyjádřeí F( x, y, z) x y z r Především platí F( xyz,, ) 2 x,2 y,2z Normálový vektor v bodě [ x, y, z ] můžeme proto psát ve tvaru a jedotkové ormálové vektory jako kde r x y z xyz,, x y z,, r r r, V parametrickém vyjádřeí je možo pro jedotkové ormálové vektory psát cossi,si si,cos Defiice Nechť geometrický obraz plochy je hraicí ějaké oblasti V Pak plochu azveme uzavřeou Normálový vektor, který míří ve z oblasti V, azýváme vějším ormálovým vektorem ebo také vektorem vější ormály Příklad Kulová plocha je uzavřeá Jedotkový vektor cossi,si si,cos vější ormály je jedotkovým vektorem

12 Plošý itegrál prvího druhu Plošý itegrál prvího druhu Defiice Budiž : jedoduchá hladká plocha a ějakém okolí každého bodu Pak předpisem f : spojitá fukce defiovaá a f d f ( t, t ) t1 t2 defiujeme plošý itegrál prvího druhu fukce f a ploše 1 se obvykle používá symbol f d V případě uzavřeé plochy Pozámka Pro malé změy parametrů 1 či 2 můžeme popsat změy souřadic bodů ležících a daé ploše v okolí () () vybraého bodu ( t, t ) pomocí věty o totálím difereciálu (viz kap 24 ): 1 2 d t1 t2 1, t měí-li se t 1 a t 2 zůstává kostatí, lze psát x (1) (), () pokud se měí t 2 a aopak t 1 zůstává kostatí, platí x (2) (), () 1 d t1 t2 2 t 2 Podle toho se tedy obdélík o straách 1 a 2 (patřící do možiy zobrazí a elemet plochy, který (1) (2) odpovídá v prvím přiblížeí kosodélíku o straách dx a dx Podle elemetárího vzorce je plošý (1) (2) obsah tohoto kosodélíka dá velikostí vektorového součiu dx dx Proto (porováme-li formálě pravou a levou strau defiičího vztahu pro plošý itegrál prvího druhu) d 12 dx dx t t 1 2 (1) (2) odpovídá s přesostí do prvího řádu plošému obsahu ifiitezimálí části plochy vymezeé hodotami () () () () parametrů t 1 a t 2 z dvojrozměrého itervalu ( t, t ) ( t, t ) Pozámka Z defiice plošého itegrálu prvího druhu a z předcházející pozámky vyplývá, že obsahu plochy 1d je rove plošému Věta (ezávislost plošého itegrálu prvího druhu a parametrizaci) Nechť : a : jsou dvě jedoduché hladké plochy takové, že, existuje vzájemě jedozačé spojitě diferecovatelé zobrazeí h : splňující t, t h t, t Aby bylo možo počítat azačeé dvojé itegrály, musí být možia měřitelá To budeme vždy v této i v dalších kapitolách předpokládat 2 Ověřte pro kulovou plochu

13 Křivkové a plošé itegrály f : defiovaou a ějakém okolí geometrické- Pak pro libovolou spojitou fukci ho obrazu platí f d f d Hodota plošého itegrálu prvího druhu ezávisí tedy a parametrizaci plochy 57 Plošý itegrál druhého druhu Defiice Nechť je pole jedotkových ormálových vektorů defiovaé a ploše : a spojité a celé oblasti Dále budiž A : spojité vektorové pole defiovaé a ěja- kém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem 1 Ad Ad defiujeme plošý itegrál druhého druhu pole J a ploše V případě uzavřeé plochy obvykle volíme jako jedotkový vektor vější ormály a používáme se symbol d Pozámka Z defiičího vztahu pro plošý itegrál druhého druhu formálě plye d = d A Elemetu plochy d přiřazujeme tedy prostředictvím ormálového vektoru i směr To umožňuje u zadaé plochy odlišit oblasti před plochou a za plochou, což je velmi užitečé v techických a přírodovědých aplikacích apř při počítáí průtoku ejrůzějších veliči vybraou plochou Pro obecou jedoduchou hladkou plochu můžeme vždy zkostruovat dvě pole jedotkových ormálových vektorů zmiňovaých v předcházející defiici Tato pole se v každém bodě geometrického obrazu liší pouze zamékem Volba jedé kokrétí možosti pak zadává kokrétí orietaci zadaé plochy V případě uzavřeých ploch máme takto a výběr mezi vektory vější a vitří ormály, obvykle se ale používají je vější ormálové vektory Pozámka (ezávislost plošého itegrálu druhého druhu a parametrizaci) Z věty o ezávislosti plošého itegrálu prvího druhu a parametrizaci plochy, a které itegrál počítáme vyplývá obdobé tvrzeí i pro plošé itegrály druhého druhu Jsou-li totiž a plochách a lišících se pouze parametrizací zadáa pole ormálových vektorů, která jsou totožá v každém bodě, vyplývá z věty o parametrizačí ezávislosti pro itegrály prvího druhu a tedy podle defiice i A d A d, Ad Ad 1 Na pravé straě rovosti stojí plošý itegrál prvího druhu defiovaý v předcházející kapitole

14 Itegrálí věty Itegrálí věty Věta (Greeova) Nechť je roviá uzavřeá křivka po částech třídy C (1), která obepíá měřitelou a jedoduše souvislou možiu M Křivka echť je obíháa v kladém směru (tj proti směru hodiových ručiček) Dále budiž f : vektorové pole spojitě diferecovatelé a ějakém obdélíku obsahujícím geometrický obraz Pak platí f d y x M f x f dxdy y Věta (Gaussova Ostrogradského) Budiž V omezeá měřitelá oblast a a A : spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé alespoň a V V 1 Dále budiž : uzavřeá jedoduchá hladká plocha, jejíž geometrický obraz je totožý s hraící V Pak platí 2 Α d div A dxdydz Pozámka Vzhledem k ezávislosti plošého itegrálu druhého druhu a parametrizaci plochy, a íž itegrujeme, se Gaussova-Ostrogradského věta často píše ve tvaru V V Α d divadxdydz V Věta (Stokesova) Budiž : hladká jedoduchá plocha a :, křivka splňující Dále echť je spojité pole jedotkových ormálových vektorů defiovaé a a orietovaé tak, že v každém bodě míří vektor směrem dovitř A budiž spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé alespoň a Pak platí 4 A drot A d Pozámka Vzájemou orietaci plochy a křivky je možo popsat rověž ásledujícím ázorým způsobem: Půjdeme-li po křivce ve směru tečého vektoru a ormálový vektor k ploše bude mířit od ohou k aší hlavě, pak plochu musíme mít stále po levé ruce 1 V je hraice oblasti V (viz Apedix A2) 2 Symbolem div ozačujeme vektorový difereciálí operátor divergece (viz kapitola 6) Plocha je uzavřeá, při výpočtu používáme jedotkové vektory vější ormály je vektor tečý ke křivce 4 Symbolem rot ozačujeme vektorový difereciálí operátor rotace (viz kapitola 64)

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Model péče o duševně nemocné

Model péče o duševně nemocné Model péče o duševě emocé v regiou hlavího města Prahy Zázam jedáí závěrečé koferece projektu Vzděláváí odboríků, státí správy a samosprávy v oblasti trasformace istitucioálí péče o duševě emocé Praha,

Více

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic Numerické metod řešeí diereciálíc rovic Numerical metods or solvig dieretial equatios Bc. Zdeěk Blata Diplomová práce 009 ABSTRAKT Tato práce se zabývá umerickými metodami řešeí občejýc diereciálíc rovic.

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s.

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s. Základí údaje Vzik společosti 29.9.1997 Obchodí ázev HYDRA a.s. Sídlo: Na Zámecké 1518, 140 00 Praha 4 IČO/DIČ 25610562 / CZ25610562 Předmět podikáí Výroba kodezátorů Provozovy: Průmyslová 1110, Jičí Hradecká

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

Vlastní hodnocení školy

Vlastní hodnocení školy Vlastí hodoceí školy dle vyhlášky 15/2005 Sb., v platém zěí, kterou se staoví áležitosti dlouhodobých záměrů, výročích zpráv a vlastí hodoceí školy. Škola: Základí umělecká škola Plzeň, Sokolovská 30,

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN DIMNZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PRFN 1 Kulkova 10/4231, 615 00 Bro el.: 541 583 208, 297, fa.: 549 254 556 e-mail: kompozi@prefa.cz hp://www.prefa-kompozi.cz DIMNZOVÁNÍ PROFILŮ Maeriálová srukura, základí

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více